%\section{Wegintegrale und Potentiale} \subsection{Wegintegrale "uber geschlossene Felder} \begin{Definition}\label{gesch} Sei $X$ ein endlichdimensionaler reeller Raum und $A \co X$ eine offene Teilmenge. Ein stetig differenzierbares Kovektorfeld $\omega:A\ra \vec{X}^\ast$ auf $A$ hei"st {\bf geschlossen}\index{geschlossen!Kovektorfeld} genau dann, wenn an jeder Stelle $p\in A$ sein Differential $\diff_p \omega:\vec{X}\ra \vec{X}^\ast$ eine symmetrische Bilinearform auf $\vec{X}$ liefert im Sinne einer Gleichheit von reellen Zahlen $$(\diff_p \omega)(\vec{v})(\vec{w})= (\diff_p \omega)(\vec{w})(\vec{v})\quad\forall \vec{v},\vec{w}\in \vec{X}$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] Diese Terminologie geht vermutlich auf den gleich folgenden Satz \ref{roPP} zur"uck, nach dem ein stetig differenzierbares Kovektorfeld geschlossen ist genau dann, wenn seine Wegintegrale "uber alle geschlossenen und im Definitionsbereich zusammenziehbaren Wege verschwinden. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{R"uckw"artsverwandtschaft erh"alt die Geschlossenheit}] Gegeben ein geschlossenes stetig differenzierbares Kovektorfeld ist auch sein R"uckw"artsverwandter\label{RVGk} unter jeder stetig differenzierbaren Abbildung geschlossen. Insbesondere ist die Eigenschaft der Geschlossenheit \glqq unabh"angig von der Wahl der Koordinaten\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Geschlossene Kovektorfelder auf $\DR^n$}] Ein stetig differenzierbares Kovektorfeld $\omega=\sum u_i\diff x_i$ auf einer offenen Teilmenge eines $\DR^n$ ist geschlossen genau dann, wenn\label{difk} gilt $$\displaystyle\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}} = \frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}} \quad\forall i,j$$ In der Tat liefern unsere Definitionen in diesem Fall $ (\diff_p \omega)(\op{e}_i)(\op{e}_j)=\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}} (p)$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Differentiale sind stets geschlossen}] Gegeben eine zweimal stetig differenzierbare Funktion $f$ auf einer offenen Teilmenge eines endlichdimensionalen reellen Raums $X$ ist ihr Differential $\diff f$ stets geschlossen. In der Tat reicht es nach \ref{RVGk}, den Fall $X=\DR^n$ zu betrachten. F"ur $\omega =\sum u_i\diff x_i=\sum \frac{\partial f}{\partial x_{i}}\diff x_i=\diff f$ gilt dann in der Tat wegen der Vertauschbarkeit der partiellen Ableitungen stets $$\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}} = \frac{\partial^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_{i}} = \frac{\partial^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}=\frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}$$ und damit ist $\diff f$ geschlossen nach \ref{difk}.\label{difg} Im "ubrigen sieht man leicht ein, da"s die $\diff_p(\diff f)$ entsprechende symmetrische Bilinearform gerade das Doppelte des \glqq quadratischen Anteils der Taylorentwicklung der Funktion $f$ um $p$\grqq\ ist. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungw}\label{ADVi} Sp"ater werden wir in \ref{daAb} ganz allgemein die \glqq "au"sere Ableitung von Differentialformen\grqq\ einf"uhren. In dieser Terminologie sind dann unsere geschlossenen Kovektorfelder aus der vorhergehenden Definition \ref{gesch} genau diejenigen stetig differenzierbaren Kovektorfelder, deren "au"sere Ableitung $d\omega$, die eben an jeder Stelle gerade als der antisymmetrische Anteil unserer Bilinearform $\diff_p \omega$ erkl"art wird, verschwindet. Da"s R"uckw"artsverwandschaft Geschlossenheit erh"alt, ist in diesem Kalk"ul eine unmittelbare Folgerung aus der Vertr"aglichkeit von "au"serer Ableitung mit Verwandtschaft. \end{Bemerkungw} \begin{Satz}[\textbf{Wegintegral und Rotation}] Sei $X$ ein endlichdimensionaler reeller Raum und $A \co X$ eine offene Teilmenge.\label{roPP} F"ur ein stetig differenzierbares Kovektorfeld $\omega$ auf $A$ sind gleichbedeutend: \begin{enumerate} \item Unser Kovektorfeld ist geschlossen; \item Die Wegintegrale unseres Kovektorfelds "uber je zwei in $A$ zueinander homotope Integrationswege stimmen "uberein; \item Das Wegintegral unseres Kovektorfelds "uber jeden in $A$ zusammenziehbaren geschlossenen Integrationsweg verschwindet. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Einen alternativen und in gewisser Weise besonders glatten Beweis des Satzes unter st"arkeren Voraussetzungen geben wir in \eref{STOK}{AN3}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Beziehung zur Proposition "uber Wegintegral und Potential}] Unsere Proposition \ref{RP} zu Wegintegral und Potential zusammen mit Teilen ihres Beweises besagt, da"s gegeben eine offene Teilmenge $A$ eines endlichdimensionalen reellen Raums und ein stetig differenzierbares Kovektorfeld auf $A$ gleichbedeutend sind: \begin{enumerate} \item Unser Kovektorfeld ist das Differential einer differenzierbaren Funktion; \item Das Integral unseres Kovektorfelds "uber beliebige Integrationswege in $A$ h"angt nur vom Anfangs- und Endpunkt ab; \item Das Integral unseres Kovektorfelds "uber jeden geschlossenen Integrationsweg in $A$ verschwindet. \end{enumerate} Alle diese gleichbedeutenden Bedingungen sind st"arker als die entsprechenden Bedingungen in unserem Satz: Die Erste, da nach \ref{difg} Differentiale stets geschlossen sind, die anderen aus offensichtlichen Gr"unden. \end{Bemerkungl} \begin{Korollar}[\textbf{Rotation und Potential}] Auf einer wegweise einfach zusammenh"angenden\label{rop} offenen Teilmenge eines endlichdimensionalen reellen Raums ist ein stetig differenzierbares Kovektorfeld genau dann geschlossen, wenn es das Differential einer differenzierbaren Funktion ist. \end{Korollar} \begin{Bemerkungl} Beim Beweis von Satz \ref{roPP} werden wir f"ur Spezialf"alle dieser Aussage auch noch eigenst"andige Beweise geben. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Herkunft der Terminologie}] F"ur $A\co\DR^n$ wegweise einfach zusammenh"angend besagt Korollar \ref{rop}, da"s ein stetig differenzierbares Vektorfeld $v=(v_1,\ldots,v_n):A\ra\DR^n$ genau dann das Gradientenfeld einer differenzierbaren Funktion ist, wenn gilt $$\displaystyle\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} = \frac{\partial v_{j}}{\partial x_{i}} \quad\forall i,j$$ Insbesondere ist f"ur $n=1$ jedes stetig differenzierbare Vektorfeld ein Gradientenfeld, in diesem Fall wissen wir ja sogar, da"s jede stetige Funktion eine Stammfunktion hat. Weiter ist f"ur $n=2$ ein stetig differenzierbares Vektorfeld $v$ genau dann ein Gradientenfeld, wenn seine {\bf skalare Rotation}\index{skalare Rotation!eines ebenen Vektorfeldes} alias\index{Rotation!skalare} {\bf Wirbeldichte}\index{Wirbeldichte} $ \op{rot}v\pdef \frac{\partial v_2}{\partial x_1}-\frac{\partial v_1}{\partial x_2}$ verschwindet. Und schlie"slich ist f"ur $n=3$ ein stetig differenzierbares Vektorfeld $v$ genau dann ein Gradientenfeld, wenn seine {\bf Rotation}\index{Rotation} verschwindet, die man in diesem Falle definiert als das Vektorfeld $$\op{rot}v=\left(\frac{\partial v_3}{\partial x_2}- \frac{\partial v_2}{\partial x_3}\;,\;\frac{\partial v_1}{\partial x_3}- \frac{\partial v_3}{\partial x_1}\;,\;\frac{\partial v_2}{\partial x_1}- \frac{\partial v_1}{\partial x_2}\right)$$ \end{Bemerkungl} \begin{proof} F"ur $A$ wegweise einfach zusammenh"angend ist nun die letzte Bedingung aus Satz \ref{roPP} zu Wegintegral und Rotation gleichbedeutend zur letzten Bedingung aus Proposition \ref{RP} Wegintegral und Potential. Mithin sind f"ur $A$ wegweise einfach zusammenh"angend alle sechs Bedingungen gleichbedeutend und insbesondere ist unter dieser Voraussetzung jedes stetig differenzierbare geschlossene Kovektorfeld auf $A$ das Differential einer Funktion. \end{proof} % \begin{Bemerkungl} % Unser Satz impliziert mit Proposition \ref{RP} % "uber Wegintegrale und Potential, da"s % jedes stetig differenzierbare geschlossene Vektorfeld auf einer % wegweise einfach zusammenh"angenden offenen Teilmenge $A$ % eines endlichdimensionalen reellen Raums bereits % das Differential einer Funktion sein mu"s: In der Tat ist ja % in einer derartigen Teilmenge % jeder geschlossene Weg bereits zusammenziehbar, % mithin verschwindet nach \ref{roPP} in diesem Fall das Wegintegral % einer geschlossenen Form "uber jeden geschlossenen Integrationsweg, % mithin ist unsere Form nach \ref{RP} ein Differential. % \end{Bemerkungl} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bildrot}\\[4mm] \noindent Das ebene Vektorfeld $(x,y)\mapsto (0,-x)$ hat konstant die Rotation $-1$. \end{figure} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Anschauung f"ur die Rotation}] Um f"ur das Konzept der Rotation eine\label{sr} Anschauung zu entwickeln, mag man sich unser Vektorfeld $F$ als ein Kraftfeld vorstellen. L"a"st man im ebenen Fall dieses Kraftfeld auf den Rand einer kleinen Kreisscheibe wirken, die an einer Stelle unserer Ebene drehbar befestigt ist, so beginnt sie sich zu drehen. Drehsinn sowie die St"arke der drehenden Kraft entsprechen Vorzeichen und Betrag der skalaren Rotation. L"a"st man im r"aumlichen Fall dieses Kraftfeld auf die Oberfl"ache eines kleinen Balls wirken, den man an einer Stelle $p$ hineinh"alt, so beginnt er sich auch zu drehen. Die Drehachse ist dann die von der Rotation unseres Vektorfeldes bei $p$ erzeugte Gerade, und der Drehsinn sowie die St"arke der drehenden Kraft entsprechen Richtung und L"ange der Rotation. % In dieser Terminologie formuliert besagt % der vorstehende Satz in $\DR^2$ und $\DR^3$ insbesondere, % da"s in einem rotationsfreien % Vektorfeld die Wegintegrale "uber zusammenziehbare geschlossene % Integrationswege stets % verschwinden. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis von Satz \ref{roPP}] Die Implikation 2$\RA$3 ist offensichtlich. Um 3$\RA$1 zu zeigen, d"urfen wir ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit annehmen, da"s $A$ konvex ist. Dann ist in $A$ jeder geschlossene Weg zusammenziehbar und unsere Erkenntnisse zu Wegintegral und Potential \ref{RP} zeigen, da"s unser Kovektorfeld auf besagter konvexer Teilmenge das Differential $\omega=\diff f$ einer differenzierbaren Funktion sein mu"s. Solch ein Differential aber ist nach \ref{difg} stets geschlossen. Alternativ k"onnen wir die Implikation 3$\RA$1 auch leicht aus "Ubung \ref{IHTj} herleiten. Damit bleibt nur noch 1$ \Rightarrow $2 zu zeigen. Wir beginnen unseren Beweis von 1$ \Rightarrow $2, indem wir ein Korollar unseres Satzes als Lemma formulieren und daf"ur einen eigenst"andigen Beweis geben. % \begin{proof}[Beweis] % 4$\Rightarrow$3 ergibt sich unmittelbar aus Satz \ref{RP}, nach dem % jedes stetige Kovektorfeld das Differential einer Funktion ist, bei dem alle % Wegintegrale "uber geschlossene Integrationswege verschwinden. % 3$ \Rightarrow $2 ist offensichtlich. % Um 2$ \Rightarrow $1 zu zeigen, % d"urfen wir ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit % $X=\DR^n$ annehmen. Die Implikation % ist dann auch offensichtlich, f"ur % $\omega =\sum u_i\diff x_i=\diff f$ gilt in % der Tat % $$\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}} = % \frac{\partial^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_{i}} = % \frac{\partial^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}=\frac{\partial % u_{j}}{\partial x_{i}}$$ % Im "ubrigen sieht man auch leicht ein, da"s die % $\diff_p(\diff f)$ entsprechende % symmetrische Bilinearform gerade das Doppelte des % \glqq quadratischen Anteils der Taylorentwicklung der Funktion $f$ % um $p$\grqq\ ist. % Wie dem auch sei, bleibt nur 1$ \Rightarrow $4 zu zeigen. % Wir d"urfen ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit % weiter $X=\DR^n$ annehmen. Wir beginnen unseren Beweis von 1$ \Rightarrow $4, % indem wir einen % Spezialfall von 1$ \Rightarrow $3 als Proposition formulieren und % unabh"angig zeigen. \begin{Lemma} Ist $A \co \Bbb{R}^n$ eine offene Kugel und $\omega$ darauf ein stetig differenzierbares geschlossenes Kovektorfeld,\label{stg} so ist $\omega$ das Differential einer Funktion $f:A\ra\DR.$ \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Ich gebe f"ur dies Lemma zwei Beweise: Erst einen sehr kurzen mehr rechnerischen Beweis, und im Anschlu"s einen etwas l"angeren mehr konzeptionellen Beweis. \end{Bemerkungl} \begin{Bild} \includegraphics[width=11cm]{SkriptenBilder/BildWiF}\\[4mm] \noindent Da"s ein rotationsfreies Vektorfeld auf einer nicht wegweise einfach zusammenh"angenden offenen Teilmenge eines $\DR^n$ nicht notwendig ein Potential besitzt, zeigt das Vektorfeld $\op{grad} \theta$ auf $\Bbb{R}^2\setminus 0,$ wo $\theta(x,y)$ der eben nur bis auf eine additive Konstante wohlbestimmte Winkel ist, den der Strahl vom Nullpunkt nach $(x,y)$ mit der horizontalen Koordinatenachse einschlie"st. Der Gradient $\op{grad} \theta$ ist dann ein wohldefiniertes rotationsfreies Vektorfeld auf dem Komplement des Ursprungs, hat aber kein global definiertes Potential. Es hei"st das {\bf Winkelfeld}\index{Winkelfeld}. Dies Vektorfeld ist nicht ganz leicht zu zeichnen, da die L"angen seiner Vektoren gegen den Ursprung hin ins Unendliche wachsen. Auf den ersten Blick mag es absurd wirken, dieses Feld wirbelfrei zu nennen. Eine au"serhalb des Ursprungs zum Testen hereingelegte kleine Kreisscheibe w"urde aber in der Tat nicht gedreht, die st"arkeren Vektoren zerren zwar an der dem Ursprung zugewandten Seite, aber von diesen Vektoren greifen andererseits auch weniger an. In gewisser Weise konzentriert sich hier das gesamte Wirbeln im Ursprung, und der geh"ort nun eben gerade nicht zu unserem Definitionsbereich. In mathematischer Sprechweise ist $\diff\vartheta$ ein geschlossenes Kovektorfeld auf der punktierten Ebene, das jedoch nicht das Differential einer global definierten Funktion ist. \end{Bild} \begin{proof}[Rechnerischer Beweis] Wir d"urfen ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit $0\in A$ annehmen, bezeichnen nun wieder mit $x$ einen Vektor und betrachten den Weg $\psi_x:[0,1]\ra A,$ $t\mapsto tx$ und die Funktion $f: A \ra \Bbb{R}$ gegeben durch $$f(x) = \int_{\psi_x}\omega=\int^{1}_{0} \omega_{tx}(x) \diff t =\int^{1}_{0} \sum^{n}_{j=1} u_j(tx)\cdot x_j \diff t $$ Ihre partielle Ableitung nach $x_{i}$ ergibt sich zu $$\begin{array}[b]{rcl} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}(p) &=& \int^{1}_{0} \frac{\partial}{\partial x_{i}}|_{x=p} \left( \sum^{n}_{j=1} (u_{j}\circ (t\cdot) ) \cdot x_{j}\right) \diff t\\[2mm] &=& \int^{1}_{0} \sum^{n}_{j=1} t \cdot\frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}(tp)\cdot p_{j} + u_{i}(tp) \diff t\\[2mm] &=& \int^{1}_{0}\sum^{n}_{j=1}t\cdot \frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}}(tp )\cdot p_{j} + u_{i}(tp) \diff t\\[2mm] &=& \int^{1}_{0} t\cdot \frac{\diff}{\diff t}( u_{i} (tp) ) + u_{i}(tp) \diff t\\[2mm] &=& \int^{1}_{0} \frac{\diff}{\diff t} (t\cdot (u_{i}(tp) ) \diff t\\[2mm] &=& t\cdot u_{i}(tp)\left|_{0}^{1} \right. \\[2mm] &=& u_{i}(p) \end{array}$$ und wir sehen, da"s in der Tat gilt $\diff f=\omega.$ \end{proof} \begin{proof}[Konzeptioneller Beweis] Wir behandeln zun"achst den Fall $n=2$ als eigenst"andiges Lemma. \begin{Lemma}\label{KoFP} Ist $A \co \Bbb{R}^2$ eine ebene Kreisscheibe und $\omega$ darauf ein stetig differenzierbares geschlossenes Kovektorfeld, so ist $\omega$ das Differential einer Funktion $f:A\ra\DR.$ \end{Lemma} \begin{figure}[p] \centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildQ}\\[4mm] \noindent Das Rechteck aus dem Beweis von \ref{KoFP}. \end{figure} \begin{proof} Um Indizes zu vermeiden schreiben wir bei der Behandlung dieses Spezialfalls $(x,y)$ statt $(x_1,x_2)$ in der Hoffnung, da"s dies Einsparen von Indizes mehr Klarheit schafft, als die Verwendung der Buchstaben $x,y$ mit verschiedenen Bedeutungen an Verwirrung erzeugt. Betrachten wir ein Rechteck $Q = [a,b] \times [c,d] \subset A$ und integrieren unser Kovektorfeld einmal im Gegenuhrzeigersinn auf dem Rand entlang, den wir parametrisieren als Weg $\rho,$ so erhalten wir \begin{displaymath} \begin{array}{lll} \int_\rho \omega&=& \int^b_a u_1 (x,c) \diff x + \int^d_c u_2 (b,y) \diff y - \int^b_a u_1 (x,d)\diff x -\int^d_c u_2 (a,y)\diff y \\[2mm] &=& \int^d_c\int^b_a \left(\frac{\partial u_2}{\partial x} -\frac{\partial u_1}{\partial y}\right) \diff x \diff y \end{array} \end{displaymath} F"ur ein stetig differenzierbares geschlossenes Kovektorfeld verschwindet also das Wegintegral einmal um den Rand unseres Rechtecks und der \glqq obere\grqq\ bzw.\ der \glqq untere\grqq\ Weg auf den Kanten des Rechtecks von einem Punkt zum diagonal gegen"uberliegenden Punkt liefern dasselbe Wegintegral. Halten wir nun einen Punkt $(p,q) \in A$ fest, so definiert dieses gemeinsame Wegintegral eine Funktion \begin{displaymath} \begin{array}{ccl} f(x,y)& = &\int^x_p u_1 (t,q) \diff t + \int^y_q u_2 (x,s) \diff s\\[2mm] &=& \int^y_q u_2 (p,s) \diff s + \int^x_p u_1 (t,y) \diff t \end{array} \end{displaymath} f"ur die wegen der ersten Darstellung offensichtlich gilt $f_y = u_2$ und wegen der zweiten Darstellung $ f_x = u_1.$ Damit gilt $\omega=\diff f$ wie behauptet. \end{proof}\noindent Jetzt f"uhren wir unseren konzeptionellen Beweis des Lemmas im Fall allgemeiner Dimension zu Ende. Wir betrachten dazu alle Wege, die l"angs der Kanten eines achsenparallelen Quaders vom Ursprung nach $p$ laufen. Genauer betrachten wir f"ur jede Permutation $\sigma \in \mathcal{S}_n$ den Weg $[\sigma]= [\sigma;p]$ vom Ursprung nach $p$, der gerade verl"auft zwischen den Eckpunkten $$0, \; p_{\sigma (1)} \vec{\op{e}}_{\sigma (1)}, \; p_{\sigma (1)} \vec{\op{e}}_{\sigma(1)} + p_{\sigma(2)}\vec{\op{e}}_{\sigma (2)},\; \ldots ,\; p$$ Ist $\tau = (i,i+1)$ eine Transposition benachbarter Zahlen, so unterscheiden sich $[\sigma]$ und $[\sigma \circ \tau]$ nur dadurch, da"s sie beim $i$-ten und $(i+1)$-ten Geradenst"uck auf verschiedenen Kantenwegen diagonal gegen"uberliegende Punkte eines ebenen Rechtecks verbinden. Ziehen wir unser Kovektorfeld auf eine geeignete Ebene zur"uck, so landen wir im bereits behandelten Fall und folgern $$\int_{[\sigma]} \omega = \int _{[\sigma \circ \tau]}\omega$$ f"ur jede Transposition $\tau$ der Gestalt $\tau = (i,i+1)$. Wissen wir nun bereits nach \eref{TREz}{LA1}, da"s derartige Transpositionen die symmetrische Gruppe erzeugen, so k"onnen wir sofort folgern, da"s $\int_{[\sigma]} \omega$ gar nicht von $\sigma \in \mathcal{S}_n$ abh"angt. Die durch $$f(p) = \int_{[\sigma;p]} \omega$$ f"ur ein und alle $\sigma$ definierte Funktion $f$ hat dann Differential $\diff f = \omega$, da ihre partielle Ableitung nach $x_i$ auch aus jeder Darstellung durch ein $\sigma $ mit $\sigma (n) =i$ berechnet werden kann, f"ur die $\frac{\partial f}{\partial x_i} =u_i$ offensichtlich ist. \end{proof} \noindent Jetzt k"onnen wir schlie"slich in unserem Satz \ref{roPP} auch noch die Implikation 1$\RA$2 zeigen. Sei $h:[0,1]^2\ra A$ eine Homotopie zwischen unseren beiden Integrationswegen, die wir ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit normiert annehmen d"urfen. Analog wie beim Beweis von \ref{WZST} zeigen wir mithilfe von \eref{dA}{AN1} und \eref{FKM}{AN1}, da"s es f"ur den Abstand von Punkten aus dem Bild unseres Einheitsquadrats und Punkten au"serhalb von $A$ eine positive untere Schranke gibt. Da $h$ nach \eref{glsV}{AN1} gleichm"a"sig stetig ist, finden wir weiter ein $r \in \Bbb{N},$ $r \geq 1$ derart, da"s bei Unterteilung des Einheitsquadrats in $r^2$ kleine Schachfelder der Kantenl"ange $1/r$ die einzelnen Felder unter $h$ jeweils ganz in einen offenen Ball in $A$ abgebildet werden. Jetzt betrachten wir die Integrale l"angs der Geradensegmente zwischen den Bildern in $A$ von benachbarten Ecken unserer Schachfelder \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildHtR}\\[4mm] \noindent Illustration zum Beweis von Satz \ref{roPP} "uber die Homotopieinvarianz von Wegintegralen bei gewissen Kovektorfeldern. Die beiden Wege werden durch dicke gezackte Linien dargestellt, die Homotopie zwischen ihnen durch feine gestrichelte Linien. Es gilt, diese Unterteilung so fein zu w"ahlen, da"s jeder dieser \glqq Ziegel\grqq\ ganz in einem im Definitionsbereich unserer geschlossenen Differentialform enthaltenen Ball liegt. \end{figure} $$ c_{i,j} = \int_{h\left(\frac{i}{r},\frac{j}{r}\right)}^{ h\left(\frac{i+1}{r},\frac{j}{r}\right)} \omega \quad\text{ und }\quad d_{i,j} =\int_{h\left(\frac{i}{r},\frac{j}{r}\right)}^{ h\left(\frac{i}{r},\frac{j+1}{r}\right)} \omega $$ Indem wir Lemma \ref{stg} auf unsere offenen B"alle in $A$ anwenden, finden wir $c_{i,j} + d_{i+1,j} - d_{i,j} - c_{i,j+1}=0$ und durch Aufsummieren $$\sum_{0\leq i0$ den geschlossenen Weg $\gamma : [0,2\pi] \rightarrow \mathbb C$, $\gamma_r (t) = r {\op{e}}^{{\op{i}}t} = r \cos t + {\op{i}} r\sin t$, der einmal auf dem Kreis mit Radius $r$ uml"auft. Nach \ref{Konvexc} ist er in $\DC$ zusammenziehbar. H"atte unser Polynom keine Nullstelle, so lieferte es eine stetige Abbildung $P : \mathbb C \rightarrow \mathbb C^\times,$ und nach \ref{BHc} w"aren alle $P \circ \gamma_r$ zusammenziehbar in $\mathbb C^\times$. F"ur hinreichend gro"ses $r$ gilt nun jedoch $ r^n > |a_{n-1}|r^{n-1} + \ldots+|a_1|r + |a_0|, $ und f"ur solche $r$ ist der Weg $P \circ \gamma_r$ in $\mathbb C^\times$ homotop zum Weg $t \mapsto \gamma_r (t)^n$, da n"amlich f"ur kein $t$ die Strecke von $P(\gamma_r (t))$ nach $\gamma_r (t)^n$ den Nullpunkt trifft. H"atte also $P$ keine Nullstelle, so w"are der Weg $[0,2\pi]\rightarrow \mathbb C^\times$, $t \mapsto \gamma_r (t)^n$ zusammenziehbar in $\mathbb C^\times$. Das steht jedoch im Widerspruch zu \ref{FDAT}. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bildgtvw}\\[4mm] \noindent Der Weg $\gamma(p,t\vec{v},t\vec{w})$ aus "Ubung \ref{IHTj}. Mit $t\ra 0$ wird er nat"urlich immer kleiner. \end{Bild} \begin{Ubung}\label{IHTj} Sei $X$ ein endlichdimensionaler reeller Raum, $A \co X$ eine offene Teilmenge, $p\in A$ ein Punkt und $\omega:A\ra \vec{X}^\ast$ ein stetig differenzierbares Kovektorfeld. So gilt in den Notationen der vorhergehenden Definition \ref{gesch} f"ur alle $\vec{v},\vec{w}\in \vec{X}$ die Identit"at $$(\diff_p \omega)(\vec{v})(\vec{w})- (\diff_p \omega)(\vec{w})(\vec{v}) = \lim_{t\ra 0}\frac{1}{t^2}\int_{\gamma(p,t\vec{v},t\vec{w})} \omega$$ mit der Notation $\gamma(p,t\vec{v},t\vec{w})$ f"ur den Weg, der einmal das Parallelogramm mit einer Ecke $p$ und Kantenvektoren $t\vec{v}$ und $t\vec{w}$ uml"auft, oder genauer, der st"uckweise linear l"auft erst von $p$ nach $p+t\vec{v},$ dann weiter nach $p+t\vec{v}+t\vec{w},$ von da nach $p+t\vec{w},$ und dann wieder zur"uck nach $p.$ Hinweis: Es mag die Rechnung vereinfachen, wenn man das fragliche Integral zu einer Funktion von zwei Ver"anderlichen $s,t$ erweitert. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{FDAT} Man zeige, da"s gegeben $n\in\DZ$ der geschlossene Weg $\gamma_n: [0,2\pi]\ra \Bbb{R}^2\backslash 0$ mit $\gamma(t)=(\cos nt, \sin nt)$ in $\Bbb{R}^2\backslash 0$ nur f"ur $n=0$ zusammenziehbar ist. Hinweis: Man berechne das Integral des Winkelfeldes "uber diesen Weg und beachte \ref{roPP}. Ich empfinde es allerdings als Umweg, diese Aussage mithilfe von Wegintegralen nachzuweisen, und ziehe den topologischen Beweis "uber Liftungseigenschaften in \eref{FdK}{TF} folgende vor. \end{Ubung} \begin{Ubunge} Man zeige, da"s es in \ref{RP} sogar ausreicht, die Differenzierbarkeit unseres stetigen Kovektorfelds an fast allen Punkten von $A$ vorauszusetzen. \end{Ubunge} \begin{Ubunge}\label{srq} Gegeben auf einem Rechteck $Q=[a,b]\times[c,d]\subset \DR^2$ ein stetig differenzierbares Vektorfeld $v:Q\ra\DR^2$ stimmt das Integral seiner Rotation $\op{rot}v$ im Sinne von \ref{sr} "uber das Rechteck $Q$ "uberein mit seinem Wegintegral im Sinne von \ref{WV} einmal im Gegenuhrzeigersinn um den Rand des Rechtecks. In \ref{GrFo} werden wir diese Aussage als Spezialfall des allgemeinen Stokes'schen Satzes zu verstehen lernen. \end{Ubunge} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "AAANA2" %%% End: