\documentclass[12pt,a4paper]{article} \usepackage[draft]{ifdraft} \usepackage{xcolor} \usepackage[active]{srcltx} \usepackage{young} \usepackage{makeidx} \usepackage{newlfont} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsxtra} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amscd} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{stmaryrd} \usepackage[ngerman]{babel} \usepackage{verbatim} \usepackage{graphicx} \input{xy} \xyoption{all} \frenchspacing \usepackage{amsthm} \usepackage{epsfig} \usepackage{alltt} %\input{newtheorems} \usepackage{hyperref} \theoremstyle{remark} \newtheorem{Ubung}{\"{U}bung}[section] \newtheorem{Ubunge}[Ubung]{Erg\"{a}nzende \"{U}bung} \newtheorem{Ubungb}[Ubung]{Bonus-\"{U}bung} \newtheorem{Ubunga}{Aufgabe} \newtheorem{Definition}{Definition} \newtheorem{Bemerkung}{Bemerkung} \newtheorem{Satz}{Satz} \input{newcommands} \ifoptionfinal{\newcommand{\nichtfinal}[1]{}}{\newcommand{\nichtfinal}[1]{\textcolor{orange}{#1}}} \usepackage[T1]{fontenc} \newcommand{\changefont}[3]{ \fontfamily{#1} \fontseries{#2} \fontshape{#3} \selectfont} \renewcommand{\familydefault}{ptm} \begin{document} \begin{center} {\Large "Ubungbl"atter zur Algebra und Zahlentheorie bei Soergel im WS 2025/26} \end{center} \noindent Allgemeine Hinweise: \begin{itemize}\item Bei der Bearbeitung der "Uungen und sp"ater der Klausuraufgaben ist keine "ubertriebene Ausf"uhrlichkeit gefordert. Einfach zu schreiben, es sei klar, reicht nicht, aber eine schl"ussige Kette von richtigen Argumenten in der n"achsten Stufe der Ausf"uhrlichkeit reicht aus. Allerdings soll die Argumentationskette auch f"ur Sie selbst schl"ussig sein. Sie m"ussen sie im Tutorat erkl"aren k"onnen und in der Lage sein, auf Nachfragen Schritte Ihrer Argumentation genauer auszuf"uhren. In der Vorlesung bewiesene Aussagen m"ussen dabei aber keinesfalls nochmals bewiesen werden, da reicht ein Zitat. \item Es gibt jede Woche vier Aufgaben und f"ur jede Aufgabe gibt es vier Punkte, obwohl der Schwierigkeitsgrad der Aufgaben durchaus sehr unterschiedlich sein wird. Erg"anzende "Ubungen sind meist schwieriger, sind f"ur die Klausur nicht relevant und geben bis zu vier Bonuspunkte. \item Die "Ubungen werden Dienstags ausgegeben und m"ussen die Woche danach am Dienstag vor der Vorlesung abgegeben werden. Sie seien ermutigt, die Aufgaben mit Ihren Kommilitonen zu besprechen und zu zweit abzugeben. Mehr als zwei Namen auf einem Zettel gilt aber nicht. \item Die "Ubungen werden auf den folgenden Seiten dieses Textes ins Netz gestellt, der jede Woche um das "Ubungsblatt der jeweiligen Woche erg"anzt werden wird. \end{itemize} \newpage \begin{center} {\Large Anwesenheitsaufgaben zweite Vorlesungswoche Algebra und Zahlentheorie} \end{center} Diese "Ubungen m"ussen nicht abgegeben werden, sondern sollen im Laufe der zweiten Vorlesungswoche in den Tutoraten bearbeitet werden. Zu diesem Zeitpunkt liegen ja noch keine korrigierten Hausaufgaben vor, die zu besprechen w"aren. \setcounter{Ubung}{0} \begin{Ubung} Man f"uhre in einem Beispiel den euklidischen Algorithmus aus und finde eine Darstellung des ggT als Linearkombination der beiden Ausgangszahlen. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man gebe ein unverk"urzbares Erzeugendensystem der Gruppe $\DZ^2$ an, das aus drei Elementen besteht. \end{Ubung} \begin{Ubung} Seien $M$ ein Monoid und $e$ sein neutrales Element. Man zeige: Unser Monoid ist genau dann eine Gruppe, wenn es f"ur jedes $a \in M$ ein $\bar{a} \in M$ gibt mit $\bar{a}\top a =e$, und dies Element $\bar{a}$ ist dann notwendig das Inverse von $a$ in $M$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige: Ein endliches Monoid $(M,\top)$, in dem f"ur jedes Element $a\in M$ die Multiplikationsabbildung eine Injektion $(a\top):M\hra M$ ist, mu"s bereits eine Gruppe sein. \end{Ubung} \nichtfinal{\begin{Ubung}[\textbf{Koinduzierte Verkn"upfung}] Sei $(X,\top)$ eine Menge mit Ver\-kn"up\-fung. Gegeben eine Surjektion $X\sra Q$ gibt es h"ochstens eine Verkn"upfung auf $Q$ derart, da"s unsere Surjektion ein Homomorphismus von Magmas ist. Wenn es solch eine Verkn"upfung gibt, hei"st unsere Surjektion {\bf an die Verkn"upfung angepa"st} und die fragliche Verkn"upfung auf $Q$ die\label{koindV} {\bf auf $Q$ koinduzierte Verkn"upfung}.\index{Verkn"upfung!koinduzierte} Zum Beispiel ist die Surjektion $\DN\sra \{0,1,\ldots,9\}$, die jeder Zahl die letzte Ziffer ihrer Dezimaldarstellung zuordnet, angepa"st sowohl an die Addition als auch an die Multiplikation. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Eigenschaften einer koinduzierten Verkn"upfung}] Die Eigenschaften der Assoziativit"at und Kommutativit"at "ubertragen sich auf die koinduzierte Verkn"upfung.\label{EkoV} Das Bild des Einselements ist ein Einselement f"ur die koinduzierte Verkn"upfung, das Bild des Inversen ein Inverses. Jede koinduzierte Verkn"upfung zu einer angepa"sten Surjektion von einer Gruppe auf eine Menge macht besagte Menge zu einer Gruppe. \end{Ubung} \begin{Ubung} Ist $M$ eine Menge mit assoziativer Verkn"upfung und existiert ein $e\in M$ mit $e\top a=a\;\forall a\in M$ sowie f"ur jedes $a\in M$ ein $\bar{a} \in M$ mit $\bar{a}\top a =e$, so ist $M$ eine Gruppe. Hinweis: Man zeige, da"s $\bar{a}\top$ bijektiv ist. \end{Ubung}} \newpage \addtocounter{section}{1} \begin{center} {\Large "Ubungen Algebra und Zahlentheorie} \end{center} \begin{center} Abgabe bis Dienstag, den 21.10 um 10:15 \end{center} \setcounter{Ubung}{0} \begin{Ubung}\label{EIG} Ein Element $a$ eines Monoids $M$ ist invertierbar genau dann, wenn es $b,c\in M$ gibt mit $b\top a=e=a\top c$ f"ur $e$ das neutrale Element. \end{Ubung} \nichtfinal{\begin{Ubung}\label{ETUG} Eine endliche nichtleere Teilmenge einer Gruppe, die mit je zwei Elementen auch die Verkn"upfung der beiden enth"alt, ist notwendig bereits eine Untergruppe. \end{Ubung}} \begin{Ubung}\label{SM} Wieviele Untergruppen hat die additive Gruppe eines dreidimensionalen Vektorraums "uber dem K"orper mit drei Elementen? \end{Ubung} \begin{Ubung} Man bestimme alle Untergruppen von $\DZ/20\DZ$. \end{Ubung} \nichtfinal{\begin{Ubung}Sp"ater, mit Ringstruktur! Die bijektiven Gruppenhomomorphismen $\DZ/20\DZ\ra \DZ/20\DZ$ bilden ihrerseits eine Gruppe. Ist sie zyklisch? \end{Ubung}} \begin{Ubung}\label{SM} Sind $H,K \subset G$ zwei Untergruppen einer endlichen Gruppe mit $|H|$ teilfremd zu $|K|$ und $|H|\cdot |K|=|G|$, so induziert die Verkn"upfung eine Bijektion $H \times K \ra G$. \end{Ubung} \nichtfinal{\begin{Ubung} Wieviele Untergruppen hat die additive Gruppe eines zweidimensionalen Vektorraums "uber dem K"orper mit zwei Elementen? Wieviele Untergruppen hat die additive Gruppe eines $n$-dimensionalen Vektorraums "uber dem K"orper mit zwei Elementen? \end{Ubung} \begin{Ubung} Man berechne den gr"o"sten gemeinsamen Teiler von $3456$ und $436$ und eine Darstellung desselben als ganzzahlige Linearkombination unserer beiden Zahlen. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben zwei von Null verschiedene nat"urliche Zahlen $a,b$ nennt man die kleinste von Null verschiedene nat"urliche Zahl, die sowohl ein Vielfaches von $a$ als auch ein Vielfaches von $b$ ist, das {\bf kleinste gemeinsame Vielfache}\index{kleinstes gemeinsames Vielfaches} von $a$ und $b$ und notiert sie $\op{kgV}(a,b)$.\index{kgV@$\op{kgV}$ kleinstes gemeinsames Vielfaches} Man zeige in dieser Notation die Formel $\op{kgV}(a,b)\op{ggT}(a,b)=ab$. \end{Ubung}} \newpage \addtocounter{section}{1} \begin{center} {\Large "Ubungen Algebra und Zahlentheorie} \end{center} \begin{center} Abgabe bis Dienstag, den 28.10 um 10:15 \end{center} \setcounter{Ubung}{0} \begin{Ubung}\label{EO4} Gegeben $x,y $ zwei Elemente endlicher Ordnung in einer abelschen Gruppe $G$ teilt die Ordnung ihres Produkts das kleinste gemeinsame Vielfache ihrer Ordnungen. Sind die Ordnungen von $x$ und $y$ teilerfremd, so gilt sogar $\op{ord} (xy) = (\op{ord} x)(\op{ord} y)$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man gebe alle Zahlen an, die bei Division durch $8$ Rest $4$ lassen, bei Division durch $13$ Rest $2$, und bei Division durch $11$ Rest $9$. Hinweis: Der euklidische Algorithmus liefert schon mal L"osungen, wenn ein Rest $1$ ist und die anderen Null. \end{Ubung} \begin{Ubung} Wieviele Gruppenhomomorphismen gibt es von $\DZ/8\DZ$ zur symmetrischen Gruppe $\mathcal S_4$? \end{Ubung} \nichtfinal{\begin{Ubung} Gegeben $a,b\in\DN_{\geq 1}$ nicht teilerfremd zeige man, da"s die Gruppen $\DZ/ab\DZ$ und $\DZ/a\DZ\times \DZ/b\DZ$ nicht isomorph sind. \end{Ubung}} \begin{Ubung} Man zeige: Gegeben ein surjektiver Gruppenhomomorphismus $\varphi:G\sra \bar G$ und ein Normalteiler $\bar N\subset \bar G$ mit Urbild $ \varphi^{-1}(\bar N)=N\subset G$ induziert $\varphi$ einen Gruppenisomorphismus $$\varphi: G/N\sira \bar G/\bar N$$ \end{Ubung} \newpage \addtocounter{section}{1} \begin{center} {\Large "Ubungen Algebra und Zahlentheorie} \end{center} \begin{center} Abgabe bis Dienstag, den 4.11 um 10:15 \end{center} \setcounter{Ubung}{0} \begin{Ubung}[\textbf{Verallgemeinerte Fermat'sche Kongruenz}] Gegeben paarweise verschiedene Primzahlen $p_1,\ldots, p_r$ und eine Zahl $e$ mit $e\equiv 1\pmod{(p_i-1)} \;\forall i$ zeige man f"ur alle $a\in\DZ$ die Kongruenz $a^e\equiv a\pmod{(p_1\ldots p_r)}$. Hinweis: Man erinnere die Argumentation f"ur die RSA-Verschl"usselung. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Untergruppen zyklischer Gruppen}] Man zeige: Jede Untergruppe einer zyklischen\label{EO9} Gruppe ist zyklisch. Genauer haben wir f"ur beliebiges $m\in\DN$ eine Bijektion $$\begin{array}{rcl} \{\text{Teiler $d\in\DN$ von $m$}\}&\sira&\{\text{Untergruppen von $\DZ/m\DZ$}\}\\ d\;\;\;\;\;\;&\mapsto&\;\;\;\;\;\;d\DZ/m\DZ \end{array}$$ \end{Ubung} \begin{Ubung} Wieviele Erzeuger hat die multiplikative Gruppe eines K"orpers mit elf Elementen? Geben Sie einen Erzeuger an. Wieviele Elemente eines K"orpers mit elf Elementen sind Quadrate? Wieviele Elemente eines K"orpers mit elf Elementen sind dritte Potenzen? \end{Ubung} \begin{Ubung} Gibt es ein Vielfaches von $23$, dessen letzte Ziffern $45$ lauten? Gibt es eine Potenz von $23$, deren letzte Ziffern $45$ lauten? \end{Ubung} \newpage \addtocounter{section}{1} \begin{center} {\Large "Ubungen Algebra und Zahlentheorie} \end{center} \begin{center} Abgabe bis Dienstag, den 11.11 um 10:15 \end{center} \setcounter{Ubung}{0} \begin{Ubung} Seien $H\supset N$ eine Gruppe mit einem Normalteiler und $X$ eine Menge mit $H$-Operation. Man zeige, da"s es auf dem Bahnenraum $X/N$ genau eine Operation der Quotientengruppe $H/N$ gibt mit der Eigenschaft $(hN)(Nx)=Nhx$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige: Gegeben $p,q\in\DN$ mit $q\geq 1$ gibt es genau $(pq)!/p!(q!)^p$ Partitionen einer Menge mit $pq$ Elementen in $p$ Teilmengen mit jeweils $q$ Elementen. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man gebe ein Repr"asentantensystem an f"ur die Konjugationsklassen der Gruppe aller Isometrien der euklidischen Ebene alias des affinen Ska\-lar\-pro\-dukt\-raums $\Bbb{R}^2$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man bestimme alle Kompositionsreihen der W"urfelgruppe aller 24 Drehsymmetrien eines W"urfels. \end{Ubung} \newpage \addtocounter{section}{1} \begin{center} {\Large "Ubungen Algebra und Zahlentheorie} \end{center} \begin{center} Abgabe bis Dienstag, den 18.11 um 10:15 \end{center} \setcounter{Ubung}{0} \begin{Ubung} Seien $G\supset N$ eine endliche Gruppe mit einem Normalteiler und sei $p$ prim. Man zeige: Genau dann ist eine Untergruppe $P\subset G$ eine $p$-Sylow von $G$, wenn $P\cap N$ eine $p$-Sylow von $N$ ist und das Bild von $P$ in $G/N$ eine $p$-Sylow von $G/N$. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{Grp14} F"ur jede Primzahl $p$ gibt es bis auf Isomorphismus genau zwei Gruppen der Ordnung $2p$, eine zyklische Gruppe und eine Diedergruppe. Hinweis: Man erinnere die Argumentation im Fall $p=3$ und interessiere sich f"ur die Anzahl der $2$-Sylows. \end{Ubung} \begin{Ubung} Sind $p>q$ Primzahlen und ist $q$ kein Teiler von $p-1$, so ist jede Gruppe der Ordnung $pq$ zyklisch. Hinweis: Man gucke sich den Beweis an, da"s jede Gruppe mit 15 Elementen zyklisch ist. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{Riff} Man zeige, da"s in jedem Ring $R$ gilt $0a =0 \; \forall a \in R$; $-a = (-1) a \; \forall a \in R$; $(-1) (-1) =1$; $(-a)(-b)=ab\;\forall a,b\in R$. \end{Ubung} \newpage \addtocounter{section}{1} \begin{center} {\Large "Ubungen Algebra und Zahlentheorie} \end{center} \begin{center} Abgabe bis Dienstag, den 25.11 um 10:15 \end{center} \begin{Ubung} Man finde das multiplikative Inverse der Nebenklasse von $21$ im K"orper $\mathbb F_{31}$. Hinweis: Euklidischer Algorithmus. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige: Eine nat"urliche Zahl, die kongruent zu sieben ist modulo acht, kann nicht eine Summe von drei Quadraten sein. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man konstruiere einen K"orper mit $169=13^2$ Elementen. \end{Ubung} \begin{Ubung}Man zeige: Jeder Ringhomomorphismus macht Einheiten zu Einheiten. Jeder Ringhomomorphismus von einem K"orper zu einem vom Nullring verschiedenen Ring ist injektiv. \end{Ubung} \newpage \addtocounter{section}{1} \begin{center} {\Large "Ubungen Algebra und Zahlentheorie} \end{center} \begin{center} Abgabe bis Dienstag, den 2.12 um 10:15 \end{center} \begin{Ubung} Man zeige, da"s $\DZ[X]$ kein Hauptidealring ist. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{QFRHi} Im Quotientenring eines faktoriellen Rings $R$ nach dem Hauptideal zu einem Element $a\neq 0$ ist das Bild von $b\in R$ genau dann k"urzbar, wenn $a$ und $b$ teilerfremd sind. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{IPo} Sei $k$ ein K"orper. (1) Alle Polynome vom Grad $1$ sind offensichtlich irreduzibel in $k[X]$. Man zeige: (2) Ist $P \in k[X]$ irreduzibel und $\op{grad} P > 1$, so hat $P$ keine Nullstelle in $k$. (3) Ist $P \in k [X]\setminus k$ vom Grad $\op{grad} P \leq 3$ und hat $P$ keine Nullstelle in $k$, so ist $P$ irreduzibel in $k[X]$. (4) Ist $k$ algebraisch abgeschlossen, so sind die irreduziblen Polynome in $k[X]$ genau die Polynome vom Grad $1$. Man gebe auch (5) ein Polynom positiven Grades in $\DR[X]$ an, das keine Nullstelle hat, aber dennoch nicht irreduzibel ist. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man schreibe $130$ als Produkt von Gau"sprimzahlen. \end{Ubung} \newpage \addtocounter{section}{1} \begin{center} {\Large "Ubungen Algebra und Zahlentheorie} \end{center} \begin{center} Abgabe bis Dienstag, den 9.12 um 10:15 \end{center} \begin{Ubung} Ich erinnere an die Konstruktion des Bruchk"orpers $\op{Frac}R$ eines Integrit"atskrings $R$. Man schreibe aus, warum die Summe zweier Br"uche wohldefiniert ist. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Satz "uber rationale Nullstellen}] Man zeige: Gegeben ein Polynom \begin{equation*} a_nT^n + \ldots + a_1 T + a_0 \end{equation*} mit ganzzahligen Koeffizienten und eine rationale Wurzel $p/q$ mit $p,q$ teilerfremden ganzen Zahlen ist $p$ ein Teiler von $a_0$ und $q$ ein Teiler von $a_n$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Ist $R$ ein faktorieller Ring mit Bruchk"orper $K$ und sind $P,Q\in K[X]$ normierte Polynome mit $PQ\in R[X]$, so folgt bereits $P,Q\in R[X]$.\label{ZePP} \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Kreisteilungspolynome zu Primzahlpotenzen}] Man zeige die Formel\label{KTP} $\Phi_9(X)=X^6+X^3+1$ f"ur das neunte Kreisteilungspolynom. Man zeige allgemeiner $\Phi_{p^r}(X)=\Phi_{p}(X^{p^{r-1}})$ f"ur $p$ prim und $r\geq 1$. \end{Ubung} \newpage \addtocounter{section}{1} \begin{center} {\Large "Ubungen Algebra und Zahlentheorie} \end{center} \begin{center} Abgabe bis Dienstag, den 16.12 um 10:15 \end{center} \begin{Ubung} Man zeige, da"s $X^7 - 9$ ein irreduzibles Polynom in $\mathbb Z [X]$ ist. Hinweis: Man betrachte die Einbettung $\mathbb Z [X] \hookrightarrow \mathbb Z [Y]$ mit $X \mapsto Y^2$. %$Y^14 - 9=(Y^7 - 3)(Y^7 +3)$ \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zerlege $(X^n + Y^n)$ in $\DC[X,Y]$ in ein Produkt irreduzibler Faktoren. \end{Ubung} \begin{Ubung} Was ist die Summe der $\lambda_{1}^{3}+\lambda^{3}_{2}+\lambda^{3}_{3} +\lambda^{3}_{4}$ dritten Potenzen der vier komplexen Nullstellen $\lambda_{1},\ldots,\lambda_{4}$ des Polynoms $X^4+3X^3-5X^2+X+13$? \end{Ubung} %\begin{Ubung} % Man zeige $\sqrt{5} \not\in \DQ (\sqrt{2})$. %\end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben $a,b\in \DQ^\times$ zeige man, da"s gilt $\DQ(\sqrt{a})= \DQ(\sqrt{b})$ genau dann, wenn $a/b$ in $\DQ$ ein Quadrat ist. Gegeben allgemeiner K"orper $K\subset L$ einer von zwei verschiedenen Charakteristik und $\alpha,\beta\in L^\times$ mit $\alpha^2,\beta^2\in K$ zeige man, da"s gilt $K(\alpha) = K(\beta)$ genau dann, wenn $\alpha/\beta\in K$.\label{uaWu} \end{Ubung} \newpage \addtocounter{section}{1} \begin{center} {\Large "Ubungen Algebra und Zahlentheorie} \end{center} \begin{center} Abgabe bis Mittwoch, den 7.1 um 10:15 \end{center} \begin{Ubung} Alle Elemente von $\DQ(\sqrt[3]{2})$ lassen sich eindeutig schreiben in der Form $a+b\sqrt[3]{2}+c(\sqrt[3]{2})^2 $ mit $a,b,c\in \DQ$. Man schreibe das Inverse von $7+\sqrt[3]{2}$ in dieser Form. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man bestimme das Minimalpolynom der komplexen Zahl $3+\op{i}$ "uber $\DR$. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{JHGb} Seien $R\supset K$ ein Kring mit einem Teilring, der sogar ein K"orper ist. Man zeige: Ist $R$ endlichdimensional als $K$-Vektorraum und ein Integrit"atsring, so ist $R$ auch selbst bereits ein K"orper. \end{Ubung} \begin{Ubung} Ist $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ algebraisch "uber $\DQ$? Wenn ja, was ist sein Minimalpolynom "uber $\DQ$? Liegt $\sqrt{2}$ in $\DQ(\sqrt{2}+\sqrt{3})$? \end{Ubung} %\begin{Ubung}\label{Algt} % Sei $K$ ein K"orper und $K(X)$ der Funktionenk"orper "uber $K$. %Man zeige: Die Elemente von $K$ die einzigen Elemente von $K(X)$, die %algebraisch sind "uber $K$. %\end{Ubung} \newpage \addtocounter{section}{1} \begin{center} {\Large "Ubungen Algebra und Zahlentheorie} \end{center} \begin{center} Abgabe bis Dienstag, den 13.1 um 10:15 \end{center} \begin{Ubung} Man zeige, da"s es im Polynomring "uber einem endlichen K"orper irreduzible Polynome von jedem positiven Grad gibt. \end{Ubung} \begin{Ubung} Geben Sie Verkn"upfungstafeln f"ur die Addition und die Multiplikation eines K"orpers mit vier Elementen an. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Teilen mit Rest}] Sei $(\DN,s)$ die Menge der nat"urlichen Zahlen mit Nachfolgerabbildung und Addition, Multiplikation und Anordnung wie in in der Vorlesung erkl"art. Man zeige: Gegeben $a,b\in\DN$ mit $b\neq 0$ gibt es eindeutig bestimmte $c,d\in\DN$ mit $a=bc+d$ und $d 1$, so hat $P$ keine Nullstelle in $k$. (3) Ist $P \in k [X]\setminus k$ vom Grad $\op{grad} P \leq 3$ und hat $P$ keine Nullstelle in $k$, so ist $P$ irreduzibel in $k[X]$. (4) Ist $k$ algebraisch abgeschlossen, so sind die irreduziblen Polynome in $k[X]$ genau die Polynome vom Grad $1$. Man gebe auch (5) ein Polynom positiven Grades in $\DR[X]$ an, das keine Nullstelle hat, aber dennoch nicht irreduzibel ist. \end{Ubung} \newpage \addtocounter{section}{1} \begin{center} {\Large "Ubungen Algebra und Zahlentheorie} \end{center} \begin{center} Abgabe bis Dienstag, den 3.12 um 10:15 \end{center} \setcounter{Ubung}{0} \begin{Ubung} Man schreibe $9+13{\op{i}}$ als Produkt von Gau"sprimzahlen. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man bestimme s"amtliche Zerlegungen von $1000$ in eine Summe von zwei Quadratzahlen. \end{Ubung} \begin{Ubung} Seien $R$ ein faktorieller Ring und $q\in \op{Quot}(R)$ ein Element seines Quotientenk"orpers und $n\geq 1$ mit $q^n\in R$. Man zeige $q\in R$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man bestimme die Partialbruchzerlegung von $1/(x^4+2)$ in $\DC(X)$. \end{Ubung} \newpage \addtocounter{section}{1} \begin{center} {\Large "Ubungen Algebra und Zahlentheorie} \end{center} \begin{center} Abgabe bis Dienstag, den 10.12 um 10:15 \end{center} \setcounter{Ubung}{0} \begin{Ubung} Seien $k$ ein K"orper und $0 < n (1) < n (2) < \ldots < n (r) 2$ und $r\geq 1$ stets einen endlichen K"orper der Charakteristik $p$ gibt, dessen multiplikative Gruppe ein Element der Ordnung $2^r$ hat. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben eine endliche K"orpererweiterung $K\subset L$ zeige man, da"s jedes Polynom aus dem Polynomring $L[X]$ Teiler eines Polynoms aus dem Polynomring $K[X]$ ist.\label{TPRK} \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{GKTv} Man zeige: Gegeben eine Primzahl $p$ und zwei $p$-te Einheitswurzeln $\zeta,\xi\in \DC$ der Ordnung $p$ gilt $\DQ(\zeta)=\DQ(\xi)$ und es gibt genau einen K"orperhomomorphismus $\DQ(\zeta)\ra \DQ(\zeta)$ mit $\zeta\mapsto\xi$. Hinweis: Irreduzibilit"at des $p$-ten Kreisteilungspolynoms. \end{Ubung} \newpage \addtocounter{section}{1} \begin{center} {\Large "Ubungen Algebra und Zahlentheorie} \end{center} \begin{center} Abgabe bis Dienstag, den 14.1 um 10:15 \end{center} \setcounter{Ubung}{0} \begin{Ubung} Man zeige: Ein Polynom mit Koeffizienten in einem K"orper $K$ der Charakteristik Null ist separabel genau dann, wenn es von keinem Quadrat eines $K$-irreduziblen Polynoms geteilt wird. \end{Ubung} \begin{Ubung} Finden Sie alle komplexen mehrfachen Nullstellen des Polynoms $X^4-4X^3+5X^2-4X+4$. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{MSZ} Man zeige: Seien $M \supset L \supset K$ K"orper. Ist $M / L$ separabel und $L/K$ separabel, so ist $M/K$ separabel. Hinweis: Man ziehe sich zun"achst auf den Fall endlicher Erweiterungen zur"uck und verwende dann den Satz "uber die Charakterisierungen separabler K"orpererweiterungen. \end{Ubung} \begin{Ubung} Eine algebraische K"orpererweiterung derart, da"s nur die Elemente des kleinen K"orpers "uber diesem separabel sind, hei"st {\bf rein inseparabel}.\index{rein inseparabel}\index{inseparabel!rein, K"orpererweiterung} Man zeige, da"s eine algebraische\label{reii} Erweiterung $L/K$ eines K"orpers $K$ der Charakteristik $p>0$ rein inseparabel ist genau dann, wenn f"ur jedes Element von $L$ die $p^r$-te Potenz f"ur hinreichend gro"ses $r$ in $K$ liegt. \end{Ubung} \newpage \addtocounter{section}{1} \begin{center} {\Large "Ubungen Algebra und Zahlentheorie} \end{center} \begin{center} Abgabe bis Dienstag, den 21.1 um 10:15 \end{center} \setcounter{Ubung}{0} \begin{Ubung}\label{GZE} Gegeben $n\geq 1$ zeige man, da"s $\DC(X^n)\subset \DC(X)$ eine Galoiserweiterung vom Grad $n$ ist mit zyklischer Galoisgruppe. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man bestimme die Galoisgruppe des Zerf"allungsk"orpers des Polynoms $X^4-5$ "uber $\DQ$ und "uber $\DQ[\op{i}]$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige: Gegeben eine endliche Galoiserweiterung $L/K$ ist die {\bf Spurabbildung}\index{Spurabbildung} $\op{S}_L^K:L\ra K$ gegeben durch $$ x\mapsto \sum_{\sigma\in \op{Gal}(L/K)}\sigma(x)$$ eine $K$-lineare von Null verschiedene Abbildung\label{SpurA1} und die {\bf Spurform}\index{Spurform} $L\times L\ra K$ gegeben durch $(x,y)\mapsto \op{S}_L^K(xy)$ ist eine nichtausgeartete Bilinearform auf dem $K$-Vektorraum $L$. Hinweis: Lineare Unabh"angigkeit von Charakteren. \end{Ubung} \begin{Ubung} Seien $k$ ein K"orper der Charakteristik $p>0$ und $\lambda\in k^\times$ und $t=t_\lambda:k(X)\sira k(X)$ der K"orperautomorphismus "uber $k$ mit $X\mapsto X+\lambda$. Man zeige, da"s der K"orper der Invarianten genau das Bild derjenigen Einbettung $k(Y)\hra k(X)$ ist, die durch $Y\mapsto X^p-\lambda^{p-1}X$ gegeben wird. \end{Ubung} \newpage \addtocounter{section}{1} \begin{center} {\Large "Ubungen Algebra und Zahlentheorie} \end{center} \begin{center} Abgabe bis Dienstag, den 28.1 um 10:15 \end{center} \begin{center} {\bf Bis Freitag 24.1 Anmeldung zur Klausur,\\ bis Sonntag 26.1 Evaluation.} \end{center} \setcounter{Ubung}{0} \begin{Ubung} Man zeige: Gegeben eine K"orpererweiterung $L/K$ und zwei verschiedene normierte irreduzible Polynome in $K[X]$ kann kein Element der Galoisgruppe eine Nullstelle des einen Polynoms in eine Nullstelle des anderen Polynoms "uberf"uhren. \end{Ubung} \begin{Ubung} Wieviele zu $140000$ teilerfremde Zahlen $a$ mit $1\leq a\leq 140000$ gibt es? \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige, da"s die Einheitswurzeln des $n$-ten Kreisteilungsk"orpers f"ur gerades $n$ genau die $n$-ten Einheitswurzeln sind und f"ur ungerades $n$ genau die $2n$-ten Einheitswurzeln. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben $n>2$ zeige man, da"s im Kreisteilungsk"orper $\DQ(\sqrt[n]{1})=\DQ(\zeta)$ f"ur $\zeta$ eine primitive $n$-te Einheitswurzel gilt $[\DQ(\zeta):\DQ(\zeta + \zeta^{-1})]=2$ und $[\DQ(\zeta + \zeta^{-1}):\DQ]=\varphi(n)/2$. Man folgere $\Phi_n(X)=X^{\varphi(n)}\Phi_n(X^{-1})$. \end{Ubung} \newpage \addtocounter{section}{1} \begin{center} {\Large Klausur Algebra und Zahlentheorie} \end{center} \begin{center} am Dienstag, den 25.2.2025 \end{center} \setcounter{Ubung}{0} \begin{Ubung} Wieviele zu $27000$ teilerfremde Zahlen $a$ mit $1\leq a\leq 27000$ gibt es? \end{Ubung} \begin{Ubung} Was ist die Summe $\lambda_{1}^{2}+\lambda^{2}_{2}+\lambda^{2}_{3} +\lambda^{2}_{4}$ der Quadrate der vier komplexen Nullstellen $\lambda_{1},\ldots, \lambda_{4}$ des Polynoms $2X^4-6X^3+X+15$? \end{Ubung} \begin{Ubung} Man schreibe $4+18{\op{i}}$ als Produkt von Gau"sprimzahlen. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man bestimme das Minimalpolynom von $\sqrt{5}+2\sqrt{3}$ "uber $\DQ$. Man bestimme alle Zwischenk"orper der von diesem Element erzeugten K"orpererweiterung von $\DQ$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man finde das multiplikative Inverse der Nebenklasse von $21$ im K"orper $\mathbb F_{97}$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige, da"s das Bild eines Ideals unter einem surjektiven Ringhomomorphismus stets wieder ein Ideal ist. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man bestimme die Galoisgruppe des Zerf"allungsk"orpers des Polynoms $X^6-9$ "uber $\DQ$ und "uber $\DQ[\op{i}]$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Welche M"oglichkeiten gibt es f"ur die Anzahl der $2$-Sylows einer Gruppe mit $24$ Elementen? Geben Sie jeweils ein Beispiel an. \end{Ubung} \end{document} %pdflatex "\PassOptionsToPackage{final}{showkeys}\PassOptionsToPackage{final}{ifdraft}\input{UbgAL2526}" %scp /home/soergel/Dokumente/Skripten/Skripten/UbgAL2526.pdf soergel@tux00.mathematik.uni-freiburg.de:/webserver/home/soergel/Skripten/UbgAL2526.pdf %sudo openfortivpn -u soergel@uni-freiburg.de &