\section{Unfertiges zur Analysis 2} \subsection{Pr"aschrott zu Euler-Lagrange} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Bewegungsgleichungen in Koordinaten}] Gegeben ein mechanisches System mit Potential $(m_1, \ldots,m_\Lambda, M,V)$ ist die Lagrangefunktion eine energiewertige Funktion aus dem Phasenraum und die einer Bewegung $\gamma:\mathbb T\supset [a,b]\ra M$ zugeordnete Wirkung kann in unseren neuen Notationen geschrieben werden das Integral $$S(\gamma)= \int_a^b L(\tilde\gamma(t))\diff t=\int_a^b L\circ \tilde\gamma$$ der Verkn"upfung des Phasenwegs $\tilde\gamma:[a,b]\ra \tT M$ von $\gamma$ mit der Lagrangefunktion $L:\tT M \ra \langle {\ph{g}}{\ph{m}}^2/{\ph{s}}^2\rangle$. Ist $\varphi : \mathbb{R}^n\lco W \hookrightarrow M$ eine Karte des Konfigurationsraums, die wir der Einfachheit der Notation halber bijektiv als $\varphi : W\sira M$ annehmen, und ist $\kappa:[a,b]\ra W$ ein Koordinatenweg mit $\gamma=\varphi\circ\kappa$, so finden wir wegen $\tilde\gamma =\td \varphi\circ \tilde\kappa$ unmittelbar $$S(\varphi\circ \kappa)= \int_a^b L\circ \td \varphi \circ\tilde\kappa$$ Nennen wir also $\hat L\pdef L\circ \td \varphi$ die {\bf Lagrangefunktion in Koordinaten}, so ist f"ur einen zweimal stetig differenzierbaren Koordinatenweg $\kappa:[a,b]\ra W$ die Verkn"upfung $\gamma=\varphi\circ \kappa$ eine L"osung der Bewegungsgleichungen genau dann, wenn \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Seien $(m_1, \ldots, m_\Lambda, M,V)$ ein mechanisches System mit Potential und $\varphi : \mathbb{R}^n\lco W \hookrightarrow M$ eine Karte seines Konfigurationsraums, die wir der Einfachheit der Notation halber bijektiv annehmen, also $\varphi : W\sira M$. Wir erweitern das zugeh"orige Koordinatensystem $(x_1, \ldots, x_n)$ von $M$ wie im einheitenfreien Fall durch die Abbildungen $$y_i\pdef y_i\otimes\op{id}: \tT M \ra \langle 1/{\ph{s}}\rangle$$ zum {\bf nat"urlichen Koordinatensystem} $(x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_n)$ des Phasenraums mit der Besonderheit, da"s die Koordinaten $y_i$ als Werte statt reelle Zahlen vielmehr duale Zeitspannen alias Frequenzen annehmen. In der physikalischen Literatur schreibt man statt $y_i$ meist $\dot x_i$. Die zu diesem nat"urlichen Koordinatensystem geh"orige Karte $$\psi:W\times \DR^n\langle 1/{\ph{s}}\rangle \ra \tT M$$ bildet $(x,y)$ ab auf das Tupel der Orte $\mathbf r_\nu(x,y)=\mathbf r_\nu(x)$ und Geschwindigkeiten $$\vec{ \mathbf{v}}_\nu(x,y)=\sum^n_{j=1} \frac{\partial \mathbf{ r}_\nu }{\partial x_j}(x)\; y_j$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Die {\bf kinetische Energie} unseres mechanischen Systems $(m_1, \ldots, m_\Lambda, M)$ sei die Abbildung $K:\mathbb{E}^\Lambda \times \vec{\mathbb{E}}^\Lambda \langle 1/{\ph{s}}\rangle \ra\langle {\ph{g}}{\ph{m}}^2/{\ph{s}}^2\rangle$ gegeben durch $$({\mathbf{r}}_\nu , \vec{\mathbf v}_\nu )_{\nu=1}^\Lambda \mapsto \sum^\Lambda_{\nu=1} m_\nu {\langle \vec {\mathbf v}_\nu , \vec{\mathbf v}_\nu \rangle}/{2}$$ F"ur $\vec{\mathbf F}_\nu:\mathbb E\ra \vec{\mathbb E}\langle {\ph{g}}/{\ph{s}}^2\rangle$ zus"atzlich gegebene am jeweiligen Ort auf den jeweiligen Massepunkt wirkende {\bf externe Kr"afte} erkl"aren wir nun die $i$-te {\bf generalisierte Kraft}\index{generalisierte Kraft} in Bezug auf unser Koordinatensystem von $M$ durch $$Q_i\pdef\sum_{\nu=1}^\Lambda \left\langle \vec{\mathbf{F}}_\nu \circ {\mathbf{r}}_\nu , \frac{\partial {\mathbf{r}}_\nu }{\partial x_i} \right\rangle$$ Unsere generalisierten Kr"afte sind also Funktionen $Q_i:M\ra \langle {\ph{g}}{\ph{m}}^2/{\ph{s}}^2\rangle$. Durch Vorschalten der B"undelprojektion k"onnen und werden wir sie als Funktionen auf dem Phasenraum auffassen. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Euler-Gleichungen}] Seien $(x_1,\ldots, x_n)$ Koordinaten auf dem Konfigurationsraum $M$ eines \hyperref[neS]{mechanischen Systems} und $(x_1,\ldots, x_n, y_1,\ldots,y_n)$ die zugeh"origen nat"urlichen Koordinaten auf dem Phasenraum $\tT M$.\label{EuGlA} Genau dann erf"ullt ein glatter Weg $\gamma:\mathbb T\supset I\ra M$ die Orthogonalit"atsbedingung \ref{DESa}, wenn f"ur die zugeh"orige Abbildung $(\gamma,\dot\gamma):\mathbb T\supset I\ra \tT M$ in den Geschwindigkeitsphasenraum gilt $$ \frac{\diff}{\diff t} \left( \frac{\partial K}{\partial y_i} \circ (\gamma,\dot{\gamma}) \right) - \frac{\partial K}{\partial x_i} \circ (\gamma,\dot{\gamma}) - Q_i \circ \gamma =0\quad \text{f"ur }1\leq i\leq n $$ mit $K$ der kinetischen Energie und $Q_i$ den generalisierten Kr"aften. \end{Satz} \newpage \begin{Bemerkungl}[\textbf{Bewegung in krummlinigen Koordinaten}] Sei $\varphi:\DR^n\lco W\ra \mathbb E^\Lambda$ ein glatte Karte, also $n=3\Lambda$. Die Koordinatenfunktionen auf $W$ notieren wir $x_1,\ldots,x_n$. Unsere Karte induziert eine Karte mit Einheiten des Phasenraums $$\psi:W\times \DR^n\langle 1/{\ph{s}}\rangle\ra \mathbb E^\Lambda\times \mathbb E^\Lambda \langle 1/{\ph{s}}\rangle$$ durch die Vorschrift $\psi (x, y)= (\varphi(x),(\diff _{x} \varphi)(y))$. Per definitionem bildet $\psi$ ein Tupel $(x,y)$ ab auf das Tupel der Orte $\mathbf r_\nu(x,y)=\mathbf r_\nu(x)$ und Geschwindigkeiten $$\vec{ \mathbf{v}}_\nu(x,y)=\sum^n_{j=1} \frac{\partial \mathbf{ r}_\nu }{\partial x_j}(x)\; y_j$$ In physikalischen Rechnungen schreibt man gerne $\dot x_i$ statt $y_i$, aber ich finde das bei der Diskussion der allgemeinen Theorie verwirrend. Geben wir unseren Punkten die Massen $m_1,\ldots,m_\Lambda$ und geben eine Potentialfunktion $V$ vor, so k"onnen wir die energiewertige Lagrangefunktion $L$ auf dem Phasenraum bilden. Die Funktion $$L\circ \psi: W\times \DR^n\langle 1/{\ph{s}}\rangle\ra\langle {\ph{g}}{\ph{m}}/{\ph{s}}^2\rangle$$ notieren wir kurzerhand auch $L$. Aus der Bezeichnung der Argumente wir klar werden, wann wir mit $L$ eigentlich $L\circ \psi$ meinen. Schlie"slich verstehen wir unter einer {\bf Koordinatenbewegung} eine Abbildung $\kappa:\mathbb T\supset I\ra W$ derart, da"s die zugeh"orige Bewegung im Raum $\gamma\pdef \varphi\circ \kappa$ die Bewegungsgleichungen l"ost. \nichtfinal{Gleich mit Zwangsbedingungen!} \end{Bemerkungl} \newpage \begin{Proposition}[\textbf{Prinzip der extremalen Wirkung, Variante}] Gegeben $\varphi:\DR^n\lco W\ra \mathbb E^\Lambda$ ein glatte Karte und $L:W\times \DR^n\langle 1/{\ph{s}}\rangle\ra \langle {\ph{g}}{\ph{m}}/{\ph{s}}^2\rangle$ die Lagrangefunktion unseres mechanischen Systems in Koordinaten ist $\kappa:[a,b]\ra W$ eine Koordinatenbewegung genau dann, wenn f"ur alle zweimal stetig differenzierbaren Abbildungen $\rho:[a,b]\times (-\eta, \eta)\ra W$ mit $\rho(t,0)=\kappa(t)\;\forall t$ und $\rho(a,s),\rho(b,s)$ unabh"angig von $s\in (-\eta,\eta)$ gilt\label{pewK} $$0=\left.\frac{\diff}{\diff s}\right|_{s=0}\int_a^b L(\rho(t,s), \dot\rho(t,s)) \diff t $$ \end{Proposition} \begin{proof} Die Bedingung ist dieselbe wie \ref{HaFop3}, nur eben umgeschrieben auf den Koordinatenweg. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Um die Bedingung in der Proposition in Differentialgleichungen zu "ubersetzen, betrachten wir eine beliebige glatte Funktion $\varepsilon:[a,b]\ra\DR$ mit $\varepsilon(a)=\varepsilon(b)=0$ und w"ahlen einen Index $i$ und spezialisieren zu $\rho(t,s)\pdef \kappa(t)+s\varepsilon(t){\op{e}}_i$. Durch Vertauschen von Ableitung und Integral ergibt sich $$0=\int_a^b \left(\frac{\partial L}{\partial x_i}(\kappa(t), \dot \kappa(t))\right)\varepsilon(t) + \left(\frac{\partial L}{\partial y_i}(\kappa(t),\dot \kappa(t))\right) \dot\varepsilon(t) \diff t $$ Wir machen denselben Trick wie zuvor und bemerken $$\begin{array}{lll}0&=&\int_a^b \frac{\diff}{\diff t} \left(\frac{\partial L}{\partial y_i} (\kappa(t),\dot \kappa(t))\cdot \varepsilon(t)\right) \diff t \\ &=&\int_a^b \frac{\diff}{\diff t}\!\left( \frac{\partial L}{\partial y_i} (\kappa(t),\dot \kappa(t))\right) \varepsilon(t) + \left(\frac{\partial L}{\partial y_i} (\kappa(t),\dot \kappa(t))\right) \dot\varepsilon(t) \diff t \\ \end{array} $$ nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung und der Produktregel. Indem wir diese Identit"at oben verwenden, um den Term mit $\dor\varepsilon$ loszuwerden, erhalten wir $$0=\int_a^b \left(\frac{\partial L}{\partial x_i}(\kappa(t), \dot \kappa(t)) - \frac{\diff}{\diff t}\!\left(\frac{\partial L}{\partial y_i}(\kappa(t),\dot \kappa(t))\right)\right) \cdot\varepsilon(t) \diff t $$ f"ur alle erlaubten Funktionen $\varepsilon$ wie zuvor. F"ur unseren Koordinatenweg folgt unschwer die sogenannte {\bf Euler-Lagrange-Gleichung} $$\frac{\diff}{\diff t}\!\left(\frac{\partial L}{\partial y_i}(\kappa(t),\dot \kappa(t))\right)= \frac{\partial L}{\partial x_i}(\kappa(t), \dot \kappa(t)) $$ Man sieht auch leicht, da"s die Gesamtheit dieser Gleichungen f"ur $1\leq i\leq n$ "aquivalent ist zum Prinzip der extremalen Wirkung in Koordinaten \ref{pewK}. Die rechte Seite hei"st die {\bf $i$-te verallgemeinerte Kraft}, die linke Seite verallgemeinert das Produkt von Masse und Beschleunigung. \end{Bemerkungl} \subsection{H"ohere Ableitungen ohne Koordinaten}\label{Habl} \begin{Beispiel}[\textbf{Multilinare Abbildungen in Koordinaten}] Eine multilineare Abbildung ist festgelegt und festlegbar durch ihre Werte auf Tupeln aus Basisvektoren. Eine multilineare Abbildung $L:(\DR^m)^k\ra \DR^n$ etwa ist festgelegt und festlegbar durch die reellen Zahlen $a^i_{j_1,\ldots, j_k}$ mit $$L({\op{e}}_{j_1},\ldots, {\op{e}}_{j_k})=\sum_i a^i_{j_1,\ldots, j_k} {\op{e}}_{i}$$ "ahnlich wie wir das f"ur lineare Abbildungen aus der Linearen Algebra wissen. Das Tupel der $a^i_{j_1,\ldots, j_k}$ l"a"st sich zwar nicht mehr so sch"on "ubersichtlich als Matrix hinschreiben wie im Fall $k=1$ linearer Abbildungen oder im Fall $k=2, n=1$ von Bilinearformen, aber ansonsten ist daran nichts komplizierter. Wir notieren unser Tupel $[L]$ und nennen es wie in \eref{MuMatt}{LA2} die {\bf Multimatrix} unserer multilinearen Abbildung in Bezug auf die Standardbasen. Im Fall einer $k$-mal differenzierbaren Abbildung $f= (f^1, \ldots,f^n):\DR^m\ra \DR^n$ "uberzeugt man sich induktiv, da"s die Multimatrix von $\diff^{(k)}_p\!f$ als Eintr"age die h"oheren gemischten partiellen Ableitungen der Komponenten von $f$ an der Stelle $p$ hat, in Formeln $$ \frac{\partial^k f^i}{\partial x_{j_1}\ldots\partial x_{j_k}}(p)$$ \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Koordinatenfreie Taylorformel}] Man pr"uft unschwer, da"s sich die h"oheren Terme der Taylorentwicklung \ref{TaEn} von $f(p+h)$ koordinatenfrei\label{koft} als $(k!)^{-1} (\diff^{(k)}_pf)(h,\ldots,h)$ schreiben lassen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Eine multilineare Abbildung $L\in \op{Mult}^k(V,W)$ hei"st {\bf symmetrisch}, wenn f"ur jede Permutation $\sigma\in\mathcal S_k$ und beliebige Vektoren $v_1,\ldots, v_k\in V$ gilt $$L(v_1,\ldots, v_k)=L(v_{\sigma(1)},\ldots, v_{\sigma(k)})$$ \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Symmetrie der h"oheren Ableitungen}] Gegeben endlichdimensionale R"aume $X,Y$ und $A\subset X$ halboffen und eine $\mathcal C^k$-Abbildung $f:X\supset A\ra Y$ ist $\diff^{(k)}_p\!f$ f"ur alle $p\in A$ eine symmetrische multilineare Abbildung. \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Gegeben $A\subset \DR^m$ halboffen und $f:\DR^m\supset A\ra \DR$ eine $\mathcal C^2$-Abbildung kommutieren insbesondere auch in den Randpunkten die virtuellen partiellen Ableitungen \ref{PaLN}. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Ist $f:\DR^m\supset Q\ra\DR^n$ eine $\mathcal C^k$-Abbildung auf einem kompakten Quader $Q\subset \DR^m$ mit nichtleerem Inneren $Q^\circ \neq \emptyset$, so ist $\diff^{(k)}_pf$ nach der Vertauschbarkeit der partiellen Ableitungen \ref{VPAb} und der Beschreibung in Koordinaten eine symmetrische multilineare Abbildung. Im allgemeinen d"urfen wir sicher $Y=\DR^n$ annehmen und k"onnen einen Isomorphismus von affinen R"aumen $\phi:\DR^m\sira X$ finden und einen Quader $Q$ wie zuvor mit $p\in \phi(Q)\subset A$. Das Lemma folgt. \end{proof} \nichtfinal{Nicht hier!} \begin{Bemerkungl}[\textbf{R"aume stetiger multilinearer Abbildungen}] Gegeben normierte\label{uhj} reelle Vektorr"aume $V,W$ und $k\geq 0$ bilden wir "ahnlich den normierten Vektorraum $\cal{B}^k(V,W)$ aller stetigen multilinearen Abbildungen des Produkts von $k$ Kopien von $V$ nach $W$, versehen mit der Norm $$\|F\|\pdef \op{sup}\{\|F(v_1,\ldots,v_k)\|\mid \|v_i\|\leq 1\}$$ Da"s dieses Supremum endlich ist, zeigt "Ubung \ref{SML}. Im Fall $k=0$ verstehen wir $\cal{B}^0(V,W)=W$. Man bemerke die Isomorphismen von normierten Vektorr"aumen $\op{mult}:\cal{B}(V, \cal{B}^k(V,W))\sira \cal{B}^{k+1}(V,W)$. \end{Bemerkungl} %\begin{Bemerkungl} %Sind $X,Y$ normierte reelle R"aume %und $A\subset X$ eine halboffene Teilmenge und %$g:A\ra \cal{B}^k(\vec{X},\vec{Y})$ %eine differenzierbare Abbildung, so fassen wir %$\diff g$ mit der Identifikation %aus \ref{uhj} auf als diejenige Abbildung %$\diff g:A\ra \cal{B}^{k+1}(\vec{X},\vec{Y}),$ die gegeben wird durch %$x\mapsto \op{mult}(\diff_x g)$. %\end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{H"ohere Ableitungen ohne Koordinaten}] Gegeben $X,Y$ normierte reelle R"aume\label{stddn} und $A\subset X$ eine halboffene Teilmenge und $f:A\ra Y$ eine Abbildung setzen wir $\diff^{(0)} f\pdef f$ und\label{stdd} $\diff^{(1)} f\pdef\diff f: x\mapsto \diff_x f$ und erkl"aren induktiv f"ur $k\geq 2$ die {\bf $k$-te Ableitung}\index{Ableitung!h"ohere, koordinatenfrei} $$\diff^{(k)} f:A\ra \cal{B}^k(\vec{X},\vec{Y})$$ durch $x\mapsto \diff^{(k)}_x f\pdef \op{mult}(\op{d}_x(\diff^{(k-1)} f))$, falls die $(k-1)$-te Ableitung existiert und differenzierbar ist auf $A$. Existieren alle Ableitungen von $f$ bis zur Ordnung $k$ und sind stetig, so nennen wir $f$ \defnoind{von der Klasse ${\cal{C}}^k$} oder auch eine\index{C@$\cal{C}^k$-Abbildung!zwischen affinen R"aumen} {\bf ${\cal{C}}^k$-Abbil\-dung}. Zum Beispiel bedeutet ${\cal{C}}^1$ stetig differenzierbar und ${\cal{C}}^0$ stetig. Ist $f$ von der Klasse ${\cal{C}}^k$ f"ur alle $k,$ so hei"st die Abbildung $f$ {\bf glatt}\index{glatt!Abbildung!koordinatenfrei} oder {\bf beliebig differenzierbar} oder \defnoind{von der Klasse ${\cal{C}}^\infty$} oder eine\index{C@$\cal{C}^\infty$-Abbildung!zwischen affinen R"aumen} {\bf ${\cal{C}}^\infty$-Abbildung}. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Seien $X,Y$ normierte reelle R"aume und $A\subset X,$ $B\subset Y$ halboffene Teilmengen. Eine Abbildung $f:A\ra B$ hei"se ein {\bf ${\cal{C}}^k$-Diffeo\-morphismus},\index{C@$\cal{C}^k$-Diffeomorphismus} wenn $f$ bijektiv ist und sowohl $f$ als auch seine Umkehrung $f^{-1}:B\ra A$ beide ${\cal{C}}^k$-Abbildungen sind. Sprechen wir von einem {\bf Diffeomorphismus} ohne n"ahere Spezifizierung,\index{Diffeomorphismus!${\cal{C}}^k$-Diffeomorphismus} so meinen wir einen ${\cal{C}}^\infty$-Diffeomorphismus. \end{Definition} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{ExpDi} Die Exponentialabbildung $\exp: \op{Mat}(n;\DC)\ra \op{Mat}(n;\DC)$ ist glatt. Hinweis: Glattheit von Potenzreihen in mehreren Variablen \ref{glPR}. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{InGl} Gegeben ein Banachraum $V$ ist das Invertieren eine glatte Abbildung auf der Menge der invertierbaren Elemente von $\cal{B}(V).$ Hinweis: \ref{DInvN}. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{ckp} Seien $X,Y$ normierte R"aume und $A\subset X$ halboffen. Eine differenzierbare Abbildung $f:A\ra Y$ ist von der Klasse $\cal{C}^k$ genau dann, wenn die Abbildung $A\times \vec{X}\ra Y\times \vec{Y},$ $(x,v)\mapsto (f(x), (\diff_xf)(v))$ von der Klasse $\cal{C}^{k-1}$ ist. \end{Ubung} \begin{Ubung} Jede Verkn"upfung von $\cal{C}^k$-Abbildungen ist von der Klasse $\cal{C}^k.$ Jede Verkn"upfung von glatten Abbildungen ist glatt. Hinweis: \ref{PTDn} und \ref{ckp}. \end{Ubung} \begin{Ubung} Eine Abbildung in ein Produkt von endlich vielen normierten reellen Vektorr"aumen ist $\cal{C}^k$ genau dann, wenn ihre Komponenten $\cal{C}^k$ sind. \end{Ubung} \begin{Bemerkungl}\label{UKgl} Seien $X$ und $Y$ vollst"andige normierte reelle R"aume. Ist $U \co X$ offen und $f: U \ra Y$ eine ${\cal{C}}^k$-Abbildung f"ur $1\leq k\leq \infty$ und ist an einer Stelle $p \in U$ das Differential ein Isomorphismus mit stetigem Inversen, so induziert $f$ einen ${\cal{C}}^k$-Diffeomorphismus von einer offenen Umgebung von $p$ mit einer offenen Umgebung von $f(p).$ Das folgt sofort aus \ref{UKAa} mit den vorhergehenden "Ubungen, insbesondere \ref{InGl}. \end{Bemerkungl} \subsection{Biegen und Beugen} \begin{Bemerkunge} Sei $U\subset \mathbb R^3$ eine halboffene Teilmenge, die wir uns als den von einem Metall, Schaumstoff oder was auch immer ausgef"ullten Teil des Anschauungsraums denken, und $$\varphi:U\times(-\varepsilon,\varepsilon) \ra \mathbb R^3$$ eine differenzierbare Abbildung mit $\varphi(p,0)=p$ f"ur alle $p\in U$. Wir denken sie uns als eine einparametrige Deformation unseres Gebildes. Bezeichne $s_t$ die Riemann'sche Metrik auf $U$ mit $$\varphi(\;,t):s_t\leadsto s_0$$ f"ur $s_0$ das kanonische Skalarprodukt auf $\mathbb R^3$. Wir entwickeln $s_{(p,t)}$ nach $t$ und erhalten $$s_{(p,t)}({\op{e}}_i, {\op{e}}_j) =s_0((\diff_{(p,t)}\varphi)({\op{e}}_i), (\diff_{(p,t)}\varphi)({\op{e}}_j)) $$ Bilden wir das Vektorfeld $\psi(q)\pdef\dot\varphi(q,0)$, so ergibt sich wegen der Vertauschbarkeit der partiellen Ableitungen die Entwicklung $\diff_{(p,t)}\varphi=\op{id} + t\diff_p\psi +\ldots$ So erhalten wir schlie"slich $$s_{(p,t)}({\op{e}}_i, {\op{e}}_j) =s_0 + t\;( s_0((\diff_p\psi)({\op{e}}_i),{\op{e}}_j) + s_0({\op{e}}_i,(\diff_p\psi)({\op{e}}_j)))+\ldots $$ Die Abweichung von der Standardmetrik ist also in erster N"aherung gegeben durch das Feld von symmetrischen Bilinearformen $$(\vec v,\vec w)\mapsto s_0((\diff_p\psi)(\vec v),\vec w) + s_0(\vec v,(\diff_p\psi)(\vec w))$$ Will man lieber in linearen Abbildungen denken, so folgert man leicht, da"s der sogenannte {\bf Deformationstensor}\index{Deformationstensor} $D_p\pdef (\diff_p\psi+ (\diff_p\psi)^\top)/2$ die eindeutig bestimmte selbstadjungierte Abbildung ist mit $$s_{(p,t)}(\vec v,\vec w) \sim^1_{t=0} s_0(\vec v + tD_p\vec v,\vec w + tD_p\vec w) $$ \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkunge} Der {\bf Stre"stensor}\index{Stre"stensor} ist eine vektorwertige Zweiform $F: U\ra \op{Alt}^2(\vec{\mathbb E},\vec{\mathbb E})$, und wahrscheinlich m"ussen noch mehr Einheiten dazu. Er kodiert, welche Kr"afte auf ein kleines Fl"achenelement innerhalb unseres K"orpers wirken. Wir arbeiten im $\DR^3$ und setzen ihn an als $$a dy\wedge dz +b dz\wedge dx+c dx\wedge dy$$ mit vektorwertigen Funktionen $a,b,c$. Die Gesamtkraft auf einen achsenparallelen W"urfel der Kantenl"ange $2t$ mit Zentrum in $p$ ergibt sich zu $$\begin{array}{l} \int_{-t}^t\int_{-t}^ta(t,y,z)-a(-t,y,z) \diff y \diff z \\[2mm] \hspace{1cm}+\int_{-t}^t\int_{-t}^tb(x,t,z)-b(x,-t,z) \diff x \diff z \\[2mm] \hspace{2cm}+\int_{-t}^t\int_{-t}^tc(x,y,t)-c(x,y,-t) \diff x \diff y \end{array} $$ Sie sollte ja wohl Null sein. Teilen wir durch $t^3$, so folgt ja wohl $a_x+ b_y+ c_z=0$. Das gesamte Drehmoment auf unseren W"urfel ergibt sich zu $$\begin{array}{l} \int_{-t}^t\int_{-t}^t t{\op{e}}_1\times (a(t,y,z) +a(-t,y,z)) \diff y \diff z \\[2mm] \hspace{1cm}+\int_{-t}^t\int_{-t}^tt{\op{e}}_2\times (b(x,t,z)+b(x,-t,z)) \diff x \diff z \\[2mm] \hspace{2cm}+\int_{-t}^t\int_{-t}^tt{\op{e}}_3\times (c(x,y,t)+c(x,y,-t)) \diff x \diff y \end{array} $$ Es sollte ja wohl Null sein. Teilen wir durch $t^3$, so folgt ja wohl ${\op{e}}_1\times a + {\op{e}}_2\times b+ {\op{e}}_3\times c=0$ an jeder Stelle. \end{Bemerkunge} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXAN2" %%% End: