%\section{Wegintegrale und Potentiale} \subsection{Vektorfelder und Kovektorfelder} \begin{Bemerkungl} Unter einem reellen Raum verstehen wir wie in \eref{reRE}{AN1} einen affinen Raum "uber dem K"orper der reellen Zahlen. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{VFKF} Sei $X$ ein endlichdimensionaler reeller Raum und $U \subset X$ eine halboffene Teilmenge. Ein {\bf Vektorfeld}\index{Vektorfeld!auf affinem Raum|main} {\bf auf} $U$ ist eine Abbildung $$\begin{array}{rccl} A : &U & \ra & \vec{X}\\ &p & \mapsto & A_{p} \end{array}$$ von $U$ in den Richtungsraum $\vec{X}$ von $X.$ Wir schreiben im Zusammenhang mit Differentialgleichungen statt $A_{p}$ auch $A(p).$ Die Notation $A_p$ dahingegen ist praktisch, wenn wir unsere Vektorfelder wie in \ref{AWVF} auf Funktionen anwenden wollen. In der physikalischen Terminologie hei"sen Vektorfelder {\bf kontravariant}\index{kontravariant} aus Gr"unden, die in \ref{KoKov} noch diskutiert werden. \end{Definition} \begin{Bemerkunge} Sicherlich k"onnte man diese Definition auch allgemeiner f"ur beliebige Teilmengen $U$ vereinbaren. Das f"uhrt jedoch auf die Schwierigkeit, da"s wir etwa ein Vektorfeld auf einer Kreislinie sp"ater werden verstehen wollen als eine Abbildung, die jedem Punkt der Kreislinie in der Ebene einen Tangentialvektor an besagte Kreislinie an besagtem Punkt zuordnet und nicht einfach irgendeinen Richtungsvektor der Ebene. Da"s wir uns an dieser Stelle auf halboffene Teilmengen $U$ beschr"anken, dient einzig und allein dem Zweck, derartige begriffliche Inkonsistenzen zu vermeiden. \end{Bemerkunge} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth] {SkriptenBilder/BildVeFA}\\[4mm] \noindent Graphische Darstellung eines Vektorfelds auf der Papierebene, das in geeigneten Koordinaten in der Notation von \ref{pavf} durch die Formel $$\left(x/\sqrt{x^2+y^2}\right)\partial_x + \left(y/\sqrt{x^2+y^2}\right) \partial_y$$ gegeben w"urde. Hier haben wir zu ausgew"ahlten Punkten den ihnen zugeordneten Richtungsvektor als Pfeil von besagtem Punkt zu dem um diesen Richtungsvektor verschobenen Punkt dargestellt. \end{figure} \begin{Bemerkungl} Zu jedem reellen Vektorraum $V$ bilden wir, wie in der linearen Algebra in \eref{LiFo}{LA1} folgende ausf"uhrlich diskutiert und erl"autert, seinen \defind{Dualraum} $V^\ast =\op{Hom}_\DR(V,\DR).$ \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{FKF} Sei $X$ ein endlichdimensionaler reeller Raum und $U \subset X$ eine halboffene Teilmenge. Ein {\bf Kovektorfeld}\index{Kovektorfeld} {\bf auf} $U$ ist eine Abbildung $$\begin{array}{rccl} \omega : &U & \ra & \vec{X}^{\ast}\\ &p & \mapsto & \omega_{p} \end{array}$$ von $U$ in den Dualraum $\vec{X}^{\ast}$ des Richtungsraums von $X.$ Wir schreiben hier $\omega_{p}$ statt $\omega (p),$ damit $\omega_{p} (v) \in \Bbb{R}$ den Wert der Linearform $\omega_p$ auf einem Vektor $v \in \vec{X}$ bezeichnen kann. Ein Kovektorfeld nennt man auch eine {\bf Pfaff'sche Form}\index{Pfaff'sche Form} oder eine {\bf Differentialform erster Ordnung}\index{Differentialform!erster Ordnung} oder eine {\bf $1$-Form}.\index{Form@$1$-Form}\index{Eins-Form} In der physikalischen Terminologie hei"sen Kovektorfelder {\bf kovariant}\index{kovariant} aus Gr"unden, die in \ref{KoKov} noch diskutiert werden. \end{Definition} % \begin{Bemerkungl} % Ist $U\co X$ offen, so erhalten wir mit unserer Definition % genau die Vektorfelder und % Kovektorfelder, wie wir sie sp"ater auch allgemeiner auf \glqq abstrakten % Mannigfaltigkeiten\grqq\ kennenlernen werden. Ist $U\subset X$ dahingegen ein % affiner Teilraum, so werden wir sp"ater unter einem Vektorfeld bzw.\ % Kovektorfeld auf $U$ eine Abbildung von $U$ nach $\vec{U}$ bzw.\ % $\vec{U}^\ast$ verstehen wollen und nicht eine Abbildung von $U$ nach % $\vec{X}$ bzw.\ $\vec{X}^\ast.$ "Ahnliches gilt allgemeiner f"ur den Fall % einer \glqq Untermannigfaltigkeit\grqq\ $U\subset X$ einer Kodimension $\geq 1.$ % Ich bezeichne % die hier eingef"uhrten Konzepte\label{GrRe} genauer als \glqq relative % Vektorfelder\grqq\ und \glqq relative Kovektorfelder\grqq, % wenn ich diese Unterschiede hervorheben will. % \end{Bemerkungl} %auf Untermannigfaltigkeiten, \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[height=0.4\textheight]{SkriptenBilder/BildKoFAb}\\[4mm] \noindent Versuch der graphischen Darstellung eines Kovektorfelds auf der Papierebene, das in geeigneten Koordinaten in der Notation \ref{DiFF} durch die Formel $$x\diff y$$ gegeben w"urde. Hier haben wir zu ausgew"ahlten fett eingezeichneten Punkten den ihnen zugeordneten Kovektor dargestellt durch eine gestrichelte Linie, die jeweils einen Teil der Geraden zeigt,\label{BDKO} deren Punkte vom jeweiligen fetten Punkt durch einen Richtungsvektor erreicht werden k"onnen, auf dem der dem jeweilige Kovektor den Wert $ 1$ annimmt. Die eingezeichneten F"aden deuten an, welche gestrichelte Linie jeweils zu welchem fetten Punkt geh"ort. Je weiter die gestrichelte Linie von ihrem fetten Punkt entfernt ist, desto kleiner ist also unser Kovektor, zum Beispiel bedeutet der doppelte Abstand den halben Kovektor. Fette Punkte ganz ohne gestrichelte Linie stehen f"ur den Wert Null unseres Kovektorfelds an besagter Stelle. Da"s eine gestrichelte Linie durch \glqq ihren\grqq\ fetten Punkt geht, ist nicht zul"assig. Man mag versuchen, in diesem Bild auch noch das Vektorfeld $(x,y)\mapsto (1,x)$ oder in der Notation aus \ref{pavf} geschrieben $\partial_x+x\partial_y$ einzuzeichnen und anschaulich zu verstehen, da"s as Einsetzen im Sinne von \ref{EKV} dieses Vektorfelds in unser Kovektorfeld auch tats"achlich die Funktion $(x,y)\mapsto x^2$ liefert. \end{figure} \begin{Beispiel}[\textbf{Kovektorfelder auf der Zeitachse}] Ein Kovektorfeld auf der Zeitachse $\mathbb T$ aus \eref{tempp}{LA1} k"onnen wir uns in der in \eref{DrG}{LA1} noch genauer erkl"arten Weise denken als eine Vorschrift, die\label{KVD} jedem Zeitpunkt eine Frequenz oder, vielleicht noch besser, eine Drehgeschwindigkeit zuordnet. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Addition von Feldern und Multiplikation mit Funktionen}] Wir addieren Vektorfelder und auch Kovektorfelder punktweise, die Summe $\omega + \eta$ zweier Kovektorfelder ist also etwa erkl"art durch $(\omega + \eta)_{p}= \omega_{p}+ \eta_{p} ,$ wobei letzteres Summenzei\-chen die Addition in $\vec{X}^{\ast}$ meint. Wir multiplizieren Vektorfelder und auch Kovektorfelder mit Funktionen $f:U \ra \Bbb{R}$ ebenfalls punktweise, indem wir setzen $(fA)_{p} = f(p) A_{p}$ bzw.\ $(f\omega)_{p} = f(p) \omega_{p}.$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Paaren von Vektorfeldern mit Kovektorfeldern}] Sei $X$ ein\label{EKV} endlichdimensionaler reeller Raum und $U \subset X$ eine halboffene Teilmenge. Ist $A:U\ra\vec{X}$ ein Vektorfeld und $\omega:U\ra\vec{X}^\ast$ ein Kovektorfeld, so k"onnen wir auch das Vektorfeld $A$ in das Kovektorfeld $\omega$ einsetzen oder, vielleicht besser gesagt, das\index{einsetzen!Vektorfeld in Kovektorfeld} Kovektorfeld $\omega$ auf dem Vektorfeld $A$ auswerten oder, ganz ausgewogen und immer noch gleichbedeutend, das\index{auswerten!Kovektorfeld auf Vektorfeld} {\bf Kovektorfeld $\omega$ mit dem Vektorfeld $A$ paaren}. Wir erhalten dann eine Funktion $$\begin{array}{cccc} \omega(A)=\langle\omega,A\rangle:&U&\ra& \DR\\ &p&\mapsto &\omega_p(A_p) \end{array}$$ % \omega(A)=\langle\omega,A\rangle:U\ra \DR$,\index{$\langle\;,\;\rangle$!Kovektorfeld % mit Vektorfeld paaren} $p\mapsto \omega_p(A_p)$ % \index{paaren!Kovektorfeld mit Vektorfeld} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Verschiedene Interpretationen von Kovektorfeldern}] Sei $X$ ein\label{WAI} endlichdimensionaler reeller Raum und $U \subset X$ eine halboffene Teilmenge. Im Sinne von \eref{ABBK}{GR} k"onnen wir ein Kovektorfeld $\omega:U\ra \vec{X}^\ast$ auch auffassen als eine Abbildung $U\times \vec{X}\ra \DR$ oder sogar als eine Abbildung $\vec{X}\ra \op{Ens}(U,\DR).$ Es geh"ort etwas "Ubung dazu, alle diese verschiedenen Aspekte gleichzeitig pr"asent zu haben. Wir k"onnen also ein Kovektorfeld einerseits an einem Punkt $p\in U$ auswerten und so eine Linearform $\omega_p:\vec{X}\ra \DR$ auf dem Richtungsraum erhalten, wir k"onnen es aber andererseits auch auf einem Richtungsvektor $v\in \vec{X}$ auswerten und so eine reellwertige Funktion $U \ra \DR$, $p\mapsto \omega_p(v)$ erhalten. Wir k"onnen es sogar etwas allgemeiner, wie in \ref{EKV} besprochen, auf einem Vektorfeld $p\mapsto v_p$ auswerten und auch so eine reellwertige Funktion $U\ra \DR$, $p\mapsto \omega_p(v_p)$ erhalten. Man beachte, da"s beim Auswerten von Kovektorfeldern auf Vektorfeldern keinerlei Differentiation stattfindet, sondern ausschlie"slich lineare Algebra, nur eben \glqq in Abh"angigkeit vom Punkt $p$\grqq. \end{Bemerkungl} % \begin{Bemerkungl} % Die vorhergehende Definition \ref{EKV} hat sich in meiner Vorlesung % als besonders schwer verdaulich erwiesen, weshalb ich sie hier % nocheinmal ausf"uhrlich diskutiere. % Ist $V$ ein Vektorraum "uber einem K"orper $k$ und % $V^\top=V^\ast$ sein Dualraum % \ref{LiFo} und % $v\in V$ ein Vektor und $\lambda\in V^\top$ eine Linearform, % so k"onnen wir ja die Linearform $\lambda$ auf dem Vektor $v$ % auswerten und so ein Element $\lambda(v)$ des Grundk"orpers $k$ erhalten, % das wir wie in \ref{Syn} auch % gerne $\lambda(v)=\langle \lambda,v\rangle$ notieren. % Ist nun $D$ eine Menge und $v$ eine Abbildung $D\ra V,$ $p\mapsto v_p$, % also ein von $p\in D$ abh"angiger Vektor, und % $\lambda$ eine Abbildung $D\ra V^\top,$ $p\mapsto \lambda_p$, % also eine von $p\in D$ abh"angige Linearform, so k"onnen wir % an jeder Stelle $p\in D$ unsere Linearform $\lambda_p$ auf unserem Vektor % $v_p$ auswerten und erhalten so eine Funktion $D\ra k,$ $p\mapsto % \langle \lambda_p,v_p\rangle$, die wir wieder gerne $\langle \lambda,v\rangle$ % notieren. Ist speziell $X$ ein endlichdimensionaler reeller Raum, % $D=U\subset X$ eine halboffene Teilmenge, $k=\DR$ und $V=\vec X$, % so spezialisiert diese Konstruktion zu unserem Auswerten von % Kovektorfeldern auf Vektorfeldern. % \end{Bemerkungl} \begin{Definition}[\textbf{Differential einer Funktion}] Sei $X$ ein reeller endlichdimensionaler Raum und $U \subset X$ eine halboffene Teilmenge. Ist $f:U\ra \Bbb{R}$ differenzierbar, so ist das Differential von $f$ bei $p$ eine lineare Abbildung $\diff _{p}f: \vec{X} \ra \Bbb{R}.$ Unter dem {\bf Differential $\diff f$ von $f$} verstehen wir\index{df@$\diff f$ Differential von $f$} das Kovektorfeld auf $U,$ das gegeben wird durch die Vorschrift $$\begin{array}{rccl} \diff f:&U &\ra & \vec{X}^{\ast}\\ &p &\mapsto & \diff _{p}f \end{array}$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Darstellung von Kovektorfeldern in Koordinaten}] F"ur das Differential von einem Produkt gilt\label{DiFF} nach \ref{PRm} die Produktregel $ \op{d} (fg)= f\diff g + g \diff f $ und f"ur das Differential einer Summe haben wir $ \op{d} (f+g) = \diff f + \diff g.$ Ist speziell $X =\Bbb{R}^{n}$ und $U\subset\Bbb{R}^{n}$ halboffen und bezeichnet $x_{i} : U \ra \Bbb{R}$ die Restriktion der $i$-ten Koordinate auf $U,$ so ist $\diff x_{i} : U \ra (\Bbb{R}^{n})^{\ast}$ konstant die die $i$-te Koordinate selber. Die Koordinaten bilden nun eine Basis des Dualraums von $\DR^n,$ folglich l"a"st sich jedes Kovektorfeld auf $U$ schreiben in der Gestalt $\sum a_{i}\diff x_{i}$ mit eindeutig bestimmten $a_{i} : U \ra \Bbb{R}.$ Ich vermute, da"s hier der Ursprung der Bezeichnung als \glqq Differentialform\grqq\ zu suchen ist: In gewisser Weise k"onnen wir eben unsere Kovektorfelder als \glqq Linearkombinationen von Differentialen\grqq\ schreiben. F"ur eine differenzierbare Funktion $f: U \ra \Bbb{R}$ auf einer halboffenen Menge $U \subset \Bbb{R}^{n}$ haben wir dann $$\diff f = \sum^{n}_{i=1}\frac{\partial f}{\partial x_{i}} \diff x_{i}$$ Man pr"uft das leicht durch Auswerten beider Seiten an einer Stelle $p\in U$ und Anwenden der so entstehenden Linearformen auf alle Vektoren der Standard-Basis des $\DR^n.$ Speziell haben wir f"ur $f:\DR\ra\DR$ also $\diff f=f'(x)\diff x.$ Ist $U$ nicht offen, sondern nur halboffen, so sind die partiellen Ableitungen oben im Sinne unserer Notation \ref{PaLN} zu verstehen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Anschauliche Bedeutung von Formeln in Differentialen}] Anschaulich gesprochen beschreibt die in \ref{DiFF} herausgestellte Gleichung, wie sich der Funktionswert der Funktion $f$ in erster N"aherung "andert, wenn wir an den Koordinaten $x_i$ wackeln: Genauer gilt bei festen $x_1,\ldots,x_n$ f"ur $\delta x_1,\ldots,\delta x_n\in\DR$ so nah bei Null, da"s alles definiert ist, eben $$f(x_1+\delta x_1,\ldots,x_n+\delta x_n)-f(x_1,\ldots,x_n)= \sum^{n}_{i=1}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\delta x_i\;\; + R(\delta x_1,\ldots,\delta x_n)$$ mit einem Rest $R,$ der auch nach dem Teilen durch das Maximum der Betr"age aller $\delta x_i$ noch gegen Null strebt, wenn alle $\delta x_i$ gegen Null streben. Hierbei ist zu verstehen, da"s die fraglichen partiellen Ableitungen an unserer festen Stelle $(x_1,\ldots,x_n)$ ausgewertet werden sollen, und um die partiellen Ableitungen zu bilden, m"ussen die $x_i$ nat"urlich noch als variabel gedacht werden. Vielleicht w"are es hier konsistenter gewesen, die partiellen Ableitungen $\partial_i f$ zu notieren oder sogar $(\partial_i f)(x_1,\ldots,x_n)$ um anzudeuten, da"s sie ja an der festen Stelle $(x_1,\ldots,x_n)$ auszuwerten sind, aber es kommt bei komplizierteren Formeln auch nicht selten vor, da"s gr"o"sere Pr"azision insbesondere f"ur fortgeschrittene Leser nicht zu besserer Verst"andlichkeit f"uhrt. Die Notation $\delta x_i$ k"onnten wir zu $\delta_i$ abk"urzen, aber dann wirkt die Formel weniger suggestiv. K"urzen wir auch noch die linke Seite zu $\delta f$ ab, so k"onnen wir unsere Identit"at mit der in \ref{ReAp} eingef"uhrten Notation auch schreiben als die "Ubereinstimmung erster Ordnung von Funktionen der \glqq Verr"uckungen\grqq\ $\delta x_i$ der Gestalt $$\delta f\sim^1_0 \sum^{n}_{i=1}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\delta x_i$$ \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}\label{pog} Die Funktion $f:\DR^3\backslash 0\ra\DR,$ $v\mapsto 1/\|v\|$ hat mit der Konvention $v=(x,y,z)$ das Differential $\diff f=-(x\diff x + y\diff y + z\diff z)/\|v\|^3.$ \end{Beispiel} \begin{Definition}[\textbf{Ableiten in Richtung eines Vektorfelds}] Gegeben ein endlichdimensionaler reeller Raum $X$, eine halboffene\label{AWVF} Teilmenge $U \subset X$, ein Vektorfeld $A: U \rightarrow \vec{X}$ und eine differenzierbare Funktion $f: U \rightarrow \Bbb{R}$ erkl"aren wir eine Funktion $(Af): U \rightarrow \Bbb{R}$ durch die Vorschrift \begin{equation*} (Af)(p) \pdef (\diff_p f)(A_p) \end{equation*} Ist $U$ eine Umgebung von $p,$ so ist nach \ref{RaA} also $(Af)(p)$ die Richtungsableitung von $f$ bei $p$ in der Richtung $A_p.$ Wir sagen deshalb auch, die Funktion $Af$ entstehe aus $f$ durch {\bf Ableiten in Richtung des Vektorfelds $A$}. \index{Ableitung!nach Vektorfeld} In anderen Worten entsteht diese Funktion durch das Paaren des Vektorfelds $A$ mit der das durch das Differential der Funktion $f$ gegebene Kovektorfeld $\diff f.$ Mit unserer Notation \ref{EKV} kann diese Funktion auch $\langle \diff f,A \rangle$ geschrieben werden. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Darstellung von Vektorfeldern in Koordinaten}] Meist werden Vektorfelder identifiziert mit den zugeh"origen Differentialoperatoren.\label{pavf} So notiere ich etwa das konstante Vektorfeld $v$ wie die zugeh"orige Richtungsableitung $D_v$. \index{D@$D_v$ konstantes Vektorfeld} Spezieller bezeichnet man das konstante Vektorfeld mit Wert $\op{e}_i$ auf $\Bbb{R}^n$ oft als \glqq das Vektorfeld $\frac{\partial}{\partial x_i}$\grqq\ oder \glqq das Vektorfeld $\partial_i$\grqq\ \index{d@$\partial_i$ Vektorfeld} und im Fall nicht nummerierter Koordinaten wie etwa $x,y,z$ auf $\DR^3$ schreiben wir f"ur die fraglichen Vektorfelder auch $\partial_x,\partial_y,\partial_z$\index{d@$\partial_x$ Vektorfeld} oder dergleichen. Sicher l"a"st sich jedes Vektorfeld auf $U\subset \DR^n$ halboffen schreiben in der Gestalt $$\sum c_{i}\partial_{i}$$ mit eindeutig bestimmten $c_{i} : U \ra \Bbb{R}.$ Paaren wir etwa das Vektorfeld $\sum c_{i}\partial_{i}$ auf $\DR^n$ mit dem Kovektorfeld $\sum a_{i}\diff x_{i}$, so ergibt sich die Funktion $\sum a_{i}c_{i}.$ In unserer Notation \ref{EKV} und mit dem Kroneckerdelta haben wir n"amlich in der Tat $$\langle \diff x_i,\partial_j \rangle=\delta_{ij}$$ \end{Bemerkungl} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth] {SkriptenBilder/BildVVe}\\[4mm] \noindent Ganz links ist zuerst ein Vektorfeld auf der Ebene abgebildet, das unter der orthogonalen Projektion auf die $x$-Achse verwandt ist zu einem ebenfalls eingezeichneten konstanten Vektorfeld auf der $x$-Achse. In der Mitte dann ein Vektorfeld auf der Ebene, das unter dieser Projektion zu keinem Vektorfeld auf der $x$-Achse verwandt ist. Schlie"slich ganz rechts die konstante Abbildung der $y$-Achse auf einen Punkt der $x$-Achse und ein Vektorfeld auf der $x$-Achse, das darunter zu keinem Vektorfeld auf der $y$-Achse verwandt ist. \end{figure} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Kovariante und kontravariante Transformation}] Zumindest unter linearen Koordinatentransformationen\label{KoKov} verhalten sich Kovektorfelder \glqq so wie Koordinaten\grqq. Ist etwa $x_1,\ldots, x_n$ ein System linearer Koordinaten auf $X$ im Sinne eines Systems von Abbildungen $x_i:X\ra \DR,$ die zusammen einen Isomorphismus von affinen R"aumen $X\ra\DR^n$ liefern, und ist $y_1,\ldots, y_n$ ein anderes System linearer Koordinaten, und haben wir etwa $y_i=\sum_j a_{ij}x_j$ f"ur eine Matrix von reellen Zahlen $a_{ij},$ so gilt die Identit"at von Kovektorfeldern $\diff y_i=\sum_ja_{ij}\diff x_j.$ F"ur die durch unsere Koordinatensysteme bestimmten Vektorfelder haben wir dahingegen umgekehrt $$\frac{\partial}{\partial x_j}=\sum_ia_{ij}\frac{\partial}{\partial y_i}$$ und ben"otigen die inverse Matrix, um $\frac{\partial}{\partial y_i}$ durch die $\frac{\partial}{\partial x_j}$ auszudr"ucken. In diesem Sinne \glqq transformieren sich Kovektorfelder wie Koordinaten\grqq\ und hei"sen deshalb auch \glqq kovariant\grqq, wohingegen Vektorfelder sich \glqq vermittels der inversen transponierten Matrix transformieren\grqq\ und deshalb \glqq kontravariant\grqq\ hei"sen. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}[\textbf{Verwandtschaft von Feldern und von Funktionen}] Sei $\phi :U\ra V$ eine differenzierbare\label{VerW} Abbildung zwischen halboffenen Teilmengen endlichdimensionaler reeller R"aume $X$ und $Y.$ \begin{enumerate} \item Zwei Vektorfelder $A: U \rightarrow \vec{X}$ und $B:V \rightarrow \vec{Y}$ hei"sen {\bf $\phi $-verwandt}\index{verwandt!Vektorfelder} und wir schreiben $\phi:A\leadsto B$ genau dann, wenn f"ur alle $ x \in U$ gilt $$(\diff_x \phi )(A_x) = B_{\phi (x)}$$ \item Zwei Kovektorfelder $\eta: U \rightarrow \vec{X}^\ast$ und $\omega:V \rightarrow \vec{Y}^\ast$ hei"sen {\bf $\phi $-verwandt}\index{verwandt!Kovektorfelder} und wir schreiben $\phi:\eta\leadsto \omega$\index{)4@$\leadsto$ verwandt!Vektorfelder} genau dann, wenn f"ur alle Punkte $ x \in U$ gilt $\eta_{x} = \omega_{\phi (x)}\circ \diff_x \phi $ oder gleichbedeutend, mit der transponierten Abbildung $(\diff_x \phi )^\top: \vec{X}^\ast\ra \vec{Y}^\ast$ aus \eref{NTAb}{LA1} zum Differential $\diff_x \phi : \vec{Y}\ra \vec{X}$ notiert, $$\eta_{x} = (\diff_x \phi )^\top(\omega_{\phi (x)}) $$ \item Zwei reelle Funktionen $g: U \rightarrow \DR$ und $f:V \rightarrow \DR$ hei"sen {\bf $\phi $-verwandt}\index{verwandt!Funktionen} und wir schreiben $\phi:g\leadsto f$ \index{)4@$\leadsto$ verwandt!Funktionen} genau dann, wenn gilt $g=f\circ \phi ,$ als da hei"st, wenn f"ur alle $ x \in U$ gilt $$g(x)=f( \phi (x))$$ \end{enumerate} \end{Definition} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth] {SkriptenBilder/BildVSch}\\[4mm] \noindent Dieses Bild soll den Effekt der Scherung $\phi:\DR^2\sira \DR^2,$ $(x,y)\mapsto (x+y,y)$ auf dem Kovektorfeld $\diff y$ und dem Vektorfeld $\partial_y$ darstellen. Bei der bildlichen Darstellung unseres Kovektorfelds folgen wir den auf Seite \pageref{BDKO} im Anschlu"s an \ref{VFKF} eingef"uhrten Konventionen. Man erkennt, da"s $\diff y$ unter dieser Scherung verwandt ist zu sich selber, in Formeln $\phi:\diff y\leadsto \diff y,$ wohingegen $\partial_y$ verwandt ist zu $\partial_x+\partial_y,$ in Formeln $\phi:\partial_y\leadsto \partial_x+\partial_y.$ Alternativ und im Wesentlichen gleichbedeutend mag man sich auch auf den Standpunkt stellen, da"s wir auf dem Wertebereich von $\phi$ ein \glqq verschertes Koordinatensystem\grqq\ $(u,v)$ eingef"uhrt haben mit $u$ und $v$ den Komponenten der zu $\phi$ inversen Abbildung, also $u(x,y)=x-y$ und $v(x,y)=y.$ Dann erhalten wir statt der obigen Verwandtschaften die Formeln $\diff v=\diff y$ sowie $ \partial_v=\partial_x+\partial_y.$ \end{figure} % \begin{Bemerkungl} % Die Definition dieser Verwandtschaftsbeziehungen sollte als % ein integraler Bestandteil der Definition von Vektorfeldern % und von Kovektorfeldern verstanden werden. % Wenn man in Koordinaten arbeitet % \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Existenz und Eindeutigkeit von Verwandten}] Unter einer differenzierbaren Bijektion mit\label{ZHEF} differenzierbarer Umkehrabbildung haben alle Vektorfelder, Kovektorfelder und Funktionen jeweils genau einen Verwandten, und unter der Identit"at sind sie jeweils selbst dieser einzige Verwandte. Ist allgemeiner $\phi :U\ra V$ differenzierbar aber sonst beliebig, so hat jedes Kovektorfeld $\omega$ auf $V$ immer noch genau einen \glqq R"uckw"artsverwandten\grqq\ auf $U,$ der eben gegeben wird durch die Formel $\eta_{x} = (\diff_x \phi )^\top(\omega_{\phi (x)}) $ und der notiert wird als $$\eta=\phi ^\ast (\omega)$$ Er hei"st das {\bf mit $\phi $ zur"uckgezogene} oder {\bf zur"uckgeholte Kovektorfeld}.\index{R"uckzug!von Kovektorfeld} Ebenso hat jede Funktion $f$ auf $V$ genau einen \glqq R"uckw"artsverwandten\grqq, eben die Funktion $f\circ \phi ,$ die man auch die {\bf mit $\phi $ zur"uckgezogene Funktion}\index{R"uckzug!von Funktionen} nennt und manchmal $\phi ^\ast(f)$ notiert. Bei Vektorfeldern liegen die Verh"altnisse nicht so einfach, aber ist $\phi$ surjektiv, so hat jedes Vektorfeld auf $U$ zumindest nicht mehr als einen \glqq Vorw"artsverwandten\grqq\ auf $V.$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Transitivit"at von Verwandtschaft}] Seien zus"atzlich zu den obigen Daten $Z$ ein\label{VerT} endlichdimensionaler reeller Raum und $W\subset Z$ eine halboffene Teilmenge und $\psi :V\ra W$ eine stetig differenzierbare Abbildung gegeben. Ist ein Vektorfeld $C$ auf $W$ unter $\psi $ verwandt zu $B,$ so ist auch $A$ unter $\psi \circ \phi $ verwandt zu $C,$ in Formeln implizieren $\phi:A\leadsto B$ und $\psi:B\leadsto C$ also $\psi\circ \phi:A\leadsto C.$ Analoges gilt f"ur Funktionen und Kovektorfelder und l"a"st sich in den beiden letzteren F"allen auch schreiben als $(\psi \circ \phi )^\ast=\phi ^\ast \circ \psi ^\ast,$ so da"s etwa f"ur jedes Kovektorfeld $\kappa$ auf $C$ gilt $$(\psi \circ \phi )^\ast(\kappa)=\phi ^\ast ( \psi ^\ast(\kappa))$$ Aus Gr"unden der formalen Vollst"andigkeit sei noch erg"anzt, da"s unter der Identit"at wie bereits in \ref{ZHEF} erw"ahnt jedes Vektorfeld und jedes Kovektorfeld und jede Funktion verwandt ist zu sich selber und nur zu sich selber, es gilt also in Formeln $\op{id}:A\leadsto A$ und $(\op{id}:A\leadsto B)\RA A=B$ und dergleichen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Das Differential repektiert Verwandtschaft}] Verwandte Funktionen haben verwandte Differentiale,\label{VFVD} in Formeln impliziert $\phi:g\leadsto f$ also $ \phi:\diff g\leadsto \diff f,$ und gleichbedeutend haben wir f"ur alle $f$ die Identit"at $\phi ^\ast(\diff f)=\op{d} (\phi ^\ast(f) )=\op{d} (f\circ \phi ).$ In der Tat gilt f"ur jeden Punkt $y$ nach der Definition der Verwandtschaft und der Kettenregel $$(\phi ^\ast(\diff f))_y=(\diff_{\phi(y)} f)\circ \diff_y\phi= \op{d}_y (f\circ \phi )$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Das Ableiten nach Vektorfeldern repektiert Verwandtschaft}] Wenden wir verwandte Vektorfelder auf verwandte differenzierbare Funktionen an, so erhalten wir wieder verwandte Funktionen, in Formeln folgt aus $\phi:A\leadsto B$ und $\phi:g\leadsto f$ also $\phi:Ag\leadsto Bf$ oder anders geschrieben $(B f) \circ \phi = A (f \circ \phi ).$ Das folgt direkt aus der Kettenregel in mehreren Ver"anderlichen. Letzteres ist sogar eine hinreichende Bedingung: Gilt $(Af)\circ \phi=B(f\circ \phi)$ f"ur alle differenzierbaren Funktionen $f,$ so folgt $\phi:A\leadsto B.$ \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Zur"uckholen von Kovektorfeldern in Koordinaten}] F"ur $X=\Bbb{R}^n$ mit Koordinaten $x_1, \ldots , x_{n}$ und $Y = \Bbb{R}^{m}$ mit Koordinaten $y_{1}, \ldots , y_{m}$ und $\phi=(\phi_1,\ldots,\phi_n)$ eine differenzierbare\label{ZHeF} Abbildung von einer halboffenen Teilmenge von $\DR^m$ in eine halboffene Teilmenge von $\DR^n$ ergibt sich $ \phi^{\ast} (\diff x_{i}) = \op{d} (\phi^{\ast} x_{i}) =\diff \phi_{i} = \sum_{i} \frac{\partial \phi_{i}}{\partial y_{j}} \diff y_{j}$ unter Verwendung von \ref{VFVD} und \ref{DiFF}. Folglich kann das Zur"uckholen von Kovektorfeldern in Koordinaten beschrieben werden durch die Formel $$\phi^{\ast} \left(\sum_{i} a_{i}\diff x_{i}\right) =\sum_{i,j} (a_{i} \circ \phi) \frac{\partial \phi_{i}}{\partial y_{j}}\; \diff y_{j} $$ \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Verwandtschaften unter der Polarkoordinatenabbildung}] Wir betrachten die Polarkoordinatenabbildung\label{BsPK} $$\begin{array}{cccl} P:&\DR^2&\ra&\DR^2\\ & (r,\vartheta)& \mapsto& (r \cos \vartheta, r \sin \vartheta) \end{array}$$ und benutzen die "ublichen Koordinaten $x,y$ auf dem Wertebereich. Unter dieser Abbildung ist etwa das Kovektorfeld $\diff x$ rechts verwandt zum Kovektorfeld $\op{d}(r \cos \vartheta )=(\cos \vartheta )\diff r -(r\sin \vartheta )\diff\vartheta$ links. Ebenso ist das Kovektorfeld $\diff y$ rechts verwandt zum Kovektorfeld $\op{d}(r \sin \vartheta )=(\sin \vartheta )\diff r +(r\cos \vartheta )\diff\vartheta$ links. Um einen Verwandten f"ur $\partial_\vartheta$ zu suchen, wenn dieses Vektorfeld denn einen Verwandten haben sollte, machen wir den Ansatz $\partial_\vartheta\leadsto a\partial_x+ b\partial_y$ mit unbestimmten Funktionen $a,b$ und finden durch Paaren mit $\diff x$ leicht $-(r\sin \vartheta )\leadsto a$ und durch Paaren mit $\diff y$ ebenso $(r\cos \vartheta )\leadsto b,$ womit wir f"ur das Vektorfeld $\partial_\vartheta$ links als einzigen Verwandten das Vektorfeld $-y\partial_x+x\partial_y$ rechts finden. Das Vektorfeld $\partial_r$ links hat keinen Verwandten rechts, denn derselbe Ansatz $\partial_r\leadsto a\partial_x+ b\partial_y$ f"uhrt zu $P:\sin \vartheta\leadsto a$ und $P:\cos \vartheta\leadsto b,$ und derartige Funktionen $a,b$ gibt es nicht. Schr"anken wir jedoch unsere Polarkoordinatenabbildung ein zu einer Abbildung $P:\{(r,\vartheta)\mid r>0\}\ra \DR^2\backslash 0,$ so gibt es derartige Funktionen doch und unser Vektorfeld $\partial_r$ hat unter dieser Einschr"ankung den einzigen Verwandten $$\left(x/\sqrt{x^2+y^2}\right)\partial_x + \left(y/\sqrt{x^2+y^2}\right) \partial_y$$ Meist wird man mit diesen Begriffen etwas gro"sz"ugiger umgehen, zwischen verwandte Objekte schlicht ein Gleichheitszeichen schreiben und es auch mit den Definitionsbereichen nicht so genau nehmen, so da"s wir etwa schreiben w"urden \begin{eqnarray*} \partial_r &=& (\cos \vartheta) \partial_x + (\sin \vartheta) \partial_y= \left(x/\sqrt{x^2+y^2}\right)\partial_x + \left(y/\sqrt{x^2+y^2}\right) \partial_y\\ \partial_\vartheta &=& -(r \sin \vartheta) \partial_x + (r \cos \vartheta) \partial_y=-y\partial_x+x\partial_y\\[2mm] \partial_x &=& (\cos \vartheta) \partial_r - \left(r^{-1}\sin \vartheta\right) \partial_{\vartheta}\\ \partial_y &=& (\sin \vartheta) \partial_r + \left(r^{-1}\cos \vartheta\right) \partial_\vartheta\\[2mm] \diff x&=&(\cos \vartheta )\diff r -(r\sin \vartheta )\diff\vartheta\\ \diff y&=&(\sin \vartheta )\diff r +(r\cos \vartheta )\diff\vartheta\\[2mm] \diff \vartheta&=&\left(-y/(x^2+y^2)\right)\diff x + \left(x/(x^2+y^2)\right)\diff y\\ \diff r&=&\left(x/\sqrt{x^2+y^2}\right)\diff x + \left(y/\sqrt{x^2+y^2}\right)\diff y \end{eqnarray*} Man kann die unteren Formeln auch so verstehen, da"s eben $\diff r$ das Differential der Funktion $r:(\DR^2\backslash 0)\ra\DR,$ $(x,y)\mapsto r(x,y)$ meint. Bei $\diff \vartheta$ wird es schon kritischer, da ja eigentlich $\vartheta$ nur auf geschlitzten Ebenen definiert werden kann. Allerdings unterscheiden sich die auf verschiedenen geschlitzten Ebenen definierten $\vartheta$ dann wieder nur um additive Konstanten, so da"s sie alle dasselbe Differential haben und wir doch ein wohldefiniertes Kovektorfeld $\diff \vartheta$ auf $\DR^2\backslash 0$ erhalten. Das ist auch der tiefere Grund daf"ur, da"s alle unsere Standardvektorfelder in diesem Fall wohldefinierte Verwandte haben und wir mit unseren Gleichheitszeichen nicht in Teufels K"uche kommen. Bei komplizierteren Vektorfeldern s"ahe das anders aus: So hat etwa das Vektorfeld $\vartheta\partial_\vartheta$ gar keinen Verwandten, es sei denn, wir schr"anken unsere Polarkoordinatenabbildung noch weiter ein. \end{Beispiel} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[height=0.4\textheight]{SkriptenBilder/BildVeKu}\\[4mm] \noindent Einige Werte des Vektorfelds $\partial_r$ als durchgezogene Pfeile und des Vektorfeld $\partial_\vartheta$ als gepunktelte Pfeile, gezeichnet in der $xy$-Ebene. \end{figure} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Partielle Ableitungen in lokalen Koordinaten}] Gegeben ein endlichdimensionaler affiner Raum $X$ und eine offene Teilmenge $U \co X$ und ein Diffeomorphismus alias ein System lokaler Koordinaten $(x_1, \ldots, x_n) : U \overset{\sim}{\rightarrow} V \co \Bbb{R}^n$ bezeichnet man gerne mit $\frac{\partial}{\partial x_i}$ oder auch mit $\partial_i$ diejenigen Vektorfelder auf $U$, die unter diesem Diffeomorphismus zu den eben eingef"uhrten Vektorfeldern auf $\Bbb{R}^n$ verwandt sind. Man beachte jedoch, da"s f"ur eine einzelne Funktion $x : U \rightarrow \Bbb{R}$ nicht sinnvoll ein Vektorfeld $\frac{\partial}{\partial x}$ auf $U$ erkl"art werden kann: Selbst wenn sich unsere Funktion zu einem Koordinatensystem erg"anzen lassen sollte, wird doch das durch diese Erg"anzung erkl"arte Vektorfeld $\frac{\partial}{\partial x} $ wesentlich von der Wahl der anderen Koordinaten abh"angen. All das steht im Gegensatz zum Differential $\diff x$ einer Funktion $x,$ das durchaus auch f"ur eine einzelne Funktion sinnvoll definiert ist. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Weitere Vertr"aglichkeiten unserer Verwandtschaften}] Verwandschaft ist vertr"aglich mit dem Bilden von Produkten von Funktionen. Verwandschaft ist vertr"aglich mit dem Bilden des Produkts von Funktionen und Vektorfeldern, in Formeln folgt aus Verwandschaften $\phi:g\leadsto f$ und $\phi:A\leadsto B$ also $\phi:gA\leadsto fB$ oder anders geschrieben folgt aus $\phi:A\leadsto B$ bereits $\phi:(f\circ \phi)A\leadsto fB.$ Verwandschaft ist vertr"aglich mit dem Bilden des Produkts von Funktionen und Kovektorfeldern, in Formeln folgt aus $\phi:g\leadsto f$ und $\phi:\eta\leadsto \omega$ also $\phi:g\eta\leadsto f\omega$ oder anders geschrieben gilt $\phi^\ast(f\omega)=(f\circ \phi)\phi^\ast\omega.$ Schlie"slich ist Verwandschaft auch vertr"aglich mit dem Auswerten von Kovektorfeldern auf Vektorfeldern, in Formeln folgt aus $\phi:\eta\leadsto \omega$ und $\phi:A\leadsto B$ also $\phi:\langle \eta,A\rangle\leadsto \langle \omega,B\rangle$ alias aus $\phi:A\leadsto B$ folgt $\langle \phi^\ast\omega,A\rangle=\langle \omega,B\rangle\circ \phi.$ Das ist sogar eine hinreichende Bedingung: Gilt $\langle \phi^\ast\omega,A\rangle=\langle \omega,B\rangle\circ \phi$ f"ur alle Kovektorfelder $\omega,$ so folgt $\phi:A\leadsto B.$ \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{VWER} Unter der Inversion am Einheitskreis $\DR^2\backslash 0\sira \DR^2\backslash 0$, $(x,y)\mapsto (u,v)=(x^2+y^2)^{-1}(x,y)$ zeige man die Verwandtschaft von Vektorfeldern $$\begin{array}{lll} \partial_x&\leadsto& (v^2-u^2)\partial_u-2uv\partial_v \\ \partial_y&\leadsto& (u^2-v^2)\partial_v-2uv\partial_u \end{array}$$ \end{Ubung} \begin{Ubung} Seien auf einer halboffenen Teilmenge $U\subset E$ eines $n$-dimen\-sionalen reellen Raums Vektorfelder $A_1,\ldots, A_n$ und Kovektorfelder $\omega_1,\ldots,\omega_n$ gegeben mit\label{dkVF} $\langle \omega_i,A_j\rangle=\delta_{ij}$ an jeder Stelle $p\in U$. So gilt f"ur jede stetig differenzierbare Funktion $f:U\ra\DR$ die Identit"at $\diff f=(A_1f)\omega_1+\ldots+(A_nf)\omega_n$. \end{Ubung} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "AAANA2" %%% End: