\documentclass[12pt,a4paper]{article} \usepackage[active]{srcltx} \usepackage{young} \usepackage{makeidx} \usepackage{newlfont} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsxtra} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amscd} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{stmaryrd} \usepackage[ngerman]{babel} \usepackage{verbatim} \usepackage{graphicx} \input{xy} \xyoption{all} \frenchspacing \usepackage{amsthm} \usepackage{epsfig} \usepackage{alltt} %\input{newtheorems} \usepackage{hyperref} \theoremstyle{remark} \newtheorem{Ubung}{\"{U}bung}[section] \newtheorem{Ubunge}[Ubung]{Erg\"{a}nzende \"{U}bung} \newtheorem{Ubungb}[Ubung]{Bonus-\"{U}bung} \newtheorem{Ubunga}{Aufgabe} \newtheorem{Bemerkung}{Bemerkung} \theoremstyle{definition} \newtheorem{Definition}{Definition} \theoremstyle{theorem} \newtheorem{Satz}{Satz} \input{newcommands} \usepackage[T1]{fontenc} \newcommand{\changefont}[3]{ \fontfamily{#1} \fontseries{#2} \fontshape{#3} \selectfont} \renewcommand{\familydefault}{ptm} \begin{document} \begin{center} {\Large "Ubungbl"atter zur Kommutativen Algebra und Einf"uhrung in die Algebraische Geometrie bei Soergel im SS 2025} \end{center} \noindent Allgemeine Hinweise: \begin{itemize}\item Bei der Bearbeitung der "Uungen %und sp"ater der Klausuraufgaben ist keine "ubertriebene Ausf"uhrlichkeit gefordert. Einfach zu schreiben, es sei klar, reicht nicht, aber eine schl"ussige Kette von richtigen Argumenten in der n"achsten Stufe der Ausf"uhrlichkeit reicht aus. Allerdings soll die Argumentationskette auch f"ur Sie selbst schl"ussig sein. Sie m"ussen sie im Tutorat erkl"aren k"onnen und in der Lage sein, auf Nachfragen Schritte Ihrer Argumentation genauer auszuf"uhren. In der Vorlesung bewiesene Aussagen m"ussen dabei aber keinesfalls nochmals bewiesen werden, da reicht ein Zitat. \item Es gibt jede Woche vier Aufgaben und f"ur jede Aufgabe gibt es vier Punkte, obwohl der Schwierigkeitsgrad der Aufgaben durchaus sehr unterschiedlich sein wird. %Erg"anzende "Ubungen %sind meist schwieriger, sind f"ur die Klausur nicht relevant und geben %bis zu vier Bonuspunkte. \item Die "Ubungen werden Dienstags ausgegeben und m"ussen die Woche danach am Dienstag vor der Vorlesung abgegeben werden. Sie seien ermutigt, die Aufgaben mit Ihren Kommilitonen zu besprechen und zu zweit abzugeben. Mehr als zwei Namen auf einem Zettel gilt aber nicht. \item Die "Ubungen werden auf den folgenden Seiten dieses Textes ins Netz gestellt, der jede Woche um das "Ubungsblatt der jeweiligen Woche erg"anzt werden wird. \end{itemize} \newpage \begin{center} {\Large Anwesenheitsaufgaben zweite Vorlesungswoche} \end{center} Diese "Ubungen m"ussen nicht abgegeben werden, sondern sollen im Laufe der zweiten Vorlesungswoche in den Tutoraten bearbeitet werden. Zu diesem Zeitpunkt liegen ja noch keine korrigierten Hausaufgaben vor, die zu besprechen w"aren. \setcounter{Ubung}{0} \begin{Ubung} Eine Teilmenge eines topologischen Raums hei"st {\bf dicht},\index{dicht!Teilmenge} wenn ihr Abschlu"s der ganze Raum ist. Sei $k$ ein kommutativer Integrit"atsbereich. Man zeige: Jede unendliche Teilmenge von $k$ ist Zariski-dicht. Sind $A\subset k^m$ und \label{ZD}$B\subset k^n$ Zariski-dicht, so gilt dasselbe f"ur $A\times B\subset k^{m+n}$. (Korrektur: Ab hier mu"s $k$ unendlich angenommen werden.) Jede offene nichtleere Teilmenge von $k^n$ ist Zariski-dicht. Je zwei offene nichtleere Teilmengen von $k^n$ haben nichtleeren Schnitt. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige: Verschwindet ein Polynom $P\in\DR[x,y]$ auf der Kreislinie $\{(x,y)\in \DR^2\mid x^2+y^2=1\}$, so wird es von $x^2+y^2-1$ geteilt. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben eine endlichdimensionale Ringalgebra "uber einem K"orper bilden die Einheiten stets eine Zariski-offene Teilmenge. Korrektur: Diese "Ubung war mi"sverst"andlich. Ich h"atte schreiben sollen: Gegeben eine $k$-bilineare Multiplikation auf $A\pdef k^n$, die $A$ zu einem Ring macht, bilden die Einheiten eine Zariski-offene Teilmenge $A^\times\co A$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Ist $k$ ein K"orper, ja ein beliebiger Kring, und $x \in k^{n}$ ein Punkt, so ist das Verschwindungsideal dieser einelementigen Menge das Ideal ${\mathcal I}(x)= \langle T_{1}-x_{1}, \ldots , T_{n}-x_{n}\rangle \subset k [T_{1}, \ldots , T_{n}]$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Sei $k$ ein K"orper. Man zeige, da"s die von ganz $k$ verschiedenen algebraischen Teilmengen von $k$ genau die endlichen Teilmengen sind. Man zeige, da"s die algebraischen Teilmengen von $k^2$ genau die endlichen Teilmengen, die Vereinigungen der Nullstellenmengen einzelner Polynome mit endlichen Teilmengen, sowie ganz $k^2$ sind. Hinweis: Zwei teilerfremde Polynome in zwei Ver"anderlichen haben h"ochstens endlich viele gemeinsame Nullstellen. \end{Ubung} \newpage \addtocounter{section}{1} \begin{center} {\Large "Ubungen zur Kommutativen Algebra und Einf"uhrung in die Algebraische Geometrie } \end{center} \begin{center} Abgabe bis Dienstag, den 29.4 um 8:15 \end{center} \setcounter{Ubung}{0} \begin{Ubunge} Man zeige, da"s in einem endlich erzeugten Modul jedes Erzeugendensystem ein endliches Erzeugendensystem umfa"st. \end{Ubunge} \begin{Ubung}\label{ETUG} Sei $k$ ein K"orper. Man zeige f"ur jedes Ideal $\mathfrak a\subset k[T_1,\ldots, T_n]$ die Absch"atzung $|\mathcal Z(\mathfrak a)|\leq \op{dim}_kk[T_1,\ldots, T_n]/\mathfrak a$. Insbesondere kann ein Ideal endlicher Kodimension nur h"ochstens endlich viele simultane Nullstellen besitzen. Hinweis: Interpolation in mehreren Variablen. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige: Jeder surjektive Endomorphismus eines noetherschen Moduls ist ein Isomorphismus. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige, da"s $\DC[x,y]/\langle y^2-x^3\rangle$ ein Integrit"atsbereich ist, und da"s die "uber diesem Ring ganzen Elemente seines Quotientenk"orpers selbst einen Ring bilden, der isomorph ist zum Polynomring in einer Ver"anderlichen. \end{Ubung} \newpage \addtocounter{section}{1} \begin{center} {\Large "Ubungen zur Kommutativen Algebra und Einf"uhrung in die Algebraische Geometrie } \end{center} \begin{center} Abgabe bis Dienstag, den 6.5 in der Vorlesung \end{center} \setcounter{Ubung}{0} \begin{Ubung}$(k=\bar k)$. Man zeige: Gegeben nilpotentfreie $k$-Kringe $A,B$ ist auch ihr Tensorprodukt $A\otimes_k B$ nilpotentfrei. Hinweis: Identifizieren mit regul"aren Funktionen. Man beachte das Beispiel $K(T)\otimes_{K(T^p)}K(T)$ f"ur einen K"orper $K$ positiver Charakteristik $p>0$, in dem das Tensorprodukt zweier K"orpererweiterungen desselben Grundk"orpers $K(T^p)$ nilpotente Elemente hat. Aber $k\pdef K(T^p)$ ist auch nicht algebraisch abgeschlossen. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Disjunktes Verkleben polynomialer Funktionen}] $(k=\bar k)$. Seien disjunkte und Zariski-abgeschlossene Teilmengen $X,Y\As k^n$ gegeben sowie polynomiale Funktionen $f:X\ra k$ und $g:Y\ra k$. Man zeige, da"s die Abbildung\label{ABF} $$h:X\sqcup Y\ra k$$ mit $h|_X=f$ und $h|_Y=g$ dann auch polynomial ist. Hinweis: Nach dem Nullstellensatz ist die Summe der Verschwindungsideale der ganze Polynomring. Nun verwende man den abstrakten chinesischen Restsatz. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Kein abgeschlossenes Verkleben polynomialer Funktionen}] Gegeben ein algebraisch abgeschlossener K"orper $k=\bar k$ und algebraische Teilmengen $X,Y\As k^n$ sowie polynomiale Funktionen $f:X\ra k$ und $g:Y\ra k$ mit $f|_{X\cap Y}=g|_{X\cap Y}$ mu"s die Abbildung $$h: X\cup Y\ra k$$ mit $h|_X=f$ und $h|_Y=g$ keineswegs polynomial sein. Als Beispiel untersuche man den $k^2$ mit $X$ dem Achsenkreuz und $Y$ einer weiteren Ursprungsgeraden. Mutige zeigen, da"s das Verkleben im allgemeinen genau dann gelingt, wenn $\mathcal I(X)+\mathcal I(Y)$ ein Radikalideal ist. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Stetigkeit polynomialer Abbildungen}] Ich erinnere daran, da"s eine Abbildung zwischen topologischen R"aumen stetig hei"st, wenn das Urbild jeder offenen Menge wieder offen ist. Man zeige: Gegeben ein K"orper $k$ sind polynomiale Abbildungen $X\ra Y$ mit $X\As k^n$ und $Y\As k^m$ stetig f"ur die von der Zariskitopologie auf unseren Teilmengen induzierte Topologie. \end{Ubung} \newpage \addtocounter{section}{1} \begin{center} {\Large "Ubungen zur Kommutativen Algebra und Einf"uhrung in die Algebraische Geometrie } \end{center} \begin{center} Abgabe bis Dienstag, den 13.5 in der Vorlesung \end{center} \setcounter{Ubung}{0} \begin{Ubung}\label{dOO} Seien $X$ und $Y$ affine Variet"aten. Man zeige, da"s ein Morphismus $\varphi:X\ra Y$ dichtes Bild hat genau dann, wenn der zugeh"orige Komorphismus eine Injektion\index{dominant!Morphismus von affinen Variet"aten} $\varphi^\sharp:\mathcal O(Y) \ra \mathcal O(X)$ induziert. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{IDBX} Sei $\varphi:X\ra Y$ ein Morphismus von affinen Variet"aten. Gegeben eine Teilmenge $J \subset \cal{O}(Y)$ ist das Urbild ihrer Nullstellenmenge die Nullstellenmenge ihres Bildes, in Formeln $${\varphi^{-1} (\cal Z(J))}=\cal Z(\varphi^{\sharp}(J))$$ \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Produkt mit $k^n$}] % $(k=\bar k)$. Gegeben eine affine Variet"at $X$ zeige man, da"s wir einen Isomorphismus $\mathcal O(X)[T_1,\ldots, T_n]\sira \mathcal O(X\times k^n)$ erhalten, wenn wir den Kringhomomorphismus betrachten, der auf $\mathcal O(X)$ durch das Zur"uckholen gegeben ist und unter dem der Variablen $T_i$ die Projektion auf $k^n$ gefolgt von der Projektion auf den $i$-ten Eintrag zugeordnet wird.\label{WADn} \end{Ubung} \begin{Ubung} Ein {\bf Block}\index{Block!von Kring} eines Krings kann charakterisiert werden als ein unzerlegbarer direkter Summand unseres Krings, betrachtet als Modul "uber sich selber. Man konstruiere eine Bijektion zwischen der Menge der Zusammenhangskomponenten einer affinen Variet"at $X$ und der Menge der Bl"ocke ihres Rings von strukturierenden Funktionen $\mathcal O(X)$.\label{blo} \end{Ubung} \newpage \addtocounter{section}{1} \begin{center} {\Large "Ubungen zur Kommutativen Algebra und Einf"uhrung in die Algebraische Geometrie } \end{center} \begin{center} Abgabe bis Dienstag, den 20.5 in der Vorlesung \end{center} \setcounter{Ubung}{0} \begin{Ubung}\label{BIr} Man zeige: Das Bild eines irreduziblen Raums unter einer stetigen Abbildung ist stets irreduzibel. \end{Ubung} \begin{Ubung} Sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper. Man zeige, da"s die irreduziblen algebraischen Teilmengen von $k^2$ genau die einpunktigen Teilmengen, die Nullstellenmengen einzelner irreduzibler Polynome sowie ganz $k^2$ sind. Hinweis: Man erinnere aus der Algebra, da"s zwei teilerfremde Polynome in zwei Variablen nur endliche viele gemeinsame Nullstellen haben k"onnen. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige, da"s f"ur jede affine Variet"at $X$ mit einem faktoriellen Ring $\mathcal O(X)$ von regul"aren Funktionen das Bilden der Nullstellenmenge eine Bijektion $$\begin{array}{ccc} \left\{\begin{array}{c} \text{Quadratfreie Elemente von}\\ \mathcal O(X),\text{ bis auf Einheiten} \end{array}\right\}& \sira& \left\{ \begin{array}{c} \text{Abgeschlossene}\\ \text{Hyperfl"achen in }X \end{array}\right\} \\[4mm] [f]&\mapsto&\mathcal Z(f) \end{array}$$ zwischen quadratfreien Elementen von $\mathcal O(X)$, bis auf Einheiten, und Hyperfl"achen in $X$ liefert. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{PiAA} Man zeige: Gegeben Ideale $\frak a_1, \ldots, \frak a_r$ und Primideale $\frak p_1, \ldots, \frak p_s$ eines Krings $R$ mit $\frak a_i \not\subset \frak p_j$ f"ur alle $i,j$ gibt es stets $f \in R$ mit $f \in \frak a_i \;\forall i$ aber $f \not\in \frak p_j \; \forall j$. %Hinweis: Man verwende \ref{PiAAn} und \ref{UFSS}. \end{Ubung} \newpage \addtocounter{section}{1} \begin{center} {\Large "Ubungen zur Kommutativen Algebra und Einf"uhrung in die Algebraische Geometrie } \end{center} \begin{center} Abgabe bis Dienstag, den 27.5 in der Vorlesung \end{center} \setcounter{Ubung}{0} \begin{Ubung} Sei $k=\bar k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper. Man zeige, da"s die Variet"at $k$ die Krulldimension Eins hat und die Variet"at $k^2$ die Krulldimension Zwei. Hinweis: Die irreduziblen algebraischen Teilmengen wurden in diesen F"allen im letzten Blatt bestimmt. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Irreduzibilit"at der Gruppe $\op{SL}_n$}]$(k=\bar k)$. Man zeige, da"s die spezielle lineare Gruppe $\op{SL}(n;k)$ stets irreduzibel ist. Hinweis: "Ahnlich wie in \eref{PEMm}{LA1} erkennt man, da"s es f"ur jedes $n$ ein $N$ gibt derart, da"s sich jede $(n\times n)$-Matrix der Determinante Eins darstellen l"a"st als Produkt von $N$ Faktoren, die jeweils Diagonalmatrizen der Determinante Eins oder Elementarmatrizen der Determinante Eins sind. Man folgere, da"s auch $1-\det$ f"ur $n\geq 1$ ein irreduzibles Polynom ist. Hinweis: Man argumentiere wie in \ref{IrDE}.\label{IrSL} \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{PUNm} Ein Primideal eines Krings mu"s alle nilpotenten Elemente des besagten Krings enthalten. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Irreduzibilit"at von Produkten}] Seien $k$ ein K"orper und $X\subset k^n$ und $Y\subset k^m$ irreduzibel f"ur die Zariskitopologie. Man zeige, da"s dann auch\label{PZT} $X\times Y\subset k^{n+m}$ irreduzibel ist f"ur die Zariskitopologie. Man zeige, da"s das Tensorprodukt von zwei Integrit"atskringen "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper $k=\bar k$ stets wieder ein Integrit"atskring ist. \end{Ubung} \newpage \addtocounter{section}{1} \begin{center} {\Large "Ubungen zur Kommutativen Algebra und Einf"uhrung in die Algebraische Geometrie } \end{center} \begin{center} Abgabe bis Dienstag, den 3.6 in der Vorlesung \end{center} \setcounter{Ubung}{0} \begin{Ubung}\label{LokSS} Seien $R$ ein Kring und $S\subset R$ eine Teilmenge. Gegeben ein $R$-Modul $M$ mit Untermoduln $K,L\subset M$ zeige man die Identit"at $$S^{-1}(K\cap L)=(S^{-1}K)\cap (S^{-1}L)$$ von Untermoduln von $S^{-1}M$. Hinweis: Exaktheit der Lokalisierung. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{SMLO} Gegeben ein Integrit"atsbereich $A$ zeige man in ${\op{Quot}}A$ die Identit"at $$A=\bigcap_{\frak m\in\op{Max}A}A_{\frak m}$$ Hinweis: Gegeben $f\in ({\op{Quot}}A)\backslash A$ kann das Ideal $I=\{ g\in A\mid gf\in A\}$ nie ganz $A$ sein. \end{Ubung} \begin{Ubung} Ist speziell $f$ die Variable $f=t$ in einem Polynomring $R[t]$ "uber einem Kring $R$, so schreibt man kurz $R[t]_t=R[t][t^{-1}] = R[t,t^{-1}]$ und nennt diesen Ring den {\bf Ring der Laurentpolynome\index{Laurentpolynom} "uber} $R$. Man zeige, da"s sich jedes Element von $R[t,t^{-1}]$ eindeutig darstellen l"a"st als eine endliche Linearkombination $\sum_{i\in \DZ} a_{i} t^{i}$ mit Koeffizienten $a_{i}\in R$, da"s also die $t^i$ eine Basis des $R$-Moduls $R[t,t^{-1}]$ bilden. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Lokalisierung vertauscht mit Restklassenbildung}] Gegeben ein Kring $R$ und ein Ideal $I\subset R$ und eine Teilmenge $S\subset R$ ist die offensichtliche Abbildung ein Isomorphismus $$S^{-1}R/S^{-1}I\sira \bar S^{-1}(R/I)$$ f"ur $\bar S\subset R/I$ das Bild von $S$ unter der\label{LQ} Quotientenabbildung. Hinweis: Exaktheit der Lokalisierung und Vertr"aglichkeit mit der Restriktion der Skalare. \end{Ubung} \newpage \addtocounter{section}{1} \begin{center} {\Large "Ubungen zur Kommutativen Algebra und Einf"uhrung in die Algebraische Geometrie } \end{center} \begin{center} Abgabe bis Dienstag, den 17.6 in der Vorlesung \end{center} \setcounter{Ubung}{0} \begin{Ubung} Seien $ X$ eine affine Variet"at und $x\in X$ ein Punkt. Man zeige, da"s die lokale Krulldimension von $X$ bei $x$ "ubereinstimmt mit der Krulldimension des lokalen Ringes, in Formeln $\op{kdim}_xX=\op{kdim}\mathcal O_{X,x}$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige: Gegeben ein endlich erzeugter freier Modul $M$ "uber einem lokalen Kring $(A,\mathfrak m)$ bilden Elemente $v_1,\ldots,v_r\in M$ eine $A$-Basis von $M$ genau dann, wenn ihre Bilder $\bar v_1,\ldots,\bar v_r\in M/\mathfrak m M$ eine Basis des Quotienten "uber $A/\mathfrak m$ bilden. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige, da"s der ganze Abschlu"s von $\DC[X,Y]/\langle X^3-Y^2\rangle$ in seinem Quotientenk"orper isomorph ist zum Polynomring $\DC[T]$. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Eigenschaften von Morphismen mit ganzen Komorphismen}] Sei $\varphi:X\ra Y$ ein Morphismus\label{UHZp} von affinen Variet"aten. Ist der Komorphismus ganz, so ist $\varphi$ abgeschlossen mit endlichen Fasern und f"ur jede irreduzible abgeschlossene Teilmenge $Z\As X$ gilt $$\op{kdim}Z=\op{kdim}\varphi(Z)$$ \end{Ubung} \newpage \addtocounter{section}{1} \begin{center} {\Large "Ubungen zur Kommutativen Algebra und Einf"uhrung in die Algebraische Geometrie } \end{center} \begin{center} Abgabe bis Dienstag, den 24.6 in der Vorlesung \end{center} \setcounter{Ubung}{0} \begin{Ubung}[\textbf{"Uberdeckung einer Variet"at durch Untervariet"aten}] Eine irreduzible affine Variet"at "uber einem "uberabz"ahlbaren algebraisch abgeschlossenen K"orper $k$ kann nicht durch abz"ahlbar viele echte abgeschlossene Teilmengen "uberdeckt werden. Hinweis: Mit dem Normalisierungssatz ziehe man sich auf den Fall zur"uck, da"s unsere Variet"at der $k^n$ ist. Dann findet man eine Hyperebene, die in keiner unserer Teilmengen enthalten ist, und argumentiert mit Induktion. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben ein algebraisch abgeschlossener K"orper $k=\bar k$ und zwei nichtleere algebraische Teilmengen $X\As k^n$ und $Y\As k^m$ zeige man die Formel ${\op{kdim}}(X\times Y)={\op{kdim}}X+ {\op{kdim}} Y$. Hinweis: Noether-Normalisierung \ref{NoeNo}. \end{Ubung} \begin{Ubung} Seien $A\subset B\subset C$ kommutative Integrit"atsringe und sei $C$ ein freier $A$-Modul von endlichem Rang $r$. Ist auch $\op{Quot}C$ eine K"orpererweiterung von\label{LKAp} $\op{Quot}B$ vom Grad $r$, so gilt $A=B$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige, da"s die Quotientenvariet"at $\DC^2/\{\pm\op{id}\}$ isomorph ist zum Kegel $\{(x,y,z)\in\DC^3\mid x^2+y^2=z^2\}$. Idem, wenn man $\DC$ durch einen beliebigen algebraisch abgeschlossenen K"orper einer von Zwei verschiedenen Charakteristik ersetzt. \end{Ubung} \newpage \addtocounter{section}{1} \begin{center} {\Large "Ubungen zur Kommutativen Algebra und Einf"uhrung in die Algebraische Geometrie } \end{center} \begin{center} Abgabe bis Dienstag, den 1.7 in der Vorlesung \end{center} \setcounter{Ubung}{0} \begin{Ubung} Man zeige: Operiert eine endliche Gruppe auf einem ganz abgeschlossenen kommutativen Integrit"atsring, so ist auch der Invariantenring ganz abgeschlossen. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben ein noetherscher faktorieller Ring $R$ induziert das Bilden des Hauptideals irreduzibler Elemente eine Bijektion\label{gllo} $$\op{irk}R\sira\{\mathfrak p\in\op{Spec}R\mid \op{ht}(\mathfrak p)=1\}$$ zwischen der Menge der Irreduziblenklassen von $R$ und der Menge aller Primideale der H"ohe Eins. %Hinweis: Man kopiere den Beweis von \ref{KKHSss}. \end{Ubung} \begin{Ubung} $(k=\bar k)$. Man zeige, da"s f"ur jede offene Teilmenge $U\co k^n$ der Ring $\mathcal O_{k^n}(U)$ der regul"aren Funktionen auf $U$ ringendlich ist "uber $k$. Hinweis: Man erinnere, da"s der Polynomring faktoriell ist, und "uberlege sich, da"s eine regul"are Funktion global durch ihre maximal gek"urzte Darstellung gegeben sein mu"s. \end{Ubung} \begin{Ubung} Seien $X$ eine affine Variet"at mit einem faktoriellen Ring von regul"aren Funktionen, $Y\As X$ eine Hyperfl"ache und $Z\As X$ eine irreduzible Teilmenge. Man zeige: Ist $Z$ nicht in $Y$ enthalten, so ist $Y\cap Z$ eine \hyperref[codim]{Hyperfl\"ache} in $Z$.\label{skf} % Hinweis: \ref{KKHS}, \ref{KKHSss}. \end{Ubung} \newpage \addtocounter{section}{1} \begin{center} {\Large "Ubungen zur Kommutativen Algebra und Einf"uhrung in die Algebraische Geometrie } \end{center} \begin{center} Abgabe bis Dienstag, den 8.7 in der Vorlesung \end{center} \setcounter{Ubung}{0} \begin{Ubung} Die Verkn"upfung von zwei finalen Morphismen\label{QQHc} ist stets final. Ist die Verkn\"{u}pfung $\varphi\circ \psi$ von zwei Morphismen final, so ist $\varphi$ final. Insbesondere ist jeder Morphismus final, der ein Rechtsinverses alias einen {\bf Schnitt} besitzt, f"ur den es also einen Morphismus $s$ gibt mit $fs=\op{id}$. Gegeben $k=\bar k$ sind die Koordinatenfunktionen $k^m\sra k$ final. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Finalit"at ist lokal in der Basis}] Ist ein Morphismus von $k$-ge\-ring\-ten R"aumen $f:Y\ra X$ final, so ist auch\label{SubmcA} f"ur jede offene Teilmenge $U\co X$ die induzierte Abbildung $f^{-1}(U)\ra U$ final f"ur die induzierten Strukturen. Ist umgekehrt $f: Y\ra X$ ein Morphismus von $k$-geringten R"aumen und besitzt $X$ eine offene "Uberdeckung $\mathcal U$ derart, da"s $f:f^{-1}(U)\ra U$ f"ur alle $U\in \mathcal U$ final ist, so ist unser Morphismus bereits\label{lsSnA} selbst final. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige, da"s die finale Struktur zu irgendwelchen Abbildungen von ges"attigten Strukturen in eine vorgegebene Menge auch selbst ges"attigt ist. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{FsF} Gegeben eine Variet"at oder Pr"avariet"at $X$ und $f \in \mathcal{O}_X (X)$ regul"ar setzen wir\index{)8ba@$X_f$ Nichtnullstellen von $f$} $$X_f \pdef \{ x \in X \mid f(x) \neq 0\}$$ Man zeige, da"s es f"ur alle $h \in \mathcal{O}_X (X_f)$ ein $n \gg 0$ gibt derart, da"s die Fortsetzung durch Null von $f^nh$ eine regul"are Funktion auf ganz $X$ ist. Man folgere, da"s die Restriktion $\mathcal{O}_X(X) \ra \mathcal{O}_X(X_f)$ einen Isomorphismus $\mathcal{O}_X(X)_f \sira \mathcal{O}_X(X_f)$ zwischen der Lokalisierung von $\mathcal{O}_X(X)$ an $f$ und dem Ring der regul"aren Funktionen auf $X_f$ induziert. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Affine offene Teilmengen affiner Variet"aten}] Gegeben eine Variet"at $X$, offene affine Teilmengen $U,V\co X$ und ein Punkt $x\in U\cap V$ zeige man:\label{kgA} Es gibt stets $s\in \mathcal O(U)$ und $t\in \mathcal O(V)$ mit $ x\in U_s$ und $ U_s=V_t$. In dieser Situation ist nat"urlich auch $ U_s=V_t$ affin. Hinweis: \ref{FsF}. \end{Ubung} \newpage \addtocounter{section}{1} \begin{center} {\Large "Ubungen zur Kommutativen Algebra und Einf"uhrung in die Algebraische Geometrie } \end{center} \begin{center} Abgabe bis Dienstag, den 15.7 in der Vorlesung \end{center} \setcounter{Ubung}{0} \begin{Ubung}[\textbf{Automorphismen der projektiven Gerade}]$(k=\bar k)$. Man zeige, da"s jeder Isomorphismus $\DP^1 k\sira \DP^1 k$ von der Restriktion eines Vektor\-raum\-automorphismus von $k^2$ auf $k^2\backslash 0$ induziert wird und da"s wir so einen Grup\-pen\-isomorphismus\label{AutP} $$\op{GL}(2;k)/k^\times\sira\op{Var}^\times (\DP^1 k)$$ des besagten Quotienten mit der Automorphismengruppe der projektiven Gerade erhalten. Hinweis: Man erinnere die Automorphismen der Gerade $k$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben eine nichtleere abgeschlossene Teilmenge $W\As \DP^n k$ zeige man\label{irst} f"ur die Dimension ihres Kegels die Formel $\op{kdim}{\op{C}}(W)=\op{kdim}W+1$. Hinweis: Lokale Trivialit"at der Projektion. \end{Ubung} \begin{Ubung} Das Komplement einer nichtleeren Hyperfl"ache im projektiven Raum ist stets eine affine Variet"at. Erg"anzung vom 22.7: Ich denke, das war hier zu schwer. Ich habe die "Ubung zu 10.4 verlegt, in diesem Abschnitt ist sie nicht mehr schwer. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man bestimme die Schnittpunkte der Abschl"usse in der projektiven Vervollst"andigung $\mathbb V\DC^2$ der Ebene $\DC^2$ der beiden konzentrischen Kreise $x^2+y^2=1$ und $x^2+y^2=2$. Man bestimme jeweils die Schnittmultiplizit"at. \end{Ubung} \begin{Definition} Gegeben eine bepunktete $k$-Variet"at $(X,x)$ mit $\op{dim}_k(\mathfrak m_x/\mathfrak m_x^2)=\op{kdim}_xX$ und abgeschlossene Teilmengen $C,D\As X$ erkl"aren wir die {\bf Vielfachheit von $x$ als Schnittpunkt von $C$ und $D$} oder kurz {\bf Schnittmultiplizit"at}\index{Schnittmultiplizit"at} als \index{Vielfachheit!von Schnittpunkt}\label{SchM} \begin{equation*} {\op{s}}_x (C, D) := \dim_k \big(\mathcal O_{X,x} / (\mathcal I_x(C)+ \mathcal I_x(D))\big)\in\DN\sqcup\{\infty\} \end{equation*} \end{Definition} \end{document} %pdflatex "\PassOptionsToPackage{final}{showkeys}\PassOptionsToPackage{final}{ifdraft}\input{UbgKAG}" %sudo openfortivpn -u soergel@uni-freiburg.de %scp /home/soergel/Dokumente/Skripten/Skripten/UbgKAG.pdf soergel@tux00.mathematik.uni-freiburg.de:/webserver/home/soergel/Skripten/UbgKAG.pdf