\section{Unfertiges} \subsection{Versuch zum Vierfarbensatz, KLAPPT NICHT!} \begin{Bemerkungl} Wir betrachten Landkarten auf der Zweisph"are, bei denen jede Fl"ache hom"oomorph ist zu $\DR^2$ und jede Kante hom"oomorph zu $\DR$ und bei denen jede Kante im Abschlu"s zweier verschiedener Fl"achen liegt. Durch das Aufblasen von Ecken ziehen wir uns zus"atzlich auf den Fall zur"uck, da"s in jeder Ecke genau drei Kanten ankommen. Landkarten mit diesen beiden Eigenschaften nennen wir {\bf erlaubte Landkarten}. Es ist klar, da"s es in erlaubten Landkarten keine Fl"ache mit nur einer Kante geben kann. Es ist klar, da"s wir in erlaubten Landkarten bei jeder Fl"ache mit mindestens drei Kanten eine Kante finden derart, da"s bei Weglassen dieser Kante und Zusammenf"ugen von Kanten an ihren beiden Enden wieder eine erlaubte Landkarte entsteht, mit einer Fl"ache weniger, drei Kanten weniger und zwei Ecken weniger. Haben wir schlie"slich eine Fl"ache mit genau zwei Kanten, und geh"oren diese beiden Kanten beide nur zu Fl"achen mit zwei Kanten, so "uberlegt man sich leicht, da"s unsere Landkarte, wenn sie denn eralubt ist, \nichtfinal{bis auf Isomorphismus} die Landkarte mit genau zwei Ecken sein mu"s, die durch drei Kanten verbunden sind. Wir k"onnen also jede erlaubte Landkarte induktiv erhalten, indem wir von dieser Landkarte ausgehen und eine Fl"ache als \glqq au"sen\grqq\ auszeichnen wiederholt zwei Ecken auf Kanten der Au"senfl"ache hinzunehmen und diese durch eine Kante verbinden und von der so in zwei geteilten Au"senfl"ache einen Teil zur neuen Au"senfl"ache erkl"aren. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Eine F"arbung einer erlaubten Landkarte ist eine Zweikette mit Koeffizienten in der vierelementigen Gruppe $\mathbb F_2^2$, deren Rand auf keiner Kante verschwindet. Weil die erste Homologie der Zweisph"are verschwindet, reicht es, die Existenz eines Einszykels nachzuweisen, der auf keiner Kante verschwindet, um die Existenz einer F"arbung mit h"ochstens vier Farben zu folgern. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ich will st"arker durch Induktion "uber die Zahl der Kanten f"ur alle erlaubten Landkarten zeigen, da"s jeder Nullzykel des augmentierten Komplexes, der nur auf den Punkten auf dem Rand eines ausgezeichneten Landes m"oglicherweise von Null verschieden ist, der Rand einer Einskette ist, die auf keiner Kante verschwindet. Als Induktionsbasis nehmen wir den Fall der erlaubten Landkarte mit zwei Ecken. Hier pr"uft man die Behauptung leicht explizit. Jetzt kommt der Induktionsschritt. KLAPPT NICHT! Die neue Kante "uberbr"uckt entweder mehr als eine Ecke, oder nur genau eine Ecke, oder gar keine Ecke. Wir beginnen mit dem ersten dieser drei F"alle. Seien $x,y\in \mathbb F_2^2$ die vorgegebenen Farben der neu hinzugef"ugten Ecken. Seien $c,d$ vorherigen F"arbungen der Kanten, die nun durch eine weitere Kante verbunden werden, wenn alle "uberbr"uckten Ecken Farbe Null haben au"ser der Ersten, die Farbe $r=x+y$ habe. Die nicht-"uberbr"ckten H"alften der geteilten Kanten sollen ihre Farben $c,d$ behalten, aber wir suchen eine F"arbung $z\neq 0$ der neuen Kante und neue F"arbungen $c_1,d_1\neq 0$ der "uberbr"ckten H"alften der geteilten Kanten derart, da"s die Zykelbedingungen $c+c_1+z=x$ sowie $d+d_1+z=y$ gelten. Von den drei von Null verschiedenen m"oglichen $z\in\mathbb F_2^2$ f"uhrt mindestens eines zu $c_1\neq 0$ und $d_1\neq 0$. \end{Bemerkungl} \newpage \subsection{Pr"aschrott} \begin{Satz}[\textbf{Der Grenzkettengarbenkomplex als dualisierende Garbe}] Sei $k$ ein K"orper und\label{DGKK} $X$ ein lokal zusammenziehbarer separabler lokal kompakter \hyperref[vern]{kompaktrelativ homologisch endlicher} Hausdorffraum derart, da"s der Funktor $\Gamma_!:k\op{-Mod}_{/X}\ra k\op{-Mod}$ von endlicher homologischer Dimension ist. So ist der Komplex ${\op{G}}^!_{X,k}$ der Grenzkettengarben mit Koeffizienten in $k$ eine Realisierung der dualisierenden Garbe mit Koeffizienten in $k$, in Formeln $$ {\op{G}}^!_{X,k}\cong \op{fin}^! k_{\op{top}}$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Ich w"u"ste gerne, ob das auch mit $\DZ$-Koeffizienten richtig ist. Oben gelingt es mir nur, das $\DZ$-Koeffizienten unter st"arkeren Annahmen zu zeigen. Andererseits braucht man die Aussage in dieser Allgemeinheit vermutlich eh nicht, deshalb soll auch dieser Satz tendenziell verschrottet werden. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Sei zun"achst $X$ ein beliebiger lokal kompakter Hausdorffraum. Gegeben ein Kompaktum $K\subset X$ erhalten wir aus der kurzen exakten Sequenz $${{\op{G}}}(X\backslash K)\hra{{\op{G}}}(X) \sra {{\op{G}}}(X,X\backslash K) $$ einen Isomorphismus ${{\op{G}}}(X,X\backslash K)^\ast\sira \{s\in \Gamma(\mathcal{G}_X)\mid s|_{(X\backslash K)}=0\}$. Durch "Ubergang zum Kolimes "uber alle Kompakta ergibt sich ein Isomorphismus $$\textstyle \op{colf}_K\left({{\op{G}}}(X,X\backslash K)^\ast\right)\sira\Gamma_!(X;\mathcal{G}_X)$$ und durch "Ubergang zum Dualraum auf beiden Seiten ein Isomorphismus $$\textstyle\op{limf}_K\left({{\op{G}}}(X,X\backslash K)^{\ast\ast}\right)\sira\Gamma_!(X;\mathcal{G}_X)^\ast$$ Ist der Funktor $\Gamma_!:k\op{-Mod}_{/X}\ra k\op{-Mod}$ von endlicher homologischer Dimension und ist $X$ lokal zusammenziehbar oder besitzt allgemeiner jeder Punkt ein Fundamentalsystem von Umgebungen $U$ mit ${\op{H}}^0(U;k)=k$ und ${\op{H}}^q(U;k)=0$ f"ur $q>0$, so ist $\mathcal{G}_X$ eine kompaktweiche Aufl"osung der konstanten Garbe $k_X$ und nach \ref{BDGk} ist der Komplex der Garben $\mathcal I^{-p}:U\mapsto\Gamma_!(U;\mathcal{G}_X^{p})^\ast$ die dualisierende Garbe $\op{fin}^!k_{\op{top}}$ f"ur $\op{fin}:X\ra \op{top}$ die konstante Abbildung auf den einpunktigen Raum. Ist nun $X$ zus"atzlich kompaktrelativ homologisch endlich im Sinne von \ref{vern} und separabel, so k"onnen wir mit \ref{QILcj} folgern, da"s die kanonische Abbildung in den Bidualraum $$\textstyle\op{limf}_K\left({{\op{G}}}(X,X\backslash K)\right) \ra \op{limf}_K\left({{\op{G}}}(X,X\backslash K)^{\ast\ast}\right)$$ ein Quasiisomorphismus sein mu"s. Das gilt genauso f"ur alle offenen Teilmengen $U\co X$ und liefert uns Quasiisomorphismen von Komplexen von Vektorr"aumen ${{\op{G}}}^!_p(U)\ra \mathcal I^{-p}(U)$. Diese induzieren dann den gew"unschten Quasiisomorphismus von Komplexen von Garben. \end{proof} \subsection{Reste zur Schnittpaarung} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Poincar\'{e}-Dualit"at mit lokal endlichen Ketten}] Gegeben ein topologischer Raum $X$ liefert unsere Formel \ref{Excap} f"ur das cap-Produkt auch eine Kettenabbildung $${\op{S}}_!^{\ast} X \otimes {\op{S}}^!X \ra {\op{S}}X$$ Wir notieren auch diese Verkn"upfung $b \otimes z \mapsto b \cap z$ und nennen sie ein {\bf cap-Produkt}.\index{cap-Produkt!mit lokal endlicher Kette} Ist\label{SiPoi} $(M,\omega)$ eine abz"ahlbar basierte orientierte $n$-Mannigfaltigkeit, so k"onnen wir das Auswerten auf dem Fundamentalzykel im Sinne von \ref{COr}, das nach \ref{APD} den Isomorphismus der Poincar\'{e}-Dualit"at liefert, als den Effekt auf der Kohomologie einer und jeder Kettenabbildung $$\cap\omega:{\op{S}}_!^{\ast} M [n]\ra {\op{S}}M$$ interpretieren, die mit diesen Begriffsbildungen nun in der Tat durch das Darancappen eines und jedes Repr"asentanten $\omega\in {\op{S}}^!M$ des Fundamentalzykels gegeben wird. Die Wahl eines anderen Repr"asentanten f"uhrt offensichtlich zu einer homotopen Kettenabbildung und liefert folglich dieselbe Abbildung auf der Kohomologie. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungw}[\textbf{Schnitte und Poincar\'e-Dualit"at, Variante}] In der derivierten Kategorie der Kategorie abelscher Gruppen ist unser $\cap\omega:{\op{S}}_!^{\ast} M [n]\ra {\op{S}}M$ aus \ref{SiPoi} f"ur eine abz"ahlbar basierte orientierte $n$-Mannigfaltigeit $M$ ein Isomorphismus und wir k"onnen die Komposition $${\op{S}}^! \otimes {\op{S}}\ra {\op{S}}^! \otimes {\op{S}}\otimes {\op{S}}\ra {\op{S}}^! \otimes {\op{S}}_![n]\otimes {\op{S}}\ra {\op{S}}[n]$$ betrachten. Ihr Effekt auf der Homologie sind Paarungen ${\op{H}}^!_p(M) \times {\op{H}}_q(M)\ra{\op{H}}_{p+q-n}(M)$ alias $${\op{H}}^!_{n-i}(M) \times {\op{H}}_{n-j}(M)\ra{\op{H}}_{n-(i+j)}(M)$$ Diese Paarungen kann man anschaulich als Schnitt von Zykeln gut verstehen. Ich mu"s das allerdings noch beweisen. Man kann das sogar etwas allgemeiner f"ur eine Teilmenge $A\subset M$ die Komposition $${\op{S}}^!A \otimes {\op{S}}A\ra {\op{S}}^!M \otimes {\op{S}}A\otimes {\op{S}}A\ra {\op{S}}^!M \otimes {\op{S}}M\otimes {\op{S}}A\ra {\op{S}}^!M \otimes {\op{S}}_!M[n]\otimes {\op{S}}A\ra {\op{S}}A[n]$$ betrachten. Mir scheint, da"s $A$ hier ganz beliebig sein darf, aber ich habe es mir nicht so genau "uberlegt. Der Effekt auf der Homologie ist eine Paarung $${\op{H}}^!_{n-i}(A) \times {\op{H}}_{n-j}(A)\ra{\op{H}}_{n-(i+j)}(A)$$ Diese Paarungen kann man auch anschaulich als Schnitt von Zykeln gut verstehen, wobei vorher der erste lokal endliche Zykel \glqq in $M$ so bewegt wird, da"s er in $M$ zum zweiten Zykel transversal wird\grqq. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungw}[\textbf{Schnittpaarung und Poincar\'e-Dualit"at, Variante}] Der Isomorphismus der allgemeinen Poincar\'e-Dualit"at ist meiner Anschauung schwer zug"anglich. Er liefert jedoch im Verbund mit unserer Variante der Kroneckerpaarung $\mathrm H^q_! (X)\times \mathrm H^!_q (X) \rightarrow \DZ$ aus \ref{kpV} eine wohlbestimmte Paarung \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \mathrm H_{n-q}(M) \times \mathrm H^!_q(M)& \rightarrow &\mathbb Z\\ (\zeta\;,\; \xi) \;\;\;& \mapsto & \zeta \cdot \xi \end{array} \end{displaymath} Diese Paarung oder vielmehr ihr Analogon mit K"orperkoeffizienten liefert im Fall einer abz"ahlbar basierten Mannigfaltigkeit nach \ref{BMHD} einen Isomorphismus der lokal endlichen Homologie mit dem Dualraum der Homologie im komplement"aren Grad und kann anschaulich in Verallgemeinerung von \ref{SPoD} wieder als Schnittpaarung interpretiert werden. Genauer kann man folgendes zeigen: Gegeben eine orientierte abgeschlossene $q$-dimensionale Untermannigfaltigkeit $X\As M$, also eine abgeschlossene Teilmenge, die mit der Spurtopologie eine $q$-dimensionale Mannigfaltigkeit ist und die als solche mit einer Orientierung versehen ist, erhalten wir ja nach \ref{FuBM} einen Fundamentalzykel $\omega_X \in \mathrm H^!_qX$, dessen Bild in der Homologie von $M$ wir kurzerhand $\omega_X \in \mathrm H^!_q M$ notieren. Gegeben eine orientierte kompakte $(n-q)$-dimensionale Untermannigfaltigkeit $Y\As M$ erhalten wir bereits nach \ref{FZ} einen Fundamentalzykel $\omega_Y \in \mathrm H_{n-q}Y$, dessen Bild in der Homologie von $M$ wir $\omega_Y\in \mathrm H_{n-q} M$ notieren. Es m"ogen nun $X \As M$ und $Y \As M$ endlichen Schnitt $|X \cap Y| < \infty$ haben. Wir nehmen zus"atzlich an, da"s es um jeden Punkt $s \in X \cap Y$ eine offene Umgebung $U \co M$ und einen Hom"oomorphismus $U \overset{\sim}{\rightarrow} \mathbb R^n$ gibt, unter dem die von $M$ auf $U$ induzierte Orientierung der Standardorientierung des $\DR^n$ entspricht, und der Hom"oomorphismen $X \cap U \overset{\sim}{\rightarrow} \mathbb R^q \times 0^{n-q}$ sowie $Y \cap U \overset{\sim}{\rightarrow} 0^q\times \mathbb R^{n-q}$ induziert. Erkl"aren wir schlie"slich die Vorzeichen $\epsilon (s), \eta (s)$ dadurch, da"s sie angeben, ob unsere letzten beiden Hom"oomorphismen die vorgegebenen Orientierungen auf $X, Y$ mit den Standard\-orientierungen auf $\mathbb R^q, \mathbb R^{n-q}$ identifizieren oder nicht, so gilt f"ur die Paarung der zu $X$ und $Y$ geh"origen Fundamentalzykel $\omega_X$ und $\omega_Y$ die Formel \begin{equation*} \omega_X \cdot \omega_Y = \sum_{s \in X \cap Y} \epsilon (s) \eta (s) \end{equation*} Die durch diese Eigenschaft ausgezeichnete Paarung hei"st wieder eine {\bf Schnittpaarung}\index{Schnittpaarung}. Der Nachweis der hier aufgestellten Behauptungen wird uns allerdings noch lange besch"aftigen. \end{Bemerkungw} \subsection{Anschauung im nichtkompakten Fall}\label{AbHp} \begin{Bemerkungl}\emph{Sp"ater!} In derselben Weise erkl"aren wir die Komplexe ${\op{S}}^{!\op{os}} \Delta (\check{\mathcal K})$ beziehungsweise ${\op{S}}^\ast_{!\op{os}} \Delta (\check{\mathcal K})$ mitsamt Isomorphismen von Komplexen nach ${\op{S}}^{!} \check{\mathcal K}$ beziehungsweise ${\op{S}}^\ast_{!} \check{\mathcal K}$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Sei nun unser Simplizialkomplex $\mathcal K$ eine Triangulierung einer nicht notwendig kompakten abz"ahlbar basierten orientierten $n$-Mannigfaltigkeit. Wir w"ahlen eine Anordnung $\leq$ auf der Menge $E$ der Ecken von $\mathcal K$. Der Fundamentalzykel von $\Delta (\mathcal K)$ im Sinne von \ref{FZbm} hat wegen \ref{SiIB} genau einen Repr"asentanten in den lokal endliche Simplizialketten und damit auch genau einen Repr"asentanten $\omega \in {\op{S}}^{!\op{os}}_{n} \Delta (\mathcal K)$ in der in hoffentlich offensichtlicher Weise definierten Gruppe der ordnungsvertr"aglichen simplizialen lokal endliche $n$-Ketten. Nach \ref{FuZY} hat er Gestalt \begin{equation*} \omega = \sum_{s \in \mathcal K_n } \varepsilon (s) \langle s \rangle \end{equation*} f"ur wohlbestimmtes $\varepsilon : \mathcal K_n \rightarrow \{\pm 1\}$ mit $\langle s \rangle$ dem zum $n$-Simplex $s$ geh"origen angeordneten $n$-Simplex wie im Beweis von \ref{SH}. Wenden wir darauf die baryzentrische Unterteilung an, so erhalten wir den Repr"asentanten \begin{equation*} \check{\omega} = \sum_{s \in \mathcal K_n ,\; \pi \in \mathcal S_{n+1}} \varepsilon (s) \op{sgn}(\pi) (\langle s \rangle \circ \pi)^\vee \end{equation*} des Fundamentalzykels in ${\op{S}}_n^{!\op{os}} \Delta (\check{\mathcal K})$. Die weitere Argumentation wird ausgehen vom Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ {\op{C}}^\ast_{!} \Delta (\check{\mathcal K})[n] \ar@{-->}[r] & {\op{S}}^{\op{os}} \Delta ({\mathcal K}) \ar[dd]^b\\ &\\ {\op{S}}^\ast_{! \op{os}} \Delta (\check{\mathcal K})[n] \ar[r]^{\cap \check{\omega}} \ar@{-->}[uu] \ar@{-->}[uur] & {\op{S}}^{\op{os}} \Delta (\check{\mathcal K}) } \end{displaymath} Die durchgezogenen Pfeile sind uns bereits bekannt, die rechte Vertikale ist modulo unserer Identifikation von Simplizialketten mit ordnungsvertr"aglichen simplizialen Ketten das baryzentrische Unterteilen, die untere Horizontale die Restriktion auf ordnungsvertr"agliche simpliziale Ketten unserer Poincar\'{e}-Dualit"at auf singul"aren Ketten aus \ref{SiPoi}. Unser Ziel ist die Erg"anzung durch Kettenabbildungen wie durch die gestrichelten Pfeile angedeutet zu einem kommutativen Diagramm von Homotopie"aquivalenzen, dessen obere Horizontale dann die geometrische Bedeutung des Dualit"ats-Isomorphismus klar macht. Als ersten Schritt in diese Richtung behaupte ich, da"s die durch $\cap \check{\omega}$ gegebene Kettenabbildung wie durch den schr"agen gestrichelten Pfeil angedeutet "uber unsere baryzentrische Unterteilung $b$ faktorisiert. Ein $q$-Simplex $\check{u} \in \check{\mathcal K}_q$ ist ja per definitionem eine echt aufsteigende Kette $\check{u}_0 \subsetneqq \check{u}_1 \subsetneqq \ldots \subsetneqq \check{u}_q$ von Simplizes von $\mathcal K$. Die zugeh"origen $\langle \check{u} \rangle$ bilden eine ${\mathbb Z}$-Basis von $\op{S}_q^{\op{os}}\Delta (\check{{\mathcal K}})$ und die zugeh"origen Linearformen bilden eine ${\mathbb Z}$-Basis $\langle \check{u} \rangle^*$ von $\op{S}_{!\op{os}}^q \Delta (\check{{\mathcal K}})$. F"ur das cap-Produkt $\langle \check{u}\rangle^* \cap \check{\omega}$ mit dem Fundamentalzykel erhalten wir nach \ref{Excap} die Darstellung \[ \langle \check{u} \rangle^* \cap \check{\omega} = (-1)^{q(n-q)} \sum_{s \in {\mathcal K}_n,\; \pi \in {\mathcal S}_{n+1} } \varepsilon(s)\op{sgn}(\pi) \langle \langle \check{u} \rangle^*, (\langle s\rangle \circ \pi)^\vee \rho^q \rangle \; (\langle s\rangle \circ \pi)^\vee \lambda^{n-q} \] Insbesondere ist die rechte Seite nur dann nicht Null, wenn $\check{u}$ die Gestalt $\check{u}_0\subsetneqq \ldots \subsetneqq \check{u}_q$ hat mit $\check{u}_0 \in {\mathcal K}_{n-q}$ und dann nat"urlich auch $\check{u}_i \in {\mathcal K}_{n-q+i}$ f"ur alle $i$. Seien nun $u_1,\dots,u_q \in E$ die Ecken des urspr"unglichen Komplexes mit $\check{u}_i = \check{u}_{i-1} \cup \{u_i\}$, so da"s also gilt $\check{u}_q = \check{u}_0 \cup \{u_1,\dots,u_q\}$. Sei $s = (s_0,s_1,\dots,s_n)$ die angeordnete Darstellung des $n$-Simplex $s$. Auf der rechten Seite liefert nur $s = \check{u}_q \in {\mathcal K}_n$ von Null verschiedene Beitr"age, und zwar nur f"ur $\pi \in {\mathcal S}_{n+1}$ mit $s_{\pi(n-q+1)} = u_1,\dots,s_{\pi(n)} = u_q$, und f"ur diese ist der Gesamtbeitrag bis auf ein Vorzeichen gerade \[ b(\check{u}_0)=\sum_{{\kappa} \in {\mathcal S}_{n-q+1}} \op{sgn}({\kappa}) (\langle \check{u}_0 \rangle \circ {\kappa} )^\vee \] Das zeigt schon einmal, dass $\cap \check{\omega}$ wie behauptet "uber $b$ faktorisiert und liefert den Pfeil schr"ag nach oben. Um das Vorzeichen anzugeben, betrachten wir die angeordnete Darstellung $\check{u}_0=(v_0,\ldots,v_{n-q})$ und die Permutation $\tau\in {\cal S}_{n+1}$ mit $s_{\tau(0)}=v_0,\ldots, s_{\tau(n-q)}=v_{n-q}, s_{\tau(n-q+1)} = u_1,\dots,s_{\tau(n)} = u_q$, finden f"ur das fragliche Vorzeichen die Darstellung $ \eta(\check{u})=(-1)^{q(n-q)}\varepsilon(s)\op{sgn}(\tau)$ und erhalten %f"ur $\check{u} \in \check{{\mathcal K}}^\leq_q$ die Formel f"ur $\check{u} \in \check{{\mathcal K}}_q$ die Formel $$ \langle\check{u}\rangle^* \cap \check{\omega} = \left\{ \begin{array}{cl} \eta(\check{u}) b(\check{u}_0) & \mbox{falls } \check{u}_0 \in {\mathcal K}_{n-q}; \\[2mm] 0 & \mbox{sonst.} \end{array} \right. $$ Bilden wir den Quotienten ${\op{C}}^\ast_{!} \Delta (\check{\mathcal K})$ von ${\op{S}}^\ast_{! \op{os}} \Delta (\check{\mathcal K})$ nach den $\langle\check{u}\rangle^*$ mit $\check{u}_0 \not\in {\mathcal K}_{n-q}$ sowie den $\eta(\check{u}) \langle\check{u}\rangle^* - \eta(\check{v})\langle\check{v}\rangle^*$ mit $\check{u}_0 = \check{v}_0$, so faktorisiert unser $\cap\check{\omega}$ weiter und liefert, wie man leicht sieht, einen Isomorphismus von Kettenkomplexen $$ {\op{C}}^\ast_{!} \Delta (\check{\mathcal K})[n] \stackrel{\sim}{\rightarrow} {\op{S}}^{\op{os}}\Delta({\mathcal K}) $$ Man kann in dieser Weise sogar einen Beweis der Poincar\'{e}-Dualit"at im triangulierbaren Fall geben, wof"ur dann allerdings noch gezeigt werden mu"s, da"s die linke Vertikale unseres Diagramms Isomorphismen auf der Homologie induziert. Da wir aber vielmehr an der anschaulichen Bedeutung der Poincar\'{e}-Dualit"at interessiert sind, drehen wir den Spie"s um und folgern aus der Poincar\'{e}-Dualit"at, da"s die linke Vertikale unseres Diagramms ${\op{S}}^\ast_{! \op{os}} \Delta (\check{\mathcal K}) \sra {\op{C}}^\ast_{!} \Delta (\check{\mathcal K})$ Isomorphismen auf der Kohomologie induziert. Nach \ref{HKH} ist sie also eine Homotopie"aquivalenz und unser ganzes Diagramm besteht aus Homotopie"aquivalenzen. Um nun endlich zur anschaulichen Bedeutung vorzudringen, betrachten wir in der linken Vertikalen die dualen Komplexe und erhalten so eine Homotopie"aquivalenz $${\op{C}}^{!} \Delta (\check{\mathcal K}) \hra {\op{S}}^{!\op{os}} \Delta (\check{\mathcal K})$$ wo der $q$-te Teil ${\op{C}}^{!}_q \Delta (\check{\mathcal K})$ unseres Teilkomplexes aus allen \glqq unendlichen formalen Linearkombinationen\grqq\ "uber $t\in\cal{K}_{n-q}$ gewisser Ausdr"ucke $c(t)$ besteht, die ihrerseits gegeben werden als $$c(t)=\sum \eta(\check{u}) \langle\check{u}\rangle$$ summiert "uber alle $\check{u}\in\check{\cal{K}}_{q}$ mit $\check{u}_0=t$. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildFzy}\\[4mm] \noindent BlahBlah \end{figure} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildFzz}\\[4mm] \noindent BlahBlah \end{figure} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildFzo}\\[4mm] \noindent BlahBlah \end{figure} \newpage %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXTOP" %%% End: