\section{Wegintegrale und Potentiale} \subsection{Vektorfelder und Kovektorfelder} \begin{Definition}\label{VFKF} Seien $X$ ein endlichdimensionaler reeller Raum und $U \subset X$ eine Teilmenge. Ein {\bf Vektorfeld} oder genauer ein {\bf relatives Vektorfeld}\index{Vektorfeld!relatives|main} {\bf auf} $U$ ist wie in \ref{VFKFn} eine Abbildung $$\begin{array}{rccl} A : &U & \ra & \vec{X}\\ &p & \mapsto & A_{p} \end{array}$$ von $U$ in den Richtungsraum $\vec{X}$ von $X$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] Sp"ater einmal werden wir ein \glqq Vektorfeld auf einer Mannigfaltigkeit $M$\grqq\ erkl"aren als eine Abbildung, die jedem Punkt $p\in M$ einen Tangentialvektor $A_p\in {\op{T}}_pM$ zuordnet. Das ist etwas spezielleres als ein \glqq relatives\grqq\ Vektorfeld, das jedem Punkt $p\in M\subset X$ einfach irgendeinen Richtungsvektor $A_p\in \vec X$ zuordnet. Vorerst jedoch werden wir nur mit Vektorfeldern auf halboffenen Teilmengen endlichdimensionaler R"aume $X$ arbeiten, und in diesem Fall sind unsere \glqq relativen\grqq\ Vektorfelder bereits die \glqq richtigen\grqq\ Vektorfelder. Deshalb kommt es auf derartige Feinheiten hier noch nicht an. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir schreiben im Zusammenhang mit Differentialgleichungen statt $A_{p}$ auch $A(p)$. Die Notation $A_p$ dahingegen ist praktisch, wenn wir unsere Vektorfelder wie in \ref{AWVF} auf Funktionen anwenden wollen. In der physikalischen Terminologie hei"sen Vektorfelder {\bf kontravariant}\index{kontravariant} aus Gr"unden, die in \ref{KoKov} diskutiert werden. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[htbp]\centering \includegraphics[width=\textwidth] {SkriptenBilder/BildVeFA}\\[4mm] \noindent Graphische Darstellung eines Vektorfelds auf der Papierebene, das in geeigneten Koordinaten in der Notation von \ref{pavf} durch die Formel $$\left(x/\sqrt{x^2+y^2}\right)\partial_x + \left(y/\sqrt{x^2+y^2}\right) \partial_y$$ gegeben w"urde. Hier haben wir zu ausgew"ahlten Punkten den ihnen zugeordneten Richtungsvektor als Pfeil von besagtem Punkt zu dem um diesen Richtungsvektor verschobenen Punkt dargestellt. \end{figure} \begin{Bemerkungl} Zu jedem reellen Vektorraum $V$ bilden wir wie in der linearen Algebra in \eref{LiFo}{LA1} seinen \defind{Dualraum} $V^\ast =V^\top \pdef\op{Hom}_\DR(V,\DR)$. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{FKF} Seien $X$ ein endlichdimensionaler reeller Raum und $U \subset X$ eine Teilmenge. Ein {\bf Kovektorfeld}\index{Kovektorfeld} oder genauer {\bf relatives Kovektorfeld}\index{Kovektorfeld!relatives|main} {\bf auf} $U$ ist eine Abbildung $$\begin{array}{rccl} \omega : &U & \ra & \vec{X}^{\ast}\\ &p & \mapsto & \omega_{p} \end{array}$$ von $U$ in den Dualraum $\vec{X}^{\ast}$ des Richtungsraums von $X$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] Sp"ater einmal werden wir ein Kovektorfeld auf einer Mannigfaltigkeit $M$ erkl"aren als eine Abbildung, die jedem Punkt $p\in M$ ein Element $\omega_p\in ({\op{T}}_pM)^*$ zuordnet. Das ist etwas anderes als ein relatives Kovektorfeld, das jedem Punkt $p\in M\subset X$ einfach irgendeine Linearform $\omega_p\in \vec X^*$ zuordnet. Vorerst jedoch werden wir nur mit Kovektorfeldern auf halboffenen Teilmengen endlichdimensionaler R"aume $X$ arbeiten, und in diesem Fall sind unsere relativen Kovektorfelder bereits die endg"ultigen Kovektorfelder. Deshalb kommt es auf derartige Feinheiten hier noch nicht an. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir schreiben $\omega_{p}$ statt $\omega (p)$, damit $\omega_{p} (\vec v) \in \Bbb{R}$ den Wert der Linearform $\omega_p$ auf einem Vektor $\vec v \in \vec{X}$ bezeichnen kann. Ein Kovektorfeld nennt man auch eine {\bf Pfaff'sche Form}\index{Pfaff'sche Form} oder eine {\bf Differentialform erster Ordnung}\index{Differentialform!erster Ordnung} oder eine {\bf $1$-Form}\index{Form!$1$-Form}\index{Eins-Form} oder eine {\bf Einsform}.\index{Einsform} In der physikalischen Terminologie hei"sen Kovektorfelder {\bf kovariant}\index{kovariant} aus Gr"unden, die in \ref{KoKov} diskutiert werden. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Graphische Darstellung ebener Kovektorfelder}] F"ur die graphische Darstellung eines Kovektorfelds $\omega$ auf der Tafelebene $X$ denke ich mir Kreisscheiben um einzelne fett eingezeichnete Punkte $p\in X$ und zeichne jeweils deren Schnitt mit $\{p+\vec v\mid \omega_p(\vec v)\in\DN\}$. Im Fall $\omega_p=0$ mu"s ich die ganze Kreisscheibe ausmalen, weshalb ich diesen Fall nach M"oglichkeit vermeide. Im Fall $\omega_p\neq 0$ sehr klein ist nur ein St"uck der Gerade\label{gdK} $p+\op{ker}\omega_p$ zu sehen und man kann nicht erkennen, auf welcher Seite dieser Gerade die Punkte $p+\vec v$ liegen mit $\omega_p(\vec v)>0$, weshalb ich auch diesen Fall nach M"oglichkeit vermeide. Ich hoffe, da"s der Leser die so erzeugte Anschauung auf den r"aumlichen Fall "ubertragen kann, in dem ich die entsprechenden Bilder nicht mehr malen kann, und ebenso auf den eindimensionalen Fall, in dem die entsprechenden Bilder wie so vieles im eindimensionalen Fall weniger Aussagekraft haben. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildKoFAb}\\[4mm] \noindent Versuch der graphischen Darstellung eines Kovektorfelds auf der Papierebene, das in geeigneten Koordinaten in der Notation \ref{DiFF} durch die Formel $$x\diff y$$ gegeben w"urde. \end{figure} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildKVE}\\[4mm] \noindent Alternativer Versuch der graphischen Darstellung eines Kovektorfelds auf der Papierebene. Hier legen wir die Konvention aus \eref{LiFo}{LA1} zur graphischen Darstellung von Kovektoren zugrunde, der Wert auf einem Vektor ist also salopp gesagt die Anzahl der gekreuzten Striche. Insbesondere bedeuten \glqq enger zusammenliegende Striche\grqq\ hier \glqq gr"o"sere Kovektoren\grqq. Bei einer Streckung etwa um einen Faktor Zwei werden also Vektoren doppelt so lang, aber in Gegensatz dazu Kovektoren halb so lang, weil die Striche weiter auseinander r"ucken. \end{figure} \begin{Beispiel}[\textbf{Kovektorfelder auf der Zeitachse}] Ein Kovektorfeld ohne Nullstelle auf der Zeitachse $\mathbb T$ aus \eref{tempp}{LA1} k"onnen wir uns in der in \eref{DrG}{LA1} noch genauer erkl"arten Weise denken als eine Vorschrift, die\label{KVD} jedem Zeitpunkt ein Paar bestehend aus einer Frequenz und einer Orientierung der Zeitachse zuordnet. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Addition von Feldern und Multiplikation mit Funktionen}] Wir addieren Vektorfelder wie auch Kovektorfelder punktweise, die Summe $\omega + \eta$ zweier Kovektorfelder ist also etwa erkl"art durch $(\omega + \eta)_{p}= \omega_{p}+ \eta_{p} $, wobei letzteres Summenzei\-chen die Addition in $\vec{X}^{\ast}$ meint. Wir multiplizieren Vektorfelder und auch Kovektorfelder mit Funktionen $f:U \ra \Bbb{R}$ ebenfalls punktweise, indem wir setzen $(fA)_{p} = f(p) A_{p}$ beziehungsweise $(f\omega)_{p} = f(p) \omega_{p}$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Paaren von Vektorfeldern mit Kovektorfeldern}] Seien $X$ ein\label{EKV} endlichdimensionaler reeller Raum und $U \subset X$ eine Teilmenge. Ist $A:U\ra\vec{X}$ ein Vektorfeld und $\omega:U\ra\vec{X}^\ast$ ein Kovektorfeld, so k"onnen wir das Vektorfeld $A$ in das Kovektorfeld $\omega$ einsetzen oder, vielleicht besser gesagt, das\index{einsetzen!Vektorfeld in Kovektorfeld} Kovektorfeld $\omega$ auf dem Vektorfeld $A$ auswerten oder, besonders ausgewogen und immer noch gleichbedeutend, das\index{auswerten!Kovektorfeld auf Vektorfeld} {\bf Kovektorfeld $\omega$ mit dem Vektorfeld $A$ paaren}. Wir erhalten dann eine Funktion $$\begin{array}{cccc} \omega(A)=\langle\omega,A\rangle:&U&\ra& \DR\\ &p&\mapsto &\omega_p(A_p) \end{array}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Verschiedene Interpretationen von Kovektorfeldern}] Seien $X$ ein\label{WAI} endlichdimensionaler reeller Raum und $U \subset X$ eine Teilmenge. Im Sinne des Exponentialgesetzes \eref{ABBK}{GR} k"onnen wir ein Kovektorfeld $\omega:U\ra \vec{X}^\ast$ auch auffassen als eine Abbildung $U\times \vec{X}\ra \DR$ oder sogar als eine Abbildung $\vec{X}\ra \op{Ens}(U,\DR)$. Es geh"ort etwas "Ubung dazu, alle diese verschiedenen Aspekte gleichzeitig pr"asent zu haben. Wir k"onnen also ein Kovektorfeld einerseits an einem Punkt $p\in U$ auswerten und so eine Linearform $\omega_p:\vec{X}\ra \DR$ auf dem Richtungsraum erhalten, wir k"onnen es aber andererseits auch auf einem Richtungsvektor $\vec v\in \vec{X}$ auswerten und so eine reellwertige Funktion $U \ra \DR, p\mapsto \omega_p(\vec v)$ erhalten. Wir k"onnen es sogar etwas allgemeiner, wie in \ref{EKV} besprochen, auf einem Vektorfeld $p\mapsto \vec v_p$ auswerten und auch so eine reellwertige Funktion $U\ra \DR, p\mapsto \omega_p(\vec v_p)$ erhalten. Man beachte, da"s beim Auswerten von Kovektorfeldern auf Vektorfeldern keinerlei Differentiation stattfindet sondern ausschlie"slich lineare Algebra, nur eben \glqq in Abh"angigkeit vom Punkt $p$\grqq. Da"s ich ein Vektorfeld zuvor $A_p$ und jetzt $\vec v_p$ notiere, hat nichts weiter zu bedeuten. \end{Bemerkungl} % \begin{Bemerkungl} % Die vorhergehende Definition \ref{EKV} hat sich in meiner Vorlesung % als besonders schwer verdaulich erwiesen, weshalb ich sie hier % nocheinmal ausf"uhrlich diskutiere. % Ist $V$ ein Vektorraum "uber einem K"orper $k$ und % $V^\top=V^\ast$ sein Dualraum % \ref{LiFo} und % $v\in V$ ein Vektor und $\lambda\in V^\top$ eine Linearform, % so k"onnen wir ja die Linearform $\lambda$ auf dem Vektor $v$ % auswerten und so ein Element $\lambda(v)$ des Grundk"orpers $k$ erhalten, % das wir wie in \ref{Syn} auch % gerne $\lambda(v)=\langle \lambda,v\rangle$ notieren. % Ist nun $D$ eine Menge und $v$ eine Abbildung $D\ra V$, $p\mapsto v_p$, % also ein von $p\in D$ abh"angiger Vektor, und % $\lambda$ eine Abbildung $D\ra V^\top$, $p\mapsto \lambda_p$, % also eine von $p\in D$ abh"angige Linearform, so k"onnen wir % an jeder Stelle $p\in D$ unsere Linearform $\lambda_p$ auf unserem Vektor % $v_p$ auswerten und erhalten so eine Funktion $D\ra k$, $p\mapsto % \langle \lambda_p,v_p\rangle$, die wir wieder gerne $\langle \lambda,v\rangle$ % notieren. Ist speziell $X$ ein endlichdimensionaler reeller Raum, % $D=U\subset X$ eine halboffene Teilmenge, $k=\DR$ und $V=\vec X$, % so spezialisiert diese Konstruktion zu unserem Auswerten von % Kovektorfeldern auf Vektorfeldern. % \end{Bemerkungl} \begin{Definition}[\textbf{Differential einer Funktion als Kovektorfeld}] Seien $X$ ein reeller endlichdimensionaler Raum und $U \subset X$ eine halboffene Teilmenge. Ist $f:U\ra \Bbb{R}$ differenzierbar, so ist das Differential von $f$ bei $p$ eine lineare Abbildung $\tiff_{p}f: \vec{X} \ra \Bbb{R}$. Unter dem {\bf Differential $\diff f$ von $f$} verstehen wir\index{d@$\diff f$ Differential von $f$} dann das Kovektorfeld auf $U$, das gegeben wird durch die Vorschrift $$\begin{array}{rccl} \diff f:&U &\ra & \vec{X}^{\ast}\\ &p &\mapsto & \tiff _{p}f \end{array}$$ Wir verwenden im Kontext einer reellwertigen Funktion beide Notationen $\tiff_pf=\diff_p f$ f"ur das Differential bei $p$ und beide Notationen $\tiff f=\diff f$ f"ur das Differential als Funktion von $p$. F"ur das Differential von einem Produkt gilt\label{DiFF} nach \ref{PRm} die Produktregel $ \op{d} (fg)= f\diff g + g \diff f $ und f"ur das Differential einer Summe haben wir $ \op{d} (f+g) = \diff f + \diff g$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Anschauung f"ur das Differential einer Funktion}] In der in \ref{gdK} erkl"arten Anschauung f"ur ebene Kovektorfelder als \glqq Liniendichten\grqq\ w"are das Differential einer Funktion auf der Ebene, aufgefa"st als die H"ohe in einer Landkarte in Metern, salopp gesprochen zu verstehen als eine Linearisierung des durch die H"ohenlinien gegebenen Bildes, mit einer H"ohenlinie pro Meter und wo wir nur die H"ohenlinie durch unseren Punkt und ein paar H"ohenlinien oberhalb einzeichnen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Darstellung von Kovektorfeldern in Koordinaten}] Ist speziell $X =\Bbb{R}^{n}$ und $U\co\Bbb{R}^{n}$ offen und bezeichnet\label{KovK} $x_{i} : U \ra \Bbb{R}$ die Restriktion der $i$-ten Koordinate auf $U$, so ist $\diff x_{i} : U \ra (\Bbb{R}^{n})^{\ast}$ konstant die $i$-te Koordinate selber. Die Bezeichnung $\diff x_{i} $ f"ur dieses konstante Kovektorfeld vereinbaren wir allgemeiner auch f"ur beliebige Teilmengen $U\subset \Bbb{R}^{n}$. Die Koordinaten bilden nun eine Basis des Dualraums von $\DR^n$. Folglich l"a"st sich jedes Kovektorfeld auf $U$ schreiben in der Gestalt $\sum a_{i}\diff x_{i}$ mit eindeutig bestimmten $a_{i} : U \ra \Bbb{R}$. Ich vermute, da"s hier der Ursprung der alternativen Bezeichnung von Kovektorfeldern als \glqq Differentialformen\grqq\ zu suchen ist: In gewisser Weise k"onnen wir eben unsere Kovektorfelder als \glqq Linearkombinationen von Differentialen\grqq\ schreiben. F"ur eine differenzierbare Funktion $f: U \ra \Bbb{R}$ auf einer offenen Menge $U \co \Bbb{R}^{n}$ haben wir dann $$\diff f = \sum^{n}_{i=1}\frac{\partial f}{\partial x_{i}} \diff x_{i}$$ Man pr"uft das durch Auswerten beider Seiten an einer Stelle $p\in U$ und Anwenden der so entstehenden Linearformen auf alle Vektoren der Standardbasis des $\DR^n$. Speziell haben wir f"ur $f:\DR\supset A\ra\DR$ differenzierbar mit $A$ halboffen in $\DR$ also $$\diff f=f'(x)\diff x$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{"Ubergang von Vektorfeldern zu Kovektorfeldern}] Gegeben ein endlichdimensionaler reeller Raum $X$ mit einem Skalarprodukt $s$ auf seinem Richtungsraum erinnern wir aus \ref{Grsk} den Isomorphismus $\hat s:\vec X\sira \vec X^\ttop$ gegeben durch die Vorschrift $v\mapsto (w\mapsto s(v,w))$. Jedem Vektorfeld $v:X\supset A\ra \vec X$ k"onnen wir so das Kovektorfeld $$\hat s\circ v: X\supset A\ra \vec X^\ttop$$ zuordnen. Im Spezialfall $(\DR^n,s)$ des Vektorraums $\DR^n$ mit seinem Standardskalarprodukt\label{KoVeV} kennen wir bereits aus \ref{Grsk} die Beziehung \nichtfinal{(Schien mir dort zu fr"uh, "andern!)} $$\diff f= \hat s(\op{grad}f)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Differential einer Funktion mit halboffenem Definitionsbereich}] Ist $f:\DR^n\supset U\ra\DR$ differenzierbar auf einer halboffenen Teilmenge $U\subset\DR^n$, so gilt dasselbe, wenn die partiellen Ableitungen dabei im Sinne unserer Notation \ref{PaLN} als virtuelle partielle Ableitungen verstehen.\label{sFho} Ist speziell $f:\DR\supset I\ra\DR$ differenzierbar auf einem mehrpunktigen Intervall, so gilt $\diff f=f'(x)\diff x$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Anschauliche Bedeutung von Formeln in Differentialen}] Anschaulich gesprochen beschreibt die in \ref{KovK} herausgestellte Gleichung, wie sich der Funktionswert der Funktion $f$ in erster N"aherung "andert, wenn wir an den Koordinaten $x_i$ wackeln: Genauer gilt bei festen $x_1,\ldots,x_n$ f"ur $\delta x_1,\ldots,\delta x_n\in\DR$ so nah bei Null, da"s alles definiert ist, eben $$f(x_1+\delta x_1,\ldots,x_n+\delta x_n)-f(x_1,\ldots,x_n)= \sum^{n}_{i=1}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\delta x_i\;\; + R(\delta x_1,\ldots,\delta x_n)$$ mit einem Rest $R$, der auch nach dem Teilen durch das Maximum der Betr"age aller $\delta x_i$ noch gegen Null strebt, wenn alle $\delta x_i$ gegen Null streben. Hierbei ist zu verstehen, da"s die fraglichen partiellen Ableitungen an unserer festen Stelle $(x_1,\ldots,x_n)$ ausgewertet werden sollen, und um die partiellen Ableitungen zu bilden, m"ussen die $x_i$ nat"urlich noch als variabel gedacht werden. Vielleicht w"are es hier konsistenter gewesen, die partiellen Ableitungen $\partial_i f$ zu notieren oder sogar $(\partial_i f)(x_1,\ldots,x_n)$ um anzudeuten, da"s sie ja an der festen Stelle $(x_1,\ldots,x_n)$ auszuwerten sind. Bei komplizierteren Formeln f"uhrt aber gr"o"sere Pr"azision auch nicht notwendig zu besserer Verst"andlichkeit. Die Notation $\delta x_i$ k"onnten wir zu $\delta_i$ abk"urzen, aber dann wirkt die Formel weniger suggestiv. K"urzen wir auch noch die linke Seite zu $\delta f$ ab, so k"onnen wir unsere Identit"at mit der in \ref{ReAp} eingef"uhrten Notation auch schreiben als die "Ubereinstimmung erster Ordnung von Funktionen der \glqq Verr"uckungen\grqq\ $\delta x_i$ in der Gestalt $$\delta f\sim^1_0 \sum^{n}_{i=1}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\delta x_i$$ \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}\label{pog} Die Funktion $f:\DR^3\backslash 0\ra\DR$, $v\mapsto 1/\|v\|$ hat mit der Konvention $v\pdef(x,y,z)$ das Differential $\diff f=-(x\diff x + y\diff y + z\diff z)/\|v\|^3$. \end{Beispiel} \begin{Definition}[\textbf{Ableiten einer Funktion in Richtung eines Vektorfeldes}] Gegeben ein endlichdimensionaler reeller Raum $X$, eine offene\label{AWVF} Teilmenge $U \co X$, ein Vektorfeld $A: U \rightarrow \vec{X}$ und eine differenzierbare Funktion $f: U \rightarrow \Bbb{R}$ erkl"aren wir eine Funktion $(Af): U \rightarrow \Bbb{R}$ dadurch, da"s ihr Wert bei $p$ die Richtungsableitung \ref{DeDii} von $f$ bei $p$ in der Richtung $A_p$ sein soll, in Formeln \begin{equation*} (Af)(p) \pdef ({\op{D}}_{A_p}f)(p) \end{equation*} Wir sagen dann auch, die Funktion $Af$ entstehe aus $f$ durch {\bf Ableiten in Richtung des Vektorfelds $A$}. \index{Ableitung!nach Vektorfeld} Per definitionem entsteht diese Funktion auch durch das Paaren des Vektorfelds $A$ mit dem durch das Differential der Funktion $f$ gegebenen Kovektorfeld $\diff f$, in Formeln $Af=\langle \diff f,A \rangle$. Diese Darstellung hat den Vorteil, f"ur $U$ halboffen sinnvoll zu bleiben. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Darstellung von Vektorfeldern in Koordinaten}] Meist werden Vektorfelder identifiziert mit den zugeh"origen Differentialoperatoren.\label{pavf} So notiere ich etwa das konstante Vektorfeld $\vec v$ wie die zugeh"orige Richtungsableitung ${\op{D}}_{\vec v}$ insbesondere dann, wenn es auf eine Funktion angewendet werden soll. \index{D@${\op{D}}_{\vec v}$ konstantes Vektorfeld} Spezieller bezeichnet man das konstante Vektorfeld mit Wert $\vec{\op{e}}_i$ auf $\Bbb{R}^n$ oft als \glqq das Vektorfeld $\frac{\partial}{\partial x_i}$\grqq\ oder \glqq das Vektorfeld $\partial_i$\grqq\ \index{d@$\partial_i$ Vektorfeld} und im Fall nicht nummerierter Koordinaten wie etwa $x,y,z$ auf $\DR^3$ schreiben wir f"ur die fraglichen Vektorfelder auch $\partial_x,\partial_y,\partial_z$\index{d@$\partial_x$ Vektorfeld} und dergleichen. Sicher l"a"st sich f"ur $U\subset \DR^n$ jedes Vektorfeld auf $U$ schreiben in der Gestalt $$\sum c_{i}\partial_{i}$$ mit eindeutig bestimmten $c_{i} : U \ra \Bbb{R}$. Paaren wir das Vektorfeld $\sum c_{i}\partial_{i}$ auf $\DR^n$ mit dem Kovektorfeld $\sum a_{i}\diff x_{i}$, so ergibt sich die Funktion $\sum a_{i}c_{i}$. In unserer Notation \ref{EKV} und mit dem Kroneckerdelta haben wir n"amlich $$\langle \diff x_i,\partial_j \rangle=\delta_{ij}$$ \end{Bemerkungl} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth] {SkriptenBilder/BildVVe}\\[4mm] \noindent Ganz links ist zuerst ein Vektorfeld auf der Ebene abgebildet, das unter der orthogonalen Projektion auf die $x$-Achse verwandt ist zu einem ebenfalls eingezeichneten konstanten Vektorfeld auf der $x$-Achse. In der Mitte dann ein Vektorfeld auf der Ebene, das unter dieser Projektion zu keinem Vektorfeld auf der $x$-Achse verwandt ist. Schlie"slich ganz rechts die konstante Abbildung der $y$-Achse auf einen Punkt der $x$-Achse und ein Vektorfeld auf der $x$-Achse, das darunter zu keinem Vektorfeld auf der $y$-Achse verwandt ist. \end{figure} \subsection{Verwandtschaft} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion des Verwandtschaftsbegriffs}] Zentral f"ur das weitere sind die zu unseren jeweiligen Feldern geh"origen Verwandtschaftsbegriffe, die wir im folgenden diskutieren. Im Fall der $\phi$-Verwandtschaft unter einem Diffeomorphismus $\phi$ mit einer halboffenen Teilmenge eines $\DR^n$ mag man sich darunter eine \glqq Darstellung in lokalen Koordinaten\grqq\ denken, aber das Konzept tr"agt weiter. Unsere Vektorfelder m"ussen im allgemeinen weder \glqq Vorw"artsverwandte\grqq\ noch, anders als man es als Mensch gewohnt ist, \glqq R"uckw"artsverwandte\grqq\ haben. Bei Kovektorfeldern ist es etwas besser, sie haben immer genau einen \glqq R"uckw"artsverwandten\grqq. Wir beginnen unsere Diskussion mit der einfacheren und grundlegenderen Diskussion der Verwandtschaft von Funktionen und von Wegen. Eine wesentliche Eigenschaft von Verwandtschaft, die \glqq Transitivit"at\grqq, besprechen wir erst in \ref{VerT}. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}[\textbf{Verwandtschaft von Funktionen}] Gegeben eine\label{VerWF} Abbildung $\phi :U\ra V$ und reelle Funktionen $g: U \rightarrow \DR$ sowie $f:V \rightarrow \DR$ hei"sen unsere Funktionen {\bf $\phi $-verwandt}\index{verwandt!Funktionen} und wir schreiben $\phi:g\leadsto f$,\index{)4@$\leadsto$ verwandt!Funktionen} wenn gilt $g(x)=f( \phi (x))$ f"ur alle $ x \in U$ alias $$g=f\circ \phi $$ \end{Definition} \begin{Definition}[\textbf{Verwandtschaft von Wegen}] Seien $U$ und $V$ topologische R"aume und $\phi:U\ra V$ eine stetige Abbildung. Zwei Wege $\gamma: I \rightarrow U$ und $\kappa:J \rightarrow V$ hei"sen {\bf $\phi $-verwandt}\index{verwandt!Wege} und wir schreiben $\phi:\gamma\leadsto \kappa$,\index{)4@$\leadsto$ verwandt!Wege} wenn sie denselben Definitionsbereich $I=J$ haben und wenn f"ur alle $ t \in I$ gilt $\kappa(t)=\phi( \gamma (t))$ alias $$\kappa=\phi\circ\gamma$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Auswerten auf Wegen respektiert Verwandtschaft}] Das Auswerten verwandter Funktionen auf verwandten Wegen liefert trivialerweise dieselbe Funktion auf dem Parameterintervall, in Formeln folgt in den Notationen der vorhergehenden Definitionen aus $\phi:g\leadsto f$ und $\phi:\gamma\leadsto \kappa$ also $$g\circ \gamma=f\circ\kappa$$ \end{Bemerkungl} \begin{Definition}[\textbf{Verwandtschaft von Vektorfeldern}] Sei $\phi :U\ra V$ eine differenzierbare\label{VerW} Abbildung zwischen halboffenen Teilmengen endlichdimensionaler reeller R"aume $X$ und $Y$. Vektorfelder $A: U \rightarrow \vec{X}$ und $B:V \rightarrow \vec{Y}$ hei"sen {\bf $\phi $-verwandt}\index{verwandt!Vektorfelder} und wir schreiben $\phi:A\leadsto B$ wie in \ref{VhD}, wenn f"ur alle $ x \in U$ gilt $$(\tiff_x \phi )(A_x) = B_{\phi (x)}$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Summe und Produkt respektieren Verwandtschaft}] Gegeben in den vorherigen Notationen verwandte Vektorfelder $\phi:A\leadsto B$ und $\phi: C\leadsto D$ haben wir auch $\phi:(A+C)\leadsto (B+D)$. Gegeben weiter verwandte Funktionen $\phi:f\leadsto g$ haben wir auch $\phi:fA\leadsto gB$. und, wenn wir schon dabei sind, gegeben zus"atzlich verwandte Funktionen $\phi: h\leadsto k$ haben wir ebenso $\phi:(f+h)\leadsto (g+k)$ und $\phi:fh\leadsto gk$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Ableiten nach Vektorfeldern respektiert Verwandtschaft}] Wenden wir verwandte Vektorfelder auf verwandte differenzierbare Funktionen an, so erhalten wir verwandte Funktionen. Ist genauer $\phi :U\ra V$ eine differenzierbare Abbildung zwischen halboffenen Teilmengen endlichdimensionaler reeller R"aume, so impliziert in Formeln $\phi:A\leadsto B$ und $\phi:g\leadsto f$ bereits $\phi:Ag\leadsto Bf$ oder umgeschrieben $ A (f \circ \phi )=(B f) \circ \phi $. Das folgt direkt aus der Kettenregel in mehreren Ver"anderlichen, wir finden $$\begin{array}{lll}A (f \circ \phi )(p)&=& (\tiff_p(f \circ \phi ))(A_p)\\ &=&(\tiff_{\phi(p)}f \circ \tiff_{p}\phi)(A_p)\\ &=&(\tiff_{\phi(p)}f) (B_{\phi(p)})\\ &=&(B f)(\phi(p)) \end{array} $$ Gilt f"ur Vektorfelder $A,B$ umgekehrt $(Af)\circ \phi=B(f\circ \phi)$ f"ur alle differenzierbaren Funktionen $f$, so folgt auch $\phi:A\leadsto B$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Flu"swege respektieren Verwandtschaft}] Ein Weg $\gamma:I\ra U$ in einer halboffenen Teilmenge $U\subset X$ eines endlichdimensionalen reellen Raums hei"st ein {\bf Flu"sweg}\index{Flu"sweg} eines Vektorfelds $A:U\ra \vec X$, wenn er differenzierbar ist und wenn f"ur alle $t\in I$ gilt $\gamma'(t)=A_{\gamma(t)}$. Ist nun $\phi :U\ra V$ eine differenzierbare Abbildung in eine weitere halboffene Teilmenge $V$ eines endlichdimensionalen reellen Raums $Y$ und $B$ ein Vektorfeld auf $V$ mit $\phi:A\leadsto B$ und $\kappa=\phi\circ \gamma$ der verwandte Weg $\phi:\gamma\leadsto\kappa$ und ist $\gamma$ ein Flu"sweg von $A$, so ist auch $\kappa$ ein Flu"sweg von $B$. Das ist einigerma"sen offensichtlich und wurde bereits im Zusammenhang mit gew"ohnlichen Differentialgleichungen in \ref{VhD} besprochen. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}[\textbf{Verwandtschaft von Kovektorfeldern}] Sei $\phi :U\ra V$ eine differenzierbare\label{VerW} Abbildung zwischen halboffenen Teilmengen endlichdimensionaler reeller R"aume $X$ und $Y$. Kovektorfelder $\eta: U \rightarrow \vec{X}^\ast$ und $\omega:V \rightarrow \vec{Y}^\ast$ hei"sen {\bf $\phi $-verwandt}\index{verwandt!Kovektorfelder} und wir schreiben $\phi:\eta\leadsto \omega$,\index{)4@$\leadsto$ verwandt!Vektorfelder} wenn f"ur alle Punkte $ x \in U$ gilt $\eta_{x} = \omega_{\phi (x)}\circ \tiff_x \phi $. Gleichbedeutend mit der transponierten Abbildung zum Differential notiert ist die Forderung, da"s f"ur alle $x\in U$ gilt $$\eta_{x} = (\tiff_x \phi )^\top(\omega_{\phi (x)}) $$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Summe und Produkt respektiert Verwandtschaft}] Gegeben in den vorherigen Notationen verwandte Kovektorfelder $\phi:\eta\leadsto \omega$ und $\phi: \sigma\leadsto \tau$ haben wir auch $\phi:(\eta+\sigma)\leadsto (\omega+\tau)$ und gegeben verwandte Funktionen $\phi:f\leadsto g$ haben wir auch $\phi:f\eta\leadsto g\omega$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Paaren respektiert Verwandtschaft}] Sei $\phi :U\ra V$ eine differenzierbare\label{VerW} Abbildung zwischen halboffenen Teilmengen endlichdimensionaler reeller R"aume $X$ und $Y$. Seien $A:U\ra\vec{X}$ sowie $B:V\ra\vec{Y}$ Vektorfelder und $\omega:U\ra\vec{X}^\ast$ sowie $\eta: V\ra\vec{Y}^\ast$ Kovektorfelder. So gilt $$(\phi:A\leadsto B\text{ und }\phi:\omega\leadsto\eta)\RA \phi:\langle\omega,A\rangle\leadsto \langle\eta,B\rangle$$ \end{Bemerkungl} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth] {SkriptenBilder/BildVSch}\\[4mm] \noindent Dieses Bild soll den Effekt der Scherung $\phi:\DR^2\sira \DR^2$, $(x,y)\mapsto (x+y,y)$ auf dem Kovektorfeld $\diff y$ und dem Vektorfeld $\partial_y$ darstellen. Bei der bildlichen Darstellung unseres Kovektorfelds folgen wir den auf Seite \pageref{BDKO} im Anschlu"s an \ref{VFKF} eingef"uhrten Konventionen. Man erkennt, da"s $\diff y$ unter dieser Scherung verwandt ist zu sich selber, in Formeln $\phi:\diff y\leadsto \diff y$, wohingegen $\partial_y$ verwandt ist zu $\partial_x+\partial_y$, in Formeln $\phi:\partial_y\leadsto \partial_x+\partial_y$. Alternativ und im wesentlichen gleichbedeutend mag man sich auch auf den Standpunkt stellen, da"s wir auf dem Wertebereich von $\phi$ ein \glqq verschertes Koordinatensystem\grqq\ $(u,v)$ eingef"uhrt haben mit $u$ und $v$ den Komponenten der zu $\phi$ inversen Abbildung, also $u(x,y)=x-y$ und $v(x,y)=y$. Dann erhalten wir statt der obigen Verwandtschaften die Formeln $\diff v=\diff y$ sowie $ \partial_v=\partial_x+\partial_y$. \end{figure} % \begin{Bemerkungl} % Die Definition dieser Verwandtschaftsbeziehungen sollte als % ein integraler Bestandteil der Definition von Vektorfeldern % und von Kovektorfeldern verstanden werden. % Wenn man in Koordinaten arbeitet % \end{Bemerkungl} % Sei $\phi :U\ra V$ eine differenzierbare\label{VerW} % Abbildung zwischen halboffenen Teilmengen endlichdimensionaler reeller R"aume % $X$ und $Y$. \begin{Bemerkungl}[\textbf{Existenz und Eindeutigkeit von Verwandten}] Unter einer differenzierbaren Bijektion zwischen halboffenen Teilmengen endlichdimensionaler reeller R"aume mit\label{ZHEF} differenzierbarer Umkehrabbildung haben alle Vektorfelder, Kovektorfelder, Wege und Funktionen jeweils genau einen Verwandten und unter der Identit"at sind sie jeweils selbst dieser einzige Verwandte. Ist allgemeiner $\phi :U\ra V$ eine beliebige differenzierbare Abbildung von einer halboffenen Teilmenge eines endlichdimensionalen reellen Raums $U\subset X$ in eine weiteren reellen Raum $Y$, die in einer Teilmenge $V\subset Y$ landet, so hat jedes Kovektorfeld $\omega$ auf $V$ immer noch genau einen \glqq R"uckw"artsverwandten\grqq\ auf $U$, der eben gegeben wird durch die Formel $\eta_{x} = (\diff_x \phi )^\top(\omega_{\phi (x)})$. F"ur diesen eindeutig bestimmten R"uckw"artsverwandten von $\omega$ unter $\phi$ vereinbaren wir die Notation $$\phi ^\ast (\omega)$$ Er hei"st das {\bf mit $\phi $ zur"uckgezogene} oder {\bf zur"uckgeholte Kovektorfeld}.\index{R"uckzug!von Kovektorfeld} Ebenso hat jede Funktion $f$ auf $V$ genau einen \glqq R"uckw"artsverwandten\grqq, n"amlich die Funktion $f\circ \phi $, die man auch die {\bf mit $\phi $ zur"uckgezogene Funktion}\index{R"uckzug!von Funktionen} nennt und manchmal $\phi ^\ast(f)$ notiert. Bei Vektorfeldern liegen die Verh"altnisse nicht so einfach, aber ist $\phi$ surjektiv, so hat jedes Vektorfeld auf $U$ zumindest nicht mehr als einen \glqq Vorw"artsverwandten\grqq\ auf $V$, und ist das Differential von $\phi$ an jeder Stelle bijektiv, so hat jedes Vektorfeld auf $V$ genau einen R"uckw"artsverwandten auf $U$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Weil Verwandtschaft Summe und Produkt respektiert, mu"s auch das Zur"uckholen Summe und Produkt von Funktionen und Kovektorfeldern respektieren, in Formeln $\phi^*(\omega+\tau)=\phi^*(\omega)+\phi^*(\tau)$ und $\phi^*(g\omega)=\phi^*(g)\phi^*(\omega)$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Differential respektiert Verwandtschaft}] Verwandte Funktionen haben verwandte Differentiale. Ist genauer $\phi :U\ra V$ eine differenzierbare\label{VFVD} Abbildung zwischen halboffenen Teilmengen endlichdimensionaler reeller R"aume, so impliziert in Formeln $\phi:g\leadsto f$ bereits $ \phi:\diff g\leadsto \diff f$. Gleichbedeutend haben wir f"ur alle $f$ die Identit"at $\phi ^\ast(\diff f)=\op{d} (\phi ^\ast(f) )=\op{d} (f\circ \phi )$. In der Tat gilt f"ur jeden Punkt $y$ nach der Definition der Verwandtschaft und der Kettenregel $$(\phi ^\ast(\diff f))_y=(\diff_{\phi(y)} f)\circ \tiff_y\phi= \op{d}_y (f\circ \phi )$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Verwandtschaft von Gradienten}] Gegeben $U, V\co\DR^n$ und ein $\mathcal C^1$-Diffeomorphismus $\phi:U\sira V$ haben verwandte differenzierbare Funktionen zwar verwandte Differentiale, aber im allgemeinen keineswegs verwandte Gradienten. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Sonderf"alle der Verwandtschaft von Gradienten}] Ich gebe Voraussetzungen an, unter denen verwandte Funktionen ausnahmsweise doch verwandte Gradienten haben. Ist etwa $\phi$ die Einschr"ankung eines Isomorphismus von affinen R"aumen mit orthogonalem linearen Anteil $\vec \phi\in\op{O}(n)$ und $f:V\ra \DR$ differenzierbar, so haben wir $$\phi: \op{grad}(f\circ \phi)\leadsto \op{grad}(f)$$ In der Tat ist unter diesen Annahmen die Verwandtschaft $\phi:v\leadsto w$ von Vektorfeldern gleichbedeutend zur Verwandtschaft $\phi:\hat s\circ v\leadsto \hat s\circ w$ von Kovektorfeldern und unsere Verwandtschaft von Gradienten so nach \ref{KoVeV} gleichbedeutend zur Verwandtschaft der Differentiale $\phi:\op{d} (f\circ \phi)\leadsto \diff f$. Sind allgemeiner $\phi:X\sira Y$ ein Isomorphismus von endlichdimensionalen affinen R"aumen und $s,t$ Skalarprodukte auf $\vec X$ beziehungsweise $\vec Y$ und ist $\vec\phi:\vec X\sira \vec Y$ daf"ur orthogonal, ist in anderen Worten $\phi$ ein isometrischer Isomorphismus, so erhalten wir f"ur unsere verallgemeinerten Gradienten aus \ref{JMGG} mit derselben Argumentation $$\phi: \op{grad}_s(f\circ \phi)\leadsto \op{grad}_t(f)$$ Noch allgemeinere Aussagen in dieser Richtung diskutieren wir in \ref{VertrV}. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Partielle Ableitungen in lokalen Koordinaten}] Gegeben ein endlichdimensionaler affiner Raum $X$ und eine halboffene Teilmenge $U \subset X$\label{palok} und ein Diffeomorphismus alias ein System lokaler Koordinaten $(x_1, \ldots, x_n) : U \sira V $ mit einer halboffenen Teilmenge $V \subset \DR^n$ bezeichnet man mit $\frac{\partial}{\partial x_i}$ oder $\partial_i$ auch diejenigen Vektorfelder auf $U$, die unter diesem Diffeomorphismus zu den eben eingef"uhrten Vektorfeldern auf $\Bbb{R}^n$ verwandt sind. Man beachte jedoch, da"s f"ur eine einzelne Funktion $x : U \rightarrow \Bbb{R}$ nicht sinnvoll ein Vektorfeld $\frac{\partial}{\partial x}$ auf $U$ erkl"art werden kann: Selbst wenn sich unsere Funktion zu einem Koordinatensystem erg"anzen lassen sollte, wird doch das durch diese Erg"anzung erkl"arte Vektorfeld $\frac{\partial}{\partial x} $ wesentlich von der Wahl der anderen Koordinaten abh"angen. All das steht im Gegensatz zum Differential $\diff x$ einer Funktion $x$, das durchaus auch f"ur eine einzelne Funktion sinnvoll definiert ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Kovariante und kontravariante Transformation}] Zumindest unter linearen Koordinatentransformationen\label{KoKov} verhalten sich Kovektorfelder \glqq so wie Koordinaten\grqq. Ist etwa $x_1,\ldots, x_n$ ein System linearer Koordinaten auf einem reellen Vektorraum $X$ im Sinne einer Familie von linearen Abbildungen $x_i:X\ra \DR$, die zusammen einen Isomorphismus $X\sira\DR^n$ liefern, und ist $y_1,\ldots, y_n$ ein anderes System linearer Koordinaten, und haben wir etwa $y_i=\sum_j a_{ij}x_j$ f"ur eine Matrix von reellen Zahlen $a_{ij}$, so gilt die Identit"at von Kovektorfeldern $\diff y_i=\sum_ja_{ij}\diff x_j$. F"ur die durch unsere Koordinatensysteme bestimmten Vektorfelder haben wir dahingegen umgekehrt $$\frac{\partial}{\partial x_j}=\sum_ia_{ij}\frac{\partial}{\partial y_i}$$ und ben"otigen die inverse Matrix, um $\frac{\partial}{\partial y_i}$ durch die $\frac{\partial}{\partial x_j}$ auszudr"ucken. In diesem Sinne \glqq transformieren sich Kovektorfelder wie Koordinaten\grqq\ und hei"sen deshalb auch \glqq kovariant\grqq, wohingegen Vektorfelder sich \glqq vermittels der inversen transponierten Matrix transformieren\grqq\ und deshalb \glqq kontravariant\grqq\ hei"sen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Transitivit"at von Verwandtschaft}] Seien $\phi :U\ra V$ und $\psi :V\ra W$ differenzierbare Abbildung\label{VerT} zwischen halboffenen Teilmengen endlichdimensionaler reeller R"aume. Ist ein Vektorfeld $C$ auf $W$ unter $\psi $ verwandt zu $B$, so ist auch $A$ unter $\psi \circ \phi $ verwandt zu $C$, in Formeln implizieren $\phi:A\leadsto B$ und $\psi:B\leadsto C$ also $\psi\circ \phi:A\leadsto C$. Analoges gilt f"ur Wege und Funktionen und Kovektorfelder und l"a"st sich in den beiden letzteren F"allen auch schreiben als $(\psi \circ \phi )^\ast=\phi ^\ast \circ \psi ^\ast$, so da"s etwa f"ur jedes Kovektorfeld $\kappa$ auf $W$ gilt $$(\psi \circ \phi )^\ast(\kappa)=\phi ^\ast ( \psi ^\ast(\kappa))$$ Aus Gr"unden der formalen Vollst"andigkeit sei noch erg"anzt, da"s unter der Identit"at, wie bereits in \ref{ZHEF} erw"ahnt, jedes Vektorfeld und jedes Kovektorfeld und jede Funktion und jeder Weg verwandt ist zu sich selber und nur zu sich selber. Es gilt also in Formeln $(\op{id}:A\leadsto B)\IFF A=B$ und dergleichen. Weiter sei erw"ahnt, da"s $W$ f"ur alle diese "Uberlegungen sogar eine beliebige Teilmenge eines endlichdimensionalen reellen Raums sei darf. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Zur"uckholen von Kovektorfeldern in Koordinaten}] Im Fall $X=\Bbb{R}^n$ mit Koordinaten $x_1, \ldots , x_{n}$ und $Y = \Bbb{R}^{m}$ mit Koordinaten $y_{1}, \ldots , y_{m}$ und $\phi=(\phi_1,\ldots,\phi_m)$ eine differenzierbare\label{ZHeF} Abbildung von einer halboffenen Teilmenge von $\DR^n$ in eine halboffene Teilmenge von $\DR^m$ ergibt sich $ \phi^{\ast} (\diff y_{j}) = \op{d} (\phi^{\ast} y_{j}) =\diff \phi_{j} = \sum_{i} \frac{\partial \phi_{j}}{\partial x_{i}} \diff x_{i}$, da das Differential Verwandtschaft respektiert \ref{VFVD} und wir f"ur das Differential einer Funktion bereits die explizite Formel \ref{DiFF} kennen. Folglich kann das Zur"uckholen von Kovektorfeldern in Koordinaten beschrieben werden durch die Formel $$\phi^{\ast} \left(\sum_{j} b_{j}\diff y_{j}\right) =\sum_{i,j}\left( (b_{j} \circ \phi) \frac{\partial \phi_{j}}{\partial x_{i}}\right)\; \diff x_{i} $$ \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Verwandtschaften unter der Polarkoordinatenabbildung}] Wir betrachten die Polarkoordinatenabbildung\label{BsPK} $$\begin{array}{cccl} P:&\DR^2&\ra&\DR^2\\ & (r,\varphi)& \mapsto& (r \cos \varphi, r \sin \varphi) \end{array}$$ und benutzen die "ublichen Koordinaten $x,y$ auf dem Wertebereich. Unter dieser Abbildung ist etwa das Kovektorfeld $\diff x$ auf dem Wertebereich verwandt zum Kovektorfeld $$P^*(\diff x)=\op{d} (P^*x)=\op{d} (x\circ P)=\op{d}(r \cos \varphi )=(\cos \varphi )\diff r -(r\sin \varphi )\diff\varphi$$ Ebenso ist das Kovektorfeld $\diff y$ auf dem Wertebereich unter $P$ verwandt zum Kovektorfeld $\op{d}(r \sin \varphi )=(\sin \varphi )\diff r +(r\cos \varphi )\diff\varphi$. Um einen Verwandten f"ur $\partial_\varphi$ zu suchen, wenn dieses Vektorfeld denn einen Verwandten haben sollte, machen wir den Ansatz $\partial_\varphi\leadsto a\partial_x+ b\partial_y$ mit unbestimmten Funktionen $a,b$ und finden durch Paaren mit $\diff x$ leicht $-(r\sin \varphi )\leadsto a$ und durch Paaren mit $\diff y$ ebenso $(r\cos \varphi )\leadsto b$, womit wir f"ur das Vektorfeld $\partial_\varphi$ links als einzigen Verwandten das Vektorfeld $-y\partial_x+x\partial_y$ rechts finden. Das Vektorfeld $\partial_r$ links hat keinen Verwandten rechts, denn derselbe Ansatz $\partial_r\leadsto a\partial_x+ b\partial_y$ f"uhrt zu $P:\sin \varphi\leadsto a$ und $P:\cos \varphi\leadsto b$ und derartige Funktionen $a,b$ gibt es nicht. Schr"anken wir jedoch unsere Polarkoordinatenabbildung ein zu einer Abbildung $P:\{(r,\varphi)\mid r>0\}\ra \DR^2\backslash 0$, so gibt es derartige Funktionen doch und unser Vektorfeld $\partial_r$ hat unter dieser Einschr"ankung den einzigen Verwandten $$\partial_r\leadsto \left(x/\sqrt{x^2+y^2}\right)\partial_x + \left(y/\sqrt{x^2+y^2}\right) \partial_y$$ Meist wird man mit diesen Begriffen etwas gro"sz"ugiger umgehen, zwischen verwandte Objekte schlicht ein Gleichheitszeichen schreiben und es auch mit den Definitionsbereichen nicht so genau nehmen, so da"s wir etwa schreiben w"urden \begin{eqnarray*} \partial_r &=& (\cos \varphi) \partial_x + (\sin \varphi) \partial_y= \left(x/\sqrt{x^2+y^2}\right)\partial_x + \left(y/\sqrt{x^2+y^2}\right) \partial_y\\ \partial_\varphi &=& -(r \sin \varphi) \partial_x + (r \cos \varphi) \partial_y=-y\partial_x+x\partial_y\\[2mm] \partial_x &=& (\cos \varphi) \partial_r - \left(r^{-1}\sin \varphi\right) \partial_{\varphi}\\ \partial_y &=& (\sin \varphi) \partial_r + \left(r^{-1}\cos \varphi\right) \partial_\varphi\\[2mm] \diff x&=&(\cos \varphi )\diff r -(r\sin \varphi )\diff\varphi\\ \diff y&=&(\sin \varphi )\diff r +(r\cos \varphi )\diff\varphi\\[2mm] \diff \varphi&=&\left(-y/(x^2+y^2)\right)\diff x + \left(x/(x^2+y^2)\right)\diff y\\ \diff r&=&\left(x/\sqrt{x^2+y^2}\right)\diff x + \left(y/\sqrt{x^2+y^2}\right)\diff y \end{eqnarray*} Das kann allerdings nur dann gutgehen, wenn die Bezeichnung der Koordinaten dem Leser erlaubt zu erraten, welche Art von Verwandtschaft gemeint ist. Man kann die unteren Formeln auch so verstehen, da"s eben $\diff r$ das Differential der Funktion $r:(\DR^2\backslash 0)\ra\DR$, $(x,y)\mapsto r(x,y)$ meint. Bei $\diff \varphi$ wird es schon kritischer, da ja eigentlich $\varphi$ nur auf geschlitzten Ebenen definiert werden kann. Allerdings unterscheiden sich die auf verschiedenen geschlitzten Ebenen definierten $\varphi$ nur um additive Konstanten, so da"s sie alle dasselbe Differential haben und wir ausnahmsweise doch ein wohldefiniertes Kovektorfeld $\diff \varphi$ auf $\DR^2\backslash 0$ erhalten. Das ist auch der tiefere Grund daf"ur, da"s alle unsere Standardvektorfelder in diesem Fall unter der Einschr"akung $r>0$ wohldefinierte Verwandte haben und wir mit unseren Gleichheitszeichen nicht in Teufels K"uche kommen. Bei komplizierteren Vektorfeldern s"ahe das anders aus: So hat etwa das Vektorfeld $\varphi\partial_\varphi$ gar keinen Verwandten, es sei denn, wir schr"anken unsere Polarkoordinatenabbildung noch weiter ein. \end{Beispiel} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildVeKu}\\[4mm] \noindent Einige Werte des Vektorfelds $\partial_r$ als durchgezogene Pfeile und des Vektorfeld $\partial_\varphi$ als gepunktelte Pfeile, gezeichnet in der $xy$-Ebene. \end{figure} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Unter der Inversion am Einheitskreis $\DR^2\backslash 0\sira \DR^2\backslash 0$, $(x,y)\mapsto (u,v)\pdef(x^2+y^2)^{-1}(x,y)$ zeige man die Verwandtschaft von Vektorfeldern\label{VWER} $$\begin{array}{lll} \partial_x&\leadsto& (v^2-u^2)\partial_u-2uv\partial_v \\ \partial_y&\leadsto& (u^2-v^2)\partial_v-2uv\partial_u \end{array}$$ \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben auf einer halboffenen Teilmenge $U\subset E$ eines $n$-dimen\-sionalen reellen Raums Vektorfelder $A_1,\ldots, A_n$ und Kovektorfelder $\omega_1,\ldots,\omega_n$ mit\label{dkVF} $\langle \omega_i,A_j\rangle=\delta_{ij}$ an jeder Stelle $p\in U$ gilt f"ur jede differenzierbare Funktion $f:U\ra\DR$ die Identit"at $\diff f=(A_1f)\omega_1+\ldots+(A_nf)\omega_n$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man bestimme die R"uckw"artsverwandten unter $\op{exp}:\DC\ra\DC$ von $\partial_x$ und $\partial_y$. \end{Ubung} \subsection{Gradienten in krummlinigen Koordinaten*}\label{GKK} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Motivation und erstes Beispiel}] Gegeben eine halboffene Teilmenge $U\subset \DR^n$ und eine partiell differenzierbare Funktion $f : U \rightarrow \Bbb{R}$ erkl"art man wie in \ref{GrAd} ihren {\bf Gradienten}\index{Gradient} als das Vektorfeld \begin{equation*} \op{grad} f \;\pdef \;\frac{\partial f}{\partial x_1} \partial_1 + \ldots + \frac{\partial f}{\partial x_n} \partial_n \end{equation*} auf $U$. Ich will nun diskutieren, welche Form dieses Konstrukt in krummlinigen Koordinaten annimmt. Formal ist damit folgendes gemeint: Man betrachte zus"atzlich eine halboffene Teilmenge $V \subset \Bbb{R}^n$ und einen Diffeomorphismus $\phi : V \sira U$. Nun finde man Vektorfelder $A_1,\ldots, A_n$ auf $V$ mit $$\phi:\; (A_1(f\circ \phi))\partial_1 + \ldots +(A_n(f\circ \phi))\partial_n\;\leadsto\; (\partial_1f)\partial_1 + \ldots +(\partial_nf)\partial_n$$ In der Notation wird vielfach $\phi $ einfach weggelassen und nur die Bezeichnungen der Koordinaten deuten das Gemeinte an. Ist etwa $ \phi =P:\DR_{>0}\times (-\pi,\pi)\sira \{(x,y)\mid y=0\RA x>0\}$ wie in \ref{BsPK} die Polarkoordinatenabbildung, so erhalten wir mit den Formeln aus \ref{BsPK} sofort $f_x = \cos \varphi\; f_r - r^{-1}\sin \varphi\; f_{\varphi}$ und $f_y = \sin \varphi\; f_r + r^{-1}\cos \varphi\; f_\varphi$ und nach kurzer Rechnung die Verwandtschaft von Vektorfeldern $$P: \big(\partial_r(f\circ P)\big) \partial_r + \frac{1}{r^2} \big(\partial_\varphi(f\circ P)\big) \partial_\varphi \leadsto (\partial_xf)\partial_x +(\partial_yf)\partial_y$$ oder kurz gefa"st $ \op{grad} f =f_x\partial_x +f_y\partial_y= f_r \partial_r + \frac{1}{r^2} f_\varphi \partial_\varphi $. Man nennt sie die {\bf Darstellung des Gradienten in Polarkoordinaten}.\index{Polarkoordinaten!Gradient in} Hier haben wir die Notation $f_x=\frac{\partial f}{\partial x}$ f"ur die entsprechende partielle Ableitung aus \ref{dpA} und die Abk"urzung $\partial_x=\frac{\partial }{\partial x}$ aus \ref{pavf} f"ur den besagten Differentialoperator alias besagtes Vektorfeld verwendet. Bereits bei der Transformation des Gradienten in Kugelkoordinaten wird die Rechnung jedoch recht aufwendig. Ich will im folgenden erkl"aren, mit welchen Kunstgriffen man sie strukturieren und "ubersichtlicher gestalten kann. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Tensornotation f"ur Bilinearformen}] Gegeben ein Vektorraum $V$ "uber einem K"orper $k$ notieren wir \index{Bil@$\op{Bil}$ Bilinearformen} $$\op{Bil}(V)=\op{Bil}_k(V)$$ den Vektorraum aller bilinearen Abbildungen $V\times V\ra k$ alias Bilinearformen auf $V$. Gegeben Linearformen $\lambda, \eta:V\ra k$ notieren wir $(\lambda\otimes\eta) \in \op{Bil}(V)$ die\index{)8a@$\otimes$ Tensorprodukt!von Linearformen} Bilinearform $(v,w)\mapsto \lambda(v)\eta(w)$. Sicher ist $(\lambda,\eta)\mapsto \lambda\otimes\eta$ selbst eine bilineare Abbildung $V^\ast\times V^\ast\ra \op{Bil}(V)$. Statt $\eta\otimes\eta$ schreibt man meist k"urzer $\eta^{\otimes 2}$. Das Symbol $\otimes$ wird in \eref{DefT}{LA2} noch mit zus"atzlicher Bedeutung aufgeladen. Hier darf und soll es ausschlie"slich als bequeme Notation verstanden werden. Wir nennen $\lambda\otimes\eta$ das {\bf Tensorprodukt}\index{Tensorprodukt!von Linearformen} unserer Linearformen. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Seien $X$ ein endlichdimensionaler reeller Raum und $U \subset X$ eine Teilmenge. Ein \defnoind{Zweitensor}\index{Tensor!Zweitensor} oder genauer ein {\bf relativer kovarianter Zweitensor auf} $U$ ist eine Abbildung $$g :U \rightarrow \op{Bil}(\vec{X})$$ von $U$ in den Raum $\op{Bil}(\vec{X})$ aller Bilinearformen auf $\vec{X}$. Eine {\bf riemannsche Metrik}\index{Riemann!riemannsche Metrik} auf einer halboffenen Teilmenge $U\subset X$ ist ein glatter Zweitensor $g$, der jedem Punkt $p \in U$ ein Skalarprodukt $g_p$ auf $\vec{X}$ zuordnet. \end{Definition} \begin{Beispiel} Auf dem $\DR^n$ ist der konstante Zweitensor, der jedem Punkt das Stan\-dard\-ska\-lar\-pro\-dukt auf dem $\Bbb{R}^n$ zuordnet, eine riemannsche Metrik $s$. Sie hei"st die {\bf Standardmetrik}\index{Standardmetrik!auf $\Bbb{R}^n$} auf dem $\Bbb{R}^n$. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Einschr"ankung von Zweitensoren}] Gegeben ein endlichdimensionaler Raum $X$ und ein Zweitensor $g$ auf einer halboffenen Teilmenge $U\subset X$ und eine weitere halboffene Teilmenge $V\subset X$ mit $V\subset U$ erhalten wir durch Einschr"ankung einen Zweitensor $g|V$ auf $V$. War $g$ eine riemannsche Metrik, so ist auch $g|V$ eine riemannsche Metrik. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Notation f"ur Zweitensoren}] Gegeben Kovektorfelder $\omega$ und $\eta$ auf einer Teilmenge $U$ eines endlichdimensionalen reellen Raums $X$ k"onnen wir den Zweitensor $$\begin{array}{cccc} \omega \otimes \eta :&U &\rightarrow &\op{Bil} (\vec{X})\\ & p& \mapsto &\omega_p \otimes \eta_p \end{array}$$ bilden. Wir k"onnen Zweitensoren punktweise addieren und mit Funktionen multiplizieren. Wir k"onnen unsere konstante riemannsche Standardmetrik auf $\Bbb{R}^n$ in diesen Konventionen schreiben als $s = \diff x_1^{ \otimes 2} + \ldots +\diff x_n^{ \otimes 2}$. Eine beliebiger Zweitensor $g$ auf einer halboffenen Teilmenge $U\subset \Bbb{R}^n$ hat in diesen Notationen die Gestalt \begin{equation*} \sum^n_{i,j=1} g_{ij} \diff x_i \otimes \diff x_j \end{equation*} f"ur Funktionen $g_{ij} : U \rightarrow \Bbb{R}$. Er ist eine riemannsche Metrik genau dann, wenn die $g_{ij}$ glatte Funktionen sind und ihre Werte $g_{ij}(p)$ an jedem Punkt $p \in U$ eine positiv definite symmetrische Matrix bilden. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Partielles Auswerten von Bilinearformen}] Gegeben ein Vektorraum $V$ "uber einem K"orper $k$ liefert jede Bilinearform $g\in \op{Bil}(V)$ eine Abbildung $$ \begin{array}{lccc} \hat g:&V&\ra&V^\ttop\\ &v&\mapsto &(w\mapsto g(v,w)) \end{array} $$ von unserem Vektorraum in seinen Dualraum, die jedem Vektor $v$ die Linearform $g(v,\;)$ zuordnet. Wir nennen sie die {\bf Linkseinsetzung von $g$}.\index{Linkseinsetzung!einer Bilinearform} Zum Beispiel haben wir $(\lambda\otimes\eta)^\wedge: v\mapsto \lambda(v)\eta$. Gleichberechtigt k"onnen wir auch die \glqq Rechts\-ein\-set\-zung\grqq\ betrachten,\index{Rechtseinsetzung!einer Bilinearform} aber sei's drum. Ist $g$ nichtausgeartet und $V$ endlichdimensional, so ist unsere Linkseinsetzung ein Isomorphismus $\hat g:V\sira V^\ttop$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Partielles Auswerten von Zweitensoren}] Gegeben ein Vektorfeld $A$ und ein Zweitensor $g$ auf einer Teilmenge $U$ eines endlichdimensionalen reellen Raums k"onnen wir\label{Grgg} ein Kovektorfeld $\hat g\circ A$ durch das Linkseinsetzen von $A$ in $g$. Ist unser Zweitensor $g$ an keiner Stelle ausgeartet, ist etwa $g$ eine riemannsche Metrik, so ist diese Abbildung eine Bijektion \begin{equation*} (\hat g\circ) : \{ \text{Vektorfelder auf $U$} \} \sira \{ \text{Kovektorfelder auf $U$} \} \end{equation*} Bezeichnet speziell $s$ das Standardskalarprodukt auf dem $\Bbb{R}^n$, so haben wir etwa $\hat s\circ (a \partial_i) = a \;\!\!\diff x_i$ f"ur jede Funktion $a$. F"ur unseren Gradienten aus \ref{GrAd} einer Funktion $f:\DR^n\lco U\ra \DR$ gilt folglich wie bereits in \ref{JMGG} besprochen $ \op{grad} f = \hat s^{-1} (\diff f) $ in Bezug auf die konstante riemannsche Standardmetrik $s$. Im allgemeinen verwendet man die Notation $$\op{grad}_g f\pdef \hat g^{-1} (\diff f)$$ und nennt dies Vektorfeld den {\bf $g$-Gradienten von $f$} zur riemannschen Metrik $g$\index{grad@$\op{grad}_g$ Gradient zu Metrik $g$} oder allgemeiner zum nichtausgearteten Zweitensor $g$. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}[\textbf{Verwandtschaft von Zweitensoren}] Seien $U \subset X$, $V\subset Y$\label{VW2T} Teilmengen endlichdimensionaler reeller R"aume. Sei $U$ halboffen und sei $\phi :U \rightarrow V$ differenzierbar. Vorgegebene Zweitensoren $s$ auf $U$ und $g$ auf $V$ hei"sen \defnoind{$\phi$-verwandt}\index{verwandt!Zweitensoren} und wir schreiben $\phi:s\leadsto g$,\index{)4@$\leadsto$ verwandt!Zweitensoren} wenn f"ur alle $x \in U$ und $\vec v,\vec w \in \vec{X}$ gilt \begin{equation*} s_x (\vec v,\vec w) = g_{\phi(x)} \left( ( \tiff_x \phi)(\vec v), (\tiff_x \phi) (\vec w)\right) \end{equation*} \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Vertr"aglichkeiten unserer Verwandtschaften}] Verwandtschaft ist vertr"aglich mit allen nat"urlichen Operationen, genauer mit Addition, der Multiplikation mit Funktionen, dem Einsetzen von Vektorfeldern und unserer Konstruktion $\otimes$. Insbesondere haben verwandte differenzierbare Funktionen unter verwandten riemannschen Metriken verwandte Gradienten, in Formeln impliziert die Verwandtschaft $\phi:s\leadsto g$ von nichtausgearteten Zweitensoren also\label{VertrV} f"ur jede differenzierbare Funktion $f$ die Verwandtschaft von Vektorfeldern $$\phi:\op{grad}_s(f\circ \phi)\leadsto \op{grad}_gf$$ Offensichtlich hat jeder Zweitensor $g$ auf $V$ genau einen R"uckw"artsverwandten auf $U$, den wir mit $\phi^\ast g$ bezeichnen und den {\bf zur"uckgeholten Zweitensor} nennen. Gegeben eine parametrisierte Fl"ache im Raum oder allgemeiner eine differenzierbare Abbildung $\phi:\DR^2\supset U\ra\DR^3$ mit $U\subset\DR^2$ halboffen bezeichnet man den symmetrischen Zweitensor auf $\DR^2$, der durch das Zur"uckholen der Standardmetrik entsteht, als die {\bf erste Fundamentalform}\index{Fundamentalform, erste} unserer parametrisierten Fl"ache. \end{Bemerkungl} \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildDPo}\\[4mm] \noindent Dies Bild soll die Verwandtschaft von riemannschen Metriken $f: \diff r^{\otimes 2} + r^2 \diff\varphi^{\otimes 2}\leadsto \diff x^{\otimes 2} + \diff y^{\otimes 2}$ verdeutlichen, mit $f=P$ der Polarkoordinatenabbildung. Das Differential an der Stelle $(r,\varphi)=(1\frac{1}{2},\frac{\pi}{2})$ ist dargestellt durch seinen Effekt auf der Standardbasis, die wir auch $(\partial_r,\partial_\varphi)$ notieren k"onnten. Die Standardbasis geht an jeder Stelle "uber in eine Orthogonalbasis und das Bild des ersten Basisvektors hat auch wieder die L"ange Eins, das Bild des zweiten Basisvektors jedoch im allgemeinen die L"ange $r$ und in unserem Fall die L"ange $1\frac{1}{2}$. Die Standardmetrik auf der $xy$-Ebene entspricht folglich einer Metrik auf der $r\varphi$-Ebene, bei der $\partial_r$ und $\partial_\varphi$ aufeinander senkrecht stehen und $\partial_r$ die L"ange Eins hat, wohingegen $\partial_\varphi$ die L"ange $r$ hat. Diese Eigenschaften aber charakterisieren genau unsere Metrik $\diff r^{\otimes 2} + r^2 \diff\varphi^{\otimes 2}$. \end{Bild} \begin{Beispiel}[\textbf{Gradienten in Polarkoordinaten}] Unter der Polarkoordinatenabbildung $P$ aus \ref{BsPK} ist die Standardmetrik $s =\diff x^{\otimes 2} + \diff y^{\otimes 2}$ auf\label{PKMm} der $xy$-Ebene verwandt zum Zweitensor \begin{eqnarray*} g &=& (\cos \varphi \diff r - r \sin \varphi\diff\varphi )\otimes (\cos \varphi \diff r -r\sin \varphi \diff\varphi) \\ &&+ (\sin \varphi \diff r + r \cos \varphi \diff \varphi) \otimes (\sin \varphi \diff r + r \cos \varphi \diff \varphi )\\[2mm] &=& \diff r^{\otimes 2} + r^2 \diff\varphi^{\otimes 2} \end{eqnarray*} auf der $r\varphi$-Ebene, der auf dem Komplement der Nullstellenmenge von $r$ auch wieder eine riemannsche Metrik ist. Da"s hier im Resultat keine gemischten Tensoren $\diff r \otimes \diff\varphi$ auftreten, hat den Grund, da"s die Vektorfelder $\partial_r$ und $\partial_\varphi$ auch in der $xy$-Ebene an jedem Punkt aufeinander senkrecht stehen. Die Koeffizienten $1$ und $r^2$ bedeuten gerade die quadrierten L"angen $s(\partial_r, \partial_r)$ und $s (\partial_\varphi, \partial_\varphi)$ der Vektoren dieser Vektorfelder. F"ur eine Funktion $f = f(x,y)$ mu"s schlie"slich $\diff f$ unter $P$ verwandt sein zu $\op{d} (f\circ P)$ und dann mu"s auch $\op{grad} f =\op{grad}_s f = \hat s^{-1} (\diff f)$ verwandt sein zu $$\op{grad}_g (f\circ P)= \hat g^{-1} (\diff\;(f\circ P)) = \hat g^{-1} (f_r \diff r + f_\varphi \diff \varphi) = f_r \partial_r + \frac{1}{r^2} f_\varphi \partial_\varphi$$ Damit haben wir die Darstellung des Gradienten in Polarkoordinaten ein weiteres Mal hergeleitet. \end{Beispiel} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Im Ingenieurwesen gebr"auchliche alternative Notation}] Ingenieure arbeiten gerne mit einer anderen Darstellung von Vektorfeldern und betrachten etwa auf dem $\DR^2$ die auf Skalarproduktnorm Eins normierten Vektorfelder ${\mathbf e}_r=\partial_r$ und ${\mathbf e}_\varphi= r^{-1}\partial_\varphi$. Nat"urlich kann jedes Vektorfeld $v$ auf dem Komplement des Ursprungs auch als $v=a{\mathbf e}_r+b{\mathbf e}_\varphi$ geschrieben werden mit geeigneten reellwertigen Funktionen $a,b$. In Formelsammlungen findet man h"aufig Formeln f"ur Gradienten und dergleichen in dieser Darstellung, zum Beispiel h"atten wir $\op{grad}f=(\partial_rf){\mathbf e}_r +r^{-1}(\partial_\varphi f){\mathbf e}_\varphi$. Meist hei"sen die Koeffizienten eines Vektorfelds $v=a{\mathbf e}_r+b{\mathbf e}_\varphi$ dann auch noch $a=v_r, b=v_\varphi$. Das verbietet sich f"ur uns jedoch, da wir die Indexnotation bereits als K"urzel f"ur partielle Ableitungen verwenden. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkunge} Ein Zweitensor auf einem endlichdimensionalen reellen Raum $X$ hei"st {\bf symmetrisch}\index{symmetrisch!Zweitensor} beziehungsweise {\bf antisymmetrisch},\index{antisymmetrisch!Zweitensor} wenn er jedem Punkt eine symmetrische beziehungsweise antisymmetrische Bilinearfom auf $\vec{X}$ zuordnet.\label{syasy} Antisymmetrische Zweitensoren werden wir sp"ater als sogenannte $2$-Formen wiedertreffen. Eine riemannsche Metrik ist per definitionem ein symmetrischer Zweitensor mit der zus"atzlichen Eigenschaft, an jedem Punkt positiv definit zu sein. \end{Bemerkunge} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Riemannsche Metrik in Kugelkoordinaten}] Man zeige, da"s die Standardmetrik im $xyz$-Raum unter\label{SMKu} Kugelkoordinaten, wie sie \ref{KuKo} eingef"uhrt werden, verwandt ist zur Metrik \begin{equation*} g = \diff r^{\otimes 2} + r^{2} \diff \vartheta^{\otimes 2} + (r \sin \vartheta)^{2} \diff\varphi^{\otimes 2} \end{equation*} \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Gradient in Kugelkoordinaten}] Man zeige, da"s der Gradient in Kugelkoordinaten, wie sie \ref{KuKo} eingef"uhrt werden,\label{graKu} ausgedr"uckt wird durch die Formel \begin{equation*} \op{grad} f = f_r \partial_r + r^{-2} f_\vartheta \partial_\vartheta + (r \sin \vartheta)^{-2} f_\varphi \partial_\varphi \end{equation*} \end{Ubung} \subsection{Wegintegrale}\label{WII} \begin{Bemerkungl} Ich verallgemeinere die in \eref{BOLLn}{AN1} eingef"uhrte Terminologie. Eine stetige Abbildung von einem mehrpunktigen reellen Intervall in einen topologischen Raum nennen wir einen {\bf Weg}\index{Weg} in unserem Raum. Ist das Definitionsintervall kompakt, sprechen wir von einem {\bf kompakten Weg}\index{Weg!kompakter}. Ist das Definitionsintervall das Einheitsintervall $[0,1]$, so sprechen wir von einem {\bf normierten Weg}\index{Weg!normierter}. Oft lassen wir diese Zus"atze aber auch weg und hoffen, da"s aus dem Kontext hervorgeht, was jeweils gemeint ist. \end{Bemerkungl} \index{Wegintegral} \begin{Definition}\label{WII1} Gegeben $A\subset X$ eine Teilmenge eines endlichdimensionalen reellen Raums und $\gamma : [a,b]\ra A$ ein stetig differenzierbarer \hyperref[Weg]{Weg} und $\omega : A \ra \vec{X}^{\ast}$ ein stetiges Kovektorfeld auf $A$ erkl"aren wir eine reelle Zahl $\wint_{\gamma} \omega$ durch die Vorschrift $$\Wint_{\gamma} \omega \pdef \int^{b}_{a} \omega_{\gamma(t)}\left( {\gamma}'(t)\right) \diff t$$ Sie hei"st das {\bf Integral des Kovektorfelds $\omega$ l"angs des Weges $\gamma$}. Sobald ich hoffe, Sie davon "uberzeugt zu haben, da"s keine Verwechslungen zu bef"urchten sind, notiere ich Wegintegrale meist ohne Kringel mit $\int$ statt $\wint$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} In\index{Wegintegral!f"ur Kovektorfeld}\index{S@$\wint$ Wegintegral} der physikalisch motivierten Terminologie aus \eref{Geschn}{AN1} gilt es also, zu jedem Zeitpunkt $t\in[a,b]$ den Kovektor $\omega_{\gamma(t)}$ auf dem Geschwindigkeitsvektor ${\gamma}'(t)$ auszuwerten und die so entstehende reellwertige Funktion "uber das Intervall $[a,b]$ zu integrieren. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] Ich unterscheide zwischen dem \glqq Kurvenintegral\grqq\ aus \eref{KI}{AN1} und dem \glqq Wegintegral\grqq\ wie es eben definiert wurde. In der Literatur findet man stattdessen vielfach die Terminologie \glqq Kurvenintegral erster Art\grqq\ und \glqq Kurvenintegral zweiter Art\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} Das in der Funktionentheorie betrachtete Wegintegral $\int_\gamma f(z)\diff z$ ist eine Erweiterung des hier eingef"uhrten Wegintegrals auf \glqq komplexwertige Einsformen\grqq, wie in \ref{FTVor} und \eref{BWR}{FT1} folgende ausgef"uhrt wird. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Vage Anschauung f"ur das Wegintegral}] In der vor \ref{EKV} erkl"arten Anschauung f"ur ebene Kovektorfelder als \glqq Liniendichten\grqq\ w"are das Wegintegral zu verstehen als eine Pr"azisierung der Idee der \glqq Zahl der von unserem Weg gekreuzten Linien\grqq. Da das arg vage ist, gebe ich auch noch eine pr"azise Variante in Form eines Lemmas. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Wegintegral durch Riemannsummen}] Seien $\gamma : [a,b]\ra A$ ein stetig differenzierbarer Weg in einer Teilmenge $A$ eines endlichdimensionalen reellen Raums $X$ und $\omega : A \ra \vec{X}^{\ast}$ ein stetiges Kovektorfeld auf $A$. Man be\-trach\-te\label{NAA} f"ur $r\geq 1$ die "aquidistante Unterteilung $a = a_{0} \leq a_{1}\leq \ldots \leq a_{r} = b$ und bilde die \emph{\bf Riemannsumme}\index{Riemannsumme!f"ur Wegintegrale} $$S^{r}_{\gamma} (\omega) \pdef \sum^{r-1}_{i=0} \omega_{\gamma (a_{i})}\left( \gamma (a_{i+1}) - \gamma (a_{i})\right)$$ So ist unser Wegintegral der Grenzwert der Folge von Riemannsummen $$\Wint_\gamma \omega=\lim_{r\ra\infty}S^{r}_{\gamma} (\omega)$$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Sei $\|\;\|$ eine Norm auf dem Richtungsraum $\vec{X}$ und bezeichne $\|\;\|$ auch die zugeh"orige Operatornorm auf $\vec{X}^\ast$. Nach \eref{RS}{AN1} ist unser Integral der Grenzwert der Folge von Riemannsummen $$ S^{r}= \sum^{r-1}_{i=0} \omega_{ \gamma (t_{i})}\left( \gamma^{\prime} (t_{i}) \right)\cdot(t_{i+1} - t_{i})$$ Gegeben $\varepsilon >0$ finden wir wegen der gleichm"a"sigen Stetigkeit von ${\gamma}'$ ein $\delta>0$ derart, da"s gilt $|s-t|<\delta\RA \|{\gamma}'(s)-{\gamma}'(t)\|<\varepsilon$. Ist $R=R_\varepsilon$ so gro"s, da"s die L"ange der Intervalle $t_{i+1}-t_{i}$ unter $\delta$ sinkt, so folgt f"ur $r\geq R$ mit dem Schrankensatz \eref{MWSn}{AN1} oder genauer seiner offensichtlichen Variante f"ur einen beliebigen endlichdimensionalen normierten Raum $\gamma (t_{i+1})-\gamma (t_{i})\in (t_{i+1}-t_{i})\op{B}({\gamma}'(t_{i});\varepsilon)$. Das k"onnen wir umschreiben zu $$\|(\gamma (t_{i+1})-\gamma (t_{i}))-(t_{i+1}-t_{i}){\gamma}'(t_{i})\|< (t_{i+1}-t_{i})\varepsilon$$ Das hinwiederum liefert f"ur $r\geq R$ die Absch"atzung $$|S^{r}_{\gamma} (\omega)-S^{r}| \leq \sum^{r-1}_{i=0} \|\omega_{\gamma (t_{i})}\|\;(t_{i+1} - t_{i})\varepsilon \leq \left(\op{sup}_{t\in[a,b]}\|\omega_{\gamma(t)}\|\right)(b-a)\varepsilon$$ Diese Differenz strebt also gegen Null f"ur $r\ra\infty$, folglich strebt die Folge $S^{r}_{\gamma} (\omega) $ gegen denselben Grenzwert wie die Folge $S^{r}$. \end{proof} \begin{Beispiel}[\textbf{Wegintegral eines Kovektorfelds auf der Zeitachse}] Ein Kovektorfeld auf der Zeitachse kann, wie in \ref{KVD} erkl"art,\label{drii} als eine Vorschrift aufgefa"st werden, die jedem Zeitpunkt eine Frequenz und eine Orientierung der Zeitachse zuordnet. Nehmen wir der Einfachkeit halber an, alle diese Orientierungen seien die Standardorientierung der Zeitachse und unser Weg gehe in Richtung positiver Zeiten von einem Anfangszeitpunkt zu einem Endzeitpunkt, so liefert unser Wegintegral anschaulich gesprochen die Zahl der Schwingungen zwischen Anfangszeitpunkt und Endzeitpunkt. \end{Beispiel} \begin{Satz}[\textbf{Formelsammlung f"ur das Wegintegral}] Das Wegintegral hat die folgenden Eigenschaften: \begin{enumerate} \item \textbf{\emph{(Wegintegral "uber Identit"atswege)}}. Gegeben reelle Zahlen $a 0$. Diesen Ast k"onnen wir nach \eref{PH}{AN1} auch parametrisieren durch $\varphi : (-1,1) \rightarrow \Bbb{R}^2$ mit $$\varphi (\tau) = \left( \frac{2\tau}{\tau^2 -1}, \frac{1+\tau^2}{1-\tau^2}\right)$$ und bei dieser Parametrisierung f"uhrt uns unser Wegintegral ganz offensichtlich auf das Integral einer rationalen Funktion in $\tau$, das wir nach \eref{IRFu}{AN1} im Prinzip durch bekannte Funktionen ausdr"ucken k"onnen. In derselben Weise kann man auch das Integral eines rationalen Ausdrucks im Funktionenpaar $(\sin,\cos)$ wie zum Beispiel $$\frac{\sin^3(\tau)+\cos(\tau)}{\cos(\tau)+\cos^2(\tau)}$$ angehen, das bereits in \eref{RSCI}{AN1} diskutiert wurde. Noch nat"urlicher als dort mag man es auffassen als Wegintegral im Sinne von \eref{KI}{AN1} eines Kovektorfelds mit rationalen Koeffizienten in zwei Ver"anderlichen, in unserem Beispiel etwa das Integral des Kovektorfelds $$R(x,y)\frac{\diff y}{x}=\frac{y^3+x}{x+x^2}\frac{\diff y}{x} $$ "uber ein St"uck des Einheitskreises. Mit der rationalen Parametrisierung \eref{PRr}{AN1} des Einheitskreises durch die stereographische Projektion l"a"st es sich dann umwandeln in ein Integral einer rationalen Funktion einer Ver"anderlichen. Im wesentlichen dasselbe Vefahren funktioniert auch f"ur rationale Ausdr"ucke in den Funktionenpaaren $(\sinh,\cosh)$ und $(\sqrt{1+ x^2},x)$. \end{Bemerkungl} % \begin{Definition} % Sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Raum, $A\subset V$ eine % halboffene Teilmenge und % $\omega$ ein Kovektorfeld auf $A$. Gibt es eine Funktion % $f:A\ra \DR$ mit $\omega=-\diff f$, so hei"st $f$ ein \defind{Potential} % f"ur unser Kovektorfeld $\omega$. % \end{Definition} % \begin{Bemerkungl} % Arbeitet man im $\DR^n$ oder allgemeiner in einem % endlichdimensionalen reellen euklidischen Raum, so werden oft % Vektorfelder und Kovektorfelder identifiziert. % Unter einem Potential eines Vektorfeldes $v$ vesteht man dann % eine Funktion $f$ mit $v=-\op{grad}f$. % \end{Bemerkungl} % \begin{Bemerkungl}[\textbf{Wohin? Wegintegrale "uber Geradensegmente}] % Gegeben ein stetiges % Kovektorfeld $\omega : A \ra % \vec{X}^{\ast}$ auf einer halboffenen Teilmenge\label{UPPP} % $A$ eines endlichdimensionalen reellen Raums $X$ und % Punkte $p,q\in A$, bei denen das ganze verbindende Geradensegment % $[p,q]$ in $A$ liegt, vereinbaren wir f"ur das Integral % unseres Kovektorfelds "uber den geraden Weg $\gamma:[0,1]\ra A$, % $t\mapsto p+t(q-p)$ von $p$ nach $q$ die Notation % $$\wint_\gamma \omega\defp \wint_p^q\omega$$ % F"ur ein stetiges Kovektorfeld $\omega=f(t)\diff t$ auf einem % reellen Intervall $A\subset \DR$ und $p,q\in A$ % erhalten wir nach der Definition des Wegintegrals \ref{WII1} % und der Substitutionsregel \eref{IdS}{AN1} insbesondere % $$\wint_p^qf(t)\diff t=\int_0^1 f\left(p+t(q-p)\right)\;(q-p)\diff t % =\int_p^qf(t)\diff t$$ % Wenn also eine Differentialform auf der reellen Gerade % in der Form $f(t)\diff t$ dargestellt ist, stimmt salopp gesprochen % ihr Wegintegral % "uberein mit dem Riemann-Integral, das dasteht, wenn man % beim Integralzeichen den Kringel % wegl"a"st. % Das Differential $\diff t$ der Identit"at % $t$ auf $\DR$ bedeutet % mithin in einem ideellen Sinn dasselbe % wie das $\diff t$, das wir bisher bei Riemann-Integralen % meist hinzugef"ugt hatten, % um klar zu machen, "uber welche Variable % integriert werden soll. % \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge}\label{IWEE} Seien $X$ ein endlichdimensionaler reeller Raum, $W$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und $A \subset X$ eine Teilmenge. Ein {\bf $W$-wer\-ti\-ges Kovektorfeld auf $A$}\index{vektorwertig!Kovektorfeld}\index{Kovektorfeld!vektorwertiges} ist eine Abbildung $$\omega : A \ra \op{Hom}_\DR (\vec{X},W)$$ Sie ordnet also jedem Punkt $p\in A$ eine lineare Abbildung des Richtungsraums in den Raum $W$ zu. Ist etwa $Y$ ein weiterer endlichdimensionaler reeller Raum und $A\subset X$ halboffen und $f: A \ra Y$ differenzierbar, so ist $\diff f$ oder genauer $p\mapsto \diff_p f$ ein $\vec{Y}$-wertiges Kovektorfeld auf $A$. Ist nun $\varphi : [a,b]\ra A$ ein stetig differenzierbarer Weg in einer Teilmenge $A$ eines endlichdimensionalen reellen Raums $X$ und $\omega : A \ra \op{Hom}_\DR(\vec{X},W)$ ein stetiges Kovektorfeld auf $A$ mit Werten in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum $W$, so definieren wir in Verallgemeinerung des Falls reellwertiger Kovektorfelder aus \ref{WII} einen Vektor $(\Wint_{\varphi} \omega)\in W$, das {\bf Integral des $W$-wertigen Kovektorfelds $\omega$ l"angs des Weges $\varphi$}, \index{Wegintegral!vektorwertiges} durch die Vorschrift $$\Wint_{\varphi} \omega = \int^{b}_{a} \omega_{\varphi(t)}\left( {\varphi}'(t)\right) \diff t$$ Rechts ist also f"ur jeden Zeitpunkt $t$ der Homomorphismus $\omega_{\varphi(t)}:\vec{X}\ra W$ auszuwerten auf dem Geschwindigkeitsvektor ${\varphi}'(t)\in \vec{X}$, und die so entstehende stetige Abbildung $[a,b]\ra W$ ist als vektorwertige Funktion zu integrieren im Sinne von \ref{IVb}. \end{Bemerkunge} \begin{Beispielg}\label{PhTR} In der Physik begegnen einem insbesondere oft Kovektorfelder mit Werten in eindimensionalen reellen Vektorr"aumen. Zum Beispiel wird man sich ein Kraftfeld auf dem Anschauungsraum $\mathbb E$ aus \eref{Moo}{LA2} a priori wie in \ref{KrFe} erkl"art als ein \glqq Vektorfeld mit Einheiten\grqq\ denken, genauer als eine Abbildung $$F: {\mathbb{E}} \ra \vec{\mathbb{E}} \otimes \langle \ph{g}\!/\!\ph{s}^2\rangle$$ Da es sich jedoch mit Kovektorfeldern bei Koordinatenwechseln sehr viel besser rechnen l"a"st als mit Vektorfeldern, ist es oft g"unstiger, die durch das kanonische Skalarprodukt $s:\vec{\mathbb{E}} \times \vec{\mathbb{E}} \ra {\mathbb{L}}^{\otimes 2}$ aus \eref{kaSK}{LA2} gegebene Identifikation $\acute{s}:\vec{\mathbb{E}} \sira \op{Hom}_\DR(\vec{\mathbb{E}}, {\mathbb{L}}^{\otimes 2})$ nachzuschalten und unser Kraftfeld stattdessen als eine Abbildung $$\tilde{F}: {\mathbb{E}} \ra \op{Hom}_\DR(\vec{\mathbb{E}} , \langle \ph{g}\ph{m}^2\!/\!\ph{s}^2\rangle)$$ aufzufassen. Die Elemente des eindimensionalen Vektorraums $$ \langle \ph{g}\ph{m}^2\!/\!\ph{s}^2\rangle=\mathbb M\otimes \mathbb L^{\otimes 2} \otimes (\vec{\mathbb T}^\ast)^{\otimes 2} $$ hei"sen in der Physik auch {\bf Energien}\index{Energie}. In diesem Sinne k"onnen wir ein Kraftfeld also als ein energiewertiges Kovektorfeld auffassen. Das Wegintegral "uber dieses Kovektorfeld hei"st die bei Durchlaufen des Weges in besagtem Kraftfeld freiwerdende Energie und, wenn es negativ ist, die zu verrichtende {\bf Arbeit}\index{Arbeit gegen Kraftfeld}. Anschaulich und etwas vage gesprochen ordnet das Negative dieses Kovektorfelds n"amlich gerade \glqq jeder kleinen Verr"uckung die Arbeit zu, die bei dieser kleinen Verr"uckung gegen das Kraftfeld zu leisten w"are\grqq. Eine energiewertige Abbildung $V:{\mathbb{E}}\ra \langle \ph{g}\ph{m}^2\!/\!\ph{s}^2\rangle$ mit $\diff V=-\tilde{F}$ hei"st in der Physik ein {\bf Potential}\index{Potential!eines Kraftfelds} unseres Kraftfelds. \end{Beispielg} \begin{Beispielg} Zentral in der \glqq Funktionentheorie\grqq\ sind die Wegintegrale komplexwertiger Kovektorfelder, die auf Teilmengen der komplexen Zahlenebene definiert sind, vergleiche \eref{DCWe}{FT1} und \eref{BWR}{FT1}. "Ublicherweise bezeichnet in diesem Kontext $z:\DC\ra\DC$ die Identit"at und $\diff z$ ihr Differential, ein komplexwertiges Kovektorfeld auf $\DC$. Mit $f(z)\diff z$ bezeichnet man dann das Produkt dieses Kovektorfelds mit einer komplexwertigen Funktion $z\mapsto f(z)$. Das Integral derartiger Kovektorfelder hei"st das \glqq komplexe Wegintegral\grqq\ und liefert entsprechend komplexe Zahlen.\label{FTVor} \end{Beispielg} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Auf $\DR^2\backslash 0$ ist der Winkel im Bogenma"s $\varphi$ lokal eine \glqq bis auf eine additive Konstante wohl definierte Funktion\grqq. Das Differential $\diff \varphi$ ist somit ein wohldefiniertes Kovektorfeld, wenn es auch global nicht das Differential einer Funktion auf ganz $\DR^2\backslash 0$ zu sein braucht. Man berechne das Wegintegral $\int_\gamma\diff\varphi$ f"ur den Weg $\gamma:[0,2\pi]\ra \DR^2, \gamma(t)=(\cos t,\sin t)$. Man folgere, da"s $\diff \varphi$ nicht das Differential einer Funktion $f:\DR^2\backslash 0\ra\DR$ sein kann. \end{Ubung} \begin{Ubunge}[\textbf{Ein divergierendes Wegintegral}] Wenn ein Weg stetig und an jeder Stelle mit h"ochstens einer Ausnahme stetig differenzierbar ist, kann man im allgemeinen nicht mehr sinnvoll Wegintegrale dar"uber erkl"aren. Als Beispiel betrachte man etwa den Weg $\gamma(t)\pdef r(t)(\op{cos}t,\op{sin}t)$ f"ur $r:\DR\ra\DR_{>0}$ glatt und monoton fallend mit $\lim_{t\ra\infty}r(t)=0$. Man zeige, da"s man $r$ so w"ahlen kann, da"s die Wegintegrale\label{dWeg} $\int_{\gamma|[0,b]}x\diff y$ bei wachsendem $b$ "uber alle Grenzen wachsen. Hinweis: Man w"ahle $r$ so, da"s gilt $\op{sin}(2t)>0\RA r'(t)=0$ und da"s $r$ nur sehr langsam f"allt. Durch Umparametrisieren des Weges $\gamma$ von $[0,\infty)$ auf $[0,1)$ und stetiges Fortsetzen durch $\beta(1)\pdef(0,0)$ erh"alt man dann einen Weg $\beta:[0,1]\ra \DR^2$, der auf $[0,1)$ glatt ist und bei dem die Wegintegrale $\int_{\beta|[0,c]}x\diff y$ f"ur $c\ra 1$ monoton "uber alle Grenzen wachsen. \end{Ubunge} \subsection{Wegzusammenhang}\label{Zuw} \begin{Definition}\label{Weg} Ist $X$ ein topologischer Raum und sind $x,y\in X$ Punkte, so nennen wir eine stetige Abbildung $\gamma:[a,b]\ra X$ mit $\gamma(a)=x$ und $\gamma(b)=y$ einen {\bf Weg von $x$ nach $y$}. Ein topologischer Raum $X$ hei"st \index{zusammenh"angend!wegweise} \defnoind{wegzusammenh"angend},\index{Wegzusammenhang} wenn er nicht leer ist und es f"ur je zwei Punkte unseres Raums einen Weg vom einen zum anderen gibt. \end{Definition} \begin{Definition} Unter einem {\bf st"uckweise linearen Weg}\index{Weg!st"uckweise linearer} in einem reellen Raum verstehen wir einen Weg, der aus endlich vielen Geradensegmenten zusammengesetzt ist. Genauer und in Formeln hei"st also ein Weg $\gamma:[a,b]\ra X$ in einem reellen Raum st"uckweise linear, wenn es eine Unterteilung $a=a_00$, als da hei"st, es gibt $\varepsilon >0$ derart, da"s alle Punkte aus $\gamma ([a,b])$ mindestens den Abstand $\varepsilon$ zum Komplement von $U$ haben. Andererseits ist $\gamma$ gleichm"a"sig stetig, wir finden also eine Unterteilung $a = a_0 \leq a_1 \leq \ldots \leq a_n =b$ unseres Intervalls mit $\| \gamma (a_i) - \gamma (a_{i-1})\| < \varepsilon $ f"ur $1\leq i \leq n$. Ein zwischen den Eckpunkten $x = \gamma (a_0), \gamma (a_1), \ldots, \gamma (a_n) = y$ jeweils gerade verlaufender Weg bleibt also ganz in $U$. Damit ist gezeigt, da"s sich je zwei Punkte aus $U$ auch durch einen st"uckweise linearen Weg in $U$ verbinden lassen. \end{proof} \begin{Lemma} Auf einer offenen wegzusammenh"angenden Teilmenge eines endlichdimensionalen reellen Raums ist jede differenzierbare reellwertige Funktion mit verschwindendem Differential konstant.\label{EDPo} \end{Lemma} \begin{proof} Eine differenzierbare Funktion mit verschwindendem Differential mu"s nach \ref{WIFP} am Anfang und Ende jedes stetig differenzierbaren Weges und dann auch am Anfang und Ende jedes st"uckweise linearen Weges denselben Wert annehmen. Das Lemma folgt damit aus \ref{WZST}. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Bemerkungl} Ich f"uhre f"ur die "Ubungen noch einige Begrifflichkeiten ein, die im Rest der Vorlesung vorest nicht ben"otigt werden. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{DiTMm} Eine Teilmenge eines topologischen Raums hei"st {\bf diskret},\index{diskret!Teilmenge von topologischem Raum} wenn jeder ihrer Punkte eine Umgebung besitzt, in der kein anderer Punkt besagter Teilmenge liegt. In anderen Worten nennen wir also eine Teilmenge eines topologischen Raums diskret, wenn sie mit der \hyperref[Innn]{Spurtopologie} ein \hyperref[dTT]{diskreter topologischer Raum} wird. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Zum Beispiel ist die Menge aller Br"uche $\{1, 1/2, 1/3,\ldots\}$ mit einer Eins im Z"ahler eine diskrete Teilmenge der reellen Zahlengeraden. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] Andere Autoren verstehen unter einer\label{diskret} \glqq diskreten Teilmenge\grqq\ eines topologischen Raums abweichend eine Teilmenge derart, da"s jeder Punkt des gesamten Raums eine Umgebung besitzt, in der h"ochstens ein Punkt besagter Teilmenge liegt. In unserer Terminologie sind das genau die diskreten abgeschlossenen Teilmengen.%\index{diskret!relativ} \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{AnaL} Eine Funktion auf einer Teilmenge des $\DR^n$, die in einer Umgebung eines jeden Punktes ihres Definitionsbereichs durch ihre Taylorreihe dargestellt werden kann, hei"st \defnoind{analytisch}.\index{analytisch!auf $\DR^n$} \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Wir werden in \eref{CHFu}{FT1} zeigen, da"s Potenzreihen in einer Ver"anderlichen analytische Funktionen liefern. Analog kann man dasselbe auch f"ur Potenzreihen in mehreren Ver"anderlichen zeigen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ein topologischer Raum hei"st {\bf zusammenh"angend},\index{zusammenh"angend!topologischer Raum} wenn er nicht leer ist und jede nichtleere Teilmenge, die sowohl offen als auch abgeschlossen ist, bereits der ganze Raum sein mu"s. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} Als "Ubung \ref{WZTT} werden Sie zeigen, da"s jeder wegzusammenh"angende Raum zusammenh"angend ist. Als "Ubung \ref{wegzo} werden Sie zeigen, da"s ein zusammenh"angender Raum genau dann wegzusammenh"angend ist, wenn darin jeder Punkt eine wegzusammenh"angende Umgebung besitzt.\label{ZSWZi} Insbesondere ist eine offene Teilmenge eines reellen normierten Raums genau dann zusammenh"angend, wenn sie wegzusammenh"angend ist. Wir benutzen deshalb in diesen F"allen meist das k"urzere Wort \glqq zusammenh"angend\grqq. In \eref{skt}{TM}geben wir ein Beispiel für einen zusammenh"angenden aber nicht wegzusammenh"angenden Raum. Mehr zu diesem Themenkomplex wird in \eref{DZSH}{TM} besprochen. \end{Bemerkungw} \begin{Ubung}\label{WZSS} Auf jedem topologischen Raum $X$ definiert man die Relation $W$ der \glqq Wegverbindbarkeit\grqq\ durch die Vorschrift, da"s gilt $xWy$, wenn es in $X$ einen Weg von $x$ nach $y$ gibt. Man zeige, da"s das eine "Aquivalenzrelation ist. Hinweis: Die Transitivit"at ergibt sich durch das \glqq Aneinanderh"angen von Wegen\grqq\ und die Stetigkeit der so entstehenden Wege folgt mit \ref{AbgSM}. Die "Aquivalenzklassen f"ur die "Aquivalenzrelation der Wegverbindbarkeit hei"sen die \defnoind{Wegzusammenhangskomponenten}\index{Wegzusammenhangskomponente} unseres Raums.\index{Komponente!Wegzusammenhangskomponente} \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige, da"s die Wegzusammenhangskomponenten eines topologischen Raums offen sind genau dann, wenn\label{wegzo} jeder Punkt eine wegzusammenh"angende Umgebung besitzt. Insbesondere ist ein Raum, in dem jeder Punkt eine wegzusammenh"angende Umgebung besitzt, genau dann zusammen"angend, wenn er wegzusammenh"angend ist. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{KDZ} Das Komplement einer abgeschlossenen diskreten Teilmenge in einer wegzusammenh"angenden offenen Teilmenge eines $\DR^n$ ist f"ur $n>1$ wegzusammenh"angend. Dasselbe gilt im "Ubrigen auch ohne die Bedingung \glqq abgeschlossen\grqq, ist dann aber schwerer zu zeigen. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{KDZzt} Ist $U\co\DR^n$ offen und wegzusammenh"angend und $A\subset \DR^n$ ein affiner Teilraum einer Dimension $\op{dim}A\leq n-2$ alias einer Kodimension mindestens Zwei, so ist auch $U\backslash A$ wegzusammenh"angend. F"ur Teilr"aume $A$ der Kodimension Eins alias affine Hyperebenen $A$ gilt das nat"urlich nicht! \end{Ubung} \begin{Ubung} Stimmen zwei auf derselben wegzusammenh"angenden offenen Teilmenge des $\DR^n$ definierte analytische Funktionen auf einer\label{IDAA} Umgebung eines Punktes "uberein, so sind sie gleich. Hinweis: Man ziehe sich mithilfe st"uckweise linearer Wege auf den Fall $n=1$ zur"uck. \end{Ubung} \begin{Ubunge}\label{ZKGL} Die Gruppe $\op{SO}(n)$ aller orthogonalen $(n\times n)$-Ma\-tri\-zen mit Determinante Eins ist wegzusammenh"angend. Hinweis: \eref{NFO}{LA2}. Weiter ist auch die Gruppe $\op{GL}(n;\DR)^+$ aller invertierbaren reellen $(n\times n)$-Matri\-zen mit positiver Determinante wegzusammenh"angend. Hinweis: \eref{IWZR}{LA2}. Die Gruppen $\op{SU}(n)$ und $\op{U}(n)$ und $\op{GL}(n;\DC)$ sind wegzusammenh"angend. Die vorgeschlagenen L"osungsans"atze laufen auf eine Flickschusterei hinaus. Einen konzeptionellen Beweis werden wir in \eref{ZKGLl}{TM} kennenlernen. \end{Ubunge} \begin{Ubunge} Das Bild eines wegzusammenh"angenden Raums unter einer stetigen Abbildung ist stets wieder wegzusammenh"angend. Die wegzusammenh"angenden Teilmengen von $\DR$ sind gerade die nichtleeren Intervalle. \end{Ubunge} \begin{Ubung}\label{WZTT} Gegeben ein wegzusammenh"angender topologischer Raum ist jede Teilmenge, die sowohl offen als auch abgeschlossen ist, entweder leer oder bereits der ganze Raum. Hinweis: Man w"ahle sonst einen Weg von einem Punkt unserer Teilmenge in ihr Komplement und konstruiere einen Widerspruch. Wir f"uhren auch beim Beweis von \eref{NSTe}{FT1} ein Argument aus. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{NNSP} Man zeige: Gegeben ein von Null verschiedenes Polynom $P\in \DC[T_1,\ldots, T_n]$ ist die Menge seiner Nichtnullstellen in $\DC^n$ offen, dicht und wegzusammenh"angend. \end{Ubung} \subsection{Felder mit Potential} \begin{Bemerkungl} Wir interessieren uns im weiteren f"ur die Frage, unter welchen Bedingungen ein stetiges Kovektorfeld das Differential einer Funktion ist und inwieweit diese Funktion dann eindeutig bestimmt ist. %Diese Fragen werden nach einigen Vorbereitungen durch \ref{RP} und \ref{EDPo} beantwortet. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Felder mit Potential}] Gegeben $X$ ein endlichdimensionaler Raum und $\omega:X\lco U\ra \vec X^*$ ein stetiges Kovektorfeld\label{RP} sind gleichbedeutend: \begin{enumerate} \item Unser Kovektorfeld $\omega$ ist das Differential $\omega=\diff f$ einer differenzierbaren Funktion $f:U\ra\DR$; \item Das Integral unseres Kovektorfelds "uber beliebige stetig differenzierbare Wege in $U$ h"angt nur vom Anfangs- und Endpunkt ab; \item Das Integral unseres Kovektorfelds "uber jeden geschlossenen stetig differenzierbaren Weg in $U$ verschwindet. \end{enumerate} \end{Proposition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] In physikalischer Terminologie \ref{PhTR} hat also ein Kraftfeld oder genauer das zugeh"orige energiewertige Kovektorfeld ein Potential genau dann, wenn die l"angs beliebiger Wege geleistete Arbeit nur vom Anfangs- und Endpunkt abh"angt. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Es ist im folgenden bequem, f"ur etwas allgemeinere als nur stetig differenzierbare Wege den Begriff des Wegintegrals zur Verf"ugung zu haben. \begin{Definition} Sei $X$ ein endlichdimensionaler reeller Raum. Ein Weg $\gamma :[a,b]\ra X$ hei"st {\bf st"uckweise stetig differenzierbar}, wenn es eine Zerlegung\label{ssd} $a=a_{0}0$ den geschlossenen Weg $\gamma : [0,2\pi] \rightarrow \mathbb C$, $\gamma_r (t) = r {\op{e}}^{{\op{i}}t} = r \cos t + {\op{i}} r\sin t$, der einmal auf dem Kreis mit Radius $r$ uml"auft. Nach \ref{Konvexc} ist er in $\DC$ zusammenziehbar. H"atte unser Polynom keine Nullstelle, so lieferte es eine stetige Abbildung $P : \mathbb C \rightarrow \mathbb C^\times$, und nach \ref{BHc} w"aren alle $P \circ \gamma_r$ zusammenziehbar in $\mathbb C^\times$. F"ur hinreichend gro"ses $r$ gilt nun jedoch $ r^n > |a_{n-1}|r^{n-1} + \ldots+|a_1|r + |a_0|, $ und f"ur solche $r$ ist der Weg $P \circ \gamma_r$ in $\mathbb C^\times$ homotop zum Weg $t \mapsto \gamma_r (t)^n$, da n"amlich f"ur kein $t$ die Strecke von $P(\gamma_r (t))$ nach $\gamma_r (t)^n$ den Nullpunkt trifft. H"atte also $P$ keine Nullstelle, so w"are der Weg $[0,2\pi]\rightarrow \mathbb C^\times$, $t \mapsto \gamma_r (t)^n$ zusammenziehbar in $\mathbb C^\times$. Das steht jedoch im Widerspruch zu "Ubung \ref{FDAT}. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bildgtvw} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Der Weg $\gamma(p,t\vec{v},t\vec{w})$ aus "Ubung \ref{IHTj}. Mit $t\ra 0$ wird er nat"urlich immer kleiner. \end{minipage} \end{figure} \begin{Ubung}\label{IHTj} Sei $X$ ein endlichdimensionaler reeller Raum, $A \co X$ eine offene Teilmenge, $p\in A$ ein Punkt und $\omega:A\ra \vec{X}^\ast$ ein stetig differenzierbares Kovektorfeld. So gilt in den Notationen der vorhergehenden Definition \ref{gesch} f"ur alle $\vec{v},\vec{w}\in \vec{X}$ die Identit"at $$(\tiff_p \omega)(\vec{v})(\vec{w})- (\tiff_p \omega)(\vec{w})(\vec{v}) = \lim_{t\ra 0}\frac{1}{t^2}\int_{\gamma(p,t\vec{v},t\vec{w})} \omega$$ mit der Notation $\gamma(p,t\vec{v},t\vec{w})$ f"ur den Weg, der einmal das Parallelogramm mit einer Ecke $p$ und Kantenvektoren $t\vec{v}$ und $t\vec{w}$ uml"auft, oder genauer, der st"uckweise linear l"auft erst von $p$ nach $p+t\vec{v}$, dann weiter nach $p+t\vec{v}+t\vec{w}$, von da nach $p+t\vec{w}$, und dann wieder zur"uck nach $p$. Hinweis: Es mag die Rechnung vereinfachen, wenn man das fragliche Integral zu einer Funktion von zwei Ver"anderlichen $s,t$ erweitert. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{FDAT} Man zeige, da"s gegeben $n\in\DZ$ der geschlossene Weg in der punktierten Ebene $\gamma_n: [0,2\pi]\ra \Bbb{R}^2\backslash 0$ mit $\gamma(t)=(\cos nt, \sin nt)$ in $\Bbb{R}^2\backslash 0$ nur f"ur $n=0$ zusammenziehbar ist. Hinweis: Man berechne das Integral des Winkelfeldes "uber diesen Weg und beachte \ref{roPP}. Ich empfinde es allerdings als Umweg, diese Aussage mithilfe von Wegintegralen nachzuweisen, und ziehe den topologischen Beweis "uber Liftungseigenschaften in \eref{FdK}{TF} folgende vor. \end{Ubung} % \begin{Ubunge} % Man zeige, da"s es in \ref{RP} sogar ausreicht, die % Differenzierbarkeit unseres stetigen % Kovektorfelds an fast allen Punkten von $A$ % vorauszusetzen. (Macht so keinen Sinn mehr.) % \end{Ubunge} \begin{Ubunge}\label{srq} Gegeben ein Rechteck $Q=[a,b]\times[c,d]\subset \DR^2$ und darauf ein stetig differenzierbares Vektorfeld $v:Q\ra\DR^2$ stimmt das Integral seiner \hyperref[wirb]{Wirbeldichte} alias \hyperref[wirb]{skalaren Rotation} $\op{rot}v$ "uber das Rechteck $Q$ "uberein mit seinem \hyperref[WV]{Wegintegral als Vektorfeld} einmal im Gegenuhrzeigersinn um den Rand des Rechtecks. In \ref{GrFo} werden wir diese Aussage als Spezialfall des allgemeinen Stokes'schen Satzes zu verstehen lernen. \end{Ubunge} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXAN2" %%% End: