\section{Weiteres zu sechs Funktoren}
\subsection{Vortrag Lyon}

\ref{PeraF} Pr"averflechtung.

\ref{nianN} Naive Verflechtungsquadrate.

\ref{nbVnN} Rechts-Links-Anpassung.

\ref{exGO} Totalkomplex der simultanen
Godementaufl"osung hat immer quisflachen Abbildungskegel!

\ref{WiFa1} Ende Beweis f"ur den Basiswechsel mit nur Ringwechsel!

\section{Schrotthalde}
\begin{Beispiel}[\textbf{Verschmelzungen in der Opgarbentrennfaserung}]
\nichtfinal{Verschrottet!}   Wir betrachten die Trennfaserung
  $\op{Ab}_{\sslash{\op{Top}}}\ra\curlywedge {\op{Top}}$ der abelschen Garben
  auf topologischen R"aumen, die Opgarbentrennfaserung. Objekte links
  sind begarbte R"aume $(X,\mathcal F)$,
  der Funktor nach rechts vergi"st die Garbe. Stabil universelle
  Zweitrennungen in $\curlywedge {\op{Top}}$ sind die
  Projektionszweitrennungen $X\times Y\ra X\curlywedge Y$ wie in jeder
  banalen Trennkategorie.  Stabil universelle
  Zwei\-trenn\-ung\-en in $\op{Ab}_{\sslash{\op{Top}}}$ haben die Gestalt 
  $$(X\times Y, \mathcal F\boxtimes\mathcal G)\ra (X,\mathcal F)\curlywedge
  (Y,\mathcal G)$$
  Eine Zweiverschmelzung $X\curlywedge Y\ra Z$ 
  der Trennschmelzkategorie $\op{Top}$ ist dann eine stetige Abbildung
  $X\times Y\ra Z$, der Schmelzanteil einer banalen Trennkategorie ist im Fall
  der Existenz aller endlichen Produkte stets die kartesische Schmelzkategorie
  der zugrundeliegenden einfachen Kategorie. Die Zweiverschmelzungen
  $ (X,\mathcal F)\curlyvee
  (Y,\mathcal G) \ra (Z,\mathcal H)$  in
  $\op{Ab}_{\sslash{\op{Top}}}$ schlie"slich sind
   Opkomorphismen "uber stetigen Abbildungen
  $$(X\times Y, \mathcal F\boxtimes\mathcal G)\ra (Z,\mathcal H)$$
\end{Beispiel}


\begin{Bemerkungl}
  Im folgenden diskutieren wir "aquivariante Objekte nur f"ur
  banale Trennfaserungen $\mathscr G\ra \curlywedge\mathscr T$
  unter der Annahme, da"s $\mathscr T$
  endliche Produkte besitzt.
  %\nichtfinal{Man k"onnte allgemeiner Trennfaserungen
  %$\mathscr M\ra \mathscr N$ zu beliebigen
  %Trennkategorien $\mathscr N$ mit stabil
  %universellen Trennungen und eindeutigen Leertrennungen betrachten,
 %aber ich habe f"ur diese Allgemeinheit keine Verwendung.}  
\end{Bemerkungl}

  \begin{Bemerkungl}[\textbf{Kartesischer Schnitt als Schmelzfunktor}]
    Gegeben eine banale \hyperref[TrFas]{Trennfaserung}
    $\mathscr G\ra \curlywedge\mathscr T$
 zu einer Kategorie $\mathscr T$
  mit endlichen Produkten  macht nach \ref{sSkk}
  insbesondere  der  \hyperref[kklT]{kartesische Schnitt} 
  $\curlywedge\mathscr T\ra \mathscr G$, $X\mapsto\underline{X}$  aus \ref{kklT}
   stabil universelle Trennungen zu
  stabil universellen Trennungen und induziert 
  folglich einen Trennschmelzfunktor\label{duUT} 
  $$\curlywedge\mathscr T\ra \mathscr G$$
  Per definitionem ist die Verkn"upfung unserer beiden Trennschmelzfunktoren
  die Identit"at auf der Basis $\curlywedge\mathscr T$. 
  Jeder Schmelzfunktor macht nun Monoidobjekte zu Monoidobjekten.
  Insbesondere macht also der kartesische
  Schnitt aus jedem Monoidobjekt $G$ von $\curlywedge\mathscr T$ ein
  Monoidobjekt $\underline{G}$ von $\mathscr G$. Wir nennen es 
  die {\bf Hochhebung}\index{Hochhebung!von Monoidobjekt}
  des Monoidobjekts $G$ der Basis. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}[\textbf{Hochhebung in der Opgarbentrennfaserung}] 
  Wir betrachten die Opgarbentrennfaserung \ref{MFoll}. Sie landet in
  der banalen Trennkategorie der topologischen R"aume.
  Gegeben ein topologisches Monoid $G$ ist unser hochgehobenes
  Monoidobjekt
  in $\op{Ab}_{\sslash{\op{Top}}}$ 
  in diesem Fall 
  die  konstante Garbe $\underline{G}=\DZ_G$ auf $G$. Die Verkn"upfung
  $$(G,\DZ_G)\curlyvee (G,\DZ_G) \ra (G,\DZ_G)$$ nimmt in diesem
  Fall die Gestalt eines recht offensichtlichen
  Opkomorphismus
  $\DZ_G\boxtimes \DZ_G\ra \DZ_G$ alias $\underline{G}\boxtimes \underline{G}\ra \underline{G}$ "uber der
  Verkn"upfung $G\times G\ra G$ an, der hinwiederum
  von einem noch offensichtlicheren Isomorphismus
  $\DZ_G\boxtimes \DZ_G\sira \DZ_{G\times G}$ alias
  $\underline{G}\boxtimes \underline{G}\sira \underline{G\times G}$ herkommt.  
\end{Beispiel}


\nichtfinal{Das folgende ist noch gar nicht ausgereift!}

\begin{Bemerkungl}  Gegeben seien
  eine Trennfaserung $\mathscr M\ra \mathscr N$ "uber einer Trennkategorie mit stabil universellen Trennungen und eindeutigen Leertrennungen
  und ein Monoidobjekt $G\in\mathscr N$. 
  Geh"ort ein $G$-"aquivariantes Objekt $\mathcal F$ zur Faser $\mathscr M_X$ "uber $X\in\mathscr N$,
  so induziert die $\underline{G}$-Operation $\underline{G}\curlyvee \mathcal F\ra \mathcal F$ auf $\mathcal F$ eine
  $G$-Operation  $G\curlyvee X\ra X$ auf $X$ in $\mathscr N$.
  Dies Objekt mit $G$-Operation in der  Basis 
  notieren wir $G{\acts}X$. Die  $G$-"aquivarianten Objekte von $\mathscr M$ "uber $G{\acts}X$ bilden selbst in offensichtlicher Weise
  eine Kategorie $$\mathscr M_{G{\sacts}X}$$
  \nichtfinal{Ist das eine Schmelzkategorie oder Trennkategorie oder beides?
    Ist sie abelsch, wenn wir vern"unftige Bedingungen stellen, etwa da"s
    $\underline G\boxtimes$ ein exakter Funktor ist oder sowas "ahnliches?
    Sollte insbesondere, das zumindest w"are sch"on,
    "aquivariante perverse Garben liefern! Gibt es die eigentlich zu jeder
    Perversit"at? Sollte ja wohl!}
\end{Bemerkungl}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "XXTSF"
%%% End: