%Strg c t p fuer pdflatex
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\title[]{~\\[2ex]
Von Euklid zu Escher}
\author[]{Wolfgang Soergel}
\institute[]{\inst{}
   Mathematisches Institut\\
  Universit\"at Freiburg\\[4ex]

\vspace*{.9cm}
%\textcolor{red}{\\ allgemeine Fragen/Hinweise hier positionieren}
  }

\date[]{\small \hbox{Dezember 2025}}

%\beamersetuncovermixins{\opaqueness<1>{25}}{\opaqueness<2->{15}}
% ==================================================
% ==================================================
\begin{document}
\begin{frame}
  \begin{figure} 
\includegraphics[width=0.7\textwidth, trim=300 0 330 0, clip]{SkriptenBilder/Gallen1}\caption*{\tiny \copyright M.C. Escher}
  \end{figure}
  \end{frame}


% ==================================================
% ==================================================

\titlepage



\begin{frame}
  {\bf Elemente des Euklid (um 300 v. Chr.) Beginn des Textes\footnote{"Ubersetzung 
     Dr. phil. Rudolf Haller,  http://d-nb.info/1141060485}} 
  \begin{figure}[h]\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Euklid1}
  \end{figure}
 \hspace{1pt} {\tiny\dots wobei} \vspace{-6pt} 
   \begin{figure}[h]\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Euklid1b}
   \end{figure}
   %Ich habe im Deutsch-Unterricht noch gelernt: "Stil ist, wenn man keinen hat,
   %kann man den Spaten nicht anfassen".
   
   %Die Elemente wurden 2000 Jahre lang als akademisches Lehrbuch benutzt
   %und waren bis in die zweite Hälfte des 19. Jahrhunderts
   %das nach der Bibel meistverbreitete Werk der Weltliteratur.
  \end{frame}


\begin{frame}
  \begin{figure}[h]\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Euklid2}
  \end{figure}
 % Postulat 5 ist "aquivalent zum
 % \glqq Parallelenaxiom\grqq 
 \begin{figure}[h]
 \begin{minipage}{0.30\textwidth}\centering
Papyrus mit Fragment der Elemente des Euklid von etwa 100 n. Chr.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.70\textwidth}
  \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/EuklidPapyrus}
\end{minipage}\end{figure} 
\end{frame}

\begin{frame} {\bf Elemente des Euklid, Beginn des Textes\footnote{"Ubersetzung 
     Dr. phil. Rudolf Haller,  http://d-nb.info/1141060485}} 
 \begin{figure}[h] \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Euklid3}
   \end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}
 {\bf Elemente des Euklid, Beginn des Textes\footnote{"Ubersetzung 
     Dr. phil. Rudolf Haller,  http://d-nb.info/1141060485}}   \begin{figure}[h]
  \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Euklid4}
   \end{figure}
 \end{frame}
 
 
\begin{frame}
  {\bf Das Leben Euklids\footnote{Cantor, Moritz: Euclid und sein Jahrhundert (1867)}}
  Fast nichts bekannt, aber eine Anekdote: 
  \begin{figure}[h]\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/CantorEA}
  \end{figure}
\end{frame}


\begin{frame}
  {\bf Die Elemente des Euklid, ein Lehrbuch der h"oheren Mathematik\footnote{Cantor, Moritz: Euclid und sein Jahrhundert (1867)}} 
  \begin{figure}[h]\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/CantorEL1}
  \end{figure}
   \begin{figure}[h]\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/CantorEL2}
   \end{figure}
   \end{frame}



