\section{Unfertiges zur linearen Algebra}

\subsection{Jordan-Algebren}
\begin{Definition}
 Eine \defind{Jordan-Algebra} ist eine kommutative Algebra $ J$ mit der Eigenschaft
$x^2 \cdot (x\cdot y) = x \cdot (x^2 \cdot y)$ f"ur alle $x,y \in  J$.
\end{Definition}
\begin{Beispiel}
 $ J =  \op{Sym}_n K\pdef\{ A \in \op{Mat} (n; K) \mid A^\top = A\} $
mit $A \cdot  B = \frac{1}{2} ( AB + BA)$.
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}
 Gegeben eine assoziative Algebra $A$ erhalten wir eine Jordan-Algebra $A_{ J}$ mit Produkt
$a \cdot b = \frac{1}{2} (ab + ba)$.
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}
Gegeben $\beta : V \times V \rightarrow K$  symmetrisch bilinear ist $ J_\beta \pdef K \times V$ mit
$(\lambda , v) \cdot (\mu , w) = (\lambda \mu + \beta (v, w), \lambda w + \mu v)$ eine Jordan-Algebra.
\end{Beispiel}
\begin{Ubung}
F"ur die Automorphismengruppen obiger Jordanalgebren findet man
$\op{Aut} (\op{Sym}_n K) =\mathrm O (n;K)$ und 
$\op{Aut} ( J_\beta) = \mathrm O (V, \beta)$.
\end{Ubung}



\subsection{Vertwisten: Pr"aschrott, in B"undel "ubernommen}

\begin{Ubung}\label{UTO}
  Seien $n\in \DN$ eine nat"urliche Zahl, $K$ ein K"orper und $G$ eine Gruppe.
Seien weiter  
$\rho: G \rightarrow \op{GL} (n;K)$ ein Gruppenhomomorphismus und $Y$ ein
  $G$-Torsor. So gibt es  auf dem balancierten Produkt\label{UTOb} 
$$ Y
  \times^\rho_G K^n $$ genau eine Struktur als $K$-Vektorraum derart, da"s f"ur
  alle $y \in Y$ die Abbildung $b \mapsto [y,b]$ einen Vektorraumisomorphismus
  $K^n \overset{\sim}{\rightarrow} Y\times^\rho_G K^n$ liefert.
    \end{Ubung}

  \begin{Definition}\label{Twist}
    Gegeben K"orper $k$ und $K$ und nat"urliche Zahlen $d$ und $n$ und ein
    Gruppenhomomorphismus $\varphi:\op{GL} (d;k)\ra \op{GL} (n;K)$ k"onnen wir
    jedem $d$-dimensionalen $k$-Vektorraum $V$ einen $n$-dimensionalen
    $K$-Vektorraum $\varphi(V)$ zuordnen vermittels der Vorschrift
    $$\varphi(V)\pdef \op{Hom}^\times (k^d,V) \times^\varphi_{\op{GL} (d;k)}
    K^n$$
Wir nennen $\varphi(V)$ den 
{\bf mit $\varphi$ vertwisteten Vektorraum}.\index{Vertwisten!von Vektorr"aumen}
Hierbei meint $\op{Hom}^\times
    (k^d,V)$ den $\op{GL} (d;k)$-Torsor aller Isomorphismen $k^d
    \overset{\sim}{\rightarrow} V$, und die Vektorraumstruktur auf unserem
    balancierten Produkt ist  wie in \ref{UTOb} 
alias \eref{UTO}{LA2} zu verstehen.  Weiter  
k"onnen wir zu jedem Vektorraumisomorphismus $f:V\sira W$ einen
    Vektor\-raum\-isomorphismus 
$\varphi(f):\varphi(V)\sira \varphi(W)$ erkl"aren durch die
    Vorschrift $[y,b]\mapsto [f\circ y ,b]$. Schlie"slich   k"onnen wir
einen ausgezeichneten Isomorphismus $\op{can}:K^n\sira \varphi(k^d)$ erkl"aren
durch die
Vorschrift $b\mapsto [\op{id}_{k^d},b]$.  
\end{Definition}



\begin{Bemerkungl}
  Wir haben 
$\varphi(\op{id}_V)=\op{id}_{\varphi(V)}$ und $\varphi(f\circ g)=
\varphi(f)\circ\varphi(g)$. 
Des weiteren kommutiert f"ur jeden Isomorphismus $f:k^d\sira k^d$ das Diagramm
$$
  \begin{array}{ccccc}
&K^n
& \stackrel{\op{can}}{\rightarrow} 
& \varphi(k^d)&\\
\varphi(f)&\da & & \da&\varphi(f)\\
&K^n
& \stackrel{\op{can}}{\rightarrow} 
& \varphi(k^d)&
\end{array}
$$
mit der hoffentlich jeweils offensichtlichen Bedeutung von 
$\varphi(f)$.
Ist zus"atzlich $\psi: \op{GL} (n;K)\ra\op{GL} (m;L)$
ein weiterer Gruppenhomomorphismus, so k"onnen wir Isomorphismen
$i_V:(\psi\circ \varphi)(V)\sira \psi( \varphi(V))$ erkl"aren durch
die Vorschrift $[y,c]\mapsto [\varphi(y)\circ\op{can},c]$. F"ur jeden 
Isomorphismus
$f:V\sira W$ von $d$-dimensionalen $k$-Vektorr"aumen kommutiert dann
das Diagramm
$$\begin{array}{ccccc}
&(\psi\circ \varphi)(V)&\stackrel{i_V}{\ra}& \psi( \varphi(V))&\\
(\psi\circ \varphi)(f)&\da&&\da&\psi( \varphi(f))\\
&(\psi\circ \varphi)(W)&\stackrel{i_W}{\ra}& \psi( \varphi(W))&
\end{array}$$
\end{Bemerkungl}


\begin{Beispiel}
Wenden wir unsere Definition \ref{Twist} auf den Gruppenhomomorphismus 
$\op{det}:\op{GL} (d;k) \rightarrow k^\times$ an, 
so erhalten wir zu jedem $d$-dimensionalen $k$-Vektorraum 
$V$ einen eindimensionalen $k$-Vektorraum $$\op{det}(V)$$ 
Diese Konstruktion kennen wir  bereits unter anderem Namen:
Wir erhalten genauer 
Isomorphismen\index{det@$\op{det}$!f"ur Vektorraum}
$$
  \begin{array}{cccl}
\op{can}_V:&\op{det}(V)
& \overset{\sim}{\rightarrow} 
& \bigwedge^{\op{max}} V\\
&\left[y,\lambda\right] &\mapsto & (\bigwedge^d y)(\lambda
\op{e}_1\wedge \ldots\wedge\op{e}_d )
\end{array}
$$
und f"ur jeden Isomorphismus $f:V\sira W$ von $d$-dimensionalen
Vektorr"aumen kommutiert das Diagramm
$$\begin{array}{ccccc}
&\op{det}(V)&\stackrel{\op{can}_V}{\ra}& \bigwedge^{\op{max}} V&\\
\op{det}(f)&\da&&\da&\bigwedge^d f\\
&\op{det}(W)&\stackrel{\op{can}_W}{\ra}& \bigwedge^{\op{max}} W&
\end{array}$$
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}\label{OrGe}
Wenden wir unsere Definition \ref{Twist} im Fall
eines angeordneten K"orpers $k$ auf den Gruppenhomomorphismus 
$\op{GL} (d;k) \rightarrow k^\times$ gegeben durch 
$A\mapsto  \op{det}(A)/|\op{det}(A)|$
an, 
so erhalten wir zu jedem $d$-dimensionalen $k$-Vektorraum 
$V$ einen eindimensionalen $k$-Vektorraum, den wir
$$\op{or}(V)$$
notieren und die 
{\bf Orientierungsgerade von $V$}\index{Orientierungsgerade!eines Vektorraums} 
nennen.
Diese Orientierungsgerade wird mit einer ausgezeichneten 
zweielementigen Teilmenge ausgeliefert, bei der das eine Element das  
Negative des anderen ist, n"amlich den Klassen der Gestalt $[y,\pm 1]$.
Jeder Orientierung von $V$ ordnen wir unter diesen  beiden Erzeugern 
einen zu, n"amlich  die Klasse $[y,1]$ f"ur einen und jeden Isomorphismus 
$y:k^d\sira V$, der die Standardbasis auf eine positiv orientierte 
Basis von $V$ wirft.
\end{Beispiel}
%% \begin{Ubunge}
%% Wir erinnern \ref{UTO}.
%% Seien $V,W$ zwei $k$-Vektorr"aume derselben Dimension.
%% Wir betrachten  den  Homomorphismus 
%% $\op{GL} ( W) \rightarrow \op{GL} (\bigwedge^r W)$
%% gegeben durch $g \mapsto \bigwedge^r g$. Sei $Y = \op{Hom}^\times (W,V)$
%% der $\op{GL} ( W)$-Torsor aller Isomorphismen
%% $W \overset{\sim}{\rightarrow} V$. So erhalten wir einen
%% Isomorphismus
%% $$
%%   \begin{array}{ccc}
%% Y \times_{\op{GL} ( W)} \bigwedge^r W & \overset{\sim}{\rightarrow} 
%% & \bigwedge^r V\\
%% \left[f\;\;\;,\;\;\;w\right] &\mapsto & (\bigwedge^r f)(w)
%% \end{array}
%% $$
%% \end{Ubunge}

















\begin{Bemerkunge}[\textbf{Vertwisten eindimensionaler Vektorr"aume}]
  Sind $k$ und $K$ zwei K"orper und ist $\varphi: k^\times
  \rightarrow K^\times$ ein Gruppenhomomorphismus,\label{TEPn} so
  k"onnen wir nach \eref{UTO}{LA2} insbesondere 
jedem eindimensionalen $k$-Vektorraum $V$ einen eindimensionalen
  $K$-Vektorraum $\varphi(V)$ zuordnen als das balancierte Produkt
  $$
  \varphi(V)\pdef (V\backslash 0) \times_{k^\times} K
  $$
  und k"onnen jedem von Null verschiedenen Vektor $v\in V\backslash 0$ einen
  Vektor $\varphi(v)\in \varphi(V)$ erkl"aren als die Klasse $[v,1]$ des Paars
  $(v,1)$ im balancierten Produkt und k"onnen f"ur jeden 
Isomorphismus $f:V\sira
  W$ einen Isomorphismus $\varphi(f):\varphi(V)\sira\varphi(W)$ 
konstruieren mit
  der Eigenschaft $\varphi(f):\varphi(v)\mapsto \varphi(f(v))$ f"ur alle $v\in
  V\backslash 0$. F"ur $\lambda\in k^\times$ und $v\in V\backslash 0$ gilt dann
  $\varphi(\lambda v)=\varphi(\lambda)\varphi( v)$. 
Weiter erh"alt man  f"ur zwei Gruppenhomomorphismen
$\varphi,\psi:k^\times\ra K^\times$ einen Dritten $(\varphi\cdot\psi)$ als das
punktweise Produkt, und nun gibt es genau einen Isomorphismus von
$K$-Vektorr"aumen $\varphi(V)\otimes\psi(V)\sira (\varphi\cdot\psi)(V)$ mit
$\varphi(v)\otimes\psi(v)\mapsto (\varphi\cdot\psi)(v)$ f"ur alle $v\in
V\backslash 0$. Und schlie"slich k"onnten wir auch zus"atzlich zu noch
$\varphi:k^\times\ra K^\times$ noch einen weiteren K"orper $L$ mitsamt einem
Gruppenhomomorphismus $\psi:K^\times\ra L^\times$ 
zur Verf"ugung haben, und dann
gibt es genau einen Isomorphismus von $L$-Vektorr"aumen $\psi(\varphi(V))\sira
(\psi\circ \varphi)(V)$ mit $\psi(\varphi(v))\mapsto (\psi\circ \varphi)(v)$
f"ur alle $v\in V\backslash 0$.
\end{Bemerkunge}
\begin{Beispiel}[\textbf{Vertwisten durch Potenzieren}]
  Ist  $\varphi:k^\times\ra k^\times$ 
die Abbildung $\lambda\mapsto \lambda^r$ mit $r\in
  \DZ$ und $V$ ein eindimensionaler $k$-Vektorraum, 
so schreibt man auch abk"urzend $\varphi(V)=V^r$ und $\varphi(v)=v^r$.
  In diesem Fall gibt es in den Notationen 
von \eref{TEP}{LA2} einen Isomorphismus
  $V^r\sira V^{\otimes r}$ mit $v^r\mapsto v^{\otimes r}$ f"ur alle $v\in
  V\backslash 0$. Die Notation $V^r$\index{)8bb@$V^r$ Tensorpotenz} kann also
  f"ur $r\geq 0$ sowohl das $r$-fache kartesische Produkt
  $V^r=V\times\ldots\times V$ bedeuten, als auch unseren in kanonischer Weise
  zur $r$-ten Tensorpotenz isomorphen Raum $V^r\cong V^{\otimes r}$. Was genau
  gemeint ist, gilt es aus dem Kontext zu erschlie"sen.  Ich versuche, im
  zweiten Fall stets die ausf"uhrlichere Notation $ V^{\otimes r}$ zu verwenden.
  Im Spezialfall $r=-1$, also $\varphi(\lambda)=\lambda^{-1}$, entspricht
  $\varphi(f)$ der Inversen zur transponierten Abbildung, wir haben also f"ur
  $f:V\sira W$ mit unseren kanonischen Identifikationen von eben in den
  Horizontalen ein kommutatives Diagramm
  $$\begin{array}{ccccc}
   & V^{-1}&\sira&V^\ast&\\
   \varphi(f)& \da&&\ua&f^\top\\
    &W^{-1} &\sira&W^\ast&
\end{array}$$
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}[\textbf{Vertwisten durch K"orperhomomorphismen}]
Ist weiter $\varphi:\DC^\times\hra \DC^\times$ die komplexe Konjugation, so
ergibt sich unser komplex konjugierter Vektorraum aus \eref{kkVe}{LA2} im
eindimensionalen Fall, genauer gibt es genau einen Isomorphismus
$\varphi(V)\sira \overline{V}$ mit $\varphi(v)\mapsto \bar{ v}$ f"ur alle $v\in
V\backslash 0$. Ist noch allgemeiner $\varphi:k\hra K$ die Einbettung eines
Teilk"orpers, so ergibt sich im wesentlichen unsere Erweiterung der Skalare aus
\eref{EwSk}{LA2}, genauer gibt es genau einen Isomorphismus $\varphi(V)\sira
K\otimes_k V$ mit $\varphi(v)\mapsto 1\otimes v$ f"ur alle $v\in V\backslash 0$.
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}[\textbf{Vertwisten durch den Betrag}]
Wir k"onnen jedoch auch etwa den Betrag $z\mapsto |z|$ betrachten als
Homomorphismus $\DC^\times\ra\DR^\times $ und mithilfe unserer allgemeinen
Konstruktion jedem eindimensionalen komplexen Vektorraum $V$ einen
eindimensionalen reellen Vektorraum $|V|$ zuordnen, den man wohl auch seinen
Betrag wird nennen wollen.  
Noch extremer mag man den durch $\lambda\mapsto
\lambda/|\lambda|$ gegebenen Homomorphismus $\DR^\times\sra \mathbb F_3^\times$
verwenden, um jedem eindimensionalen reellen Vektorraum in kanonischer Weise
einen eindimensionalen Vektorraum "uber $\mathbb F_3$ zuzuordnen, dessen von
Null verschiedene Elemente man dann als die beiden Orientierungen unseres
eindimensionalen reellen Vektorraums interpretieren mag. Diese Konstruktion
kommt aber nie vor.
\end{Beispiel}
\begin{Bemerkunge}
Ist  $K$ ein angeordneter K"orper und landet
$\varphi:k^\times\ra K^\times $ in $K_{>0}$, so k"onnen wir auf
$\varphi(V)$  eine Orientierung auszeichnen durch die Vorschrift,
da"s alle $\varphi(v)$ positiv orientiert sein m"ogen. 
Sind $k$ und  $K$ beide angeordnet und gilt
$\varphi(k_{>0})\subset K_{>0}$, so liefert immer noch jede 
Orientierung auf $V$ eine Orientierung auf
$\varphi(V)$   durch die Vorschrift,
da"s f"ur $v$ positiv orientiert 
auch  $\varphi(v)$ positiv orientiert sein m"oge. 
\end{Bemerkunge}

\begin{Beispiel}[\textbf{Betrag eines eindimensionalen Vektorraums}]
Eine endlichdimensionale, ja sogar eine 
eindimensionale   glatte Darstellung
von $\DR^\times =\op{GL}(\DR)$ ist insbesondere der Betrag 
$\DR^\times\ra \DR^\times$. Ein zugeh"origer Gruppoidfunktor 
kann wie folgt konstruiert werden: Wir bilden zu jedem
eindimensionalen $\DR$-Vektor\-raum $V$ seinen {\bf Betrag}
 $|V|$,
einen orientierten 
eindimensionalen $\DR$-Vektor\-raum,\index{)5@${\mid}V{\mid}$ Betrag des Vektorraums $V$}\index{Betrag!eines 
eindimensionalen $\DR$-Vektorraums} wie folgt: 
Zun"achst betrachten wir  die Menge aller
Paare $(v,\varepsilon)$ mit $v\in V$ einem Vektor und 
$\varepsilon$ einer Orientierung von $V$. Auf dieser Menge 
betrachten  wir die kleinste "Aquivalenzrelation mit
$(v,\varepsilon)\sim (-v,-\varepsilon)$.
Die Menge der "Aquivalenzklassen bezeichnen wir mit $|V|$ und 
die "Aquivalenzklasse von $(v,\varepsilon)$ hei"se  $[v,\varepsilon]$.
Auf dieser Menge $|V|$ gibt es nun offensichtlich genau
eine Vektorraumstruktur derart, da"s f"ur jede  Orientierung
$\varepsilon$  von $V$ die Vorschrift $v\mapsto [v,\varepsilon]$
ein Vektorraumisomorphismus $V\sira |V|$ ist, und damit haben wir
bereits unseren Vektorraum $|V|$ konstruiert.
Des weiteren erkl"aren wir eine Abbildung
$V\ra |V|,$ $v\mapsto |v|$ durch die Vorschrift, da"s 
f"ur $v\neq 0$ gilt $ |v|=[v,\varepsilon_v]$ mit $\varepsilon_v$ der
Orientierung, f"ur die $v$ eine orientierte Basis ist, 
erg"anzt durch die Vorschrift  $|0|=0$. Diese Abbildung
$v\mapsto |v|$ ist  nicht linear, vielmehr gilt
 $|\lambda v|=|\lambda| | v|$ f"ur alle $v\in V$ und $\lambda\in
\DR$. Wir versehen nun $|V|$ mit der Orientierung, f"ur die alle
$| v|$ mit $v\in V\backslash 0$ positiv orientiert sind.
Jeder Isomorphismus von eindimensionalen R"aumen
$\phi: V\sira W$ induziert in offensichtlicher Weise einen
orientierungserhaltenden 
Isomorphismus $|\phi|:|V|\sira |W|$ mit
$|\phi|(|v|)=|\phi(v)|$ f"ur alle $v\in V $. So  erhalten wir 
dann schlie"slich den
gew"unschten 
$(1;1)$-Gruppoidfunktor, der zur durch den Betrag gegebenen eindimensionalen
Darstellung von $\DR^\times$ geh"ort. 
\end{Beispiel}


\begin{Bemerkunge}[\textbf{Anschauung f"ur das
kanonische Skalarprodukt}] 
Wir fixieren von nun an zur Verbesserung der 
Verbindung zur Physik und Schulmathematik ein f"ur allemal ein Paar 
$$(\mathbb{E},\omega)$$
bestehend aus einem  
Bewegungsraum\index{E@$\mathbb{E}$ Anschauungsraum|main}\label{RHOn}   
im Sinne von \ref{DefER} 
mit einer ausgezeichneten Orientierung $\omega$ und nennen ihn den {\bf
  Anschauungsraum}\index{Anschauungsraum|main} oder  ausf"uhrlicher
den {\bf orientierten
  Anschauungsraum}\index{Anschauungsraum!orientierter} mit der 
{\bf rechte-Hand-Orien\-tie\-rung}.
Ich denke mir $\mathbb{E}$  als den \glqq Raum der Anschauung\grqq\ 
und die \glqq rechte-Hand-Orientie\-rung\grqq\  als diejenige Orientierung, 
in der die durch die Abfolge
  \glqq Daumen-Zeigefinger-Mittel\-finger\grqq\  
mit der rechten Hand angedeuteten
  angeordneten Basen des Richtungsraums positiv orientiert sind,
aber das mag jeder halten wie er will. 
Speziell erhalten wir auch f"ur unseren Anschauungsraum 
$\mathbb E$  eine ausgezeichnete L"angengerade
\index{L@$\mathbb L$ L"angengerade}
 $$\mathbb L= \mathbb L(\mathbb E)$$
Zumindest in Europa wird besagte L"angengerade meist vermittels des in der
franz"osischen Revolution gew"ahlten {\bf
  Meters}\index{Meter}\index{m@$\op{m}$ Meter}
$$\op{m}\in \mathbb{L}_{>0}$$ 
mit der Zahlengerade $\DR$ identifiziert.
Positive Elemente unserer L"angengerade w"aren inbesondere
L"angeneinheiten wie 
Meter, inch, feet und dergleichen.  Unsere Abbildung
$$\|\;\|:\vec{\mathbb{E}}\ra \mathbb{L}_{\geq 0}$$
aus \ref{LKSS} ordnet in diesem Fall eben jedem Vektor seine 
anschauliche L"ange zu.
Au"serdem erhalten wir nach \ref{LKSS} ein kanonisches
Skalarprodukt $\langle\;,\;\rangle$ mit Einheiten in dieser L"angengerade, als
da hei"st mit Werten in ihrem Tensorquadrat $\mathbb L^{\otimes 2}$.
In der schmutzigen  Anschauung mag man
$|\langle v,w\rangle|$ verstehen als die \glqq  Fl"ache
des Parallelogramms, das von dem um $90^\circ$  
gedrehten Vektor $v$ und dem Vektor $w$ aufgespannt wird, wobei
das Vorzeichen von $\langle v,w\rangle$ positiv ist, 
wenn $v$ und $w$ einen spitzen Winkel
einschlie"sen, und  negativ, wenn sie einen stumpfen Winkel
einschlie"sen\grqq.
\end{Bemerkunge}

%% \emph{Wohin?}
%% \begin{Bemerkungl}\label{Lang}

%% Eine fest gew"ahlte positive L"ange nennen wir  eine \defind{L"angeneinheit}.
%% Gegeben eine L"angeneinheit $l$ erkl"aren wir 
%% die zugeh"orige {\bf Drehnorm}\index{Drehnorm}
%%   $$
%% \begin{array}{ccl}
%% V&\ra&\DR_{\geq 0}\\
%% v&\mapsto&\|v\|_l=\|v\|
%% \end{array}
%% $$
%% durch die Vorschrift, da"s f"ur ein und jedes $w\in l$ unser $v$ in derselben
%% Bahn liegen m"oge wie $\|v\|w$. 
%% %% Warum diese \glqq Norm\grqq\  auch im Sinne der Definition
%% %% \ref{DN} eine Norm ist, wird erst sp"ater klar werden.
%% %% Im Fall 
%% %% des Richtungsraums $\vec{\mathbb{E}}$ unseres
%% %% Anschauungsraums $\mathbb{E}$ kann man  
%% %% L"angeneinheiten auch in nat"urlicher Weise 
%% %% identifizieren mit Bahnen der Bewegungsgruppe im Komplement der
%% %% Diagonale von  $\mathbb{E}\times \mathbb{E}$.
%% \end{Bemerkungl}

%% \begin{Definition}\label{SKe}
%% Sei $V$ ein reeller Vektorraum und $L$ ein eindimensionaler 
%% orientierter reeller
%% Vektorraum. Ein \defind{Skalarprodukt auf $V$ mit 
%% Einheiten $L$} ist eine symmetrische
%% bilineare Abbildung
%% \begin{eqnarray*}
%% s : V \times V \rightarrow L^{\otimes 2}
%% \end{eqnarray*}
%% mit $v \neq 0 \Rightarrow s (v, v) > 0$ f"ur die 
%% Orientierung auf $L^{\otimes 2}$
%% mit der Eigenschaft $a \otimes a \in L^{\otimes 2}_{>0}$ f"ur alle
%% $a\neq 0$.
%% Die Orientierung auf $L$ setzen wir nur deshalb 
%% voraus, damit wir eine Wurzelabbildung
%% $\sqrt{\rule{0mm}{2mm}} : L^{\otimes 2}_{\geq 0} \rightarrow L_{\geq 0}$
%% erkl"aren k"onnen als das Inverse des 
%% Quadrierens $L_{\geq 0} \overset{\sim}{\rightarrow}
%% L^{\otimes 2}_{\geq 0}$, $a \mapsto a \otimes a$,
%% und die L"ange eines Vektors ekl"aren k"onnen als
%% \begin{equation*}
%% \| v\|_s = \sqrt{s (v,v)} \in L_{\geq 0}
%% \end{equation*}
%% \end{Definition}
%% \begin{Bemerkungl}
%% Gegeben ein dreidimensionaler reeller Vektorraum
%% mit ausgezeichneter Drehgruppe
%% konstruieren wir nun in 
%% vollst"andiger kanonischer Weise
%% ein Skalarprodukt mit
%% Einheiten.
%% Das braucht jedoch einige Vorbereitungen.
%% \end{Bemerkungl}
%% \begin{Definition}
%% Gegeben eine Gruppe $G$, eine $G$-Menge $X$ 
%% und eine $G$-Rechtsmenge $Y$ definieren
%% wir ihr \defind{balanciertes Produkt}
%% \begin{equation*}
%% Y \times_G X
%% \end{equation*}
%% als den Quotienten des kartesischen Produkts $Y \times X$ 
%% nach der "Aquivalenzrelation 
%% $(yg, x) \sim (y,gx) \quad \forall  y \in Y, x \in X, g\in G$, 
%% alias den Bahnenraum von $Y \times X$ unter der
%% durch die Vorschrift $g_\cdot (y,x) = (yg^{-1}, gx)$ 
%% gegebenen $G$-Operation. Die
%% "Aquivalenzklasse alias Bahn von $(y,x) \in Y \times X$ notieren wir 
%% $[ y,x] \in Y \times_G X$.
%% \end{Definition}

 
%%  \begin{Ubung}\label{UTO}
%%       Seien $k$ ein K"orper, $V$ ein $k$-Vektorraum und $G$ eine Gruppe.
%% Seien weiter  $\rho: G \rightarrow \op{GL} (V)$ 
%% ein Gruppenhomomorphismus und $Y$ ein
%%       $G$-Torsor.  So gibt es auf dem balancierten Produkt
%%       \begin{equation*}
%%         Y \times_G V=Y \times^\rho_G V
%%       \end{equation*}
%%       genau eine Struktur als $k$-Vektorraum derart, da"s f"ur alle $y \in Y$
%%       die Abbildung $v \mapsto [y,v]$ einen Vektorraumisomorphismus $V
%%       \overset{\sim}{\rightarrow} Y\times_G V$ liefert.
%%     \end{Ubung}  

  

%% \begin{Definition}\emph{Wohin ?}
%% Gegeben ein dreidimensionaler reeller 
%% Vektorraum $V$ mit ausgezeichneter Drehgruppe $D \subset
%% \op{GL} (V)$ bilden wir wie in \ref{Lang} 
%% den $\mathbb R_{> 0}$-Torsor der positiven L"angen
%% $L_{> 0} = L_{>0} (D)$ und erkl"aren den zugeh"origen 
%% orientierten eindimensionalen
%% Vektorraum der L"angen als das balancierte Produkt
%% \begin{equation*}
%% L_D = L = L_{>0} \times_{\mathbb R_{>0}} \mathbb R
%% \end{equation*}
%% versehen mit derjenigen Orientierung, f"ur die alle 
%% Vektoren $[l,\alpha]$ mit $l\in L_{>0}$ und 
%% $\alpha >0$ positiv orientierte Basen sind.
%% Die Injektion $L_{>0} \hookrightarrow L$, 
%% $l \mapsto [l,1]$ notieren wir nicht, sondern
%% fassen sie im weiteren als die Einbettung einer Teilmenge auf.
%% \end{Definition}



















% \subsection{Schrott: Modellierung des Raums unserer Anschauung*}\label{MAn}


% %   \begin{Bemerkungl}
% %     Unter einem Automorphismus
% %     eines affinen Raums verstehen wir
% % wie in \eref{AffA}{LA1}
% % eine bijektive affine Abbildung unseres
% %  affinen    Raums auf sich selbst. 
% % Es ist leicht zu sehen, da"s die Umkehrabbildung
% % jedes derartigen Automorphismus wieder ein Automorphismus ist.
% % Folglich bilden die Automorphismen eines affinen Raums eine 
% % Untergruppe der Gruppe aller Bijektionen von  unserem affinen Raum
% % auf sich selbst. Die Gruppe der Automorphismen eines affinen Raums $E$ 
% % notieren wir $\op{Aff}^\times E$.\index{Aff@$\op{Aff}^\times$
% %   Automorphismengruppe eines affinen Raums}
% % \end{Bemerkungl}

% %   \begin{Definition}\label{BeGr}
% %  Unter    einer {\bf Bewegungsgruppe}\index{Bewegungsgruppe} 
% % eines dreidimensionalen reellen affinen
% % Raums $E$ verstehen wir eine alle Translationen umfassende Untergruppe
% % seiner Automorphismengruppe    $$B\subset \op{Aff}^\times E$$ 
% % derart, da"s es f"ur je zwei Paare $(H,L)$ und $(H',L')$ von Teilmengen von
% %   $E$ bestehend aus einer Halbebene und einer 
% % Halbgerade auf ihrem Rand genau
% %   einen Automorphismus  $b\in B$ gibt, der sie ineinander "uberf"uhrt,
% % also mit $bH=H'$ und $bL=L'$.  
% % In Formeln
% %   meinen wir hier Paare $(H,L)$ von Teilmengen 
% % $L\subset H\subset E$, 
% % die in der
% %   Gestalt $L=p+\DR_{\geq 0}\vec{v}$ und $H=p+\DR \vec{v}+\DR_{\geq 0}\vec{w}$ 
% % geschrieben werden
% %   k"onnen, mit $p\in E$ einem Punkt und 
% % $\vec{v},\vec{w}\in \vec{E}$ linear unabh"angigen
% %   Richtungsvektoren.  Haben wir in einem
% % dreidimensionalen reellen affinen
% % Raum eine Bewegungsgruppe ausgezeichnet, so sprechen wir deren 
% % Elemente 
% % auch als {\bf Bewegungen}\index{Bewegung} an. 
% % \end{Definition} 

% % \begin{Bemerkunge}
% % In der Literatur wird das Wort  \glqq Bewegung\grqq\  meist als Synonym f"ur
% % das Konzept verwendet, f"ur das wir in \ref{isoM} in noch gr"o"serer 
% % Allgemeinheit die Bezeichnung
% % \glqq Isometrie\grqq\  vereinbaren. 
% % Insbesondere werden in der Literatur auch Spiegelungen als Bewegungen
% % angesehen, genauer als \glqq uneigentliche Bewegungen\grqq, und unsere
% % Bewegungen entsprechen eher dem, was in der Literatur 
% % unter \glqq eigentlichen Bewegungen\grqq\  verstanden wird.
% % \index{Bewegung!eigentliche}\index{Bewegung!uneigentliche}
% % Der wesentliche Unterschied liegt jedoch anderswo: W"ahrend 
% % es in der Literatur "ublich ist,
% % vom Begriff des Skalarprodukts und des zugeh"origen 
% % Abstands auszugehen und dann 
% % abstandserhaltende Abbildungen zu untersuchen, gehe ich hier den
% % umgekehrten Weg. Meine  Hoffnung ist, dadurch die Beziehung unserer
% % abstrakten Konzepte zur Anschauung zu st"arken. 
% % \end{Bemerkunge}

% % \begin{Bild} 
% % \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildHLr}\\[4mm]
% % \noindent 
% % Zwei Paare von Teilmengen des Raums bestehend aus je einer
% % Halbebene und einer Halbgerade auf ihrem Rand. 
% % \end{Bild}



% % \begin{Definition}\label{SKPA}
% % Ein {\bf Skalarprodukt}\index{Skalarprodukt!auf reellem Vektorraum} 
% % auf einem reellen Vektorraum $V$ ist eine bilineare Abbildung
% % $V\times V\ra\Bbb{R}$, $(\vec{v},\vec{w})
% % \mapsto\langle \vec{v},\vec{w}\rangle$ derart,
% % da"s gilt $\langle \vec{v},\vec{w}\rangle=\langle \vec{w},\vec{v}\rangle$ 
% % f"ur alle $\vec{v},\vec{w}\in V$
% % und $\vec{v}\neq \vec{0}\RA \langle \vec{v},\vec{v}\rangle> 0$.  
% % Allgemeiner vereinbaren wir dieselbe Definition auch im Fall eines 
% % Vektorraums "uber einem beliebigen angeordneten 
% % K"orper.\index{$\langle \vec{v}, \vec{w}\rangle$ Skalarprodukt!im Reellen}
% % % Einen Vektorraum mit einem ausgezeichneten Skalarprodukt
% % % nennen wir einen {\bf Skalarproduktraum}.\index{Skalarproduktraum!reeller} 
% % \end{Definition}
% % \begin{Bemerkungl}
% % Das Skalarprodukt tr"agt seinen Namen, weil es eben aus zwei Vektoren
% % einen Skalar macht. Es darf nicht  verwechselt werden mit der
% % \glqq Multiplikation mit Skalaren\grqq\  aus der Axiomatik eines Vektorraums,
% % die aus einem Skalar und einem Vektor einen Vektor macht.  
% % \end{Bemerkungl}
% % \begin{Satz}[\textbf{Bewegungsgruppen und Skalarprodukte}]
% %   Sei $(E,B,
% % \vec{m})$ ein dreidimensionaler reeller affiner Raum $E$ mit
% % einer ausgezeichneten Bewegungsgruppe $B$ im Sinne von \ref{BeGr}
% % und einem ausgezeichneten
% % von Null verschiedenen Richtungsvektor $\vec{m}\in\vec{E}$.
% % So gibt es auf dem Richtungsraum $\vec{E}$ von $E$ genau ein
% % Skalarprodukt, ja sogar genau eine
% % bilineare Abbildung
% % $\langle\;,\;\rangle:\vec{E}\times \vec{E}\ra\DR$,
% % mit den beiden folgenden Eigenschaften:\label{BewSA}
% % \begin{enumerate}
% % \item 
% % Die linearen Anteile  
% % unserer Bewegungen lassen
% % besagte bilineare Abbildung invariant, in Formeln
% %  $$\langle\vec{\varphi}(\vec{v}),\vec{\varphi}(\vec{w})\rangle
% % =\langle\vec{v},\vec{w}\rangle\;\;\text{ f"ur alle  } \vec{v},\vec{w}\in \vec{E}
% % \text{ und  }\varphi\in B;$$
% % %% \item 
% % %% Genau dann 
% % %%   gilt $\langle\vec{v},\vec{w}\rangle=0$, 
% % %% wenn es eine Bewegung gibt,
% % %% deren linearer Anteil den Vektor 
% % %% $\vec{v}$ festh"alt und den Vektor $\vec{w}$ auf sein Negatives
% % %% wirft. 
% % \item
% % F"ur unseren 
% % ausgezeichneten von Null verschiedenen Richtungsvektor 
% % $\vec{m}\in\vec{E}$  gilt $\langle\vec{m},\vec{m}\rangle=1$. 
% % \end{enumerate}
% % %Diese bilineare Abbildung ist dann sogar ein Skalarprodukt.
% % \end{Satz}
% % \begin{Bemerkungl}\label{SrgA}
% % In \ref{UBeGr} k"onnen Sie zur "Ubung zeigen, da"s gegeben ein 
% % dreidimensionaler reeller
% % affiner Raum $E$ mit einem Skalarprodukt auf seinem Richtungsraum 
% % umgekehrt
% %    alle Automorphismen $\varphi$ des affinen Raums $E$, deren lineare
% %   Anteile $\vec{\varphi}$ besagtes Skalarprodukt invariant lassen und 
% %  positive Determinante haben, 
% % eine  Bewegungsgruppe im Sinne von \ref{BeGr} bilden.
% % \end{Bemerkungl}



% % \begin{Bild} 
% % \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildUSP}\\[4mm]
% % \noindent Das folgende ist eine nicht ganz mathematische "Ubung: Man 
% % sch"atze ab, ob das durch die eingezeichnete 
% % L"angeneinheit und die anschauliche Bewegungsgruppe 
% % gegebene Skalarprodukt 
% % der beiden hier gezeichneten 
% % Vektoren gr"o"ser ist als Zehn. 
% % Man verwende dabei nur ein Papier mit einer geraden Kante,
% % das man kniffen darf, um einen rechten Winkel zu erzeugen,
% % einen Bleistift zum Abtragen von L"angen,
% % und Augenma"s.
% % %Nein
% % \end{Bild}

% % \begin{Bemerkungl}
% % Als den ausgezeichneten Richtungsvektor $\vec{m}\in \vec{\mathbb E}$ 
% % des Raums unserer Anschauung mag man sich  diejenige Parallelverschiebung
% % denken,
% % die das eine Ende des Urmeters in Paris auf sein anderes Ende 
% % schiebt.
% % Der vorhergehende Satz \ref{BewS} zusammen mit der
% % anschlie"senden Bemerkung \ref{Srg} soll  eine Br"ucke bilden zwischen der
% % meines Erachtens  intuitiv besonders
% % gut zug"anglichen  Modellierung des Raums unserer Anschauung als 
% % dreidimensionaler reeller affiner Raum  mit
% % einer ausgezeichneten Bewegungsgruppe und seiner
% % algebraisch besonders eleganten, 
% % wenn auch mit der Wahl eines 
% % ausgezeichneten Richtungsvektors belasteten,
% %  Modellierung
% % als dreidimensionaler reeller affiner Raum mit einem
% % ausgezeichneten Skalarprodukt auf seinem Richtungsraum.
% % \end{Bemerkungl}
% % \begin{proof} 
% %  Wir zeigen hier nur, da"s es 
% % zu einer ausgezeichneten Bewegungsgruppe nicht mehr als eine
% % bilineare Abbildung mit den geforderten Eigenschaften geben kann, und da"s
% % diese, wenn es sie denn gibt, ein Skalarprodukt sein mu"s.
% % Die restlichen Aussagen des Satzes und insbesondere die Existenz 
% % eines Skalarprodukts mit den behaupteten Eigenschaften 
% %  zeigen wir erst
% % in  \ref{DuSk}.
% % Die  linearen Anteile von Bewegungen $\varphi \in B$
% % bilden sicher eine Untergruppe $D \subset \op{GL} (\vec{E})$,
% % deren Elemente wir die zu unserer Bewegungsgruppe geh"orenden
% % {\bf Drehungen im Richtungsraum} oder 
% % {\bf Richtungsdrehungen}\index{Richtungsdrehung} oder auch kurz
% % {\bf Drehungen}\index{Drehung!im Richtungsraum} nennen.
% % Gegeben $\vec{v} \in \vec{E}$ gibt es nach unseren Annahmen stets eine Drehung
% %  $d \in D$ und einen Skalar $\lambda \in \mathbb R$ mit $d \vec{v} = \lambda
% % \vec{m}$, und dann haben wir notwendig
% % \begin{equation*}
% % \langle \vec{v}, \vec{v} \rangle = \langle d \vec{v}, d\vec{v} \rangle
% % = \langle \lambda
% % \vec{m}, \lambda
% % \vec{m} \rangle= \lambda^2
% % \end{equation*}
% % Damit legen unsere Bedingung also
% % $\langle \vec{v}, \vec{v} \rangle$ bereits %eindeutig 
% % fest, und  $\langle \vec{v}, \vec{v} \rangle$ ist positiv
% % f"ur $\vec{v}\neq 0$.
% % Nun vereinbaren wir f"ur Richtungsvektoren $\vec v, \vec r \in \vec E$ die
% % Sprechweise, $\vec r$ sei 
% % {\bf drehsenkrecht zu $\vec v$}\index{drehsenkrecht} 
% % genau dann,
% % wenn es eine Drehung $d$ gibt mit $d (\vec v) = \vec v$ und 
% % $d (\vec r ) = - \vec r$. Wegen der Drehinvarianz von 
% % $\langle \;, \; \rangle$ mu"s f"ur 
% % $\vec r$ drehsenkrecht zu $\vec v$ stets gelten 
% % $
% % \langle \vec v, \vec r \rangle = \langle d (\vec v), d(\vec r) \rangle =
% % \langle \vec v, - \vec r \rangle = - \langle \vec v, \vec r \rangle
% % $
% % und damit  $$\langle \vec v, \vec r \rangle =0$$
% % Sind nun $\vec{v}, \vec{w}$ beliebig und finden wir eine Darstellung
% % $\vec{w}=\gamma \vec v + \delta \vec r$ mit
% % $\vec r$ drehsenkrecht zu $\vec v$, so mu"s mithin gelten
% %  $$\langle \vec v, \vec w \rangle = \gamma \langle \vec v,
% % \vec v \rangle$$
% % Um die Eindeutigkeit unserer Bilinearform nachzuweisen,
% % m"ussen wir also nur noch  zeigen, da"s eine derartige 
% % Darstellung  stets existiert. Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit
% % d"urfen wir dazu  $\vec{v}, \vec{w}$ linear unabh"angig annehmen.
% % Dann gibt es  nach unseren Annahmen
% %  genau eine Drehung $d$, die die Halbgerade
% % $\mathbb R_{\geq 0} \vec{v}$ auf sich selber abbildet und die Halbebene
% % $\mathbb R \vec{v} + \mathbb R_{\geq 0} \vec{w}$ auf die 
% % \glqq gegen"uberliegende\grqq\  Halbebene
% % $\mathbb R \vec{v} + \mathbb R_{\geq 0} (-\vec{w})$.
% % Da dann $d^2$ sowohl unsere Halbgerade als auch unsere Halbebene auf sich
% % selber abbilden mu"s, folgt wieder aus unseren Annahmen
% % $d^2 = \op{id}$ und damit $d(\vec{v}) = \vec{v}$.
% % Weiter gilt $d (\vec{w}) = \alpha \vec{v} + \beta \vec{w}$
% % mit $\beta < 0$ und folglich  $\vec{r} \pdef d (\vec{w}) - \vec w \neq 0$.
% % Wir haben sicher $d (\vec r) = - \vec r$,
% % mithin  ist $\vec r$ drehsenkrecht zu $\vec v$, und
% % da es kein Vielfaches von $\vec v$ sein kann,
% %  sind auch $\vec{v}$ und $\vec r$  linear unabh"angig.
% % Folglich spannen sie bereits die Ebene $\mathbb R \vec{v} + \mathbb R \vec{w}$
% % auf und wir finden eine
% % Darstellung $\vec w = \gamma \vec v + \delta \vec r$ 
% % der gew"unschten Art. 
% % Da"s unsere Bilinearform auch die Eigenschaft 
% % $\langle \vec v, \vec w \rangle =\langle \vec w, \vec v \rangle$ haben mu"s,
% % folgt schlie"slich unmittelbar aus der Eindeutigkeit.
% % \end{proof}
% % %% Ich will den Beweis dieses Satzes hier nicht 
% % %% vollst"andig ausf"uhren
% % %% sondern in eine Appendix verschieben, da er 
% % %% gewisser Anstrengungen bedarf. 

% % \begin{Bemerkungl}\label{AISk}
% % Unser Beweis enth"alt insbesondere die folgende
% % %meines Erachtens recht 
% % %anschauliche
% % Anleitung zur Konstruktion des Skalarprodukts, ausgehend von  
% % einem dreidimensionalen reellen Raum $E$ mit
% % einer ausgezeichneten Bewegungsgruppe $B\subset \op{Aff}^\times E$ und
% % und einem ausgezeichneten von Null verschiedenen Richtungsvektor $\vec m \in
% % \vec{E}:$ 
% % Zun"achst erkl"are man die 
% % %{\bf L"ange}\index{L"ange!eines Vektors}
% % \defind{Drehnorm} 
% % eines 
% % beliebigen Richtungsvektors $\vec v$
% % als diejenige nichtnegative reelle Zahl $\| \vec v \| =  \lambda $, f"ur 
% % die es eine
% % Drehung $d$ gibt mit $d (\vec v) =\lambda \vec m$.
% % Ich vermeide, hier den Begriff  \glqq L"ange\grqq\  zu benutzen, 
% % da unsere Drehnorm schlicht reelle Zahlen als Werte annimmt
% % und  ich den Begriff  \glqq L"ange\grqq\  f"ur die \glqq richtige\grqq\  L"ange 
% % frischhalten will, die in \ref{KasK} eingef"uhrt wird und die Werte in einem
% % noch zu erkl"arenden Vektorraum von \glqq L"angen\grqq\  annimmt.
% % Da"s es nicht mehr als 
% % ein solches $\lambda$ geben kann, zeigen wir
% % im "ubrigen beim vollst"andigen Beweis unseres Satzes
% %  in \ref{DBP}.
% % % Dann erinnere man f"ur Richtungsvektoren $\vec v, \vec r \in \vec E$ die
% % % Sprechweise, $\vec r$ sei drehsenkrecht zu $\vec v$ genau dann,
% % % wenn es eine Drehung $d$ gibt mit $d (\vec v) = \vec v$ und 
% % % $d (\vec r ) = - \vec r$.
% % Gegeben Richtungsvektoren $\vec v, \vec w$ suche man dann %schlie"slich %% zur
% % %% Berechnung von $\langle \vec v, \vec w \rangle $
% % eine Darstellung 
% % $\vec w = \gamma
% % \vec v + \delta \vec r$ mit $\vec r$ drehsenkrecht zu $\vec v$ und setze
% % $$\langle \vec v, \vec w\rangle = \gamma \| \vec v \|^2$$
% % Anschaulich mag man sich $\gamma \vec v$ als die orthogonale 
% % Projektion von $\vec w$
% % auf die Gerade $\mathbb R \vec v$ denken und den Betrag des Skalarprodukts 
% % als das Produkt der 
% % Drehnorm der orthogonalen Projektion von 
% % $\vec w$ auf $\mathbb R \vec v$
% % mit der Drehnorm von $\vec v$, in Formeln
% % $| \langle \vec v, \vec w \rangle | = \| \gamma \vec v\| \cdot \| \vec v\|$.
% % Damit scheint mir anschaulich klar, da"s $\langle \vec v, \vec w\rangle$
% % bei festem $\vec v$ linear in $\vec w$ ist. Andererseits ist
% % in dieser Anschauung auch die Identit"at 
% % $\langle \vec v, \vec w\rangle=\langle \vec w, \vec v\rangle$
% % zun"achst f"ur Vektoren gleicher Drehnorm aber dann auch f"ur beliebige
% % Vielfache derselben alias f"ur beliebige Vektoren
% % unmittelbar einleuchtend. Einen formal vollst"andigen Beweis
% % geben wir jedoch erst in  \ref{DBP}.
% % \end{Bemerkungl}

% % \begin{figure}[p]\centering
% % \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildSkP}\\[4mm]
% % \noindent 
% % W"ahlen wir die durch die Kantenl"angen unserer K"astchen gegebene
% % L"angeneinheit, so ist das 
% % zugeh"orige anschauliche Skalarprodukt der beiden 
% % als Pfeile eingezeichneten Vektoren 
% % $\langle\vec{v},\vec{w} \rangle= \langle(4,0),(-2,3) \rangle=-8$
% % sowohl nach unserer Formel als auch nach der in 
% % \ref{AISk} erkl"arten anschaulichen Interpretation, f"ur die Sie sich 
% % allerdings noch eine dritte Koordinate hinzudenken m"ussen.
% % \end{figure}
  
% % \begin{Bemerkungl}
% % F"ur  das  solcherma"sen aus
% % einer Bewegungsgruppe nebst einem ausgezeichneten von
% % Null verschiedenen Richtungsvektor konstruierte Skalarprodukt
% % erkennt man unmittelbar, 
% % da"s gegeben zwei Richtungsvektoren
% %  $\vec r$ und $\vec v$ 
% % der Vektor $\vec r$
% % drehsenkrecht ist zu $\vec v$ genau dann, wenn
% % $\vec r$  {\bf skalarproduktsenkrecht}\index{skalarproduktsenkrecht}  zu
% % $\vec v$ ist   in dem Sinne, da"s 
% % gilt $\langle \vec v, \vec r\rangle = 0$. Weiter erkennt man  unmittelbar,
% % da"s f"ur jeden Richtungsvektor $\vec v$ seine Drehnorm "ubereinstimmt
% % mit seiner {\bf Skalarproduktnorm}\index{Norm} 
% % $\sqrt{\langle \vec v, \vec v\rangle}$.
% % In Zukunft k"onnen wir uns also diese begrifflichen
% % Feinheiten sparen und einfach nur
% % von \glqq aufeinander senkrecht stehenden Vektoren\grqq\  
% % und von der \glqq Norm eines Vektors\grqq\  reden.
% % \end{Bemerkungl}
% % \begin{Bemerkunge}
% %   Das Wort \glqq senkrecht\grqq\  kommt her vom Verb \glqq senken\grqq, speziell dem 
% % Herunterlassen eines Gewichts oder \glqq Senkbleis\grqq\  an einem Faden, um
% % die Vertikale zu bestimmen. Vom Begriff des \glqq senkrecht Stehens einer S"aule 
% % auf der Erdoberfl"ache\grqq\  zu \glqq senkrecht Stehen eines Vektors auf einem anderen\grqq\ 
% % ist es dann nur noch ein kleiner Schritt.
% % \end{Bemerkunge}
% % \begin{Bemerkunge}
% % Das zweidimensionale Analogon
% % von  \ref{BewS} gilt nur unter der zus"atzlichen Annahme,
% % da"s unsere Bewegungsgruppe im Sinne der Topologie \glqq abgeschlossen\grqq\ 
% % sein soll in der Gruppe aller affinen Automorphismen.
% % Die Geometrie des Raums ist erstaunlicherweise unter dem Aspekt 
% % der Symmetrie leichter algebraisch zu
% % modellieren als die Geometrie der Ebene. 
% % Ich wage aber die Vermutung, da"s auch unsere intuitive Vorstellung
% % des Senkrechtstehens von Geraden, selbst wenn sie auf ein Blatt Papier 
% % gezeichnet sind, von ihrem Wesen her 
% % eigentlich  r"aumlicher Natur ist
% % und in etwa dem Konzept entspricht, das ich im vorhergehenden Beweis
% % unter der Bezeichnung \glqq drehsenkrecht\grqq\  
% % formalisiert habe.
% % \end{Bemerkunge}

% %% \emph{Vielleicht unterscheide zu Beginn \glqq drehsenkrecht\grqq\  
% %% von \glqq algebraisch senkrecht\grqq\  und \glqq Drehl"ange\grqq\  von
% %% \glqq algebraischer L"ange\grqq.}

% %%  \begin{Bemerkungl}\label{aSk}
% %%     \emph{Wir verlassen f"ur dieses Beispiel wieder einmal unser  
% %% mathematisches Paradies und schreiben kursiv,
% %% damit nicht zu viel Verwirrung dadurch entsteht,
% %% da"s wir hier Worte auch in ihrer anschaulichen Bedeutung verwenden, 
% %% die sp"ater  abstrakt definiert werden. Wir
% %% betrachten den
% %%     Vektorraum \ref{VeFe} aller Parallelverschiebungen 
% %% der Tafelebene oder auch des Anschauungsraums.
% %% W"ahlen wir eine feste L"angeneinheit, etwa das Meter, so erhalten wir
% %% auf diesem Vektorraum 
% %% ein Skalarprodukt, indem wir $\langle \vec{v},\vec{w}\rangle$ im 
% %% Fall $\vec{v}= \vec{0}$ eben Null setzen und im 
% %% Fall $\vec{v}\neq \vec{0}$  als das Produkt der
% %% L"ange von $\vec{v}$ mit der L"ange der orthogonalen Projektion von
% %% $\vec{w}$ auf die Gerade $\Bbb{R} \vec{v}$ erkl"aren. Hierbei 
% %% ist die 
% %% L"ange dieser Projektion negativ
% %% zu rechnen, falls fragliche 
% %% Projektion ein negatives Vielfaches von $v$ ist,
% %% und wir benutzen unsere feste L"angeneinheit, um die fraglichen L"angen 
% %% durch reelle Zahlen auszudr"ucken.
% %% In der Tat 
% %% scheint mir anschaulich klar, da"s die so f"ur je zwei
% %% Vektoren erkl"arte 
% %% reelle Zahl 
% %% zun"achst f"ur Vektoren gleicher L"ange, 
% %% aber dann durch Reskalieren auch 
% %% im allgemeinen  beim Vertauschen der beiden Vektoren gleich bleibt.
% %% Es scheint mir weiter anschaulich klar
% %% da"s sie vom zweiten und dann auch vom ersten
% %% der beiden Vektoren in linearer Weise abh"angt. Und schlie"slich,
% %% da"s f"ur zweimal denselben Vektor 
% %% eben das Quadrat seiner L"ange herauskommt   und damit 
% %% nur f"ur den Nullvektor eine nicht positive Zahl, eben die Null.}
% %%   \end{Bemerkungl}


% \begin{proof} 
%  Wir zeigen hier nur, da"s es 
% zu einer ausgezeichneten Bewegungsgruppe nicht mehr als eine
% bilineare Abbildung mit den geforderten Eigenschaften geben kann, und da"s
% diese, wenn es sie denn gibt, ein Skalarprodukt sein mu"s.
% Die restlichen Aussagen des Satzes und insbesondere die Existenz 
% eines Skalarprodukts mit den behaupteten Eigenschaften 
%  zeigen wir erst
% in  \ref{DuSk}.
% Die  linearen Anteile von Bewegungen $\varphi \in B$
% bilden sicher eine Untergruppe $D \subset \op{GL} (\vec{R})$,
% deren Elemente wir die zu unserer Bewegungsgruppe geh"orenden
% {\bf Drehungen im Richtungsraum} oder 
% {\bf Richtungsdrehungen}\index{Richtungsdrehung} oder auch kurz
% {\bf Drehungen}\index{Drehung!im Richtungsraum} nennen.
% Gegeben $\vec{v} \in \vec{R}$ gibt es nach unseren Annahmen stets eine Drehung
%  $d \in D$ und einen Skalar $\lambda \in \mathbb R$ mit $d \vec{v} = \lambda
% \vec{m}$, und dann haben wir notwendig
% \begin{equation*}
% \langle \vec{v}, \vec{v} \rangle = \langle d \vec{v}, d\vec{v} \rangle
% = \langle \lambda
% \vec{m}, \lambda
% \vec{m} \rangle= \lambda^2
% \end{equation*}
% Damit legen unsere Bedingung also
% $\langle \vec{v}, \vec{v} \rangle$ bereits %eindeutig 
% fest, und  $\langle \vec{v}, \vec{v} \rangle$ ist positiv
% f"ur $\vec{v}\neq 0$.
% Nun vereinbaren wir f"ur Richtungsvektoren $\vec v, \vec r \in \vec R$ die
% Sprechweise, $\vec r$ sei 
% {\bf drehsenkrecht zu $\vec v$}\index{drehsenkrecht} 
% genau dann,
% wenn es eine Drehung $d$ gibt mit $d (\vec v) = \vec v$ und 
% $d (\vec r ) = - \vec r$. Wegen der Drehinvarianz von 
% $\langle \;, \; \rangle$ mu"s f"ur 
% $\vec r$ drehsenkrecht zu $\vec v$ stets gelten 
% $
% \langle \vec v, \vec r \rangle = \langle d (\vec v), d(\vec r) \rangle =
% \langle \vec v, - \vec r \rangle = - \langle \vec v, \vec r \rangle
% $
% und damit  $$\langle \vec v, \vec r \rangle =0$$
% Sind nun $\vec{v}, \vec{w}$ beliebig und finden wir eine Darstellung
% $\vec{w}=\gamma \vec v + \delta \vec r$ mit
% $\vec r$ drehsenkrecht zu $\vec v$, so mu"s mithin gelten
%  $$\langle \vec v, \vec w \rangle = \gamma \langle \vec v,
% \vec v \rangle$$
% Um die Eindeutigkeit unserer Bilinearform nachzuweisen,
% m"ussen wir also nur noch  zeigen, da"s eine derartige 
% Darstellung  stets existiert. Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit
% d"urfen wir dazu  $\vec{v}, \vec{w}$ linear unabh"angig annehmen.
% Dann gibt es  nach unseren Annahmen
%  genau eine Drehung $d$, die die Halbgerade
% $\mathbb R_{\geq 0} \vec{v}$ auf sich selber abbildet und die Halbebene
% $\mathbb R \vec{v} + \mathbb R_{\geq 0} \vec{w}$ auf die 
% \glqq gegen"uberliegende\grqq\  Halbebene
% $\mathbb R \vec{v} + \mathbb R_{\geq 0} (-\vec{w})$.
% Da dann $d^2$ sowohl unsere Halbgerade als auch unsere Halbebene auf sich
% selber abbilden mu"s, folgt wieder aus unseren Annahmen
% $d^2 = \op{id}$ und damit $d(\vec{v}) = \vec{v}$.
% Weiter gilt $d (\vec{w}) = \alpha \vec{v} + \beta \vec{w}$
% mit $\beta < 0$ und folglich  $\vec{r} \pdef d (\vec{w}) - \vec w \neq 0$.
% Wir haben sicher $d (\vec r) = - \vec r$,
% mithin  ist $\vec r$ drehsenkrecht zu $\vec v$, und
% da es kein Vielfaches von $\vec v$ sein kann,
%  sind auch $\vec{v}$ und $\vec r$  linear unabh"angig.
% Folglich spannen sie bereits die Ebene $\mathbb R \vec{v} + \mathbb R \vec{w}$
% auf und wir finden eine
% Darstellung $\vec w = \gamma \vec v + \delta \vec r$ 
% der gew"unschten Art. 
% Da"s unsere Bilinearform auch die Eigenschaft 
% $\langle \vec v, \vec w \rangle =\langle \vec w, \vec v \rangle$ haben mu"s,
% folgt schlie"slich unmittelbar aus der Eindeutigkeit.
% \end{proof}
% %% Ich will den Beweis dieses Satzes hier nicht 
% %% vollst"andig ausf"uhren
% %% sondern in eine Appendix verschieben, da er 
% %% gewisser Anstrengungen bedarf. 

% \begin{Bemerkungl}\label{AISk}
% Unser Beweis enth"alt insbesondere die folgende
% %meines Erachtens recht 
% %anschauliche
% Anleitung zur Konstruktion des Skalarprodukts, ausgehend von  
% einem dreidimensionalen reellen Raum $R$ mit
% einer ausgezeichneten Bewegungsgruppe $B\subset \op{Aff}^\times R$ und
% und einem ausgezeichneten von Null verschiedenen Richtungsvektor $\vec m \in
% \vec{R}:$ 
% Zun"achst erkl"are man die 
% %{\bf L"ange}\index{L"ange!eines Vektors}
% \defind{Drehnorm} 
% eines 
% beliebigen Richtungsvektors $\vec v$
% als diejenige nichtnegative reelle Zahl $\| \vec v \| =  \lambda $, f"ur 
% die es eine
% Drehung $d$ gibt mit $d (\vec v) =\lambda \vec m$.
% Ich vermeide, hier den Begriff  \glqq L"ange\grqq\  zu benutzen, 
% da unsere Drehnorm schlicht reelle Zahlen als Werte annimmt
% und  ich den Begriff  \glqq L"ange\grqq\  f"ur die \glqq richtige\grqq\  L"ange 
% frischhalten will, die in \ref{KasK} eingef"uhrt wird und die Werte in einem
% noch zu erkl"arenden Vektorraum von \glqq L"angen\grqq\  annimmt.
% Da"s es nicht mehr als 
% ein solches $\lambda$ geben kann, zeigen wir
% im "ubrigen beim vollst"andigen Beweis unseres Satzes
%  in \ref{DBP}.
% % Dann erinnere man f"ur Richtungsvektoren $\vec v, \vec r \in \vec R$ die
% % Sprechweise, $\vec r$ sei drehsenkrecht zu $\vec v$ genau dann,
% % wenn es eine Drehung $d$ gibt mit $d (\vec v) = \vec v$ und 
% % $d (\vec r ) = - \vec r$.
% Gegeben Richtungsvektoren $\vec v, \vec w$ suche man dann %schlie"slich %% zur
% %% Berechnung von $\langle \vec v, \vec w \rangle $
% eine Darstellung 
% $\vec w = \gamma
% \vec v + \delta \vec r$ mit $\vec r$ drehsenkrecht zu $\vec v$ und setze
% $$\langle \vec v, \vec w\rangle = \gamma \| \vec v \|^2$$
% Anschaulich mag man sich $\gamma \vec v$ als die orthogonale 
% Projektion von $\vec w$
% auf die Gerade $\mathbb R \vec v$ denken und den Betrag des Skalarprodukts 
% als das Produkt der 
% Drehnorm der orthogonalen Projektion von 
% $\vec w$ auf $\mathbb R \vec v$
% mit der Drehnorm von $\vec v$, in Formeln
% $| \langle \vec v, \vec w \rangle | = \| \gamma \vec v\| \cdot \| \vec v\|$.
% Damit scheint mir anschaulich klar, da"s $\langle \vec v, \vec w\rangle$
% bei festem $\vec v$ linear in $\vec w$ ist. Andererseits ist
% in dieser Anschauung auch die Identit"at 
% $\langle \vec v, \vec w\rangle=\langle \vec w, \vec v\rangle$
% zun"achst f"ur Vektoren gleicher Drehnorm aber dann auch f"ur beliebige
% Vielfache derselben alias f"ur beliebige Vektoren
% unmittelbar einleuchtend. Einen formal vollst"andigen Beweis
% geben wir jedoch erst in  \ref{DBP}.
% \end{Bemerkungl}

% \begin{figure}[p]\centering
% \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildSkP}\\[4mm]
% \noindent 
% W"ahlen wir die durch die Kantenl"angen unserer K"astchen gegebene
% L"angeneinheit, so ist das 
% zugeh"orige anschauliche Skalarprodukt der beiden 
% als Pfeile eingezeichneten Vektoren 
% $\langle\vec{v},\vec{w} \rangle= \langle(4,0),(-2,3) \rangle=-8$
% sowohl nach unserer Formel als auch nach der in 
% \ref{AISk} erkl"arten anschaulichen Interpretation, f"ur die Sie sich 
% allerdings noch eine dritte Koordinate hinzudenken m"ussen.
% \end{figure}
  
% \begin{Bemerkungl}
% F"ur  das  solcherma"sen aus
% einer Bewegungsgruppe nebst einem ausgezeichneten von
% Null verschiedenen Richtungsvektor konstruierte Skalarprodukt
% erkennt man unmittelbar, 
% da"s gegeben zwei Richtungsvektoren
%  $\vec r$ und $\vec v$ 
% der Vektor $\vec r$
% drehsenkrecht ist zu $\vec v$ genau dann, wenn
% $\vec r$  {\bf skalarproduktsenkrecht}\index{skalarproduktsenkrecht}  zu
% $\vec v$ ist   in dem Sinne, da"s 
% gilt $\langle \vec v, \vec r\rangle = 0$. Weiter erkennt man  unmittelbar,
% da"s f"ur jeden Richtungsvektor $\vec v$ seine Drehnorm "ubereinstimmt
% mit seiner {\bf Skalarproduktnorm}\index{Skalarproduktnorm} 
% $\sqrt{\langle \vec v, \vec v\rangle}$.
% In Zukunft k"onnen wir uns also diese begrifflichen
% Feinheiten sparen und einfach nur
% von \glqq aufeinander senkrecht stehenden Vektoren\grqq\  
% und von der \glqq Norm eines Vektors\grqq\  reden.
% \end{Bemerkungl}

% \begin{Bemerkunge}
% Das zweidimensionale Analogon
% von  \ref{BewS} gilt nur unter der zus"atzlichen Annahme,
% da"s unsere Bewegungsgruppe im Sinne der Topologie \glqq abgeschlossen\grqq\ 
% sein soll in der Gruppe aller affinen Automorphismen.
% Die Geometrie des Raums ist erstaunlicherweise unter dem Aspekt 
% der Symmetrie leichter algebraisch zu
% modellieren als die Geometrie der Ebene. 
% Ich wage aber die Vermutung, da"s auch unsere intuitive Vorstellung
% des Senkrechtstehens von Geraden, selbst wenn sie auf ein Blatt Papier 
% gezeichnet sind, von ihrem Wesen her 
% eigentlich  r"aumlicher Natur ist
% und in etwa dem Konzept entspricht, das ich im vorhergehenden Beweis
% unter der Bezeichnung \glqq drehsenkrecht\grqq\  
% formalisiert habe.
% \end{Bemerkunge}

% %% \emph{Vielleicht unterscheide zu Beginn \glqq drehsenkrecht\grqq\  
% %% von \glqq algebraisch senkrecht\grqq\  und \glqq Drehl"ange\grqq\  von
% %% \glqq algebraischer L"ange\grqq.}

% %%  \begin{Bemerkungl}\label{aSk}
% %%     \emph{Wir verlassen f"ur dieses Beispiel wieder einmal unser  
% %% mathematisches Paradies und schreiben kursiv,
% %% damit nicht zu viel Verwirrung dadurch entsteht,
% %% da"s wir hier Worte auch in ihrer anschaulichen Bedeutung verwenden, 
% %% die sp"ater  abstrakt definiert werden. Wir
% %% betrachten den
% %%     Vektorraum \ref{VeFe} aller Parallelverschiebungen 
% %% der Tafelebene oder auch des Anschauungsraums.
% %% W"ahlen wir eine feste L"angeneinheit, etwa das Meter, so erhalten wir
% %% auf diesem Vektorraum 
% %% ein Skalarprodukt, indem wir $\langle \vec{v},\vec{w}\rangle$ im 
% %% Fall $\vec{v}= \vec{0}$ eben Null setzen und im 
% %% Fall $\vec{v}\neq \vec{0}$  als das Produkt der
% %% L"ange von $\vec{v}$ mit der L"ange der orthogonalen Projektion von
% %% $\vec{w}$ auf die Gerade $\Bbb{R} \vec{v}$ erkl"aren. Hierbei 
% %% ist die 
% %% L"ange dieser Projektion negativ
% %% zu rechnen, falls fragliche 
% %% Projektion ein negatives Vielfaches von $v$ ist,
% %% und wir benutzen unsere feste L"angeneinheit, um die fraglichen L"angen 
% %% durch reelle Zahlen auszudr"ucken.
% %% In der Tat 
% %% scheint mir anschaulich klar, da"s die so f"ur je zwei
% %% Vektoren erkl"arte 
% %% reelle Zahl 
% %% zun"achst f"ur Vektoren gleicher L"ange, 
% %% aber dann durch Reskalieren auch 
% %% im allgemeinen  beim Vertauschen der beiden Vektoren gleich bleibt.
% %% Es scheint mir weiter anschaulich klar
% %% da"s sie vom zweiten und dann auch vom ersten
% %% der beiden Vektoren in linearer Weise abh"angt. Und schlie"slich,
% %% da"s f"ur zweimal denselben Vektor 
% %% eben das Quadrat seiner L"ange herauskommt   und damit 
% %% nur f"ur den Nullvektor eine nicht positive Zahl, eben die Null.}
% %%   \end{Bemerkungl}



% \begin{Definition}\label{RHOnA}%\label{RHO}
% Wir fixieren von nun an ein f"ur allemal ein Tripel $$(\mathbb{E},B,\omega)$$ 
% bestehend aus einem dreidimensionalen reellen affinen Raum
% $\mathbb{E}$, einer ausgezeichneten\index{E@$\mathbb{E}$ Anschauungsraum|main}
% Bewegungsgruppe $B\subset \op{Aff}^\times \mathbb{E}$
% im Sinne von \ref{BeGr}, und
% einer ausgezeichneten Orientierung $\omega$ im Sinne von \eref{OrA}{LA1}.
% Wir nennen $\mathbb{E}$ den {\bf Anschauungsraum},\index{Anschauungsraum|main}
% $B$ die Gruppe seiner {\bf Bewegungen},\index{Bewegung|main}
% und $\omega$ die 
% {\bf rechte-Hand-Orientierung}.\index{rechte-Hand-Orientierung}
% \end{Definition}

% \begin{Bemerkungl}
% Ich denke mir $\mathbb{E}$  als den \glqq Raum der Anschauung\grqq,
%  die Elemente von $B$ als \glqq Bewegungen\grqq, und 
%  die \glqq rechte-Hand-Orientie\-rung\grqq\  als diejenige Orientierung, 
% in der die durch die Abfolge
%   \glqq Daumen-Zeigefinger-Mittel\-finger\grqq\  mit der rechten Hand angedeuteten
%   angeordneten Basen des Richtungsraums positiv orientiert sind. 
% Das mag aber jeder halten, wie er will: Unsere Objekte sind durch die
% obige Definition \ref{RHOn} ebenso formal korrekt
% als Objekte der Mengenlehre eingef"uhrt wie etwa die komplexen Zahlen.
% Man zeigt mit den im folgenden entwickelten
% Hilfsmitteln auch unschwer, da"s es f"ur jedes weitere Tripel
% $(\mathbb{E}',B',\omega')$ von Objekten der eben spezifizierten Art 
% einen orientierungserhaltenden 
% Isomorphismus $\phi:\mathbb{E}\sira \mathbb{E}'$ von affinen
% R"aumen gibt, unter dem sich die jeweiligen
% Bewegungsgruppen entsprechen im Sinne einer Gleichheit $B'=\phi B \phi^{-1}$.
% Das rechtfertigt es,  %ohne da"s man irgendeine Anschauung bem"uhen  m"u"ste,
%  den bestimmten Artikel zu verwenden,
% wenn wir in der Mathematik von \emph{dem} Anschauungsraum,
% \emph{der} rechte-Hand-Orientierung etc.\
%  reden. 
% \end{Bemerkungl}

% \subsection{Schrott: Skalarprodukte zu Drehgruppen*}
% %\emph{Das war in der Vorlesung 2008/09  nicht dran.}
%   \begin{Bemerkungl}
%   In diesem Abschnitt holen wir den Rest des Beweises von
% Satz \ref{BewS} "uber den Zusammenhang zwischen Bewegungsgruppen
% und Skalarprodukten nach.
% Ich erinnere daran, da"s wir in \ref{BeGr}
%  eine Bewegungsgruppe
% eines dreidimensionalen reellen affinen
% Raums $R$ 
% definiert hatten als  eine alle Translationen umfassende Untergruppe
%   $B\subset \op{Aff}^\times R$ seiner Automorphismengruppe 
% %unseres affinen Raums  
%  derart, da"s es f"ur je zwei Paare $(H,L)$ von Teilmengen von
%   $R$ bestehend aus einer Halbebene und einer 
% Halbgerade auf ihrem Rand genau
%   einen Automorphismus aus $B$ gibt, der sie ineinander "uberf"uhrt. 
% Die Elemente der Isotropiegruppe $B_p\subset B$  
% eines  Punktes $p\in R$
% nennen wir 
% {\bf Drehungen um den Punkt $p$}.\index{Drehung!um Punkt}
% Da unsere Bewegungsgruppe
% nach Annahme alle Translationen enth"alt, liefert das Bilden des 
% linearen Anteils einen Isomorphismus der Isotropiegruppe $B_p$ 
% jedes Punktes $p\in R$ mit derselben Gruppe 
% $D\subset \op{GL} (\vec R)$ 
% von Automorphismen
% des Richtungsraums.
% Die Elemente von $D$ nennen wir {\bf Drehungen
% im Richtungsraum}.\index{Drehung!im Richtungsraum} Nach unserer
% Definition einer Bewegungsgruppe \ref{BeGr}
%  bilden die linearen Anteile ihrer 
% Elemente   eine Drehgruppe im
% Sinne der gleich folgenden Definition.
% \end{Bemerkungl}


%   \begin{Definition}\label{DeDr}
%     Unter einem \defind{Strahl} $L$ in einem reellen Vektorraum $V$ verstehen
%     wir eine Teilmenge $L\subset V$ mit der Eigenschaft, da"s es in $V$ einen
%     Vektor $v\neq 0$ gibt mit $L=\DR_{\geq 0}v$.  
% Unter einer {\bf Drehgruppe}\index{Drehgruppe} in einem dreidimensionalen
% reellen Vektorraum verstehen wir eine Untergruppe seiner 
% Automorphismengruppe mit der Eigenschaft, da"s es f"ur je zwei Paare
% von Teilmengen unseres  Vektorraums bestehend aus einer
% linearen Halbebene und einem Strahl auf ihrem Rand genau ein Element unserer 
% Untergruppe gibt, die  das eine Paar in das andere "uberf"uhrt.
% Die Elemente einer solchen Drehgruppe bezeichnen wir dann auch als 
% {\bf Drehungen}.\index{Drehung}
% \end{Definition}
% %% \begin{Definition}\label{SKPn}
% %% Ein {\bf Skalarprodukt}\index{Skalarprodukt} 
% %% auf einem reellen Vektorraum $V$ 
% %% ist eine bilineare Abbildung
% %% $b:V\times V\ra\DR$  derart,
% %% da"s gilt $b( v,w)=b(w,v)$ f"ur alle $v,w\in V$
% %% und $b( v,v)\leq 0\RA v=0$.  
% %% Analog definiert man Skalarprodukte 
% %% auf einem Vektorraum "uber einem beliebigen angeordneten K"orper.
% %% \end{Definition}

% \begin{Bild} 
% \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildDGr}\\[4mm]
% \noindent 
% Zwei Paare von Teilmengen eines dreidimensionalen reellen
% Vektorraums bestehend aus je einer
% linearen Halbebene und einem Strahl auf ihrem Rand. Unsere Bedingung an eine
% Drehgruppe besagt, da"s je zwei derartige Paare durch genau eine
% Drehung unserer Drehgruppe ineinander "uberf"uhrt werden.
% \end{Bild}


% \begin{Satz}[\textbf{Drehgruppen und Skalarprodukte}] 
% Gegeben ein dreidimensionaler reeller\label{DuSk}
% Vektorraum $V$ und ein ausgezeichneter Vektor 
% $ m\in V\backslash 0$ liefert die
% Abbildung $b\mapsto\op{SO}(V;b)$ eine Bijektion
% \begin{displaymath}
% \left\{ 
% \text{Skalarprodukte $b$ auf $V$ mit $b( m, m)=1$}
%  \right\}%/\DR_{>0} 
% \;\;\overset{\sim}{\rightarrow} \;\;
% \left\{
% \text{Drehgruppen $D\subset\op{GL}(V)$}
%  \right\}
% \end{displaymath} 
% \end{Satz}


% \begin{Bemerkungl}
% Aus diesem Satz folgen unmittelbar die noch unbewiesenen Behauptungen
% von Satz \ref{BewS} "uber den Zusammenhang zwischen Bewegungsgruppen 
% und Skalarprodukten. Der Satz und sein Beweis bleiben richtig, wenn
% wir statt den reellen Zahlen einen beliebigen 
% angeordneten K"orper zugrundelegen, in dem zu jedem positiven Element eine
% Quadratwurzel  existiert.
% \end{Bemerkungl}
% %\begin{Bemerkung}
% %Nehmen wir unsere Drehgruppe $D$ als abgeschlossen an, so kann man
% %ihre Kompaktheit aus der Existenz eines kompakten homogenen Raums
% %folgern und ein invariantes Skalarprodukt durch Integration erhalten.
% %\end{Bemerkung}
% \begin{proof}
% Den 
% Nachweis, da"s f"ur jedes Skalarprodukt $b$ auf $V$ die Gruppe
% $\op{SO}(V;b)=\{d\in\op{GL}(V)\mid b(dv,dw)
% =b(v,w)\;\forall v,w\in V\text{ und }
% \op{det}d=1\}$ in der Tat eine Drehgruppe  
% ist,
%  "uberlasse ich dem Leser  und
% beginne gleich mit der Konstruktion der Umkehrabbildung.
% Sei also $V$ ein dreidimensionaler reeller Vektorraum und $D\subset \op{GL}(V)$
% eine Drehgruppe im Sinne unserer Definition \ref{DeDr}.
% Gegeben $v,w\in V$  vereinbaren wir  die Sprechweise,
% $w$ {\bf stehe drehsenkrecht auf} $v$ 
% %oder auch {\bf sei orthogonal zu} $v$ 
% und schreiben $$w\vdash v$$
% genau dann, wenn es eine Drehung $r\in D$ gibt mit $r(w)=-w$ und $r(v)=v$. 
%   Aus $w \vdash v$ folgt leicht $dw\vdash dv$
%   f"ur jede Drehung $d$ und $\lambda w \vdash \mu v$ f"ur alle
%   $\mu,\lambda\in\DR$. Des weiteren steht nur 
% der Nullvektor drehsenkrecht auf sich selbst.
% Gegeben linear unabh"angige Vektoren  $v,w\in V$ 
% vereinbaren wir nun f"ur das durch sie bestimmte Paar
% aus einer Halbebene nebst einem Strahl auf ihrem Rand 
% speziell f"ur diesen Beweis
% die Notation 
% $$[v,w]\pdef( \mathbb{R} v
%     + \mathbb{R}_{\geq 0} w,\mathbb{R}_{\geq 0} v)$$
% Unsere Definition einer Drehgruppe besagt in dieser Notation,
% da"s es f"ur je zwei Paare $(v,w)$ und $(v',w')$ von 
% linear unabh"angigen Vektoren genau ein Element $r$
% unserer Drehgruppe gibt mit $r:[v,w]\mapsto [v',w']$.
% Als n"achstes zeigen wir die Symmetrie der Relation des Drehsenkrechtstehens.
%   \begin{Lemma}\label{SeSy}    
% Es gilt $w \vdash v\;\RA\;v\vdash w$.
%   \end{Lemma}
%      \begin{proof}
%       Zun"achst zeigen wir das f"ur $v,w$ linear
%       unabh"angig.  Gilt $w \vdash v$, 
% so gibt es ja per definitionem 
% eine Drehung 
% $r$ mit $rw=-w$ und $rv=v$. 
% Das mu"s nat"urlich die Drehung
%       $r$ sein mit $r:[v,w]\mapsto [v,-w]$. Betrachten wir 
% zus"atzlich die Drehung $s$
%       mit $s:[v,w]\mapsto [-v,w]$, so folgt  $s^2=\op{id}$ und weiter
%       $sr = rs$, da  beide Abbildungen 
% die Eigenschaft $[v,w]\mapsto [-v,-w]$ haben. Daraus
%       folgt erst $sv = -v$ und dann $s w = w $ durch explizite Rechnung 
% oder konzeptioneller, da $s$ die Eigenr"aume von $r$ im Erzeugnis
% $\DR v+\DR w$ stabilisiert. Das liefert
%        dann $v \vdash w$ wie behauptet.  
% Gilt $w \vdash v$ f"ur linear abh"angige Vektoren, so mu"s mindestens einer 
% der Nullvektor sein. Im Fall $v=0$ ist $0\vdash w$ offensichtlich, 
% bereits die Identit"at h"alt dann 
% $w$ fest und bildet  $v$ auf sein Negatives ab.
% Es reicht also, wenn wir  $ v \vdash 0$ zeigen f"ur
%      alle $v\neq 0$. 
%   Unter
%      dieser Annahme  gibt es jedoch f"ur $u\not \in\DR v$ eine Drehung
%      $s$ mit $s:[v,u]\mapsto [-v,u]$. Wegen $s^2:[v,u]\mapsto [v,u]$ gilt
%      $s^2=\op{id}$ und daraus folgt $s(v)=-v$ und damit haben wir in der Tat
%      $v \vdash 0$. 
%   \end{proof}
%   \begin{Lemma}\label{WSDh}
%     \begin{enumerate}
% \item  
% Die auf allen Vektoren einer 
% Ebene drehsenkrecht stehenden\label{ruv} 
% Vektoren bilden eine Gerade;
% \item \label{Ubhh}
% Die auf allen Vektoren einer 
%  Gerade drehsenkrecht stehenden Vektoren bilden eine Ebene;
% \item
% F"ur jeden von Null verschiedenen Vektor $n\neq 0$ gibt es 
% genau eine Drehung $r_n$ mit $r_nn=n$ und $u\vdash n\;\IFF\; r_n u=-u$.
%     \end{enumerate}
%   \end{Lemma}

%  \begin{proof}
% Gegeben $G\subset P\subset V$ eine  Gerade in 
% einer  Ebene  gibt es genau eine Drehung,
% die die Gerade $G$ punktweise festh"alt und die beiden zugeh"origen Halbebenen 
% von $P$ vertauscht: Schreiben wir etwa 
% $G=\DR v$ und $P=\DR v+\DR w$, 
% so kann unsere Drehung charakterisiert werden durch
% $[v,w]\mapsto [v,-w]$. Es folgt, da"s die Menge der auf allen Vektoren aus 
% $G$ drehsenkrecht stehenden Vektoren von $P$ eine Gerade $G'$ ist,
% eben der $(-1)$-Eigenraum dieser Drehung in $P$, 
% und nach \ref{SeSy} ist die Menge der auf allen Vektoren aus 
% $G$ drehsenkrecht stehenden Vektoren von $P$ dann wieder 
% unsere urspr"ungliche 
% Gerade $G$. 
% Gegeben linear unabh"angige Vektoren $v,w$ mit $v\vdash w$ 
% hat die Drehung $d$ mit $d:[v,w]\mapsto [w,-v]$
% folglich die Eigenschaft $d(w)\in\DR v$ und es ergibt sich sofort 
% $d: [w,-v]\mapsto [-v, -w]$, also $d^4=\op{id}$.
% Wir erkennen $d^2v=-v$, $d^2w=-w$ und folglich $d^2u=-u$ f"ur alle
% $u\in P$. Andererseits haben wir $d^2\neq -\op{id}$, etwa da die Determinante
% eines Quadrats nie negativ sein kann, folglich hat  $d^2$ einen von Null
% verschiedenen Fixvektor $n$ und es folgt $P=\{u\in V\mid n\vdash u\}$.
% Wir erkennen so, da"s die auf einer vorgegebenen 
% Ebene drehsenkrechten Vektoren stets eine Gerade bilden, und da"s es zu einem
% von Null verschiedenen Vektor $n\neq 0$ stets genau eine Drehung
% $r_n$ gibt mit $r_n(n)=n$ und $u\vdash n\RA r_n(u)=-u$. 
% Da"s die auf allen Vektoren einer 
%  Gerade drehsenkrecht stehenden Vektoren  eine Ebene bilden, folgt
% daraus dann unmittelbar.
% \end{proof}

% \begin{Ubung}
%  Gegeben ein Vektor $n\neq 0$ gilt f"ur jede 
% Drehung $d$ die Identit"at  $r_{dn}=d
%   \circ r_n \circ d^{-1}$ und  f"ur jeden von Null verschiedenen Skalar
%   $\lambda\in\DR^\times$ haben wir  $r_{\lambda n}=r_n$.
% \end{Ubung}


%   \begin{Lemma}\label{Ubh}
%     Gegeben zwei linear unabh"angige Vektoren $v,w$ gilt f"ur  die Drehung
%     $r$ mit $r:[v,w]\mapsto [w,v]$ die Identit"at $r^2=\op{id}$
% und es gibt  $\lambda>0$ mit $rv=\lambda w$ und
%   $r\lambda w=v$.
% \end{Lemma}
% \begin{proof}
%   Die Restriktion von $r$ auf die Ebene $\DR v+\DR w$ hat negative
%   Determinante, da ihre Matrix in der Basis $v,w$ oben links eine Null hat und
%   in der Nebendiagonalen positive Eintr"age.  Damit hat unsere Matrix zwei
%   verschiedene reelle Eigenwerte und $r^2$ hat zwei positive reelle Eigenwerte,
%   etwa mit Eigenvektoren $n$ und $m$, und wegen $r^2:[n,m]\mapsto[n,m]$ folgt
%   $r^2=\op{id}$. Der Rest des Lemmas folgt leicht.
% \end{proof}



%   \begin{Lemma}\label{DLuu}
%     Bildet eine Drehung einen Strahl bijektiv auf sich selber ab, so h"alt
%     sie ihn bereits punktweise fest.
% \end{Lemma}
% \begin{Bemerkung}
% Dies Lemma formalisiert die Erfahrungstatsache, da"s eine
% Achse beim Drehen ihre L"ange nicht "andert, 
% und es mag
% l"acherlich wirken, das beweisen zu wollen.
% In der Tat h"atten wir 
% diese Aussage  auch
% als zus"atzliche Bedingung zu unserer Definition des Anschauungsraums 
% und zur Definition des Begriffs einer Drehgruppe hinzunehmen k"onnen.
% Da"s ich das nicht getan habe, hat rein "asthetische Gr"unde: 
% Wir k"onnen so eine gr"o"sere Wegstrecke mit reiner Logik 
% zur"ucklegen. 
% \end{Bemerkung}
% \begin{proof}
% Es gilt f"ur $u\neq 0$ und jede Drehung $d\in D$ 
%   zu zeigen
%   $$d(\DR_{\geq 0} u)=\DR_{\geq 0} u\;\RA\; du=u$$
%   Dazu  w"ahlen
%   wir $v\neq 0$ mit $v\vdash u$. Gilt $dv\in \DR v$, so folgt $d^2 v\in
%   \DR_{>0}v$ und damit $d^2:[u,v]\mapsto [u,v]$ und so $d^2=\op{id}$ und dann
%   $du=u$. Sonst spannen $v$ und $dv$ die zu $u$ drehsenkrechte Ebene auf.  Nach
%   \ref{Ubh} gibt es $\lambda>0$ und eine Drehung $r$, die $\lambda v$ mit $dv$
%   vertauscht. Deren Quadrat ist die Identit"at, woraus leicht folgt $ru=-u$.
%   F"ur die Verkn"upfung $r r_v$ gilt dann $\lambda v\mapsto dv$ und $u\mapsto
%   u$, woraus folgt $r r_v: [u,v]\mapsto [u,dv]$, also $r r_v=d$ und damit dann
%   $du=u$ wie gew"unscht.
% \end{proof}
% \begin{figure}[p]\centering
% \includegraphics[height=5cm]{SkriptenBilder/Bildavw}\\[4mm]
% \noindent 
% Diese Abbildung illustriert die Definition von $\alpha_v(w)$.
% Im hier dargestellten Fall h"atten wir etwa $\alpha_v(w)=3$ und f"ur das
% Skalarprodukt $b_l$ mit $v\in l$ h"atten wir $b_l(v,w)=3/2$.
% \end{figure}
% \begin{figure}[p]\centering
% \includegraphics[height=0.4\textheight]{SkriptenBilder/Bildarv}\\[4mm]
% \noindent 
% Illustration der Identit"at $\alpha_v (w)= \alpha_w(v)$ unter der Annahme,
% da"s es eine Drehung $r$ gibt, die $v$ und $w$ vertauscht.
% \end{figure}
% \begin{Lemma}\label{DBP}
% Jede Bahn einer Drehgruppe trifft jeden Strahl in genau einem Punkt. 
% \end{Lemma}
% \begin{proof}
% Da"s jede Bahn jeden Strahl in h"ochstens einem Punkt trifft, folgt sofort aus
% \ref{DLuu}. Da"s jede Bahn jeden Strahl in mindestens einem Punkt trifft,
% folgt unmittelbar aus unserer Definition einer Drehgruppe.
% \end{proof}





% \begin{Bemerkungl}
%   Wie in \ref{AISk} erkl"aren wir die Drehnorm eines Vektors $ v$ als diejenige
%   nichtnegative reelle Zahl $\| v \| = \lambda $, f"ur die es eine Drehung $d$
%   gibt mit $d ( v) =\lambda m$. Das vorhergehende Lemma 
% \ref{DBP} zeigt, da"s es genau ein $\lambda\geq 0$ mit dieser 
% Eigenschaft gibt.
% \end{Bemerkungl}






% \noindent
% Nach diesen Vorbereitungen konstruieren wir nun unser Skalarprodukt.
% Gegeben $v\neq 0$ und $w\not\in\DR v$  gilt f"ur unser $r_v$ aus 
% \ref{WSDh}.\ref{ruv} sicher
% $r_v w=\alpha v-\gamma w$ mit $\gamma\geq 0$. Wegen $r_v^2w=\alpha v-\alpha
% \gamma v+\gamma^2w=w$ folgt 
% $\gamma=1$. Es gibt folglich f"ur alle $w\in V$ 
% genau eine reelle Zahl $\alpha_v(w)$
% mit der Eigenschaft
% $$r_vw+w=\alpha_v(w)v$$ Man erkennt unschwer, da"s 
% $\alpha_v$  eine Linearform auf  
% $V$ ist.
% Wir k"onnen $\alpha_v$ auch charakterisieren als die eindeutig bestimmte
% Linearform, die auf $v$ den Wert Zwei annimmt und auf allen zu $v$ 
% drehsenkrechten Vektoren den Wert Null.
% Unsere Definitionen liefern  f"ur jede weitere Drehung $d$ 
% die Identit"at $\alpha_{dv}\circ d =\alpha_v$ 
% alias $\alpha_{dv} =\alpha_v\circ d^{-1}$
% und f"ur jeden von Null verschiedenen Skalar $\lambda\in \DR^\times$
% die Identit"at $\alpha_{\lambda v} =\lambda^{-1} \alpha_v$.
% Werden zwei von Null verschiedene Vektoren $v,w$ 
% durch eine Drehung untereinander vertauscht,  so gilt f"ur unsere
% Ausdr"ucke weiter  die Identit"at 
% $\alpha_v (w)= \alpha_w(v)$. In der Tat, aus $rv=w$ und $rw=v$ folgt
% $r r_v=r_w r$ und aus der von der Mitte ausgehend 
% zu entwickelnden Gleichungskette 
% $$\alpha_w(v)w-v=r_w(v)=r_w r w=r r_v w=r(\alpha_v(w)v-w)=\alpha_v(w)w-v$$
% ergibt sich  die Behauptung.
% Nun w"ahlen wir die durch unseren
% ausgezeichneten Vektor $ m$ 
% gegebene Drehnorm und erkl"aren die
% Abbildung
% $b=b_m: V\times V\ra\DR$ durch die Vorschrift
% $$b(v,w)=\left\{\begin{array}{cl} \|v\|^{2}\alpha_v(w)/2 & v\neq 0;\\ 0 & v=0. 
% \end{array}\right.$$
% Offensichtlich gilt  $\|v\|^{2}=b(v,v)$ und
% $w\mapsto b(v,w)$ ist linear f"ur alle $v$. 
% Schlie"slich beachten wir, da"s f"ur je zwei von Null verschiedene 
% Vektoren $v,w\in V$ 
% die Vektoren $\|v\|^{-1}v$ und $\|w\|^{-1}w$ durch eine Drehung 
% untereinander vertauscht werden. 
% Nach dem Vorhergehenden  folgt 
% $\|v\|\|w\|^{-1}\alpha_v(w)=\|w\|\|v\|^{-1}\alpha_w(v)$ alias 
% $\|v\|^{2}\alpha_v(w)=\|w\|^{2}\alpha_w(v)$ und damit 
% $b(v,w)=b(w,v)$ erst f"ur je zwei von Null verschiedene 
% Vektoren, aber dann auch sofort f"ur alle $v,w\in V$.
% In der Terminologie aus \ref{SKP} ist also 
%  $b$ ein Skalarprodukt
% auf $V$ und wir haben wie versprochen eine Abbildung in die Gegenrichtung
% konstruiert. Da"s unsere beiden Abbildungen 
% in der Tat zueinander invers sind, mag der Leser selbst pr"ufen. 
% \end{proof}

% \begin{Bemerkungl}\label{MooA}
% Unser mathematisches Modell des Raums unserer Anschauung als 
%   eines dreidimensionalen reellen affinen Raums  
% $$\mathbb{E}$$
% aus\index{E@$\mathbb{E}$ Anschauungsraum}\index{Anschauungsraum}   
% \eref{ANRA}{LA1} erweitern wir nun um das zus"atzliche Datum
% einer ausgezeichneten Bewegungsgruppe $B\subset \op{Aff}^\times {\mathbb{E}}$
% im Sinne der vorhergehenden Definition \ref{BeGr}.
% Meines Erachtens ist es diese Struktur $(\mathbb{E},B)$, 
% die  die Bezeichnung als
% \glqq euklidischer Raum\grqq\  am ehesten verdient h"atte,
% aber leider ist die fragliche Bezeichnung %\glqq euklidischer Raum\grqq\  
%  schon anderweitig vergeben.
% Zu unserem endg"ultigen 
% Modell des Raums unserer Anschauung \ref{RHOn} dahingegen nehmen
% wir auch noch das Datum einer ausgezeichneten Orientierung hinzu, um
% sp"ater einmal den Elektromagnetismus behandeln zu k"onnen.
% % fertig werden, wo wir das Konzept einer Orientierung besprechen.
% %% Da diese Bezeichnung aber nun schon anderweitig vergeben ist,
% %% nenne ich sie 
% %% einen {\bf Klein'schen Raum}\index{Klein'scher Raum}
% %% in Erinnerung an den Mathematiker Felix Klein, 
% %% in dessen Erlanger Programm er zwischen den Zeilen 
% %% leicht zu finden ist.\index{Raum!Klein'scher} 
% Die
% Elemente von ${\mathbb{E}}$ denke ich mir als \glqq alle m"oglichen Orte im 
% Raum\grqq. Manche  dieser Orte
% k"onnen direkt als Kirchturmspitzen, Zimmerecken und 
% dergleichen angegeben
%   werden, die "Ubrigen gilt es sich vorzustellen. Affine
% Geraden in ${\mathbb{E}}$ denke ich mir als Sichtlinien,
% wie in \eref{ANRA}{LA1} und \eref{ARG}{LA1} besprochen.
% Bei  Bewegungen denke ich an, nun, eben anschauliche Bewegungen.
% Kippen wir  etwa einen Stuhl um, so werden die Enden der
%   Stuhlbeine, die Ecken der Sitzfl"ache, ja "uberhaupt alle seine Punkte
%   jeweils in andere Punkte des Raums unserer Anschauung "uberf"uhrt, und diese 
% Abbildung
%   l"a"st sich---so zeigt es unsere Erfahrung---zu 
% einer Selbstabbildung des Raums unserer Anschauung
% fortsetzen, die Sichtlinien in
%   Sichtlinien "uberf"uhrt
% und die nach \eref{IAGe}{LA1} 
% folglich einer affinen Abbildung $\mathbb{E}\ra \mathbb{E}$ 
% entsprechen mu"s.  Unsere 
% ausgezeichnete Bewegungsgruppe $B$ 
%  modelliert die Menge aller
% derartigen Selbstabbildungen des   Raums unserer Anschauung. Unsere
% Bedingung an eine Bewegungsgruppe 
% bedeutet anschaulich, da"s man etwa jedes Messer aus einer festen
% Position heraus durch genau eine Bewegung in eine Position bringen kann, 
% in der 
% der "Ubergang vom Griff
% zur Klinge an einer vorgegebenen Stelle stattfindet, die Messerspitze in eine
% vorgegebene Richtung zeigt und der Schnitt den Raum entlang
% einer vorgegebenen Halbebene zerteilen
% w"urde. An dieser Stelle  m"ochte ich Sie am liebsten 
% wieder einmal
% davon "uberzeugen, 
% da"s  das  Abstrakte das eigentlich
% Konkrete ist.
% \end{Bemerkungl}
% \begin{Bemerkunge}
%  Ich wage die Vermutung, da"s S"auglinge nicht zuletzt deshalb so gerne 
% herumgetragen und herumgefahren werden, weil ihnen das die 
% Untersuchung dieser bemerkenswerten mathematischen Struktur 
% erm"oglicht, die der Raum unserer Anschauung nun einmal ist.
% \end{Bemerkunge}

% \begin{Bemerkungl}
%   Ich erinnere an unser Tensorprodukt mit eindimensionalen
% R"aumen aus \eref{tpe}{LA1}.   Das
% Tensorprodukt in voller Allgemeinheit werden wir erst
% in \ref{DefT} besprechen.
% \end{Bemerkungl}
% %\emph{Das kam in der Vorlesung 2008/2009 nicht vor.}
% \begin{Definition}\label{SKex}
% Seien $V$ ein reeller Vektorraum und $L$ ein eindimensionaler 
% orientierter reeller
% Vektorraum. Unter einem  {\bf Skalarprodukt auf $V$ mit
% Einheiten in $L$}\index{Skalarprodukt!mit Einheiten} 
% oder k"urzer einem 
% {\bf $L$-wertigen Skalarprodukt}\index{Skalarprodukt!$L$-wertiges}
% verstehen wir eine symmetrische
% bilineare Abbildung
% \begin{eqnarray*}
% s : V \times V \rightarrow L^{\otimes 2}
% \end{eqnarray*}
% mit $v \neq 0 \Rightarrow s (v, v) > 0$ f"ur diejenige 
% Orientierung auf $L^{\otimes 2}$,
% die charakterisiert wird 
% durch die Eigenschaft $a^{\otimes 2} \in L^{\otimes 2}_{>0}$ f"ur alle
% $a\in L\backslash 0$.
% Die Orientierung auf $L$ setzen wir hier 
% voraus, damit wir eine Wurzelabbildung
% $\sqrt{\rule{0mm}{2mm}} : L^{\otimes 2}_{\geq 0} \rightarrow L_{\geq 0}$
% erkl"aren k"onnen als das Inverse des 
% Quadrierens $L_{\geq 0} \overset{\sim}{\rightarrow}
% L^{\otimes 2}_{\geq 0}$, $a \mapsto a^{\otimes 2}$,
% so da"s sich die {\bf L"ange\index{L"ange!in Einheiten} 
% eines Vektors} $v$ erkl"aren l"a"st als
% \begin{equation*}
% \| v\|_s \pdef \sqrt{s (v,v)} \in L_{\geq 0}
% \end{equation*}
% \end{Definition}

% \begin{Bemerkungl}
%  F"uhrt man den Auschauungsraum wie in \ref{RHOn} ein als
% Tripel  $$(\mathbb{E},B,\omega)$$ 
% bestehend aus einem dreidimensionalen reellen affinen Raum
% $\mathbb{E}$, einer ausgezeichneten
% Bewegungsgruppe $B\subset \op{Aff}^\times \mathbb{E}$
% im Sinne von \ref{BeGr} und
% einer ausgezeichneten Orientierung $\omega$ im Sinne von \eref{OrA}{LA1}, so
% wird sein Richtungsraum 
%  ein dreidimensionaler reeller Vektorraum
% mit ausgezeichneter Drehgruppe im Sinne von \ref{DeDr}.
% Gegeben ein dreidimensionaler reeller Vektorraum 
% mit ausgezeichneter Drehgruppe im Sinne von \ref{DeDr}
% soll  nun   in 
% vollst"andig kanonischer Weise
% auf unserem Vektorraum ein Skalarprodukt mit
% Einheiten konstruiert werden. 
% Dazu m"ussen wir aus diesen Daten zuerst einmal einen
% orientierten
% eindimensionalen
% Vektorraum  konstruieren, die \glqq L"angengerade\grqq.
% Das braucht bereits einige Vorbereitungen.
% \end{Bemerkungl}

% \begin{Definition}\label{BalP}
% Gegeben eine Gruppe $G$, eine $G$-Menge $X$ 
% und eine $G$-Rechts\-menge $Y$ definieren
% wir ihr \defind{balanciertes Produkt}
% \begin{equation*}
% Y \times_G X
% \end{equation*}
% als den Quotienten des kartesischen Produkts $Y \times X$ 
% nach der "Aquivalenzrelation 
% $(yg, x) \sim (y,gx) \quad \forall  y \in Y$, $ x \in X$ und $ g\in G$, 
% alias den Bahnenraum von $Y \times X$ unter der
% durch die Vorschrift $g (y,x) = (yg^{-1}, gx)$ 
% gegebenen $G$-Operation. Die
% "Aquivalenzklasse alias Bahn von $(y,x) \in Y \times X$ notieren wir 
% $[ y,x] \in Y \times_G X$.
% \end{Definition}

 
%  \begin{Bemerkungl}\label{UTO}
%       Seien $k$ ein K"orper, $V$ ein $k$-Vektorraum und $G$ eine Gruppe.
% Seien weiter  $\rho: G \rightarrow \op{GL} (V)$ 
% ein Gruppenhomomorphismus und $Y$ ein
%       $G$-Torsor im Sinne von \ref{ReTo}. 
%  So gibt es auf dem balancierten Produkt
%       \begin{equation*}
%         Y \times_G V=Y \times^\rho_G V
%       \end{equation*}
%       genau eine Struktur als $k$-Vektorraum derart, da"s f"ur alle $y \in Y$
%       die Abbildung $v \mapsto [y,v]$ einen Vektorraumisomorphismus $V
%       \overset{\sim}{\rightarrow} Y\times_G V$ liefert.
%   Des weiteren liefert jede $G$-"aquivariante Abbildung von Torsoren 
% $Y\ra Z$ 
% offensichtlich einen Isomorphismus von $k$-Vektorr"aumen 
% $Y \times_G V\sira Z\times_G V$.
%   \end{Bemerkungl}  

  

% \begin{Definition}\label{Laeg}
% Sei $V$ ein dreidimensionaler reeller 
% Vektorraum $V$ mit einer ausgezeichneten Drehgruppe $D \subset
% \op{GL} (V)$ im Sinne von \ref{DeDr}. 
% Eine Bahn $l\subset V\backslash 0$ unserer Drehgruppe $D$
%  nennen wir  eine {\bf positive L"ange}.\index{L"ange!positive}
% Diese positiven 
% L"angen bilden in nat"urlicher Weise einen $\DR_{>0}$-Torsor
% im Sinne von \ref{DGWb}.\ref{Tors}.
% Den zugeh"origen 
% orientierten eindimensionalen
% {\bf Vektorraum der L"angen} 
% alias die zugeh"orige {\bf L"angengerade}\index{L"angengerade}
% erkl"aren wir als das balancierte Produkt
% \begin{equation*}
% L_D = L \pdef L_{>0} \times_{\mathbb R_{>0}} \mathbb R
% \end{equation*}
% versehen mit derjenigen Orientierung, f"ur die alle 
% Vektoren $[l,\alpha]$ mit $l\in L_{>0}$ und 
% $\alpha >0$ positiv orientierte Basen sind.
% Die Injektion $L_{>0} \hookrightarrow L$, 
% $l \mapsto [l,1]$ notieren wir nicht extra, sondern
% fassen sie im weiteren als die Einbettung einer Teilmenge auf. Das
%  Bild dieser Einbettung sind im "ubrigen  genau die positiven Vektoren unseres 
% orientierten eindimensionalen Vektorraums, so da"s wir
% mit unserer Notation keine Zweideutigkeiten erzeugen.
% \end{Definition}



% \begin{Bemerkungl}\label{KasK}
% Gegeben ein dreidimensionaler reeller Vektorraum $V$ 
% mit ausgezeichneter Drehgruppe
% $D \subset \op{GL} (V)$  gibt es genau ein
% Skalarprodukt auf $V$ mit Einheiten in der zugeh"origen
% L"angengerade $L$, als da hei"st genau eine positiv definite
% symmetrische bilineare Abbildung
% $$
% s : V \times V \rightarrow  L^{\otimes 2}
% $$
% derart, da"s gilt 
%  $s (v,v) = D v \otimes D v$ f"ur 
% alle $v \neq 0$. Hier  meint $D v \in L_{>0} \subset
% L$ die Bahn von $v$ unter der Drehgruppe $D$.
%  Die Eindeutigkeit von $s$ folgt aus der 
% Polarisierungsidentit"at und die Existenz
% erh"alt man, indem man das Ende des Beweises 
% von \ref{DuSk} geeignet variiert.
% Ich schlage vor, diese Abbildung 
% $
% s : V \times  V \rightarrow L^{\otimes 2}
% $
% das {\bf kanonische Skalarprodukt}\index{kanonisches Skalarprodukt} 
% unserer Drehgruppe\index{Skalarprodukt!kanonisches}
% zu nennen, da es sich dabei um  
% ein Skalarprodukt mit Einheiten im Sinne unserer Definition \ref{SKe} handelt,
% das nur von der ausgezeichneten Drehgruppe
% und sonst von keinerlei Wahlen abh"angt.
% Die Abbildung
% $V\ra L_{\geq 0}$, die jedem von Null verschiedenen Vektor $v$ seine
% $D$-Bahn zuordnet und dem Nullvektor die Null, notieren wir 
% $$
% \begin{array}{ccc}
% V&\ra &L_{\geq 0}\\[2mm]
% v&\mapsto&\|v\|
% \end{array}$$
% und nennen $\|v\|$ die {\bf L"ange von}\index{L"ange} $v$.
% % Es ist zwar kein Skalarpodukt im engeren Sinne unserer 
% % Definition \ref{SKP}, da es nicht
% % Werte in $\mathbb R$ sondern vielmehr im eindimensionalen 
% % Vektorraum $L^{\otimes 2}$
% % annimmt. Dieser Vektorraum erbt jedoch in offensichtlicher 
% % Weise ein Orientierung von $L$,
% % und f"ur alle $v \neq 0$ ist $s (v,v) \in L^{\otimes 2}$ 
% % positiv in Bezug auf diese
% % Orientierung.
% \end{Bemerkungl}
% \begin{Bemerkungl}
%   Ich erinnere an unser Tensorprodukt mit eindimensionalen
% R"aumen aus \eref{tpe}{LA1}.   Das
% Tensorprodukt in voller Allgemeinheit werden wir erst
% in \ref{DefT} besprechen.
% \end{Bemerkungl}
% %\emph{Das kam in der Vorlesung 2008/2009 nicht vor.}
% \begin{Definition}\label{SKeA}
% Seien $V$ ein reeller Vektorraum und $L$ ein eindimensionaler 
% orientierter reeller
% Vektorraum. Unter einem  {\bf Skalarprodukt auf $V$ mit
% Einheiten in $L$}\index{Skalarprodukt!mit Einheiten} 
% oder k"urzer einem 
% {\bf $L$-wertigen Skalarprodukt}\index{Skalarprodukt!$L$-wertiges}
% verstehen wir eine symmetrische
% bilineare Abbildung
% \begin{eqnarray*}
% s : V \times V \rightarrow L^{\otimes 2}
% \end{eqnarray*}
% mit $v \neq 0 \Rightarrow s (v, v) > 0$ f"ur diejenige 
% Orientierung auf $L^{\otimes 2}$,
% die charakterisiert wird 
% durch die Eigenschaft $a^{\otimes 2} \in L^{\otimes 2}_{>0}$ f"ur alle
% $a\in L\backslash 0$.
% Die Orientierung auf $L$ setzen wir hier 
% voraus, damit wir eine Wurzelabbildung
% $\sqrt{\rule{0mm}{2mm}} : L^{\otimes 2}_{\geq 0} \rightarrow L_{\geq 0}$
% erkl"aren k"onnen als das Inverse des 
% Quadrierens $L_{\geq 0} \overset{\sim}{\rightarrow}
% L^{\otimes 2}_{\geq 0}$, $a \mapsto a^{\otimes 2}$,
% so da"s sich die {\bf L"ange\index{L"ange!in Einheiten} 
% eines Vektors} $v$ erkl"aren l"a"st als
% \begin{equation*}
% \| v\|_s \pdef \sqrt{s (v,v)} \in L_{\geq 0}
% \end{equation*}
% \end{Definition}

% \begin{Bemerkungl}
%  F"uhrt man den Auschauungsraum wie in \ref{RHOn} ein als
% Tripel  $$(\mathbb{E},B,\omega)$$ 
% bestehend aus einem dreidimensionalen reellen affinen Raum
% $\mathbb{E}$, einer ausgezeichneten
% Bewegungsgruppe $B\subset \op{Aff}^\times \mathbb{E}$
% im Sinne von \ref{BeGr} und
% einer ausgezeichneten Orientierung $\omega$ im Sinne von \eref{OrA}{LA1}, so
% wird sein Richtungsraum 
%  ein dreidimensionaler reeller Vektorraum
% mit ausgezeichneter Drehgruppe im Sinne von \ref{DeDr}.
% Gegeben ein dreidimensionaler reeller Vektorraum 
% mit ausgezeichneter Drehgruppe im Sinne von \ref{DeDr}
% soll  nun   in 
% vollst"andig kanonischer Weise
% auf unserem Vektorraum ein Skalarprodukt mit
% Einheiten konstruiert werden. 
% Dazu m"ussen wir aus diesen Daten zuerst einmal einen
% orientierten
% eindimensionalen
% Vektorraum  konstruieren, die \glqq L"angengerade\grqq.
% Das braucht bereits einige Vorbereitungen.
% \end{Bemerkungl}

% \begin{Definition}\label{BalP}
% Gegeben eine Gruppe $G$, eine $G$-Menge $X$ 
% und eine $G$-Rechts\-menge $Y$ definieren
% wir ihr \defind{balanciertes Produkt}
% \begin{equation*}
% Y \times_G X
% \end{equation*}
% als den Quotienten des kartesischen Produkts $Y \times X$ 
% nach der "Aquivalenzrelation 
% $(yg, x) \sim (y,gx) \quad \forall  y \in Y$, $ x \in X$ und $ g\in G$, 
% alias den Bahnenraum von $Y \times X$ unter der
% durch die Vorschrift $g (y,x) = (yg^{-1}, gx)$ 
% gegebenen $G$-Operation. Die
% "Aquivalenzklasse alias Bahn von $(y,x) \in Y \times X$ notieren wir 
% $[ y,x] \in Y \times_G X$.
% \end{Definition}

 
%  \begin{Bemerkungl}\label{UTO}
%       Seien $k$ ein K"orper, $V$ ein $k$-Vektorraum und $G$ eine Gruppe.
% Seien weiter  $\rho: G \rightarrow \op{GL} (V)$ 
% ein Gruppenhomomorphismus und $Y$ ein
%       $G$-Torsor im Sinne von \ref{ReTo}. 
%  So gibt es auf dem balancierten Produkt
%       \begin{equation*}
%         Y \times_G V=Y \times^\rho_G V
%       \end{equation*}
%       genau eine Struktur als $k$-Vektorraum derart, da"s f"ur alle $y \in Y$
%       die Abbildung $v \mapsto [y,v]$ einen Vektorraumisomorphismus $V
%       \overset{\sim}{\rightarrow} Y\times_G V$ liefert.
%   Des weiteren liefert jede $G$-"aquivariante Abbildung von Torsoren 
% $Y\ra Z$ 
% offensichtlich einen Isomorphismus von $k$-Vektorr"aumen 
% $Y \times_G V\sira Z\times_G V$.
%   \end{Bemerkungl}  

  

% \begin{Definition}\label{Laeg}
% Sei $V$ ein dreidimensionaler reeller 
% Vektorraum $V$ mit einer ausgezeichneten Drehgruppe $D \subset
% \op{GL} (V)$ im Sinne von \ref{DeDr}. 
% Eine Bahn $l\subset V\backslash 0$ unserer Drehgruppe $D$
%  nennen wir  eine {\bf positive L"ange}.\index{L"ange!positive}
% Diese positiven 
% L"angen bilden in nat"urlicher Weise einen $\DR_{>0}$-Torsor
% im Sinne von \ref{DGWb}.\ref{Tors}.
% Den zugeh"origen 
% orientierten eindimensionalen
% {\bf Vektorraum der L"angen} 
% alias die zugeh"orige {\bf L"angengerade}\index{L"angengerade}
% erkl"aren wir als das balancierte Produkt
% \begin{equation*}
% L_D = L \pdef L_{>0} \times_{\mathbb R_{>0}} \mathbb R
% \end{equation*}
% versehen mit derjenigen Orientierung, f"ur die alle 
% Vektoren $[l,\alpha]$ mit $l\in L_{>0}$ und 
% $\alpha >0$ positiv orientierte Basen sind.
% Die Injektion $L_{>0} \hookrightarrow L$, 
% $l \mapsto [l,1]$ notieren wir nicht extra, sondern
% fassen sie im weiteren als die Einbettung einer Teilmenge auf. Das
%  Bild dieser Einbettung sind im "ubrigen  genau die positiven Vektoren unseres 
% orientierten eindimensionalen Vektorraums, so da"s wir
% mit unserer Notation keine Zweideutigkeiten erzeugen.
% \end{Definition}



% \begin{Bemerkungl}\label{KasK}
% Gegeben ein dreidimensionaler reeller Vektorraum $V$ 
% mit ausgezeichneter Drehgruppe
% $D \subset \op{GL} (V)$  gibt es genau ein
% Skalarprodukt auf $V$ mit Einheiten in der zugeh"origen
% L"angengerade $L$, als da hei"st genau eine positiv definite
% symmetrische bilineare Abbildung
% $$
% s : V \times V \rightarrow  L^{\otimes 2}
% $$
% derart, da"s gilt 
%  $s (v,v) = D v \otimes D v$ f"ur 
% alle $v \neq 0$. Hier  meint $D v \in L_{>0} \subset
% L$ die Bahn von $v$ unter der Drehgruppe $D$.
%  Die Eindeutigkeit von $s$ folgt aus der 
% Polarisierungsidentit"at und die Existenz
% erh"alt man, indem man das Ende des Beweises 
% von \ref{DuSk} geeignet variiert.
% Ich schlage vor, diese Abbildung 
% $
% s : V \times  V \rightarrow L^{\otimes 2}
% $
% das {\bf kanonische Skalarprodukt}\index{kanonisches Skalarprodukt} 
% unserer Drehgruppe\index{Skalarprodukt!kanonisches}
% zu nennen, da es sich dabei um  
% ein Skalarprodukt mit Einheiten im Sinne unserer Definition \ref{SKe} handelt,
% das nur von der ausgezeichneten Drehgruppe
% und sonst von keinerlei Wahlen abh"angt.
% Die Abbildung
% $V\ra L_{\geq 0}$, die jedem von Null verschiedenen Vektor $v$ seine
% $D$-Bahn zuordnet und dem Nullvektor die Null, notieren wir 
% $$
% \begin{array}{ccc}
% V&\ra &L_{\geq 0}\\[2mm]
% v&\mapsto&\|v\|
% \end{array}$$
% und nennen $\|v\|$ die {\bf L"ange von}\index{L"ange} $v$.
% % Es ist zwar kein Skalarpodukt im engeren Sinne unserer 
% % Definition \ref{SKP}, da es nicht
% % Werte in $\mathbb R$ sondern vielmehr im eindimensionalen 
% % Vektorraum $L^{\otimes 2}$
% % annimmt. Dieser Vektorraum erbt jedoch in offensichtlicher 
% % Weise ein Orientierung von $L$,
% % und f"ur alle $v \neq 0$ ist $s (v,v) \in L^{\otimes 2}$ 
% % positiv in Bezug auf diese
% % Orientierung.
% \end{Bemerkungl}

\subsection{Nat"urliche Konstruktionen in der Geometrie*}


\begin{Bemerkungl}
  Gegeben  ein Monoid $G$ und ein K"orper $K$ ist ein 
 Objekt der Funktorkategorie $\op{Cat} ([G], \op{Mod}_{K})$ 
 per definitionem ein Paar $(V,\rho_V)$ bestehend aus einem
$K$-Vektorraum $V$, dem Bild des einzigen Objekts unserer
Ein-Objekt-Kategorie, und einem  Monoidhomomorphismus
$\rho_V:G\ra \op{End}(V)$, dem Effekt unseres Funktors auf
Morphismen.  Man nennt solch ein Datum eine
{\bf Darstellung des Monoids $G$}.\index{Darstellung}  
Des weiteren ist ein Morphismus in ein weiteres Objekt $(W,\rho_W)$ 
der Funktorkategorie $\op{Cat} ([G], \op{Mod}_{K})$ 
 ausgeschrieben eine $K$-lineare Abbildung $\phi:V\ra W$ mit
$\phi\circ \rho_V(g)=\rho_W(g)\circ \phi$ f"ur alle 
$g\in G$. Eine derartige Abbildung hei"st ein
{\bf Verflechtungsoperator}\index{Verflechtungsoperator}
zwischen den beteiligten Darstellungen. 
Ich verwende f"ur die Kategorie aller Darstellungen 
von $G$ "uber $K$ mit Verflechtungsoperatoren als
Morphismen die Notation
$$\op{Mod}_K^G\pdef \op{Cat} ([G], \op{Mod}_{K})$$
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
Zusammenfassend und salopp gesprochen
 entsprechen mithin Zuordnungen, die
Bewegungsr"aumen in nat"urlicher 
Weise reelle Vektorr"aume zuordnen, den
Darstellungen der Automorphismengruppe eines festen
Bewegungsraums $\mathbb E$. Pr"azise gesagt liefern 
unsere Konstruktionen eine "Aquivalenz von
Kategorien 
\begin{equation*}
  \op{Cat} (\op{BR\ddot{a}ume}, \op{Mod}_{\mathbb R}) \sirra  
  \op{Mod}^{\op{Aut} \mathbb E}_{\mathbb R}
\end{equation*}
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
  F"ur die Automorphismengruppe eines  Bewegungsraums $\mathbb E$
  liefert der "Ubergang zum linearen Anteil einen Homomorphismus
  \begin{equation*}
    \op{Aut} \mathbb E 
    \ra  \op{GL} (\vec{\mathbb E})
  \end{equation*} 
Er landet in der Untergruppe $\op{GO} (\vec{\mathbb
  E})$\index{GO@$\op{GO}(\vec{\mathbb E})$ lineare "Ahnlichkeiten}  
aller
Automorphismen, die 
  ein und jedes
  bewegungsinvariante Skalarprodukt auf $\vec{\mathbb E}$
bis auf einen skalaren Faktor invariant lassen, also im Gruppenerzeugnis der
orthogonalen  und der invertierbaren skalaren Endomorphismen 
$\op{GO} (\vec{\mathbb E})\pdef\DR^\times\op{O} (\vec{\mathbb E}) $.
  Endlichdimensionale reelle Darstellungen von $\op{GO} (\vec{\mathbb E})$
und damit auch Darstellungen von $\op{Aut} \mathbb E$ sind insbesondere:
  \begin{enumerate}
  \item Der Richtungsraum $\vec{\mathbb E}$, mit $\rho(g)=g$, genannt die
    {\bf Standarddarstellung}.\index{Standarddarstellung}
Sie entspricht dem Funktor, 
der jedem 
  Bewegungsraum seinen Richtungsraum  zuordnet und jedem Isomorphismus von Bewegungsr"aumen die
  davon auf den Richtungsr"aumen induzierte Abbildung, die wir auch
   seinen \glqq linearen Anteil\grqq\ genannt hatten.
  \item Die eindimensionale Darstellung $\mathbb L$, auf der 
ein Produkt $(tA)$ 
mit $t\in\DR^\times$ und $A\in {\op{O}}(\vec{\mathbb E})$ als
  die  Multiplikation mit dem Betrag $|t|$ des Streckfaktors $t$ operiert, also mit $\rho(tA)=|t|$.
Sie entspricht dem Funktor, der jedem 
  Bewegungsraum seine L"angengerade zuordnet und jedem Isomorphismus von Bewegungsr"aumen die
davon auf den L"angengeraden induzierte Abbildung.
  \item Die eindimensionale Darstellung 
$\op{or}_\DR=\op{or}_{\mathbb R}(\vec{\mathbb
      E})$,
 auf der $g$
    durch die Multiplikation mit dem Vorzeichen  
von $\det(g)$ operiert. Sie entspricht dem Funktor, 
der jedem  Bewegungsraum die
  Orientierungsgerade seines Richtungsraums zuordnet und jedem Isomorphismus von Bewegungsr"aumen die
davon  induzierte Abbildung zwischen den Orientierungsgeraden. 
   \item Die eindimensionale Darstellung $\mathbb R$, auch genannt die
{\bf Einsdarstellung},\index{Einsdarstellung} auf der jedes
     Gruppenelement $g$ durch die Identit"at operiert.
Sie entspricht dem Funktor, 
der jedem  Bewegungsraum schlicht den immer\-gleichen
Vektorraum $\DR$  zuordnet und jedem Isomorphismus von Bewegungsr"aumen die
Identit"at auf diesem  immer\-gleichen Vektorraum $\DR$.
  \end{enumerate}
\end{Bemerkungl}



\begin{Bemerkungl}[\textbf{Produkte als
    Verflechtungsoperatoren}] 
Sei $K$ ein K"orper.
Gegeben Darstellungen\label{SKVe} 
 $V,W\in \op{Mod}_K^G$ eines Monoids $G$ 
k"onnen wir eine weitere Darstellung $(V\otimes_K W,\rho)$ bilden durch die 
Vorschrift $\rho(g)\pdef \rho_V(g)\otimes \rho_W(g)$ f"ur alle $g\in G$. 
  Unser Skalarprodukt, Kreuzprodukt und Spatprodukt 
sind dann Verflechtungsoperatoren
$$\begin{array}{rlll}
 \langle\;,\;\rangle:&\vec{\mathbb E} \otimes \vec{\mathbb E} &\rightarrow& \mathbb
  L^{\otimes 2}\\
 \times\;\;\!:&\vec{\mathbb E} \otimes \vec{\mathbb E}& \rightarrow&
  \vec{\mathbb E} \otimes \mathbb L \otimes \op{or}_\DR\\
\langle\;,\;,\;\rangle:&\vec{\mathbb E} \otimes \vec{\mathbb E}\otimes \vec{\mathbb E} &\rightarrow&
   \mathbb L^{\otimes 3} \otimes \op{or}_\DR
 \end{array}$$
von Darstellungen von $\op{Aut}\mathbb E$.
Man kann auch leicht zeigen, da"s es bis auf Skalare die einzigen 
von Null verschiedenen 
Verflechtungsoperatoren zwischen besagten Darstellungen sind.
Sie m"ogen als "Ubung zeigen, da"s 
der einzige Verflechtungsoperator 
$\vec{\mathbb E} \otimes \vec{\mathbb E} \rightarrow \mathbb
 R$ die Nullabbildung ist, ja da"s 
$\mathbb L^{\otimes 2}$ bis auf Isomorphismus die einzige eindimensionale
Darstellung von $\op{GO}(\vec {\mathbb E})$ ist, in der ein von
Null verschiedener Verflechtungsoperator aus
 $\vec{\mathbb E} \otimes \vec{\mathbb E}$ landen kann.
Salopp gesprochen gibt es also f"ur Bewegungsr"aume 
\glqq kein 
von Einheiten freies nat"urliches Skalarprodukt und im wesentlichen auch
kein nat"urliches 
Skalarprodukt in anderen Einheiten als  der Einheit Fl"ache\grqq. 
\end{Bemerkungl}



\begin{Bemerkungl}[\textbf{Der ebene Fall}] 
  Analoges gilt f"ur reelle Vektorr"aume, die\label{DEFF} 
Kongru\-enz\-ebenen in nat"urlicher Weise zugeordnet werden k"onnen:
Sie entsprechen Darstellungen der Automorphismengruppe 
$\op{Aut}E$ einer festen Kongruenzebene $E=(E,K)$.
Wieder liefert  der "Ubergang zum linearen Anteil einen Homomorphismus
  \begin{equation*}
    \op{Aut}  E 
    \ra  \op{GL} (\vec{ E})
  \end{equation*} 
Er landet in der Untergruppe $\op{GO} (\vec{
  E})$\index{GO@$\op{GO}(\vec{ E})$ lineare "Ahnlichkeiten}  
aller
Automorphismen, die 
  ein und jedes
  bewegungsinvariante Skalarprodukts auf $\vec{ E}$
bis auf einen skalaren Faktor invariant lassen, also im Gruppenerzeugnis der
orthogonalen Matrizen und der invertierbaren skalaren Matrizen 
$\op{GO} (\vec{ E})\pdef\DR^\times\op{O} (\vec{ E}) $.
  Endlichdimensionale reelle Darstellungen von $\op{GO} (\vec{ E})$
und damit auch Darstellungen von $\op{Aut}  E$ sind insbesondere:
  \begin{enumerate}
  \item Der Vektorraum $\vec{ E}$ selbst, mit $\rho(g)=g$, genannt die
    {\bf Standarddarstellung}.\index{Standarddarstellung}
Sie entspricht dem Funktor, 
der jeder Kongruenzebene ihren Richtungsraum  zuordnet.
  \item Die eindimensionale Darstellung $\mathbb L$, auf der 
ein Produkt $(tA)$ 
mit $t\in\DR^\times$ und $A\in {\op{O}}(\vec{ E})$ als
    Multiplikation mit $|t|$ operiert, also mit $\rho(tA)=|t|$.
Sie entspricht dem Funktor, der jeder
Kongruenzebene ihre L"angengerade zuordnet.
  \item Die eindimensionale Darstellung 
$\op{or}_\DR=\op{or}_{\mathbb R}(\vec{
      E})$,
 auf der $g$
    durch die Multiplikation mit dem Vorzeichen  
von $\det(g)$ operiert. Sie entspricht dem Funktor, 
der jeder
Kongruenzebene die
  Orientierungsgerade ihres Richtungsraums zuordnet. 
   \item Die eindimensionale Darstellung $\mathbb R$, auch genannt die
{\bf Einsdarstellung}, auf der jedes
     Gruppenelement $g$ durch die Identit"at operiert.
Sie entspricht dem Funktor, 
der jeder
Kongruenzebene schlicht den immer\-gleichen
Vektorraum $\DR$  zuordnet.
  \end{enumerate}
In diesem Fall haben wir
zwischen den entsprechenden Darstellungen von $\op{Aut}E$  
etwa die Verflechtungsoperatoren
$$\begin{array}{lll}
 \vec{ E} \otimes \vec{ E} &\rightarrow& \mathbb
  L^{\otimes 2}\\
\vec{ E} \otimes \vec{ E}& \rightarrow&
 \mathbb  L^{\otimes 2} \otimes \op{or}_\DR
 \end{array}$$
gegeben durch das Skalarprodukt
und das \glqq orientierte Fl"achenelement des von einem
Paar von Vektoren aufgespannten Parallelogramms\grqq.
In diesem Fall kann man etwa zeigen, da"s das bis auf Skalare die
beiden einzigen von Null verschiedenen Verflechtungsoperatoren 
von $\vec{ E} \otimes \vec{ E}$ in eindimensionale Darstellungen 
von $\op{GO} (\vec{ E})$ sind.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Im Beispiel der Kongruenzebene $E=\DC$ aus \ref{KZKE}
  ist $\op{GO} (\vec{ E})$ die Gruppe aller Abbildungen der
  Gestalt $z\mapsto \lambda z$ oder $z\mapsto \lambda \bar z$
  mit $\lambda\in\DC^\times$.
  %Verflechtungsoperatoren wie oben k"onnen in diesem Fall durch
  %$z\otimes w\mapsto \op{Re}(\bar z w)$
  %und $z\otimes w\mapsto \op{Im}(\bar z w)$ angegeben werden,
  Wir erhalten einen Verflechtungsoperator
  $\DC\otimes_\DR\DC\ra\DC_2$ als die komplexe Multiplikation mit
  der Notation $\DC_2$ f"ur den Vektorraum $\DC$ mit derjenigen Operation
  der Gruppe der "Ahnlichkeiten,
  bei der die Operation einer "Ahnlichkeit $(\lambda\cdot)$ 
  durch Multiplikation mit $\lambda^2$ geschehen m"oge, wohingegen die komplexe
  Konjugation schlicht als komplexe Konjugation operieren soll. 
\end{Bemerkungl}



\begin{Bemerkungw}
  Die Frage, welche Darstellungen die Automorphismengruppe eines
Bewegungsraums oder 
auch einer Kongruenzebene "uberhaupt hat, ja wie
  man einen "Uberblick "uber alle Darstellungen eines beliebig 
vorgegebenen Monoids
"uber einem beliebig vorgegebenen K"orper  gewinnen kann, 
steht im Zentrum der  {\bf Darstellungstheorie}.
Im Spezialfall der stetigen endlichdimensionalen Darstellungen
der Automorphismengruppe eines
Bewegungsraums  wird diese Frage in \eref{ERDv}{ML} 
im wesentlichen beantwortet. %, vergleiche auch \ref{DaRD}. 
F"ur allgemeine Monoide und K"orper kann sie sehr schwierig sein
und ist im allgemeinen noch nicht  verstanden. Auf diesem 
Gebiet wird 
seit etwa hundert Jahren intensiv geforscht. Besonders hervorheben 
m"ochte ich eine Arbeit von Eugene Wigner, in der er 
die \glqq unit"aren\grqq\ Darstellungen der Automorphismengruppe
der Raumzeit der speziellen Relativit"atstheorie untersucht
und eine enge Beziehung zu den quantenmechanischen Wellengleichungen 
der Elementarteilchen herausarbeitet.
\end{Bemerkungw}









\subsection{Restbest"ande}




\begin{Bemerkunge}\label{AGTm}

 Nach dem Satz vom primitiven Element \eref{PE}{AL} entsteht ja 
jede endliche Erweiterung $L$ des Funktionenk"orpers $\DC(T)$
 durch
die Adjunktion einer Nullstelle eines normierten irreduziblen
Polynoms $f\in\DC(T)[X]$. Nach \eref{MuPi}{AL}    finden wir  
 zu so einem irreduziblen Polynom  stets 
$c\in \DC(T)^\times$ mit $cf\in \DC[T][X]$ einem primitiven 
Polynom mit Koeffizienten in $\DC[T]$, und nach 
\eref{PFR}{AL} ist  $g=cf$ dann  irreduzibel in
$\DC[T][X]=\DC[T,X]$.
Nun "uberlegt man sich leicht,
 da"s die offensichtliche Abbildung
$\DC[T,X]/\langle g\rangle\ra \DC(T)[X]/\langle g\rangle$ 
"uber die universelle
Eigenschaft des Quotientenk"orpers  \eref{UEQ}{LA1}
einen
K"orper\-isomorphismus 
$$\op{Quot}(\DC[T,X]/\langle g\rangle)\sira \DC(T)[X]/\langle g\rangle=L$$
induziert. Bezeichnet 
$Z (g) = 
\{(a, \lambda) \in \mathbb C^2 \mid g (a,\lambda)
=0\}$ mit $Z$ wie \glqq zero\grqq\ 
die Nullstellenmenge von $g$, so liefert das Einschr"anken
polynomialer Funktionen nach \eref{RUE}{AL} einen Ringhomomorphismus
und nach \eref{ENu}{AL} sogar einen injektiven Ringhomomorphismus
$\DC[T,X]/\langle g\rangle\hra \op{Ens}(Z (g),\DC)$.
Mithilfe von \eref{ENu}{LA1} erkennt man weiter, da"s dieser Ringhomomorphismus
"uber die universelle Eigenschaft des
Quotientenk"orpers \eref{UEQ}{LA1}
wie in \eref{DRF}{LA1} eine Einbettung
$$L=\op{Quot}(\DC[T,X]/\langle g\rangle)
\hra \op{Ens}^{\op f}(Z(g),\DC)$$
% \left\{
% \begin{array}{c}
% \text{fast "uberall
% definierte}\\
% \text{$\DC$-wertige Funktionen auf $Z (g)$}
% \end{array}
% \right\}$$ 
unseres K"orpers $L$ in den Ring der fast "uberall
definierten $\DC$-wertigen Funktionen auf der Nullstellenmenge $Z (g)$
von $g$ 
induziert. Die Fasern der Projektion auf die erste Koordinate 
\begin{equation*}
\op{pr}_1 : Z (g) \rightarrow \mathbb C
\end{equation*}
haben nun 
au"serhalb einer endlichen Menge $P \subset \mathbb C$
stets genau soviele Urbilder, wie der Grad $\op{grad} f=[L:\DC(T)]$ 
unseres Polynoms angibt:
Das gilt etwa
au"serhalb der Nullstellenmenge des Leitkoeffizienten
$c$ von $g$ vereinigt mit der 
Nullstellenmenge der Diskriminante von $f$. In der Tat kann man sich $g=cf$ 
ja als ein Polynom mit variablen Koeffizienten denken, und mit dem
Polynom variieren dann eben auch seine Nullstellen. An einigen speziellen 
Stellen sinkt der Grad, weil der Leitkoeffizient verschwindet,
oder es fallen Nullstellen zusammen, weil die Diskriminante verschwindet,
aber wenn 
man von diesen Stellen absieht,
so
findet man  stets genau soviele Nullstellen, wie der Grad 
vorgibt. 
Wir schreiben  nun $Z (g)^\circ=\op{pr}_1^{-1}(\mathbb C\backslash P)$ und 
betrachten
die Abbildung $$\op{pr}_1:Z (g)^\circ\ra \mathbb C\backslash P$$
Die Galoisgruppe $\op{Gal}(L/\DC(T))$  kann dann identifiziert werden
mit der Gruppe aller stetigen Bijektionen 
$\sigma: Z (g)^\circ\sira Z (g)^\circ$ mit stetiger Umkehrung 
und mit der Eigenschaft, da"s das
Diagramm
$$\begin{array}{ccc}
  Z (g)^\circ&\stackrel{\sigma}{\ra}& Z (g)^\circ\\
\da&&\da\\
\mathbb C\backslash P&=&\mathbb C\backslash P
\end{array}$$
 kommutiert. Stetigkeit ist hier  wie in der Analysis zu verstehen,
als Stetigkeit f"ur eine und jede Metrik auf $Z (g)^\circ$,
die von einer  Norm auf $\DC^2$ induziert wird.
Genauer induziert jede derartige Bijektion
$\sigma: Z (g)^\circ\sira Z (g)^\circ$
durch Vorschalten 
eine Abbildung auf den fast "uberall definierten Funktionen in die
Gegenrichtung. Was wir hier leider noch 
nicht zeigen k"onnen ist die Tatsache,
da"s 
  diese Abbildung einschr"ankt zu einem
K"orperhomomorphismus 
$L\ra L$, und da"s wir auf diese Weise  einen 
Isomorphismus unserer Gruppe von stetigen Abbildungen 
$\{\sigma\mid \op{pr}_1\circ \sigma=\op{pr}_1\}$
mit unserer Galoisgruppe erhalten.
F"ur diejenigen Leser, die bereits 
mit den Anfangsgr"unden der algebraischen Topologie vertraut sind,
sei zus"atzlich angemerkt, da"s 
unsere stetige Abbildung 
$\op{pr}_1:Z (g)^\circ\ra \mathbb C\backslash P$
im Sinne von \ref{Due} folgende eine \glqq zusammenh"angende 
$[L:\DC(T)]$-bl"attrige "Uberlagerung\grqq\ 
 ist und da"s wir in der Terminologie von 
\ref{DeBew} einen Isomorphismus zwischen der Galoisgruppe 
$\op{Gal}(L/\DC(T))$ und der \glqq Deckbewegungsgruppe\grqq\  
$\op{Top}_{\DC\backslash P}^\times(Z (g)^\circ)$ unserer "Uberlagerung 
angegeben haben. Die Eigenschaft \glqq Galois\grqq\  
"ubersetzt sich 
in dieser Anschauung in die Eigenschaft, 
da"s die Deckbewegungsgruppe auf jeder Faser von
$\op{pr}_1:Z (g)^\circ\ra \mathbb C\backslash P$ transitiv operiert,
da"s also  \glqq je zwei Bl"atter durch eine 
globale Decktransformation ineinander "uberf"uhrt werden k"onnen\grqq.
Des weiteren sei angemerkt, da"s wir zu jeder endlichen zusammenh"angenden 
"Uberlagerung des Komplements einer endlichen Teilmenge der
komplexen Zahlenebene $\pi:Z\ra \DC\backslash P$ auch
umgekehrt eine endliche K"orpererweiterung 
des Funktionenk"orpers $\DC(T)$ konstruieren k"onnen, indem wir im
Ring der stetigen komplexwertigen Funktionen $\cal{C}(Z)$ auf $Z$ 
erst den Teilring $R\subset\cal{C}(Z)$ aller Funktionen $h$ bilden, die 
eine Gleichung der Gestalt\begin{figure}[p]\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildUPK}\\[4mm]
\noindent 
Versuch der bildlichen Darstellung einer nicht normalen Erweiterung
$L$ des Funktionenk"orpers  $\DC(T)$ vom Grad $[L:\DC(T)]=3$
im Lichte von \ref{AGT}.
Dargestellt ist eine Acht in $\DC\backslash P$, wobei $P$ aus zwei
Punkten besteht, die jeweils in einem der beiden Kringel der Acht liegen,
sowie das Urbild dieser Acht in $Z(g)^\circ$ im Fall
der Adjunktion einer Nullstelle des Polynoms
$X^3-TX+T$. Die Diskriminante unseres Polynoms 
wird nach \eref{DKu}{AL} gegeben durch 
$-4T^3+27 T^2$ und hat die Nullstellen $T=0$ und $T=27/4$, die demnach
unsere Menge $P$ bilden, und zwar w"urde  die  linke
Schlaufe der Acht in unserem Bild den Ursprung umrunden
und die rechte Schlaufe den Punkt $27/4$. 
In diesem Fall ist die Galoisgruppe trivial, 
in "Ubereinstimmung mit unserer Anschauung.
\end{figure}
$$h^n+ a_{n-1}h^{n-1}+ \ldots +a_1h+a_0$$
erf"ullen mit $a_i$ von der Form $P_i\circ \pi$ f"ur $P_i\in\DC[T]$,
und dann  den Quotientenk"orper $\op{Quot}R$ bilden. 
Im Vollausbau erhalten wir auf diese Weise  eine \glqq "Aquivalenz von Kategorien
zwischen der Kategorie der zusammenh"angenden 
endlichen verzweigten "Uberlagerungen 
der Riemann'schen Zahlenkugel im Sinne von \ref{VZRi} und der Kategorie der
endlichen K"orpererweiterungen des Funktionenk"orpers $\DC(T)$\grqq.
\end{Bemerkunge}



%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "XXVAL"
%%% End: