\section{Schemata, noch recht unfertig} \subsection{Kategorie der Schemata} \begin{Bemerkungl} Im folgenden werden neben grundlegenden Kenntnissen der kommutativen Algebra insbesondere zu Primidealen und Lokalisierung im Umfang von Abschnitt \ref{PLOK} auch Grundkenntnisse der Garbentheorie im Umfang von Abschnitt \eref{DeGa}{TG} vorausgesetzt. Insbesondere ben"otigen wir die Begriffe einer Garbe von Mengen, von Gruppen und von Ringen; des Halms einer Garbe; der Garbifizierung einer Pr"agarbe, ja sogar der Garbifizierung einer Pr"agarbe auf einer Basis der Topologie; eines Komorphismus von Garben "uber einer stetigen Abbildung. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Einordnung der Schemata}] Im folgenden definieren wir eine neue Kategorie, die Kategorie der \glqq Schemata\grqq, und definieren darauf aufbauend f"ur jeden Kring $k$ die Kategorie der \glqq $k$-Schemata\grqq.\label{EESc} Schemata verallgemeinern Kringe und $k$-Schemata verallgemeinern $k$-Kringe und im Fall eines algebraisch abgeschlossenen K"orpers $k$ zus"atzlich $k$-Variet"aten. Das folgende Diagramm gibt eine erste grobe Einordnung unserer Kategorien von Schemata. Die Symbole $\subset$ meinen darin volltreue Funktoren. In jeder Doppelkiste steht "uber dem Trennstrich eine \glqq geometrische\grqq\ Kategorie und unter dem Trennstrich die zugeh"orige opponiert "aquivalente \glqq algebraische\grqq\ Kategorie. Die oberste Horizontale ist nur f"ur einen einen algebraisch abgeschlossenen K"orper $k$ definiert, der Rest unseres Diagramms dahingegen f"ur einen beliebigen Kring $k$. Die Komposition in den beiden unteren Horizontalen ist jeweils die Yoneda-Einbettung. \begin{displaymath} \begin{array}{ccccc} \begin{tabular}{|c|} \hline affine $k$-Variet"aten\\ \hline affine $k$-Kringe\\ \hline \end{tabular} & \subset & \begin{tabular}{|c|} \hline $k$-Variet"aten\\ \hline \\ \hline \end{tabular}\\ \cap & & \cap\\ \begin{tabular}{|c|} \hline affine $k$-Schemata\\ \hline $k$-Kringe \\ \hline \end{tabular} & \subset & \begin{tabular}{|c|} \hline $k$-Schemata\\ \hline \\ \hline \end{tabular} &\subset&\begin{tabular}{|c|} \hline $\op{Cat}(k\op{-Kring}, \op{Ens})$ \\ \hline \\ \hline \end{tabular}\\ &&\\ \begin{tabular}{|c|} \hline affine Schemata\\ \hline Kringe \\ \hline \end{tabular} & \subset & \begin{tabular}{|c|} \hline Schemata\\ \hline \\ \hline \end{tabular} &\subset&\begin{tabular}{|c|} \hline $\op{Cat}(\op{Kring}, \op{Ens})$ \\ \hline \\ \hline \end{tabular} \end{array} \end{displaymath} \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{DGRk} Ein {\bf geringter Raum}\index{geringter Raum} ist ein Paar $$(X,\cal{A})$$ bestehend aus einem topologischen Raum $X$ mit einer Garbe von Ringen $\cal{A}$, seiner {\bf Strukturgarbe}.\index{Strukturgarbe} Die Schnitte der Strukturgarbe "uber $U\co X$ nennen wir oft {\bf regul"are Funktionen},\index{regul"ar!Funktionen} obwohl sie keineswegs Funktionen auf $U$ zu sein brauchen. Ein {\bf Morphismus}\index{Morphismus!von geringten R"aumen} von einem geringten Raum $(X,\cal{A})$ in einen weiteren geringten Raum $(Y,\cal{B})$ ist ein Paar $\varphi = (\varphi,\varphi^{\sharp})$ bestehend aus einer stetigen Abbildung $\varphi : X \ra Y$ und dar"uber einem Komorphismus von Ringgarben im Sinne von \eref{Komoox}{TG} alias einer Vorschrift, die f"ur beliebige $U\co X$ und $V\co Y$ mit $\varphi(U)\subset V$ einen Ringhomomorphismus $\varphi^{\sharp}_{UV}:\cal{B} (V) \ra \cal{A} (U)$ so auszeichnet, da"s diese Ringhomomorphismen vertr"aglich sind mit den Restriktionen auf kleinere offene Teilmengen. Es ist klar, wie man Morphismen von geringten R"aumen zu ver\-kn"up\-fen hat und da"s wir auf diese Weise eine Kategorie erhalten, die {\bf Kategorie der geringten R"aume} $\op{Ger}$.\label{GerKa} Besteht die Strukturgarbe aus kommutativen Ringen, so sprechen wir von einem {\bf gekringten Raum}.\index{gekringter Raum} Die Kategorie der gekringten R"aume notieren wir\index{Gek@$\op{Gek}$ gekringte R"aume} $$\op{Gek}$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl} F"ur jeden Kring $k$ haben wir einen offensichtlichen Funktor von der Kategorie der durch Funktionen $k$-geringten R"aume $\op{Gerf}_k$ aus \ref{kGer} in die Kategorie der gekringten R"aume $\op{Gek}$, wie sie hier definiert wird. Er ist treu, aber nicht volltreu. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ich erinnere daran, da"s ein Ring \hyperref[LoRi]{\bf lokal} hei"st, wenn seine Nichteinheiten ein echtes Ideal bilden. Im Fall kommutativer Ringe ist gleichbedeutend, da"s unser Ring genau ein maximales Ideal besitzt. Jeder K"orper ist also ein lokaler Ring, aber der Nullring ist nicht lokal. Ich erinnere daran, da"s ein Homomorphismus von lokalen Ringen \hyperref[lokH]{\bf lokal} hei"st, wenn das Urbild des Ideals der Nichteinheiten das Ideal der Nichteinheiten ist. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Ein {\bf lokal geringter Raum}\index{lokal geringter Raum} ist ein geringter Raum, bei dem alle Halme der Strukturgarbe \hyperref[LoRi]{lokale Ringe} sind. Ein {\bf lokaler Morphismus von lokal geringten R"aumen}\index{Morphismus!lokaler, von lokal geringten R"aumen} von einem lokal geringten Raum $(X,\cal{A})$ in\label{lokMO} einen weiteren lokal geringten Raum $(Y,\cal{B})$ ist ein Morphismus von geringten R"aumen $\varphi = (\varphi,\varphi^{\sharp})$ derart, da"s die vom Komorphismus $\varphi^{\sharp}$ auf den Halmen induzierten Ringhomomorphismen alle \hyperref[lokH]{lokal} sind. Wir notieren diese Kategorie $\op{lokGer}$ und ihre volle Unterkategorie mit kommutativen Strukturgarben $\op{lokGek}$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Verallgemeinerte Garbifizierung}] Gegeben ein topologischer Raum $X$ mit einer Basis $\mathcal B$ der Topologie liefert das Vorschalten von $\mathcal B\hra \op{Off}(X)$ einen volltreuen Funktor\index{Garbifizierung!verallgemeinerte} $$\op{Ens}_{/X}\vra \op{Cat}(\mathcal B^{\op{opp}},\op{Ens})$$ Auch dieser Funktor besitzt einen Linksadjungierten.\label{MGTk} Man kann ihn analog konstruieren wie im Fall $\mathcal B=\op{Off}(X)$ der gew"ohnlichen Pr"agarben, wie der Leser selbst ausf"uhren mag. Wir notieren unseren Funktor der Einschr"ankung auf $\mathcal B$ als $\mathcal G\mapsto \mathcal G|\mathcal B$ und seinen Linksadjungierten $\mathcal F\mapsto \mathcal F^+$ und nennen ihn auch in dieser Allgemeinheit die {\bf Garbifizierung}.\index{Garbifizierung!verallgemeinerte} F"ur jede Garbe ist dann die Koeinheit der Adjunktion ein Isomorphismus $(\mathcal G|\mathcal B)^+\sira \mathcal G$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} F"ur eine beliebige Kategorie $\mathcal B$ hatten wir in \eref{DFTo}{LA2} die Notation $\mathcal B^\wedge\pdef \op{Cat}(\mathcal B^{\op{opp}},\op{Ens})$ eingef"uhrt. Objekte dieser Kategorie hei"sen {\bf mengenwertige Pr"agarben auf $\mathcal B$}. Ist wieder $X$ ein topologischer Raum und $\mathcal B$ eine Basis der Topologie, so schreibt sich unser Einschr"ankungsfunktor\label{mwPG} $\op{Ens}_{/X}\vra \mathcal B^\wedge$. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Jedem Kring $R$ ordnen wir nun einen lokal gekringten Raum \index{Spec@$\op{Spec}R$ Spektrum von $R$} $$\op{Spec}R=(\op{Spec}R,\mathcal O)$$ zu, das {\bf Spektrum von $R$}\index{Spektrum!eines Krings}. Als zugrundeliegenden topologischen Raum\label{SPKR} nehmen wir die Menge $\op{Spec}R$ aller Primideale von $R$ mit ihrer \hyperref[ZTSp]{Zariskitopologie}. Die Strukturgarbe $\mathcal O$ erkl"aren wir als die Garbifizierung einer Pr"agarbe auf einer Basis der Topologie im Sinne von \ref{MGTk}, genauer als die Garbifizierung der durch die Lokalisierungen von $R$ nach einzelnen Elementen gegebenen Pr"agarbe ${\op{pr\ddot a}}\mathcal O:{\op{U}}(f)\mapsto R_f$ auf unserer Standardbasis der Zariskitopologie aus "Ubung \ref{UBT} bestehend aus den offenen Teilmengen ${\op{U}}(f)\pdef \{\mathfrak p\in\op{Spec}R\mid f\not\in\mathfrak p\}$ f"ur beliebige Elemente $f\in R$.\index{U@${\op{U}}(f)$ Nichtnullstellen von $f$} \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Halme der Strukturgarbe eines Spektrums}] Gegeben ein Kring $R$ sind die Halme unserer Strukturgarbe $\mathcal O$ bei $\frak{p}\in \op{Spec}R$ isomorph zur Lokalisierung von $R$ bei $\mathfrak p$ vermittels des von der Konstruktion der Garbifizierung herkommenden Isomorphismus und des von der universellen Eigenschaft von Lokalisierungen herr"uhrenden Isomorphismus $$\mathcal O_\mathfrak p\sira \op{colf}_{f\not\in\mathfrak p}R_f\sira R_{\frak{p}}$$ Damit sind die Halme $\mathcal O_\mathfrak p$ unserer Strukturgarbe $\mathcal O$ in der Tat lokale Ringe. Wir werden obigen Isomorphismus in unserer Notation hinfort als Gleichheit $\mathcal O_\mathfrak p= R_{\frak{p}}$ behandeln. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Basisgarben}] Seien $X$ ein topologischer Raum und $\mathcal B$ eine zweischnittstabile Basis der Topologie, die also mit je zwei Mengen auch ihren Schnitt enth"alt. Eine Mengenpr"agarbe $\mathcal F\in \mathcal B^\wedge$ hei"st eine {\bf Garbe auf $\mathcal B$}\index{Garbe!auf schnittstabiler Basis einer Topologie} oder {\bf Basisgarbe},\index{Basisgarbe} wenn f"ur jedes Teilsystem $\mathcal U\subset\mathcal B$, dessen\label{BasG} Vereinigung $U\pdef \bigcup_{V\in \mathcal U}V$ auch zu $\mathcal B$ geh"ort, die "ubliche Verklebungsbedingung erf"ullt ist, da"s in der Sequenz $$\mathcal F(U)\ra \prod_{V\in \mathcal U}\mathcal F(V) \rightrightarrows\prod_{(V,W)\in \mathcal U^2}\mathcal F(V\cap W)$$ der linke Pfeil der Egalisator der beiden rechten Pfeile ist. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Strukturpr"agarbe auf Spektrum als Basisgarbe}] Gegeben ein Kring $R$ ist die Standardbasis der Topologie von $\op{Spec}R$ aus den ${\op{U}}(f)$ zweischnittstabil. Nach dem lokal-global-Prinzip aus "Ubung \ref{LGVV} ist f"ur jede Teilmenge $E\subset R$ die Sequenz\label{SGS} $$0\ra R\ra \prod_{f\in E}R_f\ra \prod_{(f,g)\in E\times E}R_{fg}$$ exakt. Wenden wir diese Erkenntnis auch auf Lokalisierungen von $R$ an, so folgt, da"s die Pr"agarbe ${\op{pr\ddot a}}\mathcal O:{\op{U}}(f)\mapsto R_f$ auf der Standardbasis der Topologie bereits eine Garbe ist. \end{Beispiel} \begin{Proposition}[\textbf{Garbifizierung von Basisgarben}] Gegeben ein topologischer Raum $X$ und eine zweischnittstabile Basis $\mathcal B$ seiner Topologie und eine Mengengarbe $\mathcal F$ auf dieser Basis ist die Einheit der Adjunktion ein Isomorphismus\label{GGB} $$\mathcal F\sira \mathcal F^+|\mathcal B$$ \end{Proposition} \begin{proof} Es gilt, f"ur alle $U\in \mathcal B$ die Bijektivit"at $\mathcal F(U)\sira \mathcal F^+(U)$ zu zeigen. Die Injektivit"at $\mathcal F(U)\hra \mathcal F^+(U)$ folgt aus der Erkenntnis, da"s unter unseren Annahmen zwei Schnitte aus $\mathcal F(U)$, die an allen Punkten von $U$ denselben Halm haben, bereits "ubereinstimmen m"ussen. Um die Surjektivit"at $\mathcal F(U)\sra \mathcal F^+(U)$ zu zeigen betrachten wir f"ur jede "Uberdeckung $\mathcal U$ von $U$ durch Teilmengen unserer Basis das kommutative Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \mathcal F(U)\ar[d] \ar[r]& \prod_{V\in\mathcal U}\mathcal F(V)\ar[d] \ar@<0.5ex>[r] \ar@<-0.5ex>[r]& \prod_{(V,W)\in \mathcal U^2}\mathcal F(V\cap W) \ar[d]\\ \mathcal F^+(U) \ar[r]& \prod_{V\in\mathcal U}\mathcal F^+(V) \ar@<0.5ex>[r] \ar@<-0.5ex>[r]& \prod_{(V,W)\in \mathcal U^2}\mathcal F^+(V\cap W) } \end{displaymath} mit der Eigenschaft, da"s in den Horizontalen der linke Pfeil jeweils der Egalisator der beiden rechten Pfeile ist. Um ein Urbild von $s^+\in \mathcal F^+(U)$ zu finden, w"ahlen wir $\mathcal U$ so fein, da"s f"ur alle $V\in \mathcal U$ die Einschr"ankung $s^+|V$ ein Urbild $s_V\in\mathcal F(V)$ hat. Da die rechte Vertikale wie bereits gezeigt injektiv ist, erf"ullen diese $s_V$ die Verklebebedingung und kommen folglich von einem Schnitt $s\in\mathcal F(U)$ her, der ein Urbild von $s^+$ sein mu"s. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Schnitte der Strukturgarbe eines Spektrums}] F"ur jeden Kring $R$ induziert die offensichtliche Abbildung einen Kringisomorphismus\label{glSD} $$\eta:R\sira \mathcal O(\op{Spec}R)$$ unseres Krings mit den globalen Schnitten der Strukturgarbe seines Spektrums. \end{Korollar} \begin{proof} Nach \ref{SGS} ist die Strukturpr"agarbe ${\op{pr\ddot a}}\mathcal O$ eine Garbe auf der Standardbasis der Zariskitopologie. Nach Proposition \ref{GGB} "andern sich ihre Schnitte auf Teilmengen der Standardbasis folglich nicht unter Garbifizierung. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Dasselbe Argument oder auch die Anwendung des Korollars auf $R_f$ zeigen, da"s\label{glSDf} f"ur jedes Element $f\in R$ die offensichtliche Abbildung einen Kring\-iso\-mor\-phis\-mus $R_f\sira \mathcal O({\op{U}}(f))$ liefert. Wir k"onnen damit unsere Notation ${\op{pr\ddot a}}\mathcal O$ wieder aufgeben. \end{Bemerkungl} %\begin{proof} % Die % Injektivit"at $\varepsilon:R_f\hra \mathcal O({\op{U}}(f))$ % folgt unmittelbar aus dem lokal-global-Prinzip \ref{lgP}. %Wir zeigen nun die %Surjektivit"at $\varepsilon:R\sra \mathcal O(\op{Spec}R)$. %Eine Teilmenge $E\subset R$ erzeugt $R$ als Ideal genau dann, wenn gilt %$\op{Spec}R=\bigcup_{f\in E} \op{U}(f)$. %Nun erinnern wir das lokal-global-Prinzip aus "Ubung \ref{LGVV} % und erhalten f"ur jede derartige Teilmenge $E\subset R$ % ein kommutatives Diagramm mit exakten Horizontalen % \begin{displaymath} % \xymatrix{ %0\ar[d] \ar[r]& R\ar[d] \ar[r]& \prod_{f\in E}R_f\ar[d] \ar[r]& \prod_{(f,g)\in E\times E}R_{fg}\ar[d] \\ %0 \ar[r]& \mathcal O(\op{Spec}R)\ar[r]& \prod_{f\in E}\mathcal O(\op{U}(f)) \ar[r]& \prod_{(f,g)\in E\times E}\mathcal O(\op{U}(fg)) %} %\end{displaymath} % Wir haben bereits bewiesen, da"s in diesem Diagramm % die Vertikalen injektiv sind. % Gegeben $s\in \mathcal O(\op{Spec}R)$ gibt es nach Konstruktion der % Garbifizierung eine Teilmenge, ja sogar eine endliche Teilmenge % $E\subset R$ mit $\op{Spec}R=\bigcup_{f\in E} \op{U}(f)$ und % Elemente $r_f\in R_f$ mit $r_f\mapsto s|\op{U}(f)$. % Da die Vertikale ganz rechts injektiv ist, % haben f"ur alle $f,g\in E$ die Elemente % $r_f$ und $r_g$ dasselbe Bild in $R_{fg}$ und aus der Exaktheit der % oberen Horizontale folgt, da"s sie alle von einem % Element $r\in R$ herkommen. % Mit der Exaktheit der unteren Horizontale folgt $r\mapsto s$ und das zeigt % die Surjektivit"at der linken Vertikale. % Die Surjektivit"at $\varepsilon:R_f\sra \mathcal O({\op{U}}(f))$ zeigt % man genauso. %\end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Das Spektrum als Funktor}] Wir machen $\op{Spec}$ zu einem Funktor $$\op{Spec}:\op{Kring}\ra \op{lokGek}^{\op{opp}}$$ Zun"achst ist das Urbild jedes Primideals\label{SpFu} unter einem Kringhomomorphismus wieder ein Primideal. So liefert jeder Kringhomomorphismus $\varphi:R\ra S$ eine Abbildung $\bar\varphi:\op{Spec}(S)\ra \op{Spec}(R)$ gegeben durch $\mathfrak q\mapsto \varphi^{-1}(\mathfrak q)$, deren Stetigkeit leicht einzusehen ist. Weiter liefert $\varphi$ lokale Kringhomomorphismen $\mathcal R_{\frak{p}}\ra S_{\mathfrak q}$ wenn gilt $\mathfrak p=\varphi^{-1}(\mathfrak q)$. Gegeben $V\co \op{Spec}(S)$ und $U\co \op{Spec}(R)$ mit $\bar\varphi(V)\subset U$ liefern diese Abbildungen auf den lokalen Ringen in ihrer Gesamtheit aber einen Homomorphismus auf den stetigen Schnitten in die \'etalen R"aume unserer Strukturgarben, denn ist ein Schnitt lokal durch einen Bruch darstellbar, so auch sein Bild. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Das Spektrum als volltreuer Funktor}] Das Bilden des Spektrums\label{SpVT} ist ein volltreuer Funktor $\op{Spec}:\op{Kring}\vra \op{lokGek}^{\op{opp}}$ von der Kategorie der Kringe in die Kategorie der lokal gekringten R"aume. \end{Satz} \begin{proof} Unser Funktor ist sicher injektiv auf Morphismen, denn seine Ver\-kn"upf\-ung mit dem Funktor der globalen Schnitte ist nach \ref{glSD} isomorph zum Identit"atsfunktor auf $\op{Kring}$. Es gilt zu zeigen, da"s er auch surjektiv ist auf Morphismen. Es reicht dazu zu zeigen, da"s jeder Morphismus $\op{Spec}(S)\ra \op{Spec}(R)$ durch seinen Effekt auf den globalen Funktionen bereits eindeutig festgelegt ist. Sei n"amlich $\varphi:R\ra S$ dieser Effekt. Wird $\mathfrak q$ auf $\mathfrak p$ abgebildet, so erhalten wir nach Annahme ein kommutatives Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ R\ar[d] \ar[r] & S \ar[d]\\ R_{\mathfrak p} \ar[r] & S_{\mathfrak q} } \end{displaymath} mit einem lokalen Kringhomomorphismus in der unteren Horizontalen. Es folgt sofort, da"s $\mathfrak p$ das Bild von $\mathfrak q$ ist unter der von $R\ra S$ induzierten Abbildung auf den Spektra in der Gegenrichtung, und da"s unser lokaler Morphismus von lokal gekringten R"aumen durch seinen Effekt auf den globalen Schnitten bereits eindeutig festgelegt ist. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Kring $R$ und ein Element $f\in R$ induziert der Ringhomomorphismus $\op{loc}:R\ra R_f$ unter unserem Funktor $\op{Spec}$ eine offene Einbettung $\op{Spec}(R_f)\hra \op{Spec}(R)$ mit Bild ${\op{U}}(f)$ alias einen Isomorphismus $$\op{Spec}(R_f)\sira ({\op{U}}(f),\mathcal O|_{{\op{U}}(f)})$$ Das folgt unmittelbar aus den Definitionen.\label{otgh} \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Ein {\bf Schema}\index{Schema} ist ein lokal gekringter Raum $(X,\mathcal O_X)$, der eine "Uberdeckung durch offene Teilmengen besitzt, die mit der eingeschr"ankten Strukturgarbe jeweils isomorph sind zum Spektrum eines Krings. Ein {\bf Morphismus von Schemata} ist ein \hyperref[lokMO]{lokaler Morphismus} der zugrundeliegenden lokal gekringten R"aume. Die Kategorie der Schemata notieren wir\index{Sch@$\op{Sch}$ Kategorie der Schemata}$$\op{Sch}$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Nach \ref{SpVT} ist das Bilden des Spektrums eines Krings ein volltreuer Funktor $\op{Spec}:\op{Kring}\vra \op{Sch}^{\op{opp}}$ von der Kategorie der Kringe in die opponierte Kategorie der Kategorie der Schemata. Diejenigen Schemata, die isomorph sind zum Spektrum eines Krings, hei"sen {\bf affine Schemata}\index{affin!Schema}\index{Schema!affines} und bilden eine volle Unterkategorie\index{Schaff@$\op{Sch}^{\op{aff}}$ affine Schemata} $\op{Sch}^{\op{aff}}\subset\op{Sch}$ und wir haben $$\op{Spec}^{\op{opp}}:\op{Kring}^{\op{opp}}\sirra \op{Sch}^{\op{aff}}$$ Ein finales Objekt in der Kategorie der\label{AdGO} Schemata ist das Schema $\op{Spec}\DZ$. Die Definitionen liefern sogar eine Adjunktion $(\op{Spec},\Gamma^{\op{opp}})$ f"ur $\Gamma: \op{Sch}\ra\op{Kring}^{\op{opp}}$ den Funktor $X\mapsto\Gamma(X;\mathcal O_X)$ der globalen regul"aren Funktionen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Offene Teilmengen von Schemata sind Schemata}] Jede offene Teilmenge eines affinen Schemas ist mit der restringierten Strukturgarbe ein Schema nach \ref{otgh}. Damit ist "uberhaupt jede offene Teilmenge eines Schemas mit der restringierten Strukturgarbe wieder ein Schema. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Die projektive Gerade als Schema}] Einen Kowinkel $$\xymatrix{%\kokart X \ar[r]\ar[d] & Y \\ Z &}$$ in der Kategorie der geringten R"aume, dessen Pfeile offene Einbettungen sind, vervollst"andigt man unschwer zu einem kokartesischen Diagramm $$\xymatrix{\kokart X \ar[r]\ar[d] & Y \ar[d]\\ Z \ar[r] &W}$$ Die Grundmenge $W$ erh"alt man aus der disjunkten Vereinigung $Y\sqcup Z$ durch das Identifizieren der Bilder von Elementen $x\in X$ in beiden Mengen, als Topologie nimmt man die Finaltopologie, und Schnitte der Strukturgarbe $\mathcal O_W(U)$ erkl"art man als Paare von Schnitten aus $\mathcal O_Y(Y\cap U)$ und $\mathcal O_Z(Z\cap U)$, deren Bilder in $\mathcal O_X(X\cap U)$ "ubereinstimmen. Insbesondere sind die beiden Morphismen nach $W$ damit auch offene Einbettungen. Das zeigt, da"s in dieser Situation mit $Y$ und $Z$ auch $W$ ein Schema ist. Wir erkl"aren nun ein Schema $\mathbb P^1$ durch das kokartesische Diagramm $$\xymatrix{\kokart \op{Spec}\DZ[T,T^{-1}] \ar[r]\ar[d] & \op{Spec}\DZ[T^{-1}] \ar[d]\\ \op{Spec}\DZ[T] \ar[r] &\mathbb P^1}$$ und nennen es die {\bf projektive Gerade}.\index{P@$\mathbb P^1$ projektive Gerade} Man "uberzeugt sich, da"s das Bild von $\op{Spec}\DZ[T]\ra\mathbb P^1$ das Komplement eines einzigen Punktes ist, den man den {\bf unendlich fernen Punkt} nennt und mit $\infty\in \mathbb P^1$ bezeichnet. Der eindeutige Morphismus $\mathbb P^1\ra\op{Spec}\DZ$ induziert einen Isomorphismus auf den globalen Schnitten der Strukturgarben, obwohl er offensichtlich selbst kein Isomorphismus ist. Das zeigt insbesondere, da"s unsere projektive Gerade kein affines Schema ist. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Schema $X$ und ein Kring $R$ bezeichnen wir die Menge aller Morphismen von Schemata vom Spektrum von $R$ nach $X$ mit $$X(R)\pdef \op{Sch}(\op{Spec}R,X)$$ und nennen diese Menge die {\bf Menge der $R$-wertigen Punkte des Schemas $X$}.\index{Punkte!$R$-wertige Punkte eines Schemas} \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} F"ur das Schema $\mathbb A^n\pdef \op{Spec}\DZ[T_1,\ldots,T_n]$ und einen beliebigen Kring $R$ erhalten wir eine nat"urliche Bijektion $\mathbb A^n(R)\sira R^n$ als Verkn"upfung der Identifikationen $$\mathbb A^n(R)=\op{Sch}(\op{Spec}R,\op{Spec}\DZ[T_1,\ldots,T_n]) \sira \op{Kring}(\DZ[T_1,\ldots,T_n],R)\sira R^n$$ mit dem Auswerten eines Ringhomomorphismus auf den Variablen als letzter Abbildung. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} F"ur das Schema $X\pdef \op{Spec}(\DZ[T_1,\ldots,T_n]/\langle P\rangle)$ mit einem Polynom $P$ und einen beliebigen Kring $R$ erhalten wir "ahnlich eine nat"urliche Bijektion $X(R)\sira \{x\in R^n\mid P(x)=0\}$. Analoges gilt f"ur eine beliebige Menge von Polynomen. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Kringwertige Punkte der projektiven Geraden}] F"ur die projektive Gerade und einen beliebigen Kring $R$ will ich nun eine Bijektion von $\mathbb P^1(R)$ mit der Menge aller derjenigen direkten Summanden $P\subset R^2$ des $R$-Moduls $R^2$ konstruieren, die lokal frei sind von Rang Eins, in Formeln $P_{\mathfrak p}\cong R_{\mathfrak p}$ f"ur alle $\mathfrak p\in\op{Spec}R$. Ist $R$ bereits selbst lokal und $\mathfrak m$ sein maximales Ideal, so mu"s $\mathfrak m$ in einer der beiden offenen Teilmengen $\op{Spec}\DZ[T]$ oder $\op{Spec}\DZ[T^{-1}]$ landen, und in derselben offenen Teilmenge mu"s dann auch ganz $\op{Spec}R$ landen und wir erhalten ein kokartesisches Diagramm von Mengen $$\xymatrix{\kokart \op{Ring}(\DZ[T,T^{-1}],R) \ar[r]\ar[d] & \op{Ring}(\DZ[T^{-1}],R) \ar[d]\\ \op{Ring}(\DZ[T],R) \ar[r] &\mathbb P^1(R)} \qquad\text{alias}\qquad \xymatrix{\kokart R^\times \ar[r]^{\text{inv}}\ar[d] & R \ar[d]\\ R \ar[r] &\mathbb P^1(R)}$$ Nun wird, immer im Fall eines lokalen Krings $R$, jeder Summand $P$ der behaupteten Gestalt erzeugt von einem Element der Gestalt $(1,r)$ oder einem Element der Gestalt $(r,1)$ oder sowohl als auch, und letzteres genau dann, wenn $r$ eine Einheit ist. Damit ist die Behauptung im Fall lokaler Kringe klar. Das Verkleben zum allgemeinen Fall sei dem Leser "uberlassen. \end{Beispiel} \begin{Proposition}[\textbf{Schemata als Funktoren}] Das Bilden der $R$-wertigen Punkte $X\mapsto (R\mapsto X(R))$\label{DFS} f"ur alle Kringe $R$ ist in seiner Gesamtheit ein volltreuer Funktor $$\op{Sch}\vra\op{Cat}(\op{Kring},\op{Ens})$$ \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Diese Proposition erlaubt es, manche Schemata sehr direkt anzugeben. Als Beispiel m"ogen die {\bf Gra"smann-Schemata} $\op{Gr}(n,k)$ dienen, die man f"ur beliebige $n,k\in\DN$ definieren kann als diejenigen Funktoren $\op{Kring}\ra \op{Ens}$, die gegeben werden durch die Vorschrift $$R\mapsto \{P\subset R^n\mid P\text{ ist direkter Summand mit } P_{\mathfrak p}\cong R_{\mathfrak p}^k\;\forall \mathfrak p\in\op{Spec}R\}$$ Bei diesem Zugang bleibt offen, ob besagte Funktoren in der Tat Schemata sind. Sobald man aber bereit ist, das ohne Beweis hinzunehmen, kann man unmittelbar mit wohldefinierten Objekten weiterarbeiten. Im "ubrigen ist $\op{Gr}(2,1)$ schlicht unsere projektive Gerade $\mathbb P^1$. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Das Yoneda-Lemma liefert schon einmal einen volltreuen Funktor $$\op{Sch}\vra\op{Cat}(\op{Sch}^{\op{opp}},\op{Ens})$$ durch $X\mapsto (Y\mapsto \op{Sch}(Y,X))$. Nun ist es aber offensichtlich so, da"s gegeben lokal gekringte R"aume $X,Y$ die Zuordnung $U\mapsto \op{lokGek}(U,X))$ f"ur $U\co Y$ eine Garbe von Mengen auf $Y$ bildet. Unser Funktor ordnet jedem Schema $X$ also einen Funktor $\op{Sch}^{\op{opp}}\ra \op{Ens}$ zu, dessen Einschr"ankungen auf alle offenen Teilmengen eines beliebigen weiteren Schemas $Y$ eine Garbe bilden. Nun bilden die affinen Unterschemata eines jeden Schemas $Y$ per definitionem eine Basis seiner Topologie. Nach \ref{MGTk} k"onnen wir also $X(Y)$ beschreiben als die globalen Schnitte der Garbifizierung der auf der Basis der affinen offenen Unterschemata $U\co Y$ durch $U\mapsto X(U)$ erkl"arten Pr"agarbe. Ebenso k"onnen wir f"ur ein weiteres Schema $Z$ aber auch $Z(Y)$ beschreiben. Mit \ref{MGTk} folgt so, da"s auch die Verkn"upfung $$\op{Sch}\vra\op{Cat}(\op{Sch}^{\op{opp}},\op{Ens})\ra \op{Cat}((\op{Sch}^{\op{aff}})^{\op{opp}},\op{Ens})$$ mit der Restriktion auf die volle Unterkategorie der affinen Schemata als zweitem Pfeil volltreu ist. Die "Aquivalenz $\op{Spec}: \op{Kring}\sirra (\op{Sch}^{\op{aff}})^{\op{opp}}$ zeigt dann die Behauptung. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Kring $k$ bezeichne $\op{Sch}_k$ die Kategorie der {\bf Schemata "uber $k$}, als da hei"st, der Schemata mit einem ausgezeichneten Morphismus nach $\op{Spec}k$. Morphismen in dieser Kategorie sind per definitionem Morphismen von Schemata, die mit den jeweiligen ausgezeichneten Morphismen vertr"aglich sind. Gegeben ein algebraisch abgeschlossener K"orper $k=\bar k$ betrachten wir nun darin die volle Unterkategorie $$\op{Sch}_k^{\op{p\!Var}}\subset \op{Sch}_k$$ aller $k$-Schemata $X$, die eine endliche "Uberdeckung durch offene Teilmengen besitzen, die jeweils isomorph sind zu ${\op{Spec}}A$ f"ur einen affinen $k$-Kring $A$,\label{schVA} und nennen sie {\bf $k$-Pr"avariet"atenschemata}.\index{Pr"avariet"atenschema} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Pr"avariet"aten als Pr"avariet"atenschemata}] Gegeben $k=\bar k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper konstruieren wir einen Funktor\label{Max} $$\op{Max}:\op{Sch}_k^{\op{p\!Var}} \ra \op{Gerf}_k$$ von der Kategorie aller $k$-Pr"avariet"atenschemata aus \ref{schVA} in die Kategorie der durch Funktionen $k$-gekringten R"aume. Die Notation r"uhrt daher, da"s unser Funktor der maximalen Ideale $\op{Max}:\op{Kralg}_k^{\op{renf}}\sirra \op{Varaff}_k^{\op{opp}}$ aus \ref{Maxs} oder vielmehr der davon auf den opponierten Kategorien induzierte Funktor in nat"urlicher Weise isomorph sein wird zur Verkn"upfung $\op{Max}\circ\op{Spec}$, so da"s $\op{Max}$ als Analogon des Maximalspektrums f"ur gewisse nicht notwendig affine $k$-Schemata angesehen werden kann. Als topologischen Raum ordne $\op{Max}$ jedem unserer speziellen Schemata $X$ die Menge $\op{Max}(X)$ seiner abgeschlossenen Punkte zu, versehen mit der induzierten Topologie. Als n"achstes "uberlegen wir uns, da"s das Herunterschneiden eine Bijektion $$\op{Off}(X)\sira \op{Off}(\op{Max}X)$$ induziert. Die Surjektivit"at dieser Abbildung ist f"ur jede Teilmenge mit ihrer induzierten Topologie klar. Die Injektivit"at ist klar f"ur topologische R"aume $X$, bei denen f"ur jede offene Teilmenge $U\co X$ gilt $p\in U\IFF \bar p\cap\op{Max}U\neq\emptyset$, und unsere speziellen Schemata haben diese Eigenschaft. Jetzt definieren wir f"ur $U\co X$ eine Abbildung $$\mathcal O_X(U)\ra \op{Ens}(\op{Max}U,k)$$ durch die Vorschrift $f\mapsto \bar f$ mit $\bar f(x)\mapsto f+\mathfrak m_x$ unter dem nat"urlichen Isomorphismus $k\sira \mathcal O_{X,x}/\mathfrak m_x$ f"ur $x\in \op{Max}U$. Man pr"uft leicht, da"s sie injektiv ist, und da"s die Bilder dieser Injektionen eine $k$-Ringalgebrenuntergarbe der Garbe aller $k$-wertigen Funktionen auf offenen Teilmengen von $\op{Max}X$ bilden. Damit haben wir unseren Funktor konstruiert. Wir zeigen nun, da"s er eine "Aquivalenz von Kategorien\label{aqSV} $$\op{Max}:\op{Sch}_k^{\op{p\!Var}} \sirra \op{p\!Var}_k$$ zwischen der Kategorie der Pr"avariet"atenschemata und der Kategorie der Pr"avariet"aten induziert. Zun"achst landet unser Funktor in $\op{p\!Var}_k$, weil er offene Einbettungen zu offenen Einbettungen macht und f"ur jede affine $k$-Kringalgebra $A$ das Schema $\op{Spec}A$ auf den $k$-geringten Raum $\op{Max}A$ abbildet. Jetzt konstruieren wir noch einen Funktor in die Gegenrichtung und zeigen dann, da"s er quasiinvers ist. Wir gehen aus vom Funktor $\op{irr}:\op{Top}\ra\op{Ens}$, der jedem topologischen Raum $X$ die Menge $\op{irr}(X)$ seiner irreduziblen abgeschlossenen Teilmengen zuordnet und jeder stetigen Abbildung $\varphi:X\ra Y$ die Abbildung $A\mapsto \op{Cl}({\varphi(A)})$. Auf $\op{irr}(X)$ erkl"aren wir eine Topologie durch die Vorschrift, da"s die abeschlossenen Mengen von $\op{irr}(X)$ genau die Bilder von $\op{irr}(Z)\ra\op{irr}(X)$ sein sollen f"ur $Z\As X$. Damit erhalten wir sogar einen Funktor\label{irrS}\index{irr@$\op{irr}(Z)$ zu Variet"at $Z$} $$\op{irr}:\op{Top}\ra\op{Top}$$ F"ur topologische R"aume $X$, in denen alle Punkte abgeschlossen sind, erhalten wir eine nat"urliche Einbettung $X\hra \op{irr}(X)$, indem wir jedem Punkt die aus eben diesem einen Punkt bestehende irreduzible abgeschlossene Teilmenge zuordnen, und diese Einbettung induziert sogar einen Isomorphismus $\op{Off}(\op{irr}(X)) \sira \op{Off}(X)$ zwischen den jeweiligen Kategorien offener Teilmengen. Ist nun $(X,\mathcal O_X)$ eine $k$-Pr"avariet"at im Sinne von \ref{DeVah}, so liefert folglich $\mathcal O_X$ auch eine Garbe von Kringen auf $\op{irr}(X)$, die wir $\op{irr}(\mathcal O_X)$ notieren, und wir erhalten durch $(X,\mathcal O_X)\mapsto (\op{irr}(X),\op{irr}(\mathcal O_X))$ einen treuen Funktor $$\op{irr}:\op{p\!Var}_k\ra\op{Gek}$$ Salopp gesprochen f"ugt er f"ur jede mehrpunktige irreduzible Teilmenge noch ein Element hinzu und dehnt die Topologie und die Garbe der regul"aren Funktionen in der naheliegenden Weise auf diese gr"o"sere Menge aus. Wir zeigen nun, da"s er ein volltreuer Funktor in die Kategorie der $k$-Schemata ist. Es ist klar, da"s unser Funktor offene Einbettungen zu offenen Einbettungen macht. Andererseits liefert \ref{PuI} f"ur jede affine $k$-Variet"at $X$ einen Hom"oomorphismus $\tau:\op{irr}(X)\sira\op{Spec}\mathcal O(X)$ und die in \ref{LoGOO} konstruierten Isomorphismen von $k$-Kringalgebren $\mathcal O(X)_f\sira \mathcal O(X_f)$ f"ur $f\in\mathcal O(X)$ induzieren erst einen Isomorphismus $${\op{pr\ddot a}}\mathcal O_{\op{Spec}\mathcal O(X)}\sira \tau_\ast\op{irr}(\mathcal O_X)$$ von Pr"agarben auf der Standardbasis der Topologie und dann auch einen Isomorphismus $$\mathcal O_{\op{Spec}\mathcal O(X)}\sira \tau_\ast\op{irr}(\mathcal O_X)$$ auf den Garbifizierungen. So folgt, da"s unser Funktor $\op{irr}$ affine Variet"aten zu affinen Schemata macht. Mithin haben wir in der Tat einen Funktor in die Gegenrichtung\label{irrSC} $$\op{irr}:\op{p\!Var}_k\ra\op{Sch}_k^{\op{p\!Var}}$$ konstruiert. Da"s f"ur $X\in\op{p\!Var}_k$ die offensichtliche Abbildung $X\ra \op{Max}(\op{irr}X)$ ein Isomorphismus von durch Funktionen $k$-geringten R"aumen ist, scheint mir einigerma"sen offensichtlich. Da"s f"ur $X\in\op{Sch}_k^{\op{p\!Var}}$ die offensichtliche Abbildung $X\ra \op{irr}(\op{Max}X)$ ein Hom"oomorphismus ist, scheint mir auch recht klar. Gegeben $U\co X$ k"onnen wir auch leicht eine nat"urliche Abbildung $\mathcal O_X(U)\ra \op{irr}(\mathcal O_{\op{Max}X}(U))$ angeben und sehen, da"s sie ein Isomorphismus ist. Dann erkennen wir, da"s wir mit diesen Isomorphismen sogar einen Isomorphismus $X\sira \op{irr}(\op{Max}X)$ von geringen R"aumen erhalten, und das beendet den Beweis. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir geben noch eine Umformulierung unseres Lemmas \ref{glSD} an. Gegeben ein affines Schema $X$ und $f \in \mathcal{O} (X)$ eine regul"are Funktion ist\index{)8ba@$X_f$ Nichtnullstellen von $f$!Schema} das offene Unterschema $X_f\pdef \{ x \in X \mid f_x\not\in \mathfrak m_x\}$ der {\bf Nichtnullstellen von $f$}\index{Nichtnullstellenschema} auch affin und die Restriktion $\mathcal{O}(X) \ra \mathcal{O}(X_f)$ induziert einen\label{ScBB} Isomorphismus $$\mathcal{O}(X)_f \sira \mathcal{O}(X_f)$$ zwischen der Lokalisierung von $\mathcal{O}(X)$ an $f$ und dem Ring der regul"aren Funktionen auf $X_f$. Hier meint $f_x\in\mathcal O_{X,x}$ den Halm von $f$ und $\mathfrak m_x\subset\mathcal O_{X,x}$ das maximale Ideal dieses lokalen Rings. Das alles ist nur eine Umformulierung von Lemma \ref{glSD}, in dem dieselben Aussagen f"ur $X=\op{Spec}R$ gezeigt werden. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma} Gegeben ein Schema $X$, offene affine Teilmengen $U,V\co X$ und ein Punkt $x\in U\cap V$ gibt es stets $f\in \mathcal O(U)$ und $g\in \mathcal O(V)$ mit $ U_f=V_g$ und $x\in U_f$. In dieser Situation ist auch $ U_f=V_g$ affin.\label{kgAS} \end{Lemma} \begin{proof} Sicher finden wir $s\in \mathcal O(U)$ mit $x\in U_s\subset V$. Sicher finden wir auch $t\in \mathcal O(V)$ mit $x\in V_t\subset U$. Das Element $s\in\mathcal O(V_t)$ l"a"st sich nach \ref{ScBB} als Bruch $s=a/t^n$ mit $a\in\mathcal O(V)$ schreiben. Das Element $t\in\mathcal O(U_s)$ l"a"st sich als Bruch $t=b/s^m$ mit $b\in\mathcal O(U)$ schreiben. Folglich gilt $V_{at}=U_{bs}$ und $x$ liegt in beiden Mengen. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Das Spektrum eines Krings ist stets kompakt. Man beachte, da"s es nur sehr selten Hausdorff ist. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Affinit"atskriterium}] Ein Schema $X$ ist\label{AfKrx} genau dann affin,\index{Affinit"atskriterium!f"ur Schemata} wenn es Elemente $f_1, \dots, f_r \in \mathcal{O}(X)$ gibt, die als Ideal ganz $\mathcal{O} (X)$ erzeugen und so, da"s $X_{f_i}$ jeweils affin ist. Hinweis: Man orientiere sich an \ref{AfKr} und verwende \ref{ScBB}. \end{Ubung} \begin{Ubung} In der Kategorie aller Schemata gibt es beliebige Koprodukte. Ein unendliches Koprodukt von affinen Schemata mu"s jedoch keineswegs wieder ein affines Schema sein, und unendliche Koprodukte in der Kategorie der affinen Schemata existieren durchaus auch, stimmen aber nicht mit unendlichen Koprodukte in der Kategorie der Schemata "uberein. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{AfmmS} Sei $\varphi: X\ra Y$ ein Morphismus von Schemata. Man zeige: Ist $Y$ affin und gibt es eine "Uberdeckung von $Y$ durch offene affine Teilmengen $V_i$ mit affinen Urbildern $\varphi^{-1}(V_i)$, so ist auch $X$ affin. Hinweis: \ref{AfKrx}. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{afMMS} Ein Morphismus von Schemata hei"st {\bf affin},\index{affin!Morphismus} wenn das Urbild jeder affinen offenen Teilmenge wieder affin ist. Sei $\varphi:X\ra Y$ ein Morphismus von Schemata. Besitzt $Y$ eine "Uberdeckung durch offene affine Teilmengen mit affinen Urbildern, so ist $\varphi$ ein affiner Morphismus. Hinweis: In \ref{AfmmS} haben Sie das f"ur $Y$ affin bereits gezeigt. F"ur den allgemeinen Fall nehme man \ref{kgAS} zu Hilfe. \end{Ubung} \begin{Ubung} Ein Morphismus $\varphi:X\ra Y$ von Schemata hei"st {\bf endlich}\index{endlich!Morphismus von Variet"aten} oder bei uns auch {\bf modulendlich},\index{modulendlich!Morphismus von Variet"aten} wenn er affin ist und wenn f"ur alle affinen $V\co Y$ der Ring $\mathcal O(\varphi^{-1}(V))$ modulendlich ist "uber $\mathcal O(V)$. Man zeige, da"s das bereits f"ur alle affinen $V\co Y$ folgt, wenn wir es nur f"ur die Teilmengen einer "Uberdeckung von $Y$ durch offene\label{endliS} affine Teilmengen fordern. Hinweis: \ref{afMMS}. \end{Ubung} \begin{Ubung} F"ur jedes Schema $X$ erhalten wir durch $\varphi\mapsto \varphi^\sharp(T)$ eine Bijektion $\op{Sch}(X,\op{Spec}\DZ[T])\sira \Gamma( \mathcal O_X)$. \end{Ubung} \subsection{Faserprodukte von Schemata} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine Menge $I$ und $n\geq 1$ betrachten wir die Kategorie $\mathcal K_n(I)$\index{K@$\mathcal K_n(I)$} mit allen nichtleeren Teilmengen von $I$ aus h"ochstens $n$ Elementen als Objekten und von jeder\label{KnE} Teilmenge genau einem Morphismus zu jeder ihrer nichtleeren Teilmengen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Zusammenkleben einer Menge aus "uberdeckenden Teilmengen}] Seien $X$ eine Menge und $X=\bigcup_{i\in I}X_i$ eine "Uberdeckung durch eine Familie von Teilmengen. Wir erhalten dann einen Funktor $\tilde X\in \op{Cat}(\mathcal K_2(I),\op{Ens})$ gegeben durch $\{i\}\mapsto X_i$ und $\{i,j\}\mapsto X_i\cap X_j$ und die offensichtliche Abbildung ist eine Bijektion $$\op{col}\tilde X\sira X$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Verkleben einer Familie von Mengen}] Gegeben eine Menge $I$ erinnern wir nun an unsere Kategorie $\mathcal K_3(I)$ aus \ref{KnE} und gehen nun von einem Funktor\index{Verkleben} $F: \mathcal K_3(I)\ra\op{Ens}$ aus und verwenden die Abk"urzung $F_{i\ldots k}\pdef F(\{i,\ldots,k\})$. Unser Funktor hei"se ein {\bf Verklebedatum},\index{Verklebedatum!von Mengen} wenn jeder Morphismus auf eine Injektion abgebildet wird und wenn f"ur beliebige $i,j,k\in I$\label{VkMb} das Bild von $F_{ijk}$ in $F_j$ mit dem Schnitt der Bilder von $F_{ij}$ und $F_{jk}$ zusammenf"allt. Gegeben solch ein Verklebedatum sind f"ur alle $i\in I$ die nat"urlichen Abbildungen Injektionen $$F_i\hra \op{col}F$$ und dabei ist es unerheblich, ob wir den Kolimes "uber $\mathcal K_3(I)$ oder $\mathcal K_2(I)$ bilden. Um die behauptete Injektivit"at zu zeigen, geht man von der Beschreibung des Kolimes als der Quotient $$\op{col}F=\left.\bigsqcup_{i\in I}F_i\right\slash\sim$$ f"ur die von $F_{i\subset ij}(x)\sim F_{j\subset ij}(x)$ f"ur alle $i,j\in I$ und $x\in F_{ij}$ erzeugte "Aquivalenzrelation aus, mit der Notation $F_{i\subset ij}:F_{ij}\ra F_i$ f"ur das Bild der Inklusion $\{i\}\hra \{i,j\}$ unter unserem Funktor $F$. Unter unseren Annahmen folgt, da"s besagte Erzeuger f"ur unsere "Aquivalenzrelation bereits selbst eine "Aquivalenzrelation und damit die ganze "Aquivalenzrelation bilden. Aus $x\sim y$ f"ur $x,y\in F_i$ folgt damit sofort $x=y$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Verkleben einer Familie von topologischen R"aumen}] Wir gehen wie beim Verkleben von Mengen in \ref{VkMb} von einer Menge $I$ und\label{VVTzn} der Kategorie $\mathcal K_3(I)$ aller nichtleeren Teilmengen von $I$ mit bis zu drei Elementen aus. Ein Funktor $F: \mathcal K_3(I)\ra\op{Top}$ hei"se ein {\bf topologisches Verklebedatum},\index{Verklebedatum!topologisches} wenn er alle Morphismen zu offenen Einbettungen macht und f"ur beliebige $i,j,k\in I$ das Bild von $F_{ijk}$ in $F_j$ mit dem Schnitt der Bilder von $F_{ij}$ und $F_{jk}$ zusammenf"allt. Gegeben ein topologisches Verklebedatum sind f"ur alle $i$ die nat"urlichen Abbildungen offene Einbettungen $$F_i\hra \op{col}F$$ Das folgt aus unseren Erkenntnissen in \ref{VkMb} zum Verkleben von Mengen. In der Tat ist f"ur $U\co F_i$ das Urbild in $F_j$ seines Bildes im Kolimes stets offen, da es auch als das Bild seines Urbildes in $F_{ij}$ beschrieben werden kann. Es reicht hier sogar vorauszusetzen, da"s alle Morphismen aus $\mathcal K_2(I)$ unter unserem Funktor zu offenen Einbettungen werden. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Verkleben einer Familie von begarbten topologischen R"aumen}] Gegeben zwei topologische Verklebedaten $F,G:\mathcal K_3(I)\ra\op{Top}$ zu derselben Indexmenge $I$ und\label{VKgtr} eine Transformation $p:G\RA F$ derart, da"s alle $p:G_i\ra F_i$ \'etale sind, ist offensichtlich auch die induzierte Abbildung $$\op{col}G\ra \op{col}F$$ \'etale. Damit k"onnen wir auch begarbte R"aume verkleben. Die ben"otigten Eigenschaften f"ur $G$ folgen im "ubrigen sofort aus den entsprechenden Annahmen an $F$, wenn wir nur f"ur jeden Morphismus $a\ra b$ in $\mathcal K_3(I)$ fordern, da"s das Diagramm $$\xymatrix{ G(a) \ar[r]\ar[d] & G(b) \ar[d]\\ F(a) \ar[r] &F(b)}$$ kartesisch sein m"oge. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ich will das in einem Spezialfall noch expliziter machen, ohne dabei bis ins letzte Detail zu gehen. Sei $X$ ein topologischer Raum mit einer "Uberdeckung $X=\bigcup_{i\in I}X_i$ durch eine Familie offener Teilmengen. Seien Garben $\mathcal F_i\in\op{Ens}_{/X_i}$ gegeben und Morphismen $\varphi_{ij}: \mathcal F_j|_{X_i\cap X_j}\ra \mathcal F_i|_{X_i\cap X_j}$ derart, da"s gilt $\varphi_{ii}=\op{id}$ f"ur alle $i$ und da"s f"ur alle $i,j,k$ gilt $$\varphi_{ij}\circ\varphi_{jk} =\varphi_{ik}: \mathcal F_k|_{X_i\cap X_j\cap X_k} \ra \mathcal F_i|_{X_i\cap X_j\cap X_k}$$ f"ur die entsprechend auf $X_i\cap X_j\cap X_k$ eingeschr"ankten Morphismen. So gibt es ein Garbe $\mathcal F\in\op{Ens}_{/X}$ mitsamt Isomorphismen $\varphi_i:\mathcal F_i\sira \mathcal F|_{X_i}$ derart, da"s gilt $\varphi_{ij}=\varphi_i^{-1} \varphi_j$ f"ur die entsprechend auf $X_i\cap X_j$ eingeschr"ankten Morphismen und das Datum $(\mathcal F,(\varphi_i)_{i\in I})$ ist eindeutig bestimmt bis auf eindeutigen Isomorphismus. Um zu sehen, wie das aus dem vorhergehenden folgt, bemerke man zun"achst, da"s unsere Bedingungen $\varphi_{ij}\varphi_{ji}=\op{id}$ implizieren und wir so $\mathcal F_j|_{X_i\cap X_j}$ und $ \mathcal F_i|_{X_i\cap X_j}$ zu einer Garbe $\mathcal F_{ij}$ auf $X_i\cap X_j$ identifizieren k"onnen mit ausgezeichneten kartesischen Morphismen nach $\mathcal F_i$ und $\mathcal F_j$. Ebenso k"onnen wir die Einschr"ankungen auf $X_i\cap X_j\cap X_k$ zu einer Garbe $\mathcal F_{ijk}$ identifizieren mit ausgezeichneten kartesischen Morphismen nach $\mathcal F_{ij}$, $\mathcal F_{ik}$ und $\mathcal F_{jk}$, so da"s alle diese Daten zusammen auf den \'etalen R"aumen einen Funktor $\mathcal K_3(I)\ra\op{Top}$ liefern. Von diesem Funktor sieht man dann ein, da"s er ein Verklebedatum sein mu"s, und erh"alt man den \'etalen Raum von $\mathcal F$ als seinen Kilomes. Mir selber gef"allt die Darstellung des Sachverhalts in \ref{VKgtr} besser. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Produkte von Schemata}] In der Kategorie der Schemata existieren alle endlichen Produkte und Faserprodukte und kartesische Diagramme in der Kategorie der affinen Schemata sind bereits kartesisch in der Kategorie aller Schemata. \end{Satz} \begin{proof} Seien $X,Y,S$ Schemata und $X\ra S$ sowie $Y\ra S$ Morphismen. Existiert das Faserprodukt $X\times_SY$ und ist $U\co X$ offen, so ist $\op{pr}_X^{-1}(U)\co X\times_SY$ ein Faserprodukt $U\times_S Y$. Ist weiter $X=\bigcup X_i$ eine offene "Uberdeckung und existieren die Faserprodukte $X_i\times_S Y$ f"ur alle $i$, so existieren nach dem Vorhergehenden f"ur $X_{i\ldots k}\pdef X_i\cap\ldots\cap X_k$ auch die Faserprodukte $X_{ij}\times_S Y$ und $X_{ijk}\times_S Y$ und bilden mit den $X_i\times_S Y$ und den offensichtlichen Morphismen ein Verklebedatum von gegarbten R"aumen, das also zu einem Schema verklebt. Wir zeigen nun, da"s dies Schema ein Faserprodukt $X\times_S Y$ ist. In der Tat, gegeben Morphismen $\varphi:Z\ra X$ und $\psi:Z\ra Y$, die zu demselben Morphismus nach $S$ verl"angern, mag man $Z$ als die Verklebung $Z_i\pdef \varphi^{-1}(X_i)$ beschreiben und so die Existenz eines Morphismus $Z\ra X\times_S Y$ zeigen, der mit $\varphi$ und $\psi$ vertr"aglich ist. Dessen Eindeutigkeit ist eh unproblematisch. Nun beginnt man mit der Erkenntnis, da"s $\op{Spec}(A\otimes_BC)$ wegen der Adjunktion $(\op{Spec},\Gamma^{\op{opp}})$ aus \ref{AdGO} in der Kategorie der Schemata ein Faserprodukt $(\op{Spec}A)\times_{\op{Spec}B}(\op{Spec}C)$ ist. So folgt die Existenz der Faserprodukte $X\times_SY$ zun"achst f"ur $X,Y,S$ alle affin, und dann mit unseren Vorbemerkungen f"ur nur $X,S$ affin, und dann sogar f"ur nur $S$ affin. Schlie"slich w"ahlt man eine offene affine "Uberdeckung $S=\bigcup S_i$ und bezeichnet mit $X_i,Y_i$ die Urbilder der $S_i$ und erh"alt aus dem Verklebedatum zu den $X_i\times_{S_i} Y_i$ und den $X_{ij}\times_{S_{ij}} Y_{ij}$ und den $X_{ijk}\times_{S_{ijk}} Y_{ijk}$ wieder ein Schema, wobei letztere Faserprodukte existieren, da sie gleichbedeutend "uber den affinen $S_i$ gebildet werden k"onnen. Dasselbe Argument wie zuvor zeigt nun, da"s dies Schema ein Faserprodukt $X\times_S Y$ ist. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Schema $X$ und Kringe $A,B$ sowie Morphismen von Schemata $X\ra \op{Spec}A\leftarrow \op{Spec}B$ verwenden wir gerne die Abk"urzung $$X\otimes_A B\pdef X\times_{\op{Spec}A} \op{Spec}B$$ \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Gegeben $k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper ist $k^\times$ in offensichtlicher Weise ein Gruppenobjekt in der Kategorie der $k$-Variet"aten. Als zugeh"origes Gruppenobjekt in der Opponierten der Kategorie der affinen $k$-Kring\-al\-ge\-bren erhalten wir $\mathcal O(k^\times)=k[T,T^{-1}]$ mit der Komultiplikation $$\Delta: k[T,T^{-1}]\ra k[T,T^{-1}]\otimes_k k[T,T^{-1}]$$ gegeben durch $\Delta(T)=T\otimes T$, der Koeinheit $\varepsilon: k[T,T^{-1}]\ra k$ gegeben durch $T\mapsto 1$ und dem Komorphismus des Invertierens gegeben durch $\iota: k[T,T^{-1}]\ra k[T,T^{-1}]$ mit $\iota(T)=T^{-1}$. Diese Regeln k"onnen wir genauso f"ur jeden Kring $k$ und insbesondere f"ur $k=\DZ$ hinschreiben. So erhalten wir ein Gruppenobjekt $\DZ[T,T^{-1}]$ in $\op{Kringo}$ und damit ein Gruppenobjekt $$\mathbb G_{\op{m}}\pdef \op{Spec}\DZ[T,T^{-1}]$$ in der Kategorie der affinen Schemata, das\label{mgS} {\bf multiplikative Gruppenschema}.\index{Gruppenschema!multiplikatives} F"ur den zugeh"origen Funktor $\op{Kring}\ra \op{Ens}$ finden wir Bijektionen $\mathbb G_{\op{m}}(k)\sira k^\times$ durch das Auswerten eines Kringhomomorphismus $\DZ[T,T^{-1}]\ra k$ bei $T$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Affine Schemata mit $\mathbb G_{\op{m}}$-Operation}] Sei $A$ ein Kring. Ein Morphismus von Schemata $\op{act}: \mathbb G_{\op{m}}\times \op{Spec}(A)\ra \op{Spec}(A)$ ist dasselbe wie ein Kringhomomorphismus\label{moG} $\op{act}^\sharp :A\ra A\otimes_\DZ\DZ[T,T^{-1}]$. Man pr"uft unschwer, da"s f"ur $\op{act}^\sharp :a\mapsto \sum a_n\otimes T^n$ im Fall einer Operation von $\mathbb G_{\op{m}}$ gilt $\op{act}^\sharp :a_n\mapsto a_n\otimes T^n$ unter derselben Abbildung, so da"s wir haben $$\textstyle A=\bigoplus_{n\in \DZ}A^n$$ f"ur $A^n\pdef \{a\in A\mid \op{act}^\sharp(a)=a\otimes T^n\}$. Man pr"uft weiter, da"s diese Zerlegung eine $\DZ$-Graduierung des Krings $A$ sein mu"s und da"s wir so eine Bijektion erhalten zwischen $\mathbb G_{\op{m}}$-Operationen auf $\op{Spec}(A)$ und $\DZ$-Graduierungen auf $A$. \end{Beispiel} \subsection{Vergleich von Schemata und Variet"aten} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Unterschied der Produkte von Pr"avariet"aten und von Schemata}] Gegeben ein algebraisch abgeschlossener K"orper $k=\bar k$ ist unser volltreuer Funktor $\op{p\!Var}_k\vra \op{Sch}_k$ vertr"aglich mit Produkten, aber nicht mit Faserprodukten.\label{vtPR} Das liegt daran, da"s $\op{Sch}_k^{\op{p\!Var}}$ stabil ist unter Produkten in $\op{Sch}_k$, was darauf zur"uckgeht, da"s nach \ref{TPNF} das Tensorprodukt nilpotentfreier $k$-Kringalgebren in diesem Fall wieder nilpotentfrei ist. Das entsprechende Tensorprodukt "uber einer nilpotenfreien $k$-Kringalgebra mu"s jedoch keineswegs nilpotentfrei sein, wie etwa $$(k[X]/\langle X\rangle)\otimes_{k[X]}(k[X,Y]/\langle X^2-Y^2\rangle)\cong k[Y]/\langle Y^2\rangle$$ zeigt. Anschaulich bedeutet dieser letzte Isomorphismus, da"s f"ur die Projektion der Vereinigung der Diagonale $X-Y=0$ und der Gerade $X+Y=0$ auf die $x$-Achse die Faser am Ursprung ein \glqq doppelter Punkt\grqq\ ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Sei $k=\bar k$. Gegeben ein Morphismus $\varphi:X\ra Y$ von $k$-Variet"aten liefert jeder Punkt $y\in Y$ einen Morphismus $\op{sch}_k\ra Y$ des finalen $k$-Schemas nach $X$. Das Faserprodukt $X_y\pdef \op{sch}_k\times_Y X$ von Schemata hei"st die\label{stfa} {\bf schementheoretische Faser von $\varphi$ bei $y$}.\index{Faser!schementheoretische} Im Fall affiner Variet"aten finden wir etwa $$X_y=\op{Spec}\mathcal O(X)/\langle \varphi^\sharp\mathfrak m_y \rangle$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ein gekringter Raum $(X,\mathcal O)$ hei"st {\bf reduziert},\index{reduziert!gekringter Raum} wenn f"ur alle $U\co X$ der Ring $\mathcal O(U)$ nilpotentfrei ist. Die volltreue Einbettung der Kategorie der reduzierten gekringten R"aume in die Kategorie aller gekringten R"aume besitzt einen Rechtsadjungierten $X\mapsto X_{\op{red}}$. Explizit kann man $X_{\op{red}}$ konstruieren, indem man die Idealgarbe $\mathcal N\subset \mathcal O$ betrachtet mit $\mathcal N(U)\subset \mathcal O(U)$ das Ideal aller Elemente, die \glqq lokal nilpotent\grqq\ sind in dem Sinne, da"s es f"ur jeden Punkt $x\in U$ eine Umgebung gibt derart, da"s ihre Restriktion auf diese Umgebung nilpotent ist. Dann setzt man $\mathcal O_{\op{red}}\pdef \mathcal O/\mathcal N$ und pr"uft, da"s f"ur alle $U\co X$ der Ring $\mathcal O_{\op{red}}(U)$ nilpotentfrei ist. Schlie"slich setzt man $$X_{\op{red}}\pdef (X,\mathcal O_{\op{red}})$$ und erkl"art $\eta=\eta_X: X_{\op{red}}\ra X$ als die Identit"at auf dem Raum und der Quotientenmorphismus auf den Kringgarben als Komorphismus. Es ist leicht zu sehen, da"s f"ur jeden reduzierten gekringten Raum $W$ jeder Morphismus $W\ra X$ eindeutig "uber $X_{\op{red}}\ra X$ faktorisiert. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Kring $R$ bezeichne $R_{\op{red}}\pdef R/\sqrt{0}$ seinen Quotienten nach dem Nilradikal. Dann ist $R_{\op{red}}$ nilpotentfrei und man pr"uft leicht, da"s $\op{Spec}(R_{\op{red}})$ ein reduzierter gekringter Raum ist. Der durch $R\sra R_{\op{red}}$ gegebene Morphismus $\op{Spec}(R_{\op{red}})\ra \op{Spec}R$ faktorisiert also "uber einen eindeutig bestimmten Morphismus $$\op{Spec}(R_{\op{red}})\ra(\op{Spec}R)_{\op{red}}$$ Wir zeigen, da"s er ein Isomorphismus ist. Zun"achst pr"uft man, da"s er eine Bijektion auf den zugrundeliegenden R"aumen ist und f"ur alle $f\in R$ eine Bijektion der standardoffenen Mengen ${\op{U}}(\bar f)\sira {\op{U}}(f)$ induziert. Folglich ist er ein Hom"oomorphismus. Nun ist per definitionem $\mathcal O_{\op{red}}$ die Garbifizierung der Pr"agarbe ${\op{p}}\mathcal O_{\op{red}}:U\mapsto \mathcal O(U)/\mathcal N(U)$. Da die ${\op{U}}(f)$ kompakt sind, sind lokal nilpotente Schnitte von $\mathcal O$ bereits nilpotent. Die Isomorphismen $R_f\sira \mathcal O({\op{U}}(f))$ induzieren folglich Isomorphismen $R_f/\sqrt{0}\sira {\op{p}}\mathcal O_{\op{red}}({\op{U}}(f))$. Andererseits zeigt etwas kommutative Algebra, da"s der offensichtliche Morphisms ein Isomorphismus $(R/\sqrt{0})_{\bar f}\sira R_f/\sqrt{0}$ ist. Das zeigt nun, da"s unser Morpismus von geringten R"aumen oben einen Isomorphismus induziert zwischen den Einschr"ankungen auf standardoffene Teilmengen der Pr"agarbe ${\op{p}}\mathcal O_{\op{red}}$ und der Strukturgarbe von $\op{Spec}(R_{\op{red}})$. Das hinwiederum zeigt, da"s er ein Isomorphismus von gekringten R"aumen ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein algebraisch abgeschlossener K"orper $k=\bar k$ erinnern wir aus \ref{irrS} unseren volltreuen Funktor $\op{irr}$ von $k$-Pr"avariet"aten zu $k$-Schemata. Gegeben $k$-Pr"avariet"aten $X,Y,Z$ und Morphismen $X\ra Z$ und $Y\ra Z$ liefern die universellen Eigenschaften einen Isomorphismus von $k$-Schemata\label{irrPR} $$\op{irr}(X\times_Z Y)\sira (\op{irr}X\times_{\op{irr}Z}\op{irr}Y)_{\op{red}}$$ Salopp gesprochen unterscheiden sich Faserprodukte von Pr"avariet"aten von den Faserprodukten der zugeh"origen Schemata also h"ochstens um nilpotente Elemente. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Ein Morphismus $\varphi:X\ra Y$ von Schemata hei"st eine {\bf abgeschlossene Immersion},\index{Immersion!abgeschlossene!von Schemata} wenn die zugrundeliegende Abbildung topologischer R"aume eine abgeschlossene Einbettung ist und der Komorphismus einen Epimorphismus von abelschen Garben $\mathcal O_Y\sra \varphi_\ast \mathcal O_X$ induziert. \end{Definition} \begin{Beispiel}[\textbf{Abgeschlossene Immersionen affiner Schemata}] Ein Morphismus $\op{Spec}A\ra \op{Spec}B$ von affinen Schemata ist genau dann eine abgeschlossene Immersion, wenn der zugeh"orige Ringhomomorphismus eine Surjektion $B\sra A$ ist. Das folgt unmittelbar aus dem lokal-global-Prinzip \ref{Slp}. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Gegeben eine abgeschlossene Teilmenge $Z\As X$ eines Schemas gibt es in der Kategorie aller abgeschlossenen Immersionen $Y\ra X$ mit Bild $Z$ ein initiales Objekt. Es kann auch charakterisiert werden als die im wesentlichen eindeutig bestimmte abgeschlossene Immersion eines reduzierten Schemas nach $X$ mit Bild $Z$. Um das zu sehen, zieht man sich auf den Fall $X=\op{Spec}A$ eines affinen Schemas zur"uck und\label{reisT} erkennt, da"s man f"ur $Z=\mathcal Z(I)$ auf $Z$ die Struktur $\op{Spec}(A/\sqrt{\langle I\rangle})$ nehmen kann und mu"s. Wir nennen diese Struktur die {\bf reduzierte induzierte Struktur} auf der abgeschlossenen Teilmenge $Z\As X$.\index{reduzierte induzierte Struktur} \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Unter einem {\bf abgeschlossenen Unterschema}\index{Unterschema!abgeschlossenes} eines Schemas $Y$ verstehen wir eine Isomorphieklasse in $\op{Sch}_Y$ von abgeschlossenen Immersionen nach $Y$ oder gleichbedeutend, im Vorgriff auf \ref{MqkG}, eine quasikoh"arente Idealgarbe der Strukturgarbe $\mathcal O_Y$. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Ein Morphismus $\varphi:X\ra S$ von Schemata hei"st {\bf separiert},\index{separiert!Morphismus von Schemata} wenn die Diagonale $\Delta:X\ra X\times_S X$ eine abgeschlossene Immersion ist. Ein Schema $X$ hei"st {\bf separiert},\index{separiert!Schema} wenn der Morphismus $X\ra \op{Spec}\DZ$ von $X$ zum finalen Schema separiert ist, wenn also in anderen Worten die Diagonale $\Delta:X\ra X\times X$ eine abgeschlossene Immersion ist. \end{Definition} \begin{Beispiel} Jeder Morphismus $\varphi:X\ra S$ von affinen Schemata ist separiert, da f"ur jeden Kringhomomorphismus $B\ra A$ die Multiplikation eine Surjektion $A\otimes_B A\sra A$ induziert. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Seien $\varphi:X\ra T$ und $\psi:T\ra S$ Morphismen von Schemata. Ist $\psi$ separiert, so ist $\varphi$ genau dann separiert, wenn $\psi\circ \varphi$ separiert ist.\label{sepsep} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein algebraisch abgeschlossener K"orper $k=\bar k$ erkl"aren wir die volle Unterkategorie $\op{Sch}_k^{\op{Var}}\subset \op{Sch}_k^{\op{p\!Var}}$ aller {\bf Variet"atenschemata}\index{Variet"atenschema} als die Kategorie aller separierten Pr"avariet"atenschemata. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Variet"aten als Variet"atenschemata}] Gegeben ein algebraisch abgeschlossener K"orper $k=\bar k$ induziert unser Funktor $\op{Max}:\op{Sch}_k^{\op{p\!Var}} \sirra \op{p\!Var}_k$ aus \ref{aqSV} eine "Aquivalenz $$\op{Max}:\op{Sch}_k^{\op{Var}} \sirra \op{Var}_k$$ zwischen der Kategorie der Variet"atenschemata "uber $k$ und der Kategorie der $k$-Variet"aten. \end{Proposition} \begin{proof} Wir erinnern aus \ref{irrSC} unsere Konstruktion eines quasiinversen Funktors $\op{irr}:\op{p\!Var}_k\vra \op{Sch}_k$ zu $\op{Max}:\op{Sch}_k^{\op{p\!Var}} \sirra \op{p\!Var}_k$. Wie in \ref{vtPR} diskutiert ist $\op{irr}$ vertr"aglich mit endlichen Produkten. Gegeben eine $k$-Pr"avariet"at $X$ macht $\op{irr}$ also die Diagonale $\Delta:X\ra X\times X$ in der Kategorie der $k$-Pr"avariet"aten zur Diagonale $$\op{irr}(\Delta)= \Delta:\op{irr}X\ra \op{irr}X\times_k \op{irr}X$$ von $k$-Schemata. Nach \ref{sepsep} ist ein $k$-Schema $Y$ genau dann separiert, ist also genau dann $\Delta:Y\ra Y\times Y$ eine abgeschlossene Immersion, wenn sein strukturierender Morphismus separiert ist, wenn also $\Delta:Y\ra Y\times_k Y$ eine abgeschlossene Immersion ist. Nach "Ubung \ref{smAQ} ist das auch gleichbedeutend dazu, da"s $\Delta:Y\ra Y\times_k Y$ abgeschlossenes Bild hat. Per definitionem macht nun $\op{irr}$ abgeschlossene Einbettungen von topologischen R"aumen zu abeschlossenen Einbettungen. Folglich macht der Funktor $\op{irr}$ auch $k$-Variet"aten zu separierten Schemata. Andererseits macht $\op{Max}$ abgeschlossene Einbettungen von topologischen R"aumen zu abgeschlossenen Einbettungen. Macht also $\op{irr}$ eine $k$-Pr"avariet"at $X$ zu einem separierten Schema, so mu"s $X$ bereits eine $k$-Variet"at alias separierte $k$-Pr"avariet"at gewesen sein. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{AIA} Jede abgeschlossene Immersion von Schemata ist affin. Hinweis: \ref{afMMS}. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige: Gegeben Morphismen $X\ra S$ und $Y\ra S$ von Schemata und eine abgeschlossene Immersion $Z\hra X$ ist auch der induzierte Morphismus eine abgeschlossene Immersion $Z\times_SY\hra X\times_SY$. Hinweis: \eref{UA}{TM} und die Konstruktion des Faserprodukts.\label{FPAI} \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige "ahnlich zu \ref{afM}, da"s jeder Morphismus von einem affinen Schema zu einem separierten Schema affin ist. Hinweis: Gegeben ein Morphismus $\varphi:X\ra Y$ von Schemata und $V\co Y$ erhalten wir mit den offensichtlichen Morphismen und falls n"otig der Hilfe von \eref{MKP}{TF} in der Kategorie der Schemata ein Diagramm\label{MASc} $$\xymatrix{ \varphi^{-1}(V) \ar[r]\ar[d] & V \ar[d]\ar[r]& Y \ar[d]^\Delta\\ V\times X \ar[r] &V\times Y\ar[r]&Y\times Y}$$ aus zwei kartesischen Quadraten. Jetzt verwende man die vorhergehenden "Ubungen \ref{FPAI} und \ref{AIA}. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige, da"s ein Morphismus von Schemata $X\ra S$ genau dann separiert ist, wenn die Diagonale $\Delta: X\ra X\times_SX$ abgeschlossenes Bild hat.\label{smAQ} Hinweis: Man ziehe sich auf den Fall affiner Schemata zur"uck. \end{Ubung} \begin{Ubung} Jeder affine Morphismus von Schemata ist separiert. \end{Ubung} \begin{Ubung} Wir nennen ein Schema {\bf noethersch},\index{noethersch!Schema} \nichtfinal{(Richtige Terminologie? Nochmal Literatur pr"ufen!)} wenn darin jede aufsteigende Folge von quasikoh"arenten Idealgarben station"ar wird. Man zeige:\label{NoSC} \begin{enumerate} \item Jedes noethersche Schema ist ein noetherscher topologischer Raum; \item Ein affines Schema ist noethersch genau dann, wenn sein Ring von globalen Funktionen noethersch ist; \item Jedes Schema, das eine endliche "Uberdeckung durch noethersche offene Unterschemata besitzt, ist noethersch; \item Jedes offene Unterschema eines noetherschen Schemas ist noethersch. Hinweis: \ref{EQVo}. \end{enumerate} \end{Ubung} \subsection{Frobenius-Morphismen f"ur Schemata*} \begin{Bemerkungl} Jedes Schema $Z$ "uber $\Bbb{F}_{p}$ besitzt einen ausgezeichneten Endomorphismus, seinen \defnoind{absoluten Frobenius}\index{Frobenius!absoluter}\index{absoluter Frobenius} $$\op{Fr} : Z \ra Z$$ Er wird dadurch erkl"art, da"s er auf dem topologischen Raum $Z$ die Identit"at ist und da"s sein Komorphismus auf der Garbe der regul"aren Funktionen das Bilden der $p$-ten Potenzen aller Schnitte ist. Im Spezialfall $Z =\op{Spec} (A)$ entspricht dieser absolute Frobenius dem Ringhomomorphismus $a \mapsto a^{p}$. Der absolute Frobenius ist vertr"aglich mit allen Morphismen von Schemata "uber $\Bbb{F}_{p}$, als da hei"st, er liefert einen Endomorphismus $\op{Fr}:\op{Id}\RA\op{Id}$ des Identit"atsfunktors $\op{Id}:\op{Sch}_{\Bbb{F}_p}\ra \op{Sch}_{\Bbb{F}_p}$. Insbesondere gilt f"ur je zwei Schemata $Z,W$ "uber $\Bbb{F}_{p}$ die Gleichheit $\op{Fr}\times \op{Fr}=\op{Fr}$ von Endomorphismen ihres Produkts $Z\times W$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} F"ur ein Schema $Z$ "uber einem K"orper $k$ positiver Charakteristik $p>0$ hat man insbesondere ein kommutatives Diagramm mit dem absoluten Frobenius in beiden Horizontalen und der $k$-Struktur in beiden Vertikalen $$\xymatrix{ Z \ar[rr]^-{\op{Fr}}\ar[d] && Z \ar[d]\\ \op{Spec}k \ar[rr]^-{\op{Fr}} &&\op{Spec}k }$$ Ist der K"orper $k$ vollkommen, so ist die untere Horizontale dieses Diagramms ein Isomorphismus und wir k"onnen das \defnoind{Frobenius-vertwistete Schema}\index{Frobenius-Twist} $Z^{[1]}$ "uber $k$ erkl"aren als das Schema "uber $k$, das als Schema mit $Z$ "ubereinstimmt, bei dem jedoch die $k$-Struktur vertwistet wird durch das Inverse der unteren Horizontale in unserem Diagramm. Mit dieser Definition wird der absolute Frobenius dann ein Morphismus\label{FrobTS} $$Z\ra Z^{[1]}$$ von Schemata "uber $k$. Er hei"st der {\bf Frobenius-Morphismus} und entspricht im Fall von Variet"aten "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper unter unserer "Aquivalenz $\op{Max}:\op{Sch}_k^{\op{Var}} \sirra \op{Var}_k$ von Kategorien aus \ref{aqSV} unserem Frobenius-Morphismus aus \ref{FroTV}. Ist $k$ nicht vollkommen, so erkl"aren wir allgemeiner den {\bf Frobenius-Twist} $Z^{[1]}$ als den pull-back des Winkels in obigem Diagramm und erhalten wieder einen Endofunktor $Z\mapsto Z^{[1]}$ von $\op{Sch}_k$ nebst einem nat"urlichen {\bf Frobenius-Morphismus}\index{Frobenius-Morphismus!f"ur Schemata} $Z\ra Z^{[1]}$, im Diagramm $$\xymatrix{ Z \ar[rr]^-{\op{Fr}}\ar[d] && Z^{[1]} \ar[rr]\ar[d] && Z \ar[d]\\ \op{Spec}k \ar@{=}[rr] &&\op{Spec}k \ar[rr]^-{\op{Fr}} &&\op{Spec}k }$$ mit kartesischem rechten Quadrat, in dem die obere Horizontale ein Isomorphismus von Schemata ist, wenn die untere Horizontale ein Isomorphismus von Schemata ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Sei weiter $k$ ein K"orper positiver Charakteristik $\op{char}(k)=p>0$. Gegeben ein Schema $X_\circ $ "uber $\Bbb{F}_{p}$ betrachten wir das kommutative Diagramm $$\xymatrix{ X_\circ \times_{\Bbb{F}_{p}} k \ar[rr]^-{\op{Fr}\times\op{id}}\ar[d] && X_\circ \times_{\Bbb{F}_{p}} k \ar[d]\ar[rr]^-{\op{id}\times\op{Fr}}&& X_\circ \times_{\Bbb{F}_{p}} k \ar[d]\\ \op{Spec}k \ar@{=}[rr] &&\op{Spec}k \ar[rr]^-{\op{Fr}} &&\op{Spec}k }$$ Darin ist das rechte Rechteck offensichtlich kartesisch und liefert so f"ur das $k$-Schema $X\pdef X_\circ \times_{\Bbb{F}_{p}} k$ mit der in \ref{FrobTS} eingef"uhrten Notation einen Isomorphismus von $k$-Schemata $$\alpha: X\sira X^{[1]}$$ Die linke obere Horizontale hei"st der {\bf geometrische Frobenius}\index{Frobenius!geometrischer}\index{geometrischer Frobenius} und wir notieren ihn $\op{F}_{\op{g}}$. Er ist ein Morphismus von $k$-Schemata $\op{F}_{\op{g}}:X\ra X$ und $\alpha\circ \op{F}_{\op{g}}:X\ra X^{[1]}$ ist gerade unser Frobenius-Morphismus in den Frobenius-Twist aus \ref{FrobTS}. Die rechte obere Horizontale hei"st der {\bf arithmetische Frobenius}\index{Frobenius!arithmetischer}\index{arithmetischer Frobenius} und wir notieren ihn $\op{F}_{\op{a}}\pdef\op{id} \times\op{Fr} $. Er ist ein Isomorphismus von Schemata, wenn $k$ vollkommen ist, ist aber im allgemeinen kein Morphismus von $k$-Schemata. Die Verkn"upfung von geometrischem und arithmetischem Frobenius schlie"slich ist der\label{gaF} absolute Frobenius von $X$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ist etwas allgemeiner $k/\Bbb{F}_{q}$ ein algebraischer Abschlu"s des endlichen K"or\-pers mit $q=p^r$ Elementen und $X_\circ $ ein Schema "uber $\Bbb{F}_{q}$, so erkl"aren wir f"ur $X=X_\circ \times_{\Bbb{F}_{q}} k$ den geometrischen beziehungsweise den arithmetischen Frobenius durch die Vorschrift $\op{F}_g=\op{Fr}^r \times \op{id}$ und $\op{F}_a=\op{id} \times\op{Fr}^r $. Die Verkn"upfung von geometrischem und arithmetischem Frobenius ist dann die $r$-te Potenz des absoluten Frobenius von $X$ und $\op{F}_a$ ist stets ein Isomorphismus, $\op{F}_g$ im allgemeinen jedoch nicht. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} In der analogen Situation, da"s $X_\circ$ ein Schema "uber $\DR$ ist, haben wir auf $X=X_\circ\times_{\DR} \DC$ zwar ein Analogon des arithmetischen Frobenius, die komplexe Konjugation $\op{id}\times \gamma$, aber ich kenne kein Analogon des geometrischen Frobenius. \end{Bemerkunge} \subsection{Allgemeine Modulgarben} \begin{Bemerkungl} In \eref{TFmg}{TSF} haben wir die \glqq Opmodulgarbentrennfaserung\grqq\ eingef"uhrt, den Trennfunktor $$\op{Ab}_{\sslash{\op{Gek}}}\ra \curlywedge{\op{Gek}}$$ des \glqq Vergessens der Modulgarbe\grqq\ von der Trennkategorie der Modulgarben auf gekringten R"aumen zur banalen Trennkategorie der gekringten R"aume. Wir haben gezeigt, da"s er sogar einer Trennfaserung ist. Das beinhaltet die Definition von R"uckz"ugen und Vorsch"uben, Tensorgarben und Homgarben und eine Vielzahl von Vertr"aglichkeiten zwischen diesen Konstruktionen, insbesondere die Vertr"aglichkeit von R"uckzug und Tensorprodukt. Im folgenden werden wir meist im Rahmen dieser Trennfaserung arbeiten. In diesem Abschnitt will ich versuchen, diese Struktur soweit zu erkl"aren, da"s wir damit arbeiten k"onnen, ohne die Theorie vollst"andig zu entwickeln. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Gegeben ein geringter Raum $(X,\cal{A})$ verstehen wir unter einer \defnoind{Garbe von ${\cal{A}}$-Moduln} oder einem \defnoind{${\cal{A}}$-Modul} oder einer \defind{Modulgarbe} eine abelsche Garbe $\cal{M}$ auf $X$ mitsamt der Vorgabe f"ur alle $U \co X$ von einer $\cal{A} (U)$-Modulstruktur auf $\cal{M}(U)$ derart, da"s f"ur alle $V \co U \co X$ das Diagramm\label{ModGj} $$\begin{array}{ccccc} \cal{A} (U) & \times & \cal{M}(U) &\ra & \cal{M}(U)\\ &\downarrow & & & \downarrow \\ \cal{A} (V) &\times & \cal{M}(V) &\ra & \cal{M}(V) \end{array}$$ mit den Restriktionsabbildungen in den Vertikalen kommutiert. Es sollte offensichtlich sein, was unter einem Homomorphismus von $\cal{A}$-Moduln zu verstehen ist. Die Kategorie aller $\cal{A}$-Moduln notieren wir $\cal{A}\op{-Mod}$ oder $\op{Mod}_\cal{A}$ oder $\op{Ab}_{/(X,\mathcal A)}$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Universum $\mathfrak U$ im Sinne von \eref{defU}{LA2} und ein topologischer Raum $X\in \mathfrak U$ bezeichne $\mathfrak U\!\op{Ab}_{/X}$ die Kategorie der abelschen Garben $\mathcal F$ auf $X$ mit $\mathcal F(V)\in \mathfrak U\;\forall V\co X$. Das ist eine abelsche Kategorie, die Kolimiten und Limiten "uber alle $\mathfrak U_\in$-$\mathfrak U_\in\uvec$-K"ocher besitzt, also alle K"ocher, deren Punktmenge und Morphismenmenge Elemente von $\mathfrak U$ sind.\label{Mokj} Ist zus"atzlich $\mathcal A$ eine Kringgarbe auf $X$, deren zugrundeliegende abelsche Garbe zu $\mathfrak U\!\op{Ab}_{/X}$ geh"ort, so gilt dasselbe f"ur die Kategorie $\mathfrak U\!\op{Ab}_{/(X,\mathcal A)}$ aller Modulgarben auf $X$, deren zugrundeliegende abelsche Garbe zu $\mathfrak U\!\op{Ab}_{/X}$ geh"ort, und alle diese Limites und Kolimites kommutieren mit dem Vergessen der $\cal{A}$-Modulstruktur. Wir werden es aber meist nicht so genau nehmen und das zugrundeliegende Universum in der Notation unterschlagen. %\nichtfinal{$\mathfrak U\!\op{Mod}_{\mathcal O}$ genauso, aber $\DN\in\mathfrak U$ und $\mathcal O\in \mathfrak U$? N"o, $X\in \mathfrak U$ scheint zu reichen.} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} In der in \eref{StrS}{TSK} eingef"uhrten Terminologie ist eine Ring\-gar\-be auf einem topologischen Raum $X$ ein Monoidobjekt der Schmelzkategorie \eref{AbGSm}{TSF} der abelschen Garben auf $X$ und eine Kringgarbe ein Abmonoidobjekt. In dieser Terminologie ist eine Modulgarbe\label{SchMG} ein Objekt mit Operation im Sinne von \eref{modO}{TSK}. \end{Bemerkunge} \begin{Beispiel} Gegeben ein Ring $A$ ist eine Modulgarbe auf dem einpunktigen geringten Raum $({\op{top}},A)$ schlicht ein $A$-Modul. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Verschmelzungen}] Gegeben ein gekringter Raum $(X,\mathcal A)$ erkl"aren wir f"ur $r\geq 0$ eine \glqq $r$-Verschmelzung\grqq\ von $\mathcal A$-Moduln $$\varphi:\mathcal F_1\curlyvee\ldots\curlyvee \mathcal F_r\ra\mathcal G$$ als eine Vorschrift, die jedem $U\co X$ eine $\mathcal A(U)$-multilineare Abbildung $$\varphi_U:\mathcal F_1(U)\times\ldots\times \mathcal F_r(U)\ra \mathcal G(U)$$ so zuordnet, da"s diese Zuordnung vertr"aglich ist mit der Restriktion auf kleinere offene Teilmengen $V\co U$. Im Fall $r=0$ verstehen wir das leere Produkt als die einpunktige Menge und eine $0$-lineare Abbildung als eine beliebige Abbildung. Eine $0$-Verschmelzung alias \glqq Leerverschmelzung\grqq\ $\varphi:\curlyvee\ra \mathcal G$ identifizieren wir so mit einem globalen Schnitt von $\mathcal G$ und erhalten in Formeln eine Bijektion\label{VSmo} $$\beta:\op{Ab}_{/(X,\mathcal A)}(\curlyvee,\mathcal G)\sira \mathcal G(X)=\Gamma \mathcal G$$ Unsere Verschmelzungen k"onnen wir \glqq multiverkn"upfen\grqq\ in der offensichtlichen Weise und diese Multiverkn"upfung ist dann auch in der offensichtlichen Weise strikt assoziativ. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Universelle Verschmelzungen und Tensorprodukt}] Gegeben ein gekringter Raum $(X,\mathcal A)$ nennen wir eine Multiverkn"upfung $\varphi:\mathcal F_1\curlyvee\ldots\curlyvee \mathcal F_r\ra\mathcal G$ von $\mathcal A$-Moduln \glqq universell\grqq, wenn sie die von den Tensorprodukten der linearen Algebra vertraute universelle Eigenschaft hat. Man zeigt, da"s es universelle Multiverkn"upfungen gibt und da"s sie eindeutig sind bis auf eindeutigen Isomorphismus. Wir notieren sie $$u: \mathcal F_1\curlyvee\ldots\curlyvee \mathcal F_r\ra \mathcal F_1\otimes\ldots\otimes \mathcal F_r$$ und schreiben statt $\otimes$ manchmal ausf"uhrlicher $\otimes_{\mathcal A}$. Die Tensorproduktgarbe kann explizit konstruiert werden als die \glqq Garbifizierung des Pr"agarbentensorprodukts\grqq. Im Fall $r=0$ ist diejenige Leerverschmelzung $\curlyvee\ra \mathcal A$ universell, die dem globalen Schnitt $1\in \mathcal A(X)$ entspricht. Die "ublichen Eigenschaften des Tensorprodukts fassen wir zusammen als die Aussage, da"s im Fall von Modulgarben jede Multiverkn"upfung universeller Verschmelzungen wieder universell ist. \end{Bemerkungl} \nichtfinal{Bilder f"ur Multiverkn"upfungen!} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Internes Hom}] Gegeben ein gekringter Raum $(X,\mathcal A)$ und ein $\mathcal A$-Modul $\mathcal F$ zeigt man weiter, da"s der Funktor $\mathcal F\otimes$ einen Rechtsadjungierten $\mathcal F{\Rrightarrow}$ hat. Explizit kann man $\mathcal F{\Rrightarrow}\mathcal G$ beschreiben als die Garbe von $\mathcal A$-Moduln, die jedem $U\co X$ den $\mathcal A(U)$-Modul $$(\mathcal F{\Rrightarrow}\mathcal G)(U)\pdef \op{Ab}_{/(U, \mathcal A|U)}(\mathcal F|U,\mathcal G|U)$$ der Homomorphismen zwischen den jeweiligen auf $U$ eingeschr"ankten Modulgarben zuordnet. Zu den Daten, durch die der Rechtsadjungierte eindeutig wird bis auf eindeutigen Isomorphismus, geh"oren au"serdem noch die offensichtlichen Bijektionen $\op{Ab}_{/(X,\mathcal A)}(\mathcal E\curlyvee \mathcal F,\mathcal G)\sira \op{Ab}_{/(X,\mathcal A)}(\mathcal E, \mathcal F{\Rrightarrow}\mathcal G)$. Ausf"uhrlicher schreiben wir das interne Hom auch $\Rrightarrow_{\mathcal A}$. In der Literatur ist die Notation ${\mathcal H}{\op{om}}_{\mathcal A}$ "ublich. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Opkomorphismen}] Gegeben ein Morphismus $f:(X,\mathcal A)\ra (Y,\mathcal B)$ von geringten R"aumen und $\mathcal F$ ein $\mathcal A$-Modul und $\mathcal G$ ein $\mathcal B$-Modul\label{OKOM} erkl"are ich einen \glqq Opkomorphismus\grqq\ $$\varphi:\mathcal F\ra \mathcal G$$ von Modulgarben "uber $f$ als eine Vorschrift, die beliebigen $U\co X$ und $V\co Y$ mit $f(U)\subset V$ einen Modulhomomorphismus $\varphi_{U,V}:\mathcal G(V)\ra \mathcal F(U)$ "uber dem Ringhomomorphismus $\mathcal B(V)\ra \mathcal A(U)$ so zuordnet, da"s diese Zuordnung vertr"aglich ist mit dem "Ubergang zu kleineren offenen Teilmengen in der offensichtlichen Weise. Die Menge dieser Opkomorphismen notiere ich $$\op{Ab}_{\sslash{f}}(\mathcal F,\mathcal G)$$ und im Fall $f=\op{id}_X$ auch $\op{Ab}_{\sslash{X}}(\mathcal F,\mathcal G)$, so da"s wir also in diesem Spezialfall $\op{Ab}_{\sslash{X}}(\mathcal F,\mathcal G)= \op{Ab}_{/{X}}(\mathcal G,\mathcal F)$ und $\op{Ab}_{\sslash{X}}=\op{Ab}_{/{X}}^{\op{opp}}$ erhalten. Diese Pfeilumkehr ist gew"ohnungsbed"urftig, aber stattdessen die Pfeile bei Abbildungen geringter R"aume umzudrehen schien mir ein gr"o"seres "Ubel. Ich halte f"ur offensichtlich, wie Opkomorphismen zu verkn"upfen sind. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Vorschub von Modulgarben}] Gegeben ein Morphismus $f:(X,\mathcal A)\ra (Y,\mathcal B)$ von geringten R"aumen nennen wir einen Opkomorphismus $$\kappa:\mathcal F\ra \mathcal G$$ von Modulgarben {\bf kokartesisch}, wenn das Vorschalten von $\kappa$ f"ur alle $\mathcal H\in \op{Ab}_{\sslash{Y}}$ eine Bijektion $(\circ\kappa):\op{Ab}_{\sslash{Y}}(\mathcal G,\mathcal H)\sira \op{Ab}_{\sslash{f}}(\mathcal F,\mathcal H)$ induziert. Man zeigt unschwer, da"s ein von $\mathcal F$ ausgehender kokartesischer Opkomorphismus "uber $f$ eindeutig bestimmt ist bis auf eindeutigen Isomorphismus. Wir notieren ihn meist $\kappa:\mathcal F\ra f_\dagger \mathcal F$. Damit haben wir also $$(\circ\kappa): \op{Ab}_{\sslash{Y}}(f_\dagger\mathcal F,\mathcal H)\sira \op{Ab}_{\sslash{f}}(\mathcal F,\mathcal H)$$ Man sieht auch leicht, da"s wir so einen von $\mathcal F$ ausgehenden kokartesischen Opkomorphismus erhalten k"onnen, indem wir seine Zielgarbe erkl"aren durch die Vorschrift $ (f_\dagger \mathcal F)(V)\pdef \mathcal F(f^{-1}V)$ f"ur alle $V\co Y$ und die offensichtlichen weiteren Daten erg"anzen. Es ist auch klar, da"s wir so einen Funktor $f_\dagger: \op{Ab}_{\sslash{X}}\ra \op{Ab}_{\sslash{Y}}$ erhalten. Der auf den opponierten Kategorien induzierte Funktor hei"st das \glqq direkte Bild\grqq\ und wir notieren ihn wie "ublich\label{VMo} $$f_*: \op{Ab}_{/{X}}\ra \op{Ab}_{/{Y}}$$ Man erkennt schlie"slich unschwer, da"s die Verkn"upfung kokartesischer Opkomorphismen wieder kokartesisch ist und da"s alle Identit"aten kokartesisch sind. Diese Erkenntnis folgt leicht aus den offensichtlichen Identit"aten $g_\dagger f_\dagger=(gf)_\dagger$ und $\op{id}_\dagger=\op{id}$ alias $g_* f_*=(gf)_*$ und $\op{id}_*=\op{id}$. F"ur den Vorschub auf den Einpunktraum erhalten wir $\Gamma\op{fin}_*\mathcal F=\Gamma\mathcal F$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{R"uckzug von Modulgarben}] Gegeben $f:(X,\mathcal A)\ra (Y,\mathcal B)$ ein Morphismus von geringten R"aumen nennen wir einen Opkomorphismus $$\kappa:\mathcal F\ra \mathcal G$$ von Modulgarben {\bf kartesisch}, wenn das Nachschalten von $\kappa$ f"ur alle $\mathcal E\in \op{Ab}_{\sslash{X}}$ eine Bijektion $(\kappa\circ):\op{Ab}_{\sslash{X}}(\mathcal E,\mathcal F)\sira \op{Ab}_{\sslash{f}}(\mathcal E,\mathcal G)$ induziert. Man zeigt unschwer, da"s ein bei $\mathcal G$ ankommender kartesischer Opkomorphismus "uber $f$ eindeutig bestimmt ist bis auf eindeutigen Isomorphismus. Wir notieren ihn $\kappa: f^\dagger\mathcal G\ra \mathcal G$. Damit haben wir also $$(\kappa\circ): \op{Ab}_{\sslash{X}}(\mathcal E,f^\dagger\mathcal G)\sira \op{Ab}_{\sslash{f}}(\mathcal E,\mathcal G)$$ Im Fall von durch die konstanten Ringarben $\DZ$ gekringten R"aumen sieht man noch einigerma"sen leicht, da"s wir einen kartesischen Opkomorphismus erhalten k"onnen, indem wir von der abelschen Pr"agarbe $U\mapsto \op{col}_{V\supset f(U)}\mathcal G(V)$ ausgehen und diese garbifizieren zu einer abelschen Garbe $f^\dagger \mathcal G=f^{\dagger,{\op{Ab}}} \mathcal G$. Im allgemeinen erhalten wir so einen R"uckzug unter Vorgriff auf die im n"achsten Punkt \ref{TvMg} besprochenen Konstruktionen als\label{RMo} $$ f^\dagger\mathcal G\pdef \mathcal A\otimes_{f^{\dagger,{\op{Ab}}} \mathcal B} f^{\dagger,{\op{Ab}}} \mathcal G$$ Zusammen ergibt sich unmittelbar die Adjunktion $(f_\dagger, f^\dagger)$ und damit folgt aus dem vorhergehenden \ref{VMo}, da"s auch die Verkn"upfung kartesischer Opkomorphismen wieder kartesisch ist. Daraus oder auch direkt aus allgemeinen Aussagen "uber Adjungierte einer Verkn"upfung erhalten wir dann Isotransformationen $\op{id}^\dagger\siRa \op{id}$ und $(g f)^\dagger\siRa f^\dagger g^\dagger$. Der auf den opponierten Kategorien induzierte Funktor hei"st das \glqq inverse Bild\grqq. Wir notieren ihn wie "ublich $$f^*: \op{Ab}_{/{Y}}\ra \op{Ab}_{/{X}}$$ und erhalten eine Adjunktion $(f^*, f_*)$ sowie Isotransformationen $\op{id}^*\siRa \op{id}$ und $(g f)^*\siRa f^* g^*$. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Im Fall von durch die konstante Kringgarbe $\DZ$ gekringten R"aumen und der Einbettungsabbildung $i_x$ eines Punktes $x\in X$ ist $\Gamma i_x^{*,{\op{Ab}}}\mathcal F=\mathcal F_x$ der Halm von $\mathcal F$ an der Stelle $x$. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Wir haben zusammenfassend einen Funktor $\op{Ab}_{\sslash{\op{Gek}}}\ra {\op{Gek}}$ konstruiert und den Beweis skizziert, da"s er sowohl ein \glqq Faserfunktor\grqq\ als auch ein \glqq Koaserfunktor\grqq\ ist. In dieser Situation erkl"art man f"ur ein beliebiges kommutatives Quadrat $fq=pg$ der Basis, hier der Kategorie $\op{Gek}$ der gekringten R"aume, den sogenannten \glqq Basiswechsel\grqq, eine Transformation $\op{bw}:g_\dagger q^\dagger \RA p^\dagger f_\dagger $. In unserer Allgemeinheit ist offensichtlich, da"s er im Fall eines Diagramms der Gestalt $$\xymatrix{(U, \mathcal A|U)\ar[r]^q\ar[d]^g& (X,\mathcal A)\ar[d]^f\\ (V, \mathcal B|V)\ar[r]^p& (Y,\mathcal B)}$$ mit $V\co Y$ und $U\pdef f^{-1}(V)\co X$ und den offensichtlichen Morphismen zu einer Isotransformation $\op{bw}:g_\dagger q^\dagger \siRa p^\dagger f_\dagger $ alias in opponierter Notation $\op{bw}: p^* f_* \siRa g_* q^* $ spezialisiert, vergleiche \eref{BaWW}{TG}. Diese Erkenntnis hei"st der {\bf offene Basiswechsel}.\label{OBW} Dasselbe gilt dann nat"urlich f"ur Basiswechsel in kartesischen Diagrammen gekringter R"aume mit offenen Einbettungen in den Horizontalen, diese sind n"amlich bis auf Isomorphismus nur eine abstrakte Charakterisierung obiger Situation. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben Morphismen von gekringten R"aumen $f_i:(X,\mathcal A)\ra (Y_i,\mathcal B_i)$ f"ur $1\leq i\leq r$ und $r\geq 0$ sowie Modulgarben $\mathcal F$ und $\mathcal G_i$ auf den jeweiligen R"aumen erkl"aren wir eine {\bf Trennung $\varphi$ von Modulgarben\label{TvMg} "uber dem Tupel $f=(f_1,\ldots,f_r)$} als eine Vorschrift, die jedem Tupel offener Teilmengen $U\co X, V_i\co Y_i$ mit $f_i(U)\subset V_i$ eine multiadditive Abbildung $$\varphi: \mathcal G_1(V_1)\times\ldots\times \mathcal G_r(V_r)\ra \mathcal F(U)$$ so zuordnet, da"s sie in Bezug auf die Ringhomomorphismen $\mathcal B_i(V_i)\ra\mathcal A(U)$ multilinear ist in der hoffentlich offensichtlichen Weise und vertr"aglich mit Einschr"ankungen auf kleinere offene Teilmengen. Haben wir $(Y_i,\mathcal B_i)=(X,\mathcal A)$ und $f_i=\op{id}$ f"ur alle $i$, so ist solch eine Trennung dasselbe wie eine Verschmelzung $\mathcal G_1\curlyvee\ldots\curlyvee \mathcal G_r\ra \mathcal F$ im Sinne von \ref{VSmo}. Haben wir speziell $r=1$, so ist so eine Trennung dasselbe wie ein Opkomorphismus "uber $f_1$ im Sinne von \ref{OKOM}. Es ist offensichtlich, wie man solche Trennungen multiverkn"upft. Wir notieren unsere Mengen von Trennungen $$\op{Ab}_{\sslash{(f_1,\ldots,f_r)}}(\mathcal F, \mathcal G_1\curlywedge\ldots\curlywedge \mathcal G_r)$$ oder $\op{Ab}_{\sslash{f}}(\mathcal F, \mathcal G)$ unter Abk"urzung von Tupeln zu einfachen Buchstaben oder $\op{Ab}_{\sslash{X}}(\mathcal F, \mathcal G)$ im Fall, da"s alle $f_i$ Identit"aten sind. Wir haben dann also $$\op{Ab}_{\sslash{X}}(\mathcal F, \mathcal G_1\curlywedge\ldots\curlywedge \mathcal G_r)=\op{Ab}_{/{X}}(\mathcal G_1\curlyvee\ldots\curlyvee \mathcal G_r,\mathcal F)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Universelle Trennungen und Trennr"uckzug}] Gegeben Morphismen von gekringten R"aumen $f_i:(X,\mathcal A)\ra (Y_i,\mathcal B_i)$ f"ur $1\leq i\leq r$ und $r\geq 0$ nennen wir eine Trennung von Modulgarben $$\kappa \in \op{Ab}_{\sslash{(f_1,\ldots,f_r)}}(\mathcal F, \mathcal G_1\curlywedge\ldots\curlywedge \mathcal G_r)=\op{Ab}_{\sslash{(f)}}(\mathcal F, \mathcal G)$$ {\bf kartesisch}, wenn f"ur jede weitere Modulgarbe $\mathcal E\in \op{Ab}_{\sslash{X}}$ das Nachschalten von $\kappa$ eine Bijektion $(\kappa\circ):\op{Ab}_{\sslash{X}}(\mathcal E,\mathcal F)\sira \op{Ab}_{\sslash{(f)}}(\mathcal E,\mathcal G)$ induziert. Man zeigt unschwer, da"s ein bei $\mathcal G_1\curlywedge\ldots\curlywedge \mathcal G_r$ ankommender kartesischer Opkomorphismus "uber $(f_1,\ldots,f_r)$ eindeutig bestimmt ist bis auf eindeutigen Isomorphismus. Im Fall von durch die konstanten Ringarben $\DZ$ gekringten R"aumen kann man einigerma"sen leicht einen kartesischen Opkomorphismus angeben, der vom Tensorprodukt der R"uckz"uge $f_1^{\dagger,{\op{Ab}}}\mathcal G_1\otimes\ldots\otimes f_r^{\dagger,{\op{Ab}}}\mathcal G_r$ "uber $\DZ$ ausgeht. Dann "uberlegt man sich durch Betrachtung der Halme, da"s jede Multiverkn"upfung kartesischer Trennungen abelscher Garben wieder kartesisch ist, und folgert die Vertr"aglichkeit von R"uckzug und Tensorprodukt im Fall abelscher Garben. In Formeln besagt sie, da"s gegeben $f:X\ra Y$ stetig die Gleichheit $(f\curlywedge f)\Delta_X=(f,f)=\Delta_Y f$ von Trennungen $X\ra Y\curlywedge Y$ vermittels der universellen Eigenschaften Isomorphismen $$f^{\dagger,{\op{Ab}}}\mathcal F\otimes f^{\dagger,{\op{Ab}}} \mathcal G\sira f^{\dagger,{\op{Ab}}}(\mathcal F\otimes \mathcal G)$$ induziert. Im allgemeinen ist eine Ringgarbe $\mathcal B$ auf $Y$ ist nun dasselbe wie eine abelsche Garbe mit einer Zweiverschmelzung $\mathcal B\curlyvee \mathcal B\ra \mathcal B$ und einer Leerverschmelzung $\curlyvee\ra \mathcal B$ f"ur die Eins und gewissen offensichtlichen Identit"aten, die die Assoziativit"at und die Eigenschaften der Eins kodieren. In der opponierten Sprache bedeutet das eine Zweitrennung $\mathcal B\ra \mathcal B\curlywedge \mathcal B$ "uber $\Delta_Y: Y\ra Y\curlywedge Y$ und eine Leertrennung $\mathcal B\ra\curlywedge$. Gegeben $f:X\ra Y$ stetig sehen wir so, da"s $f^{\dagger,{\op{Ab}}} \mathcal B$ die Struktur einer Ringgarbe erbt und wie f"ur jeden $\mathcal B$-Modul $\mathcal N$ der abelsche R"uckzug $f^{\dagger,{\op{Ab}}} \mathcal N$ ein $f^{\dagger,{\op{Ab}}} \mathcal B$-Modul wird. Das erkl"art zumindest schon einmal die beim gew"ohnlichen R"uckzug von Modulgarben \ref{RMo} verwendete Konstruktion $$ f^\dagger\mathcal G\pdef \mathcal A\otimes_{f^{\dagger,{\op{Ab}}} \mathcal B} f^{\dagger,{\op{Ab}}} \mathcal G$$ Betrachten wir andererseits gekringte einpunktige R"aume, so erhalten wir einen kartesischen Trennr"uckzug als den $A$-Modul $\bigotimes_A(A\otimes_{B_i}G_i)$ mit den hoffentlich offensichtlichen weiteren Daten. Ich habe dabei eine weniger verschn"orkelte Notation gew"ahlt, da in diesem Fall $A,B_i$ ganz gew"ohnliche Kringe sind und $B_i\ra A$ Ringhomomorphismen und $G_i$ Moduln "uber $B_i$. Auch in diesem Fall ist es klar, da"s die Multiverkn"upfung kartesische Trennungen zu kartesischen Trennungen macht. Im allgemeinen schlie"slich erhalten wir einen Trennr"uckzug als den $\mathcal A$-Modul $$(f_1, \ldots,f_r)^{\dagger}(\mathcal G_1\curlywedge\ldots\curlywedge\mathcal G_r)= f_1^{\dagger}\mathcal G_1\otimes_{\mathcal A}\ldots\otimes_{\mathcal A} f_r^{\dagger}\mathcal G_r$$ mit den hoffentlich offensichtlichen weiteren Daten und pr"ufen, wieder auf den Halmen aber nun in voller Allgemeinheit, da"s die Multiverkn"upfung kartesischer Trennungen von Modulgarben wieder kartesisch ist. Meist schreiben wir $f^*$ statt $f^\dagger$. Die Notation $f^\dagger=(f^*)^{\op{opp}}$ ist insbesondere hilfreich im kategorischen Kontexten. \end{Bemerkungl} \subsection{Geometrische Lokalisierung auf Spektra} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein geringter Raum $(X,\mathcal A)$ k"onnen wir den Morphismus auf den mit $\Gamma(\mathcal A)$ geringten Einpunktraum\label{LaGa} $c:(X,\mathcal A)\ra ({\op{top}},\Gamma(\mathcal A))$ betrachten. Vorschub und R"uckzug von Modulgarben nach \ref{VMo}, \ref{RMo} bilden wie immer ein adjungiertes Paar $(c^*, c_*)$, das wir in diesem Fall $(\mathcal L,\Gamma)$ notieren und im folgenden nocheinmal explizit beschreiben. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine Garbe von Ringen $\mathcal A$ auf einem topologischen Raum $X$ hat nach \ref{LaGa} der Funktor der globalen Schnitte\label{AJH} \begin{equation*} \Gamma : \mathcal A \op{-Mod} \rightarrow \Gamma (\mathcal A)\op{-Mod} \end{equation*} einen Linksadjungierten $\mathcal L=\mathcal L_X$, die {\bf Lokalisierung} oder ausf"uhrlicher {\bf geometrische Lokalisierung},\index{Lokalisierung!geometrische} die jedem $\Gamma (\mathcal A)$-Modul $M$ die Garbifizierung der Pr"agarbe $U \mapsto \mathcal A (U) \otimes_{\Gamma (\mathcal A) } M$ zuordnet. Als linksadjungierter Funktor vertauscht $\mathcal L$ mit beliebigen Koprodukten, ja mit Kolimites. F"ur die Halme der Lokalisierung erhalten wir aus der Vertauschbarkeit des Tensorprodukts mit Kolimites Isomorphismen \begin{equation*} (\mathcal L M)_x \sira \mathcal A_x \otimes_{\Gamma (\mathcal A)} M \end{equation*} F"ur den $\Gamma (\mathcal A)$-Modul $\Gamma (\mathcal A)$ selbst liefert die Adjunktion insbesondere einen Isomorphismus $\mathcal L\Gamma (\mathcal A)\sira \mathcal A$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Halme der geometrischen Lokalisierung auf einem Spektrum}] Im Fall des Spektrums $X\pdef \op{Spec}R$ eines Krings erhalten wir mithilfe des Isomorphismus $\eta:R\sira \Gamma (\mathcal O_X)$ aus \ref{glSD} und in abgek"urzter Notation nach \ref{AJH} speziell ein adjungiertes Paar $(\mathcal L,\Gamma)$ aus einen Funktor $\mathcal L:R\op{-Mod}\ra \mathcal O_X\op{-Mod}$ mit Rechtsadjungiertem dem Funktor der globalen Schnitte $\Gamma$. F"ur den Halm der Lokalisierung bei $\mathfrak p\in \op{Spec}(R)$ liefert \ref{AJH} einen Isomorphismus $$(\mathcal L M)_{\mathfrak p}\sira R_{\mathfrak p}\otimes_R M$$ Zusammen mit dem Inversen des Isomorphismus $M_{\mathfrak p}\sira R_{\mathfrak p}\otimes_R M$ aus \ref{LaSK} erhalten wir daraus weiter einen Isomorphismus\label{exLL} $$(\mathcal L M)_{\mathfrak p}\sira M_{\mathfrak p}$$ Insbesondere ist die geometrische Lokalisierung $\mathcal L$ zu Modulgarben auf dem Spektrum ein exakter Funktor, da die algebraischen Lokalisierungen $M\mapsto M_{\mathfrak p}$ exakt ist. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Volltreuheit der geometrischen Lokalisierung auf Spektra}] Gegeben ein Kring $R$ ist die Lokalisierung ein volltreuer Funktor von der Kategorie der $R$-Moduln zur Kategorie der Modulgarben auf $\op{Spec}(R)$. In anderen Worten liefert die Einheit der Adjunktion f"ur jeden $R$-Modul $M$ einen \label{glSDM} Isomorphismus $$\eta: M\sira \Gamma(\mathcal L M)$$ zwischen unserem Modul und den globalen Schnitten seiner geometrischen Lokalisierung zu einer Modulgarbe $\mathcal LM$ auf $\op{Spec}(R)$. \end{Satz} \begin{proof} Wir erinnern die offenen Mengen ${\op{U}}(f)\pdef \{\mathfrak p\in\op{Spec}R\mid f\not\in\mathfrak p\}$ der Nichtnullstellen von $f\in R$. Per definitionem ist $\mathcal L M$ auch die Garbifizierung der Basispr"agarbe mit Schnitten $\mathcal O({\op{U}}(f))\otimes_{R}M$ auf der Basis der Topologie aus den ${\op{U}}(f)$, unserer Standardbasis der Topologie des Spektrums. Mit dem Isomorphismus $R_f\sira \mathcal O({\op{U}}(f))$ aus \ref{glSDf} und der Beschreibung der Lokalisierung von Moduln als Skalarerweiterung \ref{LaSK} erhalten wir Isomorphismen $$\mathcal O({\op{U}}(f))\otimes_{R}M\sila R_f\otimes_RM\sila M_f$$ Diese bilden in ihrer Gesamtheit Isomorphismen von Basispr"agarben f"ur die Standardbasis. Nach \ref{LGVV} ist nun die Basispr"agarbe ganz rechts sogar eine Basisgarbe. Damit zeigt Proposition \ref{GGB} "uber die Garbifizierung von Basisgarben, da"s sich die Schnitte unserer Basisgarben auf offenen Teilmengen der Standardbasis unter Garbifizierung nicht "andern. Der Satz folgt unmittelbar. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Allgemeinere Schnitte der Lokalisierung auf einem Spektrum}] Beim Beweis des Satzes haben wir Isomorphismen $M_f\sira (\mathcal LM)({\op{U}}(f))$ gleich mitbewiesen. Sie folgen aber auch direkt, indem wir das kommutative Diagramm $$\xymatrix{\op{Spec}(R_f)\ar[r]^q\ar[d]^\psi&(\op{top}, R_f)\ar[d]^\phi\\ \op{Spec}(R) \ar[r]^p&(\op{top}, R)}$$ betrachten. In der Tat liefert der Vergleich der R"uckz"uge einen Isomorphismus $q^*\phi^* M\sira \psi^* p^* M$ und durch Anwenden von $q_*$ den zweiten Isomorphismus in der Kette $$\phi^* M\sira q_* q^*\phi^* M\sira q_*\psi^* p^* M$$ Der erste Isomorphismus folgt aus der Volltreuheit der Lokalisierung auf affinen Schemata \ref{glSDM}, angewandt auf $\op{Spec}(R_f)$. Zusammen bedeutet das den behaupteten Isomorphismus $M_f\sira (\mathcal LM)({\op{U}}(f))$. \end{Bemerkungl} %\begin{Satz}[\textbf{Spezieller Basiswechsel der Lokalisierung auf Spektra}] % Gegeben ein Kring $R$ und ein Element % $f\in R$ ist der Basiswechsel im Diagramm % $$\xymatrix{\op{Spec}(R_f)\ar[r]^q\ar[d]^\psi&(\op{top}, R_f)\ar[d]^\phi\\ % \op{Spec}(R) \ar[r]^p&(\op{top}, R)}$$ % stets eine Isotransformation $p^* \phi_* \siRa \psi_* q^* $. %\end{Satz} %\begin{proof} %Gegeben % $N\in R_f{\op{-Mod}}$ gilt es zu zeigen, da"s der Basiswechsel % einen Isomorphismus % $$p^* \phi_* N\sira \psi_* q^* N$$ % von Modulgarben auf dem Spektrum von $R$ liefert. % Schreiben wir $\mathcal L_f\pdef q^*$ und $\mathcal L\pdef p^*$ % f"ur die geometrischen Lokalisierungen in Bezug auf $R_f$ beziehungsweise $R$, % so bedeutet das einen Isomorphismus $\mathcal L N\sira \psi_*\mathcal L_f N$ % unter Unterschlagung der Notation $\phi_* N$ f"ur $N$ aufgefa"st als $R$-Modul. % Um das zu sehen, reicht es zu zeigen, da"s unser Basiswechsel Isomorphismen %auf den Schnitten "uber den offenen Mengen der Standardbasis %$(p^* \phi_* N)(\op{U}(g))\sira (\psi_* q^* N)(\op{U}(g))$ induziert %f"ur alle $g\in R$ alias Isomorphismen %$$( \mathcal L_f N)({\op{U}}(f)\cap {\op{U}}(g))\sira ( \mathcal L N)({\op{U}}(g))$$ %Beide Seiten sind jedoch in nat"urlicher Weise %isomorph zur Lokalisierung $N_g$ und die zuvor beschriebenen Abbildungen entsprechen %darunter der Identit"at auf $N_g$ und das beendet den Beweis. %\end{proof} %\begin{Bemerkunge} % Ich schreibe denselben Beweis auch nocheinmal anders aus. % Wir erg"anzen unser Diagramm zum Diagramm %$$\xymatrix{(\op{top}, R_{fg})\ar[ddd]^n\ar[rrr]^k&&&(\op{top}, R_f)\ar[ddd]^\phi\\ % &\op{Spec}(R_{fg})\ar[r]^t\ar[lu]_l\ar[d]^\pi&\op{Spec}(R_f)\ar[ru]^q\ar[d]^\psi % &\\ % & \op{Spec}(R_g) \ar[ld]_c\ar[r]^s& \op{Spec}(R) \ar[rd]^p&\\ % (\op{top}, R_{g})\ar[rrr]^m& & &(\op{top}, R)}$$ %Wir verwenden daf"ur die nichtopponierte Notation %und m"ussen zeigen, da"s der Basiswechsel im linken Trapez %eine Isotransformation $\psi_\dagger q^\dagger \siRa p^\dagger \phi_\dagger $ ist. %Mit den speziellen Eigenschaften unserer Situation haben wir uns darauf zur"uckgezogen, %zu zeigen, da"s er eine Isotransformation %$c_\dagger s^\dagger \psi_\dagger q^\dagger \siRa c_\dagger s^\dagger p^\dagger \phi_\dagger $ %induziert. Dazu bilden wir ein weiteres Diagramm auf den Fasern %$$\xymatrix{k^\dagger N\ar@{..>}[dddd]^6\ar@{-->}[rrr]^4&&&N\ar@{..>}[dddd]^1\\ % &t^\dagger q^\dagger N\ar@{-->}[r]^3\ar@{-->}[lu]_5\ar@{.>}[lu]\ar@{..>}[d]^3 % &q^\dagger N\ar@{-->}[ru]^1\ar@{..>}[d]^1 % &\\ % &s^\dagger\psi_\dagger q^\dagger N\ar@{-->}[r]^1\ar[d]^1\ar[ddl]_{7?}&\psi_\dagger q^\dagger N\ar[d]^1 % &\\ % & s^\dagger p^\dagger \phi_\dagger N\ar@{-->}[ld]\ar@{..>}[ld]_2\ar@{-->}[r]^1& p^\dagger \phi_\dagger N\ar@{-->}[rd]^1&\\ % m^\dagger \phi_\dagger N \ar@{-->}[rrr]^{1}& & &\phi_\dagger N}$$ %Wir beginnen mit den mit $1$ markierten Pfeilen. Die gestrichelten Pfeile %sind kartesisch, die gepunktelten kokartesisch, die durchgezogenen %entstehen daraus durch Kommutativit"at. Der durch Kommutativit"at entstehende %Pfeil $2$ mu"s auch kartesisch sein aufgrund der Eigenschaften einer Faserung %und dann sogar kartesisch und kokartesisch nach der %Volltreuheit der geometrischen Lokalisierung f"ur Spektra \ref{glSDM}. %Wir m"ussen zeigen, da"s der durch Kommutativit"at entstehende Pfeil $7?$ auch %kokartesisch ist. %Zun"achst erg"anzen wir dazu die mit $3$ markierten Pfeile. %Offener Basiswechsel zeigt, da"s sie kartesisch beziehungsweise kokartesisch sind %wie eingezeichnet. %Dann erg"anzen wir Pfeil $4$ und %durch Kommutativit"at den Pfeil $5$ und %wissen aus den Eigenschaften einer Faserung, da"s er kartesisch sein mu"s %und damit auch kokartesisch nach der %Volltreuheit der geometrischen Lokalisierung f"ur Spektra \ref{glSDM}. %Schlie"slich k"onnen wir den Pfeil $6$ erg"anzen durch die Bedingung der %Kommutativit"at des einh"ullenden Quadrats. Es ist dann explizit klar, da"s %er in unserer speziellen Situation kokartesisch sein mu"s. Die Kommutativit"at %des linken Trapezes folgt dann daraus, da"s die untere Horizontale kartesisch ist %und alle anderen Fl"achen dieses \glqq von vorne betrachteten W"urfels\grqq\ %kommutieren. Damit folgt schlie"slich aus Eigenschaften vvon Kofaserungen, da"s auch %der Pfeil $7?$ kokartesisch sein mu"s. %\end{Bemerkunge} \begin{Satz}[\textbf{Basiswechsel der Lokalisierung auf Spektra}] Gegeben ein Kringhomomorphismus $\phi^\circ: B\ra A$ ist der Basiswechsel im Diagramm\label{BlSS} $$\xymatrix{\op{Spec}(A)\ar[r]^q\ar[d]^\psi&(\op{top}, A)\ar[d]^\phi\\ \op{Spec}(B) \ar[r]^p&(\op{top}, B)}$$ stets eine Isotransformation $p^* \phi_* \siRa \psi_* q^* $. \end{Satz} \begin{proof} Gegeben $N\in A{\op{-Mod}}$ gilt es zu zeigen, da"s der Basiswechsel einen Isomorphismus $$p^* \phi_* N\sira \psi_* q^* N$$ von Modulgarben auf dem Spektrum von $B$ liefert. Schreiben wir $\mathcal L_A\pdef q^*$ und $\mathcal L_B\pdef p^*$ f"ur die geometrischen Lokalisierungen in Bezug auf $A$ beziehungsweise $B$, so bedeutet das einen Isomorphismus $\mathcal L_B N\sira \psi_*\mathcal L_A N$ unter Unterschlagung der Notation $\phi_* N$ f"ur $N$ aufgefa"st als $B$-Modul. Um das zu sehen, reicht es zu zeigen, da"s unser Basiswechsel Isomorphismen auf den Schnitten "uber den offenen Mengen der Standardbasis $(p^* \phi_* N)(\op{U}(\phi^\circ(g)))\sira (\psi_* q^* N)(\op{U}(g))$ induziert f"ur alle $g\in B$ alias Isomorphismen $$( \mathcal L_A N)({\op{U}}(\phi^\circ(g)))\sira ( \mathcal L_B N)({\op{U}}(g))$$ Beide Seiten sind jedoch in nat"urlicher Weise isomorph zur Lokalisierung $N_{\phi^\circ(g)}$ und die zuvor beschriebenen Abbildungen entsprechen darunter der Identit"at auf diesem Raum und das beendet den Beweis. \end{proof} \begin{Bemerkunge} Ich schreibe denselben Beweis auch noch ausf"uhrlicher in der Sprache der Faserungen und Kofaserungen aus. Wir erg"anzen unser Diagramm zum Diagramm $$\xymatrix{(\op{top}, A_{\phi^\circ(g)})\ar[ddd]^n\ar[rrr]^k&&&(\op{top}, A)\ar[ddd]^\phi\\ &\op{Spec}(A_{\phi^\circ(g))}\ar[r]^t\ar[lu]_l\ar[d]^\pi&\op{Spec}(A)\ar[ru]^q\ar[d]^\psi &\\ & \op{Spec}(B_{g}) \ar[ld]_c\ar[r]^s& \op{Spec}(B) \ar[rd]^p&\\ (\op{top}, B_{g})\ar[rrr]^m& & &(\op{top}, B)}$$ Wir verwenden daf"ur die nichtopponierte Notation und m"ussen zeigen, da"s der Basiswechsel im linken Trapez eine Isotransformation $\psi_\dagger q^\dagger \siRa p^\dagger \phi_\dagger $ ist. Mit den speziellen Eigenschaften unserer Situation haben wir uns darauf zur"uckgezogen, zu zeigen, da"s er eine Isotransformation $c_\dagger s^\dagger \psi_\dagger q^\dagger \siRa c_\dagger s^\dagger p^\dagger \phi_\dagger $ induziert. Um das hinwiederum zu zeigen bilden wir ein weiteres Diagramm auf den Fasern $$\xymatrix{k^\dagger N\ar@{->>}[dddd]^6\ar@{_{(}->}[rrr]^4&&&N\ar@{->>}[dddd]^1\\ &t^\dagger q^\dagger N\ar@{_{(}->}[r]^3\ar@{_{(}->>}[lu]_5\ar@{->>}[d]^3 &q^\dagger N\ar@{_{(}->}[ru]^1\ar@{->>}[d]^1 &\\ &s^\dagger\psi_\dagger q^\dagger N\ar@{_{(}->}[r]^1\ar[d]^1\ar@{->>}[ddl]_{7}&\psi_\dagger q^\dagger N\ar[d]^1 &\\ & s^\dagger p^\dagger \phi_\dagger N\ar@{_{(}->>}[ld]_2\ar@{_{(}->}[r]^1& p^\dagger \phi_\dagger N\ar@{_{(}->}[rd]^1&\\ m^\dagger \phi_\dagger N \ar@{_{(}->}[rrr]^{1}& & &\phi_\dagger N}$$ Die mit Haken notierten Pfeile sind kartesisch, die mit Doppelspitze versehenen kokartesisch, die einfachen Pfeile entstehen durch Kommutativit"at. Aus den Eigenschaften einer Faserung \eref{stkk}{TG} wissen wir, da"s alle kartesischen Morphismen stark kartesisch sind und da"s aus $\beta\alpha$ kartesisch und $\beta$ kartesisch folgt $\alpha$ kartesisch. Duales gilt f"ur kokartesische Morphismen. Da Injektionen beziehungsweise Surjektionen von Mengen dieselbe Eigenschaft haben, schien mir die Notation suggestiv. Jedoch mu"s ein kartesischer und kokartesischer Morphismus keineswegs ein Isomorphismus sein. Wir beginnen nun mit den mit $1$ markierten Pfeilen. Der durch Kommutativit"at entstehende Pfeil $2$ mu"s auch kartesisch sein aufgrund der Eigenschaften einer Faserung und dann sogar zus"atzlich kokartesisch nach der Volltreuheit der geometrischen Lokalisierung f"ur Spektra \ref{glSDM}. Wir m"ussen zeigen, da"s der durch Kommutativit"at entstehende Pfeil $7$, wie im Diagramm bereits angedeutet, kokartesisch ist. Zun"achst erg"anzen wir dazu die mit $3$ markierten Pfeile. Offener Basiswechsel zeigt, da"s sie kartesisch beziehungsweise kokartesisch sind wie eingezeichnet. Dann erg"anzen wir Pfeil $4$ und durch Kommutativit"at den Pfeil $5$ und wissen wieder aus dem Diagramm, da"s er kartesisch sein mu"s und damit auch kokartesisch nach der Volltreuheit der geometrischen Lokalisierung f"ur Spektra \ref{glSDM}. Schlie"slich k"onnen wir den Pfeil $6$ erg"anzen durch die Bedingung der Kommutativit"at des einh"ullenden Quadrats. Es ist explizit klar, da"s er in unserer speziellen Situation kokartesisch sein mu"s. Die Kommutativit"at des linken Trapezes folgt dann daraus, da"s die untere Horizontale kartesisch ist und alle anderen Fl"achen dieses \glqq von vorne betrachteten W"urfels\grqq\ kommutieren. Damit folgt schlie"slich aus Eigenschaften von Kofaserungen opponiert zu \eref{stkk}{TG}, da"s auch der Pfeil $7$ kokartesisch sein mu"s. \end{Bemerkunge} % \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Kring $R$ und ein Element % $f\in R$ und ein $R$-Modul $M$ und $j:{\op{U}}(f)\hra \op{Spec}R$ die Einbettung % liefert die Adjunktion einen Isomorphismus % $$\mathcal L(M_f)\sira j_*j^*(\mathcal L M)$$ % Das folgt unmittelbar aus dem % Satz, indem man den Halm der Bildgarbe bei $\mathfrak p$ als Limes % der $(\mathcal L M)({\op{U}}(fg))$ f"ur $g\not\in\mathfrak p$ % beschreibt.\label{glSDm} % \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Algebraischer und geometrischer Tr"ager}] Gegeben ein Kring $R$ und ein $R$-Modul $M$ und ein Element $m\in M$ f"allt nach \ref{TrLo} der Tr"ager $\op{supp}(\eta(m))$ des Schnittes $\eta(m)\in \Gamma(\mathcal L M)$ der Garbe $\mathcal L M$ zusammen mit dem Tr"ager, wie wir ihn in \ref{suppMM} als $\op{supp}(m)=\mathcal A(\op{Ann}_R(m))\subset \op{Spec}(R)$ erkl"art hatten. Insbesondere liefert f"ur jedes Ideal $\mathfrak a\subset R$ unser $\eta$ eine Bijektion $$\Gamma_{\mathcal A(\mathfrak a)}\mathcal L M\sira \{m\in M\mid \forall x\in \mathfrak a\;\exists n\in\DN \text{ mit }x^nm=0\} $$ Ist $\mathfrak a$ endlich erzeugt, so kann dieser Untermodul auch einfacher beschrieben werden als $\{m\in M\mid \exists n\in\DN \text{ mit }\mathfrak a^nm=0\} $.\label{agT} \end{Bemerkungl} \subsection{Quasikoh"arente Modulgarben auf Schemata} \begin{Definition} Eine Modulgarbe $\mathcal F$ auf einem Schema $X$ hei"st {\bf quasikoh"arent},\index{quasikoh"arent} wenn unser Schema eine "Uberdeckung durch affine offene Unterschemata $U\co X$ besitzt derart, da"s die Restriktion $\mathcal F|_U$ jeweils isomorph ist zur geometrischen Lokalisierung eines $\mathcal O_X(U)$-Moduls. Wir notieren\index{Modqk@$\mathcal O_X\op{-Modqk}$} die Kategorie der quasikoh"arenten $\mathcal O_X$-Moduln auf einem Schema $X$ als $$\mathcal O_X\op{-Modqk}=\op{Modqk}_{/X}$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Die Einschr"ankung einer quasikoh"arenten Modulgarbe auf ein offenes Unterschema ist wieder quasikoh"arent. Das folgt unmittelbar aus der Transitivit"at von R"uckz"ugen und der Erkenntnis, das geometrische Lokalisierung auch als ein R"uckzug verstanden werden kann sowie der Erkenntnis \ref{otgh}, da"s jedes affine Schema eine Basis der Topologie aus affinen offenen Unterschemata besitzt. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Eine nicht quasikoh"arente Modulgarbe}] Auf der Geraden $X =\op{Spec}\DC[T]$ ist die Wolkenkratzergarbe an irgendeinem abgeschlossenen Punkt mit Faser $\Bbb{C} (T)$ und der offensichtlichen Struktur als $\cal{O}_{X}$-Modul nicht quasikoh"arent, wie etwa der anschlie"sende Satz \ref{MqkG} zeigt. \end{Beispiel} \begin{Satz}[\textbf{Moduln und quasikoh"arente Modulgarben}] Gegeben ein Kring $A$ mit Spektrum $({\op{Spec}}(A),\mathcal O)$ ist der Lokalisierungsfunktor\label{MqkG} eine "Aquivalenz von Kategorien $$\mathcal L: A\op{-Mod}\sirra \op{Modqk}_{/{\op{Spec}}(A)}$$ \end{Satz} \begin{proof} Sei $\mathcal F$ ein quasikoh"arenter $\mathcal O$-Modul. Nach \ref{kgAS} gibt es dann Elemente $f_1,\ldots, f_r\in A$ derart, da"s die offenen affinen Unterschemata ${\op{U}}(f_\rho)$ unser Spektrum "uberdecken und da"s $\mathcal F|{\op{U}}(f_\rho)$ jeweils die Lokalisierung eines $\mathcal O({\op{U}}(f_\rho))$-Moduls ist. Dann ist aber nach \ref{BlSS} auch der Vorschub dieser Restriktion unter $j_\rho: {\op{U}}(f_\rho)\hra \op{Spec}(A)$ die Lokalisierung eines $A$-Moduls und mithin liefern die Einheiten der Adjunktion die Einbettung jeweils einen Isomorphismus $$\varepsilon: \mathcal L\Gamma j_{\rho*}j_\rho^*\mathcal F\sira j_{\rho*}j_\rho^*\mathcal F$$ Nun betrachten wir zus"atzlich die Einbettungen $j_{\rho\sigma}$ der ${\op{U}}(f_\rho)\cap {\op{U}}(f_\sigma)={\op{U}}(f_\rho f_\sigma)$ und bilden das kommutative Diagramm $$\xymatrix{ \mathcal L\Gamma \mathcal F \ar@{^(->}[r]\ar[d] & \prod_{\rho} \mathcal L\Gamma j_{\rho*}j_\rho^*\cal{F}\ar[r]\ar[d]^\wr&\prod_{\rho,\sigma} \mathcal L\Gamma j_{\rho\sigma*}j_{\rho\sigma}^*\cal{F}\ar[d]^\wr \\ \mathcal F \ar@{^(->}[r] & \prod_{\rho} j_{\rho*}j_\rho^*\cal{F}\ar[r]&\prod_{\rho,\sigma} j_{\rho\sigma*}j_{\rho\sigma}^*\cal{F} } $$ Wir gehen dabei von der unteren Horizontale aus, die linksexakt ist nach \eref{lESS}{TG}, und folgern mit der Linksexaktheit von $\Gamma$ und der Exaktheit der geometrischen Lokalisierung $\mathcal L$ im Fall von Spektra nach \ref{exLL} die Linksexaktheit der oberen Horizontale. Das F"unferlemma zeigt dann, da"s f"ur quasikoh"arentes $\mathcal F$ die Koeinheit der Adjunktion einen Isomorphismus $\mathcal L\Gamma \mathcal F \sira \mathcal F$ induziert. Die Behauptung folgt nun aus allgemeinen Resultaten \eref{AduA}{TF}: Gegeben ein adjungiertes Paar $(L,R)$ mit einer Isotransformation $\op{Id}\siRa RL$ als Einheit der Adjunktion ist $L$ stets volltreu und sein wesentliches Bild besteht aus allen Objekten $\mathcal F$ mit der Eigenschaft, da"s Koeinheit der Adjunktion einen Isomorphismus $LR\mathcal F\sira\mathcal F$ induziert. \end{proof} \begin{Korollar}\begin{enumerate} \item Gegeben ein Morphismus von quasikoh"arenten Mo\-dul\-gar\-ben auf einem Schema sind auch sein Kern und Kokern quasikoh"arent; \item Beliebige direkte Summen, ja Kolimites "uber beliebige Systeme quasikoh"arenter Mo\-dulgarben auf einem Schema sind quasikoh"arent; \item Gegeben eine kurze exakte Sequenz $\mathcal F'\hra \mathcal F\sra \mathcal F''$ von Mo\-dulgarben auf einem Schema mit $\mathcal F'$ und $ \mathcal F''$ quasikoh"arent ist auch $ \mathcal F$ quasikoh"arent; \item Eine Garbe von Idealen der Strukturgarbe eines Schemas ist genau dann quasikoh"arent, wenn sie lokal von globalen Schnitten erzeugt wird, wenn es also eine offene "Uberdeckung gibt derart, da"s die Restriktion unserer Idealgarbe auf jede der besagten offenen Mengen von globalen Schnitten erzeugt wird. \end{enumerate} \label{EKOH} \end{Korollar} \begin{proof} 1. Da die Restriktion von Modulgarben auf offene Unterschemata exakt ist, reicht es, das f"ur affine Schemata zu zeigen. Die Aussage folgt dann aus Satz \ref{MqkG} und der Exaktheit der Lokalisierung im Fall affiner Schemata. \\[2mm]\noindent 2. Da die Restriktion von Modulgarben auf offene Unterschemata einen Rechtsadjungierten hat, vertauscht sie mit beliebigen Kolimiten. Wieder reicht es also, die Behauptung f"ur affine Schemata zu zeigen. Da folgt sie, da auch die Lokalisierung einen Rechtsadjungierten hat und folglich mit beliebigen Kolimiten vertauscht. \\[2mm]\noindent 3. Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit ist unser Schema affin. Wir bilden das kommutative Diagramm $$\xymatrix{ \mathcal L\Gamma \mathcal F' \ar@{^(->}[r]\ar[d]^\wr & \mathcal L\Gamma \mathcal F\ar[r]\ar[d]& \mathcal L\Gamma \mathcal F''\ar[d]^\wr \\ \mathcal F' \ar@{^(->}[r] & \mathcal F\ar@{->>}[r]& \mathcal F''} $$ Sobald wir die Surjektivit"at $\Gamma \mathcal F\sra \Gamma \mathcal F''$ zeigen k"onnen, erledigen die Exaktheit von $\mathcal L$ und das F"unferlemma den Rest. Gegeben $s''\in\Gamma \mathcal F''$ ist auch der davon erzeugte $\mathcal O$-Untermodul $\mathcal E''$ quasikoh"arent als Bild eines Morphismus $\mathcal O\ra \mathcal F''$. Bilden wir den Pullback $\mathcal E\subset \mathcal F$ von $\mathcal E''$, so erhalten wir eine kurze exakte Sequenz $$ \mathcal F' \hra \mathcal E\sra \mathcal E'' $$ Jeder Punkt besitzt nun eine offene affine Umgebung $U$, auf der die Restriktion $s''|U$ ein Urbild in $\mathcal E(U)$ hat. Damit zeigt unser Argument von oben, da"s $\mathcal E|_U$ quasikoh"arent ist. Dann aber mu"s bereits $\mathcal E$ selbst quasikoh"arent sein und unsere "Aquivalenz von Kategorien \ref{MqkG} zeigt die Surjektivit"at $\Gamma\mathcal E\sra \Gamma\mathcal E''$ und damit die Surjektivit"at $\Gamma\mathcal F\sra \Gamma\mathcal F''$. \\[2mm]\noindent 4. Das Bild eines Morphismus quasikoh"arenter Garben ist nach dem bereits Bewiesenen wieder quasikoh"arent. Die Behauptung folgt. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Vertr"aglichkeit von Lokalisierung und Trennr"uckzug}] Gegeben Kringe $A,B_1,\ldots,B_r$ f"ur $r\geq 0$ und Kringhomomorphismen $f_\rho^\circ :B_\rho\ra A$ erhalten wir in der Familienkategorie der banalen Trennkategorie der gekringten R"aume\label{VTLO} ein kommutatives Diagramm $$\xymatrix{\op{Spec}A\ar[d]\ar[r]&\op{Spec}B_1\curlywedge\ldots\curlywedge \op{Spec}B_r\ar[d]\\ (\op{top},A)\ar[r]&(\op{top},B_1)\curlywedge\ldots\curlywedge(\op{top},B_r)}$$ In der oberen Zeile ist die Kringgarbe die "ubliche, in der unteren Zeile stehen nur Einpunktr"aume. Nach den allgemeinen Eigenschaften einer Trennfaserung macht der R"uckzug in den Vertikalen aus einer kartesischen Trennung in der unteren Horizontalen eine kartesische Trennung in der oberen Horizontalen. Das gilt sogar f"ur beliebige kommutative Diagramme gekringter R"aume der obigen Gestalt und noch allgemeiner in einer beliebigen Trennfaserung "uber einer banalen Trennkategorie in der Basis. In unserer speziellen Situation besagt es insbesondere, da"s f"ur Trennungen affiner Schemata der Trennr"uckzug quasikoh"arenter Modulgarben wieder quasikoh"arent ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Erhaltung von Quasikoh"arenz bei Trennr"uckzug}] Gegeben Morphismen von Schemata $f_\rho:X\ra Y_\rho$ f"ur $1\leq \rho\leq r$ mit $r\geq 0$ und quasikoh"arente Modulgarben $\mathcal G_\rho$ auf $Y_\rho$ ist auch ihr Trennr"uckzug $(f_1,\ldots,f_r)^*(\mathcal G_1\curlywedge \ldots\curlywedge \mathcal G_r)$ quasikoh"arent. In der Tat reicht es sicher, das f"ur den Fall zu zeigen, da"s alle unsere Schemata affin sind, und diesen Fall haben wir bereits in \ref{VTLO} behandelt.\label{EQT} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Lokalisierung zu affinem Schema als volltreuer Schmelzfunktor}] Gegeben ein Kring $R$ mit seinem Spektrum $(\op{Spec}R,\mathcal O)$ ist die geometrische Lokalisierung insbesondere ein volltreuer Schmelzfunktor $$\mathcal L:\op{Mod}_R\ra \mathcal O\op{-Mod}$$ von $R$-Moduln zu $\mathcal O$-Modulgarben auf $\op{Spec}R$. Dieser Schmelzfunktor macht universelle Verschmelzungen zu universellen Verschmelzungen. Etwas allgemeiner ist auf einem beliebigen Schema $X$ das Tensorprodukt quasikoh"arenter Garben wieder quasikoh"arent und wir erhalten so die Schmelzkategorie mit stabil universellen Verschmelzungen $\op{Modqk}_{/X}$ der quasikoh"arenten Modulgarben auf dem Schema $X$ und f"ur jeden Kring $R$ eine "Aquivalenz von Schmelzkategorien $$\mathcal L:\op{Mod}_R\sirra \op{Modqk}_{/{\op{Spec}R}}$$ F"ur $R$-Moduln $M,N$ sind die durch unseren Schmelzfunktor der Lokalisierung gegebenen nat"urlichen Morphismen $\mathcal L\op{Hom}_R(M,N)\ra (\mathcal LM \Rrightarrow\mathcal LN)$ aus \eref{fIH}{TSK} nach \ref{KEPP} Isomorphismen, wenn $M$ endlich pr"asentiert ist. Das interne Hom von quasikoh"arenten Garben auf Schemata braucht im allgemeinen jedoch nicht quasikoh"arent zu sein.\label{iHqg} Diese Schwierigkeit tritt bereits im Fall von Modulgarben "uber $\mathbb A^1_k=\op{Spec}k[X]$ im Fall eines beliebigen K"orpers $k$ auf, vergleiche \ref{lokMO}. In Standardsituationen hilft hier der \glqq Quasikoh"arentor\grqq. Genaueres dazu besprechen wir in \ref{Qkoh}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Schwierigkeiten mit quasikoh"arenten Garben}] Die Trennfaserung der Opmodulgarben auf gekringten R"aumen schr"ankt nach \ref{EQT} ein zu einer Trennfaserung $$\op{Modqk}_{\sslash{\op{Sch}}}\ra \curlywedge{\op{Sch}}$$ Allerdings sind quasikoh"arente Modulgarben auf Schemata im allgemeinen weder stabil unter internem Hom, vergleiche \ref{iHqg}, noch unter Produkten, vergleiche \ref{pqkM}, noch unter Vorschub unter Morphismen von Schemata, vergleiche \ref{nsV}. Wir diskutieren im folgenden, unter welchen Zusatzannahmen manche dieser im Kontext allgemeiner Modulgarben betrachteten Konstruktionen doch Quasikoh"arenz erhalten. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Affiner Basiswechsel}] Gegeben ein kartesisches Diagramm in der Kategorie der Schemata\label{abVV} $$\xymatrix{W\ar[r]^-q\ar[d]^g& X\ar[d]^f\\ Z\ar[r]^-{p}& Y}$$ mit affinen Vertikalen $f,g$ ist f"ur jede quasikoh"arente Modulgarbe $\mathcal F$ auf $X$ der Basiswechsel ein Isomorphismus $$p^* f_*\mathcal F\sira g_*q^*\mathcal F$$ \end{Proposition} \begin{proof} Mit offenem Basiswechsel k"onnen wir uns auf den Fall zur"uckziehen, da"s alle vier beteiligten Schemata affin sind. Von dort k"onnen uns weiter auf den Fall von Moduln "uber Ringen zur"uckziehen und in diesem Fall ist die Aussage klar. Genauer ist unser Diagramm im Fall affiner Schemata isomorph zum mittleren Quadrat eines kommutativen Diagramms gekringter R"aume % @{_{(}->} @{->>} $$\xymatrix{(\op{top}, C\otimes_B A )\ar[ddd]^{\bar g}\ar[rrr]^{\bar q}&&&(\op{top}, A)\ar[ddd]^{\bar f}\\ &\op{Spec}(C\otimes_B A)\ar[r]^-q\ar[lu]_n\ar[d]^g&\op{Spec}(A)\ar[ru]^k\ar[d]^f &\\ & \op{Spec}(C) \ar[ld]_m\ar[r]^p& \op{Spec}(B) \ar[rd]^l&\\ (\op{top}, C)\ar[rrr]^{\bar p}& & &(\op{top}, B)}$$ und $\mathcal F$ ist isomorph zur Lokalisierung $\mathcal F\cong \mathcal L M$ eines $A$-Moduls $M$. Wir konstruieren in der opponierten Notation auf den Fasern das kommutative Diagramm $$\xymatrix{ \bar q^\dagger M\ar@{->>}[ddd]^3\ar@{_{(}->}[rrr]^1&&&M\ar@{->>}[ddd]^1\\ &n^\dagger \bar q^\dagger M\ar@{_{(}->}[r]^2\ar@{_{(}->}[lu]_1\ar@{->>}[d]^4&k^\dagger M\ar@{_{(}->}[ru]^1\ar@{->>}[d]^4 &\\ & m^\dagger \bar p^\dagger \bar f_\dagger M \ar@{_{(}->}[ld]_1\ar@{_{(}->}[r]^2&l^\dagger \bar f_\dagger M \ar@{_{(}->}[rd]^1&\\ \bar p^\dagger \bar f_\dagger M\ar@{_{(}->}[rrr]^1& & &\bar f_\dagger M}$$ In einem ersten Schritt bilden wir die mit $1$ markierten Pfeile so, da"s sie alle kartesisch sind mit Ausnahme der Vertikale ganz rechts, die kokartesisch ist. Die "ubrigen Pfeile erkl"aren wir durch die Kommutativit"at des Diagramms, ohne von ihnen bereits zus"atzliche Eigenschaften zu behaupten. Im zweiten Schritt folgern wir aus dem Diagramm, da"s die mit $2$ markierten Pfeile kartesisch sind. Dann pr"ufen wir explizit, da"s die linke Vertikale $3$ kokartesisch ist, weil eben salopp gesprochen $(C\otimes_B A)\otimes_AM$ mit $C\otimes_B M$ zusammenf"allt. Schlie"slich folgern wir aus dem Basiswechsel der Lokalisierung \ref{BlSS}, da"s die mit $4$ markierten Pfeile beide kokartesisch sein m"ussen. Das zeigt dann die Behauptung. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Erhaltung von Quasikoh"arenz bei affinem Vorschub}] Der Lokalisierungsfunktor $$(\mathcal L,\op{Spec}):\op{Ab}_{\sslash{\op{Kringo}}} \ra \op{Ab}_{\sslash{\op{Sch}}}$$ von Opmoduln "uber Kringen zu Opmodulgarben "uber Schemata macht kartesische Morphismen zu kartesischen Morphismen, da er auch ein R"uckzug ist. Er macht auch kokartesische Morphismen zu kokartesischen Morphismen, wie wir in \ref{BlSS} als eine Art Basiswechsel gezeigt hatten. Insbesondere machen f"ur jeden Morphismus $\varphi:X\ra Y$ von affinen Schemata sowohl $\varphi_*$ als auch $\varphi^*$ quasikoh"arente Modulgarben zu quasikoh"arenten Modulgarben. Es folgt, da"s f"ur jeden Morphismus von Schemata der R"uckzug einer quasikoh"arenten Modulgarbe wieder quasikoh"arent ist. Weiter sehen wir so, da"s der Vorschub einer quasikoh"arenten Modulgarbe unter jedem \hyperref[afMMS]{affinen Morphismus} von Schemata wieder quasikoh"arent ist.\label{EQR} \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Nichterhaltung von Quasikoh"arenz unter Vorschub}] Ein Produkt quasikoh"arenter Garben ist im allgemeinen nicht quasikoh"arent.\label{pqkM} Betrachten wir etwa den lokalen Ring $\DC[T]_{\langle T\rangle}$ aller rationalen Funktionen auf $\DC$, die am Ursprung keinen Pol haben. Das Schema $\op{Spec}\DC[T]_{\langle T\rangle}$ besteht aus zwei Punkten, einem offenen Punkt und einem abgeschlossenen Punkt. Das Produkt der Modulgarben $\mathcal L( \DC[T]/\langle T^n\rangle)$ ist darauf nicht quasikoh"arent, da sein Halm am offenen Punkt Null ist, obwohl unser Produkt globale Schnitte besitzt, die von keiner $T$-Potenz annulliert werden. Das zeigt, da"s auch der Vorschub einer quasikoh"arenten Garbe unter einem Morphismus von Schemata im allgemeinen keineswegs wieder eine quasikoh"arente Garbe sein wird, denn jedes Produkt von Modulgarben auf einem gekringten Raum kann als Vorschub einer Modulgarbe auf einer disjunkten Vereinigung von Kopien des besagten Raums beschrieben werden.\label{nsV} \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Ein Morphismus von Schemata hei"st {\bf quasikompakt},\index{quasikompakt!Morphismus von Schemata} wenn das Urbild jeder offenen affinen Teilmenge kompakt ist. Es reicht daf"ur zu pr"ufen, da"s die Zielvariet"at eine "Uberdeckung durch offene affine Teilmengen hat, deren Urbilder jeweils kompakt sind. Man folgert, da"s mit $X\ra Y$ auch $X\times T\ra Y\times T$ quasikompakt ist f"ur jedes weitere Schema $T$.\label{qko} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ein Morphismus $\varphi:X\ra Y$ von Schemata hei"st {\bf quasisepariert},\index{quasisepariert!Morphismus von Schemata} wenn die Diagonale $\Delta:X\ra X\times_Y X$ quasikompakt ist. Aus $\varphi:X\ra Y$ quasisepariert folgt, da"s auch $\varphi:X\times T\ra Y\times T$ quasisepariert ist f"ur jedes weitere Schema $T$.\label{qse} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Jede offene Einbettung von Schemata ist quasikompakt und quasisepariert, ja sogar separiert. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Erhaltung von Quasikoh"arenz unter Vorschub}] Der Vorschub einer quasikoh"arenten Modulgarbe unter einem quasikompakten und quasiseparierten Morphismus von Schemata ist stets wieder quasikoh"arent.\label{EQVo} \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Speziell ist der Vorschub einer quasikoh"arenten Garbe unter einer offenen Einbettung von Schemata stets wieder quasikoh"arent. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Sei $f:X\ra Y$ unser Morphismus. Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit sei $Y$ affin. Dann ist nach Annahme $X$ kompakt, also eine endliche Vereinigung $X=\bigcup_{i\in E}U_i$ von offenen affinen Teilmengen. Weiter sind nach Annahme auch alle Schnitte $U_i\cap U_j$ kompakt, also ihrerseits endliche Vereinigungen offener affiner Teilmengen $U_{ij,k}$. Jede Modulgarbe $\mathcal F$ auf $X$ pa"st dann in eine linksexakte Sequenz $$\mathcal F\hra\bigoplus_{i} \op{in}_{i*}\op{in}_i^*\mathcal F \ra\bigoplus_{i,j,k} \op{in}_{ij,k*}\op{in}_{ij,k}^*\mathcal F$$ in hoffentlich offensichtlicher Notation. Diese Sequenz bleibt linksexakt unter dem linksexakten Funktor $f_*$. Der mittlere und der rechte Term bleiben unter $f_*$ quasikoh"arent nach \ref{EQR}, da sie ja Vorsch"ube unter den affinen Morphismen $f\circ \op{in}_{i}$ beziehungsweise $f\circ \op{in}_{ij}$ sind. Dann bleibt auch der linke Term $\mathcal F$ unter $f_*$ quasikoh"arent als Kern eines Morphismus quasikoh"arenter Modulgarben nach \ref{EKOH}. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Offener R"uckzug quasikoh"arenter Garben als Quotient}] F"ur die Einbettung eines offenen Unterschemas $j:U\hra X$ ist der Restriktionsfunktor $j^*: \op{Modqk}_{/X}\ra \op{Modqk}_{/U}$ auf quasikoh"arenten Modulgarben\label{qkPR} stets ein exakter Quotientenfunktor im Sinne abelscher Kategorien \eref{QuotF}{TD}, da er einen volltreuen Rechtsadjungierten $j_*$ besitzt, die Koeinheit der Adjunktion ist ja sogar f"ur beliebige offene Einbettungen gekringter R"aume $j$ eine Isotransformation $j^*j_*\siRa \op{id}$, und da genau diejenigen Morphismen unter $j^*$ zu Isomorphismen werden, deren Kern und Kokern von $j^*$ zu Null gemacht werden, vergleiche \eref{RZQQ}{TD}. In Formeln induziert $j^*$ also eine "Aquivalenz $$ \big(\op{Modqk}_{/X}\big)/ (\op{ker} j^*)\; \sirra \;\op{Modqk}_{/U}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Ein flacher Basiswechsel}] Sei $f:X\ra Y$ ein quasikompakter quasiseparierter Morphismus von Schemata. Sei $A$ ein Kring, der flach ist "uber $\DZ$, und sei $Z\pdef \op{Spec}(A)$. So ist im kartesischen Diagramm von Schemata\label{flBW} $$\xymatrix{Z\times X\ar[rr]^-{\op{pr}_X}\ar[d]^{\op{id}\times f}&& X\ar[d]^f\\ Z\times Y\ar[rr]^-{\op{pr}_Y}&& Y}$$ f"ur jede quasikoh"arente Modulgarbe $\mathcal F$ auf $X$ der Basiswechsel ein Isomorphismus $$\op{pr}_Y^* f_*\mathcal F\sira (\op{id}\times f)_*\op{pr}_X^*\mathcal F$$ \end{Lemma} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Weitere flache Basiswechsel}] Dasselbe gilt mit demselben Beweis auch, wenn unser Morphismus ein Morphismus von Schemata "uber einem festen Kring $k$ ist und $A$ ein flacher $k$-Kring und die Produkte links in $\op{Sch}_k$ gebildet werden. Es gilt auch noch allgemeiner, wenn $Z$ ein beliebiges $k$-Schema ist, dessen lokale Kringe alle flach sind "uber $k$. Der Beweis bleibt mutatis mutandis derselbe, man mu"s nur $Z$ affin "uberdecken und zus"atzlich mit offenem Basiswechsel argumentieren.\label{flaBW} \end{Bemerkungl} \begin{proof} Unter unseren Annahmen an $Z$ sind ${\op{pr}_X}^*$ und ${\op{pr}_Y}^*$ exakte Funktoren. Wir d"urfen $Y$ affin annehmen und betrachten dann die linksexakte Sequenz aus dem Beweis von \ref{EQVo}. So ziehen wir uns darauf zu"uck, die Aussage f"ur $\mathcal F= u_*\mathcal G$ zu zeigen f"ur $u:U\hra X$ die Einbettung eines offenen affinen Unterschemas und schlie"slich f"ur $X$ selbst affin. In diesem Fall folgt es jedoch aus affinem Basiswechsel \ref{abVV}. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Affine Morphismen und Kringmodulgarben}] Ein Monoid $\mathcal A$ in der Schmelzkategorie $\op{Modqk}_{/Y}$ der quasikoh"arenten Modulgarben auf einem Schema $Y$ hei"se eine {\bf quasikoh"arente Ringmodulgarbe}.\index{Ringmodulgarbe!quasikoh"arente} Ein Abmonoid $\mathcal A$ dieser Schmelzkategorie hei"se analog eine {\bf quasikoh"arente Kringmodulgarbe}.\index{Kringmodulgarbe!quasikoh"arente} Gegeben ein affiner Morphismus \ref{afMMS} $\pi: X\ra Y$ von Schemata ist $\pi_*\mathcal O_X$ eine quasikoh"arente\label{qKMG} Kringmodulgarbe auf $Y$ in nat"urlicher Weise. Man zeige, da"s wir so eine "Aquivalenz von der Kategorie der affinen Morphismen nach $Y$ zur opponierten der Kategorie der quasikoh"arenten Kringmodulgarben auf $Y$ erhalten. Den quasiinversen Funktor notiert Grothendieck\index{Spec@${\mathbf{Spec}}$ relatives Spektrum} fett als $${\mathbf{Spec}}:\begin{array}{ccc} \left\{ \!\!\begin{array}{c} \text{Quasikoh"arente}\\ \text{Kringmodulgarben auf $Y$} \end{array}\!\!\right\}^{\op{opp}} & \sirra & \left\{ \!\!\begin{array}{c} \text{Affine Morphismen}\\ \text{von Schemata nach $Y$} \end{array}\!\!\right\} \end{array}$$ Ich nenne diesen Funktor das {\bf relative Spektrum}.\index{Spektrum!relatives} \end{Ubung} \subsection{Quasikoh"arente Modulgarben auf Pr"avariet"aten} \begin{Bemerkungl} Sei in diesem Abschnitt $k=\bar k$ ein fester algebraisch abgeschlossener K"orper. Wir verstehen in diesem Abschnitt alle Pr"avariet"aten "uber $k$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Quasikoh"arente Modulgarben auf Pr"avariet"aten}] Eine $\mathcal O_X$-Mo\-dul\-gar\-be $\mathcal M$ auf einer Pr"avariet"at $X$ hei"se {\bf quasikoh"arent},\index{quasikoh"arent!Modulgarbe auf Pr"avariet"at} wenn es eine "Uberdeckung von $X$ durch offene Teilmengen $U\co X$ gibt derart, da"s $\mathcal M|_U$ jeweils als Kokern eines Morphismus von freien Modulgarben geschrieben werden kann, da"s es also in Formeln jeweils eine rechtsexakte Sequenz $$\mathcal O_U^{\oplus I}\ra \mathcal O_U^{\oplus J}\sra \mathcal M|_U$$ von $\mathcal O_U$-Moduln gibt mit nicht notwendig endlichen Mengen $I,J$. Die Kategorie der quasikoh"arenten Modulgarben auf einer Pr"avariet"at $X$ notiere ich $\op{Modqk}_{/X}$. Die dazu opponierte Kategorie der quasikoh"arenten Opmodulgarben auf $X$ notiere ich $$\op{Modqk}_{\sslash X}$$ Sie ist eine volle Unterkategorie der Kategorie $\op{Ab}_{\sslash X}$ aller Opmodulgarben auf dem gekringten Raum $X=(X,\mathcal O)$ und offensichtlich stabil unter Trennr"uckzug. Folglich bilden die quasikoh"arenten Opmodulgarben eine banale Trennfaserung $$\op{Modqk}_{\sslash{\op{pVar}}}\ra \curlywedge {\op{pVar}}$$ "uber der Kategorie der $k$-Pr"avariet"aten ${\op{pVar}}={\op{pVar}}_k$. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Quasikoh"arente Garben auf Pr"avariet"aten}] \begin{enumerate} \item Gegeben eine affine $k$-Kringalgebra $A$ ist der R"uckzug unter dem offensichtlichen Morphismus $\gamma:( \op{Max}A,\mathcal O) \ra (\op{top},A)$ von gekringten R"aumen wie in \ref{MqkG} eine "Aquivalenz von Kategorien $$\gamma^*: A\op{-Mod}\sirra \op{Modqk}_{/{\op{Max}}(A)}$$ \item Gegeben ein Homomorphismus $\phi^\circ: B\ra A$ von affinen $k$-Kring\-al\-ge\-bren ist der Basiswechsel im Diagramm $$\xymatrix{\op{Max}(A)\ar[r]^q\ar[d]^\psi&(\op{top}, A)\ar[d]^\phi\\ \op{Max}(B) \ar[r]^p&(\op{top}, B)}$$ wie in \ref{BlSS} stets eine Isotransformation $p^* \phi_* \siRa \psi_* q^* $; \item Gegeben eine kurze exakte Sequenz von Modulgarben auf einer Pr"avariet"at ist wie in \ref{EKOH} ihre Mitte quasikoh"arent genau dann, wenn ihre beiden Enden quasikoh"arent sind; \item Jeder Kolimes von quasikoh"arenten Modulgarben auf einer Pr"avariet"at in der Kategorie aller Modulgarben ist wie in \ref{EKOH} wieder quasikoh"arent; \item Der Vorschub einer quasikoh"arenten Modulgarbe unter einem Morphismus von Pr"avariet"aten ist wie in \ref{EQVo} stets wieder quasikoh"arent; \item Gegeben ein Morphismus von Pr"avariet"aten $f:X\ra Y$ und eine weitere Pr"avariet"at $Z$ ist im Diagramm von Pr"avariet"aten $$\xymatrix{Z\times X\ar[rr]^-{\op{pr}_X}\ar[d]^{\op{id}\times f}&& X\ar[d]^f\\ Z\times Y\ar[rr]^-{\op{pr}_Y}&& Y}$$ f"ur jede quasikoh"arente Modulgarbe $\mathcal F$ auf $X$ der Basiswechsel wie in \ref{flaBW} ein Isomorphismus $$\op{pr}_Y^* f_*\mathcal F\sira (\op{id}\times f)_*\op{pr}_X^*\mathcal F$$ \end{enumerate}\label{MqVA} \end{Satz} \begin{proof} Wir erinnern \ref{Max} unsere "Aquivalenz $$\op{Max}:\op{Sch}_k^{\op{pVar}} \sirra \op{pVar}_k$$ zwischen der Kategorie der Pr"avariet"atenschemata "uber $k$ und der Kategorie der $k$-Pr"avariet"aten. Wir erinnern weiter daran, da"s wir f"ur jedes Pr"avariet"atenschema $X$ eine nat"urliche Einbettung von gekringten R"aumen $\tau=\tau_X:\op{Max}X\hra X$ haben, die Isomorphismen $\op{Off}( X)\sira \op{Off}(\op{Max} X)$ zwischen den jeweiligen Kategorien offener Teilmengen induziert und unter denen die Strukturgarbe des Schemas zur Strukturgarbe der Pr"avariet"at zur"uckzieht. Damit ist klar, da"s f"ur jedes Pr"avariet"atenschema $X$ der R"uckzug unter $\tau=\tau_X:\op{Max}X\hra X$ eine "Aquivalenz auf den Modulgarben $\op{Ab}_{/X}\sirra \op{Ab}_{/\op{Max}X}$ induziert. Nach \ref{EKOH} ist weiter klar, da"s f"ur jedes Pr"avariet"atenschema $X$ der R"uckzug unter $\tau=\tau_X:\op{Max}X\hra X$ eine "Aquivalenz von Kategorien $$\op{Modqk}_{/X}\sirra \op{Modqk}_{/\op{Max}X}$$ zwischen den jeweiligen Kategorie quasikoh"arenter Modulgarben induziert. Allgemeiner liefert offensichtlich der R"uckzug von Modulgarben zusammen mit dem Funktor $\op{Max}$ der abgeschlossenen Punkte in der Basis eine "Aquivalenz von Trennkategorien $$\op{Modqk}_{\sslash{\op{Sch}_k^{\op{pVar}}}}\sirra \op{Modqk}_{\sslash{\op{pVar}_k}}$$ Der Satz erweist sich damit als eine blo"se "Ubersetzung der entsprechenden im Satz bereits zitierten Aussagen f"ur Schemata, spezialisiert auf Variet"atenpr"aschemata. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Schwierigkeiten mit affinem Basiswechsel}] In obigem Satz fehlt der affine Basiswechsel \ref{abVV}. Er l"a"st sich genauso folgern, aber nur dann, wenn wir ein kommutatives Quadrat von Variet"aten mit affinen Vertikalen vor uns haben derart, da"s das zugeh"orige kommutative Quadrat von Variet"atenpr"aschemata bereits in der Kategorie der Schemata kartesisch ist. Das ist in der Situation der obigen Proposition gew"ahrleistet, weil wir darin nur Produkte und keine Faserprodukte betrachten. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Man zeige: Gegeben Morphismen $f_i:X_i\ra Y_i\;(i=1,2)$ von Pr"avariet"aten und quasikoh"arente Modulgarben $\mathcal F_i\in \op{Modqk}_{/X_i}$ spezialisiert der entsprechende Basiswechsel der Opmodulgarbentrennfaserung \eref{fuiBP}{TSF} zu einem Isomorphismus $$\op{adf}: f_{1*} \mathcal F_1\boxtimes f_{2*}\mathcal F_2 \sira (f_1\times f_2)_* (\mathcal F_1\boxtimes \mathcal F_2)$$ Ich bemerke erg"anzend, da"s man f"ur Analoga dieser Aussage "uber allgemeinen Schemata starke Voraussetzungen braucht. \end{Ubung} \subsection{"Aquivariante Modulgarben auf Pr"avariet"aten} \begin{Bemerkungl} In diesem Abschnitt sei $k=\bar k$ ein fester algebraisch abgeschlossener K"orper und alle Variet"aten oder Pr"avariet"aten seien zu verstehen "uber $k$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} In \eref{tsf}{TSF} wird f"ur eine beliebige banale Trennfaserung $\mathscr G\ra \curlywedge \mathscr T$ zu einer Kategorie $\mathscr T$ mit endlichen Produkten und ein beliebiges Objekt mit Monoidoperation $G\acts X$ in der Basis $\mathscr T$ die Kategorie $$\mathscr G_{G\acts X}$$ der \glqq "aquivarianten Objekte der Faser "uber $X$\grqq\ eingef"uhrt. Im folgenden spezialisieren wir das zum Fall der Trennfaserung $$\op{Modqk}_{\sslash{\op{pVar}}}\ra \curlywedge {\op{pVar}}$$ quasikoh"arenter Opmodulgarben auf Pr"avariet"aten. Hierbei deutet das Op nur an, da"s die Fasern unserer Trennfaserung "uber $X$ die opponierten Kategorien der "ublichen Kategorien quasikoh"arenter Garben auf $X$ sind. Manchmal arbeiten wir aber auch mit der Trennfaserung $\op{Ab}_{\sslash{\op{pVar}}}\ra \curlywedge {\op{pVar}}$ beliebiger Opmodulgarben auf Pr"avariet"aten, die dieselben R"uckz"uge hat. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben quasikoh"arente Modulgarben $\mathcal F,\mathcal G$ auf Pr"avariet"aten $X,Y$ erkl"aren wir ihr Boxprodukt auf $X\times Y$ durch $$\mathcal F\boxtimes \mathcal G\pdef \op{pr}^*_X\mathcal F\otimes \op{pr}^*_Y\mathcal G$$ Kategorisch ist das im Rahmen einer banalen Trennfaserung der Trennr"uckzug $\mathcal F\boxtimes \mathcal G\pdef(\op{pr}_X, \op{pr}_Y)^\dagger(\mathcal F\curlywedge \mathcal G)$ unter der Zweitrennung $(\op{pr}_X, \op{pr}_Y): X\times Y\ra X\curlywedge Y$. Den Trennr"uckzug unter der Leertrennung $l_X: X\ra\curlywedge$ bezeichnen wir mit $\underline{X}\pdef l_X^\dagger (\curlywedge)$. In unserem Spezialfall erhalten wir so die Strukturgarbe mit dem ausgezeichneten globalen Schnitt $1\in \Gamma(\mathcal O_X)$ und schreiben salopp $$\underline{X}\pdef \mathcal O_X$$ Die Identifikationen zwischen iteriertem R"uckzug und R"uckzug auf einen Rutsch liefern dann Isomorphismen $$\underline{X}\boxtimes \mathcal G\sira \op{pr}_Y^\dagger \mathcal G \qquad\text{und}\qquad \underline{X}\boxtimes \underline{Y}\sira \underline{X\times Y}$$ sowie Isomorphismen $\mathcal F\boxtimes (\mathcal G\boxtimes \mathcal H)\sira (\mathcal F\boxtimes (\mathcal G)\boxtimes \mathcal H$ und dergleichen mehr und Vertr"aglichkeiten zwischen allen diesen Isomorphismen. Im Fall der Modulgarben k"onnen diese Isomorphismen und ihre Vertr"aglichkeiten auch leicht direkt erraten und bewiesen werden. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Sei $G$ eine \hyperref[MoVa]{Monoidpr\"avariet\"at}. Eine {\bf $G$-Pr"avariet"at}\index{Pr"avariet"at!$G$-Pr"avariet"at} ist eine Pr"avariet"at $X$ mit einer Operation von $G$ derart, da"s die zugeh"orige Abbildung $G\times X\ra X$ ein Morphismus ist. Wir notieren Objekte mit Monoidoperation in einer Kategorie und im hier diskutierten Zusammenhang speziell $G$-Pr"avariet"aten $G\acts X$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Allgemeine Theorie "aquivarianter Objekte}] In der Allgemeinheit einer banalen Trennfaserung $\mathscr G\ra \curlywedge \mathscr T$ "uber einer Kategorie mit endlichen Produkten erkl"aren wir auf $\mathscr G$ die Struktur einer \glqq Schmelzkategorie\grqq\ mit Verschmelzungen $$\mathcal F\curlyvee \mathcal G\ra \mathcal H$$ von Objekten "uber $X,Y,Z$ allen Morphismen $\mathcal F\boxtimes\mathcal G\ra \mathcal H$ "uber Morphismen $X\times Y\ra Z$ in der Basis. Jeder Morphismus $v:X\times Y\ra Z$ in der Basis besitzt dann nach \eref{tsf}{TSF} einen kanonischen Lift zu einer Verschmelzung $\underline{v}:\underline{X}\curlyvee \underline{Y}\ra \underline{Z}$ auf den Fasern alias einem Morphismus $\underline{v}:\underline{X}\boxtimes \underline{Y}\ra \underline{Z}$ "uber $v$. Ein Monoidobjekt der Basis ist ein Tripel $(G,m,e)$ aus einem Objekt $G$ und einem Morphismus $m:G\times G\ra G$ und einem Morphismus $e:\op{pt}\ra G$ des finalen Objekts nach $G$ mit den bekannten Eigenschaften. Es besitzt einen kanonischen Lift $(\underline {G}, \underline{m},\underline{e})$ zu einem \glqq Monoidobjekt der Schmelzkategorie $\mathscr G$\grqq\ mit $$\underline{m}:\underline {G}\boxtimes \underline {G}\ra \underline {G}$$ als Verkn"upfung und $\underline{e}:\underline{\op{pt}}\ra \underline {G}$ als neutralem Element. Nach \eref{defaq}{TSF} nennt man \glqq $G$-"aquivariante Objekte\grqq\ dann Objekte $\mathcal F$ der Schmelzkategorie $\mathscr G$ mit einer Operation $\alpha:\underline G\boxtimes \mathcal F\ra \mathcal F$ dieses Monoidobjekts der Schmelzkategorie $\underline G$. So ein $\alpha$ liegt per definitionem stets "uber einer Operation $a:G\times X\ra X$ in der Basis. Wir schreiben das nun f"ur die banale Trennfaserung $\op{Modqk}_{\sslash{\op{pVar}}}\ra \curlywedge {\op{pVar}}$ aus. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Sei $G\acts X$ eine Pr"avariet"at mit Operation. Eine {\bf $G$-"aquivariante Modulgarbe auf $X$} ist eine Modulgarbe $\mathcal F$ auf $X$ zusammen mit einem Opkomorphismus von Modulgarben $$\alpha:\underline G\boxtimes \mathcal F\ra \mathcal F$$ "uber der Operation $a:G\times X\ra X$ mit $\alpha\circ (\underline{m}\boxtimes\op{id}_\mathcal F)= \alpha\circ (\op{id}_{\underline{G}}\boxtimes \alpha)$ in der Menge der Morphismen $\underline G\boxtimes \underline G\boxtimes \mathcal F\ra \mathcal F$ und $\alpha\circ (\underline{e}\boxtimes\op{id}_{\mathcal F})= \tau$ als Morphismen $\underline{\op{pt}}\boxtimes \mathcal F\ra \mathcal F$ f"ur den offensichtlichen Morphismus $\tau:\underline{\op{pt}}\boxtimes \mathcal F\ra \mathcal F$, f"ur dessen abstrakte Bedeutung ich auf \eref{tsf}{TSF} verweise. Die "aquivarianten quasikoh"arenten Opmodulgarben bilden dann, wie in \eref{QaeO}{TSF} erkl"art, eine Trennfaserung $$\op{Modqk}_{\sslash{\op{pVar}}}\ra \curlywedge\acts {\op{pVar}}$ "uber der banalen Trennkategorie der Objekte mit Operation in der Basis.\label{aeqMG} \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] In anderen Kontexten betrachten wir auch "aquivariante Objekte in der Opmodulgarbentrennfaserung $\op{Ab}_{\sslash{\op{Gek}}}\ra \curlywedge\acts {\op{Gek}}$ der Opmodulgarben "uber allgemeinen gekringten R"aumen. Obwohl bei der hier betrachteten Trennfaserung der Opmodulgarben auf Pr"avariet"aten $\op{Modqk}_{\sslash{\op{pVar}}}\ra \curlywedge\acts {\op{pVar}}$ die Fasern volle Unterkategorien sind und die Basis zumindest eine Unterkategorie und die Trennr"uckz"uge dieselben sind, erweisen sich die Kategorien "aquivarianter Objekte als sehr verschieden. Das liegt daran, da"s Produkte in ${\op{pVar}}$ im allgemeinen sehr verschieden sind von Produkten in $\op{Gek}$ und da"s damit auch das Boxprodukt in diesen beiden Kontexten sehr verschieden ist. Wenn ich diesen Unterschied betonen will, unterscheide ich auf Pr"avariet"aten und allgemeiner auf Schemata zwischen {\bf topologisch "aquivarianten} und {\bf schematisch "aquivarianten Modulgarben}. Um diesen Unterschied hervorzuheben, notiere ich die Einpunktvariet"at im folgenden $$\op{var}$$ statt $\op{pt}=\op{pt}(\op{Var}) =\op{pt}(\op{pVar})$ f"ur das finale Objekt alias leere Produkt in der Kategorie der Pr"avariet"aten. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{"Aquivariante Modulgarben auf der Einpunktvariet"at}] Gegeben eine Monoidvariet"at $G$ erhalten wir eine "Aquivalenz von Kategorien $$\begin{array}{ccc} \left\{ \!\!\begin{array}{c} \text{Algebraische}\\ \text{$G$-Darstellungen} \end{array}\!\!\right\} & \sirra & \left\{ \!\!\begin{array}{c} \text{$G$-"aquivariante quasikoh"arente}\\ \text{Modulgarben auf $G\acts{\op{var}}$} \end{array}\!\!\right\} \end{array}$$ durch die Vorschrift, die jeder Darstellung $(V,\rho)$ den durch ihren Komorphismus $\Delta_\rho:V\ra \mathcal O(G)\otimes V$ nach \ref{BDKM} gegebenen Opkomorphismus $\alpha:\underline{G}\boxtimes V\ra V$ zuordnet. Wir erhalten auf diese Weise sogar eine "Aquivalenz von Schmelzkategorien, ja f"ur variables $G$ nach "Ubergang zu den opponierten Kategien einen Isomorphismus von Trennfaserungen "uber der banalen Trennkategorie der Monoidvariet"aten. Die Schmelzkategorie der algebraischen $G$-Darstellungen notieren wir f"ur unseren Kontext hier $\op{Mod}_G$ und k"onnen unsere Aussage damit auch schreiben als eine Schmelz"aquivalenz\label{AEQS} $$\op{Mod}_G\sirra \op{Ab}_{/G\sacts{\op{var}}}$$ \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Die Forderung der Quasikoh"arenz auf der rechten Seite ist im vorherigen Beispiel irrelevant, denn auf der Einpunktvariet"at ist jede Modulgarbe quasikoh"arent. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Vorschub "aquivarianter Modulgraben}] Gegeben ein "aquivarianter Morphismus von $G$-Pr"avariet"aten $f:G\acts X\ra G\acts Y$ und eine quasikoh"arente $G$-"aquivariante Modulgarbe $\mathcal F$ auf $X$ mit Operation $\alpha:\underline{G}\boxtimes \mathcal F\ra \mathcal F$ gibt es genau einen Morphismus $\beta$ "uber der Operation $b:G\times Y\ra Y$, der das Diagramm\label{vsAEQ} $$\xymatrix{\underline{G}\boxtimes {\mathcal F}\ar[rr]^-{\alpha}\ar@{->>}[d]^{\op{id}\times \tau}&& \mathcal F\ar@{->>}[d]^\tau&&G\times X\ar[rr]^-{a}\ar[d]^{\op{id}\times f}&& X\ar[d]^f\\ \underline{G}\boxtimes f_\dagger\mathcal F\ar[rr]^-{\beta}&& f_\dagger\mathcal F &&G\times Y\ar[rr]^-{b}&& Y}$$ zum Kommutieren bringt, und dies $\beta$ macht $f_\dagger \mathcal F$ zu einer $G$-"aquivarianten Modulgarbe auf $Y$. \end{Lemma} \begin{proof} Die Existenz und Eindeutigkeit von $\beta$ folgt sofort daraus, da"s die linke Vertikale wie bereits durch den Doppelpfeil angedeutet kokartesisch ist. Das hinwiederum folgt aus dem Basiswechsel in \ref{MqVA}. Da"s $\beta$ eine Operation ist, folgt leicht in derselben Weise. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Wir erinnern Ringmodulgarben und Kringmodulgarben, wie wir sie in "Ubung \ref{qKMG} im Zusammenhang mit affinen Morphismen von Schemata eingef"uhrt hatten. Ein Datum $(X,\mathcal A)$ aus einer Pr"avariet"at mit ausgezeichneter quasikoh"arenter Kringmodulgarbe nennen wir eine {\bf bekringte Pr"avariet"at}.\index{bekringt!Pr"avariet"at} Wir erkl"aren weiter die Kategorie der Modulgarben auf einer bekringten Pr"avariet"at als die Schmelzkategorie $$\op{Ab}_{/( X,\mathcal A)}\pdef (\op{Ab}_{/(X,\mathcal O_X)})_{\mathcal A\curlyvee}$$ der $\mathcal A$-Modulobjekte in der Schmelzkategorie $\op{Ab}_{/(X,\mathcal O_X)}$, in der $\mathcal A$ selbst bereits ein Abmonoidobjekt ist. Ihre Objekte nennen wir {\bf $\mathcal A$-Mo\-dul\-gar\-ben auf $X$} oder {\bf Modulgarben auf $(X,\mathcal A)$}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir erkl"aren weiter einen {\bf Morphismus $(X,\mathcal A)\ra (Y,\mathcal B)$ von bekringten Pr"avariet"aten} als ein Paar $(f, \varphi)$ aus einem Morphismus $f$ der zugrundeliegenden Pr"avariet"aten und dar"uber einem Opkomorphismus $\varphi:\mathcal A\ra \mathcal B$ quasikoh"arenter Modulgarben derart, da"s $(f,\varphi)$ auch ein Morphismus gekringter R"aume ist oder "aquivalent,\label{mbPV} die beiden Diagramme von Trennungen quasikoh"arenter Modulgarben $$\xymatrix{\mathcal A\ar[d]\ar[r]&\mathcal A{\curlywedge} \mathcal A \ar[d]^{\varphi{\curlywedge}\varphi}&&\mathcal A\ar[d]\ar[r]&\curlywedge\ar[d]\\ \mathcal B\ar[r]&\mathcal B{\curlywedge} \mathcal B&&\mathcal B\ar[r] &\curlywedge}$$ mit der jeweiligen opponierten Multiplikation und Einheit in den Horizontalen kommutieren. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Erhaltung von Quasikoh"arenz, Variante}] Bekringte Pr"avariet"aten bilden eine Unterkategorie in der Kategorie aller gekringten R"aume und wir k"onnen die Opmodulgarbentrennfaserung auf die banale Trennkategorie der bekringten Pr"avariet"aten einschr"anken. Ich zeige nun, da"s in dieser Trennfaserung der Trennr"uckzug wie der Vorschub quasikoh"arenter Kringmodulgarben wieder quasikoh"arent ist. Hier beziehen wir Quasikoh"arenz nur auf die zugrundeliegende Struktur als Modulgarbe "uber den Strukturgarben der jeweiligen Pr"avariet"aten. Gegeben eine bekringte Pr"avariet"at $(X,\mathcal A)$ notieren wir $$\op{Modqk}_{/(X,\mathcal A)}$$ die Kategorie der quasikoh"arenten $\mathcal A$-Modulgarben. Die Aussage f"ur den Vorschub folgt aus dem Fall \ref{MqVA} der allein mit der Strukturgarbe bekringten Pr"avariet"aten. Die Erhaltung von Quasikoh"arenz unter Trennr"uckzug f"uhrt man leicht auf die Aussage zur"uck, da"s gegeben eine bekringte Pr"avariet"at $(X,\mathcal A)$ und quasikoh"arente Modulgarben $\mathcal F,\mathcal G\in \op{Ab}_{/(X,\mathcal A)}$ auch $$\mathcal F\otimes_{\mathcal A}\mathcal G$$ quasikoh"arent ist. Nun gibt es ja nach Annahme lokal einen Epimorphismus von $\mathcal O_X$-Moduln $\mathcal O_X^{\oplus I}\sra \mathcal F$ und damit auch einen Epimorphismus von $\mathcal A$-Moduln $\mathcal A^{\oplus I}\sra \mathcal F$. Da wir $\mathcal A$ quasikoh"arent angenommen hatten, ist nach den allgemeinen Aussagen zur Quasikoh"arenz \ref{MqVA} auch der Kern quasikoh"arent und wir finden lokal eine rechtsexakte Sequanz von $\mathcal A$-Moduln $$\mathcal A^{\oplus J}\ra \mathcal A^{\oplus I}\sra \mathcal F$$ Wenden wir darauf $\otimes_{\mathcal A}\mathcal G$ an, so entsteht eine weitere rechtsexakte Sequenz, die wieder mit \ref{MqVA} unsere Behauptung zeigt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} Im folgenden erkl"aren wir "aquivariante Varianten der eben besprochenen Begriffsbildungen. Hier liegt meine eigentliche Motivation. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl} Sei $G\acts X$ Pr"avariet"at mit Operation. Eine {\bf $G$-"aquivariante Ring\-mo\-dul\-gar\-be $\mathcal A$ auf $X$} ist ein Monoidobjekt in der Schmelzkategorie $\op{Ab}_{/G\sacts X}$ der "aquivarianten Modulgarben auf $G\acts X$. Ein Abmonoidobjekt in $\op{Ab}_{/G\sacts X}$ nennen wir eine {\bf $G$-"aquivariante Kringmodulgarbe}. \end{Definition} \begin{Beispiel}[\textbf{Strukturgarbe als "aquivariante Kring\-mo\-dul\-gar\-be}] In jeder Schmelzkategorie ist das Eins\-ob\-jekt ein Abmonoidobjekt in offensichtlicher Weise \eref{kmI}{TSK}. Insbesondere ist f"ur jede Pr"avariet"at mit Operation $G\acts X$ die Strukturgarbe $\mathcal O_X$ eine $G$-"aquivariante Kringmodulgarbe. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{"Aquivariante Ringmodulgarben auf der Einpunktvariet"at}] Gegeben eine Monoidpr"avariet"at $G$ erhalten wir eine "Aquivalenz von Kategorien $$\begin{array}{ccc} \left\{ \!\!\begin{array}{c} \text{$k$-Ringalgebren mit linearer}\\ \text{algebraischer $G$-Operation}\\ \text{durch Ringhomomorphismen} \end{array}\!\!\right\} & \sirra & \left\{ \!\!\begin{array}{c} \text{$G$-"aquivariante quasikoh"arente}\\ \text{Ringmodulgarben auf $G\acts{\op{pt}}$} \end{array}\!\!\right\} \end{array}$$ In der Tat mu"s unsere "Aquivalenz von Schmelzkategorien $\op{Mod}_G\sirra \op{Ab}_{/G\sacts{\op{var}}}$ aus \ref{AEQS} eine "Aquivalenz zwischen den Kategorien ihrer Monoidobjekte induzieren. Analoges gilt f"ur Kringmodulgarben alias Abmonoidobjekte. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Ein Datum bestehend aus einer Pr"avariet"at mit Operation $G\acts X$ und einer quasikoh"arenten $G$-"aquivarianten Kringmodulgarbe $\mathcal A$ nennen wir eine {\bf bekringte Pr"avariet"at mit Operation} und notieren so ein Datum $G\acts (X,\mathcal A)$. Wir erkl"aren die Kategorie der Modulgarben auf einer bekringten Pr"avariet"at mit Operation als die Schmelzkategorie $$\op{Ab}_{/G\sacts( X,\mathcal A)}\pdef (\op{Ab}_{/G\sacts X})_{\mathcal A\curlyvee}$$ der $\mathcal A$-Modulobjekte in der Schmelzkategorie $\op{Ab}_{/G\sacts X}$, in der $\mathcal A$ selbst bereits ein Abmonoidobjekt ist. Ihre Objekte nennen wir {\bf $G$-"aquivariante $\mathcal A$-Mo\-dul\-gar\-ben} auf $X$ oder eben {\bf Modulgarben auf $G\acts(X,\mathcal A)$}. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{"Aquivariante $\mathcal A$-Modulgarben auf Einpunktvariet"aten}] Sei $G$ eine Monoidpr"avariet"at und $\mathcal A$ eine $G$-"aquivariante Kringmodulgarbe auf $G\acts {\op{var}}$ alias eine $k$-Kringalgebra $A$ mit einer algebraischen $G$-Operation durch Ringalgebrenendomorphismen. Eine $G$-"aquivariante $\mathcal A$-Modulgarbe $\mathcal M$ ist dann ein $A$-Modul $M$ mit einer linearen algebraischen $G$-Operation derart, da"s die Multiplikation $A\times M\ra M$ eine $G$-"aquivariante Abbildung ist. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Bekringte Pr"avariet"aten mit Operation als Kategorie}] Einen Morphismus von bekringten Pr"avariet"aten mit Operation $$G\acts(X,\mathcal A)\ra H\acts(Y,\mathcal B)$$ erkl"aren wir als ein Datum aus einem Morphismus von Pr"avariet"aten mit Operation $\phi\acts f: G\acts X \ra H\acts Y$ zusammen mit einem Opkomorphismus $\mathcal A\ra \mathcal B$ von quasikoh"arenten "aquivarianten Modulgarben \ref{aeqMG}, der auch ein Opkomorphismus von Ringgarben ist alias einen Morphismus bekringter Pr"avariet"aten \ref{mbPV} liefert. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Morphismus von Pr"avariet"aten mit Operation $$\phi\acts f: G\acts X\ra H\acts Y$$ und $\mathcal F\in \op{Ab}_{\sslash G\sacts X}$ sowie $\mathcal G\in \op{Ab}_{\sslash H\sacts Y}$ erkl"aren wir einen {\bf Opkomorphismus "aquivarianter Modulgarben $\lambda:\mathcal F\ra \mathcal G$} "uber diesem Morphismus als einen Morphismus von Modulgarben "uber dem zugrundeliegenden Morphismus von Pr"avariet"aten, der mit den jeweiligen Operationen vertr"aglich ist in dem Sinne, da"s das linke Diagramm $$\xymatrix{\underline{G}\boxtimes {\mathcal F}\ar[rr]^-{\alpha}\ar[d]^{\kappa\boxtimes \lambda}&& \mathcal F\ar[d]^\lambda&&G\times X\ar[rr]^-{a}\ar[d]^{\phi\times f}&& X\ar[d]^f\\ \underline{H}\boxtimes \mathcal G\ar[rr]^-{\beta}&& \mathcal G &&H\times Y\ar[rr]^-{b}&& Y}$$ kommutiert mit $\kappa$ dem Morphismus des kartesischen Trennschnitts "uber $\phi$. Das rechte Diagramm in der Basis habe ich nur zur besseren Lesbarkeit erg"anzt. Das Boxprodukt von Opkomorphismen ist wie in \eref{Mbmj}{TSF}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine Trennung in der banalen Trennkategorie der Pr"avariet"aten mit Operation $$\phi_\rho\acts f_\rho: G\acts X\ra H_\rho\acts Y_\rho \;\;\; 1\leq\rho\leq r, r\geq 0$$ und $\mathcal F\in \op{Ab}_{\sslash G\sacts X}$ sowie $\mathcal G_\rho\in \op{Ab}_{\sslash H_\rho\sacts Y_\rho}$ erkl"aren wir eine {\bf Trennung "aquivarianter Modulgarben $\lambda:\mathcal F\ra (\mathcal G_\rho)$} "uber dieser Trennung in der Basis als eine Trennung von Modulgarben "uber der zugrundeliegenden Trennung von Pr"avariet"aten, der mit den jeweiligen Operationen vertr"aglich ist in dem Sinne, da"s das linke Diagramm $$\xymatrix{\underline{G}\boxtimes {\mathcal F}\ar[rr]^-{\alpha}\ar[d]^{\kappa\times \lambda}&& \mathcal F\ar[d]^\lambda&&G\times X\ar[rr]^-{a}\ar[d]^{\phi\times f}&& X\ar[d]^f\\ \underline{H}\boxtimes \mathcal G\ar[rr]^-{\beta}&& \mathcal G &&H\times Y\ar[rr]^-{b}&& Y}$$ kommutiert mit $\kappa$ dem Morphismus des kartesischen Trennschnitts "uber $\phi$. Das rechte Diagramm in der Basis habe ich nur zur besseren Lesbarkeit erg"anzt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Morphismus von bekringten Pr"avariet"aten mit Operation $$\phi\acts (f,\varphi): G\acts(X,\mathcal A)\ra H\acts(Y,\mathcal B)$$ und $\mathcal F\in \op{Ab}_{\sslash G\sacts(X,\mathcal A)}$ und $\mathcal G\in \op{Ab}_{\sslash H\sacts(Y,\mathcal B)}$ erkl"aren wir einen {\bf Opkomorphismus "aquivarianter Modulgarben $\lambda:\mathcal F\ra \mathcal G$} "uber diesem Morphismus als einen Morphismus von Modulgarben "uber dem zugrundeliegenden Morphismus bekringter Pr"avariet"aten, der mit den jeweiligen Operationen vertr"aglich ist in dem Sinne, da"s das linke Diagramm $$\xymatrix{\underline{G}\boxtimes {\mathcal F}\ar[rr]^-{\alpha}\ar[d]^{\kappa\times \lambda}&& \mathcal F\ar[d]^\lambda&&G\times X\ar[rr]^-{a}\ar[d]^{\phi\times f}&& X\ar[d]^f\\ \underline{H}\boxtimes \mathcal G\ar[rr]^-{\beta}&& \mathcal G &&H\times Y\ar[rr]^-{b}&& Y}$$ kommutiert mit $\kappa$ dem Morphismus des kartesischen Trennschnitts "uber $\phi$. Das rechte Diagramm in der Basis habe ich nur zur besseren Lesbarkeit erg"anzt. \end{Bemerkungl} Jetzt \ref{vsAEQ} zu Vorschub und R"uckzug ausbauen. \begin{Bemerkungl} Wir erinnern die banale Schmelzkofaserung $\op{Ab}_{/{\op{Kring}}}\ra \curlyvee{\op{Kring}}$ der Moduln "uber Kringen aus \eref{MoSKF}{TSF}. Analog k"onnen wir f"ur jede Schmelzkategorie $\mathcal M$ die Kategorie $\op{ek}}(\mathcal M)$ ihrer Abmonoide \eref{Kmon}{TSK} betrachten und "uber einem solchen Abmonoid $R$ die Modulkategorie $\mathcal M_{R\curlyvee}$ aus \eref{modOk}{TSK} und diese sind die Fasern eines Schmelzfunktors $$\mathcal M_{/{\op{ek}}(\mathcal M)}\ra \curlyvee{\op{ek}}(\mathcal M)$$ zur banalen Schmelzkategorie $\curlyvee{\op{ek}}(\mathcal M)$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} Die Lokalisierung l"a"st sich in dieser Situation erweitern zu einer "Aquivalenz von Kategorien $$\begin{array}{ccc} \left\{ \!\!\begin{array}{c} \text{$G$-"aquivariante}\\ \text{$\mathcal O(X)$-Moduln} \end{array}\!\!\right\} & \sirra & \left\{ \!\!\begin{array}{c} \text{$G$-"aquivariante quasikoh"arente}\\ \text{Modulgarben auf $X$} \end{array}\!\!\right\} \end{array}$$ Das vorhergehende Lemma spezialisiert diese Erkenntnis auf den Fall $G=k^\times$ und verbindet sie gleich noch mit der Identifikation zwischen $\DZ$-Graduierungen und $k^\times$-Operationen nach \eref{DDG}{AAG} oder \ref{HTee}. \end{Bemerkungw} \begin{Lemma}[\textbf{"Aquivariante Lokalisierung graduierter Moduln}] Sei $k^\times\acts X$ eine affine $k^\times$-Variet"at und $\mathcal O(X)=\oplus_i \mathcal O(X)_i$ die zugeh"orige $\DZ$-Gra\-du\-ie\-rung auf dem Ring der regul"aren Funktionen nach \ref{GrOp}. So erhalten wir eine\index{"aquivariant!Lokalisierung} "Aquivalenz von Kategorien $$\begin{array}{ccc} \left\{ \!\!\begin{array}{c} \text{$\DZ$-graduierte}\\ \text{$\mathcal O(X)$-Moduln} \end{array}\!\!\right\} & \sirra & \left\{ \!\!\begin{array}{c} \text{$k^\times$-"aquivariante quasikoh"arente}\\ \text{ Modulgarben auf $X$} \end{array}\!\!\right\} \end{array}$$ durch die Vorschrift, die jedem graduierten Modul $M=\oplus_i M_i$ seine Lokalisierung mit dem durch $\alpha^\circ: M\ra k[T,T^{-1}]\otimes_k M, m\mapsto\sum_i m_i\otimes T^i$ gegebenen Opkomorphismus zuordnet, f"ur $m=\sum m_i$ die Zerlegung in homogene Anteile. \end{Lemma} \begin{proof} F"ur $\mathcal F$ die Lokalisierung des $\mathcal O(X)$-Moduls $M$ entspricht ein Opkomorphismus $\alpha$ wie oben einem Homomorphismus $$\alpha^\circ :M\ra k[T,T^{-1}]\otimes_k M$$ von abelschen Gruppen mit $\alpha^\circ(r m)=a^\circ(r)\alpha^\circ(m)$. Erkl"aren wir also $m_i$ durch wir also $\alpha^\circ(m)=\sum T^i\otimes m_i$, so gilt $(rm)_k=\sum_{i+j=k}r_i m_j$. Andererseits "ubersetzt sich die Bedingung $\alpha\circ (\underline{e}\boxtimes\op{id}_{\mathcal F})= \tau$ in $m=\sum m_i$ und die Assoziativit"at der Operation liefert $\alpha^\circ(m_i)=T^i\otimes m_i$. Der Rest des Beweises mag dem Leser "uberlassen bleiben. \end{proof} \nichtfinal{Bis hier gekommen am 4.2.2026} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein algebraisch abgeschlossener K"orper $k$ und eine $k$-Pr"avariet"at $X$ erkl"aren wir einen Funktor $$(1\acts {\op{id}})^*: \op{Modqk}_{/X}\ra \op{Modqk}_{/k^\times\sacts (k^\times \times X)}$$ als den gew"ohnlichen R"uckzug mit der durch \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Gegeben ein affiner Morphismus $f:X\ra Y$ von Pr"avariet"aten zeige man: Der R"uckzug unter dem offensichtlichen Morphismus bekringter Pr"avariet"aten $(X,\mathcal O_X)\ra (Y,f_*\mathcal O_X)$ liefert eine "Aquivalenz von Schmelzkategorien $$\op{Modqk}_{(Y, f_*\mathcal O_X)}\sirra \op{Modqk}_{/X}$$ \end{Ubung} \subsection{Hier kommt wohl was Neues!} \nichtfinal{Koh"arente Garben noch nicht erkl"art!} \begin{Beispiel} Wir betrachten einen Kring $k$ und den hoffentlich offensichtlichen Morphismus mit abgeschlossenem Bild $\mathbb A^0_k\ra \mathbb A^n_k$. Gegeben eine quasikoh"arente Garbe $\mathcal F$ auf $\mathbb A^n_k\backslash \mathbb A^n_0$ ist nach \ref{EQVo} ihr Vorschub unter der Einbettung $j: \mathbb A^n_k\backslash 0\hra \mathbb A^n_k$ auch wieder quasikoh"arent und die globalen Schnitte von $j_*\mathcal F$ k"onnen nach dem Beweis von \ref{EQVo} beschrieben werden als der Beginn einer linksexakten Sequenz $$\Gamma j_*\mathcal F\hra \bigoplus_{1\leq i\leq n}\Gamma (X_i\neq 0;\mathcal F)\ra \bigoplus_{1\leq i,j\leq n}\Gamma (X_iX_j\neq 0;\mathcal F)$$ in hoffentlich selbsterkl"arender Notation mit Moduln "uber $k[X_1,\ldots, X_n, X_i^{-1}]$ in der Mitte und Moduln "uber $k[X_1,\ldots, X_n, X_i^{-1}, X_j^{-1}]$ rechts. Wir sehen so, da"s auch auf der Kategorie der $k^\times$-"aquivarianten quasikoh"arenten Garben \nichtfinal{(Die gibt es erst sp"ater!)} der R"uckzug $j^*$ einen Rechtsadjungierten $j_*$ hat, der in diesem Fall identifiziert werden kann mit dem gew"ohnlichen Vorschub zusammen mit der $\DZ$-Graduierung, die aus der Konstruktion hervorgeht. In gr"o"serer Abstraktion und Allgemeinheit diskutieren wir das in \ref{aeqVo}. \end{Beispiel} \nichtfinal{Gegeben ein torsionsloses kartesisches\label{aeqVo} Diagramm mit exakten R"uckz"ugen gilt Basiswechsel f"ur quasikoh"arente Garben. Folgt: Quasikoh"arente Garben besitzen "aquivarianten Vorschub.} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Quasikoh"arente Garben auf projektiven R"aumen}] Dasselbe gilt aus denselben Gr"unden f"ur den R"uckzug $k^\times$-"aquivarianter Garben unter $j:\mathbb A^n_k\backslash 0\ra \mathbb A^n_k$ und auch in gr"o"serer Allgemeinheit, vergleiche \ref{??}. Insbesondere ist der Funktor, der jedem graduierten Modul "uber einem Polynomring die zugeh"orige quasikoh"arente Garbe auf dem projektiven Raum zuordnet, ein Quotientenfunktor mit Kern der Kategorie $\mathcal N$ aller graduierten Moduln, deren zugeh"orige Garbe Tr"ager im Ursprung hat, auf denen also wie in \ref{agT} diskutiert alle Variablen $X_i$ durch lokal nilpotente Endomorphismen operieren, in Formeln\label{qkPR} $$ \op{Mod}_{k[X_0,\ldots,X_n]}^\DZ/\mathcal N\;\sirra\; \op{Modqk}_{/\mathbb P_k^n}$$ Koordinatenfrei gilt f"ur jeden $k$-Vektorraum $V$ positiver endlicher Dimension $$ \op{Mod}_{\mathcal O(V)}^\DZ/\mathcal N\;\sirra\; \op{Modqk}_{/\mathbb P V}$$ \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Offener R"uckzug koh"arenter Garben als Quotient}] Der R"uckzug von koh"arenten $\cal{O}_X$-Moduln unter einer offenen Einbettung $j:U\hra X$ in ein affines noethersches Schema $j^*: \op{Modk}_{/X}\ra \op{Modk}_{/U}$ ist stets ein Quotientenfunktor. Das kann man etwa aus dem in \ref{qkPR} behandelten Fall quasikoh"arenter\label{rzQQ} $\cal{O}_X$-Moduln folgern, indem man Proposition \eref{LUK}{TD} "uber die Lokalisierung voller Unterkategorien anwendet, und zwar in der opponierten Fassung f"ur Linksoresysteme. Gegeben ein Morphismus von einer quasikoh"arenten zu einer koh"arenten Garbe, bei der Kern und Kokern unter Einschr"ankung auf eine offene Teilmenge verschwinden, k"onnen wir in der Tat einen injektiven Morphismus aus einer koh"arenten Garbe vorschalten derart, da"s die Komposition dasselbe Bild hat und folglich auch bei dieser Komposition Kern und Kokern unter Einschr"ankung auf unsere offene Teilmenge verschwinden. In Formeln induziert $j^*$ also eine "Aquivalenz $$ \op{Modk}_{/X}/ (\op{ker} j^*)\; \sirra \;\op{Modk}_{/U}$$ Man beachte, da"s der R"uckzug in diesem Fall im allgemeinen keinen Adjungierten mehr besitzt, denn der Vorschub eines koh"arenten $\cal{O}_U$-Moduls unter einer offenen Einbettung $U\co X$ ist meist nicht mehr koh"arent, sondern nur noch quasikoh"arent. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Koh"arente Garben auf projektiven R"aumen}] Mit \ref{rzQQ} erhalten wir analog wie im quasikoh"arenten Fall f"ur jeden $k$-Vektorraum $V$ positiver endlicher Dimension eine "Aquivalenz $$ \op{Modf}_{\mathcal O(V)}^\DZ/\mathcal N\;\sirra\; \op{Modk}_{/\mathbb P V}$$ f"ur $\mathcal N$ die Menge aller endlichdimensionalen graduierten $\mathcal O(V)$-Moduln. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} sollte "Ahnliches f"ur koh"arente Garben folgen, vergleiche \ref{AeqVO}. \nichtfinal{Das "aquivariante mu"s noch gemacht werden und ist besonders wichtig wegen der Beziehung zu Modulgarben auf projektiven R"aumen.} \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkunge} Aus unseren Erkenntnissen \ref{qkPR} zu quasikoh"arenten Garben auf projektiven R"aumen folgt, da"s jede quasikoh"arente Garbe dort Quotient einer direkten Summe von Geradenb"undeln ist. Ebenso sollte folgen, da"s jede koh"arente Garbe dort Quotient einer endlichen direkten Summe von Geradenb"undeln ist. Schlie"slich k"onnen wir auch eine quasikoh"arente mit direkten Summen\label{AuPR} von Geradenb"undeln aufl"osen bis der Kern hinten, der homogener Untermodul ist, ungraduiert projektiv ist. Dann mu"s aber von einer ungraduierten Spaltung der Einbettung auch der homogene Anteil vom Grad Null eine Spaltung sein und folglich ist unser Kern nach \eref{GNLs}{O} sogar selbst eine direkte Summe von Geradenb"undeln. \nichtfinal{Noch arg frisch!} \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} Seien $k=\bar k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper und $X$ eine $k$-Variet"at. Ein $\mathcal O_X$-Modul $\mathcal M$ hei"st {\bf koh"arent},\index{koh"arenter $\mathcal O_X$-Modul} wenn er quasikoh"arent ist und lokal endlich erzeugt in dem Sinne, da"s es eine offene "Uberdeckung durch affine Untervariet"aten $U\co X$ gibt derart, da"s $\mathcal M(U)$ jeweils mo\-dul\-end\-lich ist "uber $\mathcal O(U)$. Die Kategorie der koh"arenten Modulgarben auf $X$ notieren wir $$\op{Modk}_{/X}$$ Allgemeiner erkl"aren wir koh"arente Modulgarben auf jedem {\bf lokal noetherschen Schema},\index{Schema!lokal noethersches} als da hei"st jedem Schema, das eine offene "Uberdeckung durch Spektren noetherscher Kringe besitzt. Gegeben eine affine $k$-Variet"at $X$ beziehungsweise ein noetherscher Kring $R$ induziert der Funktor der globalen Schnitte offensichtlich jeweils eine "Aquivalenz $$\begin{array}{ccc} \op{Modk}_{/X}&\sirra& \mathcal O(X)\op{-Modf}\\[1mm] \op{Modk}_{/{\op{Spec}}R}&\sirra& R\op{-Modf} \end{array}$$ Es scheint mir wenig sinnvoll, koh"arente Modulgarben f"ur nicht lokal noethersche Schemata zu betrachten, weil diese dann keine abelsche Kategorie mehr bilden. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Auf jedem gekringten Raum $(X,\mathcal A)$ ist das Bilden des Halms an einer Stelle $x\in X$ ein mit universellen Verschmelzungen vertr"aglicher Schmelzfunktor $\mathcal A\op{-Mod}\ra \mathcal A_x\op{-Mod}$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben Idealgarben $\mathcal I,\mathcal J$ einer Garbe von Kringen $\mathcal A$ bezeichne $\mathcal I\mathcal J$ die von allen Produkten von Schnitten erzeugte Idealgarbe von $\mathcal A$. Man zeige, da"s das Idealprodukt quasikoh"arenter Idealgarben in der Strukturgarbe eines Schemas wieder quasikoh"arent ist.\label{PqkI} \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben ein gekringter Raum $(X,\mathcal A)$ und ein $\mathcal A$-Modul $\mathcal V$ und $r\in \DN$ erkl"art man den $\mathcal A$-Modul $$\textstyle \bigwedge^r\mathcal V$$ als den Quotienten von $\mathcal V^{\otimes r}$ nach dem Erzeugnis der Kerne aller $\tau-{\op{id}}\in \op{End}(\mathcal V^{\otimes r})$ f"ur $\tau \in \mathcal S_r$ eine Transposition. \end{Ubung} \subsection{Funktorialit"aten von Modulgarben} \nichtfinal{Steht doch alles vorne in \ref{ModGj} auch schon? Ausdrucken und sortieren!} Starr sind in dieser Situation zumindest diejenigen Modulgarben, die lokal frei sind von endlichem Rang "uber der Strukturgarbe. F"ur starre $\mathcal F$ erhalten wir in Verallgemeinerung von \eref{PrFFO}{TSF} den Isomorphismus der {\bf Projektionsformel}\index{Projektionsformel} $$f_\ast(f^*\mathcal F\otimes \mathcal G)\;\sira\; \mathcal F\otimes (f_\ast\mathcal G)$$ \nichtfinal{\begin{Bemerkungl}(Wohin?) Gegeben eine glatte eindimensionale irreduzible Variet"at $X$ ist die Garbe $\mathcal M_X$ der rationalen Funktionen welk. In der Tat stimmen ihre Schnitte "uber jeder nichtleeren offenen Teilmenge mit ihren globalen Schnitten "uberein. Wir erhalten eine kurze exakte Sequenz von Garben $$\mathcal O_X\hra\mathcal M_X\sra \bigoplus_{x\in X}i_{x\ast}(\mathcal M_{X,x}/\mathcal O_{X,x})$$ mit der Summe von Wolkenkratzergarben als Kokern. Ist $z$ ein lokaler Parameter bei $x\in X$, so induziert die Abbildung $k[z,z^{-1}]\ra \mathcal M_{X,x}$ einen Isomorphismus $k[z,z^{-1}]/k[z]\sira \mathcal M_{X,x}/\mathcal O_{X,x}$. Unsere Summe ist auch welk, folglich k"onnen wir mit dieser Sequenz die Garbenkohomologie von $\mathcal O_X$ berechnen und finden insbesondere ${\op{H}}^q(X;\mathcal O_X)=0$ f"ur $q>1$. Ist $X$ affin, so gilt sogar ${\op{H}}^q(X;\mathcal O_X)=0$ f"ur $q>0$ nach \ref{??}. \end{Bemerkungl}} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Halme und geometrische Halme}] \nichtfinal{Wohin?} Gegeben ein algebraisch abgeschlossener K"orper $k=\bar k$ und ein $\mathcal O_X$-Modul $\mathcal M$ auf einer $k$-Pr"avariet"at $X$ und ein Punkt $x\in X$ erkl"are ich seinen {\bf geometrischen Halm}\index{Halm!geometrischer} als den $k$-Vektorram $$\mathcal M_{/x}\pdef \mathcal M_x/\mathfrak m_x\mathcal M_x$$ f"ur $\mathfrak m_x\subset \mathcal O_{X,x}$ das maximale Ideal. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Opmodultrennfaserung als verflochtene Trennaustauschsituation}] Die Opmodultrennfaserung $\op{Ab}_{\sslash{\op{Kringo}}}\ra \curlywedge{\op{Kringo}}$ hat die Besonderheit, da"s alle Vorsch"ube existieren und da"s die Tupel kokartesischer Morphismen l"angs Tupeln von opponierten Kringhomomorphismen ein fasertrennr"uckzugstabiles System bilden, wie in \eref{KRISF}{TSF} ausgef"uhrt wird.\label{Moop} Insbesondere wird also unsere Trennfaserung der Moduln "uber opponierten Kringen eine kartesisch verflochtene Trennaustauschsituation im Sinne von \eref{SwnT}{TSF}, wenn wir als Schreimorphismen und Eigmorphismen alle Morphismen nehmen und als R"uckholquadrate alle kommutativen Quadrate "uber kartesischen Trennquadraten der Basis mit kartesischen Horizontalen. Salopp gesagt haben wir in dieser Situation sozusagen $f_*=f_!$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Verflochtene Trennaustauschsituation f"ur affine Schemata}] Aus unserer Erkenntnis\ref{Moop}, da"s die Opmodultrennfaserung $\op{Ab}_{\sslash{\op{Kringo}}}\ra \curlywedge{\op{Kringo}}$ eine verflochtene Trennaustauschsituation ist, folgt dasselbe f"ur die\label{Mops} Trennfaserung $$\op{Modqk}_{{\sslash}{\op{Sch}^{\op{aff}}}}\ra \curlywedge {\op{Sch}}^{\op{aff}}$$ der quasikoh"arenten Opmodulgarben auf affinen Schemata. Wir wissen bereits, da"s der Trennr"uckzug und der Vorschub f"ur allgemeine Modulgarben im Fall einer Trennung beziehungsweise eines Morphismus affiner Schemata Quasikoh"arenz erh"alt, so da"s der Trennr"uckzug und Vorschub in $\op{Modqk}_{{\sslash}{\op{Sch}^{\op{aff}}}}\ra \curlywedge {\op{Sch}}^{\op{aff}}$ dieselben sind wie f"ur allgemeine Modulgarben. Auch diese Trennfaserung wird mithin eine kartesisch verflochtene Trennaustauschsituation, wenn wir schlicht $f_*=f_!$ nehmen. Allerdings bezieht sich \glqq kartesisch\grqq\ dabei auf die Unterkategorie der affinen Schemata in der Kategorie aller gekringten R"aume, und diese Unterkategorie ist keineswegs voll und ihre kartesischen Quadrate, f"ur die wir hier die Basiswechsel zeigen, sind keineswegs kartesisch in der Kategorie aller gekringten R"aume. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Kerngarbe eines Morphismus geringter R"aume}] Gegeben ein Morphismus von geringten R"aumen $(\varphi,\varphi^\sharp):(X,\mathcal A)\ra (Y,\mathcal B)$ ist ${\op{ker}}(\varphi^\sharp)$ mit den Schnitten $$({\op{ker}}(\varphi^\sharp))(V)\pdef {\op{ker}}(\varphi^\sharp: \mathcal B(V)\ra \mathcal A(\varphi^{-1}V))$$ eine Garbe von Idealen alias Unterbimoduln von $\mathcal B$. Die Notation ist mi"sbr"auchlich, aber es ist der echte Kern des induzierten\label{KeGa} Morphismus $\mathcal B\ra \varphi_*\mathcal A$ in der abelschen Kategorie der abelschen Garben auf $Y$. Im Fall eines Morphismus von Schemata $\varphi: X\ra Y$ ist ${\op{ker}}(\varphi^\sharp)\subset \mathcal O_Y$ quasikoh"arent. Gegeben ein weiterer Morphismus von geringten R"aumen $(\psi,\psi^\sharp): (Y,\mathcal B)\ra (Z,\mathcal C)$ haben wir ${\op{ker}}((\psi\varphi)^\sharp)\subset {\op{ker}}(\psi^\sharp)$ und der Komorphismus $\psi^\sharp$ induziert einen Komorphismus ${\op{ker}}((\psi\varphi)^\sharp)\ra {\op{ker}}(\varphi^\sharp)$. \end{Ubung} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Schema $X$ mit einer abgeschlossenen Teilmenge $Z\As X$ versehen wir $Z$ mit der reduzierten induzierten Struktur \ref{reisT} und betrachten den zugeh"origen Morphismus $i:Z\ra X$ von Schemata. Dessen Kerngarbe $\mathcal I_Z=\mathcal I_{Z\subset X}\pdef \op{ker}(i^\sharp)$ hei"st die {\bf Idealgarbe von $Z$}.\index{Idealgarbe!von abgeschlossener Teilmenge eines Schemas}\label{IGZa} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Morphismus von Schemata $X\ra S$ betrachtet man die Diagonale $\Delta:X\ra X\times_S X$ und die Idealgarbe $\mathcal I=\op{Ker}\Delta^\sharp$. Sie ist quasikoh"arent nach \ref{KeGa}. Dann erinnert man aus \ref{PqkI}, da"s das Produkt quasikoh"arenter Idealgarben wieder quasikoh"arent ist, und erkl"art die {\bf Garbe der relativen K"ahlerdifferentiale} als den quasikoh"arenten $\mathcal O_X$-Modul $$\Omega_{X/S}\pdef \Delta^*(\mathcal I/\mathcal I^2)$$ Gegeben $U\co X$ und $f\in \mathcal O_X(U)$ liegt $\op{pr}_1^\sharp(f)-\op{pr}_2^\sharp(f)\in \mathcal O_{X\times_S X}(U\times_S U)$ in der Idealgarbe $\mathcal I$ und liefert so einen Schnitt von $\Omega_{X/S}(U)$, den wir $\diff f$ notieren und das {\bf Differential von $f$} nennen. Auf diese Weise erhalten wir einen Morphismus von abelschen Garben $$\diff:\mathcal O_X\ra \Omega_{X/S}$$ Er erf"ullt die Leibnizregel $\op{d} (fg)=f\diff g + g\diff f$. Gegeben ein kommutatives Diagramm von Schemata $$\begin{array}{ccc} X&\stackrel{\varphi}{\ra} &Y\\ \da&&\da\\ S&\stackrel{\bar\varphi}{\ra} &T \end{array}$$ erhalten wir weiter mit \ref{KeGa} unter R"uckzug auf die Diagonalen Komorphismen $\varphi^\sharp: \Omega_{Y/T}\ra \Omega_{X/S}$ auf den Moduln der relativen K"ahlerdifferentiale, die in der offensichtlichen Weise funktoriell und mit dem Bilden der Differentiale in der Weise vertr"aglich sind, da"s gilt $\op{d}(\varphi^\sharp f)=\varphi^\sharp(\diff f)$. Wir nennen sie die {\bf R"uckz"uge von K"ahlerdifferentialen}. Insbesondere in der Differentialgeometrie ist daf"ur die Notation $\varphi^* \omega$ statt $\varphi^\sharp \omega$ "ublich. Sind $\varphi$ und $\bar\varphi$ offene Einbettungen, so ist der induzierte Opkomorphismus $ \Omega_{X/S}\ra \Omega_{Y/T}$ kartesisch "uber $X\ra Y$, als da hei"st, der induzierte Morphismus ist ein Isomorphismus $\varphi^*\Omega_{Y/T}\sira \Omega_{X/S}$ von $\mathcal O_X$-Moduln. Wir erhalten eine Isotransformation $\tau$ im Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \op{Car}(\ua,\op{Kring})^{\op{opp}} \ar[r]^-{\Omega} \ar[d]_-{\op{Spec}} & (\op{Mod}_{/{\op{Kring}}})^{\op{opp}} \ar[d]^{\op{\mathcal L}}\ar@{=>}^-\sim_-{\tau}[dl]\\ \op{Car}(\da,\op{Sch}) \ar[r]^-{\Omega} & \op{Modqk}_{\sslash{\op{Sch}}} } \end{displaymath} mit dem in \eref{FuDii}{AAG} erkl"arten Funktor der K"ahlerdifferentiale in der oberen Horizontale in der offensichtlichen Weise, und f"ur diese Isomorphismen $$\tau: \mathcal L\Omega_{A/B} \sira \Omega_{{\op{Spec}}A/{\op{Spec}}B}$$ gilt $(\Gamma\tau) :\varepsilon(\diff a) \mapsto \diff \varepsilon(a)$ f"ur alle $a\in A$ und unseren Isomorphismen $\varepsilon$ zwischen Moduln "uber einem Kring\label{KdifS} und globalen Schnitten von Modulgarben auf seinem Spektrum. \end{Bemerkungl} \begin{Ubung} Gegeben ein Kring $A$ und ein $A$-Modul $M$ bilden wir die $A$-Moduln ${\op{T}}^rM={\op{T}}^r_AM=M^{\otimes r}$ und die $\DN$-graduierte $A$-Ringalgebra ${\op{T}}M={\op{T}}_AM\pdef \bigoplus_{r\geq 0}M^{\otimes r}$ und ihre $\DN$-graduierten Quotienten und ${\op{S}}M ={\op{S}}_AM\pdef {\op{T}}_AM/\langle m\otimes n-n\otimes m\rangle$ sowie $\bigwedge M= \bigwedge_AM\pdef {\op{T}}_AM/\langle m\otimes m \rangle$ und deren homogene Anteile ${\op{S}}^rM={\op{S}}^r_AM$ und $\bigwedge^rM= \bigwedge_A^rM$. Alle diese Konstruktionen sind in nat"urlicher Weise Funktoren $\op{Mod}_{/\op{Kring}}\ra \op{Mod}_{/\op{Kring}}$ "uber $\op{Kring}$. Man zeige, da"s sie kokartesische Morphismen von Moduln "uber durch Lokalisierungen gegebenen Kringhomomorphismen zu kokartesischen Morphismen machen, also $$S^{-1}({\op{T}}^r_AM )\sira {\op{T}}^r_{(S^{-1}A)}(S^{-1}M)$$ etcetera f"ur jede Teilmenge $S\subset A$. \end{Ubung} \subsection{"Aquivariante Modulgarben} \begin{Bemerkungl} Seien $G{\ssearrow}X$ eine algebraische Variet"at mit der Operation eines algebraischen Monoids. Nach unserer allgemeinen Definition \eref{goff}{TSF} "aquivarianter Objekte ist eine $G$-"aquivariante quasikoh"arente Garbe auf $X$ ein Paar $(\mathcal F,\alpha)$ bestehend aus einer quasikoh"arenten Garbe $\mathcal F \in \op{Modqk}_{/X}$ und einem Morphismus $\alpha: \mathcal{O}_G\boxtimes \mathcal F\ra \mathcal F$ "uber der Operation $a:G\times X\ra X$ derart, da"s die offensichtlichen Diagramme kommutieren, etwas expliziter $\alpha\circ (\mu\boxtimes \op{id})=\alpha\circ (\op{id}\boxtimes \alpha)$ f"ur $\mu:\mathcal{O}_G\boxtimes \mathcal{O}_G\ra \mathcal{O}_G$ der Opkomorphismus zur Multiplikation in $G$ und $\alpha\circ (\varepsilon\boxtimes \op{id})= \op{id}$. Unser Morphismus $\alpha$ ist dabei als Opkomorphismus zu verstehen, in Formeln $\alpha\in\op{Modqk}_{\sslash a} (\mathcal{O}_G\boxtimes \mathcal F,\mathcal F)$. Wir verwenden f"ur die Kategorie der $G$-"aquivarianten quasikoh"arenten $\mathcal O_X$-Moduln die Notation $$ \op{Modqk}_{/ G{\ssearrow}X}$$ Die opponierte Kategorie, die man als Faser der entsprechenden Trennfaserung antrifft, notieren wir $%\mathcal O_X\op{-Modqk}^G=\op{Modqk}^G_{\mathcal O_X}= \op{Modqk}_{\sslash G{\ssearrow}X}$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein algebraisch abgeschlossener K"orper $k$ und ein algebraisches Monoid $G$ "uber $k$ und eine $k$-Ringalgebra $A$ mit einer algebraischen $G$-Operation erkl"aren wir die Kategorie $$\op{Mod}^{G}_A=A\op{-Mod}^{G}$$ der {\bf $G$-"aquivarianten $A$-Moduln}\index{Modul!"aquivarianter!f"ur Monoidoperation} als die Kategorie aller $A$-Moduln $M$ mit einer algebraischen $G$-Operation derart, da"s die Multiplikation mit Skalaren eine $G$-"aquivariante Abbildung $A\times M\ra M$ ist. Dieselbe Notation hatten wir bereits in \eref{GqeA}{NAS} im Fall diskreter Gruppen $G$ vereinbart. Was im Einzelfall gemeint ist, gilt es aus dem Kontext zu erschlie"sen. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Lokalisierung f"ur "aquivariante Garben}] Gegeben ein affines algebraische Monoid $G$ "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper $k=\bar k$ und eine affine $G$-Variet"at $X$ liefert der Funktor der globalen Schnitte eine "Aquivalenz von Kategorien\label{qeGa} $$ \Gamma:\op{Modqk}_{/G{\ssearrow}X}\sirra \mathcal O(X)\op{-Mod}^G $$ \end{Lemma} \begin{proof} Sind $G$ und $X$ affine Variet"aten und setzen wir $A\pdef\mathcal O(X)$, so entspricht die Operation $a:G\times X\ra X$ einem Ringalgebrenhomomorphismus $$a^\sharp:A\ra\mathcal O(G)\otimes A$$ Unsere quasikoh"arente Garbe $\mathcal F\in \op{Modqk}_{/X}$ entspricht dem $A$-Modul $M\pdef\Gamma\mathcal F$ und unser Opkomorphismus $\alpha:\mathcal O_G\boxtimes \mathcal F\ra \mathcal F$ "uber $a$ entspricht einem Modulhomomorphismus $\alpha^\sharp: M\ra\mathcal O(G)\otimes M$ "uber dem Ringhomomorphismus $a^\sharp$. Bezeichnet nun $\mu^\sharp:\mathcal O(G)\ra \mathcal O(G)\otimes\mathcal O(G)$ den Komorphismus zur Verkn"upfung $\mu:G\times G\ra G$, so bedeutet das erste Diagramm die Identit"at $(\mu^\sharp\otimes\op{id})\circ \alpha^\sharp=(\op{id}\otimes\alpha^\sharp)\circ \alpha^\sharp$ von Abbildungen $M\ra \mathcal O(G)\otimes\mathcal O(G)\otimes M$. Bezeichnet weiter $\delta_1:\mathcal O(G) \ra k$ das Auswerten am neutralen Element, so bedeutet das zweite Diagramm die Identit"at $\op{mult}\circ (\delta_1\otimes\op{id})\circ \alpha^\sharp= \op{id}$ von Abbildungen $M\ra M$ f"ur $\op{mult}:k\otimes M\sira M$ die Multiplikation. Nun bedeutet die Vorgabe von $a^\sharp$ genau, da"s wir den Vektorraum $A$ zu einer algebraischen Darstellung von $G$ im Sinne von \eref{RatD}{AAG} machen, bei der die Elemente $g\in G$ zus"atzlich durch Endomorphismen von Ringalgebren operieren. Die Vorgabe eines $k$-linearen $\alpha^\sharp$ mit den beiden angegebenen Vertr"aglichkeitsbedingungen entspricht der Vorgabe einer Struktur auf dem Vektorraum $M$ als algebraische Darstellung von $G$ im Sinne von \eref{RatD}{AAG} mittels der Beziehung, da"s $\alpha^\sharp(v)=\sum_i f_i\otimes v_i$ f"ur $v\in M$ gleichbedeutend ist zu $gv=\sum_i f_i(g)v_i$. Die Bedingung, da"s $\alpha^\sharp$ ein Modulhomomorphismus "uber dem Ringhomomorphismus $a^\sharp$ sein soll, bedeutet schlie"slich, da"s die Multiplikation mit Skalaren $A\times M\ra M$ "aquivariant ist f"ur die Operation von $G$. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Nach \eref{Qeag}{TSF} liefert f"ur jede Variet"at $X$ und jede algebraische Gruppe $G$ der R"uckzug alias die Konstruktion $\underline{G}\boxtimes$ eine "Aquivalenz\label{allAEQ} $$\op{Modqk}_{/X}\sirra \op{Modqk}_{/G{\ssearrow}(G\times X)}$$ Sogar f"ur jedes algebraische Monoid $G$ erhalten wir nach \eref{Qeag}{TSF} eine Adjunktion $((1\times \op{id})^*, \underline{G}\boxtimes)$, wenn wir beachten, da"s wir dort mit den Fasern einer Trennfaserung gearbeitet haben, als die wir hier die zu den angegebenen opponierten Kategorien nehmen m"ussen. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{"Aquivariante Garben auf affinen Gruppen}] Gegeben eine affine algebraische Gruppe $G$ "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper $k=\bar k$ liefert der Funktor der invarianten globalen Schnitte eine "Aquivalenz von Kategorien\label{qead} $$ \Gamma^G:\op{Modqk}_{/G{\ssearrow}G} \sirra k\op{-Mod} $$ \end{Lemma} \begin{proof} Nach \ref{allAEQ} reicht es, eine Adjunktion $(\underline{G}\boxtimes, \Gamma^G)$ zu konstruieren, und das geschieht ziemlich zu Anfang des folgenden Beweises, der seinerseits mit etwas weniger allgemeiner Theorie auskommt. \end{proof} \begin{proof}[Elementarer Beweis] Nach dem vorhergehenden Lemma \ref{qeGa} reicht es zu zeigen, da"s das Bilden der $G$-Invarianten eine "Aquivalenz von Kategorien $$ \mathcal O(G)\op{-Mod}^G \sirra k\op{-Mod} $$ liefert. Hier ist die Operation von $G$ auf $\mathcal O(G)$ durch Linkstranslation gemeint. Zun"achst einmal haben wir f"ur jeden $k$-Vektorraum $V$ und jedes $M\in {\mathcal O(G)}\op{-Mod}^G$ eine offensichtliche Bijektion $$\op{Hom}_k(V,M^G)\sira \op{Mod}^G_{{\mathcal O(G)}}(\mathcal O(G)\otimes V,M)$$ In anderen Worten haben wir mit $V\mapsto \mathcal O(G)\otimes V$ schon einmal den Linksadjungierten unseres Funktors der $G$-Invarianten gefunden. Offensichtlich gilt dann $V\sira (\mathcal O(G)\otimes V)^G$ vermittels der Einheit der Adjunktion. Ist nun $W$ eine algebraische Darstellung von $G$, so k"onnen wir $\mathcal O(G)\otimes W$ als $G$-"aquivarianten $\mathcal O(G)$-Modul auffassen, indem wir die $G$-Operation als die Tensordarstellung verstehen. Ist der Einfachkeit halber $W$ endlichdimensional, so erhalten wir eine Bijektion $$\mathcal O(G)\otimes W\sira \op{Var}(G,W)$$ in der offensichtlichen Weise. Die Operation von $g\in G$ entspricht darunter der Operation durch Konjugation $(g\ast \varphi)(x)=g(\varphi(g^{-1}x))$ f"ur $\varphi\in \op{Var}(G,W)$ alias $\varphi:G\ra W$ ein Morphismus von Variet"aten. Bezeichnet $\bar W$ den Vektorraum $W$ mit der trivialen $G$-Operation, so erhalten wir eine Bijektion $\op{Var}(G, W)\sira \op{Var}(G, \bar W)$ durch die Vorschrift $\varphi\mapsto \bar\varphi$ mit $\bar\varphi(x)\pdef x^{-1}\varphi(x)$. Man pr"uft leicht, da"s diese Bijektion hinwiederum einen Isomorphismus $$\mathcal O(G)\otimes W\sira \mathcal O(G)\otimes \bar W$$ von $G$-"aquivarianten $\mathcal O(G)$-Moduln induziert. Wir sehen so, da"s jeder $G$-"aqui\-va\-ri\-an\-te $\mathcal O(G)$-Modul $M$ als $\mathcal O(G)$-Modul von $M^G$ erzeugt wird, denn gegeben ein endlichdimensionaler $G$-stabiler Teilraum $W\subset M$ liegt $W$ im Bild des durch Multiplikation gegebenen Homomorphismus $\mathcal O(G)\otimes W\ra M$ und die linke Seite wird nach dem Vorhergehenden durch ihre $G$-invarianten Vektoren erzeugt. Folglich mu"s die Multiplikation einen Isomorphismus $$\mathcal O(G)\otimes M^G\sira M$$ induzieren, denn ihr Bild enth"alt alle $G$-Invarianten und ihr Kern besitzt au"ser der Null keine $G$-Invarianten. \end{proof} \begin{Lemma}[\textbf{"Aquivariante Garben auf Produkten}] Gegeben eine affine algebraische Gruppe $G$ "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper $k=\bar k$ und eine affine $k$-Variet"at $Z$ liefert der Funktor der\label{Aeqfr} invarianten globalen Schnitte eine "Aquivalenz von Kategorien $$ \Gamma^G: \op{Modqk}_{/G{\ssearrow}G\times Z} \sirra \mathcal O(Z)\op{-Mod} $$ \end{Lemma} \begin{proof} Analog zum Beweis des vorhergehenden Lemmas \ref{qead}. \end{proof} \begin{Lemma}[\textbf{"Aquivariante Garben auf Hauptfaserb"undeln}] Gegeben eine affine algebraische Gruppe $G$ "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper $k=\bar k$ und ein Zariski-lokal triviales $G$-Hauptfaserb"undel $\pi:X\ra Y$ auf einer $k$-Variet"at $Y$ induziert der R"uckzug eine "Aquivalenz von Kategorien $$\pi^*:\op{Modqk}_{\sslash Y}\sirra \op{Modqk}_{\sslash G{\ssearrow}X}$$ \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Der R"uckzug ist hier im Sinne von \eref{goff}{TSF} unter $\pi:G{\ssearrow}X\ra 1{\ssearrow}Y$ zu verstehen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Derselbe Beweis zeigt dieselbe Aussage allgemeiner f"ur \'etale-lokal triviale Hauptfaserb"undel, wenn man Grothendieck's Satz "uber \'etalen Abstieg f"ur quasikoh"arente Modulgarben verwendet. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Es ist klar, da"s sich "aquivariante Garben genauso verkleben lassen wie das f"ur gew"ohnliche Garben in \ref{VKgtr} ausgef"uhrt wurde. Mit dieser Erkenntnis k"onnen wir uns beim Beweis auf den Fall einer affinen Variet"at $Y$ mit dem trivialen Hauptfaserb"undel $\pi:G\times Y\ra Y$ zur"uckziehen. In diesem Fall aber folgt die Behauptung unmittelbar aus \ref{allAEQ} oder, etwas weniger nat"urlich, aus Lemma \ref{Aeqfr}. \end{proof} \begin{Bemerkungl} \nichtfinal{Noch ausarbeiten!} Versuch zum Vorschub "aquivarianter Modulgarben. Man wird sich "uberlegen k"onnen, da"s in hinreichender Allgemeinheit der in \eref{fuiBP}{TSF} erkl"arte Morphismus\label{AeqVO} $\op{adf}:(f_1\times f_2)_\dagger \mathcal F_1\boxtimes \mathcal F_2\ra f_{1\dagger} \mathcal F_1\boxtimes f_{2\dagger}\mathcal F_2$ im Fall von Variet"aten und quasikoh"arenten Opmodulgarben ein Isomorphismus ist. Daraus sollte folgen, da"s gegeben $\underline{G}\boxtimes\mathcal F\ra \mathcal F$ eine "aquivariante quasikoh"arente Garbe auch $\underline{G}\boxtimes f_\dagger\mathcal F\ra f_\dagger\mathcal F$ eine "aquivariante quasikoh"arente Garbe ist. Ich will das insbesondere anwenden beim Studium multiplikativ "aquivarianter Garben auf $k^{n}\backslash 0$ und deren Vorschub zu $k^n$ und das Studium quasikoh"arenter Garben auf projektiven R"aumen, vergleiche \ref{qkPR}. \end{Bemerkungl} \subsection{Symmetrische Algebren "uber Kringen*} \nichtfinal{Wohin?} \begin{Bemerkungl} Im folgenden wird vorausgesetzt, da"s Sie mit Tensorprodukten "uber Kringen vertraut sind, wie sie etwa in \eref{TPro}{KAG} und f"ur iterierte Tensorprodukte in \eref{itKR}{TSK} besprochen werden. Weiter wird der Formalismus der adjungierten Funktoren verwendet, wie er etwa in \eref{AdFu}{TF} diskutiert wird. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Unter einem {\bf geometrischen Modul}\index{Modul!geometrischer} "uber einer affinen Variet"at $X$ verstehen wir ein abelsches Gruppenobjekt $E\ra X$ in der Kategorie $\op{Varaff}_X$ der affinen Variet"aten "uber $X$ zusammen mit einem Morphismus $k\times E\ra E$ "uber $X$ derart, da"s jede Faser $E_x$ mit der induzierten Addition und Operation $k\times E_x\ra E_x$ isomorph ist zu einer Variet"at mit Addition und $k$-Operation, die von einem endlichdimensionalen $k$-Vektorraum herkommt. Die geometrischen Moduln "uber $X$ bilden in offensichtlicher Weise eine Kategorie $$\op{Gmod}_X$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Symmetrische Algebra eines Moduls}] Gegeben ein Kring $A$ hat der verge"sliche Funktor $\op{Ralg}_A\ra \op{Mod}_A$ einen Linksadjungierten, den Funktor $ {\op{Ten}}_A$,\index{T@${\op{Ten}}_AM$ Tensoralgebra} der\index{Ten@${\op{Ten}}_AM$ Tensoralgebra} jedem $A$-Modul seine {\bf freie Tensoralgebra}\index{Tensoralgebra} wie in \eref{TeAl}{LA2} zuordnet. Gegeben ein Kring $A$ hat weiter der verge"sliche Funktor $\op{Kralg}_A\ra \op{Mod}_A$ einen Linksadjungierten, den Funktor ${\op{Sym}}_A$, der\index{S@${\op{S}}_AM$ symmetrische Algebra}\label{SymA} jedem $A$-Modul\index{Sym@${\op{Sym}}_AM$ symmetrische Algebra} seine {\bf symmetrische Algebra}\index{symmetrisch!Algebra} $${\op{S}}_AM={\op{Sym}}_AM$$ wie in \ref{SyAl} zuordnet. Man konstruiert auch unschwer einen Linksadjungierten $\op{Komm}:\op{Kralg}_A\ra \op{Ralg}_A$ zum verge"slichen Funktor und die universellen Eigenschaften liefern eine Isotransformation $\op{Komm}\circ \op{Ten}\siRa\op{Sym}$. Gegeben ein Kringhomomorphismus $A\ra B$ liefern die Identit"aten $\op{verg}_A\circ\op{res}_B^A=\op{res}_B^A\circ\op{verg}_B$ f"ur die entsprechenden Vergi"sfunktoren Isotransformationen $$\op{prod}_A^B\circ\op{Sym}_A\siRa\op{Sym}_B\circ\op{prod}_A^B$$ alias Isomorphismen $B\otimes_A(\op{Sym}_AM)\sira \op{Sym}_B(B\otimes_AM)$ von $B$-Kringalgebren und "ahnlich f"ur Tensoralgebren. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Moduln und Vektorb"undel}] Gegeben eine affine $k$-Variet"at $X$ und ein endlich erzeugter $\mathcal O(X)$-Modul $M$ versehen wir die affine $k$-Variet"at $$\op{V}(M)\pdef \op{Max}(\op{Sym}_{\mathcal O(X)}(M))$$ mit der Struktur eines geometrischen Moduls "uber $X$. F"ur $\op{V}(M)\ra X$ nehmen wir die von\label{vbMO} $\mathcal O(X)\ra \op{Sym}_{\mathcal O(X)}(M)$ unter $\op{Max}$ induzierte Abbildung. F"ur die restlichen Zutaten holen wir weiter aus. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Nach \eref{adAGR}{TG} ist in einer additiven Kategorie jedes Objekt auf nat"urliche Weise sowohl ein abelsches Gruppenobjekt als auch ein abelsches Kogruppenobjekt. Insbesondere hat f"ur einen Ring $R$ jeder $R$-Modul $M$ eine nat"urliche Struktur als abelsches Kogruppenobjekt. Dessen Verkn"upfung erweist sich als die diagonale Einbettung $\Delta:M\hra M\times M$.\label{akgf} Nach \eref{KoKaR}{TF} vertauschen Linksadjungierte mit Koprodukten. Im Fall eines Krings $A$ macht folglich unser mit Koprodukten vertr"aglicher Funktor $\op{Sym}=\op{Sym}_A$ aus $M\in\op{Mod}_A$ ein abelsches Kogruppenobjekt $\op{Sym}_A(M)$ in $\op{Kralg}_A$. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Ist $A=k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper und $M$ ein endlichdimensionaler $k$-Vektorraum, so entspricht dies Kogruppenobjekt von $\op{Kralg}_k$ vermittels $\op{Sym}_k(M)\sira \mathcal O(M^*)$ dem Kogruppenobjekt der regul"aren Funktionen auf der algebraischen Gruppe $M^*$ mit der Addition als Verkn"upfung. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Additive Struktur auf $\op{V}(M)$}] Gegeben eine affine Variet"at $X$ und ein endlich erzeugter $\mathcal O(X)$-Modul $M$ erhalten wir mit \ref{akgf} auf $\op{Sym}_{\mathcal O(X)}(M)$ eine Struktur als Kogruppenobjekt von $\op{Kralg}_{\mathcal O(X)}^{\op{re}}$. Da $\op{Max}:\op{Kralg}_{\mathcal O(X)}^{\op{re}}\ra \op{Varaff}^{\op{opp}}_X$ als Rechtsadjungierter mit Push\-out vertauscht, erbt $\op{V}(M)$ die Struktur eines abelschen Gruppenobjekts in der Kategorie der affinen Variet"aten "uber $X$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Kring $A$ und ein $A$-Modul $M$ tr"agt die symmetrische Algebra nach Konstruktion eine nat"urlich $\DN$-Graduierung $$\op{Sym}_A(M)=\bigoplus_{r\in \DN}\op{Sym}^r_A(M)$$ Sie liefert einen Kringhomomorphismus $\op{Sym}_A(M)\ra A[T]\otimes_A\op{Sym}_A(M)$ durch $s\mapsto T^r\otimes s$ f"ur $s$ homogen vom Grad $r$. Nun macht die Komultiplikation $A[T]\ra A[T]\otimes_AA[T]$ gegeben durch $T\mapsto T\otimes T$ den Polynomring $A[T]$ zu einem Komonoid in $\op{Kralg}_A$. Unser Homomorphismus ist dann offensichtlich eine Kooperation dieses Komonoids.\label{amgf} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Operation von $(k,\cdot)$ auf $\op{V}(M)$}] Gegeben eine affine Variet"at $X$ und ein endlich erzeugter $\mathcal O(X)$-Modul $M$ erhalten wir mit \ref{amgf} auf $\op{Sym}_{\mathcal O(X)}(M)$ eine Kooperation des Komoidobjekts $\mathcal O(X)[T]$. Da $\op{Max}:\op{Kralg}_{\mathcal O(X)}^{\op{re}}\ra \op{Varaff}^{\op{opp}}_X$ als Rechtsadjungierter mit Push\-out vertauscht, erbt $\op{V}(M)$ die Operation des \glqq multiplikativen\grqq\ Monoidobjekts $\op{Max}(\mathcal O(X)[T])=X\times k$ in der Kategorie der affinen Variet"aten "uber $X$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Sei $X$ eine affine Variet"at. Der Leser mag zur "Ubung pr"ufen, da"s wir, indem wir f"ur jeden endlich erzeugten $\mathcal O(X)$-Modul $M$ unser $\op{V}(M)$ mit den in \ref{akgf} und \ref{amgf} erkl"arten Strukturen versehen, einen Funktor $${\op{V}}:\mathcal O(X)\op{-Modf}\ra \op{Gmod}_X^{\op{opp}}$$ erhalten, da"s dieser Funktor mit endlichen Koprodukten vertr"aglich ist, und da"s wir in der offensichtlichen Weise einen Isomorphismus von geometrischen Moduln $\op{V}(\mathcal O(X))\sira X\times k$ erhalten. Wir nennen $\op{V}$ den {\bf B"undelfunktor}.\index{B"undelfunktor} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ich erkl"are nun f"ur jeden geometrischen Modul $E$ "uber einer affinen Variet"at $X$ den $\mathcal O(X)$-Modul $\mathcal D(E)$ seiner {\bf dualen Schnitte} als die Menge der faserweise $k$-linearen regul"aren Funktionen auf $E$, in Formeln $$\mathcal D(E)\pdef \{f\in\mathcal O(E)\mid f|E_x \text{ ist $k$-linear }\forall x\in X\}$$ mit der von $\mathcal O(E)$ induzierten Struktur als $\mathcal O(X)$-Modul. Das f"allt nach unseren Annahmen zusammen mit dem homogenen Anteil $\mathcal D(E)=\mathcal O(E)^1$ vom Grad Eins f"ur die auf $\mathcal O(E)$ durch die Wirkung des multiplikativen Monoids $k$ nach \ref{opMK} gegebenen $\DN$-Graduierung. Da $\mathcal O(E)$ ringendlich ist "uber seinem homogenen Anteil $\mathcal O(X)=\mathcal O(E)^0$ vom Grad Null, mu"s der homogene Anteil vom Grad Eins endlich erzeugt sein als Modul. Wir erhalten so einen Funktor $$\mathcal D: \op{Gmod}_X^{\op{opp}}\ra \mathcal O(X)\op{-Modf}$$ Die Bezeichnung als \glqq duale Schnitte\grqq\ kommt her von der nat"urlichen Bijektion $\mathcal D(E) \sira \op{Gmod}_X(E,X\times k)$, die im folgenden keine Rolle mehr spielen wird. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Adjunktion von B"undelfunktor und dualen Schnitten}] Wir erhalten eine Adjunktion $(V,\mathcal D)$ zwischen dem B"undelfunktor und dem Funktor der dualen Schnitte, indem wir bemerken, da"s die nat"urlichen Abbildungen $$\op{Gmod}_X^{\op{opp}}(\op{Max}{\op{S}}_kM,E) \hra \op{Kralg}_{\mathcal O(X)}({\op{S}}_kM,\mathcal O(E))\sira \op{Mod}_{\mathcal O(X)}(M,\mathcal O(E))$$ eine Bijektion der linken Seite mit $\op{Mod}_{\mathcal O(X)}(M,\mathcal D(E))$ induzieren. Zur "Ubung pr"ufe man, da"s f"ur $M$ mit nilpotentfreier symmetrischer Algebra die Einheit der Adjunktion ein Isomorphismus $M\sira \mathcal D{\op{V}}M$ von $\mathcal O(X)$-Moduln ist. Wir diskutieren nicht weiter, f"ur welche geometrischen Moduln $E$ die Koeinheit der Adjunktion oder genauer deren opponierter Morphismus ein Isomorphismus $E\sira {\op{V}}\mathcal DE$ von geometrischen Moduln ist. Mehr dazu findet man in \cite{EGA2}, wo man auch nachlesen kann, warum das alles f"ur Schemata noch viel besser geht als f"ur Variet"aten. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Im Fall eines endlich erzeugten \glqq projektiven\grqq\ $\mathcal O(X)$-Moduls $M$ k"onnen wir uns ${\op{V}}M$ als Vektorb"undel vorstellen, wie im folgenden ausgef"uhrt werden soll. Ein Modul $P$ "uber einem Ring $R$ hei"st {\bf projektiv},\index{projektiv!Modul}\label{proM} wenn jeder surjektive Homomorphismus $M\sra P$ von einem weiteren $R$-Modul nach $P$ spaltet. Mehr dazu wird in \eref{proMo}{TS} folgende besprochen. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}\label{plFF} Gegeben ein endlich erzeugter projektiver Modul $P$ "uber einem Kring $R$ und ein maximales Ideal $\mathfrak m\subset R$ gibt es $f\in R\backslash \mathfrak m$ derart, da"s die Lokalisierung $P_f$ frei ist "uber $R_f$. \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Ist $P$ ein endlich erzeugter projektiver Modul "uber einem Intergrit"atsbereich $R$, so hat die Lokalisierung $P_f$ offensichtlich f"ur jedes von Null verschiedene $f\in R$, f"ur das $P_f$ frei ist, denselben Rang. Wir nennen ihn dann den {\bf Rang}\index{Rang!von projektivem Modul} unseres projektiven Moduls und notieren ihn $\op{rang}(P)$.\label{raPM} Allgemeiner zeigt man dasselbe unschwer f"ur jeden Kring $R$ mit zusammenh"angendem Spektrum, wenn dieser Begriff einmal zur Verf"ugung steht. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Per definitionem finden wir einen weiteren $R$-Modul $Q$ und einen Isomorphismus $P\oplus Q\sira R^n$. Seien $p_1,\ldots,p_r\in P$ Elemente, deren Nebenklassen eine Basis von $P/\mathfrak m P$ bilden, und $q_1,\ldots,q_s\in Q$ Elemente, deren Nebenklassen eine Basis von $Q/\mathfrak m Q$ bilden. Indem wir diese Elemente als Bilder der Vektoren der Standardbasis nehmen, k"onnen wir unseren Isomorphismus verl"angern zu einer Sequenz $$R^{r+s}\ra P\oplus Q\sira R^n$$ mit $R^r\times 0\ra P$ sowie $0\times R^s \ra Q$. Nach Konstruktion wird die Komposition ein Isomorphismus, wenn wir "uberall die von allen $\mathfrak m$-fachen erzeugten Untermoduln wegteilen. Es folgt $r+s=n$ und wird unsere Abbildung beschrieben durch die Matrix $M\in \op{Mat}(n\times n;R)$, so ist das Bild $\bar M$ unserer Matrix in $\op{Mat}(n\times(r+s);R/\mathfrak m)$ invertierbar. Folglich geh"ort die Determinante $f\pdef \op{det}M$ unserer Matrix nicht zu $\mathfrak m$, und wenn wir nach $f$ lokalisieren, wird unsere Matrix invertierbar. Dann aber mu"s unser Morphismus $R^r\times 0\ra P$ unter der Lokalisierung nach $f$ auch zu einem Isomorphismus werden. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Vektorb"undel eines endlichen erzeugten projektiven Moduls}] Sei $X$ eine affine Variet"at. Ein {\bf Vektorb"undel auf $X$}\index{Vektorb"undel!algebraisches} ist ein geometrischer Modul $p:E\ra X$ "uber $X$ mit der Eigenschaft, da"s jeder Punkt von $X$ eine offene affine Umgebung $U$ hat, auf der $p^{-1}(U)$ mit seiner induzierten Struktur als geometrischer Modul isomorph ist zu $U\times k^n$ f"ur ein $n=n(U)$. Wie aus dem Vorhergehenden folgt, induziert der B"undelfunktor eine "Aquivalenz von Kategorien\label{VeBue} $$\op{V}:\{\text{endlich erzeugte projektive $\mathcal O(X)$-Moduln}\}\sirra \{\text{Vektorb"undel auf $X$}\}^{\op{opp}}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Schnitte von Vektorb"undeln auf affinen Variet"aten}] Gegeben ein geometrischer Modul $E\ra X$ "uber einer affinen Variet"at ist die Menge seiner algebraischen Schnitte $\sigma:X\ra E$ in offensichtlicher Weise ein\label{SiBue} $\mathcal O(X)$-Modul $\mathcal S(E)=\mathcal S_X(E)$. Im allgemeinen wei"s ich nicht, ob er endlich erzeugt sein mu"s. Im Fall eines Vektorb"undels bilden die algebraischen Schnitte jedoch offensichtlich einen endlich erzeugten projektiven $\mathcal O(X)$-Modul, der in nat"urlicher Weise dual ist zum $\mathcal O(X)$-Modul der dualen Schnitte. Insbesondere liefert der Funktor der algebraischen Schnitte eine "Aquivalenz von Kategorien $$\mathcal S:\{\text{Vektorb"undel auf $X$}\}\sirra \{\text{endlich erzeugte projektive $\mathcal O(X)$-Moduln}\}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Man kann zu jedem Vektorb"undel das duale Vektorb"undel konstruieren. Ebenso kann man zu jedem endlich erzeugten projektiven Modul den dualen Modul bilden. \end{Bemerkungl} \subsection{Eigenschaften von Schemata und deren Morphismen} \begin{Definition} Ein Schema hei"st {\bf lokal noethersch},\index{noethersch!lokal!Schema} wenn es eine offene "Uberdeckung durch Spektra noetherscher Kringe besitzt. Ein Schema hei"st {\bf noethersch},\index{noethersch!Schema} wenn es eine endliche offene "Uberdeckung durch Spektra noetherscher Kringe besitzt. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Ganz allgemein hei"st ein Modul "uber einem Ring {\bf flach}\index{flach!Modul}\label{flach}, wenn das Tensorieren mit besagtem Modul "uber besagtem Ring ein exakter Funktor ist. Eine Kringerweiterung hei"st {\bf flach}\index{flach!Kringerweiterung}, wenn der eine Ring ein flacher Modul "uber dem anderen Ring ist. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Ein Morphismus von Schemata $\varphi:X\ra Y$ hei"st {\bf flach},\index{flach!Morphismus von Schemata} wenn alle von ihm auf den lokalen Ringen induzierten Ringerweiterungen $\mathcal O_{Y,\varphi(x)}\ra\mathcal O_{X,x}$ flach sind. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Ein Morphismus von affinen Schemata ist genau dann flach, wenn der zugeh"origen Kringhomomorphismus flach ist. Das folgt aus den Exaktheitseigenschaften der Lokalisierung \ref{Slp}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Es ist leicht zu sehen, da"s die Komposition flacher Morphismen flach ist. Es ist leicht zu sehen, da"s die Identit"at auf jedem Schema flach ist. Es ist leicht zu sehen, da"s jedes Produkt flacher Morphismen flach ist, ja ist $S$ ein festes Schema und sind $X\ra Y$ und $X'\ra Y'$ flache Morphismen von Schemata "uber $S$, so ist auch $X\times_S X'\ra Y\times_SY'$ flach. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} Grothendieck hat gezeigt, da"s der Mengenfunktor auf der Kategorie der lokal noetherschen Schemata, der jedem lokal noetherschen Schema $T$ die Menge $\op{Hilb}^n(T)$ aller derjenigen abgeschlossenen Unterschemata $Y\As \mathbb P^n\times T$ zuordnet, die flach sind "uber $T$, darstellbar ist durch ein lokal noethersches Schema $\op{Hilb}^n$, das {\bf Hilbert-Schema der abgeschlossenen Unterschemata von $\mathbb P^n$}.\index{Hilbert-Schema} \index{Hilb@$\op{Hilb}^n$ Hilbert-Schema} \end{Bemerkungw} \newpage \section{Kohomologie auf Schemata} \subsection{Picardgruppe} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein gekringter Raum $(X,\mathcal A)$ ist ein {\bf Geradenb"undel auf $(X,\mathcal A)$}\index{Geradenb"undel} eine $\mathcal A$-Modulgarbe $\mathcal L$, die lokal isomorph ist zu $\mathcal A$ in dem Sinne, da"s es eine "Uberdeckung von $X$ durch offene Teilmengen $U\co X$ gibt derart, da"s jeweils gilt $\mathcal L|_U\cong\mathcal A|_U $ in der Kategorie der Modulgarben "uber $\mathcal A|_U$. Man zeigt leicht, da"s die Geradenb"undel genau die Einheiten der Schmelzkategorie $\mathcal A\op{-Mod}$ sind im Sinne von \eref{EIIp}{TSK}. Analog zu \eref{ECK}{TG} konstruiert man eine Bijektion $$\begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{c} \text{Geradenb"undel auf $(X,\mathcal A)$}\\ \text{bis auf Isomorphismus} \end{array}\right\} & \sira & \check{\mathrm{H}}^{1}(X;\mathcal A^\times)\end{array} \qquad\qquad\qquad$$ f"ur $\mathcal A^\times\in \op{Ab}_{/X}$ die Garbe der multiplikativen Einheiten von $\mathcal A$, also $\mathcal A^\times(U)=\mathcal A(U)^\times$ f"ur alle $U\co X$. Diese Bijektion ist sogar ein Gruppenisomorphismus f"ur die durch das Tensorieren gegebene Verkn"upfung auf der linken Seite. Die Gruppe der Geradenb"undel hei"st die {\bf Picard-Gruppe $\op{Pic}(X,\mathcal A)$ von $(X,\mathcal A)$}\index{Picardgruppe}\index{Pic@$\op{Pic}$ Picardgruppe} und unsere Konstruktion liefert mithin einen Gruppenisomorphismus\label{PiCe} $$\op{Pic}(X,\mathcal A)\sira \check{\op{H}}^1(X;\mathcal A^\times)$$ Damit keine Vorzeichenfragen offen bleiben, schreibe ich die Konstruktion noch explizit aus. Gegeben $\mathcal L$ w"ahlen wir eine offene "Uberdeckung $\mathcal U$ von $X$ derart, da"s es eine Trivialisierung von $\mathcal L$ auf jeder offenen Menge $U\in \mathcal U$ gibt, und w"ahlen jeweils eine solche Trivialisierung $i_U:\mathcal L|_U\sira \mathcal A|_U$. Gegeben $U,V\in \mathcal U$ betrachten wir dann in etwas vereinfachter Schreibweise $i_U\circ i_V^{-1}: \mathcal A|_{U\cap V}\sira \mathcal A|_{U\cap V}$ und das Bild $\varphi_{U,V}\pdef (i_U\circ i_V^{-1})(1)\in \mathcal A(U\cap V)^\times$ und dieser \v{C}echkozykel $\varphi_{U,V}$ repr"asentiere das Bild von $\mathcal L$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} Indem wir den Isomorphismus $\check{\mathrm{H}}^{1}\sira \op{H}^1$ aus \eref{CGa}{TG} von der \v{C}echkohomologie zur gew"ohnlichen Garbenkohomologie im Grad Eins nachschalten, erhalten wir auch einen Isomorphismus von abelschen Gruppen\label{iPIC} $$\op{Pic}(X,\mathcal A)\sira {\op{H}}^1(X;\mathcal A^\times)$$ Ich will mich in diesem Abschnitt jedoch auf die \v{C}echkohomologie beschr"anken. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Herkunft der Bezeichnung als Geradenb"undel}] In \ref{SiBue} erkl"aren wir Geradenb"undel auf affinen Variet"aten $X$ und zeigen, da"s das Bilden der algebraischen Schnitte eine "Aquivalenz von der Kategorie der Geradenb"undel zur Kategorie der projektiven $\mathcal O(X)$-Moduln vom Rang Eins liefert. Analog erkl"art man Geradenb"undel auf beliebigen Pr"avariet"aten $X$ und zeigt, da"s das Bilden der Garbe der lokalen algebraischen Schnitte eine "Aquivalenz von der Kategorie der Geradenb"undel zur Kategorie der vom Rang Eins lokal freien $\mathcal O_X$-Moduln liefert. Das motiviert im vorhergehenden die Bezeichnung als \glqq Geradenb"undel\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} In gewissen Kontexten wirkt eine andere Identifikation von Ge\-ra\-den\-b"un\-deln mit lokal freien $\mathcal O_X$-Moduln von Rang Eins nat"urlicher, bei der man statt dem $\mathcal O_X$-Modul der algebraischen Schnitte den dazu dualen $\mathcal O_X$-Modul betrachtet. Das f"uhrt leicht zu Verwirrung. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Schema $X$ oder eine algebraische Variet"at $X$ verwenden wir die Abk"urzung $$\op{Pic}(X)=\op{Pic}(X;\mathcal O_X)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Picardgruppe der affinen Gerade}] Gegeben ein K"orper $k$ betrachten wir das Schema $\mathbb A^1_k$. Geradenb"undel darauf entsprechen eineindeutig $k[T]$-Moduln, die lokal frei sind vom Rang Eins. Nach der Klassifikation endlich erzeugter $k[T]$-Moduln \ref{NFF} oder einfacher \eref{SmZe}{LA2} ist $k[T]$ bis auf Isomorphismus der einzige derartige Modul und wir folgern $$\op{Pic}(\mathbb A^1_k)=1$$ \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Picardgruppe der projektiven Gerade}] Sei $k$ ein K"orper. Die projektive Gerade $\mathbb P^1_k$ besitzt eine offene "Uberdeckung durch zwei Kopien von $\mathbb A^1_k$ mit Schnitt $\op{Spec}k[T,T^{-1}]$. Ein Geradenb"undel auf der projektiven Gerade entsteht mithin durch das Verkleben zweier trivialer B"undel auf unseren beiden Kopien von $\mathbb A^1_k$ vermittels eines Automorphismus des trivialen B"undels auf ihrem Schnitt und wir erhalten so ganz "ahnlich wie in \eref{VkoM}{TG} einen Isomorphismus $\op{Pic}(\mathbb P^1_k)\sira k^\times\backslash k[T,T^{-1}]^\times/k^\times$ von abelschen Gruppen. Genauer ist die rechte Seite die Menge $\check{\mathrm{H}}^{1}_<(\mathcal U;\mathcal O_{\mathbb P^1k}^\times)$ f"ur eine angeordnete "Uberdeckung von $\mathbb P^1k$ durch zwei offene Teilmengen, auf denen jeweils jedes Geradenb"undel trivial ist. Die Abbildung $n\mapsto T^n$ induziert nun einen Isomorphismus von $\DZ$ mit der rechten Seite und wir erhalten so insgesamt f"ur jeden K"orper $k$ einen Isomorphismus von abelschen Gruppen $$\op{Pic}(\mathbb P^1_k)\sira \DZ$$ \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Picardgruppe eines Krings}] Gegeben ein Kring $R$ schreiben wir kurz $$\op{Pic}( R)\pdef \op{Pic}(\op{Spec} R)$$ und nennen diese Gruppe die {\bf Picardgruppe von $R$}.\index{Picardgruppe!von Kring} Wir k"onnen sie unabh"angig von der Theorie der Schemata beschreiben als die Gruppe aller Isomorphieklassen von $R$-Moduln $L$, bei denen f"ur jedes Primideal $\mathfrak p\subset R$ die Lokalisierung $L_{\mathfrak p}$ ein freier $R_{\mathfrak p}$-Modul vom Rang Eins ist, mit der vom Tensorieren von $R$-Moduln induzierten Verkn"upfung. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Picardgruppe faktorieller Ringe}] Gegeben ein faktorieller Ring $R$ ist seine Picardgruppe $\op{Pic}( R)$ trivial.\label{PIFA} \end{Proposition} \begin{proof} Sei $\mathcal L$ eine Modulgarbe, die lokal frei ist vom Rang eins. Es gibt dann eine "Uberdeckung von $\op{Spec} R$ durch $\op{U}(f_i)$ mit $1\leq i\leq n$ derart, da"s die Einschr"ankung von $\mathcal L$ auf $\op{U}(f_i)$ jeweils frei ist vom Rang Eins. Zur"uck"ubersetzt in die Sprache der Moduln bedeutet das, da"s f"ur den $R$-Modul $L\pdef \Gamma\mathcal L$ seine Lokalisierungen $L[f_i^{-1}]$ jeweils frei sind vom Rang Eins als $R[f_i^{-1}]$-Moduln. Liefert $l_i\in L$ jeweils einen Erzeuger von $L[f_i^{-1}]$, so gibt es Einheiten $r_{ji}\in R[(f_if_j)^{-1}]^\times$ mit $l_j=r_{ji}l_i$ in $L[(f_if_j)^{-1}]$. In $ R[(f_if_jf_k)^{-1}]^\times$ gilt dann sicher $r_{kj}r_{ji}=r_{ki}\;\forall i,j,k$. Soweit gilt das alles f"ur jeden Kring $R$. Nun nehmen wir an, da"s $R$ faktoriell ist. Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir auch annehmen $f_i\neq 0\;\forall i$. Gegeben ein irreduzibles Element $p\in R$ und $i,j$ betrachten wir dann die $p$-Bewertung $$ v_p(r_{ji})\in\DZ$$ von $r_{ji}$ nach \eref{pBew}{AL}. Salopp gesprochen ist das die Zahl der $p$-Faktoren im Z"ahler minus die Zahl der $p$-Faktoren im Nenner bei einer Primfaktorzerlegung von Z"ahler und Nenner. Gegeben $i,j,k$ gilt dann $$v_p(r_{kj})+v_p(r_{ji})=v_p(r_{ki})$$ Teilt $p$ weder $f_i$ noch $f_j$, so gilt des weiteren $v_p(r_{ji})=0$. Das zeigt, da"s wir f"ur alle $k$ mit $p|f_k$ eine $p$-Potenz $p^{s(k)}$ so finden k"onnen, da"s nach Ersetzen von $l_k$ durch $p^{s(k)}l_k$ f"ur diese $k$ und alle $i$ gilt $v_p(r_{ki})=0$. Indem wir dies Verfahren wiederholt anwenden, k"onnen wir erreichen, da"s gilt $v_p(r_{ki})=0$ f"ur alle $k,i$ und alle Irreduziblen $p\in R$. Das bedeutet aber $r_{ki}\in R^\times$ f"ur alle $k,i$ und dann sind alle $l_i$ bereits Erzeuger von $L$, als da hei"st, $L$ ist frei vom Rang Eins. \end{proof} \begin{proof}[Beweis in einem anschaulichen Fall] F"ur jeden Modul $L$ "uber einem Integrit"atskring $R$, der lokal frei ist vom Rang Eins, gibt es einen Isomorphismus $L\otimes_R\op{Quot}R\sira \op{Quot}R$ von $\op{Quot}R$-Vektorr"aumen. Mithin ist $L$ isomorph zu einem $R$-Untermodul $L\subset \op{Quot}R$. Weiter gibt es nach Annahme endlich viele von Null verschiedene Elemente $f_1,\ldots, f_m\in R$ mit $L[f_i^{-1}]$ frei vom Rang Eins "uber $R[f_i^{-1}]$ f"ur alle $i$. Sei $l_i\in L$ ein Erzeuger von $L[f_i^{-1}]$ "uber $R[f_i^{-1}]$. Im Fall $R=k[T_1,\ldots, T_n]$ f"ur $k=\bar k$ denken wir uns $l_i\in L\subset \op{Quot}(R)$ als rationale Funktionen auf $k^n$. Gegeben $l=u p_1^{r_1}\cdots p_t^{r_t}$ mit $u$ einer Einheit und $p_\tau$ irreduziblen Polynomen hat $l$ anschaulich gesprochen eine $r_\tau$-fache Nullstelle l"angs $\mathcal Z(p_\tau)$ f"ur $r_\tau>0$ und eine $r_\tau$-fache Polstelle l"angs $\mathcal Z(p_\tau)$ f"ur $r_\tau<0$. Weiter ist $Rl\subset \op{Quot}(R)$ anschaulich gesprochen die Menge aller rationalen Funktionen auf $k^n$, die mindestens eine $r_\tau$-fache Nullstelle l"angs $\mathcal Z(p_\tau)$ haben f"ur $r_\tau>0$ und h"ochstens eine $r_\tau$-fache Polstelle l"angs $\mathcal Z(p_\tau)$ f"ur $r_\tau<0$. Gegeben $f\in R\backslash 0$ ist schlie"slich $R[f^{-1}]l\subset \op{Quot}(R)$ anschaulich gesprochen die Menge aller rationalen Funktionen auf $\op{U}(f)\pdef k^n\backslash \mathcal Z(f)$, die besagte Nullstellen- und Polstellenbedingungen erf"ullen f"ur alle $\tau$ mit $\mathcal Z(p_\tau)\cap \op{U}(f)\neq\emptyset$. So finden wir einen Isomorphismus von $L$ mit einer Menge von rationalen Funktionen auf $k^n$, die auf jedem der $\op{U}(f_i)$ gewisse Nullstellen- und Polstellenbedingungen erf"ullen. Die $\op{U}(f_i)$ bilden eine offene "Uberdeckung von $k^n$ und die Bedingungen an die Nullstellen beziehungsweise Polstellen l"angs $\mathcal Z(p)$ f"ur ein irreduzibles Polynom $p$ stimmen auf den Schnitten $\op{U}(f_i)\cap \op{U}(f_j)$ "uberein wann immer gilt $\mathcal Z(p)\cap \op{U}(f_i)\cap \op{U}(f_j)\neq\emptyset$. Indem wir von jedem $p$ die entsprechende Potenz nehmen und diese Potenzen aufmultiplizieren, finden wir dann $l\in L\subset \op{Quot}(R)$ mit $L=Rl$. \end{proof} \begin{proof}[Beweis in der Sprache der Schemata] Gegeben ein faktorieller Ring $R$ betrachten wir die Menge $\op{irk}(R)$ seiner Irreduziblenklassen und dar"uber die freie abelsche Gruppe $\DZ\op{irk}(R)$ und erhalten eine kurze exakte Sequenz $$R^\times\hra (\op{Quot}R)^\times \sra\DZ\op{irk}(R)$$ mit der zweiten Abbildung in die freie abelsche Gruppe "uber der Menge der Irreduziblenklassen gegeben durch $f\mapsto \sum_{p\in \op{irk}(R)}v_p(f) p$. Alle drei Terme dieser Sequenz sind die globalen Schnitte von abelschen Basisgarben auf der zweischnittstabilen Standardbasis der Topologie des Spektrums $\op{Spec}R$ aus \ref{BasG}. Garbifizierung liefert eine kurze exakte Sequenz von abelschen Garben $$\mathcal O_{\op{Spec}R}^\times \hra \mathcal M_{\op{Spec}R}^\times\sra \op{irk}_R$$ mit der urspr"unglichen kurzen exakten Sequenz als Sequenz ihrer globalen Schnitte, vergleiche \ref{GGB}. Weiter sind alle Restriktionen auf nichtleere offene Teilmengen der Garbe $\mathcal M_{\op{Spec}R}^\times$ Isomorphismen. Aus der anschlie"senden Bemerkung \ref{exKOO} folgt $$\check{\mathrm{H}}^1(\op{Spec}R;\mathcal M_{\op{Spec}R}^\times)=1$$ Mit der nicht ganz so langen exakten Kohomologiesequenz \eref{ESC}{TG} der \v{C}echkohomologie erhalten wir dann wie gew"unscht $$\check{\mathrm{H}}^1(\op{Spec}R;\mathcal O_{\op{Spec}R}^\times)=1\qedhere$$ \end{proof} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine nichtleere Menge $E$ und eine abelsche Gruppe $M$ ist der Komplex mit der Gruppe $\op{Ens}(E^q,M)$ im Grad $q$ und dem Differential $f\mapsto \sum_{i} (-1)^i f\circ\op{pr}_{\neq i}$ f"ur $\op{pr}_{\neq i}:E^{q+1}\ra E^q$ das Weglassen des $i$-ten Terms exakt f"ur alle $q\in \DZ$. Das folgt aus den allgemeinen\label{exKOO} Erkenntnissen \eref{AMBM}{TG} und \eref{AlKo}{TG}. Man kann es aber auch direkt sehen, indem man eine Kettenhomotopie zwischen der Identit"at und dem Nullendomorphismus angibt oder einen Isomorphismus unseres Komplexes $C(E;M)$ mit $[\DZ\sira \DZ]\otimes C(E\backslash v;M)$ f"ur ein festes Element $v\in E$. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Picardgruppe affiner R"aume}] Gegeben ein K"orper $k$ betrachten wir das Schema $\mathbb A^n_k$. Wir wissen, da"s das ein affines Schema ist und da"s sein Ring von regul"aren Funktionen $\mathcal O(\mathbb A^n_k)=k[T_1,\ldots,T_n]$ faktoriell ist. Nach \ref{PIFA} verschwinden die Picardgruppen faktorieller Ringe und wir folgern $$\op{Pic}(\mathbb A^n_k)=1\;\;\forall n\in \DN$$ \end{Beispiel} \subsection{Picardgruppen glatter Variet"aten} \begin{Satz}[\textbf{Glatte affine Variet"aten mit trivialer Picardgruppe}] Gegeben eine irreduzible glatte affine Variet"at $X$ ist\label{GaVp} $\mathcal O(X)$ faktoriell genau dann, wenn $\op{Pic}(X)$ trivial ist. \end{Satz} \begin{proof} Da"s aus $\mathcal O(X)$ faktoriell $\op{Pic}(X)$ trivial folgt, wissen wir bereits aus \ref{PIFA}. Sei umgekehrt $\op{Pic}(X)$ trivial. Da $X$ glatt und folglich normal ist, ist f"ur jede irreduzible Untervariet"at $Z\As X$ der Kodimension Eins der lokale Ring $\mathcal O_{X,Z}$ ein ganz abgeschlossener noetherscher lokaler Integrit"atsring. Da er zus"atzlich die Krulldimension Eins hat, mu"s er nach \ref{dBr}.\ref{dBr4} ein diskreter Bewertungsring sein. Bezeichne $v_Z:\mathcal M(X)\ra\DZ$ die zugeh"orige Bewertung auf $\mathcal M(X)=\op{Quot}(\mathcal O_{X,Z})$. Man mag sich $v_Z(f)$ als eine Art Nullstellenordnung beziehungsweise negativierte Polstellenordnung von $f$ l"angs $Z$ denken. Nun ist f"ur jeden Punkt $x\in Z$ der lokale Ring $\mathcal O_{X,x}$ faktoriell nach \ref{lrvf}, folglich ist das lokale Verschwindungideal $\mathcal I(Z)_x\subset \mathcal O_{X,x}$ ein Hauptideal. Nach Nakayama mu"s dann auch auf einer ganzen affinen offenen Umgebung $U$ von $x$ das Verschwindungsideal $\mathcal I_U(Z)\subset \mathcal O_{X}(U)$ ein Hauptideal sein. Da $\mathcal O_{X}(U)$ nullteilerfrei ist, erkennen wir so, da"s die Garbe $\mathcal O_X(-Z)$ gegeben durch $$\mathcal O_X(-Z)(U)\pdef \{f\in \mathcal O(U)\mid v_Z(f)\geq 1 \text{ falls } Z\cap U\neq\emptyset\}$$ lokal frei ist vom Rang Eins. Sie mu"s also, wenn die Picardgruppe von $X$ trivial ist, von einem globalen Schnitt $g_Z$ erzeugt werden. Es gibt mithin $g_Z\in \mathcal O(X)$ mit $v_Z(g_Z)=1$ und $\mathcal Z_X(g_Z)=Z$. Dann ist klar, da"s $g_Z$ irreduzibel ist. Weiter sehen wir, da"s jede Funktion $f\in \mathcal O(X)\backslash 0$ als Produkt $$f=u \prod_Z g_Z^{v_Z(f)}$$ dargestellt werden kann mit $u\in \mathcal O(X)^\times$ und $Z$ irreduzibel von der Kodimension Eins. Dies Produkt wirkt zwar unendlich, aber da gegeben $f$ f"ur fast alle $Z$ gelten mu"s $v_Z(f)=0$, k"onnen nur endlich viele Faktoren von Eins verschieden sein. Um $u\in \mathcal O(X)^\times$ zu zeigen, erinnern wir, da"s nach \ref{Schnitv} in $\mathcal M(X)$ die Identit"at $$\mathcal O(X)=\bigcap_Z \mathcal O_{X,Z}$$ gilt mit dem Schnitt "uber alle irreduziblen abgeschlossenen Teilmengen der Kodimension Eins. Folglich liegt das durch obige Gleichung gegebene $u$ schon mal in $\mathcal O(X)$. Andererseits kann die Funktion $u$ keine Nullstelle haben, weil gelten mu"s $v_Z(u)=0\;\forall Z$ und weil jede Komponente von $\mathcal Z_X(u)$ nach dem Hauptidealsatz Kodimension Eins hat. Damit folgt $u\in \mathcal O(X)^\times$ und $\mathcal O(X)$ ist in der Tat faktoriell. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine normale Pr"avariet"at $X$ und eine Einheit des Rings der rationalen Funktionen $f\in \mathcal M(X)^\times$ auf $X$ erkl"aren wir ihren {\bf Divisor}\index{Divisor} als die formale Summe $$\textstyle\op{div}(f)\pdef \sum_{Z} v_Z(f) Z\in \op{Ab}\frei \{Z\As X\mid Z\text{ irreduzibel, }\op{kdim}(Z\subset X)=1\}$$ in der freien abelschen Gruppe $\op{Div}(X)$ "uber der Menge aller irreduziblen abgeschlossenen Teilmengen der Kodimension Eins. Die Bewertung $v_Z$ ist wohldefiniert, da es affine irreduzible offene Teilmengen $U\co X$ gibt mit $Z\cap U\neq\emptyset$ und da dann die Restriktion einen Isomorphismus auf Funktionskeimen $\mathcal O_{X,Z}\sira \mathcal O_{U,U\cap Z}$ induziert und da wie im vorhergehenden Beweis $\mathcal O_{U,U\cap Z}$ ein diskreter Bewertungsring ist nach \ref{dBr}.\ref{dBr4}. Offensichtlich erhalten wir so einen Gruppenhomomorphismus $$\op{div}:\mathcal M(X)^\times \ra \op{Div}(X)$$ Indem wir die Argumente vom Schlu"s des vorhergehenden Beweises kopieren, folgern wir leicht, da"s der Kern unseres Gruppenhomomorphismus genau aus allen regul"aren Funktionen ohne Nullstelle besteht, in Formeln $$\op{ker}(\op{div})= \mathcal O(X)^\times$$ Wir erhalten so einen injektiven Gruppenhomomorphismus $$\op{div}:\mathcal M(X)^\times/\mathcal O(X)^\times\hra \op{Div}(X)$$ Diese Konstruktion k"onnen wir auf jede offene Teilmenge $U\co X$ anwenden. Damit werden $U\mapsto \mathcal M(U)^\times,\mathcal O_X(U)^\times, \op{Div}(U)$ in offensichtlicher Weise abelsche Garben auf $X$. Wir notieren sie $\mathcal M_X^\times, \mathcal O_X^\times, \op{Div}_X$ und erhalten einen injektiven Homomorphismus von abelschen Garben $$\op{div}:\mathcal M_X^\times/\mathcal O_X^\times \hra \op{Div}_X$$ Sicher erhielten wir auch einen Homomorphismus von Pr"agarben, der vom Pr"agarbenquotienten ausgeht. Es wird sich jedoch als wichtig erweisen, da"s er "uber seine Garbifizierung faktorisiert, da eben $\op{Div}_X$ bereits eine Garbe ist. \end{Bemerkungl} \begin{Satz} Gegeben eine glatte Pr"avariet"at $X$ ist der eben konstruierte Garbenhomomorphismus ein Isomorphismus\label{diq} $$\op{div}:\mathcal M_X^\times/\mathcal O_X^\times \sira \op{Div}_X$$ \end{Satz} \begin{proof} Es gilt, die Surjektivit"at auf den Halmen zu zeigen. Wir argumentieren wie im vorigen Beweis von \ref{GaVp}. Der Halm $\op{Div}_{X,x}$ wird als abelsche Gruppe frei erzeugt von den Keimen $Z_x$ der irreduziblen abgeschlossenen Teilmengen $Z\As X$ der Kodimension Eins mit $x\in Z$. Wir finden eine offene affine Umgebung $U\co X$ von $x$ und $g_Z\in \mathcal O_X(U)$ mit $\mathcal I_U(g_Z)=Z\cap U$ und $v_Z(g_Z)=1$. Der zugeh"orige Funktionskeim $g_{Z,x}\in \mathcal M_{X,x}^\times$ geht dann per definitionem auf den durch $Z$ gegebenen Divisorkeim $Z_x\in \op{Div}_{X,x}$. \end{proof} \begin{Lemma} Gegeben eine irreduzible Pr"avariet"at $X$ gilt $\check{\op{H}}^1(X;\mathcal M_X^\times)=0$.\label{H1Me} \end{Lemma} \begin{proof} Alle Restriktionsabbildungen unserer Garbe auf nichtleere offene Teilmengen sind Isomorphismen. Alle \v{C}ech-Komplexe zu "Uberdeckungen durch Mengensysteme, in denen die leere Teilmenge nicht vorkommt, sind nach \eref{AMBM}{TG} also exakt in allen h"oheren Graden. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Picardgruppensequenz}] Gegeben eine glatte Pr"avariet"at $X$, die ja notwendig die disjunkte Vereinigung ihrer irreduziblen Komponenten sein mu"s, erhalten wir aus der nicht ganz so langen exakten Kohomologiesequenz \eref{ESC}{TG} der \v{C}echkohomologie zur kurzen exakten Garbensequenz $\mathcal O_X^\times \hra \mathcal M_X^\times \sra \op{Div}_X$ aus Satz \ref{diq} mit Lemma \ref{H1Me} eine exakte Sequenz\label{exKI} von abelschen Gruppen $$\mathcal O_X(X)^\times\hra \mathcal M(X)^\times\ra \op{Div}(X)\sra\check{\op{H}}^1(X;\mathcal O_X^\times)$$ Mit dem Isomorphismus $\op{Pic}(X)\sira \check{\op{H}}^1(X;\mathcal O_X^\times)$ aus \ref{iPIC} wird daraus eine exakte Sequenz von abelschen Gruppen $$\mathcal O_X(X)^\times\hra \mathcal M(X)^\times\ra \op{Div}(X)\sra{\op{Pic}}(X)$$ F"ur die letzte Abbildung dieser Sequenz geben wir im folgenden noch eine konkretere Beschreibung. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Geradenb"undel eines Divisors}] Gegeben eine irreduzible glatte Pr"avariet"at $X$ und $Z\As X$ irreduzibel von der Kodimension $\op{kdim}(Z\subset X)=1$ erkl"aren wir wie im affinen Fall beim Beweis von \ref{GaVp} die zugeh"orige diskrete Bewertung $v_Z:\mathcal M(X)\ra \DZ\sqcup\{\infty\}$ und das Geradenb"undel $\mathcal O_X(-Z)$ gegeben durch $$\mathcal O_X(-Z)(U)\pdef \{f\in \mathcal O_X(U)\mid v_Z(f)\geq 1 \text{ falls } Z\cap U\neq\emptyset\}$$ Gegeben ein Divisor $D=\sum n_Z Z$ erkl"aren wir allgemeiner das Geradenb"undel $\mathcal O_X(D)$ gegeben durch $$\mathcal O_X(D)(U)\pdef \{f\in \mathcal M_X(U)\mid v_Z(f)\geq -n_Z \text{ falls } Z\cap U\neq\emptyset\}$$ f"ur $U\co X$. Formal ist $$\mathcal O_X(D)\subset \mathcal M_X$$ ein $\mathcal O_X$-Untermodul und der Leser mu"s sich "uberlegen, da"s dieser $\mathcal O_X$-Modul in der Tat ein Geradenb"undel ist alias lokal frei vom Rang Eins. Informell ist $\mathcal O_X(D)$ das Geradenb"undel aller rationalen Funktionen, denen wir Pole der Vielfachheit h"ochstens $n_Z$ erlauben l"angs $Z$ f"ur $n_Z> 0$, die regul"ar sein m"ussen au"serhalb der Vereinigung der erlaubten Polstellen und von denen wir Nullstellen der Vielfachheit mindestens $-n_Z$ fordern l"angs $Z$ f"ur $n_Z< 0$. Besteht $X$ aus mehreren Komponenten, so erkl"aren wir $\mathcal O_X(D)$ entsprechend, indem wir jede Komponente f"ur sich betrachten. Insbesondere geh"ort zum Nulldivisor das triviale Geradenb"undel $\mathcal O_X(0)=\mathcal O_X$ und das Produkt rationaler Funktionen induziert Isomorphismen $$\mathcal O_X(D)\otimes \mathcal O_X(L)\sira \mathcal O_X(D+L)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Notation}] Es ist etwas ungl"ucklich, da"s $\mathcal O_X(U)$ f"ur $U\co X$ den Ring der Schnitte von $\mathcal O_X$ "uber $U$ bezeichnet und $\mathcal O_X(D)$ f"ur $D$ einen Divisor das zu unserem Divisor geh"orige Geradenb"undel. Der Leser mu"s aus dem Kontext erschlie"sen, was jeweils gemeint ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine glatte Pr"avariet"at $X$ erkl"aren wir das Untermonoid $$\op{Div}^{\geq 0}(X)\subset \op{Div}(X)$$ der {\bf effektiven Divisoren}\index{Divisor!effektiver} als die Menge aller formalen Linearkombinationen von irreduziblen abgeschlossenen Teilmengen der Kodimension Eins mit nichtnegativen Koeffizienten und finden per definitionem $\mathcal O_X\subset \mathcal O_X(D)$ f"ur jeden effektiven Divisor $D$ und allgemeiner $\mathcal O_X(L)\subset \mathcal O_X(D)$ genau dann, wenn gilt $D-L\in \op{Div}^{\geq 0}(X)$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine glatte Pr"avariet"at $X$ sind die $\mathcal O_X(D)\subset \mathcal M_X$ paarweise verschiedene $\mathcal O_X$-Untermoduln. F"ur $L\neq D$ kann es jedoch durchaus Isomorphismen $\mathcal O_X(L)\sira \mathcal O_X(D)$ von $\mathcal O_X$-Moduln geben, wie im folgenden diskutiert wird. Wenn es einen derartigen Isomorphismus gibt, schreiben wir $$\mathcal O_X(L)\cong \mathcal O_X(D)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Proposition} Sei $X$ eine glatte Pr"avariet"at. Der Randoperator der nicht ganz so langen exakten Sequenz der \v{C}echkohomologie l"a"st sich schreiben als die Komposition $$\op{Div}(X)\sra{\op{Pic}}(X)\sira \check{\op{H}}^1(X;\mathcal O_X^\times)$$ der Abbildung $D\mapsto [\mathcal O_X(D)]$ mit der Notation $[\mathcal L]$ f"ur die Isomorphieklasse von $\mathcal L$ gefolgt von der Abbildung aus \ref{PiCe}. Insbesondere induziert $D\mapsto [\mathcal O_X(D)]$ eine Surjektion $\op{Div}(X)\sra{\op{Pic}}(X)$ mit Kern ${\op{div}}(\mathcal M(X)^\times)$. \end{Proposition} \begin{proof} Wir m"ussen nur pr"ufen, da"s unsere Komposition und der Randoperator auf den Divisoren "ubereinstimmen, die durch eine einzige irreduzible abgeschlossene Teilmenge $Z$ der Kodimension $\op{kdim}(Z\subset X)=1$ gegeben werden. Um den Randoperator zu beschreiben, w"ahlen wir eine "Uberdeckung durch endlich viele offene affine irreduzible Teilmengen $U\co X$ und Funktionen $i_U\in \mathcal O_X(U)$ mit $v_Z(i_U)=1$ falls $Z\cap U\neq\emptyset$ und $i_U(x)\neq 0$ f"ur $x\in U\backslash Z$. Die Familie $(i_U)_{U\in \mathcal U}$ ist dann eine Nullkette in $\check{\mathrm C}^0(\mathcal U;\mathcal M_X^\times)$ und ihr Rand ist der Einskozykel $(\varphi_{U,V})_{(U,V)\in \mathcal U^2}\in \check{\mathrm C}^1(\mathcal U; \mathcal O_X^\times)$ gegeben durch $\varphi_{U,V}\pdef (i_Ui_V^{-1})$. Das ist jedoch genau der Einskozykel von $\mathcal O_X(Z)$ in Bezug auf seine durch die $i_U$ gegebene Trivialisierung $i_U: \mathcal O_X(Z)|_U\sira \mathcal O_X|_U$ auf der "Uberdeckung $\mathcal U$. \end{proof} \begin{Lemma}[\textbf{Rationale Funktionen mit effektivem Divisor}] Gegeben eine glatte Pr"avariet"at $X$ gilt\label{RfeD} $$\mathcal O(X)\backslash 0=\{f\in \mathcal M^\times(X)\mid \op{div}(f)\in \op{Div}^{\geq 0}(X)\}$$ \end{Lemma} \begin{proof} Die Inklusion $\subset$ ist offensichtlich. Die andere Inklusion folgt aus $$\mathcal O(X)=\bigcap_{x\in X}\mathcal O_{X,x}= \bigcap_{\op{kdim}(Z\subset X)=1}\mathcal O_{X,Z}$$ mit der zweiten Gleichung wegen der Normalit"at von $X$. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Sei $X$ eine glatte Pr"avariet"at. Die Divisoren auf $X$ im Bild von $\op{div}:\mathcal M_X(X)^\times\ra \op{Div}(X)$ hei"sen {\bf Hauptdivisoren}.\index{Hauptdivisor} Per definitionem ist im Fall von affinem $X$ ein effektiver Divisor $D$ ein Hauptdivisor genau dann, wenn die Menge der Schnitte $\Gamma(X;\mathcal O_X(-D))\subset \Gamma(X;\mathcal O_X)$ der zugeh"origen Untermodulgarbe von $\mathcal O_X$ ein Hauptideal ist. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition} Gegeben eine glatte irreduzible affine Variet"at $X$ sind gleichbedeutend: \begin{enumerate} \item Der Ring der regul"aren Funktionen $\mathcal O(X)$ ist faktoriell; \item Jeder Divisor auf $X$ ist ein Hauptdivisor alias $\op{div}: \mathcal M(X)^\times \ra \op{Div}(X)$ ist surjektiv; \item Die Picardgruppe $\op{Pic}(X)$ ist trivial. \end{enumerate} \end{Proposition} \begin{proof} 1$\RA$2. Ist $\mathcal O(X)$ faktoriell, so ist f"ur jede irredzuible abgeschlossene Teilmenge $Z\As X$ der Kodimension $\op{kdim}(Z\subset X)=1$ ihr Verschwindungsideal $\mathcal I_X(Z)$ ein Hauptideal erzeugt von einem irreduziblen Element $g_Z$, denn es mu"s ein irreduzibles Element enthalten und das Hauptideal zu jedem irreduziblen Element ist bereits prim. Es folgt $\op{div}(g_Z)=Z$ und die Surjektivit"at. \\[2mm]\noindent 2$\RA$1. Ist $\op{div}$ eine Surjektion $\op{div} : \mathcal M(X)^\times \sra \op{Div}(X)$, so induziert es nach \ref{RfeD} einen Isomorphismus von Monoiden $$\op{div} : \mathcal O(X)^{\neq 0}/\mathcal O(X)^\times \sira \op{Div}^{\geq 0}(X)$$ Das zeigt, da"s das multiplikative Monoid $\mathcal O(X)^{\neq 0}/\mathcal O(X)^\times$ ein freies abelsches Monoid ist. Das hinwiederum ist eine "aquivalente Umformulierung der Definition eines faktoriellen Rings. \\[2mm]\noindent 2$\IFF$3. Das folgt unmittelbar aus der Picardgruppensequenz \ref{exKI}. \end{proof} \begin{Beispiel}[\textbf{Standardb"undel auf projektiven R"aumen}] Gegeben ein algebraisch abgeschlossener K"orper $k=\bar k$ und ein endlichdimensionaler $k$-Vek\-tor\-raum $V$ positiver Dimension erinnern wir die Variet"at $\mathbb P V\pdef (V\backslash 0)/k^\times$ und die Projektion $\pi: (V\backslash 0)\sra \mathbb P V$. F"ur jedes $n\in \DZ$ erkl"aren wir eine Modulgarbe $\mathcal O(n)$ auf $\mathbb P V$ durch die Vorschrift $$\mathcal O(n)(U)\pdef \{f\in \mathcal O(\pi^{-1}U)\mid f(\lambda v)=\lambda^n f(v) \;\forall \lambda\in k^\times, v\in V\backslash 0\}$$ Der Leser wird leicht pr"ufen, da"s diese Modulgarben Geradenb"undel sind. Aus \ref{FoRF} folgern wir im Fall $\dim V\geq 2$ unmittelbar $$\Gamma \mathcal O(n)=\{f \in \mathcal O(V)\mid f(\lambda v)=\lambda^n f(v) \;\forall \lambda\in k^\times, v\in V\}$$ Insbesondere gilt $\Gamma \mathcal O(n)=0$ f"ur $n<0$. Weiter induziert das Produkt von Funktionen Multimorphismen, die Isomorphismen $\mathcal O(1)^{\otimes n} \sira \mathcal O(n)$ f"ur $n\geq 0$ sowie $\mathcal O(1)^{\otimes n}\otimes \mathcal O(-n)\sira \mathcal O$ alias $\mathcal O(1)^{\otimes (-n)}\sira \mathcal O(-n)$ f"ur $n> 0$ induzieren. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungw}[\textbf{Tautologisches B"undel auf projektiven R"aumen}] Gegeben ein $k$-Vektorraum $V$ positiver Dimension sind die Punkte von $\mathbb P V$ in Bijektion zu Ursprungsgeraden in $V$. Man kann ein \glqq geometrisches Geradenb"undel\grqq\ $p:T\ra \mathbb P V$ konstruieren, dessen Faser "uber dem Punkt $\langle v\rangle \in \mathbb P V$ in nat"urlicher Bijektion zur Gerade $\langle v\rangle$ ist. Es hei"st das {\bf tautologische Geradenb"undel}.\index{tautologisch!Geradenb"undel}\index{Geradenb"undel!tautologisches} Es erweist sich, da"s es keine von Null verschiedenen globalen Schnitte zul"a"st und da"s die Modulgarbe seiner lokalen Schnitte isomorph ist zu $\mathcal O(-1)$. \end{Bemerkungw} \begin{Satz}[\textbf{Geradenb"undel auf projektiven R"aumen}] Gegeben ein endlichdimensionaler $k$-Vektorraum $V$ einer Dimension $\op{dim}_kV\geq 2$ liefert die Vorschrift $n\mapsto \mathcal O(n)$ einen Isomorphismus\label{GpR} $$\DZ\sira \op{Pic}(\mathbb P V)$$ Insbesondere ist jedes Geradenb"undel auf $\mathbb P V$ isomorph zu genau einem $\mathcal O(n)$. \end{Satz} \begin{proof} Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit sei $V=k^{n+1}$ mit $n\geq 1$. Wie bereits in \ref{pgrad} besprochen liefert das Bilden der projektiven Nullstellenmenge eine Bijektion $$\mathcal Z^\ast:\;\;\begin{array}{ccc} \left\{ \!\!\begin{array}{c} \text{Homogene irreduzible}\\ \text{Polynome }f\in k[T_0,\ldots, T_n]\end{array}\!\!\right\}_{/k^\times} & \sira & \left\{ \!\!\begin{array}{c} \text{Irreduzible}\\ \text{Hyperfl"achen }Y\As \DP^nk \end{array} \!\! \right\} \end{array} $$ Ist nun $f$ ein homogenes irreduzibles Polynom vom Grad $\op{grad}(f)=d$ und $l$ irgendein homogenes irreduzibles Polynom vom Grad Eins, zum Beispiel $l=T_0$, so ist $f/l^d$ nach "Ubung \ref{RFPR} der R"uckzug einer rationalen Funktion auf $\mathbb P^{n}k$, die wir weiter $f/l^d$ notieren. Deren Divisor ist dann $\op{div}(f/l^d)=\mathcal Z^*(f)-d\mathcal Z^*(l)$ und wir sehen mit der Picardgruppensequenz \ref{exKI}, da"s das Bild des Divisors $\mathcal Z^*(l)$ die Picardgruppe erzeugt und da"s dieses Bild nicht von $l$ abh"angt. Geometrisch nennt man $\mathcal Z^*(l)$ eine {\bf projektive Hyperebene} und verwendet daf"ur die Notation $$H=H_l=\mathbb P(\op{ker}l)=\mathcal Z^*(l)$$ In dieser Notation haben wir also gezeigt, da"s $\mathcal O(H)$ unsere Picardgruppe erzeugt. Offensichtlich gilt weiter $\mathcal O(H)\cong \mathcal O(1)$ und auch $\mathcal O(1)$ erzeugt unsere Picardgruppe. Es bleibt damit nur noch zu zeigen, da"s die Geradenb"undel $\mathcal O(n)$ paarweise nicht isomorph sind. F"ur $n\geq 0$ folgt das daraus, da"s ihre R"aume von globalen Schnitten $\Gamma\mathcal O(n)$ paarweise verschiedene Dimension haben. Das aber zeigt bereits, da"s $n\mapsto \mathcal O(n)$ ein injektiver Gruppenhomomorphismus ist. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Hauptdivisoren auf glatten projektiven Kurven}] Gegeben $X$ eine projektive glatte irreduzible Kurve und darauf eine von Null verschiedene rationale Funktion\label{RFK} $f\in \mathcal M(X)^\times$ gilt $$\sum_{x\in X} v_x(f)=0$$ \end{Satz} \begin{proof} Wir betrachten $T\pdef T_1/T_0\in \mathcal M^\times(\mathbb P^1k)$ und "uberlegen uns, da"s das Bilden des R"uckzugs von $T$ eine Bijektion \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \left\{ \text{nichtkonstante Morphismen } X\ra \mathbb P^1 k \right\} & \overset{\sim}{\rightarrow} & \mathcal M^\times(X)\\ \varphi & \mapsto &\varphi^\sharp( T ) \end{array} \end{displaymath} von der Menge der nichtkonstanten Morphismen nach $\mathbb P^1 k$ zur Menge der von Null verschiedenen rationalen Funktionen induziert. Nur f"ur diesen Beweis notieren wir $[f]:X\ra \mathbb P^1 k$ den nichtkonstanten Morphismus links zu einer rationalen Funktion $f\in \mathcal M^\times(X)$ rechts. Wie wir in \ref{MgTR} bereits in gr"o"serer Allgemeinheit diskutiert haben, besitzt nun $\mathbb P^1k$ eine "Uberdeckung durch offene affine Teilmengen $U$ mit $[f]^{-1}(U)\co X$ affin und $[f]^\sharp:\mathcal O(U) \hra \mathcal O([f]^{-1}U)$ einer ganzen Erweiterung von Dedekindringen. Die Gradformel \ref{GrFr} zeigt dann f"ur alle $a\in \mathbb P^1k$ die Identit"at $$[\mathcal M(X):\mathcal M(\mathbb P^1 k)]=\sum_{[f](x)=a} d(x/a;[f])$$ mit der Notation $d(x/a;[f])$ f"ur den Verzweigungsgrad im Sinne von \ref{VZFG}. Nun folgt aus den Definitionen $d(x/0;[f])=v_x(f)$ und $d(x/\infty;[f])=-v_x(f)$, die Verzweigungsgrade von $[f]$ an den Nullstellen beziehungsweise Polstellen von $f$ sind also in Worten gerade die Bewertung von $f$ beziehungsweise ihr Negatives. Der Satz folgt. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Kurven mit vielen rationalen Funktionen}] Gibt es auf einer irreduziblen glatten projektiven Kurve $X$ eine rationale Funktion $f\in \mathcal M(X)^\times$ mit nur einer einfachen Nullstelle und einer einfachen Polstelle, so ist unsere Kurve bereits die projektive Gerade $\mathbb P^1 k$. In der Tat geh"ort nach dem vorhergehenden Beweis dann der Morphismus $[f]:X\ra \mathbb P^1k$ zu einer K"orpererweiterung vom Grad Eins und ist nach dem Satz "uber K"orper und ihre Kurven \ref{FKKn} bereits ein Isomorphismus.\label{EPEN} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Grad eines Divisors auf einer glatten Kurve}] Gegeben eine glatte projektive Kurve $X$ erkl"aren wir den {\bf Grad}\index{Grad!eines Divisors} $$\op{grad}:\op{Div}(X)\ra \DZ$$ als den Gruppenhomomorphismus, der jeder formalen endlichen Linearkombination von Punkten die Summe ihrer Koeffizienten zuordnet. Nach Satz \ref{RFK} hat hier jeder Hauptdivisor Grad Null. Mit der Picardgruppensequenz folgt, da"s der Grad "uber die Picardgruppe faktorisiert als ein Gruppenhomomorphismus\label{Pic0} $$\op{grad}:\op{Pic}(X)\ra \DZ$$ Den Kern dieses Gruppenhomomorphismus notiert man $\op{Pic}^0(X)$.\index{Pic@$\op{Pic}^0(X)$} \end{Bemerkungl} \subsection{Homologische Eigenschaften von Polynomringen} \begin{Ubung} Gegeben ein noetherscher Kring $R$ und endlich erzeugte $R$-Moduln $M,N$ sind alle Erweiterungsgruppen $\op{Ext}^i_R(M,N)$ endlich erzeugte $R$-Moduln.\label{Eext} \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben ein noetherscher Kring $R$ und ein endlich erzeugter $R$-Modul $P$ mit $\op{Ext}^1_R(P,N)$ f"ur alle endlich erzeugten $R$-Moduln $N$ ist $P$ bereits projektiv. Hinweis: Wir m"ussen nur zeigen, da"s jede Surjektion $E\sra P$ spaltet.\label{Pext} \end{Ubung} \begin{Satz}[\textbf{Hohe Ext "uber Polynomringen haben kleinen Tr"ager}] Gegeben $k$ ein K"orper und $R\pdef k[T_1,\ldots, T_n]$ der Polynomring und $M, N$ endlich erzeugte $R$-Moduln\label{HuDn} sind alle $\op{Ext}^j_R (M, N)$ endlich erzeugt als $R$-Moduln mit einem Tr"ager der Krulldimension h"ochstens $n-j$ und sind insbesondere Null f"ur $j>n$. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} F"ur nicht endlich erzeugte Moduln kann das offensichtlich nicht gelten, aber das Verschwinden von $\op{Ext}^j_R (M, N)$ f"ur $j>n$ gilt ganz allgemein, wie wir als Korollar \ref{HDP} folgern. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Da"s alle Erweiterungsmoduln endlich erzeugt sind, gilt allgemein f"ur noethersche Kringe nach "Ubung \ref{Eext}. Wir argumentieren mit Induktion "uber die Krulldimension des Tr"agers von $M$ und formulieren die Behauptung $\op{A}(d)$, da"s unser Satz f"ur alle $M$ mit $\op{kdim}({\op{supp}}M)\leq d$ richtig sei. Jeder endlich erzeugte $R$-Modul $M$ besitzt nach \eref{FiSP}{KAG} eine endliche Filtrierung, deren Subquotienten von der Gestalt $R/\mathfrak p$ sind f"ur ein Primideal $\mathfrak p$ und wir formulieren weiter die Behauptung $\op{B}(d)$, da"s unser Satz f"ur alle $M=R/\mathfrak p$ mit $\op{kdim}({\op{supp}}M)\leq d$ richtig sei. Offensichtlich gilt $\op{A}(d)\RA \op{B}(d)$ und aufgrund der langen exakten Erweiterungssequenz gilt auch die umgekehrte Implikation $\op{B}(d)\RA \op{A}(d)$. In \eref{KoPo}{TG} haben wir mit Hilfe des Koszulkomplexes gezeigt, da"s gilt $\op{Ext}^j_R(k,N)=0$ f"ur $j>n$. Das zeigt $\op{B}(0)$ und ist unsere Induktionsbasis. Nun zeigen wir $\op{A}(d)\RA \op{B}(d+1)$. Ich finde die geometrische Sprache anschaulicher und nehme $k=\bar k$ an und betrachte $\mathcal O(Y)$ f"ur $Y\As k^n$ irreduzibel statt $R/\mathfrak p$. F"ur alle $f\in\mathcal O(Y)\backslash 0$ haben wir eine kurze exakte Sequenz $$\mathcal O(Y)\stackrel{f}{\hra}\mathcal O(Y)\sra \mathcal O(Y)/\langle f\rangle$$ und f"ur $M=\mathcal O(Y)/\langle f\rangle$ kennen wir die Behauptung schon nach Induktionsannahme. Wir halten nun ein $j$ fest und setzen $E\pdef \op{Ext}^j_R (\mathcal O(Y), N)$ und betrachten die exakte Sequenz $$\xymatrix{\op{Ext}^{j}_R (\mathcal O(Y)/\langle f\rangle, N) \ar[r]&E\ar[r]^-{(f\cdot)}&E\ar[r]& \op{Ext}^{j+1}_R (\mathcal O(Y)/\langle f\rangle, N)}$$ Auch $E$ besitzt eine endliche Filtrierung mit Subquotienten $\mathcal O(Z)$ f"ur gewisse $Z\As Y$ irreduzibel. Wir finden sicher $g\in \mathcal O(Y)\backslash 0$ mit $g|Z=0$ f"ur alle hier auftauchenden $Z\subsetneq Y$. Hat $E$ nicht ganz $Y$ als Tr"ager, so finden wir ein $f\in \mathcal O(Y)\backslash 0$, das $E$ annulliert, etwa eine ausreichend hohe Potenz von $g$. Es folgt $\op{Ext}^{j}_R (\mathcal O(Y)/\langle f\rangle, N)\sra E$ und damit folgt $\op{kdim}(\op{supp}E)\leq n-j$ in diesem Fall aus der Induktionsannahme. Hat $E$ ganz $Y$ als Tr"ager, so konstruieren wir im Anschlu"s $f\in \mathcal O(Y)\backslash 0$ derart, da"s der Tr"ager von $\op{cok}((f\cdot):E\ra E)$ eine genau um Eins kleinere Dimension hat als $\op{supp}(E)=Y$. Wegen $\op{cok}((f\cdot):E\ra E)\hra \op{Ext}^{j+1}_R (\mathcal O(Y)/\langle f\rangle, N)$ folgt dann auch in diesem Fall $\op{kdim}(\op{supp}E)\leq n-j$ aus der Induktionsannahme und wir haben $\op{A}(d)\RA \op{B}(d+1)$ gezeigt. Es gilt nur noch, so ein $f$ zu finden. Hierbei erweist sich die Bedingung $\op{kdim}Y\geq 1$ und damit die Induktionsbasis als wesentlich. Hat also $E$ als Tr"ager ganz $Y$, so kommt unter den Subquotienten einer Filtrierung von $E$ wie oben mindestens ein $\mathcal O(Y)$ vor. F"ur $g$ wie oben, das auf allen $Z\subsetneq Y$ verschwindet, f"ur die $\mathcal O(Z)$ in unserer festen Filtrierung auftritt, ist die Lokalisierung $E_g$ dann eine nichtleere endliche direkte Summe von Kopien von $\mathcal O(Y)_g$. Jetzt w"ahlen wir ein $f\in \mathcal O(Y)\backslash 0$, dessen Nullstellenmenge nicht in der Vereinigung unserer $Z\subsetneq Y$ enthalten ist, und das tut es. Die "Ubertragung in algebraische Sprache alias der Fall eines beliebigen K"orpers $k$ sei dem Leser zur "Ubung "uberlassen. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Homologische Dimension von Polynomringen}] Gegeben ein K"orper $k$ und $R=k[T_1,\ldots, T_n]$ und $R$-Moduln $M,N$ gilt\label{HDP} $$\op{Ext}^j_R(M,N)=0\quad\text{ f"ur }j>n.$$ \end{Korollar} \begin{proof} F"ur $M,N$ endlich erzeugte $R$-Moduln wissen wir das bereits aus \ref{HuDn}. Jeder endlich erzeugte $R$-Modul $M$ besitzt nun eine Aufl"osung $$\ldots \ra P_q\ra P_{q-1}\ra \ldots \ra P_0 \sra M$$ durch endlich erzeugte freie $R$-Moduln. Bezeichnet $K_q\subset P_q$ den Kern des Differentials, so finden wir induktiv $$\op{Ext}^1_R(K_q, N) \sira \op{Ext}^2_R(K_{q-1}, N)\sira \ldots \sira \op{Ext}^{q+2}_R(M, N)$$ f"ur jeden $R$-Modul $N$ und mit \ref{HuDn} insbesondere $\op{Ext}^1_R(K_{n-1}, N)=0$ f"ur $N$ endlich erzeugt. Das zeigt mit "Ubung \ref{Pext}, da"s $K_{n-1}$ bereits ein projektiver $R$-Modul ist und da"s wir f"ur unseren endlich erzeugten Modul $M$ eine projektive Aufl"osung finden k"onnen mit $P_q=0$ f"ur $q>n$. Es folgt $\op{Ext}^q_R(M,N)=0$ f"ur $q>n$ und $M$ endlich erzeugt und $N$ beliebig. Nun besitzt jeder $R$-Modul $N$ nach \eref{EIM}{TG} eine injektive Aufl"osung $$N\hra I^0\ra I^1 \ra \ldots$$ Notieren wir deren Kokerne $C^q=\op{im}(I^q\ra I^{q+1})$, so finden wir wie zuvor $\op{Ext}^1_R(M, C_{n-1})=0$ f"ur alle endlich erzeugten $R$-Moduln $M$. Ein $R$-Modul $C$ ist aber nach "Ubung \eref{MoIN}{TG} injektiv genau dann, wenn f"ur jedes Ideal $\mathfrak a\subset R$ gilt $\op{Ext}^1_R(R/\mathfrak a, C)=0$. Also ist $C_{n-1}$ injektiv, jeder Modul besitzt eine injektive Aufl"osung mit $I^q=0$ f"ur $q>n$ und das Korollar ist bewiesen. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Verschwinden von niedrigem Ext durch Polynomringe}] Gegeben $k$ ein K"orper und $R\pdef k[T_1,\ldots, T_n]$ der Polynomring und $M$ ein endlich erzeugter $R$-Modul gilt\label{VEX} $$\op{Ext}^j_R (M, R)=0\quad\text{ f"ur }\op{kdim}({\op{supp}}M)+jn$; \item Gegeben $M$ ein endlich erzeugter $R$-Modul gilt $$\op{Ext}^j_R (M, R)=0\quad\text{ f"ur } \op{kdim}({\op{supp}}M)+jn$; \item Jeder endlich erzeugte $R$-Modul hat eine Aufl"osung durch endlich erzeugte Projektive einer L"ange $\leq n$; \item Jeder $R$-Modul hat eine projektive Aufl"osung einer L"ange $\leq n$ und eine injektive Aufl"osung einer L"ange $\leq n$. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{proof} Um das zu zeigen mu"s man nur, auf \ref{Extlok} und seinem Beweis durch die explizite Konstruktion einer freien Aufl"osung von $R/\mathfrak m$ durch eine Variante des Koszulkomplexes aufbauend, die in \ref{HuDn}, \ref{VEX} und \ref{HDP} gegebene Argumentation in ihrer algebraischen "Ubersetzung wortw"ortlich wiederholen. \end{proof} \begin{Bemerkunge} Ein Satz von Buchsbaum-Auslander-Serre besagt, da"s sogar umgekehrt ein lokaler noetherscher Kring endlicher homologischer Dimension regul"ar sein mu"s. Das zeige ich hier nicht. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} Ein beliebiger Kring $R$ hei"st {\bf regul"ar},\index{regul"ar!Kring} wenn seine Lokalisierungen an allen maximalen Idealen regul"are lokale Kringe sind. %"Aquivalent an allen Primidealen, aber das zeige ich hier nicht. \end{Bemerkungl} \begin{Korollar}[\textbf{Homologische Eigenschaften regul"arer Kringe}] Gegeben ein noetherscher Kring $R$, dessen Lokalisierungen an allen maximalen Idealen regul"ar sind von einer Krulldimension $\leq n$, besitzt jeder\label{EPAf} endlich erzeugte $R$-Modul $M$ eine projektive Aufl"osung $$P_n\hra P_{n-1}\ra \ldots\ra P_0\sra M$$ der L"ange $n$ durch endlich erzeugte projektive Moduln $P_q$. \end{Korollar} \begin{proof} Wir finden eine Aufl"osung duch endlich erzeugte freie Moduln. Der Kern $K_{n-1}\subset P_{n-1}$ hat nach \ref{HuD} die Eigenschaft, da"s alle seine Lokalisierungen nach maximalen Idealen projektiv sind. Nach "Ubung \ref{lkfp} ist aber "uber einem noetherschen Kring ein endlich erzeugter Modul projektiv genau dann, wenn seine Lokalisierung an jedem maximalen Ideal projektiv ist. Die Lokalisierung von $K_{n-1}$ an einem beliebigen maximalen Ideal ist jedoch projektiv nach Satz \ref{HuD} "uber die homologischen Eigenschaften regul"arer lokaler Kringe. \end{proof} \subsection{Verschwindungssatz von Grothendieck} \begin{Proposition}[\textbf{Filtrierende Kolimites und globale Schnitte}] Gegeben ein filtrierendes System von Mengengarben auf einem noetherschen topologischen Raum ist der offensichtliche Morphismus eine\label{VTDLb} Bijektion $$\op{colf}_{i\in I}(\Gamma\mathcal F_i)\sira \Gamma(\op{colf}_{i\in I}\mathcal F_i)$$ \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Wir haben ein Analogon f"ur kompakte Schnitte und lokal kompakte Hausdorffr"aume in \eref{VTDLa}{TG} gezeigt. \end{Bemerkungl} \begin{proof} In einem noetherschen topologischen Raum ist nach \ref{noeOK} jede offene Teilmenge kompakt. Um die Injektivit"at zu zeigen, beginnen wir mit Schnitten $s,t\in \Gamma(X; \mathcal{F}_i)$ f"ur ein vorgegebenes $i\in I$. Gehen sie auf denselben Schnitt des Kolimes, so gibt es f"ur jeden Punkt $x\in X$ nach der Transitivit"at von Kolimites \eref{coco}{TS} eine offene Umgebung $U(x)$ und einen Index $i(x)$ mit $\op{Bild}(s)=\op{Bild}(t)$ in $\mathcal{F}_{i(x)} (U(x))$. Endlich viele $U(x)$ "uberdecken $X$, ein $i$ wird erreicht von allen beteiligten $i(x)$ und dann gilt offensichtlich $\op{Bild}(s)=\op{Bild}(t)$ in $ \mathcal{F}_{i} (X)$. Das zeigt die Injektivit"at. Nun zeigen wir die Surjektivit"at. Nach \eref{KGP}{TG} ist $\op{colf}\mathcal F_i$ die Garbifizierung des Pr"agarbenkolimes, folglich gibt es f"ur jeden globalen Schnitt $s$ und jeden Punkt $x\in X$ eine offene Umgebung $U_x\co X$ und $i\in I$ und $s_x\in \mathcal F_{i}(U_x)$ mit $s_x\mapsto s|U_x$. Da $X$ kompakt ist, "uberdecken endlich viele dieser $U_x$ bereits $X$, sagen wir $X=U_1\cup\ldots\cup U_n$. Dann finden wir auch ein gemeinsames $i\in I$ und $s_\nu\in \mathcal F_{i}(U_\nu)$ mit $s_\nu\mapsto s|U_\nu$ f"ur $1\leq\nu\leq n$. Die bereits bekannte Injektivit"at angewandt auf den Raum $U_\nu\cap U_\mu$ zeigt dann, da"s es f"ur je zwei Indizes $\nu,\mu$ ein $i\ra j$ gibt derart, da"s $s_\nu,\s_\mu$ dasselbe Bild haben in $\mathcal F_{j}(U_\nu\cap U_\mu)$. Ein $i\ra j$ tut es sogar f"ur alle Paare und es folgt, da"s die Bilder der $s_\nu$ in $\mathcal F_{j}(U_\nu)$ zu einem globalen Schnitt von $\mathcal F_{j}$ verkleben, der dann auf $s$ abgebildet wird. Das zeigt die Surjektivit"at. \end{proof} \begin{Korollar} Auf einem noetherschen topologischen Raum $X$ ist jeder filtrierende Kolimes von welken Mengengarben welk.\label{fiMW} \end{Korollar} \begin{proof} Gegeben $V\co U\co X$ und Surjektionen $\mathcal F_i(U)\sra \mathcal F_i(V)$ erhalten wir auch im filtrierenden Kolimes eine Surjektion wegen der Exaktheit filtrierender Kolimites \eref{EDL}{TS}. \end{proof} \begin{Satz} Auf einem noetherschen topologischen Raum $X$ vertauschen filtrierende Kolimites abelscher Garben mit Kohomologie\label{VKDL} $$\op{colf}_{i\in I}\op{H}^q(X;\mathcal F_i)\sira \op{H}^q(X;\op{colf}_{i\in I}\mathcal F_i)$$ \end{Satz} \begin{proof} Die Godementaufl"osungen $\mathcal F_i\ra {\op{G}}^\lhd\mathcal F_i$ aus \eref{Gode}{TG} geschehen durch welke Garben und die kanonischen Morphismen aus \eref{DefDe}{TG} sind nach Proposition \eref{DAZO}{TG} zum Derivieren mit azyklischen Objekten folglich Isomorphismen $$ {\op{H}}^q(X;\mathcal F_i)\sira \mathcal H^q\Gamma(X; {\op{G}}^\lhd\mathcal F_i)$$ Filtrierende Kolimites abelscher Gruppen sind exakt und filtrierende Kolimites abelscher Garben auf noetherschen R"aumen vertauschen mit $\Gamma$ nach \ref{VTDLb}. Da schlie"slich die Godementaufl"osung funktoriell ist, induzieren unsere Isomorphismen ihrerseits Isomorphismen $$\op{colf}_{i\in I} {\op{H}}^q(X;\mathcal F_i)\sira \mathcal H^q\Gamma(X;\op{colf}_{i\in I} {\op{G}}^\lhd\mathcal F_i)$$ Da nun nach \ref{exFK} filtrierende Kolomites in abelschen Garben exakt sind, ist auch $\op{colf}_{i\in I}\mathcal F_i\ra \op{colf}_{i\in I} {\op{G}}^\lhd\mathcal F_i$ ein exakter Garbenkomplex. Nach nach Lemma \ref{fiMW} ist auch ihr filtrierender Kolimes $\op{colf}_{i\in I} {\op{G}}^q\mathcal F_i$ welk. Die kanonischen Morphismen aus \eref{DefDe}{TG} sind nach Proposition \eref{DAZO}{TG} zum Derivieren mit azyklischen Objekten folglich Isomorphismen $$ {\op{H}}^q(X;\op{colf}_{i\in I}\mathcal F_i)\sira \mathcal H^q\Gamma(X;\op{colf}_{i\in I} {\op{G}}^\lhd\mathcal F_i)$$ Der Satz folgt unmittelbar. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Verschwindungssatz von Grothendieck}] Gegeben ein noetherscher topologischer Raum $X$ endlicher Krulldimension und $\mathcal F\in\op{Ab}_{/X}$ eine abelsche Garbe auf $X$ gilt\label{VvGG} $$\op{H}^q(X;\mathcal F)=0\quad\text{f"ur }q> \op{kdim}(X).$$ \end{Satz} \begin{proof} Gegeben eine Zerlegung $X=U\sqcup Z$ in eine offene und eine abgeschlossene Teilmenge erinnern wir aus \eref{exSEQ}{TG} f"ur $i:Z\hra X$ die kurze exakte Garbensequenz $$\mathcal F_{U\subset X}\hra \mathcal F \sra i_*i^*\mathcal F$$ "Ubung \eref{VoSS}{TG} liefert Isomorphismen $\op{H}^q(X;i_*i^*\mathcal F)\sira \op{H}^q(Z;i^*\mathcal F)$. Andererseits k"onnen wir die Einbettung $j:U\hra X$ faktorisieren als $U\hra \bar U\hra X$ notiert $j=\bar\jmath\circ c$ und das liefert einen Isomorphismus $$\mathcal F_{U\subset X}=j_!j^*\mathcal F\sira \bar \jmath_!c_!j^*\mathcal F\sira \bar \jmath_*c_!j^*\mathcal F$$ wegen $\bar \jmath$ eigentlich nach der allgemeinen Theorie des Schreivorschubs in \eref{ADDN}{TG} folgende oder durch direktes Pr"ufen in diesem recht einfach gelagerten Fall. Zusammen erhalten wir exakte Sequenzen $$\op{H}^q(\bar U;c_!j^*\mathcal F) \ra \op{H}^q(X;\mathcal F) \ra \op{H}^q(Z;i^*\mathcal F)$$ Sie zeigen, da"s der Verschwindungssatz f"ur $X$ folgt, sobald wir ihn f"ur alle irreduziblen Komponenten von $X$ zeigen k"onnen. Nun argumentieren wir mit Induktion "uber die Krulldimension von $X$. Im Fall $\op{kdim}X=0$ und $X$ irreduzibel ist $X$ ein nichtleere Raum mit der die Klumpentopologie und der Funktor der globalen Schnitte auf abelschen Garben ist exakt und seine h"oheren Derivierten sind folglich Null. Das liefert die Induktionsbasis. F"ur den Induktionsschritt d"urfen wir $X$ irreduzibel von der Krulldimension $\op{kdim}X=n$ annehmen. Nun ist jede abelsche Garbe der filtrierende Kolimes ihrer von endlich vielen Schnitten auf offenen Teilmengen erzeugten Untergarben. Da in unserer Situation nach \ref{VKDL} Kohomologie mit filtrierenden Kolimites vertauscht, m"ussen wir nur f"ur alle in diesem Sinne endlich erzeugten abelschen Garben $\mathcal F$ zeigen $\op{H}^q(X;\mathcal F)=0$ f"ur $q>\op{kdim}X$. Durch Induktion "uber die Zahl der Erzeuger k"onnen wir uns sogar auch den Fall beschr"anken, da"s $\mathcal F$ von einem einzigen Schnitt auf einer offenen Teilmenge $U\co X$ erzeugt wird, so da"s es in eine kurze exakte Sequenz $$\mathcal R\hra \DZ_{U\subset X}\sra \mathcal F$$ pa"st mit $\mathcal R$ dem Kern. Im Fall $\mathcal R\neq 0$ sei $d\in \DZ_{>0}$ kleinstm"oglich mit $\mathcal R_x=d (\DZ_{U\subset X})_x$ f"ur ein $x\in U$. Die Menge $V$ aller solchen $x$ ist dann nichtleer und offen in $U$ und wir finden eine kurze exakte Sequenz $$\DZ_{V\subset X}\hra \mathcal R \sra \mathcal G$$ f"ur $\mathcal G$ mit Tr"ager in einer echten abgeschlossenen Teilmenge von $X$. Nun ist $\DZ_X$ welk, da $X$ irreduzibel ist, und die kurze exakte Sequenz $$\DZ_{V\subset X}\hra \DZ_X\sra \mathcal{H}$$ zeigt $\op{H}^q(X;\DZ_{V\subset X})=0$ f"ur $q>\op{kdim}X$, da der Tr"ager von $\mathcal{H}$ eine echte abgeschlossene Teilmenge von $X$ ist und damit echt kleinere Krulldimension hat. Mit demselben Argument gilt $\op{H}^q(X;\DZ_{U\subset X})=0$ f"ur $q>\op{kdim}X$. Aus der Sequenz eins dr"uber folgt wieder mit der Induktionsannahme $\op{H}^q(X;\mathcal R)=0$ f"ur $q>\op{kdim}X$ falls $\mathcal R$ nicht Null ist, und sonst gilt das eh. Aus der Sequenz noch eins dr"uber folgt dann schlie"slich Induktionsannahme $\op{H}^q(X;\mathcal F)=0$ f"ur $q>\op{kdim}X$. \end{proof} \subsection{Derivierte Modulgarben auf glatten Variet"aten} \nichtfinal{Wohin? Gibt ja noch keine derivierten Modulgarben einfach so!} \begin{Korollar}[\textbf{Starrheit koh"arenter Garben auf glatten Variet"aten}] Gegeben $k=\bar k$ und eine glatte $k$-Variet"at $X$ ist die volle Unterschmelzkategorie der Komplexe mit koh"arenten und beschr"ankten Homologieobjekten $$\op{Der}^{\op{b}}_{\mathcal O_X\op{-kMod}}(\mathcal O_X\op{-Mod})\subset \op{Der}(\mathcal O_X\op{-Mod})$$ stabil unter Tensor und Multihom und besteht aus starren Objekten. \end{Korollar} \begin{proof} Ein Komplex $\mathcal F\in \op{Der}(\mathcal O_X\op{-Mod})$ geh"ort zu $\op{Der}^{\op{b}}_{\mathcal O_X\op{-kMod}}(\mathcal O_X\op{-Mod})$ genau dann, wenn es eine endliche offene "Uberdeckung $\mathcal U$ von $X$ gibt mit $$\mathcal F|_U\in \op{Der}^{\op{b}}_{\mathcal O_U\op{-kMod}}(\mathcal O_U\op{-Mod}) \quad\forall U\in \mathcal U$$ In $\op{Der}(\mathcal O_X\op{-Mod})$ ist eine Verschmelzung universell genau dann, wenn es eine offene "Uberdeckung $\mathcal U$ von $X$ gibt derart, da"s die Verschmelzung universell wird nach Einschr"ankung auf alle offenen Teilmengen unserer offenen "Uberdeckung. Nach \eref{sIh}{TSK} ist in unserer Situation weiter ein Objekt $\mathcal F\in \op{Der}(\mathcal O_X\op{-Mod})$ starr genau dann, wenn f"ur alle weiteren Objekte $\mathcal G$ der in \eref{sIh}{TSK} angegebene Morphismus ein Isomorphismus $$(\mathcal F{\Rrightarrow}{\mathcal O}_X)\otimes \mathcal G\;\sira\; (\mathcal F{\Rrightarrow}\mathcal G)$$ ist. Es folgt, da"s $\mathcal F$ starr ist genau dann, wenn es eine offene "Uberdeckung $\mathcal U$ von $X$ gibt derart, da"s $\mathcal F|_U$ starr ist f"ur alle $U\in \mathcal U$. Es reicht also, das Korollar f"ur glatte affine Variet"aten zu zeigen. Ist nun $X$ glatt und affin, so besitzt jeder koh"arente $\mathcal O(X)$-Modul nach \ref{EPAf} eine endliche Aufl"osung durch endlich erzeugte projektive Moduln. Sie werden unter Lokalisierung zu lokal freien $\mathcal O_X$-Moduln. Gegeben eine koh"arente Modulgarbe $\mathcal F$ besitzt also jeder Punkt $x\in X$ eine offene Umgebung $U$ derart, da"s $[0]\mathcal F|_U$ zum von $\mathcal O_U$ erzeugten triangulierten System geh"ort. Das zeigt die Stabilit"at unter Tensor und Multihom. Das Einsobjekt $\mathcal O_U$ ist weiter starr in jeder Schmelzkategorie. Nach "Ubung \eref{Vsta}{TSF} bilden die starren Objekte in unserer Situation ein Verdiersystem, mithin ist auch $[0]\mathcal F|_U$ starr und das Korollar folgt. \end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{Vertr"aglichkeiten der derivierten Garbifizierung}] Gegeben $k=\bar k$ und $X$ eine glatte affine $k$-Variet"at ist der derivierte R"uckzug unter $a:(X,\mathcal O_X)\ra (\op{top},\mathcal O(X))$ ein volltreuer Funktor\label{VdGa} $$a^*:\op{Der}^{\op{b}}(\mathcal O(X)\op{-kMod})\vra \op{Der}(\mathcal O_X\op{-Mod})$$ und vertr"aglich mit universellen Verschmelzungen sowie Multihom. \end{Proposition} \begin{proof} Als triangulierte Kategorie wird $\mathcal O(X)\op{-kMod}$ wegen der Endlichkeit der homologischen Dimension regul"arer Kringe \ref{EPAf} erzeugt von $\mathcal O(X)$. Es reicht also zu zeigen, da"s unser R"uckzug f"ur alle $n\in \DZ$ einen Isomorphismus $$\op{Der}_{/(\op{top},\mathcal O(X))}(\mathcal O(X),\mathcal O(X)[n])\sira \op{Der}_{/(X,\mathcal O_X)}(\mathcal O_X,\mathcal O_X[n])$$ induziert. F"ur $n\neq 0$ sind beide Seiten Null. Auf der linken Seite gilt das, da $\mathcal O(X)$ projektiv ist. Auf der rechten Seite gilt es, da wir allgemein f"ur jeden Komplex $\mathcal F$ von $\mathcal O_X$-Moduln einen Isomorphismus $\op{Der}_{/(X,\mathcal O_X)}(\mathcal O_X,\mathcal F)\sira \mathbb H^0(X;\mathcal F)$ angegeben hatten und da quasikoh"arente Garben auf affinen Schemata und insbesondere $\mathcal O_X$ auf einer affinen Variet"at $X$ nach \ref{VvG} keine h"ohere Kohomologie haben. F"ur $n=0$ schlie"slich ist der behauptete Isomorphismus offensichtlich. Die Vertr"aglichkeit mit universellen Verschmelzungen und Multihom zeigt man genauso. \end{proof} \nichtfinal{Jetzt $i_*\mathcal O_X{\Rrightarrow}\mathcal O_Y$ f"ur glatte abgeschlossene Untervariet"at berechnen!} \begin{Korollar} Gegeben $k=\bar k$ und eine glatte affine $k$-Variet"at $X$ liefert die Einbettung auf den Homotopiekategorien einen volltreuen mit stabil universellen Verschmelzungen und internem Hom vertr"aglichen Schmelzfunktor $$\op{Der}^{\op{b}}(\mathcal O(X)\op{-Modf})\vra \op{Der}(\mathcal O_X\op{-Mod})$$ \nichtfinal{Schreibe als R"uckzug!} Sein wesentliches Bild ist die volle Unterschmelzkategorie der Komplexe mit koh"arenten und beschr"ankten Homologieobjekten $\op{Der}^{\op{b}}_{\mathcal O_X\op{-kMod}}(\mathcal O_X\op{-Mod})$. \end{Korollar} \nichtfinal{Mit $i^*$ und $i_*$ vertr"aglich?} \begin{proof} Ist $X$ affin, so besitzt jeder koh"arente $\mathcal O(X)$-Modul eine endliche Aufl"osung durch endlich erzeugte projektive Moduln nach \ref{EPAf}. Sie werden unter Lokalisierung zu lokal freien und insbesondere flachen $\mathcal O_X$-Moduln. Die Schmelzkategorie dieser Modulgarben notieren wir $\mathcal O_X\op{-pkMod}$. Mit den zugeh"origen Homotopiekategorien erhalten wir ein kommutatives Diagramm $$\begin{array}{ccc}\op{Hot}^{\op{b}}(\mathcal O_X\op{-pkMod}) &\vra&{\op{Hfl}}_{/X}\\ \da&&\da\\ \op{Der}^{\op{b}}(\mathcal O_X\op{-kMod})&\ra&\op{Der}(\mathcal O_X\op{-Mod}) \end{array}$$ Rechts oben steht dabei die volle Unterkategorie von $\op{Hot}(\mathcal O_X\op{-Mod})$ aller homotopieflachen Komplexe. Die obere Horizontale ist offensichtlich volltreu und vertr"aglich mit stabil universellen Verschmelzungen und Multihom. Die rechte Vertikale ist eine Schmelz"aquivalenz nach \eref{gVRT}{TSF}, die linke Vertikale ist eine Schmelz"aquivalenz mit derselben Argumentation. \nichtfinal{NEE, das ist Quatsch. Mu"s jeweils nach Quasiisomorphismen lokalisieren, dann ist es ok!} Folglich ist auch die untere Horizontale volltreu und vertr"aglich mit stabil universellen Verschmelzungen und Multihom. Da"s ihr wesentliches Bild in der angegebenen Weise beschrieben werden kann, ist klar. \end{proof} \nichtfinal{Im allgemeinen etwas komplizierter, mit Hartshorne.} \begin{Lemma} \nichtfinal{WOHIN? War f"ur irgendwas gut, aber nicht hier.} Gegeben ein filtrierter Ring $A$ mit $A^{<0}=0$ und ein filtrierter $A$-Modul $M$, dessen Filtrierung bei Null beginnt und den Modul aussch"opft, existiert eine freie filtrierungsvertr"agliche Aufl"osung $P^\ast \rightarrow M$ unseres Moduls, f"ur die $\op{grP}^\ast \rightarrow \op{grM}$ eine freie Aufl"osung ist. \end{Lemma} \begin{proof} Man w"ahle homogene Erzeuger $(\bar m_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}$ von $\op{gr M}$. Seien $i (\lambda)$ ihre Grade und $m_\lambda \in M^{\leq i (\lambda)} $ Repr"asentanten. So erhalten wir durch die Multiplikation mit unseren Erzeugern eine filtrierungsvertr"agliche Surjektion $$\bigoplus_{\lambda \in \Lambda} A [-i (\lambda)] \twoheadrightarrow M$$ Nach Konstruktion ist auch $\bigoplus_{\lambda \in \Lambda} \op{gr A} [-i (\lambda)] \rightarrow \op{gr M}$ eine Surjektion. Das zeigt, da"s $M$ die Quotientenfiltrierung tr"agt. Jetzt versehen wir den Kern $N$ unserer Surjektion mit seiner induzierten Filtrierung und erhalten eine kurze exakte Sequenz \begin{equation*} \op{gr N} \hookrightarrow \bigoplus_{\lambda \in \Lambda} \op{gr A} [-i (\lambda)] \twoheadrightarrow \op{gr M} \end{equation*} Indem wir dieselbe Konstruktion auf $N$ anwenden, ergibt sich induktiv die gesuchte Aufl"osung. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Sei $R\pdef k[T_1,\ldots, T_n]$ ein Polynomring "uber einem K"orper $k$ und $M\in\op{Der}^{\op{b}}(R\op{-Modf})$. Genau dann sind alle Homologiegruppen des derivierten Dualen $\op{RHom}_R(M,R)$ endlichdimensional "uber $k$, wenn alle Homologiegruppen von $M$ endlichdimensional sind "uber $k$, und auf der Unterkategorie $\op{Der}^{\op{b}}_{\op{fd}}(R\op{-Modf})$ dieser Komplexe sind $M\mapsto \op{RHom}_R(M,R)$ und $M\mapsto \op{RHom}_k(M,k)[-n]$ isomorphe Funktoren $$\op{Der}^{\op{b}}_{\op{fd}}(R\op{-Modf})\ra \op{Der}^{\op{b}}(k\op{-Modf})^{\op{opp}}$$ \end{Ubung} \begin{Satz} Gegeben $k=\bar k$ und $R=k[T_1,\ldots, T_n]$ und $Y\As k^n$ irreduzibel $\op{kdim}(Y)+j=n$ die Gleichheit $$\op{supp}(\op{Ext}_R^{j}(\mathcal O(Y),R))=Y$$ \end{Satz} \begin{proof} Geht hier noch nicht. Warte die Diskussion f"ur regul"are lokale Kringe ab. \end{proof} \subsection{Kohomologie auf Schemata} \begin{Lemma} Gegeben ein Kring $A$ und ein $A$-Modul $M$ und eine "Uberdeckung $\mathcal U$ von ${\op{Spec}}A$ durch endlich viele Nichtnullstellenmengen $\op{U}(f_i)$ verschwindet die\label{vscC} h"ohere \v{C}ech-Kohomologie der Lokalisierung von $M$ in Bezug auf\, $\mathcal U$, in Formeln $$\check{\mathrm{H}}^{q}(\mathcal U;\mathcal L M)=0 \quad\text{ f"ur }q>0.$$ \end{Lemma} \begin{proof} Der \v{C}ech-Komplex ist ein Komplex von $A$-Moduln. Nach \ref{Slp} ist ein Komplex von $A$-Moduln exakt genau dann, wenn er unter Lokalisierung nach jedem der $f_i$ exakt wird. Unter so einer Lokalisierung wird der um $M$ im homologischen Grad $-1$ erg"anzte Komplex jedoch exakt nach unseren allgemeinen "Uberlegungen in \eref{AMBM}{TG} zur Exaktheit von Standardkomplexen zu Koeffizientensystemen mit einem station"aren Index. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Kohomologie auf affinen Schemata}] Jede quasikoh"arente Garbe auf dem Spektrum eines Krings ist azyklisch f"ur den Funktor der globalen Schnitte. Gegeben ein Kring $A$ und ein $A$-Modul $M$ gilt also in Formeln\label{VvG} $$\mathrm{H}^{n}({\op{Spec}}A;\mathcal L M)=0 \quad\text{ f"ur }n>0.$$ \end{Satz} \begin{proof} Wir zeigen das f"ur alle Kringe $A$ gleichzeitig durch Induktion "uber $n$. Unser Beweis \eref{BKCe}{TG} f"ur die Berechnung der Kohomologie durch azyklische "Uberdeckungen liefert dem mit Spektralsequenzen vertrauten Leser, eine elementare Argumentation folgt im Anschlu"s, f"ur eine beliebige "Uberdeckung $\mathcal U$ eines topologischen Raums $X$ und eine beliebige abelsche Garbe $\mathcal F\in\op{Ab}_{/X}$ auf $X$ eine Spektralsequenz mit $E_1$-Term $$\prod_{\mathcal U^{q+1}}\op{H}^p(U_0\cap\ldots\cap U_q;\mathcal F)$$ und \v{C}ech-artigem vertikalen Differential, die gegen $\op{H}^n(X;\mathcal F)$ konvergiert. Das wenden wir auf endliche "Uberdeckungen unseres affinen Schemas durch Nichtnullstellenmengen an. Indem wir von der Induktionsvoraussetzung f"ur alle endlichen Schnitte von Nichtnullstellenmengen ausgehen, die ja auch ihrerseits wieder affine Schemata sind, folgern wir das Verschwinden aller $E_1^{p,q}$ f"ur $00$. Zusammen zeigt das, da"s die Einschr"ankung f"ur jede endliche offene "Uberdeckung $\mathcal U$ von ${\op{Spec}}A$ durch Nichtnullstellenmengen eine Injektion $$\mathrm{H}^{n}({\op{Spec}}A;\mathcal L M)\hra \prod_{U\in\mathcal U} \mathrm{H}^{n}(U;\mathcal L M)$$ induziert. Gegeben ein Element links besitzt aber nach \eref{LimH}{TG} jeder Punkt des Spektrums eine offene Umgebung derart, da"s seine Restriktion auf diese Umgebung Null ist. Diese Umgebungen k"onnen wir sogar als Nichtnullstellenmengen w"ahlen und endlich viele von ihnen "uberdecken unser Spektrum. Das zeigt, da"s unser Element links bereits selbst Null gewesen sein mu"s. \end{proof} \begin{Bemerkunge} Will man im vorhergehenden Beweis die allgemeine Theorie der Spektralsequenzen vermeiden, mag man den Doppelkomplex $\cal{C}^{q} (\cal{U}; {\cal W}^p)$ aus dem Beweis von \eref{BKCe}{TG} erweitern durch den senkrechten Kernkomplex. Letzterer ist exakt nach \ref{vscC}, mithin hat auch der so entstehende erweiterte Doppelkomplex exakte Spalten in h"oheren Graden und die Einbettung des waagerechten Kernkomplexes in seinen Totalkomplex induziert nach \eref{EAS}{TG} Isomorphismen auf der Kohomologie. Andererseits sind in unserem erweiterten Doppelkomplex alle Zeilen exakt bis zur $n$-ten Stelle, an der und ab der wir das nicht wissen. Der Unterdoppelkomplex, der aus allen Spalten zu einem Index $n$. Gegeben $k=\bar k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper und $f:X\ra Y$ ein Morphismus von $k$-Variet"aten folgt, da"s $f_{(*)}:\op{Ab}_{/(X,\mathcal O_X)}\ra \op{Ab}_{/(Y,\mathcal O_Y)}$ endliche homologische Dimension hat. Wie in \cite{Hart} erkl"art wird, sind in dieser Situation zus"atzlich die h"oheren direkten Bilder quasikoh"arenter Garben quasikoh"arent. Es folgt, da"s die volle Unterkategorie $\op{Der}^{\op{qkoh}}_{/(X,\mathcal O_X)}\subset \op{Der}_{/(X,\mathcal O_X)}$ aller Komplexe mit quasikoh"arenten Homologieobjekten unter $f_*$ nach $\op{Der}^{\op{qkoh}}_{/(Y,\mathcal O_Y)}$ abgebildet wird. In entsprechend abgek"urzter Notation erhalten wir so einen triangulierten Funktor $$f_*:\op{Der}^{\op{qkoh}}_{/X}\ra \op{Der}^{\op{qkoh}}_{/Y}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Serre-Dualit"at, Variante}] Gegeben $k=\bar k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper und $n\geq 0$ und ein $k$-Vektorraum $V$ von der Dimension $\op{dim} V=n+1$ und $c:\mathbb P V\ra \op{var}$ der finale Morphismus hat der derivierte Vorschub $ c_*: \op{Der}^{\op{qkoh}}_{/\mathbb P V}\ra \op{Der}^{\op{qkoh}}_{/{\op{var}}}$ bei der Einheitsgarbe $\underline{\op{var}}$ als lokalen Rechtsadjungierten das Paar $$ (\omega_{\mathbb P V}[n],\varepsilon)$$ mit $\varepsilon: c_*\omega_{\mathbb P V}[n] \ra \underline{\op{var}}[0]$ alias $\varepsilon:{\op{H}}^n(\mathbb P V;\omega_{\mathbb P V})\ra k$ gegeben durch $\varepsilon(\eta_V)=1$ f"ur $\eta_V\in {\op{H}}^n(\mathbb P V;\omega_{\mathbb P V})$ der in \ref{KokaBu} konstruierte Erzeuger. \end{Satz} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Serre-Dualit"at als Beschreibung eines Schreir"uckzugs}] Wie im Fall lokal kompakter Hausdorffr"aume ist auch im Kontext des vorhergehenden Satzes der Vorschub $f_*$ l"angs eigentlicher separierter Morphismen von Variet"aten der Schreivorschub einer verflochtenen Trennaustauschsituation, die aus der allgemeinen pr"averflochtenen Trennaustauschsituation einer Trennfaserung mit Vorschub \eref{PTV}{TSF} durch geeignete Einschr"ankung und Regulierung der Basis entsteht. Man beachte jedoch, da"s die Worte \glqq eigentlich\grqq\ und \glqq separiert\grqq\ im Kontext algebraischer Variet"aten a priori eine sehr andere Bedeutung haben als im Kontext lokal kompakter Hausdorffr"aume. Dennoch ist es in Analogie zu diesem Fall sinnvoll, f"ur eigentliche separierte Morphismen $f:X\ra Y$ von Variet"aten den Schreivorschub $$ f_!: \op{Der}^{\op{qkoh}}_{/X}\ra \op{Der}^{\op{qkoh}}_{/Y}$$ zu erkl"aren als den gew"ohnlichen Vorschub $f_!\pdef f_*$ und seinen Rechtsadjungierten, wo immer er definiert ist, entsprechend $f^!$ zu notieren. In dieser Notation besagt der Satz, da"s es einen Isomorphismus $$i: c^! \underline{\op{var}} \sira \omega_{\mathbb P V}[n]$$ gibt derart, da"s $c_!(i):c_!c^! \underline{\op{var}} \sira c_!\omega_{\mathbb P V}[n]$ gefolgt von $\varepsilon: c_!\omega_{\mathbb P V}[n] \ra \underline{\op{var}}$ die Koeinheit der Adjunktion $(c_!,c^!)$ ist. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir wissen bereits aus \ref{??}, da"s f"ur $q\neq n$ gilt ${\op{H}}^q(\mathbb P V;\omega_{\mathbb P V})=0$. Mithin ist $c_!\omega_{\mathbb P V}[n]$ ein Komplex von Vektorr"aumen, der exakt ist au"serhalb vom Grad Null. Darum ist $\varepsilon$ sogar ein Isomorphismus $\varepsilon:c_!\omega_{\mathbb P V}[n]\sira \underline{\op{var}}[0]$ in der derivierten Kategorie der Vektorr"aume alias in $\op{Der}^{\op{qkoh}}_{/{\op{var}}}$. Nun gilt es, f"ur alle $\mathcal F\in \op{Der}^{\op{qkoh}}_{/{\mathbb P V}}$ zu zeigen, zu zeigen, da"s wir eine Bijektion $$\op{Der}_{/{\mathbb P V}}(\mathcal F,\omega_{\mathbb P V}[n])\sira \op{Der}_{/{\op{var}}}(c_!\mathcal F,\underline{\op{var}})$$ erhalten durch $g\mapsto \varepsilon\circ c_!(g)$. F"ur $\mathcal F=\mathcal O(q)$ mit $-n1$. Mit unserer Annahme $J\neq 0$ erhalten wir daraus eine kurze exakte Sequenz $$A \hra \op{Hom}_A(J,A)\sra \op{Ext}^1_A(A/J,A)$$ und das Verschwinden aller $\op{Ext}^i_A(A/J,A)$ f"ur $i\neq 1$. Den Hom-Raum in dieser Sequenz k"onnen wir identifizieren mit $J^{-1}\pdef \{q\in \op{Quot}(A)\mid qJ\subset A\}$ und erhalten so einen Isomorphismus $J^{-1}/A\sira \op{Ext}^1_A(A/J,A)$. Nach Annahme ist auch $J^{-1}$ ein freier $A$-Modul vom Rang Eins, folglich induziert die Multiplikation eine nichtausgeartete Paarung $(J^{-1}/A)\times (J/J^2)\ra A/J$ von freien $(A/J)$-Moduln vom Rang Eins und wir erhalten Isomorphismen $$\op{Ext}^1_A(A/J,A) \sila (J^{-1}/A)\sira \op{Hom}_{A/J}(J/J^2, A/J)$$ \label{vgP} In der zuvor erkl"arten Notation erhalten wir so den behaupteten Isomorphismus $$f^!(A)=\op{Rind}_{A}^{A/J}(A)\sira [-1]\op{Hom}_{A/J}(J/J^2, A/J)$$ Man beachte, da"s wir eigentlich im zweiten Eintrag injektiv aufl"osen m"ussen, um $\op{Rind}_{A}^{A/J}$ zu berechnen. Wenn wir stattdessen im ersten Eintrag durch projektive $A$-Moduln aufl"osen, erhalten wir im allgemeinen nur einen Komplex von $A$-Moduln mit derselben Homologie. Da unser Komplex aber in diesem Spezialfall nur ein nichtverschwindendes Homologieobjekt hat, f"uhrt unsere a priori falsche Vorgehensweise in diesem speziellen Fall doch zum richtigen Objekt von $\op{Der}_{/(A/J)}$. Unsere Isomorphismen sind vertr"aglich mit dem "Ubergang zu beliebigen von Null verschiedenen Lokalisierungen von $A$, wie der Leser unschwer wird pr"ufen k"onnen. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Morphismus von gekringten R"aumen $b:(X,\mathcal A)\ra (Y,\mathcal B)$, dessen zugrundeliegende stetige Abbildung eine lokal abgeschlossene Einbettung ist, haben wir in \eref{ExRZ}{TSF} f"ur den Schreir"uckzug von underivierten Modulgarben Isomorphismen von abelschen Garben $$\op{res}_{\mathcal A}^\DZ b^{(!)}\mathcal E\sira b^{*,\op{Ab}}\op{res}_{\mathcal B}^\DZ (b_{(!)}\mathcal A\Rrightarrow_{\mathcal B} \mathcal E)$$ konstruiert. Da in unserem Fall $b_{(!)}$ exakt ist, liefert \eref{??}{TD} eine Isotransformation $b^!\siRa {\op{R}}b^{(!)}$ zwischen dem Rechtsadjungierten des derivierten Funktors und dem Rechtsderivierten des Rechtsadjungierten. Da auch $b^{*,\op{Ab}}$ ein exakter Funktor ist, erhalten wir so Isomorphismen von derivierten abelschen Garben $$\op{res}_{\mathcal A}^\DZ b^{!}\mathcal E\sira b^{*,\op{Ab}}\op{res}_{\mathcal B}^\DZ (b_{!}\mathcal A\Rrightarrow_{\mathcal B}^{\op{Der}} \mathcal E)$$ Ist noch spezieller $b:X\hra Y$ die Einbettung einer abgeschlossenen Untervariet"at in eine glatte Variet"at und betrachten wir $\mathcal E\pdef \mathcal O_Y$, so finden wir $b_!=b_*$ und ist $Y$ affin, so ist $(b_*\mathcal O_X{\Rrightarrow}\mathcal O_Y)$ nach \ref{VdGa} der R"uckzug unter $a:(Y,\mathcal O(Y))\ra (\op{top}, \mathcal O(Y)$ des internen Homobjekts $\mathcal O(X){\Rrightarrow}\mathcal O(Y)$ in der derivierten Kategorie der $\mathcal O(Y)$-Moduln. Ist $Y$ zus"atzlich irreduzibel und das Verschwindungsideal $J\pdef \mathcal I_Y(X)$ ein vom Nullideal verschiedenes Hauptideal, so ist $[1](\mathcal O(X){\Rrightarrow}\mathcal O(Y))$ nach \ref{dIsp} isomorph zu $\mathcal O(X)$ als $\mathcal O(Y))$-Modul und genauer haben wir dort einen Isomorphismus $$[1]\big(\mathcal O(X){\Rrightarrow}\mathcal O(Y)\big) \sira \op{Hom}_{\mathcal O(X)}(J/J^2, \mathcal O(X))$$ konstruiert, der vertr"aglich ist mit dem "Ubergang zu standardoffenen affinen Teilmengen von $Y$. Aus Ersterem folgt, da"s $[1]b^!\mathcal O_Y$ ein lokal freier $\mathcal O_X$-Modul vom Rang Eins ist, wenn $b:X\hra Y$ die Einbettung einer glatten Untervariet"at $X$ der Kodimension Eins in eine glatte Variet"at $Y$ ist. Letztere Isomorphismen verkleben zu einem Isomorphismus mit dem Normalenb"undel, dem Dualen des Konormalenb"undels aus \ref{KNBB}, also zu einem Isomorphismus $$[1](X{\subset} Y)^!\mathcal O_Y \sira \mathcal N_{X\subset Y}$$ Nach Konstruktion ist auch er vertr"aglich mit der Einschr"ankung auf offene Teilmengen. Der allgemeine Morphismus \eref{fter}{TSF} spezialisiert f"ur jedes Geradenb"undel $\mathcal G$ auf $Y$, ja jedes starre Objekt der derivierten Kategorie nach "Ubung \eref{fMru}{TSF} zu einem Isomorphismus $$[-1]\mathcal N_{X\subset Y}\otimes b^*\mathcal G\;\sira\; b^! \mathcal G$$ Die kurze exakte Sequenz $\mathcal T_X\hra b^*\mathcal T_Y\sra \mathcal N_{X\subset Y}$ liefert nun auf den maximalen "au"seren Potenzen einen Isomorphismus $ \mathcal N_{X\subset Y}\otimes \bigwedge^{\op{max}}\mathcal T_X \sira \bigwedge^{\op{max}}b^*\mathcal T_Y$ alias $\mathcal N_{X\subset Y}\otimes \omega_X^*\sira b^*\omega_Y^*$ und so f"ur $Y$ glatt "aquidimensional und $X\subset Y$ eine glatte abgeschlossene "aquidimensionale Untervariet"at der Kodimension Eins einen Isomorphismus\label{RZAI} $$(X{\subset} Y)^!\omega_Y[\op{dim}Y]\;\sira\; \omega_X[\op{dim}X]$$ Auch diese Isomorphismen sind vertr"aglich mit der Einschr"ankung auf offene Teilmengen. \end{Bemerkungl} \nichtfinal{Jetzt sollte klar sein, wie es in \ref{TAMG} weitergehen mu"s!} \begin{Bemerkungl} \nichtfinal{Noch relevant?} Gegeben $X\As Z$ eine glatte irreduzible Variet"at mit einer abgeschlossenen Untervariet"at der Kodimension Eins besitzt jeder Punkt $p\in X$ eine offene affine Umgebung $U$ derart, da"s $(A,J)\pdef (\mathcal O_X(U), \mathcal I_U(Z\cap U))$ die Bedingungen aus \ref{vgP} erf"ullen. Bezeichne $i:Z\hra X$ die Einbettung. Zusammen mit unseren Erkenntnissen \ref{VdGa} "uber Vertr"aglichkeiten der Garbifizierung erhalten wir Isomorphismen $$(i_*\mathcal O_Z{\Rrightarrow}\mathcal O_X[1])|_U\sira i_*(\mathcal N^*_{Z\subset X}{\Rrightarrow}\mathcal O_Z)|_U$$ und die rechte und folglich auch die linke Seite sind gew"ohnliche Garben. Mit "Ubung \ref{kgA} "uber affine offene Teilmengen erkennen wir zus"atzlich, da"s diese Isomorphismen auf dem Schnitt je zweier derartiger offener Teilmengen "ubereinstimmen und folglich verkleben zu einem Isomorphismus $$(i_*\mathcal O_Z{\Rrightarrow}\mathcal O_X[1])\sira i_*(\mathcal N^*_{Z\subset X}{\Rrightarrow}\mathcal O_Z)$$ Wir setzen $\mathcal N_{Z\subset X}\pdef (\mathcal N^*_{Z\subset X}{\Rrightarrow}\mathcal O_Z)$ und nennen diesen $\mathcal O_Z$-Modul das {\bf Normalenb"undel von $Z$ in $X$}.\index{Normalenb"undel} Damit k"onnen wir unseren Isomorphismus umschreiben zu einem Isomorphismus $$(i_*\mathcal O_Z{\Rrightarrow}\mathcal O_X[1])\sira i_*\mathcal N_{Z\subset X}$$ \nichtfinal{und erhalten schlie"slich einen Isomorphismus $$i^+\mathcal O_X\sira [-1] \mathcal N_{Z\subset X}$$} \end{Bemerkungl} \nichtfinal{Der Linksadjungierte zu $i_*$ ist $i_*\mathcal O_Z{\Rrightarrow}$, aber das Resultat als Modulgarbenkomplex auf $Z$ betrachtet. Das pr"ufe affin-lokal.} \ref{VdGa} "uber Vertr"aglichkeiten der Garbifizierung. \begin{Bemerkungl} Gegeben $Z\As X$ eine glatte abgeschlossene Untervariet"at einer glatten Variet"at mit Einbettungsmorphismus $i$ wird das {\bf Normalenb"undel}\index{Normalenb"undel} erkl"art als der Kokern $$\mathcal N_{Z\subset X}\pdef \op{cok}(\mathcal T_Z\ra i^*\mathcal T_X)$$ des durch die Tangentiale der Einbettungen gegebenen Morphismus $\mathcal T_Z\ra i^*\mathcal T_X$ aus \eref{RGNm}{DM}. F"ur seinen geometrischen Halm bei $z\in Z$ erhalten wir mithin einen Isomorphismus $(\mathcal N_{Z\subset X})_{/z}\sira {\op{T}}_zX/{\op{T}}_zZ$. Sind unsere Variet"aten irreduzibel und hat $Z$ die Kodimension Eins, so konstruieren wir nun einen Isomorphismus $$i^*(i_*\mathcal O_Z{\Rrightarrow}\mathcal O_X)\sira \mathcal N_{Z\subset X}[-1]$$ Es reicht dazu, in allen affinen F"allen derartige Isomorphismen so anzugeben, da"s sie mit dem "Ubergang zu offenen affinen Teilmengen vertr"aglich sind. \nichtfinal{Zu vage?} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Reste}] %"Ahnliches gilt f"ur einen beliebigen Kring $k$ und %jeden freien $k$-Modul $V$ von endlichem Rang $\geq 2$, %aber das will ich hier %nicht ausschreiben. \nichtfinal{ und f"ur alle $d\geq 0$ ist diejenige Abbildung $${\op{H}}^{0}(\mathbb PV;\mathcal O(d))\times {\op{H}}^{n-1}(\mathbb PV;\mathcal O(-n-d))\ra {\op{H}}^{n-1}(\mathbb PV;\mathcal O(-n))$$ eine nichtausgeartete Paarung, die ein Tupel $(f,\eta)$ abbildet auf $({\op{H}}^{n-1}(f\cdot))(\eta)$ f"ur $(f\cdot): \mathcal O(-n-d)\ra \mathcal O(-n)$ der durch Multiplikation mit dem globalen Schnitt $f\in \Gamma\mathcal O(d)$ gegebene Garbenhomomorphismus. All das folgt unmittelbar aus den vorhergehenden Rechnungen und mutatis mutandis auch f"ur einen beliebigen Kring $k$.} \nichtfinal{"Uber K"orper: $${\op{H}}^{n-1}(\mathbb PV;\mathcal O(d){\Rrightarrow}\mathcal O(-n))\sira {\op{H}}^{0}(\mathbb PV;\mathcal O(d)){\Rrightarrow} {\op{H}}^{n-1}(\mathbb PV;\mathcal O(-n))$$} \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} \end{Ubung} \subsection{Derivierte Modulgarben auf Schemata} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Kring $A$ liefert die konstante Abbildung $\pi:(\op{Spec}A;\mathcal O) \ra (\op{top};A)$ einen R"uckzug $\pi^*:\op{Der}_{/(\op{top};A)}\ra \op{Der}_{/(\op{Spec}A;\mathcal O)}$. Wir konzentrieren und im folgenden auf noethersche Schemata $X=(X;\mathcal O)$ endlicher Krulldimension und betrachten in der derivierten Kategorie aller Modulgarben auf $X$ die volle triangulierte Unterkategorie $$\op{Der}^{\op{lqk}}(X)=\op{Der}_{/X}^{\op{lqk}}\subset \op{Der}_{/X}$$ aller Komplexe $\mathcal F$, f"ur die $X$ eine "Uberdeckung durch offene affine Unterschemata $U\co X$ besitzt derart, da"s die Einheit der Adjunktion in der derivierten Kategorie einen Isomorphismus $\pi^*\pi_*j^*\mathcal F\qri j^*\mathcal F$ induziert f"ur $j:U\hra X$ die Einbettung und $\pi:(U;\mathcal O)\ra (\op{top};\mathcal O(U))$. Das ist offensichtlich eine volle triangulierte Unterkategorie. Wir nennen die Objekte von $\op{Der}^{\op{lqk}}(X)$ {\bf lokal quasikoh"arente Komplexe}.\index{quasikoh"arent!lokal quasikoh"arenter Komplex} \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Lokal quasikoh"arent impliziert global quasikoh"arent}] Jeder lokal quasikoh"arente Komplex $\mathcal F$ auf einem noetherschen separierten Schema $X$ endlicher Krulldimension ist in der derivierten Kategorie isomorph\label{loGL} zu einem Komplex quasikoh"arenter Modulgarben. \end{Satz} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Literatur}] Aus \cite{BoeNee} folgt, da"s unsere Kategorie bereits "aquivalent ist zur derivierten Kategorie der Kategorie der quasikoh"arenten Garben auf $X$ und das sogar noch allgemeiner f"ur $X$ kompakt separiert. Die Argumentation wird dort jedoch sehr weitgehend dem Leser "uberlassen. Im Stacks project in 36.7.5 wird sorgf"altiger argumentiert. All das ist jedoch ein gr"o"serer Aufwand und mein Ziel ist nur, einen bequemen Rahmen f"ur die algebraische Geometrie bereitzustellen. Dazu zeige ich, da"s lokal quasikoh"arente Komplexe einerseits weitgehend stabil sind unter Trennr"uckzug, Vorschub, internem Hom und abgeschlossenem Schreir"uckzug und wie andererseits in der affinen Situation alle diese Konstruktionen sehr explizit beschrieben werden k"onnen. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir d"urfen nach \eref{reff}{TSF} annehmen, da"s $\mathcal F$ als ein quisrechtsentfalteter Komplex der Homotopiekategorie der Modulgarben gegeben ist. Dann ist auch $j^{(*)}\mathcal F$ f"ur jede offene Einbettung $j:U\hra X$ quisrechtsentfaltet, da in diesem Fall $j^{(*)}=j^{(!)}$ einen exakten Linksadjungierten $j_{(!)}$ auf der Kategorie aller Modulgarben hat, so da"s f"ur jeden exakten Komplex $\mathcal E$ von Modulgarben auf $U$ gilt $$\op{Hot}_{/U}(\mathcal E, j^{(!)}\mathcal F)\cong \op{Hot}_{/X}(j_{(!)}\mathcal E, \mathcal F)=0$$ Ist nun $j:U\hra X$ die Einbettung eines offenen affinen Unterschemas mit $\pi^*\pi_*j^*\mathcal F\sira j^*\mathcal F$ unter der Koeinheit der Adjunktion in der derivierten Kategorie f"ur $\pi:U\ra (\op{top};\mathcal O(U))$, so folgt unter der Koeinheit der Adjunktion auch $$\pi^{(*)}\pi_{(*)}j^{(*)}\mathcal F\qri j^{(*)}\mathcal F$$ In der Tat ist $j^{(*)}$ exakt und $j^{(*)}\mathcal F$ quisrechtsentfaltet und $\pi^{(*)}$ exakt, da n"amlich Lokalisierung exakt ist, also wird dieser Morphismus in der derivierten Kategorie zu dem Morphismus, von dem wir ja bereits angenommen haben, da"s er ein Isomorphismus ist. Links steht dabei ein Komplex quasikoh"arenter Garben, und da $j_{(*)}$ endliche homologische Dimension hat nach \ref{??} und quasikoh"arente Garben $j_{(*)}$-quisrechtsentfaltet sind, ist auch der Komplex rechts $j_{(*)}$-quisrechtsentfaltet und unser Morphismus induziert einen Quasiisomorphismus $$j_{(*)}\pi^{(*)}\pi_{(*)}j^{(*)}\mathcal F\qri j_{(*)}j^{(*)}\mathcal F$$ Im Rest des Beweises verwenden wir der "Ubersichtlichkeit halber unsere alte Notation und schreiben abk"urzend $$ \text{$f^*, f_*$ statt $f^{(*)},f_{(*)}$} $$ Nun betrachten wir einen quisrechtsentfalteten Komplex von Modulgarben $\mathcal F$ auf $X$ und eine "Uberdeckung $X=U\cup V$ durch zwei affine offene Teilmengen. Da $X$ separiert ist, mu"s ihr Schnitt $W\pdef U\cap V$ nach \ref{??} affin sein. F"ur $u,v,w$ die Einbettungen von $U,V,W$ nach $X$ erhalten wir dann die kurze exakte Sequenz von Garbenkomplexen in der oberen Horizontale eines kommutativen Diagramms $$\begin{array}{ccccc} \mathcal F&\hra& u_*u^*\mathcal F\oplus v_*v^*\mathcal F &\sra& w_*w^*\mathcal F\\ &&\ua&&\ua\\ && u_{*}\pi^{*}\pi_{*}u^{*}\mathcal F\oplus v_{*}\pi^{*}\pi_{*}v^{*}\mathcal F &\ra& w_{*}\pi^{*}\pi_{*}w^{*}\mathcal F \end{array} $$ und einen Quasiisomorphismus $\mathcal F\qri \op{tot}( u_*u^*\mathcal F\oplus v_*v^*\mathcal F \ra w_*w^*\mathcal F)$ als Konsequenz dieser gliedweisen Aufl"osung von $\mathcal F$ durch einen vergarbten \v{C}echkomplex im Sinne von \ref{??}. In der unteren Horizontale meint $\pi$ den jeweiligen Morphismus auf den entsprechend gekringten Einpunktraum. Die linke Vertikale ist ein Quasiisomorphismus, wenn wir annehmen, $\mathcal F$ sei lokal quasikoh"arent \glqq f"ur unsere "Uberdeckung\grqq. Wir zeigen im Anschlu"s, da"s dann auch die rechte Vertikale ein Quasiisomorphismus ist. Daraus folgt, da"s die Vertikalen einen Quasiisomorphismus auf den jeweiligen Totalkomplexe induzieren. Der Totalkomplex der unteren Horizontale ist jedoch in der Tat ein Komplex quasikoh"arenter Modulgarben auf $X$. Danach diskutieren wir noch, wie sich das Argument auf den Fall endlicher "Uberdeckungen verallgemeinern l"a"st. \\[2mm]\noindent Wir zeigen nun, da"s in obigem Diagramm auch die rechte Vertikale ein Quasiisomorphismus ist. Gegeben $W\co U$ das Spektrum eines noetherschen Krings endlicher Krulldimension mit einer offenen affinen Teilmenge betrachten wir dazu das kommutative Diagramm $$\begin{array}{ccc} W&\stackrel{j}{\ra}&U\\ \;\; \da q &&\;\; \da p\\ (\op{top};\mathcal O(W))&\stackrel{r}{\ra}& (\op{top};\mathcal O(U)) \end{array}$$ Hier bezeichnen $p,q$ die Morphismen, die wir oben unterschiedslos $\pi$ notiert haben. Gegeben $\mathcal F$ ein Komplex von Modulgarben auf $U$ erhalten wir wie in jeder opponiert notierten Bifaserung ein kommutatives Diagramm $$\begin{array}{ccc}j^{*}\mathcal F&=& j^{*}\mathcal F \\ \ua && \ua \\ j^{*}p^{*}p_{*}\mathcal F&\ra& q^{*}q_{*}j^{*}\mathcal F \end{array}$$ mit den Koeinheiten der Adjunktionen in den Vertikalen und der unteren Horizontale gegeben durch $pj=rq$ und Basiswechsel $r^{*}p_{*}\RA q_{*}j^{*}$. Ist nun $\mathcal F$ ein quisrechtsentfalteter Komplex von Modulgarben auf $U$ mit $p^{*}p_{*}\mathcal F\qri \mathcal F$, so ist zus"atzlich auch die rechte Vertikale ein Quasiisomorphismus durch offene Einschr"ankung. Wegen $rq=pj$ liefert er einen Quasiisomorphismus $q^{*}r^{*}p_{*}\mathcal F\qri j^{*}\mathcal F$. Beide Seiten sind hier quisrechtsentfaltet f"ur $q_{*}$ und $q^{*}$ ist exakt, folglich bleibt unser Quasiisomorphismus ein Quasiisomorphismus unter $q^{*}q_{*}$ und wir erhalten ein kommutatives Diagramm $$\begin{array}{ccc}q^{*}r^{*}p_{*}\mathcal F&\qri& j^{*}\mathcal F \\ \ua && \ua \\ q^{*}q_{*} q^{*}r^{*}p_{*}\mathcal F&\qri& q^{*}q_{*}j^{*}\mathcal F \end{array}$$ mir den Koeinheiten der Adjunktion in den Vertikalen. Die Koeinheit der Adjunktion in der linken Vertikale ist jedoch ein Isomorphismus, folglich ist die Koeinheit der Adjunktion in der rechten Vertikale ein Quasiisomorphismus. \\[2mm] Nun diskutieren wir noch den Fall einer beliebigen endlichen offenen affinen "Uberdeckung, die entsprechend an den Komplex von Modulgarben $\mathcal F$ angepa"st ist. In der oberen Horizontale unseres Diagramms vom Anfang des Beweises steht dann der vergarbte \v{C}echkomplex und wir m"ussen uns nur noch "uberlegen, da"s auch in der unteren Horizontale in der Tat die Verkn"upfung von je zwei horizontalen Morphismen verschwindet. Das folgt jedoch daraus, da"s $u_{*}\pi^{*}\pi_{*}u^{*}\mathcal F\ra w_{*}\pi^{*}\pi_{*}w^{*}\mathcal F$ stets "uber $j_{*}j^{*}u_{*}\pi^{*}\pi_{*}u^{*}\mathcal F$ faktorisiert f"ur $j:W\hra U$ die Einbettung wie zuvor. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Verschwindungssatz von Grothendieck}] \nichtfinal{Auf nachher verlegen!} Grothendieck hat gezeigt, siehe Hartshorne, da"s auf einem noetherschen topologischen Raum $X$ einer Krulldimension $\leq n$ alle ${\op{H}}^q(X;\mathcal F)$ f"ur $q>n$ und abelsche Garben $\mathcal F$ verschwinden.\label{GrEL} \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Verschwindungssatz von Grothendieck}] Gegeben $X$ ein noetherscher topologischer Raum endlicher Krulldimension $n$ und $f:X\ra Y$ stetig ist der Vorschub abelscher Garben\label{hDv} $f_{(*)}: \op{Ab}_{/X}\ra\op{Ab}_{/Y} $ von homologischer Dimension $\leq n$. \end{Lemma} \begin{proof} F"ur jede offene Teilmenge $V\co Y$ ist $U\pdef f^{-1}(V)$ offen in $X$ und folglich ein noetherscher topologischer Raum endlicher Krulldimension $\leq n$. F"ur jede welke Aufl"osung $\mathcal F\hra \mathcal W^\lhd$ einer abelschen Garbe auf $X$ und jede standardoffene Teilmenge ist nach \ref{GrEL} \nichtfinal{(Referenz ausschreiben!)} mithin $\Gamma(V;f_{(*)}\mathcal W^\lhd)$ exakt in Graden $>n$. Dann aber ist $f_{(*)}\mathcal W^\lhd$ auch halmweise exakt in Graden $>n$ und folglich als Garbenkomplex exakt in Graden $>n$. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Derivierte Moduln und Modulgarben}] Seien $A,B$ noe\-ther\-sche Kringe endlicher Krulldimension und $\pi:(\op{Spec}A;\mathcal O)\ra (\op{top};A)$ der offensichtlich Morphismus. So gilt: \begin{enumerate} \item Der R"uckzug liefert eine "Aquivalenz von Kategorien\label{vtLL} $$\pi^*:\op{Der}_{/(\op{top};A)}\sirra \op{Der}^{\op{lkq}}_{/(\op{Spec}A;\mathcal O)}$$ \item Die lokal quasikoh"arenten Komplexe von Modulgarben auf noetherschen separierten Schemata endlicher Krulldimension sind stabil unter Trennr"uckzug und Vorschub von derivierten Modulgarben alias $f^*, f_*, \otimes$; \item Gegeben $X$ noethersch separiert und $\mathcal F,\mathcal G\in \op{Der}^{\op{lkq}}(X)$ mit $\mathcal G\in \op{Der}^{+}$ und $\mathcal F\in \op{Der}^{-}$ mit $\mathcal H^q\mathcal F$ koh"arent f"ur alle $q$ gilt $$(\mathcal F{\Rrightarrow}\mathcal G)\in \op{Der}^{\op{lkq}}(X)$$ Dasselbe gilt f"ur $\mathcal F$ eine lokal freie halmweise endlich erzeugte Modulgarbe und $\mathcal G$ beliebig; \item Der R"uckzug von einpunktigen mit noetherscher Kringen endlicher Krulldimension gekringten R"aumen zu den entsprechenden affinen Schemata macht stabil universelle Trennungen zu stabil universellen Trennungen alias ist vertr"aglich mit deriviertem $f^*$ und $\otimes$; \item Gegeben ein Kringhomomorphismus $f^\circ: B\ra A$ erhalten wir eine Isotransformation $p^*f_*\siRa g_* q^*$ durch Basiswechsel im zugeh"origen kommutativen Diagramm gekringter R"aume $$\begin{array}{ccc} (\op{Spec}A;\mathcal O)&\stackrel{q}{\ra} & (\op{top};A)\\ {\scriptstyle g}\da&&\da {\scriptstyle f}\\ (\op{Spec}B;\mathcal O) &\stackrel{p}{\ra}&(\op{top};B) \end{array}$$ mit der alternativen Notation $q=\pi$; \item Gegeben ein Komplex endlich erzeugter $A$-Moduln $M\in \op{Ket}^-$ sowie ein beliebiger Komplex von $A$-Moduln $N\in \op{Ket}^+$ ist der vom Schmelzfunktor $\pi^*$ induzierte Morphismus ein Isomorphismus $$\pi^*(M{\Rrightarrow}N)\sira (\pi^*M\Rrightarrow\pi^*N)$$ von derivierten Modulgarben auf $\op{Spec}A$. Dasselbe gilt f"ur $M$ ein endlich erzeugter projektiver Modul und $N\in \op{Ket}$ beliebig; \item Gegeben ein surjektiver Kringhomomorphismus $f^\circ: B\ra A$ liefert die aus dem Isomorphismus $p^*f_*\siRa g_* q^*$ alias $p^*f_!\siRa g_! q^*$ von oben als Verkn"upfung $ q^*f^!\RA g^!g_!q^*f^!\siRa g^!p^*f_!f^! \RA g^!p^*$ entstehende Transformation f"ur alle $N\in \op{Der}^+(\op{Mod}_A)$ einen Isomorphismus $$q^*f^!N\sira g^!p^*N$$ Dasselbe gilt f"ur beliebiges $N$, wenn der $B$-Modul $A$ ein endliche Aufl"osung durch endlich erzeugte projektive $B$-Moduln besitzt. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{proof} 1. Wir haben in \ref{glSDM} in anderer Notation und sogar f"ur einen beliebigen Kring gezeigt, da"s $\pi^{(*)}$ ein exakter Funktor ist und die Einheit der Adjunktion eine Isotransformation $\eta:\op{id}\siRa \pi_{(*)}\pi^{(*)}$. Wir wissen nach \ref{VvG} weiter, da"s quasikoh"arente Modulgarben keine h"ohere Kohomologie haben. Folglich gilt auch auf den derivierten Kategorien $\eta:M\sira \pi_{*}\pi^{*}M$ f"ur jeden $A$-Modul $M$. Die Menge aller Komplexe in $\op{Der}_{/(\op{top};A)}$, f"ur die $\eta$ ein Isomorphismus ist, mu"s nun zus"atzlich stabil sein unter dem Bilden ausgezeichneter Dreiecke. Folglich ist der R"uckzug alias die Lokalisierung ein volltreuer Funktor $$\pi^*:\op{Der}_{/(\op{top};A)}^{\op{b}}\vra \op{Der}_{/(\op{Spec}A;\mathcal O)}$$ Das wesentliche Bild besteht offensichtlich genau aus allen Komplexen von Modulgarben mit beschr"ankten quasikoh"arenten Homologieobjekten. Ist nun $A$ wie angenommen ein noetherscher Kring $A$ endlicher Krulldimension, so hat der Vorschub $\pi_{(*)}:\op{Ab}_{/(\op{Spec}A;\mathcal O)}\ra \op{Ab}_{/(\op{top};A)}$ nach \ref{GrEL} endliche homologische Dimension. In diesem Fall zeigen unsere allgemeinen Erkenntnisse zum Derivieren homologisch endlicher Funktoren \eref{UbDe}{TD}, da"s beliebige Komplexe quasikoh"arenter Modulgarben bereits $\pi_{(*)}$-quis\-rechts\-ent\-fal\-tet sind. So folgt $\eta: M\sira \pi_*\pi^* M$ f"ur alle $M\in \op{Der}_{/(\op{top};A)}$. Andererseits zeigt Satz \ref{loGL}, da"s in diesem Fall auch jeder lokal quasikoh"arente Komplex in der derivierten Kategorie isomorph ist zu einem Komplex quasikoh"arenter Modulgarben. \\[2mm]\noindent Beweis von 2$(f^*,\otimes)$ und 4. Gegeben Morphismen $f_i:X\ra Y_i$ noetherscher Schemata endlicher Krulldimension f"ur $1\leq i\leq r$ mit $r\geq 0$ und lokal quasikoh"arente Komplexe $\mathcal F_i\in \op{Der}^{\op{lqk}}(Y_i)$ ist auch $(f_1,\ldots, f_r)^\dagger (\mathcal F_1\curlywedge\ldots\curlywedge \mathcal F_r)$ lokal quasikoh"arent. In der Tat reicht es, wenn wir das zeigen unter der zus"atzlichen Annahme, da"s alle unsere Schemata affin sind, $X=\op{Spec}A, Y_i=\op{Spec}B_i,$ und da"s gilt $\mathcal F_i=\pi_i^* F_i$ f"ur $F_i\in \op{Der}(B_i\op{-Mod})$. Dann folgt die Behauptung aus dem Vergleich von deriviertem Trennr"uckzug auf beiden Wegen im kommutativen Diagramm von Trennungen gekringter R"aume $$\begin{array}{ccc} X\;\;\;&\ra&Y_1\curlywedge\ldots\curlywedge Y_r\;\;\;\\ \da\pi&&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\da\pi_1\curlywedge\ldots\curlywedge\pi_r\\ (\op{top};A)&\ra &(\op{top};B_1)\curlywedge\ldots\curlywedge (\op{top};B_r) \end{array}$$ \\[2mm]\noindent 5. Gegeben ein Kringhomomorphismus $f^\circ:B\ra A$ mit $A$ noethersch sind ganz allgemein quasikoh"arente Modulgarben rechtsazyklisch f"ur den Vorschub %\label{azyVm} $$f_{(*)}: \op{Ab}_{/(\op{Spec}A;\mathcal O)}\ra\op{Ab}_{/(\op{Spec}B;\mathcal O)} $$ In der Tat ist nach \ref{inww} die Lokalisierung jedes injektiven $A$-Moduls eine welke Modulgarbe. Gegeben eine injektive Aufl"osung $M\hra I^\lhd$ eines $A$-Moduls ist folglich $\mathcal L M\hra \mathcal L I^\lhd$ eine $f_{(*)}$-azyklische Aufl"osung von $\mathcal L M$ und f"ur $q>0$ finden wir $$({\op{R}}^qf_{(*)})(\mathcal L M)=\mathcal H^q (f_{(*)}\mathcal L I^\lhd) =\mathcal H^q\mathcal L (\op{res}_A^B I^\lhd)= \mathcal L\mathcal H^q (\op{res}_A^B I^\lhd)=0$$ Ist weiter $f:\op{Spec}A\ra\op{Spec}B$ ein Morphismus von affinen Schemata mit $A$ noethersch von endlicher Krulldimension $\op{kdim}A=n<\infty$, so ist der Vorschub abelscher Garben %\label{hDv} $f_{(*)}: \op{Ab}_{/\op{Spec}A}\ra\op{Ab}_{/\op{Spec}B} $ von homologischer Dimension $\leq n$ nach dem Verschwindungssatz von Grothendieck \ref{hDv}. Nach unseren Erkenntnissen zum Derivieren homologisch endlicher Funktoren \eref{UbDe}{TD} sind folglich Komplexe quasikoh"arenter Garben $f_{(*)}$-quisrechtsentfaltet und das zeigt Teil 5. \\[2mm]\noindent 2$(f_*)$. \nichtfinal{Sollte einfach nur als Komplex quasikoh"arenter Garben schreiben und affine "Uberdeckung nehmen und \c{C}echkomplex dazu und dann ist es entfaltet etc.} Als n"achstes zeigen wir die Behauptung f"ur $f:\op{Spec}A\hra X$ einen Morphismus vom Spektrum eines noetherschen Krings zu einem separierten Schema. Dazu "uberlegen wir uns zun"achst, da"s jede quasikoh"arente Modulgarbe $\mathcal F$ auf\, $\op{Spec}A$ rechtsazyklisch ist f"ur den Vorschub $f_{(*)}$. Nach "Ubung \ref{MASc} ist jeder Morphismus von einem affinen Schema zu einem separierten Schema affin. Ist $i:\op{Spec}B\hra X$ die offene Einbettung eines affinen Schemas, so finden wir mithin ein kartesisches Diagramm gekringter R"aume $$\begin{array}{ccc}\op{Spec}C&\ra&\op{Spec}A\\ \da&&\da\\ \op{Spec}B&\ra &X \end{array}$$ mit offenen Einbettungen in den Horizontalen. Nach "Ubung \ref{NoSC} ist auch $C$ noethersch. Nach offenem Basiswechsel \eref{??}{??} reicht es zu zeigen, da"s quasikoh"arente Modulgarben auf $\op{Spec}C$ rechtsazyklisch sind f"ur den Vorschub unter der linken Vertikale. Das jedoch wissen wir bereits aus dem Beweis von Teil 5. Ist nun \end{proof} \begin{Bemerkungl} \nichtfinal{Nach hinten!} Jeder Komplex von Moduln "uber einem Ring $A$ hat eine Cartan-Eilenberg-Untenaufl"osung durch freie Moduln nach \eref{ECaR}{TG} und deren Summentotal ist nach \eref{hprl}{TD} eine Quislinksentfaltung. So sehen wir, da"s das wesentliche Bild unseres volltreuen Funktors $\pi^*$ aus allen Komplexen besteht, die quasiisomorph sind zu Komplexen aus direkten Summen von Kopien der Strukturgarbe. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Vorschub lokal quasikoh"arenter Komplexe}] Gegeben ein Morphismus $f:X\ra Y$ von separierten noetherschen Schemata endlicher Krulldimension induziert der derivierte Vorschub von Modulgarben $f_*:\op{Der}_{/X}\ra \op{Der}_{/Y}$ einen Funktor $$f_*:\op{Der}_{/X}^{\op{lqk}}\ra \op{Der}_{/Y}^{\op{lqk}}$$ \end{Satz} \begin{proof} \nichtfinal{Noch etwas neu am 9.12.2025. Vielleicht besser Induktion "uber Zahl der "uberdeckenden Teilmengen?} Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit sei $Y$ affin. Gegeben $\mathcal F\in \op{Der}^{\op{lqk}}(X)$ w"ahlen wir eine offene affine "Uberdeckung von $X$ durch gewisse offene affine $U_\nu\co X$ mit Einbettung $i_\nu$ und $i_\nu^*\mathcal F\sira \pi_\nu^*\pi_{\nu *}i_\nu^*\mathcal F$ unter der Einheit der Adjunktion f"ur $\pi_\nu$ der konstanten Abbildung auf den Einpunktraum geringt mit $\mathcal O(U_\nu)$. Wir d"urfen unsere Familie endlich annehmen, sagen wir $1\leq \nu\leq n$. Da wir $X$ separiert angenommen haben, sind auch alle endlichen Schnitte affiner offener Teilmengen affin und f"ur sie gilt a forteriori in vereinfachter Notation $i^*\mathcal F\sira \pi^*\pi_*i^*\mathcal F$. Wir d"urfen nach \eref{reff}{TSF} annehmen, da"s $\mathcal F$ als ein quisrechtsentfalteter Komplex der Homotopiekategorie der Modulgarben gegeben ist. Dann ist auch $j^{(*)}\mathcal F$ f"ur jede offene Einbettung $j:U\hra X$ quisrechtsentfaltet, da in diesem Fall $j^{(*)}=j^{(!)}$ einen exakten Linksadjungierten $j_{(!)}$ auf der Kategorie aller Modulgarben hat, so da"s f"ur jeden exakten Komplex $\mathcal E$ von Modulgarben auf $U$ gilt $$\op{Hot}_{/U}(\mathcal E, j^{(!)}\mathcal F)\cong \op{Hot}_{/X}(j_{(!)}\mathcal E, \mathcal F)=0$$ Jetzt betrachten wir f"ur alle Garben $\mathcal F^p$ des Komplexes $\mathcal F$ den vergarbten angeordneten \v{C}ech-Komplex $$\mathcal F^p \hra \prod_\nu i_{\nu(*)}i_\nu^{(*)}\mathcal F^p \ra\ldots$$ nach \eref{AGCKg}{TG}. Er ist eine endliche Aufl"osung von $\mathcal F^p$ und in ihrer Gesamtheit liefern diese Aufl"osungen einen Doppelkomplex $\check{\mathcal{C}}^{q}\mathcal F^p$ mit nur endlich vielen $p$-Zeilen und einer Einbettung von $\mathcal F$ als horizontalem Kernkomplex, die einen Quasiisomorphismus $\mathcal F\qri \op{tot}\check{\mathcal{C}}^{q}\mathcal F^p$ induziert. Auch dieser Totalkomplex ist quisrechtsentfaltet, denn f"ur einen exakten Modulgarbenkomplex $\mathcal E$ auf $X$ ist $$\op{tot}^\pi(\op{Ab}_{/X}(\mathcal E^r, \op{tot}\check{\mathcal{C}}^{q}\mathcal F^p))$$ das Produkttotal eines Tripelkomplexes abelscher Gruppen mit exakten Produkttotalen f"ur jedes feste $q$, diese Produkttotale sind ja endliche Summen von gewissen $\op{tot}^\pi(\op{Ab}_{/X}(\mathcal E^r, i_{(*)}i^{(*)}\mathcal F^p))\cong \op{tot}^\pi(\op{Ab}_{/X}(i_{(!)}i^{(*)}\mathcal E^r, \mathcal F^p))$ mit geeigneten offenen Einbettungen $i$. Das Produkttotal unseres Tripelkomplexes ist mithin das eines Doppelkomplexes abelscher Gruppen mit nur endlich vielen und exakten Zeilen und folglich exakt, was schlie"slich zeigt, da"s er in der Tat exakt ist und da"s folglich der vergarbte angeordnete \v{C}ech-Komplex zu einer endlichen offenen "Uberdeckung eines gekringten Raums aus quisrechtsentfalteten Komplexen von Modulgarben quisrechtsentfaltete Komplexe macht. \nichtfinal{(Sollte ich als Lemma ausgliedern!)} Andererseits liefert die Koeinheit der Adjunktion nach Annahme Isomorphismen in der derivierten Kategorie $\pi^*\pi_{*}i^*\mathcal F\sira i^*\mathcal F$ f"ur $i:U\hra X$ die offene Einbettung eines Schnitts von einigen unserer $U_\nu$ und $\pi:U\ra(\op{top};\mathcal O(U))$. Aufgrund der Exaktheit von Lokalisierungen ist $\pi^{(*)}$ exakt. Weiter ist $i^{(*)}$ exakt und $i^{(*)}\mathcal F$ quisrechtsentfaltet und so folgt, da"s die Einheit der Adjunktion in der Homotopiekategorie Quasiisomorphismen $$\pi^{(*)}\pi_{(*)}i^{(*)}\mathcal F\qri i^{(*)}\mathcal F$$ induziert. Dabei ist auch die linke Seite $i_{(*)}$-quisrechtsentfaltet, da sie ein Komplex quasikoh"arenter Modulgarben ist und $i$ ein affiner Morphismus ist und $i_{(*)}$ endliche homologische Dimension hat. Folglich induziert unser Quasiisomorphismus einen Quasiisomorphismus $$i_{(*)}\pi^{(*)}\pi_{(*)}i^{(*)}\mathcal F\qri i_{(*)}i^{(*)}\mathcal F$$ Jetzt setzen wir beide Seiten zu Doppelkomplexen zusammen, bei denen rechts in den Spalten die vergarbten \v{C}ech-Komplexe der $\mathcal F^p$ stehen und links etwas Analoges. So erhalten wir einen Homomorphismus $\tilde{\mathcal{C}}^{q}\mathcal F^p\ra \check{\mathcal{C}}^{q}\mathcal F^p$ von Doppelkomplexen, der f"ur jedes feste $q$ Quasiisomorphismen auf den $p$-Zeilen induziert, also Isomorphismen auf den ${\op{E}}_1$-Termen der jeweiligen Spektralsequenzen. Dann aber mu"s er aber, da es unsere Doppelkomplexe nur endlich viele von Null verschiedene Zeilen haben, auch einen Quasiisomorphismus $$\op{tot}\tilde{\mathcal{C}}^{q}\mathcal F^p\qri \op{tot}\check{\mathcal{C}}^{q}\mathcal F^p$$ auf den zugeh"origen Totalkomplexen induzieren. \nichtfinal{(Das scheint bereits zu zeigen, da"s auf separierten noetherschen Schemata jeder lokal quasikoh"arente Komplex auch global quasiisomorph ist zu einem Komplex aus quasikoh"arenten Modulgarben. Das k"onnte als Zwischenergebnis den Beweis gut vereinfachen.)} Der Komplex $\op{tot}\tilde{\mathcal{C}}^{q}\mathcal F^p$ besteht nun aus endlichen Produkten von Modulgarben der Gestalt $i_{(*)}\pi^{(*)}\pi_{(*)}i^{(*)}\mathcal F^p$ alias Modulgarben der Gestalt $i_{(*)}\mathcal G$ f"ur $\mathcal G$ quasikoh"arent und $i:U\hra X$ die Einbettung einer offenen affinen Teilmenge. Diese aber sind $f_{(*)}$-azyklisch und da $f_{(*)}$ endliche homologische Dimension hat, ist der Totalkomplex auf der linken Seite $f_{(*)}$-quisrechtsentfaltet. Vom Totalkomplex auf der rechten Seite wissen wir schon, da"s er sogar quisrechtsentfaltet ist. Zusammen folgen Quasiisomorphismen $$f_{(*)}\op{tot}\tilde{\mathcal{C}}^{q}\mathcal F^p\qri f_{(*)}\op{tot}\check{\mathcal{C}}^{q}\mathcal F^p\qli f_{(*)}\mathcal F$$ Sie zeigen, da"s $f_*\mathcal F$ in der derivierten Kategorie isomorph ist zu einem Komplex quasikoh"arenter Modulgarben auf $Y$. \end{proof} \begin{Bemerkunge} Nach \cite{BoeNee} Cor. 5.5 ist f"ur $X$ ein kompaktes separiertes Schema der offensichtliche Funktor eine "Aquivalenz $\op{Der}(\mathcal O\op{-Modqkoh})\sirra \op{Der}_{\op{qkoh}}(\mathcal O\op{-Mod})$ von der derivierten Kategorie der quasikoh"arenten Modulgarben auf $X$ zur vollen Unterkategorie der derivierten Kategorie aller Komplexe von Modulgarben mit der quasikoh"arenten Homologieobjekten. Ich wei"s noch nicht, ob mir das irgendwo weiterhilft. \end{Bemerkunge} \begin{Proposition}[\textbf{Berechnung von internem Hom f"ur Modulgarben}] Gegeben ein gekringter Raum $X=(X;\mathcal A)$ und $\mathcal F\in \op{Ket}^-(\op{Ab}_{/X})$ ein Komplex von Modulgarben, die lokal frei sind von endlichem Rang, sowie $\mathcal G\in \op{Ket}^+(\op{Ab}_{/X})$ ist der nat"urliche Morphismus ein Isomorphismus\label{BihM} $$(\mathcal F{\Rrightarrow}_{\op{Der}}\mathcal G)\sira Q(\mathcal F{\Rrightarrow}_{\op{Hot}}\mathcal G)$$ \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Dasselbe gilt, wenn wir st"arker $\mathcal F\in \op{Ket}^{\op{b}}(\op{Ab}_{/X})$ fordern, sogar f"ur alle $\mathcal G\in \op{Ket}(\op{Ab}_{/X})$. In diesem Fall folgt die Aussage jedoch durch Einschr"ankung auf offene Teilmengen unmittelbar aus dem Fall $\mathcal F=\mathcal A[0]$ der Strukturgarbe.\label{BihM2} \end{Bemerkungl} \begin{proof} Gegeben eine Schmelzkategorie $\mathscr M$ mit stabil universellen Verschmelzungen kann das interne Hom, soweit es existiert, beschrieben werden als der Rechtsadjungierte $\mathcal F{\Rrightarrow}$ zu $\mathcal F\otimes$. Weiter bilden nach \eref{AdJD}{TD} in gro"ser Allgemeinheit f"ur ein adjungiertes Paar $(T,H)$ auch die derivierten Funktoren $({\op{L}}T, {\op{R}}H)$ ein adjungiertes Paar. Gegeben ein gekringter Raum $(X,\mathcal A)$ liefert uns das einen Isomorphismus $$\big({\op{R}}(\mathcal F{\Rrightarrow}_{\op{Hot}})\big)(\mathcal G)\sira (\mathcal F{\Rrightarrow}_{\op{Der}}\mathcal G)$$ Jede Quisrechtsentfaltung $\mathcal G\qri \mathcal I$ von $\mathcal G$ induziert insbesondere einen Isomorphismus $(\mathcal F{\Rrightarrow}_{\op{Der}}\mathcal G)\sira Q(\mathcal F{\Rrightarrow}_{\op{Hot}}\mathcal I)$. Gibt es nun sogar eine Quisrechtsentfaltung $\mathcal G\qri \mathcal I$ derart, da"s $\mathcal F{\Rrightarrow}_{\op{Hot}}(\op{Keg}( \mathcal G\qri \mathcal I))$ ein exakter Garbenkomplex ist alias $(\mathcal F{\Rrightarrow}_{\op{Hot}} \mathcal G)\ra (\mathcal F{\Rrightarrow}_{\op{Hot}} \mathcal I)$ ein Quasiisomorphismus, so folgt in der derivierten Kategorie der obere horizontale Isomorphismus $$\begin{array}{ccc} (\mathcal F{\Rrightarrow}_{\op{Der}}\mathcal G)&\sira& Q(\mathcal F{\Rrightarrow}_{\op{Hot}}\mathcal G)\\ \da\wr&&\da\wr\\ (\mathcal F{\Rrightarrow}_{\op{Der}}\mathcal I)&\sira& Q(\mathcal F{\Rrightarrow}_{\op{Hot}}\mathcal I) \end{array}$$ aus dem Rest des Diagramms. Da die Kategorie der Modulgarben genug Injektive besitzt, gibt es f"ur jeden Komplex $\mathcal G\in \op{Ket}^+(\op{Ab}_{/X})$ einen Quasiisomorphismus zu einem Komplex $\mathcal I\in \op{Ket}^+(\op{Ab}_{/X})$ aus injektiven Modulgarben, und so ein Komplex ist nach \eref{DEIAa}{TD} stets quisrechtsentfaltet. Die Proposition folgt also, sobald wir zeigen, da"s f"ur jeden exakten Komplex $\mathcal E\in \op{Ket}^+(\op{Ab}_{/X})$ unter unseren Annahmen an $\mathcal F$ auch $\mathcal F{\Rrightarrow}_{\op{Ket}}\mathcal E$ exakt ist. Per definitionem ist dieser Komplex das Produkttotal des Doppelkomplexes der $\mathcal F^{-q}{\Rrightarrow}_{\op{Ket}}\mathcal E^p$. Unter unseren Annahmen hat er exakte Zeilen und lebt bis auf eine Indexverschiebung im ersten Quadraten. Folglich f"allt das Produkttotal mit dem Summentotal zusammen und der Komplex der Halme an einer Stelle $x\in X$ des Totalkomplexes ist isomorph zum Totalkomplex der Halme, in Formeln $$\big(\op{tot}(\mathcal F^{-q}{\Rrightarrow}_{\op{Ket}}\mathcal E^p)\big)_x \cong \op{tot}\big((\mathcal F^{-q}{\Rrightarrow}_{\op{Ket}}\mathcal E^p)_x\big)$$ Die rechte Seite ist jedoch f"ur alle $x\in X$ ein Doppelkomplex abelscher Gruppen mit exakten Zeilen im ersten Quadraten und folglich exakt. Also ist $\mathcal F{\Rrightarrow}_{\op{Ket}}\mathcal E$ in der Tat ein exakter Komplex von Modulgarben. \end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{Internes Hom f"ur derivierte Moduln und Modulgarben}] Gegeben ein noetherscher Kring $A$ endlicher Krulldimension ist der durch den Schmelzfunktor $\pi^*:\op{Der}_{/(\op{top};A)}\vra\op{Der}_{/(\op{Spec}A;\mathcal O)}$ gegebene Vergleichsmorphismus \eref{fIH}{TSK} von internem Hom f"ur alle Komplexe $M\in \op{Ket}^-(\op{Modfg}_A)$ und $N\in \op{Ket}^+(\op{Mod}_A)$ ein Isomorphismus $$\pi^*(M{\Rrightarrow}N)\sira (\pi^*M{\Rrightarrow}\pi^*N)$$ \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Dasselbe gilt, wenn $M$ ein endlich erzeugter projektiver Modul ist und dann auch ein beschr"ankter Komplex endlich erzeugter projektiver Moduln sogar f"ur beliebige Modulkomplexe $N$. In diesem Fall folgt es mit \ref{BihM} und seiner Erg"anzung \ref{BihM2} leicht daraus, da"s $\pi^*M$ f"ur $M$ endlich erzeugt projektiv eine lokal freie Modulgarbe von endlichem Rang ist. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir annehmen, da"s $M$ ein Komplex aus endlich erzeugten freien Moduln ist. Dann aber ist die fragliche Abbildung auf den Homotopiekategorien offensichtlich ein Isomorphismus und da nach \ref{BihM} beide Seiten bereits das interne Hom in den jeweiligen Kategorien beschreiben, folgt die Proposition. \end{proof} \nichtfinal{Scheint teils alt und "uberholt.} \begin{Bemerkungl} In \eref{bRehd}{TSF} haben wir f"ur einen Kring $A$ endlicher homologischer Dimension \nichtfinal{(Nee, in voller Allgemeinheit!)} die derivierte Kategorie $\op{Der}(\op{Mod}_A)$ mit der Struktur einer Schmelzkategorie mit universellen Verschmelzungen und Multihom versehen, f"ur die die "ubliche triangulierte Struktur intern ist. Gleichbedeutend gilt eine entsprechende Aussage f"ur $\op{Der}(\op{Mod}_A^{\op{opp}})$. Wir behaupten nun, da"s $$\op{Der}\left(\op{Mod}_{\sslash{\op{Kringo}^{\op{ehd}}}}\right)\ra \curlywedge{\op{Kringo}^{\op{ehd}}}$$ "uber den Kringen endlicher homologischer Dimension eine verflochtene Trennfaserung ist. \nichtfinal{Beweis ausschreiben! Kann aber doch wohl f"ur $f_!$ nur Restriktionen l"angs flacher Kringerweiterungen zulassen! } \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Skalarerweiterung und Tensorprodukt deriviert}] Das folgende ist eine Variante von \eref{RueckT}{TSF}. Wir erinnern die Opmodultrennfaserung $\op{Mod}_{\sslash \op{Kringo}}\ra \op{Kringo}$. Indem wir erst zu Komplexen und dann zu Homotopiekomplexen "ubergehen, erhalten wir in offensichtlicher Weise weitere Trennfaserungen, f"ur die ich die Notationen $\op{Ket}(\op{Mod}_{\sslash \op{Kringo}})\ra \op{Kringo}$ und $\op{Hot}(\op{Mod}_{\sslash \op{Kringo}})\ra \op{Kringo}$ verwende. Die Lokalisierung letzterer Trennkategorie nach allen Einstrennungen "uber Identit"aten, die Quasiisomorphismen sind, notiere ich\label{DERM} $\op{Der}_{\sslash \op{Kringo}}\pdef \op{Hot}(\op{Mod}_{\sslash \op{Kringo}})_{\shortparallel\op{qis}}$. Wir erhalten so einen Trennfunktor\index{Der@$\op{Der}_{\sslash \op{Kringo}}$|main} $$\op{Der}_{\sslash \op{Kringo}}\ra \op{Kringo}$$ %Seine %Faser "uber einem topologischen Raum $X$ notiere ich % $\op{Der}_{\sslash X}$.\index{Der@$\op{Der}_{\sslash X}$|main} \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Vertr"aglichkeiten von R"uckzug und Tensorprodukt}] \nichtfinal{Ab hier anpassen von Top auf Kringo und erst beschr"ankte nehmen, dann ehd erg"anzen. Spaltenstein liefert zwar allgemeines, aber was soll mir das hier.} \begin{enumerate} \item Unser Trennfunktor $\op{Der}_{\sslash \op{Kringo}}\ra \op{Kringo}$ aus \ref{DERM} ist eine Trennfaserung; \item Jede f"ur $\op{Hot}(\op{Mod}_{\sslash \op{Kringo}})\ra \op{Kringo}$ kartesische Trennung zwischen Komplexen flacher Moduln liefert eine f"ur $\op{Der}_{\sslash \op{Kringo}}\ra \op{Kringo}$ kartesische Trennung; \item F"ur jeden topologischen Raum $X$ sind die offensichtlichen Funktoren Isomorphismen von Trennkategorien $$ \op{Hot}(\op{Ab}_{\sslash X})_{\shortparallel \op{qis}} \sira(\op{Der}_{\sslash \op{Top}})_X$$ zwischen der Lokalisierung der Faser "uber $X$ als Trennkategorie und der Faser "uber $X$ der globalen Lokalisierung mit ihrer offensichtlichen Struktur als Trennkategorie. \end{enumerate} \label{VRT} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Die Trennkategorien $\op{Der}(\op{Ab}_{\sslash X})$ aus dem vorhergehenden Satz sind per definitionem opponiert zu unseren Schmelzkategorien $\op{Der}(\op{Ab}_{/ X})$. Unser Satz liefert unter anderem, was man in einer anderen Terminologie die \glqq Struktur eines symmetrischen monoidalen Funktors\grqq\ f"ur den R"uckholfunktor $f^*:\op{Der}(\op{Ab}_{/Y})\ra \op{Der}(\op{Ab}_{/X})$ zu einer stetigen Abbildung $f:X\ra Y$ nennen w"urde. Er gilt analog f"ur Garben von Moduln "uber einem beliebigen Kring endlicher Torsionsdimension. Analoges gilt mit demselben Beweis f"ur die einseitig oder beidseitig beschr"ankten Komplexe und die zugeh"origen derivierten Kategorien.\label{VRTm} \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir wenden unseren Satz \ref{LRAn} zur Lokalisierung von Kofaserfunktoren durch Linksanpassung oder genauer den daraus durch "Ubergang zu den opponierten Kategorien entstehenden Satz zur Lokalisierung von Faserfunktoren durch Rechtsanpassung an auf den auf den Wortkategorien induzierten Funktor $$\op{Hot}(\op{Ab}_{\sslash \op{Top}})^\curlywedge\ra \op{Top}^\curlywedge$$ Er ist ein Faserfunktor. Genauer ist f"ur stetige Abbildungen $f_i:X\ra Y_i$ und $\mathcal G_i\in\op{Hot}(\op{Ab}_{\sslash Y_i})$ die tautologische Trennung $$ f_1^*\mathcal G_1\otimes\ldots\otimes f_n^*\mathcal G_n\ra \mathcal G_1\curlywedge\ldots\curlywedge\mathcal G_n$$ "uber $(f_1, \ldots, f_n)$ kartesisch. Wie beim Beweis des Spezialfalls \ref{DeKaM}, nur jetzt in der opponierten Situation, bilden die Tupel von Quasiisomorphismen "uber Identit"aten nach \eref{KTQu}{TD} ein \hyperref[fORE]{faserweises Linksoresystem}, ja sogar ein faserweises Oresystem. F"ur dieses faserweise Linksoresystem der Quasiisomorphismen ist nun wie beim Beweis des Spezialfalls \ref{DeKaM} die Unterkategorie $\op{Hot}(\op{flAb}_{\sslash \op{Top}})^\curlywedge$ der Worte in Homotopiekomplexen flacher abelscher Garben "uber topologischen R"aumen eine \hyperref[LAP]{Rechtsanpassung}, denn Tensorprodukt wie R"uckzug machen aus flachen Garben flache Garben, Tensorprodukt wie R"uckzug von Quasiisomorphismen zwischen Komplexen flacher abelscher Garben sind wieder Quasiisomorphismen, und nach \eref{UGTR}{TD} finden wir f"ur jeden Komplex abelscher Garben einen Quasiisomorphismus von einem Komplex flacher abelscher Garben dorthin, der dann in der opponierten Kategorie entsprechend von dort ausgeht. \end{proof} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Garbenkohomologie als Schmelzfunktor}] Die graduierte Kommutativit"at und Funktorialit"at des Kohomologierings ist "aquivalent zur Aussage, da"s die Vorschrift $X\mapsto {\op{H}}^*(X;\DZ_X)$ von einem Trennfunktor\label{GKSF} $${\op{H}}^*={\op{H}}^*_{\op{garb}}:\curlywedge{\op{Top}}\ra \op{gsAb}^{\op{opp}}$$ herkommt, dessen Effekt auf Trennungen durch das \glqq Produkt der R"uckz"uge\grqq\ gegeben wird. Einen derartigen Trennfunktor hatten wir in der singul"aren Kohomologietheorie bereits in \eref{Koho}{TS} kennengelernt und zur Konstruktion des Kohomologierings genutzt. Im Fall der Garbenkohomologie man man besagten Trennfunktor erhalten als die Komposition $$\curlywedge{\op{Top}}\ra \op{Der}_{\sslash \op{Top}}\ra \op{gsAb}^{\op{opp}}$$ des bis auf eindeutige Isotransformation wohlbestimmten kartesischen Lifts nach \ref{koLI} unserer Trennfaserung $\op{Der}_{\sslash \op{Top}} \ra \curlywedge{\op{Top}}$ mit dem Trennfunktor der graduierten Leertrennungen aus \eref{NuVE}{TS}. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Versuch vern"unftige derivierte Kategorie auf Schemata}] Ich w"urde versuchen wollen, auf Schemata solche Komplexe von Modulgarben zu betrachten, die lokal quasiisomorph\label{vVSc} sind zu beschr"ankten Komplexen endlich erzeugter freier Modulgarben. Die sind jedenfalls stabil unter Trennr"uckzug und sind vollte trianglierte Unterkategorien der derivierten Kategorien aller Modulgarben. Auf affinen Variet"aten $\op{Spec}A$ ist der Lokalisierungsfunktor volltreu auf Morphismen $A\ra A[n]$ und folglich volltreu auf der von allen endlich erzeugten projektiven Moduln erzeugten triangulierten Unterkategorie von $\op{Der}(\op{Mod}_A)$, die damit in unserer Spezialkategorie landet. Weiter ist er sogar vertr"aglich mit internem Hom. Mithin sind unsere Spezialkategorien stabil unter internem Hom. Ist speziell $A$ noethersch von endlicher projektiver Dimension, so enth"alt unsere Spezialkategorie alle koh"arenten Modulgarben. Insbesondere gilt das f"ur alle glatten affinen Variet"aten und dann auch f"ur alle glatten Variet"aten. \end{Bemerkungl} \newpage \subsection{Pr"aschrott} AB HIER NOCH UNGEPUTZT! \begin{Bemerkungl}[\textbf{Modulgarben als Trennfaserung}] \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Sei $\cal{A}$ eine Garbe von nicht notwendig kommutativen Ringen auf einem topologischen Raum $X$. \begin{enumerate} \item Ein $\cal{A}$-Modul $\cal{F}$ hei"st {\bf lokal modulendlich},\index{modulendlich!lokal} %oder auf %franz"osisch {\bf de type fini}\index{de type fini!"uber Garbe von Ringen} %genau dann, wenn jeder Punkt $x \in X$ eine offene Umgebung $U$ besitzt derart, da"s $\cal{F}|_U$ ein Quotient ist von $\cal{A}^{p}|_U$ f"ur geeignetes $p \in \Bbb{N}$. \item Ein $\cal{A}$-Modul $\cal{F}$ hei"st {\bf koh"arent},\index{koh"arent!Garbe von Moduln} wenn er lokal endlich erzeugt ist und wenn au"serdem f"ur alle $V \co X$ und $k\in\DN$ und jeden Morphismus $\cal{A}^{k}|_{V} \ra \cal{F}|_{V}$ der Kern lokal modulendlich ist. \item Die Garbe von Ringen $\cal{A}$ hei"st \defnoind{koh"arent}\index{koh"arent!Garbe von Ringen} oder genauer \defnoind{linkskoh"arent},\index{linkskoh"arent!Garbe von Ringen} wenn sie koh"arent ist als Linksmodul "uber sich selber. \end{enumerate} \end{Definition} \begin{Beispiele} Die Strukturgarbe einer algebraischen Variet"at oder eines lokal noetherschen Schemas ist koh"arent. Die Strukturgarbe einer analytischen Variet"at ist koh"arent (Satz von Oka). \end{Beispiele} \begin{Beispiel} Ein Ring hei"st {\bf koh"arent},\index{koh"arent!Ring} wenn er als Garbe von Ringen "uber dem einpunktigen Raum koh"arent ist. Zum Beispiel ist jeder noethersche Ring koh"arent. \end{Beispiel} \begin{Definition} Sei $\cal{A}$ eine Garbe von Ringen auf einem topologischen Raum $X$. Ein $\cal{A}$-Modul $\cal{M}$ hei"st \defind{quasikoh"arent}, wenn jeder Punkt $x \in X$ eine offene Umgebung $U \co X$ besitzt derart, da"s $\cal{M}|_{U}$ isomorph ist zum Kokern eines Morphismus freier Modulgarben, da"s es also eine rechtsexakte Sequenz von $(\cal{A}|_U)$-Moduln gibt der Gestalt $$\bigoplus_{j\in J}\left( \cal{A}|_{U}\right) \ra \bigoplus_{i\in I}\left( \cal{A}|_{U}\right) \twoheadrightarrow \cal{M}|_{U}$$ Die direkten Summen sind hierbei im Sinne von \ref{DLIG} in der Kategorie der abelschen Garben zu verstehen. \end{Definition} \begin{Ubung} Sei $\cal{M}$ eine abelsche Garbe auf einem geringten Raum $(X,\cal{A})$. Eine $\cal{A}$-Modulstruktur auf $\cal{M}$ anzugeben ist dasselbe, wie einen Homomorphismus $\cal{A} \ra \op{End} \cal{M}$ von Garben von Ringen anzugeben. \end{Ubung} \begin{Definition} Sei $X$ ein topologischer Raum und $\cal{A}$ eine Garbe von Ringen auf $X$.\label{Teaa} Gegeben eine Garbe von $\cal{A}$-Rechtsmoduln $\mathcal{F}$ und eine Garbe von $\cal{A}$-Linksmoduln $\mathcal{G}$ auf $X$ definieren wir ihr \defnoind{Tensorprodukt}\index{Tensorprodukt!von Garben "uber Garben} $$\mathcal{F} \otimes_{\cal{A}} \mathcal{G} $$ als die zur abelschen Pr"agarbe $ U \mapsto \mathcal{F} (U) \otimes_{\cal{A}(U)} \mathcal{G} (U) $ assoziierte abelsche Garbe. \end{Definition} \begin{Ubung}[\textbf{Halme von Tensorprodukten}] Sei $X$ ein topologischer Raum und $\cal{A}$ eine Garbe von Ringen auf $X$.\label{HaLTG} Sei $\mathcal{F}$ eine Garbe von $\cal{A}$-Rechtsmoduln und $\mathcal{G}$ eine Garbe von $\cal{A}$-Linksmoduln auf $X$. So liefert f"ur jeden Punkt $x\in X$ die offensichtliche Abbildung einen Isomorphismus $$(\mathcal{F} \otimes_{\cal{A}} \mathcal{G})_x \;\sira \; \mathcal{F}_x \otimes_{\cal{A}_x} \mathcal{G}_x$$ vom Halm des Tensorprodukts in das Tensorprodukt der Halme. Hinweis: \ref{dLt} und \ref{KLT}. \end{Ubung} \begin{Definition} Sei $\varphi :(X,\cal{A}) \ra (Y,\cal{B})$ ein Morphismus von geringten R"aumen. Wir erkl"aren einen Funktor $$\varphi_{(\ast)} : \cal{A} \op{-Mod} \ra \cal{B} \op{-Mod}$$ das sogenannte {\bf direkte Bild}\index{direktes Bild!von $\cal{A}$-Modul} unter $\varphi$, indem wir als zugrundeliegende Garbe von abelschen Gruppen die "ubliche direkte Bildgarbe $\varphi_{(\ast)} \cal{M}=\varphi_{\circ} \cal{M}$ mit $(\varphi_{\circ} \cal{M})(U)=\cal{M} (\varphi^{-1}(U))$ nehmen und als Multiplikation die Verkn"upfung $$\cal{B} (U) \times \cal{M} (\varphi^{-1}(U))\ra \cal{A}(\varphi^{-1}(U)) \times \cal{M}(\varphi^{-1}(U)) \ra \cal{M}(\varphi^{-1}(U))$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Die in der Literatur f"ur direkte Bilder "ubliche Notation $\varphi_{\ast}$ wollen wir uns f"ur das derivierte direkte Bild vorbehalten. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Offensichtlich gilt $\psi_{(\ast)}\circ \varphi_{(\ast)} = (\psi \circ \varphi)_{(\ast)}$ und $\op{id}_{(\ast)} = \op{id}$. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}\label{ZhgM} Zum eben definierten Funktor $\varphi_{(\ast)}$ k"onnen wir einen Linksadjungierten $\varphi^{(\ast)} : \cal{B} \op{-Mod} \ra \cal{A}\op{-Mod}$, genannt das {\bf\em Zur"uckholen}\index{Zur"uckholen!von Garben von Moduln} von Garben von Moduln, konstruieren vermittels der Vorschrift $$\varphi^{(\ast)}\cal{N} \pdef \cal{A} \otimes_{\varphi^{\circ}\cal{B}} \varphi^{\circ}\cal{N}$$ \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Hier meint $\varphi^{\circ}$ das Urbild von Garben, d.h.\ den Linksadjungierten zu $\varphi_{\circ}$ in der Kategorie der Garben von Mengen oder auch der abelschen Garben. Im Spezialfall, da"s $Y$ ein Punkt ist und $\cal{B}=\Gamma(\cal{A})$ der Ring der globalen Schnitte von $\cal{A}$, wird dieses Zur"uckholen auch als {\bf Lokalisierung}\index{Lokalisierung!eines Moduls zu einer Garbe} bezeichnet. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{HoAA} Gegeben eine Garbe von Ringen $\mathcal A$ auf einem topologischen Raum $X$ liefert das Auswerten auf dem konstanten Schnitt $1$ f"ur alle $\mathcal M \in \mathcal A\op{-Mod}$ eine Bijektion \begin{equation*} \op{Mod}_{\mathcal A} (\mathcal A, \mathcal M) \overset{\sim}{\rightarrow} \Gamma (\mathcal M) \end{equation*} zwischen den $\mathcal A$-Modulhomomorphismen von $\mathcal A$ nach $\mathcal M$ und den globalen Schnitten von $\mathcal M$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine Garbe von Ringen $\mathcal A$ auf einem topologischen Raum $X$ mit gobalen Schnitten $\Gamma (\mathcal A)= A$ und $\mathcal N \in \mathcal A\op{-Mod}$ liefert der Funktor der globalen Schnitte gefolgt vom Vorschalten der kanonischen Abbildung $ \bigoplus_{i \in I} A \;\rightarrow\; \Gamma \left(\bigoplus_{i \in I} \mathcal A\right) $ die in der oberen Zeile des folgenden Diagramms behaupteten Bijektion \begin{displaymath} \xymatrix{ \op{Mod}_{\mathcal A} (\bigoplus_{i\in I} \mathcal A, \mathcal N) \ar[rr]^-{\sim}\ar[d]_\wr && \op{Mod}_A (\bigoplus_{i \in I} A, \Gamma (\mathcal N))\ar[d]^\wr\\ \prod_{i \in I} \op{Mod}_{\mathcal A} (\mathcal A, \mathcal N)\ar[dr]^\sim && \prod_{i \in I} \op{Mod}_A (A, \Gamma (\mathcal N))\ar[dl]_\sim\\ &\prod_{i \in I} \Gamma (\mathcal N) & \\ } \end{displaymath} In der Tat sind die vertikalen Pfeile dieses kommutativen Diagramms Bijektionen nach der universellen Eigenschaft direkter Summen und der vorhergehenden Bemerkung \ref{HoAA}. %Man beachte, da"s diese Abbildung nach \ref{VTDLa} %f"ur kompaktes $X$ auch selbst eine Bijektion %ist. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}\label{GloQy} Ist $k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper, $X$ eine affine $k$-Variet"at und $\cal{O}(X)$ der Ring der regul"aren Funktionen auf $X$, so definiert der Funktor der globalen Schnitte eine "Aquivalenz von Kategorien $$\{ \text{quasikoh"arente $\cal{O}_{X}$-Moduln}\} \overset{\sim}{\ra} \cal{O}(X)\op{-Mod}$$ \end{Satz} \begin{proof} [Beweis][Hartshorne, Algebraische Geometry] \end{proof} \begin{Satz}\label{GloQy} Gegeben ein affines Schema $X$ liefert der Funktor der globalen Schnitte eine "Aquivalenz von Kategorien $$\{ \text{quasikoh"arente $\cal{O}_{X}$-Moduln}\} \sirra \cal{O}_X(X)\op{-Mod}$$ \end{Satz} \begin{proof} Jedes affine Schema ist kompakt als topologischer Raum und besitzt sogar eine Basis der Topologie aus kompakten offenen Teilmengen, weshalb nach \eref{VTDLb}{GARB} das Bilden beliebiger direkter Summen, ja beliebiger filtrierender Kolimites von abelschen Garben mit dem Bilden globaler Schnitte vertauscht. \end{proof} \begin{Beispiel} Auf einem lokal zusammenh"angenden Raum $X$ ist jede quasikoh"arente Garbe von $\DZ_{X}$-Moduln lokal konstant. In der Tat ist nach \ref{SBbb} die direkte Summe einer beliebigen Familie konstanter Garben konstant, und ein Morphismus konstanter Garben auf einem zusammenh"angenden Raum ist stets konstant in dem Sinne, da"s er von einem Morphismus auf den globalen Schnitten herkommt. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Ist $k$ ein kommutativer Ring, so versteht man unter einem {\bf $k$-geringten Raum}\index{geringter Raum!$k$-geringter Raum} ein Paar $(X,\cal A)$ bestehend aus einem topologischen Raum $X$ und einer Garbe von $k$-Ringen $\cal A$ auf $X$. Morphismen sind analog zu \ref{DGRk} erkl"art. Man zeigt unschwer, da"s eine glatte Mannigfaltigkeit im Sinne von \ref{BspM} dasselbe ist wie ein $\DR$-geringter Hausdorffraum, der \glqq lokal isomorph\grqq\ ist zu $(\DR^n,\cal C^\infty)$. Den Wert einer glatten Funktion $f\in \cal C^\infty(U)$ an einer Stelle $x\in U$ kann man n"amlich beschreiben als das $b\in\DR$, f"ur das die Differenz $f-b$ nicht invertierbar ist im Halm an der Stelle $x$. Eine {\bf Supermannigfaltigkeit}\index{Supermannigfaltigkeit} {\bf vom Typ $(p,q)$} ist ein durch $\DZ/2\DZ$-graduierte $\DR$-Ringalgebren geringter Hausdorffraum, der \glqq lokal isomorph\grqq\ ist zu $(\DR^p,\cal C^\infty\otimes \bigwedge \DR^q)$. Eine {\bf cs-Mannigfaltigkeit}\index{cs-Mannigfaltigkeit} {\bf vom Typ $(p,q)$} ist ein durch $\DZ/2\DZ$-graduierte $\DC$-Ringalgebren geringter Hausdorffraum, der \glqq lokal isomorph\grqq\ ist zu $(\DR^p,\cal C^\infty\otimes \bigwedge \DC^q)$. Das K"urzel \glqq cs\grqq\ steht f"ur \glqq complex super\grqq. Diese Begriffsbildung scheint auf Bernstein zur"uckzugehen. \end{Bemerkungl} \newpage \section{Versuch zum Faserprodukt} \begin{Lemma}[\textbf{Lokale \'etale Schnitte von Quotienten}] Seien $G\supset H$ eine affine algebraische Gruppe mit einer abgeschlossenen Untergruppe "uber $k=\bar k$. So finden wir eine nichtleere offene affine Teilmenge $U\co G/H$ und einen Morphismus $V\ra U$ von einer affinen Variet"at nach $U$, der ein Quotient nach einer freien Operation einer endlichen Gruppe auf $V$ ist und "uber $G$ faktorisiert.\label{etsc} \end{Lemma} \begin{proof} F"ur jeden Punkt $g\in G$ finden wir eine offene affine Umgebung $U\co G$ und Funktionen $x_1,\ldots, x_n\in\mathcal O(U)$, die bei $g$ ein regul"ares lokales Parametersystem bilden. Die Nullstellen jeder Teilmenge von $\{x_1,\ldots, x_n\}$ bilden dann eine bei $g$ glatte abgeschlossene Untervariet"at $V\As U$ und wir k"onnen durch eine geeignete Wahl einer Teilmenge der Menge der Parameter erreichen, da"s die Komposition $V\hra G\sra G/H$ bei $g$ bijektives Tangential hat. Durch $g$ geht nach \ref{lIrr} nur eine irreduzible Komponente $W$ von $V$, und diese landet in einer Zusammenhangskomponente $Z$ von $G/H$, die auch ihrerseits irreduzibel sein mu"s. Nach \eref{mght}{AAG} ist dann $W\ra Z$ dominant und $\mathcal M(W)/\mathcal M(Z)$ k"orperendlich und separabel. Die normale H"ulle $L/\mathcal M(Z)$ von $\mathcal M(W)/\mathcal M(Z)$ ist also eine endliche Galoiserweiterung. Nun betrachten wir in $Z$ eine affine Umgebung $Q$ des Bildes von $g$ und in $W$ eine offene glatte affine Umgebung $P$ von $g$ im Urbild von $Q$ und betrachten die ganzen Abschl"usse $B\subset C\subset L$ von $\mathcal O(Q)\subset\mathcal O(P)$. Dann operiert $\Gamma\pdef \op{Gal}(L/\mathcal M(Z))$ auf $B$ und $\op{Max}B\ra Q$ ist nach \ref{KQ} ein Quotientenmorphismus. Ebenso operiert $\Phi\pdef \op{Gal}(L/\mathcal M(W))$ auf $C$ und $\op{Max}C\ra P$ ist nach \ref{KQ} ein Quotientenmorphismus. Nat"urlich gibt es auch $f\in B\backslash 0$ derart, da"s unsere Einbettung auf den Lokalisierungen einen Isomorphismus $B_f\sira C_f$ induziert. Indem wir $f$ durch das Produkt aller $\Gamma$-Konjugierten von $f$ ersetzen, d"urfen wir annehmen, da"s $A\pdef B_f$ stabil ist unter $\Gamma$. Indem wir $P$ und $Q$ durch die Bilder von $\op{Max}A$ ersetzen, d"urfen wir annehmen, da"s wir $Q\ra P$ verl"angern k"onnen zu $$\op{Max}A\ra Q\ra P$$ in einer Weise, bei der der erste Morphismus ein Quotient nach $\Phi$ ist und die Komposition ein Quotient nach $\Gamma$. Die Vereinigung dieses Teilrings von $L$ mit allen seinen Konjugierten unter $\Gamma\pdef \op{Gal}(L/\mathcal M(Z))$ notieren wir $A\subset L$. Nach Konstruktion haben wir einen offenen Morphismus $\op{Max}A\ra P$ und jede Faser ist entweder leer oder eine Bahn von $\Phi\pdef \op{Gal}(L/\mathcal M(W))$. Ebenso haben wir einen offenen Morphismus $\op{Max}A\ra Q$ und jede Faser ist entweder leer oder eine Bahn von $\Gamma$. F"ur den dominanten Morphismus $\op{Max}C\ra \op{Max}B$ gibt es nach \eref{BiOn}{AAG} eine nichtleere offene affine Teilmenge $D\co \op{Max}C$ derart, da"s die Restriktion darauf offen ist. Nach \eref{FaMo}{AAG} d"urfen wir zus"atzlich annehmen, da"s sie endliche Fasern hat. F"ur $R\pdef \op{Max}C$ und $\Gamma\pdef \op{Gal}(L/\mathcal M(W))$ induziert dann $R\ra P$ etwa nach \ref{KQ} einen Isomorphismus $R/\Gamma\sira P$. \end{proof} \begin{Satz} Seien $G\supset H$ eine affine algebraische Gruppe mit einer abgeschlossenen Untergruppe "uber $k=\bar k$ und sei $Z$ eine $H$-Variet"at. So ist der $k$-geringte Raum $G\times_{/H} Z$ eine $G$-Variet"at. \end{Satz} \begin{proof} Nach Lemma \ref{etsc} besitzt jeder Punkt von $G/H$ eine offene affine Umgebung $U$ nebst einem Morphismus $V\ra U$ von einer affinen Variet"at $V$ dorthin, der ein Quotient nach der Rechtsoperation einer endlichen Gruppe $\Gamma$ ist und "uber $G$ faktorisiert verm"oge eines Morphismus $\varphi:V\ra G$. Die Rechtsoperation von $\gamma\in\Gamma$ auf $V$ notieren wir $v\mapsto v^\gamma$. Wir k"onnen dann einen Morphismus $c:V\times\Gamma\ra H$ erkl"aren durch die Vorschrift $\varphi(v^\gamma)=\varphi(v)c(v,\gamma)$. Nun betrachten wir $\pi:G\ra G/H$ und zeigen zun"achst, da"s die Multiplikation einen finalen Morphismus $$V\times H\ra \pi^{-1}(U)$$ liefert. Hier sind jedoch beide Variet"aten affin und $\pi^{-1}(U)$ ist normal und durch $(v,h)^\gamma\pdef (v^\gamma, c(v,\gamma)^{-1}h)$ erhalten wir eine freie Rechtsoperation von $\Gamma$ auf der affinen Variet"at $V\times H$, deren Bahnen genau die Fasern unseres finalen Morphismus in spe sind. Unser Differentialkriterium \ref{erkF} zeigt dann, da"s dieser Morphismus in der Tat ein Quotient nach $\Gamma$ ist. \end{proof} \nichtfinal{ \begin{Satz} NOCH WENIG DURCHDACHT! Ist $\varphi: X\ra Y$ ein flacher Morpismus von affinen Variet"aten und sind $x\in X$ und $Z\As Y$ gegeben mit $\varphi(x)\in Z$, so gilt $$\op{kdim}_x\varphi^{-1}(\varphi(x))=\op{kdim}_x\varphi^{-1}(Z) -\op{kdim}_{\varphi(x)}Z$$ Oder gilt das sogar f"ur jede irreduzible Komponente der fraglichen Mengen, die $x$ enth"alt? Die Idee war, Harthshorne abzuschreiben und so wie in \eref{Obi}{KAG} zu argumentieren. \end{Satz}} \nichtfinal{\begin{Ubung} Gegeben $k=\bar k$ und ein normaler affiner $k$-Kring $A$, der ein Integrit"atsring ist, und \label{ghkl} ein Element $q\in \op{Quot}(A)$ ist $\op{Max}(A[q])\ra \op{Max}A$ eine offene Einbettung. Nun, einerseits gibt es Punkte $\mathfrak m\in \op{Max}A$ derart, da"s $q$ ganz ist "uber dem lokalen Ring $A_{\mathfrak m}$ alias $q\in A_{\mathfrak m}$. Die bilden sicher eine offene Teilmenge. Sei nun andererseits ein Punkt $\mathfrak m\in \op{Max}A$ gegeben mit $q\not\in A_{\mathfrak m}$. Dann gibt es $\mathfrak p\in \op{Spec}A$ der H"ohe Eins mit $q\not\in A_{\mathfrak p}$ und $\mathfrak p\subset \mathfrak m$. Nun ist $A_{\mathfrak p}$ ein diskreter Bewertungsring und wir haben folglich $v_{\mathfrak p}(q)<0$. Nun ok, $q$ hat mindestens eine und h"ochstens endlich viele negative Bewertungen bei $\mathfrak m$. IDEE: Gibt es "uber $A_{\mathfrak m}$ vielleicht gar nichts weiteres $k$-ringendliches der richtigen Krulldimension? \end{Ubung}} \nichtfinal{Ich verstehe nicht. Wir haben den Definitionsbereich von $q$. Der sollte es doch genau sein. Nee, eben nicht: Kurve zusammengezwickt mit zwei verschiedenen Punkten.} \section{Schrotthalde} \subsection{Nochmal affine Morphismen} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Morphismus $\varphi:X\ra Y$ von Schemata liefert sein Komorphismus einen Homomorphismus $\mathcal O_Y\ra \varphi_\ast \mathcal O_X$ von Garben von Kringen auf $Y$. \end{Bemerkungl} \subsection{Erste Konstruktionen f"ur Schemata} \begin{Satz}[\textbf{Produkte und Koprodukte von Schemata}] In der Kategorie der Schemata existieren alle endlichen Produkte und Faserprodukte. Des weiteren existieren alle Koprodukte. \end{Satz} \begin{proof} In der Kategorie der Kringe existieren alle Koprodukte und kogefaserten Koprodukte und auch alle Produkte und gefaserten Produkte. Jetzt geht es ans Verkleben! \end{proof} \begin{Lemma} Gegeben ein Schema $X$, offene affine Teilmengen $U,V\co X$ und ein Punkt $x\in U\cap V$ gibt es stets $f\in \mathcal O(U)$ und $g\in \mathcal O(V)$ mit $ U_f=V_g$ und $x\in U_f$. In dieser Situation ist auch $ U_f=V_g$ affin. \end{Lemma} \begin{proof} Sicher finden wir $s\in \mathcal O(U)$ mit $x\in U_s\subset V$. Sicher finden wir auch $t\in \mathcal O(V)$ mit $x\in V_t\subset U$. Das Element $s\in\mathcal O(V_t)$ l"a"st sich nach \ref{ScBB} als Bruch $s=a/t^n$ mit $a\in\mathcal O(V)$ schreiben. Das Element $t\in\mathcal O(U_s)$ l"a"st sich als Bruch $t=b/s^m$ mit $b\in\mathcal O(U)$ schreiben. Folglich gilt $V_{at}=U_{bs}$ und $x$ liegt in beiden Mengen. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Wir nennen ein Schema {\bf koproduktaffin},\index{koproduktaffin} wenn es ein Koprodukt affiner Schemata ist. Wir nennen einen Morphismus koproduktaffiner Schemata {\bf lokalisierend}, wenn er auf jeder Zusammenhangskomponente einen Isomorphismus auf das Komplement der Nullstellenmenge einer Funktion in der Bildkomponente induziert. Jedes Schema $X$ besitzt es eine offene "Uberdeckung durch affine Unterschemata $X_i$, und f"ur die $X_i\cap X_j$ ihrerseits gibt es fastaffine Schemata $X_{ij}$ mit surjektiven offenen Morphismen $X_{ij}\sra X_i\cap X_j$ von Schemata, die lokalisierende Morphismen nach $X_i$ und $X_j$ induzieren. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Hartshorne macht es besser! Der Punkt ist, da"s f"ur $U\hra X$ eine offene Einbettung unter der Annahme, da"s das Faserprodukt $X\times_SY$ existiert, auch $\op{pr}_X^{-1}(U)\co X\times_SY$ ein Faserprodukt $U\times_S Y$ ist. \end{Bemerkungl} \subsection{Variet"aten und Schemata, noch unfertig} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Erkennen von Garben durch "Uberdeckungen}] Gegeben $X$ ein topologischer Raum und $(X_i)_{i\in I}$ eine "uberdeckende Familie von Teilmengen erhalten wir offensichtlich einen konservativen und treuen Funktor $$\op{Ens}_{/X}\hra \prod_{i\in I}\op{Ens}_{/X_i}$$ durch die Vorschrift, da"s wir jeder Garbe die Familie ihrer Restriktionen zuordnen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Verkleben von Schemata}] Aus dem Vorhergehenden folgt, da"s jedes Schema in\label{VKSl} jeder der Kategorien $\op{Ger}$, $\op{lokGer}$ und $\op{Sch}$ der Kolimes des Sytems seiner offenen affinen Unterschemata ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Weiter folgt f"ur ein System von Schemata mit offenen Einbettungen als Morphismen und der Eigenschaft, da"s wir beim Vergessen zu einem System von topologischen R"aumen offene Einbettungen der R"aume unseres Systems in den $\op{Top}$-Kolimes erhalten, da"s der Kolimes unseres Systems in $\op{Ger}$ und in $\op{lokGer}$ zusammenf"allt und auch wieder ein Schema ist. \end{Bemerkungl} \eref{MGTk}{TG} Den nun folgenden Argumenten stelle ich eine allgemeine "Uberlegung voran. Den nun folgenden Argumenten stelle ich eine allgemeine "Uberlegung zu Komorphismen voran. Gegeben seien eine stetige Abbildung $\varphi:X\ra Y$ und Garben $\mathcal F$ auf $X$ sowie $\mathcal G$ auf $Y$ und eine Basis der Topologie $\mathcal B$ von $Y$. So liefert die Einschr"ankung eine Bijektion $$\op{Ens}_{\sslash \varphi}(\mathcal G,\mathcal F)\sira$$ ist ein Komorphismus "uber $\varphi$ \begin{Bemerkungl}[\textbf{Variet"aten als Schemata}] Sei $k=\bar k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper. Wir konstruieren einen volltreuen Funktor $$\op{Var}_k\vra\op{Sch}_k$$ von der Kategorie der $k$-Variet"aten nach \ref{DeVah} in die Kategorie der Schemata wie folgt: \end{Bemerkungl} \subsection{Reste zu symmetrischen Algebren} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Die symmetrische Algebra als Trennfunktor}] Sei $k$ ein Kring. Wir erinnern aus \eref{SmVR}{TS} die Schmelzkategorie $\op{Mod}_k$ der $k$-Moduln mit ihren stabil universellen Verschmelzungen und bilden dazu die duale Trennkategorie $\op{Mod}_k^{\op{dual}}$. Per definitionem ist darin eine Trennung $M\ra N_1\curlywedge \ldots\curlywedge N_r$ ein $k$-lineare Abbildung $M\ra N_1\otimes \ldots\otimes N_r$. Wir betrachten weiter die banale Schmelzkategorie der $k$-Kringalgebren $\curlyvee{\op{Kralg}}_k$. Auch sie hat stabil universelle Verschmelzungen und wir k"onnen zur dualen Trennkategorie $(\curlyvee{\op{Kralg}}_k)^{\op{dual}}$ "ubergehen. Eine Trennung $A\ra B_1\curlywedge \ldots\curlywedge B_r$ ist darin per definitionem ein Kringalgebrenhomomorphismus $A\ra B_1\otimes \ldots\otimes B_r$. Schlie"slich k"onnen wir dann unsere Konstruktion der symmetrischen Algebren zu einem Trennfunktor $$\op{Sym}_k^\otimes=\op{S}_k^\otimes:\op{Mod}_k^{\op{dual}}\ra (\curlyvee{\op{Kralg}}_k)^{\op{dual}}$$ erweitern, indem wir jeder Trennung links die eindeutig bestimmte Trennung rechts zuordnen, f"ur die das Diagramm\label{Stf} $$\begin{array}{ccc} M&\ra& N_1\otimes \ldots\otimes N_r\\ \da&&\da\\ {\op{S}}_kM&\ra& {\op{S}}_kN_1\otimes \ldots\otimes {\op{S}}_kN_r \end{array}$$ mit den hoffentlich offensichtlichen Vertikalen kommutiert. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Seien $k$ ein Kring und $M$ ein $k$-Modul. Die durch den offensichtlichen Isomorphismus $M\sira k\otimes M$ gegebene Kooperation des Einsobjekts auf $M$ induziert unter unserem Trennfunktor \ref{Stf} eine Kooperation ${\op{S}}_kM\ra {\op{S}}_kk\otimes {\op{S}}_kM$ des Komonoids ${\op{S}}_kk$ auf ${\op{S}}_kM$ in der Trennkategorie $(\curlyvee{\op{Kralg}}_k)^{\op{dual}}$. Explizit erhalten wir durch $T\mapsto 1$ einen Isomorphismus $k[T]\sira {\op{S}}_kk$ und die Koverkn"upfung auf $ {\op{S}}_kk$ entspricht darunter dem Homomorphismus $k[T]\ra k[T]\otimes k[T]$ mit $T\mapsto T\otimes T$ und die Kooperation ${\op{S}}_kM\ra {\op{S}}_kk\otimes {\op{S}}_kM$ der Kooperation ${\op{S}}_kM\ra k[T]\otimes {\op{S}}_kM$ mit $a\mapsto T^r\otimes a$ f"ur $a\in{\op{S}}^rM$ homogen vom Grad $r$. Salopp gesprochen ist diese Kooperation also nur eine andere Art, die nat"urliche $\DN$-Graduierung auf unseren symmetrischen Algebren zu kodieren. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Im geometrischen Fall einer affinen Variet"at $X$ "uber einem K"orper $k=\bar k$ und eines endlich erzeugten $\mathcal O(X)$-Moduls $M$ induziert unsere Kooperation eine Operation des multiplikativen Monoids $X\times k=\op{Max}(\mathcal O(X)[T])$ in $\op{Var}_X$ auf $\op{V}(M)$ alias einer Operation des multiplikativen Monoids $k\in \op{Varaff}_k$ auf $\op{V}(M)$, die die Fasern der nat"urlichen Projektion auf $X$ stabilisiert. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Aus unserem koproduktvertr"aglichen Funktor $\op{Sym}_k$ erhalten wir durch Dualisieren wie in \eref{opSS}{TS} auch einen Trennfunktor $$\op{Sym}_k^{\op{dual}}=\op{S}_k^{\op{dual}}: (\curlyvee{\op{Mod}}_k)^{\op{dual}}\ra (\curlyvee{\op{Kralg}}_k)^{\op{dual}}$$ Per definitionem macht er eine lineare Abbildung in der oberen Horizontale des Diagramms $$\begin{array}{ccc} M&\ra& N_1\oplus \ldots\oplus N_r\\ \da&&\da\\ {\op{S}}_kM&\ra& {\op{S}}_kN_1\otimes \ldots\otimes {\op{S}}_kN_r \end{array}$$ zu dem eindeutig bestimmten Kringalgebrenhomomorphismus in der unteren Horizontale, der es zum Kommutieren bringt. Diesmal wird die rechte Vertikale gegeben durch die Vorschrift $(n,0,\ldots,0)\mapsto n\otimes 1\otimes \ldots\otimes 1$ und analog in den anderen Eintr"agen. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine affine Variet"at $X$ liefert unser Trennfunktor aus \ref{Stf} unter Nachschalten unseres Funktors $\op{Max}:\op{Kralg}_{\mathcal O(X)}^{\op{re}}\ra \op{Varaff}_X^{\op{opp}}$ von den ringendlichen Kringalgebren in die opponierten affinen Variet"aten "uber $X$, der ja mit Koprodukten vertr"aglich ist, einen Schmelzfunktor $$\op{V}^{\op{opp}}:\op{Mod}_k^{\op{do}}\ra \op{kart}(\op{Varaff}_X)$$ \end{Bemerkungl} \subsection{Versuch zu Verschwindungsidealen, gelingt nicht!} \begin{Proposition}[\textbf{Erzeuger von Verschwindungsidealen}] $(k=\bar k).$ Gegeben Polynome $f_1,\ldots, f_r\in k[T_1,\ldots, T_n]$ mit simultaner Nullstellenmenge $X\pdef \mathcal Z(f_1,\ldots, f_r)$ und ein Punkt $p\in X$ mit $$\op{dim}_k\langle (\op{grad}f_\rho)(p)\mid 1\leq\rho\leq r \rangle_k+ \op{kdim} X\geq n$$ %\label{KIU} ist $p$ ein glatter Punkt von $X$. \nichtfinal{Nicht gelungen! Stimmt es "uberhaupt?} Ist zus"atzlich $X$ irreduzibel, so erzeugen die $f_\rho$ das Verschwindungsideal von $X$, in Formeln $$\langle f_1,\ldots, f_r\rangle=\cal I(X)$$ \end{Proposition} \begin{proof} Seien $A=\mathcal O_{k^n,p}$ der lokale Ring von $k^n$ bei $p$ und $\mathfrak m\subset A$ sein maximales Ideal und $I\pdef \op{ker}(A\sra \mathcal O_{X,p})$ und $\bar{\mathfrak m}\pdef \mathfrak m/I$. Aus dem Beweis von \ref{RLRH} erinnern wir die exakte Sequenz $$I/(I\cap \mathfrak m^2) \hra \mathfrak m/\mathfrak m^2\sra {\bar{\mathfrak m}}/ {\bar{\mathfrak m}}^2$$ Aus \ref{abcd} kennen wir die Absch"atzung $\op{dim}_k(\bar{\mathfrak m}/\bar{\mathfrak m}^2)\geq \op{kdim}\mathcal O_{X,p}$. Per definitionem gilt $\op{dim}_kI/(I\cap \mathfrak m^2)\geq \op{dim}_k\langle (\op{grad}f_\rho)(p)\mid 1\leq\rho\leq r \rangle_k$. Die Summe der jeweils gr"o"seren Terme ist nach unserer kurzen exakten Sequenz genau $n$. Die Summe der jeweils kleineren Terme kann also nur $\geq n$ sein, wenn sie genau $n$ ist und wenn beide Absch"atzungen Gleichheiten sind, also $\op{dim}_k(\bar{\mathfrak m}/\bar{\mathfrak m}^2)= \op{kdim}\mathcal O_{X,p}$ und $I/(I\cap \mathfrak m^2)= \langle (\op{grad}f_\rho)(p)\mid 1\leq\rho\leq r \rangle_k$. Die erste Gleichheit bedeutet nach \ref{IBGl}, da"s $p$ ein glatter Punkt von $X$ sein mu"s. F"ur das Verschwindungsideal von $X$ liefert die allgemeine Theorie $$\mathcal I(X)=\sqrt{\langle f_1,\ldots, f_r\rangle}$$ H"atten wir $\mathcal I(X)\neq \langle f_1,\ldots, f_r\rangle$, so f"anden wir eine Funktion $g$ im Komplement \end{proof} \subsection{Quasikoh"arentor} \begin{Bemerkungl} Ein Schema hei"st {\bf quaquasikompakt},\index{quaquasikompakt!Schema} wenn es eine endliche offene "Uberdeckung durch affine Schemata besitzt derart, da"s deren Schnitte jeweils auch eine endliche offene "Uberdeckung durch affine Schemata besitzen. Gleichbedeutend ist die Forderung, da"s unser Schema kompakt ist und die Identit"at auf unserem Schema quasisepariert. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition} Auf jedem quaquasikompakten Schema besitzt die Einbettung der quasikoh"arenten Modulgarben in alle Modulgarben einen Rechtsadjungierten, den \emph{\bf Quasikoh"arentor}\index{Quasikoh"arentor}\label{Qkoh} $$\op{qk}=\op{qk}_X:\mathcal O_X\op{-Mod}\ra \mathcal O_X\op{-Modqk}$$ \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Anders gesagt gibt es also auf jedem quaquasikompakten Schema $X$ f"ur alle $\mathcal M\in \mathcal O_X\op{-Mod}$ ein $\op{qk}(\mathcal M)\in \mathcal O_X\op{-Modqk}$ und einen $\mathcal O_X$-Modulmorphismus $\varepsilon: \op{qk}(\mathcal M) \ra \mathcal M$ derart, da"s jeder Morphismus $\mathcal N\ra \mathcal M$ von einem quasikoh"arenten $\mathcal O_X$-Modul $\mathcal N$ nach $\mathcal M$ auf genau eine Weise "uber $\varepsilon$ faktorisiert. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ich habe viel von dem, was hier zum Quasikoh"arentor steht, in den \glqq Lectures on Algebraic Theory of D-Modules\grqq\ von Dragan Mili\v{c}i\'c gefunden. Er nennt diese Konstruktion den \glqq Coherentor\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Auf jedem affinen Schema ist offensichtlich $\mathcal L\Gamma$ ein Quasikoh"arentor. Sei nun $X$ unser quaquasikompaktes Schema. Nach Annahme besitzt $X$ eine endliche "Uberdeckung $X=\bigcup_{i\in I}U_i$ durch offene affine Teilmengen derart, da"s die Schnitte $U_i\cap U_j$ ihrerseits endliche Vereinigungen offener affiner Teilmengen $U_{ijk}$ sind. Jede Modulgarbe $\mathcal F$ auf $X$ pa"st dann nach \eref{lESS}{TG} in eine linksexakte Sequenz $$\mathcal F\hra\bigoplus_{i} \op{in}_{i*}\op{in}_i^*\mathcal F\ra\bigoplus_{i,j,k} \op{in}_{ij,k*}\op{in}_{ij,k}^*\mathcal F$$ in hoffentlich offensichtlicher Notation und man erkennt ohne weitere Schwierigkeiten, da"s der Kern von $$\bigoplus_{i} \op{in}_{i*}\mathcal L\Gamma \op{in}_i^*\mathcal F\ra\bigoplus_{i,j,k} \op{in}_{ij,k*}\mathcal L\Gamma \op{in}_{ij,k}^*\mathcal F$$ mit seinem offensichtlichen Morphismus nach $\mathcal F$ die vom Quasikoh"arentor angewandt auf $\mathcal F$ geforderte universelle Eigenschaft hat. Hierbei verwenden wir unsere Erkenntnis \ref{EQR}, da"s das direkte Bild unter einem affinen Morphismus von Schemata Quasikoh"arenz erh"alt. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Bezeichnet $\op{in}_X:\op{Modqk}_{/X}\vra \op{Mod}_{/X}$ f"ur ein vorgegebenes Schema $X$ den Einbettungsfunktor und ist $f:X\ra Y$ ein Morphismus von Schemata, so haben wir $f^*\circ \op{in}_Y=\op{in}_X\circ f^*_{\op{qk}}$ mit der Notation $f^*_{\op{qk}}$ f"ur den auf quasikoh"arente Modulgarben eingeschr"ankten R"uckzug. Durch "Ubergang zu den Rechtsadjungierten erhalten wir f"ur jeden Morphismus $f:X\ra Y$ von quaquasikompakten Schemata eine Isotransformation $ \op{qk}_Y \circ f_*\siRa f_*^{\op{qk}}\circ\op{qk}_X $ mit $f_*^{\op{qk}}$ dem Rechtsadjungierten von $f^*_{\op{qk}}$, f"ur den wir ja bereits die Beschreibung $f_*^{\op{qk}}=\op{qk}_Y\circ f_*$ hergeleitet hatten. Erh"alt hier $f_*$ bereits Quasikoh"arenz, so erhalten wir eine Isotransformation\label{Verqk} $$ \op{qk}_Y \circ f_*\siRa f_*\circ\op{qk}_X $$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Morphismus $f:X\ra Y$ von quaquasikompakten Schemata und $\mathcal F\in \op{Mod}_{/X}$ liefert die Koeinheit der Adjunktion $\op{qk}_Y\mathcal F\ra \mathcal F$ erst $f^*\op{qk}_Y\mathcal F\ra f^*\mathcal F$ und dann wegen der Erhaltung von Quasikoh"arenz unter R"uckzug $f^*\op{qk}_Y\mathcal F\ra \op{qk}_Xf^*\mathcal F$. Ich will zeigen, da"s dieser Morphismus f"ur jede offene Einbettung $f$ in ein separiertes Schema $Y$ ein Isomorphisms\label{rzqk} $$f^*\op{qk}_Y\mathcal F\sira \op{qk}_Xf^*\mathcal F$$ ist. Ich beginne mit dem Fall, da"s $X\co Y$ selbst affin ist. Da Schnitte offener affiner Teilmengen von separierten Schemata wieder affin sind, k"onnen wir unsere Beschreibung des Quasikoh"arentors in diesem Fall vereinfachen zu einer linksexakten Sequenz $$\op{qk}_Y\mathcal F\hra \bigoplus_{i} \op{in}^Y_{i*}\mathcal L\Gamma \op{in}^{Y\!*}_i\mathcal F\ra\bigoplus_{i,j} \op{in}^Y_{ij*}\mathcal L\Gamma \op{in}^{Y\!*}_{ij}\mathcal F$$ f"ur $(U_i)$ eine endliche offene "Uberdeckung von $X$ durch affine Teilmengen und $\op{in}^Y_i:U_i\hra Y$ sowie $\op{in}^{Y}_{ij}:U_i\cap U_j\hra Y$ die Einbettungen. Bezeichne nun $\op{in}^{X}_{i}:X\cap U_i\hra X$ und $\op{in}^{X}_{ij}:X\cap U_i\cap U_j\hra X$ sowie $f_i:X\cap U_i\hra U_i$ und $f_{ij}:X\cap U_{ij}\hra U_{ij}$ die entsprechenden Einbettungen. Darauf wenden wir den exakten Funktor $f^*$ an und verwenden die offenen Basiswechsel $f^* \op{in}^Y_{i*}=\op{in}^X_{i*} f_i^*$ und das Kommutieren des R"uckzugs unter der offenen Einbettung von affinen Variet"aten $f_i$ mit $\mathcal L\Gamma$, in Formeln $f_i^*\mathcal L\Gamma= \mathcal L\Gamma f_i^*$, und $\op{in}_i^Yf_i=f\op{in}_i^X$ alias $f_i^*\op{in}_i^{Y\!*}=\op{in}_i^{X\!*}f^*$ und dasselbe mit Doppelindizes und erhalten eine linksexakte Sequenz $$f^*\op{qk}_Y\mathcal F\hra \bigoplus_{i} \op{in}^X_{i*}\mathcal L\Gamma \op{in}^{X\!*}_if^*\mathcal F\ra\bigoplus_{i,j} \op{in}^X_{ij*}\mathcal L\Gamma \op{in}^{X\!*}_{ij}f^*\mathcal F$$ Diese Sequenz zeigt den gesuchten Isomorphismus $f^*\op{qk}_Y\mathcal F\sira \op{qk}_Xf^*\mathcal F$ f"ur $f$ die Einbettung einer affinen offenen Teilmenge. Im allgemeinen Fall betrachten wir eine endliche "Uberdeckung $X=\bigcup_{\alpha\in A}V_\alpha$ durch offene affine Teilmengen und bezeichnen mit $\op{in}_\alpha:V_\alpha\hra X$ und $\op{in}_{\alpha\beta}:V_\alpha\cap V_\beta\hra X$ die Einbettungen, so da"s wir f"ur jeden Funktionenmodul $\mathcal G$ auf $X$ eine linksexakte Sequenz $$\mathcal G\hra\bigoplus_{\alpha} \op{in}_{\alpha*}\op{in}_\alpha^*\mathcal G\ra\bigoplus_{\alpha,\beta} \op{in}_{\alpha\beta*}\op{in}_{\alpha\beta}^*\mathcal G$$ haben und insbesondere auch f"ur $\mathcal G\pdef f^*\op{qk}_Y\mathcal F$. Nach dem bereits behandelten Fall angewandt auf $f\circ\op{in}_\alpha$ haben wir $\op{in}_\alpha^*f^*\op{qk}_Y\mathcal F =\op{qk}_{V_\alpha}\op{in}_\alpha^*f^*\mathcal F$. Andererseits wissen wir $\op{in}_{\alpha*}\op{qk}_{V_\alpha}=\op{qk}_{X}\op{in}_{\alpha*}$ bereits aus \ref{Verqk}, und indem wir dasselbe auf die Doppelindizes anwenden erhalten wir eine linksexakte Sequenz $$f^*\op{qk}_Y\mathcal F\hra\bigoplus_{\alpha} \op{qk}_X\op{in}_{\alpha*}\op{in}_\alpha^*f^*\mathcal F\ra\bigoplus_{\alpha,\beta} \op{qk}_X\op{in}_{\alpha\beta*}\op{in}_{\alpha\beta}^*f^*\mathcal F$$ Andererseits liefert Anwenden des linksexakten da Rechtsadjungierten Funktors $\op{qk}_X$ auf unsere Sequenz zu $\mathcal G\pdef f^*\mathcal F$ eine linksexakte Sequenz $$\op{qk}_Xf^*\mathcal F\hra\bigoplus_{\alpha} \op{qk}_X\op{in}_{\alpha*}\op{in}_\alpha^*f^*\mathcal F\ra\bigoplus_{\alpha,\beta} \op{qk}_X\op{in}_{\alpha\beta*}\op{in}_{\alpha\beta}^*f^*\mathcal F$$ Ein Vergleich dieser beiden Sequenzen zeigt dann die Behauptung. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Ich w"u"ste gerne, ob die Annahme der Separiertheit in obigem Argument f"ur das Vertauschen von Quasikoh"arentor mit offenem R"uckzug n"otig ist. Wenn mir ein Student hier weiterhelfen k"onnte, w"urde ich das sehr begr"u"sen. \end{Bemerkunge} \begin{Korollar}[\textbf{Adjungierte durch Quasikoh"arentor}] Die Trennfaserung der quasikoh"arenten Opmodulgarben "uber der banalen Trennkategorie der qua\-qua\-si\-kom\-pak\-ten Schemata ist im Sinne von \eref{TfAd}{TSF} eine Trennfaserung mit Adjungierten $$\op{Modqk}_{{\sslash}\op{Sch}^{\op{qqk}}}\ra \curlywedge{\op{Sch}^{\op{qqk}}}$$ \end{Korollar} \begin{proof} Wir erhalten quasikoh"arente direkte Bilder und quasikoh"arentes internes Hom, indem wir auf die entsprechenden Konstruktionen f"ur beliebige Opmodulgarben noch den Quasikoh"arentor \ref{Qkoh} anwenden. Man verwende \eref{Muhor}{TSK} f"ur die Aussage, da"s in unserer Situation ein Rechtsadjungierter von $\otimes\mathcal F$ bereits ein internes Hom sein mu"s. \end{proof} \nichtfinal{\begin{Lemma} Die quasikoh"arenten Modulgarben bilden eine Trennfaserung "uber der banalen Trennkategorie der Variet"aten "uber einem festen algebraisch abgeschlossenen K"orper. \end{Lemma} \begin{proof} Noch ausschreiben. Wir notieren sie $\op{Modqk}_{\sslash{\op{Var}}}$. \end{proof}} \subsection{Verschwindungssatz von Grothendieck (noethersch, alt)} \begin{Bemerkungl} Das folgende ist Schrott, da ich f"ur den Verschwindungssatz von Grothendieck einen besseren Beweis in voller Allgemeinheit gefunden habe. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma*} Seien $A$ ein noetherscher Kring und $X\pdef \op{Spec}A$ und $i: Z\hra X$ die Einbettung einer abgeschlossenen Teilmenge. Ist $I$ ein injektiver $A$-Modul, so ist $i_*i^!\mathcal L I$ quasikoh"arent. \end{Lemma*} \begin{Bemerkungl} Wir verwenden hier den Funktor der Schnitte mit Tr"ager $i^!$ aus \ref{AdIna}. Dies Lemma kommt von einer "alteren Beweisvariante und hat derzeit keine Anwendung. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Sei $\mathfrak b\subset A$ das Verschwindungsideal von $Z$ oder auch allgemeiner ein beliebiges Ideal mit $\mathcal A(\mathfrak b)=Z$. Nach \ref{agT} induziert die Einheit der Adjunktion eine Bijektion $\Gamma_{\mathfrak b} I \sira \Gamma_Z(\mathcal L I)$. Sei nun $f\in A$ gegeben. Wenden wir auf die spaltende kurze exakte Sequenz $\Gamma_{\langle f\rangle}I\hra I\sra I_f$ aus \ref{LzuI} unseren Funktor $\Gamma_{\mathfrak b}$ an, so erhalten wir eine kurze exakte Sequenz $\Gamma_{\langle f\rangle}(\Gamma_{\mathfrak b}I)\hra \Gamma_{\mathfrak b}I\sra \Gamma_{\mathfrak b}(I_f)$. Aus \ref{LzuI} folgt so, da"s $\Gamma_{\mathfrak b}I\ra \Gamma_{\mathfrak b}(I_f)$ und $\Gamma_{\mathfrak b}I\ra (\Gamma_{\mathfrak b}I)_f$ Surjektionen mit demselben Kern sind und da"s folglich $I\ra I_f$ einen Isomorphismus $$(\Gamma_{\mathfrak b}I)_f\sira \Gamma_{\mathfrak b}(I_f)$$ induziert. Das bedeutet geometrisch, da"s unsere Einbettung $\Gamma_{\mathfrak b}I\subset I$ Isomorphismen $\Gamma(\op{U}(f);\mathcal L(\Gamma_{\mathfrak b}I))\sira \Gamma(\op{U}(f);i_*i^!\mathcal L I)$ induziert, und zeigt das Lemma. \end{proof} \subsection{Garbenschrott} \begin{Ubung} Seien $X$ ein topologischer Raum und $I$ eine Menge. Bezeichne $\mathcal K(I)$ die Kategorie aller endlichen Teilmengen von $I$ mit den Inklusionsabbildungen als Morphismen. In dieser Kategorie besitzt jedes endliche Diagramm einen Kolimes, n"amlich die Vereinigung "uber alle darin auftretenden Teilmengen. Jede Familie von offenen Teilmengen $(U_i)_{i\in I}$ besitzt genau eine Fortsetzung zu einem mit allen Limites "uber endliche Diagramme vertr"aglichen Funktor $\mathcal K(I)^{\op{opp}}\ra \op{Off}(X)$, der $\{i,j,\ldots,k\}$ auf $U_i\cap U_j\cap\ldots\cap U_k$ abbildet. Eine mengenwertige Garbe auf $X$ ist ein Funktor $\mathcal F:\op{Off}(X)^{\op{opp}}\ra\op{Ens}$ derart, da"s die Verkn"upfung $\mathcal K(I)\ra \op{Ens}$ BlahBlah taugt noch nix. \end{Ubung} \subsection{"Aquivarianz} \begin{Proposition}[\textbf{Graduierungen und $k^\times$-Operationen}] Wir erhalten f"ur jede affine $k$-Variet"at $X$ eine Bijektion $$\{\text{algebraische $k^\times$-Operationen auf $X$}\}\;\sira\; \{\text{$\DZ$-Graduierungen auf $\cal{O}(X)$}\}$$ dadurch, da"s wir der Ringalgebra $\cal{O}(X)$ die Graduierung $\cal{O}(X)=\bigoplus_{i\in\DZ}\cal{O}(X)_i$ durch die simultanen Eigenr"aume der $k^{\times}$-Operation geben, in Formeln durch die Teilr"aume $\cal{O}(X)_{i} \pdef \{f\in \cal{O}(X) \mid f(\mu x)=\mu^{i} f(x) \; \forall x \in X, \mu \in k^{\times}\}$. \end{Proposition} \begin{proof} Gegeben eine affine $k$-Variet"at $X$ und ein Morphismus $k^\times\times X\ra X$, $(\lambda,x)\mapsto \lambda x$ liefert das Zur"uckholen globaler regul"arer Funktionen zusammen mit \ref{PAf} einen Homomorphismus $$\mathcal O(X)\ra \mathcal O(k^\times\times X) \sira \mathcal O(k^\times)\otimes \mathcal O(X)\sira k[T,T^{-1}]\otimes \mathcal O(X)$$ Haben wir $f\mapsto \sum T^i\otimes f_i$, so gilt per definitionem $f(\lambda x)=\sum \lambda^i f_i(x)$. Ist unser Morphismus eine Gruppenwirkung, so zeigt die von der Mitte aus zu entwickelnde Gleichungskette $$\sum \lambda^i\mu^i f_i(x)=f((\lambda\mu) x) =f(\lambda (\mu x))=\sum \lambda^i f_i(\mu x)$$ uns, da"s bei festem $x$ und $\mu$ das Laurentpolynom $\sum (\mu^i f_i(x)-f_i(\mu x))T^i$ unendlich viele Nullstellen hat und folglich alle seine Koeffizienten verschwinden m"ussen. Mithin gilt $f_i(\mu x)=\mu^i f_i(x)$ f"ur alle $\mu$ und $x$ alias $f_i\in \cal{O}(X)^i$. Nach Konstruktion gilt andererseits $f=\sum f_i$ und wir sehen, da"s unsere $\cal{O}(X)^i$ ganz $\cal{O}(X)$ als Vektorraum erzeugen. Das Argument, da"s die Summe der $\cal{O}(X)^i$ direkt ist, kann dem Leser zur "Ubung "uberlassen bleiben. Das Argument, da"s wir so die behauptete Bijektion erhalten, desgleichen. \end{proof} \begin{proof} Es scheint mir offensichtlich, da"s wir jede $\DZ$-Graduierung auf diese Weise aus einer eindeutig bestimmten algebraischen Darstellung erhalten. Es gilt nur noch zu zeigen, da"s auch jede Darstellung auf diese Weise in der Tat eine $\DZ$-Graduierung liefert, da"s also die Summe der $V_i$ direkt ist und ganz $V$ liefert. Gegeben $v_i\in V_i$ f"ur $|i|\leq N$ mit $$\sum_{i=-N}^N v_i=0$$ finden wir aber $x\in k^\times$ mit $x^i$ paarweise verschieden f"ur $|i|\leq N$. Die von Null verschiedenen $v_i$ w"aren dann Eigenvektoren von $\rho(x)$ zu den paarweise verschiedenen Eigenwerten $x^i$ und m"u"sten folglich linear unabh"angig sein im Widerspruch zu unsere Annahme. Also sind alle $v_i$ Null und die Summe der $V_i$ ist direkt. Um schlie"slich zu zeigen, da"s die Summe der $V_i$ ganz $V$ ist, d"urfen wir ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit $\op{dim}_kV< \infty$ annehmen. Da die $\rho(x)$ f"ur $x\in k^\times$ eine Familie von paarweise kommutierenden Endomorphismen von $V$ bilden, besitzt $V$ eine simultane Hauptraumzerlegung in Bezug auf diese Familie und wir k"onnen uns auf den Fall beschr"anken, da"s ganz $V$ solch ein simultaner Hauptraum ist. Weiter k"onnen wir dann in $V$ eine Basis w"ahlen, bez"uglich der alle $\rho(x)$ obere Dreiecksgestalt haben mit konstanten Eintr"agen $\chi(x)\in k$ auf der Diagonalen. Nach unseren Annahmen ist weiter $\chi:k^\times \ra (k,\cdot)$ algebraisch und ein Monoidhomomorphismus und man pr"uft leicht, da"s es dann ein $i$ geben mu"s mit $\chi(x)=x^i\;\forall x\in k^\times$. Dann ist $x\mapsto \chi(x)^{-1}\rho(x)$ ein Gruppenhomomorphismus von $k^\times$ in die oberen Dreiecksmatrizen mit Einsen auf der Diagonale. So ein Gruppenhomomorphismus mu"s jedoch konstant sein, denn in Charakteristik Null gibt es keine nichtdiagonalen derartigen Matrizen endlicher Ordnung und in Charakteristik $p>0$ ist ihre Ordnung stets eine $p$-Potenz und die Ordnung aller nichttrivialen Einheitswurzeln ist teilerfremd zu $p$. Unser Gruppenhomomorphismus ist aber auch ein Morphismus von Variet"aten und da die Einheitswurzeln in $k^\times$ eine Zariski-dichte Teilmenge bilden, ist er folglich konstant und $\rho(x)=\chi(x)\op{id}_V= x^i \op{id}_V$. \end{proof} \begin{Lemma}[\textbf{$\DZ$-Graduierungen und $k^\times$-Operationen}] Gegeben ein $\mathbb Z$-gra\-du\-ierter Vektorraum $V = \bigoplus_i V^i$ "uber einem K"orper $k$ erkl"are man f"ur jedes $\lambda \in k^\times$ einen Automorphismus $\lambda^\ast$ von $V$ durch die Vorschrift $\lambda^\ast (v) \pdef \lambda^i v $ f"ur alle $ v \in V^i$. Ist $k$ unendlich, so sind die unter allen $\lambda^\ast$ stabilen Teilr"aume von $V$ genau die homogenen Teilr"aume. \end{Lemma} \begin{proof} Da"s alle homogenen Teilr"aume unter allen $\lambda^\ast$ stabil sind, ist klar. Sei umgekehrt $U \subset V$ ein unter allen $\lambda^\ast$ stabiler Teilraum und $v \in U$ ein Vektor. Sicher gibt es ein $r \in \mathbb N$ mit $v \in \bigoplus_{|i|\leq r} V^i$. Da $k$ unendlich angenommen war, finden wir $\lambda \in k^\times$ mit $\lambda^r, \lambda^{r-1}, \ldots , \lambda^{-r}$ paarweise verschieden. Da $U \subset V$ unter $\lambda^\ast$ stabil ist, mu"s $\lambda^\ast$ nach \eref{diage}{LA1} auch auf $U$ diagonalisierbar sein. Nach \eref{ZERR}{LA2} zerf"allt mithin $U$ in die direkte Summe der Eigenr"aume von $\lambda^\ast$. Insbesondere zerf"allt auch $v$ auf genau eine Weise in eine Summe $v = \sum u_i$ mit $u_i \in U$ und $\lambda^\ast u_i = \lambda^i u_i$. Das mu"s aber bereits die Zerlegung von $v$ nach homogenen Komponenten in $V$ sein. Da folglich f"ur jedes $u \in U$ auch seine homogenen Komponenten zu $U$ geh"oren, mu"s $U$ ein homogener Teilraum sein. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Sei $G\acts X$ ein Schema mit der Operation eines Gruppenschemas $$\op{act}:G\times X\ra X$$ Eine {\bf $G$-"aquivariante Modulgarbe} ist, wie f"ur allgemeine banale Trennfaserungen in \eref{QaeO}{TSF} diskutiert, eine Modulgarbe $\mathcal F$ auf $X$ zusammen mit einem Opkomorphismus $$\underline{G}\boxtimes \mathcal F\ra \mathcal F$$ "uber $\op{act}$ derart, da"s die offensichtlichen Vertr"aglichkeiten erf"ullt sind. Wie "ublich meint dabei $\boxtimes$ den Trennr"uckzug in Bezug auf die Projektionen. Das Produkt $G\times X$ ist hier in der Kategorie der Schemata zu verstehen und ist im allgemeinen sehr verschieden vom Produkt in der Kategorie der gekringten R"aume. Wenn wir besonders betonen wollen, da"s wir "uber der banalen Trennkategorie der Schemata und nicht der banalen Trennkategorie aller gekringten R"aume arbeiten, reden wir von einer {\bf schematisch $G$-"aquivarianten Modulgarbe}.\index{Modulgarbe!schematisch "aquivariante} \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{"Aquivariante quasikoh"arente Modulgarben auf Spektra}] Nehmen wir $G\pdef\mathbb G_{\op{m}}$ und $X\pdef \op{Spec}(A)$ und $\mathcal M=\mathcal L(M)$ f"ur einen $A$-Modul $M$, so wird ein Opkomorphismus $$\underline{\mathbb G_{\op{m}}}\times \mathcal M\ra \mathcal M$$ unter "Anderung der Schreibreihenfolge f"ur bessere Lesbarkeit ein Modulhomomorphismus $\op{aeq}:M\ra M\otimes_\DZ \DZ[T,T^{-1}]$ "uber dem Ringhomomorphismus $A\ra A\otimes_\DZ \DZ[T,T^{-1}]$, der zur Operation auf $X$ geh"ort und der, wie wir nach \ref{moG} wissen, die Gestalt $a\mapsto \sum a_n\otimes T^n$ hat f"ur $a_n$ die homogenen Komponenten von $a\in A$ in Bezug auf eine Graduierung $A=\bigoplus_nA^n$ des Krings $A$. Tapferes Rechnen liefert dann, da"s in derselben Weise die $$M^n\pdef \{m\in M\mid \op{aeq}(m)=m\otimes T^n\}$$ eine $\DZ$-Graduierung von $M$ bilden und da"s diese $M$ zu einem graduierten $A$-Modul machen und wir so eine Bijektion zwischen Graduierungen auf $M$ und "aquivarianten Operationen von $\mathbb G_{\op{m}}$ auf der Modulgarbe $\mathcal L(M)$ erhalten. Insgesamt liefert die so erkl"arte {\bf "aquivariante Lokalisierung}\index{Lokalisierung!"aquivariante} f"ur jeden $\DZ$-graduierten Kring $A$ mit zugeh"origer $\mathbb G_{\op{m}}$-Operation eine\index{"aquivariant!Lokalisierung} "Aquivalenz von Kategorien $$\begin{array}{ccc} \left\{ \!\!\begin{array}{c} \text{$\DZ$-graduierte}\\ \text{$A$-Moduln} \end{array}\!\!\right\} & \sirra & \left\{ \!\!\begin{array}{c} \text{$\mathbb G_{\op{m}}$-"aquivariante quasikoh"arente}\\ \text{ Modulgarben auf $\op{Spec}(A)$} \end{array}\!\!\right\} \end{array}$$ \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Vorschub "aquivarianter quasikoh"arenter Modulgarben}] Gegeben ein affines Gruppenschema $G$ mit $\mathcal O(G)$ flach "uber $\DZ$ und ein $G$-"aquivarianter quasikompakter quasiseparierter Morphismus $f:X\ra Y$ von $ G$-Schemata und eine $ G$-"aquivariante quasikoh"arente Garbe $\mathcal F$ auf $X$ ist $f_*\mathcal F$ eine $ G$-"aquivariante quasikoh"arente Garbe auf $Y$ f"ur denjenigen Morphismus $\underline{G}\boxtimes f_*\mathcal F\ra f_*\mathcal F$, der das linke Diagramm "uber dem rechten Basisdiagramm $$\xymatrix{\underline{G}\boxtimes \mathcal F\ar[d]\ar[r]& \mathcal F\ar[d]&&G\times X\ar[d]\ar[r]& X\ar[d]\\ \;\;\; \underline{G}\boxtimes f_*\mathcal F\ar[r]& f_*\mathcal F& &G\times Y\ar[r]& Y}$$ zum Kommutieren bringt. So einen Morphismus gibt es und er ist eindeutig, da die Vertikale ganz links kokartesisch ist nach flachem Basiswechsel \ref{flBW}. Die Quasikoh"arenz von $f_*\mathcal F$ folgt aus \ref{EQVo}.\label{VaeQ} \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Wir wissen bereits, da"s das Bilden des "aquivarianten Spektrums eine "Aquivalenz induziert zwischen der opponierten der Kategorie der $\DZ$-gra\-du\-ier\-ten Kringe und der Kategorie der affinen $\mathbb G_{\op{m}}$-Schemata $$\op{Kringo}^\DZ \;\;\sirra\;\; \mathbb G_{\op{m}}\acts{\op{Sch}}^{\op{aff}}$$ In derselben Weise induziert die "aquivariante Lokalisierung eine "Aquivalenz $$\op{Ab}^{\DZ}_{\sslash{\op{Kringo}^\DZ}} \;\;\sirra\;\; \op{Modqk}_{\sslash{\mathbb G_{\op{m}}\sacts{\op{Sch}}^{\op{aff}}}}$$ zwischen $\DZ$-graduierten Opmoduln auf $\DZ$-graduierten Kringen und "aquivarianten quasikoh"arenten Garben auf affinen Spektra. Beide Funktoren sind Bifaserungen. Der Vorschub links ist die Restriktion der Modulstruktur unter Erhaltung der Graduierung, der Vorschub rechts der "aquivariante Vorschub aus \ref{VaeQ}. Der R"uckzug links ist die Erweiterung der Skalare unter Beachtung der $\DZ$-Graduierungen, der R"uckzug rechts der offensichtliche R"uckzug aus \eref{QaeO}{TSF}. \end{Beispiel} \newpage \section{Ordnungsminimale Strukturen} \subsection{Grundlagen} \begin{Definition} Sei $(R,\geq)$ ein angeordneter K"orper. Eine {\bf De\-fi\-nier\-bar\-keits\-struk\-tur}\index{Definierbarkeitsstruktur} oder kurz {\bf Struktur\index{Struktur} $\mathcal S$ "uber $(R,\geq)$} ist eine Familie $\mathcal S=(\mathcal S_n)_{n\in\DN}$ von \hyperref[MeAlg]{Mengenalgebren} $\mathcal S_n\subset \op{Pot}(R^n)$ derart, da"s gilt: \begin{enumerate} \item Alle Zariski-abgeschlossenen Teilmengen geh"oren zu $\mathcal S_n$; \item Gegeben $A\in\mathcal S_p$ und $B\in\mathcal S_q$ gilt $A\times B\in \mathcal S_{p+q}$; \item F"ur $\op{pr}:R^{n+1}\ra R^n$ die Projektion auf die ersten $n$ Koordinaten und $A\in \mathcal S_{n+1}$ gilt $\op{pr}(A)\in \mathcal S_{n}$. \end{enumerate} \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine Struktur $\mathcal S=(\mathcal S_n)_{n\in\DN}$ "uber einem angeordneten K"orper $(R,\geq)$ hei"sen die Mengen $A\in \mathcal S_n$ die {\bf definierbaren Teilmengen von $R^n$}.\index{definierbar} \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Eine Struktur $\mathcal S=(\mathcal S_n)_{n\in\DN}$ "uber einem angeordneten K"orper $(R,\geq)$ hei"st {\bf ordnungsminimal}\index{ordnungsminimale Struktur} oder kurz {\bf o-minimal}\index{o-minimale Struktur}, wenn $\mathcal S_1$ genau aus allen endlichen Vereinigungen von einpunktigen Teilmengen und von Intervallen der Gestalt $]a,b[$ oder $]-\infty,b[$ oder $]a,\infty[$ besteht. \end{Definition} \begin{Definition}\nichtfinal{(geraten!)} Sei $(R,\geq,\mathcal S)$ ein angeordneter K"orper mit Struktur. Gegeben $A\in\mathcal S_p$ und $B\in\mathcal S_q$ hei"st eine Abbildung $f:A\ra B$ definierbar, wenn ihr Graph eine definierbare Teilmenge von $R^{p+q}$ ist. \end{Definition} \begin{Satz}[\textbf{Definierbare Schnitte}] Sei $(R,\geq,\mathcal S)$ ein angeordneter K"orper mit o-minimaler Struktur. Gegeben $Y\subset R^{m+n}$ definierbar gibt es eine definierbare Abbildung $f:R^{n}\ra R^{m}$ mit $( f(b),b)\in Y$ wann immer es "uberhaupt einen Punkt der Gestalt $( a,b)\in Y$ gibt. \end{Satz} \subsection{Noch unklar wohin, Schnittmultiplizit"aten} \begin{Definition}[\textbf{Tangenten an ebene Kurven}] $(k=\bar k)$. Wir erinnern aus \ref{loMU} den Begriff der Multiplizit"at einer Variet"at in einem Punkt. Seien nun $C\As k^2$ eine ebene Kurve und $x\in C$ ein Punkt. Eine Gerade $L$ durch $x$ hei"st eine {\bf Tangente an $C$ in $x$},\index{Tangente!an ebene Kurve} wenn gilt $$\op{s}_x(C,L)>\op{mult}_xC$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Tangentiale Richtungen an Kurven in Fl"achen}] Sei $(X,x)$ eine punktierte Variet"at mit $\op{kdim}_xX=2$. Gegeben $C\As X$ eine Kurve durch $x$ betrachten wir Gegeben $g\in \mathfrak m_x$ mit $$i_x(C,\mathcal Z(g))>\op{mult}_xC$$ Eine Gerade $L$ durch $x$ hei"st eine {\bf Tangente an $C$ in $x$},\index{Tangente!an ebene Kurve} wenn gilt $$i_x(C,L)>\op{mult}_xC$$ \end{Bemerkungl} \nichtfinal{Wohin?} Im Fall $i_0(f,g)>\op{mult}_0 (f)$ sagen wir, die Gerade $L$ sei eine {\bf Tangente an $\mathcal Z(f)$}. Das ist erlaubt, da das in der Tat nur von $\mathcal Z(f)$ abh"angt. Im vorherigen Unterpunkt sind damit $\bar f$ und $\bar g$ teilerfremd genau dann, wenn $\mathcal Z(f)$ und $\mathcal Z(g)$ im Ursprung keine gemeinsamen Tangenten haben. %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXKAG" %%% End: