\documentclass[12pt,a4paper]{article} \usepackage[active]{srcltx} \usepackage{young} \usepackage{makeidx} \usepackage{newlfont} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsxtra} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amscd} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{stmaryrd} \usepackage[ngerman]{babel} \usepackage{verbatim} \usepackage{graphicx} \input{xy} \xyoption{all} \frenchspacing \usepackage{amsthm} \usepackage{epsfig} \usepackage{alltt} %\input{newtheorems} \usepackage{hyperref} \theoremstyle{remark} \newtheorem{Ubung}{\"{U}bung}[section] \newtheorem{Ubunge}[Ubung]{Erg\"{a}nzende \"{U}bung} \newtheorem{Ubungb}[Ubung]{Bonus-\"{U}bung} \newtheorem{Definition}{Definition} \newtheorem{Bemerkung}{Bemerkung} \newtheorem{Satz}{Satz} \input{newcommands} \usepackage[T1]{fontenc} \newcommand{\changefont}[3]{ \fontfamily{#1} \fontseries{#2} \fontshape{#3} \selectfont} \renewcommand{\familydefault}{ptm} \begin{document} \begin{center} {\Large "Ubungbl"atter zur Analysis 2 bei Soergel im SS 2023} \end{center} \noindent Allgemeine Hinweise: \begin{itemize}\item Bei der Bearbeitung der "Uungen ist keine "ubertriebene Ausf"uhrlichkeit gefordert. Einfach zu schreiben, es sei klar, reicht nicht, aber eine schl"ussige Kette von richtigen Argumenten in der n"achsten Stufe der Ausf"uhrlichkeit reicht aus. Allerdings soll die Argumentationskette auch f"ur Sie selbst schl"ussig sein. Sie m"ussen sie im Tutorat erkl"aren k"onnen und in der Lage sein, auf Nachfragen Schritte Ihrer Argumentation genauer auszuf"uhren. In der Vorlesung bewiesene Aussagen m"ussen dabei aber keinesfalls nochmals bewiesen werden, da reicht ein Zitat. \item Es gibt jede Woche vier Aufgaben und f"ur jede Aufgabe gibt es vier Punkte, obwohl der Schwierigkeitsgrad der Aufgaben durchaus sehr unterschiedlich sein wird. Erg"anzende "Ubungen sind meist schwieriger und geben bis zu vier Bonuspunkte. \item Die "Ubungen werden Montags ausgegeben und m"ussen die Woche danach am Mittwoch vor der Vorlesung beim jeweiligen Tutor abgegeben werden, entweder in den K"asten im Keller des Mathematischen Instituts oder nach Absprache mit dem Tutor auch auf anderem Wege. Sie seien ermutigt, die Aufgaben mit Ihren Kommilitonen zu besprechen und zu zweit abzugeben. Mehr als zwei Namen auf einem Zettel gilt aber nicht. \item Die "Ubungen werden auf den folgenden Seiten dieses Textes ins Netz gestellt, der jede Woche um das "Ubungsblatt der jeweiligen Woche erg"anzt werden wird. \end{itemize} \newpage \begin{center} {\Large Anwesenheitsaufgaben zweite Vorlesungswoche Analysis 2} \end{center} Diese "Ubungen m"ussen nicht abgegeben werden, sondern sollen im Laufe der zweiten Vorlesungswoche in den Tutoraten bearbeitet werden. Zu diesem Zeitpunkt liegen ja noch keine korrigierten Hausaufgaben vor, die zu besprechen w"aren. \setcounter{Ubung}{0} \begin{Ubung} Ist $(X,d)$ ein metrischer Raum, so ist die Metrik stetig als Abbildung $d:X\times X\ra\DR$. Ist $A\subset X$ eine nichtleere Teilmenge eines metrischen Raums, so ist die Abbildung $d_A:X\ra\Bbb{R}$ gegeben durch $d_A(x)\pdef\inf\{d(x,a)\mid a\in A\}$ stetig. \end{Ubung} \begin{Ubung} Der Raum $\cal{B} (V,W)$ aller stetigen linearen Abbildungen zwischen normierten Vektorr"aumen $V,W$ ist ein Untervektorraum im Raum $\op{Hom} (V,W)$ aller linearen Abbildungen von $V$ nach $W$ und $$\|f\|\pdef \sup \{\|f(v)\|\mid \|v\| \leq 1\}$$ ist eine Norm auf $\cal{B} (V,W)$. Gegeben ein weiterer normierter Vektorraum $U$ und stetige lineare Abbildungen $g:U\ra V$ sowie $f:V\ra W$ gilt $\|f\circ g\|\leq \|f\|\| g\|$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben ein normierter Vektorraum $V$ ist jeder Ball in $V$ konvex, als da hei"st, mit je zwei Punkten geh"ort auch das ganze sie verbindende Geradensegment zu unserem Ball. \end{Ubung} \begin{Ubung} In einem normierten reellen Vektorraum ist jede nichtleere offene Teilmenge bereits ein Erzeugendensystem. \end{Ubung} \begin{Ubung} Eine Abbildung $f:X\ra Y$ von topologischen R"aumen ist stetig bei $p\in X$ genau dann, wenn es eine Umgebung $V\subset X$ von $p$ gibt mit $f|_V:V\ra Y$ stetig bei $p$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben ein topologischer Raum $X$ und $B\subset D\co X$ zeige man $B\co D \;\IFF\; B\co X$. \end{Ubung} \newpage \begin{center} {\Large Anwesenheitsaufgaben dritte Vorlesungswoche Analysis 2} \end{center} Diese "Ubungen m"ussen nicht abgegeben werden, sondern sollen im Laufe der dritten Vorlesungswoche in den Tutoraten bearbeitet werden. Zu diesem Zeitpunkt liegen noch keine korrigierten Hausaufgaben vor, die zu besprechen w"aren, mein Fehler. Anschlie"send an dieses Blatt gibt es aber die ersten Hausaufgaben. \setcounter{Ubung}{6} \begin{Ubung} Gegeben ein topologischer Raum $X$ und $B\subset D\subset X$ haben wir $B\As D \;\IFF\; \exists A\As X \text{ mit }B=A\cap D$. Gegeben ein topologischer\label{ABAB} Raum $X$ und $B\subset D\As X$ haben wir $B\As D \;\IFF\; B\As X$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige, da"s f"ur jeden normierten Vektorraum $V$ die Addition $V\times V\ra V$ und die Multiplikation mit Skalaren $\DR\times V\ra V$ stetig sind. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man berechne von $f(x,y,z)= \sqrt{x^2+\sin(xyz^2)}\big/z$ die drei partiellen Ableitungen. \end{Ubung} \begin{Ubung} Sei $R(x,y)=\sum_{i,j}c_{ij}x^iy^j$ ein Polynom in zwei Variablen mit reellen Koeffizienten $c_{ij}\in\DR$. Man zeige: Gibt es eine nichtleere offene Teilmenge $A\co\Bbb{R}^2$ derart, da"s gilt $R(p)=0\;\forall p\in A$, so ist $R$ das Nullpolynom, in Formeln $c_{ij}=0\;\forall i,j$. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{BRH} Seien $V,W$ normierte Vektorr"aume. Ist $W$ vollst"andig, so ist auch der Raum $\cal{B} (V,W)$ der stetigen linearen Abbildungen von $V$ nach $W$ mit der Operatornorm vollst"andig. \end{Ubung} \newpage \addtocounter{section}{1} \begin{center} {\Large "Ubungen Analysis 2} \end{center} \begin{center} Abgabe bis Mittwoch 3.5 vor der Vorlesung \end{center} \setcounter{Ubung}{0} \begin{Ubung} Berechnen Sie die Richtungsableitung $({\op{D}}_{\vec v}f)(p)$ zum Richtungsvektor $\vec v\pdef (1,7)$ der Funktion $f(x,y)\pdef x^3+y^2$ beim Punkt $p\pdef (1,2)$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben vollst"andige metrische R"aume $X,Y$ ist auch ihr Produkt $X\times Y$ vollst"andig. \end{Ubung} \begin{Ubung} Genau dann ist $p$ H"aufungspunkt des metrischen Raums $X$, wenn es eine Folge $x_{n}$ in $X\backslash p$ gibt mit $\lim_{n\ra \infty} x_{n} =p$. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Invertieren stetiger Endomorphismen}] F"ur $V$ einen normierten Vektorraum setzen wir\label{IsE} $$\cal{B} (V)\pdef \cal{B} (V,V)$$ Man zeige: Gegeben ein Banachraum $V$ und $h\in \cal{B} (V)$ ein stetiger Endomorphismus von $V$ einer Operatornorm $\|h\|<1$ konvergiert die Folge der Partialsummen der geometrischen Reihe $\sum_{n=0}^\infty h^n$ und der Grenzwert ist invers zu $\op{id}_V-h$. Insbesondere sind alle $f\in \cal{B} (V)$ mit $\|f-\op{id}_V\|<1$ stetig invertierbar. \end{Ubung} \begin{Ubunge}\label{GSFo} Eine Abbildung $f:X\ra Y$ von metrischen R"aumen hei"st {\bf gleichm"a"sig stetig},\index{gleichm"a"sig stetig!metrische R"aume} wenn es f"ur jedes $\varepsilon>0$ ein $\delta>0$ gibt mit $d(x,x_1)<\delta\RA d(f(x),f(x_1))<\varepsilon$. Man zeige, da"s jede gleichm"a"sig stetige Abbildung $f:A\ra Y$ von einer Teilmenge $A$ eines metrischen Raums $X$ in einen vollst"andigen metrischen Raum $Y$ auf genau eine Weise zu einer stetigen Abbildung $\bar{A}\ra Y$ auf den Abschlu"s von $A$ in $X$ fortgesetzt werden kann. %Vergleiche auch \eref{ADM}{AN3}. \end{Ubunge} \newpage \addtocounter{section}{1} \begin{center} {\Large "Ubungen Analysis 2} \end{center} \begin{center} Abgabe bis Mittwoch 10.5 vor der Vorlesung \end{center} \setcounter{Ubung}{0} \begin{Ubung} Berechnen Sie die Jacobimatrix der Kugelkoordinatenabbildung $$\begin{array}{cccl} K :& \Bbb{R}^{3} & \ra &\;\;\;\Bbb{R}^{3}\\ & (r,\vartheta,\varphi ) &\mapsto & (r\cos \varphi \sin\vartheta, r \sin\varphi \sin\vartheta, r \cos \vartheta) \end{array}$$ Dr"ucken sie die L"ange des Geschwindigkeitsvektors in $\DR^3$ eines sich auf der Einheitskugel bewegenden K"afers $\kappa:t\mapsto K(1,\vartheta(t),\varphi(t))$ durch $\vartheta,\varphi,\vartheta',\varphi'$ aus. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{Asc} Seien $X,Y$ endlichdimensionale normierte reelle R"aume. Sei $A\subset X$ halboffen und $f:A\ra Y$ differenzierbar. Man zeige: Liegt f"ur zwei Punkte $p,q\in A$ das ganze verbindende Geradensegment $[p,q]$ in $A$ und ist die Operatornorm des Differentials von $f$ auf $[p,q]$ beschr"ankt durch eine Konstante $K$, in Formeln $\|\tiff_x f\|\leq K\;\forall x\in [p,q]$, so gilt $\|f(p)-f(q)\|\leq K\|p-q\|$. Hinweis: Schrankensatz aus Analysis 1. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{DInvn} Sei $\op{inv}: \op{GL}(n;\Bbb{R})\ra \op{Mat}(n\times n;\Bbb{R})$ das Invertieren von Matrizen, $\op{inv}(X)=X^{-1}$. Man zeige f"ur das Differential des Invertierens bei der Einheitsmatrix $I$ die Formel $\tiff _I\op{inv}:H\mapsto -H$. Man zeige allgemeiner, da"s das Differential dieser Abbildung am Punkt $P$ gegeben wird durch $$\begin{array}{rccl} \tiff _P\op{inv}: &\op{Mat}(n\times n;\Bbb{R})&\ra&\op{Mat}(n\times n;\Bbb{R})\\ &H&\mapsto&-P^{-1} H P^{-1} \end{array}$$ Hinweis: Man erinnere die Darstellung des Inversen durch eine Reihe aus "Ubung \ref{IsE} und die Identit"at $ (\cdot P^{-1})\circ\op{inv}\circ (P^{-1}\cdot)=\op{inv}$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Wir setzen als klar voraus, da"s die Kugelkoordinatenabbildung eine Bijektion $K:(0,\infty)\times(0,\pi)\times (0,2\pi)\sira U\co\DR^3$ auf eine offene Teilmenge des $\DR^3$ ist und die Umkehrabbildung $K^{-1}:U\ra \DR^3$ differenzierbar. Man berechne die Jacobimatrix von $K^{-1}$ an der Stelle $(-3,0,0)^\top$. \end{Ubung} \begin{Ubunge} Man zeige, da"s das Invertieren komplexer Zahlen Winkel erh"alt. Sind genauer $\gamma,\psi:\DR\ra\DC^\times$ differenzierbar mit $\gamma(0)=\psi(0)$ und $\gamma'(0)\neq 0$ und $\psi'(0)\neq 0$, so nennen wir den Betrag des Winkels zwischen $\gamma'(0)$ und $\psi'(0)$ den Schnittwinkel unserer Kurven und Sie sollen zeigen, da"s $\op{inv}\circ \gamma$ und $\op{inv}\circ \psi$ denselben Schnittwinkel haben f"ur $\op{inv}: \DC^\times\ra\DC^\times$ das Invertieren $z\mapsto z^{-1}$. \end{Ubunge} \newpage \addtocounter{section}{1} \begin{center} {\Large "Ubungen Analysis 2} \end{center} \begin{center} Abgabe bis Mittwoch 17.5 vor der Vorlesung \end{center} \setcounter{Ubung}{0} \begin{Ubung}[{\bf L"osungen der linearen Wellengleichung}] Sei $f:\DR^2\ra \DR$ eine zweimal stetig partiell differenzierbare Funktion mit $\partial^2_xf(x,t)=\partial^2_tf(x,t)$. Man zeige, da"s es zweimal stetig differenzierbare Funktionen $u,v:\DR\ra \DR$ gibt mit $f(x,t)=u(x-t)+v(x+t)$. Hinweis: Man untersuche zun"achst zweimal stetig partiell differenzierbare Funktionen $g:\DR^2\ra \DR$ mit $\partial_x\partial_yg(x,y)=0$ und zeige, da"s es zweimal stetig differenzierbare Funktionen $h,k:\DR\ra \DR$ gibt mit $g(x,y)=h(x)+k(y)$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man bestimme die Taylorentwicklung um den Ursprung bis zu den Termen dritter Ordnung einschlie"slich von $\sqrt{1+x+y^2}/\cos(xy)$. Hinweis: Rechnen mit Approximationen. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man bestimme das Minimum und das Maximum der Funktion $x^2+5y^2+2xy-2x-4y$ auf dem abgeschlossenen Einheitsquadrat und vergesse nicht, den Rand separat zu untersuchen. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige die Identit"at $\log ((1 - u) (1-v)) = \log (1-u) + \log (1 - v)$ im Ring der formalen Potenzreihen in zwei kommutierenden Variablen $u,v$ mit rationalen Koeffizienten, also $$\sum_{n=1}^\infty \frac{(u+v-uv)^n}{n} = \sum_{n=1}^\infty \frac{u^n+ v^n}{n}$$ Hinweis: Es gilt zu argumentieren, warum aus der Gleichheit nach Einsetzen die Gleichheit von formalen Ausdr"ucken folgt. \end{Ubung} \newpage \addtocounter{section}{1} \begin{center} {\Large "Ubungen Analysis 2} \end{center} \begin{center} Abgabe bis Mittwoch 24.5 vor der Vorlesung \end{center} \setcounter{Ubung}{0} \begin{Ubung} Man zeige: Eine stetig differenzierbare Abbildung von einer offenen Teilmenge eines endlichdimensionalen reellen Raums in einen weiteren endlichdimensionalen reellen Raum hat offenes Bild, wenn ihr Differential an jeder Stelle surjektiv ist. Ist unsere stetig differenzierbare Abbildung zus"atzlich injektiv, so liefert sie einen Diffeomorphismus unserer offenen Teilmenge mit ihrem Bild. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Mannigfaltigkeiten als Graphen in Koordinaten}] Man zeige: Gegeben eine $k$-di\-men\-sio\-na\-le Mannigfaltigkeit $M\subset\DR^n$ gibt es f"ur jeden Punkt $p\in M$ eine offene Umgebung $U\co \DR^n$ und eine Permutation $\sigma\in\cal S_n$ derart, da"s $M\cap U$ unter der entsprechenden Permutation der Koordinaten dem Graph einer $\cal C^1$-Abbildung $f:\DR^k\lco W\ra \DR^{n-k}$ entspricht. Hinweis: Man gehe vom Satz "uber implizite Funktionen aus. \end{Ubung} \begin{Ubung} Ist $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und $\langle\;,\;\rangle$ eine Bilinearform auf $V$ und $c\neq 0$ eine reelle Konstante, so ist $\{v\in V\mid \langle v,v\rangle=c\}$ eine Hyperfl"ache in $V$. Hinweis: Man verwende die Formel f"ur das Differential bilinearer Abbildungen 2.6.5, die in der Vorlesung nicht bewiesen wurde. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man bestimme in den beiden vorhergehenden "Ubungen die Tangentialr"aume von $\Gamma(f)$ beziehungsweise $\{v\in V\mid \langle v,v\rangle=c\}$. \end{Ubung} \newpage \addtocounter{section}{1} \begin{center} {\Large "Ubungen Analysis 2} \end{center} \begin{center} Abgabe bis Mittwoch 7.6 vor der Vorlesung \end{center} \setcounter{Ubung}{0} \begin{Ubung} Man zeige, da"s das Kreuz aus den beiden Koordinatenachsen in $\DR^2$ keine Mannigfaltigkeit ist. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Schnitt von Mannigfaltigkeiten}] Man zeige: Gegeben in einem endlichdimensionalen reellen Raum $X$ zwei Mannigfaltigkeiten $M,N\subset X$ und ein Punkt $p\in M\cap N$ mit $${\op{T}}_pM+{\op{T}}_pN=\vec X$$ gibt es eine offene Umgebung $U$ von $p$ derart, da"s $U\cap M\cap N$ eine Mannigfaltigkeit ist. Man bestimme auch die Dimension dieser Schnittmannigfaltigkeit. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man bestimme die Extrema der Funktion $f(x,y,z)=x+y+z$ auf dem halben Ellipsoid $\{(x,y,z)\mid x^2+2y^2+3z^2=1, z\geq 0\}$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Wir betrachten das Polynom $f(x,y,z)=x^7y^2z + xyz^5$ und finden $f(1,1,1)=2$. Man zeige, da"s es auf einem hinreichend kleinen Ball $B\subset \DR^2$ um $(1,1)$ genau eine stetige Funktion $\varphi:B\ra\DR$ gibt mit $\varphi(1,1)=1$ und $f(x,y,\varphi(x,y))=2$ und bestimme bei $(1,1)$ deren partielle Ableitungen $\varphi_x, \varphi_y$. \end{Ubung} \newpage \addtocounter{section}{1} \begin{center} {\Large "Ubungen Analysis 2} \end{center} \begin{center} Abgabe bis Mittwoch 14.6 vor der Vorlesung \end{center} \setcounter{Ubung}{0} \begin{Ubung}[\textbf{Endliche Vereinigungen von Kompakta}] Besitzt ein topologischer Raum eine endliche "Uberdeckung durch kompakte Teilmengen, so ist er bereits selbst kompakt. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Nichtleere Schnitte in Kompakta}] Ist in einem kompakten topologischen Raum $X$ ein System abgeschlossener Teilmengen $\cal{K}\subset \cal{P}(X)$ mit\label{Skoa} leerem Schnitt $\bigcap_{K\in\cal{K}} K=\emptyset$ gegeben, so gibt es bereits ein endliches Teilsystem $\cal{E}\subset \cal{K}$ mit leerem Schnitt $\bigcap_{K\in \cal{E}} K=\emptyset$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige, da"s f"ur $f:\DR^2\ra\DR$ stetig mit kompaktem Tr"ager und $\varphi:\DR^2\sira\DR^2$ eine affine Bijektion mit linearem Anteil $\vec\varphi$ gilt $$\int_{\DR^2} f =|\op{det}\vec\varphi|\int_{\DR^2} f\circ\varphi$$ \end{Ubung} \begin{Ubung} Wir erinnern die Kugelkoordinatenabbildung $K$ aus "Ubung 2.1. Man dr"ucke das Integral einer stetigen Funktion $f$ auf der Kugel $$M\pdef \{(x,y,z)\mid x^2+y^2+z^2=25\}$$ vom Radius $5$, deren Tr"ager nicht den L"angengrad $\{(x,y,z)\mid y=0,x\geq 0\} $ trifft, aus als ein Integral in den Winkelkoordinaten $\varphi$ und $\vartheta$. \end{Ubung} \newpage \addtocounter{section}{1} \begin{center} {\Large "Ubungen Analysis 2} \end{center} \begin{center} Abgabe bis Mittwoch 21.6 vor der Vorlesung \end{center} \setcounter{Ubung}{0} \begin{Ubung}\index{Kugelvolumen}\label{KuVo} Man zeige, da"s die abgeschlossene Einheitskugel $B\subset \DR^3$ das Volumen $4\pi/3$ hat, da"s sie also genauer eine $3$-Fastfaltigkeit ist mit $\int_B1=4\pi/3$. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Oberfl"ache eines Rotationsk"orpers}] Sei $I\subset\DR$ ein mehrpunktiges kompaktes Intervall\label{OFR} und $f:I\ra (0,\infty)$ stetig differenzierbar. Man zeige, da"s die {\bf Mantelfl"ache}\index{Mantelfl"ache} $M=\{(x,y,z)\in\DR^3\mid z\in I, x^2+y^2= (f(z))^2\}$ eine kompakte $2$-Fast\-fal\-tig\-keit in $\DR^3$ ist mit der Fl"ache $$\int_M1=2\pi \int_I f(z)\sqrt{1+(f'(z))^2}\diff z$$ Die anschauliche Bedeutung unserer Formel f"ur die Oberfl"ache eines Rotationsk"orpers erkennt man, wenn man unsere Rotationsfl"ache durch eine Vereinigung von d"unnen B"andern der Gestalt \glqq oberer R"ander von Eiswaffeln\grqq\ approximiert. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben eine kompakte $k$-Fastfaltigkeit $M\subset\DR^n$ und $A\in {\op{O}}(n)$ zeige man $$\int_M1=\int_{A(M)}1$$ Insbesondere und in Worten bleibt also beim Drehen von Fl"achen im Raum ihre Oberfl"ache unver"andert. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man gebe ein glattes Vektorfeld auf $\DR$ an, das keine auf ganz $\DR$ definierten Flu"swege besitzt. \end{Ubung} \newpage \addtocounter{section}{1} \begin{center} {\Large "Ubungen Analysis 2} \end{center} \begin{center} Abgabe bis Mittwoch 28.6 vor der Vorlesung \end{center} \setcounter{Ubung}{0} \begin{Ubung} Man bestimme alle L"osungen der Differentialgleichung $x'(t)=t^5 x(t)$. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{VSWnnc} Gegeben ein mehrpunktiges kompaktes Intervall $I\subset \DR$ ist der Raum $\cal{C}^{1}(I,\DR)$ aller stetig differenzierbaren reellwertigen Abbildungen auf $I$ vollst"andig f"ur die Norm $\|\varphi\|_1=\|\varphi\|+\|\varphi'\|$ der gleichm"a"sigen Konvergenz der Funktionen und ihrer ersten Ableitungen. Hinweis: Man erinnere das Vertauschen des Integrals mit gleichm"a"siger Konvergenz. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Gr"o"sere Felder haben schnellere Flu"swege}] Gegeben $U\subset \DR$ halboffen und $a,b:U\ra\DR$ stetig ohne Nullstelle mit $a\leq b$ und $I\subset \DR$ ein mehrpunktiges Intervall und $\gamma, \kappa:I\ra U$ differenzierbar mit $\dot{\gamma}(t)=a(\gamma(t))$ und $\dot{\kappa}(t)=b(\kappa(t))$ f"ur alle $t\in I$ folgt aus $\gamma(t_0)\leq \kappa(t_0)$ f"ur ein $t_0\in I$ bereits dieselbe Aussage f"ur alle $t\in I$ mit $t\geq t_0$. Hinweis: Unseren Erkenntnissen 6.2.11 w"urden so etwas nur unter der st"arkeren Annahme $a0}\times (0,\pi)\times (0,2\pi) & \ra &\;\;\;\Bbb{R}^{3}\\ & (r,\vartheta,\varphi ) &\mapsto & (r\cos \varphi \sin\vartheta, r \sin\varphi \sin\vartheta, r \cos \vartheta) \end{array}$$ Man finde Vorw"artsverwandte f"ur $\partial_r, \partial_\varphi$ und $\partial_\vartheta$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man berechne die Transformation des Gradienten unter einer Streckung. Gegeben $\phi=(\lambda\cdot):\DR^2\ra \DR^2$ mit $\lambda\neq 0$ finde man also Vektorfelder $A,B$ auf $\DR^2$ mit $$\phi:(A(f\circ\phi))\partial_x + (B(f\circ\phi))\partial_y\leadsto (\op{grad}f)$$ \end{Ubung} \begin{Ubung} Auf $\DR^2\backslash 0$ ist der Winkel im Bogenma"s $\vartheta$ lokal eine \glqq bis auf eine additive Konstante wohl definerte Funktion\grqq. Das Differential $\diff \vartheta$ ist somit ein wohldefiniertes Kovektorfeld, wenn es auch global nicht das Differential einer Funktion auf ganz $\DR^2\backslash 0$ zu sein braucht. Man berechne das Wegintegral $\int_\gamma\diff\vartheta$ f"ur den Weg $\gamma:[0,2\pi]\ra \DR^2, \gamma(t)=(\cos t,\sin t)$. Man folgere, da"s $\diff \vartheta$ nicht das Differential einer Funktion $f:\DR^2\backslash 0\ra\DR$ sein kann. \end{Ubung} %\vspace{1cm} %\begin{center}\Large % F"ur das Wintersemester werden noch dringend Tutorinnen und Tutoren gesucht. % Bewerbungen gerne an \href{mailto:rm@math.uni-freiburg.de}{rm@math.uni-freiburg.de} % \end{center} \end{document} %pdflatex "\PassOptionsToPackage{final}{showkeys}\PassOptionsToPackage{final}{ifdraft}\input{UbgAN2}" %scp /home/wolfgang/Dokumente/Skripten/Skripten/UbgAN2.pdf soergel@tux00.mathematik.uni-freiburg.de:/webserver/home/soergel/Skripten/UbgAN2.pdf