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\def\Date{01.06.2011}


\newcommand{\Ag}[1]{{

\vspace{2mm}

\bf Aufgabe #1 \vspace{1mm}\\}}





\begin{document}
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\pagestyle{empty}
\parindent=0pt

Mathematisches Institut der Universit\"at Freiburg\hfill\Date\\
Prof. Dr. W. Soergel\\


\vspace{5mm}

\hline
\begin{center}
{\bf \large "Ubungsaufgaben zur Vorlesung: Liegruppen} %{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Ana4/Hauptseite.html}

\vspace{3mm}
SS 2011 --- Blatt \No

\vspace{3mm}
Abgabe: Mo, 06.06..2011
\end{center}
\hline

\vspace{0,5cm}
\Ag{1}
Man gebe ein Haar'sches Ma"s auf $\DC^\times$ und allgemeiner auf 
$\op{GL}(n;\DC)$ an.

\vspace{0,5cm}
\Ag{2}
Man zeige:
$\op{U}(n)\subset \op{GL}(n;\DC)$ ist eine maximale 
kompakte Untergruppe und gegeben eine beliebige 
kompakte Untergruppe $K\subset \op{GL}(n;\DC)$ gibt es stets
$g\in \op{GL}(n;\DC)$ mit $gKg^{-1}\subset \op{U}(n).$
Man zeige auch die analoge Aussage im Fall $\op{O}(n)\subset \op{GL}(n;\DR).$

\vspace{0,5cm}
\Ag{3}
Gegeben eine endlichdimensionale unit"are Darstellung $V$ einer
Liegruppe $G$ gilt f"ur die abgeleitete Darstellung der Liealgebra $\frak{g}$
die Identit"at $$
\langle x v, w \rangle+\langle v,
x w \rangle   =0\qquad \forall x\in\frak{g},\;v,w\in V$$

\vspace{0,5cm}
\Ag{4}
Man zeige, da"s
in einer endlichdimensionalen unit"aren Darstellung einer Liegruppe
jedes Element der Liealgebra als diagonalisierbare Matrix
mit rein imagin"aren Eigenwerten operiert.
Man folgere, da"s 
f"ur jede endlichdimensionale
unit"are Darstellung $(V,\rho)$ der Gruppe   $\op{SL} (2;\Bbb{R})$  
gilt $\rho(g)=\op{id}\;\forall g\in \op{SL} (2;\Bbb{R}).$  
Hinweis: Jede  unit"are
endlichdimensionale
Darstellung dieser Gruppe entsteht durch Restriktion einer 
Darstellung von
$\op{SL} (2; \Bbb{C})$ und besitzt jedenfalls ein invariantes 
Skalarprodukt  unter der Restriktion
auf $\op{SU}(2)$, so da"s auch $\frak{su} (2) \subset \frak{sl}(2;\Bbb{C})$ 
mit
rein imagin"aren Eigenwerten operieren mu"s.

\end{document}