\section{Wohin mit diesem "aquivarianten Zeug?} 
\subsection{Gysinsequenz f"ur Sph"arenb"undel}
\nichtfinal{Hier sinnvoll?} 
\begin{Bemerkungl}
  Gegeben $n\geq 1$ und $U\co \DR^{n+1}$ der offene Einheitsball liefern die Lokalisierungssequenz
  der kompakten Kohomologie \eref{LokSS}{TG} und die Beschreibung
  \eref{kkRn}{TG} der kompakten Kohomologie
  von $\DR^{n+1}$ und $U$  als lokale Kohomologie in Bezug auf einen
  beliebigen Punkt eine
  Folge von Isomorphismen 
  $${\op{H}}^n_!(S^n)\sira{\op{H}}^{n+1}_!(U)\sira{\op{H}}^{n+1}_!(\DR^{n+1})$$
  Das Urbild unseres ausgezeichneten Erzeugers aus \eref{ausGe}{TG} ganz
  rechts nehmen wir als unseren ausgezeichneten Erzeuger von
  ${\op{H}}^n_!(S^n)$. Die nat"urlichen Isomorphismen ${\op{H}}^n_{\{x\}}(S^n)\sira {\op{H}}^n_!(S^n)$ liefern dann eine 
  Orientierung auf $S^n$, die wir unsere {\bf ausgezeichnete Orientierung}
  nennen.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Unter einem {\bf Sph"arenb"undel}\index{Sph"arenb"undel} auf
  einem topologischen Raum $X$ versteht man ein \hyperref[FaBue]{Faserb\"undel} $\pi:E\ra X$ 
  mit einer Sph"are $S^n$ als Faser. Unter einer {\bf Orientierung} eines
  \index{Orientierung!von Sph"arenb"undel} Sph"arenb"undels einer Faserdimension $\geq 1$ versteht man die
  Vorgabe einer \hyperref[orGG]{Orientierung} im Sinne von
  \eref{orGG}{TG} auf jeder Faser derart, da"s
  es einen \hyperref[FaBue]{B\"undelatlas} gibt, unter dessen \hyperref[FaBue]{B\"undelkarten} $U\times S^n\ra E$
  diese Orientierung stets unserer ausgezeichneten  Orientierung auf $S^n$ entspricht.
  Ein Sph"arenb"undel, das mindestens eine Orientierung besitzt, hei"st
  {\bf orientierbar}.\index{orientierbar!Sph"arenb"undel}
\end{Bemerkungl}
\begin{Satz}[\textbf{Gysin-Sequenz}]
Gegeben $\pi:E\ra X$   ein orientierbares Sph"arenb"undel
einer Faserdimension $n\geq 1$ gibt es eine
Klasse $c\in{\op{H}}^{n+1}(X)$
  und eine lange exakte Sequenz  der Gestalt\label{GySo} 
$$\ldots\ra{\op{H}}^q(X)\ra {\op{H}}^q(E)\ra {\op{H}}^{q-n}(X) \ra {\op{H}}^{q+1}(X)\ra\ldots$$
  mit dem Zur"uckholen als erstem  Morphismus und dem \hyperref[GTH]{cup-Produkt}  $c\;\cup $ als
  drittem Morphismus.
\end{Satz}








\begin{Bemerkungw} \nichtfinal{Pa"st hier nicht!} 
  Wenn der folgende Beweis noch etwas unbeholfen wirkt,
  so ist das durchaus in meinem Sinne. Er soll n"amlich unter anderem
  die Sprache
  der \glqq derivierten Funktoren
  ${\op{R}}\pi_\ast:\op{Der}(\op{Ab}_{/E})\ra\op{Der}(\op{Ab}_{/X})$\grqq\ motivieren, die wir  im kommenden Abschnitt
  \ref{DerfF} 
  einf"uhren und in der  er einfacher zu formulieren sein wird,
  vergleiche \ref{GySon}. 
  Im folgenden Beweis werden wir sogar zu jeder Orientierung unseres
  Sph"arenb"undels eine Klasse $c$ wie im Satz konstruieren und sie die
  \glqq Eulerklasse\grqq\ unseres orientierten Sph"arenb"undels nennen.
 \end{Bemerkungw}
\begin{proof}
 Sei $\DZ_E\hra \mathcal I^\lhd$ eine injektive Aufl"osung. Wir haben also
  nat"urliche Isomorphismen
  ${\op{R}}^q\pi_*\DZ_E \sira \mathcal H^q\pi_*\mathcal I^\lhd$.
  Da unsere Sph"aren zusammenh"angend sind, liefert die Einheit Adjunktion 
  $(\pi^*,\pi_*)$ den ersten Isomorphismus einer Sequenz von nat"urlichen
  Isomorphismen 
  $$\DZ_X\sira \pi_*\pi^*\DZ_X\sira
  \pi_*\DZ_E$$ 
  Derivierter eigentlicher Basiswechsel
  \eref{OEBA}{TG} im kartesischen Diagramm bestehend aus
  $U\times S^n$ mit den Projektionen auf die Faktoren und
   den einpunktigen Raum zeigt weiter,
  da"s 
  ${\op{R}}^n\pi_*\DZ_E$ lokal isomorph ist zu $\DZ_X$ und
  da"s gilt ${\op{R}}^q\pi_*\DZ_E=0$ f"ur $q\neq 0,n$.
  Der Kokern des Monomorphismus
  $[0]\DZ_X \hra \pi_*\mathcal I^\lhd$ von Garbenkomplexen
  hat also eine einzige von Null verschiedene Kohomologie
  und ist  nach \ref{vtre} folglich  isomorph in $\op{Der}(\op{Ab}_{/X})$ zum
  Objekt $[-n]({\op{R}}^n\pi_*\DZ_E)$.
   Unsere Erkenntnisse \ref{Absch} zu Abschneidefunktoren  liefern so ein
  ausgezeichnetes Dreieck
  $$\DZ_X\;\ra \;\pi_*\mathcal I^\lhd \;\ra\; [-n]({\op{R}}^n\pi_*\DZ_E) \;\ra\; [1]\DZ_X$$
  in $\op{Der}(\op{Ab}_{/X})$.
  Es liefert nach \ref{Hhn} eine lange exakte Sequenz f"ur die
  Morphismen von $\DZ_X$ und seinen Verschiebungen in die Objekte
  unseres ausgezeichneten Dreiecks. Um diese Morphismen nach $\pi_*\mathcal I^\lhd$ zu berechnen,
  bemerken wir, da"s dieser Komplex aus injektiven Garben besteht.
  Nach \ref{DEIA} oder noch expliziter nach dem Ende seines Beweises
  und der Adjunktion $(\pi^*,\pi_*)$ liefern die offensichtlichen
  Abbildungen also Bijektionen
 \begin{displaymath}
   \xymatrix{\op{Der}_{\op{Ab}_{/X}}([q]\DZ_X,\pi_*\mathcal I^\lhd)&\op{Der}_{\op{Ab}_{/E}}([q]\DZ_E,\DZ_E)\ar[r]^-{\sim}&{\op{H}}^q(E)\\
  \op{Hot}_{\op{Ab}_{/X}}([q]\DZ_X,\pi_*\mathcal I^\lhd)\ar[u]^{\wr}\ar[r]^{\sim} &
\op{Hot}_{\op{Ab}_{/E}}([q]\pi^*\DZ_X,\mathcal I^\lhd)\ar[u]^{\wr}&}
 \end{displaymath}
So erhalten wir eine lange exakte Sequenz
 $$\ldots\ra{\op{H}}^q(X)\ra {\op{H}}^q(E)\ra {\op{H}}^{q-n}(X;{\op{R}}^n\pi_*\DZ_E) \ra {\op{H}}^{q+1}(X)\ra\ldots$$
mit dem Zur"uckholen auf der Kohmologie  als erster Abbildung.
Ist unser B"undel orientierbar und w"ahlen wir eine Orientierung, so liefert diese Wahl einen Isomorphismus  ${\op{R}}^n\pi_*\DZ_E\sira \DZ_X$ mit der konstanten Garbe
auf $X$ und wir erhalten unsere Gysin-Sequenz. Die Konstruktion zeigt, da"s die
dritte Abbildung darin das cup-Produkt $c\;\!\cup$ mit derjenigen Klasse
in $c\in {\op{H}}^{n+1}(X)$ ist, die durch den entsprechenden Morphismus
$[-n]\DZ_X\ra [1]\DZ_X$ in der derivierten Kategorie $\op{Der}(\op{Ab}_{/X})$
aus dem ersten ausgezeichneten Dreieck bestimmt wird. Sie hei"st die
{\bf Eulerklasse}\index{Eulerklasse} unseres orientierten Sph"arenb"undels.
\end{proof}


\begin{Beispiel}[\textbf{Nocheinmal die Gysin-Sequenz}]
Gegeben $\pi:E\ra X$   ein orientiertes Sph"arenb"undel
einer Faserdimension $n\geq 1$ zeigen wir wie zu Beginn des
Beweises in \ref{GySo}, da"s
das ausgezeichnete Dreieck "uber der Einheit der derivierten Adjunktion
$(\pi^*,\pi_*)$ 
die Gestalt\label{GySon} 
$$\DZ_X\ra \pi_*\pi^*\DZ_X\ra \DZ_X[-n]\stackrel{[1]}{\ra}$$
hat. Dr"ucken wir es deriviert herunter unter der konstanten Abbildung
$c_X:X\ra\op{top}$ und verwenden unsere Isotransformation $ c_{X*}\pi_*\siRa c_{E*}$ aus \ref{IDVo}, so liefert es ein  ausgezeichnetes Dreieck
$$c_{X*}\DZ_X\ra c_{E*}\DZ_E\ra c_{X*}\DZ_X[-n]\stackrel{[1]}{\ra}$$ in
$\op{Der}(\op{Ab})$. Wenn wir
dazu die lange exakte Kohomologiesequenz bilden, steht unsere
Gysinsequenz auch schon da.
\end{Beispiel}


\begin{Satz}
  Der R"uckzug unter der Einbettung der komplexen Diagonalmatrizen
 in die unit"are Gruppe  ${\op{T}}(n)\hra {\op{U}}(n)$ induziert einen Isomorphismus\label{RchK} 
   $${\op{H}}^*_{{{\op{U}}}(n)}(\op{top})\sira {\op{H}}^*_{{{\op{T}}}(n)}(\op{top})^{\mathcal S_n}$$
\end{Satz}
\begin{proof}
  Den fraglichen Ringhomomorphismus hatten wir bereits in
  \ref{AQU} hergeleitet und diskutiert. Um zu zeigen, da"s er ein
  Isomorphismus ist, betrachten wir das kommutative Diagramm
  \begin{displaymath}
    \xymatrix{{\op{T}}(n)\ar[rr]\ar[d]&&{\op{U}}(n)\ar[d]\\
    {\op{T}}(n;\DC)\ar[r]&{\op{B}}(n;\DC)\ar[r]&{\op{GL}}(n;\DC)}
 \end{displaymath}
mit ${\op{T}}(n;\DC)$
der Gruppe aller komplexen invertierbaren Diagonalmatrizen und 
${\op{B}}(n;\DC)$ der Gruppe aller komplexen invertierbaren  oberen Dreiecksmatrizen und erhalten so ein kommutatives Diagramm
  \begin{displaymath}
\xymatrix{{\op{H}}^*_{{\op{T}}(n)}(\op{top})&&{\op{H}}^*_{{\op{U}}(n)}(\op{top})\ar[ll]\\
    {\op{H}}^*_{{\op{T}}(n;\DC)}(\op{top})\ar[u]^\wr&{\op{H}}^*_{{\op{B}}(n;\DC)}(\op{top})\ar[l]_-\sim&{\op{H}}^*_{{\op{GL}}(n;\DC)}(\op{top})\ar[u]^\wr\ar[l]}
 \end{displaymath}
  mit den Isomorphismen nach \eref{EaeK}{TG} f"ur alle Einbettungen, bei denen
  der Quotient zusammenziehbar ist, was f"ur ${\op{U}}(n)\subset {\op{GL}}(n;\DC)$ etwa aus der Polarzerlegung folgt. Nun setzen  wir  $B\pdef{\op{B}}(n;\DC)$ und
$G\pdef{\op{GL}}(n;\DC)$. Nach dem im Anschlu"s bewiesenen
  Lemma \ref{LeCV} reicht es zu zeigen, da"s
  ${\op{H}}^*_{B}(\op{top})$ ein freier Modul
  vom Rang $n!$ "uber ${\op{H}}^*_{G}(\op{top})$ ist. 
  F"ur die Milnor-Konstruktion $E\pdef {\op{E}}G$ ist nun
  $$\pi: E/B\sra E/G$$ ein Faserb"undel
mit  der Fahnenmannigfaltigkeit $G/B$ als Faser.
Aus \eref{BruZ}{LA2} erinnern  wir die Bruhat-Zerlegung
  $$G/B = \coprod_{w \in \cal{S}_n} B w B/B$$
in die $B$-Bahnen. Aus \eref{BrOA}{TM} folgt, da"s jede $B$-Bahn offen ist in ihrem Abschlu"s.
 Da die Bahnen selbst nach \eref{RutT}{TM} hom"oomorph sind zu
  $\DC^{l(w)}$ und da die Fahnenmannigfaltigkeit nach \eref{FahM}{TM} 
  kompakt ist, folgt mit der Lokalisierungssequenz der kompakten Kohomologie
  \eref{LokSS}{TG} unmittelbar
  $${\op{H}}^{2q}(G/B)\cong \bigoplus_{l(w)=q}\DZ$$
  und ${\op{H}}^{2q+1}(G/B)=0$ f"ur alle $q$.
  Insbesondere ist ${\op{H}}^{*}(G/B)$ in den geraden Graden konzentriert und seine totale Kohomologie ist frei "uber $\DZ$ vom Rang $n!$.
  Derivierter eigentlicher Basiswechsel \eref{OEBA}{TG} zeigt ${\op{R}}^{2q+1}\pi_* \DZ_{E/B}=0$ f"ur alle $q$ und da"s
  ${\op{R}}^{2q}\pi_* \DZ_{E/B}$ lokal isomorph ist zu
  $\bigoplus_{l(w)=q}\DZ_{E/G}$. Da $G$ zusammenh"angend ist,
  hat $E/G$ nach dem Spezialfall \eref{FFas}{TF} der langen exakten Homotopiesequenz 
  triviale Fundamentalgruppe. Da $E/G$ nach \eref{MiKok}{TG}
  auch lokal zusammenziehbar ist, ist  $E/G$  nach \eref{wetr}{TF}
  "uberlagerungstrivial und jede lokal konstante Garbe darauf
  ist konstant. Das zeigt, da"s ${\op{R}}^{2q}\pi_* \DZ_{E/B}$ sogar global isomorph ist zu
  $\bigoplus_{l(w)=q}\DZ_{E/G}$. Da wir nach \ref{KkuG} bereits wissen,
  da"s die ungerade Kohomologie von $E/G$ verschwindet, liefert
  \ref{ExtK} einen unkanonischen Isomorphismus
  $$\pi_*\DZ_{E/B}\sira \bigoplus_{w\in\mathcal S_n}[-2l(w)]\DZ_{E/G}$$
  in der derivierten Kategorie $\op{Der}(\op{Ab}_{E/G})$.
  So folgt unmittelbar, da"s ${\op{H}}^*(E/B)$ "uber
  ${\op{H}}^*(E/G)$ ein freier Modul vom Rang $n!$ ist.
\end{proof}
\begin{Bemerkungl}
  Ich h"atte gerne, da"s mir mal ein Student in einer Bachelorarbeit
  durchsortiert, bis auf welche Torsion das bei anderen Gruppen
  genauso geht. Es geht dabei in etwa darum, die Arbeit
  \glqq Invariants des groupes de Weyl et torsion\grqq\ von
  Michel Demazure in die hier verwendete Sprache zu "ubersetzen.
\end{Bemerkungl}

\begin{Lemma}
  Seien $C$ ein kommutativer Integrit"atsbereich
  und $W$ eine endliche Gruppe von Automorphismen von $C$ und
  $A\subset C^W$ ein Teilring des Invariantenrings derart, da"s
  $C$
als $A$-Modul von $\leq|W|$ Elementen erzeugt wird. 
  So gilt $A=C^W$ und $C$ ist frei "uber $C^W$ vom Rang $|W|$.\label{LeCV} 
\end{Lemma}
\begin{proof}
Da wir jeden Bruch so erweitern k"onnen, da"s sein
  Nenner
  $W$-invariant ist,
  ist jedes Erzeugendensystem des $C^W$-Moduls $C$ auch ein
  Erzeugendensystem des $\op{Quot}(C^W)$-Vektorraums  $\op{Quot}(C)$ und
  wir haben 
  $\op{Quot}(C^W)\sira (\op{Quot}C)^W$, vergleiche  \eref{PIU}{AL}.
  Nach unserem Satz \eref{ZH}{AL}
  "uber Galoiserweiterungen durch Gruppenoperationen 
  ist andererseits $\op{Quot}(C)$ ein $(\op{Quot}C)^W$-Vek\-tor\-raum
  der Dimension $|W|$. 
  H"atten wir nun $A\neq C^W$, so w"are unser Erzeugendensystem von $C$
  "uber $A$ 
  ein linear abh"angiges Erzeugendensystem von $C$ als $C^W$-Modul
  und damit ein linear abh"angiges Erzeugendensystem von $\op{Quot}(C)$ als $(\op{Quot}C)^W$-Vektorraum. Das steht jedoch im Widerspruch zu unserer Erkenntnis,
  da"s dieser Vektorraum die Dimension $|W|$ haben mu"s. So folgt
  $A=C^W$. In derselben Weise folgt, da"s unser Erzeugendensystem
  frei gewesen sein mu"s und genau $|W|$ Elemente hatte.
\end{proof}



\begin{Bemerkungl}[\textbf{Kohomologieringe der komplex projektiven R"aume}]
  Die Kohomologiegruppen der komplex projektiven R"aume kennen wir
  bereits aus \eref{KGrP}{TG}.\label{KRPa} Hier berechnen wir
  nun ihren Kohomologiering.
  Wir betrachten dazu die Sph"are $E=S^{2a+1}\subset \DC^{a+1}$ und
  das $S^1$-B"undel $\pi:S^{2a+1}\ra \DP^a\DC$. Es ist offensichtlich orientierbar
  und  beide m"oglichen Wahlen einer Orientierung liefern uns eine
  Klasse $c\in {\op{H}}^{2}(\DP^a\DC)$ derart, da"s
  die Multiplikation mit dieser Klasse Isomorphismen
  $${\op{H}}^{0}(\DP^a\DC) \sira {\op{H}}^{2}(\DP^a\DC)\sira \ldots \sira {\op{H}}^{2a}(\DP^a\DC)$$ induziert und ebenso
Isomorphismen
$$0={\op{H}}^{-1}(\DP^a\DC) \sira {\op{H}}^{1}(\DP^a\DC)\sira \ldots \sira {\op{H}}^{2a-1}(\DP^a\DC)$$
Insgesamt  erhalten wir so einen Isomorphismus
$\DZ[c]/\langle c^{a+1}\rangle\sira {\op{H}}^{*}(\DP^a\DC)$ mit $c$ homogen
vom Grad Zwei. Die beiden m"oglichen Wahlen der Orientierung f"uhren dabei zu zwei 
Erzeugern, von denen der eine das Negative des anderen ist. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Beispiel}[\textbf{Kohomologie  klassifizierender R"aume: Kreisgruppe}] Sei $E$ ein zusammenziehbarer
  oder auch nur schwach garbenazyklischer Raum mit einer topologisch freien
  Operation der Kreisgruppe $S^1$.
  So ist die Projektion $E\ra E/S^1$ ein orientierbares Sph"arenb"undel
  und  jede Wahl einer Orientierung der Kreislinie $S^1$
liefert eine damit vertr"agliche Orientierung unseres Sph"arenb"undels.
F"ur die zugeh"orige Eulerklasse\label{KKKl} 
$c\in {\op{H}}^{2}(E/S^1)$ liefert die
  Multiplikation mit $c$ Isomorphismen 
   $$\DZ\sira{\op{H}}^{0}(E/S^1) \sira {\op{H}}^{2}(E/S^1)\sira {\op{H}}^{4}(E/S^1)\sira\ldots $$  und ebenso
Isomorphismen
$$0={\op{H}}^{-1}(E/S^1) \sira {\op{H}}^{1}(E/S^1)\sira {\op{H}}^{3}(E/S^1)\sira \ldots $$
Insgesamt erhalten wir so einen Isomorphismus
$\DZ['c]\sira {\op{H}}^{\ast}_{S^1}(\op{top})$ von graduierten Ringen
mit $c$ homogen vom Grad Zwei.
\end{Beispiel}
  
\begin{Beispiel}[\textbf{Kohomologie  klassifizierender R"aume: Spingruppe}] Sei $E$ ein zusammenziehbarer
  oder auch nur schwach garbenazyklischer Raum mit einer topologisch freien
  Operation der Spingruppe $\op{SU}(2)$.
  Wir wissen aus \eref{QDR}{LA2}, da"s diese Gruppe hom"oomorph
  ist zur Sph"are $S^3$. Dieselbe Argumentation wie f"ur
  die Kreisgruppe liefert dann einen Isomorphismus
$\DZ['d]\sira {\op{H}}^{\ast}_{\op{SU}(2)}(\op{top})$ von graduierten Ringen
  mit $d$ homogen vom Grad Vier und eindeutig bestimmt als eine
  Eulerklasse durch die Wahl einer %topologischen
  Orientierung der
  Spingruppe.
\end{Beispiel}

\begin{Satz}[\textbf{Kohomologie  klassifizierender R"aume: 
unit"are Gruppen}]
  Die Kohomologie ${\op{H}}^{*}_{{\op{U}}(n)}(\op{top})$ des
klassifizierenden Raums der unit"aren Gruppe ${\op{U}}(n)$ ist
  ein Polynomring in  Erzeugern\label{KkuG}  
  $a_1,a_2,\ldots,a_n$ mit $\op{grad}(a_i)=2i$.
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
  Wir stehen hier vor der Schwierigkeit,
  da"s wir die graduierte Kommutativit"at des
  garbentheoretischen Kohomologierings
  erst in \eref{KoGK}{TSF} zeigen.
  F"ur den Kohomologiering des mit Hilfe der  Milnor-Konstruktion
  konstruierten  klassifizierenden Raums\label{gko} 
   ${\op{B}}G$ einer offenlokal zusammenziehbaren Gruppe $G$ 
  k"onnen wir diese graduierte Kommutativit"at aber bereits
  aus unseren Vergleichss"atzen mit der singul"aren Kohomologie \ref{AICP} 
  unter Verwendung von \eref{MiKok}{TG} ableiten.
\end{Bemerkungl}
  



%\begin{Bemerkungl}
%  Beim Beweis  sehen wir zus"atzlich, wie f"ur
%  ${{\op{U}}}(n)\subset \op{GL}(n;\DC)$ die Wahl einer Orientierung auf $\DC$
%  dazu genutzt werden kann, die Erzeuger eindeutig festzulegen.
%  Allerdings greifen wir dabei streng genommen der Entwicklung der Theorie vor und verwenden bereits das externe Produkt der lokalen Kohomologie
%  \ref{expl}, um aus topologischen Orientierungen zweier Mannifaltigkeiten eine topologische Orientierung ihres Produkts zu machen. 
%\end{Bemerkungl}
\begin{proof}  Der Fall $n=0$ ist unproblematisch und
  wir nehmen  $n\geq 1$ an und  behandeln den Fall
  $n=1$ der Kreisgruppe gleich nocheinmal mit.
  Wir bemerken zun"achst, da"s ${\op{U}}(n-1)$ topologisch frei auf
  ${\op{U}}(n)$ operiert, wenn wir es etwa durch $A\mapsto \op{diag}(1,A)$
  einbetten. Das ist leicht explizit zu sehen und
  gilt auch sehr viel allgemeiner f"ur abgeschlossene Untergruppen von Liegruppen, wie etwa in \eref{QuKo}{ML} ausgef"uhrt wird.
  Bezeichne nun $E\pdef {\op{E}}{\op{U}}(n)$ die Milnorkonstruktion.
  Dann ist $E/{\op{U}}(n-1)\sra E/{\op{U}}(n)$ eine Faserung mit Faser
  ${\op{U}}(n)/{\op{U}}(n-1)\cong S^{2n-1}\subset \DC^n$.
  Man sieht leicht, da"s sie
  orientierbar ist. % mit der im Sinne von \ref{orES} von der
  %Orientierung von $\DC^n$ induzierten Orientierung auf den Fasern.
  Da die Basis dieser Faserung mit einer Induktion "uber $n$ keine 
  ungerade Kohomologie hat, folgern wir aus der Gysinsequenz, da"s die Multiplikation mit
  der zugeh"origen
  Eulerklasse $a_n\in {\op{H}}^{2n}(E/{\op{U}}(n))$  und das
  Zur"uckholen f"ur alle $q$ 
  kurze exakte Sequenzen 
 $${\op{H}}^{q}(E/{\op{U}}(n))\hra{\op{H}}^{q+2n}(E/{\op{U}}(n))\sra {\op{H}}^{q+2n}(E/{\op{U}}(n-1))$$ liefern.
 Das zeigt die Behauptung.
\end{proof}
%\label{GySe}


\begin{Bemerkungw} Auch die 
  K"unnethformeln sind in der Garbenkohomologie
  nicht so einfach zu haben und wir zeigen die
  hier ben"otigten Formeln rein garbenkohomologisch erst in \eref{KuFEF}{TSF}. 
  Mit unseren Vergleichss"atzen zur singul"aren Kohomologie 
  liefern aber  auch nach der K"unnethformel
  \eref{KFK}{TS} der singul"aren Kohomologie
    die R"uckz"uge \eref{zAEQ}{TG} unter den Projektionen
    zusammen mit dem cup-Produkt\label{KueFF}
    f"ur je zwei Liegruppen $G,H$ derart, da"s
    alle Kohomologiegruppen ${\op{H}}^q({\op{B}}G)$ der ersten
    freie endlich erzeugte
  abelsche Gruppen sind,
  einen Isomorphismus
  $${\op{H}}^*_G(\op{top})\bar{\otimes} {\op{H}}^*_H(\op{top})\sira {\op{H}}^*_{G\times H}(\op{top})$$
  Gegeben ein Torus ${\op{T}}(n)\pdef (S^1)^n$ folgt aus dem
  Fall $n=1$ nach \ref{KKKl} und unserer Vorbemerkung \ref{gko},
  da"s f"ur jede Wahl eines Erzeugers $z\in {\op{H}}^2_{S^1}(\op{top})$
  dessen R"uckz"uge unter den Projektionen unseres Produkts auf seine
  Faktoren Klassen $z_1,\ldots,z_n\in {\op{H}}^2_{{\op{T}}(n)}(\op{top})$ liefern 
  mit $$\DZ['z_1,\ldots,z_n]\sira {\op{H}}^*_{{\op{T}}(n)}(\op{top})$$
  Aus \eref{OiA}{TG} folgt, da"s das Zur"uckholen\label{AQU}  ${\op{H}}^*_{{{\op{U}}}(n)}(\op{top})\ra
  {\op{H}}^*_{{\op{T}}(n)}(\op{top})$ unter der Einbettung ${\op{T}}(n)
  \hra{{\op{U}}}(n)$ als Diagonalmatrizen in den Invarianten unter der
  symmetrischen Gruppe landet.
  In \ref{RchK} zeigen wir, da"s diese Abbildung einen Isomorphismus
  $${\op{H}}^*_{{{\op{U}}}(n)}(\op{top})\sira \DZ['z_1,\ldots,z_n]^{\mathcal S_n}$$
  mit dem Ring der symmetrischen Polynome liefert. %In \ref{??} zeigen wir
  %zus"atzlich, da"s darunter bei geeignet spezifizierten Orientierungen der
  %jeweiligen Sph"arenb"undel 
  %unser  $a_i$ auf das $i$-te elementarsymmetrische Polynom in den $z_i$
  %abgebildet wird.
\end{Bemerkungw}





\subsection{Charakteristische Klassen und Produkte}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{"Aquivariante Kohomologie als Trennfunktor}]
  Bezeichne $\op{Topog}$\index{Topog@$\op{Topog}$ R"aume mit Gruppenoperation} 
  die Kategorie der
  topologischen R"aume mit
  Operation einer topologischen Gruppe. Aus dem
  nicht-"aquivarianten Fall \ref{gGKSF} 
  folgt unmittelbar, da"s auch die "aquivariante Kohomologie
   $(G{\ssearrow}X)\mapsto {\op{H}}^*_G(X)$ aus \eref{zAEQ}{TG} einen Trennfunktor
   $${\op{H}}^*:\curlywedge{\op{Topog}}\ra \op{sgAb}^{\op{opp}}$$
   liefert, dessen Effekt auf Trennungen durch das
   \glqq Produkt der R"uckz"uge\grqq\ gegeben wird.
\end{Bemerkungl}

  \begin{Bemerkungl}[\textbf{Charakteristischer Homomorphismus}]
Gegeben $G$ eine topologische Gruppe und $X$ ein
topologischer Raum und $E$
 ein $G$-Torsor auf $X$ erinnere ich daran, wie
wir in \eref{mcK}{TG} den charakteristischen Homomorphismus
$${\op{C}}_E:{\op{H}}^*_G(\op{top})\ra  {\op{H}}^*(X)$$ erkl"art hatten als die 
Komposition\label{MuCK} 
${\op{H}}^*_G(\op{top})\ra {\op{H}}^*_G(E)\sira {\op{H}}^*(X)$
des "aquivarianten Zur"uckholens l"angs der konstanten Abbildung
mit dem Inversen des Quotientenisomorphismus
${\op{H}}^*(X)\sira {\op{H}}^*_G(E)$.
    \end{Bemerkungl}



  \begin{Bemerkungl}[\textbf{Charakteristische Klassen und Produkt}]
   Gegeben  $X$ ein topologischer
   Raum und topologische Gruppen $G,H$ und
   auf $X$ sowohl ein $G$-Torsor $E$ als auch ein $H$-Torsor $F$ ist
   $E\times_X F$ ein $(G\times H)$-Torsor in offensichtlicher Weise und
   wir erhalten in $\op{Topog}$ ein kommutatives Diagramm\label{ckp} 
   $$\begin{array}{ccccc}
  G{\ssearrow}{\op{top}}&\leftarrow & G{\ssearrow}E&\ra& 1{\ssearrow}X\\[2mm]
  \ua &&\ua&&\|\\[2mm]
   (G\times H){\ssearrow}{\op{top}}&\leftarrow & (G\times H){\ssearrow}(E\times_XF)&\ra& 1{\ssearrow}X  \\[2mm]
  \da &&\da&&\|\\[2mm]
   H{\ssearrow}{\op{top}}&\leftarrow & H{\ssearrow}F&\ra& 1{\ssearrow}X
\end{array}
$$
   Wenden wir darauf "aquivariante Kohomologie an, so folgt
   die Kommutativit"at des Diagramms
   $$\begin{array}{ccc}
     {\op{H}}^*_G(\op{top})\bar\otimes {\op{H}}^*_H(\op{top})&\ra&{\op{H}}^*(X)\bar\otimes {\op{H}}^*(X)\\
     \da&&\da\\
     {\op{H}}^*_{G\times H}(\op{top})&\ra&{\op{H}}^*(X)
   \end{array}$$
   mit den durch R"uckzug und Produkt gegebenen Vertikalen und
   den durch unsere  charakteristischen Homomorphismen gegebenen
   Horizontalen. In Formeln ausgedr"uckt gilt also
   ${\op{C}}_E(a){\op{C}}_F(b)={\op{C}}_{E\times F}(a\times b)$
   mit der Notation $a\times b\pdef \op{pr}_1^*(a)\op{pr}_2^*(b)$ f"ur den
   Effekt der linken Vertikale.
  \end{Bemerkungl}


  \begin{Bemerkungl}[\textbf{Kohomologieringe klassifizierender R"aume und Produkte}]
    Jede Liegruppe $G$ ist  offenlokal zusammenziehbar und dasselbe folgt
    mit \eref{MiKok}{TG} f"ur die Milnorkonstruktion ${\op{E}}G$ und
    den klassifizierenden Raum ${\op{B}}G$.
Gegeben Liegruppen $G,H$ derart, da"s
    alle Kohomologiegruppen ${\op{H}}^q({\op{B}}G)$ der ersten
    freie endlich erzeugte
  abelsche Gruppen sind,
  liefert   das Kreuzprodukt der Kohomologie
 nach der
  K"unnethformel \ref{KuFEF}  einen Isomorphismus\label{KKPr} 
  $${\op{H}}^*_G(\op{top})\bar{\otimes} {\op{H}}^*_H(\op{top})\sira {\op{H}}^*_{G\times H}(\op{top})$$
  \end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Chern'sche Klassen}]  Gegeben ein Torus ${\op{T}}(n)\pdef (S^1)^n$ liefern nach \ref{KKPr} f"ur jede Wahl eines Erzeugers $z\in {\op{H}}^2_{S^1}(\op{top})$
  dessen R"uckz"uge unter den Projektionen unseres Torus auf seine
  Faktoren Klassen $z_1,\ldots,z_n\in {\op{H}}^2_{{\op{T}}(n)}(\op{top})$ 
  mit $$\DZ['z_1,\ldots,z_n]\sira {\op{H}}^*_{{\op{T}}(n)}(\op{top})$$
Nach \ref{RchK} liefert weiter der R"uckzug
  unter der Einbettung ${\op{T}}(n)
  \hra{{\op{U}}}(n)$ der Diagonalmatrizen in die unit"aren Matrizen  einen Isomorphismus
  ${\op{H}}^*_{{{\op{U}}}(n)}(\op{top})\sira {\op{H}}^*_{{{\op{T}}}(n)}(\op{top})^{\mathcal S_n}$.
Insgesamt erhalten wir so einen Isomorphismus 
$$\DZ['z_1,\ldots,z_n]^{\mathcal S_n} \sira {\op{H}}^*_{{{\op{U}}}(n)}(\op{top})
$$
Ebenso erhalten wir auch f"ur die entsprechenden komplexen Gruppen Isomorphismen $\DZ['z_1,\ldots,z_n]\sira {\op{H}}^*_{{\op{T}}(n;\DC)}(\op{top})$ und  $$\DZ['z_1,\ldots,z_n]^{\mathcal S_n}\sira{\op{H}}^*_{{{\op{GL}}}(n;\DC)}(\op{top})$$
Nach \eref{SyP}{AL} haben wir nun  $\DZ['z_1,\ldots,z_n]^{\mathcal S_n}=\DZ['s_1,s_2,\ldots,s_n]$ f"ur $s_q$ das $q$-te elementarsymmetrische Polynom in den $z_i$. Dies Polynom 
$s_q$ ist homogen vom Grad $q$ in den $z_i$ und bereits
sein Bild $c_q\in {\op{H}}^*_{{{\op{GL}}}(n;\DC)}(\op{top})$ unter dem
obigen Isomorphismus hei"st manchmal die\label{ChKl}  
{\bf $q$-te Chern'sche Klasse}.
Gegeben ein ${\op{GL}}(n;\DC)$-Hauptfaserb"undel $E$
auf einem Raum $X$ erkl"art man dann seine
{\bf $q$-te Chern'sche Klasse}\index{Chern'sche Klasse} durch die Vorschrift
$$c_q(E)\pdef {\op{C}}_E(c_q)\in {\op{H}}^{2q}(X)$$ f"ur 
${\op{C}}_E:{\op{H}}^*_{{{\op{GL}}}(n;\DC)}(\op{top})\ra {\op{H}}^{*}(X)$ den
\hyperref[MuCK]{charakteristischen Homomorphismus}. 
Die Chern'schen Klassen eines komplexen Vektorb"undels $V$ 
werden schlie"slich erkl"art als $c_q(V)\pdef c_q(E)$ mit
$E=E_V$ dem  zugeh"origen
$\op{GL}(n;\DC)$-Torsor alias dem Rahmenb"undel von $V$
mit den Fasern $\op{Hom}_\DC(\DC^n,V_x)$ und der
hoffentlich offensichlichen Topologie. %aus \eref{VTZZ}{FeldZus}.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
  Gegeben ein $n$-dimensionales komplexes Vektorb"undel $V$ auf einem
  Raum $X$ vereinbaren wir $c_0(V)\pdef 1$ und erkl"aren die
  {\bf totale Chern'sche Klasse}\index{Chern'sche Klasse!totale}\index{c@$c_*(V)$ totale Chern'sche Klasse} 
   $c_*(V)\in{\op{H}}^*(X)$ von $V$  durch die Vorschrift $$c_*(V)\pdef c_0(V)+c_1(V)+c_2(V)+\ldots+c_n(V)\in{\op{H}}^*(X)$$
\end{Bemerkungl}

  
\begin{Lemma}
  F"ur die totale Chern'schen Klasse der direkten Summe von zwei  komplexen Vektorb"undeln
   gilt 
    im Kohomologiering der Basis die
    \emph{\bf Whitney'sche Summenformel}\index{Whitney!Summenformel} 
$$c_*(V\oplus W)=c_*(V)c_*(W)$$
\end{Lemma}

\begin{proof}
 Die elementarsymmetrischen Polynome
 $s_q\in\DZ[z_1,\ldots,z_n]^{\mathcal S_n}$ k"onnen charakterisiert werden
 durch 
  die Identit"at
  $$(1+z_1)(1+z_2)\ldots(1+z_n)=1+s_1+s_2+\ldots +s_n$$
  zusammen mit der Eigenschaft, da"s $s_q$ homogen ist vom Grad $q$.
  Erkl"aren  wir unseren Ausdruck als das \glqq totale symmetrische Polynom\grqq\ $s_*(z_1,\ldots,z_n)$, so gilt f"ur $l+m= n$ mithin
  $s_*(z_1,\ldots,z_n)=s_*(z_1,\ldots,z_l)s_*(z_{l+1},\ldots,z_n)$. 
Sei nun $X$ die Basis unserer B"undel. Bezeichnet
 $D$ das Rahmenb"undel von $V\oplus W$, so  haben wir per definitionem $s_*(z_1,\ldots,z_n)\mapsto c_*(V\oplus W)$
unter der Komposition $$\DZ['z_1,\ldots,z_n]^{\mathcal S_n}\stackrel{\sim}{\longrightarrow}{\op{H}}^*_{{{\op{GL}}}(n;\DC)}(\op{top})
\stackrel{{\op{C}}_D}{\longrightarrow}{\op{H}}^*(X)$$
 Jetzt betrachten wir f"ur $l+m=n$  das kommutative Diagramm
\begin{displaymath}
  \xymatrix{
    {{\op{T}}}(l;\DC)\ar[r] & {{\op{GL}}}(l;\DC)\\
{{\op{T}}}(l;\DC)\times {{\op{T}}}(m;\DC)\ar[d]\ar[u]\ar[r] & {{\op{GL}}}(l;\DC)\times {{\op{GL}}}(m;\DC) \ar[u]\ar[d]^\phi\\
{{\op{T}}}(n;\DC) \ar[r] & {{\op{GL}}}(n;\DC)
}
\end{displaymath}
mit den jeweiligen Projektionen als Pfeile nach oben und dem
\glqq Zusammenblocken\grqq\ $\phi:(A,B)\mapsto\op{diag}(A,B)$
als Pfeile nach unten.
Zus"atzlich betrachten  nocheinmal dasselbe Diagramm
mit $m$ statt $l$ in der oberen Horizontale.
Gehen wir zu den Kohomologieringen der jeweiligen klassifizierenden
R"aume "uber, so ergibt sich ein  weiteres kommutatives Diagramm, das  mit
unseren ausgezeichneten Isomorphismen isomorph wird zum Diagramm
\begin{displaymath}
  \xymatrix{
   \DZ[z_1,\ldots,z_l]\ar[d] & \DZ[z_1,\ldots,z_l]^{\mathcal S_l}\ar[d]\ar[l]\\
 \DZ[z_1,\ldots,z_l]\otimes \DZ[w_{1},\ldots, w_m] & \DZ[z_1,\ldots,z_l]^{\mathcal S_l}\otimes \DZ[w_{1},\ldots, w_m]^{\mathcal S_m}\ar[l]\\
\DZ[z_1,\ldots z_n] \ar[u] &\DZ[z_1,\ldots z_n]^{\mathcal S_n}\ar[l]\ar[u]
}
\end{displaymath}
 mit der Umbenennung von $z_{l+1},\ldots, z_n$ zu
 $w_1,\ldots, w_m$ bei beiden Pfeilen nach oben.
 Im analogen Fall mit $m$ statt $l$ gilt Analoges.
Sind nun $E,F$ die Rahmenb"undel von $V$ und $W$, so haben wir
offensichtlich $D\cong \phi_*(E\times F)$ und damit 
\begin{displaymath}\begin{array}{llll}
  c_*(V\oplus W)&=&{\op{C}}_{D}(s_*(z_1,\ldots,z_n))&\text{per definitionem}\\[1mm]
        &=&{\op{C}}_{\phi_*(E\times F)}(s_*(z_1,\ldots,z_l)s_*(z_{l+1},\ldots,z_n))&\text{nach  vorigem}\\[1mm]
  &=&{\op{C}}_{E\times F}(s_*(z_1,\ldots,z_l)\times s_*(w_{1},\ldots,w_m))&\text{nach \eref{ckg}{TG}}\\[1mm]
 &=&{\op{C}}_{E}(s_*(z_1,\ldots,z_l)){\op{C}}_{ F} (s_*(w_{1},\ldots,w_m))&\text{nach \ref{ckp}}\\[1mm]
 &=&c_*(V)c_*(W)&\text{per definitionem.}
\end{array}
\qedhere\end{displaymath}
\end{proof}

\begin{Bemerkungw}[\textbf{Stiefel-Whitney-Klassen}]
  Nun  arbeiten wir mit Koeffizienten in $\mathbb F_2=\DZ/2\DZ$
  und mit reellen Gruppen.
  Dann liefert explizite Rechnung einen Isomorphimus
  $\mathbb F_2['x_1,\ldots,x_n]\sira
  {\op{H}}^*_{{\op{T}}(n;\DR)}(\op{top};\mathbb F_2)$
  mit Variablen vom Grad Eins und
  R"uckzug liefert wieder
  $\mathbb F_2['x_1,\ldots,x_n]^{\mathcal S_n}\sira {\op{H}}^*_{{\op{GL}}(n;\DR)}(\op{top};\mathbb F_2)$, da dieselbe Ar\-gu\-men\-ta\-tion wie zuvor
  zeigt, da"s sich  zwischendrin homologisch  nichts wegk"urzen kann, sonst
  br"auchte  ${\op{H}}^*_{{\op{T}}(n;\DR)}(\op{top};\mathbb F_2)$ als Modul "uber ${\op{H}}^*_{{\op{GL}}(n;\DR)}(\op{top};\mathbb F_2)$ zu viele Erzeuger. Dann
  wiederholt man alle Argumente.
  Das Bild des $q$-ten elementarysmmetrischen Polynoms $s_q$ in ${\op{H}}^q_{{\op{GL}}(n;\DR)}(\op{top};\mathbb F_2)$ hei"st in diesem Fall die
  {\bf $q$-te Stiefel-Whitney-Klasse}.\label{SWKl} 
  Ebenso kann man im Fall
  ${\op{GL}}(n;\mathbb H)$ vorgehen, in dem wir die sogenannten
  {\bf Pontrjagin-Klassen}\index{Pontrjagin-Klasse} mit $\DZ$-Koeffizienten
  in allen durch Vier teilbaren Graden 
  erhalten.
\end{Bemerkungw}












%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "XXTSF"
%%% End: