\section{Multilineare Algebra} \subsection{Tensorprodukte} \begin{Satz} Seien $r\geq 0$ eine nat"urliche Zahl und $V_1,\ldots,V_r$ Vektorr"aume "uber einem\label{TeKorM} K"orper $K$. So gilt: \begin{enumerate} \item\label{TeKorM1} Es gibt ein Paar $(T,\tau)$ bestehend aus einem $K$-Vektorraum $T$ und einer multilinearen Abbildung $\tau:V_1\times\ldots\times V_r\ra T$ derart, da"s f"ur jeden weiteren $K$-Vektorraum $W$ das Vorschalten von $\tau$ eine Bijektion $$(\circ\tau):\op{Hom}_K(T,W) \;\sira\; \op{Hom}^{(r)}_K(V_1\times\ldots\times V_r, W)$$ zwischen der Menge aller linearen Abbildungen $T\ra W$ und der Menge aller multilinearen Abbildungen $V_1\times\ldots\times V_r\ra W$ induziert. Wir nennen solch ein $\tau:V_1\times\ldots\times V_r\ra T$ eine\index{universell!multilineare Abbildung} \emph{\bf universelle multilineare Abbildung}; \item\label{TeKorM2} Gegeben ein weiteres derartiges Paar $(S,\sigma)$ existiert genau eine lineare Abbildung $c:T\ra S$ mit $c\circ\tau=\sigma $ und genau eine lineare Abbildung $d:S\ra T$ mit $ d\circ\sigma=\tau$ und diese Abbildungen sind zueinander inverse Isomorphismen zwischen $T$ und $S$. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{proof}[Beweis der Eindeutigkeit \ref{TeKorM}.\ref{TeKorM2}] Die Existenz und Eindeutigkeit von $c$ folgt sofort aus der universellen Eigenschaft von $(T,\tau)$. %in der Notation von eben h"atten wir genauer $c=\hat\sigma$. Die Existenz und Eindeutigkeit von $d$ folgt ebenso aus der universellen Eigenschaft von $(S,\sigma)$. Schlie"slich gilt $(d\circ c)\circ\tau=\tau =\op{id}_T\circ \tau$ und damit folgt $d\circ c=\op{id}_T$ wieder nach der universellen Eigenschaft von $\tau$. Die Identit"at $c\circ d=\op{id}_S$ zeigt man genauso. \end{proof} \begin{Bemerkungl}\label{DefT} Unsere Paare sind nach Teil 2 \glqq eindeutig bestimmt bis auf eindeutigen Isomorphismus\grqq, wenn sie denn existieren. Insbesondere kommt es auf die genaue Konstruktion ebensowenig an wie auf die genaue Konstruktion der nat"urlichen oder der reellen Zahlen. Solch ein Paar verdient damit eine eigene Notation und den bestimmten Artikel. Man nennt $T$ das {\bf Tensorprodukt der $V_i$}\index{Tensorprodukt!von Vektorr"aumen} und notiert es im Fall $r>0$ als\index{)8a@$\otimes$ Tensorprodukt} $$T\pdef V_1\otimes \ldots\otimes V_r$$ und notiert die universelle multilineare Abbildung $ (v_1,\ldots,v_r)\mapsto v_1\otimes \ldots\otimes v_r$. Im Fall $r=1$ nimmt man "ublicherweise $T=V_1$ und w"ahlt als universelle multilineare alias $1$-lineare alias lineare Abbildung die Identit"at, so da"s es nicht drauf ankommt, ob $V_1$ das Tensorprodukt mit nur einem Faktor oder eben den Vektorraum $V_1$ bezeichnet. Im Fall $r=0$ nimmt man "ublicherweise als $T=K$ den Grundk"orper und w"ahlt als universelle multilineare alias $0$-lineare alias beliebige Abbildung $\op{ens}\ra K$\label{LeeT} vom leeren Produkt alias der einelementigen Menge nach $K$ die Abbildung $ \ast \mapsto 1$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Arbeiten in Strukturen bis auf eindeutigen Isomorphismus}] Ich will nicht verschweigen, da"s es durchaus seine T"ucken hat, mit bis auf eindeutigen Isomorphismus wohlbestimmten Objekten zu arbeiten. Es bedeutet, die definierenden Eigenschaften nie aus den Augen zu verlieren. Das erfordert eine gewisse "Ubung. In manchen Situationen haben wir diese "Ubung bereits. Wenn wir etwa $$2\cdot 2=4$$ behaupten, k"onnten wir erinnern, da"s die nat"urlichen Zahlen nach \eref{EDNC}{LA1} ja eigentlich nur ein bis auf eindeutigen Isomorphismus wohlbestimmtes Paar $(N,s)$ aus einer Menge $N$ und einer Abbildung $s:N\ra N$ mit gewissen Eigenschaften sind; da"s zu diesen Eigenschaften die Forderung geh"ort, da"s nur ein Element von $N$ nicht im Bild von $s$ liegt; da"s wir f"ur dies Element die Notation $0$ vereinbart hatten; da"s wir die Notationen $1\pdef s(0)$, $2\pdef s(1)$, $3\pdef s(2)$ und $4\pdef s(3)$ vereinbart hatten; und so weiter. Wir bewegen uns hier also in einem System von Konstruktionen und Konventionen, das allein aus den Daten und Eigenschaften aufgebaut ist, die unsere Struktur der nat"urlichen Zahlen bis auf eindeutigen Isomorphismus charakterisieren. Bei der Arbeit mit anderen bis auf eindeutigen Isomorphismus wohlbestimmten Objekten wie etwa unseren Tensorprodukten verh"alt es sich genauso. Ihnen fehlt nur m"oglicherweise noch die "Ubung und ich habe m"oglicherweise bereits zu viel "Ubung und es kann mir leicht passieren, da"s ich manche Konstruktionen und Konventionen nicht explizit genug einf"uhre und bespreche. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Erster Beweis der Existenz \ref{TeKorM}.\ref{TeKorM1}] Um die Existenz in Teil 1 zu zeigen w"ahlen wir Basen $B_i\subset V_i$ und bemerken, da"s die offensichtlichen Abbildungen Bijektionen $$\begin{array}{lll} \op{Hom}^{(r)}_K(V_1\times\ldots\times V_r, W) &{\sira}& \op{Ens}(B_1\times\ldots\times B_{r}, W)\\[1mm] &{\sira}&\op{Hom}_K(K\langle B_1\times\ldots\times B_{r}\rangle, W) \end{array} $$ liefern. Wir k"onnen also als Tensorprodukt den freien Vektorraum "uber dem Produkt der Basen $T\pdef K\langle B_1\times\ldots\times B_{r}\rangle$ nehmen und als $\tau$ diejenige multilineare Abbildung, die dadurch charakterisiert wird, da"s sie Tupel von Basisvektoren $(b_1,\ldots,b_r)$ auf das Element $\op{can}(b_1,\ldots,b_r)$ des freien Vektorraums wirft. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Basen allgemeiner Tensorprodukte}] Gegeben Vektor\-r"aume $V_1,\ldots,V_r$ "uber einem K"orper $K$ und Basen\label{BaTeB} $ B_i\subset V_i$ bilden die Tensoren $b_{1}\otimes \ldots \otimes b_{r}$ mit $b_i\in B_i$ eine Basis des Tensorprodukts $V_{1} \otimes \ldots \otimes V_{r}$. Das folgt sofort aus dem vorhergehenden Beweis. Speziell folgt $\op{dim}(V\otimes W)=\op{dim}(V)\op{dim}(W)$. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Zweiter Beweis der Existenz \ref{TeKorM}.\ref{TeKorM1}] Ich gebe noch einen alternativen Beweis f"ur die Existenz universeller multilinearer Abbildungen, der ohne den Basisexistenzsatz und damit ohne Auswahlaxiom und Zorn'sches Lemma auskommt und mir nat"urlicher und im Grunde auch einfacher scheint. Er ben"otigt jedoch die Kontruktion des Quotientenvektorraums, die wir erst in \ref{QVV} kennenlernen. Der Einfachkeit halber schreibe ich die Details nur f"ur bilineare Abbildungen aus. Wir beginnen mit dem freien $K$-Vektorraum $K\langle V\times W\rangle $ "uber der Menge $V\times W$. Darin betrachten wir den Untervektorraum $U \subset K\langle V\times W\rangle$, der erzeugt wird von allen Ausdr"ucken $$\begin{array}{l} (v + v^{\prime}, w) - (v,w) - (v^{\prime},w)\\ (\lambda v, w) - \lambda (v,w)\\ (v,w + w^{\prime}) - (v,w) - (v,w^{\prime})\\ (v, \lambda w) - \lambda (v,w) \end{array}$$ f"ur $v,v^{\prime} \in V$, $w, w^{\prime} \in W$ und $\lambda \in K$. Schlie"slich definieren wir $T$ als den Quotientenvektorraum $$T \pdef K\langle V\times W\rangle /U$$ und erkl"aren $\tau:V\times W\ra T$ als die Abbildung, die jedem Paar $(v,w)$ die Nebenklasse $\tau(v,w)\pdef \op{can}(v,w)+U$ von $ \op{can}(v,w)$ zuordnet. Die Bilinearit"at von $\tau$ folgt dann unmittelbar aus der Definition des herausgeteilten Untervektorraums $U$. Um die im Satz behauptete universelle Eigenschaft nachzuweisen, arbeiten wir mit dem Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ V \times W\ar[r]\ar[dr]& K \langle V\times W\rangle \ar[r]\ar[d] & T\ar[dl]\\ & R & } \end{displaymath} F"ur jede Abbildung $b : V \times W \ra R$ gibt es nach der universellen Eigenschaft des freien Vektorraums "uber einer vorgegebenen Menge genau eine $K$-lineare Abbildung $\tilde{b} : K \langle V\times W\rangle \ra R$ mit $\tilde{b} \circ \op{can} = b$. Ist hier $b$ bilinear, so gilt offensichtlich $\tilde{b} (U)=0$, also gibt es nach der universellen Eigenschaft des Quotientenvektorraums genau eine lineare Abbildung $\hat{b} : T \ra R$ mit $\hat{b} \tau(v , w) = b(v,w)$. Diese Abbildung $\hat{b}$ ist eindeutig bestimmt durch $b$, da die $\tau(v, w)$ das Tensorprodukt als Vektorraum erzeugen. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Elemente von Tensorprodukten}] Bereits unsere universellen bilinearen Abbildungen $V\times W\ra V\otimes W, (v,w)\mapsto v\otimes w$ sind im allgemeinen weder injektiv noch surjektiv. Genauer sind sie nur injektiv im Fall $V=W=0$, denn es gilt ja stets $\lambda v\otimes w= v\otimes \lambda w$. Weiter sind sie nur surjektiv, wenn einer der beiden R"aume eine Dimension $\leq 1$ hat. Im Fall $V=\DR^2$ und $W=\DR^2$ etwa k"onnen wir unsere universelle bilineare Abbildung als eine stetig differenzierbare Abbildung $\DR^4\ra \DR^4$ auffassen, die auf den Teilmengen $\{(\lambda v, \lambda^{-1}w)\mid \lambda\in \DR^\times\}$ konstant ist, und f"ur eine derartige Abbildung ist hoffentlich zumindest anschaulich klar, da"s sie nicht surjektiv sein kann. Formal behandeln Sie das in "Ubung \ref{Tphk}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Tensorpotenzen}] Gegeben ein Vektorraum $V$ "uber einem K"orper $K$ und eine nat"urliche Zahl $r\in\DN$ vereinbaren wir\label{vhr} $$V^{\otimes r}\pdef \underbrace{V\otimes \ldots \otimes V}_{r \text{ Faktoren}} $$ und verstehen insbesondere $V^{\otimes 0}\pdef K$ im Sinne von \ref{LeeT}. Gegeben $v\in V$ schreiben wir kurz $v^{\otimes r}\pdef v\otimes \ldots \otimes v$ f"ur das Bild von $(v,\ldots,v)$ unter der universellen multilinearen Abbildung $V^{\times r}\ra V^{\otimes r}$ und verstehen im Sinne von \ref{LeeT} insbesondere $v^{\otimes 0}\pdef 1\in K$. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Tensorprodukte und physikalische Einheiten}] Wir betrachten den schmutzigen Raum unserer Anschauung als einen dreidimensionalen euklidischen affinen Raum $\mathbb E$. Dessen schmutzige L"angengerade $\mathbb L$ besitzt die beiden Basen Meter $\ph{m}$ und Kilometer $\ph{km}$ und es gilt $\ph{km}=1000 \ph{m}$. In\label{UZTR} $\mathbb L^{\otimes 2}$ erhalten wir mithin $(\ph{km})^{\otimes 2}= 10^6 \ph{m}^{\otimes 2}$. In unserem Formalismus ist also in der Tat und wie es sich geh"ort ein Quadratkilometer eine Million Quadratmeter. Es ist "ublich, in diesem Kontext die Klammern und Tensorzeichen wegzulassen, so da"s unsere Identit"at die m"oglicherweise besser vertraute Gestalt $$\ph{km}^{2}= 10^6 \ph{m}^{2}$$ annimmt. Allgemeiner gilt f"ur zwei beliebige Vektoren $v, w$ eines eindimensionalen Vektorraums $L$ mit $v=\lambda w$ im Tensorquadrat $ L^{\otimes 2}$ aufgrund der Bilinearit"at der universellen bilinearen Abbildungen die Identit"at $v^{\otimes 2}=\lambda^2 (w^{\otimes 2})$. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Lineare Abbildungen aus Tensorprodukten}] Seien $V,W$ Vektorr"aume. Die Elemente der Gestalt $v\otimes w$ erzeugen das Tensorprodukt als Vektorraum und sogar als abelsche Gruppe.\label{ezTP} Geben wir eine Abbildung von einem Tensorprodukt in einen Vektorraum $R$ an durch eine Vorschrift der Gestalt $v\otimes w\mapsto b(v,w)$, so ist der Leser implizit gefordert, die Bilinearit"at der Abbildung $b:V\times W \ra R$ zu pr"ufen, und gemeint ist dann eigentlich die durch die universelle Eigenschaft definierte lineare Abbildung $\hat{b}: V \otimes W \ra R$. Analoge Vereinbarungen treffen wir f"ur Abbildungen aus Tensorprodukten mit einer beliebigen Zahl von Faktoren. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Sind $f:V\ra V'$ und $g:W\ra W'$ lineare Abbildungen, so erkl"aren wir eine lineare Abbildung $f\otimes g: V\otimes W\ra V'\otimes W'$ durch die Vorschrift $$(f\otimes g)(v\otimes w)\pdef f(v)\otimes g(w)$$ in unserer Konvention \ref{ezTP}. Wir nennen $f\otimes g$ das {\bf Tensorprodukt der Abbildungen $f$ und $g$}.