%\section{Wegintegrale und Potentiale}
\subsection{Wegzusammenhang}\label{Zuw}

\begin{Definition}\label{Weg}
Ist $X$ ein topologischer  Raum und sind $x,y\in X$ Punkte,
so nennen wir eine stetige Abbildung $\gamma:[a,b]\ra X$ 
mit $\gamma(a)=x$ und $\gamma(b)=y$ einen  {\bf Weg von $x$ nach $y.$}
Ein  topologischer Raum $X$ hei"st 
\defnoind{wegweise zusammenh"angend} 
\index{zusammenh"angend!wegweise} oder auch kurz
\defnoind{wegzusammenh"angend} 
\index{Wegzusammenhang} genau dann,
wenn er nicht leer ist und es f"ur je zwei Punkte unseres Raums einen
Weg vom einen zum anderen gibt.
\end{Definition}













\begin{Definition}
  Unter einem {\bf st"uckweise linearen Weg}\index{Weg!st"uckweise linearer} 
% oder auch {\bf Polygonzug}\index{Polygonzug} 
in einem 
reellen Raum verstehen wir einen Weg, der aus endlich vielen
  Geradensegmenten zusammengesetzt ist. Genauer und in Formeln hei"st als
ein Weg $\gamma:[a,b]\ra X$ in einem
reellen Raum st"uckweise linear genau dann, wenn es
eine Unterteilung $a=a_0<a_1<\ldots <a_n=b$ gibt derart, da"s
 $\gamma$ auf jedem Teilintervall $[a_{i-1},a_i]$ mit der Restriktion einer
affinen Abbildung $\DR\ra X$ "ubereinstimmt.
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
  Im Lichte unserer allgemeinen Definitionen 
m"u"sten wir eigentlich eher  von einem 
\glqq st"uckweise affinen Weg\grqq\   reden, aber das tut kein Mensch.
\end{Bemerkungl}
\begin{figure}[p]
  \centering
  \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildSTL}
\end{figure}
\begin{Lemma}\label{WZST}
In einer wegzusammenh"angenden offenen Teilmenge eines normierten reellen
Raums lassen sich je zwei Punkte auch durch einen st"uckweise linearen
Weg verbinden.
\end{Lemma}
\begin{proof}[Beweis]
Sei $A \co V$ unsere Teilmenge und seien $x,y \in A$ gegeben. Nach
Annahme gibt es einen Weg 
$\gamma : [a,b] \rightarrow
A$ von $x$ nach $y$.
Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir $A \neq V$ annehmen.
Dann ist
der Abstand zum Komplement von $A$ nach \eref{dA}{AN1} eine stetige Funktion
$d_{V \setminus A} :V \rightarrow \Bbb{R}$ ohne Nullstelle auf $A$. Also
hst 
$d_{V\setminus A} \circ \gamma$
 nach \eref{Mm}{AN1} auf $[a,b]$ ein Minimum $\varepsilon >0$, als da hei"st, 
es gibt $\varepsilon >0$ derart, da"s alle
Punkte aus $\gamma ([a,b])$ mindestens den Abstand $\varepsilon$ 
zum Komplement
von $A$ haben.
Andererseits ist $\gamma$ gleichm"a"sig stetig, wir finden also eine 
Unterteilung
$a = a_0 \leq a_1 \leq \ldots \leq a_n =b$ unseres Intervalls mit
$\| \gamma (a_i) - \gamma (a_{i-1})\| < \varepsilon $ f"ur $1\leq i \leq n$.
Ein zwischen den Eckpunkten $x = \gamma (a_0), \gamma (a_1), \ldots,
\gamma (a_n) = y$ jeweils linear verlaufender Weg bleibt also ganz in $A.$ 
Damit ist gezeigt, da"s sich je zwei Punkte aus $A$ auch durch einen 
st"uckweise linearen
Weg in $A$ verbinden lassen.
\end{proof}
  \begin{Lemma}\label{EDPo}
    Auf einer offenen wegzusammenh"angenden 
Teilmenge eines endlichdimensionalen
    reellen Raums ist jede differenzierbare reellwertige Funktion mit
    verschwindendem Differential konstant.
\end{Lemma}


\begin{proof}
Eine differenzierbare Funktion mit verschwindendem Differential mu"s
nach \ref{WIFP} am Anfang und Ende jedes stetig differenzierbaren Weges 
und dann auch am Anfang und Ende jedes 
st"uckweise linearen Weges denselben Wert annehmen.
Das Lemma folgt damit aus \ref{WZST}.
\end{proof}




\begin{Definition}\label{DiTMm}
  Eine Teilmenge eines  topologischen 
Raums 
hei"st  {\bf diskret}\index{diskret!Teilmenge von topologischem Raum} 
 genau dann,
  wenn jeder ihrer Punkte eine Umgebung besitzt, in der
kein anderer Punkt besagter Teilmenge liegt. In anderen Worten nennen wir also
eine Teilmenge eines  topologischen 
Raums diskret genau dann, wenn sie mit der
\hyperref[Innn]{Spurtopologie} 
ein \hyperref[dTT]{diskreter topologischer Raum}  wird.
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
  Zum Beispiel ist die Menge aller Br"uche $\{1, 1/2, 1/3,\ldots\}$ mit einer
  Eins im Z"ahler eine diskrete Teilmenge der reellen Zahlengeraden.
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] 
Andere Autoren verstehen unter einer\label{diskret} 
\glqq diskreten Teilmenge\grqq\ 
eines topologischen Raums abweichend eine Teilmenge derart, da"s jeder
Punkt des gesamten  Raums eine Umgebung besitzt, in der
h"ochstens ein Punkt besagter Teilmenge liegt. 
In unserer Terminologie sind das genau die 
 diskreten abgeschlossenen Teilmengen.%\index{diskret!relativ}
\end{Bemerkungl}


\begin{Definition}\label{AnaL}
Eine Funktion auf einer Teilmenge des $\DR^n,$ die um
 jeden Punkt  ihres Definitionsbereichs in einer Umgebung 
durch ihre Taylorreihe dargestellt werden kann, hei"st 
\defnoind{analytisch}.\index{analytisch!auf $\DR^n$}
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
  Wir werden in \eref{CHFu}{FT1} zeigen, da"s Potenzreihen in einer 
Ver"anderlichen analytische Funktionen
  liefern. Analog kann  man es auch f"ur Potenzreihen in mehreren 
Ver"anderlichen zeigen.
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkunge}
Ein topologischer Raum hei"st 
 {\bf zusammenh"angend}\index{zusammenh"angend!topologischer Raum}
genau dann, wenn er nicht leer ist und 
jede nichtleere Teilmenge, die sowohl offen als auch abgeschlossen ist, 
bereits der ganze Raum sein mu"s.
  "Ubung \ref{WZTT} 
besagt in dieser Terminologie insbesondere, da"s jeder 
wegzusammenh"angende Raum  zusammenh"angend ist.\label{ZSWZi} 
Besitzt jeder Punkt unseres Raums eine wegzusammenh"angende Umgebung,
so sind alle seine Wegzusammenhangskomponenten offen und man sieht umgekehrt,
da"s ein nicht wezusammenh"angender Raum mit dieser Eigenschaft auch nicht
zusammenh"angend sein kann.  
Insbesondere ist eine offene Teilmenge eines reellen normierten Raums 
genau dann zusammenh"angend, wenn sie wegzusammenh"angend ist.
Mehr dazu wird in \eref{DZSH}{ML} besprochen.
\end{Bemerkunge}



\subsubsection*{"Ubungen} 
\begin{Ubung}\label{WZSS}
Auf jedem topologischen Raum $X$ definiert man die Relation $W$
der \glqq Wegverbindbarkeit\grqq\   durch die Vorschrift, da"s gilt 
 $xWy$ genau dann, 
wenn es in $X$ einen Weg von $x$ nach $y$ gibt. Man zeige,
da"s das eine "Aquivalenzrelation ist. Hinweis:  Die Transitivit"at ergibt sich
durch das \glqq Aneinanderh"angen von Wegen\grqq\  und
die Stetigkeit der so entstehenden Wege folgt mit \eref{AbgSM}{AN1}.
Die "Aquivalenzklassen f"ur die "Aquivalenzrelation
 der Wegverbindbarkeit hei"sen die
\defnoind{Wegzusammenhangskomponenten}\index{Wegzusammenhangskomponente}
unseres Raums.\index{Komponente!Wegzusammenhangskomponente}  
Man zeige, da"s die Wegzusammenhangskomponenten eines topologischen Raums 
offen sind genau dann, wenn
jeder Punkt eine wegzusammenh"angende Umgebung besitzt.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}\label{KDZ}
Das Komplement einer abgeschlossenen diskreten Teilmenge in einer 
wegzusammenh"angenden offenen Teilmenge eines $\DR^n$ 
ist f"ur $n>1$ wegzusammenh"angend. Dasselbe gilt im "Ubrigen 
auch ohne die Bedingung \glqq abgeschlossen\grqq, ist dann
aber schwerer zu zeigen.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}\label{KDZzt}
Ist $U\co\DR^n$ offen und wegzusammenh"angend und 
$A\subset \DR^n$ ein  affiner Teilraum
einer Dimension $\op{dim}A\leq n-2$ alias einer Kodimension
mindestens Zwei, so ist 
auch $U\backslash A$ wegzusammenh"angend.
F"ur Teilr"aume $A$ der Kodimension Eins alias affine 
Hyperebenen $A$ gilt das nat"urlich nicht!
\end{Ubung}
\begin{Ubung}\label{IDAA}
 Stimmen zwei auf derselben wegzusammenh"angenden offenen 
Teilmenge des $\DR^n$ definierte
  analytische Funktionen auf einer Umgebung eines Punktes "uberein, so sind sie
  gleich. Hinweis: Man ziehe sich mithilfe st"uckweise 
linearer Wege auf den Fall $n=1$ zur"uck.
\end{Ubung}

\begin{Ubunge}\label{ZKGL}
Man zeige: Die Gruppe $\op{SO}(n)$ aller orthogonalen 
$(n\times n)$-Matrizen mit Determinante Eins ist wegzusammenh"angend.
Hinweis: \eref{NFO}{LA2}. Weiter ist auch die Gruppe $\op{GL}(n;\DR)^+$ 
aller invertierbaren reellen 
$(n\times n)$-Matri\-zen mit positiver Determinante wegzusammenh"angend.
Hinweis: \eref{IWZR}{LA2}. Die Gruppen $\op{SU}(n)$ und $\op{U}(n)$ und 
$\op{GL}(n;\DC)$ sind wegzusammenh"angend.
Die vorgeschlagenen  L"osungsans"atze laufen
auf eine 
Flickschusterei hinaus.
Einen konzeptionellen Beweis werden wir in
\eref{ZKGLl}{ML} kennenlernen.
\end{Ubunge}

\begin{Ubunge}
Das Bild eines wegzusammenh"angenden Raums unter einer
stetigen Abbildung ist stets wieder wegzusammenh"angend.
Die wegzusammenh"angenden Teilmengen von $\DR$ sind gerade die
nichtleeren Intervalle. 
\end{Ubunge}

\begin{Ubung}\label{WZTT}
Gegeben   ein wegzusammenh"angender topologischer Raum 
ist jede Teilmenge, die sowohl offen als auch abgeschlossen ist, 
entweder leer oder bereits
der ganze Raum. Hinweis: Man w"ahle sonst einen Weg von einem Punkt unserer
Teilmenge in ihr Komplement und konstruiere einen Widerspruch.
\end{Ubung}

\begin{Ubung}\label{NNSP} 
Man zeige:
Gegeben ein von Null verschiedenes Polynom $P\in \DC[T_1,\ldots, T_n]$
ist die Menge seiner Nichtnullstellen in $\DC^n$ offen, dicht und
wegzusammenh"angend. 
\end{Ubung}







%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "AAANA2"
%%% End: