\documentclass[12pt,a4paper]{article} \usepackage{young} \usepackage{makeidx} \usepackage{newlfont} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsxtra} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amscd} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{stmaryrd} \usepackage[ngerman]{babel} \usepackage{verbatim} \usepackage{graphicx} \input{xy} \xyoption{all} \frenchspacing \usepackage{amsthm} \usepackage{epsfig} \usepackage{alltt} %\input{newtheorems} \theoremstyle{remark} \newtheorem{Ubung}{\"{U}bung}[section] \newtheorem{Definition}{Definition} \newtheorem{Bemerkung}{Bemerkung} \newtheorem{Satz}{Satz} \input{newcommands} \usepackage[T1]{fontenc} \newcommand{\changefont}[3]{ \fontfamily{#1} \fontseries{#2} \fontshape{#3} \selectfont} \renewcommand{\familydefault}{ptm} \begin{document} \begin{center} {\Large "Ubungen zur Vorlesung Lie-Algebren\\ im Sommersemester 2013} \end{center} \addtocounter{section}{1} \setcounter{Ubung}{0} \begin{Ubung}$(k=\bar k)$. Man zeige, da"s die Lie-Algebra $\frak{sl} (2;\Bbb{C})$ einfach ist. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben eine nicht notwendig assoziative $k$-Algebra $(A,\cdot )$ hei"st eine lineare Abbildung $\delta : A\ra A$ eine \defind{Derivation} genau dann, wenn sie die {\bf Leibniz-Regel}\index{Leibniz-Regel!bei Definition einer Derivation} $\delta (a\cdot b)= (\delta a)\cdot b+ a\cdot (\delta b) \quad \forall a,b\in A$ erf"ullt. Man zeige, da"s die Derivationen einer Algebra $A$ eine Unteralgebra der Lie-Algebra $\frak{gl} ( A)$ der Endomorphismen des $k$-Vektorraums $A$ bilden. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige, da"s es bis auf Isomorphismus genau zwei zweidimensionale komplexe Lie-Algebren gibt. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man gebe einen Isomorphismus $\frak{sl}(2;\DC)\sira \frak{so}(3;\DC)$ an. \end{Ubung} \newpage \begin{center} {\Large "Ubungen zur Vorlesung Lie-Algebren\\ im Sommersemester 2013} \end{center} \addtocounter{section}{1} \setcounter{Ubung}{0} \begin{Ubung} Gegeben ein K"orper $k$ und eine Darstellung $\rho: \frak{sl}(2;k)\ra\frak{gl}(V)$ der Lie-Algebra $\frak{sl}(2;k)$ mit ihrer Standardbasis $e,h,f$ mit Kommutatoren $[h,e]=2e$, $[h,f] = -2f$, $[e,f]=h$ liefert der in der assoziativen Algebra $\op{End}_k(V)$ zu interpretierende Ausdruck $$4\rho(f)\rho(e) + \rho(h)(\rho(h)+2)$$ einen mit der Operation unserer Liealgebra vertr"aglichen Endomorphismus von $V$. Im Fall der einfachen $(m+1)$-dimensionalen Darstellung $L(m)$ der Liealgebra $\frak{sl}(2;\DC)$ ist dieser Endomorphismus die Multiplikation mit dem Skalar $m(m+2)$. Hinweis: Tapfer rechnen. Dieser Operator ist im "ubrigen das einfachste Beispiel eines sogenannten {\bf Casimir-Operators}. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{EDLS} Man zeige, da"s jede endlichdimensionale Darstellung $V$ der Lie-Algebra $\frak{sl}(2;\DC)$ eine direkte Summe von einfachen Unterdarstellungen ist. Hinweis: Man zerlege besagte Darstellung zun"achst in die Hauptr"aume des Casimir-Operators und ziehe sich so auf den Fall zur"uck, da"s die einfachen Subquotienten unserer Darstellung $V$ paarweise isomorph sind, sagen wir zu $L(m)$. Dann zeige man, da"s $f^m$ einen Isomorphismus $\op{Hau}(h;m)\sira \op{Hau}(h;-m)$ zwischen den Hauptr"aumen von $h$ zu den entsprechenden Eigenwerten liefert. Schlie"slich folgere man aus $f^{m+1}v=0$, da"s $h$ auf $\op{Hau}(h;m)$ diagonal operiert, und argumentiere von da ausgehend. \end{Ubung} \begin{Ubung} (1) Gegeben ein Homomorphismus $\varphi:\frak{g}\ra \frak{g}'$ von Lie-Algebren ist $\frak{g}$ aufl"osbar genau dann, wenn $\op{ker} \varphi$ und $\op{im} \varphi$ aufl"osbar sind. (2) Sind $I,J$ zwei aufl"osbare Ideale in einer Lie-Algebra $\frak{g}$, so ist auch ihre Summe $I+J \subset \frak{g}$ ein aufl"osbares Ideal. Man betrachte dazu zum Beispiel die Surjektion $ I + J \twoheadrightarrow (I + J)/J$. (3) Ist $\frak{g}$ eine endlichdimensionale Lie-Algebra, so gibt es in $\frak{g}$ ein gr"o"stes aufl"osbares Ideal, das {\bf Radikal}\index{Radikal!einer Liealgebra} $\op{rad} \frak{g}$ von $\frak{g}$. \end{Ubung} \begin{Ubung}$(\op{char}k=0)$. Man zeige, da"s die Lie-Algebra $\frak{sl} (n;k)$ einfach ist. Hinweis: Besteht ein Ideal von $\frak{gl} (n;k)$ nicht aus Diagonalmatrizen, so umfa"st es $\frak{sl} (n;k )$. In der Tat mu"s es sicher ein $E_{ij}$ mit $i\neq j$ enthalten, wie man erkennt durch Anwenden der $\op{ad}(E_{kk})$. Dann enth"alt es auch $ [E_{ij}, E_{ji}]=E_{ii}-E_{jj} $ und dann alle $E_{ik} =[E_{ii}-E_{jj}, E_{ik}]$ f"ur $k\neq i,j$ sowie alle $E_{kj}$ f"ur $k \neq i,j$. Dann enth"alt es aber in derselben Weise auch alle $E_{kl}$ f"ur $k\neq l$ und alle $E_{kk} - E_{ll}$. Man zeige, da"s die Lie-Algebra $\frak{sl} (2;k)$ in Charakteristik $2$ dahingegen nicht einfach ist. \end{Ubung} \begin{Ubung} Die Killingform einer endlichdimensionalen nilpotenten Liealgebra ist Null. \end{Ubung} \newpage \begin{center} {\Large "Ubungen zur Vorlesung Lie-Algebren\\ im Sommersemester 2013} \end{center} \addtocounter{section}{1} \setcounter{Ubung}{0} \begin{Ubung} Eine endlichdimensionale komplexe Lie-Algebra ist halbeinfach genau dann, wenn sie kein von Null verschiedenes aufl"osbares Ideal besitzt. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{QEH} Jedes Ideal einer komplexen halbeinfachen Lie-Algebra ist eine Summe von einfachen Idealen. Jeder Quotient einer komplexen halbeinfachen Lie-Algebra ist eine halbeinfache Lie-Algebra. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{hed} Jede halbeinfache Lie-Algebra $\frak{g}$ ist ihre eigene derivierte Lie-Algebra, in Formeln $\frak{g}=[\frak{g},\frak{g}]. $ \end{Ubung} \begin{Ubung} Jede reduktive Lie-Algebra l"a"st sich auf genau eine Weise zerlegen in das Produkt einer halbeinfachen Lie-Algebra und einer abelschen Lie-Algebra, n"amlich als $\frak{g}=[\frak{g},\frak{g}]\times \frak{z}$ mit $\frak{z}$ dem Zentrum von $\frak{g}$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Der Casimir-Operator einer halbeinfachen Lie-Algebra operiert als die Identit"at auf der adjungierten Darstellung. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{Cred} Eine endlichdimensionale Lie-Algebra ist reduktiv genau dann, wenn jedes aufl"osbare Ideal bereits in ihrem Zentrum liegt. \end{Ubung} \newpage \begin{center} {\Large "Ubungen zur Vorlesung Lie-Algebren\\ im Sommersemester 2013} \end{center} \addtocounter{section}{1} \setcounter{Ubung}{0} \begin{Ubung} Diejenigen Vektoren einer Darstellung einer Lie-Algebra $\frak{a}$, die in einem endlichdimensionalen $\frak{a}$-stabilen Teilraum liegen, hei"sen auch die $\frak{a}$-{\bf endlichen Vektoren} von $V$. Man zeige: Ist $V$ eine Darstellung einer endlichdimensionalen Lie-Algebra $\frak{g}$ und $\frak{a} \subset \frak{g}$ eine Unteralgebra, so bilden die $\frak{a}$-endlichen Vektoren von $V$ einen $\frak{g}$-stabilen Teilraum. Statt $\frak{g}$ endlichdimensional brauchen wir sogar schw"acher nur annehmen, da"s $\frak{g}$ aus $\frak{a}$-endlichen Vektoren besteht f"ur die adjungierte Darstellung. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Clebsch-Gordan}] Man zeige, da"s die Darstellungen $V(m)\otimes V(n)$ und\index{Clebsch-Gordan} $\op{Hom} (V(m),V(n))$ von $\frak{sl} (2;\Bbb{C})$ isomorph sind zu $$V(m+n) \oplus V(m+n-2) \oplus \ldots \oplus V(|m-n|)$$ Hinweis: Man betrachte die Dimensionen der $h$-Eigenr"aume. \end{Ubung} \begin{Ubung}%\label{PD} Bezeichne $\frak{h}_{\DQ}$ den von allen Kowurzeln "uber $\DQ$ aufgespannten Teilraum von $\frak{h}$. F"ur $h,t \in \frak{h}_{\DQ}$ gilt $\kappa (h,t) \in \DQ$. Weiter ist $\kappa$ positiv definit auf $\frak{h}_{\DQ}$, also $\kappa (h,h) \leq 0 \Rightarrow h =0$. Analoges gilt auch, wenn wir hier $\DQ$ durch $\Bbb{R}$ ersetzen. \end{Ubung} \begin{Ubung} Die Lie-Algebra $\frak{sp} (2n ;\Bbb{C})$ besteht aus allen Blockmatrizen $$\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}$$ mit $A^{\top} =-D$, $B^{\top} = B$ und $C^{\top} =C$. Darin bilden die Diagonalmatrixen $\op{diag} (h_{1}, \ldots , h_{n}, -h_{1}, \ldots, -h_{n})$ eine Cartan'sche $\frak{h}$. Bezeichnet $\varepsilon_{i} : \frak{h} \ra \Bbb{C}$ die Abbildung, die einer Matrix ihren $i$-ten Diagonaleintrag zuordnet, so bilden die $\varepsilon_{i}$ f"ur $1\leq i\leq n$ eine Basis von $\frak{h}^\ast$ und wir erhalten als Wurzelsystem $$R =\{\pm \varepsilon_{i} \pm \varepsilon_{j} \mid 1 \leq i , j \leq n\}$$ Erzeuger der Wurzelr"aume sind die Matrizen mit $A = -D^{\top} = E_{ij}$ f"ur $i\neq j$ und $B =C =0$, mit $B = E_{ij} +E_{ji}$ und $C=A =D=0$ sowie analog mit $C$ statt $B$. \end{Ubung} \newpage \begin{center} {\Large "Ubungen zur Vorlesung Lie-Algebren\\ im Sommersemester 2013} \end{center} \addtocounter{section}{1} \setcounter{Ubung}{0} \begin{Ubung} Sei $R={\op{R}}(\mathfrak g,\mathfrak h)$ das Wurzelsystem einer komplexen halbeinfachen Liealgebra. F"ur Wurzeln $\al,\beta\in R$ mit $\al\neq \pm\beta$ ist $\{ i\in\DZ\mid \beta+i\al\in R\}$ ein Intervall in $\DZ$. \end{Ubung} \begin{Ubung}%\label{PD} Sei $R={\op{R}}(\mathfrak g,\mathfrak h)$ das Wurzelsystem einer komplexen halbeinfachen Liealgebra. Bezeichne $\frak{h}_{\DQ}$ den von allen Kowurzeln "uber $\DQ$ aufgespannten Teilraum von $\frak{h}$. F"ur $h,t \in \frak{h}_{\DQ}$ gilt $\kappa (h,t) \in \DQ$. Weiter ist $\kappa$ positiv definit auf $\frak{h}_{\DQ}$, also $\kappa (h,h) \leq 0 \Rightarrow h =0$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Die Lie-Algebra $\frak{so} (2n;\Bbb{C})$ besteht aus allen Blockmatrizen derselben Gestalt wie in der vorhergehenden "Ubung mit $A^{\top} =-D$, $B^{\top} = - B$ und $C^{\top} = -C$. Darin bilden die Diagonalmatrixen $\op{diag} (h_{1}, \ldots , h_{n}, -h_{1}, \ldots, -h_{n})$ eine Cartan'sche $\frak{h}$. Bezeichnet $\varepsilon_{i} : \frak{h} \ra \Bbb{C}$ die Abbildung, die einer Matrix ihren $i$-ten Diagonaleintrag zuordnet, so bilden die $\varepsilon_{i}$ f"ur $1\leq i\leq n$ eine Basis von $\frak{h}^\ast$ und wir erhalten als Wurzelsystem $$R =\{\pm \varepsilon_{i} \pm \varepsilon_{j} \mid 1 \leq i < j \leq n\}$$ Erzeuger der Wurzelr"aume sind die Matrizen mit $A = -D^{\top} = E_{ij}$ f"ur $i\neq j$ und $B =C =0$, mit $B = E_{ij} -E_{ji}$ und $C=A =D=0$ sowie analog mit $C$ statt $B$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Die Lie-Algebra $\frak{so} (2n + 1;\Bbb{C})$ besteht aus allen Blockmatrizen $$\begin{pmatrix} a & u &v\\ w & A & B\\ s &C & D \end{pmatrix}$$ mit $a =0$, $u^{\top} =-s$, $v^{\top} =-w$, $A^{\top} = -D$, $B^{\top} =- B$ und $C^{\top}=-C$. Eine Cartan'sche $\frak{h}$ bilden die Diagonalmatrizen $\op{diag}(0,h_{1}, \ldots, h_{n}, -h_{1}, \ldots, -h_{n})$ und erkl"aren wir Linearformen $\varepsilon_{i} :\frak{h} \ra \Bbb{C}$ durch die Vorschrift, da"s sie einer Matrix ihren $(i+1)$-ten Diagonaleintrag zuordnen, so so bilden die $\varepsilon_{i}$ f"ur $1\leq i\leq n$ eine Basis von $\frak{h}^\ast$ und wir erhalten als Wurzelsystem $$R =\{\pm \varepsilon_{i} \pm \varepsilon_{j} \mid 1 \leq i < j \leq n\}\cup\{\pm \varepsilon_{i} \mid 1 \leq i\leq n\}$$ \end{Ubung} \begin{Ubung} Seien $V$ ein Vektorraum einer von Zwei verschiedenen Charakteristik, $\alpha\in V$ und $\alpha^\vee\in V^\ast$ mit $\langle \alpha,\alpha^\vee\rangle=2$. Man zeige, da"s die transponierte Abbildung zur Spiegelung $s=s_{\alpha,\alpha^\vee}:V\ra V$, $v\mapsto v- \langle v,\alpha^\vee\rangle\alpha$ die Spiegelung $s^\top=s_{\alpha^\vee,\alpha}:V^\ast\ra V^\ast$ ist, wobei wir in der zweiten Identit"at unter $\alpha$ das durch Auswerten an $\alpha$ definierte Element des Bidualraums $V^{\ast\ast}$ verstehen. \end{Ubung} \newpage \begin{center} {\Large "Ubungen zur Vorlesung Lie-Algebren\\ im Sommersemester 2013} \end{center} \addtocounter{section}{1} \setcounter{Ubung}{0} \begin{Ubung} Sei $Q \cong \mathbb Z^n$ ein freier $\mathbb Z$-Modul von endlichem Rang und $(\;, \;) : Q \times Q \rightarrow \mathbb Z$ eine positive definite Bilinearform. Man zeige, dass die orthogonalen Spiegelungen an den orthogonalen Komponenten aller Vektoren $v \in Q$ mit $(v,v)=2$ die Spiegelungen einer endlichen Spiegelungsgruppe sind. \end{Ubung} \begin{Ubung} Sei $W$ eine endliche Spiegelungsgruppe, $A$ ein fester Alkoven und $l = l_{A}$ die zugeh"orige L"ange. So gibt es in $W$ genau ein Element $w_{A}$ maximaler L"ange, und diese L"ange ist die Zahl der Spiegelungen in $W$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Diejenigen Elemente einer affinen Spiegelungsgruppe, die eine vorgegebene Teilmenge des zugrundeliegenden affinen Raums punktweise festhalten, bilden selber eine Spiegelungsgruppe. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man erkl"are, inwiefern die Gruppe der nicht notwendig orientierungserhaltenden Symmetrien eines Ikosaeders die Spiegelungsgruppe vom Typ $H_3$ ist. \end{Ubung} \newpage \begin{center} {\Large "Ubungen zur Vorlesung Lie-Algebren\\ im Sommersemester 2013} \end{center} \addtocounter{section}{1} \setcounter{Ubung}{0} \begin{Ubung}[\textbf{Das Wurzelsystem $E_8$}] Die Menge $R$ aller Vektoren aus $\Bbb{Z}^8$ mit euklidischer L"ange $a^2_1 + a^2_2 + \ldots + a^2_8 = 8$, durch vier teilbarer Summe $a_1 + a_2 + \ldots + a_8 \in 4\DZ$ und allen Eintr"agen von derselben Parit"at $a_i-a_j\in 2\DZ \;\forall i,j$ ist ein Wurzelsystem in $\DQ^8$ mit $240$ Wurzeln. Dieses Wurzelsystem tr"agt den Namen $E_8$.\index{E@$E_8$} Betrachtet man darin nur diejenigen Elemente, bei denen alle Eintr"age gerade Parit"at haben, so erh"alt man auch ein Wurzelsystem, das den Namen $D_8$ tr"agt und zur kompakten Liegruppe $\op{SO}(16)$ geh"ort. \end{Ubung} \begin{Ubung} Sei $V$ ein endlichdimensionaler $\DQ$-Vektorraum und $Q \subset V$ ein Gitter alias der $\DZ$-Spann einer Basis und $(\;, \;)$ ein Skalarprodukt auf $V$ mit und $(\;, \;) : Q \times Q \rightarrow \mathbb Z$. So erzeugen die Spiegelungen an den orthogonalen Komplementen der Vektoren $v \in Q$ mit $(v,v)=2$ eine endliche Spiegelungsgruppe. Man zeige weiter, da"s die Vektoren $v \in Q$ mit $(v,v)=2$ ein Wurzelsystem in dem von ihnen aufgespannten Untervektorraum von $V$ bilden. \end{Ubung} \newpage \begin{center} {\Large "Ubungen zur Vorlesung Lie-Algebren\\ im Sommersemester 2013} \end{center} \addtocounter{section}{1} \setcounter{Ubung}{0} \begin{Ubung} Ist $R^+$ ein System positiver Wurzeln eines Wurzelsystems und $l:W\ra\DN$ die zu den zugeh"origen einfachen Spiegelungen gebildete L"ange, so stimmt die L"ange eines Elements $w\in W$ "uberein mit der Zahl der positiven Wurzeln, die es zu negativen Wurzeln macht. In Formeln gilt also $l(w)=|w(R^+)\backslash R^+|$. %Hinweis: \ref{THG}.\ref{LWE}. \end{Ubung} \begin{Ubung} Sei $\Pi\subset R \subset V$ ein basiertes Wurzelsystem. Bezeichne $\rho\in V$ die Halbsumme der positiven Wurzeln, in Formeln $$\rho=\frac{1}{2}\sum_{\al\in R^+} \al$$ Man zeige %mit \ref{VZ} f"ur alle einfachen Wurzeln $\al$ die Formel $s_\al\rho=\rho-\al$ und folgere $\langle\rho,\al^\vee\rangle=1$ f"ur alle einfachen Wurzeln $\al$. Man zeige weiter, da"s $x\rho - \rho$ f"ur alle $x$ aus der Weylgruppe im Wurzelgitter liegt, in Formeln gilt also $x\rho - \rho \in \langle R \rangle\quad \forall x \in W$. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Wurzelsysteme der Typen $B_n, C_n, D_n$}] Bezeichne $\varepsilon_1,\ldots, \varepsilon_n$ die Vektoren der Standardbasis von $\DQ^n$, die in anderen Zusammenh"angen meist $\op{e}_i$ notiert werden. Man zeige: \begin{description} \item[\textbf{Typ $C_n$:}] Die Menge $R \pdef \{\pm \varepsilon_{i} \pm \varepsilon_{j} \mid 1 \leq i , j \leq n\}$ ist ein Wurzelsystem in $\DQ^n$. Man bestimme eine Basis sowie die Weylgruppe. \item[\textbf{Typ $D_n$:}] Die Menge $R \pdef\{\pm \varepsilon_{i} \pm \varepsilon_{j} \mid 1 \leq i < j \leq n\}$ ist ein Wurzelsystem in $\DQ^n$. Man bestimme eine Basis sowie die Weylgruppe. \item[\textbf{Typ $B_n$:}] Die Menge $R \pdef\{\pm \varepsilon_{i} \pm \varepsilon_{j} \mid 1 \leq i < j \leq n\}\cup\{\pm \varepsilon_{i} \mid 1 \leq i\leq n\}$ ist ein Wurzelsystem in $\DQ^n$. Man bestimme eine Basis sowie die Weylgruppe. \item[Duale Systeme:] Man zeige, da"s die Wurzelsysteme $B_n$ und $D_n$ zueinander dual sind, wohingegen die Wurzelsysteme $A_n$ und $C_n$ jeweils zu ihren dualen Systemen isomorph sind. \end{description} \end{Ubung} \newpage \begin{center} {\Large "Ubungen zur Vorlesung Lie-Algebren\\ im Sommersemester 2013} \end{center} \addtocounter{section}{1} \setcounter{Ubung}{0} \begin{Ubung} Im Fall $\frak{g} = \frak{sl} (n+1; \Bbb{C})$ zeige man, da"s die Darstellung $\bigwedge^{i} \Bbb{C}^{n+1}$ ein fundamentales Gewicht als h"ochstes Gewicht hat, genauer das fundamentale Gewicht $\varpi_{i} = \varepsilon_{1} + \ldots + \varepsilon_{i}$. Hier verstehen wir implizit die "ubliche Cartan'sche und die "ubliche Basis des Wurzelsystems gegeben durch die $\alpha_i\pdef\varepsilon_{i}- \varepsilon_{i+1}$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Sei $e,f,h$ die "ubliche Basis von $\frak{sl}(2;\DC)$ mit $[h,e]=2e$, $[h,f] = -2f$, $[e,f]=h$. Man schreibe $f^2he$ in der Einh"ullenden von $\frak{sl}(2;\DC)$ als Linearkombination geordneter Monome f"ur die Ordnung $e,h,f$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Die {\bf opponierte Algebra}\index{opponiert!Algebra} $A^{{\op{opp}}}$ zu einer $k$-Algebra $A$ wird erkl"art dadurch, da"s man auf dem Vektorraum $A$ die opponierte Verkn"upfung betrachtet, die gegeben wird durch $a^\circ \ast b^\circ = (b\cdot a)^\circ$. Man zeige: Ist $\frak{g}$ eine Lie-Algebra, so ist auch $\frak{g}^{{\op{opp}}}$ eine Lie-Algebra und die Multiplikation mit $(-1)$ ist ein Algebrenhomomorphismus $\frak{g} \overset{\sim}{\ra} \frak{g}^{{\op{opp}}}$ Man zeige weiter: Ist $ \frak{g} \ra U$ eine Einh"ullende, so auch dieselbe Abbildung $ \frak{g}^{{\op{opp}}} \ra U^{{\op{opp}}}$. Insbesondere setzt sich die Multiplikation mit $(-1) : \frak{g} \overset{\sim}{\ra} \frak{g}^{{\op{opp}}}$ fort zu einem Isomorphismus assoziativer Algebren $U \overset{\sim}{\ra} U^{{\op{opp}}}$, den wir den {\bf prinzipalen Antiautomorphismus} von $U$ nennen.\end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Casimir-Operator in der Einh"ullenden}] Sei $\frak{g}$ eine endlichdimensionale Lie-Algebra und $b : \frak{g} \times \frak{g} \ra k$ eine nichtausgeartete invariante Bilinearform. Wir w"ahlen eine Basis $x_{1}, \ldots , x_{\op{n}}$ von $\frak{g}$, bezeichnen mit $x^{1}, \ldots , x^{n}$ die bez"uglich $b$ duale Basis, charakterisiert durch $b (x_{i},x^{j}) = \delta_{ij}$, und setzen $$C=C_{b} \pdef \sum_{i=1}^{n} x_{i}x^{i} $$ So h"angt $C_{b}\in{\op{U}}(\frak g)$ nicht von der Wahl der Basis unserer Lie-Algebra $\frak{g}$ ab und liegt im Zentrum der Einh"ullenden, in Formeln $uC=Cu\;\forall u\in {\op{U}}(\frak g)$. \end{Ubung} \newpage \begin{center} {\Large "Ubungen zur Vorlesung Lie-Algebren\\ im Sommersemester 2013} \end{center} \addtocounter{section}{1} \setcounter{Ubung}{0} \begin{Ubung} Gegeben eine bilineare Verkn"upfung $b$ auf einem Vektorraum $\frak{g}$ "uber einem K"orper $k$ kann man stets in der Tensoralgebra $ {\op{T}}(\frak{g})$ das von allen $x\otimes y - y \otimes x - b(x,y)$ mit $x,y\in \frak{g}$ erzeugte Ideal $I=I(\frak{g})\subset {\op{T}}(\frak{g})$ betrachten und den Quotientenring $U \pdef {\op{T}} (\frak{g}) / I$ bilden. Man zeige, da"s die Verkn"upfung $\frak{g} \hookrightarrow {\op{T}}(\frak{g}) \twoheadrightarrow U$ genau dann injektiv ist, wenn $b$ antisymmetrisch ist und die Jacobi-Identit"at erf"ullt. \end{Ubung} \begin{Ubung} Jeder Homomorphismus von Lie-Algebren l"a"st sich auf genau eine Weise ausdehnen zu einem Homomorphismus zwischen ihren Einh"ul\-lenden. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{ZPBWn} Ist eine Lie-Algebra $\frak{a}$ "uber einem K"orper $k$ als $k$-Vektorraum die Summe von zwei Unteralgebren $\frak{a}=\frak{b}+\frak{c}$, so induziert die Multiplikation eine Surjektion $${\op{U}}(\frak{c})\otimes_k {\op{U}}(\frak{b})\sra {\op{U}}(\frak{a})$$ Man leite aus dieser Erkenntnis einen neuen Beweis des Lemmas ab, nach dem das $\mathfrak c$-Erzeugnis eines $\mathfrak b$-stabilen Teilraums einer $\mathfrak a$-Darstellung bereits $\mathfrak a$-stabil ist. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige, da"s im Fall $\mathfrak g=\mathfrak{sl}(2;\DC)$ ein Vermamodul $\Delta(\lambda)$ genau dann einfach ist, wenn er keinen endlichdimensionalen Quotienten hat, wenn also sein h"ochstes Gewicht auf der positiven Wurzel als Wert keine nat"urliche Zahl annimmt, in Formeln $\langle \lambda,\alpha^\vee\rangle\not\in\DN$ f"ur $\alpha$ die positive Wurzel. \end{Ubung} \newpage \begin{center} {\Large "Ubungen zur Vorlesung Lie-Algebren\\ im Sommersemester 2013} \end{center} \addtocounter{section}{1} \setcounter{Ubung}{0} \begin{Ubung} Die Darstellung $\bigwedge^{i} \Bbb{C}^{n+1}$ von $\frak{sl}(n+1;\DC)$ ist einfach f"ur $1\leq i\leq n+1$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Welche Dimensionen haben die irreduziblen Darstellungen der Lie-Algebra vom Typ $E_6$ zu fundamentalen h"ochsten Gewichten? \end{Ubung} \begin{Ubung} Man folgere aus der Dimensionsformel, da"s die symmetrischen Potenzen ${\op{S}}^r\DC^{n+1}$ stets irreduzible Darstellungen von $\frak{sl}(n+1;\DC)$ sind. Sie haben im "ubrigen das h"ochste Gewicht $r\varpi_1$. Wer Rechenzeit sparen will, sollte sich zumindest den Fall $n=2$ "uberlegen. Alternativ und vielleicht einfacher kann man die Irreduzibilit"at auch begr"unden, indem man unsere symmetrischen Potenzen als R"aume von Polynomen versteht und die Operation durch Differentialoperatoren realisiert. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige mithilfe einer Streckung der Nennerformel f"ur eine beliebige halbeinfache Lie-Algebra die Formel $$\op{ch} L (n\rho) = \op{e}^{n\rho} \prod_{\al \in R^{+}} ( 1 +\op{e}^{-\al}+\ldots +\op{e}^{-n\al})$$ \end{Ubung} \end{document} % scp UbgLieA.pdf soergel@tux00:/webserver/home/soergel/Skripten/UbgLieA.pdf