%\section{Wegintegrale und Potentiale}
\subsection{Wegintegrale "uber Felder mit Potential}

\begin{Proposition}[\textbf{Wegintegral und Potential}]
Seien $X$ ein endlichdimensionaler reeller Raum,\label{RP} 
$A \co X$ eine offene Teilmenge und $\omega$
ein stetiges Kovektorfeld auf $A.$ So sind gleichbedeutend:
\begin{enumerate}
\item
Unser Kovektorfeld ist das 
Differential einer differenzierbaren Funktion;
\item
Das Integral unseres Kovektorfelds  "uber beliebige
stetig differenzierbare Wege in $A$ h"angt nur
vom Anfangs- und Endpunkt ab;
\item
Das Integral  unseres Kovektorfelds  "uber jeden geschlossenen 
stetig differenzierbaren
Weg in $A$ verschwindet.
\end{enumerate}
\end{Proposition}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] 
  In  physikalischer Terminologie \ref{PhTR} hat also ein
Kraftfeld oder genauer das zugeh"orige energiewertige Kovektorfeld
ein Potential genau dann, wenn die l"angs beliebiger Wege geleistete Arbeit 
nur vom Anfangs- und Endpunkt abh"angt.
\end{Bemerkungl}

\begin{proof}[Beweis]
Es ist im folgenden bequem, f"ur etwas  allgemeinere als nur stetig
differenzierbare Wege
den Begriff des Wegintegrals zur Verf"ugung zu haben.
\begin{Definition}\label{ssd}
Sei $X$ ein endlichdimensionaler reeller Raum.
Ein Weg $\gamma :[a,b]\ra X$ hei"st {\bf st"uckweise stetig
differenzierbar}
genau dann, wenn es eine Zerlegung
$a=a_{0}<a_{1}<\ldots <a_{r} = b$ unseres Intervalls gibt derart,
da"s die Restriktionen $\gamma|_{[a_{i-1},a_{i}]}$ stetig 
differenzierbar sind f"ur
alle $i.$ Wir bezeichnen st"uckweise stetig
differenzierbare Wege abk"urzend 
als \defnoind{Integrationswege}.\index{Integrationsweg}
\end{Definition}

\begin{Bemerkungl}\label{issd}
Ist $\gamma :[a,b] \ra X$ ein Integrationsweg
in einem endlichdimensionalen reellen Raum $X$
und  $\omega$ ein auf dem Bild von $\gamma$
definiertes stetiges
Kovektorfeld, so setzen wir
$$ \int_{\gamma}\omega = \int_{\gamma|_{[a,a_{1}]}} \omega + 
\int_{\gamma|_{[a_{1},a_{2}]}} \omega + \ldots +
\int_{\gamma|_{[a_{r-1},b]}} \omega$$
f"ur $a_{1}< \ldots < a_{r-1}$ die Stellen in $(a,b),$ an denen
$\gamma$ nicht differenzierbar ist.  
Sicher gilt dann $\int_{\gamma}\omega =
\int_{\gamma|_{[a,t]}} \omega + \int_{\gamma|_{[t,b]}} \omega$ f"ur alle
$t \in (a,b).$
\end{Bemerkungl}\noindent
Wir behaupten nun zun"achst, da"s die Aussagen 2
bzw.\ 3
der Proposition jeweils gleichbedeutend sind zu
\begin{enumerate}
\item[$2'.$]
Das Integral von $\omega$ "uber beliebige
Integrationswege in $A$ h"angt nur vom Anfangs- und Endpunkt ab.
\item[$3'.$]
Das Integral von $\omega$ "uber jeden  geschlossenen
Integrationsweg in $A$ verschwindet.
\end{enumerate}
\begin{figure}[p]
  \centering
  \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildPP}\\[4mm]
\noindent
Ein beliebiger Weg mit angeh"angtem geraden St"uck aus dem
Beweis von $3\RA 1.$
\end{figure}
Hier ist $2^{\prime} \Rightarrow 2$ offensichtlich. Andererseits
k"onnen wir aber jeden Integrationsweg so
umparametrisieren, da"s er stetig differenzierbar wird. Das
Integral "andert sich dabei nicht, und so
folgt auch die andere Richtung $2 \Rightarrow 2^{\prime}.$
Ebenso zeigt man $3\IFF 3'.$
Nach diesen Vorarbeiten beginnen wir nun
mit dem eigentlichen Beweis der Proposition.
Die Folgerungen $1 \Rightarrow  2\Rightarrow 3$ sind
offensichtlich.
Wir zeigen als n"achstes $3^{\prime} \Rightarrow 2$ durch Widerspruch:
G"abe es zwei Integrationswege mit demselben Anfangs-
und Endpunkt aber verschiedenen Integralen, so k"onnten wir den
einen dieser Wege umdrehen und an den anderen anh"angen und so einen
geschlossenen Integrationsweg erhalten,
"uber den das Integral von $\omega$ nicht Null w"are. Damit ist
$3^{\prime} \Rightarrow 2$ gezeigt.
Zeigen wir nun noch $2^{\prime} \Rightarrow 1,$
so haben wir schon einmal die "Aquivalenzen $1\IFF 2\IFF 3$ nachgewiesen.
Nach  \ref{WZSS} und  \ref{WZST} d"urfen wir annehmen, da"s $A$ nicht leer ist
und sich je zwei Punkte aus $A$ durch einen Integrationsweg
 verbinden lassen.
Dann w"ahlen wir $p \in A$ fest und definieren eine Funktion $f: A
\ra \Bbb{R}$ durch die Vorschrift
$$ f(x) = \int_{\gamma} \omega$$
f"ur einen und nach $2'$ dann auch jeden
Integrationsweg 
$\gamma$ von $p$ nach $x.$
Ist nun $ \psi$ ein stetig differenzierbarer Weg in $A$ von
$x$ nach $y,$ so behaupten wir
$$\int_{\psi}\omega = f(y) - f(x)$$
In der Tat k"onnen wir ja $\psi$ am $\gamma$ anh"angen und so
einen Integrationsweg von $p$ nach $y$ erhalten,
so da"s also gilt $\int_{\gamma} \omega + \int_{\psi} \omega = f(y).$
Mit dieser Erkenntnis l"a"st sich das 
Differential von $f$ nun sehr leicht berechnen.
Gegeben $x\in A$ sei $B\co X$ ein offener Ball um Null mit
$x+B\subset A.$ Gegeben $v\in B$ 
betrachten wir den Weg $\psi:[0,1]\ra A,$ $\psi(t)=x+tv$ 
 und
erhalten 
$$f(x+v)-f(x)=\int_\psi\omega=  \int_0^1\omega_{x+tv}\left(v\right)\diff t
= \omega_{x}\left(v\right) + 
\int_0^1(\omega_{x+tv}-\omega_{x})(v)\diff t $$
Das letzte Integral l"a"st sich aber 
schreiben als $\| v\|$ mal eine Funktion, die 
beschr"ankt ist f"ur $v\in B$ durch 
$\sup\{\|\omega_{x+w}-\omega_{x}\|\mid \|w\|\leq \|v\|\}$
und die folglich mit $v$ gegen Null
strebt. Das zeigt $\diff_x f=\omega_x$ wie gew"unscht.
\end{proof}











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%%% mode: latex
%%% TeX-master: "AAANA2"
%%% End: