\section{Unfertiges}




\subsection{Unfertiges Geshuffle} 

\begin{Proposition} Sei $V$ ein Vektorraum oder allgemeiner ein
  Modul "uber einem Kring $k$.
\begin{enumerate}\item
  \nichtfinal{Diskutiere graduierte Dualit"at $(*)$.
    Diskutiere, da"s die Verkn"upfung
    $$(\bigwedge V)^{(*)} \otimes  (\bigwedge V)^{(*)}\ra (\bigwedge V \otimes  \bigwedge V)^{(*)}\ra  (\bigwedge V)^{(*)}$$
    mit $\Delta^{(*)}$ an zweiter Stelle
    aus $(\bigwedge V)^{(*)}$ eine Ringalgebra macht;}
\item
    \nichtfinal{Diskutiere den Ringalgebrenhomomorphismus $\bigwedge (V^*)\ra (\bigwedge V)^{(*)}$;}
  \end{enumerate}
  

Man zeige weiter, da"s das \textbf{Shuffle-Dachprodukt} $\op{Alt}^pV\times \op{Alt}^qV \ra \op{Alt}^nV$, das daraus  als die Verkn"upfung
$$\textstyle \op{Alt}^pV\times \op{Alt}^qV= (\bigwedge^pV)^*\times (\bigwedge^qV)^*
\ra (\bigwedge^pV\otimes \bigwedge^qV)^*\ra (\bigwedge^nV)^*=\op{Alt}^nV$$
entsteht, genau das Dachprodukt \eref{DaPr}{AN2} aus der Analysis ist, das
wir dort nur im Fall $\op{dim}V<\infty$ eingef"uhrt hatten.
\end{Proposition}






\subsection{Abelsche Gruppenobjekte als Schmelzkategorie}
  \begin{Bemerkungl}
    Gegeben eine Kategorie $\mathcal C$ mit endlichen Produkten
    bilden wir die Kategorie $$\op{Ab}(\mathcal C)$$ ihrer 
    abelschen Grup\-pen\-ob\-jek\-te. Wir machen sie zu einer Schmelzkategorie,
    indem wir eine Zweiverschmelzung
    $v:A\curlyvee B\ra C$
    erkl"aren als einen Morphismus
    $v\in\mathcal C(A\times B, C)$ mit der
    zus"atzlichen Eigenschaft, da"s die Diagramme
  \begin{displaymath}
\xymatrix{
 A\times A\times B\ar[rr]^-{\op{id}\times \op{id}\times \Delta} \ar[d]_{m\times \op{id}} &&  A\times A\times B\times B\ar[rr]_-{\sim} &&  A\times B\times A\times B \ar[d]^{v\times v}\\
 A\times B\ar[rr]^v & &C&&\ar[ll]^-{m}C\times C
}
  \end{displaymath}
  und ihre Analoga mit $B$ statt $A$  kommutieren. Analog erkl"aren wir  beliebige Verschmelzungen.
  \end{Bemerkungl}
  \begin{Bemerkunge} Dieselbe Konstruktion k"onnen wir auch
  in einer Kategorie ohne endliche Produkte durchf"uhren, wenn wir sie
  erst in der um endliche Produkte erweiterten
  Kategorie nach \eref{KYPP}{TD} durchf"uhren und nachher die hinzugenommen
  Objekte wieder weglassen. Man pr"uft, da"s die so konstruierte Schmelzkategorie bis auf eindeutigen Isomorphismus, der auf den Objekten die
  Identit"at ist, nicht von den dabei zu treffenden Wahlen, insbesondere der
  Wahl eines geeigneten Universums, abh"angt.
\end{Bemerkunge}
  \begin{Beispiel}  Beginnen wir  mit der Trennkategorie der Mengen,
    so finden wir
  die Schmelzkategorie der abelschen Gruppen. Beginnen wir mit der Trennkategorie der Mengengarben auf einem topologischen Raum, so finden wir
  die Schmelzkategorie der abelschen Garben auf besagtem Raum. Beginnen wir  mit der Trennkategorie der affinen Schemata,
    so finden wir
  die Schmelzkategorie der affinen abelschen Gruppenschemata.
\end{Beispiel}
\begin{Bemerkungl}
    Gegeben eine Schmelzkategorie $\mathscr M$ 
    bilden ihre Abmonoidobjekte eine Kategorie $$\op{Abmon}(\mathscr M)$$ Zum Beispiel ist
    $\op{Abmon}(\op{Ab})=\op{Kring}$ die Kategorie der Kringe.
    Des weiteren ist  $\op{Abmon}(\op{Ab}_{/X})=\op{Kring}_{/X}$ f"ur einen topologischen Raum $X$ die Kategorie der
    Kringgarben auf $X$.
 \end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
    Fassen wir unsere beiden Konstruktionen zusammen und gehen
    dann noch zur
    opponierten Kategorie "uber, so
    erhalten wir die Konstruktion
    $$\mathcal C\mapsto \big(\op{Abmon}(\op{Ab}\mathcal C)\big)^{\op{opp}}$$
    Sie macht aus einer Kategorie eine neue Kategorie. 
    Ich finde daran verbl"uffend, was in Einzelf"allen passiert.
    Gehen wir von der Kategorie der Mengen aus, so erhalten wir die
    Kategorie der affinen Schemata.
    Gehen wir von der Kategorie der topologischen R"aume aus,
    so erhalten wir die Opponierte der
     Kategorie der topologischen Kringe. 
  \end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
  Ich wei"s noch nicht, inwieweit das folgende lohnt. 
  Wir h"atten also mit $\op{TCat}$ der Gesamtheit der Trennkategorien 
  $$\op{Ab}: \op{Cat}\ra \op{SCat}$$
  $$\op{Grp}: \op{Cat}\ra \op{Cat}$$
  $$\op{Mon},\op{Abmon}: \op{SCat}\ra \op{Cat}$$
  $$\curlyvee: \op{Cat}\ra \op{SCat}$$
  $$\curlywedge: \op{Cat}\ra \op{TCat}$$
  $$\op{opp}: \op{SCat}\ra \op{TCat}$$
  $$\op{opp}: \op{TCat}\ra \op{SCat}$$
  $$\op{dual}: \op{SCat}_{\op{su}}\ra \op{TCat}_{\op{su}}$$
  $$\op{dual}: \op{TCat}_{\op{su}}\ra \op{SCat}_{\op{su}}$$
  Hier steht $\op{su}$ f"ur solche Schmelz- oder Trennkategorien,
  die stabil universelle Verschmelzungen haben. Es scheint mir aber, da"s man
  mit einem Baukasten dieser Art viele interessante Kategorien
  zusammenst"opseln kann.
\end{Bemerkungl}

\subsection{Versuch zu Notationen}
\begin{Bemerkungl}
  Man k"onnte erw"agen, die kartesische Schmelzkategorie einer
  Kategorie $\mathcal C$ mit endlichen Produkten zu notieren
  als
  ${\op{kart}}(\mathcal C)\pdef (\curlywedge\mathcal C)^{\op{dual}}$.\index{k@${\op{k}}\mathcal C$ kartesische Schmelzkategorie} 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Man k"onnte erw"agen, f"ur jede Kategorie $\mathcal C$ mit
  einem Objekt $X$ die Kategorie der Objekte "uber $X$ als
  $\mathcal C_X$ zu notieren und die Kategorie der Objekte unter $X$
als $\mathcal C^X$. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Man k"onnte erw"agen, f"ur jede Schmelzkategorie $\mathcal C$ mit
 Monoidobjekt $M$ die Kategorie der $M$-Objekte  als
 $\mathcal C_{M{\ssearrow}}$ zu notieren und die Kategorie
 der $M$-Rechtsobjekte $\mathcal C_{{\sswarrow}M}$. Damit w"are etwa
 ${\op{kEns}}_{M{\ssearrow}}$ die Kategorie der $M$-Mengen f"ur
 ein Monoid $M$. Weiter w"are 
 $\op{Ab}_{R{\ssearrow}}$ die Kategorie der $R$-Moduln f"ur
 einen Ring $R$.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Man k"onnte erw"agen, f"ur jeden Funktor $\mathcal C\ra\mathcal B$ 
  und jedes Objekt $X$ der Basis die Faser $\mathcal C_{/X}$ zu notieren,
  um sie von der Kategorie der Objekte "uber einem Objekt $X\in\mathcal C$
  zu unterscheiden. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Man k"onnte erw"agen, f"ur jede Trennfaserung
  $\mathcal M\ra \mathcal N$ "uber einer Trennkategorie mit stabil universellen
  Trennungen und jedes Monoidobjekt $G\in \mathcal N^{\op{dual}}$
  mit Operation auf $X\in\mathcal N$ die Kategorie der $G$-"aquivarianten Objekte der Faser "uber zu notieren als
  $$\mathcal M_{/G{\ssearrow}X}$$
  beziehungsweise $\mathcal M_{/X{\sswarrow}G}$ im Fall einer Rechtsoperation
  und das f"ur den Fall, d"as $X\pdef \op{pt}$ das Ausgangsobjekt der
  universellen Leertrennung ist, abzuk"urzen zu
  $\mathcal M_{/G{\ssearrow}}$
  beziehungsweise $\mathcal M_{/{\sswarrow}G}$, so da"s wir quasi per definitionem
  ausgezeichnete "Aquivalenzen
  $\mathcal M_{/G{\ssearrow}}\sira \mathcal M_{\underline G{\ssearrow}}$
  h"atten, na ja, bis auf etwas Dualisieren. 
\end{Bemerkungl}


\subsection{Versuch zum verzopften Verschmelzen}
\begin{Bemerkungl}
  Wir erkl"aren die  Kategorie $\op{Zopf}$ der {\bf Verzopfungen}.
Objekte sind die nat"urlichen Zahlen. Ein Morphismus
$n\ra m$ ist ein Paar bestehend aus einem Element der Zopfgruppe in $n$ Buchstaben und einer monoton wachsenden
Abbildung $\mu:\llbracket n\rrbracket\ra \llbracket m\rrbracket$.
Wir denken uns dies
Datum als \glqq erst Verzopfen, dann Zusammenfassen mit $\mu$\grqq, und 
fordern zus"atzlich, da"s \glqq die zusammengefa"sten Str"ange nicht
permutiert und auch nicht 
untereinander
verzopft sind in dem Sinne, da"s von zwei miteinander
zusammengefa"sten Str"angen an Kreuzungspunkten
die Rechteren stets oberhalb von den
Linkeren laufen\grqq.
Das Verkn"upfen geschieht durch \glqq Parallelf"uhren von
bereits zusammengefa"sten Str"angen\grqq\  und dem \glqq
Vorschalten des inversen Zopfes direkt vor der Zusammenfassung\grqq.
\end{Bemerkungl}


\begin{Definition} Eine {\bf verzopfte Schmelzkategorie}\index{Schmelzkategorie!verzopfte} 
ist ein Datum bestehend aus:\label{MuCz} 
\begin{enumerate}\renewcommand{\theenumi}{\alph{enumi}}
\item Einer Menge $\mathcal M$ von \defind{Objekten};
\item Einer Kategorie $\mathcal M^{\curlyvee}$ mit den
  \hyperref[efam]{Worten} aus
  Elementen von $\mathcal M$ als Objekten, der
  {\bf Wortkategorie}\index{Wortkategorie} unserer verzopften Schmelzkategorie; 
\item
 Einem Funktor
  $\mathcal M^{\curlyvee}\ra\op{Zopf}$, dem {\bf Indexfunktor},\index{Indexfunktor}
 der jedem Wort $B$ seine \hyperref[efam]{Indexmenge} $\bar B$ 
 zuordnet
und jedem Morphismus $f:B\ra A$ eine Verzopfung $\bar f:\bar B\ra\bar A$
der zugeh"origen Indexmengen.
Gegeben eine Verzopfung $\varphi:\bar B\ra\bar A$ setzen wir dann 
$$\mathcal M^{\curlyvee}_\varphi(B,A)\pdef \{f\in
\mathcal M^{\curlyvee}(B,A)\mid\bar f=\varphi\}$$
\item
F"ur alle $A,B\in \mathcal M^{\curlyvee}$ und jede Verzopfung
$\varphi:\bar B\ra\bar A$ einer Bijektion, der
{\bf Zerlegungsbijektion}\index{Zerlegungsbijektion} 
$$\mathcal M^{\curlyvee}_\varphi(B,A)\;\sira\; \bigsqcap_{i\in\bar A}
\mathcal M^{\curlyvee}(B|_{\varphi^{-1}(i)},A_i)$$
Wir notieren sie $f\mapsto ({_i f})$ und ihre\label{ZMki} 
Inverse
$ ({ f_1},\ldots,{ f_r})\mapsto (\varphi,{ f_1}\curlyvee\ldots\curlyvee{ f_r})$. Die eingeschr"ankte Familie $B|_{\varphi^{-1}(i)}$ ist dabei wie zum Schlu"s von \ref{efam} vereinbart mit der
induzierten Anordnung und der dadurch gegebenen neuen Indizierung zu verstehen. 
\end{enumerate}
Solch ein Datum nennen wir eine {\bf verzopfte Schmelzkategorie},\index{Schmelzkategorie!verzopfte} wenn die
 Zerlegungsbijektionen in der im folgenden ausgef"uhrten Weise
 \glqq mit den Verkn"upfungen vertr"aglich\grqq\ sind. Um diese Bedingung
 auszuschreiben, vereinbaren wir
 f"ur  $f\in \mathcal M^{\curlyvee}(B,A)$ und jede Teilmenge $E\subset \bar A$
 die Notation
 $_Ef\in \mathcal M^{\curlyvee}(B|_{\bar f^{-1}E},A|_E)$ f"ur den Morphismus,
 der unter der Zerlegungsbijektion auf das Tupel $(_if)_{i\in E}$
 abgebildet wird. 
 Mit der Vertr"aglichkeit von Verkn"upfung und Zerlegung
 meinen wir in dieser Notation, da"s f"ur beliebige $A,B,C\in\mathcal M^{\curlyvee}$, $h\in \mathcal M^{\curlyvee}(C,B)$,
$f\in \mathcal M^{\curlyvee}(B,A)$
 und $E\subset \bar A$ gilt
 $${_E (f\circ h)}={_E f}\circ {_{\bar f^{-1}E} h}$$
\end{Definition}



\begin{Bemerkungl}
  Es sollte nun so sein, da"s die Darstellungskategorie einer
  Quantengruppe in diesem Sinne verzopft ist, wenn  man \glqq die
  R-Matrix beziehungsweise ihre Inverse nimmt, um die neutralisierende
  Verzopfung vor der Zusammenfassung bei einer Verkn"upfung
  aufzul"osen\grqq, ganz "ahnlich wie man im Fall
  von superisierten abelschen Gruppen 1.5.6 Vorzeichen nimmt, um  "Uberkreuzungen aufzul"osen.
\end{Bemerkungl}


\subsection{Neuer (2022) Versuch zum verzopften Verschmelzen}


\begin{Bemerkungl}
  Gegeben endliche Teilmengen $A,B\subset\DC$ der Ebene sagen wir,
  $A$ {\bf liegt eindeutig zu} $B$, wenn kein  Punkt von $A$
  zu zwei verschiedenen Punkten von $B$ denselben
  Abstand hat und wenn zus"atzlich gilt $A\cap B=\emptyset$. Gleichbedeutend ist, da"s es eine Abbildung\label{edzf} 
  $f:A\ra B$ gibt mit $$\big((x,y)\in A\times B \text{ und }
  y\neq f(x)\big)\RA  |x-y|>|x-f(x)|>0$$
  Diese Abbildung ist dann durch $A$ und $B$ eindeutig bestimmt. Wir
  nennen sie die {\bf Nachbarschaftsabbildung},\index{Nachbarschaftsabbildung}
  weil sie eben jedem Punkt aus $A$ seinen n"achsten Nachbar in $B$ zuordnet. 
  Die Faser "uber $y\in B$ unter der Nachbarschaftsabbildung notieren wir
  $A_y\pdef f^{-1}(y)$.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Liegen $A$ und $A'$ eindeutig zu derselben Menge $B$, so nennen
  wir  $A$ und $A'$ {\bf streckungs"aquivalent}, wenn es f"ur alle
  $y\in B$ eine Streckung  $s_y:\DC\ra \DC$ mit Zentrum in $y$ 
  und positivem Streckfaktor gibt derart, da"s gilt $s_y(A_y)=A'_y$. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Seien $E,F\subset \DC$ endliche Teilmengen.
  Wir betrachten den Raum aller
  Wege im Raum der $|E|$-elementigen Teilmengen von $\DC$, die bei $E$ beginnen
  und im Sinne von \ref{edzf} eindeutig zu  $F$ enden, und versehen ihn mit
  der  Topologie, die von der kompakt-offenen
  Topologie auf dem Raum aller Wege induziert wird.
  Nun zerlegen wir unseren Wegeraum nach der Klasse des Endpunkts
  unter Streckungs"aquivalenz. Die Wegzusammenhangskomponenten der
  St"ucke dieser Zerlegung nennen wir {\bf Z"opfe von $E$ in die N"ahe von $F$}
  oder auch {\bf Quantenz"opfe von $E$ nach $F$}.\index{Quantenzopf} 
  Die Menge aller Quantenz"opfe von $E$ nach $F$
  notieren  wir 
  $$\op{qZopf}(E,F)$$
\nichtfinal{(SINNVOLL?  Die Menge der Quantenz"opfe von $E$ in die einelementige Menge $\{0\}$ notieren wir $\op{qZopf}(E)$. Ein Element dieser Menge nennen wir
  einen \glqq Zopf zum Ursprung\grqq.}  
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}
  Gegeben zwei einpunktige Mengen $E=\{p\}$ und $F=\{q\}$
  gibt es zu jedem von $q$ 
  ausgehenden Strahl  genau einen Quantenzopf
  von $E$ nach $F$, der auf diesem
  Strahl landet.
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}
 Ist $E$ leer, so gibt es f"ur jedes $F$ genau einen Quantenzopf
  von $E$ nach $F$.
\end{Beispiel}
\begin{Bemerkungl}
  Wir konstruieren eine Kategorie $\op{qZopf}$\index{qZopf@$\op{qZopf}$ Quantenzopfkategorie}, die {\bf Quantenzopfkategorie},\index{Quantenzopfkategorie} mit den
  endlichen Teilmengen von $\DC$ als Objekten und Quantenz"opfen als
  Morphismen. Gegeben eine endliche Teilmenge $A\subset \DC$ setzen wir
  dazu $$\op{mdist}(A)\pdef\op{inf}\{|x-y|\mid x,y\in A, x\neq y\}$$
  f"ur die minimale Distanz zwischen verschiedenen Punkten von $A$.  
  F"ur $|A|\leq 1$ erhalten wir insbesondere $\op{mdist}(A)=\infty$. 
  Gegeben ein Weg $\hat\varphi$ im Raum der  endlichen Teilmengen mit einer
  festen Anzahl von Elementen setzen wir weiter
  $$\op{mdist}(\hat\varphi)\pdef \op{inf}_t\op{mdist}(\hat\varphi(t))$$ 
 Gegeben $E,F,G\subset \DC$ endliche Teilmengen und
  $\varphi:E\ra F$ sowie $\psi:F\ra G$ Quantenz"opfe erkl"aren wir nun
  ihre Verkn"upfung $\psi\circ\varphi:E\ra G$.
  Sei dazu der Weg $\hat\psi$ ein Repr"asentant von $\psi$  und der Weg 
  $\hat\varphi$ ein Repr"asentant von $\varphi$ mit der zus"atzlichen
  Eigenschaft, da"s jeder Punkt
  
  $x\in \hat\varphi(1)$ einen Abstand $<d(\hat\psi)/2$ von seinem Bild
  in $F$ unter der Nachbarschaftsabbildung hat.
  Verkn"upfen wir dann $\hat\varphi$ mit dem bei $\hat\varphi(1)$
  beginnenden Weg, der jeden Punkt von $\hat\varphi(1)$
  parallelverschoben so bewegt, wie $\hat\psi$ seinen n"achsten Nachbarn aus
  $F$ bewegt, so erhalten wir einen Repr"asentanten eines Quantenzopfes
  $E\ra G$. Man sieht unmittelbar ein, da"s wir so eine wohldefinierte
  Ver\-kn"up\-fung von Quantenz"opfen erhalten und da"s die Axiome einer
  Kategorie erf"ullt sind.
\end{Bemerkungl}




\begin{Bemerkungl}
  Unter einer {\bf Kleinfamilie} von Elementen einer Menge
  $\mathcal M$ verstehen wir hier
  eine Abbildung von einer
  endlichen Teilmenge von $\DC$  nach $\mathcal M$. Vielfach verwenden
  wir f"ur eine Familie die Notation  $(A_z)_{z\in E}$ mit  
   $E\subset\DC$ unserer endlichen Indexmenge.  Gegeben so eine Familie $A:E\ra \mathcal M$ bezeichnen wir im folgenden
 mit $\bar A$ ihren Definitionsbereich alias ihre Indexmenge, also die  Menge $E$. %Die auf eine Teilmenge $D\subset E$  eingeschr"ankte Familie
  %notieren wir $A|_D$ und unterscheiden f"ur $z\in E$
  %zwischen der einelementigen\label{ojkfq} 
  %Familie $A|_{\{z\}}$ und dem Objekt $A_z$. Eine Familie mit einelementiger
  %Indexmenge hei"se eine {\bf Einsfamilie}.\index{Einsfamilie}   
\end{Bemerkungl}



\begin{Definition} Eine {\bf Quantenschmelzkategorie}\index{Quantenschmelzkategorie} 
ist ein Datum\label{MuCq} bestehend aus
\begin{enumerate}\renewcommand{\theenumi}{\alph{enumi}}
\item Einer Menge $\mathcal M$ von \defind{Objekten}. 
\item F"ur jede  Objektkleinfamilie  
  $A$ und jedes
  Objekt $Y$ und jeden Quantenzopf $f\in\op{qZopf}(\bar A)$ zum Ursprung
  einer Menge  $\mathcal M_f(A,Y)$ von  \defind{Verschmelzungen};
\item
  F"ur je zwei  Objektkleinfamilien $A,B$
  und jedes Objekt $Z$ und jeden Quantenzopf
  $\varphi\in\op{qZopf}(\bar A,\bar B)$ und jeden Quantenzopf $f\in\op{qZopf}(\bar B)$ zum Ursprung 
 einer Abbildung, der
  {\bf Multiverkn"upfung l"angs $\varphi$\index{Multiverkn"upfung!von Verschmelzungen}
  von Verschmelzungen}
  $$\prod_{j\in\bar B}\mathcal M_{\varphi|j}(A|_{\varphi^{-1}(j)-j},B_j)\times \mathcal M_f(B,Z)\ra \mathcal M_{f\circ\varphi}(A,Z)$$
  mit der Notation $\varphi|j$ f"ur den Quantenzopf zum Ursprung, der aus  $\varphi$ entsteht, indem
  alle Wege weggelassen werden, die nicht in die Nachbarschaft von $j$ f"uhren,
  und dann alles mit $-j$ translatieren, so da"s wir beim Ursprung rauskommen,
\end{enumerate}
derart, da"s unsere Multiverkn"upfungen {\bf multiunit"arassoziativ}\index{multiunit"arassoziativ}  sind in einem Sinne,
f"ur dessen Erkl"arung ich etwas weiter ausholen mu"s. 
Wir bilden daf"ur einen K"ocher mit Verkn"upfung 
$$\mathcal M^{\curlyvee}$$ im Sinne von \eref{Magoi}{LA2} mit 
  Objektkleinfamilien aus $\mathcal  M$  als Ecken und 
  Pfeilen $A\ra B$ gegeben durch beliebige Paare $(\varphi, (f_j)_{j\in\bar B})$ bestehend aus einem Quantenzopf
  $\varphi\in\op{qZopf}(\bar A,\bar B)$ zwischen den  Indexmengen und einem 
  Tupel $(f_j)_{j\in\bar B}$ von Verschmelzungen 
  $f_j\in\mathcal M_{\varphi|j}(A|_{\varphi^{-1}(j)-j}, B_j)$ und der offensichtlichen
  durch unsere Multiverkn"upfung von Verschmelzungen erkl"arte Verkn"upfung
  von Pfeilen. Wir fordern dann als letztes Axiom, da"s dieser K"ocher
  mit Verkn"upfung $\mathcal M^{\curlyvee}$ eine Kategorie sein soll.
\end{Definition}

\begin{Bemerkungl}
  Gegeben eine endlichdimensionale einfache komplexe Liealgebra $\mathfrak g$
  und Darstellungen $V_1,\ldots, V_r$ liefern die  {\bf Knizhnik-Zamolodchikov-Gleichungen}
$$\partial_i\psi(z_1,\ldots, z_n)=\sum_{j\neq i} \frac{\Omega_{ij}}{z_i-z_j}\psi(z_1,\ldots, z_n)$$ 
  einen flachen Zusammenhang auf dem
  trivialen B"undel mit der Faser $V_1\otimes \ldots \otimes V_r$
  "uber $\DC^n\backslash \Delta$ f"ur $\Delta$ die sogenannte
  {\bf dicke Diagonale} aller Tupel mit zwei oder mehr gleichen Eintr"agen.
  Hier meint $\Omega\in (\mathfrak g\otimes\mathfrak g)^{\mathfrak g}$ einen
  festen invarianten Zweitensor
  und $\Omega_{ij}\in \op{End}_\DC(V_1\otimes \ldots \otimes V_r)$
  sein Bild unter der offensichtlichen Verkn"upfung
  $\mathfrak g\otimes\mathfrak g \ra \op{End}_\DC(V_i)\otimes \op{End}_\DC(V_j)\ra \op{End}_\DC(V_1\otimes \ldots \otimes V_n)$. 
  Da $\Omega$ symmetrisch ist, finden wir speziell $\sum \partial_i\psi=0$,
  als da hei"st, jede L"osung auf einer offenen Teilmenge
  ist konstant auf den Komponenten des Schnitts unserer offenen Teilmenge
  mit einer beliebigen $\DC^\times$-Bahn in $\DC^n$ unter der Operation der
  Multiplikation mit Skalaren.
  Weiter \glqq kommt es auf die Nummerierung nicht an\grqq, was ich hier nicht
  genauer sagen will.
  Nun soll $\mathcal M$
  im motivierenden Beispiel
  die Menge der endlichdimensionalen Darstellungen von $\mathfrak g$ sein,
  also $\mathcal M\pdef \op{Modf}_{\mathfrak g}$, und 
  die Menge von Verschmelzungen
  $\mathcal M_f(A,Y)$ soll nun das folgende sein: Unser Datum $A$ ist ja eine
  endliche Punktmenge $\bar A\subset \DC$ zusammen mit einer Darstellung
  $A_z\in \op{Modf}_{\mathfrak g}$ an jeder Stelle $z\in E$. Jetzt nehmen wir
  das Tensorprodukt der $A_z$ f"ur $z\in E$ und dessen komplexlinearen
  Automorphismus gegeben durch Parallelverschiebung l"angs $f$ in die N"ahe
  des Urspungs gefolgt von einem Homomorphismus von $\mathfrak g$-Darstellungen
  unseres Tensorprodukts in die $\mathfrak g$-Darstellung $Y$.
  Derartige multilineare Abbildungen $\bigotimes_{z\in E} A_z \ra Y$ sollen
  also unsere \glqq Verschmelzungen l"angs des $f$\grqq\ sein. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
  Jetzt h"or ich mal wieder auf. Fragen: Wie beschreibt man nun die
  Multiverkn"upfung? Warum kriegen wir genau verzopfte (braided) Tensorkategorien, wenn wir uns auf Familien mit Indizes $\{1,2,\ldots,n\}$
  f"ur $n\geq 0$ beschr"anken? Warum stimmt das "uberhaupt in der
  nichtverzopften Situation, also wie folgt es aus dem Koh"arenzsatz von MacLane, oder wie kann man vielleicht sogar den Koh"arenzsatz neu beweisen oder
  besser, den Beweis andersartig aufschreiben? Na gut, jetzt mach ich mal wieder was Anderes!
\end{Bemerkungl}



\subsection{Neuer (Nov 2023) Versuch zum verzopften Verschmelzen}
\begin{Bemerkungl}
  Gegeben $n\in\DN$ betrachten wir den Raum $\mathcal P_n(\DC)$ aller
  $n$-elementigen Teilmengen von $\DC$ mit seiner offensichtlichen Topologie.
  Jeder Weg $$\gamma:[0,1]\ra \mathcal P_n(\DC)$$ induziert eine
  Bijektion $\hat\gamma: \gamma(0)\sira \gamma(1)$
  und weiter f"ur alle $p\in \gamma(0)$
  einen Weg $\gamma_{p{\ssearrow}}:[0,1]\ra\DC$ von $p$ nach $\hat\gamma(p)$
  alias f"ur alle $q\in \gamma(1)$ einen Weg $\gamma_{{\ssearrow}q}$
  von $\hat\gamma^{-1}(q)$ nach $q$. Umgekehrt bilden je $n$ Wege in $\DC$,
 von denen nie zwei zur selben Zeit am  selben Ort sind, einen
  Weg in $\mathcal P_n(\DC)$. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
 Gegeben endliche Teilmengen $E,F\subset \DC$ verstehe ich unter
  einem {\bf Weg von $E$ zur Rechten von $F$}  einen Weg $\gamma$
  im Raum der $|E|$-elementigen
  Teilmengen von $\DC$, der bei $\gamma(0)=E$ beginnt
  und so, da"s es f"ur jeden Punkt $p\in \gamma(1)$
  ein $q\in F$ gibt mit $\op{Im}(q)=\op{Im}(p)$ aber $\op{Re}(q)<\op{Re}(p)$.
  Jeder solche Weg induziert eine Abbildung  $\tilde\gamma:E\ra F$, die jedem $p\in E$ dasjenige $q\in F$ zuordnet,
  das der Endpunkt  $\hat\gamma(p)$ auf seiner rechten Seite zuerst sieht,
  in Formeln das $q\in F$ mit $\op{Im}(q)=\op{Im}(p)$ und $\op{Re}(q)<\op{Re}(p)$, f"ur das $\op{Re}(p)-\op{Re}(q)$ kleinstm"oglich wird. 
  Jeder solche Weg induziert zus"atzlich  eine Anordnung
  auf jeder Faser von $\tilde\gamma$, indem wir diejenigen
  Punkte gr"o"ser nennen,
  bei denen der Realteil ihres Bildes unter $\hat\gamma$ gr"o"ser ist.\label{WRV}  
\end{Bemerkungl}
  \begin{Bemerkungl}
 Gegeben  endliche Teilmengen $E,F\subset \DC$ verstehe ich unter
 einem {\bf Zopfmorphismus $\alpha$ von $E$ nach $F$}\index{Zopfmorphismus}  
 eine Zusammenhangskomponente im Raum der Wege
 von $E$ zur Rechten von $F$. Die Konstruktionen aus \ref{WRV}
 sind konstant auf
 Zusammenhangskomponenten, jeder Zopf von $E$ nach $F$
 liefert mithin  eine Abbildung $\tilde\alpha:E\ra F$ und eine
 Anordnung auf jeder Faser von $\tilde\alpha$.
  \end{Bemerkungl}
  \begin{Bemerkungl}
    Gegeben eine endliche Teilmenge $A\subset \DC$ notieren wir
   $$\op{mdist}(A)\pdef\op{inf}\{|x-y|\mid x,y\in A, x\neq y\}$$
   die minimale Distanz zwischen verschiedenen Punkten von $A$.  
  F"ur $|A|\leq 1$ erhalten wir insbesondere $\op{mdist}(A)=\infty$. 
  Gegeben ein Weg $\psi$ im Raum der  endlichen Teilmengen mit einer
  festen Anzahl von Elementen setzen wir dann 
  $$\op{mdist}(\psi)\pdef \op{inf}_t\op{mdist}(\psi(t))$$
 \end{Bemerkungl}
   \begin{Bemerkungl}[\textbf{Verkn"upfung von Zopfmorphismen}]
     Gegeben  ein
     Zopfmorphismus $\alpha$ von $E$ nach $F$ sowie
     ein Zopfmorphismus $\beta$ von $F$ nach $G$ erkl"aren wir nun ihre
     Verkn"upfung $\beta\circ \alpha$.
     Wir w"ahlen dazu zun"achst einen  Repr"asentanten $\psi$ von $\beta$
     und dann einen Repr"asentanten $\gamma$ von $\alpha$ mit der
  Eigenschaft, da"s f"ur alle $q\in F$ die Punkte  $x\in\hat\gamma(\tilde \gamma^{-1} q)$ einen Abstand $< \op{mdist}(\psi)$ von $q$ haben. 
  Dann h"angen wir an jeden dieser Punkte $x$
  den entsprechend
  parallelverschobenen durch $\psi$ gegebenen Weg $\psi_{q{\ssearrow}}$
  von $q$ nach $\hat\psi(q)$
  an, in Formeln den Weg $x-q+\psi_{q{\ssearrow}}$. So erhalten wir einen 
  Weg von $E$ zur Rechten von $G$. Man sieht, da"s der zugeh"orige
  Zopfmorphismus nur von den Zopfmorphismen $\alpha$ und $\beta$ abh"angt.
  Er verdient mithin die Bezeichnung $$\beta\circ \alpha$$
  Es ist klar, da"s diese Verkn"upfung unit"arassoziativ ist.
  Wir nennen die so entstehende Kategorie
  die {\bf Zopfkategorie}\index{Zopfkategorie} $$\op{Zopf}$$
  Ihre Objekte sind endliche Teilmengen der komplexen Zahlenebene
  und ihre Morphismen
  Z"opfe von der einen Menge zur anderen. 
   \end{Bemerkungl}
   \begin{Bemerkungl}
     Gegeben  endliche angeordnete Mengen $E,F$ erkl"aren
     wir einen Zopf von $E$ nach $F$, indem wir sie
     ordnungsvertr"aglich in die reelle Gerade legen und
     dann die Z"opfe von eben betrachten. Es ist klar, da"s wir
     so eine wohlbestimmte Menge $\op{Zopf}^<(E,F)$ erhalten und
     auch wieder eine Kategorie, nun mit endlichen angeordneten Mengen
     als Objekten. Es ist klar, da"s wir endliche angeordnete Mengen
     und ihre Z"opfe auch nebeneinandersetzen k"onnen und da"s dieses Nebeneinandersetzen assoziativ ist und vertr"aglich mit der Verkn"upfung von Z"opfen. Jetzt will ich dar"uber nachdenken, welche Morphismen erzeugen
     und welche Relationen ben"otigt werden.
      \end{Bemerkungl}
   \begin{Bemerkunge}
   Ich erwarte, daß da als kogefasertes Dingen dr"uber in etwa
     eine verzopfte monoidale Katgorie herauskommt, wenn man zus"atzlich
    die Existenz \glqq stabil universeller Verschmelzungen\grqq\ annimmt.
   \end{Bemerkunge}



   \subsection{Schmelzk"ocher}

\begin{Definition}\label{DSKo}
Ein {\bf Schmelzk"ocher}\index{Schmelzk"ocher} ist ein Datum $\cal{Q} = (P, E , a , e)$
bestehend aus einer Menge  $E$ und einer Familie von Mengen $(P(r))_{r\in \DN}$
und f"ur alle $r\in \DN$ Abbildungen $a_1,\ldots, a_r,e:P(r)\ra E$.  
 Wir nennen die Elemente von $E$ die  {\bf Ecken}\index{Ecke!von Schmelzk"ocher}  des Schmelzk"ochers und die
Elemente von $P(r)$ seine \defind{$r$-Pfeile}. Wenn wir $r$ nicht spezifizieren wollen, sprechen wir von einem {\bf Multipfeil}.\index{Multipfeil}
F"ur einen $r$-Pfeil $\vec p
\in P$ nennen wir $a_\rho(\vec p\!\;)$ 
seine {\bf $\rho$-te Startecke}\index{Startecke!von Schmelzpfeil} und $e(\vec p\!\;)$
seine {\bf Zielecke}.\index{Zielecke!von Schmelzpfeil} 
Ein {\bf Morphismus} $F$ von unserem
Schmelzk"ocher in einen weiteren Schmelzk"ocher $(P', E', a', e')$ ist ein Paar
bestehend aus einer  Abbildung $F:E\ra E'$ und  Abbildungen $F:P(r)\ra P'(r)$
derart, da"s gilt $Fa_\rho=a'_\rho F$ und $Fe=e'F$.
Wir erhalten so die Kategorie  der 
Schmelzk"ocher\index{SCar@$\op{SCar}$ Kategorie der Schmelzk"ocher}
$$\op{SCar}$$
"Ahnlich wie bei Schmelzkategorien schreiben wir auch 
gerne abk"urzend $\cal{Q}$ f"ur die Eckenmenge eines Schmelzk"ochers
$\cal{Q} = (P, E , a , e)$ und $\cal{Q}(x_1\curlyvee\ldots\curlyvee x_r,y)$ f"ur die Menge der
$r$-Pfeile mit Startecken $x_\rho$ und Zielecke $y$.
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
  In unseren Konventionen haben wir $0\in\DN$. Es kann in einem Schmelzk"ocher
  also auch
  $0$-Pfeile geben alias Schmelzpfeile,
  die nur eine Zielecke aber  keine Startecke haben.
  Wir nennen sie auch {\bf Leerpfeile}.\index{Leerpfeil}
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
  Das Vergessen der Multiverkn"upfung zusammen
  mit der Beschr"ankung auf durch die Indexmengen $\llbracket n\rrbracket$
  f"ur $n\in \DN$ indizierte Objektkleinfamilien macht aus jeder
  Schmelzkategorie einen Schmelzk"ocher und wir erhalten so 
  einen Funktor
  $$\op{SCat}\ra \op{SCar}$$
  Er besitzt einen Linksadjungierten, der jedem Schmelzk"ocher
  seine {\bf Pfadschmelzkategorie}\index{Pfadschmelzkategorie} zuordnet.
  Einen {\bf Schmelzpfad}\index{Schmelzpfad} in einem
  Schmelzk"ocher erkl"aren wir als eine "Aquivalenzklasse von
  Daten bestehend aus einer Ecke $y$ und
  einer Kleinfamilie von Multipfeilen
  $(\vec p_i)_{i\in I}$ 
  unseres Schmelzk"ochers mit $\vec p_i\in P(r_i)$ jeweils einem
  $r_i$-Pfeil 
  und einer
  injektiven Abbildung $v:I\hra \{*\}\sqcup \bigsqcup_{i\in I}(\{i\}\times\llbracket r_i\rrbracket)$ mit $e(\vec p_i)= y$ falls $v(i)= *$  und $e(\vec p_i)=a_\rho(\vec p_j)$
  falls $v(i)=(j,\rho)$ und derart, da"s es eine Teilordnung auf $I$ gibt
  mit $v(i)=(j,\rho) \RA i> j$. Das impliziert insbesondere, da"s
  es, wenn $I$ nicht leer ist,
  einen Index $k\in I$ geben mu"s mit $v(k)=\ast$ und da"s
  dieser Index $k$ das kleinste Element in Bezug auf jede derartige Teilordnung sein mu"s. Zwei Daten dieser Art hei"sen dabei
  "aquivalent, wenn sie sich nur um eine Umindizierung mit einer Bijektion  $J\sira I$ unterscheiden.
  Die durch das Komplement des Bildes von $v$ in der offensichtlichen
  Weise indizierte Eckenfamilie nennen wir die Familie der {\bf Ausgangsecken}
  unseres Schmelzpfades. 
  Die
  {\bf Pfadschmelzkategorie}\index{Pfadschmelzkategorie} $\tilde{\mathcal Q}$ eines Schmelzk"ochers
  $\mathcal Q$ erkl"aren wir als die Schmelzkategorie mit den Ecken unseres
  Schmelzk"ochers als Objekten und Verschmelzungsmenge 
  $\tilde{\mathcal Q}(A,Y)$ der Menge aller Paare bestehend aus
  einem Schmelzpfad nach $Y$ und einer Bijektion zwischen $\bar A$ und
  der Indexfamilie der Ausgangsecken unseres Pfades derart, da"s
  je zwei sich unter besagter Bijektion
  ensprechende Indizes dieselbe Ecke indizieren.
  Die Multiverkn"upfung ist die hoffentlich offensichtliche. Die Identit"at auf $Y$ ist der leere Schmelzpfad nach $Y$. 
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}
  Eine Schmelzkategorie mit einem einzigen Objekt nennen wir nach
\ref{MeOp} eine
  {\bf Operade}  oder ausf"uhrlicher  {\bf Mengenoperade}.
   Gegeben ein Schmelzk"ocher $\cal{Q} = (P, E , a , e)$ im Sinne von \ref{DSKo} mit einelementiger Eckenmenge $|E|=1$ ist insbesondere
   seine Pfadschmelzkategorie eine
  Mengenoperade. Bereits im Fall eines einzigen Multipfeils, etwa eines einzigen $2$-Pfeils, ist diese Pfadschmelzkategorie bereits  eine durchaus interessante Mengenoperade.  
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
  Eine durch die nat"urlichen Zahlen indizierte Familie von Mengen $M=(M(n))_{n\in\DN}$ mit jeweils einer
  Rechtsoperation von $\mathcal S_n$ auf $M(n)$ nennen wir ein
  {\bf Tauschsystem von Mengen} oder kurz {\bf Tauschsystem}.\index{Tauschsystem!von Mengen}
  Gegeben Tauschsysteme $M,N$ erkl"aren wir einen {\bf Morphismus} $\varphi:M\ra N$
  als eine Familie "aquivarianter Abbildungen $\varphi_n:M(n)\ra N(n)$.
  Die Tauschsysteme bilden damit eine Kategorie. 
  Wir notieren diese Kategorie sie\index{SEns@$\mathcal S\op{-Ens}$}
  $$\mathcal S\op{-Ens}$$
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}
  Gegeben eine  Mengenoperade $\mathcal P$ 
 notieren wir die Objektkleinfamilie $(*)_{i\in I}$ schlicht $I$. Auf den Verschmelzungsmengen
 $\mathcal P(I,\ast)$ operiert dann
 die Gruppe der Permutationen $\op{Ens}^\times(I)$
 von rechts durch Umindizieren \ref{Ui}. 
 Insbesondere tragen die Mengen $\mathcal P(\llbracket n\rrbracket,\ast)$ eine Rechtsoperation von $\mathcal S_n$. 
 Notieren wir $\op{SCatE}$ die Kategorie der Mengenoperaden,
 so erhalten wir mithin einen
 Funktor\label{MoTs} 
 $$\begin{array}{ccl}
   \op{SCatE}&\ra& \mathcal S\op{-Ens}\\
   \mathcal P&\mapsto& \big(\mathcal P(\llbracket n\rrbracket,\ast)\big)_{n\in\DN}
 \end{array}
$$
 von der Kategorie der Mengenoperaden in die Kategorie der Tauschsysteme.
\end{Bemerkungl}

\begin{Proposition} Unser Funktor  von Mengenoperaden zu Tauschsystemen aus
  \ref{MoTs} besitzt einen Linksadjungierten.\label{frMO} 
\end{Proposition}
\begin{Bemerkungl} 
  Den Wert dieses Linksadjungierten auf einem vorgegebenen Tauschsystem
  nennen wir die  {\bf freie Mengenoperade "uber unserem Tauschsystem}.\index{frei!Mengenoperade}\index{Mengenoperade!freie}
\end{Bemerkungl}
\begin{proof} 
 Wir gehen  aus vom  Schmelzk"ocher mit einer Ecke und mit 
 $M(n)$ als Menge der $n$-Pfeile f"ur alle $n$ und bilden dessen
 Pfadschmelzkategorie $\mathcal M$. Die offensichtlichen Abbildungen $M(n)\ra \mathcal M(\llbracket n\rrbracket,*)$ sind zwar nicht
 $\mathcal S_n$-"aquivariant, aber wir erhalten nat"urliche
 $\mathcal S_n$-"aquivariante Abbildungen
 $$M(n)\times \mathcal S_n\ra \mathcal M(\llbracket n\rrbracket,*)$$ f"ur die Rechtsoperation
 von $\mathcal S_n$ nur auf dem zweiten Faktor auf der linken Seite.
 Betrachten wir nun auf den Verschmelzungsmengen von
 $\mathcal M$ die kleinste schmelzvertr"agliche "Aquivalenzrelation $\sim$
 im Sinne von \ref{QvS}, unter der die Bilder von $(a\sigma, \tau)$ und
 $(a, \sigma\tau)$ "aqivalent sind f"ur alle $n\in\DN, a\in M(n)$ und $\sigma,\tau\in\mathcal S_n$, so hat die Quotientenschmelzkategorie
 $\mathcal M/{\sim}$  im Sinne von \ref{QvS}
 offensichtlich die geforderte universelle Eigenschaft und
 wir haben unseren Linksadjungierten alias die freie Mengenoperade
 "uber dem Tauschsystem $M$ konstruiert. 
\end{proof}



\begin{Bemerkungl}
  Man kann die kleinste schmelzvertr"agliche "Aquivalenzrelation im Beweis von \ref{frMO}
  auch explizit beschreiben. Das soll mir einmal ein Student ausarbeiten.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Verschmelzungen von Kopien von $X$ nach $Y$}]
Wir erinnern unsere Notation $X^{\curlyvee n}\pdef (X)_{i\in \llbracket n\rrbracket}$. Gegeben eine Schmelzkategorie $\mathcal M$ und Objekte $X,Y\in\mathcal M$
  ist die Familie der $\mathcal M(X^{\curlyvee n},Y)$
    f"ur $n\in\DN$ 
    mit der jeweiligen Rechtsoperation
    durch Umindizieren \ref{Ui} ein Tauschsystem.
    Wir notieren es $$\mathcal M(X^\curlyvee,Y)$$
    Das Tauschsystem einer Mengenoperade $\mathcal P$
    w"are in dieser
    Notation $\mathcal P(*^\curlyvee,*)$. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Zwei-Objekt-Schmelzkategorie
      eines Tauschsystems}]
  Wir betrachten den Funktor von der Kategorie $\op{SCatD(1)}$
     aller Schmelzkategorien $\mathcal M$ mit einer Abbildung $\{0,1\}\ra\mathcal M$ alias mit zwei ausgezeichneten Objekten $X,Y$
     in die Kategorie der Tauschsysteme\label{ZoS} 
     $$\begin{array}{ccc}
       \op{SCatD(1)}&\ra & \mathcal S\op{-Ens}\\[1mm] 
       (\mathcal M, X,Y)&\mapsto& \mathcal M(X^\curlyvee,Y)
     \end{array}$$
     Wir erhalten einen Linksadjungierten, indem wir  
     ausgehend von einem Tauschsystem $M\in \mathcal S\op{-Ens}$ den
     Schmelzk"ocher mit  zwei Ecken $x,y$ bilden,
     in dem $M(r)$ die Menge der $r$-Pfeile von $r$ Kopien von $x$ nach $y$
     ist und
     in dem es keine weiteren Multipfeile gibt. 
     Dann bilden wir zu diesem Schmelzk"ocher die Pfadschmelzkategorie
     $\mathcal D$ und erhalten durch das Vorschalten von Umindizierungen 
     Abbildungen $M(r)\times \mathcal S_r\ra \mathcal D(x^{\curlyvee r},y)$.
     Nun teilen wir unsere Pfadschmelzkategorie
     noch durch die kleinste schmelzvertr"agliche "Aquivalenzrelation
     im Sinne von \ref{QvS}, unter der die Bilder von $(a\tau,\sigma)$ und
     $(a,\tau\sigma)$ "aquivalent sind f"ur alle $a\in M(r)$ und
     $\tau, \sigma\in \mathcal S_r$ und $r\in\DN$ und fertig ist der
     Linksadjungierte.
     Wir notieren ihn $\bar{\mathcal D}:M\mapsto \bar{\mathcal D}_{M}$.
     Gehen wir die Definitionen durch, so sehen wir, da"s es in
     $\bar{\mathcal D}_{M}$ nur die beiden Objekte $x,y$ gibt und
     au"ser Identit"aten nur Verschmelzungen von Kleinfamilien von Kopien von
     $x$ nach $y$ und da"s wir f"ur jede endliche Menge $I$ mit $r$ Elementen
     eine Bijektion $$M(r)\times_{/\mathcal S_r}\op{Ens}^\times (I,\llbracket r\rrbracket)\sira \bar{\mathcal D}_{M}((x)_{i\in I},y)$$
     erhalten mit der $\mathcal S_r$-Operation durch Nachschalten
     auf $\op{Ens}^\times (I,\llbracket r\rrbracket)$. Wir nennen  $\bar{\mathcal D}_{M}$ die {\bf Zwei-Objekt-Schmelzkategorie} unseres
     Tauschsystems $M$. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Geschichtete Schmelzkategorien}] 
  Gegeben eine  endliche angeordnete Menge $\Omega=(\Omega,\leq)$
  erkl"aren wir eine {\bf $\Omega$-geschichtete Schmelzkategorie}\index{Schmelzkategorie!geschichtete} als eine  Schmelzkategorie mit
    Objektmenge $\Omega$, deren Verschmelzungen erzeugt werden von Verschmelzungen
    von Tupeln aus Kopien eines Objekts zu dem Objekt eins drunter.
  Die $\Omega$-geschichteten Schmelzkategorien bilden mit objektfesten Schmelzfunktoren als Morphismen eine Kategorie   
  $$\op{GSCat}[\Omega]$$
  Die Kategorie der mit $[n]=\{0,1,\ldots,n\}$ geschichteten Schmelzkategorien
  notieren wir $\op{GSCat}[n]$. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Tauschsysteme als $[1]$-geschichtete Schmelzkategorien}] 
  Unser Funktor aus \ref{ZoS}  induziert
     eine "Aquivalenz von Kategorien
     $$\op{GSCat}[1]\sirra \mathcal S\op{-Ens}$$
     zwischen der Kategorie der $[1]$-geschichteten Schmelzkategorien
     und der Kategorie der Tauschsysteme. 
   \end{Bemerkungl}

 \begin{Bemerkungl}[\textbf{Verkleben geschichteter Schmelzkategorien}] 
    Sei $\Omega$ eine angeordnete Menge. 
    Jede volle Unterschmelzkategorie einer $\Omega$-ge\-schich\-te\-ten
    Schmelzkategorie ist auch selbst $\Omega$-geschichtet  in Bezug auf die auf ihren Objekten induzierte Anordnung.
      Wir erkl"aren f"ur alle $c\in \Omega$ durch das Bilden der entsprechenden
    vollen Unterschmelzkategorien einen
    Funktor  $$\op{GSCat}[\Omega]\ra
    \op{GSCat}[\Omega_{\leq c}]\times \op{GSCat}[\Omega_{\geq c}]$$
    Er besitzt einen Linksadjungierten. Wir k"onnen ihn etwa konstruieren,
    indem wir vom Schmelzk"ocher zur Eckenmenge $\Omega$ ausgehen,
    dessen Multipfeile alle Verschmelzungen
    $\omega^{\curlyvee n}\ra \eta$ sind f"ur $\omega$ der direkte
    Nachfolger von $\eta$ und $n\in \DN$ und die
    jeweils in der entsprechenden der beiden vorgegebenen geschichteten Schmelzkategorien $\mathcal M_{\leq c},\mathcal M_{\geq c}$
    liegen. Zu diesem  Schmelzk"ocher bilden wir dann die Pfadschmelzkategorie
    und teilen die kleinste Schmelz"aquivalenz heraus, unter der Schmelzpfade
    in eine Ecke $\geq c$ "aquivalent sind, wenn die dieselbe Verschmelzung
    in $\mathcal M_{\geq c}$ liefern, und Schmelzpfade
    von Ecken $\leq c$  "aquivalent sind, wenn die dieselbe Verschmelzung
    in $\mathcal M_{\leq c}$ liefern. Wir nennen
    die so entstehende $\Omega$-geschichtete Schmelzkategorie die
     {\bf freie Verklebung}\index{Verklebung!freie von geschichteten Schmelzkategorien}
     unserer  geschichteten Schmelzkategorien  $\mathcal M_{\leq c}$ und $\mathcal M_{\geq c}$. 
 \end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Freie Verklebung von Tauschsystemen}]
  Wir w"urden  die freie Verklebung $N\circ M$ von Tauschsystemen $M,N$ am liebsten
  erkl"aren 
  als ihr Bild unter der Komposition
  $$\begin{array}{ccccc}
    \mathcal S\op{-Ens}\;\!\times\; \mathcal S\op{-Ens}&&
    & & \mathcal S\op{-Ens}\\
    \da\wr&&&&\ua\wr\\
    \op{GSCat}[1]\times  \op{GSCat}[1]&&
    & & \op{GSCat}[1]\\
    \da\wr&&&&\ua\wr\\
    \op{GSCat}[\{a,b\}]\times \op{GSCat}[\{b,c\}]&\ra&
    \op{GSCat}[\{a,b,c\}]&\ra & \op{GSCat}[\{a,c\}]
  \end{array}$$
  f"ur $a<b<c$ mit der freien Verklebung von geschichteten Schmelzkategorien
  in der  linken unteren Horizontale. 
 Gehen wir die Definitionen durch, so erhalten wir als explizite Beschreibung  
     $$(N\circ M)(n)=
     \bigsqcup_{r\in\DN}N(r)\times_{/\mathcal S_r}\left(\bigsqcup_{f:\llbracket n\rrbracket\ra \llbracket r\rrbracket}
     M(n_1)\times\ldots\times M(n_r)\right)$$
     f"ur $n_\rho\pdef |f^{-1}(\rho)|$
     die Zahl der Elemente der Faser "uber $\rho$.
     Die Operation von $\sigma \in \mathcal S_r$ von links auf der gro"sen
     Klammer
     geschieht
     dadurch, da"s der Teil f"ur $f$ in den Teil f"ur $\sigma\circ f$
     geschoben wird unter entsprechender Vertauschung der Faktoren.
     Die Rechtsoperation von $\tau\in\mathcal S_n$ auf dem Resultat dahingegen
     geschieht dadurch, da"s der Teil f"ur $f$ in den Teil f"ur $f\circ \tau$
     geschoben wird und wir auf dem jeweiligen Faktor $M(n_\rho)$
     diejenige Permutation $\tau_\rho\in \mathcal S_{n_\rho}$
     operieren lassen, die wir als Komposition
     $$\llbracket n_\rho\rrbracket \sira \tau^{-1}f^{-1}(\rho) \sira f^{-1}(\rho)\sira \llbracket n_\rho\rrbracket$$
     erhalten mit den ordungserhaltenden Bijektionen vorne und hinten
     und der von $\tau$ induzierten Abbildung in der Mitte.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Monotone Schmelzkategorie der Tauschsysteme}]
  Wir erkl"aren eine Verschmelzung von zwei Tauschsystemen
  $N\curlyvee M\ra L$ als einen Morphismus  $N\circ M\ra L$.
  Nun soll mir jemand ausschreiben, da"s und wie genau 
  die Tauschsysteme eine monotone Schmelzkategorie bilden mit stabil
  universellen Verschmelzungen \ref{smkkm}. Eine Leerverschmelzung in ein Tauschsystem $M$
  ist ein Punkt von $M(1)$, denke ich mal, und eine universelle Leerverschmelzung landet im Tauschsystem, das nur im Grad Eins nichtleer ist und dort einpunktig, rate ich mal.  Jetzt gilt es zu zeigen, da"s eine
  Mengenoperade auch aufgefa"st werden kann als ein Monoidobjekt
  $\mathcal P$ in der
  monotonen Schmelzkategorie der Tauschsysteme. Da soll mir mal ein
  Student helfen. 
\end{Bemerkungl}




  \begin{Bemerkungl}\nichtfinal{Wohl veraltet.}  
     Wir betrachten nun die Kategorie $\op{SCatD}(2)$
     aller Schmelzkategorien $\mathcal M$ mit einer Abbildung $\{0,1,2\}\ra\mathcal M$ alias mit drei ausgezeichneten Objekten $X,Y,Z$
  und den Funktor 
     $$\begin{array}{ccc}
       \op{SCatD}(2)&\ra & \mathcal S\op{-Ens}\times  \mathcal S\op{-Ens}\\[1mm] 
       (\mathcal M, X,Y,Z)&\mapsto& \big(\mathcal M(X^\curlyvee,Y), \mathcal M(Y^\curlyvee,Z)\big)
     \end{array}$$
 von dort   in die Kategorie aller Paare von $\mathcal S$-Mengen. Wir behaupten, da"s er einen Linksadjungierten besitzt.
     In der Tat k"onnen wir  zu jedem Paar $(M,N)$ von $\mathcal S$-Mengen
     einen Schmelzk"ocher mit  drei Ecken $x,y,z$ bilden,
     in dem $M(r)$ die Menge der $r$-Pfeile von $r$ Kopien von $x$ nach $y$ ist
     und $N(s)$ die Menge der $s$-Pfeile von $s$ Kopien von $y$ nach $z$ und
     in dem es keine weiteren Multipfeile gibt. 
     Dann bilden wir zu diesem Schmelzk"ocher die Pfadschmelzkategorie
     $\mathcal D$ und erhalten durch das Vorschalten von Umindizierungen 
     Abbildungen $M(r)\times \mathcal S_r\ra \mathcal D(x^{\curlyvee r},y)$
     und $N(r)\times \mathcal S_r\ra \mathcal D(y^{\curlyvee r},z)$. Nun teilen wir unsere Pfadschmelzkategorie
     noch durch die kleinste schmelzvertr"agliche "Aquivalenzrelation
     im Sinne von \ref{QvS}, unter der die Bilder von $(a\tau,\sigma)$ und
     $(a,\tau\sigma)$ "aquivalent sind f"ur alle $a\in M(r)\sqcup N(r)$ und
     $\tau, \sigma\in \mathcal S_r$ und $r\in\DN$ und fertig ist der
     Linksadjungierte.
     Wir notieren ihn $\bar{\mathcal D}=\bar{\mathcal D}_{M,N}$.
    
  \end{Bemerkungl}

  \begin{Bemerkungl}\nichtfinal{Wohl veraltet.} Der Vollst"andigkeit halber betrachten wir auch
    die Kategorie $\op{SCatD}(0)$ aller Schmelzkategorien mit einem ausgezeichneten Objekt $(\mathcal M,X)$ und den Funktor
    $$\op{SCatD}(0)\ra \op{cat}$$
    in die terminale Kategorie mit nur einem Objekt und einem Morphismus.
    Linksadjungiert dazu ist der Funktor, der dem einzigen Objekt von
    $\op{cat}$ die Schmelzkategorie mit einem einzigen Objekt zuordnet,
    in der die einzigen Verschmelzungen die Identit"atsverschmelzungen sind.
  \end{Bemerkungl}

 
  
\nichtfinal{Ab hier weniger wichtig.} 


\begin{Bemerkungl} Das Vergessen der Multiverkn"upfung zusammen
  mit der Beschr"ankung auf durch die Indexmengen $\llbracket n\rrbracket$
  f"ur $n\in \DN$ indizierte Objektkleinfamilien macht aus jeder
  monotonen Schmelzkategorie einen Schmelzk"ocher und wir erhalten so 
auch  einen Funktor
  $$\op{MSCat}\ra \op{SCar}$$
  Er besitzt einen Linksadjungierten, der jedem Schmelzk"ocher
  seine {\bf monotone Schmelzpfadkategorie}\index{Schmelzpfadkategorie!monotone} zuordnet.
  Einen {\bf monotonen Schmelzpfad}\index{Schmelzpfad!monotoner} erkl"aren wir als einen
  \glqq nach oben wachsenden planaren Baum, dessen
  "Aste sich nach oben endlich verzweigen d"urfen, wobei auch
  Leerverzweigungen erlaubt sind, und eine Zuordnung, die
  dem Stamm und jedem Ast eine Ecke zuordnet und jeder Verzweigung einen
  Multipfeil von den Ecken der von oben kommenden "Aste in ihrer Anordnung von
  links nach rechts zur Ecke des nach unten abgehenden Astes\grqq.  
  \nichtfinal{Das mu"s auch noch mathematisch gesagt werden.} 
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Beziehung zum Operadenbuch \cite{LoVa} von Loday-Vallette}]
  Ich will die Beziehung der hier entwickelten Begriffsbildungen zum
  Begriff eines {\bf symmetrischen Operads} diskutieren, wie er in
  \cite{LoVa} eingef"uhrt wird.
  Gegeben ein K"orper $k$ und eine Schmelzkategorie $\mathcal P$
  mit $k$-linearer Struktur im Sinne von \ref{Sks} und mit nur einem
  einzigen Objekt $\ast$ k"onnen wir Objektkleinfamilien mit endlichen
  Mengen identifizieren und auf den Verschmelzungsr"aumen
  $\mathcal P(\llbracket n\rrbracket,\ast)$ operieren die
  symmetrischen Gruppen $\mathcal S_n$ durch Umindizierung \ref{Ui},
  in Formeln also operiert $\sigma\in \mathcal S_n$ durch $\hat\sigma$. 
  Wenn wir stattdessen $\sigma\in \mathcal S_n$ durch $\hat\sigma^{-1}$
  operieren lassen, erhalten wir einen  $\mathbb S$-Modul $P$
  im Sinne von \cite{LoVa}, also eine Folge $\mathcal P=(\mathcal P(0), \mathcal P(1), \mathcal P(2),\ldots)$
  mit $\mathcal P(n)$ jeweils einem  Rechtsmodul "uber dem
  Gruppenring $k[\mathcal S_n]$. Da"s die  Multiverkn"upfung
  in unserer Schmelzkategorie der Verkn"upfung f"ur Operaden
  aus   \cite{LoVa} entspricht, mag einmal ein Student ausschreiben.
  Eine {\bf $\mathcal P$-Algebra} "uber einem symmetrischen Operad im Sinne von \cite{LoVa}
  ist ein $k$-linearer Schmelzfunktor $A:\mathcal P\ra \op{Mod}_k$
  im Sinne dieses Textes. \nichtfinal{Das Operad $\op{Ralg}$ der
    Ringalgebren sollte $\op{Ass}(n)=k[\mathcal S_n]$ haben
    und auf einer Ringalgebra das \glqq Permutieren und
    Aufmultiplizieren\grqq\ liefern. Damit das klar wird, mu"s
    aber die "Ubersetzung sorgf"altig ausgeschrieben werden. Das Operad $\op{Kralg}$ der Kringalgebren sollte $\op{Kralg}(n)=k$ haben
    und auf einer Kringalgebra das \glqq 
    Aufmultiplizieren\grqq\ zuordnen.} 
\end{Bemerkungl}

\subsection{Angereicherte Schmelzk"ocher}
Wenn man das alles analog angereichert macht, solle man ziemlich genau bei
dem landen, was in \cite{LoVa} vom Himmel f"allt. Das mag einmal ein
Student ausarbeiten. 




\subsection{Mengenoperaden}
\nichtfinal{Noch "uber Notationen nachdenken. Ist $\op{OpAss}$ gut? Sollte
  $\op{Ass}$ eingef"uhrt werden als die Kategorie der assoziativen Magmas?
  Sollten wir eine alternative Bezeichnung $\op{OpAbmon}$ f"ur die terminale
  Schmelzkategorie einf"uhren? Wie w"are $\op{Abass}$ f"ur Mengen mit kommutativer assoziativer Verkn"upfung? Dann aber w"urde sich $\op{Abassu}$
statt $\op{Mon}$ aufdr"angen? Mit \ref{VerTer} abgleichen.} 
\begin{Definition}
  Eine Schmelzkategorie mit einem einzigen Objekt nennen wir eine
  {\bf Operade}\index{Operade!Mengenoperade}  oder ausf"uhrlicher {\bf Mengenoperade}.\index{Mengenoperade}\label{MeOp}
  Einen Schmelzfunktor von einer Mengenoperade $\mathcal P$ zu einer Schmelzkategorie  $\mathcal M$
  nennen wir eine
  {\bf Erf"ullung von $\mathcal P$ in $\mathcal M$}.\index{Erf"ullung}
  Die Erf"ullungen bilden mit den Transformationen als Morphismen eine Kategorie
  $$\op{SCat}(\mathcal P,\mathcal M)$$
  Das einzige Objekt einer Operade notieren wir meist $*$. Den Wert
  einer Erf"ullung auf diesem einzigen Objekt nennen wir das {\bf der
  Erf"ullung zugrundeliegende Objekt von $\mathcal M$}. 
\end{Definition}
\begin{Beispiel}[\textbf{Erf"ullungen der terminalen Schmelzkategorie}]
  Gegeben eine Schmelzkategorie $\mathcal M$  erinnern wir aus \ref{Abmm} 
  den Isomorphismus von Kategorien
  $$\op{Abmon}(\mathcal M)\sira \op{SCat}(\op{scat},\mathcal M)$$
  zwischen der Kategorie der Abmonoide in $\mathcal M$ und der Kategorie der
  Erf"ullungen der terminalen Schmelzkategorie in $\mathcal M$.
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}[\textbf{Assoziative kommutative Magmas als Erf"ullungen}]
Bilden wir die
  Unterschmelzkategorie $\op{nscat}\subset \op{scat}$ der terminalen Schmelzkategorie, indem wir die einzige
  Leerverschmelzung weglassen, so erhalten wir in derselben Weise
  einen  Isomorphismus von Kategorien
  $$\{\text{Assoziative kommutative Magmas}\}\sira \op{SCat}(\op{nscat},\op{kEns})$$
  zwischen der Kategorie der Mengen mit assoziativer kommutativer
  Verkn"upfung und der Kategorie der
  Erf"ullungen  von $\op{nscat}$ in Mengen.  Analoges gilt f"ur
  Erf"ullungen von $\op{nscat}$ in allgemeinen Schmelzkategorien. 
  \end{Beispiel}
\begin{Beispiel}[\textbf{Mengenoperade f"ur Monoide}]
  Wir erkl"aren eine Mengenoperade $\op{OpMon}$\index{OpMon@$\op{OpMon}$}  durch die Vorschrift\label{OpMon} 
  $$\op{OpMon}((\ast)_{i\in I},\ast)\pdef\text{Menge aller Anordnungen auf $I$}$$
  Ihre Multiverkn"upfung erkl"aren wir durch das \glqq Hintereinandersetzen von
  Anordnungen\grqq\ und verzichten darauf, sie in Formeln auszuschreiben.
  Wir erhalten dann f"ur jede Schmelzkategorie $\mathcal M$ 
  einen Isomorphismus von Kategorien
  $$\op{Mon}(\mathcal M)\sira \op{SCat}(\op{OpMon},\mathcal M)$$
  zwischen der Kategorie der Monoide in $\mathcal M$ 
  und der Kategorie der Erf"ullungen der Operade $\op{OpMon}$
  in $\mathcal M$, indem
  wir jedem Monoid $(M,\mu)$ den Schmelzfunktor
  zuordnen, der das einzige Objekt $*$ auf $M$ wirft und jede
  Verschmelzung einer $I$-Familie  alias Anordnung einer endlichen Menge $I$
  auf die Verkn"upfung in der gegebenen
  Reihenfolge $(M)_{i\in I}\ra M$.  
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}[\textbf{Mengenoperade der assoziativen Verkn"upfungen}]
  Wir erkl"aren eine Unterschmelzkategorie $\op{OpAss}\subset \op{OpMon}$,\index{OpAss} 
  indem wir die einzige Leerverschmelzung weglassen. Dann erhalten wir 
  wie in \ref{OpMon} einen Isomorphismus von Kategorien\label{moAV} 
  $$\{\text{Mengen mit assoziativer Verkn"upfung}\}\sira \op{SCat}(\op{OpAss},\op{kEns})$$
  In Worten sind also  Mengen mit assoziativer Verkn"upfung genau die
  Erf"ullungen in Mengen des Mengenoperads $\op{OpAss}$. Analog erhalten wir f"ur jede Schmelzkategorie $\mathcal M$ einen  Isomorphismus von Kategorien
  $$\op{Ass}(\mathcal M)\sira \op{SCat}(\op{OpAss},\mathcal M)$$
  zwischen der Kategorie der Assoziativobjekte in $\mathcal M$ und der
  Kategorie der Erf"ullungen der Operade $\op{OpAss}$ in $\mathcal M$. 
\end{Beispiel}

\begin{Beispiel}[\textbf{Mengenoperade der unit"aren Verkn"upfungen}]
  Wir erkl"aren eine Operade $\op{OpMagu}$  durch die Vorschrift
  $$\op{OpMagu}((\ast)_{i\in I},\ast)\pdef\begin{array}{ll}
  \text{Menge aller Paare aus einer Anordnung auf $I$}\\
  \text{und einer dazu passenden Verklammerung}
  \end{array}$$
  F"ur $I\pdef \{a,b,c,d\}$ gibt es etwa f"ur die Schreibanordnung
  mit der Konvention \glqq Kleinstes links\grqq\ die f"unf dazu passenden
  Verklammerungen
  $(ab)(cd)$, $a(b(cd))$, $a((bc)d)$, $((ab)c)d$ und $(a(bc))d$. Da diese Menge
  des weiteren $24$ Anordnungen besitzt, kommen wir f"ur jede
  Menge $I$ der Kardinalit"at $|I|=4$ auf $120$ Verschmelzungen
  $|\op{OpMagu}((\ast)_{i\in I},\ast)|=120$. Die Multiverkn"upfung von Verschmelzungen ist das \glqq ordnungserhaltende Einsetzen\grqq.
  Wir nennen eine Verkn"upfung {\bf unit"ar},\index{unit"ar!Verkn"upfung}
  wenn es daf"ur ein neutrales Element gibt. 
  Dann erhalten wir 
  einen Isomorphismus von Kategorien
  $$\{\text{Mengen mit unit"arer Verkn"upfung}\}\sira \op{SCat}(\op{OpMagu},\op{kEns})$$
  von der Kategorie der Mengen mit unit"arer Verkn"upfung
  in die  Kategorie der Erf"ullungen unseres Operads 
  durch die Vorschrift, da"s wir  $(M,\top)$ den Schmelzfunktor
  zuordnen, der das einzige Objekt $*$ auf die Menge $M$ wirft und jede
  Verschmelzung einer $I$-Familie  alias verklammerten
  Anordnung einer endlichen Menge $I$
  auf die Verkn"upfung in der gegebenen
  Reihenfolge und Verklammerung $\prod_{i\in I}M\ra M$. Analoges gilt f"ur
  Erf"ullungen  in allgemeinen Schmelzkategorien. 
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}[\textbf{Mengenoperade beliebiger Verkn"upfungen}]
  Wir erkl"aren eine Unterschmelzkategorie $\op{OpMag}\subset \op{OpMagu}$,
  indem wir die einzige Leerverschmelzung weglassen. 
  Dann erhalten wir 
  einen Isomorphismus von Kategorien
  $$\op{Mag}\sira \op{SCat}(\op{OpMag},\op{kEns})$$
  von der Kategorie der Mengen mit  Verkn"upfung alias Magmas 
  in die  Kategorie der Erf"ullungen unseres Operads
  durch die Vorschrift, da"s wir  $(M,\top)$ den Schmelzfunktor
  zuordnen, der das einzige Objekt $*$ auf die Menge $M$ wirft und jede
  Verschmelzung einer $I$-Familie  alias verklammerte
  Anordnung einer nichtleeren endlichen Menge $I$
  auf die Verkn"upfung in der gegebenen
  Reihenfolge und Verklammerung $\prod_{i\in I}M\ra M$. Analoges gilt f"ur
  Erf"ullungen  in allgemeinen Schmelzkategorien. 
\end{Beispiel}
\begin{Definition}
  Eine monotone Schmelzkategorie mit einem einzigen Objekt nennen wir eine
  {\bf monotone Operade}\index{Operade!Mengenoperade!monotone}  oder ausf"uhrlicher eine {\bf monotone Mengenoperade}.\index{Mengenoperade!Mengenoperade}\label{moMeOp}
  Einen monotoner Schmelzfunktor von einer monotonen Mengenoperade $\mathcal P$ zu einer monotonen Schmelzkategorie  $\mathcal M$
  nennen wir eine
  {\bf monotone Erf"ullung von $\mathcal P$ in $\mathcal M$}.\index{Erf"ullung!monotone}
  Die monotonen Erf"ullungen bilden mit den Transformationen als Morphismen eine Kategorie
  $$\op{SCat}^{\op{mon}}(\mathcal P,\mathcal M)$$
  Das einzige Objekt einer Operade notieren wir meist $*$. Den Wert
  einer Erf"ullung auf diesem einzigen Objekt nennen wir das {\bf der
  Erf"ullung zugrundeliegende Objekt von $\mathcal M$}. 
\end{Definition}

\begin{Proposition}[\textbf{Freie monotone Erf"ullungen in Mengen}]
  Gegeben eine monotone Mengenoperade $\mathcal P$ besitzt der Funktor
  $\op{SCat}^{\op{mon}}(\mathcal P, \op{kEns}^{\op{mon}})\ra \op{Ens}$,
  der jeder Erf"ullung
  ihre zugrundeliegende Menge zuordnet, einen Linksadjungierten. 
\end{Proposition}
\begin{proof}
  Wir setzen
  $\mathcal P(r)\pdef \mathcal P((\ast)_{i\in \llbracket r\rrbracket})$.
    Gegeben eine Menge $M$  betrachten wir die disjunkte Vereinigung 
    $$S=S(\mathcal P,M)\pdef \bigsqcup_{r\geq 0}\mathcal P(r)\times M^{\times r}$$
    und erkl"aren Abbildungen 
    $\mu_n:\mathcal P(n)\times S^{\times n}\ra S$ durch die Vorschrift,
    da"s  f"ur jedes $n$-Tupel von nat"urlichen Zahlen $(r_1,\ldots,r_n)$
    die Teilmenge $$\mathcal P(n)\times \big(\mathcal P(r_1)\times M^{\times r_1}\big)\times \ldots\times \big(\mathcal P(r_n)\times M^{\times r_n}\big)$$
    unter $\mu_n$ in $\mathcal P(r)\times M^{\times r}$ landen  soll
    f"ur $r\pdef r_1+\ldots+r_n$ und da"s die Abbildung dort
    gegeben sein soll durch
    das Hintereinanderschreiben der Tupel aus $M$ in der gegebenen
    Reihenfolge und
    die Verschmelzung in $\mathcal P$, und zwar  l"angs der
    Abbildung auf den Indexmengen, die die Indizes aus
    $\llbracket r_i\rrbracket$ jeweils auf $i$ wirft in der hoffentlich
    offensichtlichen Weise. Es scheint mir offensichtlich, da"s
    die von $\mu_n$ induzierten Abbildungen
    $\mu_n:\mathcal P(n)\ra \op{Ens}(S^{\times n},S)$
    in ihrer Gesamtheit von einem eindeutig bestimmten monotonen Schmelzfunktor
    $$\mu:\mathcal P\ra \op{kEns}^{\op{mon}}$$
    mit $\mu(\ast)=S$ herkommen, da"s wir
    auf diese Weise also eine  monotone Erf"ullung von
    $\mathcal P$ erhalten zusammen mit einer Abbildung $\eta: M\ra S$ gegeben
    durch $x\mapsto (\op{id}_*,x)\in \mathcal P(1)\times M\subset S$. 
    Ist nun $A: \mathcal P\ra \op{kEns}^{\op{mon}}$ eine weitere
    monotone Erf"ullung und $\varphi:M\ra A$ eine Abbildung, so liefern die
    Kompositionen $$\mathcal P(r)\times M^{\times r}\ra \mathcal P(r)\times A^{\times r}\ra A$$ in ihrer Gesamtheit eine Abbildung $\beta:S\ra A$,
    von der man leicht einsieht,
    da"s sie ein Morphismus von monotonen Erf"ullungen ist und sogar der
    einzige mit $\beta\circ \eta=\varphi$. 
Das zeigt die Behauptung.
\end{proof}


\begin{Proposition}[\textbf{Freie  Erf"ullungen in Mengen}]
  Gegeben eine Mengenoperade $\mathcal P$ besitzt der Funktor
  $\op{SCat}(\mathcal P, \op{kEns})\ra \op{Ens}$, der jeder Erf"ullung
  ihre zugrundeliegende Menge zuordnet, einen Linksadjungierten.\label{FERM} 
\end{Proposition}
\begin{proof}
  Wir setzen weiter 
  $\mathcal P(n)\pdef \mathcal P\big((\ast)_{i\in \llbracket n\rrbracket}\big)$.
  Auf dieser Menge operiert die symmetrische Gruppe $\mathcal S_n$
  von rechts durch das Vorschalten von Umindizierungen.
  Gegeben eine Menge $T$ kommt eine
  Familie von Abbildungen
$$\mu_n:\mathcal P(n)\ra \op{Ens}(T^{\times n},T)$$
    nun in ihrer Gesamtheit genau dann von einem  Schmelzfunktor
    $\mu:\mathcal P\ra \op{kEns}$
    mit $\mu(\ast)=T$ her, wenn sie einerseits von einem
    monotonen Schmelzfunktor herkommt und wenn  andererseits
    alle $\mu_n$ "aquivariant sind f"ur die durch Vorschalten gegeben
    Operation der symmetrische Gruppe $\mathcal S_n$ auf beiden Mengen. 
    Unter dem Exponentialgesetz entsprechen die $\mathcal S_n$-"aquivarianten
    Abbildungen $\mu_n:\mathcal P(n)\ra \op{Ens}(T^{\times n},T)$ nun
    beliebigen Abbildungen
    $\bar\mu_n:\mathcal P(n)\times_{/\mathcal S_n}T^{\times n}\ra T$.
    Gegeben eine Menge $M$  betrachten wir von diesen
    "Uberlegungen motiviert die disjunkte Vereinigung 
    $$T=T(\mathcal P,M)\pdef  \bigsqcup_{r\geq 0}\mathcal P(r)\times_{/\mathcal S_r} M^{\times r}$$
    und erkl"aren  
    $\bar\mu_n:\mathcal P(n)\times_{/\mathcal S_n} T^{\times n}\ra T$
    als die eindeutig bestimmten Abbildungen,
    die mit den $\mu_n:\mathcal P(n)\times S^{\times n}\ra S$
    aus dem vorhergehenden Beweis vertr"aglich sind unter der
    offensichtlichen Surjektion $S\sra T$. 
    Dann kommen die $\bar\mu_n$ wie zuvor bemerkt von einer
    eindeutig bestimmten Erf"ullung
    $$\bar\mu:\mathcal P\ra \op{kEns}$$  mit $\mu(\ast)=T$ her und
    wir erhalten eine wohlbestimmte Abbildung $\eta: M\ra T$ durch
    $x\mapsto (\op{id}_*,x)\in  \mathcal P(1)\times M\subset T$.
 Ist nun $A: \mathcal P\ra \op{kEns}$ eine weitere
    Erf"ullung und $\varphi:M\ra A$ eine Abbildung, so liefern die
    Kompositionen $$\mathcal P(r)\times_{/\mathcal S_r} M^{\times r}\ra \mathcal P(r)\times_{/\mathcal S_r} A^{\times r}\ra A$$ in ihrer Gesamtheit eine Abbildung $\beta:T\ra A$,
    von der man leicht einsieht,
    da"s sie ein Morphismus von monotonen Erf"ullungen ist und sogar der
    einzige mit $\beta\circ \eta=\varphi$. 
Das zeigt die Behauptung.
\end{proof}
\subsection{Versuche zu Operaden}
\begin{Definition}
Sei $\mathcal S$ eine Schmelzkategorie. Eine $\mathcal S$-Schmelzkategorie mit einem einzigen Objekt nennen wir eine
  {\bf $\mathcal S$-Operade}.\index{Operade!$\mathcal S$-Operade}\label{SOp}
  Einen $\mathcal S$-Schmelz\-funk\-tor von einer $\mathcal S$-Operade $\mathcal P$ in eine $\mathcal S$-Schmelzkategorie $\mathcal M/\mathcal S$ 
  nennen wir eine {\bf $\mathcal P$-Erf"ullung in $\mathcal M$}.\index{Erf"ullung}
  Das einzige Objekt einer Operade notieren wir weiter $*$. Den Wert
  einer Erf"ullung auf diesem einzigen Objekt nennen wir das {\bf 
 der Erf"ullung zugrundeliegende Objekt  von $\mathcal M$}.
\end{Definition}









\begin{Bemerkungl}
  Gegeben ein K"orper $k$ ist eine in $\op{Mod}_k$ angereicherte
  Schmelzkategorie wie in \ref{stSCH} ausgef"uhrt dasselbe wie eine
  Schmelzkategorie mit $k$-Struktur.
  Eine $\op{Mod}_k$-Operade nennen wir auch kurz
  eine {\bf $k$-Operade}\index{Operade!$k$-Operade} oder im
  entsprechenden Kontext schlicht {\bf Operade}. 
  Es sind diese Operaden, die im Buch \cite{LoVa} von Loday und Vallette
   untersucht werden. Die
   Erf"ullungen einer $k$-Operade $\mathcal P$ in der Schmelzkategorie
   $\op{Mod}_k^{\op{sa}}$ der $k$-Vektorr"aume mit ihrer
   Selbstanreicherung  nach \ref{ASs} 
   hei"sen dort {\bf $\mathcal P$-Algebren}.\index{Algebra!"uber Operade}
   Sie bilden
   mit den Transformationen aus \ref{TAS} als Morphismen eine Kategorie
   $$\op{SCat}_k(\mathcal P, \op{Mod}_k^{\op{sa}})$$
\end{Bemerkungl}

 
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Operade der assoziativen Algebren}]
  Sei $k$ ein Kring.
  Der verge"sliche Schmelzfunktor
  $v:\op{Mod}_k\ra \op{kEns}$ hat als
  Linksadjungierten im Sinne von \ref{AdjSc} den\label{frAA} 
  Schmelzfunktor $\op{Mod}_k\frei$, der jeder Menge ihren freien $k$-Modul
  zuordnet und jeder Multiabbildung von Mengen
  die zugeh"orige multilineare Abbildung von freien $k$-Moduln.
  Jede Mengenoperade $\mathcal P$ liefert so eine $k$-Operade
  $\op{Mod}_k\frei(\mathcal P)$ und gegeben eine $k$-Schmelzkategorie
  $\mathcal M$ liefert die Adjunktion in den Notationen von \ref{TAS} einen
  Isomorphismus von Kategorien 
  $$\op{SCat}_k(\op{Mod}_k\frei (\mathcal P),\mathcal M)\sira \op{SCat}(\mathcal P,v(\mathcal M))$$
  f"ur $v(\mathcal M)$ die mit dem Vergi"sfunktor $v:\op{Mod}_k\ra\op{kEns}$ umstrukturierte Schmelzkategorie, die immer noch dieselben Verschmelzungen hat,
  nur da"s diese ihre Struktur als $k$-Vektorraum vergessen haben. 
  Insbesondere erhalten wir so nach \ref{moAV} f"ur $\mathcal M=\op{Mod}_k^{\op{sa}}$ einen
  Isomorphismus von Kategorien zwischen der Kategorie der
  $\op{Mod}_k\frei(\op{OpAss})$-Algebren im Sinne von \cite{LoVa} und der
  Kategorie der assoziativen $k$-Algebren alias Assoziativobjekte von $\op{Mod}_k$.  In \cite{LoVa} wird unsere Operade
  $\op{Mod}_k\frei(\op{OpAss})$ abk"urzend  notiert mit
  $$\op{Ass}$$ 
  \end{Bemerkungl}


\begin{Beispiele} Die folgende Tabelle fa"st einige besonders wichtige
  Beispiele f"ur Operaden zusammen. Bei der jeweiligen freien Operade
  gebe ich die Bezeichnung aus \cite{LoVa} an. Die freien Erf"ullungen
  zu einem Vektorraum $V$ werden in \ref{fEkO} eingef"uhrt.
 \begin{center}
\begin{tabular}{l|l|l|l}
Mengenoperade&freie $k$-Operade&Erf"ullungen&freie Erf"ullungen\\[1mm] \hline
&&&\\
$\op{OpAss}$&$\op{Ass}$&Assoziativobjekte&${\op{T}}^{\geq 1}V=\bigoplus_{n\geq 1}V^{\otimes n}$\\[1mm]
$\op{OpMon}$&$\op{uAss}$&Ringalgebren&${\op{T}}V=\bigoplus_{n\geq 0}V^{\otimes n}$\\[1mm]
$\op{scat}$&$\op{uCom}$&Kringalgebren&${\op{S}}V$\\[1mm]
$\op{nscat}$&$\op{Com}$&Krngalgebren&${\op{S}}^{\geq 1}V$
\end{tabular}
 \end{center}
 Hier verstehen wir unter einer {\bf Krngalgebra}\index{Krngalgebra} "uber einem K"orper $k$ einen $k$-Vek\-tor\-raum mit einer assoziativen kommutativen
 Verkn"upfung.
\end{Beispiele}

\begin{Bemerkungl} Sei $k$ ein K"orper. Gegeben eine $k$-Operade $\mathcal P$
  und eine endliche Menge $I$ bezeichne $\mathcal P(I)\pdef \mathcal P((\ast)_{i\in I},\ast)$ den $k$-Vektorraum der Verschmelzungen der durch
  $I$ indizierten Objektkleinfamilie. 
  Gegeben ein $k$-Schmelzfunktor alias
  Morphismus von $k$-Operaden $\varphi:\mathcal P\ra \mathcal Q$
  erkl"aren wir seinen {\bf Kern}\index{Kern!von Operadenmorphismus}
  als das Datum der Untervektorr"aume
  $$\op{ker}(\mathcal P(I)\ra \mathcal Q(I))$$
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl} Sei $k$ ein K"orper. Gegeben eine $k$-Operade $\mathcal P$
  erkl"aren wir ein
  {\bf Operadenideal}\index{Operadenideal} oder kurz
  {\bf Ideal}\index{Ideal!Operadenideal} $\mathcal I$
  von $\mathcal P$
  als eine Vorgabe von Untervektorr"aumen $\mathcal I(I)\subset \mathcal P(I)$
  derart, da"s jede Multiverkn"upfung von Verschmelzungen, bei der eine
  der verkn"upften Verschmelzungen in $\mathcal I$ liegt, bereits selbst in $\mathcal I$ liegt. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl} Offensichtlich ist jeder Schnitt von Idealen ein Ideal.
  Offensichtlich ist der Kern eines jeden Operadenmorphismus ein Ideal.
  Offensichtlich hat jeder surjektive, genauer auf alles Verschmelzungsmengen  surjektive Operadenmorphismus $\varphi:\mathcal P\sra\mathcal Q$ die universelle
  Eigenschaft, da"s jeder Operadenmorphismus $\psi:\mathcal P\sra\mathcal R$
  mit $\op{ker}\psi\supset \op{ker}\varphi$ eindeutig "uber  $\varphi$
  faktorisiert. Offensichtlich ist jedes Ideal der Kern eines
  surjektiven Operadenmorphismus, der auf die {\bf Quotientenoperade}\index{Quotientenoperade}
  nach besagtem Ideal geht.
\end{Bemerkungl}
  
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Operade der Liealgebren}]
  Sei $k$ ein K"orper einer Charakteristik $\op{char}k\neq 2$.  Wir erkl"aren die $k$-Operade
  $$\op{Lie}$$ als den Quotient der $k$-Operade $\op{Ass}$ nach
  dem Ideal, das von allen Verschmelzungen
  $(x,y)-(y,x)$ und $(x,(y,z))+(y,(z,x))+ (z,(x,y))$ erzeugt wird.
  Ihre Erf"ullungen in $k$-Vektorr"aumen sind genau die Liealgebren.  %\nichtfinal{Warum gelingt das in der Literatur auch in Charakteristik zwei?
%  Nee, Salvatore und Tarauso brauchen auch Charakteristik ungleich Zwei!  Ich habe den Eindruck, da"s ein zweidimensionaler Vektorraum mit
 %   Basis $v,w$ und Klammern $[v,v]=w$ und $[w,v]=[v,w]=[w,w]=0$
 %   auch eine Erf"ullung von Lie w"are.}  
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl} Gegeben ein Objekt $X$ einer Kategorie $\mathcal C$ 
  und ein Gruppenhomomorphismus $G\ra \mathcal C^\times(X)$ versteht man unter
  einem {\bf kategorischen Quotienten}\index{Quotient!kategorischer} einen
  Kolimes des zugeh"origen Funktors $[G]\ra \mathcal C$ mit $\ast\mapsto X$.  
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel} Im Fall der Kategorie der Mengen ist die Projektion auf den
  Bahnenraum ein kategorischer Quotient.
\end{Beispiel}


\begin{Bemerkungl}
  Gegeben eine Schmelzkateorie $\mathcal S$ 
  und eine $\mathcal S$-Operade $\mathcal P$
  erkl"aren wir eine {\bf Erf"ullung von $\mathcal P$ in $\mathcal S$}
  als\label{EFPS} eine Vorgabe von einem Objekt $V\in\mathcal S$ und
  von Verschmelzungen $\mathcal P(n)\curlyvee V^{\curlyvee n}\ra V$
  derart, da"s f"ur alle $n,r_1, \ldots,r_n\in\DN$ mit $r=r_1+\ldots+r_n$
  das Diagramm
  \begin{displaymath}
    \xymatrix{\mathcal P(r_1)\curlyvee\ldots\curlyvee\mathcal P(r_n)\curlyvee\mathcal P(n) \curlyvee V^{\curlyvee r}\ar[r]\ar[d] &\mathcal P(r) \curlyvee V^{\curlyvee r}\ar[dd]\\
 \mathcal P(n) \curlyvee \mathcal P(r_1)\curlyvee V^{\curlyvee r_1}\curlyvee\ldots\curlyvee\mathcal P(r_n)\curlyvee V^{\curlyvee r_n}\ar[d]&\\
 \mathcal P(n) \curlyvee  V^{\curlyvee n} \ar[r]&V}
  \end{displaymath}
  kommutiert. \nichtfinal{Vielleicht noch mehr Sorgfalt hier!}  Das
  stimmt mit unserer Definition \ref{SOp} "uberein im Fall, da"s
  die Schmelzkategorie
  $\mathcal S$ Multiom hat und die $\mathcal S$-Schmelzkategorie $\mathcal M$
  die Selbstanreicherung $\mathcal M=\mathcal S^{\op{sa}}$ von $\mathcal S$ ist.
\end{Bemerkungl}





\begin{Satz}[\textbf{Freie Erf"ullungen angereicherter Operaden}]
  Sei $\mathcal S$ eine Schmelzkategorie
  mit stabil universellen Verschmelzungen
  \nichtfinal{(und internem Hom, unn"otig im Fall der Definitionsvariante
    \ref{EFPS}, die eine andere Notation der Kategorie der Erf"ullungen
    nach sich zieht, aber das brauchen wir f"ur Kooperaden \ref{Koop}!)} und sei $\mathcal P$ eine $\mathcal S$-Operade.
  Hat die $\mathcal S$ zugrundeliegende\label{EFO} 
  einfache Kategorie abz"ahlbare Koprodukte und kategorische
  Quotienten nach endlichen Gruppen, so besitzt der Funktor 
  $$\op{SCat}_{\mathcal S}(\mathcal P,\mathcal S^{\op{as}})\ra \mathcal S$$
 des Auswertens am einzigen Objekt einen Linksadjungierten.
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
  Hier geht es um einen Funktor von ganz gew"ohnlichen nicht angereicherten Kategorien. Ich kenne im allgemeinen keine sinnvolle Anreicherung
  der Kategorie angereicherter Schmelzfunktoren, von der unser Funktor
  ausgeht.
  \end{Bemerkungl}
\begin{proof} Wir gehen den Beweis im nicht angereicherten Fall
  \ref{FERM}  durch und erkennen, da"s er sich "ubertragen l"a"st.  
\end{proof}
\begin{Bemerkungl}
  Den Wert dieses Linksadjungierten auf einem Objekt $V\in\mathcal S$
  nennen wir die
  {\bf freie Erf"ullung der $\mathcal S$-Operade $\mathcal P$ zu $V$}. 
  \end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}[\textbf{Freie Erf"ullungen von $k$-Operaden}]
  Wir spezialisieren den vorhergehenden Satz \ref{EFO} zum Fall
  $\mathcal S=\op{Mod}_k$ der Schmelzkategorie der Vektorr"aume
  "uber einem K"orper $k$.\label{fEkO} 
  Gegeben eine $k$-Operade $\mathcal P$ erhalten wir in diesem
  Fall einen Linksadjungierten des Funktors 
  $$\op{SCat}_k(\mathcal P,\op{Mod}_k^{\op{as}})\ra \op{Mod}_k$$
  von der Kategorie der $\mathcal P$-Algebren in die
  Kategorie der $k$-Vektorr"aume, der jeder $\mathcal P$-Algebra
  $A$ den zugrundeliegenden Vektorraum $A=A(\ast)$ zuordnet.
  Dazu gehen wir vom Vektorraum
  $$S\pdef \op{Schur}(\mathcal P,V)\pdef \bigoplus_{n\geq 0}\mathcal P(n)\otimes_{k\mathcal S_n}V^{\otimes n}$$
  aus
  und  erhalten lineare Abbildungen
  $\mathcal P(n)\ra \op{Hom}(S^{\otimes n},S)$ alias $\mathcal P(n)\otimes S^{\otimes n}\ra S$, 
  indem wir f"ur beliebige $r_1,\ldots ,r_n\in\DN$
  mit der Notation $r\pdef r_1+\ldots +r_n$ die  Abbildungen 
  $$\mathcal P(n)\otimes \big(\mathcal P(r_1)\otimes_{k\mathcal S_{r_1}} V^{\otimes r_1}\big)\otimes\ldots\otimes\big( 
   \mathcal P(r_n)\otimes_{k\mathcal S_{r_n}} V^{\otimes r_n}\big) \ra
  \mathcal P(r)\otimes_{k\mathcal S_r} V^{\otimes r}$$
  betrachten, die in der Situation noch ohne die $k\mathcal S_i$
  von der Multiverkn"upfung
  $\mathcal P(n)\otimes \mathcal P(r_1)\otimes\ldots\otimes 
   \mathcal P(r_n) \ra
   \mathcal P(r)$ von $\mathcal P$ in Bezug auf die monotone
   Abbildung $\{1,\ldots,r\}\ra \{1,\ldots,n\}$ induziert wird, die $r_i$-mal den Wert $i$ annimmt, und auf den $V$-Anteilen
   durch das Auftensorieren ohne "Andern der Reihenfolge.
   Dann pr"ufen wir, da"s diese Abbildungen zu den angegebenen Quotienten
   absteigen, die durch den "Ubergang zu den Tensorprodukten "uber
   $k\mathcal S_i$ gegeben werden. Anschlie"send pr"ufen wir, da"s unsere
   Abbildungen sogar zu linearen Abbildungen 
   $\mathcal P(n)\otimes_{k\mathcal S_n} S^{\otimes n}\ra S$ absteigen,
   da"s sie also $\mathcal S_n$-"aquivariante Abbildungen 
   $\mathcal P(n)\ra \op{Hom}(S^{\otimes n}, S)$ induzieren und da"s diese
   Abbildungen zusammen eine Erf"ullung der $k$-Operade $\mathcal P$ bilden. 
  Schlie"slich betrachten wir 
die lineare Abbildung $\eta:V\ra S=\op{Schur}(\mathcal P,V)$, die durch $v\mapsto \op{id}\otimes v$ gegeben wird f"ur
$\op{id}\in \mathcal P(1)$ die Identit"at auf dem einzigen Objekt, und pr"ufen,
da"s das Vorschalten von $\eta$ einen Isomorphismus 
$$\op{SCat}_{k}(\mathcal P,\op{Mod}_k^{\op{as}})(S,A)
\sira \op{Hom}_k(V,A(\ast))$$
von $k$-Vektorr"aumen liefert. Der Schurfunktor liefert also die {\bf freie
Erf"ullung einer $k$-Operade $\mathcal P$ zu einem Vektorraum $V$}. 
\end{Beispiel}



\begin{Bemerkungl} Gegeben ein K"orper $k$ wird in \cite{LoVa} ein
  {\bf $\mathbb S$-Modul}\index{SModul@$\mathbb S$-Modul} $M$ 
  erkl"art als eine Folge
  $$M=(M(0),M(1),M(2),\ldots)$$
  mit $M(n)$ jeweils einem $k\mathcal S_n$-Rechtsmodul. Zum Beispiel
  liefert jede $k$-Operade $\mathcal P$ wie zuvor erkl"art einen
  $\mathbb S$-Modul $(\mathcal P(0),\mathcal P(1),\mathcal P(2),\ldots)$.
  Jedem $\mathbb S$-Modul $M$ ordnen sie
  weiter ihren  {\bf Schurfunktor}\index{Schurfunktor} 
  $\op{Schur}(M): \op{Mod}_k\ra \op{Mod}_k$
  zu durch die Vorschrift
  $$\op{Schur}(M)(V)\pdef \bigoplus_{n\geq 0}M(n)\otimes_{k\mathcal S_n}V^{\otimes n}$$
  Der $\mathbb S$-Modul $M$ kann im Fall eines unendlichen Grundk"orpers $k$ aus seinem Schurfunktor zur"uckgewonnen
  werden, genauer ist dann $M(n)$ isomorph zu dem Untervektorraum von
  $\op{Schur}(M)(k^n)$, auf dem $\op{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$
 jeweils  als der Skalar $\lambda_1\ldots\lambda_n$ operiert.\label{sfvr}  
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}
Im Fall des $\mathbb S$-Moduls einer Operade $\mathcal P$
  ordnet der zugeh"orige Schurfunktor jedem Vektorraum $V$ den
  zugrundeliegenden Vektorraum der freien Erf"ullung von $\mathcal P$
  "uber $V$ zu. Wir notieren diesen Funktor $\op{Schur}(\mathcal P)$. Im Spezialfall $\mathcal P=\op{uAss}$ etwa ist der
  Schurfunktor der Funktor  $V\mapsto {\op{T}}V$ des Bildens des der freien Tensoralgebra zugrundeliegenden
  Vektorraums. 
\end{Beispiel}

\begin{Bemerkungl} Gegeben eine Kategorie $\mathcal C$
  erinnern wir aus \ref{Monade} die monotone Schmelzkategorie
  $\op{Cat}(\mathcal C)$ ihrer Endofunktoren und deren Monoidobjekte,
  genannt Monaden, und wie gegeben ein Funktor $L:\mathcal C\ra \mathcal B$ mit Rechtsadjungiertem $R$
  die Ver\-kn"up\-fung  $ RL:\mathcal C\ra \mathcal C$ zu einer Monade wird.
  Insbesondere ist f"ur jeden K"orper $k$ und jede $k$-Operade $\mathcal P$
  ihr Schurfunktor
  $$\op{Schur}(\mathcal P):\op{Mod}_k\ra \op{Mod}_k$$
  eine Monade mit der Einheit der Adjunktion $\eta:\op{Id}\RA \op{Schur}(\mathcal P)$ als Eins. 
\end{Bemerkungl}



\begin{Bemerkungl} In \cite{LoVa} wird eine $k$-Operade
  sogar definiert als ein $\mathbb S$-Modul $\mathcal P$  "uber $k$ zusammen
  mit der Struktur einer Monade auf dem zugeh"origen Schurfunktor.
  Lemma 5.1.3 in \cite{LoVa} fand ich nicht "ubezeugend, aber im Fall eines unendlichen Grundk"orpers $k$ bestimmt nach \ref{sfvr} der Schurfunktor
  eines $\mathbb S$-Moduls bereits den  $\mathbb S$-Modul selber und wir
  k"onnen eine Operade auch definieren als eine
  Monade auf $\op{Mod}_k$ mit der Eigenschaft, von einem $\mathbb S$-Modul herzukommen. 
\end{Bemerkungl}

\nichtfinal{Bis hier ganz ok, hier erst mal aufgeh"ort am 21.1.2024.
  Jetzt dasselbe angereichert, dann Monaden-Interpretation von Operaden.
  Ist eine $k$-Kooperade in \cite{LoVa}  dasselbe wie ein Trennfunktor der finalen Trennkategorie
$\op{tcat}$ in die Trennschmelzkategorie der $k$-Vektorr"aume?}

 Der fragliche Linksadjungierte
  hei"st der {\bf Schurfunktor}\index{Schurfunktor}\index{Schur@$\op{Schur}(\mathcal P)$ Schurfunktor von $\mathcal P$} 
  unserer Operade $\mathcal P$. Wir notieren ihn
  $$\op{Schur}(\mathcal P):\mathcal S\ra \op{SCat}_{\mathcal S}(\mathcal P,\mathcal S^{\op{as}})$$



\begin{Bemerkungl} Seien $k$ ein K"orper und $\mathcal A$ eine
  Kategorie und $R:\mathcal A\ra \op{Mod}_k$ ein Funktor. Hat er
  einen Linksadjungierten $L$, so tr"agt $F\pdef RL: \op{Mod}_k\ra \op{Mod}_k$
  eine nat"urliche Struktur als Monade wie in \ref{Monade} erkl"art.
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}
  Der Vergi"sfunktor $R=v:\op{Ralg}_k\ra \op{Mod}_k$ von der
  Kategorie der $k$-Ringalgebren in die Kategorie der $k$-Vektorr"aume
  hat als Linksadjungierten den Funktor $L=\op{T}$ aus \eref{TeAl}{LA2},
  der jedem $k$-Vektorraum $V$ seine Tensoralgebra
  ${\op{T}}V=\bigoplus_{r\geq 0}V^{\otimes r}$ zuordnet. Die zugeh"orige Monade ist
  dann der Funktor $$v{\op{T}}:V\mapsto v{\op{T}}V$$ 
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}
  Der Vergi"sfunktor $R=v:\op{Kralg}_k\ra \op{Mod}_k$ von der
  Kategorie der $k$-Kringalgebren in die Kategorie der $k$-Vektorr"aume
  hat als Linksadjungierten den Funktor $L=\op{S}$ aus \eref{KAA}{KAG},
  der jedem $k$-Vektorraum $V$ seine symmetrische Algebra
  ${\op{S}}V$ zuordnet. Die zugeh"orige Monade ist
  dann der Funktor $$v{\op{S}}:V\mapsto v{\op{S}}V$$ 
\end{Beispiel}


\begin{Bemerkungl}
  Seien $k$ ein K"orper und $\mathcal P$
  eine Operade alias eine in $\op{Mod}_k$ angereicherte Schmelzkategorie mit
  einem einzigen Objekt $\ast$. Eine
  {\bf $\mathcal P$-Algebra}\index{Algebra!"uber Operade} ist per
  definitionem ein $k$-linearer Schmelzfunktor
  $$A:\mathcal P\ra \op{Mod}_k$$
  Wir k"urzen meist $A=A(\ast)$ ab und sagen, das sei der \glqq unserer
  $\mathcal P$-Algebra zugrundeliegende Vektorraum\grqq.
  Die {\bf Kategorie der $\mathcal P$-Algebren} erkl"aren wir als die
  Kategorie
  $$\mathcal P{\op{-Alg}}\pdef \op{SCat}_k(\mathcal P,\op{Mod}_k)$$
  der $k$-linearen Schmelzfunktoren alias $\op{Mod}_k$-Schmelzfunktoren, 
  siehe \ref{SSF}, mit Schmelztransformationen als Morphismen. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Unsere Operade $\mathcal P$ ordnet unter anderem
  f"ur alle $n\in \DN$ der endlichen Menge $\llbracket n\rrbracket$
  einen Vektorraum von Verschmelzungen $\mathcal P(n)\pdef \mathcal P((\ast)_{i\in \llbracket n\rrbracket},\ast)$ zu und eine $\mathcal P$-Algebra $A$
  liefert unter anderem einen  $k$-Vektorraum $A=A(\ast)$ und
   $k$-lineare Abbildungen
  $A_n:\mathcal P(n)\ra \op{Mod}_k(A^{\curlyvee n},A)$ auf den
  Verschmelzungsmengen.
  Es ist klar, da"s diese Daten den Schmelzfunktor $A$
  bereits eindeutig festlegen, da"s sie  aber ihrerseits weitere Vertr"aglichkeiten erf"ullen
  m"ussen, wenn sie wirklich von einem Schmelzfunktor herr"uhren sollen.
\end{Bemerkungl}
  
\begin{Bemerkungl}
  Gegeben   $\sigma\in \mathcal S_n\pdef
  \op{Ens}^\times(\llbracket n\rrbracket)$ liefert Vorschalten der  Umindizierung
  $\hat\sigma$ nach \ref{Ui} eine
  Rechtsoperation der symmetrischen Gruppe $\mathcal S_n$ auf $\mathcal P(n)$.
  Andererseits  liefert Vorschalten der  Umindizierung
  $\hat\sigma$ nach auch eine Rechtsoperation der symmetrischen Gruppe $\mathcal S_n$ auf $\op{Mod}_k(A^{\curlyvee n},A)$  und die
  erste Vertr"aglichkeit, die wir zu fordern haben, ist offensichtlich
  die Vertr"aglichkeit von $A_n$ mit diesen Rechtsoperationen von $\mathcal S_n$ alias
  $$A_n\in \op{Hom}_{-k\mathcal S_n}\big(\mathcal P(n), \op{Mod}_k(A^{\curlyvee n},A)\big)$$
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}[\textbf{Die Operade der Kringalgebren}] 
    Gegeben  ein K"orper $k$ und
 ein $k$-Vektorraum $V$ ist die volle Schmelzunterkategorie
  von $\op{Mod}_k$ mit dem einzigen Objekt $V$ eine Operade $\mathcal P_V$.
  Im Spezialfall $V=k$ ist die Operation von $\mathcal S_n$
  auf $\mathcal P_k(n)$ trivial und
  erh"alt man unschwer ausgezeichnete Basisvektoren 
  $1_n\in \mathcal P_k(n)$ f"ur alle $n$ derart, da"s
  jede Multiverkn"upfung derartigen Basisvektoren wieder ein Basisvektor
  dieser Art ist. Eine  $\mathcal P_k$-Algebra $A$ wird also bestimmt
  durch den Vektorraum $A=A(\ast)$ und $\mathcal S_n$-invariante Elemente
  $$\mu_n\pdef A_n(1_n)\in \op{Hom}_k(A^{\curlyvee n},A))$$
  Insbesondere ist $\mu_2$ eine kommutative
  bilineare Verkn"upfung auf $A$ und die h"oheren Vertr"aglichkeiten zeigen,
  da"s sie auch assoziativ sein mu"s und da"s $\mu_0(1)\in A$ daf"ur ein
  neutrales Element ist. Umgekehrt erkennt man unschwer,
  da"s jede $k$-Kringalgebra  $A$ eine $\mathcal P_k$-Algebra liefert,
  wenn wir $A_n$ dadurch festlegen, da"s $\mu_n=A_n(1_n): A^{\curlyvee n}\ra A$ die
  Multiplikation sein soll. Insgesamt erhalten wir so offensichtlich einen
  Isomorphismus von Kategorien
  $$\op{Kralg}_k\sira \mathcal P_k\op{-Alg}$$
  zwischen der Kategorie der $k$-Kringalgebren und der  Kategorie
  der $\mathcal P_k$-Algebren zu unserer Operade $\mathcal P_k$.
  Wir nennen $\mathcal P_k$ die {\bf Operade der $k$-Kringalgebren}.
  In \cite{LoVa} wird sie $\op{uCom}$\index{uCom@$\op{uCom}$} notiert. 
\end{Beispiel}

\begin{Beispiel}
  Wir k"onnen zu jeder Operade  $\mathcal P$ die 
  Unterperade $\bar{\mathcal P}\subset \mathcal P$ bilden
  mit $\bar{\mathcal P}(n)=\mathcal P(n)$ f"ur $n\geq 1$ und
  $\bar{\mathcal P}(0)=0$. Salopp gesprochen
  vergessen lassen wir einfach alle Leerverschmelzungen von $\mathcal P$
  weg mit Ausnahme der Null. Genau wie zuvor erh"alt man f"ur jeden K"orper $k$ einen Isomorphismen
  von Kategorien 
    $$\{\text{Kommutative assoziative $k$-Algebren}\}\sira \bar{\mathcal P}_k\op{-Alg}$$
  Wir nennen $\bar{\mathcal P}_k$ die {\bf Operade der kommutativen assoziativen $k$-Algebren}.
  In \cite{LoVa} wird sie $\op{Com}$\index{Com@$\op{Com}$} notiert. 
\end{Beispiel}


\begin{Beispiel}
  Jede gew"ohnliche $k$-Kategorie kann als $k$-Schmelzkategorie
  aufgefa"st werden, in 
  der alle R"aume von $r$-Verschmelzungen f"ur $r\neq 1$
  Nullvektorr"aume sind. Jede $k$-Ringalgebra $R$ liefert
  insbesondere eine $k$-lineare Einobjektkategorie $[R]$
  und damit eine Operade $[R]$. Man erh"alt in diesem Fall
  in offensichtlicher Weise einen Isomorphismus von Kategorien
  $$R\op{-Mod}\sira [R]\op{-Alg}$$
\end{Beispiel}


\subsection{Kooperaden}


\begin{Bemerkungl}
Ich vermute mal, unter einer $k$-Kooperade "uber einem K"orper $k$
verstehen \cite{LoVa} eine  Operade $\mathcal P$ angereichert in der 
zu $\op{Mod}_k$ oppinvertierten Schmelzkategorie $\op{Mod}_k^{\op{os}}$
nach \ref{opi}.
Die $\mathcal P(n)$ sind also $k$-Vektorr"aume, aber die
Mul\-ti\-ver\-kn"up\-fun\-gen $\mathcal P(r_1)\curlyvee\ldots\curlyvee\mathcal P(r_n)\curlyvee \mathcal P(n)\ra \mathcal P(r)$ f"ur $r=r_1+\ldots+r_n$
  sind lineare Abbildungen
  $$\mathcal P(r) \ra \mathcal P(r_1)\otimes\ldots\otimes\mathcal P(r_n)\otimes \mathcal P(n)$$
  Freie Erf"ullungen liefert dann \ref{EFO} in seiner neuen Variante
  ohne die Forderung von internem Hom\label{Koop}  und liefert
  $$\prod_{n\geq 0}\big(\mathcal P(n)\otimes_{k}V^{\otimes n}\big)^{\mathcal S_n}$$
  mit Invarianten unter einer geeigneten simultanen Operation wie in \cite{LoVa} 5.8.4.  
\end{Bemerkungl}




  

\subsection{Pr"aschrott} \label{ABsIh}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Tensor und Multihom f"ur Komplexe}] 
  Sei $\mathcal M$ eine $\op{Ab}$-Schmelzkategorie.
  In $\op{Ket}_{\mathcal M}$ betrachten wir die vollen Unterschmelzkategorien
  $\op{Ket}^+_{\mathcal M}$, $\op{Ket}^-_{\mathcal M}$  und $\op{Ket}^{\op{b}}_{\mathcal M}$ der entsprechend  halbseitig beziehungsweise
  beidseitig beschr"ankten Komplexe. Wir nennen eine
  Schmelzkategorie {\bf additiv}, wenn sie eine additive Struktur besitzt und
  die zugrundeliegende einfache Kategorie additiv ist alias endliche
  Koprodukte besitzt. Gegeben eine additive Schmelzkategorie mit stabil universellen Verschmelzungen 
  gibt es auch in $\op{Ket}^+_{\mathcal M}$, $\op{Ket}^-_{\mathcal M}$  und $\op{Ket}^{\op{b}}_{\mathcal M}$ stabil universelle Verschmelzungen und diese
  bleiben stabil universell in $\op{Ket}_{\mathcal M}$.
Gegeben eine additive Schmelzkategorie mit Multihom gibt es weiter Multihom von Kleinfamilien in $\op{Ket}^\pm_{\mathcal M}$
zu einem beliebigen Objekt von $\op{Ket}^\mp_{\mathcal M}$.
  Gibt es in unserer additiven Schmelzkategorie 
  $\mathcal M$  stabil universelle Verschmelzungen und abz"ahlbare Koprodukte, so gibt es auch in $\op{Ket}_{\mathcal M}$ stabil universelle Verschmelzungen.
 Gibt es in unserer additiven Schmelzkategorie 
  $\mathcal M$  Multihom  und abz"ahlbare Produkte, so gibt es auch in $\op{Ket}_{\mathcal M}$ Multihom.
 Das alles folgt m"uhelos aus den entsprechenden Aussagen f"ur die Schmelzkategorie ${\op{sg}}\mathcal M$ der supergraduierten Objekte
 analog zum Fall von Komplexen abelscher Gruppen.
 \end{Bemerkungl}
\begin{proof}[Alter Beweis von \ref{sIh}]
  Wenn zu $X$ ein $X^\ast$ und $\alpha$ und $\beta$ existieren wie
  in der Definition der Starrheit,
  so liefern diese Daten eine Adjunktion $(X\otimes, X^\ast\otimes)$
  und so eine Isotransformation von Funktoren $(X^\ast\otimes)\siRa (X{\Rrightarrow})$ und durch Anwenden auf das Einsobjekt einen
  Isomorphismus $X^\ast\sira (X{\Rrightarrow}{\mathbb I})$ und $X$
  erf"ullt die Bedingungen des Satzes.
  Existiert umgekehrt f"ur ein Objekt $X$ einer Schmelzkategorie
  der Funktor $s_X\pdef (X\otimes)$ und sein rechtsadjungierter Funktor
  $s_X^\ast\pdef( X{\Rrightarrow})$, so entwickeln wir von einem beliebigen Morphismus $\beta:X\otimes s^\ast_X(\mathbb I)\ra \mathbb I$  ausgehend
  f"ur jedes $Y$ zwei kommutative Diagramme in der durch die Zahlen angedeuteten Reihenfolge, n"amlich die Diagramme
  \begin{displaymath}
    \xymatrix{
   X\otimes s^\ast_X(\mathbb I)\otimes Y\ar[d]^{7}\ar[r]^-{\beta\otimes\op{id}_Y}_-{1}  & {\mathbb I}\otimes Y\ar[d]_{2}& &s^\ast_X(\mathbb I)\otimes Y\ar[d]^{5}\ar[r]_-{3}  &s^\ast_X({\mathbb I}\otimes Y) \ar[d]_{4}\\
      X\otimes s^\ast_X(Y)\ar[r]_-{6}   &  Y& &s^\ast_X(Y)\ar[r]^{\op{id}}  &s^\ast_X(Y) 
    }
  \end{displaymath}
 Wir beginnen mit den offensichtlichen Morphismen 1 und 2 und
 erkl"aren 3 durch die Adjunktion, 4 durch das Anwenden des Funktors auf 2,
 und 5 durch das Kommutieren des rechten Quadrats.
 Dann entsteht 6 durch die Adjunktion aus der Identit"at und 7 durch
 das Anwenden von $s_X$ auf 5 und damit kommutiert auch das linke
 Quadrat aufgrund der definierenden  Eigenschaften einer Adjunktion. 
 Die Starrheit von $X$ bedeutet, da"s 
 f"ur das $\beta$, das "uber die Adjunktion von der Identit"at auf $s^\ast_X(\mathbb I)$
 herkommt,  die zugeh"origen in obigem Diagramm mit
 5 bezeichneten Morphismen f"ur alle $Y$ Isomorphismen
  $$s_X^\ast(\mathbb I)\otimes Y\sira s_X^\ast( Y)$$
 sind. Setzen wir dann $X^\ast\pdef s_X^\ast(\mathbb I)$, so zeigt
 das Linke der obigen Diagramme, da"s f"ur
 $\beta:X\otimes X^\ast\ra \mathbb I$ 
 die Komposition $X\otimes X^\ast\otimes Y\ra \mathbb I \otimes Y\ra Y$ von $\beta\otimes\op{id}_Y$ mit dem nat"urlichen Isomorphismus unter unserer Identifikation der Koeinheit $\gamma:s_X s^\ast_X\RA \op{Id}$ 
 der Adjunktion entspricht.
 Wir notieren diese Transformation auch
$\beta:s_X  s_{X^\ast}\RA \op{Id}$. 
 Die Einheit der Adjunktion
 $\delta: \op{Id}\RA s^\ast_X s_X$ kommt durch Adjunktion von der Identit"at 
 $ s_X\RA  s_X$ her und kann folglich dadurch charakterisiert werden,
 da"s die Verkn"upfung in der oberen Horizontale des Diagramms
\begin{displaymath}
    \xymatrix{
     s_X  \ar@{=>}[r]^-{s_X\delta}\ar@{=}[d]
     & s_X  s^\ast_Xs_X \ar@{=>}[r]^-{\gamma s_X}\ar@{=>}[d]^\wr  &  s_X\ar@{=}[d] \\
    s_X  \ar@{=>}[r]^-{s_X\alpha}
     & s_X  s_{X^\ast}s_X \ar@{=>}[r]^-{\beta s_X}  &  s_X }
  \end{displaymath}
 die Identit"atstransformation ist. Nun bauen wir den Rest des Diagramms auf.
 Sicher
 liefert der Morphismus $\alpha\pdef\delta_{\mathbb I}:\mathbb I\ra X^\ast\otimes X$ schon mal 
 eine Transformation $\alpha:\op{Id}\RA s_{X^\ast}s_X$. Wenn wir zeigen,
 da"s er die charakterisierende Eigenschaft erf"ullt, da"s also die
 Verkn"upfung in der unteren Horizontale die Identit"at ist, folgt
 die Kommutativit"at unseres Diagramms.
 Wir wissen aber, da"s die Komposition $(\beta\otimes \op{id}_X)(\op{id}_X\otimes\alpha)$
 die Identit"at auf $X$ ist, denn
 auf dem Einsobjekt kommutiert unser Diagramm
 nach Konstruktion.
 Dann folgt sofort, da"s die Komposition in der unteren Horizontale der
 Identit"atsfunktor ist, und das zeigt die Kommutativit"at.
 Da mithin $(s_X,s_{X^\ast})$ mit $\alpha$ und $\beta$ ein adjungiertes
 Paar sind, folgt unsere zweite Forderung an starre Objekte unmittelbar.
\end{proof}
\subsection{Angereicherte Schmelzkategorien, Weiteres}
\nichtfinal{Noch etwas unaufger"aumt.}
\begin{Bemerkungl}Ich erinnere aus \ref{anS} den Begriff einer {\bf $\mathcal S$-Schmelzkategorie}.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
  Gegeben ein Schmelzfunktor $\varphi:\mathcal S\ra \mathcal T$
 sowie Objekte $S\in \mathcal S$ und $T\in\mathcal T$ meinen wir mit einem
  {\bf Morphismus $f=f/\varphi:S\ra T$ "uber $\varphi$} einen Morphismus
  $f:\varphi(S)\ra T$ in $\mathcal T$.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
Gegeben ein Schmelzfunktor $\varphi:\mathcal S\ra \mathcal T$,
eine $\mathcal S$-Schmelzkategorie 
$\mathcal M/\mathcal S$ und eine $\mathcal T$-Schmelzkategorie $\mathcal N/\mathcal T$
erkl"aren wir  einen {\bf $\varphi$-Schmelzfunktor}\index{Schmelzfunktor!$\varphi$-Schmelzfunktor} $$F=F/\varphi:\mathcal M/\mathcal S\ra \mathcal N/\mathcal T$$
als ein Datum bestehend aus einer Abbildung auf den
  Objektmengen zusammen mit ausgezeichneten Morphismen
  $F/\varphi:\mathcal M(B,Y)\ra \mathcal N(FB,FY)$ "uber $\varphi$, die
  vertr"aglich sind mit Multiverkn"upfungen.
  Einen $\op{Id}_{\mathcal S}$-Schmelzfunktor nennen wir auch einen
  {\bf $\mathcal S$-Schmelzfunktor} oder einen 
  {\bf angereicherten Schmelzfunktor} und notieren ihn $F/\mathcal S$ statt $F/\op{Id}_{\mathcal S}$.\index{Schmelzfunktor!angereicherter} 
  Ein angereicherter Schmelzfunktor hei"st
  {\bf volltreu},\index{volltreu!angereicherter Schmelzfunktor} wenn er
  auf den Verschmelzungsobjekten Isomorphismen induziert.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
  Jede Kategorie ist in trivialer Weise eine Schmelzkategorie
  mit nur Einsverschmelzungen nach \ref{trSC}.
  Damit erhalten wir den Begriff einer {\bf $\mathcal S$-Kategorie}\index{Kategorie!$\mathcal S$-Kategorie} als Spezialfall.
  \nichtfinal{Das ist falsch, in einer beliebigen Schmelzkategorie
    $\mathcal S$ mu"s es keine \glqq leere Menge\grqq\ geben.}
  In derselben Weise verstehen  wir {\bf $\varphi$-Funktoren} und speziell {\bf $\mathcal S$-Funktoren}.\index{Funktor!$\mathcal S$-Funktor} 
 Zum Beispiel ist eine $\op{Ab}$-Kategorie dasselbe wie eine
  Kategorie \glqq mit additiver Struktur\grqq\ im Sinne von \eref{adS}{TG}. Einen $\op{Ab}$-Funktor nennen wir auch einen {\bf additiven Funktor}, vergleiche  \eref{adS}{TG}.  
\end{Bemerkungl}

\begin{Beispiele}
  Eine Kategorie angereichert in der kartesischen Schmelzkategorie der
Mengen ist eine  gew"ohnliche
Kategorie. 
Gegeben ein Kring $k$ nennen wir eine $\op{Mod}_k$-Kategorie kurz eine
{\bf $k$-Kategorie}.\index{Kategorie!$k$-Kategorie}
Einen $\op{Mod}_k$-Funktor  nennt man auch einen
{\bf $k$-linearen Funktor} oder {\bf $k$-Funktor}.
\index{Funktor!$k$-linear} 
\end{Beispiele}
\begin{Beispiel}\label{ZwKa}
  Eine Kategorie angereichert in der kartesischen
  Schmelzkategorie $\curlywedge{\op{Cat}}$ der
  Kategorien im Sinne von \ref{kpmk} hei"st eine {\bf Zweikategorie},\index{Zweikategorie!strikte}
 genauer eine {\bf strikte Zweikategorie}.
 In einer Zweikategorie gibt es also nicht nur Morphismen 
zwischen Objekten, sondern auch
f"ur je zwei feste Objekte  Morphismen zwischen 
den Elementen der zugeh"origen Morphismenr"aume.
Diese hei"sen die {\bf Zweimorphismen}\index{Zweimorphismus}
unserer Zweikategorie. Ein typisches Beispiel ist die Kategorie
$\op{Cat}$ selber, mit Kategorien als Objekten, 
Funktoren als Morphismen und Transformationen als Zweimorphismen.
Die $\curlywedge{\op{Cat}}$-Funktoren von
$\curlywedge{\op{Cat}}$-Kategorien hei"sen 
{\bf Zweifunktoren},\index{Zweifunktor} genauer {\bf strikte Zweifunktoren}.
\end{Beispiel}
%\begin{Bemerkunge} Sei $\varphi:\mathcal S\ra \mathcal T$ ein Schmelzfunktor.
% Eine
%  {\bf $\varphi$-Transformation}\index{Transformation!$\varphi$-Transformation} 
%  $\tau:F\RA G$
%  von $\varphi$-Funktoren $F,G:\mathcal A\ra \mathcal B$ zwischen
%  entsprechend angereicherten Kategorien  erkl"aren wir als eine
%  Vorschrift, die jedem Objekt $X\in \mathcal A$ eine
%  Leerverschmelzung $\tau_X\in\mathcal T(\curlyvee, \mathcal B(FX,GX))$ %zuordnet derart,
%  da"s f"ur alle $X,Y\in\mathcal A$ das Diagramm
%  $$\begin{array}{ccc}
%    \varphi\mathcal A(X,Y)&\lra& \mathcal B(FX,FY)\\
%    \da&&\da{\scriptstyle \tau_Y\circ}\\
%    \mathcal B(GX,GY)&\stackrel{\circ \tau_X}{\lra}& \mathcal B(FX,GY)
%  \end{array}$$
%  in $\mathcal T$ kommutiert.
%  Der Morphismus $\circ \tau_X$ ist dabei zu verstehen als das Vorschalten
%  von $\tau_X\curlyvee \op{id}$ vor die $\mathcal T$-Zweiverschmelzung
%  $\mathcal B(FX,GX)\curlyvee \mathcal B(GX,GY)\ra \mathcal B(FX,GY)$
%  der Verkn"upfung in $\mathcal B$ und der Morphismus $ \tau_Y\circ$
%  analog  ein geeignetes Vorschalten
%  von $\op{id}\curlyvee \tau_Y$.
%\end{Bemerkunge}
\begin{Bemerkunge} Seien $\varphi,\psi:\mathcal S\ra \mathcal T$  Schmelzfunktoren und $\kappa: \varphi\RA\psi$ eine Transformation wie in \ref{TrCat}.
 Eine
  {\bf $\kappa$-Transformation}\index{Transformation!bei Schmelzfunktoren} 
  $$\tau=\tau/\kappa:F/\varphi\RA G/\psi$$
  von einem $\varphi$-Funktor $F/\varphi:\mathcal A/\mathcal S\ra \mathcal B/\mathcal T$ zu einem $\psi$-Funktor $G/\psi:\mathcal A/\mathcal S\ra \mathcal B/\mathcal T$ von
  in $\mathcal S$ beziehungsweise $\mathcal T$
  angereicherten Schmelzkategorien
  erkl"aren wir als eine
  Vorschrift, die jedem Objekt $X\in \mathcal A$ eine
  Leerverschmelzung $\tau_X\in\mathcal T(\curlyvee, \mathcal B(FX,GX))$ so zuordnet,\label{KaTra} 
  da"s f"ur alle $A\in\mathcal A^\curlyvee$ und $Y\in\mathcal A$ das Diagramm
  $$\begin{array}{ccccc}
    \varphi\mathcal A(A,Y)&\ra& \mathcal B(FA,FY)&\stackrel{\circ \tau_Y}{\lra}&\mathcal B(FA,GY)\\
    \kappa\da&&&&\parallel\\
    \psi\mathcal A(A,Y)&\ra&\mathcal B(GA,GY)&\stackrel{\circ \tau_{A}}{\lra}& \mathcal B(FA,GY)
  \end{array}$$
  kommutiert.  Der Morphismus $\circ \tau_{A}$ ist dabei im Fall $r=2$
  zu verstehen als das Vorschalten des Tupels $\tau_{A_1}\curlyvee\tau_{A_r}\curlyvee \op{id}$
 vor die $\mathcal T$-Verschmelzung
  $$\mathcal B(FA_1,GA_1)\curlyvee\mathcal B(FA_r,GA_r)\curlyvee \mathcal B(GA_1\curlyvee GA_r,GY)\ra \mathcal B(FA_1\curlyvee FA_r,GY)$$
 und analog f"ur beliebiges $r\in\DN$. Der Morphismus $ \circ\tau_Y$
 ist "ahnlich zu verstehen als ein Vorschalten
  von $\op{id}\curlyvee \op{id}\curlyvee\tau_Y$ und analog f"ur beliebiges $r\in\DN$. 
\end{Bemerkunge}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Familienkategorien angereicherter Schmelzkategorien}] Die Fa\-mi\-li\-en\-ka\-te\-go\-rie $\mathcal M^\curlyvee$ einer in $\mathcal S$ angereicherten
  Schmelzkategorie $\mathcal M$ k"onnen wir analog zum Fall gew"ohnlicher
  Schmelzkategorien erkl"aren, wenn $\mathcal S$ stabil universelle Verschmelzungen hat. Unsere Familienkategorie ist dann eine
  in der Schmelzkategorie $\mathcal S$
    angereicherte Kategorie im Sinne von \ref{agerK}.
\end{Bemerkungl}

\begin{Beispiel}
  Wenn wir besonders betonen wollen, da"s eine Schmelzkategorie
  im Sinne unserer urspr"unglichen Definition zu verstehen sein soll,
  so sprechen wir von einer
  {\bf gew"ohnlichen Schmelzkategorie}.\index{Schmelzkategorie!gew"ohnliche} 
  Eine gew"ohnliche Schmelzkategorie ist per definitionem eine  Schmelzkategorie angereichert in
  der kartesischen Schmelzkategorie der Mengen $\curlywedge{\op{Ens}}$.
\end{Beispiel}

\begin{Beispiel}[\textbf{Schmelzkategorien  in abelschen Gruppen}]
  Eine Schmelzkategorie in abelschen Gruppen
  alias $\op{Ab}$-Schmelzkategorie
  $\mathcal M$  ist per definitionem dasselbe wie eine
  gew"ohnliche Schmelzkategorie mit einer ausgezeichneten
  Verkn"upfung \glqq Addition\grqq\ auf jeder
  Menge $\mathcal M(A,Y)$ von Verschmelzungen,
  die alle Mengen von Verschmelzungen
  zu abelschen Gruppen macht derart, da"s alle Multiverkn"upfungen von
  Verschmelzungen in $\mathcal M$ multiadditive Abbildungen
  von abelschen Gruppen werden.
  So ein Datum nennen wir gleichbedeutend auch eine
  {\bf additive Struktur}\index{additive Struktur!auf Schmelzkategorie}
  auf unserer gew"ohnlichen Schmelzkategorie.\label{adSM}
  Zum Beispiel k"onnen wir unsere Schmelzkategorien $\op{Ab}, \op{sgAb},
  \op{Ket}$ mit additiven Strukturen versehen durch die Vorschrift,
  da"s die Summe von zwei Verschmelzungen eben die Summe der jeweiligen
  multiadditiven Abbildungen sein soll.
  Einen $\op{Ab}$-Schmelzfunktor nennen wir auch einen {\bf additiven}
  Schmelzfunktor. Das ist dasselbe wie ein gew"ohnlicher Schmelzfunktor
  zwischen Schmelzkategorien mit additiver Struktur, bei dem
  die zwischen den Verschmelzungsmengen gegebenen Abbildungen
  Homomorphismen von abelschen Gruppen sind.
\end{Beispiel}
\begin{Bemerkungl} Unter einer {\bf additiven Schmelzkategorie}\index{additiv!Schmelzkategorie}
  verstehen wir eine Schmelzkategorie mit additiver Struktur, deren Familienkategorie endliche Produkte hat. Wir diskutieren
  in \eref{EaS}{TG}, warum
  eine Schmelzkategorie, deren Familienkategorie endliche Produkte hat, nur
  h"ochstens eine additive Struktur besitzen kann. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}
  Analog erkl"aren wir eine {\bf $k$-lineare Struktur}\index{$k$-lineare Struktur!auf Schmelzkategorie}\label{anSK}
  auf einer Schmelzkategorie in Bezug auf  einen Kring $k$
  und
  {\bf $k$-lineare Schmelzfunktoren}. 
  Die Matrixschmelzkategorie $\op{Mat}_k$
  zu einem Kring $k$ tr"agt in
  offensichtlicher Weise eine $k$-lineare Struktur.
  Dasselbe gilt f"ur die Matrixschmelzkategorie
  $\mathfrak{U}\!\op{Mat}_k$ eines beliebigen Mengensystems.
\end{Beispiel}

\begin{Beispiel}[\textbf{Angereicherter Leerverschmelzungsfunktor}]
  Gegeben eine Schmelzkategorie $\mathcal M$
  erinnern wir ihren Leerverschmelzungsfunktor ${\op{L}}_{\mathcal M}:\mathcal M
  \ra \curlywedge{\op{Ens}}$. Gegeben eine in $\mathcal S$ 
  angereicherte
  Schmelzkategorie $\mathcal M$ 
  erhalten wir allgemeiner einen ${\op{L}}_{\mathcal S}$-Schmelz\-funk\-tor
  $${\op{L}}_{\mathcal M}={\op{L}}_{\mathcal M}/{\op{L}}_{\mathcal S}:\mathcal M\ra \mathcal S$$
  durch die Vorschrift
  ${\op{L}}_{\mathcal M}:X\mapsto \mathcal M(\curlyvee,X)$ auf
  Objekten und diejenigen Abbildungen\label{AnLv} 
  ${\op{L}}_{\mathcal S}(\mathcal M(X\curlyvee Y,Z))\ra \mathcal S({\op{L}}_{\mathcal M}X\curlyvee{\op{L}}_{\mathcal M}Y,{\op{L}}_{\mathcal M}Z)$ auf Morphismen, die jede Leerverschmelzung
   $\lambda\in {\op{L}}_{\mathcal S}(\mathcal M(X\curlyvee Y,Z))$ abbilden auf
  diejenige $\mathcal S$-Zwei\-ver\-schmel\-zung,
  die aus den Verkn"upfungsverschmelzungen
  $$\mathcal M(\curlyvee,X)\curlyvee \mathcal M(\curlyvee,Y)\curlyvee 
  \mathcal M(X\curlyvee Y,Z)\ra \mathcal M(\curlyvee,Z)$$
  entsteht durch Vorschalten von $\op{id}\curlyvee\op{id}\curlyvee \lambda$
  und analog f"ur $r$-Verschmelzungen mit $r\neq 2$. 
\end{Beispiel}







\begin{Bemerkungl}[\textbf{Umstrukturieren angereicherter Schmelzkategorien}]
 Gegeben ein Schmelzfunktor  $\varphi:\mathcal S\ra \mathcal T$ wird aus jeder
  $\mathcal S$-Schmelz\-ka\-te\-go\-rie $\mathcal M$ in offensichtlicher Weise eine
  $\mathcal T$-Schmelzkategorie $\varphi(\mathcal M)$ mit derselben
 Menge von Objekten und wir erhalten einen ausgezeichneten $\varphi$-Schmelzfunktor ${\op{can}}/\varphi:\mathcal M\ra \varphi(\mathcal M)$, der auf den Objekten die Identit"at ist.  Wir nennen diese Konstruktion das {\bf Umstrukturieren von $\mathcal M$ mit  $\varphi$}.\label{UmstrA}\index{Umstrukturieren!von angereicherter Schmelzkategorie}
 Jeder $\varphi$-Schmelzfunktor $\mathcal M\ra \mathcal N$ 
 faktorisiert auf genau eine Weise als $\mathcal M\ra \varphi(\mathcal M)\ra \mathcal N$ in unseren ausgezeichneten $\varphi$-Schmelzfunktor in die Umstrukturierung gefolgt
 einem $\mathcal T$-Schmelzfunktor. 
   Zum Beispiel k"onnen wir f"ur einen Kring $k$ jede $k$-Schmelzkategorie umstrukturieren
  zu einer $\op{Ab}$-Schmelzkategorie und jede  $\op{Ab}$-Schmelzkategorie zu
  einer gew"ohnlichen Schmelzkategorie. Allgemeiner k"onnen wir  jede
  $\mathcal S$-Schmelz\-ka\-te\-go\-rie $\mathcal M$ mit dem Leerverschmelzungsfunktor von $\mathcal S$  umstrukturieren
  zu einer gew"ohnlichen Schmelzkategorie ${\op{L}}_\mathcal S(\mathcal M)$.  
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Umstrukturieren und Leerverschmelzung}]
Gegeben ein
  Schmelzfunktor $\varphi: \mathcal S\ra \mathcal T$  haben wir eine offensichtlichen Transformation $\hat\varphi: {\op{L}}_{\mathcal S}\RA {\op{L}}_{\mathcal T}\circ \varphi$  von Schmelzfunktoren nach $\op{kEns}$. 
 Gegeben 
 eine $\mathcal S$-Schmelzkategorie $\mathcal M$
bilden die vermittels $\varphi$ gegebenen $\mathcal T$-Morphismen 
  $\tau_X: \varphi({\op{L}}_{\mathcal M}X)\ra{\op{L}}_{\varphi(\mathcal M)}X$
  alias $\varphi({\mathcal M}(\curlyvee,X))\sira
  \varphi({\mathcal M})(\curlyvee,X)$
  eine
  $\hat\varphi$-Transformation $\tau=\tau/\hat\varphi$ im Sinne von \ref{KaTra} im Diagramm
\begin{displaymath}
  \xymatrix{
 \mathcal M\ar[rr]^{{\op{L}}_{\mathcal M}/{\op{L}}_{\mathcal S}}\ar[dd]_{{\op{can}}/\varphi}&&\mathcal S\ar[dd]^{\varphi}\ar@{=>}[ddll]_{\tau/\hat\varphi}\\ \\
     \varphi(\mathcal M)\ar[rr]^-{\op{L}_{\varphi(\mathcal M)}/{\op{L}}_{\mathcal T}}&&\mathcal T
}
\end{displaymath}
 Ist $\varphi$ volltreu auf Leerverschmelzungen, so ist $\hat\varphi$ eine "Aquivalenz von
 Schmelzfunktoren $\hat\varphi: {\op{L}}_{\mathcal S}\siRa {\op{L}}_{\mathcal T}\circ \varphi$ und $\tau/\hat\varphi$  eine  "Aquivalenz von angereicherten
 Schmelzfunktoren "uber $\hat\varphi$ im offensichtlichen Sinne. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
  Gegeben eine Schmelzkategorie 
  $\mathcal M$ mit Multihom erhalten wir in nat"urlicher\label{MlSA} 
  Weise eine $\mathcal M$-Schmelzkategorie
  $\mathcal M^{\op{asa}}/\mathcal M$ mit derselben Objektmenge und
  den fraglichen
  Multihomobjekten
  als Verschmelzungsobjekten
  $$\mathcal M^{\op{asa}}(B,Y)\pdef (B{\Rrightarrow}Y)$$ und mit
  analog zu  \ref{VMoX}  erkl"arten  Multiverkn"upfungen. Wir nennen diese
  $\mathcal M$-Schmelzkategorie die
  {\bf automatische Selbstanreicherung von $\mathcal M$}.\label{ASsA}
Der angereicherte Leerverschmelzungsfunktor \ref{AnLv} ist in diesem Fall ein $\op{L}_{{\mathcal M}}$-Schmelz\-funk\-tor $$(\op{L}_{{\mathcal M}^{\op{asa}}}/\op{L}_{{\mathcal M}}):\mathcal M^{\op{asa}}/\mathcal M\ra \mathcal M$$
    und seine Faktorisierung "uber die Umstrukturierung aus \ref{Umstr}
    induziert einen Isomorphismus von Schmelzkategorien
$\op{L}_{\mathcal M}(\mathcal M^{\op{asa}}/\mathcal M)\sira \mathcal M$, wie man 
leicht aus unseren Bijektionen $\mathcal M(\curlyvee,B{\Rrightarrow}X)\sira \mathcal M(B,X)$ 
aus \ref{MorEk} folgert.
  Salopp gesprochen wird also die automatische Selbstanreicherung
  einer Schmelzkategorie mit Multihom durch Umstrukturierung
  mit dem Leerverschmelzungsfunktor wieder in die
  urspr"ungliche Schmelzkategorie zur"uckverwandelt.
  Ist der Leerverschmelzungsfunktor von $\mathcal M$ treu, so
  tr"agt insbesondere jede Menge von Verschmelzungen in $\mathcal M$
  eine ausgezeichnete $(\mathcal M,\op{L}_{\mathcal M})$-Struktur im Sinne
  von \eref{ObZuSt}{LA2}.
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}[\textbf{Automatische Selbstanreicherung bei abelschen Gruppen}] 
Die Schmelzkategorie der
abelschen Gruppen hat einen treuen Leerverschmelzungsfunktor 
und das Auswerten beim einzigen Punkt des leeren Produkts liefert
eine Isotransformation $\op{L}_{\op{Ab}}\siRa v$ von unserem Leerverschmelzungsfunktor zum Funktor des Vergessens der Gruppenstruktur.
 Unser Isomorphismus
 $${\op{L}}_{\op{Ab}}(\op{Ab}^{\op{asa}})\sira \op{Ab}$$
 aus \ref{ASs} besteht mithin aus  Bijektionen $\op{Ab}(\curlyvee,B{\Rrightarrow}Y)\sira \op{Ab}(B,Y)$
 von Verschmelzungsmengen und diese Bijektionen liefern
 eine $(\op{Ab},{\op{L}}_{\op{Ab}})$-Struktur alias $(\op{Ab},v)$-Struktur
 auf den Verschmelzungsmengen $\op{Ab}(B,Y)$ in Bezug auf den
 Leerverschmelzungsfunktor, wie wir sie allgemeiner f"ur treue Funktoren
 erkl"art hatten.
  Man sieht
 leicht, da"s diese Bijektionen Gruppenisomorphismen sind
 f"ur die in \ref{adSM} eingef"uhrte additive Struktur auf $\op{Ab}$.
 Diese
 additive Struktur auf der Schmelzkategorie $\op{Ab}$ ist also gar kein Extradatum, sondern
 eher ein Beispiel f"ur eine automatische Selbstanreicherung.
\end{Beispiel}

\begin{Beispiel}[\textbf{Automatische Selbstanreicherung bei Kategorien}] 
  Die strikte Zweikategorie der Kategorien \ref{ZwKa} ist nach \ref{TrKua}
  und im wesentlichen nach dem Exponentialgesetz f"ur Kategorien \eref{ExpKa}{LA2} 
  auch ein Fall
  von automatischer Selbstanreicherung. Strukturieren wir sie um mit
  dem Schmelzfunktor der Isomorphieklassen $\op{iso}:\curlywedge{\op{Cat}}\ra \curlywedge{\op{Ens}}$
  aus \ref{tsca}, so erhalten wir eine Schmelzkategorie
  $\op{iso}(\curlywedge{\op{Cat}})$ mit Kategorien als
  Objekten und Isomorphieklassen von Funktoren als Einsverschmelzungen.
  Die Isomorphismen von $\op{iso}(\curlywedge{\op{Cat}})$ sind dann, was wir
  gew"ohnlich 
  \glqq "Aquivalenzen von Kategorien\grqq\ nennen.  
\end{Beispiel}

\begin{Beispiel}[\textbf{Anreicherungen bei $k$-Moduln}]
 Auch im Fall der Schmelzkategorie der
 $k$-Moduln "uber einem Kring $k$
 liefert  die automatische Selbstanreicherung die offensichtliche
 $k$-lineare Struktur. Es kann aber im allgemeinen auf dieser
 Schmelzkategorie durchaus noch
 weitere $k$-lineare Strukturen geben. Etwa erh"alt man solche
 durch Vertwisten der
 Standardstruktur mit einem nichttrivialen Ringendomorphismus von $k$. 
\end{Beispiel}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Stark angereicherter Leerverschmelzungsfunktor}]
Gegeben $\mathcal S$ eine Schmelzkategorie
  mit Multihom und eine $\mathcal S$-Schmelz\-ka\-te\-go\-rie $\mathcal M/\mathcal S$
  erkl"aren wir einen $\mathcal S$-Schmelzfunktor
  $${\op{L}}_{\mathcal M}/{\mathcal S}={\op{L}}: \mathcal M/\mathcal S\ra \mathcal S^{\op{asa}}/\mathcal S$$
 durch die Vorschrift $X\mapsto \mathcal M(\curlyvee,X)$
 auf
  Objekten und die Vorschrift auf Verschmelzungen, die ausgeht 
  von den durch Multiverkn"upfung in $\mathcal M$ gegebenen
  $\mathcal S$-Ver\-schmelz\-ungen\label{Alf}  
  $$\mathcal M(\curlyvee,B_1)\curlyvee\mathcal M(\curlyvee,B_r)
  \curlyvee \mathcal M (B_1\curlyvee B_r,Y)\ra \mathcal M(\curlyvee,Y)$$
  und sie umschreibt zu  $\mathcal S$-Verschmelzungen 
 $$
   \mathcal M (B_1\curlyvee B_r,Y)\ra \big(({\op{L}}B_1\curlyvee {\op{L}}B_r){\Rrightarrow}{\op{L}}Y\big)$$
   und analog f"ur $r\neq 2$. Wir nennen diesen $\mathcal S$-Schmelzfunktor
   den  {\bf stark angereicherten Leerverschmelzungsfunktor}\index{Leerverschmelzungsfunktor!stark angereicherter}\index{L@${\op{L}}_{\mathcal M,\mathcal S}$ Leerverschmelzungsfunktor!stark angereicherter}
   und erhalten daf"ur eine offensichtliche Isotransformation
   ${\op{L}}_{\mathcal S}\circ ({\op{L}}_{\mathcal M}/{\mathcal S})\siRa {\op{L}}_{\mathcal M}$. Salopp gesprochen k"onnen wir im Fall, da"s $\mathcal S$ Multihom hat,
   den angereicherten Leerverschmelzungsfunktor faktorisieren als
   $$\mathcal M/\mathcal S\ra \mathcal S^{\op{asa}}/\mathcal S\ra \mathcal S$$
   in den
   stark angereicherten Leerverschmelzungsfunktor von $\mathcal M$ gefolgt vom
   Leerverschmelzungsfunktor von $\mathcal S$.
   Im Fall einer Schmelzkategorie $\mathcal M$ mit Multihom ist der
   stark  angereichert Leerverschmelzungsfunktor der
   automatischen Selbstanreicherung schlicht die
   Identit"at auf $\mathcal M^{\op{asa}}/\mathcal M$. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Beispiel}[\textbf{Additiv
      angereicherter Leerverschmelzungsfunktor}] 
    F"ur jede Schmelzkategorie $\mathcal M$ mit additiver
    Struktur k"onnen wir den stark angereicherten Leerverschmelzungsfunktor 
    $${\op{L}}_{\mathcal M}/{\op{Ab}}:\mathcal M/{\op{Ab}}\ra {\op{Ab}^{\op{asa}}}/{\op{Ab}}$$
    aus \ref{Alf} explizit beschreiben 
     als den  additiven Schmelzfunktor $\mathcal M\ra \op{Ab}$, 
    der jedem Objekt $X\in \mathcal M$ die Menge
    $\mathcal M(\curlyvee,X)$ mit ihrer durch die additive Strukur
    gegebenen Struktur als abelsche
    Gruppe zuordnet. Anders gesagt bedeutet \ref{Alf} in diesem Fall,
   da"s der angereicherte Leerverschmelzungsfunktor einer 
   Schmelzkategorie mit additiver Struktur ${\op{L}}_{\mathcal M}/{\op{L}}_{{\op{Ab}}}:\mathcal M/{\op{Ab}}\ra {\op{Ab}}$ stets additiv ist.\label{LAgd} 
  \end{Beispiel}


\begin{Bemerkungw}
 Gegeben eine $\mathcal S$-Schmelzkategorie
 $\mathcal M$  sollte eine universelle beziehungsweise stabil
 universelle Verschmelzung einer
    Objektkleinfamilie $A$
     ein Paar $(T,\kappa)$ sein bestehend aus einem Objekt $T\in \mathcal M$ und einer $\mathcal S$-Leer\-ver\-schmel\-zung
     $\kappa \in \mathcal S(\curlyvee, \mathcal M(A,T))$ derart, da"s gewisse offensichtliche Eigenschaften erf"ullt sind.
     "Ahnlich sollte ein Multihomobjekt von einer Objektkleinfamilie $B$ zu einem Objekt $Z$ ein Datum sein bestehend aus einem Objekt
     und je einem $\mathcal S$-Isomorphismus
     $\tau_A:\mathcal M (A\curlyvee B,Z)\sira\mathcal M (A, B{\Rrightarrow}Z)$ f"ur jede Objektkleinfamilie $A$ derart, da"s 
  gewisse offensichtliche Eigenschaften erf"ullt sind. Ich schreibe das hier nicht weiter  aus.
\end{Bemerkungw}

\begin{Bemerkungl}
  F"ur $Y=(Y^i)_{i\in\DZ}\in \mathcal M^\DZ$ und $n\in \DZ$
  erkl"aren wir dazu $Y[n]$ als das Objekt mit den homogenen
  Komponenten $(Y[n])^i\pdef Y^{n+i}$ und 
  erkl"aren die homogenen Komponenten unserer Verschmelzungsobjekte  als
  die abelschen Gruppen 
  $$({\op{sg}}\mathcal M/{\op{sgAb}})(X_1\curlyvee\ldots\curlyvee X_r,Y)^n
  \pdef {\op{sg}}\mathcal M(X_1\curlyvee\ldots\curlyvee X_r,Y[n])$$
Um die Multiverkn"upfungen zu erkl"aren, holen wir weiter aus.
Zun"achst nehmen wir an,  $\mathcal M$ habe ein Einsobjekt $\mathbb I$ alias eine stabil universelle
  Leerverschmelzung notiert $1:\curlyvee\ra \mathbb I$ wie in 
  \ref{EiOb} und eine {\bf Schmelznull}\index{Schmelznull}
  alias ein Objekt $0$ mit nur genau einem Endomorphismus.
 Man beachte, da"s $\mathbb I$ und $0$ eindeutig sind bis auf eindeutigen
  Isomorphismus. 
  Wir betrachten nun die Objekte $\mathbb I[n]\in {\op{sg}}\mathcal M$
  mit homogenen Komponenten $\mathbb I[n]^{-n}=\mathbb I$ und $\mathbb I[n]^j=0$
  f"ur $j\neq -n$. Man sieht leicht, da"s diese  Objekte mit jedem Objekt
  $Y\in {\op{sg}}\mathcal M$ tensoriert werden k"onnen und da"s
  diejenige Verschmelzung $Y\curlyvee \mathbb I[n]\ra Y[n]$
  universell ist, die in der Schreib\-an\-ord\-nung durch diejenige
  Verschmelzung in $\mathcal M^\DZ$ gegeben wird,
  die auf jeder homogenen Komponente durch Vorschalten
  der universellen Leerverschmelzung nach $\mathbb I$ entsteht. So erhalten wir insbesondere  in ${\op{sg}}\mathcal M$ eine ausgezeichnete
  stabil universelle Verschmelzung  $t_{m,n}:\mathbb I[m]\curlyvee \mathbb I[n]\sira \mathbb I[m+n]$
  mit der Eigenschaft $t_{m,n}\circ \tau=(-1)^{mn}t_{n,m}$ f"ur $\tau$ die nichttriviale Permutation der Indexmenge.
  Wir erkl"aren nun die Multiverkn"upfung,
  indem wir die Abk"urzung $[n]\pdef \mathbb I[n]$ einf"uhren und
  f"ur $n\pdef n_1+\ldots+n_r$ die Isomorphismen
  $$\begin{array}{l}
    {\op{sg}}\mathcal M(Y_1\curlyvee\ldots\curlyvee Y_r,Z)\sira\\[2mm]
    \quad\sira
    {\op{sg}}\mathcal M(Y_1\curlyvee\ldots\curlyvee Y_r\curlyvee[n],Z[n])\\[2mm]
    \quad
    \sira
    {\op{sg}}\mathcal M(Y_1\curlyvee\ldots\curlyvee Y_r\curlyvee[n_1]\curlyvee\ldots\curlyvee[n_r],Z[n])\\[2mm]
    \quad \sira
   {\op{sg}}\mathcal M(Y_1\curlyvee[n_1]\curlyvee\ldots\curlyvee Y_r\curlyvee[n_r],Z[n]) \\[2mm]
    \quad \sira
    {\op{sg}}\mathcal M(Y_1[n_1]\curlyvee\ldots\curlyvee Y_r[n_r],Z[n])
  \end{array}
  $$
  betrachten. 
  Der erste dieser Isomorphismen wird gegeben 
  durch das Vertupeln mit der Identit"at auf $[n]$ und das Nachschalten
  unserer Verschmelzung $Z\curlyvee[n]\ra Z[n]$,
  die
  anderen sind die offensichtlichen. Wenden wir das auf $Z[m]$ statt auf $Z$
  an, so liefert uns die Multiverkn"upfung von ${\op{sg}}\mathcal M$
  
\end{Bemerkungl}

  
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Angereichertes Supergraduieren}] 
  Gegeben eine $\op{Ab}$-Schmelz\-ka\-te\-go\-rie
  $\mathcal M/{\op{Ab}}$ konstruieren wir eine  $\op{sgAb}$-Schmelzkategorie
  $${\op{sg}}\mathcal M/{\op{sgAb}}$$
  Hat $\mathcal M$ ein Einsobjekt $\mathbb I$ alias eine stabil universelle
  Leerverschmelzung notiert $1:\curlyvee\ra \mathbb I$ nach
  \ref{EiOb} und eine {\bf Schmelznull}\index{Schmelznull}
  alias ein Objekt $0$ mit nur genau einem Endomorphismus, so geht das
  besonders einfach, wie im folgenden ausgef"uhrt werden soll.
  Man beachte, da"s $\mathbb I$ und $0$ eindeutig sind bis auf eindeutigen
  Isomorphismus. 
  Wir betrachten nun die Objekte $\mathbb I[n]\in {\op{sg}}\mathcal M$
  mit homogenen Komponenten $\mathbb I[n]^{-n}=\mathbb I$ und $\mathbb I[n]^j=0$
  f"ur $j\neq -n$. Man sieht leicht, da"s diese  Objekte mit jedem Objekt
  $Y\in {\op{sg}}\mathcal M$ tensoriert werden k"onnen und setzt
  $$Y[n]\pdef Y\otimes \mathbb I[n]$$
  Wir bemerken, da"s das Vorschalten der universellen Leerverschmelzung
  im zweiten Eintrag zusammen mit der
  Schreibanordnung der tensorierten Objekte
  einen Isomorphismus $Y^{i+n}\sira (Y[n])^i$ liefern und wir bei vertauschter
  Anordnung den mit $(-1)^{in}$ multiplizierten Isomorphismus erhalten w"urden. 
  Die homogenen Komponenten unserer Verschmelzungsobjekte  erkl"aren wir nun als
  $$({\op{sg}}\mathcal M/{\op{sgAb}})(X_1\curlyvee\ldots\curlyvee X_r,Y)^n
  \pdef {\op{sg}}\mathcal M(X_1\curlyvee\ldots\curlyvee X_r,Y[n])$$
  \nichtfinal{und ihre Verkn"upfungen in der Schreibreihenfolge als
  BLAH und bemerken, da"s es wie in BLAH auf die Reihenfolge nicht ankommt.}  


  und bemerken, da"s die Verschmelzungen 
  $\kappa_{n,m}:\mathbb I[n]\curlyvee \mathbb I[m]\ra \mathbb I[n+m]$
  gegeben durch $\kappa_{n,m}(1\curlyvee 1)=1$ in der Schreibreihenfolge
  Isomorphismen
  $$\kappa_{n,m}:\mathbb I[n]\otimes \mathbb I[m]\sira \mathbb I[n+m]$$  induzieren mit $\kappa_{n,m}\circ \tau = (-1)^{mn}\kappa_{m,n}$ f"ur
  $\tau$ die nichttriviale Permutation der Indexmenge und beliebige $m,n\in\DZ$.


  
  Die homogenen Komponenten der Verschmelzungsobjekte erkl"aren
 wir als Abbildungen der Menge $\op{Ens}^\times (\llbracket r\rrbracket, \{1,\ldots,r\})$ der Anordnungen der Indexmenge unserer Ausgangskleinfamilie
  in das Produkt\label{agSG}  
  $$ \prod_{i_1+\ldots+i_r+n=j}\mathcal M(X_1^{i_1}\curlyvee\ldots\curlyvee X_r^{i_r},Y^j)$$
  mit der Eigenschaft, da"s sich bei jeder "Anderung der Anordnung das
  Vorzeichen im jeweiligen Eintrag unseres Produkts  "andert um das Signum der Permutation, die die "Anderung
  in der Reihenfolge der Indizes $\alpha$ mit $i_\alpha$ ungerade beschreibt. 
  Die Multiverkn"upfungen erkl"aren
  wir in der hoffentlich offensichtlichen
  Weise. Im Fall $\mathcal M=\op{Ab}$ ist das gerade die automatische
  Selbstanreicherung von $\op{sgAb}$. Auch im allgemeinen erhalten wir durch
  die Umstrukturierung von ${\op{sg}}\mathcal M/{\op{sgAb}}$ mit dem Leerverschmelzungsfunktor von $\op{sgAb}$ offensichtlich ${\op{sg}}\mathcal M$
  selbst. 
\end{Bemerkungl}

\subsection{Pr"aschrott zu Strukturen auf Schmelzkategorien} 


\nichtfinal{Viel besser und neuer in \ref{SetZ}.}

\begin{Bemerkungl}
  Sei $\mathcal S$ eine Schmelzkategorie.
  Reden wir einfach nur von einer {\bf $\mathcal S$-Struktur auf einer Menge}
oder einer {\bf $\mathcal S$-Multiabbildung} zwischen Mengen mit
$\mathcal S$-Struktur, so verstehen wir implizit, da"s $\mathcal S$
einen treuen Leerverschmelzungsfunktor hat und da"s
$v:\mathcal S\ra \op{kEns}$ dieser
Leerverschmelzungsfunktor sein soll.\label{sstr}   
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}
  Die Strukturen als abelsche Gruppe auf einer vorgegebenen Menge
  entsprechen eineindeutig ihren $\op{Ab}$-Strukturen im Sinne
  von \ref{sstr}. Weiter spezialisiert
  unsere Schmelz"aquivalenz $\mathcal S \sirra \mathcal M_{(\mathcal S,v)}$
  aus \ref{SStr} 
  im Fall des Vergessens der Addition  $v:\op{Ab}\ra\op{kEns}$
  zu  einem  Isomorphismus von Schmelzkategorien
$$\op{Ab}\sira \op{kEns}_{(\op{Ab},v)}$$
In diesem Fall haben wir auch einen ausgezeichneten Isomorphismus
zwichen dem Vergi"sfunktor $v:\op{Ab}\ra\op{Ens}$ und dem
Leerverschmelzungsfunktor ${\op{L}}:\op{Ab}\ra\op{Ens}$ zu unserer Verf"ugung.
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}
  Die Strukturen als $\Gamma$-graduierte
  abelsche Gruppe auf einer vorgegebenen Menge
  entsprechen eineindeutig den $(\op{Ab}^\Gamma,v)$-Strukturen in Bezug auf den Vergi"sfunktor
  $v:\op{Ab}^\Gamma\ra \op{kEns}$. 
\end{Beispiel}

\begin{Bemerkungl}
  Gegeben  ein treuer Schmelzfunktor $v:\mathcal S\ra \op{kEns}$
 verstehen
wir unter einer {\bf $(\mathcal S,v)$-Struktur auf einer Schmelzkategorie $\mathcal M$}  die Vorgabe einer  $(\mathcal S,v)$-Struktur auf allen Verschmelzungsmengen
derart, da"s alle Multiverkn"upfungen mit diesen Strukturen vertr"aglich sind.
 Zum Beispiel ist eine  $\op{Ab}$-Struktur
  auf einer Schmelzkategorie  dasselbe wie eine additive Struktur.
  Analoges gilt f"ur $K$-lineare Strukturen zu einem Kring $K$. 
  Gegeben eine Schmelzkategorie $\mathcal M$  mit $(\mathcal S,v)$-Struktur faktorisiert
  der Leerverschmelzungsfunktor von $\mathcal M$ in offensichtlicher Weise 
  "uber die Schmelzkategorie der Mengen mit $(\mathcal S,v)$-Struktur, die
  ihrerseits "aquivalent ist zur Schmelzkatgeorie $\mathcal S$ selber vermittels des in \ref{SStr} erkl"arten Funktors $S\mapsto (S,\op{id}_{v(S)})$.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Automatische Selbststruktur einer Schmelzkategorie}]
  Gegeben eine Schmelzkategorie $\mathcal M$ mit Multihom  und treuem
  Leerverschmelzungsfunktor liefert f"ur jede
  Objektfamilie $B$ und jedes Objekt $Y$ die Komposition
  $$\mathcal M(B,Y)\sira \mathcal M(\curlyvee,B{\Rrightarrow}Y)
  =\op{L}_{\mathcal M}(B{\Rrightarrow}Y)$$
  eine $\mathcal M$-Struktur auf der Menge $\mathcal M(B,Y)$ und
  man pr"uft unschwer, da"s alle Multiverkn"upfungen aus $\mathcal M$
  mit diesen $\mathcal M$-Strukturen vertr"aglich sind,
  so da"s wir in dieser Weise
  eine $\mathcal M$-Struktur auf $\mathcal M$ erhalten.
  Wir nennen sie die {\bf automatische Selbststruktur}. 
  Im Fall der Schmelzkategorie $\op{Ab}$
  ist diese automatische Selbststruktur unsere offensichtliche
  additive Struktur. Im Fall
  der Schmelzkategorie der Moduln "uber einem Kring $K$ ist die automatische
  Selbststruktur die offensichtliche Struktur  einer $K$-linearen Schmelzkategorie.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Struktur durch Schmelzfunktor}] 
Sei $\mathcal S$ eine Schmelzkategorie mit
   treuem Leerverschmelzungsfunktor. 
  Gegeben eine Schmelzkategorie $\mathcal M$  mit Multihom
  und ein auf Leerverschmelzungen volltreuer Schmelzfunktor  $F:\mathcal M\ra \mathcal S$\label{ASSv} 
  liefern die f"ur jede Objektfamilie $A$
und jedes Objekt $Y$ gegebenen  Bijektionen
 $$\mathcal M(A,Y)\sira \mathcal M(\curlyvee,A{\Rrightarrow}Y)\sira
  \mathcal S(\curlyvee,F(A{\Rrightarrow}Y))$$
  stets eine $\mathcal S$-Struktur auf $\mathcal M$. Im Fall des Identit"atsfunktors spezialisiert diese $\mathcal S$-Struktur zu unserer automatischen Selbststruktur
  aus \ref{ASs}. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Beispiele f"ur treuen Leerverschmelzungsfunktor}] 
Weitere  Schmelzkategorien mit treuem Leerverschmelzungsfunktor sind  die Schmelzkategorie der teilgeordneten Mengen und die
  multi"aquivariante Schmelzkategorie der $\Omega$-Mengen
  in Bezug auf eine Menge $\Omega$, aber in diesen F"allen haben wir kein Multihom und damit auch keine automatische Selbststruktur.
\end{Bemerkungl}
\nichtfinal{\begin{Ubung}
  Wir erkl"aren eine {\bf Liealgebra}\index{Liealgebra!in Schmelzkategorie}
  in einer additiven Schmelzkategorie $\mathcal M$ als ein
  Magma $m_L:L\curlyvee L\ra L$ derart, da"s eine stabil universelle
  Zweiverschmelzung $L\curlyvee L\ra L\otimes L$ existiert und es
  gilt \dots Moduln mit gewisser Operation einer Liealgebra bilden
  Schmelzkategorie \dots
\end{Ubung}}

\begin{Bemerkungl}\nichtfinal{Wohin?} 
  Gegeben eine Schmelzkategorie mit additiver Struktur $\mathcal M$ und
  ein Objekt $L\in\mathcal M$ erkl"aren wir die
  {\bf lieartige Schmelzkategorie der $L$-Objekte}
    $$\mathcal M_{{\op{Lie}}L\ssearrow}$$ durch die Vorschrift, da"s ihre Objekte
   $L$-Objekte von $\mathcal M$ sein sollen, also Paare $(X,m)$ aus einem Objekt
  $X\in\mathcal M$ und einer Zweiverschmelzung $m:L\curlyvee X\ra X$, und ihre Verschmelzungen
  $\mathcal M_{{\op{Lie}}L\ssearrow}(B,X)\subset \mathcal M(B,X)$
   diejenigen Verschmelzungen $\varphi\in \mathcal M(B,X)$, f"ur die
  in der abelschen Gruppe $\mathcal M(L\curlyvee B, X)$ gilt
  $$\sum_{i\in I} \varphi\circ (m_i\curlyvee\op{id}_{\neq i})=m\circ (\op{id}_L\curlyvee \varphi)$$
  Hier meint $m_i: L\curlyvee B_i\ra B_i$ die Operation auf dem Objekt mit
  Index $i$ unserer Familie $B=(B_i)_{i\in I}$ und $m:L\curlyvee X\ra X$ wie zuvor die Operation auf $X$. Die restlichen Notationen
  sind hoffentlich selbsterkl"arend. 
\end{Bemerkungl}


\subsection{Versuch zu Dualit"at f"ur Vivien}

\begin{Bemerkungl}
  Gegeben ein K"orper $k$ und eine $k$-Ringalgebra $A$ bezeichne
  $A\op{-Modfd}$ die Kategorie aller $A$-Moduln $M$ mit $\op{dim}_k M<\infty$.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Gegeben ein K"orper $k$ und endlichdimensionale
  $k$-Ringalgebren $A,B$ ist jeder $k$-lineare
  rechtsexakte Funktor $$F: A\op{-Modfd}\ra B\op{-Modfd}$$
  isomorph zu $F(A)\otimes_A$ f"ur den endlichdimensionalen
$k$-linearen  $B$-$A$-Bimodul $F(A)$. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Gegeben ein K"orper $k$ und endlichdimensionale
  $k$-Ringalgebren $A,B$ und ein $k$-linearer 
  $B$-$A$-Bimodul $X$ mit $\op{dim}_k X<\infty$ erhalten wir eine Adjunktion
  $(X\otimes_A, X{\Rrightarrow}_B)$ des Funktors
  $X\otimes_A: A\op{-Modfd}\ra B\op{-Modfd}$ zum
  Funktor
  $$(X{\Rrightarrow}_B): N\mapsto  \op{Hom}_B(X,N)$$
  Diese Adjunktion erh"alt man durch den Nachweis, da"s die
  offensichtlichen Injektionen
  $\op{Hom}_B(X\otimes_AM,N)\hra \op{Ens}(X\times M,N)\hla
  \op{Hom}_B(M,\op{Hom}_B(X,N))$
  dasselbe Bild haben.
  Genaueres wird zum Beispiel in \cite{NAS} erkl"art.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}  Gegeben seien ein K"orper $k$ und endlichdimensionale
  $k$-Ringalgebren $A,B$ und ein $k$-linearer 
  $B$-$A$-Bimodul $X$ mit $\op{dim}_k X<\infty$.
  Ist $X\otimes_A$ eine "Aquivalenz von Kategorien
  $X\otimes_A: A\op{-Modfd}\sirra B\op{-Modfd}$, so ist auch der
  rechtsadjungierte Funktor rechtsexakt und wird folglich
  gegeben durch das
  Tensorieren mit dem $k$-linearen
  $A$-$B$-Bimodul $Y\pdef (X{\Rrightarrow}_B B)$. Die fraglichen Bimoduln
  $X,Y$ sind dann sowohl projektiv als Rechtsmoduln als auch projektiv als
  Linksmoduln und mehr dazu findet man unter dem Stichwort
  \glqq Morita-"Aquivalenz\grqq. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}  Gegeben ein K"orper $k$ hei"st eine
  endlichdimensionale
  $k$-Ringalgebra $A$ {\bf basisch}, wenn jeder einfache $A$-Modul
  eindimensional ist. "Uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper
  ist jede endlichdimensionale basische Ringalgebra als
  Linksmodul isomorph zur direkten Summe der projektiven Decken eines
  Repr"asentatensystems der einfachen $A$-Moduln.\label{bsPD}  
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}   Gegeben ein K"orper $k$ und basische
  endlichdimensionale
  $k$-Ringalgebren $A,B$ gilt nach \ref{bsPD}
  offensichtlich $d(A)\cong B$ f"ur jede
  $k$-lineare "Aquivalenz von Kategorien $$d: A\op{-Modfd}\sirra B\op{-Modfd}$$ 
  Jeder  $k$-lineare 
  $B$-$A$-Bimodul $X$, f"ur den $d\pdef (X\otimes_A)$ eine "Aquivalenz von
  Kategorien ist, ist folglich als $B$-Modul frei von Rang Eins. Ist $x\in X$
  ein Erzeuger, so liefert das Auswerten bei $x$ einen Isomorphismus
  $(X{\Rrightarrow}_BB)\sira B$. 
  Andererseits mu"s unter unseren Annahmen
  auch $(X{\Rrightarrow}_BB)$ als $A$-Modul
  isomorph sein zu $A$ selbst und es 
  folgt $$\op{dim}_k A=\op{dim}_k X=\op{dim}_k B$$
  Nun ist der Quotient nach dem Jacobsonradikal $A/{\op{J}}(A)$
  in unserem Fall einer basischen endlichendimensionalen $k$-Ringalgebra
  als $A$-Modul isomorph zur direkten Summe "uber die einfachen Moduln
  eines Repr"asentantensystems der einfachen $A$-Moduln.
  Damit ist $$X/X{\op{J}}(A) \cong X\otimes_A A/{\op{J}}(A)\cong
  (X/X{\op{J}}(A))\otimes_A A/{\op{J}}(A)$
  isomorph zur direkten Summe der einfachen Moduln
  eines Repr"asentantensystems der einfachen $B$-Moduln.
  Nun ist in unserem Fall einer basischen Ringalgebra $A$ der Quotient 
  $A/{\op{J}}(A)$ ein Produkt von Kopien des K"orpers $k$
  und die maximalen Linksideale, die maximalen Rechtsideale und die
  maximalen beidseitigen Ideale von $A$ sind dieselben Teilmengen von $A$.
  K"ame eine Isomorphieklasse $L$ von einfachen $A$-Rechtsmoduln nicht in
  $X/X{\op{J}}(A)$ vor, so h"atten wir $X/X{\op{Ann}}(L)=0$ und
  folglich  $X\otimes_AL=0$ im Widerspruch dazu, da"s $X\otimes_A$ eine
  "Aquivalenz von Kategorien sein soll. Mithin ist $X/X{\op{J}}(A)$
  als $A$-Rechtsmodul isomorph zur Summe der einfachen Moduln
  eines Repr"asentatntensystems f"ur die einfachen $A$-Rechtsmoduln
  und diese Summanden sind auch die isotypischen Komponenten von
  $X/X{\op{J}}(A)$ als $B$-Modul. Ein Element $x\in X$, dessen Bild
  $\bar x\in X/X{\op{J}}(A)$ in jeder dieser isotypischen Komponenten
  einen von Null verschiedenen Anteil hat, ist also sowohl ein Erzeuger
  von $X$ als $A$-Rechtsmodul als auch  ein Erzeuger
  von $X$ als $B$-Modul und nach der oben bereits gezeigten Gleichheit der
  Dimensionen sogar jeweils ein freier Erzeuger.
  Zusammenfassend finden wir, da"s gegeben eine "Aquivalenz $d$ wie oben
  die Erzeuger $x\in d(A)$ des $B$-Moduls $d(A)$ dieselben sind wie die
  Erzeuger des $A$-Rechtsmoduls $d(A)$  und da"s alle diese Erzeuger frei
  erzeugen von rechts wie von links. Unser $x$ liefert dann einen
  Ringalgebrenhomomorphismus $\varphi_x:B\ra A$ durch die Vorschrift
  $bx=x\varphi_x(b)$ und wir erhalten einen Isomorphismus
  $\varphi_{x*}M\sira d(M)$ durch $m\mapsto x\otimes m$. 
\end{Bemerkungl}






\begin{Definition}
  Eine {\bf Dualit"at}\index{Dualit"at} auf einer
  Kategorie $\mathcal C$ erkl"aren wir als ein Paar  $(d,\alpha)$ aus einer
  "Aquivalenz $d:\mathcal C\sirra \mathcal C^{\op{opp}}$
  zusammen mit einer Adjunktion $\alpha: (d,d^{\op{opp}})$
  derart, da"s f"ur die mit $\alpha_{M,N}$ als mittlerer Bijektion
  gegebenen Bijektionen\label{defDu}  
  $$\tilde\alpha_{M,N}:\mathcal C(N,dM)=\mathcal C^{\op{opp}}(dM,N)\sira \mathcal C(M,d^{\op{opp}}N)=
  \mathcal C(M,dN)$$ stets 
  gilt $\tilde\alpha_{N,M}\circ\tilde\alpha_{M,N}=\op{id}$. Ich wei"s nicht, ob es das in der Literatur so oder besser gibt. Sollte eigentlich. 
\end{Definition}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Bedeutung der Bedingung $\tilde\alpha_{N,M}\circ\tilde\alpha_{M,N}=\op{id}$}]
  Gegeben eine Kategorie  mit
  Dualit"at  $(\mathcal C,d,\alpha)$
  ist die
Einheit der Adjunktion stets ein Isomorphismus
  $\eta_M:M\sira d^{\op{opp}}d M$ in $\mathcal C$
und die 
 Koeinheit der Adjunktion stets ein Isomorphismus
 $\varepsilon_M:d d^{\op{opp}}M\sira M$ in $\mathcal C^{\op{opp}}$,
 denn das ist immer so
 bei Adjungierten volltreuer Funktoren, vergleiche \eref{EQK}{TF}.
  Wir erhalten so in vereinfachter Notation
  zwei Isomorphismen $$\eta_M,\varepsilon_M^\circ: M\sira ddM$$
  Diese sind  sogar gleich, denn wir haben
  nach Definition der Einheit und Koeinheit einer Adjunktion
  $\eta_M=\alpha_{M,dM}(\op{id}_{dM})$ und bei uns gleichbedeutend
  $\eta_M=\tilde\alpha_{M,dM}(\op{id}_{dM})$ sowie
  $\varepsilon_M=\alpha^{-1}_{d^{\op{opp}}M,M}(\op{id}_{d^{\op{opp}}M})$
  und bei uns gleichbedeutend
  $\varepsilon_M^\circ=\tilde\alpha_{dM,M}^{-1}(\op{id}_{dM})$.
  Wegen unserer Annahme
  $\tilde\alpha_{N,M}\circ\tilde\alpha_{M,N}=\op{id}$
  gilt aber insbesondere
  $\tilde\alpha_{dM,M}\circ\tilde\alpha_{M,dM}=\op{id}$ und
  $(\tilde\alpha_{dM,M}\circ\tilde\alpha_{M,dM})(\op{id}_{dM})=\op{id}_{dM}$ und
  so in der Tat $$\eta_M=\tilde\alpha_{M,dM}(\op{id}_{dM})=\tilde\alpha_{dM,M}^{-1}(\op{id}_{dM})=\varepsilon_M^\circ$$
\end{Bemerkungl}



\begin{Definition}
 Sei $k$ ein K"orper.  Eine {\bf $k$-lineare Dualit"at}\index{Dualit"at} 
 auf einer $k$-linearen 
  Kategorie $\mathcal C$ ist ein Paar  $(d,\alpha)$ aus einer
  $k$-linearen "Aquivalenz $d:\mathcal C\sirra \mathcal C^{\op{opp}}$\label{klD} 
  zusammen mit einer  $k$-linearen Adjunktion $\alpha: (d,d^{\op{opp}})$
  derart, da"s f"ur alle $M,N$ in der Notation aus \ref{defDu}
  gilt $\tilde\alpha_{M,N}\circ\tilde\alpha_{N,M}=\op{id}$.
\end{Definition}

\begin{Bemerkungl}  
 Gegeben ein
  K"orper $k$ und eine endlichdimensionale $k$-Ringalgebra $A$
  liefert das Dualisieren des zugrundeliegenden Vektorraums
  eine "Aquivalenz von Kategorien\label{DdD} 
  $D: A^{\op{opp}}\op{-Modfd} \sirra (A\op{-Modfd})^{\op{opp}}$. 
  F"ur jede "Aquivalenz $$d:A\op{-Modfd}\sirra (A\op{-Modfd})^{\op{opp}}$$
  gibt es also einen $k$-linearen $A^{\op{opp}}$-$A$-Bimodul $X$ zusammen
  mit einer Isotransformation
  $\iota: D\circ (X\otimes_A\;)\siRa d$. In Formeln ist also jede
   "Aquivalenz $d$ wie oben isomorph zu einem Funktor der Gestalt
  $d=d_X: M\mapsto (X\otimes_AM)^*$ f"ur einen $A^{\op{opp}}$-$A$-Bimodul $X$.
  Ist $A$ basisch, so mu"s dieser Bimodul
  frei sein von beiden Seiten und die Erzeuger f"ur die Linksoperation und
  die Rechtsoperation sind dieselben.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl} 
 Gegeben ein
 K"orper $k$ und eine basische endlichdimensionale $k$-Ring\-al\-ge\-bra $A$
 bedeutet eine $k$-lineare Adjunktion $\alpha:(d_X, d_X^{\op{opp}})$
 anzugeben einen nat"urlichen Isomorphismus
 $$(X\otimes_AM)^*\sira X{\Rrightarrow_{A^{\op{opp}}}}(M^*)$$
   anzugeben oder auch einen 
 nat"urlichen Isomorphismus von $A^{\op{opp}}$-Moduln 
 $$X\otimes_AM\sira (X{\Rrightarrow_{A^{\op{opp}}}}(M^*))^*$$
 Beide Seiten sind rechtsexakte Funktoren, also ist gleichbedeutend, einen
 Isomorphismus von $A^{\op{opp}}$-$A$-Bimoduln
 $$\gamma:X\sira  (X{\Rrightarrow_{A^{\op{opp}}}}(A^*))^*$$
 anzugeben oder einen Isomorphismus von $A$-$A^{\op{opp}}$-Bimoduln
 $$ X^*\sira  X{\Rrightarrow_{A^{\op{opp}}}}(A^*)$$
 Wir "andern hier beim Dualisieren immer nur die Modulstruktur zu
 einer Modulstruktur f"ur den opponierten Ring, lassen aber Linksoperationen
 Linksoperationen sein und Rechtsoperationen
 Rechtsoperationen
 Auf der rechten Seite entsteht dabei die Linksoperation von $A$
 durch Vorschalten aus der Rechtsoperation von $A$ auf $X$
 und die Rechtsoperation von $A^{\op{opp}}$ aus der
 Rechtsoperation auf $A^*$, die hinwiederum aus der
Rechtsoperation von $A$ auf sich
 selber herkommt. Jetzt k"onnen wir annehmen $X=\varphi_*A$ f"ur einen
 Isomorphismus $\varphi:A^{\op{opp}}\sira A$, also $A$ als $A$-Rechtsmodul
 mit der von $A$ mit $\varphi$ zu $A^{\op{opp}}$ zur"uckgezogenen Linksoperation
 von $A^{\op{opp}}$.
 Dann ist das Auswerten bei $1\in X=\varphi_*A$ eine Bijektion
 $\beta: X{\Rrightarrow_{A^{\op{opp}}}}(A^*)\sira A^* $ und ein
 Isomorphismus von $A^{\op{opp}}$-Rechtsmoduln.
 F"ur die Linksoperation von $a\in A$ finden wir
 dahingegen
 $$\begin{array}{lll}
   \beta(a\psi)&=&\beta(\psi \circ (\cdot a))\\&=&(\psi \circ (\cdot a))(1)\\&=&
 \psi(a)\\&=& \psi(\varphi^{-1}(a)\cdot 1)\\&=&\varphi^{-1}(a)\cdot\psi(1)\\&=&
 \varphi^{-1}(a)\beta(\psi)
 \end{array}
 $$
 Wir fassen also $A^*$ in der offensichtlichen Weise als
 $A^{\op{opp}}$-Bimodul auf, die Linksoperation kommt von der
Linksoperation und die Rechtsoperation von der Rechtsoperation, 
 und machen dann die $A^{\op{opp}}$-Linksmodulstruktur
 zu einer $A$-Links\-mo\-dul\-struk\-tur, indem wir $a\in A$
 durch Linksmultiplikation mit $\varphi^{-1}(a)$
 operieren lassen.
 Wir notieren diesen $A$-$A^{\op{opp}}$-Bimodul $\varphi^{-1}_*(A^*)$. 
 Wir wollen m"ogliche $A^{\op{opp}}$-$A$-Bimodulisomomorphismen
 $$\gamma: \varphi_*A \sira (\varphi^{-1}_*(A^*))^*$$ verstehen. 
 Die durch den Evaluationshomomorphismus $\op{ev}: A\ra (A^*)^*$
 gegebene Abbildung
$$\op{evt}: A\ra  (\varphi^{-1}_*(A^*))^*$$
 ist vertr"aglich mit der
 $A$-Rechtsmodulstruktur auf  $(\varphi^{-1}_*(A^*))^*$.
 F"ur die $A^{\op{opp}}$-Links\-mo\-dul\-struk\-tur finden wir dahingegen:
 Auf $\psi\in  (\varphi^{-1}_*(A^*))^*$ operiert
 $b^\circ\in A^{\op{opp}}$ durch $(b^\circ\psi)(v)=\psi(b v)$ f"ur $v\in \varphi^{-1}_*(A^*)$.
 Auf  $v\in \varphi^{-1}_*(A^*)$ operiert $b$ wie
 $\varphi^{-1}(b)$ auf $A^*$, indem wir $v\in A^*$ abbilden
 auf $v\circ ((\varphi^{-1}(b))^\circ\cdot)$ mit  $\varphi^{-1}(b)\in A^{\op{opp}}$
 und  $(\varphi^{-1}(b))^\circ$ dasselbe Element als Element von $A$.
 Auf $\psi=\op{evt}(a)$ operiert speziell
 $b^\circ\in A^{\op{opp}}$ durch $(b^\circ\op{evt}(a))(v)=\op{evt}(a)(b v)=
 \op{ev}(a)(v\circ ((\varphi^{-1}(b))^\circ\cdot))= (v ((\varphi^{-1}(b))^\circ\cdot a))
 =\op{ev}((\varphi^{-1}(b))^\circ a)(v)$ und somit
 $$(b^\circ\op{evt}(a))=\op{ev}((\varphi^{-1}(b))^\circ a)$$
 Es scheint also, wir erhalten einen Isomorphismus von Bimoduln
 $$\op{evt}: (\varphi^{\op{opp}})^{-1}_*A\sira  (\varphi^{-1}_*(A^*))^*$$
 und f"ur eine Adjunktion ben"otigt wird ein Isomorphismus von $A^{\op{opp}}$-$A$-Bimoduln
 $$\gamma: \varphi_*A \sira (\varphi^{\op{opp}})^{-1}_*A$$
 Hier erinnern wir $\varphi:A^{\op{opp}}\sira A$. Dieselbe Abbildung
 ist auch ein Isomorphismus f"ur die jeweils opponierten Multiplikationen 
 $\varphi^{\op{opp}}:A\sira A^{\op{opp}}$ und deren Umkehrabbildung
 $(\varphi^{\op{opp}})^{-1}:A^{\op{opp}}\sira A$ verwenden wir rechts, um die
 Struktur als $A$-Linksmodul auf $A$ zur"uckzuziehen zu einer
 Struktur als $A^{\op{opp}}$-Linksmodul. Homomorphismen $A\ra A$
 von $A$-Rechtsmoduln sind genau die Abbildungen $(u\cdot)$ f"ur $u\in A^\times$
 eine Einheit. Solche $(u\cdot)$ liefern genau dann Homomorphismen von
 Bimodulen, wenn gilt $u\varphi(b)a=\varphi^{-1}(b) ua$ f"ur alle $a,b\in A$
 alias $$u\varphi(b)u^{-1}=\varphi^{-1}(b)\quad\forall  b\in A$$
  \end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl} Jetzt will ich mal r"uckw"arts probieren, ob das passen
  kann. Gegeben ein K"orper $k$, eine endlichdimensionale $k$-Ringalgebra $A$,
  ein Ringalgebrenisomorphismus $\varphi:A^{\op{opp}}\sira A$ und eine
  Einheit $u\in A^\times$ mit $u\varphi(b)u^{-1}=\varphi^{-1}(b)\;\forall  b\in A$
  betrachte ich die "Aquivalenz $d=d_{\varphi}:A{\op{-Modfd}}\sirra ( A{\op{-Modfd}})^{\op{opp}}$ gegeben durch $M\mapsto (\varphi_*M)^*$ und
  versuche, mithilfe von $u$ nat"urliche Bijektionen
  $$\tilde\alpha_{M,N}:\op{Hom}_A(N,dM)\sira \op{Hom}_A(M,dN)$$
  anzugeben.
  Beide Seiten lassen sich in nat"urlicher Weise einbetten in die
  Menge der bilinearen Abbildungen $\psi:N\times M\ra k$.
  Die linke Seite liefert genau die Abbildungen mit 
  $$\psi\big(\nu\circ (a\cdot),\mu\big)=
  \psi\big(\nu,\mu\circ (\varphi(a)\cdot)\big)$$
  f"ur alle $a\in A, \nu\in N, \mu\in M$. Wir nennen sie die Abbildungen $\psi$ mit der LS-Eigenschaft. 
  Die rechte Seite liefert genau die Abbildungen mit 
  $$\psi\big(\nu\circ (\varphi(a)\cdot),\mu\big)= \psi\big(\nu,\mu\circ (a\cdot)\big)$$
  f"ur alle $a\in A, \nu\in N, \mu\in M$. Wir nennen sie die Abbildungen $\psi$ mit der RS-Eigenschaft.
Die RS-Eigenschaft ist gleichbedeutend zu
$$\psi\big(\nu\circ (a\cdot),\mu\big)= \psi\big(\nu,\mu\circ
(\varphi^{-1}(a)\cdot)\big)$$
f"ur alle $a\in A, \nu\in N, \mu\in M$.
Nun betrachten wir die
Abbildung $\hat\alpha=\hat\alpha_u:\psi\mapsto \psi\circ (\op{id}\times
(\circ (u\cdot)))$ und pr"ufen unschwer, da"s $\psi$ genau
dann die LS-Eigenschaft hat,
wenn $\hat\alpha(\psi)$ die RS-Eigenschaft hat. Die von
$\hat\alpha$ vermittelte Bijektion ist dann sicher das $\tilde\alpha_{M,N}$
f"ur die zu $u$ geh"orige Adjunktion aus den vorhergehenden "Uberlegungen.
Die Bedingung $\tilde\alpha_{M,N}\circ\tilde\alpha_{N,M}=\op{id}$ scheint
zu bedeuten $\psi\circ ((\circ (u\cdot))\times (\circ (u\cdot)))=\psi$
f"ur alle $\psi$ mit der Eigenschaft LS
alias  $$\psi\big(\nu\circ (u\cdot),\mu\circ (u\cdot)\big)=
\psi\big(\nu,\mu\big)$$
f"ur alle $\nu\in N, \mu\in M$ f"ur alle $\psi$ mit der Eigenschaft LS
alias  $$\psi\big(\nu,\mu\circ (u\cdot)\circ (\varphi(u)^{-1}\cdot)\big)=
\psi\big(\nu,\mu\big)$$
f"ur alle $\nu\in N, \mu\in M$ f"ur alle $\psi$ mit der Eigenschaft LS.
Das sollte genau bedeuten $\varphi(u)=u$. 
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl} Zusammenfassend ist zumindest f"ur eine basische Algebra $A$ 
  also jede Dualit"at $(d,\alpha)$
  auf $A{\op{-Modfd}}$ isomorph (in welchem Sinne? jetzt mal Pause)
  zur Dualit"at gegeben durch
  ein Paar $(\varphi,u)$
  mit $\varphi:A^{\op{opp}}\sira A$ einem Ringalgebrenisomorphismus
  und $u\in A^\times$ einer Einheit mit  $\varphi(u)=u$ und
  $u\varphi(b)u^{-1}=\varphi^{-1}(b)$ f"ur alle $b\in A$.
  Zum Beispiel mu"s im Fall einer kommutativen Algebra
  gelten $\varphi^2=\op{id}$. Nicht jede ungraduierte Dualit"at besitzt einen
  graduierten Lift. Betrachten wir etwa $A=k[X,Y]/\langle X^2,y^2\rangle$
  und $\varphi$ die Vertauschung von $X$ und $Y$ und die graduierte Version
  mit $X$ im Grad Eins und $Y$ im Grad Zwei, so besitzt unsere Dualit"at
  keinen graduierten Lift. 
\end{Bemerkungl}
\newpage
\begin{Bemerkungl} Wir wissen aus \cite{AJS} (und einer Arbeit von Riche f"ur singul"are Bl"ocke), da"s es
  gegeben ein Wurzelsystem f"ur hinreichend gro"se Charakteristik
  $p\gg 0$ auf der restringierten Einh"ullenden $U$ eine Graduierung gibt,
  die sie zu einem Koszulring macht. Andererseits liefert jeder
  involutive Chevalley-Antiautomorphismus einen
  Isomorphismus $\tau:U\sira U^{\op{opp}}$ mit $\tau^2=\op{id}$.
\begin{itemize}
\item Frage: K"onnen wir auch eine Koszul-Graduierung finden,
  die invariant ist 
  unter $\tau$?
\item Verfeinerte Frage: Ist die Charakteristik gr"o"ser als die Coxeterzahl,
  so liefert \cite{AJS} immer noch eine Vielzahl von Graduierungen
  auf $U$. Ist zumindest eine dieser Graduierungen  invariant unter $\tau$?
\end{itemize}
  Im Fall des Wurzelsystems aus zwei Wurzeln sollten diese beiden Fragen
  zusammenfallen, aber im allgemeinen ist es komplizierter. 
  Nicht genau durchdacht habe ich die Frage, ob es vielleicht doch etwas
  schw"acher ist zu fordern, da"s die durch $\tau$ gegebene Dualit"at auf der
  Modulkategorie einen graduierten Lift hat.
\end{Bemerkungl}

\newpage

\begin{Bemerkungl}
  Jetzt nochmal f"ur \glqq artinian\grqq\ $k$-lineare abelsche Kategorien $\mathcal A$
  wie in
  \cite{Ro-So} 1.4. Ich nenne sie nun statt \glqq artinian\grqq\
  auf Deutsch lieber {\bf l"angenendlich}. Die Bedingung  bedeutet, da"s jedes Objekt endliche L"ange hat. Dann wird in \cite{Ro-So} 1.6 erkl"art, was ein
  \glqq graded cover\grqq\ $(\tilde{\mathcal A},[1],v,\varepsilon)$ von so etwas ist,
  und in \cite{Ro-So} 1.14, was eine \glqq cover equivalence\grqq\
  zwischen zwei derartigen \glqq graded covers\grqq\ sein soll. In
  \cite{Ro-So} ist
  $[1]$ ein strikter Automorphismus der Kategorie $\tilde{\mathcal A}$. 
  Ich sage auf Deutsch daf"ur {\bf graduierte Version} und
  {\bf "Aquivalenz graduierter Versionen}.
  Nach  \cite{Ro-So} 6.1 ist jede graduierte Version von
  $\mathcal A\pdef A{\op{-Modfd}}$
  f"ur eine endlichdimensionale Ringalgebra $A$
  versions"aquivalent ist
  zu $$(\tilde A{\op{-Modfd}}^\DZ,[1],v,\varepsilon)$$ f"ur eine
  $\DZ$-Graduierung $\tilde A$ auf $A$ mit den offensichtlichen
  $[1],v,\varepsilon$. Nach \cite{Ro-So} 6.2
  ist eine weitere graduierte Version
  zu einer weiteren $\DZ$-Graduierung $\hat A$ auf $A$ versions"aquivalent
  zu der graduierten Version zu $\tilde A$
  genau dann, wenn es eine $\DZ$-Graduierung $^\sim A^\wedge$
  auf dem Vektorraum  $A$ gibt, die mit der
  Linksoperation von $\tilde A$ und der Rechtsoperation von $\hat A$
  vertr"aglich ist. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl} Eine {\bf graduierte Dualit"at} auf einer l"angenendlichen
  $k$-linearen abelschen Kategorie mit ausgezeichnetem
  Automorphismus $(\tilde{\mathcal A},[1])$ erkl"aren wir als
  eine Dualit"at $(\tilde d,\tilde\alpha)$ auf $\tilde{\mathcal A}$ mit
  $\tilde d \circ [1]=[-1]\circ \tilde d$ (so strikt, wie es dasteht) 
  und VIELLEICHT NOCH EINER VERTR"AGLICHKEIT MIT $\tilde\alpha$. 
\end{Bemerkungl}
\nichtfinal{W"are es nicht vielleicht geschickter,
  eine graduierte Version zu erkl"aren als eine in $\DZ$-graduierten
  Vektorr"aumen angereicherte Kategorie mit Daten? Das mu"s ich
  einmal verfolgen.}
\begin{Bemerkungl} Eine graduierte Version einer Dualit"at $(d,\alpha)$
  auf einer graduierten Version von $\mathcal A$ 
  ist eine graduierte Dualit"at $\tilde d$ auf $\tilde{\mathcal A}$ zusammen
  mit einer Isotransformation $\delta: v\tilde d\siRa d v$ derart, da"s die
  Diagramme
  $$\xymatrix{\tilde{\mathcal A}(N,\tilde d M)\ar[r]^{{\tilde{\alpha}}_{M,N}}\ar[d]&\tilde{\mathcal A}(M,\tilde d N)\ar[d]\\
    {\mathcal A}(vN,v\tilde d M)\ar[d]&{\mathcal A}(vM,v\tilde d N)\ar[d]\\
    {\mathcal A}(vN,dv M)\ar[r]&{\mathcal A}(vM,dv N)}$$
  kommutieren. 
\end{Bemerkungl}
  
  
\end{Bemerkungl}
\newpage
\subsection{Neuer Versuch} 
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Erinnerungen zu strukturierten Kategorien}]
  Gegeben ein K"orper $k$ betrachten wir die treuen
  Schmelzfunktoren $$\op{Mod}_k^\DZ\ra \op{Mod}_k \ra \op{kEns}$$
  und betrachten mit den entsprechenden Strukturen  angereicherte Kategorien
  im Sinne von \ref{SwStr}. Eine $\op{Mod}_k$-Kategorie ist etwa eine
  Kategorie mit einer Struktur von 
  $k$-Vektorraum auf jeder Morphismenmenge
  derart, da"s alle Verkn"upfungen von Morphismen $k$-bilineare Abbildungen
  sind.  Eine $\op{Mod}_k^\DZ$-Kategorie ist "ahnlich eine
  Kategorie mit einer Struktur von $\DZ$-graduiertem
  $k$-Vektorraum auf jeder Morphismenmenge
  derart, da"s alle Verkn"upfungen von Morphismen vom Grad Null homogene
  $k$-bilineare Abbildungen
  sind und  alle Identit"aten homogene Elemente vom Grad Null. 
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl} 
  Sei $k$ ein K"orper.\label{HaSi} 
  Wir sagen, eine $\op{Mod}_k^\DZ$-Kategorie $\mathcal A$ {\bf habe Shifts},
  wenn sich f"ur jedes Objekt
  $X\in \mathcal A$ und jedes $n\in \DZ$
  ein weiteres Objekt $Y\in \mathcal A$
  und ein Isomorphismus $s:X\sira Y$ so finden lassen,
  da"s unser Isomorphismus homogen ist vom Grad $n$,
  in Formeln $s\in \mathcal A(X,Y)^n$. Dann ist $(Y,s)$
  durch $X$ und $n$ eindeutig bestimmt 
  bis auf eindeutigen Isomorphismus vom Grad Null
  und wir notieren es  $Y=X[n]$.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl} Sei $k$ ein K"orper. 
  Gegeben eine  Kategorie $\mathcal A$  mit $\op{Mod}_k$-Struktur 
  verstehen wir unter einer
  {\bf $\DZ$-Graduierung von $\mathcal A$}
  ein Paar $(\tilde{\mathcal A},v)$
  bestehend aus einer Kategorie  $\tilde{\mathcal A}$
  mit $\op{Mod}_k^\DZ$-Struktur
  und Shifts und einer $k$-linearen 
  "Aquivalenz von Kategorien  $$\tilde v:\tilde{\mathcal A}\sirra \mathcal A$$
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl} Sei $k$ ein K"orper. 
  Gegeben eine abelsche Kategorie $\mathcal A$  mit $\op{Mod}_k$-Struk\-tur 
  verstehen wir unter einer
  {\bf $\DZ$-graduierten Version von $\mathcal A$}
  ein Paar $(\tilde{\mathcal A},\tilde v)$
  bestehend aus einer Kategorie   $\tilde{\mathcal A}$
  mit $\op{Mod}_k^\DZ$-Struktur
  und Shifts und einem $k$-linearen 
  volltreuen Funktor $$\tilde v:\tilde{\mathcal A}\vra \mathcal A$$
  mit den folgenden Eigenschaften:
  \begin{enumerate}
\item
  Die Unterkategorie $\tilde{\mathcal A}^0$ von $\tilde{\mathcal A}$
  mit allen Objekten und als Morphismenr"aumen nur die
  homogenen Anteile vom Grad Null der Morphismenr"aume von
  $\tilde{\mathcal A}$ ist abelsch und
  \nichtfinal{(vielleicht gilt das automatisch)} 
  $\tilde v: \tilde{\mathcal A}^0\ra \mathcal A$ ist exakt;
\item
  F"ur jeden Epimorphismus  $M\sra \tilde v X$ mit $M\in \mathcal A$ und
  $X\in \tilde{\mathcal A}$ gibt es $Y\in \tilde{\mathcal A}$
  und einen Epimorphismus $\tilde v Y\sra M$ derart, da"s die Komposition
   $\tilde v Y\ra \tilde v X$ in $\tilde v\tilde{\mathcal A}^0(Y,X)$ liegt.
  \end{enumerate}
  \nichtfinal{Ich bin hier noch
    am Rumsuchen. Ist nun schon klar, da"s
    $\tilde v:\tilde{\mathcal A}^0\ra \mathcal A$ exakt ist?
    Im wesentlichen ist die Definition in diesem Abschnitt  nur eine Neufassung
  des Begriffs eines \glqq graded cover\grqq\ aus \cite{Ro-So}.} 
\end{Bemerkungl}

\begin{Beispiel}
  Gegeben ein K"orper $k$ bezeichne 
  $ v(k{\op{-Modfd}}^\DZ)$ die Kategorie
  mit endlichdimensionalen $\DZ$-graduierten
  $k$-Vektorr"aumen als Objekten aber beliebigen $k$-linearen
  Abbildungen als Morphismen. Sie hat eine offensichtliche
  ${\op{Mod}}_k^\DZ$-Struktur, gegeben durch die "ublichen auf den
  Morphismenr"aumen gegebenen $\DZ$-Graduierungen. 
  Der Funktor des Vergessens der
  Graduierung ist dann sowohl eine $\DZ$-Graduierung als
  auch eine $\DZ$-graduierte Version
  $$\tilde v: v(k{\op{-Modfd}}^\DZ)\sirra k{\op{-Modfd}}$$
  \end{Beispiel}
\begin{Beispiel}
  Gegeben ein K"orper $k$ und eine endlichdimensionale
  $k$-Ring\-al\-ge\-bra $A$ mit einer $\DZ$-Graduierung $\tilde A$
  bezeichne $v(\tilde A{\op{-Modfdp}}^\DZ)$ die Kategorie 
  mit endlichdimensionalen $\DZ$-graduierten projektiven 
  $A$-Moduln als Objekten aber beliebigen Homomorphismen von $A$-Moduln 
   als Morphismen. Sie hat eine offensichtliche
   ${\op{Mod}}_k^\DZ$-Struktur, gegeben durch die "ublichen
   $\DZ$-Graduierungen
   auf den
  Morphismenr"aumen. 
  Der Funktor des Vergessens der
  Graduierung ist dann  eine $\DZ$-Graduierung
  $$v(\tilde A{\op{-Modfdp}}^\DZ)\sirra A{\op{-Modfdp}}$$
  der Kategorie aller endlichdimensionalen projektiven $A$-Moduln,
  wenn alle endlichdimensionalen projektiven $A$-Moduln eine mit der
  $\DZ$-Graduierung $\tilde A$ auf $A$ vertr"agliche $\DZ$-Graduierung
  besitzen. 
\end{Beispiel}
\begin{Bemerkungl}
  Gegeben $k=\bar k$ algebraisch abgeschlossen und eine endlichdimensionale
  $k$-Ringalgebra $A$ skizziere ich nun einen Beweis daf"ur,
  da"s f"ur jede $\DZ$-Graduierung von $A$ 
  alle endlichdimensionalen projektiven $A$-Moduln eine vertr"agliche
  $\DZ$-Gra\-du\-ie\-rung besitzen.
  Nun ist eine $\DZ$-Graduierung eines $k$-Vek\-tor\-raums dasselbe wie
  eine algebraische Darstellung von $k^\times$ durch Automorphismen.
  Insbesondere ist das Jacobsonradikal $\op{J}(A)$ homogen und
  $A/\op{J}(A)$ erbt eine Graduierung. Die isotypischen Komponenten
  dieses Quotienten werden von Automorphismen von $A$ permutiert.
  Da $k^\times$ zusammenh"angend ist, werden sie sogar  von $k^\times$
  stabilisiert und sind mithin auch homogene Teilr"aume. Als
  $k$-Algebren sind es Matrixringe $\op{End}_kV$ f"ur endlichdimensionale
  $k$-Vektorr"aume $V$ und jede $\DZ$-Graduierung auf solch einem
  Ring kommt nach  \eref{GrMA}{AAG} oder der Literatur (aber wo genau?)
  von einer Graduierung auf $V$ her. Die einfachen $A$-Moduln
  sind mithin graduierbar. Dann sollte wie in
  \cite{Ro-So} 3.8 folgen, da"s auch die unzerlegbaren
  Projektiven graduierbar sind, und das liefert die Aussage.  
\end{Beispiel}

\begin{Beispiel}
  Gegeben ein K"orper $k$ und eine endlichdimensionale
  $k$-Ring\-al\-ge\-bra $A$ mit einer $\DZ$-Graduierung $\tilde A$
  bezeichne $v(\tilde A{\op{-Modfd}}^\DZ)$ die Kategorie 
  mit endlichdimensionalen $\DZ$-graduierten  
  $A$-Moduln als Objekten aber beliebigen Homomorphismen von $A$-Moduln 
   als Morphismen. Sie hat eine offensichtliche
   ${\op{Mod}}_k^\DZ$-Struktur, gegeben durch die
   "ublichen $\DZ$-Graduierungen
   auf den
  Morphismenr"aumen. 
  Der Funktor des Vergessens der
  Graduierung ist, wenn jeder unzerlegbare Projektive einen $\DZ$-graduierten
  Lift hat, eine $\DZ$-graduierte  Version
  $$v(\tilde A{\op{-Modfd}}^\DZ)\ra A{\op{-Modfd}}$$
  Er mu"s keine $\DZ$-Graduierung
  sein, denn keineswegs alle endlichdimensionalen
  $A$-Moduln m"ussen graduierbar sein. Ist etwa $A$ nichtnegativ graduiert
  mit $A^0=k1$ und $I\subsetneq A$ ein Ideal, so hat jeder Erzeuger von $A/I$
  den Annulator $I$ und f"ur jede Graduierung auf $A/I$ mu"s auch der
  homogene Anteil $(A/I)^m$ von kleinstm"oglichem Grad $m\in\DZ$ 
  Erzeuger enthalten. Ist nun $I\subset A$ kein homogenes Ideal,
  so ist das nicht m"oglich. 
\end{Beispiel}



\begin{Bemerkungl}
  Gegeben $\DZ$-Graduierungen $\tilde v:\tilde{\mathcal A}\sirra \mathcal A$
  und $\hat v:\hat{\mathcal A}\sirra \mathcal A$ derselben
  $k$-linearen Kategorie
  $\mathcal A$ erkl"aren wir einen {\bf Graduierungsvergleich}
  als ein Paar $(F,u)$ bestehend aus einer
  mit den $\op{Mod}_k^\DZ$-Strukturen vertr"aglichen "Aquivalenz von Kategorien
  $F:\tilde{\mathcal A}\sirra \hat{\mathcal A}$ zusammen mit einer
  Isotransformation $u:\tilde v\siRa \hat v\circ F$.
\end{Bemerkungl}
 \nichtfinal{Unn"otig. Soweit ich sehe mu"s dann  $F$ eine "Aquivalenz von
    Kategorien mit $\op{Mod}_k^\DZ$-Struktur sein.
    Volltreu ist eh klar, aber ist auch  jedes Objekt der zweiten
    Kategorie isomorph mit einem vom Grad Null homogenen Isomorphismus
    zum Bild eines Objekts der ersten Kategorie?
    \nichtfinal{Wir nehmen zus"atzlich an, alle Morphismenr"aume
      seien endlichdimensional.} 
    Unzerlegbar bedeutet dann lokaler Endomorphismenring. Die Summe der
    homogenen Komponenten der Identit"at von einer Graduierung zu einer
    anderen 
    ist dann ein Isomorphismus, eben die
    Identit"at, und da die Nichteinheiten ein Ideal bilden, mu"s dann
    eine homogene Komponente eine Einheit sein. Da wir aber angenommen haben,
    da"s es Isomorphismen von jedem Grad gibt, finden wir auch
    Isomorphismen vom Grad Null. }
%\begin{Bemerkungl}
%  Gegeben graduierte Versionen $\tilde{\mathcal A}\ra \mathcal A$
%  und $\hat{\mathcal A}\ra \mathcal A$ derselben $k$-linearen abelschen
%  Kategorie
%  $\mathcal A$ erkl"aren wir einen {\bf Versionsvergleich}
%  als ein Paar $(F,u)$ bestehend aus einer
%  mit den $\op{Mod}_k^\DZ$-Strukturen vertr"aglichen "Aquivalenz von Kategorien 
%  $F:\tilde{\mathcal A}\sirra \hat{\mathcal A}$ zusammen mit einer
%  Isotransformation $u:\tilde v\siRa \hat v\circ F$.
%\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Gegeben graduierte Versionen $\tilde v: \tilde{\mathcal A}\ra \mathcal A$
  und $\hat v:\hat{\mathcal B}\ra \mathcal B$ von $k$-linearen abelschen
  Kategorien und einen $k$-linearen Funktor $F:\mathcal A \ra \mathcal B$
  erkl"aren wir eine {\bf graduierte Version von $F$} als ein Paar 
  $(\bar F, \bar u)$ bestehend aus einem mit den $\op{Mod}_k^\DZ$-Strukturen
  vertr"aglichen Funktor $\bar F:\tilde{\mathcal A}\ra \hat{\mathcal B}$
   zusammen mit einer
   Isotransformation $\bar u:F \circ\tilde v \siRa \hat v\circ \bar F$.
   Eine graduierte Version des Identit"atsfunktors zwischen zwei graduierten Versionen nennen wir einen {\bf Versionsvergleich}.
   Zwei graduierte Versionen $(\bar F,\bar u)$ und
   $(\dot F,\dot u)$ von demselben Funktor $F$ zu denselben
   graduierten Versionen der beteiligten Kategorien
   hei"sen {\bf isomorph}, wenn es eine vom Grad Null
   homogene Isotransformation $\iota:\bar F\siRa \dot F$ gibt mit
   $\dot u=\hat v\iota \circ \bar u$.
\end{Bemerkungl}



\begin{Beispiel}[\textbf{Graduierte Versionen von Modulkategorien}] 
Ich denke nun, da"s  gegeben eine endlichdimensionale $k$-Ring\-al\-ge\-bra
  $A$ jede graduierte Version von $A{\op{-Modfd}}$ einen Versionsvergleich
  zu einer unserer graduierten Versionen $v(\tilde A{\op{-Modfd}})$
  f"ur eine $\DZ$-Graduierung $\tilde A$ auf $A$ besitzt und da"s  
  es zwischen den graduierten Versionen
  zu zwei $\DZ$-Graduierungen $\tilde A$, $\hat A$ genau dann
  einen Versionsvergleich gibt, wenn es eine Graduierung auf dem Vektorraum $A$
  gibt derart, da"s er sowohl ein graduierter $\tilde A$-Linksmodul
  als auch ein graduierter $\hat A$-Rechtsmodul ist.
  \nichtfinal{Das vorhergehende ist, soweit ich sehe,
    nur eine Neufassung der \glqq cover
    equivalence\grqq\ aus \cite{Ro-So}, und die Erwartung st"utzt sich auf die
    dort bewiesenen Aussagen.}
\end{Beispiel}


\begin{Beispiel} Ich denke weiter, da"s gegeben
  endlichdimensionale $k$-Ring\-al\-ge\-bren $A,B$ sowie 
  ein endlichdimensionaler $k$-linearer $B$-$A$-Bimodul $X$ und
  Graduierungen $\tilde A$ und $\hat B$ jede graduierte Version $(\bar F,u)$ von
  $F\pdef X\otimes_A:A\op{-Modf}\ra B\op{-Modf}$
  gegeben durch einen Funktor
  $\bar F: v(\tilde A\op{-Modf}^\DZ)\ra v(\hat B\op{-Modf}^\DZ)$ isomorph ist
  zu $ \bar X\otimes_A$ f"ur eine $\DZ$-Graduierung $\bar X$  auf $X$,
  die $\bar X$ zu einem graduierten $\hat B$-$\tilde A$-Bimodul macht.
  Genauer nehmen wir eben  $\bar X\pdef \bar F(\tilde A)$ und erg"anzen die
  offensichtlichen weiteren Daten. 
\end{Beispiel}






\begin{Beispiel} Wenn das alles stimmt, hat die Kategorie der
  $k$-Vektorr"aume bis auf Versionsvergleich nur eine graduierte Version.
  Dasselbe mu"s dann auch f"ur die Moduln "uber jeder Matrixalgebra
  $\op{End}_k(V)$ gelten. Und in der Tat kommt jede Graduierung
  $\tilde A$ auf $A$, wie zuvor besprochen, von einer Graduierung
  $\tilde V$ auf $V$ her und f"ur zwei Graduierungen auf $\tilde V,\hat V$ ist
  $\op{Hom}_k(\tilde V,\hat V)$ der gesuchte vergleichende Bimodul.
\end{Beispiel}





\begin{Bemerkungl}
  \nichtfinal{Ich denke eigentlich, dieser Abschnitt ist wenig hilfreich.
    Eine Dualit"at wird ja im allgemeinen projektive Moduln zu injektiven
    Moduln machen und damit  pa"st das nicht zu unserem einzigen substantiellen
    Beispiel der graduierten projektiven Moduln, weil es bereits auf den ungraduierten projektiven Moduln im allgemeinen keine gescheite Dualit"at geben wird.}
  Jetzt nehmen wir eine Dualit"at $(\alpha, d)$ auf
  einer $k$-linearen Kategorie $\mathcal A$
  als gegeben an. Gegeben eine graduierte Verfeinerung
  $\tilde v:\tilde{\mathcal A}\sirra \mathcal A$ sollte eine
  graduierte Verfeinerung von $(\alpha,d)$ ja wohl eine
  "Aquivalenz $\tilde d:\tilde{\mathcal A}\ra \tilde{\mathcal A}^{\op{opp}}$
  sein, die vertr"aglich ist mit den ${\op{Mod}_k^\DZ$-Strukturen,
    zusammen mit einer Adjunktion $\tilde \alpha: (\tilde d, \tilde d^{\op{opp}})$
    derart, da"s die induzierten Abbildungen
    $$\tilde\alpha_{N,M}:\tilde{\mathcal A}(N,\tilde d M)\sira \tilde{\mathcal A}(M,\tilde d N)$$
    mit den jeweiligen ${\op{Mod}_k^\DZ$-Strukturen vertr"aglich sind
      und wie zuvor gilt $\tilde\alpha_{N,M}\circ \tilde\alpha_{M,N}=\op{id}$
      und dazu sollte eine Isotransformation
      $u: \tilde v \circ\tilde d\siRa d\circ\tilde v$ gegeben sein
      derart, da"s kommutiert
      $$\xymatrix{
        \tilde{\mathcal A}(N,\tilde d M)\ar[d]\ar[rr]^{\tilde\alpha_{N,M}}&& \tilde{\mathcal A}(M,\tilde d N)\ar[d]\\
        \mathcal A(\tilde v N,\tilde v \tilde d M)\ar[d]^u&& {\mathcal A}(\tilde vM,\tilde v\tilde d N)\ar[d]^u\\
        \mathcal A(\tilde v N,d\tilde v  M)\ar[rr]^{\alpha_{\tilde v N,\tilde v M}}&& {\mathcal A}(\tilde vM,d \tilde v N) 
      }$$
      Ich bemerke, da"s   $\tilde\alpha_{N,M}\circ \tilde\alpha_{M,N}=\op{id}$
      automatisch aus dem Diagramm folgt, wenn die Adjunktion $\alpha$
      diese Eigenschaft hat. Ich bemerke auch, da"s mit $\tilde d$ auch
      $[n]\tilde d$ mit dem offensichtlichen $\tilde \alpha$ und $u$
      eine graduierte Verfeinerung von $d$ sein wird.
      Schlie"slich sollte es eine offensichtliche Beziehung zwischen
      graduierten Lifts einer Dualit"at auf zwei Verfeinerungen geben, die
      durch einen Morphismus miteinander verbunden sind, eine Art
      Vorschub von Verfeinerungen von Dualit"aten. 
\end{Bemerkungl}


\subsection{Versuch f"ur Xier zu Graduierung}
\begin{Bemerkungl}
  Ich betrachte zur Vereinfachung die volle Unterkategorie
  $\mathcal O_{\op{int}}\subset \mathcal O$ aller Objekte
  mit ausschlie"slich ganzen Gewichten. Die Kategorie
  $\mathcal O$ ist angereichert in
  $\DC$-Vektorr"aumen und die volle Unterkategorie $\mathcal O_{\op{int}}$
  erbt diese Zusatzstruktur. Wir betrachten nun die volle Unterkategorie
  $$\mathcal P\subset \op{Cat}_\DC(\mathcal O_{\op{int}},\mathcal O_{\op{int}})$$
  aller $\DC$-linearen Funktoren, die isomorph sind zu einer endlichen
  direkten Summe unzerlegbarer projektiver Funktoren. Dazu geh"oren
  etwa die Projektionen $\op{pr}_\chi$ auf einen Block f"ur
  $\chi\in \op{Max}Z$ ganz oder die
  $ (E\otimes)\circ \op{pr}_\chi$ f"ur $E$ eine endlichdimensionale
  Darstellung. Ich mache $\mathcal P$ zu einer in $\DC$-Vektorr"aumen
  angereicherten monotonen Schmelzkategorie (\eref{moMU}{TSK},
  auch bekannt als \glqq Multikategorie\grqq\
  oder \glqq gef"arbte Operade\grqq), indem ich f"ur $r\geq 1$
  eine
  Verschmelzung
  $\phi\in \mathcal P(P_1\curlyvee\ldots\curlyvee P_r,P)$
  erkl"are als eine Transformation $P_1\circ\ldots\circ P_r\RA P$
  und als R"aume von Leerverschmelzungen die Nullr"aume nehme.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl} Wir betrachten allgemein monotone Schmelzkategorien,
  die angereichert sind in der Schmelzkategorie der $\DZ$-graduierten
  $\DC$-Vektorr"aume. Wenn es darin f"ur jedes
  Objekt $P$ und alle $n\in \DZ$ ein weiteres Objekt $P'$ und einen
  Isomorphismus $P\sira P'$ vom Grad $n$ gibt, so sagen wir, sie
  seien {\bf graduierungsvollst"andig}.\index{graduierungsvollst"andig}
  oder \glqq haben Shifts\grqq\ \ref{HaSi}. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
  Eine {\bf graduierte Version} einer $\DC$-linearen
  alias in $\DC$-Vektorr"aumen angereicherten monotonen Schmelzkategorie
  $\mathcal P$ ist ein Datum $$(\tilde{\mathcal P}, \tilde v)$$
  bestehend aus einer in $\DZ$-graduierten $\DC$-Vektorr"aumen angereicherten
  graduierungsvollst"andigen
  monotonen Schmelzkategorie $\tilde{\mathcal P}$ und einem Schmelzfunktor
  $\tilde v: \tilde{\mathcal P} \ra \mathcal P$ "uber dem Schmelzfunktor des
  Vergessens der
  Graduierung $\op{Mod}_\DC^\DZ\ra \op{Mod}_\DC$ im
  Sinne von $\eref{SCAmm}{TSK}$, der eine "Aquivalenz zwischen
  der mit dem Vergessen der Graduierung umstrukturierten monotonen Schmelzkategorie $\tilde{\mathcal P}$
  und der urspr"unglichen angereicherten monotonen Schmelzkategorie
  $\mathcal P$ induziert.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Versuch einer Vermutung}]
    Die $\DC$-lineare Schmelzkategorie projektiver Funktoren $\mathcal P$ 
    besitzt eine graduierte Version
    $(\tilde{\mathcal P}, \tilde v)$, die vertr"aglich ist
    mit der Operation des Zentrums in dem Sinne, da"s f"ur
    $\chi\in \op{Max}Z$ ein ganzer zentraler Charakter die Operation von
    $Z/\chi^n$ von rechts und
    links f"ur $n\geq |R^+|$
    auf allen Objekten von $\tilde{v}({\tilde{\mathcal P}})$ 
    homogen ist in Bezug auf die in [Rottmaier-Soergel] 1.11 erkl"arte
    nat"urliche Graduierung auf $Z/\chi^n$, mit der Ma"sgabe, da"s
    die Operation \glqq als Null zu verstehen ist auf den Anteilen, die nicht
    beim zentralen Charakter $\chi$ beginnen beziehungsweise enden\grqq.
    Gegeben eine weitere graduierte Version $(\hat{\mathcal P}, \hat v)$,
    die vertr"aglich ist mit der Operation des Zentrums, gibt es
    eine "Aquivalenz von angereicherten Schmelzkategorien
    $\psi:\hat{\mathcal P}\sirra \tilde{\mathcal P}$ und
    eine Isotransformation
    $$\iota:\tilde{v}\circ \psi \siRa \hat{v}$$ derart,
    da"s gegeben $\hat P, \hat Q\in \hat{\mathcal P}$ die Abbildung
    $$\mathcal P(\hat v\hat P, \hat v\hat Q)\sira \mathcal P(\tilde{v}\psi \hat P, \tilde{v}\psi\hat Q)$ durch $(\iota_{\hat Q}^{-1}\circ)\circ (\circ \iota_{\hat P})$ homogen ist vom Grad Null. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl} Beweisstrategie: Die monotone Schmelzkategorie
  $\mathcal P$ ist "aquivalent zur Schmelzkategorie aller
  endlichen Summen von Objekten von $C_\lambda{\op{-SMod-}}C_\mu$
  f"ur $\lambda,\mu$ ganze $\rho$-dominante Gewichte.
  Diese Schmelzkategorie ist so explizit, da"s man hoffen kann,
  die Aussage daf"ur zu zeigen. Das wesentliche Problem scheint mir zu sein,
  welche Art Eindeutigkeit man erreichen kann. Ich denke, da"s die
  Eindeutigkeit hier viel besser werden sollte als in der Arbeit mit
  Rottmaier, weil wir viel st"arkere Vertr"aglichkeiten fordern und fordern
  k"onnen, wenn wir nicht nur eine abelsche Kategorie betrachten, sondern
  dieses ganze Geflecht von Funktoren.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl} [15.10.2025]
  Ich denke, jede erlaubte Graduierung der Schmelzkategorie kann man erhalten
  wie folgt: Man w"ahlt eine Familie unzerlegbarer singul"arer Bimoduln $U_i$,
  einen von jeder Isomorphieklasse, ungraduiert, und betrachtet nur diese
  Objekte. (Nachher noch direkte Summen dazunehmen ist einfach.)
  Man w"ahlt auf jedem $U_i$ eine $\DZ$-Graduierung vertr"aglich mit der Standardgraduierung
  auf den $C_\lambda$ und notiert das graduierte Dingens  $\hat U_i$.
  Von dem nehme man auch im Grad verschobene Kopien.
  Jetzt betrachtet man die Verschmelzungen
  $\mathcal T(U_{i(1)}\curlyvee\ldots \curlyvee U_{i(r)}, U_{i(0)})$ mit ihrer
  durch die gew"ahlte Graduierung auf den $\hat U_i$ gegebenen $\DZ$-Graduierungen.
  Das ist dann eine erlaubte $\DZ$-Graduierung und jede erlaubte $\DZ$-Graduierung
  sollte so entstehen.
  Kannst Du das pr"azise machen und beweisen?
\end{Bemerkungl}







\newpage
\begin{Bemerkungl}
  Jetzt nehmen wir eine Dualit"at $(\alpha, d)$ auf
  einer $k$-linearen abelschen Kategorie $\mathcal A$
  als gegeben an. Wir erkl"aren sie wie in \ref{klD}.
  Gegeben eine graduierte Version
  $\tilde v:\tilde{\mathcal A}\ra \mathcal A$ definieren wir eine
  {\bf graduierte Version von $(\alpha,d)$}
  als ein Tripel $(\tilde d, \tilde\alpha, u)$ bestehend aus einer
  "Aquivalenz $\tilde d:\tilde{\mathcal A}\ra \tilde{\mathcal A}^{\op{opp}}$,
  die vertr"aglich ist mit den ${\op{Mod}_k^\DZ$-Strukturen,
    zusammen mit einer Adjunktion $\tilde \alpha: (\tilde d, \tilde d^{\op{opp}})$
    derart, da"s die induzierten Abbildungen
    $$\tilde\alpha_{N,M}:\tilde{\mathcal A}(N,\tilde d M)\sira \tilde{\mathcal A}(M,\tilde d N)$$
    mit den jeweiligen ${\op{Mod}_k^\DZ$-Strukturen vertr"aglich sind
      und da"s wie zuvor gilt
      $\tilde\alpha_{N,M}\circ \tilde\alpha_{M,N}=\op{id}$, 
      und  einer Isotransformation
      $u: \tilde v \circ\tilde d\siRa d\circ\tilde v$ 
      derart, da"s kommutiert
      $$\xymatrix{
        \tilde{\mathcal A}(N,\tilde d M)\ar[d]\ar[rr]^{\tilde\alpha_{N,M}}&& \tilde{\mathcal A}(M,\tilde d N)\ar[d]\\
        \mathcal A(\tilde v N,\tilde v \tilde d M)\ar[d]^u&& {\mathcal A}(\tilde vM,\tilde v\tilde d N)\ar[d]^u\\
        \mathcal A(\tilde v N,d\tilde v  M)\ar[rr]^{\alpha_{\tilde v N,\tilde v M}}&& {\mathcal A}(\tilde vM,d \tilde v N) 
      }$$
      Ich bemerke, da"s   $\tilde\alpha_{N,M}\circ \tilde\alpha_{M,N}=\op{id}$
      automatisch aus dem Diagramm folgt, wenn die Adjunktion $\alpha$
      diese Eigenschaft hat. Ich bemerke auch, da"s mit $\tilde d$ auch
      $[n]\tilde d$ mit dem offensichtlichen $\tilde \alpha$ und $u$
      eine graduierte Version von $d$ sein wird.
      Schlie"slich sollte es eine offensichtliche Beziehung zwischen
      graduierten Lifts einer Dualit"at auf zwei Versionen geben, die
      durch einen Morphismus miteinander verbunden sind, eine Art
      Vorschub von Versionen von Dualit"aten. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl} Gegeben eine endlichdimensionale $k$-Ringalgebra $A$
  mit einer Graduierung $\tilde A$ und die graduierte Version 
  $$\tilde v: v(\tilde A{\op{-Modf}}^\DZ)\ra A{\op{-Modf}}$$
  und eine Dualit"at $d$ auf $ A{\op{-Modf}}$ mu"s ein graduierter Lift dieses
  $k$-linearen Funktors isomorph sein zum Funktor gegeben durch
  einen graduierten $k$-linearen
  $\tilde A^{\op{opp}}$-$\tilde A$-Bimodul $\bar D$. 
  \nichtfinal{etc.} 
\end{Bemerkungl}






\begin{Bemerkungl} Wenn ich jetzt alles richtig gemacht habe, ist
  jede  Dualit"at auf $A{\op{-Moded}}$
  dann isomorph (wie genau?) zur Dualit"at gegeben durch
  ein Paar $(\varphi,u)$ aus einem Ringalgebrenisomorphismus 
 $\varphi:A^{\op{opp}}\sira A$ und einer Einheit  $u\in A^\times$
  mit $u\varphi(b)u^{-1}=\varphi^{-1}(b)$ f"ur alle $a,b\in A$ und mit 
  $\varphi(u)=u$. 
  Weiter w"are jede graduierte Version davon isomorph (wie genau?)
  hmm, und jetzt? 
\end{Bemerkungl}


\newpage
\subsection{Alter Schrott}
\begin{Beispiel}
  Gegeben eine $k$-Ringalgebra $A$ und darauf zwei Graduierungen
  $\tilde A$ und $\hat A$ ist eine mit den
  $\op{Mod}_k^\DZ$-Strukturen vertr"agliche "Aquivalenz von Kategorien 
  $$F:[\tilde A]\sirra [\hat A]$$ ein Isomorphismus von
  $F:\tilde A\sirra \hat A$ von $\DZ$-graduierten Ringalgebren.
  Eine Isotransformation wie oben ist eine Einheit $u\in A^\times$
  mit $u F(a)=a u$ f"ur alle $a\in A$. Anders gesagt mu"s unser
  $F$ also die Konjugation mit einer Einheit von $A$ sein. 
\end{Beispiel}

\begin{Bemerkungl}
  Die von der Relation der Existenz von Morphismen von Verfeinerungen
  erzeugte "Aquivalenzrelation auf der Menge aller graduierten Verfeinerungen
  einer $k$-linearen Kategorie $\mathcal A$ nennen wir
  {\bf "Aquivalenz von Verfeinerungen}. 
  \end{Bemerkungl}

\begin{Beispiel} 
\end{Beispiel}



\begin{Bemerkungl} Ich werde irgendwann \eref{GrMA}{AAG} brauchen,
  wonach gegeben ein endlichdimensionaler $k$-Vektorraum $V$ f"ur
  $k$ algebraisch abgeschlossen von der Charakteristik Null
  jede $\DZ$-Graduierung auf $\op{End}_k(V)$ von einer
   $\DZ$-Graduierung auf $V$ herkommt.
\end{Bemerkungl}





  $\op{Mod}_k^\DZ$-Kategorie $\mathcal A^\DZ$ mit einem
  angereicherten Funktor $$V/v: \mathcal A^\DZ/\op{Mod}_k^\DZ\ra \mathcal A/\op{Mod}_k$$ in Bezug auf das Vergessen der Graduierung $v:  \op{Mod}_k^\DZ\ra \op{Mod}_k$, der eine "Aquivalenz von $\op{Mod}_k$-Kategorien
  $v(\mathcal A^\DZ/\op{Mod}_k^\DZ)\sirra \mathcal A/\op{Mod}_k$
  von der Umstrukturierung \ref{Umstr} von $\mathcal A^\DZ$ mit $v$
  nach $\mathcal A$ induziert.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl} Wir sagen, eine
  $\op{Mod}_k^\DZ$-Kategorie $\mathcal A^\DZ/\op{Mod}_k^\DZ$ {\bf habe Gradverschiebungen}, wenn es f"ur alle Objekte $X\in \mathcal A^\DZ$ und alle
  $n\in \DZ$ ein Paar $(X[n],g_x)$ gibt aus einem Objekt
  $X[n]$ und einem Isomorphismus $g_X:X\sira X[n]$,
  der homogen ist vom Grad $n$, in Formeln $g_X\in (\mathcal A^\DZ(X,X[n]))^n$. 
\end{Bemerkungl}

\newpage
\begin{Bemerkungl}  
 Gegeben ein
  K"orper $k$ und eine endlichdimensionale $k$-Ringalgebra $A$
  liefert das Dualisieren des zugrundeliegenden Vektorraums
  auch eine "Aquivalenz von Kategorien
  $$E: (A\op{-Modfd})^{\op{opp}} \sirra A^{\op{opp}}\op{-Modfd}$$
  Die Evaluationen $V\sira V^{**}$ sollten Adjunktionen $(E,D)$ und $(D,E)$
  f"ur $D$ wie in \ref{DdD} induzieren. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Beispiel} (Alt, irrelevant.)
  Seien $k$ ein K"orper und $A$ eine $k$-Ringalgebra
  und $[A]$ die zugeh"orige $k$-lineare Ein-Objekt-Kategorie.
  Eine $k$-lineare "Aquivalenz $d:[A]\sirra [A]^{\op{opp}}$ mu"s nur auf den
  Morphismen angegeben werden und ist damit
  dasselbe wie ein Ringalgebrenisomorphismus
  $d:A\sira A^{\op{opp}}$. Wir notieren ihn auf Elementen
  $a\mapsto \bar a$. Eine Adjunktion $\alpha: (d,d^{\op{opp}})$
  ist ein Isomorphismus von
  $k$-Vektorr"aumen $\alpha:A\sira A$ oder suggestiver
$\alpha:A^{\op{opp}}\sira A$ 
  derart, da"s gilt
   $\alpha(ba \bar c)= c\alpha(a)\bar b$ f"ur alle $a,b,c\in A$. 
  Das Paar $(d,\alpha)$ ist eine  $k$-lineare Dualit"at genau dann,
  wenn gilt $$\alpha^2=\op{id}_A$$
  \nichtfinal{Wenn wir $d^2=\op{id}_A$ h"atten, k"onnten wir $\alpha=d$ nehmen.
    Es scheint, da"s folgt $\bar b\alpha(1)=\alpha(b)=\alpha(1)\bar b$. }
 \end{Beispiel}

\begin{Definition} \nichtfinal{Alt!}
  Eine {\bf Dualit"at}\index{Dualit"at} auf einer
  Kategorie $\mathcal C$ ist ein Paar
  $$\delta\pdef (D^\delta,\delta)$$
  bestehend aus einem Funktor $D^\delta:\mathcal C\times \mathcal C\ra \op{Ens}$
  und einer Transformation $\delta:D^\delta\RA D^\delta\circ \tau$
  mit $\delta^2=\op{id}$
  f"ur $\tau:\mathcal C\times \mathcal C\ra \mathcal C\times \mathcal C$ die
  Vertauschung der Faktoren. Wir fordern au"serdem, da"s $Y\mapsto D^\delta(X,Y)$
  dargestellt werden kann durch ein Objekt $dX$ in dem Sinne, da"s es ein
  Paar $(dX, v)$ gibt aus einem Objekt und einer Isotransformation
  $v:D^\delta(X,Y)\siRa  \mathcal C(dX,Y)$ von Mengenfunktoren in $Y$.
\end{Definition}

\begin{Beispiel} Im Fall der Kategorie $\mathcal C=\op{Modfg}_k$ der
  endlichdimensionalen Vektorr"aume "uber einem K"orper $k$
  k"onnten wir zum Beispiel $D^\delta(V,W)\pdef \op{Hom}_k(V^*, W)$ nehmen
  und $\delta: \op{Hom}_k(V^*, W)\ra \op{Hom}_k(W^*, V)$ erkl"aren als
  die Transposition
  gefolgt vom Nachschalten des Inversen des Auswertungsisomorphismus
  $V\sira V^{**}$. In diesem Fall ist $\mathcal C$ sogar eine $k$-lineare
  Kategorie und  $D^\delta$ ein jeder Variablen ein $k$-linearer
  Funktor nach $\op{Modfg}_k$.
\end{Beispiel}


%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "XXTSK"
%%% End: