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\def\No{3}
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\def\Date{29.10.2010}


\newcommand{\Ag}[1]{{

\vspace{2mm}

\bf Aufgabe #1 \vspace{1mm}\\}}





\begin{document}
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\parindent=0pt

Mathematisches Institut der Universit\"at Freiburg\hfill\Date\\
Prof. Dr. W. Soergel\\


\vspace{5mm}

\hline
\begin{center}
{\bf \large "Ubungsaufgaben zur Vorlesung Analysis III} %{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Ana4/Hauptseite.html}

\vspace{3mm}
WS 2010/2011 --- Blatt \No

\vspace{3mm}
Abgabe: Fr, 05.11.2010
\end{center}
\hline


\vspace{0,5cm}
\Ag{1}
Gegeben eine me"sbare Abbildung $\phi:X\ra Y$ von Me"sr"aumen und
ein Ma"s $\mu $ auf $X$ erkl"art man das \defind{Bildma"s}
$\phi_\ast \mu$ auf $Y$ dadurch, da"s man f"ur jede
me"sbare Menge $A\subset Y$ setzt
$$(\phi_\ast \mu)(A)=\mu(\phi^{-1}A)$$
Man zeige, da"s diese Vorschrift in der Tat ein Ma"s auf $Y$ 
liefert. Man zeige auch f"ur eine weitere me"sbare Abbildung $\psi:Y\ra Z$
von Me"sr"aumen die Formel $\psi_\ast(\phi_\ast \mu)=(\psi\circ \phi)_\ast 
\mu$
und f"ur die Identit"at auf $X$ die Formel
$\op{id}_\ast \mu=\mu.$

\vspace{0,5cm}
\Ag{2}
Man gebe eine Abbildung $\DR\ra\DR$ an, die nicht me"sbar ist
in Bezug auf die Borel'schen $\sigma$-Algebren. Hinweis: Man beachte 
unser Argument daf"ur, daß es kein translationsinvariantes normiertes 
Maß auf der Potenzmenge von $\DR$ gibt.

\vspace{0,5cm}
\Ag{3}
Man zeige,
da"s gegeben ein Ma"sraum  $(X, \cal{M}, \mu)$ das Mengensystem
aller $E \subset X$ 
derart, da"s es $A, B \in \cal{M}$ gibt mit $A\subset E \subset B$ und
$\mu (B{\setminus} A) =0,$ eine $\sigma$-Algebra ist.
Dieses Resultat wird  für den Beweis der Eindeutigkeit der Vervollständigung 
eines Maßraums benötigt.

%\vspace{0,5cm}
%\Ag{4}

\end{document}