\documentclass[12pt,a4paper]{article} \usepackage[active]{srcltx} \usepackage{young} \usepackage{makeidx} \usepackage{newlfont} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsxtra} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amscd} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{stmaryrd} \usepackage[ngerman]{babel} \usepackage{verbatim} \usepackage{graphicx} \input{xy} \xyoption{all} \frenchspacing \usepackage{amsthm} \usepackage{epsfig} \usepackage{alltt} %\input{newtheorems} \usepackage{hyperref} \theoremstyle{remark} \newtheorem{Ubung}{\"{U}bung}[section] \newtheorem{Ubunge}[Ubung]{Erg\"{a}nzende \"{U}bung} \newtheorem{Ubungb}[Ubung]{Bonus-\"{U}bung} \newtheorem{Ubunga}{Aufgabe} \newtheorem{Definition}{Definition} \newtheorem{Bemerkung}{Bemerkung} \newtheorem{Satz}{Satz} \input{newcommands} \usepackage[T1]{fontenc} \newcommand{\changefont}[3]{ \fontfamily{#1} \fontseries{#2} \fontshape{#3} \selectfont} \renewcommand{\familydefault}{ptm} \begin{document} \begin{center} {\Large "Ubungbl"atter zur Algebra und Zahlentheorie bei Soergel im WS 2024/25} \end{center} \noindent Allgemeine Hinweise: \begin{itemize}\item Bei der Bearbeitung der "Uungen und sp"ater der Klausuraufgaben ist keine "ubertriebene Ausf"uhrlichkeit gefordert. Einfach zu schreiben, es sei klar, reicht nicht, aber eine schl"ussige Kette von richtigen Argumenten in der n"achsten Stufe der Ausf"uhrlichkeit reicht aus. Allerdings soll die Argumentationskette auch f"ur Sie selbst schl"ussig sein. Sie m"ussen sie im Tutorat erkl"aren k"onnen und in der Lage sein, auf Nachfragen Schritte Ihrer Argumentation genauer auszuf"uhren. In der Vorlesung bewiesene Aussagen m"ussen dabei aber keinesfalls nochmals bewiesen werden, da reicht ein Zitat. \item Es gibt jede Woche vier Aufgaben und f"ur jede Aufgabe gibt es vier Punkte, obwohl der Schwierigkeitsgrad der Aufgaben durchaus sehr unterschiedlich sein wird. Erg"anzende "Ubungen sind meist schwieriger, sind f"ur die Klausur nicht relevant und geben bis zu vier Bonuspunkte. \item Die "Ubungen werden Dienstags ausgegeben und m"ussen die Woche danach am Dienstag vor der Vorlesung abgegeben werden. Sie seien ermutigt, die Aufgaben mit Ihren Kommilitonen zu besprechen und zu zweit abzugeben. Mehr als zwei Namen auf einem Zettel gilt aber nicht. \item Die "Ubungen werden auf den folgenden Seiten dieses Textes ins Netz gestellt, der jede Woche um das "Ubungsblatt der jeweiligen Woche erg"anzt werden wird. \end{itemize} \newpage \begin{center} {\Large Anwesenheitsaufgaben zweite Vorlesungswoche Algebra und Zahlentheorie} \end{center} Diese "Ubungen m"ussen nicht abgegeben werden, sondern sollen im Laufe der zweiten Vorlesungswoche in den Tutoraten bearbeitet werden. Zu diesem Zeitpunkt liegen ja noch keine korrigierten Hausaufgaben vor, die zu besprechen w"aren. \setcounter{Ubung}{0} \begin{Ubung} Seien $M$ ein Monoid und $e$ sein neutrales Element. Man zeige: Unser Monoid ist genau dann eine Gruppe, wenn es f"ur jedes $a \in M$ ein $\bar{a} \in M$ gibt mit $\bar{a}\top a =e$, und dies Element $\bar{a}$ ist dann notwendig das Inverse von $a$ in $M$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Ein endliches Monoid $(M,\top)$, in dem f"ur jedes Element $a\in M$ die Multiplikationsabbildung eine Injektion $(a\top):M\hra M$ ist, mu"s bereits eine Gruppe sein. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Koinduzierte Verkn"upfung}] Sei $(X,\top)$ eine Menge mit Ver\-kn"up\-fung. Gegeben eine Surjektion $X\sra Q$ gibt es h"ochstens eine Verkn"upfung auf $Q$ derart, da"s unsere Surjektion ein Homomorphismus von Magmas ist. Wenn es solch eine Verkn"upfung gibt, hei"st unsere Surjektion {\bf an die Verkn"upfung angepa"st} und die fragliche Verkn"upfung auf $Q$ die\label{koindV} {\bf auf $Q$ koinduzierte Verkn"upfung}.\index{Verkn"upfung!koinduzierte} Zum Beispiel ist die Surjektion $\DN\sra \{0,1,\ldots,9\}$, die jeder Zahl die letzte Ziffer ihrer Dezimaldarstellung zuordnet, angepa"st sowohl an die Addition als auch an die Multiplikation. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Eigenschaften einer koinduzierten Verkn"upfung}] Die Eigenschaften der Assoziativit"at und Kommutativit"at "ubertragen sich auf die koinduzierte Verkn"upfung.\label{EkoV} Das Bild des Einselements ist ein Einselement f"ur die koinduzierte Verkn"upfung, das Bild des Inversen ein Inverses. Jede koinduzierte Verkn"upfung zu einer angepa"sten Surjektion von einer Gruppe auf eine Menge macht besagte Menge zu einer Gruppe. \end{Ubung} \begin{Ubung} Ist $M$ eine Menge mit assoziativer Verkn"upfung und existiert ein $e\in M$ mit $e\top a=a\;\forall a\in M$ sowie f"ur jedes $a\in M$ ein $\bar{a} \in M$ mit $\bar{a}\top a =e$, so ist $M$ eine Gruppe. Hinweis: Man zeige, da"s $\bar{a}\top$ bijektiv ist. \end{Ubung} \newpage \addtocounter{section}{1} \begin{center} {\Large "Ubungen Algebra und Zahlentheorie} \end{center} \begin{center} Abgabe bis Dienstag, den 22.10 um 10:15 \end{center} \setcounter{Ubung}{0} %\begin{Ubung}\label{EIG} %Ein Element $a$ eines Monoids $M$ ist invertierbar genau dann, %wenn es $b,c\in M$ gibt mit $b\top a=e=a\top c$ f"ur $e$ das neutrale %Element. %\end{Ubung} \begin{Ubung}\label{ETUG} Eine endliche nichtleere Teilmenge einer Gruppe, die mit je zwei Elementen auch die Verkn"upfung der beiden enth"alt, ist notwendig bereits eine Untergruppe. \end{Ubung} %\begin{Ubung}\label{SM} %Sind $H,K \subset G$ zwei Untergruppen einer Gruppe %mit $H\cap K =1$, so %induziert die Verkn"upfung eine Injektion $H \times K %\hookrightarrow G$. %\end{Ubung} \begin{Ubung} Wieviele Untergruppen hat die additive Gruppe eines zweidimensionalen Vektorraums "uber dem K"orper mit zwei Elementen? Wieviele Untergruppen hat die additive Gruppe eines $n$-dimensionalen Vektorraums "uber dem K"orper mit zwei Elementen? \end{Ubung} \begin{Ubung} Man berechne den gr"o"sten gemeinsamen Teiler von $3456$ und $436$ und eine Darstellung desselben als ganzzahlige Linearkombination unserer beiden Zahlen. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben zwei von Null verschiedene nat"urliche Zahlen $a,b$ nennt man die kleinste von Null verschiedene nat"urliche Zahl, die sowohl ein Vielfaches von $a$ als auch ein Vielfaches von $b$ ist, das {\bf kleinste gemeinsame Vielfache}\index{kleinstes gemeinsames Vielfaches} von $a$ und $b$ und notiert sie $\op{kgV}(a,b)$.\index{kgV@$\op{kgV}$ kleinstes gemeinsames Vielfaches} Man zeige in dieser Notation die Formel $\op{kgV}(a,b)\op{ggT}(a,b)=ab$. \end{Ubung} \newpage \addtocounter{section}{1} \begin{center} {\Large "Ubungen Algebra und Zahlentheorie} \end{center} \begin{center} Abgabe bis Dienstag, den 29.10 um 10:15 \end{center} \setcounter{Ubung}{0} \begin{Ubung} Haben zwei endliche Untergruppen einer Gruppe teilerfremde Kardinalit"aten,\label{EOO2} so besteht ihr Schnitt nur aus dem neutralen Element. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige, da"s in der symmetrischen Gruppe $\mathcal S_4$ die Doppeltranspositionen zusammen mit dem neutralen Element einen Normalteiler $D\subset \mathcal S_4$ bilden, und konstruiere einen Isomorphismus $\mathcal S_4/D\sira \mathcal S_3$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben ein surjektiver Gruppenhomomorphismus $\varphi:G\sra \bar G$ und ein Normalteiler $\bar N\subset \bar G$ mit Urbild $ \varphi^{-1}(\bar N)=N\subset G$ \label{AWNe} induziert $\varphi$ einen Gruppenisomorphismus $$\varphi: G/N\sira \bar G/\bar N$$ \end{Ubung} %\begin{Ubung} %Man gebe alle Zahlen an, die %bei Division durch $6$ Rest $4$ lassen, %bei Division durch $13$ Rest $2$, und %bei Division durch $11$ Rest $9$. Hinweis: %Der euklidische Algorithmus liefert schon mal %L"osungen, wenn ein Rest $1$ ist und die anderen Null. %\end{Ubung} %\begin{Ubung}\label{OKLI} % Man zeige, da"s es in einer zyklischen Gruppe der Ordnung $n$ genau % dann Elemente der Ordnung $d$ gibt, wenn $d$ ein Teiler von $n$ ist. %\end{Ubung} \begin{Ubung}\label{GTNN} Sei $G\supset H$ eine Gruppe mit einer Untergruppe. Ist $G/H$ endich, so zeige man, da"s $H$ einen Normalteiler $N$ von $G$ umfa"st mit $G/N$ endlich. \end{Ubung} \newpage \addtocounter{section}{1} \begin{center} {\Large "Ubungen Algebra und Zahlentheorie} \end{center} \begin{center} Abgabe bis Dienstag, den 5.11 um 10:15 \end{center} \setcounter{Ubung}{0} \begin{Ubung} Man f"uhre die Induktion zum Beweis des Chinesischen Restsatzes aus und zeige: Ist $m=q_1\ldots q_s$ ein Produkt von paarweise teilerfremden ganzen Zahlen, so liefert die offensichtliche Abbildung einen Isomorphismus $$\DZ/m\DZ\sira \DZ/q_1\DZ\times\ldots\times \DZ/q_s\DZ$$ \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben Primzahlen $p_1,\ldots, p_r$ und eine Zahl $e$ mit $$e\equiv 1\pmod{(p_i-1)} \;\forall i$$ zeige man f"ur alle $a\in\DZ$ die Kongruenz $a^e\equiv a\pmod{(p_1\ldots p_r)}$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gibt es ein Vielfaches von $17$, dessen letzte Ziffern $39$ lauten? Wie rechnen Sie sowas aus? \end{Ubung} \begin{Ubung} Wieviele M"oglichkeiten gibt es, f"ur eine Schatzsuche eine Klasse mit 21 Schülern in drei Mannschaften zu je sieben Schülern aufzuteilen? Wie hilft die Bahnformel? \end{Ubung} \newpage \addtocounter{section}{1} \begin{center} {\Large "Ubungen Algebra und Zahlentheorie} \end{center} \begin{center} Abgabe bis Dienstag, den 12.11 um 10:15 \end{center} \setcounter{Ubung}{0} \begin{Ubung} Man gebe eine Kompositionsreihe der symmetrischen Gruppe $\mathcal S_4$ an. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{AFF}%\label{AF} Man zeige: Jede Untergruppe einer nilpotenten Gruppe ist nilpotent. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige: F"ur jede Primzahl $p$ gibt es bis auf Isomorphismus genau zwei Gruppen der Ordnung $2p$, eine zyklische Gruppe und eine Diedergruppe. Hinweis: Man erinnere die Argumentation im Fall $p=3$ und interessiere sich f"ur die Anzahl der $2$-Sylows. \end{Ubung} \begin{Ubung} Wieviele $p$-Sylows hat die Gruppe $\op{GL}(2;\mathbb F_p)$? \end{Ubung} \newpage \addtocounter{section}{1} \begin{center} {\Large "Ubungen Algebra und Zahlentheorie} \end{center} \begin{center} Abgabe bis Dienstag, den 19.11 um 10:15 \end{center} \setcounter{Ubung}{0} \begin{Ubung} Gegeben eine endliche Menge $X$ und eine Abbildung $f:X\ra X$ zeige man, da"s es nat"urliche Zahlen $m, n$ gibt mit $n\geq 1$ und $f^m=f^{m+n}$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige, da"s das Bild eines Ideals unter einem surjektiven Ringhomomorphismus stets wieder ein Ideal ist. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige, da"s es f"ur jeden Ring $R$ genau einen Ringhomomorphismus $\DZ\ra R$ gibt. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man finde das multiplikative Inverse der Nebenklasse von $22$ im K"orper $\mathbb F_{31}$. Hinweis: Euklidischer Algorithmus. \end{Ubung} \newpage \addtocounter{section}{1} \begin{center} {\Large "Ubungen Algebra und Zahlentheorie} \end{center} \begin{center} Abgabe bis Dienstag, den 26.11 um 10:15 \end{center} \setcounter{Ubung}{0} \begin{Ubung} Man zeige: Eine nat"urliche Zahl, die kongruent zu sieben ist modulo acht, kann nicht eine Summe von drei Quadraten sein. Nebenbei bemerkt ist auch jede nat"urliche Zahl, die nicht kongruent zu sieben ist modulo acht, eine Summe von drei Quadraten. Das aber ist keine "Ubungsaufgabe mehr, sondern braucht solide Grundlagen in Zahlentheorie. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man finde ein Nichtquadrat $a$ im K"orper $\mathbb F_5$ und zeige, da"s der Restklassenring $\mathbb F_5[X]/\langle X^2-a\rangle$ ein K"orper mit $25$ Elementen ist. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige, da"s $\DZ[X]$ kein Hauptidealring ist. \end{Ubung} \begin{Ubung} Sei $k$ ein K"orper. Man zeige: (1) Alle Polynome vom Grad $1$ sind irreduzibel in $k[X]$. (2) Ist $P \in k[X]$ irreduzibel und $\op{grad} P > 1$, so hat $P$ keine Nullstelle in $k$. (3) Ist $P \in k [X]\setminus k$ vom Grad $\op{grad} P \leq 3$ und hat $P$ keine Nullstelle in $k$, so ist $P$ irreduzibel in $k[X]$. (4) Ist $k$ algebraisch abgeschlossen, so sind die irreduziblen Polynome in $k[X]$ genau die Polynome vom Grad $1$. Man gebe auch (5) ein Polynom positiven Grades in $\DR[X]$ an, das keine Nullstelle hat, aber dennoch nicht irreduzibel ist. \end{Ubung} \newpage \addtocounter{section}{1} \begin{center} {\Large "Ubungen Algebra und Zahlentheorie} \end{center} \begin{center} Abgabe bis Dienstag, den 3.12 um 10:15 \end{center} \setcounter{Ubung}{0} \begin{Ubung} Man schreibe $9+13{\op{i}}$ als Produkt von Gau"sprimzahlen. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man bestimme s"amtliche Zerlegungen von $1000$ in eine Summe von zwei Quadratzahlen. \end{Ubung} \begin{Ubung} Seien $R$ ein faktorieller Ring und $q\in \op{Quot}(R)$ ein Element seines Quotientenk"orpers und $n\geq 1$ mit $q^n\in R$. Man zeige $q\in R$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man bestimme die Partialbruchzerlegung von $1/(x^4+2)$ in $\DC(X)$. \end{Ubung} \newpage \addtocounter{section}{1} \begin{center} {\Large "Ubungen Algebra und Zahlentheorie} \end{center} \begin{center} Abgabe bis Dienstag, den 10.12 um 10:15 \end{center} \setcounter{Ubung}{0} \begin{Ubung} Seien $k$ ein K"orper und $0 < n (1) < n (2) < \ldots < n (r) 2$ und $r\geq 1$ stets einen endlichen K"orper der Charakteristik $p$ gibt, dessen multiplikative Gruppe ein Element der Ordnung $2^r$ hat. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben eine endliche K"orpererweiterung $K\subset L$ zeige man, da"s jedes Polynom aus dem Polynomring $L[X]$ Teiler eines Polynoms aus dem Polynomring $K[X]$ ist.\label{TPRK} \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{GKTv} Man zeige: Gegeben eine Primzahl $p$ und zwei $p$-te Einheitswurzeln $\zeta,\xi\in \DC$ der Ordnung $p$ gilt $\DQ(\zeta)=\DQ(\xi)$ und es gibt genau einen K"orperhomomorphismus $\DQ(\zeta)\ra \DQ(\zeta)$ mit $\zeta\mapsto\xi$. Hinweis: Irreduzibilit"at des $p$-ten Kreisteilungspolynoms. \end{Ubung} \newpage \addtocounter{section}{1} \begin{center} {\Large "Ubungen Algebra und Zahlentheorie} \end{center} \begin{center} Abgabe bis Dienstag, den 14.1 um 10:15 \end{center} \setcounter{Ubung}{0} \begin{Ubung} Man zeige: Ein Polynom mit Koeffizienten in einem K"orper $K$ der Charakteristik Null ist separabel genau dann, wenn es von keinem Quadrat eines $K$-irreduziblen Polynoms geteilt wird. \end{Ubung} \begin{Ubung} Finden Sie alle komplexen mehrfachen Nullstellen des Polynoms $X^4-4X^3+5X^2-4X+4$. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{MSZ} Man zeige: Seien $M \supset L \supset K$ K"orper. Ist $M / L$ separabel und $L/K$ separabel, so ist $M/K$ separabel. Hinweis: Man ziehe sich zun"achst auf den Fall endlicher Erweiterungen zur"uck und verwende dann den Satz "uber die Charakterisierungen separabler K"orpererweiterungen. \end{Ubung} \begin{Ubung} Eine algebraische K"orpererweiterung derart, da"s nur die Elemente des kleinen K"orpers "uber diesem separabel sind, hei"st {\bf rein inseparabel}.\index{rein inseparabel}\index{inseparabel!rein, K"orpererweiterung} Man zeige, da"s eine algebraische\label{reii} Erweiterung $L/K$ eines K"orpers $K$ der Charakteristik $p>0$ rein inseparabel ist genau dann, wenn f"ur jedes Element von $L$ die $p^r$-te Potenz f"ur hinreichend gro"ses $r$ in $K$ liegt. \end{Ubung} \newpage \addtocounter{section}{1} \begin{center} {\Large "Ubungen Algebra und Zahlentheorie} \end{center} \begin{center} Abgabe bis Dienstag, den 21.1 um 10:15 \end{center} \setcounter{Ubung}{0} \begin{Ubung}\label{GZE} Gegeben $n\geq 1$ zeige man, da"s $\DC(X^n)\subset \DC(X)$ eine Galoiserweiterung vom Grad $n$ ist mit zyklischer Galoisgruppe. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man bestimme die Galoisgruppe des Zerf"allungsk"orpers des Polynoms $X^4-5$ "uber $\DQ$ und "uber $\DQ[\op{i}]$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige: Gegeben eine endliche Galoiserweiterung $L/K$ ist die {\bf Spurabbildung}\index{Spurabbildung} $\op{S}_L^K:L\ra K$ gegeben durch $$ x\mapsto \sum_{\sigma\in \op{Gal}(L/K)}\sigma(x)$$ eine $K$-lineare von Null verschiedene Abbildung\label{SpurA1} und die {\bf Spurform}\index{Spurform} $L\times L\ra K$ gegeben durch $(x,y)\mapsto \op{S}_L^K(xy)$ ist eine nichtausgeartete Bilinearform auf dem $K$-Vektorraum $L$. Hinweis: Lineare Unabh"angigkeit von Charakteren. \end{Ubung} \begin{Ubung} Seien $k$ ein K"orper der Charakteristik $p>0$ und $\lambda\in k^\times$ und $t=t_\lambda:k(X)\sira k(X)$ der K"orperautomorphismus "uber $k$ mit $X\mapsto X+\lambda$. Man zeige, da"s der K"orper der Invarianten genau das Bild derjenigen Einbettung $k(Y)\hra k(X)$ ist, die durch $Y\mapsto X^p-\lambda^{p-1}X$ gegeben wird. \end{Ubung} \newpage \addtocounter{section}{1} \begin{center} {\Large "Ubungen Algebra und Zahlentheorie} \end{center} \begin{center} Abgabe bis Dienstag, den 28.1 um 10:15 \end{center} \begin{center} {\bf Bis Freitag 24.1 Anmeldung zur Klausur,\\ bis Sonntag 26.1 Evaluation.} \end{center} \setcounter{Ubung}{0} \begin{Ubung} Man zeige: Gegeben eine K"orpererweiterung $L/K$ und zwei verschiedene normierte irreduzible Polynome in $K[X]$ kann kein Element der Galoisgruppe eine Nullstelle des einen Polynoms in eine Nullstelle des anderen Polynoms "uberf"uhren. \end{Ubung} \begin{Ubung} Wieviele zu $140000$ teilerfremde Zahlen $a$ mit $1\leq a\leq 140000$ gibt es? \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige, da"s die Einheitswurzeln des $n$-ten Kreisteilungsk"orpers f"ur gerades $n$ genau die $n$-ten Einheitswurzeln sind und f"ur ungerades $n$ genau die $2n$-ten Einheitswurzeln. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben $n>2$ zeige man, da"s im Kreisteilungsk"orper $\DQ(\sqrt[n]{1})=\DQ(\zeta)$ f"ur $\zeta$ eine primitive $n$-te Einheitswurzel gilt $[\DQ(\zeta):\DQ(\zeta + \zeta^{-1})]=2$ und $[\DQ(\zeta + \zeta^{-1}):\DQ]=\varphi(n)/2$. Man folgere $\Phi_n(X)=X^{\varphi(n)}\Phi_n(X^{-1})$. \end{Ubung} \newpage \addtocounter{section}{1} \begin{center} {\Large Klausur Algebra und Zahlentheorie} \end{center} \begin{center} am Dienstag, den 25.2.2025 \end{center} \setcounter{Ubung}{0} \begin{Ubung} Wieviele zu $27000$ teilerfremde Zahlen $a$ mit $1\leq a\leq 27000$ gibt es? \end{Ubung} \begin{Ubung} Was ist die Summe $\lambda_{1}^{2}+\lambda^{2}_{2}+\lambda^{2}_{3} +\lambda^{2}_{4}$ der Quadrate der vier komplexen Nullstellen $\lambda_{1},\ldots, \lambda_{4}$ des Polynoms $2X^4-6X^3+X+15$? \end{Ubung} \begin{Ubung} Man schreibe $4+18{\op{i}}$ als Produkt von Gau"sprimzahlen. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man bestimme das Minimalpolynom von $\sqrt{5}+2\sqrt{3}$ "uber $\DQ$. Man bestimme alle Zwischenk"orper der von diesem Element erzeugten K"orpererweiterung von $\DQ$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man finde das multiplikative Inverse der Nebenklasse von $21$ im K"orper $\mathbb F_{97}$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige, da"s das Bild eines Ideals unter einem surjektiven Ringhomomorphismus stets wieder ein Ideal ist. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man bestimme die Galoisgruppe des Zerf"allungsk"orpers des Polynoms $X^6-9$ "uber $\DQ$ und "uber $\DQ[\op{i}]$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Welche M"oglichkeiten gibt es f"ur die Anzahl der $2$-Sylows einer Gruppe mit $24$ Elementen? Geben Sie jeweils ein Beispiel an. \end{Ubung} \end{document} %pdflatex "\PassOptionsToPackage{final}{showkeys}\PassOptionsToPackage{final}{ifdraft}\input{UbgAL}" %scp /home/soergel/Dokumente/Skripten/Skripten/UbgAL.pdf soergel@tux00.mathematik.uni-freiburg.de:/webserver/home/soergel/Skripten/UbgAL.pdf