\subsection{Positive Charakteristik (Vogelmann)}
\begin{Bemerkungl}
 Unsere Quelle [Jantzen 10.11] liefert f"ur $\chi\in\mathfrak g^*$ in Standard-Levi-Form [Jantzen 10.1]
 und $I\pdef\{\alpha\mid\chi(x_{-\alpha})\neq 0\}$ und $\lambda\in\Lambda_\chi\pdef \Lambda_0$ nach [Jantzen 6.2].
 Nun sagt [Jantzen 10.9] zusammen mit [Jantzen 10.11], da"s $Q_\chi(\lambda)$
 eine Filtrierung hat, in der 
 wir  f"ur jedes $\mu\in \Lambda_\chi$ das $Z_\chi(\mu)$ genau  $[Z_\chi(\mu):L_\chi(\lambda)]$-mal nehmen. Diese $Z_\chi(\mu)$
 k"onnen f"ur verschiedene $\mu$ durchaus isomorph sein, genauer
 gilt $Z_\chi(\mu)\cong Z_\chi(\nu)$  genau dann, wenn 
 f"ur alle $\mu,\nu$ in derselben $(W_I\cdot)$-Bahn liegen.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl} Jetzt wird in [Jantzen 11] alles graduiert und man arbeitet
  mit  $\hat Z_\chi(\lambda)$ und ihren einfachen Quotienten $\hat L_\chi(\lambda)$ f"ur $\chi$ in Standard-Levi-Form und $\lambda\in X$.
  und der Kategorie $\mathcal C=\mathcal C_\chi$ von $X/\DZ I$-graduierten $U_\chi(\mathfrak g)$-Moduln mit $M=M_{[0]}$.
  Nach [Jantzen 11.6] haben wir $\hat Z_\chi(\lambda+p\mu)\cong \hat Z_\chi(\lambda)\langle p\mu\rangle$.  Nach [Jantzen 11.6] haben wir
  $$\hat Z_\chi(\lambda)\cong \hat Z_\chi(\mu) \IFF \hat L_\chi(\lambda)\cong \hat L_\chi(\mu)  \IFF W_{I,p}\cdot\lambda = W_{I,p}\cdot\mu$$
  Hier ist $W_{I,p}$ die Gruppe erzeugt von $(+p\alpha)$ und $s_\alpha$ f"ur $\alpha\in I$.
  Die einfachen Objekte von $\mathcal C$ sind also die
  $\hat L_\chi(\lambda)$ f"ur $\lambda\in X\cap C_I$, etwa die ganzen Gewichte
  in einem Streifen im Fall von zwei einfachen Wurzeln, von denen genau eine
  zu $I$ geh"ort. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl} Nach [Jantzen 11.11] sind die Linkage-Klassen
  genau die $(W_p\cdot)$-Bahnen in $X$.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Ich denke, wir haben uns "uberlegt, da"s 
  $\hat Z_\chi(-\rho)$ einfach ist, weil es sich in das einfache Objekt
  $\hat Z_0(-\rho)$ deformieren l"a"st. Ist das aufgeschrieben und fertig?
  Ein anderes Argument steht auch in [Jantzen 11.13], Bemerkung a).
  Genauer steht dort, da"s $\hat Z_\chi(\lambda)$ einfach ist, wenn gilt
  $\langle \lambda +\rho,\alpha^\vee\rangle\in p\DZ$ f"ur alle $\alpha\in R$.
  F"ur gew"ohnlich bedeutet das genau $\lambda\in -\rho + pX$.
  Diese einfachen $\hat Z_\chi(\lambda)$ k"onnen aus Dimensionsgr"unden
  in keinem nichtisomorphen $\hat Z_\chi(\mu)$ vorkommen. Da zus"atzlich die
  $(W_I\cdot)$-Bahn von  $\hat Z_\chi(-\rho)$ nur aus einem Punkt besteht,
  ist dies Objekt auch projektiv nach der Beschreibung der Projektiven. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
  Wir wollen nun eine deformierte Kategorie zu $\mathcal C_\chi$ untersuchen,
  die "ahnlich ist wie in [AJS], aber mit $\chi$ in Standard-Levi-Form statt
  $\chi=0$ wie dort.
  Ich wei"s nicht genau, wieviel Du da schon getextet hast.
  Wir bilden zun"achst den Quotienten $U_{(\chi)}(\mathfrak g)$ wie in
  [Jantzen 11.3], nur teilen wir  die $h^p-h^{[p]}$ nicht weg. Das ist ein  
   $X/\DZ I$-graduierter Ring. 
  Dann betrachten  wir $U_{(\chi)}(\mathfrak g)$-$U(\mathfrak h)$-Bimoduln
  mit  $X/\DZ I$-Graduierung und fordern eine Vertr"aglichkeit, die
  $M=M_{[0]}$ verallgemeinert. Schlie"slich ersetzen wir $U(\mathfrak h)$
  durch seine Vervollst"andigung am Nullpunkt $A$ und landen bei
  einer Kategorie $\mathcal C_{\chi,A}$ mit einem Funktor $\otimes_Ak$
  nach $\mathcal C_{\chi}$. Sie hat Objekte
  $\hat Z_{\chi, A}(\lambda)$, die unter unserem Funktor zu
  $\hat Z_{\chi}(\lambda)$ werden. Jetzt gilt es zu zeigen, da"s
  $\hat Z_{\chi, A}(-\rho)$ projektiv ist in  $\mathcal C_{\chi,A}$
  und da"s wir projektive Decken $\hat Q_{\chi,A}(\lambda)$ der $\hat Z_{\chi,A}(\lambda)$ als Summanden von
  $E\otimes \hat Z_{\chi, A}(-\rho)$ erhalten f"ur endlichdimensionale
  Darstellungen $E$ der restringierten Liealgebra und da"s sie alle eine
  $\hat Z_{\chi, A}$-Filtrierung haben.
  Weiter gilt es zu zeigen, da"s $\op{Hom}(\hat Q_{\chi,A}(\lambda),\hat Q_{\chi,A}(\mu))$ freie $A$-Moduln von endlichem Rang sind und
  unter $\otimes_Ak$ zu  $\op{Hom}(\hat Q_{\chi}(\lambda),\hat Q_{\chi}(\mu))$
  spezialisieren.
 \end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Dahingegen kriegen wir f"ur $K\pdef \op{Quot}A$ auch einen Funktor der
  Erweiterung der Skalare und 
  die $\hat Z_{\chi, K}(\lambda)$  werden einfache und projektive Objekte der
  Kategorie $\mathcal C_{\chi,K}$ sein, da sie als $\hat Z_{\chi+\tau}(\lambda)$
  aufgefa"st werden k"onnen mit $\tau:\mathfrak h\ra K$ dem
  \glqq tautologischen\grqq\ Gewicht, das es formal erst
  "uber $K$ gibt, also  $\tau\in\mathfrak h_K^\ast$.
  Dann ist $\chi+\tau$ "uberhaupt nicht mehr nilpotent, sondern
  generisch halbeinfach. Anschaulich wird $\chi$ generisch
  halbeinfach, sobald man ein  generisches Gewicht aus $\mathfrak h^*$
  dazuaddiert. Genauer sollte
  $$(E\otimes \hat Z_{\chi, A}(-\rho))\otimes_AK$$
  zerfallen in die direkte Summe der $\hat Z_{\chi, K}(-\rho+\lambda)$,
  wobei $\lambda$ die Multimenge der Gewichte von $E$ durchl"auft. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Das sollte bereits zeigen, da"s wir  
  $$\op{Hom}(\hat Q_{\chi,A}(\lambda),\hat Q_{\chi,A}(\mu))=
  \bigcap_{\mathfrak p}\op{Hom}(\hat Q_{\chi,A_{\mathfrak p}}(\lambda),\hat Q_{\chi,A_{\mathfrak p}}(\mu))$$
  als Teilmenge von $\op{Hom}(\hat Q_{\chi,K}(\lambda),\hat Q_{\chi,K}(\mu))$
  haben mit dem Schnitt "uber alle Primideale der H"ohe Eins. Dieser
  letzte $K$-Vektorraum ist dabei recht explizit, da die $\hat Q_{\chi,K}(\lambda)$ ja vollst"andig zerfallen in  bekannte einfache Summanden. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
  F"ur die folgende Diskussion mag eine alte Arbeit von mir "uber
  [The prime spectrum of the enveloping algebra of a reductive Lie algebra, Math. Zeitschrift 204, 559-581 (1990)] hilfreich sein, weil darin auch mit
  generischen Punkten gearbeitet wird. 
  Betrachten wir andere Primideale $\mathfrak p$ von $A$ und
  $K_{\mathfrak p}\pdef \op{Quot}(A/\mathfrak p)$ und $\tau_{\mathfrak p}:\mathfrak h\ra K_{\mathfrak p}$ und wenden $\otimes_A K_{\mathfrak p}$ an, so wird die
  Sache komplizierter. Im Fall $\mathfrak p=0$ kriegen wir $K=K_{\mathfrak p}$
  und im Fall $\mathfrak p$ das maximale Ideal  kriegen wir $k=K_{\mathfrak p}$.
  Im allgemeinen
  wird $$(E\otimes \hat Z_{\chi, A}(-\rho))\otimes_AK_{\mathfrak p}$$
  eine Filtrierung mit Subquotienten $\hat Z_{\chi, K_{\mathfrak p}}(-\rho+\lambda)$
  haben, da sie  als $\hat Z_{\chi+\tau_{\mathfrak p}}(\lambda)$
  aufgefa"st werden k"onnen und wir "uber einem K"orper das bereits wissen.
  Die Frage ist nun, inwieweit das im subgenerischen Fall zerf"allt,
  also f"ur $\mathfrak p$ von der H"ohe Eins. Da wird es nur ganz
  wenige F"alle geben, in denen das komplizierter ist als im generischen Fall:
  Entweder, weil $\chi + \tau_\mathfrak p$ nicht halbeinfach ist, sondern
  noch ein bi"schen Nilpotenz "ubrigbleibt, oder weil 
  $\chi + \tau_\mathfrak p$ zwar halbeinfach ist, aber die
  $\hat Z_{\chi+\tau_{\mathfrak p}}(\lambda)$ dennoch erweitern. Das passiert jedoch ganz selten und dann gibt es nur \glqq SL2-Situationen\grqq.
  Dann mu"s das genauso in $A_\mathfrak p$ statt $K_\mathfrak p$ gemacht werden. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
  Ich stelle mir vor, da"s Du eine Arbeit schreiben k"onntest mit dem Titel
  \glqq Eine Deformationskategorie f"ur restringierte Darstellungen\grqq,
  in der Du den Beginn des blauen Buches erweiterst. Du k"onntest auch eine
  Kombinatorik erraten und pr"ufen, da"s sie die Aussagen zu
  Endomorphismen von Projektiven aus [Jantzen] liefert oder in kleinen
  F"allen die Lusztig-Vermutungen. Du k"onntest Dich auch auf die
  \glqq SL2-Situationen\grqq\ konzentrieren und gucken, ob das auch stimmt,
  was ich da oben herumrate. Daraus sollte sich dann beweisen lassen, da"s
  die Aussagen zu
  Endomorphismen von Projektiven aus [Jantzen] stimmen und man sollte sie
  sogar in der deformierten Kategorie erhalten.
\end{Bemerkungl}