%\section{Wegintegrale und Potentiale} \subsection{Gradienten in krummlinigen Koordinaten*}\label{GKK} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Motivation und erstes Beispiel}] Gegeben eine offene Teilmenge $U\co \DR^n$ und eine hinreichend differenzierbare Funktion $f : U \rightarrow \Bbb{R}$ definiert man wie in \ref{GrAd} ihren {\bf Gradienten}\index{Gradient} als das Vektorfeld \begin{equation*} \op{grad} f \;= \;\frac{\partial f}{\partial x_1} \partial_1 + \ldots + \frac{\partial f}{\partial x_n} \partial_n \end{equation*} auf $U.$ Ich will im Folgenden diskutieren, welche Form dieses Konstrukt in krummlinigen Koordinaten annimmt. Formal ist damit folgendes gemeint: Man betrachte zus"atzlich $V \co \Bbb{R}^n$ und einen Diffeomorphismus $\phi : V \overset{\sim}{\rightarrow} U$ und berechne aus $(f \circ \phi ) $ das unter $\phi $ zu $(\op{grad} f)$ verwandte Vektorfeld auf $V$. In der Notation wird vielfach $\phi $ einfach weggelassen und nur die Bezeichnungen der Koordinaten deuten das Gemeinte an. Ist etwa $ \phi =P:\DR_{>0}\times \DR\ra \DR^2\backslash 0$ wie in \ref{BsPK} die Polarkoordinatenabbildung, so erhalten wir mit den Formeln aus \ref{BsPK} sofort $f_x = \cos \vartheta\; f_r - r^{-1}\sin \vartheta\; f_{\vartheta}$ und $f_y = \sin \vartheta\; f_r + r^{-1}\cos \vartheta\; f_\vartheta$ und nach kurzer Rechnung die Verwandtschaft von Vektorfeldern \begin{equation*} \op{grad} f \;=\;f_x\partial_x +f_y\partial_y\;=\; f_r \partial_r + \frac{1}{r^2} f_\vartheta \partial_\vartheta \end{equation*} Man nennt sie die {\bf Darstellung des Gradienten in Polarkoordinaten}.\index{Polarkoordinaten!Gradient in} Hier haben wir die Notation $f_x=\frac{\partial f}{\partial x}$ f"ur die entsprechende partielle Ableitung aus \ref{dpA} und die Abk"urzung $\partial_x=\frac{\partial }{\partial x}$ aus \ref{pavf} f"ur den besagten Differentialoperator alias besagtes Vektorfeld verwendet. Bereits bei der Transformation des Gradienten in Kugelkoordinaten wird die Rechnung jedoch recht aufwendig. Ich will im folgenden erkl"aren, mit welchen Kunstgriffen man sie strukturieren und "ubersichtlicher gestalten kann. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Tensor-Notation f"ur Bilinearformen}] Gegeben ein Vektorraum $V$ "uber einem K"orper $k$ notieren wir \index{Bil@$\op{Bil}$ Bilinearformen} $$\op{Bil}(V)=\op{Bil}_k(V)$$ den Vektorraum aller bilinearen Abbildungen $V\times V\ra k.$ Gegeben Linearformen $\lambda, \eta:V\ra k$ notieren wir $(\lambda\otimes\eta) \in \op{Bil}(V)$\index{$\otimes$!Notation f"ur Bilinearform} die\index{o@$\otimes$!Notation f"ur Bilinearform} bilineare Abbildung $(v,w)\mapsto \lambda(v)\eta(w).$ Sicher ist $(\lambda,\eta)\mapsto \lambda\otimes\eta$ selbst eine bilineare Abbildung $V^\ast\times V^\ast\ra \op{Bil}(V).$ Statt $\eta\otimes\eta$ schreibt man meist k"urzer $\eta^{\otimes 2}.$ Das Symbol $\otimes$ wird in \eref{DefT}{LA2} noch mit mehr Bedeutung aufgeladen. Hier darf und soll es ausschlie"slich als bequeme Notation verstanden werden. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Sei $X$ ein endlichdimensionaler reeller Raum und $U \co X$ eine offene Teilmenge. Ein \defnoind{$2$-Tensor}\index{Tensor!$2$-Tensor} {\bf auf} $U$ ist eine Abbildung $$g :U \rightarrow \op{Bil}(\vec{X})$$ von $U$ in den Raum $\op{Bil}(\vec{X})$ aller bilinearen Abbildungen $\vec{X} \times \vec{X} \rightarrow \Bbb{R}$. Eine {\bf Riemann'sche Metrik}\index{Riemann!Riemann'sche Metrik} {\bf auf} $U$ ist ein $2$-Tensor $g$, der jedem Punkt $p \in U$ ein Skalarprodukt $g_p$ auf $\vec{X}$ zuordnet. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Beispiele f"ur $2$-Tensoren und Riemann'sche Metriken}] Das Standard\-skalarprodukt auf $\Bbb{R}^n$ liefert eine Riemann'sche Metrik auf $\Bbb{R}^n$ und auf jeder offenen Teilmenge $U \co \Bbb{R}^n$. Gegeben Kovektorfelder $\omega$ und $\eta$ auf einer offenen Teilmenge $U$ eines endlichdimensionalen reellen Raums $X$ k"onnen wir den $2$-Tensor $$\begin{array}{cccc} \omega \otimes \eta :&U &\rightarrow &\op{Bil} (\vec{X})\\ & p& \mapsto &\omega_p \otimes \eta_p \end{array}$$ betrachten. Weiter k"onnen wir $2$-Tensoren punktweise addieren und mit Funktionen multiplizieren. Die "ubliche Riemann'sche Metrik auf $\Bbb{R}^n$ kann in diesen Konventionen geschrieben werden als $s = \diff x_1^{ \otimes 2} + \ldots + \diff x_n^{ \otimes 2}.$ Eine beliebige Riemann'sche Metrik $g$ auf einer offenen Teilmenge $U\co \Bbb{R}^n$ hat in diesen Notationen die Gestalt \begin{equation*} \sum^n_{i,j=1} g_{ij} \diff x_i \otimes \diff x_j \end{equation*} f"ur Funktionen $g_{ij} : U \rightarrow \Bbb{R}$, die an jedem Punkt $p \in U$ eine positiv definite symmetrische Matrix bilden. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Partielles Auswerten von Bilinearformen}] Gegeben ein Vektorraum $V$ "uber einem K"orper $k$ liefert jede Bilinearform $g\in \op{Bil}(V)$ eine Abbildung $$ \begin{array}{lccc} \op{can}_g:&V&\ra&V^\ast\\ &v&\mapsto &(w\mapsto g(v,w)) \end{array} $$ von unserem Vektorraum in seinen Dualraum, die jedem Vektor $v$ die Linearform \glqq Paare mit $v$\grqq\ zuordnet. Zum Beispiel h"atten wir $\op{can}_{\lambda\otimes\eta}(v)=\lambda(v)\eta.$ Gleichberechtigt k"onnten wir auch die Abbildung $\op{can}^2_g:v\mapsto (w\mapsto g(w,v))$ betrachten und m"u"sten dann, um dieser Gleichberechtigung Ausdruck zu verleihen, eigentlich genauer $\op{can}_g=\op{can}^1_g$ schreiben. Das w"urde jedoch die Notation schwerf"alliger machen, und ich denke, diese zus"atzliche Schwere wiegt den Gewinn an Klarheit nicht auf. An dieser Stelle m"ochte ich auch allen Leserinnen versichern, da"s sie ganz genauso gemeint sind, wenn einmal von \glqq dem Leser\grqq\ die Rede ist. Ich denke auch in diesem Zusammenhang, da"s die zus"atzliche Schwere der geschlechtsneutralen Formulierungen den Gewinn an Klarheit nicht aufwiegt. Ist speziell $g$ nichtausgeartet und $V$ endlichdimensional, so ist $\op{can}_g$ ein Isomorphismus $\op{can}_g:V\sira V^\ast$ und wir k"onnen auch sein Inverses $\op{can}_g^{-1}:V^\ast\sira V$ betrachten. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Partielles Auswerten von $2$-Tensoren}] Gegeben ein Vektorfeld $A$ und ein $2$-Tensor $g$ k"onnen wir\label{Grgg} ein Kovektorfeld $\op{can}_g (A)$ %und $\op{can}^2_g (A)$ bilden durch das Einsetzen von $A$ in die erste Stelle von $g$. % Im Fall eines symmetrischen $2$-Tensors $g$ fallen diese beiden Kovektorfelder % zusammen, in jedem Fall vereinbaren wir % die Abk"urzung $\op{can}^1_g (A)=\op{can}_g (A)$. Ist unser $2$-Tensor $g$ an keiner Stelle ausgeartet, insbesondere also im Fall einer Riemann'schen Metrik, so ist diese Abbildung eine Bijektion \begin{equation*} \op{can}_g : \{ \text{Vektorfelder} \} \overset{\sim}{\rightarrow} \{ \text{Kovektorfelder} \} \end{equation*} Bezeichnet speziell $s$ das Standardskalarprodukt auf dem $\Bbb{R}^n$, so haben wir etwa $\op{can}_s (a \partial_i) = a \diff x_i$ f"ur jede Funktion $a$. F"ur unseren Gradienten aus \ref{GrAd} gilt folglich $ \op{grad} f = \op{can}^{-1}_s (\diff f) $. Im allgemeinen verwendet man die Notation $$\op{grad}_g f\pdef \op{can}^{-1}_g (\diff f)$$ und nennt dies Vektorfeld den {\bf Gradienten von $f$ in Bezug auf die Riemann'sche Metrik $g$}\index{grad@$\op{grad}_g$ Gradient zu Metrik $g$} oder allgemeiner in Bezug auf den nichtausgearteten $2$-Tensor $g.$ \end{Bemerkungl} \begin{Definition}[\textbf{Verwandtschaft von $2$-Tensoren}] Seien $U \co X$, $V\co Y$ offene\label{VW2T} Teilmengen endlichdimensionaler reeller R"aume und $\phi :U \rightarrow V$ stetig differenzierbar. Vorgegebene $2$-Tensoren $s$ auf $U$ und $g$ auf $V$ hei"sen \defnoind{$\phi$-verwandt}\index{verwandt!$2$-Tensoren} und wir schreiben $\phi:s\leadsto g$\index{)4@$\leadsto$ verwandt!$2$-Tensoren} genau dann, wenn f"ur alle $x \in U$ und $v,w \in \vec{X}$ gilt \begin{equation*} s_x (v,w) = g_{\phi(x)} \left( ( \diff_x \phi)(v), (\diff_x \phi) (w)\right) \end{equation*} \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Vertr"aglichkeiten unserer Verwandtschaften}] Wieder ist Verwandschaft vertr"aglich mit allen nat"urlichen Operationen, etwa mit dem Einsetzen von Vektorfeldern, dem Multiplizieren mit Funktionen, unserer Konstruktion $\otimes$ etc. Insbesondere haben verwandte Funktionen unter verwandten Riemann'schen Metriken verwandte Gradienten, in Formeln impliziert $\phi:s\leadsto g$ also die Verwandtschaft von Vektorfeldern $$\phi:\op{grad}_s(f\circ \phi)\leadsto \op{grad}_gf$$ Offensichtlich hat jeder $2$-Tensor $g$ auf $V$ genau einen Verwandten auf $U,$ den wir mit $\phi^\ast g$ bezeichnen und den {\bf zur"uckgeholten $2$-Tensor} nennen. Gegeben eine parametrisierte Fl"ache im Raum oder allgemeiner eine differenzierbare Abbildung $\phi:U\ra\DR^3$ mit $U\co\DR^2$ bezeichnet man den symmetrischen $2$-Tensor auf $\DR^2,$ der durch das Zur"uckholen der Standardmetrik entsteht, auch als die {\bf erste Fundamentalform}\index{Fundamentalform, erste} unserer parametrisierten Fl"ache. \end{Bemerkungl} \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildDPo}\\[4mm] \noindent Dies Bild soll die Verwandtschaft von Riemann'schen Metriken $f: \diff r^{\otimes 2} + r^2 \diff\vartheta^{\otimes 2}\leadsto \diff x^{\otimes 2} + \diff y^{\otimes 2}$ verdeutlichen, mit $f=P$ der Polarkoordinatenabbildung. Das Differential an der Stelle $(r,\vartheta)=(1\frac{1}{2},\frac{\pi}{2})$ ist dargestellt durch seinen Effekt auf der Standardbasis, die wir auch $(\partial_r,\partial_\vartheta)$ notieren k"onnten. Die Standardbasis geht an jeder Stelle "uber in eine Orthogonalbasis und das Bild des ersten Basisvektors hat auch wieder die L"ange Eins, das Bild des zweiten Basisvektors jedoch im allgemeinen die L"ange $r$ und in unserem Fall die L"ange $1\frac{1}{2}.$ Die Standardmetrik auf der $xy$-Ebene entspricht folglich einer Metrik auf der $r\vartheta$-Ebene, bei der $\partial_r$ und $\partial_\vartheta$ aufeinander senkrecht stehen und $\partial_r$ die L"ange Eins hat, wohingegen $\partial_\vartheta$ die L"ange $r$ hat. Diese Eigenschaften aber charakterisieren genau unsere Metrik $\diff r^{\otimes 2} + r^2 \diff\vartheta^{\otimes 2}.$ \end{Bild} \begin{Beispiel}[\textbf{Gradienten in Polarkoordinaten}] Unter der Polarkoordinatenabbildung $P$ aus \ref{BsPK} ist die Standardmetrik $s =\diff x^{\otimes 2} + \diff y^{\otimes 2}$ auf\label{PKMm} der $xy$-Ebene verwandt zum $2$-Tensor \begin{eqnarray*} g &=& (\cos \vartheta \diff r - r \sin \vartheta\diff\vartheta )\otimes (\cos \vartheta \diff r -r\sin \vartheta \diff\vartheta) \\ &&+ (\sin \vartheta \diff r + r \cos \vartheta \diff \vartheta) \otimes (\sin \vartheta \diff r + r \cos \vartheta \diff \vartheta )\\[2mm] &=& \diff r^{\otimes 2} + r^2 \diff\vartheta^{\otimes 2} \end{eqnarray*} auf der $r\vartheta$-Ebene, der auf dem Komplement der Nullstellenmenge von $r$ auch wieder eine Riemann'sche Metrik ist. Da"s hier keine gemischten Tensoren $\diff r \otimes \diff\vartheta$ auftreten, hat den Grund, da"s die Vektorfelder $\partial_r$ und $\partial_\vartheta$ auch in der $xy$-Ebene an jedem Punkt aufeinander senkrecht stehen. Die Koeffizienten $1$ und $r^2$ bedeuten gerade die quadrierten L"angen $s(\partial_r, \partial_r)$ und $s (\partial_\vartheta, \partial_\vartheta)$ der Vektoren dieser Vektorfelder. F"ur eine Funktion $f = f(x,y)$ mu"s schlie"slich $\diff f$ unter $P$ verwandt sein zu $\op{d} (f\circ P),$ und dann mu"s auch $\op{grad} f =\op{grad}_s f = \op{can}_s^{-1} (\diff f)$ verwandt sein zu $$\op{grad}_g (f\circ P)= \op{can}^{-1}_g \diff\;(f\circ P) = \op{can}^{-1}_g (f_r \diff r + f_\vartheta \diff \vartheta) = f_r \partial_r + \frac{1}{r^2} f_\vartheta \partial_\vartheta$$ Damit haben wir die Darstellung des Gradienten in Polarkoordinaten ein weiteres Mal hergeleitet. \end{Beispiel} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Im Ingenieurwesen gebr"auchliche alternative Notation}] Ingenieure arbeiten gerne mit einer anderen Darstellung von Vektorfeldern und betrachten etwa auf dem $\DR^2$ die auf euklidische L"ange Eins normierten Vektorfelder ${\mathbf e}_r=\partial_r$ und ${\mathbf e}_\vartheta= r^{-1}\partial_\vartheta.$ Nat"urlich kann jedes Vektorfeld $v$ auf dem Komplement des Ursprungs auch als $v=a{\mathbf e}_r+b{\mathbf e}_\vartheta$ geschrieben werden mit geeigneten reellwertigen Funktionen $a,b.$ In Formelsammlungen findet man h"aufig Formeln f"ur Gradienten und dergleichen in dieser Darstellung, zum Beispiel h"atten wir $\op{grad}f=(\partial_rf){\mathbf e}_r +r^{-1}(\partial_\vartheta f){\mathbf e}_\vartheta.$ Meist hei"sen die Koeffizienten eines Vektorfelds $v=a{\mathbf e}_r+b{\mathbf e}_\vartheta$ dann auch noch $a=v_r,$ $b=v_\vartheta.$ Das verbietet sich f"ur uns jedoch, da wir die Indexnotation bereits als K"urzel f"ur partielle Ableitungen verwenden. \end{Bemerkunge} \begin{Beispiel}\label{KuKo} Die \defind{Kugelkoordinaten} im Raum werden beschrieben durch eine geeignete Einschr"ankung der Abbildung $$\begin{array}{cccl} K :& \Bbb{R}^{3} & \ra &\;\;\;\Bbb{R}^{3}\\ & (r,\vartheta,\varphi ) &\mapsto & (r\cos \varphi \sin\vartheta, r \sin\varphi \sin\vartheta, r \cos \vartheta) \end{array}$$ Deren anschauliche Bedeutung wird in nebenstehendem Bild erl"autert. \end{Beispiel} \begin{figure}[p] \centering \includegraphics[height=0.5\textheight]{SkriptenBilder/BildKK} \\[4mm] \noindent Die Kugelkoordinatenabbildung hat die folgende anschauliche Bedeutung: Stellen wir uns ein Teleskop vor, das im Ursprung eines kartesischen Koordinatensystems auf einem waagerechten, d.h.\ in der $xy$-Ebene liegenden Drehteller steht und senkrecht nach oben zeigt. Um einen Stern zu betrachten, schwenken wir zun"achst das Teleskop nach unten in Richtung der positiven $x$-Achse um einen Winkel $\vartheta \in[0,\pi]$ und drehen dann den Drehteller um einen geeigneten Winkel, sagen wir um den Winkel $\varphi \in \left[ 0,2\pi \right)$ gegen den Uhrzeigersinn. Ist schlie"slich $r$ die Entfernung unseres Sterns, so gibt $K(r,\vartheta,\varphi)$ seine kartesischen Koordinaten an. Nat"urlich ist im Fall eines senkrecht "uber oder unter dem Teleskop befindlichen Sterns $\varphi$ nicht eindeutig, und befindet sich das Teleskop bereits im Stern, so sind beide Winkel nicht eindeutig. Die Einschr"ankung unserer Abbildung auf $r>0,$ $\vartheta \in(0,\pi)$ und $\varphi \in \left[ 0,2\pi \right)$ hinwiederum ist zwar injektiv, aber nicht surjektiv. Oft findet man auch eine Variante, bei der wir uns das Teleskop zu Beginn horizontal in Richtung der positiven $x$-Achse ausgerichtet denken und wo die zweite Koordinate $\theta \in[-\pi/2,\pi/2]$ den Winkel bezeichnet, um den das Teleskop nach oben bzw.\ bei negativem Winkel nach unten geschwenkt werden mu"s. Die Formeln lauten dann abweichend $(r,\theta,\varphi ) \mapsto (r\cos \varphi \cos\theta, r \sin\varphi \cos\theta, r \sin \theta).$ \end{figure} \begin{Bemerkunge} Ein $2$-Tensor hei"st {\bf symmetrisch}\index{symmetrisch!$2$-Tensor} bzw.\ {\bf antisymmetrisch}\index{antisymmetrisch!$2$-Tensor} genau dann, wenn er an jedem Punkt als Wert eine symmetrische bzw.\ antisymmetrische Bilinearfom auf $\vec{X}$ annimmt.\label{syasy} Antisymmetrische $2$-Tensoren werden wir sp"ater als sogenannte $2$-Formen wiedertreffen. Eine Riemann'sche Metrik ist per definitionem ein symmetrischer $2$-Tensor mit der zus"atzlichen Eigenschaft, positiv definit zu sein. \end{Bemerkunge} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Riemann'sche Metrik in Kugelkoordinaten}] Man zeige, da"s die Standardmetrik im $xyz$-Raum unter\label{SMKu} Kugelkoordinaten, wie sie \ref{KuKo} eingef"uhrt werden, verwandt ist zur Metrik \begin{equation*} g = \diff r^{\otimes 2} + r^{2} \diff \vartheta^{\otimes 2} + (r \sin \vartheta)^{2} \diff\varphi^{\otimes 2} \end{equation*} \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Gradient in Kugelkoordinaten}] Man zeige, da"s der Gradient in Kugelkoordinaten, wie sie \ref{KuKo} eingef"uhrt werden,\label{graKu} ausgedr"uckt wird durch die Formel \begin{equation*} \op{grad} f = f_r \partial_r + r^{-2} f_\vartheta \partial_\vartheta + (r \sin \vartheta)^{-2} f_\varphi \partial_\varphi \end{equation*} \end{Ubung} \ %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "AAANA2" %%% End: