\section{Vergleichss"atze} \subsection{Erste \v{C}ech-Kohomologie als Garbenkohomologie} \begin{Theorem}[\textbf{Erste \v{C}ech-Kohomologie als Garbenkohomologie}] Gegeben eine abelsche Garbe $\cal{F}$ auf einem topologischen Raum $X$ ist der in \ref{natCG} erkl"arte Homomorphismus ein Isomorphismus zwischen ihrer ersten \v{C}ech-Kohomologie und ihrer ersten Garbenkohomologie\label{CGa} $$\op{can}:\check{\mathrm{H}}^{1}(X;\cal{F}) \sira \op{H}^{1}(X;\cal{F})$$ \end{Theorem} \begin{Bemerkungl}\label{CGPR} Dieser Satz soll unter anderem dazu beitragen, unsere Anschauung von der durch \ref{ECK} bereits mit Anschauung gef"ullten ersten \v{C}ech-Kohomologie auf die von ihrer Definition her f"ur mich v"ollig unanschauliche Garbenkohomologie zu "ubertragen. In \ref{PKRh} zeigen wir, da"s die \v{C}ech-Kohomologie und die Garbenkohomologie auf \glqq parakompakten\grqq\ R"aumen sogar in allen Graden "ubereinstimmen. %\nichtfinal{Der Satz taugt nicht. Wir haben doch bereits einen % Homomorphismus \ref{CuBD}. Warum ist er derselbe?} \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir w"ahlen eine Einbettung $\cal{F}\hookrightarrow \cal{G}$ von $\cal{F}$ in ein Produkt von Wolkenkratzergarben. Bezeichne $\cal{C}$ den Pr"agarbenkokern dieser Einbettung und bezeichne $\cal{C}^{+}$ seine Garbifizierung. Wir erhalten ein kommutatives Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \mathcal F \ar@{^{(}->}[r] \ar@{=}[d] & \mathcal G \ar@{=}[d] \ar@{->>}[r]&\mathcal C\ar[d]\\ \mathcal F \ar@{^{(}->}[r] & \mathcal G \ar[r] & \mathcal C^+ } \end{displaymath} von Pr"agarben mit kurzer exakter oberer Zeile und linksexakter unterer Zeile. Es zeigt insbesondere, da"s die Einheit der Adjunktion $\mathcal C \rightarrow \mathcal C^+$ ein Monomorphismus von Pr"agarben ist. Behandeln wir dies Diagramm mit $\check{{\mathrm{H}}}$ und mit der Beschreibung der nullten \v{C}ech-Kohomologie einer Garbe als globale Schnitte aus \ref{COG2}, so erhalten wir die linke H"alfte eines kommutativen Diagramms, bei dem wir der Einfachheit halber den Grundraum $X$ aus der Notation weggelassen haben: \begin{displaymath} \xymatrix{ \check{{\mathrm{H}}}^0 \mathcal F \ar@{=}[d]\ar[r] &\check{{\mathrm{H}}}^0 \mathcal G \ar[r]\ar@{=}[d]& \check{{\mathrm{H}}}^0 \mathcal C \ar[d]\ar[r] & \check{{\mathrm{H}}}^1 \mathcal F \ar[r]\ar@{-->}[dd] &0\\ \check{{\mathrm{H}}}^0 \mathcal F \ar[r]\ar[d]^{\wr} &\check{{\mathrm{H}}}^0 \mathcal G \ar[r]\ar[d]^\wr & \check{{\mathrm{H}}}^0 \mathcal C^+ \ar[d]^\wr& & \\ {\op{H}}^0 \mathcal F \ar[r] &{\op{H}}^0 \mathcal G \ar[r] & {\op{H}}^0 \mathcal C^+ \ar[r]& {\op{H}}^1 \mathcal F \ar[r] &0 } \end{displaymath} Die Zeilen sind exakt, wie im folgenden begr"undet werden soll. In der oberen Zeile, da eine kurze exakte Sequenz von Pr"agarben uns eine lange exakte Sequenz in der \v{C}ech-Kohomologie liefert, zun"achst bez"uglich jeder offenen "Uberdeckung und dann auch im Limes. Wir haben weiter $\check{\mathrm{H}}^{1}(X;\cal{G})=0$, nach \ref{CW} und \ref{PCW} verschwinden ja f"ur ein Produkt von Wolkenkratzergarben sogar alle h"oheren \v{C}ech-Kohomologiegruppen bez"uglich jeder offenen "Uberdeckung. Das liefert Exaktheit der oberen Zeile. Die untere Zeile ist exakt als Teil einer langen exakten Garbenkohomologie-Sequenz, es gilt n"amlich $\op{H}^{1}(X; \cal{G})=0$ nach \ref{WeAZ}, da $ \cal{G}$ stets welk ist. Folglich k"onnen wir den gestrichelten Pfeil durch die Kommutativit"at des Diagramms definieren. Um zu zeigen, da"s er ein Isomorphismus ist, brauchen wir nur zu pr"ufen, da"s der Monomorphismus von Pr"agarben $\mathcal C \hookrightarrow \mathcal C^+$ Isomorphismen auf $\check{{\mathrm{H}}}^0$ induziert. Nun hat jedoch sein Pr"agarbenkokern $\mathcal K$ aufgrund der Exaktheit der Garbifizierung die Eigenschaft $\mathcal K^+ =0$, als da hei"st, alle Halme von $\mathcal K$ sind Null, woraus wir leicht $\check{{\mathrm{H}}}^0 \mathcal K =0$ folgern. Dann ergibt sich $\check{{\mathrm{H}}}^0 \mathcal C \sira \check{{\mathrm{H}}}^0 \mathcal C^+ $ aus der bereits diskutierten langen exakten Sequenz der \v{C}ech-Kohomologie zu einer kurzen exakten Sequenz in der Kategorie der abelschen Pr"agarben. \\[2mm]\noindent Jetzt bleibt nur noch zu zeigen, da"s der so erhaltene Isomorphismus mit dem in \ref{natCG} erkl"arten Homomorphismus "ubereinstimmt. Dort hatten wir zun"achst in \ref{AGCKg} den vergarbten \v{C}ech-Komplex $\check{\mathcal{C}}^{\lhd} (\cal{U};\cal{F})= \check{\mathcal{C}}^{\lhd}_{\cal{F}}$ zu einer abelschen Garbe $\mathcal F$ und einer offenen "Uberdeckung $\mathcal U$ von $X$ eingef"uhrt und gezeigt, da"s er eine Aufl"osung von $\mathcal F$ ist. Diese Konstruktion bleibt f"ur abelsche Pr"agarben sinnvoll und liefert mit denselben Argumenten eine Aufl"osung in der abelschen Kategorie der abelschen Pr"agarben. Nun betrachten wir mit denselben Notationen wie im ersten Teil des Beweises die kommutativen Diagramme $$\xymatrix{\mathcal C\ar@{^(->}[r]&\check{\mathcal C}^0_{\mathcal C}\ar[r] &\check{\mathcal C}^1_{\mathcal C}\ar[r]&\\ \mathcal G\ar@{^(->}[r]\ar@{->>}[u]&\check{\mathcal C}^0_{\mathcal G}\ar[r]\ar@{->>}[u] &\check{\mathcal C}^1_{\mathcal G}\ar[r]\ar@{->>}[u]&\\ \mathcal F\ar@{^(->}[r]\ar@{^(->}[u] &\check{\mathcal C}^0_{\mathcal F}\ar[r]\ar@{^(->}[u] &\check{\mathcal C}^1_{\mathcal F}\ar[r]\ar@{^(->}[u]&}\quad\quad \xymatrix{\mathcal C^+\ar@{^(->}[r]&\check{\mathcal C}^{0+}_{\mathcal C}\ar[r] &\check{\mathcal C}^{1+}_{\mathcal C}\ar[r]&\\ \mathcal G\ar@{^(->}[r]\ar@{->>}[u]&\check{\mathcal C}^0_{\mathcal G}\ar[r]\ar@{->>}[u] &\check{\mathcal C}^1_{\mathcal G}\ar[r]\ar@{->>}[u]&\\ \mathcal F\ar@{^(->}[r]\ar@{^(->}[u] &\check{\mathcal C}^0_{\mathcal F}\ar[r]\ar@{^(->}[u] &\check{\mathcal C}^1_{\mathcal F}\ar[r]\ar@{^(->}[u]&}$$ Das linke Diagramm ist in der abelschen Kategorie der abelschen Pr"agarben zu lesen, das rechte in der abelschen Kategorie der abelschen Garben. Das linke Diagramm besteht aus Unterpr"agarben des rechten. Das rechte Diagramm entsteht aus dem linken durch Garbifizierung. Die beiden unteren Zeilen und damit nach der halmweisen langen Homologiesequenz auch die obere Zeile sind exakte Sequenzen von Garben rechts, aber nur die mittlere Zeile ist auch eine exakte Sequenz von Pr"agarben links. Dennoch beginnen alle Zeilen links mit einer Injektion, da $\mathcal F,\mathcal G$ Garben sind und $\mathcal C\ra \mathcal C^+$ ein Monomorphismus von Pr"agarben. Alle Spalten sind links kurze exakte Sequenzen von Pr"agarben und rechts kurze exakte Sequenzen von Garben. Nun finden wir nach \ref{EDF} eine injektive Aufl"osung des nichtnegativen Komplexes $\mathcal G\ra \mathcal C^+$ durch Zweitermkomplexe bestehend aus einer spaltenden Surjektion von injektiven Garben. Die in unserem rechten Diagramm durch die beiden oberen Zeilen gegebene Aufl"osung besitzt nach dem Hauptlemma der homologischen Algebra \ref{IaU} wie in \ref{RaA} einen Lift dorthin. Indem wir die Kerne erg"anzen, finden wir wie in \ref{RaA} eine Einbettung des rechten Doppelkomplexes in einen Doppelkomplex aus injektiven abelschen Garben $$\xymatrix{\mathcal C^+\ar@{^(->}[r]&\mathcal J^0\ar[r] &\mathcal J^1\ar[r]&\\ \mathcal G\ar@{^(->}[r]\ar@{->>}[u]&\mathcal I^0\ar[r]\ar@{->>}[u] &{\mathcal I}^1\ar[r]\ar@{->>}[u]&\\ \mathcal F\ar@{^(->}[r]\ar@{^(->}[u] &{\mathcal K}^0\ar[r]\ar@{^(->}[u] &{\mathcal K}^1\ar[r]\ar@{^(->}[u]&}$$ Verkn"upfen wir diese beiden Einbettungen und nehmen "uberall die globalen Schnitte, so erhalten wir einen Morphismus von kurzen exakten Sequenzen abelscher Gruppen $$\xymatrix{\check{\mathrm C}^\lhd(\mathcal U;\mathcal F)\ar@{^(->}[r]\ar[d]& \check{\mathrm C}^\lhd(\mathcal U;\mathcal G)\ar@{->>}[r]\ar[d]& \check{\mathrm C}^\lhd(\mathcal U;\mathcal C)\ar[d]\\ \Gamma\mathcal K^\lhd\ar@{^(->}[r]&\Gamma\mathcal I^\lhd\ar@{->>}[r]&\Gamma\mathcal J^\lhd}$$ Dieser Morphismus liefert hinwiederum einen Morphismus der zugeh"origen langen exakten Sequenzen $$\xymatrix{\check{\mathrm H}^0(\mathcal U;\mathcal F)\ar@{^(->}[r]\ar[d]& \check{\mathrm H}^0(\mathcal U;\mathcal G)\ar@{->>}[r]\ar[d]& \check{\mathrm H}^0(\mathcal U;\mathcal C)\ar[d]\ar[r]&\check{\mathrm H}^1(\mathcal U;\mathcal F)\ar[d]\ar[r]&\ldots\\ {\op{H}}^0(X;\mathcal F)\ar@{^(->}[r]& {\op{H}}^0(X;\mathcal G)\ar[r]& {\op{H}}^0(X;\mathcal C^+)\ar[r]& {\op{H}}^1(X;\mathcal F)\ar[r]&\ldots}$$ mit den in \ref{CuBD} erkl"arten Morphismen in den Vertikalen. Im Kolimes folgt, da"s der im ersten Teil des Beweises konstruierte Isomorphismus mit dem in \ref{natCG} angegebenen Morphismus "ubereinstimmt. \end{proof} \begin{Bemerkunge} Im allgemeinen liefert eine kurze exakte Sequenz in der Kategorie der abelschen Garben keineswegs eine lange exakte Sequenz der zugeh"origen \v{C}ech-Kohomologiegruppen. Ich bin jedoch au"serstande, ein konkretes Gegenbeispiel anzugeben. \end{Bemerkunge} \begin{Beispiel}\label{ExpS} Sei $X$ ein topologischer Raum. Die lange exakte Sequenz zur kurzen exakten Garbensequenz $2\pi{\op{i}}\DZ_X\hra\cal{C}_{\DC}\sra \cal{C}_{\DC^\times}$, die von der Exponentialabbildung induziert wird, liefert die obere Horizontale in einem Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ {\op{H}}^{1}(X;\cal{C}_{\DC^\times})\ar[r] &{\op{H}}^{2}(X;2\pi{\op{i}}\DZ_X) \ar[dd]^{\wr} \\ \check{\mathrm{H}}^{1}(X;\cal{C}_{\DC^\times})\ar[d]^-{\wr}\ar[u]_-{\wr} & \\ {\left\{\begin{array}{c} \text{komplexe Geradenb"undel auf $X$,}\\ \text{bis auf Isomorphismus}\end{array} \right\}} & {\op{H}}^{2}(X;\DZ_X) } \end{displaymath} wo wir links die Identifikationen aus \ref{CGa} und \ref{KBd} benutzen und rechts durch $2\pi{\op{i}}$ teilen. Das Bild eines komplexen Geradenb"undels $\cal L$ unter dieser Verkn"upfung hei"st die \defnoind{erste Chern'sche Klasse von $\cal L$}\index{erste Chern'sche Klasse} und wird bezeichnet mit $$c_1({\cal L})\in {\op{H}}^{2}(X;\DZ_X)$$ Wir werden in \ref{cw} und \ref{waz} sehen, da"s auf \glqq parakompakten\grqq\ R"aumen die Gruppen ${\op{H}}^{q}(X;\cal{C}_{\DC})$ verschwinden f"ur $q>0$, so da"s unser ganzes Diagramm aus Bijektionen besteht. Auf parakompakten R"aumen werden demnach komplexe Geradenb"undel \glqq klassifiziert durch ihre erste Chern'sche Klasse\grqq. \end{Beispiel} \begin{Satz*}[\textbf{Geradenb"undel mit konstanten "Ubergangsfunktionen}] Ein komplexes Geradenb"undel auf einem parakompakten Raum besitzt genau dann eine B"undelkarte mit konstanten "Ubergangsfunktionen, wenn das Bild seiner ersten Chern'schen Klasse unter der nat"urlichen Abbildung ${\op{H}}^{2}(X;\DZ_X)\ra {\op{H}}^{2}(X;\DC_X)$ nach Null geht. \end{Satz*} \begin{Bemerkunge} Dasselbe gilt mit demselben Beweis f"ur glatte komplexe Geradenb"undel auf parakompakten glatten Mannigfaltigkeiten. Es gilt jedoch f"ur holomorphe B"undel auf einer komplexanalytischen Mannigfaltigkeit nur unter der zus"atzlichen Annahme der Surjektivit"at von $\check{\mathrm{H}}^{1}(X;\DC_X)\ra\check{\mathrm{H}}^{1}(X;\cal{O}^{\op{an}})$, die im Diagramm ganz unten horizontal anzubauen w"are. Diese Surjektivit"at hinwiederum ergibt sich bei kompakten K"ahlermannigfaltigkeiten aus der Hodgetheorie, unsere Abbildung identifiziert sich dann n"amlich mit der Projektion von ${\mathrm{H}}^{1}(X;\DC_X)={\mathrm{H}}^{(1,0)}(X;\DC_X)\oplus {\mathrm{H}}^{(0,1)}(X;\DC_X)$ auf ${\mathrm{H}}^{1}(X;\cal{O}^{\op{an}})\cong{\mathrm{H}}^{(1,0)}(X;\DC_X)$. \end{Bemerkunge} \begin{proof} Wir erhalten f"ur jeden beliebigen topologischen Raum $X$ Monomorphismen $2\pi{\op{i}}\DZ_X\hra\DC_X \hra \cal{C}_{\DC}$ und ein kommutatives Diagramm mit kurzen exakten Garbensequenzen in den Zeilen und Spalten \begin{displaymath} \xymatrix{ 2\pi{\op{i}}\DZ_X\ar@{^{(}->}[r]\ar@{=}[d]&\DC_X\ar@{^{(}->}[d]\ar@{->>}[r]& \DC^\times_X\ar@{^{(}->}[d]\\ 2\pi{\op{i}}\DZ_X\ar@{^{(}->}[r]&\cal{C}_{\DC}\ar@{->>}[r]\ar@{->>}[d]& \cal{C}_{\DC^\times}\ar@{->>}[d]\\ &\op{cok}\ar@{=}[r]&\op{cok} } \end{displaymath} Ein komplexes Geradenb"undel kann durch lokal konstante oder gleichbedeutend konstante "Ubergangsfunktionen realisiert werden genau dann, wenn seine Klasse im Bild von $\check{\mathrm{H}}^{1}(X;\DC^\times_X)\ra \check{\mathrm{H}}^{1}(X;\cal{C}_{\DC^\times})$ liegt. Das impliziert sofort, da"s das Bild seiner ersten Chern'schen Klasse in ${\op{H}}^{2}(X;\DC_X)$ verschwinden mu"s. Umgekehrt kann man sich "uberlegen und der Beweis des Oktaederaxioms wird auch formal zeigen, da"s das Diagramm $$\begin{array}{ccccc} && {\op{H}}^{1}(X;\cal{C}_{\DC^\times})&\ra& {\op{H}}^{2}(X;2\pi{\op{i}}\DZ_X)\\ &&\da&&\da\\ {\op{H}}^{1}(X;\cal{C}_{\DC})&\ra&{\op{H}}^{1}(X;\op{cok})& \ra& {\op{H}}^{2}(X;\DC_X) \end{array}$$ mit den von obigen Sequenzen und Morphismen induzierten Morphismen kommutiert. F"ur parakompaktes $X$ folgt aus $\check{\mathrm{H}}^{1}(X;\cal{C}_{\DC})=0$ dann umgekehrt auch, da"s jedes komplexe Geradenb"undel mit in ${\op{H}}^{2}(X;\DC_X)$ verschwindender erster Chern'scher Klasse bereits durch konstante "Ubergangsfunktionen realisiert werden kann. \end{proof} \subsection{Parakompakte R"aume} \begin{Definition}\label{pako} \begin{enumerate} \item Seien $X$ eine Menge und $\cal{U} \subset \cal{P} (X)$ eine "Uberdeckung von $X$. Eine "Uberdeckung $\cal{V}$ von $X$ hei"st eine \defnoind{Verfeinerung von $\cal{U}$}\index{Verfeinerung}, wenn jedes $V \in \cal{V}$ in mindestens einem $U \in \cal{U}$ enthalten ist; \item Ein System von Teilmengen $\cal{U} \subset \cal{P} (X)$ eines topologischen Raums $X$ hei"st \defnoind{lokal endlich}\index{lokal endlich!Mengensystem in topologischem Raum}, wenn jedes $x \in X$ eine Umgebung besitzt, die h"ochstens endlich viele $U \in \cal{U}$ trifft; \item Ein topologischer Raum hei"st \defind{parakompakt}, wenn er Hausdorff ist und sich jede offene "Uberdeckung unseres Raums zu einer lokal endlichen offenen "Uberdeckung verfeinern l"a"st. \end{enumerate} \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Jede abgeschlossene Teilmenge eines parakompakten Raums ist offensichtlich wieder parakompakt. F"ur offene Teilmengen gilt das jedoch im allgemeinen nicht. Topologische R"aume, in denen jede offene Teilmenge parakompakt ist, hei"sen\label{epar} {\bf erblich parakompakt}.\index{erblich parakompakt}\index{parakompakt!erblich parakompakt} \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Kriterium f"ur Parakompaktheit}] Besitzt ein Haus\-dorff\-raum topologischer Raum eine abz"ahlbare "Uberdeckung durch offene Teilmengen mit kompaktem Abschlu"s, so ist er parakompakt.\label{KrPar} \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Indem wir zu geeigneten Vereinigungen "ubergehen d"urfen wir ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit sogar annehmen, unser Raum sei "uberdeckt durch eine aufsteigende Folge $X_{0} \subset X_{1}\subset \ldots $ von offenen Teilmengen mit kompaktem Abschlu"s. Indem wir zu einer geeigneten Teilfolge "ubergehen, d"urfen wir zus"atzlich annehmen, da"s f"ur alle $n$ gilt $\bar{X}_{n} \subset X_{n+1}$. Um Sonderbetrachtungen zu vermeiden setzen wir $X_{n} = \emptyset$ f"ur $n < 0$. Gegeben eine offene "Uberdeckung $\cal{U}$ unseres Raums werden die Kompakta $\bar{X}_{n+1} \backslash X_{n}$ jeweils schon "uberdeckt von den $U$ aus einem endlichen Teilsystem $\cal{U}_{n} \subset \cal{U}$. Die Schnitte $U \cap (X_{n+2} \backslash \bar{X}_{n-1})$ f"ur $U \in \cal{U}_{n}$ und $n \in \Bbb{Z}$ bilden dann die gesuchte lokal endliche Verfeinerung der "Uberdeckung $\cal{U}$. \end{proof} \begin{Proposition} Jeder parakompakte Raum ist normal.\label{PKN} \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Das folgt mit zweimaligem Anwenden des anschlie"senden technischen Lemmas, erst im Fall einer einpunktigen Menge $B$, dann im Allgemeinen. \end{proof} \begin{Lemma} Seien $A,B$ disjunkte abgeschlossene Mengen in einem parakompakten Raum $X$. Zu jedem Punkt $x \in A$ gebe es disjunkte offene Teilmengen $U_{x}, V_{x} \co X$ mit $x \in U_{x}$ und $B\subset V_{x}$. So gibt es auch disjunkte offene $U,V \co X$ mit $A \subset U$ und $B \subset V$. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Die $U_{x}$ mitsamt $X \backslash A$ bilden eine offene "Uberdeckung von $X$. Sei $\cal{W}$ eine offene lokal endliche Verfeinerung dieser offenen "Uberdeckung. Setzen wir $\cal{W}_{A} \pdef \{ W \in \cal{W} \mid W \cap A \neq \emptyset\}$, so ist jedes $W \in \cal{W}_{A}$ in einem $U_{x}$ enthalten, die Vereinigung $U \pdef \bigcup_{W \in \cal{W}_{A}} W$ ist offen, und wir haben $ A\subset U$. Andererseits besitzt jedes $y\in B$ eine offene Umgebung $C_{y}$, die nur endlich viele Mengen $W_{1}, \ldots , W_{n}$ aus $\cal{W}_{A}$ trifft. W"ahlen wir nun $x(i) \in A$ mit $W_{i}\subset U_{x(i)}$, so ist $D_{y} = C_{y} \cap V_{x(1)} \cap \ldots \cap V_{x(n)}$ offen und trifft "uberhaupt keine Menge aus $\cal{W}_{A}$. Damit ist $V = \bigcup_{y\in B}D_{y}$ offen mit $V \cap U = \emptyset$ und $B \subset V$. \end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{Schrumpfen offener "Uberdeckungen}] Ist $X$ ein parakompakter Hausdorffraum\label{SOUu} und $(U_{i})_{i \in I}$ eine offene "Uberdeckung von $X$, so finden wir eine offene "Uberdeckung $(V_{i})_{i \in I}$ von $X$ mit $\bar{V}_{i} \subset U_{i} \quad \forall i \in I$. \end{Proposition} \begin{proof} Aufgrund der Normalit"at von $X$ besitzt jedes $x \in X$ eine offene Umgebung $C_{x}$, deren Abschlu"s in einem $U_{i}$ enthalten ist, sagen wir $\bar{C}_{x} \subset U_{i(x)}$. Sei $\cal{W}$ eine lokal endliche offene Verfeinerung der offenen "Uberdeckung von $X$ durch die $C_{x}$. So finden wir auch f"ur jedes $W \in \cal{W}$ ein $i \pdef i (W)$ mit $\bar{W} \subset U_{i (W)}$. Dann setzen wir $V_{j} \pdef \bigcup_{i(W) =j} W$ und erhalten $\bar{V}_{j} \subset U_{j}$, da mit \ref{LAS} die Vereinigung einer lokal endlichen Familie abgeschlossener Mengen wieder abgeschlossen ist. \end{proof} % \begin{comment} % \begin{Kommentar} % Bredon behauptet in I.6 Sheaf Theory, da"s diese Proposition auch f"ur % lokal endliche offene "Uberdeckungen normaler R"aume gilt. Da mag ein % besserer Beweis herausspringen! % \end{Kommentar} % \end{comment} \begin{Lemma}[\textbf{Teilung der Eins}] Ist $X$ eine glatte parakompakte Mannigfaltigkeit und $\cal{U}\subset \cal{P}(X)$ eine offene "Uberdeckung von $X$, so gibt es eine durch $U\in \cal{U}$ indizierte Familie von glatten Funktionen $\al_{U} : X \ra [0,1]$ derart, da"s $\al_{U}$ jeweils Tr"ager in $U$ hat, da"s\index{Teilung der Eins}\label{TELn} jede Stelle $x\in X$ eine Umgebung besitzt, auf der nur endlich viele unserer Funktionen nicht verschwinden, und da"s an jeder Stelle $x\in X$ gilt $$\sum_{U\in \cal{U}} \al_{U} (x) =1$$ \end{Lemma} \begin{Bemerkungl}\label{Tieg} Sind etwa $A,B\As X$ disjunkt und abgeschlossen, so gibt es eine glatte Funktion $f:X\ra [0,1]$ mit $f=1$ auf einer offenen Umgebung von $A$ und $f=0$ auf einer offenen Umgebung von $B$. In der Tat folgt das sofort, wenn man das Lemma auf die "Uberdeckung von $X$ durch die Komplemente unserer beiden abgeschlossenen Mengen anwendet. \end{Bemerkungl} \begin{proof} K"onnen wir unseren Satz f"ur eine lokal endliche Verfeinerung unserer "Uberdeckung $\cal{U}$ zeigen, so folgt er m"uhelos f"ur $\cal{U}$ selber. Wir d"urfen also ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit annehmen, da"s unsere "Uberdeckung lokal endlich ist und da"s die "uberdeckenden Mengen $U_i$ jeweils kompakten Abschlu"s haben, der dar"uber hinaus noch ganz im Bild einer Karte liegt. W"ahlen wir dann eine Schrumpfung $(V_i)$ unserer "Uberdeckung, so finden wir etwa nach \eref{TEL}{AN2} angewandt auf den Fall der "Uberdeckung von $\bar{V}_i$ durch $U_i$ glatte Funktionen $\beta_i:U_i\ra [0,1]$ mit kompaktem Tr"ager, die auf $\bar{V}_i$ konstant Eins sind. Dehnen wir diese durch Null auf ganz $X$ aus und bilden ihre Summe, so erhalten wir eine glatte "uberall positive Funktion $\beta$, und die Quotienten $\alpha_i=\beta_i/\beta$ bilden die gesuchte Teilung der Eins. \end{proof} \subsubsection{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{LAS}%\label{LAS2} Die Vereinigung "uber ein lokal endliches System abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen. Ist eine Abbildung stetig auf jeder der Teilmengen einer lokal endlichen "Uberdeckung eines Raums durch abgeschlossene Teilmengen, so ist sie schon selbst stetig. \end{Ubung} \subsection{Garben auf parakompakten R"aumen} \begin{Proposition}[\textbf{Fortsetzbarkeit von Schnitten}] Gegeben eine Garbe von Mengen auf einem parakompakten Raum l"a"st sich jeder Schnitt "uber einer abgeschlossenen Teilmenge\label{AuW} auf eine offene Umgebung unserer abgeschlossenen Teilmenge fortsetzen. \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} In \ref{FSK} haben wir eine "ahnliche Fortsetzbarkeitaussage f"ur kompakte \glqq relativ Hausdorff'sche\grqq\ Teilmengen beliebiger topologischer R"aume gezeigt. Der Beweis der Proposition zeigt, da"s sich auf \hyperref[epar]{erblich parakompakten} R"aumen jeder Schnitt auf einer beliebigen Teilmenge zu einem Schnitt auf eine sie umfassende offene Teilenge fortsetzen l"a"st. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Seien $X$ unser Raum, $A \As X$ unsere abgeschlossene Teilmenge und $\cal{F}$ unsere Garbe. Gegeben $s \in \cal{F}(A)$ finden wir eine "Uberdeckung $(U_{i})_{i\in I}$ von $A$ durch offene Teilmengen $U_i\co X$ und Schnitte $s_{i} \in \cal{F} (U_{i})$ mit $s|{U_{i}\cap A} = s_{i}|{U_{i}\cap A} \; \forall i$. Wir k"onnen zum Beispiel f"ur jeden Punkt innerhalb von $A$ einen hinreichend kleinen Repr"asentanten des Halms von $s$ nehmen. Wir erg"anzen durch $X\backslash A$ zu einer offenen "Uberdeckung von $X$. Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir diese zu einer lokal endlichen "Uberdeckung von $X$ verfeinern. Nach Proposition \ref{SOUu} zum Schrumpfen offener "Uberdeckungen von parakompakten R"aumen finden wir auch $V_{i} \co X$ mit $\bar{V}_{i}\subset U_{i} \; \forall i$ und $A\subset \bigcup_{i\in I} V_{i}$. Jetzt setzen wir $$W \pdef \{x \in X \mid \text{Alle $s_i$ zu Indizes $i$ mit $x\in \bar{V}_{i}$ haben denselben Halm bei $x$}\}$$ Per definitionem gilt $A\subset W$ und $W$ ist eine offene Teilmenge von $X$. Zus"atzlich gilt jedoch $s_{i} | W \cap V_{i} \cap V_{j} = s_{j} | W \cap V_{i} \cap V_{j} \; \forall i , j$. Folglich verkleben die Schnitte $s_{i} | W\cap V_{i}$ zu einem Schnitt $\tilde{s}$ auf $W$, der $s$ fortsetzt. \end{proof} \begin{Definition} Eine Garbe hei"st \defnoind{weich},\index{weich, Garbe} englisch \defind{soft}, franz"osisch \defind{mou}, wenn sich jeder Schnitt "uber einer abgeschlossenen Teilmenge zu einem globalen Schnitt fortsetzen l"a"st. \end{Definition} \begin{Beispiele}\label{DFw} Jede welke Garbe auf einem parakompakten Raum ist weich nach \ref{AuW}. Die Garbe der glatten Funktionen auf einer parakompakten Mannigfaltigkeit ist weich: Um das zu sehen, dehnt man einen Schnitt "uber einer abgeschlossenen Teilmenge zun"achst mithilfe von \ref{AuW} auf eine offene Menge aus und biegt ihn dann in dieser offenen Menge mithilfe einer glatten Partition der Eins \ref{Tieg} herunter nach Null, so da"s man ihn weiter durch Null ausdehnen kann zu einem globalen Schnitt. Man beachte hierbei, da"s ein Schnitt der Garbe der glatten Funktionen auf einer abgeschlossenen Teilmenge einer glatten Mannigfaltigkeit keineswegs eine Funktion auf dieser abgeschlossenen Teilmenge ist: An den Randpunkten zeichnet ein Schnitt dieser Garbe einen ganzen Funktionskeim auf einer offenen Umgebung des besagten Punktes in der urspr"unglichen Mannigfaltigkeit aus und keineswegs nur einen Funktionswert. Analog sind auch die Garben der glatten $p$-Formen und allgemeiner der glatten Schnitte in irgendeinem glatten Vektorraumb"undel weich. \end{Beispiele} \begin{Satz}\label{waz} Auf parakompakten R"aumen sind weiche abelsche Garben azyklisch f"ur den Funktor der globalen Schnitte. \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Das folgt genau wie bei den welken Garben \ref{WeAZ} oder mit dem abstrakten Kriterium \ref{KfAz} aus dem anschlie"senden Lemma \ref{wei}. \end{proof} \begin{Lemma}\label{wei} Sei $\cal{F}^{\prime} \hookrightarrow \cal{F} \twoheadrightarrow \cal{F}^{\prime\prime} $ eine kurze exakte Sequenz von abelschen Garben auf einem parakompakten topologischen Raum $X$. \begin{enumerate} \item Ist $\cal{F}^{\prime}$ weich, so induziert der Epimorphismus $\cal{F}\sra\cal{F}''$ eine Surjektion $\Gamma \cal{F} \twoheadrightarrow \Gamma \cal{F}^{\prime\prime}$ auf den globalen Schnitten; \item Sind $\cal{F}^{\prime}$ und $\cal{F}$ weich, so ist auch $\cal{F}^{\prime\prime}$ weich. \end{enumerate} \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] 1. Sei $s^{\prime\prime}\in \Gamma \cal{F}^{\prime\prime}$ gegeben. Nach \ref{SOUu} gibt es eine lokal endliche abgeschlossene "Uberdeckung $(A_{i})_{i \in I}$ unseres Raums und $s_{i} \in \cal{F} (A_{i})$ mit $s_{i} \mapsto s^{\prime\prime}|{A_{i}} \; \forall i$. F"ur $J \subset I$ setzen wir $A_{J} = \bigcup_{i \in J} A_{i}$. Nun betrachten wir die Menge aller Paare $(s_{J},J)$ mit $J\subset I$ und $s_{J}$ einem Schnitt von $\cal{F}$ "uber $A_{J}$, der auf $s^{\prime\prime} |A_{J}$ geht. Auf dieser Menge erkl"aren wir ein Teilordnung durch die Vorschrift $(s_{K},K) \leq (s_{J},J) \Leftrightarrow( K \subset J$ und $s_{K}=s_{J}|A_{K})$. Nach \ref{LAS} ist unsere Menge induktiv teilgeordnet und besitzt folglich ein maximales Element. Sei $(s_{J},J)$ solch ein maximales Element. W"are $J\neq I$, so g"abe es $i \in I \backslash J$. Hier unterscheiden sich $s_{i}$ und $s_{J}$ auf $A_{i}\cap A_{J}$ nur um einen Schnitt $s^{\prime}_{i}$ in $\cal{F}^{\prime}$, der sich nach Annahme auf ganz $A_{i}$ ausdehnen l"a"st. Also verkleben $s_{i}-s_{i}^{\prime}$ und $s_{J}$ auf $A_{i} \cup A_{J}$ zu einem Urbild von $s^{\prime\prime}$ im Widerspruch zur Maximalit"at von $(s_{J},J)$. Damit ist in der Tat $\Gamma \cal{F} \ra \Gamma \cal{F}^{\prime\prime}$ eine Surjektion. \\[2mm]\noindent 2. Das folgt sofort aus Teil 1, da jede abgeschlossene Teilmenge eines parakompakten Raums parakompakt ist und da die Einschr"ankung einer weichen Garbe auf eine abgeschlossene Teilmenge stets eine weiche Garbe bleibt. \end{proof} \begin{Bemerkunge} Diejenigen Leser, die noch nicht mit der Differentialformen auf abstrakten Mannigfaltigkeiten \eref{diffF}{ML} folgende vertraut sind, m"ogen sich im folgenden auf den Fall \eref{GHB}{AN2} beschr"anken, da"s die Mannigfaltigkeit eine offene Teilmenge eines endlichdimensionalen reellen Raums ist. Nicht zul"assig ist es jedoch, mit eingebetteten Mannigfaltigkeiten positiver Kodimension und unseren relativen Differentialformen zu arbeiten, wie wir sie in \eref{GHB}{AN2} betrachtet hatten. \end{Bemerkunge} \begin{Definition} Der \index{de-Rham-Komplex}{\bf de-Rham-Kom\-plex} einer glatten Mannigfaltigkeit $X$ ist der Komplex $(\Omega^\lhd(X),d)$ der glatten Differentialformen auf $X$ mit der "au"seren Ableitung als Differential, wie wir ihn in \eref{RAAbm}{ML} eingef"uhrt haben. Die {\bf de-Rham-Kohomologie}\index{de-Rham-Kohomologie} von $X$ ist per definitionem seine Kohomologie $${\op{H}}^q(X)_{\op{dR}}\pdef\cal{H}^q\Omega^\lhd(X)$$ \end{Definition} \begin{Korollar}[\textbf{de-Rham-Kohomologie als Garbenkohomologie}] F"ur jede parakompakte glatte Mannigfaltigkeit $X$ stimmt die Garbenkohomologie der konstanten Garbe $\DR_X$ mit der de-Rham-Koho\-mo\-lo\-gie "uberein.\label{dRGK} \end{Korollar} \begin{Bemerkungw} Der Vergleichsisomorphismus ist ein Isomorphismus von $\DR$-Ringalgebren. \nichtfinal{Dabei sollte ich mich beziehen auf die Ringstruktur der Garbenkohomologie mit K"orperkoeffizienten.} \end{Bemerkungw} % Der Komplex $\Omega^{\ast}X$ % hei"st der \defind{de-Rham-Komplex} der Mannigfaltigkeit $X$. Seine % Kohomologie hei"st die {\bf de-Rham-Kohomologie}\index{de-Rham-Kohomologie} % von\index{Kohomologie!nach de-Rham} $X$ und wird notiert % als $$\op{H}^i(X)_{\op{dR}}=\cal{H}^i (\Omega^{\ast}X)$$ \begin{proof}[Beweis] Wir konstruieren im folgenden genauer einen {\bf Ver\-gleichs\-iso\-mor\-phis\-mus}\index{Vergleichsisomorphismus!der de-Rham-Kohomologie} zwischen den fraglichen Kohomologiegruppen. Sicher k"onnen wir $p$-Formen auch auffassen als globale Schnitte der Garbe der $p$-Formen, in Formeln $\Omega^p(X)=\Gamma\Omega^p_X$, und diese Garben bilden mit der "au"seren Ableitung als Differential nach dem Poincar\'e-Lemma \ref{LvpC} eine Aufl"osung der konstanten Garbe $$\DR_X\hra \Omega_X^\lhd$$ Die Garben der Differentialformen sind nun aber weich nach \ref{DFw} und damit globale-Schnitte-azyklisch nach \ref{waz}. Also berechnet unser Komplex nach \ref{DAZO} die Garbenkohomologie der konstanten Garbe $\DR_X$, als da hei"st, die nat"urlichen Abbildungen aus \ref{DefDe} sind Isomorphismen \begin{equation*} {\op{H}}^q(X)_{\op{dR}}=\cal{H}^q\Gamma\Omega^\lhd_X\sira {\op{H}}^q(X;\DR_X)_{\op{garb}} \qedhere\end{equation*} \end{proof} \begin{Beispiel}[\textbf{Zur"uckholen und de-Rham-Kohomologie}] Ist $f:X\ra Y$ eine glatte Abbildung von glatten Mannigfaltigkeiten, so liefert das Zur"uckholen von Differentialformen eine Kettenabbildung $f^\ast:\Omega^\lhd Y\ra\Omega^\lhd X$. Diese Kettenabbildung hinwiederum ist der Effekt auf den globalen Schnitten eines Komorphismus "uber $f$ von Aufl"osungen der konstanten Garben $\DR_X$ und $\DR_Y$, der den offensichtlichen Komorphismus "uber $f$ zwischen besagten konstanten Garben liftet. Folglich entsprechen die von dieser Kettenabbildung auf der Kohomologie induzierten Abbildungen $\op{H}^i(Y)_{\op{dR}}\ra \op{H}^i(X)_{\op{dR}}$\label{FuDr} unter unseren Isomorphismen aus dem Beweis von \ref{dRGK} dem Zur"uckholen auf der Garbenkohomologie. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Vor- und Nachteile der de-Rham-Kohomologie}] Die de-Rham-Ko\-ho\-mo\-lo\-gie ist Berechnungen besonders gut zug"anglich. Zum Beispiel sieht man in dieser Realisierung der Garbenkohomologie unmittelbar, da"s die Kohomologie mit reellen Koeffizienten einer parakompakten Mannigfaltigkeit $X$ oberhalb der Dimension unserer Mannigfaltigkeit verschwinden mu"s, in Formeln $${\op{H}}^q(X;\DR_X)=0\quad\text{f"ur }q>\op{dim}X.$$ Die wesentlichen Nachteile dieser Kohomologietheorie sind, da"s sie nur f"ur glatte Mannigfaltigkeiten sinnvoll definiert ist, da"s sie nur reelle Koeffizienten zul"a"st und da"s man mit ihr nur R"uckz"uge unter glatten Abbildungen berechnen kann. Ich habe einmal gelesen, da"s die de-Rham-Kohomo\-lo\-gie urspr"unglich von Elie Cartan erfunden wurde, um die Kohomologie kompakter Liegruppen zu bestimmen. \end{Bemerkungl} % \begin{Bemerkungl} %Die %Exponentialsequenz aus %\ref{ExpS} liefert %eine weiche und mithin nach \ref{waz} azyklische Aufl"osung %der konstanten Garbe $\DZ$ auf jedem reellen Intervall. %Es folgt, da"s ein reelles Intervall keine h"ohere %Garbenkohomologie mit Koeffizienten in $\DZ$ besitzt. %Allgemeinere Resultate in dieser Richtung haben wir %mit elementareren Methoden bereits in \ref{KGIn} hergeleitet. %\end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{von Poincar\'e}] Ist~$U \co \mathbb R^n$\index{Poincar\'e-Lemma} eine offene Kreisscheibe, so\label{LvpC} erhalten wir einen exakten Komplex \[ \mathbb R \hookrightarrow \Omega^0(U) \stackrel{d}{\rightarrow} \Omega^1(U) \stackrel{d}{\rightarrow} \dots \dots \stackrel{d}{\sra} \Omega^n(U) \] mit der Identifikation von Zahlen und konstanten Funktionen $\DR\hra \Omega^0(U)$ als erster Abbildung und der "au"seren Ableitung als anderen Abbildungen. \end{Lemma} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Poincar\'e-Lemma mit polynomialen Koeffizienten}] Ist~$U = \mathbb R^n$ und betrachten wir nur polynomiale Koeffizienten, so ist die entsprechende Aussage\label{PPKo} schnell gezeigt: In einer Ver"anderlichen liefert die Einbettung der Konstanten ja offensichtlich eine Homotopie"aquivalenz $$ \begin{array}{ccc} \vdots & & \vdots \\[1mm] 0 & & 0 \\[1mm] \uparrow & & \uparrow \\[1mm] 0 & \longrightarrow & \mathbb R[x]\diff x \\[1mm] \uparrow & & \;\;\;\uparrow d \\[1mm] \mathbb R & \longrightarrow & \mathbb R[x] \\[1mm] \uparrow & & \uparrow \\[1mm] 0 & & 0 \\[1mm] \vdots & & \vdots \end{array} $$ Tensorieren wir~$n$ Kopien dieser Homotopie"aquivalenz miteinander, so ergibt sich das Poincar\'e-Lemma auf ganz $\DR^n$ f"ur den Fall polynomialer Koeffizienten. Explizit ist die Komposition von Kettenabbildungen zwischen vertikal geschriebenen Komplexen mit jeweils h"ochstens zwei von Null verschiedenen Eintr"agen \[ \begin{array}{ccccc} \mathbb R[x]\diff x & \longrightarrow & 0 & \longrightarrow & \mathbb R[x]\diff x \\[1mm] d\uparrow & & \uparrow & & \uparrow d \\[1mm] \mathbb R[x] & \longrightarrow & \mathbb R & \longrightarrow & \mathbb R[x] \end{array} \] mit dem Auswerten bei Null in der Horizontale unten rechts homotop zur Identit"at vermittels der Homotopie, die gegeben wird durch die Vorschrift $\delta \colon \mathbb R[x] \diff x \rightarrow \mathbb R[x], $ $ f(x) \diff x \mapsto \int_0^x f(t) \diff t. $ In der Tat gilt ja~$d\delta = \op{id}$ und~$f - f(0) = \delta \diff f$. Unser gleich folgender Beweis des Poincar\'e-Lemmas im glatten Fall verl"auft analog. \end{Bemerkunge} \begin{proof} Sei ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit der Ursprung das Zentrum unserer Kreisscheibe. Sei~$\pi \colon \mathbb R^n \to \mathbb R^{n-1}$ das Vergessen der ersten Koordinate. So ist~$V := \pi(U) \subset \mathbb R^{n-1}$ wieder eine offene Kreisscheibe und wir sind fertig mit Induktion, sobald wir zeigen k"onnen, da"s das Zur"uckholen von Differentialformen \[ \pi^* \colon \Omega^*(V) \rightarrow \Omega^*(U) \] Isomorphismen auf der Kohomologie induziert. Bezeichnet~$i \colon \mathbb R^{n-1} \hookrightarrow \mathbb R^n$ das Davorschreiben einer Koordinate Null, so gilt sicher~$\pi \circ i = \op{id}$ und folglich~$i^* \circ \pi^* = \op{id}$. Wir sind also fertig, wenn wir zus"atzlich noch zeigen k"onnen, da"s die Komposition ~$\pi^* \circ i^* \colon \Omega^*(U) \rightarrow \Omega^*(U)$ homotopie"aquivalent ist zur Identit"at. Dazu betrachten wir~$\delta \colon \Omega^*(U) \rightarrow \Omega^{*-1}(U)$ gegeben durch \[ \delta \colon \sum a_I \diff x_I \;\mapsto\; \sum_{I \ni 1}({\textstyle \int} a_I) \diff x_{I \backslash 1} \] Hierbei ist~$(\int a)$ zu verstehen als die Funktion \[ ({\textstyle \int} a)(x_1,\dots,x_n) = \int_0^{x_1}a(t,x_2,\dots,x_n)\diff t \] So gilt~$\op{id} - \pi^* i^* = d\delta + \delta d$, wie man separat f"ur Formen der Gestalten $a_I \diff x_I$ und $b_I \diff x_1 \wedge \diff x_I$, jeweils mit $1\notin I$, ohne gr"o"sere Schwierigkeiten pr"uft. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Kompaktweiche Garben auf Mannigfaltigkeiten}] Jede weiche Garbe auf einem Hausdorffraum ist kompaktweich, denn Kompakta in Hausdorffr"aumen sind abgeschlossen und relativ Hausdorff. Die Garbe der glatten Funktionen auf einer\label{DFwk} Mannigfaltigkeit ist sogar dann noch kompaktweich, wenn unsere Mannigfaltigkeit nicht parakompakt ist und unsere Garbe mithin nicht notwendig weich. Um das zu sehen, dehnt man einen Schnitt "uber einer kompakten Teilmenge zu\-n"achst mithilfe von \ref{FSK} auf eine parakompakte offene Menge aus und biegt ihn dann in dieser offenen Menge mithilfe einer glatten Partition der Eins \ref{Tieg} herunter nach Null, so da"s man ihn weiter durch Null ausdehnen kann zu einem globalen Schnitt. Analog sind auch die Garben der glatten $p$-Formen und allgemeiner der glatten Schnitte in irgendeinem glatten Vektorraumb"undel kompaktweich. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Die {\bf kompakte de-Rham-Kohomologie}\index{de-Rham-Kohomologie!kompakte} einer glatten Mannigfaltigkeit $X$ ist definiert als die Kohomologie des Komplexes der Differentialformen mit kompaktem Tr"ager, in Formeln $${\op{H}}^q_!(X)_{\op{dR}}\pdef \mathcal H^q\Gamma_! \Omega_X$$ Da $\DR_X\hra \Omega_X$ nach \ref{DFwk} eine Aufl"osung der konstanten Garbe durch kompaktweiche Garben ist und da diese $\Gamma_!$-azyklisch sind, sind unsere nat"urlichen Morphismen aus \ref{DefDe} Isomorphismen $${\op{H}}^q_!(X)_{\op{dR}}\sira {\op{H}}^q_!(X;\DR_X) ={\op{H}}^q_!(X;\DR)_{\op{garb}}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Die kompakte de-Rham-Kohomologie ist Berechnungen besonders gut zug"anglich. Zum Beispiel sieht man in diesem Bild unmittelbar, da"s die Kohomologie mit kompaktem Tr"ager und reellen Koeffizienten einer Mannigfaltigkeit $X$ oberhalb der Dimension unserer Mannigfaltigkeit verschwinden mu"s, in Formeln $${\op{H}}^q_!(X;\DR_X)=0\quad\text{f"ur }q>\op{dim}X.$$ \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} F"ur die Kohomologie der Zahlengerade mit kompaktem Tr"ager und reellen Koeffizienten\label{HIhkp} gilt $${\op{H}}_{!}^q (\DR;\DR_\DR)\cong \left\{\begin{array}{ll} \Bbb{R} & q=1;\\ 0 & \text{sonst}. \end{array}\right. $$ In der Tat erhalten wir mit dem Integrieren "uber die Zahlengerade als zweitem Pfeil eine kurze exakte Sequenz $\Gamma_!\Omega^0_\DR\hra \Gamma_!\Omega^1_\DR\sra\DR$. Man beachte, da"s wir die kompakte Kohomologie der Zahlengerade mit anderen Argumenten und sogar mit beliebigen Koeffizienten bereits aus \ref{kkRn} kennen. \end{Beispiel} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Die Garbe der stetigen Funktionen auf einem parakompakten Raum mit Werten in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum ist weich. Hinweis: Man erinnere Tietzes\label{cw} Erweiterungslemma \eref{TELe}{TM} und Normalit"at parakompakter R"aume \ref{PKN}. Dasselbe gilt f"ur die Garbe der stetigen Schnitte in einem beliebigen Vektorraumb"undel mit endlichdimensionalen Fasern. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Funktorialit"at der kompakten Kohomologie und de-Rham}] Das Ausdehnen durch Null in der kompakten Kohomologie von glatten Mannigfaltigkeiten kann "uber das\label{FuKKd} Ausdehnen durch Null von Differentialformen mit kompaktem Tr"ager berechnet werden. Das eigentliche Zur"uckholen auf eine weitere Mannigfaltigkeit unter einer eigentlichen glatten Abbildung kann durch Zur"uckholen von Differentialformen mit kompaktem Tr"ager berechnet werden. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige, da"s unser ausgezeichneter Erzeuger von ${\op{H}}_!^n(\DR^n;\DZ)$ aus \ref{ausGe} oder vielmehr sein Bild in ${\op{H}}_!^n(\DR^n;\DR)$ in der de-Rham-Kohomologie durch eine und jede Differentialform der Gestalt $f(x_1,\ldots,x_n)dx_1\wedge \ldots\wedge dx_n$ repr"asentiert wird, die kompakten Tr"ager hat und Integral Eins in Bezug auf die Standardorientierung. \end{Ubung} \subsection{Reelle singul"are Kohomologie als Garbenkohomologie}\label{sdR} \begin{Bemerkungl} F"ur jeden topologischen Raum $X$ erkl"aren wir den {\bf Komplex der Grenzketten}\index{Grenzkette} als den Kolimes\label{GrKe} $${\op{G}}X\pdef\op{colf}({\op{S}}X\stackrel{{\op{U}}}{\ra}{\op{S}}X \stackrel{{\op{U}}}{\ra}\ldots)$$ des Komplexes der singul"aren Ketten in Bezug auf die \hyperref[UKA]{Unterteilungsoperatoren} ${\op{U}}$ aus \eref{DUO}{TS}. Alle von der Definition herr"uhrenden Abbildungen ${\op{S}}X\ra{\op{G}}X$ in diesen Kolimes induzieren nach \eref{UT}{TS} dieselbe Abbildung auf der Homologie. Wir arbeiten im folgenden mit der ersten dieser kanonischen Abbildungen. Sie kommt, wie auch alle anderen, sogar von einer Transformation ${\op{S}}\RA{\op{G}}$ von Funktoren $\op{Top}\ra \op{Ket}$ her und induziert aufgrund der Exaktheit filtrierender Kolimites Isomorphismen auf der Homologie $${\op{H}}_q(X)_{\op{sing}}=\mathcal H_q{\op{S}}X\sira\mathcal H_q{\op{G}}X \defp {\op{H}}_q(X)_{\op{grenz}}$$ Gegeben ein Raumpaar $(X,A)$ erhalten wir weiter mit den offensichtlichen Abbildungen ein kommutatives Diagramm von Kettenkomplexen $$\begin{array}{ccccc} {\op{S}}A&\hra& {\op{S}}X &\sra& {\op{S}}X/ {\op{S}}A\\ \da&&\da&&\da\\ {\op{G}}A&\hra& {\op{G}}X &\sra& {\op{G}}X/ {\op{G}}A \end{array} $$ und die langen exakten Kohomologiesequenzen zusammen mit dem F"unferlemma zeigen, da"s auch die rechte Vertikale Isomorphismen auf der Homologie induziert, in hoffentlich offensichtlicher Notation also Isomorphismen $${\op{H}}_q(X,A)_{\op{sing}}\sira {\op{H}}_q(X,A)_{\op{grenz}}$$ zwischen der gew"ohnlichen relativen Homologie und der mit Grenzketten berechneten relativen Homologie. Ebenso betrachten wir mit Koeffizienten in $\DR$ oder einer beliebigen injektiven abelschen Gruppe den {\bf Komplex der Kogrenzketten} ${\op{G}}^*(X;\DR)\pdef \op{Hom}_\DZ({\op{G}}(X),\DR)$ und seine Kohomologie ${\op{H}}^q(X;\DR)_{\op{grenz}}$ und erhalten Isomorphismen mit der gew"ohnlichen singul"aren Kohomologie $${\op{H}}^q(X;\DR)_{\op{grenz}}\sira {\op{H}}^q(X;\DR)_{\op{sing}}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Vorteile und Nachteile von Grenzketten}] Der Komplex der Grenzketten besteht im allgemeinen nicht aus freien abelschen Gruppen. Zum Beispiel ist im Fall des einpunktigen Raums $X$ der Unterteilungsoperator ${\op{S}}^1X\ra {\op{S}}^1X$ die Multiplikation $(2\cdot):\DZ\ra \DZ$ und der Kolimes isomorph zu $\DZ[2^{-1}]$. Der Komplex der Grenzketten besteht jedoch aus flachen abelschen Gruppen, da jeder filtrierende Kolimes von torsionsfreien abelschen Gruppen aufgrund der Exaktheit filtrierender Kolimites wieder torsionsfrei ist.\label{flaG} Sein eigentlicher Vorteil liegt darin, da"s er als Komplex der globalen Schnitte eines Komplexes \glqq welker abelscher Kogarben\grqq\ aufgefa"st werden kann, wie wir im Anschlu"s sehen werden. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} %[\textbf{Vergleich von Ketten und Grenzketten}] %Dieser Punkt dient der Vorbereitung des folgenden Beweises. Seien $X$ ein topologischer Raum\label{uztrP} und $\mathcal V$ eine "Uberdeckung derart, da"s selbst die offenen Kerne der Mengen aus $\cal{V}$ bereits $X$ "uberdecken, in Formeln $X = \bigcup_{V\in \cal{V}} V^{\circ}$. So verschwindet f"ur alle $q\geq 0$ der Kolimes "uber das System $${{\op{S}}_q}X / {\op{S}}_q^{\cal{V}}X\stackrel{{\op{U}}}{\lra}{{\op{S}_q}}X / {\op{S}}_q^{\cal V}X\stackrel{{\op{U}}}{\lra}{{\op{S}}_q}X / {\op{S}}_q^{\cal{V}}X\stackrel{{\op{U}}}{\lra}\ldots$$ mit den von den Unterteilungsoperatoren induzierten Morphismen. In der Tat wird nach \eref{KlKl}{TS} jedes Element dieses Quotienten von einer hinreichend hohen Potenz des Unterteilungsoperators annulliert. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\defind{Grenzketten als welke \v{C}ech-azyklische Kogarben}] Gegeben ein topologischer Raum $X$ und eine offene "Uberdeckung $\mathcal U$ von $X$\label{GkK} erhalten wir f"ur alle $q\geq 0$ eine exakte Sequenz von Grenzkettengruppen $${{\op{G}}}_qX \twoheadleftarrow \bigoplus_{U\in\mathcal U} {{\op{G}}}_q U\leftarrow\bigoplus_{(U,U')\in\mathcal U^2} {{\op{G}}}_q (U\cap U')\leftarrow\ldots$$ Des weiteren induziert jede stetige injektive Abbildung $A\hra X$ eine injektive Abbildung ${{\op{G}}}_qA \hra {{\op{G}}}_qX$ auf den Grenzketten. \end{Satz} \begin{Bemerkungl}[\textbf{\v{C}ech-azyklische Garben}] Eine Pr"agarbe mit Werten in einer abelschen Kategorie nennen wir {\bf \v{C}ech-azyklisch},\index{Cech-azyklisch@\v{C}ech-azyklisch} wenn in Bezug auf jedes System von offenen Teilmengen der zugeh"orige \v{C}ech-Komplex eine Aufl"osung der Schnitte auf der Vereinigung bildet. Dabei setzen wir implizit voraus, da"s alle beim Bilden der jeweiligen \v{C}ech-Komplexe ben"otigten Produkte existieren. Insbesondere ist jede \v{C}ech-azyklische Pr"agarbe bereits eine Garbe. Eine Garbe mit Werten in einer abelschen Kategorie hei"st {\bf welk},\index{welk} wenn die globalen Schnitte epimorph auf die Schnitte "uber jeder offenen Teilmenge gehen.\label{cac} Eine Garbe mit Werten in $\op{Ab}^{\op{opp}}$ nennen wir eine {\bf abelsche Kogarbe}.\index{Kogarbe!abelsche} F"ur jeden topologischen Raum $X$ sind die Vorschriften $\mathcal S_q^X:U\mapsto {\op{S}}_qU$ und $$\mathcal G_q^X: U\mapsto {\op{G}}_qU$$ f"ur $U\co X$ in offensichtlicher Weise Pr"agarben auf $X$ mit Werten in $\op{Ab}^{\op{opp}}$. Unser Satz bedeutet, da"s $\mathcal G_q^X$ f"ur alle $q$ sogar eine welke \v{C}ech-azyklische Garbe auf $X$ mit Werten in $\op{Ab}^{\op{opp}}$ ist, also eine welke \v{C}ech-azyklische abelsche Kogarbe. Wir nennen sie die {\bf $q$-te Grenzkettenkogarbe}.\index{Grenzkettenkogarbe} \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wenn wir statt Grenzketten gew"ohnliche Ketten betrachten und ganz links den Komplex der $\mathcal U$-feinen Ketten ${{\op{S}}}^{\mathcal U}X$, so folgt die Exaktheit aus der Azyklizit"at von Simplizes \eref{HKHKn}{TS} mit Eckenmenge die Menge aller $U\in\mathcal U$, die einen vorgegebenen singul"aren Simplex enthalten. Wenn wir nun den Kolimes anwenden und die vorbereitende Bemerkung \ref{uztrP} beachten, folgt die erste Aussage. Die zweite Aussage folgt unmittelbar aus der Injektivit"at ${{\op{S}}_q}A \hra {{\op{S}_q}}X$ durch "Ubergang zum Kolimes. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Da $\DR$ eine injektive abelsche Gruppe ist, erhalten wir f"ur jeden topologischen Raum $X$ eine welke %\nichtfinal{ \v{C}ech-azyklische (n"otig?)} Garbe $\mathcal G^q_{X,\DR}$ von reellen Vektorr"aumen durch die Vorschrift $$\mathcal G^q_{X,\DR}:U\mapsto {\op{G}}^q(U;\DR)$$ f"ur $U\co X$. Wir nennen sie die {\bf $q$-te Kogrenzkettengarbe von $X$ mit reellen Koeffizienten}.\index{Kogrenzkettengarbe} Zusammen bilden diese Garben einen Komplex $\mathcal G^\lhd_{X,\DR}$ von Garben auf $X$ und die Augmentationen ${\op{G}}_0U \ra \DZ$ induzieren lineare Abbildungen $\DR\ra G^0(U;\DR)$ und einen Homomorphismus von Garbenkomplexen $$\DR_X[0]\ra \mathcal G^\lhd_{X,\DR}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ein topologischer Raum hei"se {\bf singul"ar-azyklisch},\index{singul"ar-azyklisch} wenn seine singul"are Homologie isomorph ist zu $\DZ$ im Grad Null und zu Null in h"oheren Graden. Nach dem universellen Koeffiziententheorem gilt dann dasselbe auch f"ur die Kohomologie. Nach unseren allgemeinen Konventionen \eref{lokal}{TM} hei"st ein Raum {\bf lokal singul"ar-azyklisch}, wenn sich jede Umgebung jedes Punktes zu einer singul"ar-azyklischen Umgebung desselben Punktes verkleinern l"a"st.\label{lsaz} \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Reelle singul"are Kohomologie als Garbenkohomologie}] Gegeben ein lokal singul"ar-azyklischer Raum $X$ ist der Komplex der Kogrenzkettengarben mit reellen Koeffizienten eine welke Aufl"osung der konstanten Garbe $\DR_X\hra\mathcal G^\triangleleft_{X,\DR}$ und wir erhalten zusammen mit \ref{GrKe} Isomorphismen $${\op{H}}^q(X;\DR)_{\op{garb}}\sila{\op{H}}^q(X;\DR)_{\op{grenz}}\sira{\op{H}}^q(X;\DR)_{\op{sing}}$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungw} Der hier gegebene Beweis funktioniert f"ur eine beliebige injektive abelsche Koeffizientengruppe. Eine Beweisvariante im Fall von beliebigen Koeffizienten erkl"aren wir in \ref{SIKOGA}. \end{Bemerkungw} \begin{proof} Wir erinnern die reduzierte singul"are Homologie, die Homologie des augmentierten Komplexes der singul"aren Ketten $\tilde{\op{S}}X$, der in nichtnegtiven Graden mit ${\op{S}}X$ "ubereinstimmt und durch $\DZ$ im Grad $(-1)$ erg"anzt wird. Durch "Ubergang zum Kolimes unter den Unterteilungsoperatoren konstruieren wir den {\bf augmentierten Grenzkettenkomplex} $\tilde{\op{G}}X$. Verschwindet f"ur einen topologischen Raum $U$ die reduzierte singul"are Homologie, so ist auch der augmentierte Grenzkettenkomplex $\tilde{\op{G}}U$ exakt. Ist $X$ lokal singul"ar-zyklisch, so ist folglich der Komplex der Kogrenzkettengarben eine welke Aufl"osung der konstanten Garbe $\DR_X\hra\mathcal G^\triangleleft_{X,\DR}$. Das liefert Isomorphismen $${\op{H}}^q(X;\DR)_{\op{garb}}\sila \mathcal H^q \Gamma\mathcal G^\triangleleft_{X,\DR}= {\op{H}}^q(X;\DR)_{\op{grenz}}\qedhere$$ \end{proof} \begin{Bemerkungl} Der $q$-te Standardsimplex $\Delta_q$ ist eine halboffene Teilmenge der durch die Gleichung $\sum x_i=1$ definierten affinen Hyperebene von $\DR^{q+1}$ und eine glatte Eckfaltigkeit im Sinne von \eref{MFEm}{AN2}. Gegeben eine glatte Mannigfaltigkeit $X$ nennen wir glatte Abbildungen $\Delta_{q} \ra X$ auch {\bf glatte $q$-Simplizes}.\index{glatt!$q$-Simplex} Wir bilden dann die Gruppe der {\bf glatten $q$-Ketten}\index{glatt!$q$-Kette} $\cal{C}^{\infty}{\op{S}}_{q}X$ als die freie abelsche Gruppe "uber der Menge aller glatten $q$-Simplizes und erhalten auf diese Weise einen Unterkomplex $\cal{C}^{\infty}{\op{S}} X \subset {\op{S}}X$ im Komplex der singul"aren Ketten von $X$. Offensichtlich spaltet diese Einbettung in jedem Grad. Die Homologie des Komplexes der glatten Ketten notieren wir $${\op{H}}_q(X)_{\op{sing-}\infty}\pdef \mathcal H_q\cal{C}^{\infty}{\op{S}} X $$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} F"ur jede glatte Mannigaltigkeit $X$ erkl"aren wir den {\bf Komplex der glatten Grenzketten}\index{Grenzkette!glatte} als den Kolimes\label{GrKeG} $$\mathcal C^\infty{\op{G}}X\pdef \op{colf}(\mathcal C^\infty{\op{S}}X\stackrel{{\op{U}}}{\ra} \mathcal C^\infty{\op{S}}X \stackrel{{\op{U}}}{\ra}\ldots)$$ des Komplexes der singul"aren Ketten in Bezug auf die \hyperref[UKA]{Unterteilungsoperatoren} ${\op{U}}$ aus \eref{DUO}{TS}, die offensichtlich glatte Ketten zu glatten Ketten machen. Die Homologie dieses Komplexes notieren wir $${\op{H}}_q(X)_{\op{grenz-}\infty}\pdef \mathcal H_q\mathcal C^\infty{\op{G}}X$$ Alle von der Definition herr"uhrenden Abbildungen $\mathcal C^\infty{\op{S}}X\ra\mathcal C^\infty{\op{G}}X$ in diesen Kolimes induzieren analog wie in \eref{UT}{TS} dieselbe Abbildung auf der Homologie. Wir arbeiten im folgenden mit der ersten dieser kanonischen Abbildungen. Sie induziert aufgrund der Exaktheit filtrierender Kolimites Isomorphismen auf der Homologie $${\op{H}}_q(X)_{\op{sing-}\infty}\sira{\op{H}}_q(X)_{\op{grenz-}\infty}$$ Genau wie in \ref{cac} konstruieren wir auch f"ur $q\geq 0$ eine welke \v{C}ech-azyklische Kogarbe $\mathcal C^\infty\mathcal G_q^X:U\mapsto \mathcal C^\infty{\op{G}}_q(U)$. Wir nennen sie die {\bf $q$-te glatte Grenzkettenkogarbe von $X$}.\index{Grenzkettenkogarbe!glatte} \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Homologie mit glatten Ketten}] Gegeben eine glatte Mannigfaltigkeit $X$ ist die Einbettung $\cal{C}^{\infty}{\op{S}} X \subset {\op{S}}X$ des Komplexes der glatten Ketten in den Komplex aller singul"aren Ketten eine Homotopie"aquivalenz\label{HDKe} und induziert insbesondere Isomorphismen $${\op{H}}_q(X)_{{\op{sing-}}\infty}\sira {\op{H}}_q(X)_{\op{sing}}$$ \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Wir verwenden analoge Notationen f"ur relative Homologie oder Kohomologie mit glatten Ketten, auch mit Koeffizienten. Aus unserer Proposition folgen leicht analoge Aussagen in all diesen Situationen. Zum Beispiel liefern die offensichtlichen Abbildungen Isomorphismen\label{GNGD} $${\op{H}}^q(X;\DR)_{\op{sing}}\sira {\op{H}}^q(X;\DR)_{{\op{sing-}}\infty}$$ Daf"ur geben wir in \ref{KgK} auch noch einen unabh"angigen Beweis, der ohne die in diesem Beweis verwendeten Erkenntnisse zu Spektralsequenzen auskommt. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Da wir in Richtung der Pfeile beschr"ankte Komplexe freier abelscher Gruppen vor uns haben, reicht es zu zeigen, da"s unsere Einbettung ein Quasiisomorphismus ist. Mit dem Komplex der glatten Grenzketten $\mathcal C^{\infty}{\op{G}} X$ aus \ref{GrKeG} erhalten wir ein kommutatives Diagramm mit Quasiisomorphismen in den Vertikalen $$\begin{array}{ccc} \mathcal C^{\infty}{\op{S}} X&\hra& {\op{S}} X\\ \da&&\da\\ \cal{C}^{\infty}{\op{G}} X&\hra& {\op{G}} X \end{array}$$ Es reicht also zu zeigen, da"s die untere Horizontale ein Quasiisomorphismus ist. Gleichbedeutend reicht es zu zeigen, da"s ihr Kokern $${\op{K}}(X)\pdef \op{cok}(\mathcal C^\infty{\op{G}}(X) \ra {\op{G}}(X))$$ ein exakter Komplex ist. Wir wissen aus \ref{GkK}, da"s $\mathcal G_qX: U\mapsto {\op{G}}_q(U)$ f"ur alle $q$ eine \v{C}ech-azyklische Kogarbe ist. F"ur die glatten Grenzketten zeigt man das genauso. F"ur die verkogarbten Kokerne $\mathcal K_q^X: U\mapsto {\op{K}}_q(U)$ folgt aus der langen exakten Homologiesequenz, da"s auch sie f"ur alle $q$ eine \v{C}ech-azyklische Kogarbe auf $X$ bilden. Wir zeigen das Verschwinden von $$\mathcal H_q({\op{K}}(X))$$ gleichzeitig f"ur alle glatten Mannigfaltigkeiten $X$ mit vollst"andiger Induktion "uber $q$. Die Induktionsbasis besteht darin, da"s wir es f"ur alle $q<0$ bereits wissen. Nun betrachten wir eine "Uberdeckung $\mathcal U$ von $X$ durch offene Teilmengen, die diffeomorph sind zu offenen Kreisscheiben, und betrachten den Doppelkomplex im dritten Quadraten mit den zugeh"origen \v{C}ech-Komplexen der Kogarben ${\mathcal{K}}_q^X$ in den Zeilen. Die Zeilen sind also exakt au"ser bei $p=0$ und das zeigt mit \ref{SqDr}, da"s die Abbildung des Totalkomplexes auf den senkrechten Kokernkomplex, in unserem Fall den Komplex der ${\op{K}}_q(X)$, ein Quasisomorphismus ist. Andererseits ist die Spalte mit Index $p=0$ exakt, da nach Annahme f"ur $U\in \mathcal U$ die Einbettung $\mathcal C^\infty{\op{G}}(U) \hra {\op{G}}(U)$ eine Homotopie"aquivalenz ist. Die Induktionsannahme, angewandt auf alle endlichen Schnitte unserer offenen Teilmengen, die ja auch wieder glatte Mannigfaltigkeiten sind, impliziert zus"atzlich, da"s alle Spalten unseres Doppelkomplexes exakt sind f"ur untere Indizes $-q$. Dann aber zeigt die Spektralsequenz, da"s der Totalkomplex auch im Grad $-q$ keine Homologie hat, in Formeln $\mathcal H_q({\op{K}}(X))=0$. Genauer folgt das mit einer Variante von "Ubung \ref{kSs}. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Wir erkl"aren f"ur jede glatte Mannigfaltigkeit $X$ die {\bf $q$-ten glatten Kogrenzketten mit reellen Koeffizienten} als den reellen Vektorraum $$ \mathcal C^\infty G^q(X;\DR)\pdef \op{Hom}_\DZ(\mathcal C^\infty{\op{G}}_q(X),\DR)$$ Die glatten Grenzkoketten bilden einen Komplex. Wir notieren seine Kohomologie $${\op{H}}^q(X;\DR)_{\op{grenz-}\infty}\pdef \mathcal H^q\mathcal C^\infty G^*(X;\DR)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Sei $X$ eine glatte Mannigfaltigkeit. Wir vergarben die glatten Kogrenzketten zur {\bf $q$-ten glatten Kogrenzkettengarbe mit reellen Koeffizienten} gegeben durch $$\mathcal C^\infty\mathcal G^q_{X,\DR}(U)\pdef \mathcal C^\infty G^*(U;\DR)$$ f"ur $U\co X$. Die Garbeneigenschaft folgt aus der Injektivit"at der abelschen Gruppe $\DR$ und der Kogarbeneigenschaft der glatten Grenzkettenkogarben \ref{GrKeG}. Aus \ref{GrKeG} folgt zus"atzlich, da"s die Kogrenzkettengarben welk sind. Zusammen mit den von den Augmentationen $\mathcal C^\infty{\op{G}}_0(U)\ra \DZ$ herr"uhrenden Garbenhomomorphismen $\DR_X\ra \mathcal C^\infty\mathcal G^0_{X,\DR}$ erhalten wir einen Morphismus $\DR_X[0]\ra\mathcal C^\infty\mathcal G^\lhd_{X,\DR}$ von Garbenkomplexen auf $X$.\label{gkoj} Da"s f"ur jede glatte Mannigfaltigkeit der Komplex der glatten Kogrenzkettengarben sogar eine welke Aufl"osung der konstanten Garbe $$\DR_X\hra\mathcal C^\infty\mathcal G^\triangleleft_{X,\DR}$$ ist, folgt wie im nicht-glatten Fall, sobald gezeigt ist, da"s der augmentierte Komplex der glatten Grenzketten $\mathcal C^\infty\tilde{\op{G}}(U)$ exakt ist f"ur $U\co \DR^n$ nichtleer konvex. Das folgert man wie f"ur die singul"are Homologie in \eref{Kon}{TS} durch die Konstruktion eines Prismenoperators und wir haben bereits in \eref{HgS}{TS} erkl"art, wie man einen Prismenoperator konstruiert, der glatte Ketten zu glatten Ketten macht. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Mit denselben Argumenten wie im nichtglatten Fall liefert f"ur jede glatte Mannigfaltigkeit $X$ die Abbildung in die erste Gruppe des Kolimes einen Quasiisomorphismus $$\mathcal C^\infty{\op{S}}(X)\qri \mathcal C^\infty{\op{G}}(X)$$ Durch Dualisieren erhalten wir daraus einen Quasiisomorphismus $\mathcal C^\infty{\op{G}}^*(X)\qri \mathcal C^\infty{\op{S}}^*(X)$ und damit Isomorphismen\label{isGK} $${\op{H}}^q(X;\DR)_{\op{grenz-}\infty}\sira {\op{H}}^q(X;\DR)_{\op{sing-}\infty}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Korollar}[\textbf{Reelle Kohomologie mit glatten Ketten}] Auf einer glatten Mannigfaltigkeit $X$ induziert die Einbettung der glatten singul"aren Ketten in alle singul"aren Ketten Isomorphismen\label{KgK} $${\op{H}}^q(X;\DR)_{\op{sing}} \sira {\op{H}}^q(X;\DR)_{{\op{sing-}}\infty}$$ \end{Korollar} \begin{proof} Wir k"onnen unsere Abbildung erg"anzen zu einem kommutativen Diagramm $$\begin{array}{ccc}{\op{H}}^q(X;\DR)_{\op{grenz}}& \sira& {\op{H}}^q(X;\DR)_{\op{grenz-}\infty}\\ {\scriptstyle \wr}\da&&\da{\scriptstyle \wr}\\ {\op{H}}^q(X;\DR)_{\op{sing}}& \ra& {\op{H}}^q(X;\DR)_{{\op{sing-}}\infty} \end{array}$$ Die Einbettung liefert einen Homomorphismus $\mathcal G^\triangleleft_{X,\DR}\ra \mathcal C^\infty\mathcal G^\triangleleft_{X,\DR}$ von welken Aufl"osungen der konstanten Garbe $\DR_X$ und mithin einen Quasiisomorphismus auf den globalen Schnitten und das liefert den bereits mit einer Schlange notierten Isomorphismus in der oberen Horizontale. Die Isomorphismen in den Vertikalen kennen wir bereits aus \ref{GrKe} und \ref{isGK}. Der Satz folgt. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Wir kennen die Aussage f"ur die Homologie bereits aus \ref{HDKe}. Das Korollar folgt alternativ auch direkt durch Dualisieren, wie in \ref{GNGD} bereits erw"ahnt. Der hier gegeben Beweis hat jedoch den Vorzug, Spektralsequenzen zu vermeiden. In \ref{kDG} folgende diskutieren wir die Verallgemeinerung auf den Fall beliebiger Koeffizienten. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Der $q$-te Standardsimplex $\Delta_q$ ist in der affinen Hyperebene von $\DR^{q+1}$, die durch die Gleichung $\sum x_i=1$ definiert wird, eine kompakte Eckfaltigkeit \eref{MFEm}{AN2}. Wir versehen unsere Hyperebene mit der Orientierung, die sie als Rand der berandeten Untermannigfaltigkeit, die durch die Gleichung $\sum x_i\leq 1$ definiert wird, von der Standardorientierung des $\DR^{q+1}$ erbt, und bezeichnen die induzierte Orientierung auf dem regul"aren Teil von $\Delta_q$ als die {\bf Standardorientierung des Standardsimplex}.\index{Standardorientierung!des Standardsimplex} Ist dann $X$ eine glatte Mannigfaltigkeit und $\omega$ eine stetige $q$-Form auf $X$ und $\sigma :\Delta_q \rightarrow X$ ein glatter $q$-Simplex, so setzen wir \begin{eqnarray*} \int_\sigma \omega &=& \int_{\vec{\Delta}_{q}} \sigma^\ast \omega \end{eqnarray*} Diese Abbildung setzt sich linear fort und liefert einen Homomorphismus von abelschen Gruppen \begin{equation*} \op{int} : \Omega^q X \rightarrow \op{Hom}_\DZ (\mathcal{C}^\infty {\op{S}}_q X, \Bbb{R}) \end{equation*} Der Satz von Stokes mit Ecken \eref{StEck}{AN2} oder, vielleicht einfacher, eine explizite an unseren Spezialfall angepa"ste Rechnung zeigt dann, da"s die Familie dieser Homomorphismen eine Kettenabbildung $\op{int} : \Omega^* X \rightarrow \mathcal{C}^\infty {\op{S}}^* (X;\DR)$ ist. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Isomorphismus von de Rham}] Gegeben eine parakompakte glatte Mannigfaltigkeit $X$ liefert\label{sDRn} das Integrieren von glatten Formen "uber glatte Ketten $\op{int}:\Omega^{\ast}X \ra \cal{C}^{\infty} {\op{S}}^\ast (X ; \Bbb{R})$ auf der Kohomologie Isomorphismen $$\op{H}^q(X)_{\op{dR}}\sira \op{H}^q(X;\DR)_{\op{sing-}\infty}$$ \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Das Integral einer Form "uber eine glatte Kette ist offensichtlich dasselbe wie das Integral unserer Form "uber jede Unterteilung unserer Kette. Folglich faktorisiert unsere Kettenabbildung "uber die globalen Schnitte der glatten Kogrenzkettengarben mit reellen Koeffizienten als $$\Omega^{\ast}X \ra \cal{C}^{\infty} {\op{G}}^*(X ; \Bbb{R}) \ra \cal{C}^{\infty} {\op{S}}^*(X ; \Bbb{R}) $$ Die erste Abbildung ist der Effekt auf den globalen Schnitten von einem Morphismus zwischen den beiden Aufl"osungen der konstanten Garbe $\DR_X$ durch den de-Rham-Komplex $\DR_X\hra \Omega_X^\lhd$ aus \ref{dRGK} und den Komplex der glatten Kogrenzkettengarben $\DR_X\hra \cal{C}^{\infty} \cal{G}^\lhd_{X , \Bbb{R}}$ aus \ref{gkoj}. Die erste Aufl"osung besteht aus weichen Garben, die $\Gamma$-azyklisch sind, da wir $X$ parakompakt angenommen haben. Die zweite Aufl"osung besteht aus welken Garben, die eh $\Gamma$-azyklisch sind. Folglich induziert unser Morphismus $\Omega_X^\lhd \ra\cal{C}^{\infty} \cal{G}^\lhd_{X , \Bbb{R}}$ einen Quasiisomorphismus auf den Komplexen der globalen Schnitte alias Isomorphismen $$\op{H}^q(X)_{\op{dR}}\sira \op{H}^q(X;\DR)_{\op{grenz-}\infty}$$ Andererseits induziert die zus"atzlich angeh"angte Abbildung ebenfalls Isomorphismen auf der Kohomologie nach \ref{isGK}. Der Satz folgt. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Vergleichsisomorphismen der relativen Kohomologie}] Gegeben ein Raum mit einer Teilmenge $A\subset X$ setzen wir ${\op{G}}_q(X,A)\pdef {\op{G}}_q(X)/{\op{G}}_q(A)$ und $${\op{G}}^q(X,A;\DR)\pdef \op{Hom}_\DZ({\op{G}}_q(X,A),\DR)$$ Gegeben $Z\As X$ eine abgeschlossene Teilmenge eines topologischen Raums induziert die Einbettung Injektionen ${\op{G}}_q(X\backslash Z)\hra {\op{G}}_q(X)$ und dual Isomorphismen $$\Gamma_Z\mathcal G_{X,\DR}^q\sira {\op{G}}^q(X,X\backslash Z;\DR)$$ zwischen Schnitten mit Tr"ager in $Z$ der reellen Kogrenzkettengarbe zu den angegebenen \glqq relativen Kogrenzkettengruppen\grqq. Da welke Aufl"osungen nach \ref{wazz} bereits die lokale Kohomologie berechnen, zeigt die Funktorialit"at der langen exakten Kohomologiesequenz, da"s unsere Vergleichsisomorphismen f"ur jeden lokal singul"ar-azyklischen Raum $X$ mit einer abgeschlossenen Teilmenge $Z\As X$ Isomorphismen von langen exakten Sequenzen liefern in Gestalt eines kommutativen Diagramms \begin{displaymath} \xymatrix{ {\op{H}}^q (X,X\backslash Z;\DR)_{\op{sing}} \ar[r] & {\op{H}}^q (X;\DR)\ar[r] & {\op{H}}^q (X\backslash Z;\DR)\ar[r] & {\op{H}}^{q+1} (X,X\backslash Z;\DR) \\ {\op{H}}^q (X,X\backslash Z;\DR)_{\op{grenz}} \ar[r] \ar[d]^-\wr \ar[u]^-\wr & {\op{H}}^q (X;\DR)\ar[r]\ar[d]_-\wr \ar[u]^-\wr & {\op{H}}^q (X\backslash Z;\DR)\ar[r] \ar[d]_-\wr\ar[u]^-\wr & {\op{H}}^{q+1} (X,X\backslash Z;\DR) \ar[d]_-\wr \ar[u]^-\wr\\ {\op{H}}^q_Z (X;\DR)_{\op{garb}} \ar[r] & {\op{H}}^q(X;\DR) \ar[r] & {\op{H}}^q (X\backslash Z;\DR) \ar[r] & {\op{H}}^{q+1}_Z (X;\DR) } \end{displaymath} mit singul"arer Kohomologie oben, Garbenkohomologie unten und unseren Vergleichsisomorphismen in den Vertikalen, wie in der ersten Spalte angedeutet.\label{lklsk} Die Konstruktion zeigt zus"atzlich, da"s unsere Vergleichsisomorphismen der relativen Kohomologie auch Transformationen von Funktoren sind. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Vergleichsisomorphismen der kompakten Kohomologie}] Gegeben ein lokal singul"ar-azyklischer Hausdorffraum $X$ k"on\-nen wir bei unseren Vergleichsisomorphismen ${\op{H}}^{q}_K (X;\DR)\sira {\op{H}}^{q} (X,X\backslash K;\DR)$ zum filtrierenden Kolimes "uber alle Kompakta $K\subset X$ "ubergehen und erhalten Isomorphismen $${{\op{H}}}^q_{!}(X;\DR)_{\op{garb}}\sira {{\op{H}}}^q_!(X;\DR)_{\op{sing}}$$ und nennen sie die {\bf Vergleichsisomorphismen der kompakten Kohomologie}. Offensichtlich sind sie vertr"aglich mit dem Ausdehnen durch Null nach \eref{AdNs}{TS} beziehungsweise \ref{AdNg} auf der singul"aren beziehungsweise garbigen kompakten Kohomologie. Nach \ref{aTH} sind sie auch vertr"aglich mit dem eigentlichen Zur"uckholen.\label{SKHx} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Man darf nicht erwarten, da"s das Integrieren kompakt getragener glatter Differentialformen "uber lokal endliche glatte Ketten obigen Isomorphismus induziert. Genauer ist ${{\op{H}}}_q^!(X;\DR)_{\op{sing}}$ zwar f"ur abz"ahlbar basierte Mannigfaltigkeiten der Dualraum von ${{\op{H}}}^q_!(X;\DR)_{\op{sing}}$, aber nicht umgekehrt. Ein Student mag jedoch einmal pr"ufen, da"s das Integrieren kompakt getragener glatter Differentialformen "uber lokal endliche glatte Ketten dieselbe Linearform auf der lokal endlichen Homologie induziert wie das Anwenden des Vergleichsisomorphismus zusammen mit der Paarung aus \eref{kpV}{TS}. \end{Bemerkungl} \subsection{\v{C}ech-Kohomologie auf parakompakten R"aumen*} \begin{Lemma} F"ur welke Garben ist der in \ref{natCG} konstruierte Homomorphismus von der \v{C}ech-Kohomologie zur Garbenkohomologie stets ein Isomorphismus.\label{WKRh} \end{Lemma} \begin{proof} In der Tat besteht der vergarbte \v{C}ech-Komplex \ref{AGCKg} dann f"ur jede offene "Uberdeckung $\mathcal U$ ebenfalls aus welken Garben. Er ist mithin eine welke Aufl"osung unserer urspr"unglichen Garbe und wir erhalten $\check{{\mathrm{H}}}^{q}(\mathcal U;\mathcal F)\sira {\op{H}}^q(X;\mathcal F)$ f"ur jede offene "Uberdeckung $\mathcal U$ und dann auch im Limes. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{\v{C}echkohomologie als Kolimes "uber allgemeinere "Uberdeckungen}] Gegeben eine abelsche Garbe $\mathcal F$ auf einem topologischen Raum $X$ sind Schnitte "uber beliebigen nicht notwendig offenen Teilmengen von $X$ sinnvoll definiert und k"onnen eingeschr"ankt werden. Betrachten wir \v{C}echkohomologie in diesem Sinne f"ur\label{CKAlg} alle "Uberdeckungen derart, da"s auch die offenen Kerne noch "uberdecken, und bilden wie in \ref{CgKO} den Kolimes unter Verfeinerungen, so erhalten wir dasselbe Resultat, weil die offenen "Uberdeckungen in diesen allgemeineren "Uberdeckungen konfinal sind. \end{Bemerkungl} \begin{Satz} Auf parakompakten R"aumen ist der in \ref{natCG} konstruierte Homomorphismus von der \v{C}ech-Kohomologie zur Garbenkohomologie stets ein Isomorphismus.\label{PKRh} \end{Satz} \begin{proof} Es reicht nach Lemma \ref{WKRh}, wenn wir auf parakompakten R"aumen zu jeder kurzen exakten Sequenz von Garben eine lange exakte Sequenz f"ur die \v{C}ech-Kohomologie konstruieren derart, da"s die nat"urlichen Morphismen aus \ref{natCG} einen Morphismus dieser langen exakten Sequenz in die lange exakte Sequenz der Garbenkohomologie bilden. Zun"achst beachten wir dazu, da"s der \v{C}ech-Komplex einer abelschen Garbe auch f"ur jede nicht notwendig offene "Uberdeckung $\mathcal U$ sinnvoll definiert ist, und da"s f"ur zwei "Uberdeckungen $\mathcal V\subset\mathcal U$ derart, da"s jede Menge aus $\mathcal U$ in einer Menge aus $\mathcal V$ enthalten ist, unser Argument aus \ref{BcKo} immer noch Isomorphismen $$\check{\mathrm{H}}^{q} (\mathcal U;\cal{F})\sira \check{\mathrm{H}}^{q} (\mathcal V;\cal{F})$$ liefert. Nach dem Satz zum Schrumpfen offener "Uberdeckungen \ref{SOUu} sind lokal endliche abgeschlossene "Uberdeckungen $\mathcal A$ von $X$, deren offene Kerne auch "uberdecken, konfinal im System aller "Uberdeckungen durch beliebige Teilmengen, bei denen die offenen Kerne auch "uberdecken. Wir k"onnen nach \ref{CKAlg} die \v{C}echkohomologie parakompakter R"aume also auch als Kolimes "uber derartige lokal abgeschlossene "Uberdeckungen berechnen. Jede kurze exakte Sequenz abelscher Garben $\mathcal F'\hra \mathcal F\sra\mathcal F''$ induziert nun, wie wir uns gleich "uberlegen, kurze exakte Sequenzen der wie in \ref{AGCKg} erkl"arten vergarbten \v{C}echkoketten $$\check{\mathcal{C}}^q(\mathcal A;\mathcal F')\hra \check{\mathcal{C}}^q(\mathcal A;\mathcal F)\sra\check{\mathcal{C}}^q(\mathcal A;\mathcal F'')$$ Die Exaktheit ist ja nur auf den Halmen zu pr"ufen, und diese Halme k"onnen leicht explizit angegeben werden, wenn $\mathcal A$ eine lokal endliche abgeschlossene "Uberdeckung ist. Nehmen wir globale Schnitte und gehen zum Kolimes "uber alle $\mathcal A$ "uber, so erhalten wir, wie wir uns gleich "uberlegen, eine kurze exakte Sequenz von Kettenkomplexen $${\check{\op{C}}}^q(X;\mathcal F')\hra {\check{\op{C}}}^q(X;\mathcal F)\sra{\check{\op{C}}}^q(X;\mathcal F'')$$ Der Punkt ist hierbei, sich zu "uberlegen, da"s jeder globale Schnitt ganz rechts nach geeigneter Verfeinerung der lokal abgeschlossenen "Uberdeckung von der Mitte herkommt. Indem wir die zugeh"orige lange exakte Homologiesequenz bilden, haben wir jeder kurzen exakten Sequenz von abelschen Garben eine lange exakte Sequenz ihrer \v{C}echkohomologiegruppen zugeordnet. Die Konstruktion zeigt, da"s unsere nat"urlichen Morphismen \ref{AGCKg} in die gew"ohnlichen Garbenkohomologiegruppen Morphismen von langen exakte Kohomologiesequenzen liefern. \end{proof} \begin{Definition} Wir sagen, eine Pr"agarbe $\cal{F}$ auf einem Raum $X$ {\bf erlaubt das Verkleben von Schnitten},\index{Pr"agarbe!erlaubt das Verkleben von Schnitten} wenn gegeben ein System $\cal{U} \subset \cal{P} (X)$ von offenen Teilmengen von $X$ mit Vereinigung $V = \bigcup_{U\in \cal{U}}U$ und gegeben f"ur alle $U \in \cal{U}$ Schnitte $s_{U} \in \cal{F}(U)$ mit $$s_{U}|_{ U \cap W} = s_{W}|_{U \cap W} \quad \forall\; U,W \in \cal{U}$$ es stets einen Schnitt auf der Vereinigung $s \in \cal{F}(V)$ gibt mit $s|_U = s_{U} $ f"ur alle $U \in \cal{U}$. Der Unterschied zu einer Garbe besteht nur darin, da"s der Schnitt $s$ auf der Vereinigung durch die $s_U$ nicht eindeutig bestimmt sein mu"s. \end{Definition} \begin{Proposition} Erlaubt eine Pr"agarbe $\cal{F}$ auf einem parakompakten Raum das Verkleben von Schnitten\label{KlS} und gilt $|\cal{F} (\emptyset)|=1$, so gehen die globalen Schnitte unserer Pr"agarbe surjektiv auf die globalen Schnitte ihrer Garbifizierung, in Formeln $$\Gamma \cal{F} \twoheadrightarrow \Gamma \cal{F}^{+}$$ \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Sei $s \in \Gamma \cal{F}^{+}$ ein globaler Schnitt der Garbifizierung. Sicher finden wir eine lokal endliche "Uberdeckung $X = \bigcup_{i \in I} U_{i}$ und $\tilde{s}_{i} \in \cal{F}(U_{i})$ mit $\tilde{s}_{i} \mapsto s|U_{i}$ f"ur alle $i \in I$. F"ur jedes $x \in X$ finden wir nun eine offene Umgebung $W(x)$ mit $x \in U_{i} \Rightarrow W(x) \subset U_{i}$ so, da"s f"ur alle $i$ mit $x \in U_{i}$ die $\tilde{s}_{i}$ zu demselben Schnitt $\tilde{s}_{(x)} \in \cal{F} (W (x))$ einschr"anken. Mit einem solchen $W(x)$ tut es nat"urlich auch jedes kleinere. Wir wollen die $W(x)$ nun zus"atzlich so klein w"ahlen, da"s $W(x) \cap W(y) \neq\emptyset$ nur m"oglich ist, wenn es einen Index $i$ gibt mit $W(x),W(y) \subset U_{i}$. F"ur die so verkleinerten $W(x)$ stimmen dann n"amlich $\tilde{s}_{(x)}$ und $\tilde{s}_{(y)}$ jeweils auf $W(x)\cap W(y)$ "uberein, da sie je von demselben Schnitt "uber einem $U_i$ herkommen, und verkleben folglich zum gesuchten globalen Schnitt $\tilde{s} \in \Gamma \cal{F}$ mit $\tilde{s} \mapsto s$. Um unsere $W(x)$ hinreichend zu verkleinern, w"ahlen wir zun"achst eine Schrumpfung $V_{i}$ unserer "Uberdeckung nach \ref{SOUu}. F"ur jedes $x \in X$ verkleinern wir als n"achstes unser $W(x)$ so weit, da"s zus"atzlich gilt $x \not\in \bar{V}_{i} \Rightarrow W(x) \cap V_{i} = \emptyset$. Das impliziert insbesondere, da"s f"ur Punkte $x\not\in U_i$ gilt $W(x)\cap V_i=\emptyset$, f"ur Punkte $x\not\in U_i$ trifft also $W(x)$ das entsprechende $U_i$ salopp gesprochen h"ochstens im \glqq Randbereich\grqq\ $U_i\backslash V_i$. Und dann folgt aus $W(x) \cap W(y) \neq\emptyset$ in der Tat bereits, da"s es einen Index $i$ gibt mit $W(x), W(y) \subset U_{i}$, denn zum Beispiel tut es jeder Index $i$ mit $W(x) \cap W(y)\cap V_{i}\neq\emptyset$, weil f"ur solch einen Index notwendig gilt $x,y \in \bar{V}_{i} \subset U_{i}$. \end{proof} \begin{Korollar}\label{PKs} F"ur jeden parakompakten Raum $X$ liefern die kanonischen Abbildungen Surjektionen ${\op{S}}^{q} X \twoheadrightarrow \Gamma \cal{S}_{X}^{q}$. \end{Korollar} \begin{proof}[Beweis] Offensichtlich erlaubt f"ur jedes $q\geq 0$ die Pr"agarbe $U\mapsto {\op{S}}^q(U)$ das Verkleben von Schnitten. Das Korollar folgt damit aus \ref{KlS}. \end{proof} \begin{Lemma}\label{hs} F"ur jeden parakompakten Raum $X$ liefern die kanonischen Abbildungen Isomorphismen $$\op{H}^{q}_{\op{sing}}X \sira \cal{H}^{q} \Gamma \cal{S}_{X}^{\ast}$$ \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Aus \ref{PKs} folgt, da"s $\cal{S}_{X}^{\ast}$ f"ur $X$ parakompakt ein Komplex aus welken Garben ist. Nehmen wir zus"atzlich $X$ lokal singul"ar-azyklisch an, so ist leicht zu sehen, da"s $\DZ_X\hra \cal{S}_{X}^{\ast}$ eine welke und somit\label{hss} Aufl"osung der konstanten Garbe durch $\Gamma$-azyklische Garben ist. Unseren Erkenntnisse \ref{DAZO} zur Berechnung derivierten Funktoren durch Aufl"osungen aus azyklischen Objekten liefert dann nat"urliche Isomorphismen $\cal{H}^{q} \Gamma \cal{S}_{X}^{\ast}\sira {\op{H}}^q(X;\DZ_X)$ und so zusammen mit \ref{hs} einen alternativen Beweis des Vergleichssatzes \ref{SKG} f"ur parakompakte R"aume. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Wir vervollst"andigen unsere Surjektionen aus \ref{KlS} zu einer kurzen exakten Sequenz von Kettenkomplexen $$K^{\ast} \hookrightarrow \op{S}\!^{\ast} X \twoheadrightarrow \Gamma \cal{S}^{\ast}_{X}$$ Mit der langen exakten Homologiesequenz reicht es zu zeigen, da"s $K^{\ast}$ exakt ist. Aber liegt ein Kozykel $s \in \op{S}\!^{\ast} X$ im Kern der Surjektion, so gibt es eine offene "Uberdeckung $\cal{U}$ von $X$ derart, da"s $s$ verschwindet auf den $\cal{U}$-feinen Ketten, so da"s $s$ schon im Kern $K^{\ast}_{\cal{U}}$ der Surjektion $\op{S}\!^{\ast}X \twoheadrightarrow \op{S}^{\ast}_{\cal{U}} X$ liegt. Diese Surjektion induziert aber Isomorphismen auf der Kohomologie nach dem Satz "uber feine Ketten \eref{FKHh}{TS}, folglich ist ihr Kernkomplex exakt, folglich gibt es sogar $r \in K^{\ast}_{\cal{U}}$ mit $\partial r = s$, und folglich ist unser Kozykel $s$ ein Korand. \end{proof} \subsection{Singul"are Kohomologie als Garbenkohomologie*} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein topologischer Raum $X$ erinnern wir aus \ref{GrKe} den Komplex ${\op{G}}X$ der Grenzketten und den Quasiisomorphismus ${\op{S}}X\qri {\op{G}}X$ vom Komplex der singul"aren Ketten zum Komplex der Grenzketten. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Kohomologie durch dualisierten Grenzkettenkomplex}] Jede abelsche Gruppe $M$ besitzt eine injektive Aufl"osung $M\hra I^0\sra I^1$ der L"ange Zwei. Wir notieren solch einen Zweitermkomplex\label{kDG} $I=I_M$. F"ur jeden topologischen Raum $X$ erhalten wir Quasiisomorphismen wie in der oberen Horizontale des Diagramms $$\begin{array}{ccccccc}{\op{S}}^*(X;M)&=& ({\op{S}}(X){\Rrightarrow}M)&\qri& ({\op{S}}(X){\Rrightarrow}I) &\qli& ({\op{G}}(X){\Rrightarrow}I)\\ \ua&&\ua&&\ua&&\ua\\ {\op{S}}^*(Y;M)&=& ({\op{S}}(Y){\Rrightarrow}M)& \qri& ({\op{S}}(Y){\Rrightarrow}I) &\qli& ({\op{G}}(Y){\Rrightarrow}I) \end{array} $$ Gegeben eine stetige Abbildung $f:X\ra Y$ erg"anzen wir es in offensichtlicher Weise zu obigem kommutativen Diagramm. F"ur ${\op{H}}^q(X;I)_{\op{grenz}} \pdef \mathcal H^q ({\op{S}}(Y){\Rrightarrow}I)$ erhalten wir Isomorphismen $${\op{H}}^q(X;M)_{\op{sing}}\sira {\op{H}}^q(X;I_M)_{\op{grenz}}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Vergarbter dualisierter Grenzkettenkomplex}] Wir betrachten f"ur jeden topologischen Raum $X$ und jeden Zweitermkomplex $I= [I^0\ra I^1]$ von injektiven abelschen Gruppen den Komplex von abelschen Garben auf $X$ mit den zugeh"origen Komplexen von Schnitten auf $U\co X$ gegeben als die Homkomplexe $\mathcal G^\triangleleft_{X,I}(U)\pdef ({\op{G}}(U){\Rrightarrow}I)$. Ausgeschrieben haben wir also $$\mathcal G^q_{X,I}(U)= \op{Hom}_\DZ({\op{G}}_q(U),I^0)\oplus \op{Hom}_\DZ({\op{G}}_{q-1}(U),I^1)$$ Die Garbeneigenschaft folgt aus der Injektivit"at von $I^0,I^1$ und der Kogarbeneigenschaft der Grenzketten \ref{GkK}. Aus \ref{GkK} folgt zus"atzlich, da"s die Garben $\mathcal G^q_{X,I}$ welk sind. Zusammen mit den von den Augmentationen ${\op{G}}_0(U)\ra \DZ$ herr"uhrenden Garbenhomomorphismen $M_X\hra \mathcal G^0_{X,I}$ erhalten wir so einen Morphismus $M_X[0]\ra\mathcal G^\lhd_{X,I}$ von Garbenkomplexen auf $X$. Per definitionem haben wir auf den globalen Schnitten\label{bGs} $$\Gamma\mathcal G^\lhd_{X,I}= ({\op{G}}(X){\Rrightarrow}I)$$ Gegeben eine stetige Abbildung $f:X\ra Y$ erhalten wir in offensichtlicher Weise kommutative Diagramme von Komorphismen beziehungsweise abelschen Gruppen \begin{displaymath} \xymatrix{M_X[0]\ar[r]&\mathcal G^\lhd_{X,I}&\Gamma\mathcal G^\lhd_{X,I}\ar@{=}[r]& ({\op{G}}(X){\Rrightarrow}I)\\ M_Y[0]\ar[r]\ar[u]&\mathcal G^\lhd_{Y,I}\ar[u]&\Gamma\mathcal G^\lhd_{Y,I}\ar[u]\ar@{=}[r]& ({\op{G}}(Y){\Rrightarrow}I) \ar[u] } \end{displaymath} \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Singul"are Kohomologie als Garbenkohomologie}] Gegeben ein lokal singul"ar-azyklischer Raum $X$ und eine kurze exakte Sequenz von abelschen Gruppen $M\hra I^0\sra I^1$ mit $I^0, I^1$ injektiv ist $M_X\hra\mathcal G^\triangleleft_{X,I}$ eine welke Aufl"osung der konstanten Garbe $M_X$ und induziert zusammen mit \ref{kDG} Isomorphismen\label{SIKOGA} $${\op{H}}^q(X;M)_{\op{garb}}\sila {\op{H}}^q(X;I_M)_{\op{grenz}} \sira{\op{H}}^q(X;M)_{\op{sing}}$$ zwischen der Garbenkohomologie und der singul"aren Kohomologie mit Koeffizienten in $M$, die von der Wahl der injektiven Aufl"osung $I$ von $M$ nicht abh"angen. \end{Satz} \begin{proof} Verschwindet f"ur einen topologischen Raum $U$ die reduzierte singul"are Homologie, so ist der augmentierte Grenzkettenkomplex $\tilde{\op{G}}(U)$ exakt und damit ist auch $\tilde{\op{G}}(U){\Rrightarrow} I$ exakt und dann auch $0\ra M \ra ({\op{G}}(U){\Rrightarrow} I)$. Ist $X$ lokal singul"ar-zyklisch, so ist folglich $M_X\ra\mathcal G^\triangleleft_{X,I}$ eine Aufl"osung der konstanten Garbe $M_X$ durch welke Garben. Das liefert mit der Beschreibung der globalen Schnitte aus \ref{bGs} Isomorphismen $${\op{H}}^q(X;M)_{\op{garb}}\sira \mathcal H^q \Gamma\mathcal G^\triangleleft_{X,I}= \mathcal H^q({\op{G}}(X){\Rrightarrow} I)$$ Da"s Verkn"upfung der im Satz behaupteten Isomorphismen unabh"angig ist von der Wahl der injektiven Aufl"osung, folgt aus den Definitionen. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Glatt-singul"are Kohomologie als Garbenkohomologie}] Dieselben Argumente angewandt auf glatte Grenzketten liefern f"ur jede glatte Mannigfaltigkeit und jede abelsche Gruppe $M$ Isomorphismen\label{hsgAA} $${\op{H}}^q(X;M)_{\op{garb}}\sira{\op{H}}^q(X;M)_{{{\op{sing-}}\infty}}$$ zwischen der Garbenkohomologie und der glatt-singul"aren Kohomologie mit beliebigen Koeffizienten. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Relative singul"are Kohomologie als Garbenkohomologie}] Ist $Y\co X$ eine offene Teilmenge eines lokal singul"ar-azyklischen Raums und $Z\As X$ ihr Komplement, so induziert die Einbettung eine Injektion ${\op{G}}(Y)\hra {\op{G}}(X)$ von Kettenkomplexen und wir erhalten ein kommutatives Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{\Gamma(Y;\mathcal G^\lhd_{X,I})\ar@{=}[r]& ({\op{G}}(Y){\Rrightarrow}I)\\ \Gamma\mathcal G^\lhd_{X,I}\ar@{->>}[u]\ar@{=}[r]& ({\op{G}}(X){\Rrightarrow}I) \ar@{->>}[u] \\ \Gamma_Z\mathcal G^\lhd_{X,I}\ar@{^{(}->}[u]\ar[r]^-\sim& (({\op{G}}(X)/{\op{G}}(Y)){\Rrightarrow}I) \ar@{^{(}->}[u] } \end{displaymath} mit kurzen exakten Sequenzen von Kettenkomplexen in den Vertikalen. Da welke Aufl"osungen nach \ref{wazz} bereits die lokale Kohomologie berechnen, zeigt die Funktorialit"at der langen exakten Kohomologiesequenz, da"s unsere Vergleichsisomorphismen f"ur jeden lokal singul"ar-azyklischen Raum $X$ mit einer offenen Teilmenge $Y\co X$ und deren abgeschlossenem Komplement $Z\As X$ einen Morphismus von langen exakten Sequenzen liefern in Gestalt eines kommutativen Diagramms \begin{displaymath} \xymatrix{ {\op{H}}^q (X,Y;M) \ar[r] \ar[d]^-\wr & {\op{H}}^q (X;M)\ar[r]\ar[d]_-\wr & {\op{H}}^q (Y;M)\ar[r] \ar[d]_-\wr & {\op{H}}^{q+1} (X,Y;M) \ar[d]_-\wr \\ {\op{H}}^q_Z (X;M_X) \ar[r] & {\op{H}}^q(X;M_X) \ar[r] & {\op{H}}^q (X;M_X) \ar[r] & {\op{H}}^{q+1}_Z (X;M_X) } \end{displaymath} mit singul"arer Kohomologie oben, Garbenkohomologie unten und unseren Vergleichsisomorphismen in den Vertikalen.\label{lklsk} Die Konstruktion zeigt zus"atzlich, da"s unsere Vergleichsisomorphismen der relativen Kohomologie auch Transformationen von Funktoren sind. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ist unser lokal singul"ar-azyklischer Raum $X$ zus"atzlich Hausdorff, so k"on\-nen wir zum filtrierenden Kolimes "uber alle Kompakta $K\subset X$ "ubergehen und erhalten Isomorphismen $${{\op{H}}}^q_!(X;M)_{\op{sing}}\sira {{\op{H}}}^q_!(X;M)_{\op{garb}}$$ Es ist leicht zu sehen, da"s sie von den zu ihrer Konstruktion getroffenen Wahlen nicht abh"angen. Wir nennen sie die {\bf Vergleichsisomorphismen der kompakten Kohomologie}. Offensichtlich sind sie vertr"aglich mit dem Ausdehnen durch Null nach \eref{AdNs}{TS} beziehungsweise \ref{AdNg} auf der singul"aren beziehungsweise garbigen kompakten Kohomologie. Nach \ref{aTH} sind sie auch vertr"aglich mit dem eigentlichen Zur"uckholen.\label{SKHx} \end{Bemerkungl} \begin{Satz}%[\defind{Alexander-Dualit"at}] Ist $A \As \Bbb{R}^{n}$ eine abgeschlossene Teilmenge und $G$ eine abelsche Gruppe, so induzieren der Randoperator der Lokalisierungssequenz \ref{LokSS} zusammen\label{ADu} mit dem Vergleichssatz \ref{SKHx} und der Poincar\'{e}-Dualit"at \eref{APD}{TS} Isomorphismen, die Isomorphismen der \emph{\bf Alexander-Dualit"at}\index{Alexander-Dualit"at} $${\op{H}}^{q}_{!} (A;G_{A})\sira \tilde{{\op{H}}}_{n-q-1} (\Bbb{R}^{n}\backslash A;G)$$ \end{Satz} \begin{Beispiel} Ersetzen wir im Satz auf der linken Seite Garbenkohomologie durch singul"are Kohomologie, so gilt er im allgemeinen nicht mehr, zum Beispiel im Fall $n=2$, $q=1$, $G=\DZ$ und $A$ dem Schmitt der Sinuskurve des Topologen \eref{skt}{TM} mit dem Kompaktum $[-2,2]^2$. \end{Beispiel} \begin{Beispiele} Schneiden wir etwa aus der Ebene $\DR^2$ zwei disjunkte kompakte abgeschlossene zusammenh"angende Teilmengen heraus, so ist die erste Homologie des Komplements frei vom Rang zwei. Anschaulich wird eine Basis eben gegeben durch die Klassen zweier Zykel, die jeweils um eines der beiden beim Herausschneiden entstandenen L"ocher laufen. Man kann sich auch den Fall denken, da"s eine der besagten kompakten abgeschlossenen zusammenh"angenden Teilmengen als Ring um die andere liegt: Unser Satz wird dann auch f"ur $q=1$ gehaltvoll. Schneiden wir dahingegen eine nichtkompakte zusammenh"angende abgeschlossene Teilmenge heraus, so verschwindet die erste Homologie des Komplements, da anschaulich gesprochen \glqq unsere nichtkompakte Teilmenge in irgendeiner Richtung nach Unendlich l"auft und nicht von einem Zykel umrundet werden kann\grqq. Im Fall $q=0$ liefert der Isomorphismus der Alexanderdualit"at nocheinmal Korollar \eref{Adu}{TS}, nach dem $\tilde{{\op{H}}}_{n-1} (\Bbb{R}^{n}\backslash A;\DZ)$ f"ur $A\As \DR^n$ mit nur genau $k\in\DN$ kompakten Zusammenhangskomponenten frei ist "uber $\DZ$ vom Rang $k$, und im Fall $q=0$, $n=2$ ist er im wesentlichen der in \eref{HoE}{TS} durch Umlaufzahlen beschriebene Isomorphismus ${\op{H}}_1 (U;\DZ) \sira \mathcal C_! (\mathbb C \backslash U, \mathbb Z)$ f"ur $U\co\DC$. \end{Beispiele} \begin{proof}[Beweis] Wir gehen aus vom nach \ref{SKHx} und Bemerkung \eref{COr}{TS} kommutativen Diagramm $$\begin{array}{ccccc} {\op{H}}^{q}_{!} (\DR^n;G)_{\op{garb}}&\sira& {\op{H}}^{q}_{!} (\DR^n;G)_{\op{sing}}&\sira& {{\op{H}}}_{n-q} (\Bbb{R}^{n};G)\\ \ua&&\ua&&\ua\\ {\op{H}}^{q}_{!} (\DR^n\backslash A;G)_{\op{garb}}&\sira& {\op{H}}^{q}_{!} (\DR^n\backslash A;G)_{\op{sing}}&\sira& {{\op{H}}}_{n-q} (\Bbb{R}^{n}\backslash A;G) \end{array} $$ Als Isomorphismus zwischen den Kernen f"ur $q