\section{Unfertiges zur "aquivarianten derivierten Kategorie} \subsection{Vieles darin sehr relevant, durchsortieren} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Objekt $(G{\ssearrow}X)\in\op{Topog}$ erkl"are ich eine {\bf Aufl"osung von} $G{\ssearrow}X$ als einen Morphismus $(\alpha{\ssearrow}p):(A{\ssearrow} P)\ra (G{\ssearrow}X)$ mit $P$ topologisch frei unter $A$ und $\alpha:A\sra G$ surjektiv final und $A$ topologisch frei unter $\op{ker}\alpha$. Morphismen von Aufl"osungen sind Morphismen in $\op{Topog}_{(G{\ssearrow}X)}$. So erkl"aren wir die Kategorie $\op{Aufl}(G{\ssearrow}X)$\index{Aufl@$\op{Aufl}(G{\ssearrow}X)$ Kategorie von Aufl"osungen} der Aufl"osungen unseres $G$-Raums $X$ und betrachten den Funktor\label{AvGX} $$\begin{array}{cccc}\Phi:&\op{Aufl}(G{\ssearrow}X)&\ra& \op{Top}\\[1mm] &(A{\ssearrow} P)&\mapsto& A\backslash P \end{array} $$ Wir definieren die {\bf "aquivariante derivierte Kategorie zu allen Aufl"osungen} $$\op{Der}_{G{\ssearrow}}(X;\op{Aufl})$$ als die Opponierte zur Kategorie aller \hyperref[ksch]{kartesischen Schnitte} dieses Funktors in die derivierte Garbenopfaserung $\op{Der}_{{\sslash}\op{Top}}$. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Unabh"angigkeit von der Aufl"osung, Variante}] Gegeben ein Raum mit Operation $(G{\ssearrow}X)\in\op{Topog}$ erhalten wir durch die Restriktion auf unsere Standardaufl"osung eine "Aquivalenz von Kategorien $$\op{res}:\op{Der}_{G{\ssearrow}}(X;\op{Aufl})\sirra \op{Der}_{G{\ssearrow}}(X)$$ \end{Satz} \begin{proof} A priori liefert uns die fragliche Restriktion nur einen Funktor in die derivierte Kategorie aller abelschen Garben $\op{Der}_{G{\ssearrow}}(X;\op{Aufl})\ra \op{Der}({\op{E}}G\times_{/G}X)$ auf der Borel-Konstruktion. Das kommutative Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ G \times {\op{E}}G\times X\ar[r]^-{\op{pr}}\ar[d]_{\op{mult}} & G\times X\ar[d]^{\op{mult}} \\ {\op{E}}G\times X\ar[r]^-{\op{pr}}& X } \end{displaymath} mit der linken Vertikale $(g,e,x)\mapsto (ge,gx)$ kann nun aber als Diagramm von Aufl"osungen von $X$ gelesen werden und induziert auf den Quotienten nach $G$ das Diagramm $${\op{E}}G\times_{/G} X\leftarrow {\op{E}}G\times X\ra X$$ von topologischen R"aumen. Ein kartesischer Schnitt wie in unserem Satz mu"s nun jedem dieser drei R"aume ein Objekt der entsprechenden derivierten Kategorie abelscher Garben so zuordnen, da"s die R"uckz"uge in die Mitte isomorph sind zu dem vorgegebenen Objekt in der Mitte. Mithin landet der Funktor aus unserem Satz in der Tat in $\op{Der}_{G{\ssearrow}}(X)$. Nun konstruieren wir einen Funktor $\op{aus}$ in die Gegenrichtung. Wir gehen dazu von einem Objekt $\mathcal F\in \op{Der}_{G{\ssearrow}}(X)$ aus und ordnen ihm erst die Gesamtheit seiner "aquivarianten R"uckz"uge $(\alpha{\ssearrow}p)^*\mathcal F\in \op{Der}_{A{\ssearrow}}(P)$ auf allen Aufl"osungen $(\alpha{\ssearrow}p):(A{\ssearrow} P)\ra (G{\ssearrow}X)$ zu und dann deren Bilder unter den jeweiligen verfeinerten Quotienten"aquivalenzen $Q(\alpha{\ssearrow}p)^*\mathcal F\in \op{Der}(A\backslash P)$ nach \ref{WeTN}. Es ist klar, da"s wir so einen Funktor in die Gegenrichtung erhalten und da"s die durch Restriktion gegebenen Abbildungen Isomorphismen $$\op{Der}_{G{\ssearrow}}(X;\op{Aufl})(\op{aus}\mathcal F,\mathcal G)\sira \op{Der}_{G{\ssearrow}}(X)(\mathcal F,\op{res}\mathcal G)$$ sind und eine Adjunktion $(\op{aus},\op{res})$ liefern, die ihrerseits unser Paar von Funktoren zu einem Paar quasiinverser Funktoren macht. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Ein r"uckzugstabiles multiplikatives System in der Kategorie der topologischen R"aume derart, da"s die Eigenschaft der Zugeh"origkeit zu unserem System lokal ist in der Basis, nennen wir ein {\bf lokales r"uckzugstabiles multiplikatives System}\index{lokal!r"uckzugstabiles multiplikatives System} von stetigen Abbildungen. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Die les-Abbildungen bilden ein lokales r"uckzugstabiles multiplikatives System von stetigen Abbildungen. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Seien $G$ eine topologische Gruppe und $G{\ssearrow}X\ra G{\ssearrow}Y$ ein Morphismus von topologisch freien $G$-R"aumen und $\op{lrs}$ ein lokales r"uckzugstabiles multiplikatives System von stetigen Abbildungen. Offensichtlich geh"ort $X\ra Y$ genau dann zu $\op{lrs}$, wenn\label{Qeig} $ X/G\ra Y/G$ zu $\op{lrs}$ geh"ort. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Sei $\op{lrs}$ ein lokales r"uckzugstabiles multiplikatives System von stetigen Abbildungen. Ein Morphismus $\phi{\ssearrow}f:G{\ssearrow}X\ra H{\ssearrow}Y$ in $\op{Topok}$ hei"se {\bf "aquivariant $\mathbf{lrs}$},\index{lrs@$\op{lrs}$!"aquivariant} wenn $G$ topologisch frei auf $H\times X$ operiert und $H\times_{/G}X\ra Y$ zu $\op{lrs}$ geh"ort. \end{Definition} \begin{Beispiele} Sei $\op{lrs}$ ein lokales r"uckzugstabiles multiplikatives System von stetigen Abbildungen. Ein Morphismus der Gestalt ${\op{id}}{\ssearrow}f:G{\ssearrow}X\ra G{\ssearrow}Y$ ist quasi per definitionem genau dann "aquivariant $\op{lrs}$, wenn die zugrundeliegende stetige Abbildung $f:X\ra Y$ zu $\op{lrs}$ geh"ort. Ein Morphismus der Gestalt $\phi{\ssearrow}{\op{id}}:G{\ssearrow}X\ra H{\ssearrow}X$ ist quasi per definitionem genau dann "aquivariant $\op{lrs}$, wenn $H$ unter $\phi$ ein topologisch freier $G$-Raum wird und $H/\phi(G)\ra\op{top}$ zu $\op{lrs}$ geh"ort. \end{Beispiele} \begin{Lemma} Gegeben ein lokales r"uckzugstabiles multiplikatives System $\op{lrs}$ von stetigen Abbildungen bilden alle Morphismen in $\op{Topok}$, die "aquivariant $\op{lrs}$ sind, ein multiplikatives System. \end{Lemma} \begin{proof} Der Punkt ist zu zeigen, da"s die Eigenschaft \glqq "aquivariant $\op{lrs}$\grqq\ sich auf Verkn"upfungen "ubertr"agt. Seien also $G{\ssearrow}X\ra H{\ssearrow}Y\ra K{\ssearrow}Z$ Morphismen, die "aquivariant $\op{lrs}$ sind. Nach Annahme operiert $G$ topologisch frei auf $H\times X$ und $H\times_{/G} X\ra Y$ ist $\op{lrs}$. Nach Annahme operiert auch $H$ topologisch frei auf $K\times Y$ und $K\times_{/H} Y$ ist $\op{lrs}$. Nach \ref{KarQ} operiert $H$ dann auch topologisch frei auf $K\times (H\times_{/G} X)$ und nach \ref{ftop} operiert $H\times G$ dann topologisch frei auf $K\times H\times X$ vermittels $(h,g)(k,a,x)=(kh^{-1}, hag^{-1},gx)$ und $G$ topologisch frei auf $K\times_{/H} H\times X\cong K\times X$. Weiter geh"ort mit $H\times_{/G} X\ra Y$ auch $K\times (H\times_{/G} X)\ra K\times Y$ zu $\op{lrs}$ und dann nach \ref{Qeig} auch $K\times_{/G} X \sira K\times_{/H} (H\times_{/G} X)\ra K\times_{/H} Y$ und dann auch $K\times_{/G} X\ra Z$. \end{proof} \nichtfinal{Ich will Schreivorschub $(\phi{\ssearrow}f)_!$ f"ur alle Morphismen $\phi{\ssearrow}f:G{\ssearrow}X\ra H{\ssearrow}Y$ in $\op{Topok}$ erkl"aren, die "aquivariant les sind und geeignete Bedingungen f"ur die Koeffizientringerweiterung haben, vermutlich flach.} \begin{Bemerkungl} Ich will den Schreivorschub $(\phi{\ssearrow}f)_!$ allgemein unter Morphismen $\phi{\ssearrow}f:G{\ssearrow}X\ra H{\ssearrow}Y$ erkl"aren, falls $G$ topologisch frei auf $H\times X$ operiert und $H\times_{/G}X\ra Y$ lokal eigentlich separiert ist. \nichtfinal{(Bernstein-Lunts macht das nur f"ur abgeschlossene Untergruppe von Liegruppe. Ich h"atte aber so gerne beliebige Abbildung von endlichen Gruppen auch im Boot. K"onnte man $G$ unfrei mit diskreten Isotropiegruppen operieren haben?)} Falls diese Abbildung sogar eigentlich ist, soll das auch ein gew"ohnlicher Vorschub sein, in Formeln $(\phi{\ssearrow}f)_!=(\phi{\ssearrow}f)_*$. Genauer soll das so gehen: Wir beginnen mit einer bagazyklischen $H$-Aufl"osung $Q\ra Y$ und konstruieren durch R"uckzug von rechts in die Mitte das Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{\ar[d]^\wr R/(H\times G) &R\ar[l] \ar[d]\ar[r] & H\times X\ar [d]\\ \ar[d] P/H &P\ar[l] \ar[d]\ar[r] & H\times_{/G}X\ar [d]\\ Q/H & Q \ar[l]\ar[r] & Y } \end{displaymath} Hier ist $P\ra H\times_{/G}X$ eine bagazyklische $H$-Aufl"osung als R"uckzug einer bag\-azy\-kli\-schen $H$-Aufl"osung und $R\ra H\times X$ ist eine bagazyklische $(H\times G)$-Aufl"osung, da es auch frei ist "uber $G$ nach \ref{KarQ}, f"ur das ich noch die hier relevante Variante ausschreiben sollte, da"s $X$ und $Y$ bereits eine topologisch freie Operation einer topologischen Gruppe $H$ tragen. Jetzt sind alle Vertikalen lokal eigentlich separiert und wir erkl"aren unsere Funktoren ohne M"uhe auf den vollen Unterkategorien in der linken Spalte, durch die unsere "aquivarianten derivierten Kategorien definiert sind. Die Arbeit wird darin bestehen, die Unabh"angigkeit von der bagazyklischen Aufl"osung zu diskutieren. Das korrekte Verhalten in den sechs Funktoren wird automatisch aus dem korrekten Verhalten im nicht-"aquivarianten Fall folgen. So will ich Induktion, inverse Quotienten\-"aquivalenz und Schreivorschub ohne Gruppenwechsel zusammenfassen und vern"unftig in den Formalismus einbinden. Im Fall $\phi{\ssearrow}{\op{id}}$ f"ur $\phi:G\hra H$ eine abgeschlossene Einbettung von Liegruppen mit kompaktem orientierten Quotienten der Dimension $d$ etwa erhalten wir $(\phi{\ssearrow}{\op{id}})_!=(\phi{\ssearrow}{\op{id}})_*$ und $(\phi{\ssearrow}{\op{id}})^!=(\phi{\ssearrow}{\op{id}})^*[d]$ und die "ublichen Adjunktionen. In der Notation von Bernstein-Lunts h"atten wir, auch wenn wir den Quotienten nur orientiert annehmen, $(\phi{\ssearrow}{\op{id}})^*=\op{Res}_H^G$ und $(\phi{\ssearrow}{\op{id}})_*=\op{Ind}_G^H$ und die Adjunktion $((\phi{\ssearrow}{\op{id}})_!, (\phi{\ssearrow}{\op{id}})^!)$ liefert eine Adjunktion $((\phi{\ssearrow}{\op{id}})_![d], \op{Res}_H^G)$ alias $(\phi{\ssearrow}{\op{id}})_![d]=\op{Ind}_!$ in der dortigen Notation. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Mir scheint, da"s wir f"ur offenlokal zusammenziehbares $G$ vielleicht einen Linksadjungierten an $\op{Der}(G{\ssearrow} X)\vra \op{Der}({\op{E}}G\times_{/G} X)$ erhalten im Diagramm $$\op{Der}({\op{E}}G\times_{/G} X)\sirra \op{Der}(G{\ssearrow}({\op{E}}G\times X))\ra \op{Der}(G{\ssearrow} X)$$ durch Runterdr"ucken-Hochziehen rechts. Nee, Quatsch, das ist ein Rechtsadjungierter! K"onnte $f_!$ manchmal das normale $f_!$ sein gefolgt von diesem Funktor? Ziemlich unausgegoren. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ich will $(\phi{\ssearrow}f)_!$ erkl"aren f"ur alle Morphismen $(\phi{\ssearrow}f):(G{\ssearrow} X)\ra (H{\ssearrow}Y)$ derart, da"s es eine Aufl"osung $(\alpha{\ssearrow}p):(A{\ssearrow} P)\ra (G{\ssearrow} X)$ wie in \ref{AvGX} gibt mit \end{Bemerkungl} \newpage \begin{Bemerkungl}[\textbf{Konvolution}] Wir gehen aus von einer (aber was f"ur einer ?) Gruppe $G$ mit drei (abgeschlossenen ?) Untergruppen $A,B,C$ und betrachten das Diagramm von R"aumen mit Operation \begin{displaymath} \xymatrix{ _A{G}\times_B G_C\ar[rrrr]^-{({\op{pr}_{AB}}{\ssearrow}{\op{pr}_1},{\op{pr}_{BC}}{\ssearrow}{\op{pr}_2})}\ar[d]^-{{\op{pr}_{AC}}{\ssearrow}{\op{mult}}} &&&& _A{G}_B\curlywedge {_B{G}_C}\\ {_A{G}_C}& } \end{displaymath} Der Raum $_AG_B$ ist die Gruppe $G$ mit der Operation von $A\times B$ durch $(a,b)g\pdef agb^{-1}$. Links oben ist der Raum $G\times G$ gemeint mit der $A$-Operation durch $a(g,h)\pdef (ag,h)$ und der $B$-Operation durch $b(g,h)\pdef (gb^{-1}, bh)$ und der $C$-Operation durch $c(g,h)\pdef (g,hc^{-1})$. Sie kommutieren und liefern zusammen eine Operation von $A\times B\times C$. In diesem Diagramm berachten wir nun den $*$-R"uckzug l"angs der Horizontale gefolgt vom $!$-Vorschub l"angs der Vertikale und das ist unsere Konvolution. Wir notieren $$\mathcal F\ast_B\mathcal G$$ das Objekt, das darunter aus einem Paar $(\mathcal F,\mathcal G)$ entsteht. Um einen Assoziator zu erhalten betrachten wir das hoffentlich selbsterkl"arende Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ _A{G}\times_B G\times_C G_D\ar[r]\ar[d] &( _A{G}\times_B G_C)\curlywedge {_C{G}_D}\ar[r]\ar[d]& _A{G}_B\curlywedge {_B{G}_C}\curlywedge {_C{G}_D}\\ {_A{G}_C}\times_C G_D\ar[r]\ar[d] & _A{G}_C\curlywedge {_C{G}_D}& \\ {_A{G}_D}&& } \end{displaymath} von R"aumen mit Gruppenoperation. Das Quadrat ist (hoffentlich) kartesisch und Basiswechsel liefert uns einen Isomorphismus $\mathcal F\ast_B\mathcal G\ast_C \mathcal H\sira (\mathcal F\ast_B\mathcal G)\ast_C \mathcal H$ mit der Notation links f"ur den $*$-R"uckzug nach oben links gefolgt vom $!$-Vorschub nach ganz unten. Mit einer offensichtlichen Variante unseres Diagramms erhalten wir dann Isomorphismen $$ \mathcal F\ast_B(\mathcal G\ast_C \mathcal H)\;\sila\; \mathcal F\ast_B\mathcal G\ast_C \mathcal H\;\sira\; (\mathcal F\ast_B\mathcal G)\ast_C \mathcal H$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Im Kontext monotoner Schmelzkategorien trifft man h"aufig die Situation an, da"s zus"atzlich zur Menge der Objekte noch eine Menge von {\bf Farben} vorgegeben ist sowie zwei Abbildungen von der Menge der Objekte in die Menge der Farben, die jedem Objekt seine {\bf Rechtsfarbe} und seine {\bf Linksfarbe} zuordnen, und da"s es nur dann "uberhaupt Verschmelzungen $A_1\curlyvee \ldots \curlyvee A_r\ra Y$ gibt, wenn die Linksfarbe von $A_1$ die Linksfarbe von $Y$ ist, die Rechtsfarbe von $A_r$ die Rechtsfarbe von $Y$ und die Rechtsfarbe von $A_i$ die Linksfarbe von $A_{i+1}$ f"ur $1\leq i sheaves on X % factors as pullback to $\tilde{G} \times X$ followed by the equivalence % of $\tilde{G}$-equivariant sheaves on $\tilde{G} \times X$ with sheaves on % X. Now the projection that we pulled back along is 1-acyclic. So % extensions are preserved. % You are right, this should exactly be it. Thanks! % I think the same sort of argument can be used to show that % monodromic sheaves form an abelian category etc. It probably may % also be utilized to dispose of 2.5.1.20 quickly % Maybe indeed. Well, 2.5.1.20 is about sheaves of sets and from my % point of view particularly close to imagination. Still a better % proof is always welcome! % -----BEGIN PGP SIGNED MESSAGE----- Hash: SHA1 % Well, my point is that equivariance for a connected group acting % is not an additional datum but a property the underlying sheaf % can have or not have. % I think this does it (for torsors). For arbitrary spaces I % believe you are right, the notions will differ. Super! % In fact, I think exactly the same argument also now directly % shows that monodromic-perverse sheaf (i.e, smooth along orbits) % for torsors is the same as equivariant perverse sheaf for the % universal cover. % I still wonder a bit about Verdier's suggested argument. Oh well.} % \end{Bemerkungl} \subsection{Monodrome derivierte Kategorie} \begin{Bemerkungl} F"ur die folgende Begrifflichkeit vergleiche auch \cite{BrLu}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Sei $G$ eine Liegruppe mit einer zusammenziehbaren universellen "Uberlagerung und $X$ ein $G$-Raum, in Anwendungen meist mit endlich vielen Bahnen. Wir definieren f"ur einen gegebenen Koeffizientenk"orper $k$ der Charakteristik Null volle triangulierte Unterkategorien $$\op{Der}^{\op{cfb}}_{\lfloor G;\chi\rfloor} (X) \subset \op{Der}^{{\op{cf}}+}_{\lfloor G;\chi \rfloor} (X) \subset\op{Der}^+_{\lfloor G;\chi\rfloor} (X) \subset \op{Der}^+_{\lfloor G\rfloor} (X) \subset \op{Der}^+ (X)$$ der derivierten Kategorie $\op{Der}^+ (X)=\op{Der}^+ (X;k)$ aller gegen die Pfeile beschr"ankten Komplexe von Garben von $k$-Vektorr"aumen wie folgt: Gegeben eine universelle "Uberlagerung $\pi:U\sra G$ liefert nach \ref{vtEj} f"ur jeden $G$-Raum $X$ die Restriktion einen volltreuen Funktor $ \op{Der}^{+}_{U} (X) \hra \op{Der}^{+} (X)$. Wir bezeichnen sein essentielles Bild mit $$\op{Der}^+_{\lfloor G\rfloor} (X) \subset \op{Der}^+ (X)$$ Es h"angt nicht von der Wahl der universellen "Uberlagerung ab. Wir nennen es die {\bf $G$-monodrome derivierte Kategorie von $X$}\index{monodrom!derivierte Kategorie} und ihre Objekte {\bf monodrome Komplexe}.\index{monodrom!Komplex} Mit Strukturtransport \ref{ZeOp} erh"alt man auf monodromen Komplexen die {\bf Monodromiewirkung}\index{Monodromiewirkung} von $\op{ker}\pi$. Gegeben $\chi\in\op{Grp}(\op{ker}\pi, k^\times)$ ein Charakter erkl"aren wir dann $$\op{Der}_{\lfloor G;\chi\rfloor}^+ (X) \subset \op{Der}_{\lfloor G\rfloor}^+ (X)$$ als die volle triangulierte Unterkategorie aller monodromen Komplexe derart, da"s $(\chi(h){\op{id}}-h)$ f"ur alle $h\in \op{ker}\pi$ auf jedem Halm jeder Kohomologiegarbe lokal nilpotent operiert. Ihre Objekte hei"sen {\bf $\chi$-monodrome Komplexe}. Wir nennen eine $\chi$-monodrome Garbe {\bf koendlich}\index{koendlich!$\chi$-monodrome Garbe} oder englisch {\bf cofinite}, wenn in jedem Halm die von allen $(\chi(h){\op{id}}-h)$ annullierten Elemente einen endlich erzeugten Teilraum bilden. Die $\chi$-monodromen Komplexe mit koendlichen Kohomologiegarben bilden eine volle triangulierte Unterkategorie $$\op{Der}^{{\op{cf}}+}_{\lfloor G;\chi \rfloor} (X) \subset \op{Der}_{\lfloor G;\chi\rfloor}^+ (X)$$ Darin erkl"aren wir schlie"slich $\op{Der}^{\op{cfb}}_{\lfloor G;\chi\rfloor} (X)$ als die volle Unterkategorie, bei der zus"atzlich h"ochstens endlich viele der Kohomologiegarben von Null verschieden sind. Wir nennen sie die {\bf beschr"ankte koendliche $\chi$-monodrome derivierte Kategorie von $X$ mit Koeffizienten in $k$}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Unsere Bemerkungen zeigen insbesondere, da"s f"ur $G$ eine Liegruppe mit einer zusammenziehbaren universellen "Uberlagerung und $X$ ein $G$-Raum jede Erweiterung in der Kategorie aller abelschen\label{GTZk} Garben zweier $G$-monodromer Garben im Sinne von \ref{Gmon} wieder $G$-monodrom ist. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Monodrome derivierte Kategorie homogener R"aume}] Gegeben $B\supset T$ eine aufl"osbare\label{MdKhR} zusammenh"angende komplexe algebraische Gruppe mit einem maximalem Torus und $X\ni x$ ein homogener $B$-Raum mit einem ausgezeichneten Punkt existiert eine "Aquivalenz von triangulierten Kategorien $$\op{Der}_{\lfloor B;1\rfloor}^{\op{cfb}} (X;\DC)\sirra \prod_{\chi\in\mathfrak X(B_x/B_x^\circ)} \op{Der}^{\op{b}}(\mathcal O(\op{Lie}S)_0^\wedge\op{-Modf}^{\op{opp}})$$ f"ur $S$ den $\DC$-Torus mit Charaktergitter $\mathfrak X(S)=\pi_1(B,1)/\pi_1(B_x,1)$. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Im folgenden Beweis werden wir sogar einen Funktor explizit konstruieren, der die behauptete "Aquivalenz liefert. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Sei $\pi:\tilde B\ra B$ eine universelle "Uberlagerung. Sicher ist die Exponentialabbildung eine Bijektion $\op{exp}:\op{Lie}B\sira \tilde B$. Insbesondere ist jede zusammenh"angende abgeschlossene Untergruppe von $\tilde B$ auch zusammenziehbar. Bezeichne $Z$ die Gruppe der Zusammenhangskomponenten der Standgruppe $\tilde B_x$ von $x$ unter der Operation von $\tilde B$. F"ur jeden Koeffizientenk"orper $\mathbb K$ finden wir so "Aquivalenzen $$ \op{Der}_{\lfloor B\rfloor}^+ (X;\mathbb K)\sirra \op{Der}_{\tilde B_x}^+ (x) \sirra \op{Der}_{Z}^+ (x) \sirra \op{Der}^+(\mathbb K Z\op{-Mod}) $$ Der letzte Isomorphismus kommt von den Ausf"uhrungen \ref{dkdg} zu "aquivarianten derivierten Kategorien bei Operationen diskreter Gruppen her, die noch unfertig sind. Ebenso finden wir zwischen den entsprechenden Kategorien monodromer beziehungsweise "aquivarianter Garben "Aquivalenzen $$ \op{Mod}_{\mathbb K}^{\lfloor B\rfloor} /X\sirra \op{Mod}_{\mathbb K}^{\tilde B_x} /x \sirra \op{Mod}_{\mathbb K}^{Z} /x \sirra {\mathbb K}Z\op{-Mod} $$ zwischen der Kategorie der monodromen ${\mathbb K}$-Garben auf $X$ und der Kategorie der Darstellungen der Gruppe $Z$ "uber ${\mathbb K}$. Die Forderung nach unipotenter Monodromie "ubersetzt sich in die Forderung, da"s alle Elemente von $Z$ alias Komponenten von $\tilde B_x$, die Elemente von $\op{ker}\pi$ enthalten, durch lokal unipotente Automorphismen operieren sollen. Wir erhalten wir so eine "Aquivalenz $$ \op{Mod}_{\mathbb K}^{\lfloor B;1\rfloor} /X \sirra {\mathbb K}Z\op{-Mod}_{I\op{-lu}} $$ mit $I\pdef \op{im}(\op{ker}(\pi)\ra Z)$ und der Notation ${\mathbb K}Z\op{-Mod}_{I\op{-lu}}$ f"ur die Kategorie aller Darstellungen einer Gruppe $Z$, auf der die Elemente einer vorgegebenen Untergruppe $I$ durch lokal unipotente Automorphismen operieren. Bezeichne weiter ${\mathbb K}Z\op{-Mod}_{I\op{-luk}}\subset {\mathbb K}Z\op{-Mod}_{I\op{-lu}}$ die volle Unterkategorie aller Objekte, bei denen die $I$-Invarianten einen endlichdimensionalen Teilraum bilden. In unserer Situation ist $Z$ eine freie abelsche Gruppe von endlichem Rang und $I\subset Z$ eine Untergruppe von endlichem Index und die in \ref{rum} gegebenen Argumente zeigen, da"s die Einbettungen ${\mathbb K}Z\op{-Mod}_{I\op{-luk}}\subset {\mathbb K}Z\op{-Mod}_{I\op{-lu}} \subset{\mathbb K}Z\op{-Mod}$ volltreue Funktoren $$\op{Der}^+({\mathbb K}Z\op{-Mod}_{I\op{-luk}}) \stackrel{\sim}{\hra} \op{Der}^+({\mathbb K}Z\op{-Mod}_{I\op{-lu}}) \stackrel{\sim}{\hra} \op{Der}^+({\mathbb K}Z\op{-Mod})$$ induzieren. Zusammen mit unseren Vor"uberlegungen liefert das unmittelbar eine "Aquivalenz von Kategorien $$\op{Der}_{\lfloor B;1\rfloor}^{\op{cfb}} (X;\mathbb K)\sirra \op{Der}^{\op{b}}({\mathbb K}Z\op{-Mod}_{I\op{-luk}})$$ Nun impliziert die kurze exakte Sequenz $ \op{ker}(\pi)\hra \pi^{-1}(B^\circ_x)\sra B^\circ_x$, da"s die offensichtliche Abbildung einen Isomorphismus $Z/I\sira B_x/B^\circ_x\sira T_x/T^\circ_x$ induziert. Das zeigt auch, da"s die Komponentengruppe von $\pi^{-1}(B^\circ_x)$ alias unser $I$ identifiziert werden kann mit $\pi_1(B,1)/\pi_1(B_x,1)$. Ist nun $S$ ein spaltender algebraischer Torus "uber $\mathbb K$ mit Charaktergruppe $\mathfrak X(S)=I$ und gilt $\op{char}\mathbb K=0$, so k"onnen wir das mit \ref{FlnP} und \ref{rum} weiter verl"angern zu einer "Aquivalenz \begin{displaymath} \op{Der}_{\lfloor B;1\rfloor}^{\op{cfb}} (X;\mathbb K)\sirra \prod_{\chi\in \op{Grp}((B_x/B^\circ_x),\mathbb K^\times)} \op{Der}^{\op{b}}(\mathcal O(\op{Lie}S)_0^\wedge\op{-Modf} )^{\op{opp}}\qedhere \end{displaymath} \end{proof} \begin{Bemerkungl} Eine Darstellung einer Gruppe $G$, bei der s"amtliche Gruppenelemente durch lokal unipotente Automorphismen operieren, hei"se eine {\bf lokal unipotente Darstellung}.\index{lokal unipotent!Darstellung} Bilden\index{unipotent!lokal, Darstellung} die $G$-Invarianten einer lokal unipotenten Darstellung einen endlichdimensionalen Teilraum, so nennen wir unsere lokal unipotente Darstellung {\bf koendlich}.\index{koendlich!lokal unipotente Darstellung} Die Kategorie aller lokal unipotenten beziehungsweise lokal unipotenten koendlichen Darstellungen einer Gruppe $G$ "uber einem K"orper $\mathbb K$ notiere ich $$\mathbb K G\op{-Mod}_{\op{lu}}\supset \mathbb K G\op{-Mod}_{\op{luk}}$$ Betrachten wir zun"achst den Fall $G=\DZ^n$. In diesem Fall ist der Gruppenring ein Ring von Laurentpolynomen $\mathbb K G =\mathbb K[T_1^{\pm 1},\ldots,T_n^{\pm 1}]$ und man konstruiert ohne Schwierigkeiten eine "Aquivalenz zwischen $\mathbb K G\op{-Mod}_{\op{luk}}$ und der Kategorie $\mathbb K[X_1,\ldots,X_n]\op{-Mod}_{\op{lnk}}$ aller derjenigen Moduln "uber dem Polynomring, auf denen alle Variablen durch lokal nilpotente Endomorphismen operieren und deren Sockel endlichdimensional ist. In dieser Kategorie, ja in der Kategorie aller $\mathbb K[X_1,\ldots,X_n]$-Moduln ist das graduiert Duale $I\pdef \mathbb K[X_1,\ldots,X_n]^\circledast$ des Polynomrings die injektive H"ulle des einfachen Objekts $\mathbb K$, wie etwa in \ref{injMP} oder im Fall einer Variablen in \ref{IprH} bewiesen wird. Die "ublichen Argumente zeigen dann, da"s der Funktor der Homomorphismen nach $I$ eine "Aquivalenz $$\mathbb K[X_1,\ldots,X_n]\op{-Mod}_{\op{lnk}}\sirra (\op{Modf-}(\op{End}I))^{\op{opp}}$$ induziert. Mit \ref{EndGG} schlie"slich folgt, da"s die offensichtliche Abbildung ein Isomorphismus $\mathbb K\llbracket X_1,\ldots,X_n \rrbracket\sira \op{End}I$ ist. Ist koordinatenfrei gesagt $G=\mathfrak X$ frei abelsch von endlichem Rang, so betrachten wir den algebraichen Torus $T$ "uber\label{FlnP} $\mathbb K$ mit regul"aren Funktionen $\mathcal O(T)=\mathbb K \mathfrak X$ alias der Charaktergruppe $ \mathfrak X= \mathfrak X(T)$ und seine Lie-Algebra $\op{Lie}T$ und erhalten "Aquivalenzen $$\mathbb K \mathfrak X\op{-Mod}_{\op{luk}}\sirra \mathcal O(T)_1^\wedge\op{-Modf}^{\op{opp}} \sirra \mathcal O(\op{Lie}T)_0^\wedge\op{-Modf}^{\op{opp}}$$ Weiter besitzt $\mathbb K \mathfrak X\op{-Mod}_{\op{luk}}$ gen"ugend Injektive und diese sind auch injektiv in $\DC \mathfrak X\op{-Mod}$. Das zeigt, da"s f"ur jede volle abelsche Unterkategorie $\mathcal M\subset \mathbb K \mathfrak X\op{-Mod}$ mit exaktem Einbettungsfunktor, die $\mathbb K \mathfrak X\op{-Mod}_{\op{luk}}$ umfa"st, der Einbettungsfunktor $\mathbb K \mathfrak X\op{-Mod}_{\op{luk}}\stackrel{\sim}{\hra} \mathcal M$ einen volltreuen Funktor $\op{Der}^+(\mathbb K \mathfrak X\op{-Mod}_{\op{luk}})\stackrel{\sim}{\hra} \op{Der}^+(\mathcal M)$ induziert. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Seien $k$ ein K"orper und $A = \bigoplus_{i \geq 0} A_i$ eine nichtnegativ graduierte $k$-Ringalgebra\label{EndGG} mit endlichdimensionalen homogenen Anteilen $\op{dim}_kA_i<\infty$. Bezeichne $A^\circledast := \bigoplus_{i \geq 0} (A_i)^\ast$ ihr graduiertes Dual, aufgefa"st als graduierter $A$-Modul mit $(A^\circledast)_i = (A_{-i})^\ast$, also konzentriert im nichtpositiven Graden. F"ur die \glqq Vervollst"andigung nach der Graduierung\grqq\ $\bar A \pdef \prod_{i\geq 0} A_i$ ist dann die offensichtliche Abbildung ein Isomorphismus \begin{equation*} \bar{A}^{\op{opp}} \overset{\sim}{\rightarrow} \op{End}_AA^\circledast \end{equation*} In der Tat hat $A^\circledast$ keinen in $A_{<0}^\circledast$ enthaltenen von Null verschiedenen Untermodul, also keinen homogenen Endomorphismus von negativem Grad, und dann folgt leicht \begin{equation*} \prod_{i \geq 0} \op{Mod}_A^\DZ (A^\circledast, A^\circledast [i]) \overset{\sim}{\rightarrow} \op{End}_A A^\circledast \end{equation*} Nun aber gilt nach unseren Annahmen $A \overset{\sim}{\rightarrow} (A^{\circledast})^\circledast$ und $M\mapsto M^\circledast$ ist eine "Aquivalenz von Kategorien zwischen graduierten $A$-Moduln $M$ mit endlichdimensionalen homogenen Anteilen und der opponierten zur Kategorie der graduierten $A$-Rechtsmoduln mit endlichdimensionalen homogenen Anteilen. Folglich liefert das Dualisieren Isomorphismen $A_i\sira \op{Mod}_A^\DZ (A, A [i])\sira \op{Mod}_A^\DZ (A^\circledast, A^\circledast [i])$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{rum} Seien $F \supset H$ eine freie abelsche Gruppe von endlichem Rang mit einer Untergruppe von endlichem Index und sei ${\mathbb K}$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper. Ich interessiere mich f"ur die Kategorien $${\mathbb K} F\op{-Mod}_{H\op{-lu}}\supset {\mathbb K} F\op{-Mod}_{H\op{-luk}}$$ aller ${\mathbb K}$-Darstellungen von $F$, deren Restriktion auf $H$ lokal unipotent beziehungsweise lokal unipotent und koendlich ist. Jede einfache Darstellung dieser Art ist eine Darstellung von $F/H$, und nichtisomorphe einfache Darstellungen dieser Art erweitern nicht miteinander. Unsere koendliche Kategorie zerf"allt also in eine direkte Summe von Unterkategorien, f"ur deren Objekte jeweils alle einfachen Subquotienten isomorph sind. Im nicht notwendig koendlichen Fall kann man diese Zerlegung als die simultane Hauptraumzerlegung f"ur Repr"asentanten der Nebenklassen aus $F/H$ erhalten. Das Darantensorieren einer irreduziblen Darstellung von $F/H$, zur"uckgezogen nach $F$, liefert weiter eine "Aquivalenz jedes dieser Summanden mit der Kategorie der lokal unipotenten beziehungsweise der koendlichen lokal unipotenten Darstellungen von $F$. In Formeln erhalten wir so "Aquivalenzen von Kategorien $$\bigoplus_{\chi \in \op{Grp}(F/H,\mathbb K^\times)} \mathbb K F\op{-Mod}_{\op{lu}} \;\;\sirra \;\;{\mathbb K} F\op{-Mod}_{H\op{-lu}}$$ Analoges gilt im koendlichen Fall. Im Fall $\op{char}\mathbb K=0$ besitzt jeder lokal unipotente Endomorphismus genau eine unipotente Wurzel, folglich liefert dann unter unseren Annahmen die Restriktion eine "Aquivalenzen $\mathbb K F\op{-Mod}_{\op{lu}}\sirra \mathbb K H\op{-Mod}_{\op{lu}}$ und $\mathbb K F\op{-Mod}_{\op{luk}}\sirra \mathbb K H\op{-Mod}_{\op{luk}}$. \end{Bemerkungl} \subsection{Gefaserter Basiswechsel} \begin{Satz}[\textbf{Direktes Bild "aquivarianter Garben*}] Gegeben eine topologische Gruppe $G$ und ein Morphismus von $G$-R"aumen $f:X\ra Y$ und eine $G$-"aquivariante Garbe $\mathcal F\in \op{Ens}^G_{/X}$ ist das direkte Bild $f_\circ \mathcal F$ mit seiner offensichtlichen Struktur als $G^{\op{dis}}$-"aquivariante Garbe auf $Y$ sogar $G$-"aquivariant, wenn die Gruppe $G$ offenlokal zusammenh"angend ist. \end{Satz} \begin{proof} Bezeichne $m_X,p_X : G\times X \ra X$ die Operation von $G$ beziehungsweise die Projektion auf $X$. Die Operation unserer Gruppe $G$ auf einer Garbe $\mathcal F$ kann nach \ref{ABAEQ} als ein Isomorphismus $s: p_X^{\circ} {\cal{F}} \sira m_X^{\circ} {\cal{F}}$ von Garben auf $G\times X$ kodiert werden. Er induziert einen Isomorphismus $$(\op{id}\times f)_\circ s:(\op{id}\times f)_\circ p^{\circ}_X {\cal{F}} \sira (\op{id}\times f)_\circ m^{\circ}_X {\cal{F}}$$ von Garben auf $G\times Y$, den wir mit gefasertem Basiswechsel \ref{GFBW} auch als einen Isomorphismus $$ p_Y^{\circ}f_\circ {\cal{F}} \sira m_Y^{\circ}f_\circ {\cal{F}}$$ lesen k"onnen. Das hinwiederum zeigt, da"s die offensichtliche Operation von $G^{\op{dis}}$ auf $f_\circ {\cal{F}}$ sogar eine stetige Operation von $G$ ist. \end{proof} \subsection{Zukunftsmusik} \begin{Bemerkungw} NOCH GERATEN: Eigentlich konstruieren wir im Fall im Fall $\phi:H\hra G$ einer Liegruppe mit abgeschlossener Untergruppe zwei adjungierte Paare $(\phi^*,\phi_*)$ und $(\phi_!,\phi^!)$ von Gruppenwechselfunktoren mitsamt einem Isomorphismus $\phi^!\siRa\phi^*\otimes\omega_{G/H}$ f"ur $\omega_{G/H}\pdef \phi^!\DZ$ eine Einheit der Schmelzkategorie $\op{Der}_{{\ssearrow}H}(\op{top})$, die wir in dieser Formel genau genommen erst unter $c:X\ra\op{top}$ zur"uckziehen und dann darantensorieren. Genauer will ich zeigen, da"s die "ublichen Funktoren f"ur die mannigfaltige Abbildung ${\op{E}}G\times_{/H}X\ra {\op{E}}G\times_{/G}X$ das Gew"unschte leisten, und man wird die Induktions"aquivalenz brauchen, um zu zeigen, da"s das Vorschieben die "aquivarianten derivierten Kategorien erh"alt. Ich sollte auch zeigen, da"s das alles bei beliebigen passenden Aufl"osungen gut geht. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl} JULIUS GEFRAGT.\label{JuGef} Gegeben ein komplexes Geradenb"undel $p:E\sra X$ auf einem beliebigen topologischen Raum $X$ mit Nullschnitt $i:X\hra E$ liefert \ref{dimdiff} mit unserer Standardorientierung auf $\DC$ einen Isomorphismus $\DZ_E\sira p^!\DZ_X[-2]$ und mit $i^!$ erhalten wir einen Isomorphismus $i^!\DZ_E\sira \DZ_X[-2]$ alias $s:{\op{H}}^{q}(X)\sira {\op{H}}_X^{q+2}(E)$. Dann betrachten wir $s^{-1}(s(1)\cup s(1))\in {\op{H}}^{2}(X)$ und das sollte doch wohl $c_1(E)$ sein. Im "ubrigen ist das so eine Art \glqq relative Schnitt-Theorie\grqq\ in mannigfaltigen Abbildungen, die genauer untersucht geh"ort. \end{Bemerkungl} \subsection{Eine Variante der Leray'schen Spektralsequenz*} \begin{Lemma}[\textbf{Relative Kohomologie bei Faserungen}] \label{lAZ} Ist~$f \colon Y \to X$ eine Faserung mit offenlokal azyklischer Basis~$X$, so sind die h"oheren direkten Bilder~$\mathcal H^if_*\underline{Y}$ der konstanten Garbe auf $Y$ lokal konstante Garben auf~$X$. \end{Lemma} \begin{proof} In der Tat d"urfen wir ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit annehmen, da"s gilt $Y=F \times X$ und da"s~$f \colon F \times X \to X$ eine Projektionsabbildung ist. Im kartesischen Diagramm \[ \begin{array}{ccc} F \times X & \rightarrow & F \\ \downarrow & & \downarrow \\ X & \rightarrow & \op{top} \end{array}\] sind dann die Horizontalen Faserb"undel mit Faser $X$. Der derivierte gefaserte Basiswechsel \ref{DGFBW}, angewandt auf die konstante Garbe~$\underline{F}$, liefert folglich die Behauptung. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Leray-Spektralsequenz}]\index{Leray-Spektralsequenz} Das vorhergehende Lemma erlaubt es, die Leray-Spektralsequenz recht allgemein zu interpretieren. Sei~$f \colon Y \to X$ stetig und~$\mathcal F \in \op{Ab}_{/Y}$ eine Garbe. Ist weiter~$c \colon X \to \op{top}$ die konstante Abbildung, so finden wir \begin{eqnarray*} {\op{H}}^n(Y;{\mathcal F}) & \stackrel{\sim}{\rightarrow} & \Gamma{\mathcal H}^n((c \circ f)_* \mathcal F) \mbox{ nach \ref{dBKK} } \\ & \stackrel{\sim}{\rightarrow} & \Gamma {\mathcal H}^n(c_*(f_* \mathcal F)) \mbox{ nach \ref{SpEH}. } \end{eqnarray*} Mit \ref{KSSE} ergibt sich dann eine konvergierende~$E_2$-Spektralsequenz \[ {\op{H}}^q(X; {\mathcal H}^p(f_*\mathcal F)) \Rightarrow {\op{H}}^n(Y;\mathcal F) \] Ist speziell~$\mathcal F = \underline Y$ die konstante Garbe~$\underline{Y} = \mathbb Z Y$ und~$f$ eine Faserung mit Faser~$F$ und ist die Basis~$X$ offenlokal azyklisch, so sind die~${\mathcal H}^pf_*\underline{Y}$ nach \ref{lAZ} lokal konstant mit Halm~${\op{H}}^p(f^{-1}(x);\mathbb Z)$ bei~$x \in X$. Ist~$X$ dar"uber hinaus einfach zusammenh"angend, so ist f"ur jeden Punkt~$x \in X$ die Garbe~${\mathcal H}^p f_*\underline{Y}$ kanonisch isomorph zur konstanten Garbe mit Faser~${\op{H}}^p(f^{-1}(x);\mathbb Z)$ und wir finden eine konvergierende~$E_2$-Spektralsequenz \[ {\op{H}}^q(X;{\op{H}}^p(f^{-1}(x);\mathbb Z)) \Rightarrow {\op{H}}^n(Y;\mathbb Z) \] Das ist die urspr"ungliche Leray-Spektralsequenz. \end{Bemerkungl} \subsection{Technisch, f"ur mich wohl unwichtig: $n$-azyklische Morphismen} \begin{Definition}\label{azyn} Eine stetige Abbildung topologischer R"aume $f:X\ra Y$ hei"se {\bf $n$-azyklisch}\index{nazyklisch@$n$-azyklisch} genau dann, wenn f"ur jede abelsche Garbe $\cal{F} \in \op{Ab}_{/Y}$ der Morphismus aus der Adjunktion "uber einen Isomorphismus $$\cal{F} \;\overset{\sim}{\ra} \; \tau^{\leq n}f_{\ast}f^{\ast}\cal{F}$$ faktorisiert. Sie hei"se \defind{universell $n$-azyklisch} genau dann, wenn sie unter jedem Basiswechsel eine $n$-azyklische Abbildung liefert. Ein topologischer Raum $X$ hei"se \defnoind{azyklisch@$n$-azyklisch} beziehungsweise \defnoind{universell $n$-azyklisch} genau dann, wenn die konstante Abbildung $X\ra\op{pt}$ die entsprechende Eigenschaft hat. \end{Definition} \begin{Satz} Jeder $n$-azyklische und offenlokal zusammenziehbare Raum ist universell $n$-azyklisch. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Mit mehr M"uhe k"onnten wir sogar mit den Bedingungen auskommen, da"s unser Raum $n$-azyklisch und lokaloffen universell $n$-azyklisch ist. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Es gilt, f"ur jeden topologischen Raum $Y$ und jede Garbe $\mathcal{F} \in \op{Ab}_{/ Y \times Z}$ zu zeigen, da"s f"ur $\pi : Y \times Z \rightarrow Y$ die Projektion die kanonische Abbildung "uber einen Isomorphismus \begin{displaymath} \mathcal{F} \overset{\sim}{\rightarrow} \tau^{\leq n} \pi_* \pi^* \mathcal{F} \end{displaymath} faktorisiert. Dazu bilden wir einen diskreten Raum $Y^\prime$, indem wir die Menge $Y$ mit der diskreten Topologie versehen, und betrachten das kartesiche Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ Y^\prime \times Z \ar[r]^{\pi^{\prime}} \ar[d]^{d \times \op{id}_Z}& Y^\prime \ar[d]^{d}\\ Y \times Z \ar[r]^\pi &Y} \end{displaymath} Derivierter gefaserter Basiswechsel \ref{DGFBW} liefert einen Isomorphismus \begin{displaymath} \pi^*d_* d^* \mathcal{F} \overset{\sim}{\rightarrow} (d\times\op{id})_* \pi^{\prime\ast}d^* \mathcal{F} \end{displaymath} und dann auch \begin{displaymath} \pi_* \pi^* d_* d^* \mathcal{F} \overset{\sim}{\rightarrow} d_* \pi^{\prime}_{\ast} \pi^{\prime \ast} d^* \mathcal{F} \end{displaymath} Da wir $Z$ als $n$-azyklisch angenommen hatten, verschwinden die Kohomologiegaraben auf der rechten Seite in den Geraden $1 \leq i \leq n$. Dasselbe gilt also auch f"ur die linke Seite. Nun ist aber $d_* d^* \mathcal{F}$ gerade die Garbe $\mathcal{G}\mathcal{F}$ der unstetigen Schnitte von $\mathcal{F}$ und unsere Argumente zeigen folglich $\mathcal{G} \mathcal{F} \overset{\sim}{\rightarrow} \pi_{(*)} \pi^* \mathcal{G}\mathcal{F}$ sowie $R^i \pi_{(*)} \pi^* \mathcal{G}\mathcal{F} =0$ f"ur $1 \leq i \leq n$. Berechnen wir aber $R^i \pi_* \pi^* \mathcal{F}$ mit der Godement-Aufl"osung $\mathcal{F} \hookrightarrow \mathcal{G}^* \mathcal{F}$, so erhalten wir eine Spektralsequenz \begin{displaymath} R^q\pi_{(*)} (\pi^* \mathcal{G}^P \mathcal{F}) \Rightarrow R^i \pi_{(*)}\pi^* \mathcal{F} \end{displaymath} wobei der $E_0$-Term gemeint ist. F"ur $i \leq n$ kommt dabei jedoch nur $q =0$ zum Tragen und das zeigt das Gew"unschte. \end{proof} \subsection{Weitere "aquivariante Funktoren} \begin{Bemerkungl} Mir scheint folgendes zu Operationen: Eigentliches direktes Bild, mit Basiswechsel, existiert ohne Gruppenwechsel, aber dann immer f"ur lokal eigentliche separierte Abbildungen nach \ref{DeBaW}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Zentrumsoperation}]\emph{Richtig?} Seien $G$ eine topologische Gruppe und $X$ ein $G$-Raum.\label{ZeOp} Sei $Z \subset G$ eine zentrale Untergruppe von $G$, die auf $X$ trivial operiert. So erkl"aren wir einen Gruppenhomomorphismus von $Z$ in die Automorphismengruppe des Identit"atsfunktors auf $\op{Der}^{+}_{G} (X)$ wie folgt: Ist $p : P \ra X$ die azyklische Standardaufl"osung von $X$ und $\cal{F} \in \op{Der}^{+}_{G} (X) \subset \op{Der}^{+}(P/G)$ ein Komplex von abelschen Garben auf $P/G$, so haben wir ja $\pi^{\ast} \cal{F} \cong p^{\ast}\cal{G}$ f"ur geeignetes $\cal{G} \in \op{Der}^{+}(X)$ und $\pi:P\sra P/G$. F"ur $z \in Z$ bezeichne nun $z: P \ra P$ die Operation. So haben wir $p \circ z = p$ und $\pi \circ z=\pi$ und folglich Isomorphismen $$\pi^{\ast} \cal{F} \sira z^{\ast}\pi^{\ast} \cal{F} \sira z^{\ast} p^{\ast}\cal{G} \sira p^{\ast}\cal{G} \sira \pi^{\ast} \cal{F}$$ die, wie man leicht sieht (??????), eine Operation von $Z$ auf $\cal{F}$ definieren. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{PBeLu} In \cite{BeLu} scheint mir der Beweis der zweiten Behauptung aus Proposition 12.3.3 falsch. In der Tat gilt (*) auf Seite 100 oben nicht, falls etwa $X$ unendlich diskret ist. Kann man die Aussage retten? Was gilt stattdessen? \end{Bemerkungl} \subsection{Klassifizierende R"aume} F"ur Beweise siehe \cite{Toto} und \cite{HuFi}. \begin{Definition} \begin{enumerate} \item Eine offene "Uberdeckung eines topologischen Raums hei"st \defind{numerierbar} oder englisch \defind{numerable} genau dann, wenn es eine dieser "Uberdeckung untergeordnete Partition der Eins gibt. \item Ein Faserb"undel hei"st \defind{numerierbar} oder englisch \defind{numerable} genau dann, wenn es "uber einer numerierbaren offenen "Uberdeckung trivialisiert werden kann. \end{enumerate} \end{Definition} \begin{Beispiel} Jede offene "Uberdeckung eines parakompakten Raums ist numerierbar. Jedes Faserb"undel auf einem parakompakten Raum ist numerierbar. Das Zur"uckholen bez"uglich stetiger Abbildungen macht numerierbare Faserb"undel zu numerierbaren Faserb"undeln. \end{Beispiel} \begin{Satz}[\textbf{Universelle B"undel}] Sei $G$ eine topologische Gruppe. \begin{enumerate} \item Sind $f, g : X \ra Y$ homotope Abbildungen topologischer R"aume und ist $\xi$ ein numerierbares $G$-Hauptfaserb"undel auf $\;Y$, so sind $f^{\ast} \xi$ und $g^{\ast} \xi$ isomorphe $G$-Hauptfaserb"undel auf $X$. \item Es gibt ein numerierbares Hauptfaserb"undel $\xi = (p:\op{E}\!G\ra \op{B}\!G)$ mit der Eigenschaft, da"s das Zur"uckholen f"ur jeden topologischen Raum $X$ eine Bijektion $$\begin{array}{ccl} \op{Hot} (X,\op{B}\!G) & \overset{\sim}{\ra} & \left\{ \text{numerierbare $G$-Hauptfaserb"undel auf $X$} \right\}/\cong \\[2mm] \left[ f\right] & \mapsto & \hspace{3mm}\left[f^{\ast} \xi\right] \end{array}$$ induziert. Ein Hauptfaserb"undel mit dieser Eigenschaft nennt man ein {\bf\em universelles $G$-Hauptfaser\-b"undel}\index{universelles $G$-Hauptfaserb"undel}. \item Ein numerierbares Hauptfaserb"undel ist universell genau dann, wenn sein Totalraum zusammenziehbar ist. \end{enumerate} \end{Satz} \subsection{Allgemeines zu Operationen} \begin{Bemerkungl} Nach \cite{KS}, Beweis von 10.3.6 vertauscht Verdier-Dualit"at mit dem "au"seren Produkt, unter geeigneten Annahmen. Sie geben allerdings keinen Beweis. Borel in \cite{Bo} widmet den ganzen Abschnitt V, 10.19 ff dieser Art Fragen, ohne eine solche Aussage zu behaupten. \end{Bemerkungl} \subsection{Konvolution}\label{Konv} \begin{Definition} Seien $G$ eine Liegruppe, $K,L \subset G$ abgeschlossene Untergruppen, und $M$ eine weitere Liegruppe. Sei $X$ ein topologischer Raum mit einer stetigen $G$-Operation und einer damit kommutierenden Rechtsoperation von $M$. So definieren wir die {\bf Konvolution},\index{Konvolution!in kategorifizierter Hecke-Algebra} einen Funktor $$\begin{array}{ccc} \op{Der}^{+}_{K\times L}(G) \times \op{Der}^{+}_{L\times M} (X) &\ra & \op{Der}^{+}_{K\times M} (X)\\[2mm] (\cal{F} , \cal{G}) & \mapsto &\cal{F} \ast \cal{G} \end{array}$$ als die Verkn"upfung $$\begin{array}{ccccc} \op{Der}^{+}_{K\times L}(G)\times \op{Der}^{+}_{L\times M}(X) &\overset{\boxtimes}{\longrightarrow}& \op{Der}^{+}_{K \times L\times L\times M} (G\times X) &&\\ &&{\scriptstyle \op{Res}}{\da}\;\;\;\;&&\\ &&\op{Der}^{+}_{K\times L \times M}(G\times X)&&\\ &&{\ua}{\wr}&&\\ && \op{Der}^{+}_{K\times M}(G\times_{L} X) &\overset{m_{\ast}}{\longrightarrow}&\op{Der}^{+}_{K\times M} (X) \end{array}$$ mit $\op{Res}$ der Restriktion vermittels $\op{id} \times \Delta : K \times L\times M \hookrightarrow K \times L \times L\times M $ und $m : G \times_{L} X \ra X$ der Operation. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Hierbei verwenden wir im vorletzten Schritt, da"s die topologische Gruppe $G$ topologisch frei ist f"ur die Operation von $L$, und im letzten Schritt, da"s $K\times M$ lokal zusammenziehbar ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Um im Kontext der affinen Fahnenmannigfaltigkeiten unendliche Dimensionen zu vermeiden, mag man dasselbe erkl"aren im Fall eines Morphismus $Y\times X\ra Z$ von Variet"aten, wobei $L$ topologisch frei von rechts auf $Y$ operiert und so von links auf $X$, da"s $(yl,x)$ und $(y,lx)$ dasselbe Bild in $Z$ haben. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Als n"achstes kontruieren wir f"ur diese Konvolution einen Assoziator. Ist genauer $J \subset G$ eine weitere abgeschlossene Untergruppe und ${\cal{E}}\in \op{Der}^{+}_{J\times K} (G)$, so konstruieren wir einen nat"urlichen Isomorphismus $$({\cal{E}} \ast \cal{F}) \ast \cal{G} \sira {\cal{E}} \ast (\cal{F} \ast \cal{G})$$ unter der Zusatzannahme, da"s das Bild von $\cal{F}$ in $\op{Der}^{+} (G/L)$ sowie das Bild von ${\cal{E}}$ in $\op{Der}^{+}(G/K)$ kompakten Tr"ager haben. Um das durchzuf"uhren, k"urzen wir den klassifizierenden Raum $\op{E}\!G$ einer topologischen Gruppe $G$ ab mit $\langle{G}\rangle$. Unsere Konvolution ist dann in normalen Komplexen geschrieben f"ur $\cal{F} \in \op{Der}^{+}_{/K\times L} (G) \subset \op{Der}^{+}(\langle{K\times L}\rangle \times_{/K\times L}G)$ und $\cal{G} \in \op{Der}^{+}_{L}(X) \subset \op{Der}^{+} (\langle{L}\rangle\times_{/L}X)$ der Effekt auf $\cal{F}\boxtimes \cal{G}$ der Komposition $$\begin{array}{c} (\langle{K\times L}\rangle\times_{/K\times L} G) \times (\langle{L}\rangle\times_{/L} X)\\[2mm] \begin{array}{cc}\|&\quad \end{array} \\[2mm] (\langle{K\times L}\rangle\times \langle{L}\rangle) \times_{K\times L\times L} (G\times X)\\[2mm] \begin{array}{cc}\downarrow &\scriptstyle f^{\ast}\end{array}\\[2mm] (\langle{K\times L}\rangle\times \langle{L}\rangle) \times_{K\times L} (G\times X)\\[2mm] \begin{array}{cc}\downarrow & \scriptstyle g_{\ast} \end{array}\\[2mm] (\langle{K\times L}\rangle\times \langle{L}\rangle) \times_{K}(G \times_{L}X)\\[2mm] \begin{array}{cc} \downarrow & \scriptstyle m_{\ast} \end{array}\\[2mm] (\langle{K\times L}\rangle \times \langle{L}\rangle) \times_{K} X \end{array}$$ f"ur offensichtliche $f,g$ und $m$. Sei nun $Y$ ein weiterer topologischer Raum und ${\cal{E}} \in \op{Der}^{+} (Y)$. Ich behaupte, da"s gilt $${\cal{E}} \boxtimes m_{\ast}g_{\ast}f^{\ast} (\cal{F} \boxtimes \cal{G})\cong m_{\ast}g_{\ast}f^{\ast} ({\cal{E}} \boxtimes \cal{F}\boxtimes \cal{G})$$ wo wir nat"urlich genauer rechts h"atten schreiben sollen $(\op{id}_{Y}\times m)_{\ast}$ etc. Das Vertauschen von ${\cal{E}} \boxtimes $ mit $f^{\ast}$ ist auch im Allgemeinen unproblematisch. Das Vertauschen mit $g_{\ast}$ gelingt, da $g$ eine Faserung mit zusammenziehbarer Faser ist und sich in unserem Fall $g_{\ast} (?)$ charakterisieren l"a"st als die einzige Garbe, die uns unter $g^{\ast}$ die Urspr"ungliche zur"uckgibt. Das Vertauschen mit $m_{\ast}$ schlie"slich gelingt, da wir erst mal eine kanonische Abbildung in einer Richtung haben und wir folglich alle "Aquivarianz vergessen d"urfen und dann aufgrund der Tr"agerbedingung (wir brauchen auch alle m"ogliche Lokalkompaktheit) wir $m_{\ast} = m_{!}$ haben und $m_{!}$ vertauscht recht allgemein mit $\boxtimes$, siehe \cite{KS}. Der Rest des behaupteten Isomorphismus scheint mir nun unproblematisch. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Man sollte dann zeigen, da"s und wie die konstante Garbe auf $B$ ausgedehnt durch Null ein Einheitsobjekt in $\op{Der}^+_{B\times B}(G)$ ist. \end{Bemerkungl} \subsection{Schrotthalde von Arbeit mit Wendt und Virk} (Diese Adjunktionssachen habe ich Matthias geschickt, der sie vielleicht in Soergel-Wendt-Virk einarbeitet.) \begin{Bemerkungl}\label{EXR} If we have rings $A,B$ and an $A$-$B$-bimodule $D$, which is finitely generated and projective over $A$, then the $B$-$A$-bimodule $D^\ast\pdef \op{Hom}_A(D,A)$ is a finitely generated projective right $A$-module. Furthermore we get natural isomorphisms $D^\ast\otimes_A M\sira \op{Hom}_A(D,M)$ of $B$-modules for any $A$-module $M$. Thus under our assumptions we get an adjoint pair $$(D\otimes_B,D^\ast\otimes_A)$$ If we use the analogous construction $^\ast E\pdef \op{Hom}_{-A}(E,A)$ to get an $A$-$B$-bimodule from a $B$-$A$-bimodule, then for $E$ a $B$-$A$-bimodule which is projective of finite rank as a right $A$-module the evaluation map will be an isomorphism $E\sira ({}^\ast E)^\ast$, so we get an adjoint pair $$({}^\ast E\otimes_B,E\otimes_A)$$ Similarly if $E$ is a bounded complex of $B$-$A$-bimodules, which are projective of finite rank as a right $A$-modules, then ${}^\ast E\otimes_B^{\op{L}}:\op{Der}(B\op{-Mod})\ra \op{Der}(A\op{-Mod})$ will be a left adjoint to $E\otimes_A^{\op{L}}$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Similar statements hold for graded rings, modules and bimodules. Let us spell them out. Given $\DZ$-graded rings $A,B$ and a $\DZ$-graded $A$-$B$-bimodule $D$, the functor $ D\otimes_B: B\op{-Mod}_\DZ\ra A\op{-Mod}_\DZ$ is left adjoint to the functor $\op{Hom}_A^\circledast(D,\;): A\op{-Mod}_\DZ\ra B\op{-Mod}_\DZ$. Here we use the notation $\op{Hom}^\circledast$ to indicate that we take the direct sum of the spaces of homogeneous homomorphisms of various degrees rather than the full space of all homomorphisms, which need not admit a natural grading in general. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} To get in our case of connected affine algebraic groups a left adjoint $\op{Res}_!$ to $\op{H}^\ast_H(\op{pt})\otimes^{\op{L}}_{\op{H}^\ast_G(\op{pt})}$ when working over a coefficient field $\Lambda$ and under the assumption that $\op{H}^\ast_H(\op{pt})$ is a finitely generated ${\op{H}^\ast_G(\op{pt})}$-module, we could take as $E$ a finite resolution of $\op{H}^\ast_H(\op{pt})$ by graded free finitely generated modules over $\op{H}^\ast_H(\op{pt})\otimes_\Lambda \op{H}^\ast_G(\op{pt})$. In case $\op{H}^\ast_H(\op{pt})$ is free of finite rank over ${\op{H}^\ast_G(\op{pt})}$, for example if $H=P$ is a parabolic, we need even not resolve at all and get ${}^\ast (\op{H}^\ast_H(\op{pt}))\otimes_{\op{H}^\ast_G(\op{pt})}^{\op{L}}$ as our looked-for left adjoint $\op{Res}_!$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} The exterior products correspond under tilting. More precisely, there exists an isotransformation making commute the functorial diagram \begin{displaymath} \xymatrix{ \op{MTDer}_G(\op{pt})\times \op{MTDer}_H(\op{pt})\ar[r]^-{\approx}\ar[d]_-{\boxtimes} &\op{Der}^{\op{b}}(\op{H}^\ast_G(\op{pt})\op{-Modf}_\DZ)\times \op{Der}^{\op{b}}(\op{H}^\ast_H(\op{pt})\op{-Modf}_\DZ) \ar@{=>}_-\sim[dl]\ar[d]^-{\boxtimes}\\ \op{MTDer}_{G\times H}(\op{pt}) \ar[r]^-{\approx}& \op{Der}^{\op{b}}(\op{H}^\ast_{G\times H}(\op{pt})\op{-Modf}_\DZ) } \end{displaymath} using the canonical isomorphism $\op{H}^\ast_{G\times H}(\op{pt})\sira \op{H}^\ast_{G}(\op{pt})\otimes \op{H}^\ast_{ H}(\op{pt})$ to define the right vertical. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Let $G \looparrowright X \looparrowleft R$ be a variety with two commuting actions of affine algebraic groups, one from the left and one from the right. Let furthermore $P, Q \subset G$ be two closed subgroups. Then the effect of convolution on equivariant cohomology with compact support can be seen in the commutative diagram \begin{displaymath} \xymatrix{ \mathbb D _{P \times Q} (G) \times \mathbb D _{Q\times R} (X)\ar[rr]^-{\op{fin}_! \times \op{fin}_!}\ar[d]_-{\boxtimes} && \ar@{=>}[dll]_-{\sim} \mathbb D _{P\times Q} (\op{pt}) \times \mathbb D _{Q \times R} (\op{pt})\ar[d]^-{\boxtimes}\\ \mathbb D _{P\times Q \times Q \times R} (G \times X)\ar[d]_-{\op{Res}} \ar[rr]^-{\op{fin}_!} && \ar@{=>}[dll]_-{\sim}\mathbb D _{P \times Q \times Q \times R} (\op{pt})\ar[d]^-{\op{Res}}\\ \mathbb D _{P\times \Delta Q \times R} (G \times X)\ar[d]^-{\wr\wr}_-{(p,q)_\#} \ar[rr]^-{\op{fin}_!} && \ar@{=>}[dll]_-{\sim}\mathbb D _{P \times \Delta Q \times R} (\op{pt}) \ar[d]^-{(p,\op{id})_\#}\\ \mathbb D _{P\times R} (G \times_{\Delta Q} X)\ar[d]_-{\op{mult}_!} \ar[rr]^-{\op{fin}_!} &&\ar@{=>}[dll]_-{\sim} \mathbb D _{P \times R} (\op{pt})\ar@{=}[d]\\ \mathbb D _{P\times R} ( X) \ar[rr]^-{\op{fin}_!} &&\mathbb D _{P \times R} (\op{pt})\\ } \end{displaymath} Here $\Delta Q\subset Q\times Q$ denotes the diagonal and $p: P \times \Delta Q \times R\ra P \times R$ the projection and $q:G \times X\ra G \times_{\Delta Q} X$ the quotient map. The commutativity of the corresponding square is our compatibility \ref{BLUQ} between the quotient equivalence and cohomology with compact support. % The third vertical functor on the left means the % quotient equivalence and we put $d=\op{dim}Q$. % In addition we should restrict to compact objects everywhere, since we need % biduality. To investigate the effect of tilting on the right vertical, we restrict to the mixed Tate objects and find another commutative diagram \begin{displaymath} \xymatrix{\op{MTDer}_{P\times Q} (\op{pt}) \times \op{MTDer}_{Q \times R} (\op{pt}) \ar[r]%^-{(\op{fin}_! , \op{fin}_!)} \ar[d]_-{\boxtimes} & \op{Der}^{\op{b}}(\op{H}^\ast_{P\times Q}(\op{pt})\op{-Modf}_\DZ)\times \op{Der}^{\op{b}}(\op{H}^\ast_{Q\times R}(\op{pt})\op{-Modf}_\DZ)\ar@{=>}[dl]_-{\sim}\ar[d]^-{\boxtimes}\\ \op{MTDer}_{P\times Q \times Q \times R} (\op{pt})\ar[d]_-{\op{Res}} \ar[r]%^-{\op{fin}_!} & \ar@{=>}[dl]_-{\sim}\op{Der}^{\op{b}}(\op{H}^\ast_{{P \times Q \times Q \times R}}(\op{pt})\op{-Modf}_\DZ)\ar[d]^-{\op{H}^\ast_{\Delta Q }(\op{pt})\otimes_{\op{H}^\ast_{ Q \times Q }(\op{pt})}}\\ \op{MTDer}_{P\times \Delta Q \times R} (\op{pt}) \ar[d]_-{D\circ\op{Ind}_\ast\circ D[2d](d)} \ar[r]%^-{\op{fin}_!} & \ar@{=>}[dl]_-{\sim}\op{Der}^{\op{b}}(\op{H}^\ast_{{P \times \Delta Q \times R}}(\op{pt})\op{-Modf}_\DZ)\ar[d]^-{\op{Res}_!}\\ \op{MTDer}_{P\times R} (\op{pt}) %\ar[d]%^-{\op{mult}_!} \ar[r]%^-{\op{fin}_!} & \op{Der}^{\op{b}}(\op{H}^\ast_{P \times R}(\op{pt})\op{-Modf}_\DZ)%\ar@{=}[d]% \\ % \op{Der}_{P\times R} ( X) \ar[r]^-{\op{fin}_!} &\op{Der}_{P \times R} (\op{pt})\\ } \end{displaymath} Here the functor $\op{Res}_!$ seems to be kind of tricky in general, but in the case we are most interested in of $Q$ solvable with $r$ the rank of a maximal torus by the arguments of \ref{fgat} it should be isomorphic to forgetting the part of the action corresponding to $\Delta Q$ and applying $[r]\langle 2d-2r\rangle$. \end{Bemerkungl} \subsection{Die sechs Funktoren von Grothendieck} \begin{Lemma}[\textbf{Trennr"uckzugstabil weil r"uckzugstabil}] Jedes \hyperref[Rzst]{r\"{u}ckzugstabile} multiplikative System $\mathscr T^!$ in einer Kategorie $\mathscr T$ mit endlichen Produkten ist auch trennr"uckzugstabil.\label{rzST} \nichtfinal{Wohl unn"otig.} \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Das System aller Morphismen einer Kategorie $\mathscr T$ ist genau dann r"uckzugstabil, wenn unsere Kategorie endliche Faserprodukte hat. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Jeder Morphismus der Familienkategorie einer banalen Trennkategorie mit endlichen Produkten entsteht nach \eref{WKBK2}{TS} durch das Vertupeln und Verkn"upfen aus Leertrennungen, Einstrennungen und Projektionszweitrennungen. Es reicht also zu zeigen, da"s der R"uckzug eines Tupels von $\mathscr T^!$-Morphismen mit jedem Morphismus dieser drei Typen wieder ein $\mathscr T^!$-Morphismus ist. Im Fall von Einstrennungen ist das unsere Annahme. Im Fall einer Leertrennung ist es die Aussage, da"s alle Identit"aten $\mathscr T^!$-Morphismen sind, was bei uns Teil der Definition eines \hyperref[RmSM]{multiplikativen Systems} ist. Im Fall einer Projektionszweitrennung $(\op{pr}_X,\op{pr}_Y):X\times Y\ra X\curlywedge Y$ "uberlegt man sich, da"s wir nur zeigen m"ussen, da"s f"ur jeden $\mathscr T^!$-Morphismus $f:X'\ra X$ auch $f\times\op{id}: X'\times Y\ra X\times Y$ ein $\mathscr T^!$-Morphismus ist. Das aber folgt unmittelbar aus unseren Annahmen. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Sei $\mathscr T$ eine Kategorie. Wir nennen ein multiplikatives System $\mathscr T^!$ in $\mathscr T$ {\bf trennr"uckzugstabil}, wenn die Tupel aus $\mathscr T^!$-Morphismen ein r"uckzustabiles multiplikatives System $\mathscr T^{!\shortparallel}$ in der Familienkategorie $\mathscr T^{\curlywedge}$ der banalen Trennkategorie ${\curlywedge}\mathscr T$ von $\mathscr T$ bilden. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine komplexe algebraische Variet"at $X$ und ein K"orper $k$ betrachten wir die Kategorie $k\op{-Mod}_{/X}$ aller Garben von $k$-Vektorr"aumen auf $X (\mathbb C)$ mit seiner metrischen Topologie und die volle triangulierte Unterkategorie aller \defind{konstruktiblen Komplexe} \begin{equation*} \op{Cons}_X \subset \op{Der}^+ (k\op{-Mod}_{/X}) \end{equation*} die erzeugt wird von lokal konstanten Systemen von endlichem Rang auf lokal abgeschlossenen Teilmengen von $X (\mathbb C)$, ausgedehnt durch Null zu Garben auf ganz $X(\mathbb C)$. Man kann zeigen, da"s $\op{Cons}$ stabil ist unter $\otimes$ und $\op{Hom}$. (Gehorchen wir dem "ublichen Tensor Formalismus?) \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Weiter induziert jeder Morphismus von Variet"aten $f : X \rightarrow Y$ adjungierte Paare von triangulierten Funktoren $(f^\ast, f_\ast)$ und $(f_{!}, f^!)$ in der Form \begin{displaymath} \xymatrix{ \op{Cons}_X \ar @{<-}^{f_{\ast},f_{!}} @< 2pt> [r] \ar @{->}_{f^{\ast},f^{!}} @<-2pt> [r]& \op{Cons}_Y\\ } \end{displaymath} mitsamt nat"urlichen Transformationen $f_! \rightarrow f_\ast$ und $f^! \rightarrow f^\ast$ und $(f\circ g)^\ast = f^\ast \circ g^\ast, (f\circ g)_\ast = g_\ast \circ f_\ast$ etc. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Das Bilden der nullten Homologiegarbe ist ein Funktor \begin{equation*} \mathcal H^0 : \op{Cons}_X \rightarrow \op{Cons}^0_X \end{equation*} mit Werten in den algebraisch konstruktiblen Garben von $k$-Vektorr"aumen auf $X(\mathbb C)$, und $\op{Cons}^0_{\op{pt}}$ ist kanonisch isomorph zur Kategorie der endlichdimensionalen $k$-Vektorr"aume. Bezeichnet $\underline{\op{pt}} \in \op{Cons}^0_{\op{pt}}$ die konstante Garbe $k$ und $c : X \rightarrow \op{pt}$ die konstante Abbildung, so ist $c^\ast \underline{\op{pt}} = \underline{X}$ die konstante Garbe $k$ auf $X (\mathbb C)$. Wir haben nun die Identit"aten \begin{eqnarray*} {\op{H}}^i X (\mathbb C) &= & \mathcal {H}^i c_\ast c^\ast \underline{\op{pt}}\\ {\op{H}}^i_! X (\mathbb C) &= & \mathcal {H}^i c_! c^\ast \underline{\op{pt}}\\ {\op{H}}_i X (\mathbb C) &= & \mathcal {H}^{-i} c_!c^! \underline{\op{pt}}\\ {\op{H}}^! _i X(\mathbb C)&= & \mathcal {H}^{-i}c_\ast c^! \underline{\op{pt}} \end{eqnarray*} die unsere "ubliche Kohomologie, Kohomologie mit kompaktem Tr"ager, Homologie und Borel-Moore-Homologie in der Sprache der sechs Funktoren ausdr"ucken. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ist $f : X \rightarrow Y$ ein Morphismus, so f"uhren die Adjunktionen $\op{id}\rightarrow f_\ast f^\ast$ und $f_!f^! \rightarrow \op{id}$ zu den "ublichen Abbildungen ${\op{H}}^i (Y) \rightarrow {\op{H}}^i X$ beziehungsweise ${\op{H}}_i X \rightarrow {\op{H}}_i Y$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Der Komplex $c^!\underline{\op{pt}} $ hei"st die \defind{dualisierende Garbe} auf $X$. Setzen wir $\mathbb D \mathcal F = \op{Hom} (\mathcal F, c^! \underline{\op{pt}})$, so gilt $\mathbb D \mathbb D \mathcal F = \mathcal F$ und $\mathbb D f_! = f_\ast \mathbb D$ sowie $\mathbb D f^! = f^\ast \mathbb D$. Speziell sind auch Borel-Moore-Homologie und Kohomologie mit kompaktem Tr"ager zueinander dual. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ist $f$ eigentlich, so gilt $f_! = f_\ast$ und die nat"urlichen Transformationen $\op{id} \rightarrow f_\ast f^\ast = f_!f^\ast$ sowie $f_\ast f^! = f_!f^! \rightarrow \op{id}$ liefern ein Zur"uckholen auf der Kohomologie mit kompaktem Tr"ager beziehungsweise ein direktes Bild f"ur die Borel-Moore-Homologie. \end{Bemerkungl} \subsection{Danksagung} Eine wesentliche Quelle und Motivation waren f"ur mich die Lecture Notes von Bernstein und Lunts \cite{BeLu}. %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXTSF" %%% End: