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\title[]{~\\[2ex]
Die Euklidische  Ebene neu frisiert und Cirkellimiets}
\author[]{Wolfgang Soergel}
\institute[]{\inst{}
   Mathematisches Institut\\
  Universit\"at Freiburg\\[4ex]

\vspace*{.9cm}
%\textcolor{red}{\\ allgemeine Fragen/Hinweise hier positionieren}
  }

\date[]{\small \hbox{September 2025}}

%\beamersetuncovermixins{\opaqueness<1>{25}}{\opaqueness<2->{15}}
% ==================================================
% ==================================================
\begin{document}
\begin{frame}
  \begin{figure} 
\includegraphics[width=0.7\textwidth, trim=300 0 330 0, clip]{SkriptenBilder/Gallen1}\caption*{\tiny \copyright M.C. Escher}
  \end{figure}
  \end{frame}


% ==================================================
% ==================================================

\titlepage


 \begin{frame}
 {\bf Inzidenzgeometrie:} 
 Ein Paar $(X,G)$ aus
 \begin{itemize}\item einer Menge $X$
   von {\bf Punkten} und
 \item einer Menge
    $G\subset \op{Pot}(X)$ von {\bf Geraden}
    \end{itemize}
    derart, da"s\pause
    \begin{itemize}\item jede Gerade mindestens zwei Punkte hat und
    \item durch je zwei verschiedene  Punkte genau eine Gerade geht.
    \end{itemize}  \pause
\begin{figure}[h]\includegraphics[width=0.7\textwidth]{SkriptenBilder/inz}
\end{figure}
 \end{frame}

\begin{frame}
 {\bf Zwischenrelation:} 
 Eine Vorgabe $Z$ von
    zwei zueinander opponierten Anordnungen auf jeder Gerade derart,
    da"s eine Gerade  nie nur
    ein Segment eines Dreiecks treffen kann.\\[10mm]
\begin{figure}[h]\includegraphics[width=0.5\textwidth]{SkriptenBilder/pasch}
\end{figure}
 \end{frame}

\begin{frame}
  {\bf Kongruenzgruppe:}
  Eine Untergruppe $K\subset \op{Aut}(X,G,Z)$ derart, da"s
  es f"ur je zwei Halbgeraden $A,B\subset X$ genau zwei
  {\bf Kongruenzen}  $k,h\in K$ gibt mit $k(A)=B=h(A)$.\\[10mm]
  \begin{figure}[h]\includegraphics[width=0.7\textwidth]{SkriptenBilder/Kong}
\end{figure}
\end{frame}





  
 
\begin{frame}
  {\bf Axiomatik der Ebene:} Bis auf Isomorphismus gibt es genau zwei 
  Quadrupel $(X,G,Z,K)$ bestehend aus
  \begin{itemize}\item einer Inzidenzgeometrie $(X,G)$
    mit mindestens einer Gerade,
  \item einer  Zwischenrelation $Z$, bei der jede nichtleere beschr"ankte Teilmenge jeder Gerade eine kleinste obere Schranke hat (Supremumseigenschaft) und
 \item einer Kongruenzgruppe $K\subset \op{Aut}(X,G,Z)$, 
  \end{itemize}\vspace{5mm}
    \begin{tabular}{ccc}   die Euklidische Ebene &und 
    & die Hyperbolische Ebene.\\[3mm]
    \includegraphics[width=0.1\textwidth]{SkriptenBilder/Schachbrett-bw}&&
  \includegraphics[width=0.11\textwidth]{SkriptenBilder/20200316223249!Hyperbolic_domains_642}\end{tabular}

  
 
    \vspace{3mm} Euklid, Lobatchevski, Hilbert, Pasch, \dots,
    
    [Karzel, S"orensen, Windelberg 1973], [Filler 1993],

    [S. Skriptum Elementargeometrie] 
\end{frame}

\begin{frame}
  Wir nennen ein Tripel $(X,G,Z,K)$ mit den oben gelisteten Eigenschaften eine
  {\bf fasteuklidische Geometrie} und beweisen beispielhaft zwei erste Eigenschaften.\pause
  \begin{itemize}
  \item
    Fasteuklidische Geometrien haben unendlich viele Punkte $|X|=\infty$.
    \\[2mm]
   {\it Beweis:} Je zwei Halbgeraden haben gleichviele Punkte
   und  es gibt Halbgeraden mit mindestens zwei Punkten. Also umfa"st jede 
   Halbgerade  eine weitere Halbgerade als echte Teilmenge.\pause
  \item
    Fasteuklidische Geometrien haben mehr als eine Gerade $|G|>1$. 
    \\[2mm]
  {\it Beweis:} F"ur jede  Halbgerade $A\subset G$ gibt es genau eine Kongruenz
  $k\in K$  mit $k\neq \op{id}_X$ und $k(A)=A$. Es folgt $k(G)=G$
 und $k^2=\op{id}_X$. Da f"ur die  angeordnete Menge $G$
 aus $(k|_G)^2=\op{id}_G$ folgt $k|_G=\op{id}_G$ und da nach Annahme gilt
 $k\neq \op{id}_X$, haben wir  $G\subsetneq X$.
  \end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{\bf Motivation}
  \begin{itemize}
  \item
    Beweis von Pythagoras in der Linearen Algebra unbefriedigend.
  \item
    Man mag dar"uber streiten, ob der Begriff einer
    {\bf Bewegung} 
    oder der des {\bf Abstands}  grundlegender ist.
    Ich pl"adiere daf"ur, von 
    Bewegungen 
     auszugehen.
   \item
     Ich finde das hier vorgestellte
     Axiomensystem ebenso elegant wie anschaulich.
    Es setzt allerdings Kenntnisse "uber
      Mengenlehre und Gruppen voraus.
  \end{itemize}
\end{frame}

 \begin{frame}
    {\bf Euklidische Ebene \hfill\raisebox{-5mm}{\includegraphics[width=0.1\textwidth]{SkriptenBilder/Schachbrett-bw}}}  
    Eine {\bf euklidische Ebene} ist eine fasteuklidische Geometrie,
    in der das Parallelenaxiom gilt. 
    Das formale Standardbeispiel ist
    $$\begin{array}{lll}
        X&=&\DR^2\\  G&&\text{die Menge aller affinen Geraden}\\
        Z&& \text{die beiden offensichtlichen Anordnungen}\\
       && \text{ auf jeder Geraden}\\ K&& \text{die Gruppe aller Isometrien}
    \end{array}$$
   \end{frame}

 \begin{frame}{\bf Skalarprodukt durch Bewegung}
   
  \begin{itemize}
  \item Gegeben Richtungsvektoren $\vec v, \vec w$
    einer euklidischen Ebene
    betrachte den Fl"acheninhalt $$ F(\vec v, \vec w)$$
    des von ihnen aufgespannten
    Parallelogramms.  
    \item<3-4>Bei zus"atzlich ausgezeichnetem Drehsinn habe auch 
      den orientierten Fl"acheninhalt $$\vec F(\vec v, \vec w)$$
  \end{itemize}
  
  \begin{figure}[h]\begin{overprint}
      \onslide<2-3>\includegraphics[height=0.3\textheight]{SkriptenBilder/FP}
        \onslide<4>\includegraphics[height=0.3\textheight]{SkriptenBilder/FPor}
    \end{overprint}
\end{figure}

\end{frame}

\begin{frame}   \begin{itemize}
    \item Man pr"uft, da"s der orientierte Fl"acheninhalt 
        $\vec F(\vec v,\vec w)$ bilinear und antisymmetrisch ist.
  \end{itemize}
  \pause 
  \begin{figure}[h]\includegraphics[width=0.7\textwidth]{SkriptenBilder/BilSP}\end{figure}
\end{frame}



 \begin{frame}
   \begin{itemize}
     \item Nimm Drehung $R$ um  positiven rechten Winkel und erkl"are
     das {\bf Skalarprodukt} als die orientierte Fl"ache
     $$S(\vec v, \vec w)\pdef \vec F(\vec v, R\vec w)$$
   \item<3->
     Bilinear, symmetrisch, unabh"angig von Wahl des Drehsinns.
   \item<4->
     $S(\vec v, \vec v)$ 
     Fl"ache von Quadrat mit einer Seite $\vec v$.
     \item<5->
       $S(\vec v, \vec w)=0$ falls $\vec v\perp \vec w$.
 \end{itemize}
  \uncover<2->{ \begin{figure}[h]\includegraphics[width=0.8\textwidth]{SkriptenBilder/SP}\end{figure}}
 \end{frame}



% \begin{frame}
 %  Vorschlag {\bf  Skalarproduktraum} und besser nicht
 %  \glqq Euklidischer Vektorraum\grqq\ als Terminologie f"ur
  %  Vektorraum mit
 %  ausgezeichnetem Skalarprodukt.
% \end{frame}




 
  \begin{frame}
    {\bf Hyperbolische Ebene \hfill\raisebox{-5mm}{\includegraphics[width=0.11\textwidth]{SkriptenBilder/20200316223249!Hyperbolic_domains_642}}}  
  Eine {\bf hyperbolische Ebene} ist eine fasteuklidische Geometrie,
    in der das Parallelenaxiom nicht gilt. 
    Das formale Standardbeispiel ist         $$\begin{array}{lll}
        X&=&\{z\in \DC\mid |z|<1\} \text{ die randlose Einheitskreisscheibe}\\
        G&&\text{alle auf dem Einheitskreis senkrechten}\\
        &&\text{ Kreissegmente in der Einheitskreisscheibe}\\
        &&\text{ (und die Geradensegmente durch die Mitte)}\\
        Z&& \text{die beiden offensichtlichen Anordnungen}\\
       && \text{ auf jedem Kreissegment}\\ K&& \text{die von allen Kreisspiegelungen an unseren }\\ && \text{ Kreissegmenten $g\in G$ erzeugte Gruppe }
      \end{array}$$ 
   \end{frame}
  \begin{frame}
 \begin{figure} \begin{minipage}{0.3\textwidth}
   \begin{centering}  Cirkellimiet 1 \\
     Maurice Cornelius Escher\\[4mm]{\tiny \copyright M.C. Escher}\\ 
   \end{centering}
\end{minipage}\hfill
 \begin{minipage}{0.6\textwidth}\centering
\includegraphics[width=\textwidth, trim=300 0 330 0, clip]{SkriptenBilder/Gallen1}
\end{minipage}
 \end{figure}
  \end{frame}

   \begin{frame}
  \begin{figure} \begin{minipage}{0.3\textwidth}
   \begin{centering}  Zwei hyperbolische Geraden\\ 
   \end{centering}
\end{minipage}\hfill
 \begin{minipage}{0.6\textwidth}\centering
\includegraphics[width=\textwidth, trim=300 0 330 0, clip]{SkriptenBilder/Gallen2}
\end{minipage}
  \end{figure}
   \end{frame}

  \begin{frame}
  \begin{figure} \begin{minipage}{0.3\textwidth}
   \begin{centering}  Mehr hyperbolische Geraden\\ 
   \end{centering}
\end{minipage}\hfill
 \begin{minipage}{0.6\textwidth}\centering
\includegraphics[width=\textwidth, trim=300 0 330 0, clip]{SkriptenBilder/Gallen3}
\end{minipage}
  \end{figure}
   \end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  \begin{frame}
  \begin{figure} \begin{minipage}{0.3\textwidth}
      \centering  Das System der
      Geraden einer festen Farbe\\[2mm] (nicht alle sind eingezeichnet)\\[2mm]
      ist stabil unter Spiegelungen
        an allen nichtgr"unen Geraden
\end{minipage}\hfill
 \begin{minipage}{0.6\textwidth}\centering
\includegraphics[width=\textwidth, trim=300 0 330 0, clip]{SkriptenBilder/Gallen4}
\end{minipage}
  \end{figure}
  \end{frame}

 \begin{frame}
  \begin{figure} \begin{minipage}{0.35\textwidth}
      \centering  
      Die von nichtgr"unen Spiegelungen erzeugte Untergruppe
      $$W\subset K$$ wird auch er\-zeugt von den drei Spiegelungen
      $${\color{red}r},{\color{blue}b},{\color{magenta}l}$$
      an den W"anden des schwarzen Alkoven.
\end{minipage}\hfill
 \begin{minipage}{0.6\textwidth}\centering
\includegraphics[width=\textwidth, trim=300 0 330 0, clip]{SkriptenBilder/Gallenfund}
\end{minipage}
  \end{figure}
 \end{frame}
 
 \begin{frame}
  \begin{figure} \begin{minipage}{0.3\textwidth}
      \centering Coxeter: Die Operation von $W$ liefert eine Bijektion
      zwischen $W$ und der Menge aller Alkoven.
\end{minipage}\hfill
 \begin{minipage}{0.6\textwidth}\centering
\includegraphics[width=\textwidth, trim=300 0 330 0, clip]{SkriptenBilder/Gallenfund}
\end{minipage}
  \end{figure}
  \end{frame}
%${\color{red}r},{\color{blue}b},{\color{magenta}l}$
 \begin{frame}
  \begin{figure} \begin{minipage}{0.3\textwidth}
      \centering  Die Regel\\ \glqq ${\color{red}r}$ erh"alt Schwarz-Wei"s,
      ${\color{blue}b},{\color{magenta}l}$
      vertauschen Schwarz-Wei"s\grqq\ liefert
      erste Ann"aherung. Mathematisch
       Gruppenhomomorphismus
      $$W\ra \mathcal S_2$$
\end{minipage}\hfill
 \begin{minipage}{0.6\textwidth}\centering
\includegraphics[width=\textwidth, trim=300 0 330 0, clip]{SkriptenBilder/Gallenfund2}
\end{minipage}
  \end{figure}
  \end{frame}

\begin{frame}
  \begin{figure} \begin{minipage}{0.3\textwidth}
      \centering Zeichne mit gr"unen Geraden
      die gelben Flossenbereiche ein.
      Die Vereinigung aller Flossenbereiche ist $W$-stabil.
      Auf den Flossenbereichen bleibt Schwarz-Wei"s unter ganz $W$ invariant. 
\end{minipage}\hfill
 \begin{minipage}{0.6\textwidth}\centering
\includegraphics[width=\textwidth, trim=300 0 330 0, clip]{SkriptenBilder/Gallen7}
\end{minipage}
  \end{figure}
\end{frame}


%\begin{frame}
%  \begin{figure} \begin{minipage}{0.3\textwidth}
%      \centering Im scharzen Alkoven, was zu erfinden war,
%      im Rest die Mathematik!
%\end{minipage}\hfill
% \begin{minipage}{0.6\textwidth}\centering
%\includegraphics[width=\textwidth, trim=300 0 330 0, clip]{SkriptenBilder/Gallenfund3}
%\end{minipage}
%  \end{figure}
%  \end{frame}


\begin{frame}
  \begin{figure} \begin{minipage}[t]{0.3\textwidth}
      \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/tiling_new_fundamental}
      In einem Alkoven Erfindung,
      
      Rest Mathe,

      wenn man
      alle Fische zu einfarbigen Bereichen vereinfacht.
\end{minipage}\hfill
 \begin{minipage}{0.6\textwidth}\centering
\includegraphics[width=\textwidth, trim=300 0 330 0, clip]{SkriptenBilder/Gallen7}
\end{minipage}
  \end{figure}
  \end{frame}


%\begin{frame}
%  \begin{figure} \begin{minipage}{0.3\textwidth}
 %      \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/tiling_new}
%\end{minipage}\hfill
% \begin{minipage}{0.6\textwidth}\centering
%\includegraphics[width=\textwidth, trim=300 0 330 0, clip]{SkriptenBilder/Gallen7}
%\end{minipage}
%  \end{figure}
%  \end{frame}


\begin{frame}
  \begin{figure} \begin{minipage}[t]{0.3\textwidth}
      \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/tiling_new}
     \caption*{\tiny  Dank f"ur Hilfe mit Cinderella
       an PD Dr. Raphael Appenzeller, Universit"at Heidelberg,
       Alumnus Kantonsschule Wattwil  und ETH Z"urich}
\end{minipage}\hfill
 \begin{minipage}{0.6\textwidth}\centering
   \includegraphics[width=\textwidth, trim=300 0 330 0,
     clip]{SkriptenBilder/Gallen1}
\end{minipage}
  \end{figure}
  \end{frame}


\begin{frame}
  \begin{figure} \begin{minipage}{0.3\textwidth}
      Die strenge Symmetriegruppe ist
      $$\op{ker}(W\ra \mathcal S_2)$$
      
      \vspace{1cm}
\centering
   \uncover<2>{\bf  Vielen Dank f"ur \\ Ihre \\ Aufmerksamkeit!}
\end{minipage}\hfill
 \begin{minipage}{0.6\textwidth}\centering
   \includegraphics[width=\textwidth, trim=300 0 330 0,
     clip]{SkriptenBilder/Gallen1fd}
\end{minipage}
  \end{figure}
  \end{frame}

\end{document}

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