%\section{Wegintegrale und Potentiale}
\subsection{Homotopie von Wegen}\label{WeHo}
\begin{Bemerkungl}
  Einen durch das Einheitsintervall parametrisierten Weg $\gamma:[0,1]\ra X$ in
  einem topologischen Raum $X$ nennen wir im
  Folgenden einen 
\defnoind{normierten Weg}.\index{Weg!normierter}\index{normiert!Weg} 
 Zu jedem Weg $\gamma:[a,b]\ra X$
  bilden wir den zugeh"origen normierten Weg
  $\hat{\gamma}:t\mapsto \gamma ((1-t)a+tb).$
\end{Bemerkungl}
\begin{Definition}\label{DHWc}
Seien $x,y$ Punkte eines  topologischen  Raums $X.$
Zwei normierte Wege $\al,\beta$ von $x$ nach $y$
hei"sen
\defnoind{homotop}\index{homotop!Wege} oder pr"aziser 
\defnoind{homotop in $X$} oder ganz pedantisch 
\defnoind{homotop mit festen Randpunkten}\index{homotop!mit festen Randpunkten}
und wir
schreiben $\al\simeq\beta$  genau dann, wenn
es eine stetige Abbildung
\begin{figure}[p]\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bildhom}\\[4mm]
\noindent Eine Homotopie zwischen zwei Wegen, in diesem Fall zwischen den
beiden Randwegen unserer Banane.
\end{figure}
 $$h:[0,1]^2\ra X$$
des Einheitsquadrats in unseren Raum  gibt,
die auf der Unter- bzw.\ Oberkante unseres Quadrats  mit
$\al$ bzw.\ $\beta$ "ubereinstimmt und die auf der Vorder- und der Hinterkante
konstant ist. In Formeln
ausgedr"uckt fordern wir also
$
h (t,0) = \al (t)$ und $
h (t,1) = \beta (t)
$ f"ur alle $
t \in [0,1]$
sowie
$
h(0,\tau)=x$ und
$h(1,\tau)=y$ f"ur alle $
\tau \in [0,1].$ 
Wir sagen dann auch, $h$ sei eine 
{\bf Homotopie\index{Homotopie!von Wegen} zwischen 
$\al$ und $\beta$} und schreiben $h:\al\simeq\beta.$\index{$\simeq$ homotop}
Zwei beliebige Wege von $x$ nach $y$ nennen wir 
\defind{homotop}
genau dann, wenn die zugeh"origen normierten Wege homotop sind.
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
Vielleicht anschaulicher kann man Homotopie von Wegen auch dahingehend 
interpretieren, da"s es eine durch
$\tau\in [0,1]$ parametrisierte Familie von normierten Wegen $h_\tau$ von
$x$ nach $y$ geben soll derart, da"s gilt $h_0=\alpha,$ $h_1=\beta$ 
und da"s unsere Familie stetig von $\tau$ abh"angt in dem Sinne,
da"s die Abbildung $[0,1]^2\ra X,$ $(t,\tau)\mapsto h_\tau(t)$ stetig ist.
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}\label{Konvexc}
F"ur eine konvexe Teilmenge $X $ eines 
endlichdimensionalen reellen Raums  und 
zwei beliebige Punkte $x,y \in X$ 
sind je zwei  Wege $\al,\beta$ von $x$ nach $y$ homotop in $X.$ 
Sind unsere Wege  normiert, so kann man eine 
 Homotopie  explizit angeben 
vermittels $h(t,\tau) =(1-\tau) \al (t)
+ \tau\beta (t).$
\end{Beispiel}
\begin{Bemerkungl}
[\textbf{Vorw"artsverwandte  homotoper Wege sind homotop}]
Ist also in Formeln $f:X\ra Y$  eine stetige Abbildung, 
so folgt aus $h:\al\simeq\beta$
schon $f\circ
h:f\circ \al\simeq f\circ \beta.$\label{BHc} 
Speziell ist ein Weg homotop zu allen seinen Umparametrisierungen, 
denn nach \ref{Konvexc} sind je zwei Wege in $[0,1]$ von
$0$ nach $1$ homotop und damit gilt dasselbe f"ur ihre Verkn"upfung
mit einer beliebigen stetigen Abbildung $\gamma:[0,1]\ra Y.$
\end{Bemerkungl}
\begin{figure}[p]
  \centering
  \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildRZsh}\\[4mm]
\noindent Ein zusammenziehbarer und ein nicht zusammenziehbarer\\  
geschlossener Weg in Komplement 
des durch ein Kreuzchen markierten Punktes
in der Papierebene
\end{figure}
\begin{Definition}\label{zzhk}
Ein Weg in einem topologischen  Raum 
hei"st ein {\bf geschlossener Weg}\index{Weg!geschlossener} genau dann,
wenn sein Anfangs- und Endpunkt zusammenfallen. Ein Weg hei"st
\defnoind{zusammenziehbar}\index{Weg!zusammenziehbarer}
\index{zusammenziehbar!geschlossener Weg} genau
dann, wenn er  homotop ist zu einem konstanten Weg. Per
definitionem ist also
jeder zusammenziehbare Weg geschlossen.
Ein topologischer Raum hei"st
\defind{wegweise einfach zusammenh"angend}
\index{einfach!zusammenh"angend, wegweise}genau dann, 
wenn\index{zusammenh"angend!wegweise einfach}  
er wegzusammenh"angend ist und
wenn dar"uber 
hinaus jeder geschlossene Weg in unserem Raum zusammenziehbar ist.
\end{Definition}
\begin{Bemerkungw}
In \eref{EfZ}{TF} werden wir auch \glqq einfach zusammenh"angende\grqq\ 
topologische R"aume kennenlernen, die in sehr anderer Weise 
definiert werden. F"ur halboffene Teilmengen normierter R"aume 
wird sich dieser neue Begriff jedoch in \eref{zwsz}{TF} als gleichbedeutend 
zu \glqq wegweise einfach zusammenh"angend\grqq\ 
erweisen.
\end{Bemerkungw}

\begin{Bemerkunge}
Ist $U\co\DR^n$ offen und wegweise  einfach zusammenh"angend und ist
$A\subset \DR^n$ ein  affiner Teilraum einer Kodimension $\geq 3,$ so ist 
auch $U\backslash A$ wegweise  einfach zusammenh"angend. F"ur einen Beweis
dieses Analogons zu \ref{KDZzt} verweise ich auf die Topologie, 
siehe etwa \eref{FMK}{TF}.
\end{Bemerkunge}

\subsubsection*{"Ubungen} 
\begin{Ubung}\label{HAQ}
Homotopie ist eine "Aquivalenzrelation auf der Menge aller
Wege zwischen zwei fest vorgegebenen Punkten.
Hinweis: \eref{AbgSM}{AN1}.
\end{Ubung}

\begin{Ubung}\label{HOWW}
Ein Raum ist wegweise einfach zusammenh"angend genau dann, wenn
er wegzusammenh"angend ist und 
je zwei Wege mit demselben Anfangs- und demselben Endpunkt 
darin homotop sind.
\end{Ubung}




\begin{Ubunge}\label{PAPr}
Jeder Weg in einer offenen Teilmenge eines 
normierten reellen Vektorraums ist  in besagter offener Teilmenge
homotop zu einem st"uckweise linearen Weg. Hinweis: \ref{WZST}.
\end{Ubunge}










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%%% mode: latex
%%% TeX-master: "AAANA2"
%%% End: