\documentclass[12pt,a4paper]{article} \usepackage{young} \usepackage{makeidx} \usepackage{newlfont} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsxtra} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amscd} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{stmaryrd} \usepackage[ngerman]{babel} \usepackage{verbatim} \usepackage{graphicx} \input{xy} \xyoption{all} \frenchspacing \usepackage{amsthm} \usepackage{epsfig} \usepackage{alltt} %\input{newtheorems} \theoremstyle{remark} \newtheorem{Ubung}{\"{U}bung}[section] \newtheorem{Definition}{Definition} \newtheorem{Bemerkung}{Bemerkung} \newtheorem{Satz}{Satz} \input{newcommands} \usepackage[T1]{fontenc} \newcommand{\changefont}[3]{ \fontfamily{#1} \fontseries{#2} \fontshape{#3} \selectfont} \renewcommand{\familydefault}{ptm} \begin{document} \begin{center} {\Large "Ubungen zur Vorlesung Lineare Algebraische Gruppen\\ im Wintersemester 2012/13} \end{center} \addtocounter{section}{1} \setcounter{Ubung}{0} \begin{Ubung}$(k=\bar k)$. Es sei $k^\times$ die multiplikative Gruppe und $k$ die additive Gruppe. Welche Homomorphismen gibt es von jeder der algebraischen Gruppen $k,$ $k^\times$ zu jeder der algebraischen Gruppen $k,$ $ k^\times$? \end{Ubung} \begin{Ubung} Ich erinnere: Sind $N$ und $B$ Gruppen und $\tau:B\ra \op{Grp^\times}N$ ein Gruppenhomomorphismus alias eine Operation von $B$ auf $N$ durch Gruppenautomorphismen, notiert $(\tau(a))(n)=(^an),$ so kann man $N\times B$ mit einer Gruppenstruktur versehen vermittels der Vorschrift $(m,a)(n,b)=(m\;(^an),ab)$ Diese Gruppe hei"st das oder genauer ein {\bf semidirektes Produkt}\index{Produkt!von Gruppen!semidirektes}\index{semidirektes Produkt} von $N$ mit $B$ und wird auch notiert als $N\rtimes B=N\rtimes_\tau B$. Man zeige: Sind hier $B$ und $N$ algebraische Gruppen und ist $B\times N\ra N$, $(a,n)\mapsto (^an)$ ein Morphismus von Variet"aten, so ist auch das semidirekte Produkt eine algebraische Gruppe, wenn wir es als Variet"at mit der Produktstruktur betrachten. \end{Ubung} \begin{Ubung}$(k=\bar k)$. Wir betrachten die algebraische Gruppe $\op{SL}_2$ mit dem Ring von regul"aren Funktionen $\mathcal O(\op{SL}_2) = k [ T_1, T_2, T_3, T_4]/\langle T_1 T_4 - T_2T_3 -1\rangle$. Es sei $A \subset \mathcal O(\op{SL}_2)$ die von allen $T_i T_j$ mit $ i,j \in \{1, 2,3, 4\}$ erzeugte Unterringalgebra von $\mathcal O(\op{SL}_2) $. \begin{enumerate} \item[(a)] Die Struktur einer Hopfalgebra auf $\mathcal O(\op{SL}_2) $ induziert eine Struktur einer Hopfalgebra auf $A$. Damit gibt es eine algebraische Gruppe $\op{PSL}_2$ mit der Eigenschaft $\mathcal O(\op{PSL}_2) = A$. \item[(b)] Der von der Inklusion $A \subset \mathcal O(\op{SL}_2)$ induzierte Homomorphismus $\phi:\op{SL}_2 \rightarrow \op{PSL}_2$ hat den Kern $\op{ker} \phi = \{I, -I\}$. \item[(c)] Im Fall $\op{char} k =2$ ist $\phi$ ein Isomorphismus von abstrakten Gruppen, aber nicht von algebraischen Gruppen. \end{enumerate} \end{Ubung} \begin{Ubung}$(k=\bar k)$. Jeder endlichdimensionale affine Raum $E$ "uber $k$ wird eine affine $k$-Variet"at, wenn wir $\mathcal O(E)\subset \op{Ens}(E,k)$ erkl"aren als die von allen affinen Abbildungen $E\ra k$ erzeugte $k$-Unterringalgebra. \end{Ubung} \newpage \begin{center} {\Large "Ubungen zur Vorlesung Lineare Algebraische Gruppen\\ im Wintersemester 2012/13} \end{center} \addtocounter{section}{1} \setcounter{Ubung}{0} \begin{Ubung} Sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper und $G$ eine affine algebraische Gruppe "uber $k.$ Man zeige, da"s f"ur $g\in G$ die Rechtsverschiebung $\rho (g): \mathcal O (G) \rightarrow \mathcal O (G)$ lokal halbeinfach bzw.\ unipotent ist genau dann, wenn die Linksverschiebung $\lambda (g): \mathcal O (G) \rightarrow \mathcal O (G)$ die entsprechende Eigenschaft hat. \end{Ubung} \begin{Ubung} Ist die Menge der halbeinfachen Elemente der $\op{GL}(n;\DC)$ offen? Ist die Menge der halbeinfachen Elemente der $\op{GL}(n;\DC)$ dicht? \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige: Ist $V$ endlichdimensional, so ist $\rho : G \rightarrow \op{GL} (V)$ eine rationale Darstellung genau dann, wenn $\rho$ ein Morphismus von algebraischen Gruppen ist. Im allgemeinen ist $\rho : G \rightarrow \op{GL} (V)$ eine rationale Darstellung genau dann, wenn jeder Vektor $v \in V$ in einem endlichdimensionalen $G$-stabilen Teilraum $W$ liegt, f"ur den $\rho : G \rightarrow \op{GL} (W)$ ein Morphismus von algebraischen Gruppen ist. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige: Jede Unterdarstellung einer rationalen Darstellung ist rational. Jede Quotientendarstellung einer rationalen Darstellung ist rational. \end{Ubung} \newpage \begin{center} {\Large "Ubungen zur Vorlesung Lineare Algebraische Gruppen\\ im Wintersemester 2012/13} \end{center} \addtocounter{section}{1} \setcounter{Ubung}{0} \begin{Definition} Sei $\Omega$ eine Menge. Ein $\Omega$-graduierter Vektorraum ist ein Vektorraum $V$ mitsamt einer Familie von Untervektorr"aumen $(V_\omega)_{\omega \in \Omega}$ so da"s gilt $V = \bigoplus_{w \in \Omega} V_\omega$. Ein Morphismus von $\Omega$-graduierten Vektorr"aumen $V,W$ ist eine lineare Abbildung $f : V \rightarrow W$ mit $f(V_\omega) \subset W_\omega \quad \forall \omega \in \Omega$. \end{Definition} \begin{Definition} Gegeben eine Darstellung $V$ einer Gruppe $G$ und ein Gruppenhomomorphismus $\chi:G\ra k^\times$ in die multiplikative Gruppe des Grundk"orpers von $V$ erkl"art man den zugeh"origen {\bf Gewichtsraum}\index{Gewichtsraum} als $$V_\chi\pdef\{ v\in V\mid gv=\chi(g)v\;\forall g\in G\}$$ \end{Definition} \begin{Satz}[\textbf{Darstellungen von diagonalisierbaren Gruppen}] Gegeben eine diagonalisierbare affine algebraische Gruppe $G$ mit Charaktergitter $\frak{X} (G)$ liefert das Zerlegen in Gewichtsr"aume eine "Aquivalenz von Kategorien \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{c}\text{rationale Darstellungen}\\ \text{der Gruppe } G \end{array}\right\} & \sirra & \left\{ \begin{array}{c} \frak{X} (G)\text{-graduierte}\\\text{$k$-Vektorr"aume} \end{array}\right\}\\[4mm] (G \looparrowright V) &\mapsto & V= \bigoplus_{\chi \in \frak{X} (G)} V_\chi \end{array} \end{displaymath} \end{Satz} \begin{Ubung} Geben Sie einen Beweis. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Transitivit"at finaler Familien}] Seien $g_{ij} : Z_{ij} \rightarrow Y_i$ und $f_i : Y_i \rightarrow X$ Familien von\label{TFGrgA} $k$-geringten R"aumen und Morphismen. Man zeige: Tragen die $Y_i$ die finalen Strukturen f"ur die $g_{ij}$ und tr"agt $ X$ die finale Struktur f"ur die $f_i,$ so tr"agt $ X$ auch die finale Struktur f"ur die $f_i g_{ij}$. Tr"agt andererseits $X$ die finale Struktur bez"uglich der $f_i g_{ij}$, so tr"agt $X$ auch die finale Struktur bez"uglich der $f_i$. Hinweis: Es gilt mit der universellen Eigenschaft zu argumentieren. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man folgere aus der vorhergehenden "Ubung, da"s die Verkn"upfung von zwei finalen Morphismen\label{QQHcA} stets final ist, und da"s die Verkn\"{u}pfung $f\circ g$ von zwei Morphismen nur dann final sein kann, wenn $f$ final ist. Insbesondere ist jeder Morphismus final, der ein Rechtsinverses alias einen {\bf Schnitt}\index{Schnitt!stetiger} besitzt, d.h. f"ur den es einen Morphismus $s$ gibt mit $f\circ s=\op{id}.$ \end{Ubung} \begin{Bemerkung} Analog geht es mit initialen Strukturen. \end{Bemerkung} \begin{Ubung}[\textbf{Finalit"at ist lokal in der Basis}] Ist ein Morphismus von $k$-ge\-ring\-ten R"aumen $f:Y\ra X$ final, so ist auch\label{SubmcA} f"ur jede offene Teilmenge $U\co X$ die induzierte Abbildung $f^{-1}(U)\ra U$ final f"ur die induzierten Strukturen. Ist umgekehrt $f: Y\ra X$ ein Morphismus von $k$-geringten R"aumen und besitzt $X$ eine offene "Uberdeckung $\mathcal U$ derart, da"s $f:f^{-1}(U)\ra U$ f"ur alle $U\in \mathcal U$ final ist, so ist unser Morphismus bereits\label{lsSnA} selbst final. \end{Ubung} \newpage \begin{center} {\Large "Ubungen zur Vorlesung Lineare Algebraische Gruppen\\ im Wintersemester 2012/13} \end{center} \addtocounter{section}{1} \setcounter{Ubung}{0} \begin{Ubung} Man zeige, da"s die Gruppe $\op{SL}(n;k)$ stets irreduzibel ist. Man zeige, da"s ihr Verschwindungsideal von $\det-1$ erzeugt wird. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige: Gegeben Pr"avariet"aten $X,Y$ mit $Y$ nicht leer zeige man, da"s die Projektion $X\times Y\ra X$ offen und final ist. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige: Operiert eine algebraische Gruppe auf einer Variet"at, so ist jede Bahn offen in ihrem Abschlu"s. \end{Ubung} \begin{Ubung}$(k=\bar k)$. Seien $m,n\geq 1$. Man zeige, da"s die von der Abbildung\label{Segre} $k^{n}\times k^{m}\ra k^{mn}$ gegeben durch $(x_i, y_j)\mapsto (x_iy_j)$ induzierte Abbildung $$\DP^{n-1}k\times \DP^{m-1}k \ra \DP^{nm-1}k$$ eine abgeschlossene Immersion ist. Sie hei"st die {\bf Segre-Einbettung}.\index{Segre-Einbettung} Man folgere, da"s das Produkt von zwei projektiven Variet"aten wieder eine projektive Variet"at ist. Hinweis: Das Bild in $k^{mn}$ ist die Nullstellenmenge der Gleichungen $z_{ij}z_{kl}=z_{il}z_{kj}$. Dann rechne man in Koordinaten. \end{Ubung} \newpage \begin{center} {\Large "Ubungen zur Vorlesung Lineare Algebraische Gruppen\\ im Wintersemester 2012/13} \end{center} \addtocounter{section}{1} \setcounter{Ubung}{0} \begin{Ubung}\label{FDiMn} Man zeige, da"s ein Morphismus von Variet"aten $X\ra Y$ mit $\op{dim}X>\op{dim}Y$ mindestens eine unendliche Faser haben mu"s. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man betrachte die Operation durch Konjugation von $\op{GL} (n;k)$ auf $\op{Mat} (n \times n; k)$ und zeige, da"s die abgeschlossenen Bahnen genau die Bahnen der diagonalisierbaren Matrizen sind. Man bestimme die Dimensionen aller Bahnen in diesem Fall. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man betrachte die Operation durch Konjugation von $\op{GL} (n;k)$ auf $\op{Mat} (n \times n; k)$. Man bestimme, wann eine Bahn im Abschlu"s einer anderen liegt. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{PrUSn} Ist $\varphi:X\ra Y$ ein Morphismus von Pr"avariet"aten und ist $\cal{V}$ eine offene "Uberdeckung von $Y$ derart, da"s die induzierten Morphismen $\varphi^{-1}(V)\ra V$ f"ur alle $V\in\cal{V}$ stabil offenfinal sind, so ist auch $\varphi$ selbst stabil offenfinal. Insbesondere zeige man, da"s die Projektion $V\backslash 0\sra \DP V$ f"ur jeden endlichdimensionalen $k$-Vektorraum $V$ stabil offenfinal ist. \end{Ubung} \newpage \begin{center} {\Large "Ubungen zur Vorlesung Lineare Algebraische Gruppen\\ im Wintersemester 2012/13} \end{center} \addtocounter{section}{1} \setcounter{Ubung}{0} \begin{Ubung} Sei $k$ ein Kring, $A$ ein $k$-Kring und $S \subset A$ eine Teilmenge und $M$ ein Modul "uber der Lokalisierung $S^{-1}A$. Man zeige, da"s die Einschr"ankung eine Bijektion \begin{displaymath} \op{Der}_k (S^{-1}A, M) \overset{\sim}{\rightarrow} \op{Der}_k (A,M) \end{displaymath} liefert und f"uhre insbesondere die im Skript fehlenden Beweisschritte aus. \end{Ubung} \begin{Bemerkung} Ist $k$ ein K"orper, so gibt es insbesondere genau eine M"oglichkeit, unsere formale Ableitung $\partial:k[T]\ra k[T]$ aus der Algebra so zu einer formalen Ableitung $\partial:k(T)\ra k(T)$ fortzusetzen, da"s die Summenregel und die Produktregel weiter gelten. Diese formale Ableitung notieren wir wieder $f\mapsto f'$. \end{Bemerkung} \begin{Ubung} Man formuliere und zeige, in welcher Weise auch das Differential eines Morphismus $k^n\ra k^m$ durch die Jacobi-Matrix beschrieben wird. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige, da"s Differential einer bilinearen Abbildung $b:V\times W\ra E$ bei $p=(x,y)$ unter den "ublichen Idenifikationen die lineare Abbildung $\diff_p b:(v,w)\mapsto b(x,w)+b(v,y)$ ist. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige, da"s f"ur $Y\As X$ eine abgeschlossene Teilmenge einer affinen Variet"at und $f_1,\ldots, f_r$ Erzeuger ihres Verschwindungsideals der Tangentialraum $\op{T}_yY\subset \op{T}_yX$ beschrieben werden kann als der Schnitt der Kerne der Differentiale $\diff_yf_i$. \end{Ubung} \newpage \begin{center} {\Large "Ubungen zur Vorlesung Lineare Algebraische Gruppen\\ im Wintersemester 2012/13} \end{center} \addtocounter{section}{1} \setcounter{Ubung}{0} \begin{Ubung}$(k=\bar k)$. Man zeige, da"s in $\op{GL}(n;k)$ nur die halbeinfachen Elemente eine abgeschlossene Konjugationsklasse haben. Man gebe eine Formel f"ur die Dimensionen dieser Konjugationsklassen. \end{Ubung} \begin{Ubung}$(k=\bar k)$. Man zeige, da"s die Diagonalmatrizen in der $\op{GL}(n;k)$ einen maximalen Torus bilden, und da"s jeder maximale Torus zu diesem konjugiert ist. Man zeige dasselbe in der Gruppe $\op{SL}(n;k)$. \end{Ubung} \begin{Ubung}$(k=\bar k)$. Man zeige, da"s in der Gruppe $\op{GL}(n;k)$ jede aus halbeinfachen Elementen bestehende kommutative Teilmenge in einem maximalen Torus enthalten ist. Man zeige, da"s das f"ur den Fall einer von Zwei verschiedenen Charakteristik im Quotienten $\op{GL}(2;k)/\{\pm\op{id}\}$ nicht mehr richtig ist. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige: Der Zentralisator eines maximalen Torus in einer zusammenh"angenden aufl"osbaren affinen algebraischen Gruppe ist stets nilpotent. \end{Ubung} \newpage \begin{center} {\Large "Ubungen zur Vorlesung Lineare Algebraische Gruppen\\ im Wintersemester 2012/13} \end{center} \addtocounter{section}{1} \setcounter{Ubung}{0} \begin{Ubung} Sei $G$ eine zusammenh"angende aufl"osbare affine algebraische Gruppe und $T \As G$ ein Torus. Man zeige: Es gibt eine abgeschlossene Einbettung von $G$ in die oberen Dreiecksmatrizen, unter der alle Elemente unseres Torus auf Diagonalmatrizen gehen. Ist hier $T$ sogar ein maximaler Torus, so mu"s er der Schnitt von $G$ mit der Gruppe der Diagonalmatrizen sein. \end{Ubung} \begin{Ubung} Eine nichtleere echte offene Teilmenge einer irreduziblen Variet"at kann nie vollst"andig sein. Eine Variet"at, die durch endlich viele vollst"andige Untervariet"aten "uberdeckt werden kann, ist vollst"andig. \end{Ubung} \begin{Ubung} Sei $G$ eine algebraische Gruppe. So gibt es unter den vollst"andigen zusammenh"angenden abgeschlossenen Untergruppen von $G$ eine Gr"o"ste, und die liegt im Zentrum von $G$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Seien $Q\As P\As G$ abgeschlossene Untergruppen einer affinen algebraischen Gruppe und sei $Q$ parabolisch in $P$. Man zeige: Ist $Y\As G$ eine abgeschlossene $Q$-stabile Teilmenge, so ist auch $PY$ abgeschlossen in $G$. Hinweis: Das gilt sogar, wenn man $G$ durch eine beliebige $P$-Variet"at ersetzt. \end{Ubung} \newpage \begin{center} {\Large "Ubungen zur Vorlesung Lineare Algebraische Gruppen\\ im Wintersemester 2012/13} \end{center} \addtocounter{section}{1} \setcounter{Ubung}{0} \begin{Ubung} Gegeben eine affine algebraische Gruppe ist jeder maximale Torus einer Borel'schen bereits\label{MTBB} ein maximaler Torus der ganzen Gruppe. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige, da"s ein halbeinfaches Element aus dem Zentrum einer zusammenh"angenden affinen\label{AAZSTo} algebraischen Gruppe in jedem maximalen Torus liegt. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige: Der Normalisator des maximalen Torus $T$ aller Diagonalmatrizen in der allgemeinen linearen Gruppe $\op{GL}(n;k)$ besteht genau aus allen Matrizen, die die simultanen Eigenr"aume $k\op{e}_\nu$ unserer Diagonalmatrizen permutieren, als da hei"st aus allen Matrizen, die in jeder Zeile und Spalte genau einen von Null verschiedenen Eintrag haben. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben eine rationale Darstellung $V$ einer affinen algebraischen Gruppe und ein Torus $T\subset G$ stabilisiert $\op{N}_G(T)$ die Menge $P(V)\pdef \{\chi\in \mathfrak X(T)\mid V_\chi\neq 0\}$ der Gewichte von $V$. Hier meint $V_\chi\pdef\{ v\in V\mid tv=\chi(t)v\forall t\in T\}$ den simultanen Eigenraum zu $\chi$, den sogenannten \glqq Gewichtsraum\grqq. \end{Ubung} % scp UbgLAG.pdf soergel@tux00:/webserver/home/soergel/Skripten/UbgLAG.pdf \end{document}