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\def\No{10}
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\def\Date{17.12.2010}


\newcommand{\Ag}[1]{{

\vspace{2mm}

\bf Aufgabe #1 \vspace{1mm}\\}}





\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\pagestyle{empty}
\parindent=0pt

Mathematisches Institut der Universit\"at Freiburg\hfill\Date\\
Prof. Dr. W. Soergel\\


\vspace{5mm}

\hline
\begin{center}
{\bf \large "Ubungsaufgaben zur Vorlesung Analysis III}

\vspace{3mm}
WS 2010/2011 --- Blatt \No

\vspace{3mm}
Abgabe: %Fr, 14.01.2011
\end{center}
\hline

%\vspace{0,5cm}
\Ag{1}
In dieser "Ubung soll der wesentliche
Schritt beim Beweis des Stokes'schen Integralsatzes mit Ecken 
ausgef"uhrt werden.
Wir betrachten eine stetig differenzierbare
$k$-Form $\eta$ auf $(\Bbb{R}_{\leq q})^{k+1}$ mit kompaktem Tr"ager.
Wir nennen unsere Koordinaten $x_0, x_1, \ldots, x_k$ und
betrachten f"ur $0\leq \nu \leq k$ die Einbettungen
\begin{equation*}
i_\nu : (\Bbb{R}_{\leq 0})^k \hookrightarrow (\Bbb{R}_{\leq 0})^{k+1}
\end{equation*}
die durch Einf"ugen einer Null an der $\nu$-ten Stelle entstehen.
Man pr"ufe die
Behauptung
\begin{equation*}
\sum^k_{\nu =0} (-1)^\nu \int_{(\Bbb{R}_{\leq 0})^k} i_\nu^\ast \eta =
\int_{(\Bbb{R}_{\leq 0})^{k+1}} d\eta
\end{equation*}

\vspace{0,5cm}
\Ag{2}
Gegeben $f g : \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R$
stetig differenzierbar und $D$ die Einheitskreisscheibe zeige man
\begin{equation*}
 \int^{2\pi}_{0} f (\cos t, \sin t) \cos t \op{dt} - \int^{2\pi}_{0} g
(\cos t, \sin t) \sin t \op{dt} =
\int_D \left( \frac{\partial f}{\partial x} - \frac{\partial g}{\partial y}\right)
dx dy
\end{equation*}

\vspace{0,5cm}
\Ag{3}
Wir betrachten Kugelkoordinaten $(r, \vartheta, \varphi) \mapsto (r \sin \vartheta \cos \varphi,
r \sin \vartheta \sin \varphi, r \cos \vartheta)$ mit
$r > 0, \vartheta \in (0,\pi)$ und $\varphi \in (-\pi, \pi)$.
Auf dem Bild $\Omega \co \mathbb R^3$ der Kugelkoordinatenabbildung haben wir damit
Funktionen $r, \vartheta, \varphi : \Omega \rightarrow \mathbb R$.
Man zeige, da"s sich die Funktion $\vartheta$ und die Differentialform $d \varphi$
stetig auf $\mathbb R^3 \backslash (0 \times 0\times \mathbb R)$ fortsetzen lassen.
Gegeben sei nun $A \subset S^2$ eine kompakte berandete zweidimensionale Untermannigfaltigkeit
von $\mathbb R^3$, die wie angedeutet in der Einheitssph"are liegt, und so da"s $\partial A$
weder den Nordpol $(0,0,1)$ noch den S"udpol $(0,0,-1)$ enth"alt.
Man zeige f"ur die Oberfl"ache von $A$ die Formel
\begin{equation*}
 \int_A \sigma = 2k \pi - \int_{\partial A} \cos \vartheta d \varphi
\end{equation*}
mit $k$ der Zahl der in $A$ enthaltenen Pole.

\vspace{0,5cm}
\Ag{4}
Man zeige, da"s gegeben ein stetig differenzierbares Vektorfeld
$v = (v_1, v_2, v_3): \mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R^3$ seine Divergenz
an der Stelle $p$
\begin{equation*}
 (\op{div} v) (p) = \frac{\partial v_1}{\partial x}
+\frac{\partial v_2}{\partial y} +
\frac{\partial v_3}{\partial z}
\end{equation*}
auch interpretiert werden kann als der Grenzwert f"ur $r \rightarrow 0$ des Quotienten
des Flusses von $v$ durch die Oberfl"ache einer kleinen Kugel mit Radius $r$
nach dem Volumen der Kugel,
\begin{equation*}
 (\op{div} v)(p) = \lim_{r \rightarrow 0} \frac{3}{4 \pi r^3} \int_{\| x - p\| =r}
\langle v , N \rangle \sigma
\end{equation*}
Stimmt dasselbe auch wenn man statt Kugeln W"urfel nimmt?

\end{document}