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\def\No{2}
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\def\Date{3.05.2012}


\newcommand{\Ag}[1]{{

\vspace{2mm}

\bf Aufgabe #1 \vspace{1mm}\\}}





\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\pagestyle{empty}
\parindent=0pt

Mathematisches Institut der Universit\"at Freiburg\hfill\Date\\
Prof. Dr. W. Soergel\\


\vspace{5mm}
\hline
\begin{center}
{\bf \large "Ubungsaufgaben zur Vorlesung : Kommutative Algebra und Algebraische Geometrie} %{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Ana4/Hauptseite.html}

\vspace{3mm}
SS 2012 --- Blatt \No

\vspace{3mm}
Abgabe: Dienstag, 8. Mai
\end{center}
\hline

\vspace{0,5cm}
\Ag{1}
Gegeben ein Ideal $I$ eines Rings $R$ definiert man sein
{\bf Radikal}\index{Radikal!eines Ideals} $\sqrt{I}$ durch die Vorschrift
$\sqrt{I}=\{ f\in R\mid f^N\in I\text{ f"ur }N\gg 0\}.$
Ein Ideal hei"st ein \defind{Radikalideal} genau dann, wenn es sein
eigenes Radikal ist.
Man zeige, da"s f"ur ein Ideal
$I$ eines Krings $R$ das Radikal $\sqrt{I}$ wieder ein Ideal von $R$ ist
und da"s $\sqrt{I}$ sein eigenes Radikal ist.

\vspace{0,5cm}
\Ag{2}
Man zeige: In einem endlich erzeugten Modul umfa"st jedes
Erzeugendensystem ein endliches Erzeugendensystem.


\vspace{0,5cm}
\Ag{3}
Man bestimme alle Elemente von $\DQ$, die ganz sind "uber 
$\DZ$. Sei $k$ ein K"orper.  Man bestimme alle Elemente 
von $k(T_1,\ldots,T_n)$, 
die ganz sind "uber dem Polynomring
$k[T_1,\ldots,T_n]$. 


\vspace{0,5cm}
\Ag{4}
Man zeige, da"s $\DC[X,Y]/\langle Y^2-X^3\rangle$ ein Integrit"atsbereich
ist, und  da"s die "uber diesem Ring ganzen Elemente seines
Quotientenk"orpers selbst einen Ring bilden, der isomorph ist zum 
Polynomring in einer Ver"anderlichen.


\end{document}