%\begin{frame}{\bf Beginn der Mengenlehre, der heutigen Grundlage der Mathematik}
%  Georg Cantor (1845-1918), Beitr"age zur Begr"undung der
%  transfiniten Mengenlehre (Erster Aufsatz, 1895):
%  \\[8mm] 
%   \glqq  Unter einer {\bf Menge}\index{Menge} verstehen wir jede
%  Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m  
%unserer Anschauung oder  unseres Denkens
%(welche die {\bf Elemente}\index{Element} von M
%genannt werden) zu einem Ganzen.\grqq
%\end{frame}
%\begin{frame}{\bf Zur selben Zeit: \glqq Grundlagen der Geometrie\grqq\ von Hilbert}
%David Hilbert (1862-1943), Grundlagen der Geometrie
%  \glqq mit zahlreichen in den Text gedruckten Figuren\grqq\ (1899),
 % beginnt mit den Worten: \\[8mm] 
%  {\it Erklärung.} Wir denken drei verschiedene Systeme von Dingen:
%die Dinge des ersten Systems nennen wir Punkte und bezeichnen sie mit
%A, B, C, ...; die Dinge des zweiten Systems nennen wir Gerade und
%bezeichnen sie mit a,b,c,...; \dots
%\end{frame}

\begin{frame}{\bf Euclid and his Modern Rivals}
  \begin{itemize}\pause
    \item Titel eines Dramas von Lewis Caroll, 1879\pause
 \item  Autor von \glqq Alice's Adventures in Wonderland\grqq\pause
\item  Der Geist des Euklid ruft als
  Pflichtverteidiger den Geist eines deutschen Professors namens \glqq Niemand\grqq\ 
   herbei und  dann werden alle neueren Darstellungen der Geometrie
   verrissen\pause

 \item  Aber probieren wir es trotzdem...\pause
   
 \item  Variante der Hilbert-Axiome
  im Rahmen von Cantor's Mengenlehre, 
  aufbauend auf Euklid, Lobatchevski, Pasch, Hilbert, \dots,
  [Karzel, S"orensen, Windelberg 1973], [Filler 1993].
  \end{itemize}
\end{frame}


  
 \begin{frame}
 {\bf Inzidenzgeometrie:} 
 Ein Paar $(X,G)$ aus
 \begin{itemize}\item einer Menge $X$
   von {\bf Punkten} und
 \item einer Menge
    $G\subset \op{Pot}(X)$ von {\bf Geraden}
    \end{itemize}
    derart, da"s\pause
    \begin{itemize}\item jede Gerade mindestens zwei Punkte hat und
    \item durch je zwei verschiedene  Punkte genau eine Gerade geht.
    \end{itemize}  \pause
\begin{figure}[h]\includegraphics[width=0.7\textwidth]{SkriptenBilder/inz}
\end{figure}
 \end{frame}

\begin{frame}
 {\bf Zwischenrelation:} 
 Eine Vorgabe $Z$ von
    zwei zueinander opponierten Anordnungen auf jeder Gerade derart,
    da"s eine Gerade  nie nur
    ein Segment eines Dreiecks treffen kann.\\[10mm]
\begin{figure}[h]\includegraphics[width=0.5\textwidth]{SkriptenBilder/pasch}
\end{figure}
 \end{frame}

\begin{frame}
  {\bf Kongruenzgruppe:}
  Eine Untergruppe $K\subset \op{Aut}(X,G,Z)$ derart, da"s
  es f"ur je zwei Halbgeraden $A,B\subset X$ genau zwei
  {\bf Kongruenzen}  $k,h\in K$ gibt mit $k(A)=B=h(A)$.\\[10mm]
  \begin{figure}[h]\includegraphics[width=0.7\textwidth]{SkriptenBilder/Kong}
  \end{figure}
\pause  Anschaulich w"aren hier die beiden fraglichen Kongruenzen eine
  Drehung und eine Gleitspiegelung
\end{frame}





  
 
\begin{frame}
  {\bf Axiomatik der Ebene:} Bis auf Isomorphismus gibt es genau zwei 
  Quadrupel $(X,G,Z,K)$ bestehend aus\pause
  \begin{itemize}\item einer Inzidenzgeometrie $(X,G)$
    mit mindestens einer Gerade,\pause
  \item einer  Zwischenrelation $Z$, bei der jede nichtleere beschr"ankte Teilmenge jeder Gerade eine kleinste obere Schranke hat ({\it Supremumseigenschaft}) und\pause
 \item einer Kongruenzgruppe $K\subset \op{Aut}(X,G,Z)$, 
  \end{itemize}\vspace{5mm}\pause
    \begin{tabular}{ccc}   die Euklidische Ebene &und 
    & die Hyperbolische Ebene.\\[3mm]
    \includegraphics[width=0.1\textwidth]{SkriptenBilder/Schachbrett-bw}&&
  \includegraphics[width=0.11\textwidth]{SkriptenBilder/20200316223249!Hyperbolic_domains_642}\end{tabular}

  

   

   % [S. Skriptum Elementargeometrie] 
\end{frame}

\begin{frame}
  Wir nennen ein Tripel
  $(X,G,Z,K)$ alias $$(\text{Punkte, Geraden, Zwischenrelation,
    Kongruenzen})$$
  mit den oben gelisteten Eigenschaften eine
  {\bf fasteuklidische Geometrie} und beweisen beispielhaft zwei erste Eigenschaften.\pause
  \begin{itemize}
  \item
    Fasteuklidische Geometrien haben unendlich viele Punkte $|X|=\infty$.
    \\ \pause
   {\it Beweis:} Je zwei Halbgeraden haben gleichviele Punkte 
   und  es gibt Halbgeraden mit mindestens zwei Punkten. Also umfa"st jede 
   Halbgerade  eine weitere Halbgerade als echte Teilmenge.\pause
  \end{itemize}
\end{frame}
  \begin{frame}
    \begin{itemize}
\item
    Fasteuklidische Geometrien haben mehr als eine Gerade $|G|>1$. 
    \\ \pause
  {\it Beweis:} F"ur jede  Halbgerade $A\subset G$ gibt es genau eine Kongruenz
  $k\in K$  mit $k\neq \op{id}_X$ und $k(A)=A$. Es folgt $k(G)=G$
 und $k^2=\op{id}_X$. Da f"ur die  angeordnete Menge $G$
 aus $(k|_G)^2=\op{id}_G$ folgt $k|_G=\op{id}_G$ und da nach Annahme gilt
 $k\neq \op{id}_X$, haben wir  $G\subsetneq X$.
  \end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{\bf Motivation}
  \begin{itemize}
  \item
    Beweis von Pythagoras in der Linearen Algebra unbefriedigend.
  \item
    Man mag dar"uber streiten, ob der Begriff einer
    {\bf Bewegung} 
    oder der des {\bf Abstands}  grundlegender ist.
    Ich pl"adiere daf"ur, von 
    Bewegungen 
     auszugehen.
   \item
     Ich finde das hier vorgestellte
     Axiomensystem ebenso elegant wie anschaulich.
    Es setzt allerdings Kenntnisse "uber
      Mengenlehre und Gruppen voraus.
  \end{itemize}
\end{frame}

 \begin{frame}
    {\bf Euklidische Ebene \hfill\raisebox{-5mm}{\includegraphics[width=0.1\textwidth]{SkriptenBilder/Schachbrett-bw}}}  
    Eine {\bf euklidische Ebene} ist eine fasteuklidische Geometrie,
    in der das Parallelenaxiom gilt. 
    Das formale Standardbeispiel ist
    $$\begin{array}{lll}
        X&=&\DR^2\\  G&&\text{die Menge aller affinen Geraden}\\
        Z&& \text{die beiden offensichtlichen Anordnungen}\\
       && \text{ auf jeder Geraden}\\ K&& \text{die Gruppe aller Isometrien}
    \end{array}$$
   \end{frame}

 \begin{frame}{\bf Skalarprodukt durch Bewegung}
   
  \begin{itemize}
  \item Gegeben Richtungsvektoren $\vec v, \vec w$
    einer euklidischen Ebene
    betrachte den Fl"acheninhalt $$ F(\vec v, \vec w)$$
    des von ihnen aufgespannten
    Parallelogramms.  
    \item<3-4>Bei zus"atzlich ausgezeichnetem Drehsinn habe auch 
      den orientierten Fl"acheninhalt $$\vec F(\vec v, \vec w)$$
  \end{itemize}
  
  \begin{figure}[h]\begin{overprint}
      \onslide<2-3>\includegraphics[height=0.3\textheight]{SkriptenBilder/FP}
        \onslide<4>\includegraphics[height=0.3\textheight]{SkriptenBilder/FPor}
    \end{overprint}
\end{figure}

\end{frame}

\begin{frame}   \begin{itemize}
    \item Man pr"uft, da"s der orientierte Fl"acheninhalt 
        $\vec F(\vec v,\vec w)$ bilinear und antisymmetrisch ist.
  \end{itemize}
  \pause 
  \begin{figure}[h]\includegraphics[width=0.7\textwidth]{SkriptenBilder/BilSP}\end{figure}
\end{frame}



 \begin{frame}
   \begin{itemize}
     \item Nimm Drehung $R$ um  positiven rechten Winkel und erkl"are
     das {\bf Skalarprodukt} als die orientierte Fl"ache
     $$S(\vec v, \vec w)\pdef \vec F(\vec v, R\vec w)$$
   \item<3->
     Bilinear, symmetrisch, unabh"angig von Wahl des Drehsinns.
   \item<4->
     $S(\vec v, \vec v)$ 
     Fl"ache von Quadrat mit einer Seite $\vec v$.
     \item<5->
       $S(\vec v, \vec w)=0$ falls $\vec v\perp \vec w$.
 \end{itemize}
  \uncover<2->{ \begin{figure}[h]\includegraphics[width=0.8\textwidth]{SkriptenBilder/SP}\end{figure}}
 \end{frame}



% \begin{frame}
 %  Vorschlag {\bf  Skalarproduktraum} und besser nicht
 %  \glqq Euklidischer Vektorraum\grqq\ als Terminologie f"ur
  %  Vektorraum mit
 %  ausgezeichnetem Skalarprodukt.
% \end{frame}




 
  \begin{frame}
    {\bf Hyperbolische Ebene \hfill\raisebox{-5mm}{\includegraphics[width=0.11\textwidth]{SkriptenBilder/20200316223249!Hyperbolic_domains_642}}}  
  Eine {\bf hyperbolische Ebene} ist eine fasteuklidische Geometrie,
    in der das Parallelenaxiom nicht gilt. 
    Das formale Standardbeispiel ist         $$\begin{array}{lll}
        X&=&\{z\in \DC\mid |z|<1\} \text{ die randlose Einheitskreisscheibe}\\
        G&&\text{alle auf dem Einheitskreis senkrechten}\\
        &&\text{ Kreissegmente in der Einheitskreisscheibe}\\
        &&\text{ (und die Geradensegmente durch die Mitte)}\\
        Z&& \text{die beiden offensichtlichen Anordnungen}\\
       && \text{ auf jedem Kreissegment}\\ K&& \text{die von allen Kreisspiegelungen an unseren }\\ && \text{ Kreissegmenten $g\in G$ erzeugte Gruppe }
      \end{array}$$ 
   \end{frame}
  \begin{frame}
 \begin{figure} \begin{minipage}{0.3\textwidth}
   \begin{centering}  Cirkellimiet 1 \\
     Maurice Cornelius Escher\\[4mm]{\tiny \copyright M.C. Escher}\\ 
   \end{centering}
\end{minipage}\hfill
 \begin{minipage}{0.6\textwidth}\centering
\includegraphics[width=\textwidth, trim=300 0 330 0, clip]{SkriptenBilder/Gallen1}
\end{minipage}
 \end{figure}
  \end{frame}

   \begin{frame}
  \begin{figure} \begin{minipage}{0.3\textwidth}
   \begin{centering}  Zwei hyperbolische Geraden\\ 
   \end{centering}
\end{minipage}\hfill
 \begin{minipage}{0.6\textwidth}\centering
\includegraphics[width=\textwidth, trim=300 0 330 0, clip]{SkriptenBilder/Gallen2}
\end{minipage}
  \end{figure}
   \end{frame}

  \begin{frame}
  \begin{figure} \begin{minipage}{0.3\textwidth}
   \begin{centering}  Mehr hyperbolische Geraden\\ 
   \end{centering}
\end{minipage}\hfill
 \begin{minipage}{0.6\textwidth}\centering
\includegraphics[width=\textwidth, trim=300 0 330 0, clip]{SkriptenBilder/Gallen3}
\end{minipage}
  \end{figure}
   \end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  \begin{frame}
  \begin{figure} \begin{minipage}{0.3\textwidth}
      \centering  Das System der
      Geraden einer festen Farbe\\[2mm] (nicht alle sind eingezeichnet)\\[2mm]
      ist stabil unter Spiegelungen
        an allen nichtgr"unen Geraden
\end{minipage}\hfill
 \begin{minipage}{0.6\textwidth}\centering
\includegraphics[width=\textwidth, trim=300 0 330 0, clip]{SkriptenBilder/Gallen4}
\end{minipage}
  \end{figure}
  \end{frame}

 \begin{frame}
  \begin{figure} \begin{minipage}{0.35\textwidth}
      \centering  
      Die von nichtgr"unen Spiegelungen erzeugte Untergruppe
      $$W\subset K$$ wird auch er\-zeugt von den drei Spiegelungen
      $${\color{red}r},{\color{blue}b},{\color{magenta}l}$$
      an den W"anden des schwarzen Alkoven.
\end{minipage}\hfill
 \begin{minipage}{0.6\textwidth}\centering
\includegraphics[width=\textwidth, trim=300 0 330 0, clip]{SkriptenBilder/Gallenfund}
\end{minipage}
  \end{figure}
 \end{frame}
 
 \begin{frame}
  \begin{figure} \begin{minipage}{0.3\textwidth}
      \centering H.S.M. Coxeter: Die Operation von $W$ liefert eine Bijektion
      zwischen $W$ und der Menge aller Alkoven.
\end{minipage}\hfill
 \begin{minipage}{0.6\textwidth}\centering
\includegraphics[width=\textwidth, trim=300 0 330 0, clip]{SkriptenBilder/Gallenfund}
\end{minipage}
  \end{figure}
  \end{frame}
%${\color{red}r},{\color{blue}b},{\color{magenta}l}$
 \begin{frame}
  \begin{figure} \begin{minipage}{0.3\textwidth}
      \centering  Die Regel\\ \glqq ${\color{red}r}$ erh"alt Schwarz-Wei"s,
      ${\color{blue}b},{\color{magenta}l}$
      vertauschen Schwarz-Wei"s\grqq\ liefert
      Grundstruktur des Holzschnitts. \pause Mathematisch
       Gruppenhomomorphismus
      $$W\ra \mathcal S_2$$
\end{minipage}\hfill
 \begin{minipage}{0.6\textwidth}\centering
\includegraphics[width=\textwidth, trim=300 0 330 0, clip]{SkriptenBilder/Gallenfund2}
\end{minipage}
  \end{figure}
  \end{frame}

\begin{frame}
  \begin{figure} \begin{minipage}{0.3\textwidth}
     \centering   Zeichne mit gr"unen Geraden
       Flossenbereiche.
       Deren Vereinigung  $W$-stabil.
       
      Auf Flossen\-bereichen bleibt Schwarz-Wei"s unter ganz $W$ invariant.
\end{minipage}\hfill
 \begin{minipage}{0.6\textwidth}\centering
\includegraphics[width=\textwidth, trim=300 0 330 0, clip]{SkriptenBilder/Gallen7}
\end{minipage}
  \end{figure}
\end{frame}


%\begin{frame}
%  \begin{figure} \begin{minipage}{0.3\textwidth}
%      \centering Im scharzen Alkoven, was zu erfinden war,
%      im Rest die Mathematik!
%\end{minipage}\hfill
% \begin{minipage}{0.6\textwidth}\centering
%\includegraphics[width=\textwidth, trim=300 0 330 0, clip]{SkriptenBilder/Gallenfund3}
%\end{minipage}
%  \end{figure}
%  \end{frame}


\begin{frame}
  \begin{figure} \begin{minipage}[t]{0.3\textwidth}
      \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/tiling_new_fundamental}
      In einem Alkoven Erfindung,
      
      Rest Mathe,

      wenn man
      alle Fische zu einfarbigen Bereichen vereinfacht.
\end{minipage}\hfill
 \begin{minipage}{0.6\textwidth}\centering
\includegraphics[width=\textwidth, trim=300 0 330 0, clip]{SkriptenBilder/Gallen7}
\end{minipage}
  \end{figure}
  \end{frame}


%\begin{frame}
%  \begin{figure} \begin{minipage}{0.3\textwidth}
 %      \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/tiling_new}
%\end{minipage}\hfill
% \begin{minipage}{0.6\textwidth}\centering
%\includegraphics[width=\textwidth, trim=300 0 330 0, clip]{SkriptenBilder/Gallen7}
%\end{minipage}
%  \end{figure}
%  \end{frame}


\begin{frame}
  \begin{figure} \begin{minipage}[t]{0.3\textwidth}
      \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/tiling_new}
     \caption*{\tiny  Dank f"ur Hilfe mit Cinderella
       an PD Dr. Raphael Appenzeller, Universit"at Heidelberg}
\end{minipage}\hfill
 \begin{minipage}{0.6\textwidth}\centering
   \includegraphics[width=\textwidth, trim=300 0 330 0,
     clip]{SkriptenBilder/Gallen1}
\end{minipage}
  \end{figure}
  \end{frame}


\begin{frame}
  \begin{figure} \begin{minipage}{0.3\textwidth}
      Die strenge Symmetriegruppe ist
      $$\op{ker}(W\ra \mathcal S_2)$$
      
      \vspace{1cm}
\centering
  % \uncover<2>{\bf  Vielen Dank f"ur \\ Ihre \\ Aufmerksamkeit!}
\end{minipage}\hfill
 \begin{minipage}{0.6\textwidth}\centering
   \includegraphics[width=\textwidth, trim=300 0 330 0,
     clip]{SkriptenBilder/Gallen1fd}
\end{minipage}
  \end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}{\bf Unendlich viele analoge Bilder in der hyperbolischen Ebene}
 \pause \begin{figure}
   \includegraphics[width=0.28\textwidth]{SkriptenBilder/Hyperb1} \includegraphics[width=0.28\textwidth]{SkriptenBilder/Hyperb2} \pause\includegraphics[width=0.28\textwidth]{SkriptenBilder/Hyperspace_tiling_5-4}
  \end{figure}\pause
  Genauer: Unendlich viele lokal endliche Systeme von Geraden,
  die stabil sind unter der
  Spiegelung an jeder ihrer Geraden und die die hyperbolische Ebene in St"ucke endlicher
  Fl"ache zerteilen
\end{frame}
\begin{frame}{\bf Nur vier analoge Bilder in der euklidischen Ebene} 
\only<1-5>{\begin{figure}\includegraphics[width=0.21\textwidth]{SkriptenBilder/BildAA0002}
\includegraphics[width=0.24\textwidth]{SkriptenBilder/BildA}
\includegraphics[width=0.24\textwidth]{SkriptenBilder/BildB}
\includegraphics[width=0.27\textwidth]{SkriptenBilder/BildG}
\end{figure}}
\only<6>{\begin{figure}\includegraphics[width=0.21\textwidth]{SkriptenBilder/BildAA0002WS}
\includegraphics[width=0.24\textwidth]{SkriptenBilder/BildAWS}
\includegraphics[width=0.24\textwidth]{SkriptenBilder/BildBWS}
\includegraphics[width=0.27\textwidth]{SkriptenBilder/BildGWS}
\end{figure}}
\pause
\begin{itemize}
  \item Nur vier  lokal endliche Systeme von Geraden,
  die stabil sind unter der
  Spiegelung an jeder ihrer Geraden und die die euklidische Ebene in St"ucke endlicher
  Fl"ache zerteilen.\pause
\item
  Und im Raum? \pause Schlecht zu zeichnen. \pause Andere Darstellung n"otig.
  \pause Wurzelsysteme.
\end{itemize} 
\end{frame}





\begin{frame}{\bf Analoga im Raum} 
\begin{itemize}\pause 
  \item Lokal endliche Systeme von Ebenen, die stabil sind unter der
  Spiegelung an jeder ihrer Ebenen und die den Raum in St"ucke endlichen
  Volumens zerteilen.\pause
 \item  Einige M"oglichkeiten f"ur zugeh"orige Wurzelsysteme:\end{itemize}
\begin{figure}\pause
  \includegraphics[width=0.30\textwidth]{SkriptenBilder/geogebra-export(7)}\pause
  \includegraphics[width=0.30\textwidth]{SkriptenBilder/geogebra-export(6)}\pause
   \includegraphics[width=0.30\textwidth]{SkriptenBilder/geogebra-export(5)}
\end{figure}
\hspace{2cm}{\color{white}{\bf Vielen Dank f"ur Ihre Aufmerksamkeit!}}
\end{frame}
\begin{frame} {\bf Analoga im Raum} 
\uncover<2>{\begin{itemize} 
  \item Lokal endliche Systeme von Ebenen, die stabil sind unter der
  Spiegelung an jeder ihrer Ebenen und die den Raum in St"ucke endlichen
  Volumens zerteilen.
 \item  Einige M"oglichkeiten f"ur zugeh"orige Wurzelsysteme:\end{itemize}}
\begin{figure}
  \includegraphics[width=0.30\textwidth]{SkriptenBilder/HerrnhuterWS}
 \uncover<2> {\includegraphics[width=0.30\textwidth]{SkriptenBilder/geogebra-export(6)}}
   \includegraphics[width=0.30\textwidth]{SkriptenBilder/geogebra-export(5)}
\end{figure}
\hspace{2cm}{{\bf Vielen Dank f"ur Ihre Aufmerksamkeit!}}
\end{frame}
\end{document}

  
  \includegraphics<3>[width=0.33\textwidth]{SkriptenBilder/geogebra-export(7)}
  \includegraphics<6>[width=0.33\textwidth]{SkriptenBilder/HerrnhuterWS}}\uncover<4-5>{ \includegraphics[width=0.33\textwidth]{SkriptenBilder/geogebra-export(6)}}\uncover<5>{\includegraphics[width=0.33\textwidth]{SkriptenBilder/geogebra-export(5)}}\only<6>{\includegraphics[width=0.33\textwidth]{SkriptenBilder/geogebra-export(5)}}
 \end{figure}
\hspace{2cm}\uncover<6>{ {\bf Vielen Dank f"ur Ihre Aufmerksamkeit!}}
\end{frame}
\end{document}

\begin{frame}\uncover<5>{\bf Analoga im Raum} 
 \begin{itemize}\pause 
  \item Lokal endliche Systeme von Ebenen, die stabil sind unter der
  Spiegelung an jeder ihrer Ebenen und die den Raum in St"ucke endlichen
  Volumens zerteilen
  \item\pause  Einige M"oglichkeiten f"ur zugeh"orige Wurzelsysteme:
\end{itemize}
   \uncover<5>{Die langen Zacken eines Herrnhuter-Sterns: Ein
  auf konstante L"ange gestauchtes r"aumliches Wurzelsystem}
   \uncover<1>{{\bf Vielen Dank f"ur Ihre Aufmerksamkeit!}}
    \uncover<5>{Das ist nur ein unn"otiger Platzhaltertext.}
  \begin{figure}[b] \includegraphics[width=0.33\textwidth]{SkriptenBilder/HerrnhuterWS}\uncover<4>{\includegraphics[width=0.33\textwidth]{SkriptenBilder/geogebra-export(5)}}\includegraphics[width=0.33\textwidth]{SkriptenBilder/geogebra-export(5)}
\end{figure}
\end{frame}


\end{document}




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