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\def\Date{02.11.2011}


\newcommand{\Ag}[1]{{

\vspace{2mm}

\bf Aufgabe #1 \vspace{1mm}\\}}





\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\pagestyle{empty}
\parindent=0pt

Mathematisches Institut der Universit\"at Freiburg\hfill\Date\\
Prof. Dr. W. Soergel\\


\vspace{5mm}
\hline
\begin{center}
{\bf \large "Ubungsaufgaben zur Vorlesung : Algebra und Zahlentheorie} %{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Ana4/Hauptseite.html}

\vspace{3mm}
WS 2011/2012 --- Blatt \No

\vspace{3mm}
Abgabe: Mo, 07.11.2011
\end{center}
\hline

\vspace{0,5cm}
\Ag{1}
Man finde das multiplikative Inverse der Nebenklasse von 22 im
K"orper $\mathbb F_{71}.$ Hinweis: Euklidischer Algorithmus. 

\vspace{0,5cm}
\Ag{2}
Man zeige: In jedem endlichen K"orper ist das Produkt aller 
von Null verschiedenen Elemente $(-1).$ Hinweis: Man zeige zun"achst,
da"s nur  die 
Elemente $\pm 1$ 
ihre eigenen Inversen sind. Als Spezialfall erh"alt man
$(p-1)!\equiv -1\pmod p$ f"ur jede Primzahl $p.$ Diese Aussage wird 
manchmal auch
als {\bf Satz von Wilson} zitiert.

\vspace{0,5cm}
\Ag{3}
a) In jeder endlichen kommutativen Gruppe wird die
maximal von einem Gruppenelement erreichte Ordnung 
geteilt von den Ordnungen aller Gruppenelemente.
Hinweis: Bezeichnet $M\subset \DN$ die Menge aller Ordnungen von
Elementen unserer Gruppe, so zeige man:  $M$ enth"alt mit jeder Zahl auch
alle ihre Teiler mit je zwei teilerfremden Zahlen auch ihr Produkt.
\\[2mm]
\noindent
b) Eine endliche Untergruppe der multiplikativen Gruppe eines
K"orpers ist stets zyklisch. Hinweis: Die Zahl der Nullstellen
eines Polynoms ist durch seinen Grad beschr"ankt.


\vspace{0,5cm}
\Ag{4}
Nach dem chinesischen Restsatz kennen wir die Einheitengruppen 
$(\DZ/m\DZ)^\times$,
sobald wir sie f"ur jede Primzahlpotenz $m$ kennen. In dieser
"Ubung sollen sie zeigen:
$$
(\DZ/p^r\DZ)^\times \cong\left\{\begin{array}{ll} \DZ/p^{r-1}\DZ \times
\DZ/(p-1)\DZ&  \text{$p$ ist eine ungerade Primzahl, $r\geq 1$;}
\\ \DZ/2^{r-2}\DZ\times \DZ/2\DZ & p=2,\; r\geq 2.
\end{array} \right.
$$
Man beachte, da"s 
hier links die Multiplikation als Verkn"upfung zu
verstehen ist, rechts dahingegen die Addition.
 Hinweis: Nach
3.b) ist die Gruppe $(\DZ/p\DZ)^\times$ stets zyklisch.
Bei ungeradem $p$  gehe 
man von der Abbildung $(\DZ/p^r\DZ)^\times\sra (\DZ/p\DZ)^\times$ 
aus und zeige, da"s die Restklasse von $1+p$ den Kern 
erzeugt. Dazu beachte man,
da"s f"ur alle $b\in\DZ$ und $n\geq 1$ 
gilt  $(1+p^n+bp^{n+1})^{p}\in 1 + p^{n+1}+ p^{n+2}\DZ$.
Dann beachte man, da"s diese Formel unter der 
st"arkeren Annahme $n\geq 2$ auch  f"ur $p=2$ gilt, und 
folgere, da"s der Kern der 
Abbildung $(\DZ/2^r\DZ)^\times\sra (\DZ/4\DZ)^\times$ 
f"ur $r\geq 2$ von der Restklasse von $5$ erzeugt wird.


\end{document}