\section{Weiteres zur Darstellungstheorie} \begin{Korollar} Ist $G$ eine endliche Gruppe und $R$ ein vollst"andiger diskreter Bewertungsring mit Restklassenk"orper $k\pdef R/\mathfrak m$, so besitzt jedes Idempotente $\bar e\in kG$ einen Lift zu einem Idempotenten $e\in RG$. \end{Korollar} \begin{proof} Man wende Lemma \eref{LII}{KAG} zum Liften von Idempotenten an auf den Ring $A\pdef RG$ mit seinem Ideal $I\pdef \mathfrak m G$. \end{proof} \begin{Satz} Gegeben eine endliche Gruppe $G$ liefern je zwei Spaltungsk"orper, in denen die Gruppenordnung jeweils invertierbar ist, dieselbe Multimenge von Dimensionen von Isomorphieklassen irreduzibler Darstellungen. \end{Satz} \subsection{Wohin? Azumaya} \begin{Definition}\emph{Richtig so?} Sei $k$ ein Kring. Eine $k$-Ringalgebra $A$ hei"st eine \defind{Azumaya-Algebra} genau dann, wenn $A$ ein projektiver $A\otimes_k A^{\op{opp}}$-Modul von endlichem Rang ist und die offensichtliche Abbildung $k \rightarrow A$ einen Isomorphismus mit ihrem Zentrum $k\overset{\sim}{\rightarrow} Z (A)$ liefert. \end{Definition} \begin{Definition}\emph{Richtig so?} Besser mit Grothendieck: Sei $k$ ein Kring. Eine $k$-Ringalgebra $A$ hei"st eine \defind{Azumaya-Algebra} {\bf vom Rang $r$} genau dann, wenn $A$ \'etale-lokal isomorph ist zur Matrixalgebra $\op{Mat}(r\times r;k).$ Eine gute Quelle scheint mir [Knus-Ojanguren]. \end{Definition} \subsection{Versuche zu Hilbert-Mumford} \begin{Theorem}[\textbf{Hilbert-Mumford-Kriterium}] $(k=\bar k)$. Eine\index{Hilbert-Mumford-Kriterium} linear reduktive algebraische Gruppe $G$ operiere auf einer affinen Variet"at $X$. Sei $z\in X$ gegeben und sei $Gy$ die eindeutig bestimmte abgeschlossene Bahn im Abschlu"s $\overline{Gz}$ der Bahn von $z$. So gibt es eine multiplikative Ein-Parameter-Untergruppe $\varphi:k^\times \ra G$ mit $$\lim_{t\ra 0}\varphi(t)z\in Gy$$ \end{Theorem} \begin{proof} Ian Gordon hat das im Komplexen behauptet. Ich habe es noch nicht gepr"uft. \end{proof} \subsection{Versuche zu Vertex-Algebren} \begin{Definition} Eine {\bf Vertex-Algebra}\index{Vertex-Algebra} ist ein Vektorraum $V$, dessen Elemente in diesem Zusammenhang {\bf Zust"ande}\index{Zustand} hei"sen, mit einem Endomorphismus $T$, der {\bf Translation}, und einer durch $n\in\DZ$ indizierten Familie von bilinearen Verkn"upfungen $(a,b)\mapsto a_{(n)}b$ derart, da"s gewisse Axiome erf"ullt sind. \begin{enumerate} \item F"ur alle $a,b\in V$ existiert ein $N=N(a,b)\in\DN$ mit $a_{(n)}b=0$ f"ur $n> N$; \item Es gibt ein Element $1\in V$ mit $1_{(-1)}b=b$ und $1_{(n)}b=0$ f"ur $n\neq-1$ sowie $a_{(-1)}1=a$ und $a_{(n)}1=0$ f"ur $n\geq 0$. Dieses Element ist offensichtlich eindeutig bestimmt, wenn es existiert, und hei"st der {\bf Vakuum-Vektor}.\index{Vakuum-Vektor} \item \end{enumerate} \end{Definition} %F"ur alle $a,b,c\in V$ und $m,n,k\in \DZ$ gilt die %sogenannte {\bf Borcherds-Identit"at},\index{Borcherds-Identit"at} %als da hei"st die Gleichheit %$$\begin{array}{l} %\sum_{i=0}^\infty(-1)^i{ n \choose i} \left(a_{(m+n-i)}\left(b_{(k+i)}c\right)- %(-1)^n b_{(k+n-i)}\left(a_{(m+i)}c\right)\right)=\\[6mm] %\hspace{6cm}=\sum_{j=0}^\infty{ m \choose j}\left( a_{(n+j)}b\right)_{(m+k-j)}c %\end{array}$$ \begin{Bemerkungl} Sei $V$ ein Vektorraum. Ein {\bf $(\op{End} V)$-wertiges Feld} \index{Feld!von Vertexalgebra} ist eine durch $n \in \mathbb Z$ indizierte Familie $a_{(n)} \in \op{End} (V)$ derart, da"s es f"ur alle $v \in V$ ein $N=N(v)$ gibt mit $a_{(n)} v = 0$ f"ur $n\geq N$. Es ist "ublich, dies Datum zu schreiben als \begin{equation*} a(z) \pdef \sum_{n \in \mathbb Z} a_{(n)}z^{-1-n} \end{equation*} Wir notieren den Raum aller Felder $(\op{End} V)(\!(\!(z)\!)$. Gegeben ein Vektorraum $W$ bezeichne $W (\!(z)\!)$ die Menge aller formalen Ausdr"ucke $\sum_{n \in \mathbb Z} z^{n} w_{(n)}$ mit $w_{(n)}\in W$ f"ur alle $n\in \DZ$ und $w_{(n)}=0$ f"ur $n\ll 0$. Sicher gilt $(\op{End} V)(\!(z)\!) \subset (\op{End} V)(\!(\!(z)\!)$, aber die rechte Seite ist etwas gr"o"ser. F"ur jedes Feld $a(z)$ und jeden Vektor $ v \in V$ ist der Ausdruck $a (z) v $ dennoch ein wohldefiniertes Element von $V (\!(z)\!)$. Es ist "ublich, Vektoren in diesem Zusammenhang $| v \rangle \in V$ zu scheiben. Weiter ist es "ublich, den Vakuumvektor $| 0 \rangle$ zu notieren, obwohl er eigentlich $| 1 \rangle$ hei"sen m"u"ste. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine Vertexalgebra $V$ liefert jedes Element $a\in V$ ein $(\op{End}V)$-wertiges Feld, n"amlich das Feld $$Y(a,z)\pdef \sum_{n \in \mathbb Z} a_{(n)}z^{-1-n}$$ Hier meint $a_{(n)}\in\op{End}V$ die lineare Abbildung $b\mapsto a_{(n)}b$. Diese Abbildung $Y:V\ra (\op{End} V)(\!(\!(z)\!)$ hei"st die {\bf Zustand-Feld-Korrespondenz}\index{Zustand-Feld-Korrespondenz} unserer Ver\-tex\-algebra. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Gegeben eine Kringalgebra $A$ "uber einem K"orper $K$ der Charakteristik Null mit einer $K$-linearen Derivation $\partial$ erhalten wir eine Vertexalgebra durch die Vorschrift $Y(a,z)\pdef \op{exp}(z\partial)a$. In der Tat meint das $$ \sum_{n \in \mathbb Z} a_{(n)}z^{-1-n}=\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}(\partial^n a)$$ und bedeutet ausgeschrieben $a_{(n)}b= (\partial^{-1-n} a)b$ f"ur $n<0$ und $a_{(n)}b=0$ f"ur $n\geq 0$. Als Vakuumvektor k"onnen wir die Einheit $1$ nehmen. In der Tat ist die Bedingung $1_{(n)}b=\delta_{-1,n}b$ offensichtlich erf"ullt und die Bedingung $a_{(n)}1=\delta_{-1,n}a$ f"ur $n\geq -1$ desgleichen. Es bleibt, die Borcherds-Identit"at zu pr"ufen. Ich verwende die Notation $n\mapsto \bar n$ f"ur die Involution $n\mapsto -n-1$, so da"s gilt $a_{(\bar n)}b= (\partial^{n} a)b$ mit der Konvention $\partial^{n} a=0$ f"ur $n<0$. Unsere Identit"at verwandelt sich so in die Behauptung $$\begin{array}{l} \sum_{i=0}^\infty(-1)^i{ n \choose i} \left((\partial^{- m- n+ i} a)(\partial^{- k- i-1}b)c- (-1)^n(\partial^{- m- i-1}a) (\partial^{- k- n+ i}b) c\right)=\\[6mm] \hspace{6cm}=\sum_{j=0}^\infty{ m \choose j} (\partial^{j-m-k}((\partial^{ -n-j-1} a)b))c \end{array}$$ F"ur die weiteren Rechnungen vereinbaren wir, da"s die a priori nicht definierten Binomialkoeffizienten "uber einer negativen Zahl als Null verstanden werden sollen. Sicher reicht es, diese Behauptung f"ur $c=1$ zu zeigen. Ist weiter $j-m-k<0$ oder $-n-j-1<0$, so steht in der rechten Summe eh nur Null. Es reicht also, sie "uber $j$ mit $ m+k\leq j\leq -n-1$ laufen zu lassen. Damit da nicht eh die leere Summe steht, brauchen wir $ m+k\leq 0< -n$. In der Hoffnung, dadurch mehr Klarheit zu erreichen, ersetze ich nun $m,n,k$ durch ihre Negativen. So ergibt sich als neue Behauptung $$\begin{array}{l} \sum_{i=0}^\infty(-1)^i{ -n \choose i} (\partial^{ m+ n+ i} a)(\partial^{ k- i-1}b)- \sum_{i=0}^\infty(-1)^{i+n}{ -n \choose i} (\partial^{ m- i-1}a) (\partial^{ k+ n+ i}b) =\\[6mm] \hspace{6cm}=\sum_{j=0}^\infty{ -m \choose j} \partial^{j+m+k}((\partial^{ n-j-1} a)b) \end{array}$$ Die rechte Seite ist dabei h"ochstens f"ur $n>0$ und $m+k\geq 0$ von Null verschieden. Jetzt k"onnen in der ersten Summe nur Terme mit $k>i\geq -m-n$ von Null verschieden sein und in der Zweiten nur Terme mit $m>i\geq -k-n$. Ersetzen wir vorne $i$ durch $i-m$ und hinten durch $i-k$, so ergibt sich $$\begin{array}{l} \sum_{i=-n}^{k+m-1}(-1)^{i-m}{ -n \choose i-m} (\partial^{ n+ i} a)(\partial^{ k+m-1- i}b)- \sum_{i=-n}^{k+m-1}(-1)^{i-k+n}{ -n \choose i-k} (\partial^{ m+k-1- i}a) (\partial^{ n+ i}b) =\\[6mm] \hspace{6cm}=\sum_{j=0}^\infty{ -m \choose j} \partial^{j+m+k}((\partial^{ n-j-1} a)b) \end{array}$$ Jetzt ersetzen wir vorne noch $i$ durch $i-n$ und vereinbaren $s\pdef n+k+m-1$ und ersetzen in der rechten Seite der Gleichung $n-j-1$ durch $j$ und erhalten $$\begin{array}{l} \sum_{i=0}^{s}(-1)^{i-m}{ -n \choose i-n-m} (\partial^{ i} a)(\partial^{s- i}b)- \sum_{i=0}^{s}(-1)^{i-k}{ -n \choose i-n-k} (\partial^{s- i}a) (\partial^{ i}b) =\\[6mm] \hspace{6cm}=\sum_{j=0}^s{ -m \choose n-j-1} \partial^{s-j}((\partial^{ j} a)b) \end{array}$$ Das schreiben wir durch Ersetzen von $i$ durch $s-i$ in der ersten Summe und von $j$ durch $s-j$ in der Dritten um zu $$\begin{array}{l} \sum_{i=0}^{s}(-1)^{k+n-1-i}{ -n \choose k-1-i} (\partial^{s- i} a)(\partial^{ i}b)- \sum_{i=0}^{s}(-1)^{i-k}{ -n \choose i-n-k} (\partial^{s- i}a) (\partial^{ i}b) =\\[6mm] \hspace{6cm}=\sum_{j=0}^s{ -m \choose j-m-k} \partial^{j}((\partial^{s- j} a)b) \end{array}$$ \end{Beispiel} \begin{Definition} Eine Vertexalgebra ist ein Datum $(V, | 0 \rangle, T, Y)$ bestehend aus \begin{enumerate} \item[0.)] Ein Vektorraum $V$ der {\bf Zust"ande};\index{Zustand!von Vertexalgebra} \item[1.)] Einem Vektor $| 0 \rangle \in V$, dem Vakuumvektor; \item[2.)] Einem Endomorphismus $T$ von $V$; \item[3.)] Einer linearen Abbildung \begin{equation*} Y ; V \rightarrow (\op{End} V) \widetilde{((z))} \end{equation*} die jedem Zustand ein Feld zuordnet, die Zustand-Feld-Korrespondenz. Von diesem Datum fordern wir die folgenden Eigenschaften: \begin{enumerate} \item[a.)] $Y ( | 0 \rangle, z) = \op{id}_V$ \item[b.)] $Y (A, z) | 0\rangle \in A$ \end{enumerate} \end{enumerate} \end{Definition} \subsection{Alter Quatsch} \begin{Definition}$(k=\bar k)$. Gegeben $G{\ssearrow} X$ eine separierte $k$-Variet"at mit einer Operation einer Gruppe hei"st ein Morphismus von Variet"aten $X\ra Y$ ein\label{GAQbb} {\bf guter Quotient von $X$ nach $G$}\index{guter Quotient}\index{Quotient!guter} oder auch ein {\bf guter Quotientenmorphismus},\index{Quotientenmorphismus!guter} wenn er die folgenden Eigenschaften hat: \begin{enumerate} \item Unser Morphismus ist konstant auf $G$-Bahnen; \item In jeder Faser unseres Morphismus ist von allen $G$-Bahnen genau Eine abgeschlossen; \item $Y$ ist eine separierte Variet"at; \item Der induzierte Morphismus ist ein Isomorphismus $X{\sslash}G\sira Y$ in der Kategorie der $k$-geringten R"aume von unserem \hyperref[BsR]{Bahnschlu\ss raum} nach $Y$. \end{enumerate} \end{Definition} \begin{Bemerkungl}\label{EgQ} KANN WEG! Ein guter Quotient mu"s im allgemeinen nicht existieren. Wenn er existiert, ist er nach aufgrund der letzten Eigenschaft nat"urlich eindeutig bis auf eindeutigen Isomorphismus. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] KANN WEG! Insbesondere ist jeder \hyperref[Qz2g]{geometrische Quotient} auch ein \hyperref[GAQbb]{guter Quotient}. In manchen Quellen wird von einem guten Quotienten zus"atzlich gefordert, da"s der fragliche Morphismus $X\sra Y$ affin sein soll. Ich will mich dieser Terminologie nicht anschlie"sen, weil in ihr nicht so klar w"are, inwieweit geometrische Quotienten auch gute Quotienten zu sein h"atten. Stattdessen mache ich diese Bedingung stets explizit und spreche dann von einem {\bf affinen guten Quotientenmorphismus}.\index{Quotientenmorphismus!affiner guter} \end{Bemerkungl} \begin{Beispiele}\label{lgQ} KANN WEG! Gegeben $G{\ssearrow} X$ eine separierte $k$-Variet"at mit einer Operation einer Gruppe und ein guter Quotient $\pi: X\ra Y$ ist f"ur jede offene Teilmenge $U\co Y$ offensichtlich auch $\pi: \pi^{-1}(U)\ra U$ ein guter Quotient. Der vorhergehende Satz \ref{GAQ} besagt unter anderem, da"s der algebraische Quotient einer affinen Variet"at nach einer linear reduktiven Gruppe ein affiner guter Quotient ist.\label{gQQ} \end{Beispiele} \begin{Definition}$(k=\bar k)$. Gegeben $G{\ssearrow} X$ eine separierte $k$-Variet"at mit einer Operation einer Gruppe hei"se ein Morphismus von Variet"aten $X\ra Y$ ein {\bf geometrischer Quotient von $X$ nach $G$},\index{geometrischer Quotient}\index{Quotient!geometrischer}\label{Qz2g} wenn er die folgenden Eigenschaften hat: \begin{enumerate} \item Unser Morphismus ist konstant auf $G$-Bahnen; \item $Y$ ist eine separierte Variet"at; \item Der induzierte Morphismus ist ein Isomorpismus $X/G\sira Y$ in der Kategorie der $k$-geringten R"aume von unserem Bahnenraum nach $Y$. \end{enumerate} Wenn ich besonders betonen will, da"s der Morphismus $X\ra Y$ und nicht etwa nur die Variet"at $Y$ gemeint ist, spreche ich von einem {\bf geometrischen Quotientenmorphismus}.\index{Quotientenmorphismus!geometrischer} \end{Definition} \subsection{Formale Gruppen} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Kring $k$ betrachten wir die Kategorie $\op{Kring}_k^k$ aller augmentierten $k$-Kringalgebren. Objekte sind Paare $(B,\varepsilon_B)$ aus einem $k$-Kring $B$ und einem Homomorphismus von $k$-Kringen $\varepsilon_B:B\ra k$. Morphismen sind mit der Augmentation vertr"agliche Homomorphismen von $k$-Kringalgebren. Darin betrachten wir die volle Unterkategorie $$ \op{Nil}_k\subset \op{Kring}_k^k$$ aller augmentierten $k$-Kringalgebren $(B,\varepsilon_B)$ mit nilpotentem Augmentationsideal $\op{ker}\varepsilon_B$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Kring $k$ erkl"aren wir die Kategorie der {\bf formalen $k$-Kringe}\index{formal!$k$-Kring} als die Funktorkategorie $$\op{Nil}_k^\vee\pdef\op{Cat}(\op{Nil}_k,\op{Ens})^{\op{opp}}$$ und bezeichnen deren opponierte Kategorie als die {\bf Kategorie der dicken $k$-Punkte} $\op{Dip}_k\pdef\op{Cat}(\op{Nil}_k,\op{Ens})$. In beiden Kategorien existieren alle Limites und Kolimites. Jeder augmentierte $k$-Kring $A\in \op{Kring}_k^k$ liefert einen formalen $k$-Kring in Gestalt des Funktors $$\op{Kring}_k^k(A,\;):\op{Nil}_k\ra \op{Ens}$$ Die nat"urliche Abbildung in die Komplettierung $\hat A$ von $A$ am Augmentationsideal $\hat A\pdef \op{lim}A/(\op{ker}\varepsilon)^n$ liefert in diesem Fall eine Isotransformation von Funtoren $\op{Kring}_k^k(\hat A,\;)\siRa\op{Kring}_k^k(A,\;)$. Zum Beispiel liefern der Polynomring $k[T]$ und der formale Potenzreihenring $k\llbracket T\rrbracket$ denselben Funktor und das Auswerten bei $T$ liefert weiter eine Isotransformation mit dem Funktor $\op{Aug}: B\mapsto\op{ker}(\varepsilon_B)$. Wir k"onnen diesen Funktor in derselben Weise auch mit dem Pro-Objekt $\limcu_n k[T]/\langle T^n\rangle$ von $\op{Nil}_k$ identifizieren. Den zugeh"origen dicken Punkt notieren wir $$\hat{\mathbb A}^1_k\in\op{Dip}_k$$ Nach unseren allgemeinen Erkenntnissen \ref{MPOkk} "uber Morphismen von Pro-Objekten oder auch elementareren "Uberlegungen liefert das Auswerten auf $T$ f"ur jedes feste $n$ eine Bijektion $$\col_m \op{Nil}_k(k[T]/\langle T^m\rangle,k[X]/\langle X^n\rangle)\sira Xk[X]/\langle X^n\rangle$$ und im Limes eine Bijektion $\op{Nil}_k^\vee(\op{Aug},\op{Aug}) \sira Xk\llbracket X\rrbracket$ oder gleichbedeutend $$\op{Dip}_k(\hat{\mathbb A}^1_k,\hat{\mathbb A}^1_k) \sira Xk\llbracket X\rrbracket$$ Die Komposition von Morphismen geschieht durch formales Einsetzen eines Elements $g=g(Y)\in Yk\llbracket Y\rrbracket$ in ein Element $f=f(X)\in Xk\llbracket X\rrbracket$, was ein neues Element $f(g(Y))\in Yk\llbracket Y\rrbracket$ produziert. Ebenso konstruieren wir eine Bijektion $$\op{Dip}_k(\hat{\mathbb A}^1_k\times \hat{\mathbb A}^1_k,\hat{\mathbb A}^1_k) \sira Xk\llbracket X,Y\rrbracket+Yk\llbracket X,Y\rrbracket$$ mit der Menge der formalen Potenzreihen in zwei Ver"anderlichen ohne konstanten Term. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Unter einem {\bf formalen Gruppengesetz}\index{Gruppengesetz!formales} "uber einem Kring $k$ versteht man eine Potenzreihe $F(X,Y)$ in zwei Ver"anderlichen ohne konstanten Term, die als Morphismus $$\hat{\mathbb A}^1_k\times \hat{\mathbb A}^1_k \ra \hat{\mathbb A}^1_k$$ aufgefa"st das Objekt $\hat{\mathbb A}^1_k\in \op{Dip}_k$ zu einem Gruppenobjekt macht. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Explizite Charakterisierung formaler Gruppengesetze}] Die Kategorie der dicken Punkte hat genau ein finales Objekt und dieses ist auch initial. Da"s der eindeutige Morphismus von dort zu unserem dicken Punkt $\hat{\mathbb A}^1_k$ das neutrale Element f"ur ein formales Gruppengesetz ist, bedeutet die Bedingungen $F(X,0)=X$ und $F(0,Y)=Y$ alias $F(X,Y)=X+Y+\ldots$ mit P"unktchen f"ur Terme h"oherer Ordnung. Die Assoziativit"at bedeutet die Identit"at $$F(X,F(Y,Z))=F(F(X,Y),Z)$$ Die Existenz eines Rechtsinversen bedeutet die Existenz von $G\in Xk\llbracket X\rrbracket$ mit $F(X,G(X))=0$ und folgt leicht. Genauso leicht folgt die Existenz eines Linksinversen. "Ubung \eref{LiRei}{LAG} besagt, da"s diese beiden Inversen dann "ubereinstimmen m"ussen. \end{Bemerkungl} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "AAUNF" %%% End: