\section{Vollst"andigkeit bei Ringen} \subsection{Vervollst"andigung von Ringen*} \begin{Definition} Seien $A\supset I$ ein Ring mit einem Ideal. Die {\bf Vervollst"andigung $A_I^\wedge$ von $A$ am Ideal $I$}\index{Vervollst"andigung!eines Rings}\index{)8ba@$A_I^\wedge$ Vervollst"andigung} ist der Teilring\index{V@${\op{V}}$ Vervollst"andigung} $${\op{V}}_I(A)=A_I^\wedge\subset \prod_{n\in \DN}A/I^n$$ des Produkts von Quotienten bestehend aus allen Tupeln $(a_n)$ mit $a_{n+1}\mapsto a_n$ f"ur alle $n\geq 0$ unter den offensichtlichen Morphismen. Die Abbildung $A\ra A_I^\wedge$, die jedem $a\in A$ das Tupel der $(a+I^n)$ zuordnet, ist stets ein Ringhomomorphismus, der {\bf kanonische Homomorphismus in die Vervollst"andigung}. Er mu"s nicht injektiv sein. \end{Definition} \begin{Definition} Seien $A\supset I$ ein Ring mit einem Ideal und $M$ ein $A$-Modul. Wir erkl"aren wir {\bf Vervollst"andigung $M_I^\wedge$ von $M$ am Ideal $I$}\index{Vervollst"andigung!eines Moduls} als die Untergruppe $${\op{V}}_I(M)=M_I^\wedge\subset \prod_{n\in \DN}M/I^nM$$ des Produkts von Quotienten\index{V@${\op{V}}$ Vervollst"andigung} bestehend aus allen Tupeln $(v_n)$ mit $v_{n+1}\mapsto v_n$ f"ur alle $n\geq 0$ unter den offensichtlichen Morphismen und erhalten eine offensichtliche Struktur auf $M_I^\wedge$ als $A_I^\wedge$-Modul. \end{Definition} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Vervollst"andigung als Limes}] In der Sprache der Kategorientheorie kann unsere Vervollst"andigung verstanden werden als der Limes im Sinne von \eref{Limes}{TS} des Kosystems der Quotientenringe $A/I^n$ beziehungsweise der Limes des Kosystems der Quotientengruppen $M/I^nM$ und wir haben in Formeln $$M_I^\wedge= \op{lim}_{n\in \DN}M/I^nM$$ \end{Bemerkunge} \begin{Beispiel} Wir erhalten einen Isomorphismus $k\llbracket X\rrbracket\sira k[X]^\wedge_{\langle X\rangle}$ zwischen dem Ring der formalen Potenzreihen und der Vervollst"andigung des Polynomrings an dem von der Variablen erzeugten Ideal, indem wir jeder formalen Potenzreihe die Folge der Nebenklassen ihrer Anfangsst"ucke zuordnen. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Herkunft der Terminologie}] Die Terminologie r"uhrt von einer alternativen Konstruktion her. Gegeben ein Ring $A$ mit einem Ideal $I$ kann man auf dem Quotienten $A$ eine Pseudometrik $d$ im Sinne von \eref{SeMe}{AN3} erkl"aren durch die Vorschrift $$d(a, b)\pdef \op{inf}\{2^{-n}\mid (a-b)\in I^n\}$$ Dann identifiziert $A^\wedge_I$ unschwer mit der Vervollst"andigung dieses pseudometrischen Raums im Sinne von \eref{SeMe}{AN3}. Insbesondere besitzt $A^\wedge_I$ eine nat"urliche Topologie. Analoges gilt f"ur die Vervollst"andigung von Moduln. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{DTGgx} Eine {\bf topologisches Monoid} ist, wie auch in \eref{DTGmo}{TM} erkl"art, ein Monoid $G$ mit einer Topologie derart, da"s die Verkn"upfung $G\times G\ra G$ stetig ist. \end{Definition} \begin{Definition}\label{DTGgx} Eine {\bf topologische Gruppe} ist, wie auch in \eref{DTG}{TM} erkl"art, eine Gruppe $G$ mit einer Topologie derart, da"s die Verkn"upfung $G\times G\ra G$ und die Inversenabbildung $G\ra G$ stetig sind. \end{Definition} \begin{Definition} Ein {\bf topologischer Ring}\index{topologisch!Ring}\index{Ring!topologischer} ist ein Ring $k$ mit einer Topologie\label{DTRx} derart, da"s die Addition und die Multiplikation als Abbildungen $k \times k \ra k$ stetig sind. \end{Definition} \begin{Definition} Ein {\bf topologischer Modul}\index{topologisch!Modul}\index{Modul!topologischer} "uber einem topologischen Ring $k$ ist ein $k$-Modul $M$ mit einer Topologie\label{DTMx} derart, da"s die Addition $M\times M\ra M$ und die Multiplikation $k \times M \ra M$ stetig sind. Die Kategorie aller topologischen $k$-Moduln notieren wir $\op{Modto}_k$. \end{Definition} \begin{Beispiel}\label{padZ} Gegeben eine Primzahl $p$ schreibt man $\DZ_p\pdef \DZ^\wedge_{\langle p\rangle}$ und nennt diesen Ring den Ring der {\bf ganzen $p$-adischen Zahlen}. Seine\index{adisch@$p$-adische Zahl}\index{Zahl!$p$-adische}\index{Z@$\DZ_p$ $p$-adische Zahlen} Elemente lassen sich eindeutig darstellen als formale Potenzreihen $\sum_{n\geq 0}a_n p^n$ mit Koeffizienten $a_n\in\{0,1,\ldots,p-1\}$ und der Ma"sgabe, da"s solch eine formale Potenzreihe \glqq die Folge der Nebenklassen ihrer bei $p=p$ ausgewerteten Anfangsst"ucke\grqq\ darstellt. Nach \ref{TEV} ist der Ring $\DZ_p$ der ganzen $p$-adischen Zahlen kompakt. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Funktorialit"at der Vervollst"andigung}] Gegeben ein Ringhomomorphismus $\varphi:A\ra B$ sowie Ideale $I\subset A$ und $J\subset B$ mit $ \varphi(I)\subset J$ erhalten wir in offensichtlicher Weise einen stetigen Ringhomomorphismus $\hat\varphi: A^\wedge_I\ra B^\wedge_J$. Sind speziell $I\subset J\subset A$ Ideale ein- und desselben Rings und gibt es $n$ mit $J^n\subset I$, so ist besagter Homomorphismus ein Isomorphismus von topologischen Ringen $A^\wedge_I\sira A^\wedge_J$. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Invertierbare Elemente einer Vervollst"andigung}] Gegeben $A\supset I$ ein Ring mit einem Ideal und $\pi:A^\wedge_I\sra A/I$ die offensichtliche Projektion ist ein Element der Vervollst"andigung genau dann eine Einheit, wenn sein Bild in $A/I$ eine Einheit ist, in Formeln\label{IEVl} $$(A^\wedge_I)^\times =\pi^{-1}((A/I)^\times)$$ \end{Proposition} \begin{proof} Das Bild einer Einheit unter einem Ringhomomorphismus ist stets einen Einheit, also $\subset$. Ist andererseits ein Tupel $(a_n)$ der Vervollst"andigung gegeben mit $a_1\in (A/I)^\times$, sagen wir $c_1a_1=a_1c_1=1$ f"ur $c_1\in A/I$, und ist $\tilde c_1\in A$ ein Repr"asentant von $c_1$ und $\tilde a_2\in A$ ein Repr"asentant von $a_2$, so haben wir $\tilde a_2\tilde c_1=1+b$ und $\tilde c_1 \tilde a_2=1+d$ mit $b, d\in I$. Es folgt $\tilde a_2\tilde c_1(1-b)=1-b^2$ und $(1-d)\tilde c_1 \tilde a_2=1-d^2$ Da nun $a_2\in A/I^2$ ein Rechtsinverses und ein Linksinverses besitzt, m"ussen diese "ubereinstimmen und wir finden $a_2\in (A/I^2)^\times$. Notieren wir $c_2\in (A/I^2)$ das Inverse von $a_2$, so gilt offensichtlich $c_2\mapsto c_1$. Indem wir in derselben Weise fortfahren, finden wir ein Inverses zu unserem Element der Vervollst"andigung. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Vervollst"andigung und Lokalisierung}] Seien $A\supset I$ ein Ring mit einem Ideal.\label{VvLo} Gegeben ein Element $f\in A$ ist sein Bild in $A/I$ nach \ref{IEVl} invertierbar genau dann, wenn sein Bild in der Vervollst"andigung $A^\wedge_I$ invertierbar ist. %$A/I^2$ invertierbar ist. %In der Tat folgt aus %$fg=1+b$ bereits $fg(1-b)=1-b^2$. Induktiv folgt, da"s f"ur $f\in A$ sein Bild %in $A/I$ invertierbar ist genau dann, wenn sein Bild in der Vervollst"andigung $A^\wedge_I$ invertierbar ist. Ist speziell $A$ kommutativ und $S\subset A$ eine Teilmenge, die in den Einheiten von $A/I$ landet, so induziert die nat"urliche Abbildung sogar einen Isomorphismus von topologischen Ringen $$A^\wedge_I\sira (S^{-1}A)^\wedge_{S^{-1}I}$$ In der Tat sagt uns "Ubung \ref{ULMM} zum "uberfl"ussigen Lokalisieren zusammen mit der Exaktheit des Lokalisierens in diesem Fall, da"s die offensichtlichen Abbildungen Isomorphismen $$A/I^n\sira S^{-1}(A/I^n)\sira (S^{-1}A)/(S^{-1}I^n)=(S^{-1}A)/(S^{-1}I)^n$$ liefern. Insbesondere faktorisiert die kanonische Abbildung in die Vervollst"andigung unter besagten Voraussetzungen "uber die Lokalisierung als Sequenz von Ringhomomorphismen $A\ra S^{-1}A\ra A^\wedge_I$. Analoges gilt f"ur Moduln. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Exaktheit von Vervollst"andigungen}] Ist $A$ ein noetherscher Kring und $\mathfrak a\subset A$ ein Ideal und $L\hra M\sra N$ eine kurze exakte Sequenz von noetherschen $A$-Moduln, so ist auch die induzierte Sequenz eine kurze exakte Sequenz\label{Evv} $$L^\wedge_{\mathfrak a}\hra M^\wedge_{\mathfrak a}\sra N^\wedge_{\mathfrak a}$$ Des weiteren ist in dieser Sequenz die erste Abbildung topologisch initial und die zweite topologisch final. \end{Proposition} \begin{proof} Um die Notation zu vereinfachen, nehmen wir $L\subset M$ als Untermodul an. Nach \ref{VSTF2} und \ref{VSTF1} bilden die $L\cap \mathfrak a^n M$ eine $\mathfrak a$-stabile Filtrierung auf $L$ und mit \eref{KFinl}{TS} oder auch etwas Nachdenken folgt, da"s die Einbettungen einen Isomorphismus $$\varprojlim L/\mathfrak a^n L\sira \varprojlim L/(L\cap \mathfrak a^n M)$$ induzieren. Dann folgt die Proposition unmittelbar aus der Exaktheit des Bildens von Limites im Fall surjektiver durch $\DN$ indizierter Kosysteme abelscher Gruppen \eref{MiLe}{TS}. \end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{Vervollst"andigung als Skalarerweiterung}] Gegeben ein noetherscher Kring mit Ideal $A\supset\mathfrak a$ und ein noetherscher $A$-Modul $M$ liefert die Multiplikation einen Isomorphismus\label{vVaS} $$A^\wedge_{\mathfrak a}\otimes _A M\sira M^\wedge_{\mathfrak a}$$ \end{Proposition} \begin{proof} F"ur $M\cong A^n$ frei von endlichem Rang ist die Behauptung offensichtlich. Jeder noethersche Modul $M$ pa"st nun aber in eine rechtsexakte Sequenz $A^n\ra A^m\sra M$ und diese Sequenz bleibt rechtsexakt unter dem Vervollst"andigen nach \ref{Evv} und unter der Erweiterung der Skalare aufgrund der Rechtsexaktheit des Tensorprodukts. Die Proposition folgt damit aus dem F"unferlemma. \end{proof} \begin{Korollar} Gegeben $A\supset\mathfrak a$ ein noetherscher Kring mit Ideal ist die Vervollst"andigung $A^\wedge _{\mathfrak a}$ flach "uber $A$. \end{Korollar} \begin{proof} Es reicht nach \ref{flnoe} zu pr"ufen, da"s das Darantensorieren $A^\wedge _{\mathfrak a}\otimes _A$ injektive Homomorphismen endlich erzeugter $A$-Moduln zu injektiven Homomorphismen macht. Das folgt jedoch aus der Exaktheit des Vervollst"andigens \ref{Evv} zusammen mit der Identifikation zwischen Skalarerweiterung und Vervollst"andigung unter den gegebenen Voraussetzungen aus \ref{vVaS}. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Vervollst"andigung im geometrischen Fall}] Im geometrischen Fall einer Variet"at $X$ mit einem Punkt $x\in X$ verwendet man auch die Abk"urzung $$\mathcal O^\wedge_{X,x}\pdef (\mathcal O_{X,x})^\wedge_{\mathfrak m}$$ f"ur die Vervollst"andigung eines lokalen Rings an seinem maximalen Ideal. Unsere Erkenntnisse \ref{VvLo} "uber die Vertr"aglichkeit von Vervollst"andigung und Lokalisierung liefern uns dann f"ur affine Variet"aten $X$ einen nat"urlichen Isomorphismus von topologischen Ringen $\mathcal O(X)^\wedge_{\mathcal I(x)}\sira \mathcal O^\wedge_{X,x} $. Ich denke mir die Elemente des vervollst"andigten lokalen Rings $\mathcal O^\wedge_{X,x}$ als \glqq formale Taylorreihen um den Entwicklungspunkt $x$\grqq. Nach \ref{VvQQ} sind diese Ringe Quotienten von Potenzreihenringen in mehreren Variablen und nach \ref{HiBaaR} sind sie damit auch noethersch. Offensichtlich sind sie genau dann isomorph als $k$-Kring zu einem formalen Potenzreihenring in $r$ Variablen, wenn $x$ ein regul"arer Punkt von $X$ der lokalen Krulldimension $r=\op{kdim}_xX$ ist.\label{VgFF} \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Liften von Idempotenten}]\index{Liften!von Idempotenten} Gegeben $A\supset I$ ein Ring mit einem Ideal\index{Idempotente!Liften von} l"a"st sich jedes Idempotente des Quotienten $A/I$ zu einem\label{LII} Idempotenten des Quotienten $A/\langle I^2\rangle $ liften. \end{Lemma} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildLIP}\\[4mm] \noindent Der Graph des Interpolationspolynoms mit einer doppelten Nullstelle bei Null und einer \glqq doppelten Einsstelle\grqq\ bei Eins aus dem Beweis von \ref{LII}. \end{figure} \begin{proof} Es repr"asentiere $a \in A$ unser Idempotentes von $A/I$, so da"s also gilt $a^2 -a=a(a-1) \in I$. Wir setzen den gesuchten Lift an als $P(a)$ mit $P \in \Bbb{Z} [X]$. Ist $P$ von der Gestalt $X+ X(X-1)Q$ f"ur ein $Q\in \Bbb{Z} [X],$ gilt also gleichbedeutend $P(0)=0$ und $P (1) =1$, so haben schon mal $a$ und $P(a)$ dasselbe Bild in $A/I$. Gilt zus"atzlich $P(P-1) \in \langle X^2(X-1)^2\rangle$, so ist $P(a)$ auch idempotent in $A/\langle I^2\rangle $. Es sollte also $P(P-1)$ sowohl bei $X =0$ als auch bei $X=1$ eine doppelte Nullstelle haben, was wir etwa sicherstellen k"onnen, indem wir zus"atzlich zu $P(1) = 1$ und $P(0)=0$ noch $P^\prime (1) =0= P^\prime (0)$ fordern. Die L"osung kleinsten Grades dieser Interpola\-tions\-aufgabe lautet $P(X) = 3X^2 - 2X^3$ und hat erfreulicherweise ganzzahlige Koeffizienten. Ein m"oglicher idempotenter Lift des Bildes von $a$ in $A/I$ ist damit das Bild in $A/\langle I^2\rangle $ von $3a^2 - 2a^3$. Will man das explizit pr"ufen und alle Vor"uberlegungen vermeiden, so beachte man kurzerhand die Identit"at $(3a^2 -2a^3)(3a^2 -2a^3 -1) = (2a-3)(2a+1) (a^2-a)^2 $. \end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{Idempotente Elemente einer Vervollst"andigung}] Gegeben $A\supset I$ ein Ring mit einem Ideal induziert die offensichtliche Projektion $\pi:A^\wedge_I\sra A/I$ eine Surjektion zwischen den Teilmengen der idempotenten Elemente der beiden Ringe. \end{Proposition} \begin{proof} Das folgt direkt aus Lemma \ref{LII} zum Liften von Idempotenten. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{TEV} Man zeige: Die Multiplikation und Addition auf einem vervollst"andigten Ring sind stetig f"ur die von der Metrik induzierte Topologie. Die invertierbaren Elemente bilden eine offene Teilmenge, und das Invertieren ist darauf eine stetige Abbildung. Hinweis: \eref{IvO}{AN3}. Sind alle Quotientenringe $A/I^n$ endlich, so ist die Vervollst"andigung $A^\wedge_I$ kompakt. Hinweis: Satz von Tychonoff \eref{ST}{TM} oder seine abz"ahlbare Variante \eref{pkmR}{TM}. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Vervollst"andigungen von Quotienten}] Seien $A\supset I$ ein Ring mit einem Ideal und $M\sra N$ ein surjektiver Homomorphismus von $A$-Moduln. Man zeige, da"s dann die induzierte Abbildung $M^\wedge_{I}\ra N^\wedge_{I}$ surjektiv und final ist. Ist weiter $A\sra B$ ein surjektiver Homomorphismus von Ringen und $J\subset B$ das Bild von $I$, so zeige man, da"s die nat"urliche Abbildung\label{VvQQ} ein Isomorphismus von topologischen $A$-Moduln $B^\wedge_I\sira B^\wedge_J$ ist. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige: Die Vervollst"andigung eines lokalen Rings im Sinne von \ref{LoRi} nach seinem maximalen Ideal ist wieder ein lokaler Ring. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{EBV} Ist $A\subset B$ eine modulendliche Kringerweiterung von noetherschen Kringen und $\mathfrak a\subset A$ ein Ideal, so ist die induzierte Abbildung auf den Vervollst"andigungen eine topologisch initiale Injektion $A^\wedge_{\mathfrak a}\hra B^\wedge_{\langle B\mathfrak a\rangle}$. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Chinesischer Restsatz f"ur Vervollst"andigungen}] Gegeben Ide\-ale $\frak{a}_{1},\ldots, \frak{a}_{s} $ eines Krings $R$ mit $\frak{a}_{i} + \frak{a}_{j} =R$ f"ur $i \neq j$ wie beim chinesischen Restsatz \eref{ACR}{AL}\label{crsV} ist die offensichtliche Abbildung ein Isomorphismus von topologischen Ringen $$ R_{\langle\frak{a}_{1} \ldots \frak{a}_{s}\rangle}^\wedge \;\;\sira\;\; R^\wedge_{\frak{a}_{1}} \times \ldots \times R^\wedge_{\frak{a}_{s}}$$ \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Vervollst"andigung und Invarianten}] Seien $k$ ein noetherscher Kring und $B$ eine ringendliche Kringerweiterung von $k$. Es operiere eine endliche Gruppe $W$ auf dem $k$-Kring $B$. Nach \ref{Noe} ist dann $B^W$ ringendlich "uber $k$ und $B$ modulendlich "uber $B^W$.\label{VvIvy} Man zeige: Ist die Gruppenordnung $|W|$ invertierbar in $B$ und ist $\mathfrak a\subset B^W$ ein Ideal des Invariantenrings, so induziert die Einbettung aus \ref{EBV} einen Isomorphismus von topologischen Ringen $$(B^W)^\wedge_{\mathfrak a}\sira \left(B^\wedge_{\langle B\mathfrak a\rangle}\right)^W$$ zwischen der Vervollst"andigung des Invariantenrings und den Invarianten der Vervollst"andigung. Ich w"u"ste gerne, ob das auch ohne unsere Bedingung an die Gruppenordnung gilt. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Vervollst"andigung und Invarianten, geometrischer Fall}] Im geometrischen Fall einer affinen Variet"at $X$ mit der Operation einer endlichen Gruppe $W$\label{VvIv} von einer im Grundk"orper invertierbaren Ordnung und Quotient $\bar X\pdef X/W$ und einem Punkt $x\in X$ mit Bild $\bar x\in \bar X$ spezialisiert \ref{VvIvy} zu einem Isomorphismus von topologischen Ringen $$\mathcal O_{\bar X,\bar x}^\wedge\sira \left(\mathcal O_{X,x}^\wedge\right)^{W_x}$$ zwischen dem vervollst"andigten lokalen Ring der Quotientenvariet"at und den Invarianten der Standgruppe $W_x$ von $x$ im vervollst"andigten lokalen Ring der urspr"unglichen Variet"at an einem Urbildpunkt. In der Tat gelangen wir mit \ref{crsV} erst zu $\left(\prod_{z\in Wx}\mathcal O_{X,z}^\wedge\right)^{W}$ und dann ohne Schwierigkeiten weiter zum behaupteten Ausdruck. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Iterierte Vervollst"andigung}] Gegeben Ideale $\mathfrak a,\mathfrak b$ eines noetherschen Krings $R$ und ein noetherscher $R$-Modul $M$ konstruiere man einen nat"urlichen Isomorphismus $${\op{V}}_{\mathfrak a +\mathfrak b} (M)\sira {\op{V}}_{\mathfrak a}({\op{V}}_{\mathfrak b} (M))$$ \end{Ubung} \subsection{Vollst"andige diskrete Bewertungsringe} \begin{Ubung} Gegeben eine diskrete Bewertung $v:K\ra\DZ\amalg\{\infty\}$ auf einem K"orper $K$ und $q\in (1,\infty)$ beliebig ist $d(x,y)\pdef q^{-v(x-y)}$ eine Metrik auf $K$ und $\|x\|\pdef d(x,0)$ eine Norm auf $K$ im Sinne von \eref{NabG}{AN2}. Die auf $K$ induzierte Topologie ebenso wie die Vervollst"andigung $K_v$ von $K$ in Bezug auf unsere Metrik sind unabh"angig von $q$ und $K_v$ wird mit der eindeutig bestimmten stetigen Fortsetzung der Addition und Multiplikation ein K"orper, ja mit der metrischen Topologie sogar ein topologischer K"orper im Sinne von \ref{DTKn}. Die stetige Fortsetzung der Bewertung ist ihrerseits eine diskrete Bewertung $v:K_v\ra\DZ\amalg\{\infty\}$ auf der Vervollst"andigung, und die Einbettung der zugeh"origen diskreten Bewertungsringe $\mathfrak o\hra \mathfrak o_v$ induziert einen Isomorphismus $\mathfrak o^{\wedge}_{\mathfrak m}\sira \mathfrak o_v$ der Vervollst"andigung des urspr"unglichen diskreten Bewertungsrings mit dem diskreten Bewertungsring der Vervollst"andigung.\label{EdD} \end{Ubung} \begin{Ubung} Unter einer {\bf Norm}\index{Norm!auf abelscher Gruppe} auf einer abelschen Gruppe $X$ verstehen wir wie in \eref{NabG}{AN2} eine Abbildung von unserer Gruppe in die nichtnegativen reellen Zahlen mit $\|v+w\|\leq \|v\|+\|w\|$ und $\|v\|=0\RA v=0$ und $\|- v\|=\|v\|$ f"ur alle $v,w\in X$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben ein diskret bewerteter K"orper $K$ mit Bewertungsring $\mathfrak o_K$ und Uniformisierender $\pi$ und ein Radius $R>0$ gilt f"ur die in \ref{EdD} eingef"uhrte Metrik $$\op{B}(0;R)=\pi^i\mathfrak o_K$$ f"ur das $i$ mit $2^{-i} 0$ gibt derart, da"s gilt $$\|v\|_1 \leq C \|v\|_2 \quad \text{ und }\quad \|v\|_2 \leq c\|v\|_1 \quad \forall v \in V.$$ \end{Definition} \begin{Satz}[\textbf{"Aquivalenz von Normen}] Auf einem endlichdimensionalen Vektorraum "uber einem vollst"andigen K"orper mit Absolutbetrag\label{AQNn} sind je zwei Normen "aquivalent. \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Ist unser K"orper lokal kompakt, so k"onnen wir den Beweis f"ur den Fall $K=\DR$ aus \eref{SSAQN}{AN2} unver"andert "ubernehmen. Im allgemeinen fangen wir den Beweis genauso an. Wir d"urfen ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit annehmen, da"s $V$ der $K^n$ ist mit $n\geq 1$ und da"s eine unserer Normen die Maximumsnorm $\|v\|_\infty$ ist. Sei $\|\;\|$ eine zweite Norm. Bezeichnet ${\op{e}}_{1}, \ldots, {\op{e}}_{n}$ die Standardbasis des $K^{n}$ und ist $v = v_{1}{\op{e}}_{1} + \ldots + v_{n}{\op{e}}_{n}$, so haben wir $$\begin{array}{lll} \|v\| &=& \|v_{1}{\op{e}}_{1}+ \ldots +v_{n}{\op{e}}_{n}\| \\&\leq& |v_{1}| \cdot \|{\op{e}}_{1}\| + \ldots +|v_{n}|\cdot \|{\op{e}}_{n}\| \\&\leq& \|v\|_\infty\cdot C\end{array}$$ mit $C = \|{\op{e}}_{1}\| + \ldots + \|{\op{e}}_{n}\|$. Insbesondere folgern wir, da"s $\| \;\| : K^{n}\ra \Bbb{R}$ eine $\|\;\|_\infty$-stetige Abbildung ist, also stetig f"ur die durch die Maximumsnorm $\|\;\|_\infty$ gegebene Metrik auf $K^{n}$. F"ur die R"uckrichtung argumentieren wir im allgemeinen mit vollst"andiger Induktion "uber $n$. Im Fall $n=1$ ist die Aussage klar. Wir betrachten nun die affinen Hyperebenen $ H_i=\{x\mid x_i=1\}$. Aus der Induktionsannahme k"onnen wir durch Widerspruch folgern, da"s es positive Konstanten $a_i>0$ gibt mit $$a_i \leq \|w\|\quad\forall w \in H_i$$ In der Tat g"abe es sonst in $H_i$ eine Folge $w_\nu$ mit $\|w_\nu\|\ra 0$ f"ur $\nu\ra\infty$. Diese Folge w"are eine Cauchyfolge f"ur die von $\|\;\|$ auf $H_i$ induzierte Metrik. Dann w"are sie aber wegen der "Aquivalenz der Normen nach der Induktionsannahme auch eine Cauchyfolge f"ur die von der Maximumsnorm $\|\;\|_\infty$ auf $H_i$ induzierte Metrik und m"u"ste konvergieren gegen einen Punkt $w\in H_i$ mit $\|w\|=0$. Widerspruch! Nun gibt es f"ur $v\in K^{n}\backslash 0$ stets $\lambda\in\DR$ mit $|\lambda|=\|v\|_\infty$ derart, da"s $\lambda^{-1} v$ in einer der affinen Hyperebenen $H_i$ liegt. Mit $a=\op{inf}(a_i)$ folgt $a \leq \|\lambda^{-1} v\|$ alias $a \|v\|_\infty\leq \| v\|$ alias $ \|v\|_\infty \leq a^{-1}\| v\|$. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Erweiterung von Absolutbetr"agen}] Gegeben eine algebraische K"orpererweiterung eines vollst"andigen K"orpers mit Absolutbetrag existiert h"ochstens eine Erweiterung des Absolutbetrages auf den Erweiterungsk"orper. Ist unsere Erweiterung endlich, so ist auch der Erweiterungsk"orper vollst"andig f"ur den erweiterten Absolutbetrag. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Ist unser K"orper mit Absolutbetrag nicht vollst"andig, so gilt das im allgemeinen nicht mehr. Ist etwa $X\sra Y$ ein nichtkonstanter Morphismus von kompakten zusammenh"angenden Riemann'schen Fl"achen mit zugeh"origer K"orpererweiterung $\cal{M}^{\op{an}}(Y)\hra \cal{M}^{\op{an}}(X)$, so liefert jeder Punkt $y\in Y$ eine diskrete Bewertung und damit einen Absolutbetrag auf $\cal{M}^{\op{an}}(Y)$. Die Urbilder $x\in X$ von $y$ liefern dann paarweise verschiedene Erweiterungen dieses Absolutbetrags zu Absolutbetr"agen auf $\cal{M}^{\op{an}}(X).$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ich w"u"ste gerne, ob auch in dieser Allgemeinheit die Existenz einer Erweiterung des Absolutbetrags stets sichergestellt ist. Das scheint aus Bourbaki Alg. Comm. Chap. VI zu folgen. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Sei $K/k$ unsere K"orpererweiterung. Wir d"urfen sie ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit endlich annehmen. Jede Erweiterung unseres Absolutbetrags liefert eine Norm auf dem $k$-Vektorraum $K$. Je zwei Erweiterungen sind dann nach \ref{AQNn} "aquivalent als Normen auf $K$. Ist nun $\|\;\|$ eine dieser Erweiterungen, so stimmt offensichtlich $\|x\|$ "uberein mit der zugeh"origen Operatornorm von $(x\cdot)$ als Endomorphismus von $(K,\|\;\|)$ und auch mit dem Grenzwert der konstanten Folge $\sqrt[n]{\|(x^n)\cdot\|}$ f"ur $n\ra\infty.$ Dieser Grenzwert liefert jedoch dasselbe Resultat, wenn er f"ur die Operatornormen bez"uglich "aquivalenter Normen berechnet wird, und das zeigt die Eindeutigkeit der Fortsetzung. Die Vollst"andigkeit des Erweiterungsk"orpers ist offensichtlich. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Dedekindring $A$ und eine endliche separable K"orpererweiterung $L/{\op{Quot}}A$ ist der ganze Abschlu"s $B$ von $A$ in $L$ nach \ref{EGAv} modulendlich "uber $A$ und damit auch wieder noethersch. Dieser ganze Abschlu"s $B$ hat nach \ref{KDRE} auch die Krulldimension Eins und ist offensichtlich normal, ist also wieder ein Dedekindring. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ein diskreter Bewertungsring $A$ kann nach \ref{dBr} charakterisiert werden als ein normaler noetherscher lokaler Kring der Krulldimension Eins. Ist $K={\op{Quot}}A$ sein Quotientenk"orper und $L/K$ eine endliche separable K"orpererweiterung und $B\subset L$ der ganze Abschlu"s von $A$ in $L$, so ist $B$ offensichtlich normal und nach \ref{EGAv} modulendlich "uber $A$, also auch noethersch, und hat nach \ref{KDRE} auch die Krulldimension Eins, ist also ein \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ein {\bf Hensel'scher Ring}\index{Hensel'scher Ring} ist ein lokaler Kring $A$ mit der Eigenschaft, da"s jeder modulendliche $A$-Kring $R$ als $A$-Kring in ein endliches Produkt lokaler $A$-Kringe zerf"allt. Zum Beispiel ist jeder K"orper ein henselscher Ring. \end{Bemerkungl} \nichtfinal{Warum dasselbe? Brauche $A$ noethersch?} \begin{Definition} Ein {\bf henselscher Ring} ist ein lokaler Kring $A$ mit der Eigenschaft, da"s sich f"ur jedes normierte Polynom $P\in A[T]$ jede einfache Nullstelle von $\bar{P}\in k[T]$ im Polynomring "uber dem Restklassenk"orper $k=A/\frak{m}$ nach dem maximalen Ideal zu einer Nullstelle von $P$ in $A$ hochheben l"a"st. Ist dar"uber hinaus $k$ separabel abgeschlossen, so hei"st $A$ ein {\bf strikt henselscher Ring}.\index{henselscher Ring!strikter} \end{Definition} \begin{Beispiel} Jeder K"orper ist trivialerweise henselsch. Jeder vollst"andige lokale Kring, in dem der Schnitt aller Potenzen des maximalen Ideals das Nullideal ist, ist henselsch: In der Tat, betrachten wir $B= A[T]/\langle P\rangle$ und ist $r$ der Grad des normierten Polynoms $P$, so bilden die Nebenklassen von $1,T,T^2,\ldots, T^{r-1}$ eine $A$-Basis von $B$ und f"ur das von $\mathfrak m$ in $B$ erzeugte Ideal $I\pdef \langle B\mathfrak m\rangle$ gilt $B\sira B^\wedge_I$. Andererseits ist die offensichtliche Abbildung ein Isomorphismus $$B/I\sira k[T]/\langle \bar P\rangle$$ Jede einfache Nullstelle von $\bar P$ in $k$ liefert ein idempotentes Element $\bar e\in B/I$ mit $k\sira \bar e(B/I)$ unter der nat"urlichen Abbildung. Idempotentes Liften \ref{LII} liefert einen Lift zu einem idempotenten Element $e\in B$ und die Zerlegung $B=eB\oplus (1-e)B$ zeigt, da"s $eB$ frei ist vom Rang Eins "uber dem lokalen Ring $A$ und da"s gilt $A\sira eB$ unter der nat"urlichen Abbildung. Das Urbild von $eT$ unter diesem Isomorphismus ist dann der gesuchte Lift unserer Nullstelle von $\bar P$. \end{Beispiel} \begin{Proposition} Seien $k$ ein K"orper und $P\in k\llbracket X\rrbracket[T]$ ein Polynom mit Koeffizienten im Potenzreihenring "uber $k$ und $\lambda\in k$ eine einfache Nullstelle von seinem Bild $\bar P\in k[T]$. So l"a"st sich $\lambda$ auf genau eine Weise zu einer Nullstelle $\tilde\lambda\in k\llbracket X\rrbracket$ hochheben, als da hei"st, $P$ besitzt genau eine Nullstelle $\tilde\lambda\in \lambda+ Xk\llbracket X\rrbracket$. \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Ist $\bar P$ das Nullpolynom, so lasse ich keine seiner Nullstellen als einfache Nullstelle gelten. Ich bin verbl"ufft, da"s mir der Beweis auch f"ur nicht notwendig normiertes $P$ zu gelingen scheint. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir machen den offensichtlichen Ansatz $$\tilde\lambda= \lambda+\mu=\lambda+\mu_1 X+ \mu_2 X^2+\ldots$$ mit $\mu_i\in k$. Nat"urlich gilt dann $P(\tilde \lambda)=P(\lambda+\mu)= P(\lambda)+P'(\lambda)\mu+ Q(\mu)\mu^2$ f"ur ein geeignetes Polynom $Q\in k\llbracket X\rrbracket[T]$. Nach Annahme haben wir $P(\lambda)\in Xk\llbracket X\rrbracket$ und $P'(\lambda)\in k^\times+X k\llbracket X\rrbracket$. Es ist dann klar, da"s die Gleichung $P(\tilde \lambda)=0$ "aquivalent ist zu einem Gleichungssystem der Gestalt $\mu_i=A_i(\mu_1,\ldots,\mu_{i-1})$ f"ur geeignete Polynome $A_i$ mit Koeffizienten in $k$ in $(i-1)$ Variablen. Das zeigt die Behauptung. \end{proof} \subsection{Lokale K"orper}\label{LoKo} \nichtfinal{Den vorhergehenden Abschnitt eingliedern!} \begin{Bemerkungl}\label{DTKn} Ein {\bf topologischer K"orper}\index{topologisch!K"orper} ist %wie in \ref{DTK} ein K"orper $k$ mit einer Topologie derart, da"s die Addition und die Multiplikation stetig sind als Abbildungen $k \times k \ra k$ und da"s f"ur die auf $k^{\times}$ induzierte Topologie auch das Bilden des Inversen $k^{\times} \ra k^{\times}$ stetig ist. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Ein \defind{lokaler K"orper}\label{loKO} ist ein Hausdorff'scher lokal kompakter topologischer K"orper, der nicht diskret ist. \end{Definition} \begin{Theorem}[\textbf{Klassifikation lokaler K"orper}]\label{KlLoko} Jeder lokale K"orper ist als topologischer K"orper isomorph zu genau einem K"orper der folgenden Liste: \begin{enumerate} \item $\Bbb{R}$ oder $\Bbb{C};$ \item Einer endlichen Erweiterung von $\Bbb{Q}_{p}$ f"ur $p\in\DN$ eine Primzahl; \item Dem Quotientenk"orper $\Bbb{F}(\!(T)\!)$ des Rings $\Bbb{F}\llbracket T\rrbracket$ der formalen Potenzreihen "uber einem endlichen K"orper $\Bbb{F}$. \end{enumerate} Auf allen K"orpern dieser Liste mit Ausnahme des K"orpers $\Bbb{C}$ gibt es nur eine einzige Topologie, die sie zu lokalen K"orpern macht. \end{Theorem} \begin{proof} Das steht in \cite{BNT}, insbesondere auch die Zusammenfassung zu Beginn von Kapitel III, sowie in \cite{LaA}, "Ubung XII.3. \end{proof} \begin{Definition} Die zu $\DR$ oder $\DC$ isomorphen lokalen K"orper hei"sen \defnoind{archimedisch},\index{archimedisch!lokaler K"orper} die anderen \defnoind{nichtarchimedisch}.\index{nichtarchimedisch!lokaler K"orper} \end{Definition} \begin{Bemerkungl}\label{kaB} F"ur jeden lokalen K"orper $k$ gibt es nach Satz \eref{EEHa}{TM} oder vielleicht besser \eref{HMBO}{TM} "uber die Existenz und Eindeutigkeit Haar'scher Radonma"se beziehungsweise Haar'scher Borelma"se genau eine Abbildung\index{)5@${\mid}\;{\mid}={\mid}\;{\mid}_k$ Haarfaktor von $k$} $$|\;\;|=|\;\;|_k:k \ra \Bbb{R}_{\geq 0}$$ derart, da"s f"ur jede kompakte Teilmenge $\Omega \subset k$ und jedes Haar-Ma"s $\mu$ auf $(k,+)$ gilt $\mu (a\Omega) = |a| \mu (\Omega)$. Wir nennen diese Abbildung den {\bf Haarfaktor}\index{Haarfaktor!auf lokalem K"orper} auf unserem lokalen K"orper. Offensichtlich gilt f"ur den Haarfaktor stets $|ab|=|a||b|$. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiele} F"ur $k=\DR$ ist der Haarfaktor der "ubliche Absolutbetrag einer reellen Zahl. Im Fall $k=\DC$ ist der Haarfaktor dahingegen das Quadrat des "ublichen Betrags, als da hei"st, das Quadrat des \glqq euklidischen Abstands unserer komplexen Zahl vom Ursprung\grqq, in Formeln $$|z|_\DC=|z|^2$$ In diesem Fall erf"ullt der Haarfaktor nicht die Dreiecksungleichung und ist kein Absolutbetrag im Sinne von \ref{AbB} und wir d"urfen nicht $|z|_\DC$ zu $|z|$ abk"urzen. Im Fall $k=\DQ_p$ ist $\DZ_p$ eine offene kompakte Untergruppe, also von positivem endlichen Ma"s, und f"ur den Haarfaktor folgt $|u|_k=1\;\forall u\in \DZ_p^\times$. Weiter erhalten wir $|p|_k=1/p$ wegen $\DZ_p=\bigsqcup_{a\in \DN,\;0\leq a0}\times\prod_p\DZ_p^\times\sira \mathbb A^\times/\DQ^\times$$ Etwas allgemeiner erh"alt man f"ur $G=\op{GL}_n$ oder sogar $G$ eine beliebige zusammenh"angende reduktive algebraische Gruppe "uber $\DZ$, da"s $G(\DR)\times\prod_p G(\DZ_p)$ transitiv auf $G(\mathbb A)/G(\mathbb Q)$ operiert und da"s die Standgruppe der Nebenklasse des neutralen Elements gerade das diagonal eingebettete $G(\DZ)$ ist. Wir erhalten so $$G(\mathbb A)/G(\mathbb Q) \stackrel{\sim}{\leftarrow} \left(G(\DR)\times\prod_p G(\DZ_p)\right)/G(\mathbb Z) \sra G(\DR)/G(\mathbb Z)$$ wo die zweite Abbildung f"ur die Linksoperation von $\prod_p G(\DZ_p)$ ein Hauptfaserb"undel ist. Betrachten wir nun ein Haarma"s auf $G(\mathbb A)$ und die Darstellung $${\op{L}}^2(G(\mathbb A)/G(\mathbb Q))$$ der Adelegruppe $G(\mathbb A)$. Die unter allen $G(\DZ_p)$ invarianten Vektoren bilden darin eine Unterdarstellung in Bezug auf die Operation von $G(\DR)$, auf dem die Hecke-Algebren der unter $G(\DZ_p)$ beidseitig invarianten kompakt getragenen Ma"se auf $G(\DQ_p)$ operieren und der durch unsere obigen Konstruktionen mit ${\op{L}}^2(G(\mathbb R)/G(\mathbb Z))$ identifiziert wird. Ist $G=\op{SL}_2$, so ist das Auftreten einer Darstellung einer \glqq holomorphen\grqq\ diskreten Serie als direkter Summand dieser Darstellung ${\op{L}}^2(G(\mathbb R)/G(\mathbb Z))$ "aquivalent zum Auftreten eines eindimensionalen unter $K=\op{SO}(2)$ stabilen Teilraums, der von einem geeigneten Element der Lie-Algebra annulliert wird. Mehr dazu findet man in \cite{GGP}.%Gelfand-Graev-Piatetski-Shapiro \end{Beispiel} \begin{Ubunge} Die offensichtliche Abbildung liefert eine Bijektion $\DQ/\DZ\sira \bigoplus \DQ_p/\DZ_p$. Die offensichtliche Abbildung liefert Bijektionen $\DZ[p^{-1}]/\DZ\sira \DQ_p/\DZ_p$. Jeder Automorphismus der Gruppe $\DZ[p^{-1}]/\DZ$ fixiert die zyklischen Untergruppen $\DZ p^{-n}/\DZ$ f"ur $n\geq 0$. Mithin liefert die offensichtliche Abbildung Isomorphismen $\DZ_p^\times\sira \op{Ab}^\times(\DQ_p/\DZ_p)$ und zusammen erhalten wir einen Isomorphismus $$\prod_p\DZ_p^\times\sira \op{Ab}^\times(\DQ/\DZ)$$ Die rechte Seite kann als die Galoisgruppe der Erweiterung von $\DQ$ durch alle Einheitswurzeln interpretiert werden, die nach dem Satz von Kronecker-Weber gerade die maximale abelsche Erweiterung von $\DQ$ ist. Die linke Seite kann interpretiert werden als die Komponentengruppe von $\mathbb A^\times/\DQ^\times$. \end{Ubunge} \begin{Bemerkungl} {\bf Abelsche Klassenk"orpertheorie}\index{abelsch!Klassenk"orpertheorie} liefert f"ur jeden Zahlk"orper $K$ einen Isomorphismus zwischen der Galoisgruppe seiner maximalen abelschen Erweiterung $\op{Gal}(K^{\op{ab}}/K)$ und der Komponentengruppe des Quotienten $\mathbb A^\times_K/K^\times$ der Gruppe der Idele nach der Untergruppe der Hauptidele. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Dirichlet'scher Einheitensatz}] Seien $k$ ein Zahlk"orper\label{DESa} und\index{Dirichlet!Einheitensatz}\index{Einheitensatz!von Dirichlet} $\frak{o}_k$ der ganze Abschlu"s von $\mathbb Z$ in $k$. Bezeichne $S_\infty$ die Menge der nichtarchimedischen Stellen von $k$. So wirft die diagonale Einbettung $k^\times \hookrightarrow \prod_{v \in S_\infty} k^\times _v$ die Einheitengruppe $\frak{o}^\times _k$ von $\frak{o}_k$ auf eine diskrete Untergruppe vom Rang $|S_\infty| -1$ in der topologischen Gruppe \begin{equation*} \left\{ (x_v) \in \prod_{v \in S_\infty} k^\times _v \left| \prod_{v \in S_\infty} |x_v|_v =1\right\}\right. \end{equation*} \end{Satz} \begin{Bemerkung} Ich wette, da"s die korrekte Definition des Regulators das Volumen des Kokerns dieser Einbettung von $\frak{o}^\times _k$ ist. Aber in Bezug auf welches Haarma"s? Mehr dazu findet man etwa bei [Neukirch: Algebraische Zahlentheorie]. \end{Bemerkung} \begin{Bemerkungl} Betrachten wir gleichbedeutend aber expliziter die Abbildung \begin{displaymath} \begin{array}{cccl} \lambda :& \prod_{v \in S_\infty} k^\times _v &\rightarrow & \prod_{v \in S_\infty} \mathbb R\\[2mm] &(x_v) &\mapsto & (\log |x_v|_v) \end{array} \end{displaymath} Dann landet $\frak{o}^\times _k$ nach unserem Satz unter der Verkn"upfung unserer offensichtlichen Einbettung mit $\lambda$ in der Hyperebene aller Tupel mit Summe Null und sein Bild ist ein Gitter $\Gamma$ in dieser Hyperebene. "Ublicherweise bezeichnet $r$ die Zahl der reellen Stellen von $k$ und $s$ die Zahl der komplexen Stellen, so wird das Produkt auf der rechten Seite ein reeller Vektorraum der Dimension $|S_\infty|=r+s$ und $\Gamma$ ist eine freie abelsche Gruppe vom Rang $|S_\infty|-1=r+s-1$. Man kann weiter zeigen, da"s der Kern von $\lambda : \frak{o}^\times _k \twoheadrightarrow \Gamma$ genau aus allen Einheitswurzeln von $k$ besteht. Wir erhalten zusammen also eine kurze exakte Sequenz \begin{equation*} \mu (k) \hookrightarrow \frak{o}^\times _k \twoheadrightarrow \Gamma \end{equation*} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge}\label{gaAA} Nach \ref{gAW3} ist der ganze Abschlu"s von $\DZ$ in $\DQ[\sqrt{3}]$ schlicht $\DZ[\sqrt{3}]$. Die Einheitengruppe $\DZ[\sqrt{3}]^\times$ besteht gerade aus allen $(a+b\sqrt{3})$ mit $a,b\in\DZ$ und $(a+b\sqrt{3})(a-b\sqrt{3})=1$ alias den L"osungen der diophantischen Gleichung $a^2-3b^2=1$. Nach dem Dirichlet'schen Einheitensatz \ref{DESa} ist der Quotient dieser Einheitengruppe nach $\pm 1$ zyklisch. Man kann zeigen, da"s $2+\sqrt{3}$ einen Erzeuger dieser zyklischen Gruppe repr"asentiert. So kann man dann alle L"osungen unserer diophantischen Gleichung recht explizit angeben. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Versuch ins Blaue hinein}] Nach [B. Conrad, WEIL AND GROTHENDIECK APPROACHES TO ADELIC POINTS] 4.3 und sonst rumgeraten scheint $\mathbb P^n(\mathbb A_\DQ)$ ein kompakter Hausdorffraum zu sein und hom"oomorph zum Produkt $$\mathbb P^n(\mathbb A_\DQ)\cong \mathbb P^n(\DR)\times \prod_p\mathbb P^n(\DQ_p)$$ mit der Produkttopologie. Darauf operiert $\op{GL}(n+1,\mathbb A)$ hoffentlich stetig und wohl auch transitiv. Geeignete Halbdichten auf $\mathbb P^n(\mathbb A_\DQ)$ sollten eine unit"are Darstellung der Adelgruppe bilden. Vielleicht bilden auch so eine Art Produkte von Differentialformen eine unit"are Darstellung? Eine $\DQ$-Untervariet"at $X$ von $\mathbb P^n(\DQ)$ liefert unter $\op{GL}(n+1,\DQ)$ ganz viele Untervariet"aten. Liefern die aber vielleicht alle dasselbe Integral "uber so eine Art adelische Untermannigfaltigkeit $X(\mathbb A)$ von so einer Art von \glqq geschlossenen\grqq\ oder sogar \glqq harmonischen\grqq\ adelischen Differentialformen, so wie jede Kreislinie um den Ursprung dasselbe Integral f"ur geschlossene Einsformen liefert? Dann k"onnte man hoffen, da"s wir einen $\op{GL}(n+1;\DQ)$-invarianten Kovektor zu unserer unit"aren Darstellung erhalten. Na irgendwie so. Jetzt mal Pause. WEITER: Stetige Induktion hat die universelle Eigenschaft, da"s Homomorphismen einer stetigen $\op{GL}(n+1;\mathbb A)$-Darstellung $W$ nach $$\mathcal C(\op{GL}(n+1;\mathbb A)/\op{GL}(n+1;\DQ)) =\op{ind}_{\op{GL}(n+1;\DQ)}^{\op{GL}(n+1;\mathbb A)}\DC$$ in Bijektion sind zu $\op{GL}(n+1;\DQ)$-invarianten Kovektoren unserer $\op{GL}(n+1;\mathbb A)$-Darstellung $W$. Unterdarstellungen $\bar W\subset {\op{L}}^2(\op{GL}(n+1;\mathbb A)/\op{GL}(n+1;\DQ))$ m"ogen manchmal von Null verschiedenen Schnitt $W$ mit dem Raum der stetigen Funktionen haben, f"ur direkte Summanden sieht das noch besser aus, und ist dieser Schnitt $W$ eine stetige Darstellung, so kommt sie mit einer ausgezeichneten $\op{GL}(n+1;\DQ)$-invarianten stetigen Linearform daher. NEU AM 5.11.24. So ganz grob sollte also jede $\DQ$-Variet"at $X\As \DP^n\DQ$ Homomorphismen von $\op{GL}(n+1;\mathbb A)$-Darstellungen \glqq Geeignete Art Differentialformen auf $\DP^n\mathbb A$\grqq\ nach $\mathcal C(\op{GL}(n+1;\mathbb A)/\op{GL}(n+1;\DQ))$ liefern. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Als Variante mag man hoffen, da"s wir etwa im Fall von einpunktigen Variet"aten Funktionen auf so einer Art \glqq $\mathbb A^{n+1}$ ohne Null\grqq\ haben, die sich unter Streckung mit einem Charakter $\omega$ von $\mathbb A^\times/\mathbb Q^\times$ transformieren mit $\omega_\infty$ trivial auf $\DR_{>0}\subset \DR^\times$. Das ist motiviert von der Definition in [Kudla, From modular forms to automorphic representations, direkt vor Definition 2.1, in BERNSTEIN-GELBART (editors), Introduction to the Langlands program]. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Untersuchen wir doch mal die Gleichung $x^2+y^2=1$ oder homogenisiert $x^2+y^2=z^2$. Ihre reellen projektiven L"osungen bilden eine Kreislinie in der reellprojektiven Ebene $\mathbb P^2\DR$. Wir haben ${\op{H}}^1(\mathbb P^2\DR;\DR)=0$, folglich sind geschlossene Einsformen gerade die Differentiale von Funktionen und integrieren zu Null unabh"angig von der Wahl der Orientierung. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Eigendistributionen f"ur die Multiplikation}] Ich versuche Weil zu verstehen, seinen Bourbaki-Artikel "uber die Dissertation von Tate. Er interessiert sich zun"achst f"ur Distributionen auf lokalen K"orpern $K$, die Eigendistributionen sind f"ur die Operation der multiplikativen Gruppe des K"orpers in Bezug auf einen stetigen Gruppenhomomorphismus $\omega:K^\times\ra\DC^\times$. Er versteht darunter die Bedingung $g_*\mu=\omega(g)^{-1}\mu$, die ich f"ur verfehlt halte. Ich werde das also irgendwann sp"ater zu der auch im Fall der Operation eines Monoids sinnvollen Bedingung $g_*\mu=\omega(g)\mu$ umschreiben, aber noch nicht hier, weil ich noch am Lernen bin. Er betrachtet im Fall diskreter Bewertungen alle $$(K^\times{\subset} K)_*\omega(x)\diff^\times x$$ mit $\diff^\times x$ einem Haarma"s von $K^\times$ und $(K^\times{\subset} K)_*$ einer Notation f"ur das Bildma"s unter der Einbettung, sowie das Diracma"s $\delta_0$ am Ursprung, das eine Eigendistribution zum trivialen Charakter $\omega_0$ ist. Er zeigt dann, da"s die R"aume der $\omega$-Eigendistributionen eindimensional sind erzeugt von $(K^\times{\subset} K)_*\omega(x)\diff^\times x$ im Fall $\omega\neq\omega _0$ und zweidimensional erzeugt von den $(K^\times{\subset} K)_*\diff^\times x$ und $\delta_0$ im Fall $\omega=\omega _0$. Im Fall $\DR$ oder $\DC$ gibt es mehr Eigendistributionen, etwa alle Ableitungen von Dirac $\partial^i\delta_0$ im reellen Fall und alle $\partial^i\bar\partial^j\delta_0$ im komplexen Fall, die Eigendistributionen sind zu $\omega$ gegeben durch $\omega(x)\pdef x^{-i}$ im reellen Fall beziehungsweise $\omega(z)\pdef z^{-i}\bar z^{-j}$ im komplexen Fall. Wieder sind die R"aume der Eigendistributionen eindimensional f"ur die Charaktere, f"ur die es keine Eigendistribution mit Tr"ager im Ursprung gibt, und zweidimensional sonst. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Temperierte Eigendistributionen f"ur die Multiplikation}] Nun diskutiert Weil, welche dieser Eigendistributionen temperiert sind. Bezeichne $\omega_+(x)\in \DR_{>0}$ den Haarfaktor von $x\in K^\times$ alias $\omega_+$ den Charakter, in Bezug auf den die additiven Haarma"se $\diff x$ Eigendistributionen sind. Im Fall $K=\DR$ ist das einfach der Absolutbetrag $\omega_+(x)=|x|$, im Fall $K=\DC$ finden wir $\omega_+(z)=z\bar z$. F"ur jeden Charakter $\omega$ erkl"aren wir nun $\sigma(\omega)\in \DR$ durch $$|\omega(x)|=(\omega_+(x))^{\sigma(\omega)}\quad\forall x\in K^\times$$ Das gelingt, da es keine anderen stetigen Gruppenhomomorphismen $K^\times\ra\DR_{>0}$ gibt als $x\mapsto \omega_+(x)^s$ f"ur $s\in \DR$. Im Fall $\sigma(\omega)> 0$ sind offensichtlich alle $\omega$-Eigendistributionen temperiert und Vielfache von $(K^\times{\subset} K)_*\omega(x)\diff^\times x$. Im Fall $\sigma(\omega)\leq 0$ ist es komplizierter und wird im n"achsten Unterpunkt besprochen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Jeder nichttriviale unit"are Charakter $\chi:K^\times\ra S^1$ liefert eine Charakterpaarung von Fouriergruppen $s_\chi: K\times K\ra S^1$ vermittels der Vorschrift $s_\chi(x,y)\pdef \chi(xy)$. W"ahlen wir zus"atzlich ein Paar $(\alpha,\beta)$ von dualen Haarma"sen zu $s_\chi$ und setzen $\mathcal F_{\chi,\beta}(\eta)\pdef (\mathcal F_{s_\chi}\eta)\beta$, so ist f"ur jede temperierte Eigendistribution $\eta$ mit Charakter $\omega$ ihre Fouriertransformierte $\mathcal F_{\chi,\beta}(\eta)$ eine temperierte Eigendistribution mit Charakter $\omega^{-1}\omega_+$. Wir bemerken $\sigma(\omega^{-1}\omega_+)=1-\sigma(\omega)$ und finden mithin durch Fouriertransformation auch alle Eigendistributionen zu einem Charakter $\omega$ mit $\sigma(\omega)<1$ und sehen insbesondere, da"s die Eigendistributionen zu jedem Charakter $\omega$ einen eindimensionalen komplexen Vektorraum bilden. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Slogan: Die temperierten Eigendistributionen auf einem lokalen K"orper $k$ bilden f"ur jeden Quasicharakter $\omega$ alias stetigen Gruppenhomomorphismus $\omega:k^\times\ra\DC^\times$ einen eindimensionalen komplexen Vektorraum. Slogan: Die temperierten Eigendistributionen auf dem Raum der Adele $\mathbb A_K$ eines globalen K"orpers $K$ bilden f"ur jeden $K^\times$-trivialen Quasicharakter $\omega$ alias stetigen Gruppenhomomorphismus $\omega:\mathbb A_K^\times/K^\times\ra\DC^\times$ einen eindimensionalen komplexen Vektorraum. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir konstruieren in \ref{kpdA} einen weitgehend kanonischen Isomorphismus $\mathbb A_\DQ\sira \mathfrak X(\mathbb A_\DQ)$. Es ist recht klar, da"s die $(\mathbb A_\DQ,+)$-Fouriertransformation im Verein mit diesem Isomorphismus $\omega$-Eigendistributionen (vielleicht am besten im Sinne von Halbdichten? Hyperfunktionen? beides gleichzeitig?) zu $\hat\omega$-Eigendistributionen macht, f"ur eine (anti-?)holomorphe Abbildung $\Omega\ra\Omega$ notiert $\omega\mapsto \hat\omega$. (oder bei Halbdichten einfach dasselbe $\omega$ oder das mit Invertieren vorgeschaltet oder????) Der wesentliche Punkt ist nun der Vergleich von $\mathcal F (Z(\omega))$ und $Z(\hat \omega)$, diese beiden meromorphen distributionswertigen Funktionen k"onnen sich nur um einen meromorphen Faktor unterscheiden. Sie sollten aber schlicht gleich sein, wenn ich recht verstehe. Das verbl"ufft mich noch, denn so voll kanonisch war das ja alles garnicht. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Alternative}] Gegeben ein Charakter $\omega$ ist die Funktion $$Z(\omega_+^s\omega)=\eta(\omega,s): s\mapsto (K^\times{\subset}K)_*(\omega_+(x))^s\omega(x) \diff^\times x$$ f"ur $\op{Re}(s)+\sigma(\omega)>0$ nach Weil eine holomorphe distributionswertige Funk\-tion und l"a"st sich meromorph auf die ganze komplexe Zahlenebene fortsetzen und diese Fortsetzung ist an allen Stellen, an denen sie keinen Pol hat, auch eine temperierte Eigendistribution zum jeweiligen Charakter. Au"serdem sind ihre Pole genau die Stellen, an denen es Eigendistributionen zu $\omega_+^s\omega$ mit Tr"ager im Nullpunkt gibt. Damit ergibt sich die Frage, was die Funktion $c_{\chi,\beta}(\omega,s)$ ist mit $$\mathcal F_{\chi,\beta}(\eta(\omega,s)) =c_{\chi,\beta}(\omega,s)\cdot\eta(\omega^{-1},1-s)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Jetzt wird das alles tapfer in allen Beispielen ausgerechnet. Insbesondere ergibt sich im Fall $K=\DQ_p$ sowas wie $$\mathcal F\Delta'(s)=p^{s-1/2}\Delta'(1-s)$$ und im Fall $K=\DR$ sowas wie $$\mathcal F\Delta'(\omega)=(\pi{\op{i}})^a\pi^{(1/2)-s}\Delta'(\omega_+\omega^{-1})$$ mit $\Delta'(\omega)=\Gamma(s/2)^{-1}\Delta(\omega)$ und $\omega(x)=|x|^{-a}|x|^s$ und $a\in \{0,1\}$ und $s\in\DC$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Im globalen Fall hat man $\omega=\prod \omega_v$ und $\Delta=\prod \Delta_v$ und fast "uberall $\omega_v(x)=|x|_v^s$. Fouriertransformierte ist auch Produkt der Fouriertransformierten. Der Knackpunkt ist nun, da"s das Integral $$\int_{\mathbb A_k^\times}f(x)\omega(x)\diff^\times x$$ auf zwei Weisen berechnet werden kann. Einmal l"angs der Fasern nach $\mathbb A_k^\times/k^\times$ und dann als Integral "uber $\mathbb A_k^\times/k^\times$. Andererseits als Produkt der lokalen Integrale. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Nun betrachten wir die beiden zueinander Pontrjagin-dualen Zeilen \begin{displaymath} \begin{array}{ccccc} \mathbb A_\DQ &\stackrel{p}{\sra} & \mathbb A_\DQ/\DQ&\stackrel{i}{\hookleftarrow}&0\\ \mathbb A_\DQ&\stackrel{\hat p}{\hookleftarrow}& \DQ^\wedge &\stackrel{\hat i}{\sra} &0 \end{array} \end{displaymath} von additiv notierten Gruppen nach \ref{KeSA}. Der Beweis besteht im wesentlichen darin, links mit einem Ma"s und seiner Fouriertransformierten zu beginnen, mit Nat"urlichkeit in der Mitte ein Ma"s und seine Fouriertransformierte als das Bildma"s und die zur"uckgeholte Funktion zu konstruieren, dort die Inversionsformel anzuwenden, und mit Nat"urlichkeit weiter nach ganz rechts weiterzugehen, wo dann die von der Poisson'schen Summationsformel behauptete Gleichheit von komplexen Zahlen entsteht. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Sei $R$ ein lokal kompakter Hausdorffring. Sei $\omega:R^\times\ra \DC^\times$ ein stetiger Gruppenhomomorphismus. Ich denke an $R=\DR$ und $\omega(x)=|x|^s$. Dann gilt f"ur $a>0$ ja wohl $(a\cdot)^*(\omega(x)\diff^{\scriptscriptstyle\times}x)= a^s(\omega(x)\diff^{\scriptscriptstyle\times}x)$. Jetzt nehme ein multiplikatives Haarma"s, ich denke an $\diff^{\scriptscriptstyle\times} x=x^{-1}\diff x$. Fouriertransformiere zu $$f(y)\pdef\int \op{e}^{-2\pi{\op{i}}xy}|x|^{s-1}\diff x$$ F"ur $a>0$ gilt dann $$f(ay)=\int \op{e}^{-2\pi{\op{i}}xay}|x|^{s-1}\diff x =\int \op{e}^{-2\pi{\op{i}}xy}|a^{-1}x|^{s-1}a^{-1}\diff x= a^{-s}f(y) $$ alias $(a\cdot)^*f= a^{-s}f$. Jetzt betrachte ich die translationsinvariante Halbdichte $\sqrt{\diff x}$. Dann transformiert doch wohl $f(x)\sqrt{\diff x}$ zu $(\int f(x)\op{e}^{-2\pi{\op{i}}xy}\diff x)\sqrt{\diff y}$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Sollte Eigenhyperfunktionen untersuchen! Versuch: Wann kann $f(z)-f(\alpha z) \end{Bemerkungl} \newpage \subsection{Tate's Thesis} \begin{Bemerkungl} Ich halte mich insbesondere an die Darstellung von Andr\'e Weil in \cite{BNT}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine topologische Gruppe $A$ nennen wir einen stetigen Gruppenhomomorphismen $A\ra \DC^\times$ einen {\bf Quasicharakter von $A$} und einen stetigen Gruppenhomomorphismen $A\ra S^1$ einen {\bf Charaker von $A$}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Einsmannigfaltigkeit der Quasicharaktere auf Idelklassen}] Gegeben ein globaler K"orper $K$ betrachten wir die Menge $\Omega=\Omega_K$ derjenigen Quasicharaktere $\omega$ auf der Idelgruppe $\mathbb A_K^\times$, die auf $K^\times$ trivial sind, in Formeln $$\Omega=\Omega_K\pdef \op{AbTop}(\mathbb A_K^\times/K^\times,\DC^\times)$$ Wir haben insbesondere den Haarfaktor $c=c_K\in \Omega_K$, der nur positive reelle Werte annimmt. Die Menge $\Omega_K$ besitzt genau eine Struktur als komplexanalytische $1$-Mannigfaltigkeit derart, da"s f"ur alle $\omega\in \Omega_K$ die Abbildung $\DC\ra \Omega_K$ gegeben durch $s\mapsto \omega c^s$ final ist. Unsere Mannigfaltigkeit ist nicht zusammenh"angend. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein globaler K"orper $K$ erkl"aren wir wie in \cite{BNT} den Raum $$\mathcal G(\mathbb A_K)$$ der {\bf Standardfunktionen auf $(\mathbb A_K,+)$}. Auf den nichtarchimedischen Faktoren sind das lokal konstante Funktionen mit kompaktem Tr"ager nach \cite{BNT} VII.§2 Definition 1. Auf den archimedischen Faktoren, also auf endlichdimensionalen reellen Vektorr"aumen, sind es Funktionen der Gestalt $p(e)\exp(-q(e))$ mit $p$ einem komplexwertigen Polynom in den Koordinaten und $q$ einer positiv definiten quadratischen Form nach \cite{BNT} VII.§2 Definition 2. Im globalen Fall sind es externe Produkte mit der Ma"sgabe, da"s bei fast allen nichtarchimedischen Faktoren die charakteristische Funktion des Teilrings der ganzen Zahlen zu nehmen ist, vergleiche \cite{BNT} VII.§2 Definition 3. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Man sollte den gr"o"seren Raum aller \glqq Bruhat-Schwartz-Funk\-tio\-nen\grqq\ betrachten, f"ur den es eine leidlich brauchbare Beschreibung durch Osborne gibt, aber nicht jetzt. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} Sei $K$ ein globaler K"orper. Gegeben $I\subset \DR$ bezeichne $\Omega_K^{I}\subset \Omega_K$ die Menge aller Quasicharaktere der Gestalt $\omega=u c^s$ mit $u\in \Omega_K$ unit"ar alias $S^1$-wertig und $s\in I$. Wir betrachten f"ur jedes Haarma"s $\mu$ auf $\mathbb A_K^\times$ und jeden Quasicharakter $\omega\in \Omega_K^{>1}$ und jede Standardfunktion $\Phi$ die komplexe Zahl $$ Z_\mu(\omega,\Phi)\pdef \int_{\mathbb A_K^\times}\Phi(x)\omega(x)\mu\langle x\rangle$$ Integriert wird die Einschr"ankung von $\Phi$ auf die Gruppe der Idele. Sie tr"agt zwar nicht die induzierte Topologie, aber die Einbettung $\mathbb A_K^\times\hra \mathbb A_K$ ist stetig. Die Annahme $\omega\in \Omega_K^{>1}$ sorgt f"ur die Konvergenz des Integrals. Man betrachtet es dazu als Produkt lokaler Integrale. An den reellen Stellen verwendet man im wesentlichen, da"s $|x|^{-1}\diff x$ ein Haarma"s auf $\DR^\times$ ist und $|x|^{s-1}{\op{e}}^{-x^2}$ integrierbar auf $\DR$. An den anderen Stellen geht es so "ahnlich. Man erkennt, da"s unsere Funktionen f"ur feste $\mu$ und $\Phi$ komplexanalytisch sind auf $\Omega^{>1}$. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Pontrjagin-Selbstdualit"at der Adelgruppen}] Gegeben ein globaler K"orper $K$ gilt:\label{psdA} \begin{enumerate} \item Es gibt f"ur jede Stelle $v\in{\op{S}}_K$ einen nichttrivialen Charakter $\psi_v:K_v\ra S^1$; \item Das Produkt nichttrivialer lokaler Charaktere $\psi_v$ ist stets ein Charakter $\psi:\mathbb A_K\ra S^1$ und liefert eine Charakterpaarung $\psi: \mathbb A_K\times \mathbb A_K\ra S^1$ durch $\langle a,b\rangle_\psi\pdef \psi(ab)$; \item Die Fouriertransformation zu so einer Charakterpaarung und einem beliebigen Haarma"s macht Standardfunktionen zu Standardfunktionen; \item Wir k"onnen nichttriviale lokale Charaktere $\psi_v$ zus"atzlich so w"ahlen, da"s gegeben ein Adel $a\in \mathbb A_K$ f"ur fast alle Stellen $v$ gilt $\psi_v(a_v)=1$ und da"s f"ur das Produkt $\psi$ der $\psi_v$ gilt $\psi(K)=1$. \end{enumerate} \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Sei $K$ ein globaler K"orper. Unsere Funktionen $Z_\mu(\omega,\Phi)$ lassen sich meromorph auf $\Omega_K$ fortsetzen, das ist in dieser "Ubersicht die erste nichttriviale Aussage. Sei weiter $\psi:\mathbb A_K/K\ra S^1$ ein Charakter auf der Adelklassengruppe derart, da"s $$ \mathbb A_K\times \mathbb A_K\ra S^1$$ gegeben durch $(x,y)\pdef \psi(xy)$ eine Charakterpaarung ist. Nach \ref{psdA} gibt es solche $\psi$. Ich meine auch zu verstehen, da"s sie alle als Produkte wie in \ref{psdA} dargestellt werden k"onnen. Zu $\psi$ gibt es genau ein selbstduales Haarma"s $$\nu=\nu_\psi$$ auf der Adelgruppe und f"ur die zugeh"orige Fouriertransformation gilt nach \cite{BNT} die {\bf Funktionalgleichung} $$Z_\mu(\omega,\Phi) = Z_\mu(\omega^{-1}c,\hat \Phi)$$ meromorpher Funktionen auf $\Omega_K$ mit $\hat \Phi$ der Fouriertransformierten der Standardfunktion $\Phi$. Das wirkt erst mal verd"achtig, weil zweimal Fouriertransformieren in der hier verwendeten Normalisierung nicht die Identit"at ist sondern vielmehr das Vorschalten des Negativierens, aber wegen $\omega(-x)=\omega(x)$ aufgrund von $(-1)\in K^\times$ pa"st es dann doch. Es ist ungef"ahr \cite{BNT} VII §5 Theorem 2. Dar"uber hinaus haben die $Z_\mu(\omega,\Phi)$ keine Pole au"ser eventuell beim trivialen Quasicharakter $\omega_{\op{triv}}$ und dem Haarfaktor $\omega=c$ und die dortigen Residuen werden auch angegeben. Der Beweis beruht auf einer Verallgemeinerung der Poisson'schen Summationsformel. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Die Formel sollte allgemeiner f"ur alle Bruhat-Schwartz-Funk\-tio\-nen $\Phi$ gelten und die Gleichheit von Distributionen $$Z_\mu(\omega) = \hat Z_\mu(\omega^{-1}c)$$ bedeuten. Beide Seiten sollten temperierte Eigendistributionen sein, die sich unter der Streckung mit $x$ auf der Adelgruppe mit dem Faktor $\omega(x)$ "andern, und der Raum dieser temperierten Eigendistributionen sollte eindimensional sein, so da"s die einzige wirkliche Erkenntnis besagt, da"s beide Seiten sich nicht nur um einen von $\omega$ abh"angenden Skalar unterscheiden, sondern in der Tat gleich sind. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{${\op{L}}$-Funktionen}] Nimmt man f"ur $\Phi$ besonders einfache Funktionen, so spezialisieren die $Z_\mu(\omega,\Phi)$ zu sogenannten ${\op{L}}$-Funktionen. Auf diese Weise kann man etwa die Funktionalgleichung der Riemann'schen $\zeta$-Funktion erhalten, \nichtfinal{(Vorsicht mit Konvergenz!)} indem man $\omega=c^s$ betrachtet f"ur $\op{Re}(s)\in (0,1)$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Eigentlich sch"oner modulo der fehlenden Definitionen sollte es so gehen. Sei $K$ ein Zahlk"orper und $\mu$ ein Haarma"s auf der Idelgruppe. Die Quasicharaktere $\omega:\mathbb A_K^\times/K^\times\ra \DC^\times$ der Idelklassengruppe derart, da"s das Bildma"s $(\mathbb A_K^\times{\subset}\mathbb A_K)_*\omega(x) \mu\langle x\rangle$ temperiert ist auf der Adelgruppe, bilden eine offene Teilmenge $U\co \Omega$ in der komplexanalytischen $1$-Mannigfaltigkeit $\Omega$ aller Quasicharaktere der Adelklassengruppe. Die Menge $U$ trifft jede Komponente von $\Omega$ und wir erhalten so eine schwach holomorphe Funktion $$Z: U\ra \mathcal G(\mathbb A_K)'$$ von besagter offener Teilmenge in den Raum der temperierten Distributionen der Adelgruppe, die jedem Quasicharakter $\omega\in U$ eine von Null verschiedene $\omega$-Ei\-gen\-dis\-tri\-bu\-tion zuordnet und die sich zu einer schwach meromorphen Abbildung [Gibt diskrete Teilmenge so da"s Auswerten an Schwartzfunktion jeweils meromorph mit Polen nur da] $$Z: \Omega\dashrightarrow \mathcal G(\mathbb A_K)'$$ fortsetzen l"a"st, die weiter jedem $\omega$ in ihrem Definitionsbereich eine $\omega$-Ei\-gen\-dis\-tri\-bu\-tion zuordnet. [Letzteres folgt ja dann wohl aus der Meromorphie.] \end{Bemerkungl} \newpage \subsection{Analytifizierung}\label{Anay} \begin{Definition} Ein $\DC$-geringter Raum $(X, \mathcal O)$ hei"se {\bf analytisch ges"attigt},\index{analytisch ges"attigt} wenn f"ur alle $U \co X$ und $f_1, \ldots, f_r \in \mathcal O (U)$ die Abbildung \begin{equation*} (f_1, \ldots, f_r) : U \rightarrow \mathbb C^r \end{equation*} ein Morphismus von $\mathbb C$-geringten R"aumen nach $(\mathbb C^r, \mathcal O^{\op{an}})$ ist. Hierbei meine ich mit $(\mathbb C^r, \mathcal O^{\op{an}})$ den $\mathbb C^r$ mit seiner metrischen Topologie und den komplexanalytischen Funktionen als regul"aren Funktionen. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine Menge $X$ mit einer Struktur $(X, \mathcal O)$ als $\mathbb C$-geringter Raum gibt es stets eine kleinste analytisch ges"attigte Struktur, die sie umfa"st, n"amlich den Schnitt aller analytisch ges"attigten Strukturen, die sie umfassen. Wir nennen diese Struktur die \defind{Analytifizierung} unserer Ausgangsstruktur und notieren sie $(X^{\op{an}},\mathcal O^{\op{an}})$. Als Menge haben wir nat"urlich $X = X^{\op{an}}$, aber die Topologien sind nicht dieselben. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine offene Einbettung $U \hookrightarrow X$ von $\DC$-geringten R"aumen ist auch die induzierte Abbildung $U^{\op{an}} \hookrightarrow X^{\op{an}}$ eine offene Einbettung von $\mathbb C$-geringten R"aumen. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}$(k=\bar k)$. Jede Einbettung $Y \hookrightarrow X$ mit dichtem Bild von $k$-Variet"aten ist bereits eine offene Einbettung.\label{EdiB} \end{Lemma} \begin{proof} Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir erst $X$ und dann auch $Y$ affin annehmen. Wegen der Dichtigkeit des Bildes ist der Komorphismus eine Inklusion $\mathcal O (X) \hookrightarrow \mathcal O (Y)$. Sicher finden wir dann auch $f_1, \ldots, f_r \in \mathcal O (Y)$ mit $\mathcal O (Y) = \mathcal O (X) [f_1, \ldots, f_r]$. Da unser Morphismus eine Einbettung ist, gibt es f"ur jedes $y \in Y$ eine offene Umgebung $U \co X$ und $g_i, h_i \in \mathcal O (X)$ mit $h_i$ ohne Nullstelle auf $U$ und \begin{equation*} f_i (y) = g_i (y)/h_i (y) \quad \forall y \in U \cap Y, \;\forall i \end{equation*} Da $X$ hier affin ist, d"urfen wir sogar annehmen, da"s gilt $h_i = \ldots = h_r =h$ und da"s $U = X_h$ das Komplement der Nullstellenmenge von $h$ ist. Es folgt unmittelbar $(U \cap Y) = Y_h$ und der Komorphismus zu $Y_h \hookrightarrow X_h$ mu"s nun ein Isomorphismus $\mathcal O (X_h) \sira \mathcal O (Y_h)$ sein. Das aber zeigt, da"s die Einbettung ein Isomorphismus $Y_h \sira X_h$ ist, so da"s unser $y$ eine offene Umgebung in $X$ hat, die bereits ganz in $Y$ liegt. Das Lemma folgt. \end{proof} \begin{Ubung} Jede offene dichte Teilmenge einer $\DC$-Variet"at ist auch f"ur ihre Analytifizierung eine offene dichte Teilmenge. \end{Ubung} \begin{Ubung} Eine Einbettung von komplexen Variet"aten $Y \hookrightarrow X$ ist genau dann abgeschlossen, wenn ihre Analytifizierung $Y^{\op{an}} \hookrightarrow X^{\op{an}}$ abgeschlossen ist. Hinweis: Man zerlege die Einbettung als $Y\hra \bar Y\hra X$ und wende \ref{EdiB} an. \end{Ubung} \begin{Ubung} Eine komplexe Variet"at ist genau dann separiert, wenn ihre Analytifizierung Hausdorff ist. \end{Ubung} \section{Modulgarben auf Variet"aten, ohne Schemata} \subsection{Von Moduln zu Modulgarben} \begin{Bemerkungl} Moduln Trennfaserung auf $\curlywedge\op{Kringo}$. Verallgemeinerung zu Modulgarben Trennfaserung auf $\curlywedge{\op{pVar}}$. Lokal freie Modulgarben vom Rang Eins als Einheiten der Schmelzkategorie. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Modulgarbe $\mathcal O(1)=\mathcal O(1)_{\mathbb PV}$ auf $\mathbb PV$ mit Isomorphismus $$s_V:V^*\sira \Gamma (\mathbb PV;\mathcal O(1))$$ f"ur endlichdimensionalen $k$-Vektorraum $V$ positiver Dimension. Einheit der Schmelzkategorie. $\DZ$-graduiertes Monoidobjekt der $\mathcal O(n)\pdef \mathcal O(1)^{\otimes n}$. Induzierte Isomorphismen $s_V:{\op{S}}^n(V^*)\sira \Gamma(\mathbb PV;\mathcal O(n))$. Insbesondere $\Gamma(\mathbb PV;\mathcal O(n))=0$ f"ur $n<0$. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Sei $\op{dim}_kV=3$ und sei $C\As \mathbb PV$ eine irreduzible Kurve vom Grad $d\geq 1$. Gegeben eine projektive Gerade $L\As \mathbb PV$ alias eine Kurve vom Grad Eins kennen wir nach dem Satz \ref{Bezout} von B\'ezout die Identit"at $$\sum_{p\in C\cap L}s_p(C,L)=d$$ Sie folgt auch einfacher, indem wir eine projektive Gerade $F\As \mathbb PV$ w"ahlen, auf der kein Punkt des Schnitts $C\cap L$ liegt, und Koordinaten $x,y,z:V\ra k$ w"ahlen mit $\mathbb P(z{=}0)=F$ und $\mathbb P(y{=}0)=L$. In der quadratfreien homogenen Gleichung $H=H(x,y,z)$ von $C$ dargestellt als Summe von Monomen in $x,y,z$ mu"s das Monom $x^d$ mit von Null verschiedenem Koeffizienten auftauchen, das sonst $C$ den Schnittpunkt von $F$ und $L$ enthalten w"urde. Nun liefern unsere drei Koordinaten eine Bijektion $V\sira k^3$ mit Umkehrabbildung $k^3\sira V$ und eine Bijektion $k^2\sira \mathbb PV\backslash F$ durch $(x,y)\mapsto \langle x,y,1\rangle$. Durch Einsetzen von $z=1$ erhalten wir eine Gleichung $H(x,y,1)=0$ des Schnitts von $C$ mit dem Komplement von $F$, die folglich auch den Grad $d$ hat. Durch Einsetzen von $y=0$ erhalten wir schlie"slich eine Gleichung $H(x,0,1)=0$ vom Grad $d$ f"ur die $x$-Koordinaten der Schnittpunkte $C\cap L$ und nach \ref{BScM} sind die Vielfachheiten der Nullstellen dieses Polynoms in $x$ genau die jeweiligen Schnittmultiplizit"aten, so da"s wir einen weiteren Beweis f"ur den Satz von B\'ezout im Fall des Schnitts mit einer projektiven Gerade erhalten. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} \end{Bemerkungl} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXKAG" %%% End: