%\section{Wegintegrale und Potentiale} \subsection{Wegintegrale}\label{WII} \index{Wegintegral} \begin{Definition}\label{WII1} Gegeben $A\subset X$ eine \hyperref[dho]{halboffene} Teilmenge eines endlichdimensionalen reellen Raums und $\gamma : [a,b]\ra A$ ein stetig differenzierbarer Weg und $\omega : A \ra \vec{X}^{\ast}$ ein stetiges Kovektorfeld auf $A$ definieren wir eine reelle Zahl $\wint_{\gamma} \omega$, das {\bf Integral des Kovektorfelds $\omega$ l"angs des Weges $\gamma$}, \index{Wegintegral!f"ur Kovektorfeld}\index{S@$\wint$ Wegintegral} durch die Vorschrift $$\Wint_{\gamma} \omega \pdef \int^{b}_{a} \omega_{\gamma(t)}\left( {\gamma}'(t)\right) \diff t$$ In der physikalisch motivierten Terminologie nach \eref{pmT}{AN1} gilt es also, zu jedem Zeitpunkt $t\in[a,b]$ den Kovektor $\omega_{\gamma(t)}$ %an der Stelle $\gamma(t)$ auf dem Geschwindigkeitsvektor ${\gamma}'(t)$ auszuwerten und die so entstehende reellwertige Funktion "uber das Intervall $[a,b]$ zu integrieren. Sobald ich hoffe, Sie davon "uberzeugt zu haben, da"s keine Verwechslungen zu bef"urchten sind, notiere ich Wegintegrale meist auch ohne Kringel mit $\int$ statt $\wint$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion des Symbols $\oint$}] "Ublicherweise verwendet man $\oint$ nur f"ur Wegintegrale "uber geschlossene Wege. Da mir aber in Latex kein besseres Symbol zur Verf"ugung stand, und da mir in dieser Stelle die Verwendung einer Variation des Integralzeichens dringend geboten schien, und da das Integral "uber geschlossene Wege von einem mathematischen Standpunkt aus betrachtet eh kein eigenes Symbol verdient, verwende ich dies Symbol, und auch nur in diesem Abschnitt, in einer erweiterten Bedeutung auch f"ur Wegintegrale "uber nicht notwendig geschlossene Wege. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Wegintegrale "uber Identit"atswege}] Gegeben zwei reelle Zahlen $a0$ finden wir wegen der gleichm"a"sigen Stetigkeit von ${\gamma}'$ ein $\delta>0$ derart, da"s gilt $|s-t|<\delta\RA \|{\gamma}'(s)-{\gamma}'(t)\|<\varepsilon.$ Ist $r$ so gro"s, da"s die L"ange der Intervalle $t_{i+1}-t_{i}$ unter $\delta$ sinkt, so folgt mit dem Mittelwertsatz \eref{MWS}{AN1} in mehreren Ver"anderlichen $\gamma (t_{i+1})-\gamma (t_{i})\in (t_{i+1}-t_{i})\op{B}({\gamma}'(t_{i});\varepsilon),$ was wir umschreiben k"onnen zu $$\|\gamma (t_{i+1})-\gamma (t_{i})-(t_{i+1}-t_{i}){\gamma}'(t_{i})\|< (t_{i+1}-t_{i})\varepsilon$$ Das hinwiederum liefert f"ur $r$ oberhalb einer geeigneten Schranke die Absch"atzung $$|S^{r}_{\gamma} (\omega)-S^{r}| \leq \sum^{r-1}_{i=0} \|\omega_{\gamma (t_{i})}\|\;(t_{i+1} - t_{i})\varepsilon \leq \left(\op{sup}_{t\in[a,b]}\|\omega_{\gamma(t)}\|\right)(b-a)\varepsilon$$ Diese Differenz strebt also gegen Null f"ur $r\ra\infty,$ folglich strebt die Folge $S^{r}_{\gamma} (\omega) $ gegen denselben Grenzwert wie die Folge $S^{r}.$ \end{proof} % \begin{Bemerkungl} % Einer stetigen Funktion auf einem kompakten % Geradensegment $[p,q]$ in einem eindimensionalen reellen Raum k"onnen wir % nicht sinnvoll ein Integral zuordnen. Bei einer stetigen Einsform $\omega$ % aber gelingt das, sobald wir einen der Endpunkte unseres % Segments, etwa $p,$ auszeichnen: Dann k"onnen wir einfach den Weg % $[0,1]\ra [p,q]$ mit $t\mapsto p+t(q-p)$ betrachten und unsere % Einsform "uber diesen Weg integrieren. % Wir notieren diese Zahl wieder $\int_p^q\omega.$ % \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Wegintegral eines Kovektorfelds auf der Zeitachse}] Ein Kovektorfeld auf der Zeitachse kann, wie in \ref{KVD} erkl"art, nach der Wahl eines ausgezeichneten Drehsinns\label{drii} als eine Vorschrift aufgefa"st werden, die jedem Zeitpunkt eine Drehgeschwindigkeit zuordnet. Das Integral eines derartigen Kovektorfelds "uber einen Weg in der Zeitachse liefert dann anschaulich gesprochen die Zahl der Umdrehungen in Richtung des ausgezeichneten Drehsinns zwischen Anfangszeitpunkt und Endzeitpunkt. Liegt der Endzeitpunkt hier vor dem Anfangszeitpunkt, so ist entsprechend das Negative zu nehmen. \end{Beispiel} \begin{figure} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildFvWe}\\[4mm] \noindent Der Flu"s des Vektorfelds $\partial_r=(x/r)\partial_x+(y/r)\partial_y $ durch den Weg $\gamma:[0,2\pi]\ra \DR^2,$ $t\mapsto (3\cos t,3\sin t)$ ergibt sich nach kurzer Rechnung zu $6\pi.$ Die Zirkulation desselben Vektorfeldes in demselben Weg ist dahingegen Null. \end{figure} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Wegintegrale von Vektorfeldern}]\index{Wegintegral!f"ur Vektorfeld} Redet man f"ur $X=\DR^n$ vom Integral eines Vektorfelds $v:A\ra \DR^n$ l"angs eines Weges oder von\label{WV} der \defind{Zirkulation} {\bf eines Vektorfelds in einem Weg}, so ist das Integral des Kovektorfelds $\omega=\left\langle v,\;\right\rangle$ gemeint, das in Formeln gegeben wird durch $\omega=v_1\diff x_1+\ldots +v_n\diff x_n.$ In der Physik wird das Standardskalarprodukt auf dem $\DR^n$ meist $v\cdot w$ notiert und unser Wegintegral "uber einen Weg $\gamma:[a,b]\ra A$ w"urde geschrieben als $$\int_{\gamma}v\cdot \diff{\mathbf x}= \int_{a}^b v\cdot \diff\gamma= \int_{a}^b v(\gamma(t))\cdot \dot\gamma(t)\diff t$$ Die Bedeutung der Terme des rechtesten Integrals sollte hier klar sein. In der Mitte ist zu verstehen $\diff\gamma=\diff_t\gamma=\dot{\gamma}(t)\diff t.$ Ganz links meint $ \diff{\mathbf x}$ ein \glqq kleines vektorielles Kurvenelement\grqq\ und das ${\mathbf x}$ ist fett gedruckt um anzudeuten, da"s ein Vektor gemeint ist. Ich mag diese Notation nicht besonders, die fette Schreibweise ist auch an der Tafel schlecht umzusetzen. Allgemeiner kann man Wegintegrale von Vektorfeldern $v$ bilden, wann immer ein Skalarprodukt oder allgemeiner ein ausgezeichneter $2$-Tensor $g$ zur Verf"ugung steht, indem wir eben zu unserem Vektorfeld das Kovektorfeld $\omega=\op{can}^1_g(v)$ oder auch $\omega=\op{can}^2_g(v)$ bilden und diese Kovektorfelder dann integrieren wie in \ref{WII1} erkl"art. Ohne einen ausgezeichneten $2$-Tensor gelingt es eben nicht, zwei Vektoren in nat"urlicher Weise zu paaren: Das gelingt ohne zus"atzliche Wahlen in nat"urlicher Weise nur f"ur einen Vektor und einen Kovektor. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkunge} Redet man f"ur $X=\DR^2$ vom {\bf Flu"s eines Vektorfelds $v=(v_1,v_2):A\ra \DR^2$ durch einen Weg}, so ist das Integral "uber das Kovektorfeld $\omega=v_1\diff y-v_2\diff x$ gemeint. Dies Kovektorfeld kann alternativ auch beschrieben werden durch die Formel $\omega_p(u)=\det(v(p)| u),$ in der unsere Vektoren $v(p)$ und $u$ als Spaltenvektoren aufzufassen sind. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Wegintegral versus Kurvenintegral}] In der Literatur scheint mir eine gewisse Verwirrung zu herrschen was die Begriffe \glqq Wegintegral\grqq\ und \glqq Kurvenintegral\grqq\ angeht. Die hier gew"ahlte Terminologie soll zum Ausdruck bringen, da"s f"ur einen injektiven stetig differenzierbaren Weg $\gamma:[a,b]\ra \DR^n$ unser Kurvenintegral nur von der Bildmenge $\gamma([a,b])\subset \DR^n$ abh"angt, die wir im Sinne unserer Definition \ref{MFRx} eine \glqq Kurve\grqq\ werden nennen d"urfen. Unser Wegintegral dahingegen h"angt auch von der \glqq durch den Weg $\gamma$ gegebenen Richtung auf unserer Kurve\grqq\ ab und "andert sein Vorzeichen, wenn wir die Kurve \glqq in der umgekehrten Richtung durchlaufen\grqq. Andererseits bleibt das Wegintegral unver"andert selbst bei nicht notwendig monotoner \glqq Neuparametrisierung\grqq, wenn diese nur den Anfang bzw.\ das Ende des neuen Parameterintervalls auf den Anfang bzw.\ das Ende des Alten wirft, siehe \ref{UP}. Das Kurvenintegral dahingegen "andert sich bei derartigen Neuparametrisierungen im allgemeinen sehr wohl. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Verwandtschaft von Wegen}] Seien $A$ und $B$ topologische R"aume und $\phi:A\ra B$ eine stetige Abbildung. Zwei Wege $\gamma: I \rightarrow A$ und $\kappa:J \rightarrow B$ hei"sen {\bf $\phi $-verwandt}\index{verwandt!Wege} und wir schreiben $\phi:\gamma\leadsto \kappa$\index{)4@$\leadsto$ verwandt!Wege} genau dann, wenn sie denselben Definitionsbereich $I=J$ haben und wenn f"ur alle $ t \in I$ gilt $\kappa(t)=\phi( \gamma (t))$. Sicher hat jeder Weg $\gamma$ in $A$ genau einen Verwandten in $B$, n"amlich den Weg $\phi\circ\gamma$. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Das Wegintegral respektiert Verwandtschaft}] Seien $X$ und $Y$ endlichdimensionale reelle R"aume, $A\subset X$ und $B\subset Y$ darin halboffene\label{TfW} Teilmengen sowie $\phi:A\ra B$ eine stetig differenzierbare Abbildung. Ist $\gamma:[a,b]\ra A$ ein stetig differenzierbarer Weg in $A$ und $\omega$ ein stetiges Kovektorfeld auf $B,$ so gilt $$\Wint_\gamma \phi^\ast\omega=\Wint_{\phi\circ \gamma}\omega$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Der Inhalt dieses Satzes l"a"st sich dahingehend zusammenfassen, da"s das Wegintegral Verwandtschaft respektiert: Die Verwandtschaft von Wegen $\phi:\gamma\leadsto\kappa$ zusammen mit der Verwandtschaft von Kovektorfeldern $\phi:\eta\leadsto\omega$ implizieren die Gleichheit der Wegintegrale $$\Wint_\gamma \eta=\Wint_\kappa \omega$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} F"ur Wegintegrale "uber Vektorfelder in euklidischen R"aumen gilt die analoge Formel nur f"ur $\phi$ die Restriktion einer Isometrie. Das ist ein wesentlicher Grund daf"ur, da"s der Begriff des Wegintegrals "uber Kovektorfelder weiter tr"agt. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir rechnen $\wint_\gamma \phi^\ast\omega=\wint_a^b \gamma^\ast \phi^\ast\omega= \wint_a^b (\phi\circ \gamma)^\ast\omega= \wint_{\phi\circ \gamma}\omega,$ wo wir in den beiden "au"seren Gleichungen unser Wegintegral jeweils mit \ref{EBSW} auf den Parameterbereich zur"uckholen und in der Mitte die Transitivit"at des Zur"uckholens von Kovektorfeldern \ref{VerT} verwenden. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Zur"uckholen auf den Parameterbereich als Spezialfall}] Nehmen wir im Satz als $\gamma$ den Identit"atsweg $\gamma=\op{id}:[a,b]\ra [a,b]$ und als $\phi:[a,b]\ra B$ einen weiteren Weg, so ergibt sich unsere Erkenntnis $\wint_a^b \phi^\ast\omega=\wint_{\phi}\omega$ aus \ref{EBSW} "uber das Zur"uckholen auf den Parameterbereich als Spezialfall der Verwandtschaftsvertr"aglichkeit des Wegintegrals. Allerdings mu"s diese Erkenntnis f"ur den oben gegebenen Beweis des Satzes bereits zur Verf"ugung stehen. \end{Bemerkungl} \begin{Korollar}[\textbf{Wegintegral "uber ein Differential}] Ist $X$ ein endlichdimensionaler reeller\label{WIFP} Raum, $A \subset X$ eine halboffene Teilmenge, $ g: A \ra \Bbb{R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und $\gamma : [a,b]\ra A$ ein stetig differenzierbarer Weg in $A$, so gilt $$\Wint_\gamma \diff g = g(\gamma(b))-g(\gamma(a))$$ \end{Korollar} \begin{proof} Wir finden $\wint_\gamma \diff g =\wint_a^b \gamma^\ast (\diff g) =\wint_a^b \op{d} (g\circ \gamma) =g(\gamma(b))-g(\gamma(a))$ durch Zur"uckholen auf den Parameterbereich \ref{EBSW}, Vertr"aglichkeit von Verwandtschaft und Differential \ref{VFVD} sowie der Variante \ref{Vhs} des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung, die nebenbei bemerkt durch dies Korollar substanziell verallgemeinert wird. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Wegintegrale in eindimensionalen R"aumen}] Ist $X$ ein eindimensionaler reeller\label{WIFP} Raum und $A \subset X$ eine halboffene Teilmenge, so ist offensichtlich jedes stetige Kovektorfeld $ \omega$ auf $A$ das Differential $\omega=\diff g$ einer stetig differenzierbaren Funktion $g:A\ra \DR$. Gegeben $c,d\in A$ und ein stetig differenzierbarer Weg $\gamma$ von $c$ nach $d$ h"angt also $\wint_\gamma \omega=g(d)-g(c)$ vom Weg $\gamma$ gar nicht ab. Wir notieren dies Integral in Verallgemeinerung unserer Notation f"ur Integrale "uber Identit"atswege dann k"urzer $$\Wint_c^d\omega\pdef \Wint_\gamma \omega$$ Diese Notation ist allerdings nur sinnvoll, wenn es auch in der Tat einen Weg von $c$ nach $d$ gibt, der ganz in $A$ verl"auft. Ist $A\subset\DR$ ein Intervall, so pr"uft man unschwer, da"s mit dieser Notation unsere Formel $$\Wint_c^d f(x)\diff x=\int_c^d f(x)\diff x$$ aus \ref{UPPPn} f"ur beliebige $c,d\in A$ g"ultig bleibt. Ist schlie"slich $\gamma:[a,b]\ra A$ ein stetig differenzierbarer Weg von $c$ nach $d$, so entpuppt sich die blo"se Abh"angigkeit des Wegintegrals von den Endpunkten als verkleidete Fassung der Substitutionsregel, indem wir sie ausschreiben zu $$\int_a^b \gamma^\ast \omega=\Wint_\gamma \omega = \Wint_{\gamma(a)}^{\gamma(b)}\omega=\int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)}\omega$$ \end{Bemerkungl} \begin{Korollar}[\textbf{Wegintegrale sind unabh"angig von der Parametrisierung}] Sei $\gamma : [c,d]\ra X$ ein stetig differenzierbarer Weg in einem\label{UP} endlichdimensionalen reellen Raum $X$ und $\omega $ ein stetiges Kovektorfeld auf einer halboffenen Teilmenge, die sein Bild umfa"st. Sei $u : [a,b] \ra [c,d]$ stetig differenzierbar mit $u (a) =c$ und $u (b) =d$. So gilt $$\Wint_{\gamma \circ u} \omega = \Wint_{\gamma}\omega$$ \end{Korollar} \begin{proof} Wir schreiben unsere Behauptung mithilfe der Vertr"aglichkeit mit Verwandtschaft \ref{TfW} um zur Behauptung $\wint_u \gamma^\ast \omega = \wint_c^d \gamma^\ast \omega$. Diese Behauptung aber folgt wieder aus der Erkenntnis \ref{WIFP}, da"s Wegintegrale in eindimensionalen R"aumen nur von Anfangs- und Endpunkt des Integrationsweges abh"angen. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Verhalten unter richtungsumkehrender Umparametrisierung}] Der vorstehende Beweis zeigt auch, da"s bei einer richtungsumkehrenden Umparametrisierung, also f"ur $u$ mit $u(a)=d$ und $u(b)=c$ das Wegintegral "uber den umparametrisierten Weg das Negative des Wegintegrals "uber den urspr"unglichen Weg ist. In \ref{IiIt} werden wir allgemeiner das Integral von $k$-Formen "uber $k$-dimensionale orientierte Mannigfaltigkeiten einf"uhren und speziell im Fall $k=1$ ein Integral von Kovektorfeldern "uber orientierte Kurven erhalten, das nach \ref{Kurv} im wesentlichen die in der Proposition enthaltene Unabh"angigkeit des Wegintegrals von der Parametrisierung zu einer Definition umgie"st. \end{Bemerkungl} % \begin{Beispiel} % Ein Kovektorfeld auf einem Zeitintervall % d"urfen wir uns im Sinne von \ref{DrG} als eine % Vorschrift denken, die jedem seiner Zeitpunkte eine % Drehgeschwindigkeit zuordnet. Das Integral dieses Kovektorfelds % w"are in diesem Bild die Gesamtzahl der Umdrehungen unserer Achse % in dem gegebenen Zeitintervall oder, vielleicht sprachlich besser, % in der gegebenen Zeitspanne. % \end{Beispiel} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Integrale rationaler Ausdr"ucke in $\sinh$ und $\cosh$}] Wir k"onnen nun auch den in \eref{INTSH}{AN1} erkl"arten Trick zur Berechnung der Integrale von rationalen Ausdr"ucken in $(x, \sqrt{x^2+1})$ geometrisch verstehen.\label{Goe} Gegeben solch ein rationaler Ausdruck $R (x,y)$ betrachten wir dazu auf einer geeigneten Teilmenge des $\DR^2$ die Differentialform $ R (x,y)\diff x$ und den Weg $\gamma : [a,b] \rightarrow \Bbb{R}^2$ mit $\gamma (t) = \left(t, \sqrt{t^2 +1}\right)$ und fassen unser Integral auf als Wegintegral \begin{eqnarray*} \int^b_a R \left(t,\sqrt{t^2 +1}\right) \diff t = \Wint_\gamma R (x,y)\diff x \end{eqnarray*} Solch ein Wegintegral ist nach \ref{UP} unabh"angig von der Parametrisierung. Unser Weg durchl"auft ein St"uck der Hyperbel $y^2 - x^2 =1$, genauer ein St"uck des Hyperbelastes mit $y > 0$. Diesen Ast k"onnen wir nach \eref{PH}{AN1} auch parametrisieren durch $\varphi : (-1,1) \rightarrow \Bbb{R}^2$ mit $$\varphi (\tau) = \left( \frac{2\tau}{\tau^2 -1}, \frac{1+\tau^2}{1-\tau^2}\right)$$ und bei dieser Parametrisierung f"uhrt uns unser Wegintegral ganz offensichtlich auf das Integral einer rationalen Funktion in $\tau$, das wir nach \eref{IRFu}{AN1} im Prinzip durch bekannte Funktionen ausdr"ucken k"onnen. In derselben Weise kann man auch das Integral eines rationalen Ausdrucks im Funktionenpaar $(\sin,\cos)$ wie zum Beispiel $$\frac{\sin^3(\tau)+\cos(\tau)}{\cos(\tau)+\cos^2(\tau)}$$ angehen, das bereits in \eref{RSCI}{AN1} diskutiert wurde. Noch nat"urlicher als dort mag man es auffassen als Wegintegral im Sinne von \eref{KI}{AN1} eines Kovektorfelds mit rationalen Koeffizienten in zwei Ver"anderlichen, in unserem Beispiel etwa das Integral des Kovektorfelds $$R(x,y)\frac{\diff y}{x}=\frac{y^3+x}{x+x^2}\frac{\diff y}{x} $$ "uber ein St"uck des Einheitskreises. Mit der rationalen Parametrisierung \eref{PRr}{AN1} des Einheitskreises durch die stereographische Projektion l"a"st es sich dann umwandeln in ein Integral einer rationalen Funktion einer Ver"anderlichen. Im wesentlichen dasselbe Vefahren funktioniert auch f"ur rationale Ausdr"ucke in den Funktionenpaaren $(\sinh,\cosh)$ und $(\sqrt{1+ x^2},x)$. \end{Bemerkunge} % \begin{Definition} % Sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Raum, $A\subset V$ eine % halboffene Teilmenge und % $\omega$ ein Kovektorfeld auf $A.$ Gibt es eine Funktion % $f:A\ra \DR$ mit $\omega=-\diff f,$ so hei"st $f$ ein \defind{Potential} % f"ur unser Kovektorfeld $\omega.$ % \end{Definition} % \begin{Bemerkungl} % Arbeitet man im $\DR^n$ oder allgemeiner in einem % endlichdimensionalen reellen euklidischen Raum, so werden oft % Vektorfelder und Kovektorfelder identifiziert. % Unter einem Potential eines Vektorfeldes $v$ vesteht man dann % eine Funktion $f$ mit $v=-\op{grad}f.$ % \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir interessieren uns nun f"ur die Frage, unter welchen Bedingungen ein stetiges Kovektorfeld das Differential einer Funktion ist, und inwieweit diese Funktion eindeutig bestimmt ist. Diese Fragen werden nach einigen Vorbereitungen durch \ref{RP} und \ref{EDPo} beantwortet. \end{Bemerkungl} % \begin{Bemerkungl}[\textbf{Wohin? Wegintegrale "uber Geradensegmente}] % Gegeben ein stetiges % Kovektorfeld $\omega : A \ra % \vec{X}^{\ast}$ auf einer halboffenen Teilmenge\label{UPPP} % $A$ eines endlichdimensionalen reellen Raums $X$ und % Punkte $p,q\in A,$ bei denen das ganze verbindende Geradensegment % $[p,q]$ in $A$ liegt, vereinbaren wir f"ur das Integral % unseres Kovektorfelds "uber den geraden Weg $\gamma:[0,1]\ra A,$ % $t\mapsto p+t(q-p)$ von $p$ nach $q$ die Notation % $$\wint_\gamma \omega\defp \wint_p^q\omega$$ % F"ur ein stetiges Kovektorfeld $\omega=f(t)\diff t$ auf einem % reellen Intervall $A\subset \DR$ und $p,q\in A$ % erhalten wir nach der Definition des Wegintegrals \ref{WII1} % und der Substitutionsregel \eref{IdS}{AN1} insbesondere % $$\wint_p^qf(t)\diff t=\int_0^1 f\left(p+t(q-p)\right)\;(q-p)\diff t % =\int_p^qf(t)\diff t$$ % Wenn also eine Differentialform auf der reellen Gerade % in der Form $f(t)\diff t$ dargestellt ist, stimmt salopp gesprochen % ihr Wegintegral % "uberein mit dem Riemann-Integral, das dasteht, wenn man % beim Integralzeichen den Kringel % wegl"a"st. % Das Differential $\diff t$ der Identit"at % $t$ auf $\DR$ bedeutet % mithin in einem ideellen Sinn dasselbe % wie das $\diff t$, das wir bisher bei Riemann-Integralen % meist hinzugef"ugt hatten, % um klar zu machen, "uber welche Variable % integriert werden soll. % \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge}\label{IWEE} Seien $X$ ein endlichdimensionaler reeller Raum, $W$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und $A \subset X$ eine halboffene Teilmenge. Ein {\bf $W$-wertiges Kovektorfeld auf $A$}\index{vektorwertig!Kovektorfeld}\index{Kovektorfeld!vektorwertiges} ist eine Abbildung $$\omega : A \ra \op{Hom}_\DR (\vec{X},W)$$ Sie ordnet also jedem Punkt $p\in A$ eine lineare Abbildung des Richtungsraums in den Raum $W$ zu. Ist etwa $Y$ ein weiterer endlichdimensionaler reeller Raum und $A$ halboffen und $f: A \ra Y$ differenzierbar, so ist $\diff f$ oder genauer $p\mapsto \diff_p f$ ein $\vec{Y}$-wertiges Kovektorfeld auf $A$. Ist nun $\varphi : [a,b]\ra A$ ein stetig differenzierbarer Weg in einer halboffenen Teilmenge $A$ eines endlichdimensionalen reellen Raums $X$ und $\omega : A \ra \op{Hom}_\DR(\vec{X},W)$ ein stetiges Kovektorfeld auf $A$ mit Werten in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum $W,$ so definieren wir in Verallgemeinerung des Falls reellwertiger Kovektorfelder aus \ref{WII} einen Vektor $(\int_{\varphi} \omega)\in W,$ das {\bf Integral des $W$-wertigen Kovektorfelds $\omega$ l"angs des Weges $\varphi$}, \index{Wegintegral!vektorwertiges} durch die Vorschrift $$\Wint_{\varphi} \omega = \int^{b}_{a} \omega_{\varphi(t)}\left( {\varphi}'(t)\right) \diff t$$ Rechts ist also f"ur jeden Zeitpunkt $t$ der Homomorphismus $\omega_{\varphi(t)}:\vec{X}\ra W$ auszuwerten auf dem Geschwindigkeitsvektor ${\varphi}'(t)\in \vec{X},$ und die so entstehende stetige Abbildung $[a,b]\ra W$ ist als vektorwertige Funktion zu integrieren im Sinne von \eref{IV}{AN1}. \end{Bemerkunge} \begin{Beispielg}\label{PhTR} In der Physik begegnen einem insbesondere oft Kovektorfelder mit Werten in eindimensionalen reellen Vektorr"aumen. Zum Beispiel wird man sich ein Kraftfeld auf dem Anschauungsraum $\mathbb E$ aus \eref{RHOn}{LA2} a priori wie in \eref{KrFe}{WB} erkl"art als ein \glqq Vektorfeld mit Einheiten\grqq\ denken, genauer als Abbildung $$F: {\mathbb{E}} \ra \vec{\mathbb{E}} \otimes \llangle \ph{g}\!/\!\ph{s}^2\rrangle$$ Da es sich jedoch mit Kovektorfeldern bei Koordinatenwechseln sehr viel besser rechnen l"a"st als mit Vektorfeldern, ist es oft g"unstiger, die durch das kanonische Skalarprodukt $s:\vec{\mathbb{E}} \times \vec{\mathbb{E}} \ra {\mathbb{L}}^{\otimes 2}$ aus \eref{LkS}{LA2} gegebene Identifikation $\op{can}_s:\vec{\mathbb{E}} \sira \op{Hom}_\DR(\vec{\mathbb{E}}, {\mathbb{L}}^{\otimes 2})$ nachzuschalten und unser Kraftfeld stattdessen als eine Abbildung $$\tilde{F}: {\mathbb{E}} \ra \op{Hom}_\DR(\vec{\mathbb{E}} , \llangle \ph{g}\ph{m}^2\!/\!\ph{s}^2\rrangle)$$ aufzufassen. Die Elemente des eindimensionalen Vektorraums $$ \llangle \ph{g}\ph{m}^2\!/\!\ph{s}^2\rrangle=\mathbb M\otimes \mathbb L^{\otimes 2} \otimes (\vec{\mathbb T}^\ast)^{\otimes 2} $$ hei"sen in der Physik auch {\bf Energien}\index{Energie}. In diesem Sinne k"onnen wir ein Kraftfeld dann also auch als ein Energie-wertiges Kovektorfeld auffassen. Das Wegintegral "uber dieses Kovektorfeld hei"st die bei Durchlaufen des Weges in besagtem Kraftfeld freiwerdende Energie, und ihr Negatives die zu verrichtende {\bf Arbeit}\index{Arbeit!gegen Kraftfeld}. Anschaulich und etwas vage gesprochen ordnet das Negative dieses Kovektorfelds n"amlich gerade \glqq jeder kleinen Verr"uckung die Arbeit zu, die bei dieser kleinen Verr"uckung gegen das Kraftfeld zu leisten w"are\grqq. Eine energiewertige Abbildung $V:{\mathbb{E}}\ra \llangle \ph{g}\ph{m}^2\!/\!\ph{s}^2\rrangle$ mit $\diff V=-\tilde{F}$ hei"st in der Physik ein {\bf Potential}\index{Potential!eines Kraftfelds} unseres Kraftfelds. \end{Beispielg} \begin{Beispielg} Zentral in der sogenannten \glqq Funktionentheorie\grqq\ sind die Wegintegrale komplexwertiger Kovektorfelder, die auf offenen Teilmengen der komplexen Zahlenebene definiert sind, vergleiche \eref{DCWe}{FT1} und \eref{BWR}{FT1}. "Ublicherweise bezeichnet in diesem Kontext $z:\DC\ra\DC$ die Identit"at und $\diff z$ ihr Differential, ein komplexwertiges Kovektorfeld auf $\DC.$ Mit $f(z)\diff z$ bezeichnet man dann das Produkt dieses Kovektorfelds mit einer komplexwertigen Funktion $z\mapsto f(z).$ Das Integral derartiger Kovektorfelder "uber Integrationswege hei"st das \glqq komplexe Wegintegral\grqq\ und liefert entsprechend komplexe Zahlen. \end{Beispielg} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "AAANA2" %%% End: