\section{Trennr"uckzug und Schreivorschub} \subsection{R"uckzug-Schreivorschub-Formalismus $f_!, f^!, f^*, f_*$} \begin{Bemerkungl} Der hier entwickelte Formalismus mag "uberblasen wirken. Sobald wir jedoch in \ref{AlKnuT} zum Trennr"uckzug und in \ref{MoTF}, \ref{tzGG} weiter zu derivierten Kategorien und Funktoren "ubergehen, wird sich dieser Eindruck der "Uberformalisierung, so hoffe ich, verfl"uchtigen. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Ein {\bf Kategorienwinkel} ist eine Menge von {\bf Objekten} $\mathscr B$ mit drei Strukturen als Kategorie, deren Morphismenmengen wir $\mathscr B^\dagger(X,Y)$, $\mathscr B^{\shriek}(X,Y)$ und $\mathscr B^{\op{e}}(X,Y)$ notieren, sowie einer Erweiterung der Identit"at auf den Objekten zu treuen Funktoren\label{KaWW} \begin{displaymath} \xymatrix{&\mathscr B^{\op{e}}\ar[dl]\ar[dr]&\\ \mathscr B^\dagger&& \mathscr B^{\shriek}} \end{displaymath} Die Elemente der fraglichen Morphismenmengen nennen wir {\bf $\dagger$-Morphismen}\index{Morphismus!$\dagger$-Morphismus} oder kurz {\bf Morphismen}, $\shriek${\bf-Morphismen}\index{Morphismus!$\shriek$-Morphismus} oder {\bf Schreimorphismen}\index{Schreimorphismus} und {\bf $\op{e}$-Morphismen}\index{Morphismus!$\op{e}$-Morphismus}\index{eMorphismus!$\op{e}$-Morphismus} oder {\bf Eigmorphismen}.\index{Eigmorphismus!in Kategorienwinkel} \end{Definition} \begin{Definition} Ein {\bf Quadrat} in einem Kategorienwinkel $\mathscr B^\dagger\leftarrow \mathscr B^{\op{e}}\ra \mathscr B^\shriek$ ist ein Datum aus Objekten und Morphismen $(X,Y,Z,W,f,g,p,q)$ mit Objekten\label{MiQ} und Morphismen wie im Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ W \ar@{-->}[d]_g\ar@{..>}[r]^q& X\ar@{-->}[d]^f \\ Z\ar@{..>}[r]^p& Y} \end{displaymath} angegeben, und zwar mit Vertikalen $f,g\in \mathscr B^{\shriek}$ und Horizontalen $p,q\in \mathscr B^\dagger$. Wir notieren auch im weiteren standardm"a"sig $\dagger$-Mor\-phis\-men durch gepunktelte Pfeile und $\shriek$-Mor\-phis\-men durch gestrichelte Pfeile. Eig\-mor\-phis\-men notieren wir in diesem Kontext als durchgezogene Pfeile. Wir verwenden die durch das Diagramm erzeugte Anschauung im weiteren in unserer Terminologie, indem wir etwa von der \glqq rechten vertikalen Kante eines Quadrats\grqq\ und dergleichen reden. \end{Definition} \begin{Definition} Eine {\bf Regulierung}\index{Regulierung}\label{ReGu} eines Kategorienwinkels ist die Vorgabe einer Menge von Quadraten, die stabil ist unter dem Verkleben l"angs gleicher horizontaler oder vertikaler Kanten und die alle Quadrate enth"alt, bei denen beide horizontalen oder beide vertikalen Morphismen Identit"aten sind und die beiden jeweils verbleibenden Morphismen "ubereinstimmen. \end{Definition} \begin{Beispiel} Gegeben $\mathscr T\supset \mathscr T^{\shriek}\supset \mathscr T^{\op{e}}$ eine Kategorie mit Unterkategorien, die jeweils alle Objekte enthalten, erhalten wir mit $\mathscr T^\dagger\pdef \mathscr T$ einen \hyperref[KaWW]{Kategorienwinkel}.\label{BsKW} Wir nennen ihn den {\bf Tripelwinkel zum Tripel}\index{Tripelwinkel} $\mathscr T\supset \mathscr T^{\shriek}\supset \mathscr T^{\op{e}}$. Darin bilden alle kartesischen und auch alle kommutativen Quadrate von $\mathscr T$, die Vertikalen aus $\mathscr T^{\shriek}$ haben, jeweils eine Regulierung. Wir nennen sie die {\bf kartesische} beziehungsweise die {\bf kommutative Regulierung}.\index{Regulierung!kartesische}\index{Regulierung!kommutative} \end{Beispiel} \begin{Definition} Ein {\bf Winkelfunktor}\index{Winkelfunktor} von Kategorienwinkeln ist eine Abbildung auf den Objekten $F:\mathscr C\ra \mathscr B$ zusammen mit Abbildungen auf den Morphismen $\mathscr C^\dagger(X,Y)\ra \mathscr B^\dagger(FX,FY)$ und $\mathscr C^{\shriek}(X,Y)\ra \mathscr B^{\shriek}(FX,FY)$, die jeweils Funktoren sind und die zu demselben Funktor $\mathscr C^{\op{e}}(X,Y)\ra \mathscr B^{\op{e}}(FX,FY)$ einschr"anken. Wir nennen den ersten Funktor den {\bf $\dagger$-Funktor}, den zweiten den $\shriek${\bf-Funktor} und den dritten den {\bf $\op{e}$-Funktor} unseres Winkelfunktors. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Kategorie der Quadrate "uber einem Basisquadrat}] Gegeben ein Winkelfunktor $\mathscr C\ra \mathscr B$ machen wir die Quadrate von $\mathscr C$ "uber einem vorgegebenen Quadrat der Basis $\mathscr B$ zu einer Kategorie, indem wir solche Viertupel von Eigmorphismen "uber den Identit"aten in den Ecken als Morphismen nehmen, die kommutative Quadrate l"angs jeder Kante liefern. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Ein Winkelfunktor $F:\mathscr C\ra\mathscr B$ hei"st {\bf winkelfasernd}\index{winkelfasernd!Winkelfunktor} oder eine {\bf Winkelfaserung},\index{Winkelfaserung} wenn sein $\dagger$-Funktor eine Faserung ist und sein $\shriek$-Funktor eine Kofaserung \label{WiFa} und wenn "uber einem Eigmorphismus der Basis jeder $\dagger$-Morphismus und jeder $\shriek$-Mor\-phis\-mus auch ein Eigmorphismus auf den Fasern ist. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine Winkelfaserung notieren wir $p^\dagger$ den R"uckzug l"angs eines $\dagger$-Mor\-phis\-mus $p$ und $f_\shriek$ den Vorschub l"angs eines $\shriek$-Morphismus $f$. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Jede Bifaserung $\mathscr G\ra \mathscr T$ liefert eine Winkelfaserung vom Tripelwinkel des trivialen Tripels $\mathscr G\supset \mathscr G\supset \mathscr G$, also $\mathscr G^\dagger= \mathscr G^{\op{e}}=\mathscr G^\shriek$, zum Tripelwinkel des trivialen Tripels\label{WFBI} $\mathscr T\supset \mathscr T\supset \mathscr T$ in offensichtlicher Weise. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Eine Winkelfaserung zum Tripelwinkel eines Tripels $\mathscr T\supset \mathscr T^\shriek\supset \mathscr T^{\op{e}}$ in der Basis nennen wir eine {\bf Austauschsituation}.\index{Austauschsituation}\label{ATAs} Austauschsituationen notieren wird oft abk"urzend $$(\mathscr G\ra \mathscr T\supset \mathscr T^\shriek\leftarrow \mathscr G^\shriek, \mathscr T^{\op{e}})$$ In diesem Kontext schreiben wir auch $\mathscr G_{/X}=\mathscr G_X^{\op{opp}}$ f"ur die opponierten Fasern und schreiben gegeben ein Morphismus $p:Z\ra Y$ beziehungsweise ein Schreimorphismus $f:X\ra Y$ in der Basis $p^*\pdef (p^\dagger)^{\op{opp}}:\mathscr G_{/Y}\ra \mathscr G_{/Z}$ beziehungsweise $f_!\pdef (f_\shriek)^{\op{opp}}:\mathscr G_{/X}\ra \mathscr G_{/Y}$ f"ur den R"uckzug beziehungsweise Schreivorschub auf den opponierten Kategorien. Die Kategorie $\mathscr G^{\op{e}}$ braucht im Kontext einer Winkelfaserung f"ur gew"ohnlich keine eigene Notation. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Austauschsituation der abelschen Garben}] Ein typischer Fall ist die Austauschsituation der abelschen Garben $$(\op{Ab}_{{\sslash}{\op{Top}}}\ra \op{Top}\supset\op{Top}^{\op{s}} \leftarrow \op{Ab}^\shriek_{{\sslash}{\op{Top}^{\op{s}}}}, \op{Top}^{\op{es}})$$ mit der Notation $\op{Top}^{\op{es}}$ f"ur die eigentlichen separierten Abbildungen von topologischen R"aumen.\label{WFag} In der Tat ist $\op{Ab}^\shriek_{{\sslash}{\op{Top}^{\op{s}}}}\ra \op{Top}^{\op{s}}$ eine Kofaserung nach \eref{eiPL}{TG} und "uber eigentlichen separierten Abbildungen sind alle Opkomorphismen von abelschen Garben eigentlich. In diesem Fall sind die Fasern opponierte Kategorien abelscher Garben und wir haben $p^\dagger=(p^{(*)})^{\op{opp}}$ und $f_\shriek=(f_{(!)})^{\op{opp}}$. \end{Beispiel} \begin{Definition} Sei $F:\mathscr C\ra \mathscr B$ eine Winkelfaserung mit einer vorgegebenen \hyperref[ReGu]{Regulierung} der Basis $\mathscr B$, deren Quadrate wir in diesem Kontext die {\bf erlaubten Basisquadrate}\index{erlaubt!Basisquadrat} nennen. Die Quadrate mit kartesischen Horizontalen in der Faser $\mathscr C$, die "uber erlaubten Basisquadraten liegen, nennen wir in diesem Kontext die {\bf R"uckholquadrate}.\index{R"uckholquadrate} Unter einer {\bf Pr"averflechtung}\index{Pr"averflechtung} verstehen wir in diesem Kontext eine Regulierung des Kategorienwinkels $\mathscr C$ durch ausgew"ahlte R"uckholquadrate, die {\bf Verflechtungsquadrate}\index{Verflechtungsquadrat}, so da"s die folgenden Bedingungen erf"ullt sind:\label{PeraF} \begin{description} \item[Verflechtung durch Kommutativit"at:] "Uber einem erlaubten Basisquadrat mit Eigmorphismen auf zwei ge\-gen\-"uber\-lie\-gen\-den Kanten sind alle in $\mathscr C^\dagger$ beziehungsweise $\mathscr C^\shriek$ kommutativen R"uckholquadrate von $\mathscr C$ Verflechtungsquadrate; \item[Eindeutiges Vervollst"andigen:] "Uber einem erlaubten Basisquadrat kann jedes partielle Quadrat von $\mathscr C$ mit $\dagger$-kar\-te\-si\-schen Horizontalen, dem nur die linke Vertikale fehlt, auf genau eine Weise zu einem Verflechtungsquadrat erg"anzt werden. Wir sagen dann, die so erg"anzte linke Vertikale entstehe durch {\bf Zur"uckholen} der rechten Vertikale "uber dem vorgegebenen Basisquadrat. \end{description} \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Eine {\bf pr"averflochtene Winkelfaserung} ist eine Winkelfaserung mit einer Regulierung der Basis und einer Regulierung der Faser, die zusammen eine Pr"averflechtung bilden. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine pr"averflochtene Winkelfaserung kann es "uber erlaubten Quadraten der Basis, die zwei parallele Eigmorphismen in den Kanten haben und nicht kommutieren, unm"oglich Verflechtungsquadrate geben. Wir k"onnten derartige Quadrate also ohne Schaden f"ur das weitere Vorgehen aus der Regulierung der Basis entfernen, aber das ist f"ur uns im weiteren nicht relevant. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Pr"averflechtung zu Bifaserung}] In der Winkelfaserung zu einer Bifaserung $\mathscr G\ra \mathscr T$ nach \ref{WFBI} bilden die kommutativen R"uckholquadrate in der Faser "uber den kommutativen Quadraten als Regulierung der Basis stets eine Pr"averflechtung.\label{PFWI} Die meisten der im folgenden betrachteten Pr"averflechtungen erhalten wir, indem wir derartige Pr"averflechtungen einschr"anken und lokalisieren. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Sei $F : \mathscr G \rightarrow \mathscr T$ eine Faserung und sei in der Basis $\mathscr T$ ein %\nichtfinal{(N"otig?) r"uckzugstabiles} multiplikatives System $\mathscr T^\shriek\subset \mathscr T$ ausgezeichnet. Unter einem {\bf faserr"uckzugstabilen multiplikativen System} $\mathscr G^\shriek$ {\bf "uber} $\mathscr T^\shriek$\index{faserr"uckzugstabil!"uber anderem System} verstehen wir ein multiplikatives System $\mathscr G^\shriek\subset \mathscr G$ mit $F(\mathscr G^\shriek)\subset \mathscr T^\shriek$ und mit der Eigenschaft, da"s f"ur jede Hochhebung nach $\mathscr G$ eines kartesischen Quadrats in $\mathscr T$ mit vertikalen $\mathscr T^\shriek$-Pfeilen, im Diagramm links, zu einem kommutativen Quadrat\label{KKFuux} in $\mathscr G$, im Diagramm rechts, mit den Pfeilen nach rechts kartesisch und dem rechten vertikalen Pfeil nach unten in $\mathscr G^\shriek$ %@{_{(}.>} \begin{displaymath} \xymatrix{\kart W\ar@{..>}[r] \ar@{-->}[d]&X\ar@{-->}[d] &&\mathcal E\ar@{_{(}.>}[r] \ar@{-->}[d]_?&\mathcal F\ar@{-->}[d]\\ Z \ar@{..>}[r] &Y && \mathcal H\ar@{_{(}.>}[r] &\mathcal G} \end{displaymath} auch der durch die Kommutativit"at des Diagramms induzierte linke vertikale Pfeil, im Diagramm mit $?$ markiert, zu $\mathscr G^\shriek$ geh"ort. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Pr"averflechtung zu faserr"uckzugstabilem System}] Sei eine Faserung $\mathscr G \rightarrow \mathscr T$ gegeben und sei $\mathscr T^\shriek\subset \mathscr T$ ein multiplikatives System. Wir erg"anzen als $\mathscr T^{\op{e}}$ das kleinste multiplikative System, das also nur aus den Identit"aten besteht, und bilden den Tripelwinkel zu $\mathscr T^{\op{e}}\subset \mathscr T^\shriek\subset \mathscr T$. Gegeben ein faserr"uckzugstabiles multiplikatives System $\mathscr G^\shriek\subset \mathscr G$ "uber $\mathscr T^\shriek$ nach \ref{KKFuux}, f"ur das $F:\mathscr G^\shriek\ra\mathscr T^\shriek$ eine Kofaserung ist, erhalten wir eine pr"averflochtene Austauschsituation $$(\mathscr G\ra \mathscr T\supset \mathscr T^\shriek\leftarrow \mathscr G^\shriek, \mathscr T^{\op{e}})$$ "uber der kartesisch regulierten Basis, indem wir alle kommutativen R"uckholquadrate "uber erlaubten Basisquadraten als Verflechtungsquadrate nehmen.\label{pfAT} Dasselbe gilt, wenn wir f"ur $\mathscr T^{\op{e}}\subset \mathscr T^\shriek$ ein beliebiges multiplikatives System nehmen, "uber dem alle $\mathscr G$-Morphismen bereits zu $\mathscr G^\shriek$ geh"oren. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Pr"averflechtung im Kontext der abelschen Garben}] In unserer Opgarbenfaserung $\op{Ab}_{\sslash \op{Top}}\ra \op{Top}$ aus \eref{GMab}{TG} bilden die Schreimorphismen "uber stetigen Abbildungen nach "Ubung \eref{ReOp}{TG} ein faserr"uckzugstabiles multiplikatives System\label{ReO} "uber der vollen Basis $\mathscr B=\mathscr B^\shriek=\op{Top}$. Beschr"anken wir uns auf separierte Morphismen $\mathscr B^\shriek=\op{Top}^{\op{s}}$, so bilden die Schreimorphismen wie bereits in \ref{WFag} erw"ahnt eine Kofaserung und wir erhalten eine Pr"averflechtung der Austauschsituation %\nichtfinal{(Regulierung? Terminologie? Kartesisch regulierte Pr"averflechtung?)} $$\big(\op{Ab}_{\sslash{\op{Top}}}\ra \op{Top} \supset\op{Top}^{\op{s}} \leftarrow \op{Ab}^\shriek_{\sslash{\op{Top}}^{\op{s}}},\op{Top}^{\op{es}}\big)$$ aus \ref{WFag} durch die kommutativen R"uckholquadrate "uber den kartesischen Quadraten der Basis. Ebenso erhalten wir allgemeiner nach "Ubung \ref{ReOpM} eine Pr"averflechtung der Austauschsituation der Modulgarben $$\big(\op{Ab}_{\sslash{\op{Ger}}}\ra \op{Ger} \supset\op{Ger}^{\op{s}} \leftarrow \op{Ab}^\shriek_{\sslash{\op{Ger}}^{\op{s}}},\op{Ger}^{\op{es}}\big)$$ durch alle kommutativen R"uckholquadrate "uber denjenigen kommutativen Quadraten der Basis, die als Quadrate von topologischen R"aumen kartesisch sind. %\nichtfinal{(Kartesisch-kommutative % Regulierung?)} \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Flechtbasiswechsel in pr"averflochtenen Winkelfaserungen}] Gegeben eine pr"averflochtene Winkelfaserung gibt es f"ur jedes erlaubte Basisquadrat, im Diagramm links, und jedes Objekt $\mathcal F$ in der Faser "uber der oberen rechten Ecke, im Diagramm rechts, \begin{displaymath} \xymatrix{ W\ar@{-->}[dd]_g\ar@{..>}[rrr]^q&&&X \ar@{-->}[dd]^f &&q^\dagger \mathcal F\ar@{-->>}[d]\ar@{_{(}.>}[rr]&&\mathcal F \ar@{-->>}[dd] \\ && &&&g_\shriek q^\dagger \mathcal F\ar[dr]&&\\ Z\ar@{..>}[rrr]^p&&&Y&&&p^\dagger f_\shriek\mathcal F\ar@{_{(}.>}[r]&f_\shriek\mathcal F } \end{displaymath} genau einen Morphismus $g_{\shriek} q^\dagger\mathcal F \ra p^\dagger f_{\shriek}\mathcal F $ in der Faser "uber $Z$ derart, da"s das rechte Quadrat mit Transportmorphismen von R"uckzug und Schreivorschub als allen anderen Morphismen ein Verflechtungsquadrat wird. Diese Morphismen bilden aufgrund der Funktorialit"at von Verflechtungsquadraten \ref{FVQN}, die wir im Anschlu"s diskutieren, sogar in ihrer Gesamtheit eine Transformation\label{eaBAN} $\op{vf}: g_{\shriek} q^\dagger\RA p^\dagger f_{\shriek}$ und in der opponierten Notation $$\op{vf}: p^* f_!\RA g_! q^*$$ Wir nennen sie den {\bf Flechtbasiswechsel}\index{Flechtbasiswechsel} unserer pr"averflochtenen Winkelfaserung und notieren sie $\op{vf}$\index{vf@$\op{vf}$ Verflechtung} wie \glqq Verflechtung\grqq. Sind $f,g$ beide Eig\-mor\-phis\-men, so stimmt der Flechtbasiswechsel nach der Verflechtung durch Kommutativit"at aus den Axiomen mit dem Basiswechsel \eref{BaWW}{TG} der Faserung $\mathscr C^\dagger\ra \mathscr B^\dagger$ "uberein. Sind $p,q$ beide Eigmorphismen, so stimmt er aus demselben Grund mit dem Basiswechsel der Kofaserung $\mathscr C^\shriek\ra \mathscr B^\shriek$ "uberein. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Abstrakter Basiswechsel als Flechtbasiswechsel}] In der Winkelfaserung zu einer Bifaserung $\mathscr G\ra \mathscr T$ aus \ref{WFBI} bilden wie bereits bemerkt die kommutativen R"uckholquadrate von $\mathscr G$ eine Pr"averflechtung "uber der durch die kommutativen Quadrate regulierten Basis. Der Flechtbasiswechsel f"allt hier mit dem abstrakten Basiswechsel zusammen. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Kommutativit"at durch Pr"averflechtung}] Gegeben eine pr"averflochtene Winkelfaserung sind die Verflechtungsquadrate "uber einem erlaubten Basisquadrat mit Eig\-mor\-phis\-men auf gegen"uberliegenden horizontalen beziehungsweise vertikalen Kanten der Basis genau die kommutativen R"uckholquadrate.\label{vdLKN} In der Tat sind diese Quadrate nach Annahme Verflechtungsquadrate und die Forderung der eindeutigen Erg"anzbarkeit zeigt dann, da"s es "uber besagten erlaubten Basisquadraten keine weiteren Verflechtungsquadrate geben kann. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Funktorialit"at von Verflechtungsquadraten}] Gegeben eine pr"averflochtene Winkelfaserung l"a"st sich jeder Morphismus zwischen den rechten Vertikalen zweier Verflechtungsquadrate "uber einem vorgegebenen erlaubten Basisquadrat auf genau eine Weise zu einem Morphismus zwischen den beiden Verflechtungsquadraten fortsetzen. Um das einzusehen, betrachten wir das Diagramm\label{FVQN} \begin{displaymath} \xymatrix{ \mathcal E'\ar@{-->}[ddd] \ar@{_{(}.>}[rrr]&&& \mathcal F'\ar@{-->}[ddd] \\ &\mathcal E\ar@{-->}[d]\ar[ul]\ar@{_{(}.>}[r]& \mathcal F\ar@{-->}[d]\ar[ur]& \\ &\mathcal H\ar@{_{(}.>}[r]\ar[dl]&\mathcal G\ar[dr]& \\ \mathcal H'\ar@{_{(}.>}[rrr]&&& \mathcal G'} \end{displaymath} Beide Quadrate sind Verflechtungsquadrate nach Annahme. Die durchgezogenen Pfeile stellen Morphismen "uber Identit"aten der Basis dar. Das rechte $\mathcal F\mathcal G$-Trapez ist kommutativ nach Annahme und stellt unseren Morphismus zwischen den rechten Vertikalen dar. Das obere $\mathcal E\mathcal F$-Trapez wird durch genau einen Morphismus $\mathcal E\ra \mathcal E'$ kommutativ gemacht, da nach Annahme $\mathcal E'\ra \mathcal F'$ kartesisch ist. Das untere $\mathcal H\mathcal G$-Trapez wird durch genau einen Morphismus $\mathcal H\ra \mathcal H'$ kommutativ gemacht, da nach Annahme $\mathcal H'\ra \mathcal G'$ kartesisch ist. Es bleibt zu zeigen, da"s dann auch das rechte $\mathcal E\mathcal H$-Trapez kommutiert. Nach der Charakterisierung von Verflechtungsquadraten durch Kommutativit"at \ref{vdLKN} sind aber das obere $\mathcal E\mathcal F$-Trapez und das untere $\mathcal H\mathcal G$-Trapez beide Verflechtungsquadrate. Aufgrund der Verklebbarkeit von Verflechtungsquadraten sind dann auch das Teildiagramm mit den vertikalen Kanten $((\mathcal E\mathcal H\mathcal H'),(\mathcal F\mathcal G\mathcal G'))$ sowie das Teildiagramm mit den vertikalen Kanten $((\mathcal E\mathcal E'\mathcal H'),(\mathcal F\mathcal F'\mathcal G'))$ Verflechtungsquadrate. Aus der Gleichheit der rechten Vertikalen folgt dann mit der Eindeutigkeit der Erg"anzung die Gleichheit der zur"uckgeholten Vertikalen und so die Kommutativit"at im rechten $\mathcal E\mathcal H$-Trapez. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Transformation vom Vorschub zum Schreivorschub}] Gegeben sei eine pr"averflochtene Austauschsituation $(\mathscr G\ra \mathscr T\supset \mathscr T^\shriek\leftarrow \mathscr G^\shriek, \mathscr T^{\op{e}})$. Sei $f:X\ra Y$ ein Schreimorphismus der Basis derart, da"s das Faserprodukt $X\times_YX$ existiert und die Diagonale $\Delta=\Delta_f:X\ra X\times_Y X$ ein Eigmorphismus ist und die Projektionen $X\times_Y X\ra X$ ihrerseits wieder Schreimorphismen sind und\label{TegVN} \begin{displaymath} \xymatrix{ X\times_YX \ar@{-->}[d]_{\op{pr}_2}\ar@{..>}[r]^-{\op{pr}_1}& X\ar@{-->}[d]^f \\ X\ar@{..>}[r]^f& Y} \end{displaymath} ein erlaubtes Basisquadrat ist. Dann erhalten wir mit der Notation $\op{Id}$ f"ur den Identit"atsfunktor eine Transformation $\op{Id}\RA f^\dagger f_{\shriek}$ als die Komposition $$\op{Id}=\op{Id}\circ\op{Id} \siRa\op{id}_\shriek\op{id}^\dagger\siRa\op{pr}_{2{\shriek}}\Delta_{\shriek}\Delta^\dagger \op{pr}_{1}^\dagger\RA \op{pr}_{2{\shriek}}\op{pr}_{1}^\dagger \RA f^\dagger f_{\shriek}$$ mit der Adjunktion $(\Delta_{\shriek},\Delta^\dagger)$ f"ur den Eigmorphismus $\Delta$ im vorletzten Schritt und Flechtbasiswechsel \ref{eaBAN} im letzten Schritt. Besitzt $f^\dagger$ einen Linksadjungierten $f_\dagger$, so erhalten wir auf diese Weise sogar eine Transformation $f_\dagger\RA f_{\shriek}$. Sie entspricht einer Transformation $$f_!\RA f_*$$ von Funktoren der opponierten Fasern, mit der wir es in den Anwendungen meist zu tun haben. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ein R"uckholquadrat in einer Winkelfaserung hei"se {\bf beidseitig kokartesisch},\index{kokartesisch!beidseitig}\label{vKO} wenn seine beiden Vertikalen kokartesisch sind. Eine Pr"averflechtung einer Winkelfaserung nennen wir eine {\bf Verflechtung},\index{Verflechtung} wenn jedes Verflechtungsquadrat mit kokartesischer rechter Vertikale beidseitig kokartesisch ist, wenn also in anderen Worten das Zur"uckholen kokartesische Vertikalen zu kokartesischen Vertikalen macht. In einer verflochtenen und nicht nur pr"averflochtenen Winkelfaserung sind per definitionem alle Flechtbasiswechsel Isomorphismen $\op{vf}: g_{\shriek} q^\dagger\siRa p^\dagger f_{\shriek}$ und in der opponierten Notation $$\op{vf}:p^* f_! \siRa g_! \;\!q^*$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Es wird im folgenden im Wesentlichen darum gehen, in speziellen Situationen die in trivialer Weise pr"averflochtene Winkelfaserung zu einer Bifaserung nach \ref{PFWI} so einzuschr"anken und zu lokalisieren, da"s sie eine Verflechtung wird. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Eine besonders einfache M"oglichkeit, aus einer pr"averflochtenen Winkelfaserung eine verflochtene Winkelfaserung zu machen, besteht darin, die Regulierung der Basis zu verkleinern und als neue Regulierung der Basis nur die Basisquadrate der alten Regulierung zuzulassen, "uber denen jedes Quadrat unserer Pr"averflechtung mit kokartesischer Ausgangskante beidseitig kokartesisch ist.\label{ekbk} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ist in einer verflochtenen Winkelfaserung sowohl die Faserung als auch die Kofaserung jeweils eine Bifaserung und notieren wir die zugeh"origen adjungierten Paare $(f_\dagger,f^\dagger)$ und $(g^\shriek, g_\shriek)$, so liefert der Basiswechsel $g_\shriek q^\dagger\siRa p^\dagger f_\shriek$ "uber einem erlaubten Basisquadrat $fq=pg$ durch "Ubergang zu den Linksadjungierten, wenn sie denn existieren, eine Isotransformation $f^\shriek p_\dagger\siRa q_\dagger g^\shriek$ alias in der opponierten Notation $$ q_* g^!\siRa f^! p_*$$ Im Fall einer Pr"averflechtung sind beides nur Transformationen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ist in einer verflochtenen Winkelfaserung die Kofaserung eine Bifaserung, so liefert der Inverse $\op{vf}^{-1}: p^\dagger f_\shriek \siRa g_\shriek q^\dagger$ des Basiswechsels "uber einem erlaubten Basisquadrat durch\label{aBW} Vorschalten des Linksadjungierten $f^\shriek$ und Nachschalten des Linksadjungierten $g^\shriek$ zusammen mit der Einheit und Koeinheit der Adjunktionen eine Transformation $g^\shriek p^\dagger\RA q^\dagger f^\shriek$ alias $$q^*f^!\RA g^!p^*$$ Diese Konstruktion gelingt im\label{FleB} Fall einer Pr"averflechtung nicht mehr. \end{Bemerkungl} % \begin{Beispiel}[\textbf{Verflechtung f"ur diskrete gekringte R"aume}] % "Uber dem Tripelwinkel des Tripels % $\op{Gekd}\supset \op{Gekd}\supset \op{Gekd}^{\op{e}}$ % der diskreten gekringten R"aume % mit Abbildungen mit endlichen Fasern als Eigmorphismen und % mit der kartesischen Regulierung\label{AtaNr} % bilden die kommutativen R"uckholquadrate in der Austauschsituation % $$\big(\op{Ab}_{\sslash{\op{Gekd}}}\ra \op{Gekd}\supset\op{Gekd} \leftarrow \op{Ab}^\shriek_{\sslash{\op{Gekd}}},\op{Gekd}^{\op{e}}\big)$$ % eine Verflechtung. Der Beweis l"auft im wesentlichen auf die Aussage hinaus, % da"s Skalarerweiterungen mit direkten Summen vertauschen. % \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Verflechtung f"ur Moduln}] Wir erinnern aus \eref{mobiV}{TG} die Modulbifaserung in ihrer opponierten Gestalt $\op{Ab}_{\sslash{\op{Ringo}}}\ra \op{Ringo}$. Wie in \eref{BWri}{TG} besprochen sind die Basiswechsel Isomorphismen "uber allen kommutativen Quadraten \begin{displaymath} \xymatrix{ D\ar[d]_g\ar[r]^q & A\ar[d]^f\\ C\ar[r]^p & B } \end{displaymath} der Basis $\op{Ringo}$ derart, da"s die Multiplikation einen Isomorphismus von abelschen Gruppen $C\otimes_B A\sira D$ induziert. Wir erhalten also\label{VfM} ein Verflechtung, wenn wir in der Basis diejenige Regulierung w"ahlen, in der gerade diese Quadrate erlaubt sind. Wir nennen sie die {\bf tensorielle Regulierung}.\index{Regulierung!tensorielle} Beschr"anken wir uns in der Basis auf kommutative Ringe, genauer deren opponierte Kategorie $\op{Kringo}$, so restringiert die tensorielle Regulierung zur kartesischen Regulierung und wir erhalten sogar eine Trennverflechtung, vergleiche \ref{TreVRM}. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Verflechtung f"ur diskrete geringte R"aume}] Wir betrachten den Tripelwinkel zum Tripel $\op{Gerd}\supset \op{Gerd}\supset \op{Gerd}^{\op{e}}$ der diskreten geringten R"aume mit Abbildungen mit endlichen Fasern als Eigmorphismen. Als \hyperref[ReGu]{Regulierung} der Basis w"ahlen wir\label{AtaNr} alle Quadrate \begin{displaymath} \xymatrix{ (W;\mathcal D)\ar@{-->}[d]_g\ar@{..>}[r]^q & (X;\mathcal A)\ar@{-->}[d]^f\\ (Z;\mathcal C)\ar@{..>}[r]^p & (Y;\mathcal B) } \end{displaymath} mit der Eigenschaft, da"s die zugrundeliegenden diskreten Mengen ein kartesisches Quadrat bilden und da"s die Multiplikation f"ur alle $w\in W$ mit der Notation $v\pdef fq=pg$ einen Isomorphismus von abelschen Gruppen $$\mathcal C_{g(w)}\otimes_{\mathcal B_{v(w)}}\mathcal A_{q(w)}\sira \mathcal D_w$$ induziert. Wir nennen sie die {\bf kartesisch-tensorielle Regulierung}.\index{Regulierung!kartesisch-tensorielle} In Bezug auf diese Regulierung bilden die kommutativen R"uckholquadrate in der Austauschsituation $$\big(\op{Ab}_{\sslash{\op{Gerd}}}\ra \op{Gerd}\supset\op{Gerd} \leftarrow \op{Ab}^\shriek_{\sslash{\op{Gerd}}},\op{Gerd}^{\op{e}}\big)$$ eine Verflechtung. Der Beweis l"auft im wesentlichen auf die Aussage hinaus, da"s Ska\-lar\-er\-wei\-te\-run\-gen mit direkten Summen vertauschen. Beschr"anken wir uns auf einpunktige geringte R"aume in der Basis, so landen wir wieder beim zuvor besprochenen Fall \ref{VfM}. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Verflechtung f"ur topologische R"aume}] "Uber dem Tripelwinkel zum Tripel $\op{Top}\supset \op{Top}^{\op{les}}\supset \op{Top}^{\op{es}}$ mit seiner kartesischen Regulierung\label{AtaN} bilden die kommutativen R"uckholquadrate in der Austauschsituation $$\big(\op{Ab}_{\sslash{\op{Top}}}\ra \op{Top}\supset\op{Top}^{\op{les}} \leftarrow \op{Ab}^\shriek_{\sslash{\op{Top}}^{\op{les}}},\op{Top}^{\op{es}}\big)$$ nach "Ubung \eref{ReOp}{TG} und les-Basiswechsel \eref{BaWeax}{TG} eine Verflechtung. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Schreivorschub unter Monomorphismen}] Gegeben sei eine verflochtene Austauschsituation $(\mathscr G\ra \mathscr T\supset \mathscr T^\shriek\leftarrow \mathscr G^\shriek, \mathscr T^{\op{e}})$ "uber einer kartesisch regulierten Basis. Einen Schreimorphismus der Basis, der au"serdem ein Monomorphismus ist, nennen wir einen {\bf Schreimonomorphismus}.\index{Schreimonomorphismus} Gegeben ein Schrei\-mo\-no\-mor\-phis\-mus $i:A\ra X$ der Basis ist das Diagramm\label{SUS} \begin{displaymath} \xymatrix{ A\ar[rr]^-{\op{id}} \ar[d]_{\op{id}} &&A \ar[d]^{{i}} \\ A\ar[rr]^-{i}&& X} \end{displaymath} kartesisch und Flechtbasiswechsel liefert damit f"ur alle $\mathcal F$ in der Faser "uber $A$ einen Isomorphismus $\mathcal F\sira i^\dagger i_\shriek \mathcal F$ alias $$\op{vf}:i^*i_!\mathcal F\sira \mathcal F$$ Dasselbe gilt f"ur eine beliebige Regulierung der Basis und solche Schreimorphismen $i:A\ra X$ der Basis, f"ur die das obige Quadrat eben ein erlaubtes Basisquadrat ist. Wir nennen sie die {\bf erlaubten Schreimonomorphismen}\index{Schreimonomorphismus!erlaubter} unserer Regulierung. Im Fall einer Pr"averflechtung bleibt unser Morphismus sinnvoll definiert, mu"s aber kein Isomorphismus mehr sein. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Monomorphismen f"ur Kringmoduln}] In $\op{Kringo}$ sind alle diejenigen Morphismus Monomorphismen, deren Kringhomomorphismus in die Gegenrichtung $B\ra A$ als eine Surjektion gefolgt von einer Lokalisierung geschrieben werden kann. In der verflochtenen Austauschsituation der Moduln "uber Kringen \ref{VfM} liefern unsere allgemeinen Erkenntnisse \ref{SUS} "uber den Schreivorschub unter Schreimonomorphismen f"ur jeden $A$-Modul $M$ einen Isomorphismus $$A\otimes_B(\op{res}_A^BM) \sira M$$ \end{Beispiel} %\begin{Beispiel}[\textbf{R"uckzug schreikokartesischer Schreimorphismen}] % In der Gar\-ben\-op\-fa\-se\-rung % $\op{Ab}_{\sslash \op{Top}}\ra \op{Top}$ aus \eref{GaKoFa}{TG} % bilden die schreikokartesischen Schreimorphismen\label{RSko} %nach les-Basiswechsel \ref{BaWeax} %ein faserr"uckzugstabiles multiplikatives System %"uber dem multiplikativen System der les-Mor\-phis\-men. %In diesem Fall ist $\mathscr B=\op{Top}$ und %$\mathscr B^\shriek=\op{Top}^{\op{les}}$. %\end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Schreir"uckzug unter Monomorphismen}] Nun gehen wir von einer Aus\-tausch\-si\-tua\-tion $(\mathscr G\ra \mathscr T\supset \mathscr T^\shriek \leftarrow \mathscr G^\shriek, \mathscr T^{\op{e}})$ mit kartesisch regulierter Verflechtung aus. Gegeben ein Schreimonomorphismus $i:A\ra X$ derart, da"s $i_!$ einen Rechtsadjungierten $i^!$ besitzt, und $\mathcal G \in \mathscr G_{/X}$ liefert das Anwenden auf $i^! \mathcal G$ unseres Isomorphismus aus \ref{SUS} einen Isomorphismus $i^*i_!i^!\mathcal G\sira i^!\mathcal G$. Das Anwenden von $i^*$ auf die Koeinheit der Adjunktion $i_!i^!\mathcal G\ra \mathcal G$ liefert andererseits einen Morphismus $i^*i_!i^!\mathcal G\ra i^*\mathcal G$. Zusammen erhalten wir so einen Morphismus\label{Fosf} $$\op{avf}:i^!\mathcal G\ra i^*\mathcal G$$ Dasselbe gilt allgemeiner f"ur eine beliebige Regulierung der Basis einen erlaubten Schreimonomorphismus $i$. Mit $\op{avf}$\index{avf@$\op{avf}$ Morphismen, die aus Adjunktionen, Verflechtungen und Identifikationen entstehen} bezeichnen wir hier und im folgenden Morphismen, die aus Adjunktionen, Verflechtungen und Identifikationen entstehen, also aus dem vollen Fundus einer verflochtenen Aus\-tausch\-si\-tua\-tion mit Adjungierten. Haben wir nur eine Pr"averflechtung, so scheitert diese Konstruktion im allgemeinen daran, da"s dann der Morphismus $i^*i_!i^!\mathcal G\ra i^!\mathcal G$ aus \ref{SUS} kein Isomorphismus mehr sein mu"s. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Im Fall der verflochtenen Austauschsituation der abelschen Garben hat im Fall einer lokal abgeschlossenen Einbettung $b:Z\hra X$ der Schreivorschub $b_!$ einen Rechtsadjungierten $b^!$ und die zugeh"orige Transformation $b^!\RA b^*$ haben wir bereits in \eref{TFBB}{TG} diskutiert. Im Fall einer offenen Einbettung ist sie ein Isomorphismus. \end{Beispiel} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Ist in \ref{TegVN} der Morphismus $f$ bereits selbst ein Eigmorphismus, so ist unsere Komposition in \ref{TegVN} die Einheit der Adjunktion $(f_\shriek, f^\dagger)$ und der induzierte Morphismus ist die Identit"at $f_\dagger=f_\shriek$ aus den Definitionen. Ich habe diese "Ubung noch nicht gemacht. \end{Ubung} \subsection{Projektionsformel} \begin{Bemerkungl} Wir erinnern aus \ref{NatTT} die Morphismen $ \op{adf}:f_{*} \mathcal F \otimes \mathcal G \rightarrow f_{*} (\mathcal F \otimes f^{*} \mathcal G) $ f"ur Trennfaserungen mit Vorschub. Im Fall der konstanten Abbildung eines topologischen Raums $X$ auf den Einpunktraum spezialisiert sie zu einem Morphismus $$\op{adf}:\Gamma \mathcal F \otimes G \ra \Gamma (\mathcal F \otimes G)$$ f"ur jede abelsche Garbe $\mathcal F\in\op{Ab}_{/X}$ und jede abelsche Gruppe $G$. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Tensorprodukt und Schnitte mit kompaktem Tr"ager}] Gegeben ein lokal kompakter Hausdorffraum $X$ und\label{TSko} eine abelsche Garbe $\mathcal F$ auf $X$ und eine flache abelsche Gruppe $ G$ induziert $\op{adf}:\Gamma \mathcal F \otimes G \ra \Gamma (\mathcal F \otimes G)$ einen Isomorphismus $$ \Gamma_{!} \mathcal F \otimes G \sira \Gamma_{!} (\mathcal F \otimes G) $$ Ist zus"atzlich $\mathcal F$ \hyperref[komW]{kompaktweich}, so auch $\mathcal F \otimes G$. \end{Proposition} \begin{Bemerkunge} Analoges gilt mit demselben Beweis f"ur jeden Ring $k$, jede Garbe von $k$-Rechtsmoduln $\mathcal F$ und jeden flachen $k$-Modul $G$ mit $\otimes_k$ statt $\otimes$.\label{TSkoM} %\nichtfinal{Wir zeigen Varianten in \ref{GdsaV} und \ref{Gdsa}.} \end{Bemerkunge} \begin{Beispiel} Ich gebe ein Gegenbeispiel im Fall, da"s $ G$ nicht flach ist. Ist etwa $\pi : S^1 \rightarrow \op{pt}$ die Projektion und $\mathcal F$ das nichtkonstante lokale System auf $S^1$, das halmweise frei ist "uber $\DZ$ von Rang Eins, so ist $\mathcal F \otimes_\mathbb Z \mathbb Z / 2 \mathbb Z$ konstant mit $\Gamma_! (\mathcal F \otimes_{\mathbb Z} \mathbb Z/ 2 \mathbb Z) \cong \mathbb Z/ 2 \mathbb Z$, aber wir haben $\Gamma_! \mathcal F = 0$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Ist in der Situation der Proposition $K \subset X$ ein Kompaktum und bezeichnet $\Gamma_K$ Schnitte mit Tr"ager in $K$, so mu"s unser Isomorphismus keineswegs Isomorphismen $\Gamma_K \mathcal F \otimes G \overset{\sim}{\rightarrow} \Gamma_K (\mathcal F \otimes G)$ induzieren. Ein Gegenbeispiel liefert der flache $\mathbb Z$-Modul $G=\mathbb Q$ und die abelsche Garbe \begin{equation*} \mathcal F = \prod^\infty_{n=1} i_{n\ast}(\mathbb Z / n \mathbb Z)_{[0,1/n]} \end{equation*} f"ur $i_n : [0,1/n] \hookrightarrow \mathbb R$ die Einbettungen. Die Garbe $\mathcal F \otimes_{\mathbb Z} \mathbb Q$ hat nur im Ursprung einen von Null verschiedenen Halm, aber die Garbe $\mathcal F$ hat keine von Null verschiedenen Schnitte mit dem Ursprung als Tr"ager. \end{Beispiel} \begin{proof} Wir beginnen mit der Injektivit"at. Gegeben ein Element $s \in \Gamma_! \mathcal F \otimes G$ mit $ s \mapsto 0$ besitzt jeder Punkt $x \in X$ eine offene Umgebung $U (x)$ mit $s \mapsto 0 \in \mathcal F (U (x)) \otimes G$. Schreiben wir $s = \sum s_\nu \otimes g_\nu$, so "uberdecken endlich viele $U_1, \ldots , U_r$ dieser $U (x)$ die Tr"ager aller $s_\nu$. Nehmen wir als $U_0$ das Komplement der Vereinigung dieser Tr"ager, so liefert das Einschr"anken eine Injektion \begin{equation*} \Gamma_{!}\mathcal F \hookrightarrow \prod^r_{i =0} \mathcal F (U_i) \end{equation*} Sie bleibt eine Injektion nach dem Tensorieren mit unserem flachen $G$ und das zeigt die Injektivit"at. Um die Surjektivit"at zu zeigen, ziehen wir uns zun"achst auf den Fall von kompaktem $X$ zur"uck. Gegeben $s \in \Gamma (\mathcal F \otimes G)$ mit Tr"ager in einem Kompaktum $K$ finden wir stets $U\co X$ offen mit $K\subset U$ und $\bar U$ kompakt. Ist der Fall von kompaktem $X$ bekannt, so finden wir schon mal ein Urbild $\tilde s \in \Gamma (\bar U; \mathcal F) \otimes G$ von $s | \bar U$ und wegen der bereits bewiesenen Injektivit"at gilt $\tilde s \mapsto 0 \in \Gamma (\partial \bar U ; \mathcal F) \otimes G$. Da $G$ flach ist, kommt damit $\tilde s$ von $$\op{ker} \big(\Gamma (\bar U; \mathcal F) \rightarrow \Gamma (\partial \bar U; \mathcal F)\big) \otimes G$$ her und wir finden mit Ausdehnen durch Null auf dem ersten Tensorfaktor das gesuchte Urbild von $s$ in $\Gamma_{!} (X; \mathcal F) \otimes G$. Wir d"urfen also in der Tat ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit $X$ kompakt annehmen. Sei nun also $X$ kompakt und $s \in \Gamma (\mathcal F \otimes G)$. So gibt es eine endliche "Uberdeckung $X = X_1 \cup \ldots \cup X_r$ durch Kompakta und $\tilde s_i \in \mathcal F (X_i) \otimes G$ mit $\tilde s_i \mapsto s| X_i$. Wegen der bereits bewiesenen Injektivit"at haben $\tilde s_i$ und $\tilde s_j$ dasselbe Bild in $\mathcal F (X_i \cap X_j) \otimes G$. Die exakte Sequenz $$ 0\ra \mathcal F (X) \rightarrow \prod \mathcal F (X_i) \rightarrow \prod \mathcal F (X_i \cap X_j) $$ bleibt aber exakt unter dem Tensorieren mit $G$ und erlaubt das Verkleben der $\tilde s_i$ zum gesuchten Urbild $\tilde s \in \mathcal F (X) \otimes G$ von $s$. Um die letzte Aussage zu zeigen, erinnern wir f"ur $K\subset X$ kompakt aus \eref{KWA}{TG}, da"s f"ur kompaktweiches $\mathcal F$ die Restriktion sogar eine Surjektion $\Gamma_!\mathcal F\sra \Gamma(K;\mathcal F)$ liefert. Tensorieren mit $G$ und Anwenden unseres Resultats mit $K$ statt $X$ liefert $$\Gamma_!\mathcal F\otimes G\sra \Gamma(K;\mathcal F)\otimes G \sira \Gamma(K;\mathcal F\otimes G)$$ Da diese Verkn"upfung "uber $\Gamma_!(\mathcal F\otimes G)$ faktorisiert, mu"s auch diese Gruppe surjektiv auf $\Gamma(K;\mathcal F\otimes G)$ abgebildet werden. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine stetige Abbildung $\pi : X \rightarrow Y$ und eine abelsche Garbe $\mathcal G$\label{NatT} auf $Y$ und eine abelsche Garbe $\mathcal F$ auf $X$ liefern unsere allgemeinen Konstruktionen \ref{NatTT} einen Garbenhomomorphismus $\op{adf}: \pi_{\ast} \mathcal F \otimes \mathcal G \rightarrow \pi_{\ast} (\mathcal F \otimes \pi^{\ast} \mathcal G) $. Da"s dieser Homomorphismus im allgemeinen kein Isomorphismus sein kann, zeigt bereits das Beispiel der konstanten Abbildung von einer unendlichen Menge auf einen Punkt. Unser Homomorphismus induziert offensichtlich einen Homomorphismus \begin{equation*} (\pi_{!} \mathcal F) \otimes \mathcal G \rightarrow \pi_{!} (\mathcal F \otimes \pi^{\ast} \mathcal G) \end{equation*} f"ur die Schreivorsch"ube im Sinne von \eref{eiPL}{TG}. Analoges gilt f"ur $\pi$ einen Morphismus von geringten R"aumen und $\mathcal F$ eine Rechtsmodulgarbe und $\mathcal G$ eine Modulgarbe. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Gegeben eine stetige Abbildung nennen wir eine abelsche Garbe auf ihrem Definitionsbereich\label{relkwx} {\bf faserweise kompaktweich},\index{faserweise kompaktweich} \index{kompaktweich!faserweise} wenn ihre Ein\-schr"an\-kung auf jede Faser unserer Abbildung kompaktweich ist. Hei"st unsere Abbildung $f$, so sprechen wir auch pr"aziser von einer {\bf $f$-kompaktweichen} Garbe.\index{kompaktweich!$f$-kompaktweich} Gegeben eine Modulgarbe beziehen wir diese Begriffe auf die zugrundeliegende abelsche Garbe. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Der Begriff einer faserweise kompaktweichen Garbe scheint nur im Fall von les-Abbildungen $f$ n"utzlich zu sein. In diesem Fall zeigen wir in \ref{teL}, da"s jede $f$-kompaktweiche Garbe $f_!$-rechtsazyklisch ist. Die im folgenden gezeigten Zusatzaussagen "uber die Erhaltung der Eigenschaft \glqq faserweise kompaktweich\grqq\ unter verschiedenen R"uckz"ugen werden sich bei der Konstruktion des vollen derivierten Formalismus als hilfreich erweisen. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma} Gegeben eine les-Abbildung ist jeder filtrierende Kolimes von \hyperref[relkwx]{faserweise kompaktweichen} Garben wieder faserweise kompaktweich.\label{klfkw} \end{Lemma} \begin{proof} Kolimites vertauschen mit dem R"uckzug abelscher Garben, ja von Modulgarben, da dieser Funktor einen Rechtsadjungierten hat. Insbesondere vertauschen Kolimites mit der Einschr"ankung auf die Fasern unserer Abbildung und diese sind nach Annahme lokal kompakte Hausdorffr"aume. Da"s filtrierende Kolimites kompaktweicher Garben auf lokal kompakten Hausdorffr"aumen wieder kompaktweich sind, wissen wir aus \eref{LKWG}{TG}. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Flache Projektionsformel\index{Projektionsformel!flache}}] Gegeben $\pi: X \ra Y$ eine les-Ab\-bil\-dung, $\mathcal G\in\op{Ab}_{/Y}$ eine flache abelsche Garbe und $\mathcal F\in\op{Ab}_{/X}$ eine weitere abelsche Garbe\label{ProFor} ist die Abbildung aus \ref{NatT} ein Isomorphismus \begin{equation*} ( \pi_{!} \mathcal F) \otimes \mathcal G \sira \pi_{!} (\mathcal F \otimes \pi^{\ast} \mathcal G) \end{equation*} Ist zus"atzlich $\mathcal F$ faserweise kompaktweich, so ist auch $\mathcal F \otimes \pi^{\ast}\mathcal G$ faserweise kompaktweich. \end{Korollar} \begin{proof} Wir d"urfen uns mit les-Basiswechsel \eref{BaWeax}{TG} auf den Fall zur"uckziehen, da"s $Y$ ein Punkt ist. In diesem Fall haben wir die Aussagen bereits als \ref{TSko} bewiesen. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Lokal abgeschlossene Projektionsformel f"ur abelsche Garben}] Ist $b:X\ra Y$ eine lokal abgeschlossene Einbettung, so erkennt man auf den Halmen, da"s unser Morphismen sogar f"ur beliebige abelsche Garben $\mathcal F$ auf $X$ und $\mathcal G$ auf $Y$ ein Isomorphismus $( b_{!} \mathcal F) \otimes \mathcal G \sira b_{!} (\mathcal F \otimes b^{\ast} \mathcal G)$ ist. Damit erhalten wir nach \ref{rVDe} f"ur beliebige abelsche Garben Isomorphismen\label{HlKp} $$ b^!(\mathcal G {\Rrightarrow} \mathcal H)\sira b^*\mathcal G{\Rrightarrow} b^!\mathcal H\quad \quad b_\ast (\mathcal F{\Rrightarrow} b^! \mathcal E) \sira b_! \mathcal F{\Rrightarrow} \mathcal E$$ und der zweite dieser Isomorphismen induziert, wenn wir $\mathcal F\pdef \DZ_X$ einsetzen und $b^*$ anwenden, einen Isomorphismus $$b^! \mathcal E\sira b^*(b_!\DZ_X{\Rrightarrow}\mathcal E)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{\'Etale Projektionsformel f"ur abelsche Garben}] Ist $f$ \'etale, so haben wir in "Ubung \ref{ErIh} die Vertr"aglichkeit von $f^*$ mit internem Hom gezeigt, in Formeln $f^* (\mathcal G{\Rrightarrow} \mathcal E)\sira (f^* \mathcal G{\Rrightarrow} f^* \mathcal E)$ alias eine Isotransformation $$f^*\circ (\mathcal G{\Rrightarrow})\siRa (f^* \mathcal G{\Rrightarrow})\circ f^*$$ Nun besitzt dann $f^*$ nach \eref{AdInbh}{TG} einen Linksadjungierten $f_{[!]}$, der f"ur $f$ separiert mit dem Schreivorschub $f_!$ "ubereinstimmt. Durch "Ubergang zu den\label{EPAg} Linksadjungierten erhalten wir mithin eine Isotransformation $$f_{[!]}\circ (f^* \mathcal G\otimes)\siRa (\mathcal G\otimes)\circ f_{[!]}$$ Das zeigt, da"s die Projektionsformel f"ur abelsche Garben und separiertes \'etales $f$ auch gilt, ohne da"s wir $\mathcal G$ als flach annehmen m"u"sten, und da"s f"ur $f$ nur \'etale eine analoge Formel gilt mit $f_{[!]}$ statt $f_!$. \end{Bemerkungl} \begin{Korollar}[\textbf{Flache Projektionsformel f"ur Modulgarben\index{Projektionsformel!f"ur Modulgarben}}] Gegeben ein Morphismus $\pi: (X;\mathcal A) \ra (Y;\mathcal B)$ von geringten R"aumen "uber einer les-Ab\-bil\-dung $\pi: X \ra Y$, ein flacher $\mathcal B$-Modul $\mathcal G$ und ein $\mathcal A$-Rechtsmodul $\mathcal F$ ist der Morphismus aus \ref{NatT} ein Isomorphismus \begin{equation*} ( \pi_{!} \mathcal F) \otimes_{\mathcal B} \mathcal G \sira \pi_{!} (\mathcal F \otimes_{\mathcal A} \pi^{\ast} \mathcal G) \end{equation*} Ist zus"atzlich $\mathcal F$ faserweise kompaktweich, so ist auch $\mathcal F \otimes_{\mathcal A} \pi^{\ast}\mathcal G$ faserweise kompaktweich.\label{PfV} Sind unsere R"aume sogar gekringte R"aume, so ist unser Morphismus ein Isomorphismus von $\mathcal B$-Moduln. \end{Korollar} \begin{Bemerkungl} Hier ist $\pi_!$ links als Schreivorschub von Modulgarben zu verstehen, als da hei"st als der Schreivorschub von abelschen Garben mit seiner offensichtlichen Struktur als $\mathcal B$-Rechtsmodul, und $\pi^*$ als der Modulgarbenr"uckzug, als da hei"st der R"uckzug abelscher Garben gefolgt von der Skalarerweiterung zu $\mathcal A$. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir d"urfen uns mit les-Basiswechsel \eref{BaWeax}{TG} auf den Fall zur"uckziehen, da"s $Y$ ein Punkt ist. In diesem Fall haben wir die Aussagen bereits als \ref{TSkoM} bewiesen. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Lokal abgeschlossene Projektionsformel f"ur Modulgarben}] Wie im Fall abelscher Garben \ref{HlKp} sind diese Morphismen im Fall einer lokal abgeschlossenen Einbettung $b$ stets Isomorphismen und wir erhalten daraus Isomorphismen\label{SRZgg} $$ b^!(\mathcal G {\Rrightarrow} \mathcal H)\sira b^*\mathcal G{\Rrightarrow} b^!\mathcal H\quad \quad b_\ast (\mathcal F{\Rrightarrow} b^! \mathcal E) \sira b_! \mathcal F{\Rrightarrow} \mathcal E$$ von $\mathcal A$-Rechtsmoduln beziehungsweise $\mathcal B$-Moduln f"ur beliebige abelsche Garben $\mathcal H,\mathcal E$ auf $Y,X$. Links meint hier $b^*$ den gew"ohnlichen R"uckzug eines $\mathcal B$-Moduls zu einem $\mathcal A$-Modul und $b^!$ den Schreir"uckzug einer Garbe von $\mathcal B$-Rechtsmoduln zu einer Garbe von $\mathcal A$-Rechtsmoduln, der ausgeschrieben werden kann als ein Schreir"uckzug von abelschen Garben mit seiner offensichtlichen Struktur als $b^*\mathcal B$-Rechtsmodul gefolgt von der weniger "ublichen Erweiterung der Skalare \glqq durch Induktion\grqq\ mit $\mathcal A{\Rrightarrow}_{-b^*\mathcal B}$ zu einem $\mathcal A$-Rechtsmodul, wobei die $\mathcal A$-Operation von der Linksoperation von $\mathcal A$ auf sich selber herkommt. \nichtfinal{Das sollte auch f"ur $b$ \'etale separiert funktionieren und f"ur alles, was man als Verkn"upfung von \'etale separiert und abgeschlossenen Einbettungen kriegen kann. In der Tat gelingt es ja auf diskreten R"aumen \ref{TFvrg} und dadurch h"atte man eine gemeinsame Verallgemeinerung. Das mag einmal ein Student ausschreiben.} \end{Bemerkungl} \nichtfinal{Allgemein sollte in gewisser Allgemeinheit wie in \ref{prgut} folgen, da"s in einer pr"averflochtenen Trennaustauschsituation jede Verkn"upfung von projektionsguten Schreimorphismen wieder projektionsgut ist. Ein Morphismus von gekringten R"aumen mit \'etaler separierter zugrundeliegender stetiger Abbildung sollte projektionsgut sein, da er sich schreiben l"a"st als Komposition von nur Raumwechsel und nur Ringwechsel und ersterer Fall in \ref{EPAg} behandelt wurde und letzterer Fall in \ref{ExRZ}. } \begin{Bemerkungl} Im Fall gekringter R"aume erhalten wir mit demselben Argument analoge Isomorphismen f"ur beliebige $\mathcal B$-Moduln $\mathcal E, \mathcal H$, m"ussen aber alle R"uckz"uge und Homgarben im Sinne von Modulgarben verstehen, was wir bei den Homgarben durch einen unteren Index andeuten. Wir erhalten also Isomorphismen $$ b^!(\mathcal G \Rrightarrow_{\mathcal B} \mathcal H)\;\sira\; b^*\mathcal G\Rrightarrow_{\mathcal A} b^!\mathcal H\quad \quad \quad b_\ast (\mathcal F\Rrightarrow_{\mathcal A} b^! \mathcal E) \; \sira\; b_! \mathcal F\Rrightarrow_{\mathcal B} \mathcal E$$ Insbesondere k"onnen wir rechts $\mathcal F=\mathcal A$ nehmen und erhalten f"ur den Schreir"uckzug von Modulgarben einen Isomorphismus $b_*b^!\mathcal E\;\sira \; b_!\mathcal A\Rrightarrow_{\mathcal B} \mathcal E$. Induziert zus"atzlich der Komorphismus eine Surjektion auf den Halmen der Ringgarben, so ist $b_*$ volltreu und die Einheit der Adjunktion eine Isotransformation $ b^*b_*\siRa \op{id}$ und wir erhalten einen Isomorphismus\label{ExRZ} $$b^!\mathcal E\sira b^*(b_!\mathcal A\Rrightarrow_{\mathcal B} \mathcal E)$$ Andernfalls erhalten wir zumindest einen Isomorphismus von abelschen Garben $b^!\mathcal E\sira b^{*,\op{Ab}}(b_!\mathcal A\Rrightarrow_{\mathcal B} \mathcal E)$. \nichtfinal{Mit gr"o"serer Sorgfalt sollte Analoges auch f"ur nicht notwendig kommutative Ringgarben richtig bleiben. Das mag einmal ein Student ausschreiben.} \end{Bemerkungl} \subsection{Trennr"uckzug von Schreimorphismen} %\begin{Beispiel} \nichtfinal{(N"otig?)} % Ist $\mathscr T$ eine Kategorie mit endlichen Faserprodukten, so % ist das multiplikative System aller $\mathscr T$-Morphismen trennr"uckzugstabil. %\end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Seien $\mathscr T$ eine Kategorie und $\mathscr T^{\shriek}$ darin ein multiplikatives System. Gegeben eine Trennfaserung $\mathscr G\ra \curlywedge\mathscr T$ "uber der banalen Trennkategorie zu $\mathscr T$ nennen wir ein multiplikatives System $\mathscr G^{\shriek}$ "uber $\mathscr T^{\shriek}$ {\bf fasertrennr"uckzugstabil},\index{fasertrennr"uckzugstabil} wenn das System $\mathscr G^{{\shriek}\shortparallel}$ aller Tupel von $\mathscr G^{{\shriek}}$-Morphismen \hyperref[KKFuux]{faserr\"uckzugstabil} ist "uber $\mathscr T^{{\shriek}\shortparallel}$ in der Faserung $\mathscr G^\curlywedge\ra \mathscr T^\curlywedge$ der Familienkategorien\label{ftrs} mit der abk"urzenden Notation $ \mathscr T^\curlywedge\pdef (\curlywedge \mathscr T)^\curlywedge$ f"ur die Familienkategorie einer banalen Trennkategorie, die wir auch weiterhin verwenden werden.\index{)6@$\mathscr T^\curlywedge\pdef (\curlywedge \mathscr T)^\curlywedge$} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine Kategorie $\mathscr T$ verstehen wir unter einem {\bf Trennquadrat in $\mathscr T$} eine endliche Familie von kommutativen Quadraten in $\mathscr T$ mit derselben linken Vertikale. Wir werden so ein Datum auffassen und notieren als ein kommutatives Diagramm der Familienkategorie $ \mathscr T^\curlywedge$ der banalen Trennkategorie $\curlywedge \mathscr T$ der Gestalt \begin{displaymath} \xymatrix{ W\ar[d]_g\ar[rr]^-{(q_1,\ldots,q_r)}&&X_1 \curlywedge \ldots \curlywedge X_r \ar[d]^{f_1\curlywedge \ldots \curlywedge f_r} \\ Z\ar[rr]^-{(p_1,\ldots,p_r)}&&Y_1 \curlywedge \ldots \curlywedge Y_r} \end{displaymath} Gleichbedeutend ist es ein Datum bestehend aus Objekten $X_i,Y_i,W,Z\in\mathscr T$ sowie Morphismen $q_i:W\ra X_i$ und $p_i:Z\ra Y_i$ und $f_i:X_i\ra Y_i$ und $g:W\ra Z$ mit $f_iq_i=p_ig\;\forall i$. Ein {\bf kartesisches Trennquadrat}\index{Trennquadrat!kartesisches} ist ein Trennquadrat, das als Quadrat der Familienkategorie kartesisch ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Diagrammatisch bedeutet fasertrennr"uckzugstabil in dieser Terminologie, da"s gegeben ein kartesisches Trennquadrat der banalen Trennkategorie $\curlywedge\mathscr T$ mit Vertikalen aus $\mathscr T^\shriek$, im folgenden Diagramm das linke Quadrat, und dar"uber ein kommutatives Quadrat in $\mathscr G^\curlywedge$ mit kartesischen Horizontalen und rechten Vertikalen in $\mathscr G^\shriek$, im Diagramm das rechte Quadrat, auch die linke mit einem Fragezeichen markierte Vertikale zu $\mathscr G^\shriek$ geh"ort. \begin{displaymath} \xymatrix{\kart W\ar@{-->}[d]\ar@{..>}[r]&X_1 \curlywedge \ldots \curlywedge X_r \ar@{-->}[d]&&\mathcal E\ar@{-->}[d]_?\ar@{_{(}.>}[r]&\mathcal F_1 \curlywedge \ldots \curlywedge \mathcal F_r \ar@{-->}[d] \\ Z\ar@{..>}[r]&Y_1 \curlywedge \ldots \curlywedge Y_r&&\mathcal H\ar@{_{(}.>}[r]&\mathcal G_1 \curlywedge \ldots \curlywedge \mathcal G_r} \end{displaymath} \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Trennr"uckzug von Schreimorphismen}] In der Op\-gar\-ben\-trenn\-fa\-se\-rung $\op{Ab}_{\sslash \op{Top}}\ra {\curlywedge}{\op{Top}}$ bilden die\label{MReO} Schreimorphismen ein fasertrennr"uckzugstabiles multiplikatives\label{jhtr} System "uber dem multiplikativen System aller stetigen Abbildungen. \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Das fasertrennr"uckzugstabile multiplikative System der Schreimorphismen aus dem Lemma notieren wir $\op{Ab}^{\shriek}_{\sslash \op{Top}}$ wie in \eref{VeigK}{TG}. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Der Beweis mu"s auf die Bereitstellung der Methodik \ref{Rzst} warten. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Ein multiplikatives System $\mathscr T^{\shriek}$ von Morphismen einer Kategorie $\mathscr T$ hei"se {\bf r"uckzugstabil},\index{r"uckzugstabil} wenn das Faserprodukt f"ur alle Winkel mit einem $\mathscr T^{\shriek}$-Morphismus\label{rzST} existiert und in jedem kartesischen Quadrat mit einem $\mathscr T^{\shriek}$-Morphismus im Ausgangswinkel der gegen"uberliegende Morphismus aus dem Faserprodukt auch wieder ein $\mathscr T^{\shriek}$-Mor\-phis\-mus ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Erzeuger f"ur kartesische Trennquadrate}] Gegeben $\mathscr T\supset \mathscr T^{\shriek}$ eine Kategorie mit einem \hyperref[rzST]{r\"uckzugstabilen} multiplikativen System von Morphismen ist auch $\mathscr T^{\shriek\shortparallel}$ r"uckzugstabil in der Familienkategorie $ \mathscr T^\curlywedge$ der banalen Trennkategorie $\curlywedge \mathscr T$. Sei\label{Rzst} in $ \mathscr T^\curlywedge$ genauer eine Menge $K$ von kartesischen Trennquadraten mit Vertikalen in $\mathscr T^{\shriek\shortparallel}$ gegeben. Unsere Menge erhalte mit einem Quadrat auch jedes dazu isomorphe Quadrat. Unsere Menge $K$ sei weiter stabil unter dem Vertupeln sowie unter dem Verkleben l"angs gleicher vertikaler oder horizontaler Kanten und enthalte alle {\bf elementaren kartesischen Trennquadrate mit Vertikalen aus} $\mathscr T^\shriek$,\index{Trennquadrat!elementares kartesisches} ein hier neu eingef"uhrter und ben"otigter Begriff, unter dem wir zusammenfassen:\label{ITRp} \begin{enumerate} \item Alle kartesischen Trennquadrate mit Einstrennungen oder Leertrennungen in den Horizontalen und mit Vertikalen aus $\mathscr T^\shriek$; \item Alle {\bf Projektionsformel-Quadrate}\index{Projektionsformelquadrat} mit Vertikalen aus $\mathscr T^\shriek$ alias beliebige zu $f\in \mathscr T^\shriek$ gebildete Trennquadrate der Gestalt \begin{displaymath} \xymatrix{ X \ar@{-->}[d]_f\ar@{..>}[rr]^{(\op{id}_X,f)} &&X\curlywedge Y \ar@{-->}[d]^{f\curlywedge \op{id}_Y}\\ Y\ar@{..>}[rr]^{(\op{id}_Y,\op{id}_Y)} &&Y\curlywedge Y } \end{displaymath} \end{enumerate} So enth"alt unsere Menge $K$ auch mindestens ein kartesisches Quadrat der Familienkategorie f"ur jeden Ausgangswinkel mit einem Tupel aus $\mathscr T^{\shriek\shortparallel}$ auf einer Kante. Um das einzusehen betrachten wir f"ur beliebig vorgegebene $\mathscr T^\shriek$-Morphismen $f:X\ra Y$ und $g:Z\ra Y$ das aus kartesischen Quadraten mit den offensichtlichen Tupeln einfacher Morphismen in den Vertikalen bestehende Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ X\times_Y Z \ar@{-->}[d]\ar@{..>}[r] &\;\;\;\;X\curlywedge (X\times_Y Z) \ar@{-->}[d]\ar@{..>}[r]&X\curlywedge Z \ar@{-->}[d]\\ X \ar@{-->}[d]\ar@{..>}[r] &X\;\;\curlywedge\;\; X \ar@{..>}[r]&X\curlywedge Y \ar@{-->}[d]\\ Y\ar@{..>}[rr] &&Y\curlywedge Y \\ } \end{displaymath} Es zeigt, da"s mindestens ein kartesisches Trennquadrat mit einer diagonalen Zweitrennung in der unteren Horizontalen zu unserer Menge $K$ geh"oren mu"s. Jeder Morphismus der Familienkategorie einer banalen Trennkategorie entsteht jedoch nach \eref{WKBK}{TSK} durch Vertupeln und Verkn"upfen aus Leertrennungen, Eins\-tren\-nun\-gen und Diagonalzweitrennungen. So folgt dann die Behauptung. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ich bemerke, da"s wir eben zweierlei gezeigt haben. Zum ersten, da"s es in der Familienkategorie unter den gegebenen Annahmen gewisse Faserprodukte gibt, und zum zweiten, da"s wir alle diese Faserprodukte aus gewissen elementaren Faserprodukten durch Verkleben erhalten k"onnen. \end{Bemerkungl} %\nichtfinal{DURCHPUTZEN! R"UCKZUGSTABIL IN DER BASIS MEIST "UBERFL"USSIG!} \begin{proof}[Beweis f"ur \ref{jhtr}] Die Kategorie $\op{Top}$ hat endliche Faserprodukte. Nach \ref{ITRp} m"us\-sen wir also nur f"ur elementare kartesische Trennquadrate in $\op{Top}$ zeigen, da"s der R"uckzug eines Tupels von Schreimorphismen wieder ein Schreimorphismus ist. Im Fall eines kartesischen Trennquadrats mit Leertrennungen in den Horizontalen ist das die einigerma"sen banale Erkenntnis, da"s f"ur jeden topologischen Raum $X$ der identische Opkomorphismus $\DZ_X\ra \DZ_X$ "uber $\op{id}:X\ra X$ eigentlich ist alias da"s die nat"urliche Einbettung eine Gleichheit $\op{id}_!\DZ_X=\op{id}_*\DZ_X$ ist. Im Fall eines gew"ohnlichen kartesischen Quadrats ist das unsere "Ubung \eref{ReOp}{TG}. Im Fall des Projektionsformelquadrats zu einer stetigen Abbildung $f:X\ra Y$ schlie"slich l"auft es auf den Nachweis hinaus, da"s f"ur jeden eigentlichen Komorphismus $\varphi:\mathcal G\ra \mathcal F$ "uber $f$ und jede abelsche Garbe $\mathcal C$ auf $Y$ der Garbenhomomorphismus $\mathcal G\otimes \mathcal C\ra f_\ast (\mathcal F\otimes f^\ast \mathcal C)$, der f"ur $V\co Y$ und $g\in \mathcal G(V)$ und $c\in \mathcal C(V)$ gegeben wird durch $g\otimes c\mapsto \varphi(g)\otimes \kappa(c)$ f"ur $\kappa:\mathcal C(V)\ra(f^\ast \mathcal C)(f^{-1}V)$ aus dem Transportmorphismus, "uber $f_! (\mathcal G\otimes f^\ast \mathcal C)$ faktorisiert. Da nun der Vorschub von den $ \varphi(g)\otimes \kappa(c)$ erzeugt wird, reicht es zu zeigen, da"s diese Tensoren zu $f_! (\mathcal F\otimes f^\ast \mathcal C)$ geh"oren. Es ist aber klar, da"s der Tr"ager in $f^{-1}(V)$ unseres Tensors $ \varphi(g)\otimes \kappa(c)$ eine abgeschlossene Teilmenge von $\op{supp}(\varphi(g))$ ist und folglich, wenn $\varphi$ eigentlich ist, auch eigentlich nach $V$ abgebildet wird. \end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{Trennr"uckzug schreikokartesischer Schreimorphismen}] Sei $k$ ein K"orper. Schr"anken wir die Opgarbentrennfaserung ein auf die volle Unterkategorie $(\op{Top},k)\subset \op{Gek}$ der konstant mit $k$ gekringten R"aume, betrachten also die Trennfaserung $$k\op{-Mod}_{\sslash{\curlywedge{\op{Top}}}}\ra \curlywedge{\op{Top}}$$ der Garben von $k$-Vektorr"aumen,\label{MRekO} so bilden die schreikokartesischen Schreimorphismen "uber les-Abbildungen ein fasertrennr"uckzugstabiles multiplikatives\label{Jhtr} System. \end{Proposition} \begin{proof} Wir wissen, da"s das multiplikative System der les-Abbildungen r"uckzugstabil ist. Wie beim Beweis von \ref{MReO} ziehen wir uns mit \ref{Rzst} auf den Fall elementarer kartesischer Trennquadrate in $\op{Top}$ mit les-Vertikalen zur"uck. Im Fall horizontaler Leertrennungen folgt die Behauptung daraus, da"s f"ur jeden topologischen Raum $X$ der identische Opkomorphismus $k_X\ra k_X$ "uber der Identit"at $\op{id}:X\ra X$ schreikokartesisch ist. Im Fall eines gew"ohnlichen kartesischen Diagramms folgt die Behauptung aus les-Basiswechsel \eref{BaWeax}{TG}. Im Fall eines Projektionsformelquadrats zu einer les-Abbildung $f:X\ra Y$ schlie"slich gilt es zu zeigen, da"s der aus \ref{MReO} entstehende Garbenhomomorphismus ein Isomorphismus $f_! \mathcal F\otimes \mathcal C \sira f_! (\mathcal F\otimes f^\ast \mathcal C)$ ist. Das leistet in unserem Fall die flache Projektionsformel f"ur Modulgarben \ref{PfV}. \end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{Trennr"uckzug kokartesischer Modulmorphismen}] In der Opgarbentrennfaserung eingeschr"ankt auf die volle Unterkategorie der einpunktigen gekringten R"aume $\op{Kringo}\subset \op{Gek}$ alias in der Trennfaserung\label{KRISF} $$\op{Ab}_{\sslash{\curlywedge{\op{Kringo}}}}\ra \curlywedge{\op{Kringo}}$$ der Moduln "uber Kringen bilden die kokartesischen Morphismen "uber opponierten Kringhomomorphismen ein fasertrennr"uckzugstabiles multiplikatives System. \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} In diesem Fall haben wir in der abstrakten Notation aus \ref{ftrs} geschrieben $\mathscr T^\shriek=\mathscr T=\op{Kringo}$ und $\mathscr G^\shriek=\mathscr G=\op{Ab}_{\sslash{\op{Kringo}}}$. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wie beim Beweis von \ref{MReO} ziehen wir uns mit \ref{Rzst} auf den Fall elementarer kartesischer Trennquadrate in $\op{Kringo}$ zur"uck. Im Fall horizontaler Leertrennungen folgt die Behauptung daraus, da"s f"ur jeden Kring $C$ der identische Opkomorphismus $C\ra C$ "uber der Identit"at $\op{id}^\circ:C\ra C$ kokartesisch ist. Im Fall eines gew"ohnlichen kartesischen Diagramms ist es die Ausssage, da"s gegeben Kringhomomorphismen $B\ra A$ und $B\ra C$ und ein $C$-Modul $M$ der nat"urliche Morphismus ein Isomorphismus $$A\otimes_B\op{res}_C^BM\sira \op{res}_{A\otimes_BC}^A((A\otimes_BC)\otimes_CM)$$ ist. Im Fall des Projektionsformelquadrats zu einem Kringhomomorphismus $B\ra A$ l"auft die Behauptung darauf hinaus, f"ur jeden $B$-Modul $M$ und jeden $A$-Modul $N$ zu zeigen, da"s die nat"urliche Abbildung einen Isomorphismus $$M\otimes_B\op{res}_A^BN\sira \op{res}_A^B((M\otimes_BA)\otimes_AN)$$ liefert. Auch das ist klar. \end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{Trennr"uckzug schreikokartesischer Modulmorphismen}] In der Opgarbentrennfaserung eingeschr"ankt auf die volle Unterkategorie der diskreten gekringten R"aume $\op{Gekd}\subset \op{Gek}$ alias in der Trennfaserung\label{TsMM} $$\op{Ab}_{\sslash{\curlywedge{\op{Gekd}}}}\ra \curlywedge{\op{Gekd}}$$ bilden die schreikokartesischen Morphismen ein fasertrennr"uckzugstabiles multiplikatives System. \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} In diesem Fall haben wir in der abstrakten Notation aus \ref{ftrs} geschrieben $\mathscr T^\shriek=\mathscr T=\op{Gekd}$ aber abweichend vom einpunktigen Fall $\mathscr G^\shriek\subsetneq\mathscr G$. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wie beim Beweis von \ref{MReO} ziehen wir uns mit \ref{Rzst} auf den Fall elementarer kartesischer Trennquadrate in $\op{Gekd}$ zur"uck. Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir annehmen, da"s in der Basis unten links ein einpunkiger Raum mit Ring $C$ steht. Im Fall horizontaler Leertrennungen folgt die Behauptung daraus, da"s f"ur jeden Kring $C$ der identische Opkomorphismus $C\ra C$ "uber der Identit"at $\op{id}^\circ:C\ra C$ schreikokartesisch ist. Im Fall eines gew"ohnlichen kartesischen Diagramms d"urfen wir annehmen, da"s auch in der Basis unten rechts ein einpunkiger Raum mit Ring $B$ steht. Den gekringten diskreten Raum oben links in der Basis schreiben wir als die Familie von Kringen $(A_i)_{i\in I}$. Der Morphismus in der linken Vertikale der Basis entspricht einem Tupel von Ringhomomorphismen $B\ra A_i$. Eine Modulgarbe oben links ist eine Familie $(M_i)_{i\in I}$ mit $M_i\in A_i\op{-Mod}$. Der Schreivorschub macht daraus den $B$-Modul $\bigoplus \op{res}_{A_i}^BM_i$. Das Faserprodukt in der Basis ist $(C\otimes_B A_i)_{i\in I}$. Der Trennr"uckzug l"angs der oberen Horizontale ist $\big((C\otimes_B A_i)\otimes_{A_i}M_i\big)_{i\in I}$. Die Behauptung schlie"slich l"auft auf die Aussage hinaus, da"s der offensichtliche Homomorphismus von $C$-Moduln $$C\otimes_B \bigoplus \op{res}_{A_i}^BM_i \ra \bigoplus\big((C\otimes_B A_i)\otimes_{A_i}M_i\big)_{i\in I}$$ ein Isomorphismus ist und das ist klar. Im Fall des Projektionsformelquadrats l"auft die Behauptung darauf hinaus, f"ur jeden Kring $B$ und jede Familie von Kringen $(A_i)_{i\in I}$ und jede Familie von Kringhomomorphismen $B\ra A_i$ und jeden $B$-Modul $M$ und jede Familie $(N_i)_{i\in I}$ mit $N_i\in A_i\op{-Mod}$ zu zeigen, da"s der nat"urliche Homomorphismus von $B$-Moduln $$M\otimes_B\bigoplus \op{res}_{A_i}^BN_i\ra \prod \op{res}_{A_i}^B((M\otimes_BA_i)\otimes_{A_i}N_i)$$ "uber einen Isomorphismus $$M\otimes_B\bigoplus \op{res}_{A_i}^BN_i\sira \bigoplus \op{res}_{A_i}^B((M\otimes_BA_i)\otimes_{A_i}N_i)$$ faktorisiert. Auch das ist klar. \end{proof} \begin{Bemerkungw} Die in den vorhergehenden Propositionen diskutierten F"alle, in denen die schreikokartesischen Morphismen jeweils ein trennfaserr"uckzustabiles multiplikatives System bilden, sind bereits nah am vollst"andigen Sechs-Funktor-Formalismus. In der topologischen Variante \ref{MReO} gilt es \glqq nur\grqq\ noch, zu den derivierten Kategorien "uberzugehen. Im Fall von K"orperkoeffizienten ist das relativ unproblematisch. Wollen wir dahingegen allgemeinere kommutative Koeffizientenringe zulassen, wird die Sache schwieriger, da der R"uckzug das Derivieren von Tensorprodukten und flache Linksaufl"osungen ben"otigt, der Schreivorschub dahingegen injektive Rechtsaufl"osungen. In \ref{pvMG} folgende wird diskutiert, wie man sich mit geeigneten zus"atzlichen Annahmen durch diese Schwierigkeiten hindurchwinden kann. \end{Bemerkungw} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Die Schreimorphismen von Modulgarben "uber gekringten R"aumen aus \ref{ReOpM} bilden ein fasertrennr"uckzustabiles multiplikatives System "uber dem System aller Morphismen gekringter R"aume. Hinweis: Man mag sich auf den Fall abelscher Garben \ref{MReO} st"utzen\label{MReOM} sowie den Fall des einfachen R"uckzugs aus "Ubung \ref{ReOpM}. \end{Ubung} \subsection{Trennr"uckzug-Schreivorschub-Formalismus} \begin{Definition}\label{AlKnuT} Unter einer {\bf Trennaustauschsituation}\index{Trennaustauschsituation} verstehen wir eine Vorgabe von Daten $$(\mathscr G\ra \curlywedge\mathscr T\supset \mathscr T^{\shriek} \leftarrow \mathscr G^{\shriek} , \mathscr T^{\op{e}},i)$$ bestehend aus einer Kategorie $\mathscr T$, der {\bf Basiskategorie} oder {\bf Basis};\index{Basis!einer Trennaustauschsituation} darin zwei ausgezeichneten \hyperref[RmSM]{multiplikativen Systemen} $\mathscr T^{\op{e}}\subset \mathscr T^{{\shriek}}\subset \mathscr T$, die beide alle Isomorphismen enthalten; einer Trennfaserung $\mathscr G\ra \curlywedge\mathscr T$ "uber der banalen Trennkategorie zu $\mathscr T$; einer Kofaserung $\mathscr G^{\shriek}\ra \mathscr T^{\shriek}$; sowie einem Isomorphismus $i:\mathscr G^{\shriek}|\mathscr T^{\op{e}}\sira \mathscr G|\mathscr T^{\op{e}}$ von Kategorien "uber $\mathscr T^{\op{e}}$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Sprechweisen und Notationen}] \begin{enumerate} \item Unseren Isomorphismus $i$ behandeln wir in der Notation meist als eine Gleichheit und reden dann vereinfachend von einer Trennaustauschsituation $(\mathscr G\ra \curlywedge\mathscr T\supset \mathscr T^{\shriek} \leftarrow \mathscr G^{\shriek} , \mathscr T^{\op{e}})$. Da alle Identit"aten zu $\mathscr T^{\op{e}}$ geh"oren, bedeutet das insbesondere, da"s $\mathscr G$ und $\mathscr G^{\shriek}$ dieselben Objekte haben und sogar dieselben Fasern $\mathscr G_X=\mathscr G^{\shriek}_X$ "uber allen Objekten $X$ der Basis. \item Die Morphismen in $\mathscr T^{\shriek}$ und $\mathscr G^{\shriek}$ nennen wir {\bf Schreimorphismen}.\index{Schreimorphismus} \item Die Morphismen in $\mathscr T^{\op{e}}$ nennen wir {\bf Eigmorphismen}.\index{Eigmorphismus!in Trennaustauschsituation} \item Den Trennr"uckzug l"angs einer Trennung $p$ der Basis notieren wir $p^\dagger$. \item Den Vorschub in Bezug auf die Kofaserung $\mathscr G^{\shriek}\ra \mathscr T^{\shriek}$ l"angs eines Schreimorphismus $f$ notieren wir $f_\shriek$ und nennen ihn den {\bf Schreivorschub}. Einen in Bezug auf diese Kofaserung kokartesischen Schreimorphismus nennen wir {\bf schreikokartesisch}.\index{schreikokartesisch!im Abstrakten} \item Gegeben ein Objekt $X\in \mathscr T$ der Basis vereinbaren wir f"ur die zur Faser opponierte Schmelzkategorie, wie sie in \ref{schmkL} eingef"uhrt wurde, die Notation $\mathscr G_{/X}\pdef \mathscr G_{X}^{\op{opp}}$. In typischen Anwendungen ist $\mathscr G_{/X}$ eine Kategorie von Garben auf $X$. Die Ziele der universellen Verschmelzungen dieser Schmelzkategorien notieren wir $\otimes=\otimes_{X}$\index{o@$\otimes_{X}$ Verschmelzung in Faser} wie in \ref{schmkL}. Ihr Einsobjekt alias das leere Tensorprodukt notieren wir $\underline{X}$. \item Den Opponierten des R"uckzugs in der Faserung $\mathscr G\ra \mathscr T$ f"ur einen Morphismus $f:X\ra Y$ der Basis $\mathscr T$ notieren wir $f^*\pdef (f^\dagger)^{\op{opp}}: \mathscr G_{/Y}\ra \mathscr G_{/X}$ und nennen auch ihn einen {\bf R"uckzug}. \item Den Opponierten des Schreivorschubs l"angs eines Schreimorphismus $f:X\ra Y$ der Basis notieren wir $f_{!}\pdef (f_\shriek)^{\op{opp}}: \mathscr G_{/X}\ra \mathscr G_{/Y}$ und nennen auch ihn einen {\bf Schreivorschub}. \item Unsere Daten beinhalten f"ur jeden Eigmorphismus $f\in\mathscr T^{\op{e}}$ eine Adjunktion $(f_\shriek,f^\dagger)$ alias $(f^*,f_{!})$. \end{enumerate}\label{SwnT} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Verflechtung von Trennaustauschsituationen}] Gegeben eine Trennaustauschsituation $(\mathscr G\ra \curlywedge\mathscr T\supset \mathscr T^{\shriek} \leftarrow \mathscr G^{\shriek} , \mathscr T^{\op{e}})$ betrachten wir in der Familienkategorie $\mathscr T^\curlywedge\pdef (\curlywedge\mathscr T)^\curlywedge$ der banalen Trennkategorie $\curlywedge\mathscr T$ die multiplikativen Systeme $\mathscr T^\curlywedge\supset \mathscr T^{\shortparallel\shriek } \supset \mathscr T^{\shortparallel\op{e}}$ aller Tupel von Morphismen aus $\mathscr T^{\shriek }$ beziehungsweise $\mathscr T^{\op{e}}$ und den zu diesem Tripel geh"origen \hyperref[BsKW]{Tripelwinkel} $$\mathscr T^\curlywedge\leftarrow \mathscr T^{\shortparallel\op{e}}\rightarrow \mathscr T^{\shortparallel\shriek }$$ In den Fasern nehmen wir dar"uber den Tripelwinkel $$\mathscr G^\curlywedge \leftarrow (\mathscr G^{\shortparallel}|_{\mathscr T^{\shortparallel\op{e}}})\rightarrow \mathscr G^{\shortparallel\shriek}$$ %mit dem durch $i$ gegebenen treuen Funktor nach rechts. Die durch diese Daten gegebene \hyperref[ATAs]{Austauschsituation} notieren wir\label{vftA} $$(\mathscr G^\curlywedge\ra \mathscr T^\curlywedge\supset \mathscr T^{\shortparallel\shriek } \leftarrow \mathscr G^{\shortparallel\shriek } , \mathscr T^{\shortparallel\op{e}})$$ und nennen sie die {\bf Familienaustauschsituation}\index{Familienaustauschsituation} unserer Trennaustauschsituation. Eine {\bf Pr"atrennverflechtung}\index{Pr"atrennverflechtung!von Trennaustauschsituation} beziehungsweise {\bf Trennverflechtung}\index{Trennverflechtung!von Trennaustauschsituation} einer Trenn\-aus\-tausch\-si\-tua\-tion erkl"aren wir als eine Pr"averflechtung beziehungsweise Verflechtung ihrer Familienaustauschsituation derart, da"s das Vertupeln Verflechtungsquadrate zu Verflechtungsquadraten macht. Das ist zu verstehen in Bezug auf eine Regulierung der Basis, die ihrerseits stabil ist unter dem Vertupeln. Um so eine {\bf Trennregulierung}\index{Trennregulierung} der Basis anzugeben, brauchen wir nur festzulegen, was die erlaubten Trennquadrate sein sollen. Ein Verflechtungsquadrat mit einer $r$-Trennung als zur"uckholendem Morphismus nennen wir in diesem Kontext ein {\bf $r$-Ver\-flech\-tungs\-qua\-drat}. \index{Verflechtungsquadrat!$r$-Verflechtungsquadrat} Wenn wir in der Basis von der kartesischen Regulierung ausgehen, in der also genau diejenigen kartesischen Quadrate von $\mathscr T^\curlywedge$ erlaubt sind, bei denen die Vertikalen zu $\mathscr T^{\shortparallel\shriek}$ geh"oren, so reden wir von einer {\bf kartesisch regulierten Trennverflechtung}\index{Trennverflechtung!kartesisch regulierte} beziehungsweise {\bf kartesisch regulierten Pr"atrennverflechtung}.\index{Pr"atrennverflechtung!kartesisch regulierte} \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Pr"atrennverflechtung zu Trennfaserung mit Vorschub}] Jede Trennfaserung, bei der der R"uckzug $f^\dagger$ l"angs jedes einfachen Morphismus $f$ der Basis einen Linksadjungierten $f_\dagger$ hat, liefert die zugeh"orige {\bf banale Trennaustauschsituation}\index{Trennaustauschsituation!banale} $(\mathscr G\ra \curlywedge\mathscr T\supset \mathscr T \leftarrow \mathscr G , \mathscr T)$ mit $f_\shriek=f_\dagger$. Die kommutativen R"uckholquadrate in der Faser "uber kommutativen Quadraten der Basis bilden dann offensichtlich eine Pr"atrennverflechtung.\label{PTV} \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Trennverflechtung zu Pr"atrennverflechtung}] Jede Trennaustauschsituation mit Pr"atrennverflechtung wird zu einer Trennaustauschsituation mit Verflechtung,\label{PTll} wenn wir eben nur diejenigen Quadrate der Basis in unserer Regulierung zulassen, "uber denen alle Quadrate der Pr"atrennverflechtung mit kokartesischen Ausgangskanten beidseitig kokartesisch sind. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Trennverflechtung zu fasertrennr"uckzugstabilem System}] Seien $\mathscr T$ eine Kategorie und $\mathscr T^{\shriek}$ darin ein r"uckzugstabiles multiplikatives System. Gegeben eine Trennfaserung $\mathscr G\ra \curlywedge\mathscr T$ "uber der banalen Trennkategorie zu $\mathscr T$ und ein fasertrennr"uckzustabiles multiplikatives System $\mathscr G^{\shriek}$ "uber $\mathscr T^{\shriek}$ nach \ref{ftrs} derart, da"s\label{VfSkT} $\mathscr G^{\shriek}\ra \mathscr T^{\shriek}$ eine Kofaserung ist, konstruieren wir Trennaustauschsituationen\label{taus} $$(\mathscr G\ra \curlywedge\mathscr T\supset \mathscr T^\shriek \leftarrow \mathscr G^\shriek, \mathscr T^{\op{e}})$$ mit kartesisch regulierter Pr"atrennverflechtung, indem wir als Verflechtungsquadrate alle kommutativen R"uckholquadrate nehmen und als $\mathscr T^{\op{e}}$ irgendein multiplikatives Teilsystem von $\mathscr T^\shriek$, "uber dem alle $\mathscr G^\shriek$-Morphismen bereits $\mathscr G$-Morphismen sind. Unsere Pr"atrennverflechtung ist genau dann eine Trennverflechtung, wenn zus"atzlich die schreikokartesischen Morphismen aus $\mathscr G^{\shriek}$ ein fasertrennr"uckzugstabiles multiplikatives System bilden. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir sagen, eine Trennaustauschsituation $(\mathscr G\ra \curlywedge\mathscr T\supset \mathscr T^{\shriek} \leftarrow \mathscr G^{\shriek} , \mathscr T^{\op{e}})$ {\bf habe Adjungierte},\label{TAAd} wenn\index{Trennaustauschsituation!pr"atrennverflochtene!mit Adjungierten} der R"uckzug $f^\dagger$ l"angs jedes Morphismus $f:X\ra Y$ in $\mathscr T$ und der Schreivorschub $f_\shriek$ l"angs jedes Schreimorphismus alias Morphismus in $\mathscr T^\shriek$ jeweils einen Rechtsadjungierten hat und wenn zus"atzlich alle opponierten Fasern internes Hom $\Rrightarrow$ haben. Wir notieren die fraglichen Adjungierten $f_\dagger$ sowie $f^{\shriek}$ und haben die adjungierten Paare $(f_\dagger,f^\dagger)$ sowie $(f^{\shriek},f_\shriek)$. Wir notieren die von unseren Adjungierten auf den opponierten Fasern induzierten Funktoren $f_*$ und $f^!$, nennen sie den {\bf Vorschub}\index{Vorschub} und den %\label{vvta} {\bf Schreir"uckzug}\index{Schreir"uckzug} und haben mithin auch adjungierte Paare $(f^*,f_*)$ und $(f_!,f^!)$. Eine Trennaustauschsituation mit Trennverflechtung und Adjungierten mag man einen {\bf Sechs-Funktor-Formalismus} nennen.\index{Sechs-Funktor-Formalismus} Die sechs Funktoren sind in diesem Kontext $$f^*, f_*, f_!, f^!,\otimes,{\Rrightarrow}$$ Besonders h"aufig sind kartesisch regulierte Sechs-Funktor-Formalismen. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Pr"atrennverflechtung f"ur abelsche Garben}] Wir betrachten die Trennaustauschsituation $$\big(\op{Ab}_{\sslash\curlywedge{\op{Top}}}\ra \curlywedge{\op{Top}}\supset\op{Top}^{\op{s}} \leftarrow \op{Ab}^\shriek_{\sslash{\op{Top}^{\op{s}}}},\op{Top}^{\op{es}}\big)$$ der abelschen Garben auf topologischen R"aumen. Die kommutativen R"uckholquadrate "uber kartesischen Quadraten der Basis bilden nach \ref{MReO} und \ref{taus} eine kartesisch regulierte Pr"atrennverflechtung. \label{TreVRa} Diese Pr"atrennverflechtung ist keine Trennverflechtung, da die Projektionsformel in dieser Allgemeinheit nicht gilt. In dieser Trennaustauschsituation gibt es die Adjungierten $f_*$ und $\Rrightarrow$. In \eref{agAD}{TG} konstruieren wir den Schreir"uckzug f"ur lokal abgeschlossene Einbettungen $f$. F"ur einen allgemeinen Schreimorphismus $f$ kann es in dieser Situation keinen Schreir"uckzug $f^!$ geben, da der Schreivorschub $f_!$ f"ur allgemeines $f$ nicht rechtsexakt ist. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Trennverflechtung f"ur Vektorraumgarben}] Sei $k$ ein K"orper. Wir betrachten die Trennaustauschsituation $$\big(k\op{-Mod}_{\sslash\curlywedge{\op{Top}}}\ra \curlywedge{\op{Top}}\supset\op{Top}^{\op{les}} \leftarrow k\op{-Mod}^\shriek_{\sslash{\op{Top}^{\op{les}}}},\op{Top}^{\op{es}}\big)$$ der Garben von $k$-Vektorr"aumen auf topologischen R"aumen. Die kommutativen R"uckholquadrate "uber kartesischen Quadraten der Basis bilden nach \ref{MRekO} und \ref{taus} in dieser Situation eine kartesisch regulierte Trennverflechtung. Es gibt Vorschub $f_*$ und internes Hom ${\Rrightarrow}$. Die Konstruktion \eref{agAD}{TG} eines Schreir"uckzugs $f^!$ f"ur lokal abgeschlossene Einbettungen $f$ funktioniert auch in diesem Fall.\label{TreVR} F"ur allgemeine les-Abbildungen kann es auch hier keinen Schreir"uckzug $f^!$ geben, da der Schreivorschub $f_!$ f"ur allgemeines $f$ nicht rechtsexakt ist. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Pr"atrennverflechtung f"ur Modulgarben}] Wir betrachten die Trennaustauschsituation $$\big(\op{Ab}_{\sslash\curlywedge{\op{Gek}}}\ra \curlywedge{\op{Gek}}\supset\op{Gek}^{\op{s}} \leftarrow \op{Ab}^\shriek_{\sslash{\op{Gek}^{\op{s}}}},\op{Gek}^{\op{es}}\big)$$ der Modulgarben auf gekringten R"aumen. Die kommutativen R"uckholquadrate "uber kartesischen Quadraten der Basis bilden nach "Ubung \ref{MReOM} und \ref{taus} eine kartesisch regulierte Pr"atrennverflechtung.\label{TreVRm} Sie hat die Adjungierten $f_*$ und $\Rrightarrow$. Sie hat jedoch f"ur allgemeines $f$ keinen Schreir"uckzug $f^!$, wie wir bereits im Fall abelscher Garben diskutiert hatten. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Trennverflechtung f"ur Moduln}] Wir betrachten hier Moduln alias Modulgarben \ref{TreVRm} auf dem Einpunktraum. In diesem Fall spezialisiert unsere Trennaustauschsituation f"ur Modulgarben zu einer Trennaustauschsituation $$\big(\op{Ab}_{\sslash\curlywedge{\op{Kringo}}}\ra \curlywedge{\op{Kringo}}\supset\op{Kringo} \leftarrow \op{Ab}_{\sslash{\op{Kringo}}},\op{Kringo}\big)$$ von Moduln "uber Kringen. Die kommutativen R"uckholquadrate "uber kartesischen Quadraten der Basis bilden nach \ref{KRISF} und \ref{taus} eine kartesisch regulierte Trennverflechtung, die die Restriktion auf kommutative Ringe der in \ref{VfM} diskutierten Verflechtung erweitert.\label{TreVRM} Sie hat alle Adjungierten. In der Tat stimmen in diesem Fall Vorschub und Schreivorschub "uberein und sind die Restriktion der Skalare $f_!=f_*=\op{res}_A^B$ f"ur $f\in\op{Kringo}(A,B)$ alias einen Kringhomomorphismus $f^\circ: B\ra A$. Der Linksadjungierte der Restriktion ist in unserer Notation die "ubliche Erweiterung der Skalare $f^*=\op{prod}_B^A=A\otimes_B$, die wir im allgemeinen die {\bf Produktion} nennen. Der Schreir"uckzug dahingegen ist der Rechtsadjungierte $$N\mapsto f^!N=\op{ind}_B^{A} N=\op{Hom}_B(A,N)$$ des Restriktionsfunktors auf Moduln, den wir die {\bf Induktion} nennen. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Trennverflechtung f"ur diskrete gekringte R"aume}] Wir betrachten nun Modulgarben \ref{TreVRm} auf gekringten diskreten R"aumen. Das ist etwas allgemeiner als der Fall der Moduln alias Modulgarben aus dem Einpunktraum \ref{TreVRM}. Wir notieren diese Trennaustauschsituation\label{TFvrg} $$\big(\op{Ab}_{\sslash\curlywedge{\op{Gekd}}}\ra \curlywedge{\op{Gekd}} \supset\op{Gekd} \leftarrow \op{Ab}^\shriek_{\sslash{\op{Gekd}}}, \op{Gekd}^{\op{e}}\big)$$ Die\label{mgsrR} kommutativen R"uckholquadrate "uber kartesischen Quadraten der Basis bilden nach \ref{TsMM} und \ref{taus} auch in dieser Situation eine kartesisch regulierte Trennverflechtung. Sie besitzt alle Adjungierten. Das interne Hom kennen wir bereits, es berechnet sich punktweise als $(M{\Rrightarrow}N)=(\op{Hom}_{A_x}(M_x,N_x))_{x\in X}$. Der Vorschub $f_*$ macht aus $M=(M_x)_{x\in X}$ das Produkt "uber die Fasern $$\textstyle (f_*M)_y=\big(\prod_{f(x)=y}\op{res}_{A_x}^{B_y} M_x\big)_{y\in Y}$$ Das steht im Gegensatz zum Schreivorschub, bei dem hier das Koprodukt "uber die Fasern zu nehmen ist, in Formeln $$\textstyle (f_!M)_y=\big(\bigoplus_{f(x)=y}\op{res}_{A_x}^{B_y} M_x\big)_{y\in Y}$$ Der R"uckzug beziehungsweise Schreir"uckzug von $N$ schlie"slich sind in diesem Fall die Familien $$f^*N=\big(\op{prod}_{B_{f(x)}}^{A_x} N_{f(x)}\big)_{x\in X}\qquad\qquad f^!N=\big(\op{ind}_{B_{f(x)}}^{A_x} N_{f(x)}\big)_{x\in X}$$ \end{Beispiel} \subsection{Formeln f"ur Trennverflechtungen $\otimes,{\Rrightarrow},f_!, f^!,f^*, f_*,\boxtimes$} \begin{Bemerkungl} Im folgenden will ich einige Transformationen und Isomorphismen diskutieren, die direkt aus den Axiomen einer Trennaustauschsituation \ref{AlKnuT} mit Pr"atrennverflechtung beziehungsweise Trennverflechtung \ref{vftA} abgeleitet werden k"onnen. Die allgemeinen Formeln f"ur Faserungen und Kofaserungen aus \eref{idi}{TG} folgende und allgemeinen Formeln f"ur Trennfaserungen "uber banalen Trennkategorien \ref{TFbT} gelten weiter und werden hier nicht wiederholt. Auch die allgemeinen Formeln f"ur verflochtene Austauschsituationen und allgemeinere verflochtene Winkelfaserungen aus \ref{KaWW} folgende gelten weiter. Hier konzentrieren wir uns auf solche Identit"aten und nat"urliche Morphismen, bei denen sowohl von $\otimes,\boxtimes,{\Rrightarrow}$ als auch von $f_!, f^!$ jeweils mindestens einer beteiligt ist und $f^*, f_*$ zus"atzlich beteiligt sein d"urfen. % Die Argumente "ubertragen sich % auf den Fall allgemeinerer Trennverflechtungen. Sie werden dabei aber % schwerf"alliger in der Formulierung. \end{Bemerkungl} \nichtfinal{Nochmal durchgehen, fordere Eigenschaften kartesisch, projektionsguter Schreimorphismus (Gute Terminologie?) und so jeweils explizit!} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Vertauschen von externem Produkt und Schreivorschub}] Gegeben eine Trennaustauschsituation $(\mathscr G\ra \curlywedge\mathscr T\supset \mathscr T^\shriek \leftarrow \mathscr G^\shriek, \mathscr T^{\op{e}})$ mit kartesisch regulierter Trennverflechtung und Schreimorphismen $f:W\ra X$ sowie $g:Z\ra Y$ in der Basis und Objekte $\mathcal F\in \mathscr G_{W}$ sowie $\mathcal G\in \mathscr G_{Z}$ der Fasern liefert Flechtbasiswechsel \ref{eaBAN} im kartesischen Diagramm\label{VexP} \begin{displaymath} \xymatrix{ W\times Z\ar[r] \ar[d]_{f\times g}&W\curlywedge Z \ar[d]^{f\curlywedge g} \\ X\times Y\ar[r]& X\curlywedge Y} \end{displaymath} der Familienkategorie $\mathscr T^\curlywedge$, wenn die Produkte in der linken Vertikale existieren und auch $f\times g$ ein Schreimorphismus ist, einen Isomorphismus $ (f \times g)_{\shriek } (\mathcal F \boxtimes \mathcal G) \sira f_{\shriek } \mathcal F \boxtimes g_{\shriek } \mathcal G$ alias $$\op{vf}: f_{{!} } \mathcal F \boxtimes g_{{!} } \mathcal G \sira (f \times g)_{{!} } (\mathcal F \boxtimes \mathcal G)$$ Hier deutet die Notation an, da"s unser Morphismus von einer Trennverflechtung herkommt. Haben wir nur eine Pr"atrennverflechtung, so gibt es besagten Morphismus immer noch, aber er mu"s nicht mehr notwendig ein Isomorphismus sein. Da"s unser Quadrat in $\mathscr T^\curlywedge$ kartesisch ist, "uberlegen wir uns eben auch noch. Ein Morphismus in der Familienkategorie in eine Einsfamilie wie etwa $X\times Y$ mu"s von einer Einsfamilie ausgehen. Haben wir nun ein Objekt $T$ und Morphismen $w:T\ra W$, $z:T\ra Z$ und $u: T\ra X\times Y$ mit $fw=\op{pr}_Xu$ und $gz=\op{pr}_Yu$, so gibt es genau einen Morphismus $v: T\ra A\times B$ mit $w=\op{pr}_W v$ und $z=\op{pr}_Zv$ und $u=(f\times g)v$, n"amlich den Morphismus $v=(w,z)$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Schreivorschub externer Produkte zum finalen Objekt}] Gegeben eine Trennaustauschsituation $(\mathscr G\ra \curlywedge\mathscr T\supset \mathscr T^\shriek \leftarrow \mathscr G^\shriek, \mathscr T^{\op{e}})$ mit kartesisch regulierter Trennverflechtung und Schreimorphismen $a:X\ra Z$ sowie $b:Y\ra Z$ in der Basis und Objekte $\mathcal F\in \mathscr G_{X}$ sowie $\mathcal G\in \mathscr G_{Y}$ der Fasern liefert Flechtbasiswechsel \ref{eaBAN} im kartesischen Diagramm\label{VexPn} \begin{displaymath} \xymatrix{ X\times_Z Y\ar[r] \ar[d]_{c}&X\curlywedge Y \ar[d]^{a\curlywedge b} \\ Z\ar[r]& Z\curlywedge Z} \end{displaymath} der Familienkategorie $\mathscr T^\curlywedge$, wenn das Faserprodukt existiert und auch $c$ ein Schreimorphismus ist, einen Isomorphismus $ c_{\shriek } (\mathcal F \boxtimes_Z \mathcal G) \sira a_{\shriek } \mathcal F \otimes b_{\shriek } \mathcal G$ alias $$\op{vf}: a_{{!} } \mathcal F \otimes b_{{!} } \mathcal G \sira c_!(\mathcal F \boxtimes_Z \mathcal G)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Schreir"uckzug und Boxprodukt}] Gegeben eine Trenn\-aus\-tausch\-si\-tua\-tion $(\mathscr G\ra \curlywedge\mathscr T\supset \mathscr T^\shriek \leftarrow \mathscr G^\shriek, \mathscr T^{\op{e}})$ mit kartesisch regulierter Trennverflechtung und Adjungierten spezialisiert \ref{FleB} zu einer Transformation $q^*f^!\RA g^!p^*$ f"ur jedes kartesische Basisquadrat. Ebenso spezialisiert \ref{FleB}, wenn wir es auf das in \ref{VexP} besprochene kartesische Basisquadrat der Familienkategorie anwenden und unter denselben Annahmen, einen Morphismus\label{SruB} $$ f^!\mathcal F \boxtimes g^! \mathcal G\ra (f \times g)^{! } (\mathcal F \boxtimes \mathcal G) $$ Beides gelingt nicht mehr im Fall einer Pr"atrennverflechtung. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Vertr"aglichkeit von $\boxtimes$-Assoziator und Schreivorschub}] Gegeben $(\mathscr G\ra \curlywedge\mathscr T\supset \mathscr T^\shriek \leftarrow \mathscr G^\shriek, \mathscr T^{\op{e}})$ eine Trenn\-aus\-tausch\-si\-tua\-tion mit kartesisch regulierter Trennverflechtung und Schreimorphismen $f:A\ra X$ sowie $g:B\ra Y$ und $h:C\ra Z$ in der Basis und Objekte $\mathcal F\in \mathscr G_{A}$ sowie $\mathcal G\in \mathscr G_{B}$ und $\mathcal H\in \mathscr G_{C}$ der Fasern liefern die Morphismen von eben zusammen mit einigen Assoziatoren die Kanten des Diagramms \begin{displaymath} \xymatrix@C=0pt{ &(f\times g)_\shriek (\mathcal F\boxtimes \mathcal G)\boxtimes h_\shriek\mathcal H\ar[rd]^-\sim&\\((f\times g)\times h)_\shriek ((\mathcal F\boxtimes \mathcal G)\boxtimes \mathcal H)\ar[ru]^-\sim\ar[d]^-\wr&&(f_\shriek \mathcal F\boxtimes g_\shriek\mathcal G)\boxtimes h_\shriek\mathcal H\ar[d]^-\wr\\ (f\times (g\times h))_\shriek (\mathcal F\boxtimes (\mathcal G\boxtimes \mathcal H))\ar[rd]^-\sim& & f_\shriek \mathcal F\boxtimes (g_\shriek\mathcal G\boxtimes h_\shriek\mathcal H)\\ & f_\shriek \mathcal F\boxtimes (g\times h)_\shriek(\mathcal G\boxtimes \mathcal H)\ar[ru]^-\sim& } \end{displaymath} Ich will erkl"aren, wie aus dem Formalismus einer Trenn\-aus\-tausch\-si\-tua\-tion mit Trennverflechtung folgt, da"s es kommutiert. Dazu gehen wir aus von einem kommutativen Diagramm in der Familienkategorie der Basis der Gestalt \begin{displaymath} \xymatrix{A\times B\times C\ar[r]^\sim_d\ar[d]&(A\times B)\times C\ar[r]\ar[d]&(A\times B)\curlywedge C\ar[r]\ar[d]&\ar[d]A\curlywedge B\curlywedge C\\ X\times Y\times Z\ar[r]^\sim_d&(X\times Y)\times Z\ar[r]&(X\times Y)\curlywedge Z\ar[r]&X\curlywedge Y\curlywedge Z} \end{displaymath} Es besteht nach Annahme aus drei kartesischen Basisquadraten. Da Verflechtungsquadrate verkleben, erhalten wir ein kommutatives Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{\scriptstyle d^\dagger((f\times g)\times h)_\shriek ((\mathcal F\boxtimes \mathcal G)\boxtimes \mathcal H)\ar[r]^-\sim&\scriptstyle d^\dagger( (f\times g)_\shriek (\mathcal F\boxtimes \mathcal G)\boxtimes h_\shriek\mathcal H)\ar[r]^-\sim&\scriptstyle d^\dagger ((f_\shriek \mathcal F\boxtimes g_\shriek\mathcal G)\boxtimes h_\shriek\mathcal H)\ar[d]^-\wr\\ \scriptstyle(f\times g\times h)_\shriek (\mathcal F\boxtimes \mathcal G\boxtimes \mathcal H)\ar[rr]^-\sim\ar[u]_-\wr&&\scriptstyle f_\shriek \mathcal F\boxtimes g_\shriek\mathcal G\boxtimes h_\shriek\mathcal H} \end{displaymath} Hier bedeutet die untere Horizontale den Basiswechsel des einh"ullenden Rechtecks und die oberen Horizontalen die beiden Flechtbasiswechsel der beiden Teilquadrate. Die rechte Vertikale ist eine Identifikation f"ur Trennr"uckz"uge, die linke Vertikale ein Flechtbasiswechsel $\op{vf}: (f\times g\times h)_\shriek d^\dagger\siRa d^\dagger ((f\times g)\times h)_\shriek$ zusammen mit der Identifikation $d^\dagger ((\mathcal F\boxtimes \mathcal G)\boxtimes \mathcal H)\sira \mathcal F\boxtimes \mathcal G\boxtimes \mathcal H$. Dies Diagramm gilt es noch um eine entsprechende untere H"alfte zu erg"anzen und so folgt dann die Behauptung. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Schreivorschub von Tensorprodukt unter Monomorphismen}] Gegeben $(\mathscr G\ra \curlywedge\mathscr T\supset \mathscr T^\shriek \leftarrow \mathscr G^\shriek, \mathscr T^{\op{e}})$ eine Trenn\-aus\-tausch\-si\-tua\-tion mit kartesisch regulierter Trennverflechtung und ein Schreimonomorphismus $i:A\ra X$ ist das Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ A\ar[rr]^-{(\op{id},\op{id})} \ar[d]_{i} &&A\curlywedge A \ar[d]^{{i}\curlywedge {i}} \\ X\ar[rr]^-{(\op{id},\op{id})}&& X\curlywedge X} \end{displaymath} der Familienkategorie $\mathscr T^\curlywedge$ kartesisch und f"ur Objekte $\mathcal E,\mathcal F\in \mathscr G_{A}$ liefert Flechtbasiswechsel\label{ADN} einen Isomorphismus $i_{\shriek } (\mathcal E \otimes \mathcal F ) \sira i_{\shriek } \mathcal E \otimes i_\shriek\mathcal F$ alias $$ \op{vf}:i_{{!} } \mathcal E\otimes i_{{!} } \mathcal F \sira i_{{!} } (\mathcal E\otimes \mathcal F)$$ Im Fall einer Pr"atrennverflechtung sind diese Morphismen weiter sinnvoll definiert, sie m"ussen jedoch keine Isomorphismen mehr sein. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Schreivorschub von Tensorprodukt f"ur Moduln}] In $\op{Kringo}$ ist jeder Morphismus ein Monomorphismus, dessen Kringhomomorphismus $B\sra A$ eine Surjektion gefolgt von einer Lokalisierung ist. In diesem Fall liefert die in \ref{TreVRM} besprochene Situation mithin Isomorphismen $$(\op{res}_A^BM)\otimes_B(\op{res}_A^BN)\sira \op{res}_A^B(M\otimes_AN)$$ \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Gegeben $(\mathscr G\ra \curlywedge\mathscr T\supset \mathscr T^\shriek \leftarrow \mathscr G^\shriek, \mathscr T^{\op{e}})$ eine Trenn\-aus\-tausch\-si\-tua\-tion mit kartesisch regulierter Trennverflechtung, ein Schreimorphismus $f:X\ra Y$ der Basis und Objekte $\mathcal F\in \mathscr G_{X},\mathcal G\in \mathscr G_{Y}$ der Fasern liefert Flechtbasiswechsel im kartesischen Diagramm\label{ProjFF} \begin{displaymath} \xymatrix{ X\ar[rr]^-{(\op{id},f)} \ar[d]_{f} &&X\curlywedge Y \ar[d]^{{f}\curlywedge {\op{id}}} \\ Y\ar[rr]^-{(\op{id},\op{id})}&& Y\curlywedge Y} \end{displaymath} der Familienkategorie $\mathscr T^\curlywedge$ einen Isomorphismus $f_{\shriek } (\mathcal F \otimes f^\dagger \mathcal G ) \sira (f_{\shriek } \mathcal F )\otimes \mathcal G$ alias den Isomorphismus der {\bf Projektionsformel}\index{Projektionsformel} $$\op{vf}: (f_{{!} } \mathcal F )\otimes \mathcal G \sira f_{{!} } (\mathcal F \otimes f^* \mathcal G )$$ Im Fall einer Pr"atrennverflechtung erhalten wir weiter einen Morphismus wie angegeben, aber er mu"s kein Isomorphismus mehr sein. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Vorschub und Tensorieren}] Gegeben seien eine Trenn\-aus\-tausch\-si\-tua\-tion $(\mathscr G\ra \curlywedge\mathscr T\supset \mathscr T^\shriek \leftarrow \mathscr G^\shriek, \mathscr T^{\op{e}})$ mit kartesisch regulierter Pr"atrennverflechtung und ein Schreimorphismus $f:X\ra Y$ der Basis. Wenden wir den Morphismus\label{tknk} $\op{vf}: (f_{{!} } \mathcal F )\otimes \mathcal G \ra f_{{!} } (\mathcal F \otimes f^* \mathcal G )$ der Projektionsformel \ref{ProjFF} auf $\mathcal G\pdef f_* \mathcal E$ an und verwenden zus"atzlich die Koeinheit der Adjunktion $f^* f_*\mathcal E\ra \mathcal E$, so erhalten wir in $\mathscr G_{/Y}$ einen Morphismus $$\op{avf}:f_{!} \mathcal F\otimes f_* \mathcal E\ra f_{!} (\mathcal F\otimes \mathcal E)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Restriktion von Hom-Garben und relative Verdierdualit"at}] Gegeben seien eine Trenn\-aus\-tausch\-si\-tua\-tion $(\mathscr G\ra \curlywedge\mathscr T\supset \mathscr T^\shriek \leftarrow \mathscr G^\shriek, \mathscr T^{\op{e}})$ mit Adjungierten und Trennverflechtung sowie ein Schreimorphismus $f:X\ra Y$ der Basis, f"ur den das Projektionsformelquadrat erlaubt ist. Die Projektionsformel \ref{ProjFF} liefert uns f"ur $\mathcal G \in \mathscr G_{/Y}$ und $\mathcal F \in \mathscr G_{/X}$ einen Isomorphismus $\op{vf}: \mathcal G \otimes f_! \mathcal F \sira f_! (f^\ast \mathcal G \otimes \mathcal F ) $. F"ur festes $\mathcal G$ ist das eine Isotransformation von Funktoren in $\mathcal F$, genauer von Funktoren $ \mathscr G_{/X} \rightarrow \mathscr G_{/Y}$. Diese Funktoren sind ihrerseits Kompositionen weiterer Funktoren. Alle diese Funktoren haben unter unseren Annahmen Rechtsadjungierte und wir erhalten durch "Ubergang zu den Rechtsadjungierten in $\mathscr G_{/X}$ Isomorphismen \begin{equation*} \op{avf}: f^! (\mathcal G{\Rrightarrow} \mathcal E)\sira (f^\ast \mathcal G {\Rrightarrow} f^! \mathcal E ) \end{equation*} Ebenso kann die Projektionsformel f"ur festes $\mathcal F$ als eine Isotransformation von Kompositionen von Funktoren $ \mathscr G_{/ Y} \rightarrow \mathscr G_{/Y}$ in $\mathcal G$ gelesen werden. Auch dann erhalten wir durch "Ubergang zu den Rechtsadjungierten Isomorphismen, die Isomorphismen der {\bf relativen Verdierdualit"at}\index{Verdierdualit"at!relative}\label{rVDe} \begin{equation*} \op{avf}: f_\ast (\mathcal F{\Rrightarrow} f^! \mathcal E) \sira f_! \mathcal F{\Rrightarrow} \mathcal E \end{equation*} Auch sie nennen wir eine {\bf Adjunktionsformel f"ur internes Hom}.\index{Adjunktionsformel!f"ur internes Hom} Im Fall einer Pr"atrennverflechtung sind die fraglichen Morphismen immer noch sinnvoll definiert, m"ussen jedoch keine Isomorphismen mehr sein. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Zum Vergleich wiederhole ich aus der Formelsammlung f"ur Trennfaserungen "uber banalen Trennkategorien \ref{ngtR} die gew"ohnliche Adjunktionsformel f"ur internes Hom $$(\mathcal F{\Rrightarrow} f_\ast \mathcal E)\sira f_\ast(f^\ast\mathcal E{\Rrightarrow} \mathcal F)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Vertr"aglichkeit gewisser R"uckz"uge mit internem Hom}] Gegeben eine Trenn\-aus\-tausch\-si\-tua\-tion $(\mathscr G\ra \curlywedge\mathscr T\supset \mathscr T^\shriek \leftarrow \mathscr G^\shriek, \mathscr T^{\op{e}})$ mit kartesisch regulierter Trennverflechtung und Adjungierten und ein Schreimonomorphismus $f:X\ra Y$ mag der Leser zur "Ubung (ich habe sie noch nicht gemacht) zeigen, da"s wir mit den Morphismen der Transformation $f^!\RA f^*$ aus \ref{Fosf} und den Morphismen aus \ref{rVDe} und \ref{fuiH} in den Horizontalen ein kommutatives Diagramm\label{vRiH} $$\begin{array}{ccc}(f^\ast \mathcal G {\Rrightarrow} f^! \mathcal E )&\sira& f^! (\mathcal G{\Rrightarrow} \mathcal E)\\ \da&&\da\\ (f^\ast \mathcal G {\Rrightarrow} f^* \mathcal E )&\ra& f^* (\mathcal G{\Rrightarrow} \mathcal E) \end{array}$$ erhalten. Ist die Transformation aus \ref{Fosf} eine Isotransformation $f^!\siRa f^*$, so ist mithin auch die untere Horizontale ein Isomorphismus alias $f^*$ ist vertr"aglich mit internem Hom. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{R"uckzug und Tensorieren}] Gegeben $(\mathscr G\ra \curlywedge\mathscr T\supset \mathscr T^\shriek \leftarrow \mathscr G^\shriek, \mathscr T^{\op{e}})$ eine Trenn\-aus\-tausch\-si\-tua\-tion mit kartesisch regulierter Trennverflechtung \nichtfinal{(Reicht mit Projektionsformel!)} und Adjungierten, ein Schreimorphismus $f:X\ra Y$ und Objekte $\mathcal F,\mathcal G\in \mathscr G_{/Y}$ erhalten wir einen Morphismus $$\op{avf}:f^!\mathcal F\otimes f^*\mathcal G\ra f^!(\mathcal F\otimes \mathcal G)$$ aus der Komposition $f_!(f^!\mathcal F\otimes f^*\mathcal G)\sira f_!f^!\mathcal F\otimes \mathcal G\ra \mathcal F\otimes \mathcal G$ des von der Projektionsformel herr"uhrenden Morphismus mit der Koeinheit der Adjunktion.\label{fter} Im Fall der konstanten Garbe $\mathcal F=\underline{Y}$ spezialisiert das zu einem Morphismus $$\op{avf}:f^!\underline{Y}\otimes f^*\mathcal G\ra f^!\mathcal G$$ Im Fall einer Pr"averflechtung kann unser Morphismus im allgemeinen nicht mehr sinnvoll definiert werden. In "Ubung \ref{fMru} sollen Sie zeigen, da"s unser Morphismus f"ur beliebiges $\mathcal F$ und starres $\mathcal G$ stets ein Isomorphismus ist. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Schreir"uckzug und R"uckzug f"ur Vektorr"aume}] Jede K"or\-per\-er\-wei\-te\-rung $L/K$ ist in $\op{Kringo}$ ein Morphismus $f:L\ra K$. Gegeben ein $K$-Vektorraum $V$ spezialisiert $\op{avf}:f^!\underline{Y}\otimes f^*\mathcal G\ra f^!\mathcal G$ zu einem Vektorraumhomomorphismus $$\op{Hom}_K(L,K)\otimes_L (L\otimes_KV)\ra \op{Hom}_K(L,V)$$ Explizit wird er in unserem Fall unter den offensichtlichen Identifikationen links die Verkn"upfung $\op{Hom}_K(L,K)\otimes_K\op{Hom}_K(K,V)\ra \op{Hom}_K(L,V)$. Ist $V$ starr alias endlichdimensional, so ist sie ein Isomorphismus. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Verdierdualit"at}] Wir nehmen nun an, da"s wir eine Trenn\-aus\-tausch\-si\-tua\-tion $(\mathscr G\ra \curlywedge\mathscr T\supset \mathscr T^\shriek \leftarrow \mathscr G^\shriek, \mathscr T^{\op{e}})$ mit kartesisch regulierter Trennverflechtung und Adjungierten haben "uber einer Basis $\mathscr T$ mit einem finalen Objekt $\op{pt}$. Ein Objekt $X\in \mathscr T$ derart, da"s der einzige Morphismus $\op{fin}_X:X\ra\op{pt}$ ein Schreimorphismus ist, nennen wir dann ein {\bf Schreiobjekt von} $\mathscr T$.\index{Schreiobjekt} Gegeben ein Schreiobjekt $X$ setzen wir $$\omega_X\pdef \op{fin}_X^!\underline{\op{pt}}$$ und nennen $\omega_X$ das\label{VerDu} {\bf dualisierende Objekt von} $\mathscr G_{/X}$.\index{dualisierendes Objekt} Mit seiner Hilfe erkl"aren wir das {\bf Verdier-Duale von}\index{Verdier-Duales} $\mathcal F\in \mathscr G_{/X}$ durch $$\mathbb D_X\mathcal F\pdef (\mathcal F{{\Rrightarrow}}\omega_X)$$ F"ur jeden Schreimorphismus $f:X\ra Y$ von Schreiobjekten liefern dann die Identifikationen der Schreibifaserung Isomorphismen $$f^!\omega_Y\sira f^!\op{fin}^!_Y\underline{\op{pt}}\sira\op{fin}^!_X\underline{\op{pt}}\sira\omega_X$$ Die Isomorphismen aus \ref{rVDe} spezialisieren, wenn wir $\mathcal E=\omega_Y$ einsetzen, zu Isomorphismen \begin{equation*} f_\ast \mathbb D_X\mathcal F \sira \mathbb D_Y f_! \mathcal F\quad\text{und}\quad \mathbb D_X f^\ast \mathcal G \sira f^! \mathbb D_Y\mathcal G. \end{equation*} Die Koeinheit der Adjunktion $f^* f_*\mathcal F\ra \mathcal F$ liefert unter Dualisieren den ersten Morphismus der Kette $\mathbb D_X \mathcal F\ra \mathbb D_X f^* f_*\mathcal F \sira f^!\mathbb D_Y f_*\mathcal F$ und daraus entsteht mit Adjunktion ein Morphismus $$f_!\mathbb D_X \mathcal F\ra \mathbb D_Y f_*\mathcal F$$ Die Koeinheit der Adjunktion $f_!f^!\mathcal G\ra \mathcal G$ liefert "ahnlich den ersten Morphismus der Kette $\mathbb D_Y\mathcal G\ra \mathbb D_Y f_!f^!\mathcal G\sira f_*\mathbb D_X f^!\mathcal G$ und daraus entsteht mit Adjunktion ein Morphismus $$f^*\mathbb D_Y\mathcal G\ra \mathbb D_X f^!\mathcal G$$ Die Adjunktionsformel f"ur internes Hom nach \eref{IHOX}{TSK} schlie"slich liefert f"ur $\mathcal F,\mathcal E\in \mathscr G_{/X}$ Isomorphismen $$(\mathbb D\mathcal E{\Rrightarrow}\mathbb D\mathcal F) \sila\mathbb D(\mathcal F\otimes\mathbb D\mathcal E)\sira (\mathcal F{\Rrightarrow}\mathbb D\mathbb D\mathcal E)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{K"unnethformeln f"ur verflochtene Trennaustauschsituationen}] Gegeben eine "uber einer banalen Trennkategorie trenngefaserte Trennkategorie $\mathscr G$ und Morphismen $a:X\ra Z$ und $b:Y\ra Z$ in der Basis derart, da"s das Faserprodukt existiert, erhalten wir ein kommutatives Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ X\times_Z Y \ar[d]_-{\op{pr}_X}\ar[r]^-{\op{pr}_Y}\ar[rd]^c &Y \ar[d]^-b\\ X \ar[r]^-{a} & Z } \end{displaymath} Hat unsere Trennfaserung Vorsch"ube, so haben wir f"ur Objekte $\mathcal F\in \mathscr G_{/X}$ und $\mathcal G\in \mathscr G_{/Y}$ in \ref{fuiBPn} ganz allgemein einen Morphismus $$ a_* \mathcal F\otimes b_*\mathcal G\ra c_* (\mathcal F\boxtimes_Z \mathcal G)$$ konstruiert. Gegeben eine Trenn\-aus\-tausch\-si\-tua\-tion $(\mathscr G\ra \curlywedge\mathscr T\supset \mathscr T^\shriek \leftarrow \mathscr G^\shriek, \mathscr T^{\op{e}})$ mit kartesisch regulierter Trennverflechtung derart, da"s $a,b,c$ Schreimorphismen sind, liefert \ref{VexPn} sogar einen Isomorphismus $$ a_! \mathcal F\otimes b_!\mathcal G\sira c_! (\mathcal F\boxtimes_Z \mathcal G)$$ Hat unsere Trenn\-aus\-tausch\-si\-tua\-tion zus"atzlich Adjungierte, so finden wir auch einen Isomorphismus $$a_!\mathcal F{\Rrightarrow} b_*\mathcal G \sira c_*(\op{pr}_X^*\mathcal F{\Rrightarrow} \op{pr}_Y^!\mathcal G)$$ als das Inverse der Komposition\label{KvTk} $$\begin{array}{llll} c_*(\op{pr}_X^*\mathcal F{\Rrightarrow} \op{pr}_Y^!\mathcal G)&\sira & b_*\op{pr}_{Y*}(\op{pr}_X^*\mathcal F{\Rrightarrow} \op{pr}_Y^!\mathcal G) &\text{Identifikation,}\\ &\sira & b_*(\op{pr}_{Y!}\op{pr}_X^*\mathcal F{\Rrightarrow} \mathcal G) &\text{interne Adjunktion \ref{rVDe},}\\ &\sira & b_*(b^*a_!\mathcal F{\Rrightarrow} \mathcal G) &\text{Flechtbasiswechsel,}\\ &\sira & a_!\mathcal F{\Rrightarrow} b_*\mathcal G&\text{interne Adjunktion \ref{ngtR}.} \end{array}$$ \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Ich habe diese "Ubung noch nicht gemacht. Man zeige: Die in \ref{TegVN} beschriebene Transformation $f_!\RA f_*$ bildet zusammen mit dem Isomorphismus der Projektionsformel \ref{ProjFF} und \ref{NatTT} ein kommutatives Diagramm\label{PFnat} $$\begin{array}{ccc} (f_{!} \mathcal F) \otimes \mathcal G &\sira& f_{!} (\mathcal F \otimes f^{*} \mathcal G)\\ \da&&\da\\ (f_{*} \mathcal F) \otimes \mathcal G &\rightarrow& f_{*} (\mathcal F \otimes f^{*} \mathcal G) \end{array}$$ \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben Trennaustauschsituation mit kartesisch regulierter Trennverflechtung und Adjungierten und ein Schreimorphismus $f:X\ra Y$ zu einem Schreiobjekt $Y$ der Basis sowie ein Objekt $\mathcal G\in\mathscr G_{/Y}$ in der Faser "uber $Y$ ist die Ver\-kn"up\-fung\label{adjDD} $$f_!f^!\mathbb D \mathcal G \sira f_!\mathbb D f^*\mathcal G\ra \mathbb D f_*f^*\mathcal G\ra \mathbb D \mathcal G$$ von Morphismen aus \ref{rVDe} mit der dualisierten Einheit der Adjunktion $(f^*,f_*)$ auf $\mathcal G$ die Koeinheit der Adjunktion $(f_!,f^!)$ auf $\mathbb D\mathcal G$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben eine Trenn\-aus\-tausch\-si\-tua\-tion mit kartesisch regulierter Trennverflechtung und Adjungierten und ein Schreimorphismus $f:X\ra Y$ der Basis macht die vom Morphismus $\op{avf}:f_{!} \mathcal F\otimes f_* \underline{X}\ra f_{!} (\mathcal F\otimes \underline{X})$ aus \ref{tknk} induzierte Zweiverschmelzung $f_{!} \mathcal F\curlyvee f_* \underline{X} \ra f_{!} \mathcal F$ unser Objekt $f_{!} \mathcal F$ zu einem Modul\label{KpKM} "uber dem Monoid $f_* \underline{X}$ f"ur die nach \ref{NatTT} von der Monoidstruktur auf $\underline{X}$ herkommenden Monoidstruktur. Erf"ullt $f$ die Bedingungen aus \ref{TegVN}, so ist der in \ref{TegVN} konstruierte Morphismus $f_{!} \mathcal F\ra f_*\mathcal F$ zus"atzlich ein Homomorphismus von $f_*\underline{X}$-Moduln. Ich habe diese "Ubung noch nicht gemacht. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben eine Trenn\-aus\-tausch\-si\-tua\-tion mit kartesisch regulierter Trennverflechtung und Adjungierten und ein kartesisches Basisquadrat $pg=fq$ erhalten wir ein kommutatives Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ q^* \ar@{=>}[d]\ar@{=>}[r]& q^*f^!f_!\ar@{=>}[d] \\ g^!g_!q^*& g^!p^*f_!\ar@{=>}[l]_-\sim} \end{displaymath} mit den durch Koeinheiten der Adjunktionen gegebenen von oben links ausgehenden Transformationen und Basiswechsel in der unteren Horizontale und der Transformation aus \ref{FleB} in der rechten Vertikale.\label{tAS} Ich habe diese "Ubung noch nicht gemacht. \end{Ubung} \begin{Ubung} (Ich habe diese "Ubung nicht gemacht.) Ist in \ref{fter} das Objekt $\mathcal G$ starr, so ist der fragliche Morphismus ein Isomorphismus\label{fMru} $$f^!\mathcal F\otimes f^*\mathcal G\sira f^!(\mathcal F\otimes \mathcal G)$$ Hinweis: Man schreibe $(\mathcal G\otimes\;)$ zu $(\mathcal G^\vee {\Rrightarrow}\;)$ um und verwende aus \ref{rVDe} die Formel f"ur den Schreir"uckzug von internem Hom. \end{Ubung} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXTSF" %%% End: