\documentclass[12pt,a4paper]{article} \usepackage[active]{srcltx} \usepackage{young} \usepackage{makeidx} \usepackage{newlfont} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsxtra} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amscd} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{stmaryrd} \usepackage[ngerman]{babel} \usepackage{verbatim} \usepackage{graphicx} \input{xy} \xyoption{all} \frenchspacing \usepackage{amsthm} \usepackage{epsfig} \usepackage{alltt} %\input{newtheorems} \usepackage{hyperref} \theoremstyle{remark} \newtheorem{Ubung}{\"{U}bung}[section] \newtheorem{Ubunge}[Ubung]{Erg\"{a}nzende \"{U}bung} \newtheorem{Ubungb}[Ubung]{Bonus-\"{U}bung} \newtheorem{Definition}{Definition} \newtheorem{Bemerkung}{Bemerkung} \newtheorem{Satz}{Satz} \input{newcommands} \usepackage[T1]{fontenc} \newcommand{\changefont}[3]{ \fontfamily{#1} \fontseries{#2} \fontshape{#3} \selectfont} \renewcommand{\familydefault}{ptm} \begin{document} \begin{center} {\Large "Ubungbl"atter zur Analysis 3 bei Soergel im WS 2023/24} \end{center} \noindent Allgemeine Hinweise: \begin{itemize}\item Bei der Bearbeitung der "Uungen ist keine "ubertriebene Ausf"uhrlichkeit gefordert. Einfach zu schreiben, es sei klar, reicht nicht, aber eine schl"ussige Kette von richtigen Argumenten in der n"achsten Stufe der Ausf"uhrlichkeit reicht aus. Allerdings soll die Argumentationskette auch f"ur Sie selbst schl"ussig sein. Sie m"ussen sie im Tutorat erkl"aren k"onnen und in der Lage sein, auf Nachfragen Schritte Ihrer Argumentation genauer auszuf"uhren. In der Vorlesung bewiesene Aussagen m"ussen dabei aber keinesfalls nochmals bewiesen werden, da reicht ein Zitat. \item Es gibt jede Woche vier Aufgaben und f"ur jede Aufgabe gibt es vier Punkte, obwohl der Schwierigkeitsgrad der Aufgaben durchaus sehr unterschiedlich sein wird. Erg"anzende "Ubungen sind meist schwieriger und geben bis zu vier Bonuspunkte. \item Die "Ubungen werden Dienstag ausgegeben und m"ussen die Woche danach am Dienstag vor der Vorlesung beim jeweiligen Tutor abgegeben werden, entweder in den K"asten im Keller des Mathematischen Instituts oder nach Absprache mit dem Tutor auch auf anderem Wege. Sie seien ermutigt, die Aufgaben mit Ihren Kommilitonen zu besprechen und zu zweit abzugeben. Mehr als zwei Namen auf einem Zettel gilt aber nicht. \item Die "Ubungen werden auf den folgenden Seiten dieses Textes ins Netz gestellt, der jede Woche um das "Ubungsblatt der jeweiligen Woche erg"anzt werden wird. \end{itemize} \newpage \begin{center} {\Large Anwesenheitsaufgaben zweite Vorlesungswoche Analysis 3} \end{center} Diese "Ubungen m"ussen nicht abgegeben werden, sondern sollen im Laufe der zweiten Vorlesungswoche in den Tutoraten bearbeitet werden. Zu diesem Zeitpunkt liegen ja noch keine korrigierten Hausaufgaben vor, die zu besprechen w"aren. \setcounter{Ubung}{0} \begin{Ubung} Man zeige: F"ur jeden Vektorraum $V$ endlicher Dimension $\dim V = n$ und $p,q$ mit $p+q=n$ liefert das Dachprodukt eine nichtausgeartete Paarung $\op{Alt}^{p}V \times \op{Alt}^{q} V \ra \op{Alt}^{n}V$, als da hei"st, einen Isomorphismus $$\op{Alt}^{p}V \sira \op{Hom}(\op{Alt}^{q} V ,\op{Alt}^{n}V)$$ \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige: Gegeben ein $n$-dimensionaler orientierter reeller Skalarproduktraum $V$ gibt es genau ein $\omega\in \op{Alt}^nV$ mit $\omega(v_1,\ldots,v_n)=1$ f"ur jede orientierte angeordnete Orthonormalbasis $(v_1,\ldots,v_n)$. Man nennt $\omega$ die {\bf kanonische Volumenform} von $V$. Um den Nullraum korrekt einzubinden sollten wir besser sagen: \dots mit $\omega(v_1,\ldots,v_n)=\varepsilon$ f"ur jede angeordnete Orthonormalbasis $(v_1,\ldots,v_n)$ der Orientierung $\varepsilon$. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Hodge-*-Operator}] Gegeben ein endlichdimensionaler reeller orientierter Vektorraum $V$ der Dimension $n$ mit einer nichtausgearteten symmetrischen Bilinarform $t$ und $p,q\in\DN $ mit $p+q=n$ gibt es genau eine lineare Abbildung\label{HodM} $\ast=\ast_t:\op{Alt}^pV\ra \op{Alt}^qV$ mit $$\op{e}_1^\top\wedge \ldots \wedge\op{e}_p^\top\mapsto \varepsilon\eta_1\ldots\eta_p\op{e}_{p+1}^\top\wedge \ldots \wedge\op{e}_{n}^\top$$ f"ur jede angeordnete Orthogonalbasis $\op{e}_1, \ldots, \op{e}_n$ von $V$ der Orientierung $\varepsilon$ mit $\eta_i\pdef t(\op{e}_i,\op{e}_i)=\pm 1\;\forall i$. Diese "Ubung wird gebraucht, um die Bez"uge des Kalk"uls der Differentialformen zu den Maxwell'schen Gleichungen, Divergenz und Laplace-Operator zu erkl"aren. \end{Ubung} \begin{Ubung} Bestimmen Sie die zur"uckgezogene $2$-Form $P^*(xy\diff x\wedge \diff y)$ unter der Polarkoordinatenabbildung $P(r,\vartheta)=(r\cos\vartheta, r\sin\vartheta)$. \end{Ubung} \newpage \addtocounter{section}{1} \begin{center} {\Large "Ubungen Analysis 3} \end{center} \begin{center} Abgabe bis Dienstag 24.10 vor der Vorlesung \end{center} \setcounter{Ubung}{0} \begin{Ubung} Bestimmen Sie die zur"uckgezogene $2$-Form $K^*(\diff x\wedge \diff y)$ unter der Kugelkoordinatenabbildung $K(r,\varphi,\vartheta)=(r\cos\varphi\cos\vartheta, r\sin\varphi\cos\vartheta, r\sin\vartheta)$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Schreiben Sie einen Beweis f"ur die Vertr"aglichkeit des Zur"uckholens von Differentialformen mit dem Dachprodukt $\phi^{\ast} (\omega \wedge \eta) = \phi^{\ast} (\omega) \wedge \phi^{\ast} (\eta)$ aus. \end{Ubung} \begin{Ubung} Berechnen Sie das Wegintegral $\int_\gamma x\diff y$ l"angs des Weges $\gamma:[0,2\pi]\ra \DR^2$ gegeben durch $\gamma(t)=(\cos t, \sin t)$. Finden sie einen Weg $\kappa$ mit $P:\kappa\leadsto \gamma$ unter der Polarkoordinatenabbildung $P$ und pr"ufen Sie an diesem Beispiel die Verwandtschaftsvertr"aglichkeit des Wegintegrals. \end{Ubung} \begin{Ubung} Seien $r,\theta :U\ra \DR$ die Polarkoordinaten auf dem Komplement $U\co \DR^2$ der nichtnegativen $x$-Achse. Man dr"ucke $r^2\diff r\wedge \diff\theta$ in $xy$-Koordinaten aus. \end{Ubung} \newpage \addtocounter{section}{1} \begin{center} {\Large "Ubungen Analysis 3} \end{center} \begin{center} Abgabe bis Dienstag 31.10 vor der Vorlesung \end{center} \setcounter{Ubung}{0} \begin{Ubung} Berechnen Sie das Integral der $2$-Form $x dy\wedge dz + y dx\wedge dz$ "uber den Zylinder $\{(x,y,z)\mid x^2+y^2=1, z\in[0,1]\}$ mit einer Orientierung ihrer Wahl. \end{Ubung} \begin{Ubung} Berechnen Sie den Flu"s des Vektorfelds $F:(x,y,z)\mapsto (x,0,0)$ durch die Einheitssph"are, die Sie dazu mit einer Orientierung ihrer Wahl versehen m"ogen. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Verwandtschaftsvertr"aglichkeit des Integrals}] Seien $M\subset X$ und $N\subset Y$ kompakte $k$-Mannigfaltigkeiten in endlichdimensionalen reellen R"aumen. Sei $\phi: X\ra Y$ eine $\mathcal C^1$-Abbildung, die einen Hom"oomorphismus $M\sira N$ induziert sowie Isomorphismen ${\op{T}}_pM\sira {\op{T}}_{\phi(p)}N$. Seien $M$ und $N$ darunter mit vertr"aglichen Orientierungen versehen. So gilt f"ur jede stetige $k$-Form $\omega$ auf $Y$ die Identit"at $$\int_{\vec M}\phi^*\omega=\int_{\vec N}\omega$$ \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Flu"s durch einen ebenen Weg und Wegintegral}] Berechnen sie den Flu"s des radialen Vektorfelds $v:(x,y)\mapsto (x,y)$ durch den im Gegenuhrzeigersinn orientierten Einheitskreis und ebenso das Wegintegral desselben Vektorfelds l"angs derselben orientierten $1$-Mannigfaltigkeit. Schreiben Sie die Differentialformen auf, deren Integrale "uber den im Gegenuhrzeigersinn orientierten Einheitskreis diese beiden Integrationsfragen l"osen. \end{Ubung} \newpage \addtocounter{section}{1} \begin{center} {\Large "Ubungen Analysis 3} \end{center} \begin{center} Abgabe bis Dienstag 7.11 vor der Vorlesung \end{center} \setcounter{Ubung}{0} \begin{Ubung}[\textbf{F"ur Stokes auf Eckfaltigkeiten}] F"ur $i_\nu:(\Bbb{R}_{\leq 0})^{k}\ra (\Bbb{R}_{\leq 0})^{k+1}$ das Einf"ugen einer Null an der $\nu$-ten Stelle und $\eta$ eine stetig differenzierbare $k$-Form mit kompaktem Tr"ager auf $ (\Bbb{R}_{\leq 0})^{k+1}$ zeige man ohne Stokes $$ \sum_{\nu=0}^{k}(-1)^{\nu}\int_{(\Bbb{R}_{\leq 0})^{k}} i_\nu^{\ast}\eta = \int_{(\Bbb{R}_{\leq 0})^{k+1}} d\eta$$ \end{Ubung} \begin{Ubung} Im Fall einer stetig differenzierbaren $1$-Form $\omega$ auf einer offenen Teilmenge eines endlichdimensionalen rellen affinen Raums $X$ zeige man f"ur $\vec{v},\vec{w}\in\vec X$ die Formel $$(d\omega)_{x}(\vec{v},\vec{w}) =\lim_{t\ra 0}\frac{1}{t^{2}}\int_{F(x,t\vec{v},t\vec{w})} \omega$$ mit $F(x,t\vec{v},t\vec{w})$ der Rundweg, der in gerader Linie die Ecken $x, x+t\vec{v}, x+t\vec{v} + t\vec{w}, x+t\vec{w}, x$ der Reihe nach durchl"auft. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Die Maxwell'schen Gleichungen}] Wir bezeichnen die Koordinaten des $\DR^4$ mit $x,y,z,t$ und betrachten auf dem $\DR^4$ eine glatte $2$-Form \begin{eqnarray*} F &=& E^1 dx \wedge dt + E^2 dy \wedge dt + E^3 dz \wedge dt\\ & &+ B^1 dy \wedge dz + B^2 dz \wedge dx + B^3 dx \wedge dy \end{eqnarray*} Man zeige, da"s das Verschwinden der "au"seren Ableitung $dF=0$ "aquivalent ist zu den beiden Gleichungen $$\op{div} B =0\qquad\text{und}\qquad \op{rot} E = -\frac{\partial B}{\partial t}$$ Hier sind $\op{div}$ und $\op{rot}$ in Bezug auf die drei r"aumlichen Koordinaten $x,y,z$ zu verstehen. Erg"anzung: Wir betrachten nun zus"atzlich die symmetrische Bilinearform $l$ mit Fundamentalmatrix $\op{diag}(1,1,1,-c^2)$ mit einer reellen Konstante $c\neq 0$. Man pr"uft unschwer, da"s das Verschwinden der "au"seren Ableitung nach Anwenden des Hodge-Operators $ d(\ast_l F)=0$ "aquivalent ist zu den beiden Gleichungen $$ \op{div} E =0\quad\text{ und }\quad c^{ 2}\op{rot} B = \frac{\partial E}{\partial t}$$ \end{Ubung} \begin{Ubung} Finden Sie eine stetig differenzierbare geschlossene Zweiform $\omega$ auf $\DR^3\backslash 0$, also mit $d\omega=0$, die nicht die "au"sere Ableitung $\omega=d\eta$ eines zweimal stetig differenzierbaren Kovektorfelds $\eta$ ist. Hinweis: Man denke sich eine Wasserquelle im Ursprung. \end{Ubung} \newpage \addtocounter{section}{1} \begin{center} {\Large "Ubungen Analysis 3} \end{center} \begin{center} Abgabe bis Dienstag 14.11 vor der Vorlesung \end{center} \setcounter{Ubung}{0} \begin{Ubung} Gegeben ein Ma"sraum und darin eine aufsteigende Folge me"sbarer Mengen $A_{0} \subset A_{1}\subset\ldots$ zeige man\label{AVMM} $$\mu \left(\bigcup^{\infty}_{n =0} A_{n}\right) = \lim_{n\ra \infty} \mu (A_{n})$$ Hinweis: Man schreibe die fragliche Vereinigung als die disjunkte Vereinigung der $A_{n+1}\backslash A_n$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben ein Ma"sraum und darin eine absteigende Folge me"sbarer Mengen endlichen Ma"ses\label{NASD} $A_{0} \supset A_{1}\supset\ldots$ zeige man $$\mu \left(\bigcap^{\infty}_{n =0} A_{n}\right) = \lim_{n\ra \infty} \mu (A_{n})$$ Man zeige auch durch ein Gegenbeispiel, da"s das nicht mehr gelten mu"s, wenn alle Mengen unserer Folge unendliches Ma"s haben. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Vorbereitung zum Beweis des Satzes von Fubini}] Sei $X$ eine Menge und $\cal{M} \subset \cal{P} (X)$ eine Mengenalgebra. Man zeige: (1) Genau dann ist $\cal{M}$\label{SA} eine $\sigma$-Algebra, wenn $\cal{M}$ stabil ist unter abz"ahlbaren {\em disjunkten} Vereinigungen. (2) Genau dann ist $\cal{M}$ eine $\sigma$-Algebra, wenn $\cal{M}$ stabil ist unter abz"ahlbaren {\em aufsteigenden} Vereinigungen. \end{Ubung} \begin{Ubung} Konstruieren Sie in $\DR$ eine offene dichte Teilmenge von endlichem Lebesguema"s. \end{Ubung} \newpage \addtocounter{section}{1} \begin{center} {\Large "Ubungen Analysis 3} \end{center} \begin{center} Abgabe bis Dienstag 21.11 vor der Vorlesung \end{center} \setcounter{Ubung}{0} \begin{Ubung} Gegeben Mengen $X$ und $Y$ sowie Mengenringe $\cal{A} \subset \cal{P} (X)$ und $\cal{B} \subset \cal{P} (X)$ ist auch das System aller endlichen Vereinigungen von paarweise disjunkten Mengen der Gestalt $A\times B$ mit $A\in \cal{A}$ und $B\in \cal{B}$ ein Mengenring in $\cal{P} (X\times Y)$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Die Menge aller reellen Zahlen, die sich darstellen lassen durch einen unendlichen Dezimalbruch, in dem die Ziffer 6 nicht vorkommt, bilden eine abgeschlossene Teilmenge von $\DR$ vom Lebesguema"s Null. \end{Ubung} \begin{Ubung} Zeigen Sie, da"s jedes Borelma"s $\mu$ auf $\DR_{>0}$ mit $\mu(\alpha A)=\mu(A)$ f"ur alle Borelmengen $A$ ein nichtnegatives Vielfaches von $\op{d}\log$ ist. \end{Ubung} \begin{Ubung} Alle monotonen Abbildungen $\DR\ra\bar{\DR}$ sind me"sbar. \end{Ubung} \newpage \addtocounter{section}{1} \begin{center} {\Large "Ubungen Analysis 3} \end{center} \begin{center} Abgabe bis Dienstag 28.11 vor der Vorlesung \end{center} \setcounter{Ubung}{0} \begin{Ubung} Sei $(X,\cal{M})$ ein Me"sraum. Man zeige: Die Summe zweier Ma"se $\mu,\nu$ auf $\cal{M}$ ist wieder ein Ma"s $\mu+\nu$ auf $\cal{M}$ und f"ur jede me"sbare Funktion $f: X \ra [0,\infty]$ gilt $\int f (\mu+\nu) = \int f \mu +\int f \nu$. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Vertr"aglichkeit des Integrals mit Verwandtschaft}] Sei $\phi:X\ra Y$ eine me"sbare Abbildung von Me"sr"aumen. Seien $\mu$ und $\nu$ unter $\phi$ verwandte Ma"se auf $X$ beziehungsweise $Y$, in Formeln\label{VIV} $\phi:\mu\leadsto \nu$, und seien $f$ und $g$ unter $\phi$ verwandte me"sbare Funktionen nach $[0,\infty]$, in Formeln $\phi:f\leadsto g$. Man zeige $$\int_X f\mu=\int_Y g\nu$$ (Ist gleichbedeutend in unserer alternativen Terminologie $\mu$ ein Ma"s auf $X$ und $g:Y\ra [0,\infty]$ me"sbar, so gilt $\int_X (\phi^*g)\mu=\int_Y g(\phi_\ast\mu)$.) \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Produkte von Ma"sen mit Funktionen}] Man zeige: Ist $(X,\mu)$ ein Ma"sraum und $g:X\ra[0,\infty]$ me"sbar, so erhalten wir ein weiteres Ma"s $g\mu$ auf $X$ durch die Vorschrift $(g\mu)(A)\pdef \int_A g\mu$. F"ur jede weitere me"sbare Funktion $f:X\ra[0,\infty]$ gilt mit der Konvention $0\cdot\infty=0=\infty \cdot 0$ die Identit"at von Ma"sen $f(g\mu)=(fg)\mu$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige: Ist $(X,\mu)$ ein $\sigma$-endlicher Ma"sraum und sind $f,g:X\ra[0,\infty]$ me"sbar, so gilt die Gleichheit von Ma"sen $f\mu=g\mu$ genau dann, wenn $f$ und $g$ au"serhalb einer me"sbaren Menge vom Ma"s Null "ubereinstimmen. Man gebe auch ein Gegenbeispiel im Fall nicht $\sigma$-endlicher Ma"sr"aume. Hinweis: Man ziehe sich auf den Fall $\mu(X)<\infty$ zur"uck und betrachte dann zun"achst die Mengen $\{x\mid n>f(x)>g(x)+1/n\}$. \end{Ubung} \newpage \addtocounter{section}{1} \begin{center} {\Large "Ubungen Analysis 3} \end{center} \begin{center} Abgabe bis Dienstag 5.12 vor der Vorlesung \end{center} \setcounter{Ubung}{0} \begin{Ubung}[\textbf{Vertauschen von Integration und Ableitung}] Sei \label{VIPA} $(X,\mu)$ ein Ma"sraum und $I\subset \DR$ halboffen und $f:X\times I\ra\DR$ eine Abbildung derart, da"s $x\mapsto f(x,t)$ integrierbar ist f"ur alle $t\in I$ und $t\mapsto f(x,t)$ differenzierbar f"ur alle $x\in X$. Existiert eine integrierbare Abbildung $g:X\ra\DR$ mit $g(x)\geq |\partial_tf(x,t)|$ f"ur alle $x$ und $t$, so ist $x\mapsto \partial_tf(x,t)$ integrierbar f"ur alle $t$ und es gilt $$\partial_t\int f(x,t)\;\mu\langle x\rangle=\int \partial_tf(x,t)\;\mu\langle x\rangle$$ Hinweis: Dominierte Konvergenz und Mittelwertsatz. \end{Ubung} \begin{Ubung} Sei $(X,\mathcal M,\mu)$ ein Ma"sraum, $A\subset X$ eine me"sbare Teilmenge, $\mu|_A$ das darauf eingeschr"ankte Ma"s und $f:X\ra [0,\infty]$ me"sbar. Man schreibe einen Beweis aus f"ur die Gleichheit $$\int_X [A]f\mu=\int_A f\mu|_A$$ Hier meint $[A]f$ das Produkt von $f$ mit der charakteristischen Funktion von $A$ unter der "ublichen Konvention $0\cdot\infty=0$. "Ublicherweise wird die rechte Seite abk"urzend $\int_A f\mu$ notiert. \end{Ubung} \begin{Ubung} Zeige: Die Menge $\{ x \in\DR^n\mid 0 \leq x_{1} \leq \ldots \leq x_{n} \leq 1\}$ hat das Volumen $(n!)^{-1}$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben me"sbare Abbildungen $f : X \ra A$ und $g: Y \ra B$ von Me"sr"aumen gilt f"ur ENDLICHE (beliebige war falsch) Ma"se $\mu$ auf $ X$ und $\nu$ auf $ Y$ im Raum der Ma"se auf $A\times B$ die Gleichheit $$(f_\ast \mu) \boxtimes (g_\ast \nu)= (f\times g)_\ast (\mu \boxtimes \nu)$$ \end{Ubung} \newpage \addtocounter{section}{1} \begin{center} {\Large "Ubungen Analysis 3} \end{center} \begin{center} Abgabe bis Dienstag 12.12 vor der Vorlesung \end{center} \setcounter{Ubung}{0} \begin{Ubung} Man zeige: Eine Teilmenge eines $\DR^n$ ist eine Nullmenge in Bezug auf das Lebesguema"s genau dann, wenn sie sich f"ur jedes $\varepsilon >0$ durch eine Folge von kompakten Quadern $Q_n$ "uberdecken l"a"st mit $\sum_{n=0}^\infty \op{vol}Q_n<\varepsilon$. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{BOMA} Sei $W\co\DR^n$ eine offene Teilmenge. Man zeige: Liefern zwei Borelma"se auf $W$ dasselbe Integral f"ur alle glatten Funktionen auf $W$ mit kompaktem Tr"ager, so stimmen sie "uberein. Hinweis: Man verwende 1.9.4 %\ref{KOo} und die Regularit"at 1.8.7.%\ref{RE}. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige: Gegeben eine me"sbare Teilmenge $A\subset \DR^n$ und $c\in\DR$ gilt $\lambda(cA)=|c|^n\lambda(A)$. Zum Beispiel hat eine Kugel vom doppelten Radius das achtfache Volumen. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Gitterpunktsatz von Minkowski}] F"ur jede offene konvexe Teilmenge $K$ eines $\DR^n$ mit $x\in K\RA (-x)\in K$ und Lebesguema"s $\lambda(K)>1$ enth"alt $2K$ au"ser dem Ursprung noch weitere Punkte aus $\DZ^n$.\index{Gitterpunktsatz}\index{Minkowski!Gitterpunktsatz} Hinweis: Wir schreiben $K$ als disjunkte Vereinigung der $K\cap (x+[0,1)^n)$ f"ur $x\in \DZ^n$. Aus Volumengr"unden gibt es $x\neq y\in \DZ^n$ mit $x+K\cap y+K\neq\emptyset$, also $k,h\in K$ mit $k-h=x-y$, also $(x-y)\in 2K$. \end{Ubung} \newpage \addtocounter{section}{1} \begin{center} {\Large "Ubungen Analysis 3} \end{center} \begin{center} Abgabe bis Dienstag 19.12 vor der Vorlesung \end{center} \setcounter{Ubung}{0} \begin{Ubung} Seien $I\subset\DR$ ein mehrpunktiges Intervall\label{OFRv} und $f:I\ra (0,\infty)$ stetig differenzierbar. So ist die {\bf Mantelfl"ache}\index{Mantelfl"ache} $$M\pdef \{(x,y,z)\in\DR^2\times I\mid x^2+y^2= (f(z))^2\}$$ eine zweidimensionale Randfaltigkeit im $\DR^3$. Man zeige man f"ur das Bildma"s des Oberfl"achenma"ses unter der orthogonalen Projektion $p:M\ra I$ unserer Mantelfl"ache auf die $z$-Achse die Formel $p_\ast\sigma=2\pi f(z)\sqrt{1+(f'(z))^2}\diff z$. Ist speziell $M$ die Einheitskugel, so zeige man $p_\ast\sigma=2\pi\diff z$ und berechne nochmals die Oberfl"ache der Einheitskugel. \end{Ubung} \begin{Ubung} Sei $(X,\mathcal M,\mu)$ ein Ma"sraum. Gegeben eine integrierbare Abbildung $f:X\ra V$ mit Werten in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum\label{NoIn} gilt f"ur jede Norm $\|\;\|$ auf $V$ die Absch"atzung $$\left\|\int f\;\right\|\leq \int \| f\|$$ Hinweis: Man zeige das zun"achst f"ur me"sbare Stufenfunktionen und argumentiere dann mit dem Satz "uber dominierte Konvergenz. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man gebe eine quadratintegrierbare Funktion $f: \Bbb{R} \rightarrow \Bbb{R}$ an, die nicht integrierbar ist. Man gebe eine integrierbare Funktion $f: \Bbb{R} \rightarrow \Bbb{R}$ an, die nicht quadratintegrierbar ist. Man zeige, da"s jede quadratintegrierbare Funktion $f: \Bbb{R} \rightarrow \Bbb{R}$ mit kompaktem Tr"ager integrierbar ist. \end{Ubung} \begin{Ubung} Sind $f,g:\DR^n\ra\DR$ fast "uberall gleich und stetig bei $p\in \DR^n$, so gilt $f(p)=g(p)$. \end{Ubung} \newpage \addtocounter{section}{1} \begin{center} {\Large "Ubungen Analysis 3} \end{center} \begin{center} Abgabe bis Dienstag 9.1 vor der Vorlesung \end{center} \setcounter{Ubung}{0} \begin{Ubung} Gegeben ein Ma"sraum liegen f"ur $1\leq p<\infty$ die integrierbaren Stufenfunktionen auf unserem Raum dicht im Raum der $\op{L}^{p}$-Funktionen.\label{USs} Hinweis: Man verwende das Lemma zur monotonen Approximation durch Stufenfunktionen. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{HBO} Man zeige, da"s ein unendlichdimensionaler Hilbertraum keine Orthonormalbasis im Sinne der linearen Algebra besitzen kann. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{EsSt} Ist $(X,\mu)$ ein Ma"sraum und $E\subset X$ eine me"sbare Teilmenge endlichen Ma"ses, so liefert f"ur alle $p\in [1,\infty]$ die Einschr"ankung von Funktionen eine stetige Abbildung $\op{L}^p(X)\ra \op{L}^1(E)$. Hinweis: H"older-Ungleichung. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{EDR} Gegeben ein Borelma"s $\mu$ auf $\DR$ und $1\leq p\leq \infty$ ist der Raum $\op{L}^{p}(\DR;\mu)$ endlichdimensional genau dann, wenn $\mu$ eine endliche Linearkombination von Diracma"sen ist. Hinweis: Wir k"onnen $\mu=\diff f$ annehmen f"ur $f:\DR\ra\DR$ monoton wachsend und linksseitig stetig. \end{Ubung} \newpage \addtocounter{section}{1} \begin{center} {\Large "Ubungen Analysis 3} \end{center} \begin{center} Abgabe bis Dienstag 16.1 vor der Vorlesung \end{center} \setcounter{Ubung}{0} \begin{Ubung}[\textbf{Charaktere von Produkten}] Gegeben $G,H$ topologische Gruppen zeige man, da"s die durch $\chi\mapsto (\chi\circ i,\chi\circ j)$ gegebene Abbildung ein Grup\-pen\-iso\-mor\-phis\-mus\label{CvP} $$\mathfrak X(G\times H)\sira \mathfrak X(G)\times \mathfrak X(H)$$ ist, mit $i:G\hra G\times H$, $g\mapsto (g,1)$ und $j:H\hra G\times H$, $h\mapsto (1,h)$. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{HoTr} Man konstruiere eine Bijektion zwischen der Menge aller stetigen Gruppenhomomorphismen $(S^1)^m\ra (S^1)^n$ und der Menge $\op{Mat}(n\times m;\DZ)$ aller $(n\times m)$-Matrizen mit ganzzahligen Eintr"agen. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{SEH} Man zeige: Genau dann besitzt ein Hilbertraum eine abz"ahlbare dichte Teilmenge, wenn er eine abz"ahlbare Hilbertbasis besitzt. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{ADNN} Man zeige: Jede stetige lineare Abbildung von Hilbertr"aumen hat genau eine adjungierte Abbildung und diese ist auch stetig. Man notiert die adjungierte Abbildung zu $A$ in der mathematischen Literatur meist $A^\ast$,\index{)6ast@$A^\ast$ adjungierter Operator} in der physikalischen Literatur dahingegen meist $A^\dagger$.\index{)6dagger@$A^\dagger$ adjungierter Operator} Hinweis: Zuerst mag der Riesz'sche Darstellungssatz helfen, angewandt auf $v\mapsto \langle Av,w\rangle$ f"ur festes $w$, dann die Erkenntnis $\|A\|=\op{sup}\{\langle Av,v'\rangle\mid\|v\|=\|v'\|=1\}$ im Fall, da"s keiner unserer beiden R"aume der Nullraum ist. \end{Ubung} \newpage \addtocounter{section}{1} \begin{center} {\Large "Ubungen Analysis 3} \end{center} \begin{center} Abgabe bis Dienstag 23.1 vor der Vorlesung \end{center} \setcounter{Ubung}{0} \begin{Ubung} Man berechne die Fourierkoeffizienten der S"agezahnfunktion $t \mapsto |t|$ f"ur $t \in [-\pi, \pi]$ und der Funktion $t \mapsto \exp(\exp ( {\op{i}}t))$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige f"ur die physikalisch standardisierte Fouriertransformierte: F"ur $g(x) \pdef f(x) \op{e}^{2\pi{\op{i}}\al \cdot x}$ mit $\al \in \Bbb{R}^n$ haben wir $g^\wedge ( y) = f^\wedge ( y - \al)$; F"ur $g(x) \pdef\overline{f(x)}$ haben wir $g^\wedge ( y) = \overline{f^\wedge (- y)}$; \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige, da"s der Schwartzraum stabil ist unter Multiplikationen mit beliebigen Koordinatenfunktionen $x_\nu$ und unter allen partiellen Ableitungen $\partial_\mu$. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Fouriertransformierte der Glockenkurve}] Man zeige, da"s die Gau"s'sche Glockenkurve unter der mathematisch standardisierten Fouriertransformation ihre eigene Fouriertransformierte ist, in Formeln gilt f"ur die Funktion\label{RG} $g(x) = \op{e}^{-x^{2}/2}$ also $ g^\wedge ( y) = \op{e}^{- y^{2}/2}$. Hinweis: $g$ erf"ullt die Differentialgleichung $g^{\prime}(x)= -x g(x)$. Auch ohne den Eindeutigkeitssatz "uber L"osungen von Differentialgleichungen zu bem"uhen, kann man durch Ableiten von $f(x)/(\op{e}^{-x^{2}/2})$ zeigen, da"s diese Differentialgleichung bis auf konstante Faktoren keine anderen L"osungen $f$ hat. Jetzt zeige man, da"s $\hat g\pdef g^\wedge$ dieselbe Differentialgleichung l"ost. So folgt $g=c \hat g$. Die Konstante $c$ schlie"slich ergibt sich aus unserer Formel f"ur die Fl"ache unter der Glockenkurve. \end{Ubung} \newpage \addtocounter{section}{1} \begin{center} {\Large "Ubungen Analysis 3} \end{center} \begin{center} Letztes Blatt als Bonus-Blatt\\Abgabe bis Dienstag 30.1 vor der Vorlesung \end{center} \setcounter{Ubung}{0} \begin{Ubung} Man zeige f"ur $\alpha\in\DC$ mit $\op{Im}(\alpha)<0$, da"s die Funktion $g$ gegeben durch $g(x)=-2\pi{\op{i}}\op{e}^{-2\pi{\op{i}} x\alpha}$ f"ur $x>0$ und $g(x)=0$ f"ur $x\leq 0$ die Fouriertransformierte $g^\wedge(y)=-1/(y+\alpha)$ hat. \end{Ubung} \begin{Ubung} Schreiben wir eine integrierbare Funktion $f$ als Summe $f=g+u$ ihres geraden und ihres ungeraden Anteils, so gilt $g^{\wedge}(y)=(2\pi)^{-1/2}\int f(x)\cos (xy)\diff x$ und ${\op{i}}u^{\wedge}(y)=(2\pi)^{-1/2}\int f(x)\sin (xy)\diff x$ f"ur die mathematisch standardisierte Fouriertransformation. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige f"ur die stochastische Fouriertransformierte eines Ma"ses $\mu\in\op{M}(\DR)$, da"s unter der Voraussetzung, da"s $x$ integrierbar ist nach $\mu$,\label{BMIn} die Fouriertransformierte differenzierbar ist mit der Ableitung $(\mu^\wedge)'(y)={\op{i}}(x\mu)^\wedge$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Ist die Fouriertransformierte einer integrierbaren Funktion $f\in \mathcal{L}^1$ wieder integrierbar, so gilt $f^{\wedge\wedge}(x)=f(-x)$ f"ur fast alle $x$.\label{IvSR} Insbesondere besitzt jede $\op{L}^1$-Funktion mit einer integrierbaren Fouriertransformierten einen stetigen Repr"asentanten.\label{IIFF} \end{Ubung} \end{document} %pdflatex "\PassOptionsToPackage{final}{showkeys}\PassOptionsToPackage{final}{ifdraft}\input{UbgAN3}" %scp /home/wolfgang/Dokumente/Skripten/Skripten/UbgAN3.pdf soergel@tux00.mathematik.uni-freiburg.de:/webserver/home/soergel/Skripten/UbgAN3.pdf