\index{Tensorprodukt!von linearen Abbildungen} Analog erkl"aren wir das Tensorprodukt einer beliebigen endlichen Familie von linearen Abbildungen. Gegeben eine lineare Abbildung $f:V\ra W$ verwenden wir weiter die Abk"urzung $f^{\otimes r}\pdef (f\otimes \ldots \otimes f):V^{\otimes r}\ra W^{\otimes r}$. \end{Definition} \begin{Proposition}[\textbf{Assoziativit"at von Tensorprodukten}] Sind $V_{1}, \ldots , V_{n}$ Vektorr"aume und $0\leq i\leq j\leq \ldots\leq k\leq n$ Indizes, so liefert die Abbildungsvorschrift $ v_{1} \otimes\ldots \otimes v_{n} \mapsto (v_{1} \otimes \ldots \otimes v_{i})\otimes (v_{i+1} \otimes \ldots \otimes v_{j}) \otimes\ldots \otimes (v_{k+1} \otimes \ldots \otimes v_{n}) $ einen Isomorphismus\label{AssT} $$V_{1} \otimes \ldots \otimes V_{n} \sira (V_{1} \otimes \ldots \otimes V_{i}) \otimes (V_{i+1} \otimes \ldots \otimes V_{j}) \otimes \ldots \otimes (V_{k+1} \otimes \ldots \otimes V_{n})$$ \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Die Abbildungsvorschrift ist hier im Sinne unserer Vereinbarung \ref{ezTP} zu lesen. Leere Tensoren sind zu verstehen als das ausgezeichnete Element des leeren Tensorprodukts alias die Eins des Grundk"orpers. Ich habe statt $0=i_0\leq i_1\leq i_2\leq \ldots\leq i_r= n$ etwas weniger korrekt $0\leq i\leq j\leq \ldots\leq k\leq n$ geschrieben um Subindizes zu vermeiden. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir pr"ufen leicht, da"s unsere Abbildung eine Bijektion zwischen einer Basis des Ausgangsraums und einer Basis des Zielraums induziert. \end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{Kommutativit"at von Tensorprodukten}] Sind $V_{1}, \ldots , V_{n}$ Vektorr"aume und ist $\sigma\in \mathcal S_n$ eine Permutation, so liefert die Abbildungsvorschrift $ v_{1} \otimes \ldots \otimes v_{n} \mapsto v_{\sigma(1)} \otimes \ldots \otimes v_{\sigma(n)} $ einen Isomorphismus\label{AssTS} $$V_{1} \otimes \ldots \otimes V_{n} \sira V_{\sigma(1)} \otimes \ldots \otimes V_{\sigma(n)} $$ \end{Proposition} \begin{proof} Wir pr"ufen leicht, da"s unsere Abbildung eine Bijektion zwischen einer Basis des Ausgangsraums und einer Basis des Zielraums induziert. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Identifikationen zwischen l"angeren Tensorausdr"ucken}] Wir sehen mit \ref{AssT}, da"s es bei Tensorprodukten mit mehreren Faktoren \glqq nicht auf eventuelle Klammerung ankommt und Faktoren $K$ weggelassen werden d"urfen\grqq. Pr"aziser formuliert erhalten wir so nat"urliche Isomorphismen zwischen verschiedenen Tensorprodukten mit mehreren Faktoren. Unter Verwendung der Vertauschungsisomorphismen \ref{AssTS} erkennen wir weiter, da"s es hier auch auf die Reihenfolge der Tensorfaktoren nicht ankommt. Das alles ist in dieser Situation noch derart explizit, da"s mir eine st"arkere Formalisierung unangemessen scheint. Der entsprechende Formalismus ist der einer \glqq Schmelzkategorie\grqq, der in Ans"atzen in \ref{MMA} und im Vollausbau in \eref{Multik}{TSK} folgende besprochen wird. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Negative Tensorpotenzen im eindimensionalen Fall}] Im Fall eines eindimensionalen Vektorraums $L$ "uber einem K"orper $K$ \label{TEP} erkl"aren wir %, wie bereits in \ref{TeRR} besprochen, die $r$-te Tensorpotenz von $L$ sogar f"ur alle $r\in \DZ$, indem wir unsere Definition \ref{vhr} f"ur nichtnegative Tensorpotenzen erg"anzen durch die Vorschrift, da"s negative Tensorpotenzen zu verstehen sein m"ogen als die entsprechenden positiven Potenzen des Dualraums, in Formeln $$L^{\otimes r}\pdef ( L^\top)^{\otimes (-r)} \quad \text{f"ur } r<0.$$ Erkl"aren wir dann weiter f"ur jedes $l\in L\backslash 0$ und $r<0$ den Vektor $l^{\otimes r}\in L^{\otimes r}$ als $l^{\otimes r}\pdef (l^\top)^{\otimes r}$ mit $l^\top\in L^\top$ definiert durch $l^\top(l)=1$, so haben wir $(\lambda l)^{\otimes r}=\lambda^r(l^{\otimes r})$ f"ur alle $\lambda\in K^\times$ und $r\in\DZ$ und es gibt f"ur beliebige $r,s\in \DZ$ eindeutig bestimmte Isomorphismen $$L^{\otimes r}\otimes L^{\otimes s}\sira L^{\otimes (r+s)}$$ mit der Eigenschaft $l^{\otimes r}\otimes l^{\otimes s}\mapsto l^{\otimes (r+s)}$ f"ur alle $l\in L\backslash 0$. Schlie"slich gibt es in diesem Fall zu jedem Isomorphismus $f:L\sira M$ f"ur alle $r\in \DZ$ einen ausgezeichneten Isomorphismus $f^{\otimes r}:L^{\otimes r}\sira M^{\otimes r}$ mit $l^{\otimes r}\mapsto f(l)^{\otimes r}$ f"ur alle $l\in L\backslash 0$. Es ist auch in diesem Zusammenhang "ublich, die Abk"urzung $l^r\pdef l^{\otimes r}$ sowie $L^r\pdef L^{\otimes r}$ zu verwenden. Insbesondere ist damit $l^{-1}$ die duale Basis zu $l$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Orientierung von Tensorpotenzen}] Gegeben ein orientierter eindimensionaler Vektorraum $L$ "uber einem angeordneten K"orper erh"alt man aus jeder Orientierung von $L$ eine Orientierung aller Tensorpotenzen $L^{\otimes r}$ durch die Vorschrift, da"s f"ur $l\in L_{>0}$ ein positiver Vektor auch seine Potenzen $l^r$ positiv sein sollen. Die damit auf den geraden Potenzen $L^{\otimes 2r}$ gegebene Orientierung h"angt dann noch nicht einmal von der auf $L$ gew"ahlten Orientierung ab. Im Fall des Dualraums $L^{-1}$ eines eindimensionalen Raums stimmt diese Orientierung mit der in \eref{orDU}{LA1} erkl"arten Orientierung eines Dualraums "uberein.\label{orDD} \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Beispiele f"ur Tensorpotenzen}] In der schmutzigen Anschauung mag man sich die positiven Elemente einiger Tensorpotenzen der L"angengerade $\mathbb L$ wie\label{BfT} folgt vorstellen: Elemente von $\mathbb L^{\otimes 2}$ als Fl"achenma"se, Elemente von $\mathbb L^{\otimes 3}$ als Volumenma"se, Elemente von $\mathbb L^{\otimes(-1)}$ als \glqq lineare Dichten\grqq\ wie etwa die Belegung eines Wanderwegs mit Personen pro L"ange, Elemente von $\mathbb L^{\otimes(-2)}$ als \glqq Fl"achendichten\grqq\ wie etwa die Bev"olkerungsdichte in Personen pro Fl"ache, und Elemente von $\mathbb L^{\otimes(-3)}$ als \glqq Volumendichten\grqq\ wie etwa die Dichte eines Gases in Zahl der Molek"ule pro Volumen. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Wir erinnern den Richtungsraum $\vec {\mathbb T}$ der Zeitachse und seine Basis ${\op{s}}$ mit dem Namen {\bf Sekunde} ebenso wie seine Basis ${\op{min}}$ mit dem Namen {\bf Minute} und seine Basis ${\op{std}}$ mit dem Namen {\bf Stunde}. Zwischen diesen Basen besteht die Relation ${\op{min}}=60{\op{s}}$ und $60{\op{min}}={\op{std}}$. Den Raum $$\vec {\mathbb T}^\top\otimes \mathbb L= \mathbb L \otimes\vec {\mathbb T}^{-1}$$ oder vielmehr seine nichtnegativen Elemente in Bezug auf die offensichtliche Orientierung nennen wir {\bf absolute Geschwindigkeiten}.\index{Geschwindigkeit!absolute} Mit der Abk"urzung ${\op{m}}/{\op{s}}\pdef {\op{m}}\otimes{\op{s}}^{-1}$ und ihren Analoga gelten in diesem Raum etwa die Identit"aten $${\op{m}}/{\op{s}}=3600{\op{m}}/3600{\op{s}}= 3,\!6{\op{km}}/{\op{std}}$$ \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Matrix des Tensorprodukts linearer Abbildungen}] Gegeben Vektorr"aume $V,W$ mit angeordneten Basen $\mathcal A = (v_1, \ldots v_n)$ und $\mathcal B = (w_1, \ldots, w_n)$ bilden wir in $V \otimes W$ die angeordnete Basis $$ \begin{array}{llc} \mathcal A \otimes \mathcal B &\pdef& (v_1 \otimes w_1, v_1 \otimes w_2, \ldots, v_1 \otimes w_m,\\ &&\quad v_2 \otimes w_1, v_2 \otimes w_2, \ldots, v_2 \otimes w_m, \\ &&\quad \ldots\quad \ldots\quad \ldots \\ &&\quad \quad v_n \otimes w_1, v_n \otimes w_2, \ldots, v_n \otimes w_m) \end{array} $$ Gegeben zus"atzlich weitere Vektorr"aume $V^\prime, W^\prime$ mit angeordneten Basen $\mathcal A^\prime = (v_1^\prime, \ldots , v^\prime_{n^{\prime}})$ und $\mathcal B^\prime = (w_1^\prime, \ldots, w^\prime_{m^{\prime}})$ und lineare Abbildungen $f : V \rightarrow V^\prime$ und $g : W \rightarrow W^\prime$ k"onnen wir die Matrix ${}_{\mathcal A^{\prime} \otimes \mathcal B^{\prime}}[f\otimes g]_{\mathcal A \otimes \mathcal B}$ von $f\otimes g$ in den Basen $\mathcal A \otimes \mathcal B$ und $\mathcal A^\prime \otimes \mathcal B'$ wie folgt durch die Matrizen $A = {}_{\mathcal A^\prime} [f]_\mathcal A$ und $B = {}_{\mathcal B^\prime} [g]_{\mathcal B}$ ausdr"ucken: Haben wir etwa $A= (a_{ij})$, so wird \begin{eqnarray*} {}_{\mathcal A^{\prime} \otimes \mathcal B^{\prime}}[f\otimes g]_{\mathcal A \otimes \mathcal B} &=&\begin{pmatrix} a_{11} B &\ldots & a_{1n} B\\ \vdots & & \vdots\\ a_{n^{\prime}1} B & \ldots & a_{n^{\prime}n} B \end{pmatrix} \end{eqnarray*} Auf der rechten Seite ist die Matrix geblockt geschrieben, es handelt sich ja eigentlich um eine $(n^\prime m^\prime \times n m)$-Matrix. Sie hei"st auch das \defind{Kronecker-Produkt} der Matrizen $A$ und $B$ und wird $A\otimes B$ notiert, so da"s wir unsere Identit"at oben also auch schreiben k"onnen in der Form \begin{equation*} {}_{\mathcal A^\prime \otimes \mathcal B^\prime}[f\otimes g]_{\mathcal A \otimes \mathcal B} = {}_{\mathcal A^\prime} [f]_{\mathcal A} \otimes {}_{\mathcal B^\prime} [g]_{\mathcal B} \end{equation*} Um diese Identit"at zu pr"ufen beginnen wir mit den Identit"aten $$ f(v_i) = \sum_j a_{ji} v^\prime_j\quad \text{ und }\quad g(w_k) = \sum_l b_{lk} w^\prime_l $$ und folgern \begin{equation*} (f \otimes g)(w_i \otimes w_k) = \sum_{j,l} a_{ji}b_{lk} v^\prime_j \otimes w^\prime_l \end{equation*} Die Eintr"age der Matrix von $f\otimes g$ sind also alle Produkte von einem Eintrag der Matrix von $f$ mit einem Eintrag der Matrix von $g$. Da"s diese Eintr"age dann auch noch an den oben beschriebenen Stellen der Matrix von $f \otimes g$ stehen, mag sich der Leser am einfachsten selbst "uberlegen. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Adjunktion von Tensor und Hom}] Gegeben Vektorr"aume $U,V,W$ erhalten wir\label{cEI} durch die Vorschrift $f\mapsto \tilde{f}$ mit $\tilde{f}(u\otimes v)=(f(u))(v)$ einen Isomorphismus\label{HaII} $$\op{Hom}(U,\op{Hom}(V,W))\sira \op{Hom}(U\otimes V,W)$$ \end{Proposition} \begin{Bemerkungw} Diese Aussage bedeutet in einer Terminologie, die Sie in dieser Vorlesung nicht mehr lernen werden, da"s \glqq die Funktoren $\otimes V$ und $\op{Hom}(V,\;)$ zueinander adjungiert sind\grqq. Ich verwende in diesem Kontext gerne die alternative Notation $(V{\Rrightarrow}W)\pdef \op{Hom}(V,W)$. \end{Bemerkungw} \begin{proof} Beide Seiten sind in offensichtlicher und mit der angegebenen Abbildung vertr"aglicher Weise in Bijektion zur Menge $\op{Hom}^{(2)}(U\times V,W)$ aller bilinearen Abbildungen $U\times V\ra W$. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Homomorphismenr"aume als Tensorprodukt}] Gegeben ein K"orper $K$ liefert f"ur beliebig vorgegebene $K$-Vektorr"aume $V,W$ die Abbildungsvorschrift $f \otimes w \mapsto (v \mapsto f (v) w)$ eine Bijektion\label{Ican} $$ \op{can}=\op{can}_{V,W}:V^{\top}\otimes W\sira \{f\in \op{Hom} (V,W)\mid \op{rg}(f)<\infty\} $$ zwischen dem Tensorprodukt des Dualraums von $V$ mit $W$ und dem Raum aller Homomorphismen endlichen Ranges. \end{Satz} \begin{Beispiel} Unsere vektoriellen Geschwindigkeiten aus \eref{vg}{LA1} k"onnen wir mithin auch verstehen als Elemente des Tensorprodukts $\vec {\mathbb T}^{-1}\otimes\vec {\mathbb E} =\op{Hom}(\vec{\mathbb T},\vec{\mathbb E})$ des Richtungsraums $\vec{\mathbb E}$ unseres Anschauungsraums $\mathbb E$ mit dem Dualraum des Raums der Zeitspannen. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Das Bild der Verkn"upfung $V^{\top}\times W\ra V^{\top}\otimes W\hra \op{Hom} (V,W)$ besteht genau aus allen Homomorphismen vom Rang Eins oder Null.\label{BVIcan} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ist $v_{1}, \ldots, v_{n}\in V$ eine Basis von $V$ und $v^{\top}_{1}, \ldots, v^{\top}_{n} \in V^{\top}$ die duale Basis von $V^\top$, so k"onnen wir im Satz die inverse Abbildung explizit angeben durch die Vorschrift $f\mapsto v^{\top}_{1}\otimes f(v_1)+\ldots+v^{\top}_{n}\otimes f(v_n)$. Ist zus"atzlich $w_1,\ldots, w_m$ eine Basis von $W$, so wird $v^{\top}_{i}\otimes w_j$ abgebildet auf diejenige lineare Abbildung, deren Matrix in Bezug auf die gegebenen Basen die Basismatrix $E_{ji}$ aus \eref{GLG}{LA1} ist, in Formeln $$_{\mathcal B}[\op{can}(v^{\top}_{i}\otimes w_j)]_{\mathcal A}=E_{ji}$$ f"ur $\mathcal A=(v_{1}, \ldots, v_{n})$ und $\mathcal B=(w_1,\ldots, w_m)$ unsere angeordneten Basen von $V$ und $W$. Im Fall endlichdimensionaler R"aume kann der Satz also leicht mit Basen "uberpr"uft werden. Der Beweis gilt den unendlichdimensionalen F"allen. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir beginnen mit der Injektivit"at. Jeder Tensor auf der linken Seite kann offensichtlich in der Form $f_1\otimes w_1+\ldots + f_r\otimes w_r$ dargestellt werden mit den $w_i$ linear unabh"angig. Geht er nach Null, so folgt $f_1(v)w_1+\ldots + f_r(v) w_r=0$ f"ur alle $v\in V$. Daraus aber folgt $f_1(v)=\ldots = f_r(v) =0$ f"ur alle $v\in V$ und damit $f_1=\ldots = f_r =0$ und unser Tensor war schon Null. Das zeigt die Injektivit"at. Unsere kanonischen Abbildung landet im Unterraum der Homomorphismen endlichen Ranges, da ja das Bild von $\op{can}(f_1\otimes w_1+\ldots + f_r\otimes w_r)$ stets im Erzeugnis $\langle w_1,\ldots, w_r\rangle$ der $w_i$ liegt. Es liegt aber sogar jeder Homomorphismus endlichen Ranges $\varphi:V\ra W$ im Bild von $\op{can}$, denn ist $w_1,\ldots,w_r$ eine Basis von $\op{im}\varphi$ und setzten wir $f_i\pdef w_i^{\top}\circ \varphi$, so gilt offensichtlich \begin{equation*}\op{can}(f_1\otimes w_1+\ldots + f_r\otimes w_r) = \varphi\qedhere \end{equation*} \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Tensorprodukt und Dualit"at}] Gegeben Vektorr"aume $V,W$ liefert die Abbildung $f \otimes g \mapsto (v \otimes w \mapsto f (v) g(w))$ eine Injektion\label{KADT} \begin{equation*} V^\top \otimes W^\top \hookrightarrow (V \otimes W)^\top \end{equation*} vom Tensorprodukt der Dualr"aume in den Dualraum des Tensorprodukts. Sie ist ein Isomorphismus genau dann, wenn einer unserer beiden R"aume endlichdimensional ist. \end{Korollar} \begin{Bemerkungl} Im Fall endlichdimensionaler R"aume kann das Korollar leicht mit Basen "uberpr"uft werden. Der Beweis gilt den unendlichdimensionalen F"allen. Im Fall eines eindimensionalen Raums $L$ liefert uns die Korollar induktiv nat"urliche Isomorphismen $L^{\otimes (-r)}\sira (L^{\otimes r})^\top$. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir argumentieren mit dem Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ (V\otimes W)^\top \ar@{=}[r]& \op{Hom} (V \otimes W, K)\\ & \op{Hom} (V, \op{Hom} (W,K))\ar[u]_\wr \ar@{=}[d]\\ V^\top \otimes W^\top \ar@{^{(}->}[r] &\op{Hom} (V,W^\top) } \end{displaymath} Der vertikale Isomorphismus kommt aus \ref{HaII}, die horizontale Injektion aus \ref{Ican}. Da"s deren Komposition genau die im Korollar beschriebene Abbildung ist, mag der Leser selbst pr"ufen. \end{proof} % \begin{Bemerkungl} % In der Physik rechnet man meist mit % sogenannten {\bf Einheiten}\index{Einheit!physikalische} % oder genauer {\bf physikalischen Einheiten}, um das Ergebnis % besagter Rechnungen % im materiellen Teil unserer Welt % interpretieren zu k"onnen. % Mathematisch mag man diese physikalischen Einheiten als % Erzeuger eindimensionaler % reeller Vektorr"aume modellieren. % Ein typisches Beispiel ist die eben in \ref{Laenge} diskutierte L"angengerade % f"ur den Richtungsraum des schmutzigen Raums unserer Anschauung. % Die fraglichen eindimensionalen % reellen Vektorr"aume hei"sen in der Physik % {\bf Dimensionen},\index{Dimension!physikalische} % wir reden auch genauer von {\bf physikalischen Dimensionen}. % W"ahrend die physikalischen Einheiten begrifflich eng mit % unseren mathematischen Einheiten aus \eref{DeEi}{LA1} % verwandt sind, % haben die physikalischen Dimensionen wie Zeit oder L"ange % mit dem mathematischen Begriff % der Dimension eines Vektorraums % rein gar nichts zu tun, % wie bereits % in \eref{phDim}{LA1} angesprochen wurde. % Zeiteinheiten wie Sekunde, Minute, Stunde, Woche % und dergleichen % modellieren wir mathematisch, wie in \eref{tempp}{LA1} ausgef"uhrt, % als Elemente eines % eindimensionalen Vektorraums % $\vec{\mathbb T}$, den wir den Vektorraum der Zeitspannen nennen. % L"angeneinheiten wie Meter, Zoll, Inch, Fu"s, % Elle und dergleichen % modellieren wir mathematisch als Elemente % der zuvor bereits angesprochenen L"angengerade. % Weitere Beispiele % f"ur physikalische Einheiten sind Ihnen sicher % bereits begegnet, und sie haben sicher auch % im Physikunterricht schon ausgiebig mit physikalischen Einheiten gerechnet. % Um derartige Rechnungen im Rahmen der Mengenlehre % zu formalisieren, % gilt es, die R"aume % zu konstruieren, in denen dann die Produkte und Quotienten % unserer Einheiten liegen sollen. % Das wird im folgenden ausgef"uhrt. % \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Orientierter Fl"acheninhalt}] Sei $V$ ein orientierter zweidimensionaler euklidischer Vektorraum mit L"angengerade $\mathbb L$. Man zeige, da"s es genau eine alternierende bilineare Abbildung\label{oFI} $$\omega:V\times V\ra \mathbb L^{\otimes 2}$$ gibt mit $\omega(v,w)= \|v\|\otimes\|w\|$ wann immer $v\perp w$ orthogonale Vektoren sind und $(v,w)$ eine orientierte Basis von $V$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben Vektorr"aume $U,V,W$ kommutiert das Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ U^\top \otimes V \otimes V^\top \otimes W \ar[d] \ar@{^{(}->}[r] & \op{Hom} (U,V) \otimes \op{Hom} (V,W) \ar[d]\\ U^\top \otimes W \ar@{^{(}->}[r] & \op{Hom} (U,W) } \end{displaymath} mit den von den kanonischen Injektionen \ref{Ican} induzierten Horizontalen, dem Verkn"upfen von linearen Abbildungen als rechter Vertikale, und in der linken Vertikalen der Verkn"upfung $$ U^\top \otimes V \otimes V^\top \otimes W\rightarrow U^\top \otimes K \otimes W \overset{\sim}{\rightarrow} U^\top \otimes W $$ der vom Auswerten $\op{id} \otimes \op{ev} \otimes \op{id}$ induzierten Abbildung gefolgt vom Isomorphismus $U^\top \otimes K \otimes W \sira U^\top \otimes W$, $ f \otimes \lambda \otimes w \mapsto \lambda (f \otimes w)$. Die eben erkl"arte Abbildung in der linken Vertikalen bezeichnet man in dieser und "ahnlichen Situationen auch als die {\bf Verj"ungung von Tensoren}.\index{Verj"ungung von Tensoren} \end{Ubung} \begin{Ubung}Gegeben Vektorr"aume $W,V,V'$ liefert $w\otimes (v,v')\mapsto (w\otimes v,w\otimes v')$ einen Isomorphismus $ W \otimes(V \oplus V^{\prime}) \sira (W \otimes V ) \oplus (W \otimes V^{\prime} )$. Analoges gilt auch f"ur den ersten Tensorfaktor. \end{Ubung} \begin{Ubung} Besitzt ein von Null verschiedenes Element eines Tensorprodukts eine Darstellung der Gestalt $v\otimes w$, so sind seine m"oglichen Darstellungen dieser Gestalt genau alle Ausdr"ucke $\lambda v\otimes \lambda^{-1}w$ mit $\lambda\in K^\times$ einer Einheit des Grundk"orpers $K$. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{Tphk} Seien $V,W$ Vektorr"aume "uber demselben Grundk"orper. Man zeige, da"s die universelle bilineare Abbildung $V\times W\ra V\otimes W$ genau dann surjektiv ist, wenn einer der beiden beteiligten R"aume eine Dimension $\leq 1$ hat. Hinweis: \ref{BVIcan}. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben ein topologischer Raum $X$ und ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum $V$ zeige man, da"s die offensichtliche Abbildung einen Vektorraumisomorphismus $\mathcal C(X,\DR)\otimes_\DR V\sira \mathcal C(X,V)$ induziert. Hier bezeichnet $\mathcal C(X,V)$ den Raum aller stetigen Abbildungen von $X$ nach $V$. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Exaktheit des Tensorprodukts}] Jede exakte Sequenz von Vektorr"aumen bleibt beim Darantensorieren eines weiteren Vektorraums exakt. Hinweis: \ref{TySe}, oder alternativ \ref{dSt} und \ref{PexA}. Insbesondere k"onnen und werden wir das\label{ExTe} Tensorprodukt von Untervektorr"aumen $V\subset X$ und $W\subset Y$ auffassen als Untervektorraum $$V\otimes W\subset X\otimes Y$$ \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{tsq} Gegeben ein Endomorphismus $f\in\op{End}V$ eines Vektorraums mit $f\otimes f=\op{id}$ in $\op{End}(V\otimes V)$ gilt $f=\pm\op{id}$. \end{Ubung} \begin{Ubunge}\label{MuSpu} Gegeben ein K"orper $K$ und $K$-Vektorr"aume $V,W$ und Endomorphismen endlichen Ranges $f\in\op{End}V$ und $g\in \op{End}W$ hat auch $f\otimes g\in \op{End}(V\otimes W)$ endlichen Rang und es gilt $$\op{tr}(f\otimes g)=\op{tr}(f)\op{tr}(g)$$ \end{Ubunge} \begin{Ubunge}\label{MuDet} Hinweis: \eref{FBD}{LA1}. Gegeben ein K"orper $K$ und endlichdimensionale $K$-Vektorr"aume $V,W$ der Dimensionen $n,m$ und Endomorphismen $f\in\op{End}V$ und $g\in \op{End}W$ gilt $$\op{det}(f\otimes g)=(\op{det}(f))^m(\op{det}(g))^n$$ \end{Ubunge} \begin{Ubunge}\label{MuKer} Gegeben lineare Abbildungen $f:V\ra W$ sowie $g:X\ra Y$ gilt $$\op{ker}(f\otimes g)=(\op{ker}f)\otimes W + V\otimes (\op{ker}g)$$ Hinweis: Man w"ahle geeignete Basen. Die hier verwendete Notation f"ur das Tensorprodukt von Teilr"aumen kommt aus \ref{ExTe}. \end{Ubunge} \begin{Ubunge}[\textbf{Tensorprodukt und Orientierung}] Seien $V$ ein Vektorraum und $L$ ein eindimensionaler Vektorraum "uber demselben angeordeneten K"orper.\label{BaTex} Gegeben eine Orientierung $\varepsilon$ von $V$ und eine Orientierung $\eta$ von $L$ gibt es genau eine Orientierung $\varepsilon\otimes \eta$ von $V\otimes L$ mit $$(\varepsilon\otimes \eta)(v_1\otimes l,\ldots, v_n\otimes l)= \varepsilon(v_1,\ldots, v_n)\eta(l)^n$$ f"ur jede angeordnete Basis $(v_1,\ldots, v_n)$ von $V$ und jede angeordnete Basis alias jeden von Null verschiedenen Vektor $l\in L$. \end{Ubunge} \begin{Ubung}[\textbf{Evaluationspaarung im Tensorkalk"ul}] F"ur jeden Vektorraum $V$ "uber einem K"orper $K$ definiert das Auswerten oder lateinisierend \glqq Evaluieren\grqq\ eine bilineare Abbildung, die {\bf Evaluationspaarung}\index{Evaluationspaarung}\index{ev@$ \op{ev}$ Evaluationspaarung}\label{ev} $ \op{ev} : V^\top \times V \rightarrow K$, $ (\xi, v) \mapsto \xi (v) $. Man zeige, da"s sie unter dem Isomorphismus aus \ref{HaII} einerseits der Identit"at auf $V^\top$ entspricht und andererseits, wenn wir die Faktoren vertauschen, der Evaluation $ \op{ev} : V \ra V^{\top\top}$ aus \eref{ev1}{LA1}. \end{Ubung} \begin{Ubunge}\label{UeTk} Gegeben ein K"orper $K$ induziert die Multiplikation einen Isomorphismus $K[X] \otimes_K K[Y] \overset{\sim}{\rightarrow} K[X,Y]$ zwischen dem Tensorprodukt zweier Polynomringe in einer Variablen und dem Polynomring in zwei Variablen. \end{Ubunge} \begin{Ubunge}\label{UeT} Die Multiplikation induziert einen Isomorphismus von reellen Vektorr"aumen $\mathbb R \otimes_{\mathbb Q} \mathbb Q [X] \overset{\sim}{\rightarrow} \mathbb R [X]$. Analoges gilt, wenn man $\mathbb R \supset \mathbb Q$ ersetzt durch ein beliebiges Paar $K \supset k$ bestehend aus einem K"orper mit einem Teilk"orper. \end{Ubunge} \begin{Ubunge}\label{UgTZ} Gegeben Vektorr"aume $V,W$ "uber einem K"orper $K$ und ein Untermonoid $G\subset \op{End}(W)$ ist die offensichtliche lineare Abbildung ein Isomorphismus $V\otimes (W^G)\sira (V\otimes W)^G$. Der obere Index $G$ steht hier f"ur den Teilraum der $G$-Invarianten. \end{Ubunge} \begin{Ubunge} Gegeben K"orper $k\subset K$ und ein $k$-Vektorraum $V$ wird $V_K=K\otimes_k V$ in offensichtlicher Weise ein $K$-Vektorraum. Man sagt, er entstehe aus $V$ durch {\bf Erweiterung der Skalare}.\index{Erweiterung der Skalare!bei Vektorr"aumen} Die \glqq kanonische\grqq\ $k$-lineare Abbildung $\op{can} : V \ra V_{K}$, $ v \mapsto 1 \otimes v$ hat dann die universelle Eigenschaft, da"s f"ur jeden $K$-Vektorraum $W$ das Vorschalten von $\op{can}: V \ra V_{K}$ eine Bijektion\label{EwSk} $$\op{Hom}_K(V_K,W)\sira \op{Hom}_k(V,W)$$ liefert. Weiter ist das Bild unter $\op{can}$ jeder $k$-Basis von $V$ eine $K$-Basis von $V_K$, und gegeben ein weiterer $k$-Vektorraum $W$ induziert die $k$-lineare Abbildung $V\otimes_k W\ra V_K\otimes_K W_K$, $v\otimes w\mapsto \op{can}(v)\otimes \op{can}(w)$ einen Isomorphismus $$(V\otimes_k W)_K\sira V_K\otimes_K W_K$$ Ist $V$ oder $K$ endlichdimensional "uber $k$, so liefert auch die $k$-lineare Abbildung $\op{Hom}_k(V,W)\ra \op{Hom}_K(V_K,W_K)$ gegeben durch $f\mapsto \op{id}\otimes f$ einen Isomorphismus $$(\op{Hom}_k(V,W))_K\sira \op{Hom}_K(V_K,W_K)$$ und insbesondere \glqq vertauscht das Erweitern der Skalare mit dem Bilden des Dualraums\grqq\ sowohl unter der Annahme $\op{dim}_kK<\infty$ als auch unter der Annahme $\op{dim}_kV<\infty$. In voller Allgemeinheit vertauschen diese Operationen jedoch nicht. Im Spezialfall $\DR\subset\DC$ bezeichnet man $V_\DC$ als {\bf Komplexifizierung}\index{Komplexifizierung} von $V$. \end{Ubunge} \begin{Ubunge}\label{SpKE} Ist $V$ ein $k$-Vektorraum und $f:V\ra V$ ein Endomorphismus endlichen Ranges und $k\subset K$ eine K"orpererweiterung, so gilt $\op{tr}_k(f|V)=\op{tr}_K(\op{id}\otimes f|V_K)$. \end{Ubunge} \begin{Bemerkunge} Ein alternativer vom Tensorprodukt unabh"angiger Zugang zur Komplexifizierung wird in \eref{Kompx}{ML} erkl"art. Etwas allgemeiner k"onnen wir, nun wieder mit unserem Tensorprodukt, f"ur jeden K"orperhomomorphismus $\varphi:k\hra K$ zu einem $k$-Vektorraum $V$ den $k$-Vektorraum $K\otimes_k^\varphi V$ erkl"aren. Ist speziell $ \varphi$ die komplexe Konjugation $c :\DC\ra\DC$, so erhalten wir einen Isomorphismus $\DC\otimes_\DC^c V\sira \overline{V}$ mit unserem komplex konjugierten Vektorraum $\overline{V}$ aus \ref{kkVe} vermittels der Abbildungsvorschrift $1\otimes v\mapsto \bar{v}$. \end{Bemerkunge} \begin{Ubunge} Gegeben ein Vektorraum $V$ und eine Teilmenge $T\subset V$ setzen wir $T^\perp = \{ f \in V^\top \mid f(t) = 0 \quad \forall t \in T\}$. Ist $V$ endlichdimensional und $W \subset V$ ein Teilraum, so zeige man, da"s unter der Identifikation $\op{End} V \overset{\sim}{\rightarrow} V \otimes V^\top$ die Identit"at $\op{id}_V$ stets im Teilraum $W \otimes V^\top + V \otimes W^\perp$ landet. \end{Ubunge} \begin{Ubunge}\label{kSp} Gegeben ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum $V$ kommutiert das Diagramm \begin{displaymath} \begin{array}{ccccc} \sum^n_{i=1} v_i \otimes v^\top_i &\in & V \otimes V^\top & \overset{\op{ev}}{\longrightarrow} &K\\ \downarrow & & \downarrow\!\wr & & \parallel \\ \op{id} & \in &\op{End} V & \overset{\op{tr}}{\longrightarrow} &K \end{array} \end{displaymath} Hier meint $v_1, \ldots, v_n$ eine beliebige Basis von $V$ und $v_1^\top, \ldots, v_n^\top$ die duale Basis von $V^\top$ und die mittlere Vertikale die in \ref{Ican} erkl"arte Injektion und $\op{ev}$ das Auswerten im Sinne von \ref{ev}. Die lineare Abbildung $K\ra V\otimes V^\top$ mit $1\mapsto \sum^n_{i=1} v_i \otimes v^\top_i$ nennen wir auch die {\bf Expansion der Identit"at}\index{Expansion der Identit"at} und notieren sie\index{ex@$\op{ex}$ Expansion der Identit"at} $$\op{ex}:K\ra V\otimes V^\top$$ Hat $V$ unendliche Dimension, so kommutiert das rechte Quadrat immer noch, wenn wir unten links nur Endomorphismen endlichen Ranges betrachten und ihre Spur wie in \eref{tru}{LA1} nehmen. Allerdings sind dann unser Tensorausdruck und unsere Expansion der Identit"at nicht mehr sinnvoll definiert und die Identit"at geh"ort auch nicht mehr zu den Endomorphismen endlichen Ranges. \end{Ubunge} \begin{Ubunge}\label{TeIn} Gegeben Mengen $X,Y$ und ein beliebiger K"orper $K$ liefert die offensichtliche Abbildung $f\otimes g\mapsto f\boxtimes g$ gegeben durch die Vorschrift $(f\boxtimes g)(x,y)\pdef f(x)g(y)$ eine Injektion\index{)xbox@$\boxtimes$ "au"seres Produkt!von Funktionen} $$\op{Ens}(X,K) \otimes \op{Ens}(Y,K) \hra \op{Ens}(X\times Y,K)$$ Man mag sich dazu auf \ref{KADT} st"utzen. Alternativ mag man auch unabh"angig zeigen, da"s f"ur $g_1,\ldots, g_n\in \op{Ens}(Y,K)$ linear unabh"angig und $f_1,\ldots, f_n\in \op{Ens}(X,K)$ beliebig aus $\sum f_i(x) g_i(y)=0$ f"ur alle $x,y$ bereits folgt, da"s alle $f_i$ die Nullfunktion sein m"ussen. Betrachtet man hier statt einem K"orper $K$ einen Kring, so ist die analoge Aussage im allgemeinen nicht mehr richtig, vergleiche \eref{GMZc}{KAG}. \end{Ubunge} \begin{Ubunge}\label{TVIn} Man zeige:\begin{enumerate}\item Gegeben Vektorr"aume $V,V^{\prime}, W, W^{\prime}$ liefert das Tensorieren von Abbildungen eine bilineare Abbildung $$\op{Hom} (V,V^{\prime})\times \op{Hom} (W, W^{\prime})\ra \op{Hom} (V \otimes W, V^{\prime} \otimes W^{\prime})$$ \item Die davon induzierte lineare Abbildung ist eine Injektion $$\op{Hom} (V,V^{\prime})\otimes \op{Hom} (W, W^{\prime})\hra \op{Hom} (V \otimes W, V^{\prime} \otimes W^{\prime})$$ \end{enumerate} Hinweis f"ur Teil 2: Man mag $V$ und $W$ als direkte Summe eindimensionaler R"aume schreiben und \ref{IPTe} anwenden. Alternative: Man mag ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit annehmen, da"s unsere Vektorr"aume frei sind "uber den Mengen $X,X'$, $Y,Y'$, und kann dann unter Verwendung von \ref{TeIn} beide Seiten in vertr"aglicher Weise einbetten in den Raum $\op{Ens}(X\times X'\times Y\times Y',K)$ aller Abbildungen von besagtem Produkt in den Grundk"orper $K$. \end{Ubunge} \begin{Ubung} Bezeichne $\tau:V\otimes V\ra V\otimes V$ die Vertauschung der Tensorfaktoren. Man zeige, da"s in Charakteristik Zwei der Teilraum der $\tau$-Invarianten erzeugt wird von allen $(v\otimes w + w\otimes v)$ zusammen mit allen $(v\otimes v)$. Man zeige, da"s in anderer Charakteristik Erstere ausreichen.\label{InvZ} \end{Ubung} \begin{Ubung} Bezeichne $\sigma:V\otimes V\otimes V\ra V\otimes V\otimes V$ die zyklische Vertauschung der Tensorfaktoren. Man zeige, da"s in Charakteristik Drei der Teilraum der $\sigma$-Invarianten erzeugt wird von allen $(u\otimes v\otimes w + v\otimes w\otimes u + w\otimes u\otimes v)$ zusammen mit allen $(v\otimes v\otimes v)$. Man zeige, da"s in anderer Charakteristik Erstere ausreichen.\label{InvD} \end{Ubung} \subsection{Multiverkn"upfung multilinearer Abbildungen*}\label{MMA} \begin{Beispiel} Gegeben Vektorr"aume $U',U'', U,V,W$ und eine bilineare Abbildung $f:U\times V\ra W$ sowie eine bilineare Abbildung $g:U'\times U''\ra U$ erhalten wir offensichtlich eine trilineare Abbildung $$U'\times U''\times V\ra W$$ durch die Vorschrift $(u',u'',v)\mapsto f(g(u',u''),v)$. Gegeben zus"atzlich ein ausgezeichneter Vektor $v\in V$ erhalten wir eine bilineare Abbildung $$U'\times U''\ra W$$ durch die Vorschrift $(u',u'')\mapsto f(g(u',u''),v)$. Diese Konstruktionen sind beide Spe\-zial\-f"alle f"ur die \glqq Multiverkn"upfung\grqq\ multilinearer Abbildungen, die wir im folgenden besprechen. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Notation f"ur multilineare Abbildungen}] Seien $K$ ein K"orper, $n\geq 0$ eine nat"urliche Zahl und $V_1,\ldots, V_n, W$ Vektorr"aume "uber $K$. Wir verwenden im folgenden f"ur Mengen von multilinearen Abbildungen die alternative Notation\label{Mulin} $$\op{Mod}_K(V_1\curlyvee\ldots\curlyvee V_n,W)\pdef \op{Hom}_K^{(n)}(V_1\times\ldots\times V_n,W)$$ Da durch die Verwendung des Symbols $\curlyvee$ als Trenner keine Verwechslungsgefahr mit linearen Abbildungen aus dem Produktvektorraum besteht, k"onnen wir den oberen Index $(n)$ auf der linken Seite weglassen. Im Fall $n=0$ notieren wir diese Menge $\op{Mod}_K(\curlyvee,W)$. Das K"urzel $\op{Mod}_K$ steht f"ur \glqq $K$-Modul\grqq, ein Synonym f"ur \glqq $K$-Vektorraum\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Multiverkn"upfung multilinearer Abbildungen}] Seien $K$ ein K"orper und $n,m\geq 0$ und $U_1,\ldots, U_m,V_1,\ldots, V_n, W$ Vektorr"aume "uber $K$. Seien $f$ eine multilineare Abbildung $$f\in \op{Mod}_K(V_1\curlyvee\ldots\curlyvee V_n,W)$$ und $\varphi:\{1,\ldots,m\}\ra\{1,\ldots,n\}$ eine Abbildung und\label{MuliV} $$g_i\in \op{Mod}_K(U_{\varphi^{-1}(i)},V_i)$$ multilineare Abbildungen von der auf die Faser $\varphi^{-1}(i)$ eingeschr"ankte Familie mit der induzierten Anordnung. Ausgeschrieben meinen wir also $$g_i\in \op{Mod}_K(U_{\nu(1)}\curlyvee\ldots\curlyvee U_{\nu(r)},V_i)$$ f"ur $\nu(1)<\ldots<\nu(r)$ die der Gr"o"se nach geordneten Elemente der Faser $\varphi^{-1}(i)$. So erkl"aren wir in der hoffentlich offensichtlichen Weise die {\bf Multiverkn"upfung} unserer multilinearen Abbildungen,\index{Multiverkn"upfung!von multilinearen Abbildungen} eine multilineare Abbildung $$f\circ (\varphi,g_1\curlyvee\ldots\curlyvee g_n)\in \op{Mod}_K(U_{1}\curlyvee\ldots\curlyvee U_{m},W)$$ Die Symbole $\curlyvee$ sind dabei auch links nur als Trenner zu verstehen, die andeuten, da"s wir mit Multiverkn"upfungen arbeiten. Ist $\varphi$ monoton wachsend und surjektiv, so lassen wir es gerne aus der Notation weg. Unsere trilineare Abbildung aus obigen Beispiel hie"se dann $f\circ (g\curlyvee\op{id}_V)$ und unsere letzte bilineare Abbildung w"are die Multiverkn"upfung $f\circ (g\curlyvee v)$ f"ur $v\in \op{Mult}_K(\curlyvee,V)$ das Bild von $v$ unter der kanonischen Bijektion $V\sira\op{Mult}_K(\curlyvee,V)$. Die Multiverkn"upfung multilinearer Abbildungen ist \glqq assoziativ\grqq\ in einer hoffentlich offensichtlichen Weise, die ich an dieser Stelle nicht weiter formalisieren will. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Multiverkn"upfung universeller multilinearer Abbildungen}] Sei $K$ ein K"orper. Viele unserer Regeln f"ur das Rechnen mit Tensorprodukten lassen sich zusammenfassen als einfache Konsequenzen der Tatsache, da"s jede Multiverkn"upfung universeller multilinearer Abbildungen wieder universell ist. Sind also in der obigen Notation $f$ und alle $g_i$ universell, so auch $f\circ (\varphi,g_1\curlyvee\ldots\curlyvee g_n)$. Zum Beispiel ist die Identit"at $\op{id}_V:V\ra V$ universell $1$-linear und der Morphismus $1:\ast\ra K$ universell $0$-linear und $\tau:V\times K\ra V\otimes K$ universell bilinear. Es folgt, da"s auch $\tau\circ (\op{id}_V\curlyvee 1)$ universell $1$-linear alias ein Isomorphismus ist, als da hei"st, die Abbildung $V\ra V\otimes K$ gegeben durch $v\mapsto v\otimes 1$ ist ein Isomorphismus. Das zeigt dann auch, da"s das Vorschalten der $0$-linearen Abbildung $\ast\ra K$ f"ur jeden Vektorraum $W$ eine Bijektion\label{MUMU} $\op{Mod}_K(V\curlyvee K,W)\sira \op{Mod}_K(V,W)$ liefert. Einen f"ur diese und "ahnliche Situationen ma"sgeschneiderten formalen Rahmen bilden die \glqq Schmelzkategorien\grqq, die in \eref{Multik}{TSK} eingef"uhrt werden. \end{Bemerkungl} \subsection{Bezug zur physikalischen Terminologie*} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Notation}] Im folgenden verwende ich die in der Physik "ubliche Notation mit oberen und unteren Indizes und der Konvention, da"s "ublicherweise die Summationsindizes einmal oben und einmal unten auftreten. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Kontravariante Tensoren erster Stufe sind Vektoren}] Sei $V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum. Unter einem {\bf kontravarianten physikalischen Tensor erster Stufe zu $V$}\index{Tensor!physikalisch, kontravariant} verstehen wir eine Vorschrift $T$, die jeder angeordneten Basis $\mathcal B=(\vec w_1,\ldots,\vec w_n)$ von $V$ ein Zahlentupel $(T(\mathcal B)^{k})_{k=1}^n$ so zuordnet, da"s f"ur jede weitere angeordnete Basis $\mathcal A=(\vec v_1,\ldots,\vec v_n)$ von $V$ mit den Eintr"agen $A^i_k$ der Basiswechselmatrix gegeben durch $\vec w_k=\sum_i A^i_k \vec v_i$ gilt $$T(\mathcal A)^{i}= \sum_{k}T(\mathcal B)^{k} A^i_k\qquad\text{alias}\qquad T(\mathcal B)^{k}= \sum_{i}T(\mathcal A)^{i} (A^{-1})^k_i$$ mit den Eintr"agen der inversen Matrix rechts. F"ur jeden Vektor $\vec u$ erhalten wir einen derartigen kontravarianten Tensor erster Stufe $T=T_{\vec u}$ durch die Vorschrift, da"s jeder angeordneten Basis dasjenige Tupel $(T(\mathcal B)^{k})$ zuordnet werden m"oge, das gegeben wird durch $\vec u=\sum T(\mathcal B)^k \vec w_k$. In der Tat gilt dann $$\vec u=\sum_k T(\mathcal B)^k \vec w_k =\sum_{k,i} T(\mathcal B)^k A^i_k \vec v_i=\sum_{i} T(\mathcal A)^i \vec v_i $$ und somit $T(\mathcal A)^i=\sum_{k} T(\mathcal B)^k A^i_k$. Unsere Abbildung $\vec u\mapsto T_{\vec u}$ liefert sogar, wie man leicht pr"uft, eine Bijektion zwischen der Menge $V$ und der Menge aller kontravarianten Tensoren erster Stufe zu $V$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Kovariante Tensoren erster Stufe sind Kovektoren}] Seien $K$ ein K"orper und $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Ein {\bf kovarianter physikalischer Tensor erster Stufe zu $V$}\index{Tensor!physikalisch, kovariant} ist eine Vorschrift $T$, die jeder angeordneten Basis $\mathcal B=(\vec w_1,\ldots,\vec w_n)$ von $V$ ein Zahlentupel $(T(\mathcal B)_{k})_{k=1}^n$ so zuordnet, da"s f"ur jede weitere angeordnete Basis $\mathcal A=(\vec v_1,\ldots,\vec v_n)$ von $V$ mit den Eintr"agen $A^i_k$ der Basiswechselmatrix gegeben durch $\vec w_k=\sum_i A^i_k \vec v_i$ gilt $$T(\mathcal B)_{k}= \sum_{i} A^i_kT(\mathcal A)_{i}$$ F"ur jede Linearform $\lambda:V\ra K$ alias jedes Element des Dualraums $\lambda\in V^\top$ erhalten wir einen derartigen kovarianten Tensor erster Stufe $T=T_{\lambda}$ durch die Vorschrift, da"s jeder angeordneten Basis dasjenige Tupel $(T(\mathcal B)_{k})$ zuordnet werden m"oge, das gegeben wird durch die Koeffizienten der Darstellung von $\lambda$ in der dualen Basis, in Formeln $\lambda=\sum_k T(\mathcal B)_k \vec w_k^\top$. In der Tat gilt dann $$ T(\mathcal B)_k=\lambda(\vec w_k)=\sum_i A^i_k \lambda(\vec v_i)= \sum_{i} A^i_kT(\mathcal A)_i $$ Unsere Abbildung $\lambda\mapsto T_{\lambda}$ liefert sogar, wie man leicht pr"uft, eine Bijektion zwischen dem Dualraum $V^\top$ und der Menge aller kovarianten Tensoren erster Stufe zu $V$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Kovariante Tensoren zweiter Stufe sind Bilinearformen}] Sei $V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum "uber einem K"orper $K$. Ein {\bf kovarianter physikalischer Tensor zweiter Stufe zu $V$}\index{Tensor!physikalisch, kovariant} ist eine Vorschrift $T$, die jeder angeordneten Basis $\mathcal B=(\vec w_1,\ldots,\vec w_n)$ von $V$ ein Zahlentupel $(T(\mathcal B)_{kl})_{k,l=1}^n$ so zuordnet, da"s f"ur jede weitere angeordnete Basis $\mathcal A=(\vec v_1,\ldots,\vec v_n)$ von $V$ mit den Eintr"agen $A^i_k$ der Basiswechselmatrix gegeben durch $\vec w_k=\sum_i A^i_k \vec v_i$ gilt $$T(\mathcal B)_{kl}= \sum_{i,j}A^j_l A^i_kT(\mathcal A)_{ij}$$ F"ur jede bilineare Abbildung $b:V\ra K$ erhalten wir einen derartigen kovarianten Tensor zweiter Stufe $T=T_{b}$ durch die Vorschrift, da"s jeder angeordneten Basis dasjenige Tupel $(T(\mathcal B)_{kl})$ zuordnet werden m"oge, das gegeben wird durch die Vorschrift $ T(\mathcal B)_{kl} \pdef b(\vec w_k, \vec w_l)$. In der Tat gilt dann $$ T(\mathcal B)_{kl}=b(\vec w_k, \vec w_l)=\sum_{i,j} A^i_kA^j_l b(\vec v_i,\vec v_j)= \sum_{i,j} A^i_kA^j_lT(\mathcal A)_{ij} $$ Unsere Abbildung $b\mapsto T_{b}$ liefert sogar, wie man leicht pr"uft, eine Bijektion zwischen dem Raum $\op{Hom}_K^{(2)}(V\times V,K)$ von bilinearen Abbildungen und der Menge aller kovarianten Tensoren zweiter Stufe zu $V$. \end{Bemerkungl}\begin{Bemerkungl}[\textbf{Kontravariante Tensoren zweiter Stufe sind duale Bilinearformen}] Sei $V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum "uber einem K"orper $K$. Ein {\bf kontravarianter physikalischer Tensor zweiter Stufe}\index{Tensor!physikalisch, kontravariant} ist eine Vorschrift $T$, die jeder angeordneten Basis $\mathcal B=(\vec w_1,\ldots,\vec w_n)$ von $V$ ein Zahlentupel $(T(\mathcal B)^{kl})_{k,l=1}^n$ so zuordnet, da"s f"ur jede weitere angeordnete Basis $\mathcal A=(\vec v_1,\ldots,\vec v_n)$ von $V$ mit den Eintr"agen $A^i_k$ der Basiswechselmatrix gegeben durch $\vec w_k=\sum_i A^i_k \vec v_i$ gilt $$T(\mathcal A)^{ij}= \sum_{k,l} A^i_kA^j_lT(\mathcal B)^{kl}\qquad \text{alias}\qquad T(\mathcal B)^{kl}= \sum_{i,j}(A^{-1})^k_i(A^{-1})^l_jT(\mathcal A)^{ij}$$ F"ur jede bilineare Abbildung $\beta:V^\top\times V^\top \ra K$ erhalten wir einen derartigen kovarianten Tensor zweiter Stufe $T=T_{\beta}$ durch die Vorschrift, da"s jeder angeordneten Basis dasjenige Tupel $(T(\mathcal B)^{kl})$ zuordnet werden m"oge, das gegeben wird durch die Vorschrift $ T(\mathcal B)^{kl} \pdef \beta(\vec w_k^\top, \vec w_l^\top)$. In der Tat folgt aus $\vec w_k=\sum_i A^i_k \vec v_i$ bereits $\vec v_i^\top(\vec w_k)=A^i_k$ alias $\vec v_i^\top= \sum_k A^i_k \vec w_k^\top$ und somit $$ T(\mathcal A)^{ij}=\beta(\vec v_i^\top, \vec v_j^\top) =\sum_{k,l} A^i_kA^j_l\beta(\vec w_k^\top, \vec w_l^\top)=\sum_{k,l} A^i_kA^j_lT(\mathcal B)^{kl}$$ Unsere Abbildung $b\mapsto T_{\beta}$ liefert sogar, wie man leicht pr"uft, eine Bijektion zwischen dem Raum $\op{Hom}_K^{(2)}(V^\top\times V^\top,K)$ von bilinearen Abbildungen und der Menge aller kontravarianten Tensoren zweiter Stufe zu $V$. Zusammen mit \ref{KADT} erhalten wir dann auch eine Bijektion zwischen $V\otimes V$ und der Menge aller kontravarianten Tensoren zweiter Stufe zu $V$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Ko-kontravariante Tensoren zweiter Stufe sind Endomorphismen}] Sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Ein {\bf ko-kontravarianter physikalischer Tensor zweiter Stufe zu $V$}\index{Tensor!physikalisch, ko-kontravariant} ist eine Vorschrift $T$, die jeder angeordneten Basis $\mathcal B=(\vec w_1,\ldots,\vec w_n)$ ein Zahlentupel $(T(\mathcal B)_{k}^l)_{k,l=1}^n$ so zuordnet, da"s f"ur jede weitere angeordnete Basis $\mathcal A=(\vec v_1,\ldots,\vec v_n)$ von $V$ mit den Eintr"agen $A^i_k$ der Basiswechselmatrix gegeben durch $\vec w_k=\sum_i A^i_k \vec v_i$ gilt $$T(\mathcal B)_{k}^l= \sum_{i,j}(A^{-1})^l_j A^i_kT(\mathcal A)_{i}^j$$ F"ur jede lineare Abbildung $f:V\ra V$ erhalten wir einen derartigen ko-kontra\-varianten Tensor zweiter Stufe $T=T_{f}$ durch die Vorschrift, da"s jeder angeordneten Basis dasjenige Tupel $(T(\mathcal B)_{k}^l)$ zuordnet werden m"oge, das gegeben wird durch die Vorschrift $f(\vec w_k)=\sum_l T(\mathcal B)_{k}^l \vec w_l$. In der Tat gilt dann $$ \sum_l T(\mathcal B)_{k}^l \vec w_l=\! f(\vec w_k)\!=\!\sum_i A^i_k f(\vec v_i)= \!\sum_{i,j} A^i_k T(\mathcal A)_{i}^j \vec v_j =\!\sum_{i,j,l} A^i_k T(\mathcal A)_{i}^j (A^{-1})^l_j\vec w_l$$ Unsere Abbildung $f\mapsto T_{f}$ liefert sogar, wie man leicht pr"uft, eine Bijektion zwischen der Menge $\op{End}_K(V)$ aller Endomorphismen von $V$ und der Menge aller ko-kontravarianten Tensoren zweiter Stufe zu $V$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Allgemeine physikalische Tensoren als multilineare Abbildungen}] Sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum.\label{phyT} Gegeben $r,s\geq 0$ definiert man einen {\bf $r$-ko-$s$-kontravarianten physikalischen Tensor zu $V$}\index{Tensor!physikalisch, ko-kontravariant} als eine Vorschrift $T$, die jeder angeordneten Basis $\mathcal B=(\vec w_1,\ldots,\vec w_n)$ ein von $r$ unteren und $s$ oberen Indizes aus $1,\ldots,n$ abh"angendes Zahlentupel so zuordnet, da"s die Tupel zu verschiedenen angeordneten Basen in einer Weise zusammenh"angen, die ich hier nur noch im Fall $r=2$ und $s=1$ ausf"uhre: In diesem Fall fordert man, da"s f"ur jede weitere angeordnete Basis $\mathcal A=(\vec v_1,\ldots,\vec v_n)$ von $V$ mit den Eintr"agen $A^i_k$ der Basiswechselmatrix gegeben durch $\vec w_k=\sum_i A^i_k \vec v_i$ gilt $$T(\mathcal B)_{kl}^m= \sum_{i,j,p}(A^{-1})^m_p A^i_kA^j_lT(\mathcal A)_{ij}^p$$ Wie zuvor kann man jeder multilinearen Abbildung $u:V^r\times (V^\top)^s\ra K$ einen $r$-ko-$s$-kontravarianten Tensor $T_u$ zuordnen, der in unserem Spezialfall $(r,s)=(2,1)$ gegeben wird durch $T_u(\mathcal B)_{kl}^m=u(\vec w_k, \vec w_l,\vec w_m^\top)$, und wieder erhalten wir so eine Bijektion zwischen der Menge $\op{Hom}_K^{(r+s)}(V^r\times (V^\top)^s,K)$ von multilinearen Abbildungen und der Menge aller $r$-ko-$s$-kontravarianten Tensoren zweiter Stufe zu $V$. Alternativ erhalten wir mit unserem Satz \ref{KADT} auch zu jedem Element von $t\in (V^\top)^{\otimes r}\otimes V^{\otimes s}$ einen $r$-ko-$s$-kontravarianten Tensor $T_t$, der in unserem Spezialfall $(r,s)=(2,1)$ gegeben wird durch $$t=\sum _{m,k,l}T_t(\mathcal B)_{kl}^m\; \vec w_k^\top\otimes \vec w_l^\top\otimes\vec w_m $$ Auch diese Zuordnung ist bijektiv und erkl"art den Zusammenhang der beiden Tensorbegriffe. \end{Bemerkungl} \subsection{Geometrie in euklidischen Vektorr"aumen} \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildUSP}\\[4mm] \noindent Das folgende ist eine nicht ganz mathematische "Ubung: Man sch"atze ab, ob das durch die eingezeichnete L"angeneinheit und die anschauliche Kongruenzgruppe gegebene Skalarprodukt der beiden hier gezeichneten Vektoren gr"o"ser ist als Zehn. Man verwende dabei nur ein Papier mit einer geraden Kante, das man kniffen darf, um einen rechten Winkel zu erzeugen, einen Bleistift zum Abtragen von L"angen, und Augenma"s. Man beachte, wie hierbei die Kongruenzgruppe zu Anwendung kommt. \end{Bild} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein endlichdimensionaler Vektorraum $V$ "uber einem angeordneten K"orper $K$ erinnern wir seine\label{KPmjn} zweielementige Orientierungsmenge $\op{or}(V)$ aus \eref{KPOjn}{LA1} und erkl"aren seine {\bf Orientierungsgerade}\index{Orientierungsgerade!eines Vektorraums} als den eindimensionalen Vektorraum $$\op{or}_K(V)\pdef\{a: \op{or}(V)\ra K\mid \text{Die Summe der beiden Werte von $a$ ist Null}\}$$ Wir erhalten eine Injektion $\op{or}(V)\hra \op{or}_K(V)$, indem wir jeder Orientierung $\varepsilon \in \op{or}(V)$ diejenige Funktion $a\in \op{or}_K(V)$ mit $f(\varepsilon)=1$ zuordnen. Besagte Injektion behandeln wir von nun an in der Notation wie die Einbettung einer Teilmenge. F"ur jeden Vektorraumisomorphismus $f:V\sira W$ l"a"st sich unsere Bijektion $\op{or}(f)$ zwischen den Orientierungsmengen auf genau eine Weise zu einem Isomorphismus $ \op{or}_K(f):\op{or}_K(V)\sira \op{or}_K(W)$ ihrer Orientierungsgeraden ausdehnen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ich erinnere an den Begriff \ref{Laenge} eines euklidischen Vektorraums $V$ mit seiner L"angengerade $\mathbb L=\mathbb L(V)$. %Ich erinnere weiter im Fall %$\op{dim}(V)=2$ an den orientierten %Fl"acheninhalt $\op{vol}:V\times V\ra %\op{or}_\DR(V)\otimes \mathbb L^{\otimes 2}$ aus \ref{oFI}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} F"ur jeden endlichendimensionalen euklidischen Vektorraum $V$ gibt es genau eine alternierende Abbildung mit $v_1\otimes \ldots\otimes v_n\mapsto \varepsilon \otimes \|v_1\|\otimes \ldots\otimes\| v_n\|$ f"ur eine und jede angeordnete Basis $v_1, \ldots, v_n$ der Orientierung $\varepsilon$ aus paarweise orthogonalen Vektoren,\label{kSpa} die {\bf geometrische Volumenform}\index{Volumenform!geometrische} $$\omega:V^{\otimes n}\ra \op{or}_\DR(V)\otimes \mathbb L(V)^{\otimes n}$$ In der Tat hat jede orthogonale Matrix die Determinante $\pm 1$ und das zeigt, da"s eine alternierende Abbildung, die diese Eigenschaft f"ur eine Basis aus paarweise orthogonalen Vektoren hat, sie f"ur jede solche Basis haben mu"s. Den Fall $n=2$ haben Sie im orientierten Fall bereits in "Ubung \ref{oFI} diskutiert. Im Fall $n=3$ notieren wir unsere Abbildung $$u\otimes v\otimes w\mapsto \langle u,v,w\rangle$$ und nennen sie das {\bf geometrische Spatprodukt}.\index{Spatprodukt!geometrisches} F"ur jeden euklidischen Homomorphismus $f:V\ra W$ von euklidischen Vektorr"aumen derselben Dimension $n$ kommutiert weiter das Diagramm $$\xymatrix{ V^{\otimes n} \ar[rr]\ar[d]_-{f^{\otimes n}} & & \op{or}_\DR(V)\otimes\mathbb L(V)^{\otimes n}\ar[d]^-{\op{or}_\DR(f)\otimes \mathbb L(f)^{\otimes n}}\\ W^{\otimes n}\ar[rr] & & \op{or}_\DR(W)\otimes\mathbb L(W)^{\otimes n} } $$ Diese Erkenntnis bringt die Nat"urlichkeit unserer Konstruktion formal zum Ausdruck und rechtfertigt die Bezeichnung \glqq geometrisch\grqq. Mehr dazu diskutieren wir im Zusammenhang mit \glqq Transformationen von Funktoren\grqq\ in \ref{ksTT}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Das Tensorquadrat der L"angengerade eines euklidischen Vektorraums nennen wir seine {\bf Gerade von Fl"acheneinheiten} oder kurz seine {\bf Fl"achengerade}\index{Fl"achengerade}.\label{uizt} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw}[\textbf{Fl"achen- und Volumenma"se}] Gegeben ein euklidischer Raum $E$ endlicher Dimension $n$ mit L"angengerade $\mathbb L$ ordnen wir in \eref{ImE}{AN2} jeder kompakten $k$-Fastfaltigkeit $M\subset E$ ein Volumen $\int_M 1\in \mathbb L^{\otimes k}$ so zu, da"s f"ur beliebige paarweise orthogonale von Null verschiedene Richtungsvektoren $v_1,\ldots,v_k\in\vec E$ und jeden Punkt $p\in E$ der kompakten $k$-Fast\-fal\-tig\-keit $M\pdef p+[0,1]v_1+\ldots+[0,1]v_k$ das Volumen $\int_M 1=\|v_1\|\otimes\ldots\otimes \|v_k\|\in \mathbb L^{\otimes k}$ zugeordnet wird und im Fall $\op{dim}E=3$ der Sph"are $S\pdef \{q\in E\mid \|q-p\|=l\}$ mit Zentrum $p\in E$ und Radius $l\in \mathbb L$ die Fl"ache $\int_S 1 =4\pi l^{\otimes 2}$. Auch in der Mathematik werden also salopp gesprochen \glqq Fl"achen in Quadratmetern gemessen\grqq. \end{Bemerkungw} %\begin{Bemerkungl}\label{Ske} % Gegeben ein reeller Vektorraum $V$ und ein % eindimensionaler reeller Vektorraum $ L$ %verstehen wir unter einem % {\bf Skalarprodukt auf $V$ mit Einheiten in $ % L$}\index{Skalarprodukt!mit Einheiten} eine % bilineare Abbildung $V\times V\ra L^{\otimes 2}$, $( {v}, % {w}) \mapsto\langle {v}, {w}\rangle$ derart, da"s gilt $\langle % {v}, {w}\rangle=\langle {w}, {v}\rangle$ f"ur alle $ {v}, {w}\in % V$ und $ {v}\neq {0}\RA \langle {v}, {v}\rangle \in \{a^{\otimes % 2}\mid a\in L\backslash 0\}$. %\end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} F"ur jeden \hyperref[Eukl]{euklidischen Vektorraum} $V$ erkl"aren wir sein {\bf konkretes Skalarprodukt}\index{Skalarprodukt!konkretes} als die eindeutig bestimmte symmetrische bilineare Abbildung\label{kaSK} $$\langle\;,\;\rangle=\langle\;,\;\rangle_V:V\times V\ra \mathbb L^{\otimes 2}$$ in seine Fl"achengerade derart, da"s f"ur jeden Vektor $v\in V$ gilt $\langle v,v\rangle=\|v\|^2$. Es kann beschrieben werden durch die Polarisierungsidentit"at $\langle v,w\rangle=\frac{1}{2}(\|v+w\|^2-\|v\|^2-\|w\|^2)$ oder auch durch die Formel $$\langle a{\op{e}}_1+\ldots +c{\op{e}}_n,x{\op{e}}_1+\ldots+z{\op{e}}_n\rangle=(ax+\ldots +cz)l^2$$ f"ur beliebige paarweise orthogonale Vektoren ${\op{e}}_1,\ldots,{\op{e}}_n$ derselben L"ange $\|{\op{e}}_1\|=\ldots=\|{\op{e}}_n\|=l\in\mathbb L$. F"ur jeden euklidischen Homomorphismus $f:V\ra W$ von euklidischen Vektorr"aumen kommutiert dann das Diagramm $$\xymatrix{ V\times V \ar[rr]^-{\langle\;,\;\rangle_V}\ar[d]_-{f\times f} & & \mathbb L(V)^{\otimes 2}\ar[d]^-{\mathbb L(f)^{\otimes 2}}\\ W\times W\ar[rr]^-{\langle\;,\;\rangle_W} & & \mathbb L(W)^{\otimes 2} } $$ Es bringt die Nat"urlichkeit unserer Konstruktion formal zum Ausdruck und rechtfertigt die Bezeichnung \glqq konkret\grqq. Mehr dazu diskutieren wir im Zusammenhang mit \glqq Transformationen von Funktoren\grqq\ in \ref{ksTT}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Pythagoras}] In einem euklidischen Vektorraum sind zwei Vektoren $v,w$ genau dann orthogonal, wenn in der zugeh"origen Fl"achengerade $\mathbb L^{\otimes 2}$ gilt $$\|v\|^2+\|w\|^2=\|v+w\|^2$$ In der Tat folgt das unmittelbar aus der entsprechenden Aussage f"ur Skalarproduktr"aume. Insbesondere gilt es f"ur den Richtungsraum einer Kongruenzebene. \end{Bemerkungl} \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildSKF}\\[4mm] \noindent Anschauliche Bedeutung des konkreten Skalarprodukts $\langle {v}, {w}\rangle$ als Fl"ache \end{Bild} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Zus"atzliche Anschauung f"ur das Skalarprodukt}] Man mag sich das konkrete Skalarprodukt $\langle v,w\rangle$ im Fall eines zweidimensionalen euklidischen Vektorraums $V$ vorstellen, indem man eine der beiden Drehungen\label{zas} um einen rechten Winkel ausw"ahlt, sie $r$ nennt, und dann bemerkt, da"s $\langle v,w\rangle=\omega(rv,w)$ der orientierte Fl"acheninhalt von $(rv,w)$ im Sinne von \ref{kSpa} ist f"ur diejenige Orientierung $\varepsilon=\varepsilon_r$ von $V$, die mit $r$ vertr"aglich ist in der Weise, da"s $(ru,u)$ f"ur alle $u\neq 0$ eine positiv orientierte Basis von $V$ ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Kreuzprodukt f"ur dreidimensionale euklidische Vektorr"aume}] Gegeben ein dreidimensionaler euklidischer Vektorraum $V$ mit L"angengerade $\mathbb L$ gibt es genau eine alternierende bilineare Abbildung\label{KRA} $$\times=\times_V: V\times V\ra V\otimes \op{or}_\DR(V)\otimes\mathbb L$$ mit der Eigenschaft $(v_1, v_2)\mapsto v_3\otimes \varepsilon\otimes l$ f"ur jede angeordnete Orthogonalbasis $ v_1, v_2, v_3$ der Orientierung $\varepsilon$ aus Vektoren derselben L"ange $\| v_1\|=\| v_2\|= \| v_3\|=l\in\mathbb L$. Wir nennen sie das {\bf konkrete Kreuzprodukt}\index{Kreuzprodukt!konkretes} und notieren sie wieder $( v, w)\mapsto v\times w$. F"ur jeden euklidischen Homomorphismus $f:V\ra W$ von euklidischen Vektorr"aumen kommutiert dann das Diagramm $$\xymatrix{ V\times V \ar[rr]^-{\times_V}\ar[d]_-{f\times f} & & V\otimes \op{or}_\DR(V)\otimes \mathbb L(V)\ar[d]^-{f\otimes \op{or}_\DR(f)\otimes\mathbb L(f)}\\ W\times W\ar[rr]^-{\times_W} & & W\otimes \op{or}_\DR(W)\otimes \mathbb L(W) } $$ Es bringt die Nat"urlichkeit unserer Konstruktion formal zum Ausdruck und rechtfertigt die Bezeichnung \glqq konkret\grqq. Mehr dazu diskutieren wir im Zusammenhang mit \glqq Transformationen von Funktoren\grqq\ in \ref{ksTT}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Spezialisierungen des konkreten Kreuzprodukts}] Jede Orientierung auf $V$ induziert andererseits einen Isomorphismus $\DR\sira \op{or}_\DR(V)$ und unser konkretes Kreuzprodukt vereinfacht sich so im Fall eines dreidimensionalen orientierten euklidischen Vektorraums zu einem Kreuzprodukt der Gestalt $$V\times V\ra V\otimes \mathbb L$$ Jedes Skalarprodukt aus der euklidischen Struktur eines euklidischen Vektorraums induziert einen Isomorphismus $\DR\sira \mathbb L$ und unser konkretes Kreuzprodukt vereinfacht sich so im Fall eines dreidimensionalen Skalarproduktraums zu einem Kreuzprodukt der Gestalt $$\qquad\quad V\times V\ra V\otimes \op{or}_\DR(V)$$ Im Fall eines dreidimensionalen orientierten Skalarproduktraums schlie"slich greifen beide Vereinfachungen und wir erhalten noch einmal unser bereits in \ref{KPOj} betrachtetes Kreuzprodukt $V\times V\ra V$. Im Fall $V=\DR^3$ mit seiner Stan\-dard\-ori\-en\-tie\-rung und seinem Standardskalarprodukt schlie"slich spezialisiert dieses Kreuzprodukt zu dem aus der Schule bekannten Kreuzprodukt $$(x,y,z)\times (a,b,c)=(yc-yb,za-xc,xb-ya)$$ \end{Bemerkungl} % \begin{Bemerkungl}[\textbf{Mathematisches Modell des Anschauungsraums}] % Ich fasse unser mathematisches Modell\label{MMAR} % des Anschauungsraums nocheinmal % zusammen: Wir modellieren ihn, wie in \eref{ANRA}{LA1} % erkl"art, als % einen dreidimensionalen reellen affinen Raum % $$\mathbb{E}$$ % zusammen\index{E@$\mathbb{E}$ Anschauungsraum} % mit einer ausgezeichneten Bewegungsgruppe im Sinne von \ref{BeGr} % und einer ausgezeichneten Orientierung. % Die Geraden entsprechen % unseren Sichtlinien, die ausgezeichneten Bewegungen % den anschaulichen Bewegungen, wie in \ref{Moo} ausgef"uhrt wird, % und die ausgezeichnete Orientierung der \glqq rechte-Hand-Orientierung\grqq\ % aus \ref{RHOn}. % Im Richtungsraum des Anschaungsraums erhalten wir dann % als Gruppe der linearen Anteile unserer ausgezeichneten Bewegungen eine % ausgezeichnete Drehgruppe im Sinne von \ref{DeDr}. % \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Man diskutiere, inwiefern das konkrete Skalarprodukt f"ur jeden endlichdimensionalen euklidischen Vektorraum $V$ einen nat"urlichen Isomorphismus\label{NaII} $$V^\top\sira V\otimes \mathbb L(V)^{\otimes(-2)}$$ induziert. Man dr"ucke dessen Nat"urlichkeit durch ein kommutatives Rechteck aus. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige, da"s \ref{kSpa} f"ur pseudoeuklidische Vektorr"aume $V$ einer endlichen Dimension unver"andert gilt: Es gibt immer noch genau eine alternierende multilineare Abbildung\label{kSpap} $$V^{\otimes n}\ra \op{or}_\DR(V)\otimes \mathbb L(V)^{\otimes n}$$ mit $v_1\otimes \ldots\otimes v_n\mapsto \varepsilon \otimes \|v_1\|\otimes \ldots\otimes\| v_n\|$ f"ur eine und jede angeordnete Basis $v_1, \ldots, v_n$ der Orientierung $\varepsilon$ aus paarweise orthogonalen Vektoren. Die L"angengerade $\mathbb L(V)$ und die L"angen $\|v\|$ sind dabei die in \ref{Laengep} erkl"arten. \end{Ubung} \subsection{Alternierende Tensoren und "au"sere Potenzen}\label{ATD} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Alternierende multilineare Abbildungen}] Gegeben Vektorr"aume $V,C$ "uber einem K"orper $K$ und $r\geq 0$ bezeichne $$\op{Alt}_K(V^{\times r}, C)\subset \op{Hom}^{(r)}_K(V^{\times r}, C)$$ den Teilraum der alternierenden multilinearen Abbildungen. Ich erinnere daran, da"s eine multilineare Abbildung von mehreren Kopien ein- und desselben Vektorraums in einen weiteren Vektorraum {\bf alternierend} hei"st, wenn sie den Nullvektor ausgibt, wann immer man sie auf einem Tupel mit zwei oder mehr gleichen Eintr"agen auswertet. Wir vereinbaren zus"atzlich wie in \eref{BAD}{AN2}\index{Alt@$\op{Alt}$ alternierende Formen} die Abk"urzung $\op{Alt}^{r}_K(V)\pdef\op{Alt}_K(V^{\times r}, K)$ f"ur den Raum der alternierenden Multilinearformen. Statt \glqq alternierend multilinear\grqq\ sagen meist k"urzer nur \glqq alternierend\grqq. Die Determinante kann als ein Element $\op{det}\in\op{Alt}^{n}_K(K^{n})$ aufgefa"st werden. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}% [\textbf{Universelle alternierende Abbildungen}] \begin{enumerate} \item Gegeben $r\geq 0$ und ein Vektorraum $V$ "uber einem K"orper $K$ existiert ein Paar $(A,\alpha)$ bestehend aus einem $K$-Vektorraum $A$ und einer alternierenden Abbildung $\alpha:V^{\times r}\ra A$ derart, da"s f"ur jeden weiteren $K$-Vektorraum $C$ das Vorschalten von $\alpha$ eine Bijektion $$(\circ\alpha):\op{Hom}_K(A,C) \;\sira\; \op{Alt}_K(V^{\times r}, C)$$ zwischen der Menge aller linearen Abbildungen $A\ra C$ und der Menge aller alternierenden Abbildungen $V^{\times r}\ra C$ induziert. Wir nennen solch ein $\alpha:V^{\times r}\ra A$ eine\index{universell!alternierende Abbildung} \emph{\bf universelle $r$-alternierende Abbildung}; \item Gegeben eine weitere universelle $r$-alternierende Abbildung $\beta: V^{\times r}\ra B$ existiert genau eine lineare Abbildung $c:A\ra B$ mit $c\circ\alpha=\beta $ und genau eine lineare Abbildung $d:B\ra A$ mit $ d\circ\beta=\alpha$ und diese Abbildungen sind zueinander inverse Isomorphismen zwischen $A$ und $B$. \end{enumerate} \label{TeKorA} \end{Satz} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Notation f"ur "au"sere Potenzen}] Der Beweis von\label{DefTA} Teil 2 ist identisch zum Beweis der Eindeutigkeit im Fall des Tensorprodukts zweier Vektorr"aume. Unsere Paare sind also \glqq eindeutig bestimmt bis auf eindeutigen Isomorphismus\grqq, wenn sie existieren. Insbesondere kommt es auf die genaue Konstruktion ebensowenig an wie auf die genaue Konstruktion der nat"urlichen oder der reellen Zahlen. So eine universelle $r$-alternierende Abbildung $\alpha: V^{\times r}\ra A$\label{Altt} verdient damit den bestimmten Artikel und eine Notation. Man nennt $A$ die {\bf $r$-te "au"sere Potenz von $V$}\index{"au"sere Potenz} und notiert diesen Vektorraum\index{)9@$\wedge$ Dachprodukt!$\bigwedge^r$ "au"sere Potenz} $$\textstyle \bigwedge^{r} V$$ und $(v_1,\ldots, v_r)\mapsto v_1\wedge\ldots\wedge v_r$ die universelle alternierende Abbildung f"ur $r\geq 1$. Im Fall $r=1$ w"ahlen wir stets $\bigwedge^{1} V\pdef V$ mit der Identit"at als universeller $1$-linearer Abbildung $\alpha:V^{\times 1}\ra V$, so da"s unsere Notation auch in diesem Fall nicht zweideutig wird. Im Fall $r=0$ w"ahlen wir "ublicherweise $\bigwedge^{0} V\pdef K$ mit der durch $\ast\mapsto 1_K$ bestimmten $0$-alternierenden alias beliebigen Abbildung $\alpha:\op{ens}=V^{\times 0}\ra K$. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Es bleibt nur Teil 1 zu zeigen. Dazu bilden wir in der $r$-ten Tensorpotenz von $V$ das Erzeugnis $J_r \subset V^{\otimes r}$ aller Tensoren mit zwei oder mehr gleichen Eintr"agen und betrachten die Verkn"upfung $\alpha: V\times \ldots \times V \rightarrow V^{\otimes r} \sra V^{\otimes r}/J_r$ der kanonischen multilinearen Abbildung mit der kanonischen Abbildung auf den Quotienten. Aufgrund der universellen Eigenschaften von Tensorprodukt und Quotient erhalten wir Isomorphismen \begin{equation*} \op{Alt} (V^{\times r},C) \;\;\overset{\sim}{\leftarrow} \; \;\{ g \in \op{Hom} (V^{\otimes r},C) \mid g (J_r) =0\} \;\;\overset{\sim}{\leftarrow} \; \;\op{Hom} (V^{\otimes r}/J_r, C) \end{equation*} So sehen wir, da"s $\alpha$ die geforderte universelle Eigenschaft hat. \end{proof} % \begin{Bemerkungl}[\textbf{"Au"sere Potenzen und alternierende Multilinearformen}] % Sei $K$ ein K"orper. % Ich erinnere daran, da"s wir in \eref{DALo}{LA1} % die Determinante % \begin{equation*} % \op{det} : \op{Mat} (n ; K) \rightarrow K % \end{equation*} % charakterisiert hatten als die eindeutig bestimmte multilineare alternierende % Funktion der Spaltenvektoren, die der Einheitsmatrix die Eins zuordnet. % Gegeben ein beliebiger $K$-Vektorraum $V$ und $r \geq 0$ setzen % wir nun wie in \eref{BAD}{AN3}\index{Alt@$\op{Alt}$!Raum alternierender Formen} % \begin{equation*} % \op{Alt}^r (V) \pdef \{ f: \underbrace{V\times % \ldots \times V}_{r \text{ Faktoren}} % \rightarrow % K \mid f \text{ ist multilinear und alternierend}\} % \end{equation*} % Im Spezialfall $r = 0$ ist das leere Produkt als einpunktige Menge % zu verstehen und $\op{Alt}^0 (V)$ als die Menge aller % \glqq $0$-multilinearen alternierenden\grqq\ alias beliebigen Abbildungen % von dieser % einpunktigen Menge % nach $K$, so da"s das Auswerten auf diesem einzigen Punkt % einen kanonischen % Isomorphismus $\op{Alt}^0 (V)\sira K$ definiert. % Wir fassen diesen Isomorphismus in unserer Notation hinfort % als Gleichheit $\op{Alt}^0 (V)= K$ auf. % Bezeichnet $J_r \subset V^{\otimes r}$ das Erzeugnis aller % Tensoren mit zwei gleichen % Eintr"agen, so liefert das Vorschalten der Verkn"upfung % $V\times \ldots \times V \rightarrow % V^{\otimes r} \sra V^{\otimes r}/J_r$ der kanonischen % multilinearen Abbildung % mit der kanonischen Abbildung auf den Quotienten aufgrund % der universellen Eigenschaften \ref{ULT} und \ref{kkS} % Isomorphismen % \begin{equation*} % \op{Alt}^r (V) \;\;\overset{\sim}{\leftarrow} \; % \;\{ g \in \op{Hom} (V^{\otimes r},K) % \mid g (J_r) =0\} \;\;\overset{\sim}{\leftarrow} \; % \;\op{Hom} (V^{\otimes r}/J_r, K) % \end{equation*} % Der Quotient $V^{\otimes r} /J_r$ hei"st die {\bf $r$-te % "au"sere Potenz von $V$}\index{"au"sere Potenzen!von Vektorraum} % und wird f"ur gew"ohnlich % \index{$\bigwedge^r V$ "au"sere Potenz!von Vektorraum} % \begin{equation*} % \bigwedge^r V\pdef V^{\otimes r} / J_r % \end{equation*} % notiert. Mit dieser Notation haben wir also einen kanonischen % Isomorphismus $(\bigwedge^r V)^\top % \overset{\sim}{\rightarrow} \op{Alt}^r (V)$ erhalten. % Im Extremfall $r =0$ verstehen wir hier % wieder $J_0=0$ und $V^{\otimes 0} = \bigwedge^0 V = K$ % und unser kanonischer Isomorphismus ist die Identit"at auf $K$. % \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Dachprodukt}] Sei $V$ ein Vektorraum. Gegeben $r, s \geq 0$ gibt es genau eine bilineare Abbildung \begin{equation*} \textstyle \bigwedge^r V \times \bigwedge^s V \;\;\rightarrow \;\;\bigwedge^{r +s} V \end{equation*} derart, da"s mit dem Zusammentensorieren von Tensoren in der oberen Horizontale\label{LaV} und besagter Abbildung in der unteren Horizontale das Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ V^{\otimes r} \times V^{\otimes s} \ar[r]\ar@{->>}[d] &V^{\otimes (r +s)} \ar@{->>}[d]\\ \bigwedge^r V \times \bigwedge^s V \ar[r] &\bigwedge^{r+s}V } \end{displaymath} kommutiert. Man folgert das unschwer aus "Ubung \ref{BilQ} zu auf Quotienten induzierten multilinaren Abbildungen, da die obere Horizontale unseres Diagramms sowohl $J_r \times V^{\otimes s}$ als auch $V^{\otimes r} \times J_s$ auf Teilmengen von $J_{r +s}$ abbildet. Unsere so konstruierte bilineare Abbildung\label{ddp} $ \bigwedge^r V \times \bigwedge^s V \rightarrow \bigwedge^{r+s} V $ notieren wir $\bwedge$. Per definitionem gilt $$(v_1\wedge\ldots\wedge v_p)\bwedge (w_1\wedge\ldots\wedge w_q)=v_1\wedge\ldots\wedge v_p\wedge w_1\wedge\ldots\wedge w_q$$ f"ur alle $v_i, w_j\in V$. Wir folgern die Assoziativit"at $ (\omega \bwedge \eta) \bwedge \xi = \omega \bwedge (\eta \bwedge \xi) $ f"ur alle $\omega \in \bigwedge^r V$, $ \eta \in \bigwedge^s V$ und $\xi \in \bigwedge^t V$, da allgemein multilineare und hier trilineare Abbildungen "ubereinstimmen, wenn sie auf Tupeln von Erzeugern dieselben Werte annehmen. Wir folgern weiter $v_1\wedge\ldots\wedge v_p=v_1\bwedge\ldots\bwedge v_p$ f"ur alle $v_i\in V$, wobei wir rechts implizit unsere Identifikation $V=\bigwedge^1V$ aus \ref{Altt} verwendet haben. Dadurch wird insbesondere unsere Notation $\bwedge$ obsolet und wir d"urfen und werden sie zu $\wedge$ vereinfachen ohne Mehrdeutigkeiten bef"urchten zu m"ussen. Die Verkn"upfung $(\omega, \eta) \mapsto \omega \wedge \eta$ hei"st das \defind{Dachprodukt}, englisch \defind{wedge-product},\index{)9@$\wedge$ Dachprodukt} franz"osisch \defind{produit ext\'{e}rieur}. Daf"ur gilt $v\wedge w=-w\wedge v$ und sogar st"arker $v\wedge v=0$ f"ur alle $v,w\in V$. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Seien $K$ ein K"orper, $V$ ein $K$-Vektorraum, $(v_i)_{i \in I}$ eine Basis von $V$ und $\leq$ eine Anordnung von $I$. Gegeben eine endliche Teilmenge $R \subset I$ mit $|R| = r $ erkl"aren wir $v_R \in \bigwedge^rV$ als das Dachprodukt \begin{equation*} v_R \pdef v_{i_{1}} \wedge \ldots \wedge v_{i_{r}} \end{equation*} f"ur $i_1 < i_2 < \ldots < i_r$ die der Gr"o"se nach geordneten Elemente von $R$. Im Extremfall $r=0$ vereinbaren wir $v_\emptyset\pdef 1\in K=\bigwedge^0V$. \end{Definition} \begin{Proposition}[\textbf{Basis und Dualraum f"ur "au"sere Potenzen}] Seien $K$ ein K"orper, $V$ ein $K$-Vektorraum und $r \geq 0$. So gilt:\label{APDn} \begin{enumerate} \item Es existiert genau eine bilineare Abbildung \begin{equation*} \textstyle \beta: \bigwedge^r (V^\top) \times \bigwedge^r V \rightarrow K \end{equation*} mit $((f_1 \wedge \ldots \wedge f_r), (w_1 \wedge \ldots \wedge w_r)) \mapsto \op{det} (f_i (w_j))$; % f"ur alle $f_i\in V^\top$ und $w_j\in V$; \item Diese bilineare Abbildung ist eine \hyperref[NAPP]{nichtausgeartete Paarung}; \item Ist $(v_i)_{i \in I}$ eine Basis von $V$ und w"ahlen wir auf der Indexmenge $I$ eine Anordnung, so bilden die Monome $v_R$ mit $R \subset I$ und $|R| =r $ eine Basis der $r$-ten "au"seren Potenz $\bigwedge^r V$. \end{enumerate} \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Man beachte, da"s unsere Abbildung von "au"seren Potenzen des Dualraums zum Dualraum der "au"seren Potenzen gewisse unkanonische Vorzeichenwahlen beinhaltet. Hier w"aren auch andere sinnvolle Wahlen von Vorzeichen denkbar, aber man mu"s sich halt einmal auf eine Konvention festlegen. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Eine Basis von $\bigwedge^2 \mathbb R^4$ besteht etwa aus den sechs Dachprodukten ${\op{e}}_1 \wedge {\op{e}}_2, {\op{e}}_1 \wedge {\op{e}}_3, {\op{e}}_1 \wedge {\op{e}}_4, {\op{e}}_2 \wedge {\op{e}}_3, {\op{e}}_2 \wedge {\op{e}}_4 \text{ und } {\op{e}}_3 \wedge {\op{e}}_4$. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}\label{cAlt} Im Zweifelsfall interpretieren wir $\bigwedge^r V^\top$ im folgenden als $\bigwedge^r (V^\top)$. Unsere nichtausgeartete Paarung aus \ref{APDn} induziert in der "ublichen Weise eine nat"urliche Injektion $\bigwedge^r (V^\top) \hra \left(\bigwedge^r V\right)^\top$. In Verbindung mit unserem kanonischen Isomorphismus $(\bigwedge^r V)^\top \sira \op{Alt}^r (V)$ aus \ref{Altt} induziert sie damit auch eine nat"urliche Injektion $$\bigwedge^r (V^\top) \hra \op{Alt}^r (V)$$ Im endlichdimensionalen Fall $\dim V < \infty$ zeigt ein Dimensionsvergleich unter Verwendung der vorhergehenden Proposition, da"s alle diese Injektionen Isomorphismen sind. Im allgemeinen gilt das jedoch nicht. \end{Bemerkungl} \begin{proof} 1. Unsere Abbildungsvorschrift definiert offensichtlich eine bilineare Abbildung \begin{equation*} (V^\top)^{\otimes r} \times V^{\otimes r} \rightarrow K \end{equation*} Diese bilineare Abbildung verschwindet offensichtlich auf allen Paaren, bei denen rechts oder links zwei Tensorfaktoren gleich sind. Nach "Ubung \ref{BilQ} zu auf Quotienten induzierten multilinearen Abbildungen induziert sie folglich die Abbildung, deren Existenz in der Proposition behauptet wird. \\[2mm]\noindent 3. Alle Tensoren $v_{i_{1}} \otimes \ldots \otimes v_{i_{r}}$ f"ur $i_1, \ldots , i_r \in I$ beliebig erzeugen nach \ref{BaTeB} die $r$-te Tensorpotenz $V^{\otimes r}$. Alle Dachprodukte $v_{i_{1}} \wedge \ldots \wedge v_{i_{r}}$ erzeugen folglich die $r$-te "au"sere Potenz $\bigwedge^r V$. Beim Umordnen derartiger Dachprodukte "andert sich h"ochstens das Vorzeichen, und kommt ein Vektor doppelt vor, ist das fragliche Dachprodukt eh Null. Folglich erzeugen die Dachprodukte $ v_{i_{1}} \wedge \ldots \wedge v_{i_{r}} $ mit $ i_1 < \ldots < i_r $ unsere $r$-te "au"sere Potenz, und es bleibt nur, ihre lineare Unabh"angigkeit nachzuweisen. Dazu betrachten wir die Koordinatenfunktionen $f_i\pdef v^\top_i \in V^\top$ zu unserer Basis und aus den Eigenschaften der Determinante folgt f"ur je zwei $r$-elementige Teilmengen $R,S \subset I$ unmittelbar \begin{displaymath} \beta(f_S ,v_R) = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \text{falls }S=R;\\ 0 & \text{sonst}. \end{array} \right. \end{displaymath} Das impliziert die lineare Unabh"angigkeit der $v_R$. \\[2mm]\noindent 2. Der vorherige Punkt zeigt auch die lineare Unabh"angigkeit der $f_S$ und zeigt so, da"s unsere Paarung im Fall eines endlichdimensionalen Raums $V$ nichtausgeartet ist. Der allgemeine Fall folgt daraus ohne weitere Schwierigkeiten. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Dimensionen der "au"seren Potenzen}] Aus \ref{APDn} folgt f"ur einen Vektorraum $V$ endlicher Dimension $\dim V = d < \infty$, da"s die Dimensionen seiner "au"seren Potenzen durch Binomialkoeffizienten gegeben werden und da"s genauer gilt\label{DAEP} \begin{equation*} \textstyle\dim \bigwedge^r V = \begin{pmatrix} d \\ r \end{pmatrix} \end{equation*} Insbesondere gilt $\dim \bigwedge^d V =1$ und $\bigwedge^r V =0$ f"ur $r > d$. Man schreibt deshalb im endlichdimensionalen Fall oft $\bigwedge^{\op{max}} V\pdef \bigwedge^{\op{dim}V} V $. Dieser Vektorraum ist nat"urlich stets eindimensional. \index{)9@$\wedge$ Dachprodukt!$\bigwedge^{\op{max}}$ maximale Potenz}\index{max@$\bigwedge^{\op{max}}$ maximale "au"sere Potenz} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Zugang zu "au"seren Potenzen "uber angeordnete Basen}] Im R"uckblick erkennen wir, da"s gegeben ein K"orper $K$ und ein $K$-Vektorraum $V$ mit einer angeordneten Basis $(\mathcal B,\leq)$ eine alternierende multilineare Abbildung $V^{\times r}\ra C$ in einen weiteren Vektorraum $C$ durch ihre Werte auf streng monoton wachsenden $r$-Tupeln von Basisvektoren festgelegt und festlegbar ist. Bezeichnet also $\mathcal B^{\times r}_{<}$ die Menge aller derartigen Tupel von Basisvektoren, so liefert in Formeln ausgedr"uckt die Restriktion eine Bijektion $$\op{Alt}^{r}(V^{\times r},C)\sira \op{Ens}(\mathcal B^{\times r}_{<},C)$$ Wir h"atten die Theorie auch "ahnlich wie im Fall von Tensorprodukten beliebiger L"ange in der Weise entwickeln k"onnen, da"s wir zun"achst diese Aussage beweisen, um dann zu folgern, da"s der freie Vektorraum $K\langle\mathcal B^{\times r}_{<}\rangle$ zusammen mit der von der kanonischen Einbettung $\op{can}:\mathcal B^{\times r}_{<}\ra K\langle\mathcal B^{\times r}_{<}\rangle$ unter obiger Bijektion induzierten alternierenden Abbildung $$\alpha:V^{\times r}\ra K\langle\mathcal B^{\times r}_{<}\rangle$$ eine universelle $r$-alternierende Abbildung ist. Dieser Zugang hat den Vorteil, da"s unsere Proposition \ref{APDn} "uber Basen "au"serer Potenzen zu einer Tautologie wird. Sie hat den Nachteil, da"s es etwas unangenehm ist, den Nachweis obiger Bijektion in Formeln auszuschreiben. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{"Au"sere Potenzen und alternierende Tensoren}] Gegeben ein Vektorraum $V$ definiert jede Permutation $\sigma\in \cal{S}_r$ einen Endomorphismus\label{AAAT} seiner $r$-ten Tensorpotenz $[\sigma]:V^{\otimes r}\sira V^{\otimes r}$ durch das \glqq Permutieren der Tensorfaktoren\grqq, in Formeln $[\sigma]:v_1\otimes\ldots\otimes v_r \mapsto v_{\sigma(1)}\otimes\ldots\otimes v_{\sigma(r)}$. Wir schreiben diese Operation auch $[\sigma]:t\mapsto t^\sigma$. Diese Endomorphismen liefern eine Rechtsoperation, in Formeln $t^{\sigma\circ\tau}=(t^\sigma)^\tau$. Um das einzusehen, k"onnen wir etwa das kommutative Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \op{Ens}(\{1,\ldots , n\}, V)\ar[d]^{\circ \sigma} \ar[r]^-{\sim} & V^n \ar[r] & V^{\otimes n} \ar[d]^{[\sigma]}\\ \op{Ens} (\{1, \ldots, n\}, V)\ar[r]^-{\sim} & V^n \ar[r] & V^{\otimes n} } \end{displaymath} betrachten. Unter {\bf alternierenden Tensoren}\index{alternierend!Tensor} versteht man diejenigen Elemente von $V^{\otimes r}$, die beim Vertauschen von zwei Tensorfaktoren ihr Vorzeichen wechseln, in Formeln die Elemente des Teilraums $$(V^{\otimes r})^{\op{sgn}}\pdef \{ t\in V^{\otimes r}\mid t^\sigma=(\op{sgn}\sigma)t\;\;\forall \sigma\in \cal{S}_r\}$$ Nehmen wir nun zus"atzlich an, da"s unser Grundk"orper Charakteristik Null oder eine Charakteristik gr"o"ser als $r$ hat, so k"onnen wir den sogenannten {\bf Alternator}\index{Alternator} $\op{alt}:V^{\otimes r}\ra (V^{\otimes r})^{\op{sgn}} $ erkl"aren durch die Abbildungsvorschrift $$t\mapsto \frac{1}{r!}\sum_{\sigma\in \cal{S}_r}\op{sgn}(\sigma)t^\sigma$$ Wir haben $\op{alt}(t)=t$ f"ur jeden alternierenden Tensor $t$, f"ur die Inklusion des Teilraums der alternierenden Tensoren $\op{inkl}: (V^{\otimes r})^{\op{sgn}}\hra V^{\otimes r}$ gilt also $ \op{alt}\circ\op{inkl}=\op{id}$, insbesondere ist unser Alternator $\op{alt}$ surjektiv. Bezeichne $\op{proj}: V^{\otimes r}\sra \bigwedge^r V$ die kanonische Projektion. Sicher verschwindet $ \op{alt}$ auf $J_r=\op{ker}(\op{proj})$, folglich faktorisiert $\op{alt}$ "uber eine wohlbestimmte Abbildung $\bigwedge^r V\ra (V^{\otimes r})^{\op{sgn}} $. Andererseits faktorisiert auch die kanonische Projektion $\op{proj}: V^{\otimes r}\sra \bigwedge^r V$ "uber $\op{alt}$ als $\op{proj}=\op{proj}\circ \op{inkl}\circ\op{alt}$. Zusammen folgt $\op{ker}(\op{alt})=\op{ker}(\op{proj})$. Damit mu"s $\op{proj}\circ \op{inkl}$ surjektiv und injektiv sein und ist folglich in der Tat ein Isomorpismus $$\textstyle (V^{\otimes r})^{\op{sgn}}\sira \bigwedge^r V$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Zugang zu "au"seren Potenzen "uber alternierende Tensoren}] Manche Autoren machen es sich im Fall eines Grundk"orpers der Charakteristik Null bei der Definition der "au"seren Algebra eines Vektorraums $V$ bequem, setzen schlicht $\bigwedge^rV=\pdef (V^{\otimes r})^{\op{sgn}}$ und erkl"aren das Dachprodukt entsprechend durch die Formel $\omega\wedge\eta\pdef \op{alt}(\omega\otimes \eta)$. Das hat allerdings "uber die Einschr"ankungen an die Charakteristik hinaus den Nachteil, da"s die Assoziativit"at des "au"seren Produkts, die wir sozusagen gratis erhalten haben, nun durch wenig transparente Rechnungen nachgewiesen werden mu"s. In der Physik werden Ausdr"ucke der Gestalt $\op{alt}(v_1\otimes \ldots\otimes v_n)$ auch {\bf Slater-Determinanten}\index{Slater-Determinante} genannt, da der Alternator an die Leibniz-Formel f"ur Determinanten erinnert. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Beziehung zum Dachprodukt der Analysis}] Man beachte, da"s sich im Fall eines endlichdimensionalen Vektorraums $V$ unser Isomorphismus\label{ddp} $(\bigwedge^r V)^\top\sira \op{Alt}^r(V)$ aus \ref{Altt} mithilfe unserer Proposition \ref{APDn} zu einem Isomorphismus $\bigwedge^r (V^\top)\sira \op{Alt}^r(V)$ verl"angern l"a"st. Mit den durch diese Isomorphismen gegebenen Vertikalen und dem Dachprodukt in der oberen Horizontalen und dem Dachprodukt, wie wir es im Rahmen des Stokes'schen Satzes in \eref{DaPr}{AN2} direkt einf"uhren, in der unteren Horizontalen kommutiert dann das Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \bigwedge^r V^\top \times \bigwedge^s V^\top \ar[r]\ar[d]_\wr &\bigwedge^{r+s}V^\top \ar[d]_\wr\\ \op{Alt}^r (V) \times \op{Alt}^s (V) \ar[r] &\op{Alt}^{r+s}(V) } \end{displaymath} Die hier gegebene Konstruktion des Dachprodukts ben"otigt zwar den gr"o"seren begrifflichen Aufwand, scheint mir aber durchsichtiger als die im Rahmen des Beweises von \eref{DaPr}{AN2} gegebene direkte Konstruktion. Die dort gegebene direkte Konstruktion funktioniert erfreulicherweise ohne alle Einschr"ankungen an die Charakteristik, liefert aber nur f"ur die Gra"smann-Algebra des Dualraums eines endlichdimensionalen Vektorraums eine direkte Beschreibung. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungw} Vom h"oheren Standpunkt mag man, gegeben ein K"orper $k$ und ein $k$-Vektorraum $V$, die "au"sere Algebra $\bigwedge V$ mit Dachprodukt und Shuffle-Koprodukt als ein Biabmonoid der Schmelzkategorie $\op{gsMod}_k$ verstehen und $\op{Alt}V=\bigoplus \op{Alt}^nV$ als das duale\label{shKO} Objekt mit seiner Algebrenstruktur. In diesem Licht betrachtet ist der Isomorphismus $\bigwedge( V^\top)\sira \op{Alt}V$ im endlichdimensionalen Fall das eigentlich besondere. Mehr dazu wird in \eref{AAB}{TSK} erkl"art. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Maximale "au"sere Potenz und Determinante}] Jede\label{MPD} lineare Abbildung $f :V \rightarrow W$ induziert vermittels der universellen Eigenschaft lineare Abbildungen $\bigwedge^r f : \bigwedge^r V \rightarrow \bigwedge^r W$. Nat"urlich gilt auch $\bigwedge^r (f \circ g) = (\bigwedge^r f) \circ (\bigwedge^r g)$ und $\bigwedge^r (\op{id}) = \op{id}$. Ist speziell $f : V \rightarrow V$ ein Endomorphismus eines endlichdimensionalen Vektorraums, so ist $\bigwedge^{\op{max}} f : \bigwedge^{\op{max}} V \rightarrow \bigwedge^{\op{max}} V$ ein Endomorphismus eines eindimensionalen Vektorraums alias ein Skalar. Wir zeigen nun, da"s dieser Skalar genau die Determinante von $f$ ist, in Formeln \begin{equation*} \textstyle \bigwedge^{\op{max}} f = \op{det} f \end{equation*} Ist etwas allgemeiner $f:V\ra W$ eine lineare Abbildung zwischen Vektorr"aumen derselben endlichen Dimension $n$ und sind $\mathcal A=(v_1, \ldots, v_n)$ sowie $\mathcal B=(w_1, \ldots, w_n)$ angeordnete Basen, so gilt $$\textstyle(\bigwedge^{n} f)( v_1\wedge \ldots\wedge v_n)= \op{det}(_{\mathcal B}[f]_{\mathcal A})w_1\wedge \ldots\wedge w_n$$ In der Tat folgt aus $f (v_i) = \sum a_{ji} w_j$ mit kurzer Rechnung \begin{displaymath} \begin{array}{ccl} (\bigwedge f) (v_1 \wedge \ldots \wedge v_n) &=& f(v_1) \wedge \ldots \wedge f(v_n)\\[2mm] &=&\left( \sum a_{j1} w_j\right) \wedge \ldots \wedge \left( \sum a_{ln} w_l \right)\\[2mm] &=& \sum_{\sigma : \{ 1, \ldots , n\} \rightarrow \{1, \ldots , n\}} a_{\sigma (1)1} w_{\sigma (1)} \wedge \ldots \wedge a_{\sigma (n)n} w_{\sigma (n)}\\[2mm] &=&\sum_{\sigma \in \mathcal S_n} \op{sgn} (\sigma) a_{\sigma (1)1} \ldots a_{\sigma (n) n} w_1 \wedge \ldots \wedge w_n\\[2mm] &=&(\op{det} (a_{ji})) w_1 \wedge \ldots \wedge w_n \end{array} \end{displaymath} Die Multiplikationsregel f"ur Determinanten folgt mit diesen Erkenntnissen unmittelbar aus der Relation $\bigwedge^{\op{max}} (f \circ g) = (\bigwedge^{\op{max}} f) \circ (\bigwedge^{\op{max}} g)$. Da"s die Determinante eines Endomorphismus $f : V \rightarrow V$ verschwindet, falls dieser nicht vollen Rang hat, kann man in diesem Formalismus auch wie folgt einsehen: Man schreibt $f$ als Verkn"upfung $V \twoheadrightarrow \op{im} f \hookrightarrow V$, und unter der Annahme $d = \dim V > \dim (\op{im} f)$ folgt $\bigwedge^d (\op{im} f) =0$, womit dann auch die Komposition $\bigwedge^d V \rightarrow \bigwedge^d (\op{im} f) \rightarrow \bigwedge^d V$ die Nullabbildung sein mu"s. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge}\label{DTPm} F"ur einen $K$-Vektorraum $V$ endlicher Dimension $\dim V = n$ liefert das Dachprodukt nichtausgeartete Paarungen $\bigwedge^{d} V \times \bigwedge^{n-d} V \ra \bigwedge^{n}V$ im Sinne von \ref{NAPP}, denn wir haben $v_I\wedge v_J=\pm v_1\wedge\ldots \wedge v_n$, falls $I$ das Komplement von $J$ ist, und Null sonst. Jeder Isomorphismus $\omega:\bigwedge^{n}V \sira K$ liefert also insbesondere einen Isomorphismus $\hat\omega:\bigwedge^{n-1}V \cong V^{\top}$ gegeben durch $(\hat\omega(\eta))(v)=\omega(\eta\wedge v)$. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkunge}[\textbf{"Au"sere Potenzen und Orientierung}] Gegeben ein endlichdimensionaler Vektorraum $V$ "uber einem angeordneten K"orper erhalten wir eine Bijektion $$\textstyle\op{or}(V)\sira \op{or}\left(\bigwedge^{\op{max}}V\right)$$ durch die Vorschrift $\varepsilon\mapsto\varepsilon^\wedge$ mit $\varepsilon^\wedge(v_1\wedge\ldots\wedge v_n)=\varepsilon(v_1,\ldots, v_n)$ f"ur eine\label{aupo} und jede angeordnete Basis von $V$. Es verh"alt sich nun so, da"s es im R"uckblick eigentlich richtiger gewesen w"are, diese Bijektion zu einer Definition des Orientierungsbegriffs zu machen. Das w"are nur aus didaktischen Gr"unden problematisch gewesen. Daf"ur m"ussen wir nun den Preis zahlen, da"s verschiedene Vetr"aglichkeiten zwischen leicht unkanonischen Wahlen zu pr"ufen sind, als da w"aren: \begin{enumerate} \item Ist $U\hra V\sra W$ eine kurze exakte Sequenz endlichdimensionaler $k$-Vektorr"aume und sind $\varepsilon,\eta$ Orientierungen auf $U$ und $W$ mit Elementen $\hat\varepsilon,\hat\eta$ der zugeh"origen offenen Halbgeraden in den jeweiligen "au"seren Potenzen, so entspricht die zusammengesetzte Orientierung $\varepsilon\eta$ auf $V$ aus \eref{orQ}{LA1} der offenen Halbgerade vom Bild von $\hat\varepsilon\otimes \hat\eta$ unter dem kanonischen Isomorphismus $\bigwedge^{\op{max}}U\otimes \bigwedge^{\op{max}}W\sira \bigwedge^{\op{max}}V$ aus \ref{KESD}; \item Ist $ V$ ein endlichdimensionaler $k$-Vektorraum und $\varepsilon$ eine Orientierung auf $V$ und $\hat\varepsilon$ ein Element der zugeh"origen offenen Halbgeraden in $\bigwedge^{\op{max}}(V)$ und $\eta$ die zu $\varepsilon$ duale Orientierung auf dem Dualraum $V^\top$ nach \eref{orDU}{LA1} und $\hat\eta$ ein Element der zugeh"origen offenen Halbgeraden in $\bigwedge^{\op{max}}(V^\top)$, so ist unter unserer ausgezeichneten Paarung $\bigwedge^{\op{max}}(V^\top)\times \bigwedge^{\op{max}}V\ra k$ aus \ref{APDn} das Bild von $(\hat\eta,\hat\varepsilon)$ positiv. \end{enumerate} \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Kanonische Form maximalen Grades}] Gegeben ein orientierter $n$-di\-men\-sio\-na\-ler reeller Vektorraum $V$ mit einer nichtausgearteten\label{VolFF} symmetrischen Bilinearform $t$ kann man im eindimensionalen Raum $\bigwedge^n V$ ein von Null verschiedenes Element $\omega=\omega_t$ auszeichnen durch die Bedingung, da"s gilt \begin{equation*} \omega= \varepsilon v_1\wedge \ldots \wedge v_n \end{equation*} f"ur jede angeordnete Basis $v_1, \ldots, v_n$ der Orientierung $\varepsilon$ mit $|t (v_i, v_j)| = \delta_{ij}$. In der Tat erf"ullt die Basiswechselmatrix $A$ zwischen zwei derartigen Basen eine Gleichung der Gestalt $A^\top J A = J'$ mit $\op{det} J = \op{det} J' \neq 0$ im allgemeinen, so da"s der Mul\-ti\-pli\-ka\-tions\-satz f"ur Determinanten $\op{det} A = \pm 1$ liefert. Das Vorzeichen ergibt sich dann aus den jeweiligen Orientierungen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ist $V$ ein $n$-dimensionaler pseudoeuklidischer Vektorraum mit L"angengerade $\mathbb L$ im Sinne von \eref{Laengep}{LA2}, so k"onnen wir "ahnlich ein kanonisches Element $$\textstyle \omega\in \op{or}_{\DR}(V)\otimes\bigwedge^n(V)\otimes \mathbb L^{\otimes (-n)}$$ erkl"aren durch $\omega =\varepsilon\otimes (v_1\wedge \ldots\wedge v_n) \otimes \|v_1\|^{-1}\otimes\ldots\otimes \|v_n\|^{-1}$ f"ur eine und jede angeordnete Basis $v_1,\ldots,v_n$ aus paarweise orthogonalen Vektoren mit $\varepsilon$ der durch besagte Basis gegebenen Orientierung. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Partielles Einsetzen in alternierende Formen}] Gegeben ein Vektorraum $V$ und eine Linearform $\lambda \in V^{\top}$ zeige man, da"s es f"ur alle $n\geq 0$ genau eine lineare Abbildung\label{inser} \nichtfinal{(Gesamtbild abkl"aren!)} \begin{equation*} \textstyle i_\lambda : \bigwedge^{n+1} V \rightarrow \bigwedge^n V \end{equation*} gibt mit $i_\lambda (v_0 \wedge \ldots \wedge v_n) = \sum (-1)^\nu \lambda (v_\nu) v_0 \wedge \ldots \wedge\hat{v}_\nu \wedge\ldots \wedge v_n$. Um mit Beschr"ankungen der Indizes keinen "Arger zu kriegen, vereinbaren wir $\bigwedge^n V=0$ f"ur $n<0$ und setzen $i_\lambda$ in der einzig m"oglichen Weise zu allen $n\in\DZ$ fort. Man zeige in dieser Situation $i^2_\lambda =0$ und zeige f"ur alle $v\in V$ die Identit"at $(v\wedge)\circ i_\lambda+i_\lambda\circ(v\wedge)=(\lambda(v)\cdot)$ von Endomorphismen der "au"seren Algebra. Weiter setzen wir auch $\op{Alt}^n (V)=0$ f"ur $n<0$ und man zeige f"ur $v \in V$ die Kommutativit"at des Diagramms \begin{displaymath} \xymatrix{ \bigwedge^{n+1} V^\top \ar[d] \ar[r]^-{i_{\op{ev}(v)}} & \bigwedge^n V^\top\ar[d]\\ \op{Alt}^{n+1} (V) \ar[r]^-{i_v} & \op{Alt}^n (V) } \end{displaymath} mit der durch $(i_v \eta) (v_1 , \ldots , v_n) \pdef \eta (v, v_1 , \ldots , v_n)$ gegebenen beziehungsweise $i_v=0$ f"ur $n<0$ unteren Horizontale und den Vertikalen aus \ref{cAlt} und zeige $i_v^2=0$ sowie die Identit"at $(\lambda\wedge)\circ i_v+i_v\circ(\lambda\wedge)=(\lambda(v)\cdot)$ von Endomorphismen der Algebra der alternierenden Formen. Der Buchstabe $i$ steht f"ur englisch {\bf insertion}.\index{insertion homomorphism} Auf Deutsch hei"sen diese Abbildungen {\bf Einsetzungshomomorphismen}. \index{Einsetzungshomomorphismus} \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben ein Vektorraum $V$ und $\omega\in\bigwedge^rV$ und $\eta\in\bigwedge^sV$ gilt $\omega\wedge \eta=(-1)^{rs}\eta\wedge \omega$. \end{Ubung} \begin{Ubunge} (Hinweis: \ref{MPD}). Gegeben eine $(n\times m)$-Matrix $A$ und eine $(m\times n)$-Matrix $B$ kann man die Determinante der $(n\times n)$-Matrix $AB$ bestimmen wie folgt: F"ur jede $n$-elementige Teilmenge $I\subset\{1,\ldots m\}$ mit Elementen $i_1<\ldots