\section{Primideale und Lokalisierung} \label{PLOK} \subsection{Irreduzible Komponenten} \label{ZIK} \begin{Definition} Ein topologischer Raum hei"st {\bf noethersch},\index{noethersch!topologischer Raum} wenn darin jede absteigende Folge von abgeschlossenen Mengen station"ar wird alias stagniert. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Offensichtlich und formal nach "Ubung \eref{noeT}{LA1} besitzt in einer partiell geordneten Menge jede nichtleere Teilmenge ein minimales Element genau dann,\label{NTR} wenn jede monoton fallende Folge in unserer Menge stagniert. Ein topologischer Raum ist insbesondere noethersch genau dann, wenn es in jedem nichtleeren System von abgeschlossenen Teilmengen unseres Raums ein bez"uglich Inklusion minimales Element gibt. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma} F"ur jeden K"orper $k$ ist der $k^n$ mit seiner Zariskitopologie ein noetherscher topologischer Raum. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Nach \ref{AbVa} gilt unter unseren Annahmen f"ur jede abgeschlossene Teilmenge $X\As k^n$ die Formel $X={\mathcal Z}({\mathcal I}(X))$. Ist nun $X_0\supset X_1\supset\ldots$ eine absteigende Folge abgeschlossener Mengen in $k^n$, so ist ${\mathcal I}(X_0)\subset {\mathcal I}(X_1)\subset\ldots$ eine aufsteigende Folge von Idealen im Polynomring "uber $k$. Nach dem Hilbert'schen Basissatz ist aber ein Polynomring in endlich vielen Ver"anderlichen "uber einem K"orper stets noethersch, also wird unsere Folge von Idealen station"ar und damit auch die Folge der $X_\nu={\mathcal Z}({\mathcal I}(X_\nu))$. \end{proof} %%\newpage \begin{Definition} Ein topologischer Raum $X$ hei"st {\bf irreduzibel},\index{irreduzibel!topologischer Raum} wenn er nicht leer ist und sich nicht schreiben l"a"st als eine Vereinigung von zwei echten abgeschlossenen Teilmengen. Ein topologischer Raum hei"st {\bf reduzibel}, wenn er nicht irreduzibel ist.\index{reduzibel!topologischer Raum} Insbesondere ist der leere Raum in unserer Terminologie reduzibel. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Eine Teilmenge eines topologischen Raums nennen wir reduzibel beziehungsweise irreduzibel, wenn sie diese Eigenschaft f"ur die Spurtopologie hat. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} In einer Menge mit der diskreten Topologie sind die irreduziblen Teilmengen genau die einpunktigen Teilmengen. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Sei $k$ ein K"orper. Das Achsenkreuz ${\mathcal Z}(T_{1}T_{2}) \subset k^{2}$ ist reduzibel in der Zariskitopologie, denn es l"a"st sich als die Vereinigung der beiden Achsen schreiben, die beide echte abgeschlossene Teilmengen sind. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Gegeben ein unendlicher K"orper $k$ ist f"ur alle $n\geq 0$ der $k^n$ irreduzibel in der Zariskitopologie. Nach "Ubung \ref{ZD} haben darin n"amlich je zwei nichtleere offene Teilmengen nichtleeren Schnitt.\label{kni} \end{Beispiel} %%\newpage \begin{Definition} Die maximalen irreduziblen abgeschlossenen Teilmengen eines topologischen Raums hei"sen seine {\bf irreduziblen Komponenten}.\index{Komponente!irreduzible von topologischen Raum}\index{irreduzibel!Komponente von topologischen Raum} \end{Definition} \begin{Bemerkunge} Die maximalen irreduziblen Teilmengen eines topologischen Raums sind nach "Ubung \ref{abir} stets abgeschlossen, wir k"onnten mithin die Bedingung \glqq abgeschlossen\grqq\ in der vorhergehenden Definition auch weglassen. \end{Bemerkunge} \begin{Beispiel} Ist $k$ ein unendlicher K"orper, so sind die irreduziblen Komponenten des Achsenkreuzes ${\mathcal Z}(T_{1}T_{2})\subset k^{2}$ genau die beiden Koordinatenachsen. "Ahnlich kann man sich die irreduziblen Komponenten von beliebigen zariskiabgeschlossenen Mengen in $k^n$ vorstellen. Ich rate davon ab, f"ur das Konzept der irreduziblen Komponenten au"serhalb der Zariskitopologie nach Anschauung zu suchen. \end{Beispiel} %%\newpage \begin{Satz}[\textbf{Zerlegung in irreduzible Komponenten}] Ein noe\-ther\-scher topologischer Raum besitzt\label{ZIK} nur endlich viele irreduzible Komponenten. Keine seiner Komponenten ist in der Vereinigung der "ubrigen enthalten und alle Komponenten zusammen "uberdecken den ganzen Raum. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Wir schicken dem Beweis des Satzes zwei Lemmata voraus, von denen das erste eine einfache Konsequenz unseres Satzes ist. Wir geben jedoch f"ur beide Lemmata einen eigenst"andigen Beweis, damit wir uns beim Beweis des Satzes darauf st"utzen k"onnen. Mit dem Zorn'schen Lemma kann man im "ubrigen allgemeiner zeigen, da"s "uberhaupt jeder beliebige topologische Raum die Vereinigung seiner irreduziblen Komponenten ist. \end{Bemerkungl} %%\newpage \begin{Lemma} Jede abgeschlossene Teilmenge eines noetherschen topologischen Raums l"a"st sich schreiben als Vereinigung von\label{NI} endlich vielen irreduziblen abgeschlossenen Teilmengen. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Bezeichne $X$ unseren Raum. Bezeichne $\mathcal A\subset \op{Pot}(X)$ das System aller abgeschlossenen Teilmengen. Bezeichne $\mathcal F\subset \mathcal A$ das System aller abgeschlossenen Teilmengen $Y \As X$, die sich nicht als endliche Vereinigung von irreduziblen abgeschlossenen Teilmengen schreiben lassen. W"are das Lemma falsch, so w"are $\mathcal F$ nicht leer und h"atte nach \ref{NTR} ein minimales Element $Y\in \mathcal F$. Dies minimale Element $Y$ w"are weder leer noch irreduzibel, bes"a"se also eine Darstellung $Y = Y_{1} \cup Y_{2}$ mit $Y_{i} \As Y$ und $Y_{i}\subsetneq Y$. Aufgrund der Minimalit"at von $Y$ h"atten wir aber $Y_{1},Y_{2}\not\in\mathcal F$ und damit $Y\not\in\mathcal F$ im Widerspruch zur Wahl von $Y$. \end{proof} %%\newpage \begin{Lemma} Sei $X = X_{1}\cup \ldots \cup X_{r}$ eine Darstellung eines topologischen Raums als endliche Vereinigung von irreduziblen abgeschlossenen Teilmengen $X_i$. Gibt es keine nichttrivialen Inklusionen zwischen unseren Teilmengen, in Formeln\label{IKK} $X_i\subset X_j\RA i=j$, so sind die $X_{i}$ genau die irreduziblen Komponenten von $X$. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] F"ur jede Teilmenge $Y \subset X$ erhalten wir eine Darstellung $$Y= (Y \cap X_{1}) \cup \ldots \cup (Y \cap X_{r})$$ als endliche Vereinigung abgeschlossener Teilmengen $Y \cap X_{i}\As Y$. Ist $Y$ irreduzibel, so folgt daraus $Y = Y \cap X_{i}$ alias $Y \subset X_{i}$ f"ur mindestens ein $i$. Also ist jede irreduzible Komponente von $X$ eines der $X_{i}$. W"are andererseits ein $X_{j}$ keine Komponente von $X$, so f"anden wir eine irreduzible Teilmenge $Y$ mit $X_{j}\subsetneq Y\subset X$ und daf"ur ein $i$ mit $Y \subset X_{i}$ und dann g"alte $X_{j}\subsetneq X_i$ im Widerspruch zu unseren Annahmen. \end{proof} %%\newpage \begin{proof}[Beweis von Satz \ref{ZIK}] Nach Lemma \ref{NI} k"onnen wir jeden noetherschen topologischen Raum $X$ schreiben als endliche Vereinigung irreduzibler abgeschlossener Teilmengen $$X = X_{1} \cup \ldots \cup X_{r}$$ Indem wir "uberfl"ussige Teilmengen weglassen, d"urfen wir dabei weiter annehmen, da"s kein $X_{i}$ ganz in einem $X_{j}$ mit $ j \neq i$ enthalten ist. Nach Lemma \ref{IKK} sind dann die $X_i$ die irreduziblen Komponenten von $X$ und nach Konstruktion "uberdecken sie unseren Raum. L"age schlie"slich eine Komponente bereits in der Vereinigung der anderen, sagen wir $X_1\subset X_2\cup\ldots\cup X_n$, so w"aren nach Lemma \ref{IKK} auch bereits $X_2,\ldots, X_n$ die irreduziblen Komponenten von $X$ im Widerspruch zu unseren Annahmen. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Das Beweisprinzip von \ref{NI} hei"st \defind{noethersche Induktion}. Um es abstrakt zu fassen, sei $\mathcal A$ eine teilgeordnete Menge, in der jede absteigende Folge stagniert alias jede nichtleere Teilmenge mindestens ein minimales Element hat. Eine Teilmenge $\mathcal Z\subset \mathcal A$ derart, da"s jedes Element von $\mathcal A$, f"ur das alle echt kleineren Elemente zu $\mathcal Z$ geh"oren, bereits selbst zu $\mathcal Z$ geh"ort, mu"s dann bereits mit $\mathcal A$ zusammenfallen. In der Tat, w"are $\mathcal F\pdef \mathcal A\backslash \mathcal Z$ nicht leer, so h"atte es ein minimales Element, das nach Annahme aber doch zu $\mathcal Z$ geh"oren m"u"ste. \end{Bemerkungl} %%\newpage \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildKrull} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Die Krulldimension der Ebene ist Zwei. Jede Kette maximaler L"ange von irreduziblen Teilmengen besteht wie angedeutet aus einem Punkt, einer irreduziblen Kurve im Sinne von \ref{aKurve} durch diesen Punkt, und der ganzen Ebene. \end{minipage} \end{figure} %%\newpage \begin{Definition} Die {\bf Krulldimension}\index{Krulldimension} $\op{kdim} (X)$\index{kdim@$\op{kdim}$ Krulldimension} eines topologischen Raums $X$ ist das Supremum\label{KDT} "uber alle L"angen $l$ von echt aufsteigenden Ketten \begin{equation*} X_0 \subsetneq X_1 \subsetneq \ldots \subsetneq X_l \subset X \end{equation*} von abgeschlossenen irreduziblen Teilmengen von $X$. M"ogliche Werte sind nat"urliche Zahlen, $\infty$ und $-\infty$. Die hier verwendete Notation $ \op{kdim} (X)$ ist un"ublich, meist schreibt man stattdessen schlicht $ \op{dim} (X)$. Etwas allgemeiner erkl"aren wir f"ur jede %irreduzible Teilmenge $Y\subset X$ die {\bf Krullkodimension\index{Krullkodimension} $ \op{kdim} (Y\subset X)$ von $Y$ in $X$} als das Supremum "uber alle L"angen $l$ von echt aufsteigenden Ketten \begin{equation*} Y \subset X_0\subsetneq X_1 \subsetneq \ldots \subsetneq X_l \subset X \end{equation*} von abgeschlossenen irreduziblen Teilmengen von $X$. Im Spezialfall einer einpunktigen Menge $Y=\{x\}$ schreiben wir $ \op{kdim}_xX\pdef \op{kdim} (\{x\}\subset X) $ und nennen das die {\bf lokale Krulldimension von $X$ bei $x$}.\index{Krulldimension!lokale} \index{kdim@$\op{kdim}_xX$ Krulldimension!lokale} Die Krullkodimension verwenden wir nur, wenn $Y$ in $X$ irreduziblen Abschlu"s hat und manchmal (?) im Fall $Y=\emptyset$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Notation}] Sicher ist es fragw"urdig, das Inklusionssymbol als Trenner in einer Notation zu mi"sbrauchen. Mir schien aber eine No\-ta\-tion wie $ \op{kdim} (Y\subset X)$ so viel suggestiver als etwa $ \op{kdim} (Y, X)$, da"s ich diese Bedenken hintangestellt habe. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Wir haben $\op{kdim} (\emptyset) = - \infty$ und $\op{kdim}(X) = 0$ f"ur jeden nichtleeren diskreten Raum $X$. F"ur einen unendlichen K"orper $k$ mit seiner Zariskitopologie gilt sicher $\op{kdim} (k) =1$. Offensichtlich gilt auch stets $$\op{kdim} (X) = \sup_{\substack{ Y\As X\\ {\mbox{ \scriptsize{ irreduzibel} }}}} \op{kdim}(Y)$$ Hier ist zu verstehen, da"s das Supremum wie angedeutet "uber alle abgeschlossenen irreduziblen Teilmengen $Y$ von $X$ gebildet wird. \end{Beispiel} %%\newpage \begin{Bemerkungw} Im weiteren Verlauf der Vorlesung soll gezeigt werden, da"s die Krulldimension in Bezug auf die Zariskitopologie einen \glqq vern"unftigen\grqq\ Dimensionsbegriff f"ur affine Variet"aten liefert. Das ist keineswegs trivial. Schon allein um in \ref{kdktb} zu zeigen, da"s die Krulldimension von $k^n$ eben $n$ ist, m"ussen wir tiefer in die kommutative Algebra einsteigen. Offensichtlich ist nur die Absch"atzung $\op{kdim} (k^n)\geq n$, wie eine beliebige Folge aus jeweils ineinander enthaltenen affinen Teilr"aumen wachsender Dimension $$\text{Punkt}\subsetneq \text{Gerade}\subsetneq\text{Ebene}\subsetneq \ldots\subsetneq\text{Hyperebene}\subsetneq k^n$$ zeigt, da nach \ref{kni} alle $k^l$ irreduzibel sind. Ein weiteres wesentliches Ziel ist der Nachweis der Formel $$\op{kdim}Y+\op{kdim}(Y\subset X)=\op{kdim}X$$ f"ur eine beliebige irreduzible affine Variet"at $X$ mit einer irreduziblen abgeschlossenen Teilmenge $Y\As X$. Offensichtlich ist nur die Ungleichung $\leq$. Die andere Ungleichung zeigen wir in \ref{KeRR}. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl}\label{aeqd} Ein noetherscher topologischer Raum hei"st {\bf "aquidimensional}\index{"aquidimensional}, wenn %er nicht leer ist und alle seine irreduziblen Komponenten dieselbe endliche Dimension haben. Er hei"st {\bf "aqui-$d$-dimensional}\index{"aqui-$d$-dimensional}, wenn %er nicht leer ist und alle seine irreduziblen Komponenten Dimension $d$ haben. Der leere Raum ist mithin "aqui-$d$-dimensional von jeder Dimension $d$ und ein "aqui-$d$-dimensionaler Raum f"ur $d<0$ mu"s der leere Raum sein. Eine "aquieindimensionale affine Variet"at hei"st eine {\bf affine Kurve}.\index{Kurve!affine}\label{aKurve} Eine "aquizweidimensionale affine Variet"at hei"st eine {\bf affine Fl"ache}.\index{Fl"ache!affine} \end{Bemerkungl} %%\newpage \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Ein noetherscher topologischer Raum kann nie isomorph sein zu einer echten Teilmenge von sich selbst.\label{EUV} \end{Ubung} \begin{Ubung} Ein topologischer Raum ist noethersch genau dann, wenn jede seiner offenen Teilmengen kompakt ist.\label{noeOK} \end{Ubung} \begin{Ubung} Sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper. Man zeige, da"s die irreduziblen algebraischen Teilmengen von $k$ genau die einpunktigen Teilmengen sowie ganz $k$ sind. Man zeige, da"s die irreduziblen algebraischen Teilmengen von $k^2$ genau die einpunktigen Teilmengen, die Nullstellenmengen einzelner irreduzibler Polynome, sowie ganz $k^2$ sind. Hinweis: \ref{JGD} listet alle algebraischen Teilmengen. \eref{uev}{LA1} besagt, da"s jedes nichtkonstante Polynom in zwei Ver"anderlichen "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper unendlich viele Nullstellen hat.\label{ghuu} \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{BIr} Das Bild eines irreduziblen Raums unter einer stetigen Abbildung ist stets irreduzibel. \end{Ubung} \begin{Ubung} F"ur einen topologischen Raum $X$ sind gleichbedeutend: (1) $X$ ist irreduzibel; (2) $X$ ist nicht leer und je zwei nichtleere offene Teilmengen von $X$ haben nichtleeren Schnitt; und (3) $X$ ist nicht leer und jede offene nichtleere Teilmenge von $X$ ist dicht in $X$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Sei $k=\bar k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper. Man zeige, da"s $k$ die Krulldimension Eins hat und $k^2$ die Krulldimension Zwei. Hinweis: Die irreduziblen algebraischen Teilmengen wurden in diesen F"allen in \ref{ghuu} bestimmt. \end{Ubung} \begin{Ubung} Eine Teilmenge eines topologischen Raums ist genau dann irreduzibel, wenn ihr Abschlu"s irreduzibel ist.\label{abir} \end{Ubung} %%\newpage \subsection{Irreduzible algebraische Mengen und Primideale} \begin{Satz}[\textbf{Regul"are Funktionen auf irreduziblen affinen Variet"aten}] Eine affine Variet"at $X$ ist irreduzibel genau dann, wenn ihr Ring von regul"aren Funktionen $\mathcal O(X)$ ein Integrit"atsring ist.\label{IBer} \end{Satz} \begin{Bemerkungl}\label{irrkn} Ist $k=\bar k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper, so ist insbesondere $k^{n}$ irreduzibel, denn jeder Polynomring "uber einem K"orper ist ein Integrit"atsring. Da"s $k^n$ irreduzibel ist, wissen wir nach \ref{kni} sogar allgemeiner f"ur jeden unendlichen K"orper $k$. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Eine affine Variet"at ist leer genau dann, wenn ihr Ring von regul"aren Funktionen der Nullring ist. Es reicht also zu zeigen, da"s eine nichtleere Variet"at genau dann irreduzibel ist, wenn in ihrem Ring von regul"aren Funktionen gilt $ab=0\RA (a=0\text{ oder }b=0)$. Gibt es nun in $\cal{O}(X)$ von Null verschiedene Elemente $a\neq 0\neq b$ mit $a b =0$, so sind ${\mathcal Z}(a)$ und $ {\mathcal Z}(b)$ echte abgeschlossene Teilmengen von $X$ mit ${\mathcal Z}(a) \cup {\mathcal Z}(b) =X$ und $X$ ist nicht irreduzibel. Ist umgekehrt $X$ nicht leer und nicht irreduzibel, so gibt es Teilmengen $I,J\subset \cal{O}(X)$ mit ${\mathcal Z}(I)\cup {\mathcal Z}(J)=X$ aber ${\mathcal Z}(I)\neq X\neq {\mathcal Z}(J)$. Dann gibt es auch Elemente $a\in I$ und $b\in J$ mit ${\mathcal Z}(a)\neq X\neq {\mathcal Z}(b)$, und f"ur diese gilt erst recht ${\mathcal Z}(a)\cup {\mathcal Z}(b)=X$. Damit gilt insbesondere $a\neq 0\neq b$ aber $ab=0$. \end{proof} %%\newpage \begin{Beispiel}[\textbf{Irreduzibilit"at der Determinante}] Wir zeigen, da"s die Determinante $\det \in k [X_{ij} \mid 1 \leq i, j \leq n]$ f"ur alle $n \geq 1$ ein irreduzibles Polynom ist. Ihre Nullstellenmenge ist irreduzibel als das Bild der durch die Abbildungsvorschrift $(A,B) \mapsto A \op{diag} (1,\ldots,1, 0) B$ gegebenen polynomialen Abbildung $${\op{Mat}}( n; k) \times{\op{Mat}}( n; k) \rightarrow {\op{Mat}}( n; k)$$ H"atten wir $\det = fg$ mit nichtkonstanten $f$ und $g$, so m"u"sten demnach $f$ und $g$ dieselbe Nullstellenmenge haben wie $\det$. Wenn wir also einen Punkt $D$ finden mit $\det (D) =0$, an dem die partielle Ableitung nach mindestens einer unserer Variablen $X_{ij}$ nicht verschwindet, so sind wir fertig. Das ist nun nicht mehr schwer.\label{IrDE} \end{Beispiel} %%\newpage \begin{Definition}\label{PrII} Ein Ideal $I$ eines Krings $R$ hei"st ein {\bf Primideal}\index{Primideal!in Kring}, wenn gilt $I \neq R$ und $a, b \not\in I \Rightarrow ab \not\in I$. Die Menge aller Primideale eines Krings $R$ hei"st das {\bf Spektrum\index{Spektrum!eines Krings}} oder ausf"uhrlicher das {\bf Primspektrum von}\index{Primspektrum} $R$ und man notiert diese Menge\index{Spec@$\op{Spec} R$!als Menge} $${\op{Spec}} R \pdef\{{\frak p}\subset R\mid {\frak p}\text{ ist ein Primideal von }R\}$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Primideale und Integrit"atsbereiche}] Genau dann ist ein Ideal in einem Kring ein Primideal, wenn der Quotientenring nach besagtem Ideal ein Integrit"atsbereich %im Sinne von \ref{TeiR} ist.\label{RInt} Insbesondere ist jedes maximale Ideal in einem Kring ein Primideal, denn der Quotient nach einem maximalen Ideal ist nach \ref{RMI} ein K"orper und jeder K"orper ist ein Integrit"atsbereich. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} Man kann den Begriff eines Primideals auf verschiedene Arten auf den Fall nicht notwendig kommutativer Ringe verallgemeinern. Diejenigen Ideale, die die Bedingung der obigen Definition \ref{PrII} wortw"ortlich erf"ullen, hei"sen im nichtkommutativen Kontext {\bf vollprime Ideale}.\index{vollprim!Ideal} Unter einem {\bf Primideal}\index{Primideal!in beliebigem Ring} versteht man im nichtkommutativen Kontext dahingegen ein vom ganzen Ring verschiedenes Ideal $P$ mit der Eigenschaft, da"s f"ur beliebige Ideale $I,J\subset R$ aus $IJ\subset P$ folgt $I\subset P$ oder $J\subset P$. Unter Idealen sind im nichtkommutativen Kontext immer beidseitige Ideale zu verstehen, andernfalls spricht man von Links- beziehungsweise Rechtsidealen. \end{Bemerkungw} \begin{Beispiele}[\textbf{Primideale im Ring der ganzen Zahlen}] Die Primideale im Ring $\Bbb{Z}$ der ganzen Zahlen sind genau das Nullideal und die von Primzahlen erzeugten Hauptideale. Allgemein ist ein Element eines Krings ein {\bf Primelement}\index{Primelement} im Sinne von \eref{DPrE}{AL} genau dann, wenn unser Element nicht Null ist und das von besagtem Element erzeugte Hauptideal ein Primideal ist. \end{Beispiele} %%\newpage \begin{Satz}[\textbf{Primideale und irreduzible Mengen im geometrischen Fall}] Gegeben eine affine Variet"at $X$\label{PuI} liefert das Bilden des Verschwindungsideals eine Bijektion zwischen der Menge aller irreduziblen abgeschlossenen Teilmengen von $X$ und der Menge aller Primideale im Ring $\cal{O}(X)$ der regul"aren Funktionen $$\begin{array}{ccc} \{ Y\As X\mid Y \text{ irreduzibel }\}& \sira & \op{Spec} \cal{O}(X)\\[2mm] Y & \mapsto & {\mathcal I}(Y) \end{array}$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Nat"urlich sind alle einpunktigen Teilmengen einer affinen Variet"at $X$ irreduzibel. Sie entsprechen nach \ref{NstV} unter unserer Bijektion den maximalen Idealen von $\cal{O}(X)$. Man mag sich im Licht des Satzes $\op{Spec} \cal{O}(X)$ vorstellen als die Menge $X$ erweitert um jeweils einen zus"atzlichen Punkt f"ur jede irreduzible Teilmenge, die nicht bereits selbst nur aus einem Punkt besteht. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Nach \ref{NstV} liefern das Bilden des Verschwindungsideals $\mathcal I$ und das Bilden der Nullstellenmenge $\mathcal Z$ zueinander inverse Bijektionen zwischen den abgeschlossenen Teilmengen von $X$ und den Radikalidealen von $\cal{O}(X)$, und nach dem noetherschen Isomorphiesatz liefert f"ur alle $Y\subset X$ die Einschr"ankung von Funktionen einen Isomorphismus $\cal{O}(X)/{\mathcal I}(Y)\sira \cal{O}(Y)$. Nun ist nach \ref{IBer} der Ring $\cal{O}(Y)$ genau dann ein Integrit"atsbereich, wenn $Y$ irreduzibel ist, und das gilt nach \ref{RInt} genau dann, wenn ${\mathcal I}(Y)$ ein Primideal ist. Unter unseren Bijektionen entsprechen also die irreduziblen abgeschlossenen Teilmengen genau den primen Radikalidealen alias den Primidealen. \end{proof} %%\newpage \begin{Bemerkungl}[\textbf{Urbilder von Primidealen sind Primideale}] Ist $f: R \ra S$ ein Kringhomomorphismus und ${\frak{p}} \subset S$ ein Primideal, so ist auch $f^{-1} ({\frak{p}}) \subset R$ ein Primideal. In der Tat haben wir eine Einbettung $R/f^{-1}({\frak{p}}) \hookrightarrow S/{\frak{p}}$ und jeder Teilring eines Integrit"atsbereichs ist selbst ein Integrit"atsbereich. Jeder Kringhomomorphismus induziert also auf den Spektren der beteiligten Kringe eine Abbildung in der Gegenrichtung $$\op{Spec}S\ra\op{Spec}R$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} F"ur Homomorphismen beliebiger Kringe $A\ra B$ induziert die zugeh"orige Abbildung $\op{Spec}B\ra \op{Spec}A$ im allgemeinen keine Abbildung $\op{Max}B\ra \op{Max}A$ und man kann auch nicht so einfach jedem Element $a\in A$ eine Abbildung von $\op{Max}A$ oder $\op{Spec}A$ in irgendein festes $k$ zuordnen. Mit etwas mehr technischem Aufwand gelingt es aber dennoch, jedem Kring $A$ ein unser $\op{Max}A$ verallgemeinerndes geometrisches Objekt $\op{Spec}A$ zuzuordnen, das \glqq Spektrum von $A$\grqq\ in der Kategorie der \glqq Schemata\grqq. \end{Bemerkungw} %%\newpage \begin{Lemma}[\textbf{Produkt von zwei Idealen in einem Primideal}] In einem Kring\label{PIII} $R$ ist ein echtes Ideal $\mathfrak p\subsetneq R$ genau dann ein Primideal, wenn f"ur beliebige Ideale $\mathfrak a, \mathfrak b\subset R$ aus $\mathfrak a \mathfrak b\subset \mathfrak p$ folgt $\mathfrak a\subset \mathfrak p$ oder $\mathfrak b\subset \mathfrak p$. \end{Lemma} \begin{proof} Sei $\mathfrak p\subsetneq R$ ein Ideal. Ist $\mathfrak p$ kein Primideal, so gibt es $a,b\in R\backslash \mathfrak p$ mit $ab\in \mathfrak p$ und damit $\langle a\rangle\not\subset \mathfrak p$ sowie $ \langle b\rangle\not\subset \mathfrak p$ aber $\langle a\rangle \langle b\rangle\subset \mathfrak p$. Gibt es Ideale $\mathfrak a, \mathfrak b\subset R$ mit $\mathfrak a \mathfrak b\subset \mathfrak p$ aber $\mathfrak a\not\subset \mathfrak p$ und $\mathfrak b\not\subset \mathfrak p$, so gibt es $a\in \mathfrak a\backslash \mathfrak p$ und $b\in \mathfrak b\backslash \mathfrak p$ und f"ur diese gilt nach Annahme $ab\in\mathfrak a \mathfrak b\subset \mathfrak p$ und deshalb kann $\mathfrak p$ dann kein Primideal sein. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Produkt von Idealen in einem Primideal}] Gegeben Ideale $\frak a_1, \ldots, \frak a_s$ eines Krings $R$ und ein Primideal $\frak p\subset R$ mit $\frak a_1\cap \ldots\cap \frak a_s\subset\frak p$ und sogar schw"acher mit $\frak a_1\ldots\frak a_s\subset \frak p$ gilt insbesondere $\frak a_i\subset \frak p$ f"ur mindestens ein $i$.\label{UFSS} Liegt also geometrisch gesprochen eine irreduzible abgeschlossene Teilmenge einer affinen Variet"at in einer endlichen Vereinigung von abgeschlossenen Teilmengen, so liegt sie bereits in einer der vereinigten Teilmengen. Ist insbesondere $ \frak a_1\cap \ldots\cap \frak a_s=\frak p$ prim, so folgt $\frak a_i=\frak p$ f"ur mindestens ein $i$. \end{Bemerkungl} %%\newpage \begin{Proposition}[\textbf{Ideale in einer Vereinigung von Primidealen}] Gegeben Primideale $ \frak p_1, \ldots, \frak p_s$ eines\label{PiAAn} Krings $R$ und ein Ideal $\frak a\subset R$ folgt aus der Inklusion $\frak a\subset \frak p_1\cup \ldots\cup \frak p_s$ bereits $\frak a\subset \frak p_j$ f"ur mindestens ein $j$. \end{Proposition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Primidealvermeidung}] Umformuliert besagt Proposition \ref{PiAAn}, da"s es gegeben Primideale $ \frak p_1, \ldots, \frak p_s$ eines\label{PiAAnV} Krings $R$ und ein Ideal $\frak a\subset R$ mit $\frak a\not\subset \frak p_i\;\forall i$ bereits ein Element $a\in \mathfrak a$ gibt mit $ a\not\in \frak p_i\;\forall i$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Im geometrischen Fall entsprechen die Primideale $\frak p_i$ irreduziblen abgeschlossenen Teilmengen $Y_i=\mathcal Z(\frak p_i)$ einer affinen Variet"at $X$. Aus $\frak a\not\subset \frak p_i$ folgt $\sqrt{\frak a}\not\subset \frak p_i$ und f"ur $Z\pdef\mathcal Z( \frak a)$ haben wir folglich $Z\not\supset Y_i\;\forall i$. Dann gibt es also $y_i\in Y_i\backslash Z$ f"ur alle $i$ und durch disjunktes Verkleben \ref{ABF} finden wir eine regul"are Funktion $f$ mit $f|_Z=0$ und $f(y_i)=1\;\forall i$ alias $f\in \sqrt{\frak a}$ aber $f\not\in \frak p_i\;\forall i$ und f"ur $n$ hinreichend gro"s auch $f^n\in \frak a$ aber $f^n\not\in \frak p_i\;\forall i$. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Durch Widerspruch. Wir nehmen an, da"s f"ur alle $j$ gilt $\frak a\not\subset \frak p_j$. Dann finden wir jeweils ein $g_j\in \frak a\backslash \frak p_j$. Es gilt, ein Element $g\in \frak a\backslash( \frak p_1\cup \ldots\cup \frak p_s)$ zu konstruieren. Sicher d"urfen wir dazu annehmen, da"s es zwischen den $\frak p_j$ keine Inklusionsrelationen gibt. Dann existieren f"ur $i\neq j$ stets Elemente $f_{ij}\in \frak p_i\backslash\frak p_j$. Das Produkt $g_j \prod_{i\neq j}f_{ij}$ geh"ort dann zu $\frak a$ und zu allen $\frak p_i$ mit $i\neq j$, geh"ort aber nicht zu $\frak p_j$. Die Summe dieser Produkte ist unser gesuchtes $g$. \end{proof} %%\newpage \begin{Definition}\label{KDR} Die \defind{Krulldimension} $\op{kdim}(R)$ eines Krings $R$ wird erkl"art als das Supremum aller L"angen von echt absteigenden Ketten \begin{equation*} \frak{p}_0 \supsetneq \frak{p}_1 \supsetneq \ldots \supsetneq \frak{p}_l \end{equation*} vom Primidealen von $R$. Wir haben also $\op{kdim} (R) \in \mathbb N \amalg \{\pm \infty\}$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Ich schreibe hier von links nach rechts absteigende Ketten, weil diese geometrisch von links nach rechts aufsteigenden Ketten von irreduziblen Teilmengen entsprechen wie wir sie bei der Definition der Krulldimension topologischen R"aumen verwendet haben. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} Es gibt noethersche Kringe von unendlicher Krulldimension. Es gibt auch kommutative noethersche Integrit"atsbereiche endlicher Krulldimension, in denen sich nicht jede Primidealkette zu einer Primidealkette maximaler L"ange verfeinern l"a"st. F"ur von Null verschiedene Kringe, die ringendlich sind "uber einem K"orper, werden wir jedoch im folgenden zeigen, da"s die Krulldimension endlich ist, und da"s sich im Fall eines "uber einem K"orper ringendlichen Integrit"atsrings sogar jede Primidealkette zu einer Primidealkette maximaler L"ange verfeinern l"a"st. \end{Bemerkungw} \begin{Beispiel} Wir haben $\op{kdim} (0) =-\infty$. Wir haben $\op{kdim} (k) = 0$ f"ur jeden K"orper $k$. Wir haben $\op{kdim} (\mathbb Z) =1$. Wir haben $ \op{kdim} (k [T]) =1$ f"ur jeden K"orper $k$. \end{Beispiel} %%\newpage \begin{Bemerkungl}[\textbf{Krulldimension von Kringen und Variet"aten}] Ist $X$ eine affine algebraische Variet"at, so entsprechen nach \ref{PuI} die abgeschlossenen irreduziblen Teilmengen von $X$ eineindeutig den Primidealen von $\mathcal O (X)$. Die Krulldimension des topologischen Raums $X$ nach \ref{KDT} stimmt folglich "uberein mit der Krulldimension des Krings $\mathcal O (X)$ im Sinne der vorhergehenden Definition \ref{KDR}, in Formeln $$\op{kdim} X = \op{kdim} \mathcal O (X)$$ Um mit der Krulldimension arbeiten zu k"onnen, ja allein um zu zeigen, da"s f"ur $k=\bar k$ algebraisch abgeschlossen der $k^n$ die Krulldimension $n$ hat, m"ussen wir tiefer in die kommutative Algebra einsteigen. Bis hierher haben wir nur gezeigt, da"s gilt $\op{kdim} (k^n) = \op{kdim} k[T_1,\ldots, T_n]$. Jetzt m"ussen wir die Krulldimension eines Polynomrings bestimmen. Das gelingt in \ref{kdkt}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} In \ref{TGFH} zeigen wir, da"s in gewissen Situationen die a priori anschaulichere Krulldimension mit dem leichter zu berechnenden \glqq Transzendenzgrad des K"orpers der rationalen Funktionen\grqq\ "ubereinstimmt. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl} Sei $X$ ein topologischer Raum. Unter einer {\bf Hyperfl"ache in $X$}\index{Hyperfl"ache}\label{hpf} verstehen wir eine Teilmenge $Y\subset X$ derart, da"s jede ihrer irreduziblen Komponenten $Z$ die Krullkodimension $\op{kdim}(Z\subset X)=1$ hat. Insbesondere ist damit f"ur uns auch die leere Menge in jedem topologischen Raum eine Hyperfl"ache. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Gleichungen f"ur Hyperfl"achen}] Gegeben eine affine Variet"at $X$ mit einem faktoriellen Ring $\mathcal O(X)$ von regul"aren Funktionen liefert das Bilden der\label{KKHSss} Nullstellenmenge eine Bijektion $$\begin{array}{ccc} \left\{\begin{array}{c} \text{Irreduzible Elemente von}\\ \mathcal O(X),\text{ bis auf Einheiten} \end{array}\right\}& \sira& \left\{ \begin{array}{c} \text{Abgeschlossene irreduzible}\\ \text{Hyperfl"achen in }X \end{array}\right\}% \left\{ Y\As X\left|\begin{array}{c}Y \text{ irreduzible}\\ % \text{Hyperfl"ache in }X\\ % \end{array}\right.\right\} \\[4mm] [f]&\mapsto&\mathcal Z(f) \end{array}$$ \end{Proposition} \begin{proof} Ist $\mathcal O(X)$ faktoriell, so ist f"ur $f$ irreduzibel das Hauptideal $\langle f\rangle$ prim und offensichtlich sind die minimalen Elemente der durch Inklusion angeordneten Menge aller von Null verschiedenen Primideale genau diese Hauptideale. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Ebenso erhalten wir f"ur eine affine Variet"at $X$ mit einem faktoriellen Ring $\mathcal O(X)$ von regul"aren Funktionen eine Bijektion $$\begin{array}{ccc} \left\{\begin{array}{c} \text{Quadratfreie Elemente von}\\ \mathcal O(X),\text{ bis auf Einheiten} \end{array}\right\}& \sira& \left\{ \begin{array}{c} \text{Abgeschlossene}\\ \text{Hyperfl"achen in }X \end{array}\right\}% \left\{ Y\As X\left|\begin{array}{c}Y \text{ irreduzible}\\ % \text{Hyperfl"ache in }X\\ % \end{array}\right.\right\} \\[4mm] [f]&\mapsto&\mathcal Z(f) \end{array}$$ zwischen quadratfreien Elementen von $\mathcal O(X)$, bis auf Einheiten, und Hyperfl"achen in $X$.\label{KKHSsds} Ist $\mathcal O(X)$ nicht faktoriell, so ist die Aussage im allgemeinen nicht mehr richtig: In diesem Fall kann die Nullstellenmenge eines irreduziblen Elements mehrere Komponenten haben und es kann umgekehrt passieren, da"s f"ur das Verschwindungsideal einer irreduziblen Hyperfl"ache mehr als ein Erzeuger ben"otigt wird. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} Was wir an dieser Stelle noch nicht zeigen k"onnen und worauf wir hinarbeiten ist die Erkenntnis \ref{aeqk}, da"s jede nichtleere Hyperfl"ache $Z$ in einer irreduziblen affinen Variet"at $X$ eine um Eins kleinere Dimension hat, ja da"s sogar f"ur $Z\As X$ eine beliebige irreduzible abgeschlossene Teilmenge einer irreduziblen affinen Variet"at $X$ gilt $$\op{kdim}Z+\op{kdim}(Z\subset X)=\op{kdim}X $$ Klar ist bis jetzt nur $\leq$. Was wir an dieser Stelle auch noch nicht zeigen k"onnen und worauf wir hinarbeiten ist ein Spezialfall des Krull'sche Hauptidealsatzes \nichtfinal{\ref{??} \ref{HvK}}, nach dem die Nullstellenmenge einer von Null verschiedenen regul"aren Funktion in einer irreduziblen affinen Variet"at $X$ eine Hyperfl"ache ist auch dann, wenn $\mathcal O(X)$ nicht faktoriell sein sollte. Erst einmal sind wir bescheidener. In \ref{kdktb} zeigen wir $\op{kdim}k^n=n$ und $\op{kdim}\mathcal Z(f)=n-1$ f"ur jedes nichtkonstante Polynom in $n$ Variablen, das ist schon mal ein Anfang. \end{Bemerkungw} %%\newpage \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Irreduzibilit"at der Gruppe $\op{SL}_n$}]$(k=\bar k)$. Man zeige, da"s die spezielle lineare Gruppe $\op{SL}(n;k)$ stets irreduzibel ist. Hinweis: "Ahnlich wie in \eref{PEMm}{LA1} erkennt man, da"s es f"ur jedes $n$ ein $N$ gibt derart, da"s sich jede $(n\times n)$-Matrix der Determinante Eins darstellen l"a"st als Produkt von $N$ Faktoren, die jeweils Diagonalmatrizen der Determinante Eins oder Elementarmatrizen der Determinante Eins sind. Man folgere, da"s auch $1-\det$ f"ur $n\geq 1$ ein irreduzibles Polynom ist. Hinweis: Man argumentiere wie in \ref{IrDE}.\label{IrSL} \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Irreduzibilit"at von Produkten}] Seien $k$ ein K"orper und $X\subset k^n$ und $Y\subset k^m$ irreduzibel f"ur die Zariskitopologie. Man zeige, da"s dann auch\label{PZT} $X\times Y\subset k^{n+m}$ irreduzibel ist f"ur die Zariskitopologie. Hinweis: Man betrachte zun"achst den Fall, da"s $Y$ nur aus einem Punkt besteht. \end{Ubung} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Tensorprodukte von Integrit"atskringen}] Wir zeigen, da"s das Tensorprodukt von zwei Integrit"atskringen "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper $k=\bar k$ stets wieder ein Integrit"atskring ist. Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir uns auch auf den Fall ringendlicher Integrit"atskringe "uber $k$ zur"uckziehen. Dann sind unsere Integrit"atskringe aber nach \ref{RaR} isomorph zu Ringen polynomialer Funktionen auf Teilmengen gewisser $k^n$, und besagte Teilmengen\label{TiK} sind irreduzibel nach \ref{IBer}. Damit ist auch ihr Produkt irreduzibel nach \ref{PZT}, dann bilden die polynomialen Funktionen auf dem Produkt einen Integrit"atsring nach \ref{IBer}, und nach \ref{PAf} ist dieser Integrit"atsring gerade das Tensorprodukt "uber $k$ unserer urspr"unglichen Integrit"atsringe. Die $\DR$-Kringalgebra $\DC \otimes_{\DR} \DC \cong \DC \times \DC$ ist kein Integrit"atsring, f"ur Kringalgebren "uber einem nicht algebraisch abgeschlossenen K"orper gilt die Aussage also im allgemeinen nicht. \end{Bemerkunge} \begin{Ubung}[\textbf{Filtrierung durch Quotienten nach Primidealen}] Jeder endlich erzeugte Modul "uber einem noetherschen Kring besitzt eine endliche Filtrierung durch Untermoduln derart, da"s alle Subquotienten isomorph sind zu Quotienten unseres Krings nach Primidealen.\label{FiSP} Hinweis: Man w"ahle mit \ref{KNoe} einen maximalen Untermodul, der eine Filtrierung der beschriebenen Art besitzt. Dann zeige man mit \ref{KNoe}, da"s im Fall eines von Null verschiedenen Moduls das System der Annullatoren aller seiner von Null verschiedenen Elemente maximale Elemente besitzt und da"s diese maximalen Elemente Primideale sind. Schlie"slich zeige man, da"s unser maximaler Untermodul bereits der ganze Modul gewesen sein mu"s. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{PUNm} Ein Primideal eines Krings mu"s alle nilpotenten Elemente des besagten Krings enthalten. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Urbilder von Primidealen im geometrischen Fall}] Ist $\varphi : X \ra Y$ ein Morphismus von affinen Variet"aten und $\varphi^{\sharp}:\cal{O}(Y)\ra \cal{O}(X)$ der zugeh"orige Komorphismus, so kommutiert das Diagramm\label{piG} $$\begin{array}{ccccc} X & \sira& \op{Max} \cal{O}(X)&\subset&\op{Spec} \cal{O}(X) \\ \varphi \downarrow \;\;\;\;& &&&\;\;\;\;\;\;\;\;\downarrow (\varphi^{\sharp})^{-1}\\ Y &\sira& \op{Max}\cal{O}(Y)&\subset&\op{Spec} \cal{O}(Y) \end{array}$$ Hier ist zu verstehen, da"s die Vertikale rechts jedem Primideal sein Urbild unter $\varphi^{\sharp}$ zuordnet. Hinweis: \ref{IDBM}. Man zeige allgemeiner, da"s das Diagramm $$\begin{array}{ccccc} \{ Z\As X\mid Z \text{ irreduzibel }\} & \sira& \op{Spec} \cal{O}(X) \\ \downarrow & &\;\;\;\;\;\;\;\;\downarrow (\varphi^{\sharp})^{-1}\\ \{ W\As Y\mid W \text{ irreduzibel }\} &\sira&\op{Spec} \cal{O}(Y) \end{array}$$ kommutiert mit den durch \ref{PuI} gegebenen Horizontalen und der Abbildung $Z\mapsto \overline{\varphi(Z)}$ als linker Vertikale. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Verallgemeinerte Primidealvermeidung}] Man zeige: Gegeben Ideale $\frak a_1, \ldots, \frak a_r$ und Primideale\label{PiAA} $\frak p_1, \ldots, \frak p_s$ eines Krings $R$ mit $\frak a_i \not\subset \frak p_j$ f"ur alle $i,j$ gibt es stets $f \in R$ mit $f \in \frak a_i \;\forall i$ aber $f \not\in \frak p_j \; \forall j$. Diese "Ubung wird beim Beweis von Going-Down verwendet. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige f"ur jeden K"orper $k$ die Formeln $\op{kdim} (k \times k) =0$ und $\op{kdim} (k[T] / \langle T^2 \rangle) =0$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben ein surjektiver Kringhomomorphismus $A\sra B$ zeige man $\op{kdim}(A)\geq \op{kdim}(B)$. \end{Ubung} %%\newpage \subsection{Lokalisierung} \begin{Definition} Seien $R$ ein Kring und $S\subset R$ eine Teilmenge. Ein $R$-Modul $M$ hei"st {\bf $S$-lokal},\index{lokal!Modul} wenn f"ur alle $s\in S$ die Multiplikation mit $s$ einen Isomorphismus $(s\cdot):M\sira M$ liefert.\label{Slok} \end{Definition} \begin{Definition} Seien $R$ ein Kring und $S\subset R$ eine Teilmenge und $M$ ein $R$-Modul. Eine {\bf Lokalisierung von $M$ an $S$} ist ein Paar $(L,\op{lok})$ bestehend aus einem \hyperref[Slok]{$S$-lokalen} $R$-Modul $L$ und einem Homomorphismus von $R$-Moduln $\op{lok}:M\ra L$ derart, da"s jeder Homomorphismus von $M$ in einen $S$-lokalen $R$-Modul eindeutig "uber $\op{lok}$ faktorisiert. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} In Formeln fordern wir also, da"s f"ur jeden weiteren $S$-lokalen $R$-Modul $N$ das Vorschalten von $\op{lok}$ eine Bijektion $$(\circ\op{lok}):\op{Hom}_{R}(L,N)\sira \op{Hom}_{R}(M,N)$$ liefert.\label{UECC} Diese Eigenschaft hei"st die {\bf universelle Eigenschaft der Lokalisierung}. Die "ublichen Argumente zeigen, da"s eine Lokalisierung eindeutig ist bis auf eindeutigen Isomorphismus, wenn sie denn existiert. Da"s eine Lokalisierung stets existiert, werden wir gleich in voller Allgemeinheit zeigen. Sie verdient deshalb eine Notation und einen bestimmten Artikel. Wir notieren die Lokalisierung eines Moduls $M$ meist\index{)6aa@$S^{-1}$ Lokalisierung!$S^{-1}M$ eines Moduls}\label{Loex} $$(S^{-1}M,\op{lok})$$ Ist unser Modul $M$ bereits $S$-lokal, so ist $(M,\op{id})$ eine Lokalisierung. \end{Bemerkungl} %\newpage \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] Die Herkunft der Bezeichnung wird hoffentlich im n"achsten Abschnitt deutlich, in dem wir zeigen, inwiefern Ringe von regul"aren Funktionskeimen auf affinen Variet"aten als Lokalisierungen des Rings der regul"aren Funktionen beschrieben werden k"onnen. \end{Bemerkungl} %\newpage \begin{Bemerkungl}\label{erzm} Gegeben ein Monoid $(M,\circ)$ und eine Teilmenge $T\subset M$ notieren wir ganz allgemein $| T\rangle=| T,\circ\rangle=\langle T;\op{Mon}\rangle$ wie in \eref{NfE}{AL} das von $T$ in $M$ erzeugte Untermonoid. Man beachte, da"s das von einer Teilmenge $S$ eines Rings erzeugte multiplikative Monoid $| S\rangle$ etwas sehr anderes ist als das von $S$ erzeugte Ideal $\langle S\rangle$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Eine Teilmenge $T$ eines Rings $R$ hei"st {\bf multiplikativ abgeschlossen},\index{multiplikativ abgeschlossen} wenn die $1$ zu $T$ geh"ort und wenn gilt $s,t \in T \Rightarrow st \in T$. Unser $| S\rangle$ ist die kleinste multiplikativ abgeschlossene Teilmenge von $R$, die $S$ umfa"st. Die meisten Quellen gehen bei der Definition der Lokalisierung gleich von einer multiplikativ abgeschlossenen Teilmenge aus, aber das schien mir weniger geschickt. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Existenz der Lokalisierung}] Gegeben ein Kring $R$ und eine Teilmenge $S \subset R$ und ein $R$-Modul $M$ existiert stets eine Lokalisierung\label{LokE} $$\op{lok}:M\ra S^{-1}M$$ \end{Satz} %\newpage \begin{proof} Wir betrachten das von $S$ erzeugte multiplikative Untermonoid $|S\rangle\subset R$ und bilden die Menge $M\times |S\rangle$ und definieren darauf eine Relation $\sim$ durch die Vorschrift $$(m,s) \sim (n,t)\text{ genau dann, wenn es $r \in |S\rangle$ gibt mit $rtm= rsn$.}$$ Diese Relation ist eine "Aquivalenzrelation, wie man unschwer einsieht. Wir bezeichnen die Menge der "Aquivalenzklassen mit $S^{-1} M$ und die "Aquivalenzklasse von $(m,s)$ mit $\frac{m}{s}$ oder $m/s$. Dann definieren wir auf $S^{-1}M $ eine Verkn"upfung $+$ durch die Regel $$\frac{m}{s} + \frac{n}{t} \pdef \frac{tm + sn}{st}$$ und "uberlassen dem Leser den Nachweis, da"s diese Verkn"upfung wohldefiniert ist und $S^{-1}M$ zu einer abelschen Gruppe macht. Schlie"slich definieren wir eine Abbildung $R\times S^{-1}M \ra S^{-1}M$ durch die Regel $$ a\cdot \frac{n}{t} = \frac{an}{t}$$ und pr"ufen, da"s sie wohldefiniert ist und die abelsche Gruppe $S^{-1}M$ zu einem $S$-lokalen $R$-Modul macht. Als Umkehrabbildung beim Nachweis der universellen Eigenschaft kann und mu"s man jedem Homomorphismus $\varphi:M\ra N$ in einen $S$-lokalen $R$-Modul $N$ die Abbildung $\tilde \varphi:S^{-1}M\ra N$ zuordnen, die durch $\tilde \varphi(m/s)=s^{-1}\varphi(m)$ wohldefiniert ist. \end{proof} %\newpage \begin{Beispiel} Die Lokalisierung eines kommutativen Integrit"atsbereichs $R$ nach allen von Null verschiedenen Elementen ist sein Bruchk"orper $\op{Frac}(R)$ aus \eref{DQok}{LA1}. An dieser Stelle k"onnen wir nur einen Isomorphismus als $R$-Modul behaupten, aber die Konstruktion der Ringstruktur wird nicht lange auf sich warten lassen. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Kern der kanonischen Abbildung in die Lokalisierung}] Seien $R$ ein Kring und $S\subset R$ eine Teilmenge und $M$ ein $R$-Modul. Nach Konstruktion besteht der Kern der kanonischen Abbildung\label{kerLo} $\op{lok}:M\ra S^{-1}M$ genau aus allen $m\in M$, f"ur die es ein $r\in |S\rangle$ gibt mit $rm=0$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Die Lokalisierung als Funktor}] Seien $R$ ein Kring und $S\subset R$ eine Teilmenge.\label{LokFu} Wir ordnen jedem Homomorphismus von $R$-Moduln $\varphi:M\ra N$ den nach \ref{UECC} eindeutig bestimmten Homomorphismus $S^{-1}\varphi:S^{-1}M\ra S^{-1}N$ mit $(S^{-1}\varphi)\circ \op{lok}=\op{lok}\circ\varphi: M\ra S^{-1}N$ zu, der explizit gegeben wird durch $$S^{-1}\varphi:\frac{m}{s}\mapsto \frac{\varphi(m)}{s}$$ So erhalten wir einen Funktor von der Kategorie der $R$-Moduln in sich selber und sogar in die volle Unterkategorie der $S$-lokalen $R$-Moduln. \end{Bemerkungl} %\newpage \begin{Proposition}[\textbf{Exaktheit der Lokalisierung}] Seien $R$ ein Kring und $S\subset R$ eine Teilmenge. Ist $M'\ra M\ra M'' $ eine exakte Sequenz von $R$-Moduln, so ist auch $S^{-1}M'\ra S^{-1}M\ra S^{-1}M'' $ eine exakte Sequenz.\label{EdLo} \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Insbesondere k"onnen und werden wir f"ur jeden Untermodul $N\subset M$ auch seine Lokalisierung als Untermodul des lokalisierten Moduls auffassen. In Formeln bezeichnen wir mit $S^{-1}N$ also sowohl die Lokalisierung von $N$ als auch ihr Bild $S^{-1}N\subset S^{-1}M$ unter der offensichtlichen Einbettung. Es wird jedoch auf diesen Unterschied nie ankommen. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Geht $m/s$ auf Null in $M'' $, also $m\mapsto m'' $ mit $m'' /s=0$, so gibt es $t\in |S\rangle$ mit $tm'' =0$. Damit gibt es $n\in M'$ mit $n\mapsto tm$ und $n/ts\mapsto tm/ts=m/s$. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Lokalisierung und Restriktion der Skalare}] Ist $\varphi:A\ra B$ ein Kringhomomorphismus und $S\subset A$ eine Teilmenge und $M$ ein $B$-Modul, so ist der durch die universelle Eigenschaft gegebene Morphismus ein Isomorphismus $$S^{-1}(\op{res}_\varphi M)\sira \op{res}_\varphi(\varphi(S)^{-1} M)$$ In der Tat liefert die Funktorialit"at\label{LRS} der Lokalisierung eine Struktur als $B$-Modul auf der linken Seite, und dieser ist offensichtlich $\varphi(S)$-lokal. Die universelle Eigenschaft der Lokalisierung liefert damit einen Homomorphismus von $B$-Moduln $\varphi(S)^{-1} M\ra S^{-1}(\op{res}_\varphi M)$ in die Gegenrichtung und man pr"uft leicht, da"s diese Abbildung invers ist zu unserem behaupteten Isomorphismus. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Lokalisierung und multilineare Abbildungen}] Gegeben $R\supset S$ ein Kring mit einer Teilmenge und $R$-Moduln $M,N$ und eine $R$-bilineare Abbildung $\varphi:M \times N \ra L$ in einen $S$-lokalen $R$-Modul $L$ gibt es genau eine $R$-bilineare Abbildung\label{LoML} $$\tilde\varphi:S^{-1}M \times S^{-1}N \ra L$$ mit $\varphi=\tilde\varphi\circ (\op{lok}\times\op{lok})$. Das folgt unmittelbar aus der Konstruktion im Beweis der Existenz \ref{LokE}. Alternativ mag man bilineare Abbildungen mit linearen Abbildungen in den $\op{Hom}$-Raum identifizieren und bemerken, da"s mit $L$ auch $\op{Hom}_R(N,L)$ ein $S$-lokaler $R$-Modul ist. Analoges gilt f"ur multilineare Abbildungen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} In der in \eref{MulF}{TSK} eingef"uhrten Terminologie ist die Lokalisierung ein Schmelzfunktor und ist vertr"aglich mit universellen Verschmelzungen, aber so weit will ich hier nicht gehen. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Lokalisierung von Kringen}] Ist $R$ ein Kring und $S\subset R$ eine Teilmenge, so induziert die $R$-bilineare Abbildung der Multiplikation $R\times R\ra R$ nach \ref{LoML} eine $R$-bilineare Abbildung $$S^{-1}R\times S^{-1}R\ra S^{-1}R$$ Man sieht unmittelbar, da"s damit $S^{-1}R$ auch wieder ein Kring ist. Ist weiter $M$ ein $R$-Modul, so induziert die $R$-bilineare Abbildung $R\times M\ra M$ der Operation nach \ref{LoML} eine $R$-bilineare Abbildung $$S^{-1}R\times S^{-1}M\ra S^{-1}M$$ Man sieht unmittelbar, da"s so $S^{-1}M$ zu einem $S^{-1}R$-Modul wird. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Lokalisierung von Ringalgebren}] Ist $R$ ein Kring und $S\subset R$ eine Teilmenge und $A$ eine $R$-Algebra, so induziert die $R$-bilineare Abbildung der Multiplikation $A\times A\ra A$ nach \ref{LoML} eine $R$-bilineare Abbildung $$S^{-1}A\times S^{-1}A\ra S^{-1}A$$ Man sieht unmittelbar, da"s\label{lKral} die Assoziativit"at, Kommutativit"at und Unitarit"at sich von $A$ auf $S^{-1}A$ "ubertragen. Ist weiter $A$ eine Ringalgebra und $M$ ein $A$-Modul, so induziert die $R$-bilineare Abbildung $A\times M\ra M$ der Operation nach \ref{LoML} eine $R$-bilineare Abbildung $$S^{-1}A\times S^{-1}M\ra S^{-1}M$$ Man sieht unmittelbar, da"s so $S^{-1}M$ zu einem $S^{-1}A$-Modul wird. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Universelle Eigenschaft der Lokalisierung von Kringen}] Seien $R$ ein Kring und $S\subset R$ eine Teilmenge. Offensichtlich ist dann $\op{lok}:R\ra S^{-1}R$ ein Ringhomomorphismus und unter diesem Ringhomomorphismus wird jedes Element von $S$ auf eine Einheit abgebildet. Gegeben andererseits ein Kringhomomorphismus $\varphi:R\ra A$ mit $\varphi(S)\subset A^\times$ ist der universelle $R$-Mo\-dul\-ho\-mo\-mor\-phis\-mus $S^{-1}R\ra A$ sogar ein Ringhomomorphismus. In anderen Worten faktorisiert jeder Kringhomomorphismus $R\ra A$, unter dem alle Elemente von $S$ auf Einheiten abgebildet werden, eindeutig "uber die Lokalisierung $\op{lok}:R\ra S^{-1}R$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Lokalisierung von Integrit"atskringen als Teil ihres Bruchk"orpes}] Ist $R$ ein Integrit"atsbereich und $S\subset R$ eine Teilmenge mit $0\not\in S$, so ist auch $S^{-1}R$ ein Integrit"atsbereich und der durch die universelle Eigenschaft gegebene Ringhomomorphismus $$S^{-1}R\ra \op{Frac} R$$ ist injektiv mit Bild dem Teilring des Bruchk"orpers derjenigen Elemente, die sich als Bruch mit Nenner aus $|S\rangle$ darstellen lassen und f"ur den wir bereits in \eref{KoBr}{LA1} die Notation $S^{-1}R$ eingef"uhrt hatten. Ist $S\subset R$ die Menge aller von Null verschiedenen Elemente, so erhalten wir insbesondere genau unseren Bruchk"orper $S^{-1}R=\op{Frac}R$ aus \eref{DQok}{LA1}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Lokale Moduln als Moduln "uber dem lokalisierten Kring}] Gegeben $R$ ein Kring und $S\subset R$ eine Teilmenge ist die Restriktion der Skalare unter dem Kringhomomorphismus $\op{lok}:R\ra S^{-1}R$ offensichtlich eine "Aquivalenz, ja ein Isomorphismus von Kategorien $$(S^{-1}R)\op{-Mod}\;\sira\;\{M\in R\op{-Mod}\mid M\text{ ist $S$-lokal}\}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Lokalisierung als Skalarerweiterung}] F"ur die mit allgemeinen Tensorprodukten und Erweiterung der Skalare \ref{F1} vertrauten Leser sei angef"ugt, da"s gegeben $R$ ein Kring und $S\subset R$ eine Teilmenge die Abbildung $M\ra (S^{-1}R)\otimes_RM, m\mapsto 1\otimes m$ stets eine Lokalisierung von $M$ ist. In anderen Worten ist die Lokalisierung eines Moduls nichts anderes als die Erweiterung der Skalare zur entsprechenden Lokalisierung unseres Krings und damit ein Spezialfall der allgemeinen Skalarerweiterung und wir haben in Formeln\label{LaSK} $$S^{-1}M\sira (S^{-1}R)\otimes_RM$$ Allerdings haben die bei der Lokalisierung auftretenden Skalarerweiterungen sehr spezielle Eigenschaften, insbesondere die Exaktheit, die man mithilfe der hier gegebenen Konstruktion der Lokalisierung eines Moduls besser einsehen kann. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Lokalisieren nach einem einzigen Element}] Besteht $S=\{ f\}$ nur aus einem einzigen Element, so benutzt man f"ur die Lokalisierung nach $S$ auch die Notationen\index{)8ba@$M_{f}$ Lokalisierung nach $f$}\label{NotLO} $$S^{-1}M = f^{-1}M= M_{f}=M[f^{-1}] $$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Lokalisieren an einem Primideal}] Ist $R$ ein Kring und $\frak p\subset R$ ein Primideal, so benutzt man f"ur die Lokalisierung eines $R$-Moduls $M$ nach dem Komplement $S\pdef R\backslash \frak p$ unseres Primideals $\frak p$ auch die Notation $$S^{-1}M \defp M_{\frak p} $$ und nennt $M_{\frak p} $ die {\bf Lokalisierung von $M$ an der Stelle $\frak p$}.\index{)8ba@$M_{\frak p}$ Lokalisierung bei $\frak p$} Man beachte, da"s $S=R\backslash \frak p$ in diesem Fall bereits multiplikativ abgeschlossen ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Notation}] Die beiden im vorhergehenden eingef"uhrten Notationen f"ur die Lokalisierung nach einem Element und die Lokalisierung an einem Primideal passen schlecht zusammen: Bei der Ersten schreibt man als unteren Index, was zu invertieren ist, bei der Zweiten, was \emph{nicht} zu invertieren ist. Was im Einzelfall gemeint ist, mu"s der Leser aus dem Kontext erschlie"sen. Sprachlich unterscheide ich Lokalisierung an einem Primideal oder auch bei einem Primideal von der Lokalisierung nach irgendwelchen Elementen. Die Notation $R[f^{-1}]$ ist nicht ganz eindeutig: Es k"onnte auch gemeint sein, da"s wir allgemeiner einen injektiven Kringhomomorphismus $R\hra A$ gegeben haben und f"ur ein invertierbares Element $f\in A^\times$, das nicht im Bild von $R$ liegt, den vom Bild von $R$ und $f^{-1}$ erzeugten Teilring meinen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Notation}] Man nehme sich beim Studium der Literatur in acht, da"s $\DZ_p$ meist nicht eine Lokalisierung von $\DZ$ meint, sondern vielmehr eine Vervollst"andigung wie in \ref{padZ}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Lokal-global-Prinzip}] Gegeben ein Kring $R$ und ein $R$-Modul $M$ ist die offensichtliche Abbildung stets eine Injektion $$M\hra \prod_{\frak m\in\op{Max}R}M_{\frak m}$$ in das Produkt der Lokalisierungen von $M$ an allen maximalen Idealen von $R$. In der Tat, ist $x\in M$ nicht Null, so ist sein\label{lgP} Annullator nicht ganz $R$ und folglich enthalten in einem maximalen Ideal $\frak m$. Dann aber kann das Bild von $x$ in $M_{\frak m}$ nicht Null sein. Insbesondere ist ein Modul genau dann Null, wenn seine Lokalisierungen an allen maximalen Idealen Null sind. Aus der Exaktheit der Lokalisierung \ref{EdLo} folgt damit, da"s eine Sequenz $M'\ra M\ra M''$ von Moduln exakt ist genau dann, wenn sie f"ur jedes maximale Ideal $\mathfrak m$ eine\label{Slp} exakte Sequenz $M'_{\frak m}\ra M_{\frak m}\ra M''_{\frak m}$ induziert. Es folgt weiter, da"s sie exakt ist genau dann, wenn die lokalisierte Sequenz $M'_f\ra M_f\ra M''_f$ exakt ist f"ur alle Elemente $f$ eines festen Erzeugendensystems des Einsideals, denn so ein Erzeugendensystem kann nie ganz in einem maximalen Ideal enthalten sein. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Lokalisierung ist vertr"aglich mit Koprodukten}] Gegeben $R$ ein Kring und $S\subset R$ eine Teilmenge ist der durch $M\mapsto S^{-1}M$ erkl"arte Lokalisierungsfunktor $R\op{-Mod}\ra S^{-1}R\op{-Mod}$ vertr"aglich mit Koprodukten. \end{Satz} \begin{Bemerkunge} Die Aussage des Satzes ebenso wie ihr Beweis spezialisieren ein allgemeines Resultat der Kategorientheorie, nach dem jeder Linksadjungierte Koprodukte und sogar beliebige Kolimites erh"alt. \end{Bemerkunge} %\newpage \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Koprodukt $(K,\op{in}_i)$ einer Familie $(M_i)_{i\in I}$ von $R$-Moduln im Sinne von \eref{KoPro}{LA2} ist also ausgeschrieben auch $(S^{-1}K,S^{-1}\op{in}_i)$ ein Koprodukt der Familie $(S^{-1}M_i)_{i\in I}$ von $S^{-1}R$-Moduln. In anderen Worten gilt $$S^{-1}\left(\bigoplus_{i\in I}M_i\right)\;\sira \;\bigoplus_{i\in I}S^{-1}M_i$$ unter der \glqq offensichtlichen Abbildung\grqq. Man beachte, da"s die analoge Aussage f"ur Produkte im allgemeinen nicht richtig ist: Die Lokalisierung ist nicht mit beliebigen Produkten vertr"aglich. Bereits f"ur das Produkt abz"ahlbar unendlich vieler Kopien von $\DZ$ und $S=\{2\}$ ist die nat"urliche Abbildung $S^{-1}\left(\prod_{i\in \DN}\DZ\right)\ra \prod_{i\in \DN}S^{-1}\DZ$ kein Isomorphismus, da das Tupel $(2^{-i})_{i\in\DN}$ nicht in ihrem Bild liegt. F"ur endliche Produkte von Moduln wird die nat"urliche Abbildung aber nat"urlich ein Isomorphismus sein, endliche Produkte stimmen ja mit direkten Summen alias Koprodukten "uberein. \end{Bemerkungl} %\newpage \begin{proof} Es gilt zu zeigen, da"s f"ur jeden $S^{-1}R$-Modul $N$ das Vorschalten aller $S^{-1}\op{in}_i$ eine Bijektion $$\op{Hom}_{S^{-1}R}(S^{-1}K,N)\sira \prod_{i\in I}\op{Hom}_{S^{-1}R}(S^{-1}M_i,N)$$ induziert. Vermittels unserer universellen Eigenschaft \ref{UECC} l"auft das auf den Nachweis der Tatsache hinaus, da"s f"ur jeden $S^{-1}R$-Modul $N$ Vorschalten aller $\op{in}_i$ eine Bijektion $$\op{Hom}_{R}(K,N)\sira \prod_{i\in I}\op{Hom}_{R}(M_i,N)$$ induziert. Das ist jedoch klar, da $K$ ja ein Koprodukt war. \end{proof} %\newpage \begin{Beispiel} Die Lokalisierung nach allen von Null verschiedenen ganzen Zahlen macht jede abelsche Gruppe alias jeden $\DZ$-Modul zu einem $\DQ$-Modul alias $\DQ$-Vektorraum. Gegeben eine endlich erzeugte abelsche Gruppe $M$ ist die Dimension dieses $\DQ$-Vektorraums die Zahl, die wir in \eref{zk}{LA2} den Rang von $M$ genannt hatten. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Lokalisierung erh"alt die Eigenschaft noethersch}] Jede Lokalisierung eines noetherschen Moduls ist wieder noethersch. Seien in der Tat $R$ ein Kring, $S\subset R$ eine Teilmenge, $M$ ein $R$-Modul und $\op{lok}:M\ra S^{-1}M$ die Abbildung in die Lokalisierung. Ist $U\subset S^{-1}M$ ein Untermodul und $E\subset \op{lok}^{-1}(U)$ ein Erzeugendensystem seines Urbilds, so ist $\op{lok}(T)$ ein Erzeugendensystem des $S^{-1}R$-Moduls $U$. Hat also jeder $R$-Untermodul von $M$ ein endliches Erzeugendensystem, so auch jeder $S^{-1}R$-Untermodul von $S^{-1}M$. A forteriori ist jede Lokalisierung eines noetherschen Krings wieder noethersch. \end{Bemerkungl} %\newpage \begin{Bemerkunge} Ein Modul $M$ "uber einem Ring $A$ hei"st {\bf endlich pr"asentierbar} oder k"urzer {\bf endlich pr"asentiert},\index{endlich!pr"asentiert, Modul} wenn es eine exakte Sequenz $A^n \rightarrow A^m \twoheadrightarrow M$ gibt mit $n,m \in \mathbb N$. "Uber einem linksnoetherschen Ring ist ein Modul genau dann endlich pr"asentiert, wenn er endlich erzeugt ist. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Lokalisierung und Homomorphismenr"aume}] Gegeben ein Kring $R$ und eine Teilmenge $S \subset R$ und eine $R$-Ringalgebra $A$ und $A$-Moduln $M,N$ mit $M$ endlich pr"asentiert ist mit der Lokalisierung von Ringalgbren und ihren Moduln nach \ref{lKral} die offensichtliche Abbildung ein Isomorphismus \begin{equation*} S^{-1} \op{Hom}_A (M,N) \sira \op{Hom}_{S^{-1} A} (S^{-1} M, S^{-1} N) \end{equation*} In der Tat k"onnen wir dann eine im Sinne von \ref{res} rechtsexakte Sequenz $A^n \rightarrow A^m \twoheadrightarrow M$ finden, die hinwiederum ein kommutatives Diagramm\label{KEPP} \begin{displaymath} \xymatrix{ S^{-1} \op{Hom}_A(M,N)\ar[r]\ar@{_{(}->}[d]&\op{Hom}_{S^{-1} A}(S^{-1}M, S^{-1} N)\ar@{_{(}->}[d] \\ S^{-1} \op{Hom}_A (A^m,N) \ar[r]\ar[d]&\op{Hom}_{S^{-1}A} (S^{-1} A^m, S^{-1} N) \ar[d]\\ S^{-1} \op{Hom}_A (A^n,N) \ar[r]& \op{Hom}_{S^{-1} A} (S^{-1}A^n, S^{-1}N) } \end{displaymath} liefert. Die beiden unteren Horizontalen darin sind Isomorphismen, da beide R"aume jeweils mit $S^{-1}N^m$ und $S^{-1} N^n$ identifiziert werden k"onnen, und damit ist auch die obere Horizontale ein Isomorphismus, wie man leicht direkt sieht und formal aus dem F"unferlemma folgern mag. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Gegeben ein Kring $R$ und eine Teilmenge $S \subset R$ und $R$-Moduln $M,N$ ist die offensichtliche Abbildung\label{lokMO} \begin{equation*} S^{-1} \op{Hom}_R (M,N) \rightarrow \op{Hom}_{S^{-1} R} (S^{-1} M, S^{-1} N) \end{equation*} im allgemeinen kein Isomorphismus. Im Fall der $\DZ$-Moduln $M=N=\DQ/\DZ$ und $S=\DZ\backslash 0$ etwa haben wir $\op{Hom}_{S^{-1} \DZ} (S^{-1} (\DQ/\DZ),S^{-1} (\DQ/\DZ) ) =0$ und sogar $S^{-1} (\DQ/\DZ)=0$, aber die Identit"at $\op{id}\in\op{Hom}_\DZ (\DQ/\DZ, \DQ/\DZ)$ hat nach \ref{kerLo} ein von Null verschiedenes Bild in $S^{-1} \op{Hom}_\DZ (\DQ/\DZ, \DQ/\DZ)$. Geometrischer kann man auch $R=k[X]$ betrachten f"ur einen K"orper $k$ und $M=N=k[X,X^{-1}]/k[X]$ und $S=\{X\}$ und wieder verschwinden die lokalisierten Moduln, nicht aber der lokalisierte Homomorphismenraum. \end{Beispiel} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Projektivit"atskriterium}] Ein Modul "uber einem Kring ist projektiv und endlich erzeugt genau dann, wenn er endlich pr"asentierbar und {\bf lokal frei}\index{lokal frei!Modul} ist, als da hei"st, wenn seine Lokalisierung an jedem maximalen Ideal frei ist. Die schwierige Richtung beim Beweis geht so:\label{lkfp} Gegeben $ K \hookrightarrow F \twoheadrightarrow M $ exakt mit $F$ frei von endlichem Rang und $K$ endlich erzeugt und $M$ lokal frei wollen wir $ \op{Hom} (M, F) \twoheadrightarrow \op{Hom} (M,M) $ zeigen. Da wir aber Surjektivit"at nach \ref{Slp} lokal pr"ufen d"urfen, folgt das aus \ref{KEPP}. \end{Bemerkunge} \begin{Lemma*}[\textbf{Bild des Primspektrums unter Kringhomomorphismen}] Gegeben eine Kringerweiterung $A\subset B$ ist ein Primideal $\mathfrak p\subset A$ der Schnitt mit $A$ eines Primideals\label{SchnittPI} $\frak q\subset B$ genau dann, wenn gilt $\mathfrak p=A\cap \langle B\mathfrak p\rangle$. \end{Lemma*} \begin{proof} Ist $\mathfrak p$ der Schnitt mit $A$ irgendeines Ideals von $B$, so gilt offensichtlich $\mathfrak p=A\cap \langle B\mathfrak p\rangle$. Hierzu brauchen wir noch nicht einmal $\mathfrak p$ prim vorauszusetzen. Gilt umgekehrt diese Identit"at und ist $\mathfrak p$ prim und setzen wir $S=A\backslash \mathfrak p$ und betrachten wir die Ringerweiterung $S^{-1}A\subset S^{-1}B$, so folgt $$S^{-1}\mathfrak p=(S^{-1}A)\cap (S^{-1}\langle B\mathfrak p\rangle) %=(S^{-1}A)\cap (\langle S^{-1}B\mathfrak p\rangle) $$ Das erhalten wir formal etwa aus \ref{LokSS} mit der Interpretation der Lokalisierung als Lokalisierung von $A$-Moduln. Nun ist $S^{-1}\langle B\mathfrak p\rangle$ ein echtes Ideal in $S^{-1}B$, da es $S^{-1}A$ in einem echten Ideal trifft, und l"a"st sich damit vergr"o"sern zu einem maximalen Ideal $\frak m\subset S^{-1}B$. Das Urbild in $A$ dieses maximalen Ideals trifft nicht $S$ und umfa"st $\mathfrak p$, ist folglich $\mathfrak p$ selbst. Das Urbild in $B$ dieses maximalen Ideals ist mithin unser gesuchtes Primideal $\frak{q}\subset B$ mit $\frak{q}\cap A=\mathfrak p$. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Seien $R$ ein Kring und $M$ ein $R$-Modul und $a,b\in R$. Operiert $ab$ als Isomorphismus auf $M$, so auch $a$ und $b$. Ist $S\subset R$ eine Teilmenge und $T$ die Menge der Faktoren von Elementen von $S$, so ist die offensichtliche Abbildung ein Isomorphismus $S^{-1}M\sira T^{-1}M$.\label{LoFa} \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben $R$ ein Kring und $M$ ein $R$-Modul und $\mathfrak m\subset R$ ein maximales Ideal ist f"ur jeden $R$-Modul $M$ die offensichtliche Abbildung ein Isomorphismus $(1+\mathfrak m)^{-1}M\sira M_\mathfrak m$. Hinweis: \ref{LoFa}. Gilt\label{mM} $M_{\mathfrak m}=0$, so gibt es folglich f"ur alle $m\in M$ ein $f=f_m\in \mathfrak m$ mit $(1+f)m=0$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben ein Kring $R$ und ein endlich erzeugter $R$-Modul $M$ und ein Primideal $\mathfrak p\subset R$ gilt $M_{\mathfrak p}\neq 0\;\IFF\; \mathfrak p\supset \op{Ann}(M)$.\label{Trae} \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Wiederholtes Lokalisieren}] Seien $R$ ein Kring und $S, T \subset R$ Teilmengen und $M$ ein $R$-Modul. So ist die offensichtliche Abbildung ein Isomorphismus $$ T^{-1} (S^{-1}M) \sira (S\cup T)^{-1} M$$ \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Lokalisierung bei kleinem Tr"ager}] Gegeben ein Kring $R$ und eine Teilmenge $S \subset R$ und ein $R$-Modul $M$ betrachten wir die Teilmenge $$M_{(S)}\pdef \{m\in M\mid \op{Ann}(m)+Rf=R\;\;\forall f\in S\}$$ Man zeige, da"s sie ein Untermodul $M_{(S)}\subset M$ ist und sich nicht "andert, wenn wir $S$ durch sein multiplikatives Erzeugnis $|S\rangle$ ersetzen. Man zeige, da"s die Komposition $M_{(S)}\hra M\ra S^{-1}M$ Isomorphismen $$M_{(S)}\sira S^{-1} (M_{(S)})\sira (S^{-1}M)_{(S)}$$ induziert, wobei wir ganz rechts auch nur die $R$-Modulstruktur verwenden. Gegeben $R$-Moduln $M,N$ mit $M=M_{(S)}$ liefert, da ein Homomorphismus $M\ra N$ stets $M_{(S)}$ nach $N_{(S)}$ abbilden mu"s, folglich die offensichtliche Abbildung\label{loQMO} einen Isomorphismus \begin{equation*} \op{Hom}_R (M,N) \sira \op{Hom}_{S^{-1} R} (S^{-1} M, S^{-1} N) \end{equation*} \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Lokalit"at der Flachheit}] Ein Modul $M$ "uber einem Kring $R$ ist flach genau dann, wenn f"ur alle $\mathfrak m\in \op{Max}R$ der lokalisierte Modul $M_{\mathfrak m}$ flach ist\label{lokFl} "uber $R$ oder gleichbedeutend "uber $R_{\mathfrak m}$. Hinweis: Lokal-global-Prinzip \ref{Slp}. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Lokal-global-Prinzip, Variante}] Gegeben ein Kring $R$, ein $R$-Modul $N$ und eine Teilmenge $E\subset R$, die als Ideal ganz $R$ erzeugt, zeige man die Exaktheit der Sequenz $$0\ra N\ra \prod_{f\in E}N_f\ra \prod_{(f,g)\in E\times E}N_{fg}$$ mit dem Produkt der Differenzen der nat"urlichen Abbildungen $N_f\ra N_{fg}$ und $N_g\ra N_{fg}$ in die Lokalisierung nach dem Produkt $fg$ an letzter Stelle. Hinweis: Man ziehe sich auf den Fall zur"uck, da"s $E$ endlich ist,\label{LGVV} und erinnere das lokal-global-Prinzip und seine Varianten \ref{Slp}, insbesondere die letzte. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{LokSS} Seien $R$ ein Kring und $S\subset R$ eine Teilmenge. Gegeben ein $R$-Modul $M$ mit Untermoduln $K,L\subset M$ zeige man die Identit"at $S^{-1}(K\cap L)=(S^{-1}K)\cap (S^{-1}L)$. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{LokII} Seien $R$ ein Kring und $S\subset R$ eine Teilmenge. Gegeben Ideale $I,J\subset R$ zeige man die Identit"at $S^{-1}(IJ)=(S^{-1}I)(S^{-1}J)$ von Idealen von $S^{-1}R$. \end{Ubung} \begin{Ubunge}\label{lokFF} Gegeben ein endlich pr"asentierter Modul $M$ "uber einem von Null verschiedenen Kring $R$ gibt es stets ein von Null verschiedenes Element $f\in R\backslash 0$ mit $M_f$ frei von endlichem Rang "uber $R_f$. Hinweis: Man versuche, eine pr"asentierende Matrix in Smith-Normalform zu bringen. \end{Ubunge} \begin{Ubung} Seien $R$ ein Kring und $S\subset R$ eine Teilmenge und $M$ ein $R$-Modul. Ist $S$ endlich und $f$ das Produkt aller Elemente von $S$ ist die offensichtliche Abbildung ein Isomorphismus $M_f\sira S^{-1}M$. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Lokalisierung von Invariantenringen}] Seien $A$ ein Kring und $G\subset\op{Kring}^\times(A)$ eine endliche Menge von Ringautomorphismen von $A$ und $S\subset A$ eine $G$-stabile multiplikativ abgeschlossene Teilmenge.\label{LokIn} Man zeige, da"s die Einbettung $A^G\hra A$ einen Isomorphismus $$(S^G)^{-1}(A^G)\sira (S^{-1}A)^G$$ zwischen der Lokalisierung des Invariantenrings und dem Invariantenring der Lokalisierung induziert. Hinweis: Die Exakteit der Lokalisierung \ref{EdLo} mag hier helfen. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Lokalisierung von Invariantenringen, Variante}] Seien $A$ ein noetherscher Kring und $G\subset\op{Kring}^\times(A)$ eine Menge von Ringautomorphismen von $A$ und $s\in A^G$ ein Element des Invariantenrings.\label{LokInN} Man zeige, da"s die Einbettung $A^G\hra A$ einen Isomorphismus $$s^{-1}(A^G)\sira (s^{-1}A)^G$$ zwischen der Lokalisierung des Invariantenrings und dem Invariantenring der Lokalisierung induziert. Hinweis: Die Exakteit der Lokalisierung \ref{EdLo} mag hier helfen. Weiter beachte man, da"s die Kette der Annullatoren der Potenzen $s^n$ von $s$ stagnieren mu"s. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{NRL} Seien $R$ ein Kring und $S\subset R$ eine Teilmenge. Genau dann ist $S^{-1}R$ der Nullring, wenn das Monoid $|S\rangle$ die Null von $R$ enth"alt. Genau dann ist $a/s$ eine Einheit in $S^{-1}R$, wenn es $b\in R$ gibt mit $ab\in |S\rangle$. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{SMLO} Gegeben ein Integrit"atsbereich $A$ zeige man in ${\op{Frac}}A$ die Identit"at $$A=\bigcap_{\frak m\in\op{Max}A}A_{\frak m}$$ Hinweis: Gegeben $f\in ({\op{Frac}}A)\backslash A$ kann das Ideal $I=\{ g\in A\mid gf\in A\}$ nie ganz $A$ sein. \end{Ubung} \begin{Ubung} Ein Element eines Moduls hei"st ein {\bf Torsionselement},\index{Torsionselement!von Modul} wenn es von einem von Null verschiedenen Element des operierenden Rings annulliert wird. Ein Torsionselement einer abelschen Gruppe nach \eref{tors}{LA2} ist also ein Torsionselement im hier erkl"arten\label{torE} Sinne des zugeh"origen $\DZ$-Moduls. Man zeige, da"s gegeben ein Modul $M$ "uber einem Integrit"atskring $A$ der Kern der nat"urlichen Abbildung $M\ra M\otimes_A\op{Frac}A$ genau aus allen Torsionselementen von $M$ besteht. \end{Ubung} \begin{Ubung} Ist speziell $f$ die Variable $f=t$ in einem Polynomring $R[t]$ "uber einem Kring $R$, so schreibt man kurz $R[t]_t=R[t][t^{-1}] = R[t,t^{-1}]$ und nennt diesen Ring den {\bf Ring der Laurentpolynome\index{Laurentpolynom} "uber} $R$. Man zeige, da"s sich jedes Element von $R[t,t^{-1}]$ eindeutig darstellen l"a"st als eine endliche Linearkombination $\sum_{i\in \DZ} a_{i} t^{i}$ mit Koeffizienten $a_{i}\in R$, da"s also die $t^i$ eine Basis des $R$-Moduls $R[t,t^{-1}]$ bilden. Man konstruiere des weiteren einen Isomorphismus $R\llbracket t\rrbracket[t^{-1}] \sira R(\!(t)\!)$ zwischen der Lokalisierung an der Variablen des Rings der formalen Potenzreihen und dem Ring der formalen Laurentreihen aus \eref{FRL}{LA1}. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Lokalisierung faktorieller Ringe}] Gegeben ein faktorieller Ring $R$ bezeichne\label{IrLok} \index{irk@$\op{irk}$ Irreduziblenklassen}$$\op{irk}(R)$$ die Menge {\bf Irreduziblenklassen},\index{Irreduziblenklasse} als da hei"st der Bahnen irreduzibler Elemente von $R$ unter der Einheitengruppe $R^\times$. Gegeben ein irreduzibles $r\in R$ bezeichne $[r]\in\op{irk}(R)$ seine Klasse. Man zeige: Lokalisiert man einen faktoriellen Ring $R$ nach einer Teilmenge $S$, die nicht die Null enth"alt, so ist auch die Lokalisierung $S^{-1}R$ faktoriell und die Einbettung $R\hra S^{-1}R$ induziert eine Bijektion $$\{[r]\in \op{irk}(R)\mid r\text{ teilt kein }s\in S\} \;\sira \;\op{irk}(S^{-1}R)$$ Zum Beispiel ist also $\DZ[d^{-1}]$ f"ur $d\neq 0$ faktoriell und seine Primelemente sind bis auf Einheiten genau die Primzahlen, die $d$ nicht teilen. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Lokalisierung nilpotentfreier Kringe}] Man zeige, da"s jede Lokalisierung eines nilpotentfreien Krings wieder nilpotentfrei ist.\label{Lnpf} \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Lokalisierung und Radikal}] Man zeige, da"s jede Lokalisierung des Radikals eines Ideals mit dem Radikal des lokalisierten Ideals "ubereinstimmt.\label{Lnrf} \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben ein Kring $A$ und ein Element $f\in A$ zeige man, da"s das Einsetzen von $f^{-1}$ f"ur $T$ einen Ringisomorphismus $$A[T]/\langle fT-1\rangle\sira A[f^{-1}]$$ induziert.\label{VDSm} Insbesondere ist nach \ref{Lnpf} f"ur einen nilpotentfreien Kring $A$ das Ideal $\langle fT-1\rangle$ stets ein Radikalideal. Hinweis: Man konstruiere eine inverse Abbildung mithilfe der universellen Eigenschaft der Lokalisierung. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Lokalisierung endlichdimensionaler Kringalgebren}] Gegeben $k$ ein K"orper und $R$ eine endlichdimensionale $k$-Kringalgebra und $f\in R$ beliebig induziert die kanonische Abbildung in die Lokalisierung einen Isomorphismus\label{LokED} $R/\op{Hau}((f\cdot)|R;0)\sira R_f$ zwischen dem Quotient nach dem Hauptraum zum Eigenwert Null der Multiplikation mit $f$ und der Lokalisierung nach $f$. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Lokalisierung vertauscht mit Restklassenbildung}] Gegeben ein Kring $R$ und ein Ideal $I\subset R$ und eine Teilmenge $S\subset R$ ist die offensichtliche Abbildung ein Isomorphismus $$S^{-1}R/S^{-1}I\sira \bar S^{-1}(R/I)$$ f"ur $\bar S\subset R/I$ das Bild von $S$ unter der\label{LQ} Quotientenabbildung. Hinweis: Exaktheit der Lokalisierung und Vertr"aglichkeit mit der Restriktion der Skalare \ref{LRS}. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Lokalisierung vertauscht mit Koprodukt}] Wir erinnern aus \ref{TPRR} das Koprodukt $ A\otimes_CB$ in der Kategorie der Kringe. Gegeben eine Teilmenge $S\subset A$ zeige man, da"s die offensichtliche Abbildung einen Isomorphismus $$(S\otimes 1)^{-1}(A\otimes_CB)\sira (S^{-1}A)\otimes_CB$$ liefert. Speziell erhalten wir f"ur $C=\DZ$ und $B=\DZ[T]$ einen Isomorphismus $S^{-1}(A[T])\sira (S^{-1}A)[T]$. \end{Ubung} \begin{Ubunge}[\textbf{Tensorprodukt und Lokalisierung}] Gegeben ein Kring $A$, eine Teilmenge $S\subset A$ und ein $A$-Modul $M$ zeige man, da"s die offensichtliche\label{TenL} Abbildung einen Isomorphismus $$S^{-1}A\otimes_A M\sira S^{-1}M$$ liefert. Hinweis: Man mag die inverse Abbildung explizit angeben, oder auch mithilfe von \ref{F2} die universellen Eigenschaften vergleichen. Ist zus"atzlich $N$ ein $S^{-1}A$-Modul, so ist nach \ref{ETT} die offensichtliche Abbildung ein Isomorphismus $M\otimes_{A} N \sira S^{-1} M \otimes_{S^{-1}A} N$. \end{Ubunge} \subsection{Lokalisierung im geometrischen Kontext}\label{LokR} \begin{Bemerkungl} Gegeben $(X,x)$ ein bepunkteter topologischer Raum und $k$ ein Kring erkl"aren wir die $k$-Kringalgebra $$\op{Ens}(X,k)_x$$ der {\bf Keime $k$-wertiger Funktionen bei $x$}\index{Funktionskeime} als die Menge aller "Aquivalenzklassen von Paaren $(U,f)$ mit $x \in U \co X$ und $f :U\ra k$ unter der "Aquivalenzrelation\label{FKei} $$ (U,f)\sim (U^{\prime},f^{\prime}) \;\;\Leftrightarrow \;\;\exists W \co U \cap U^{\prime} \text{ mit } x \in W \text{ und } f|_W = f^{\prime}|_W.$$ Quasi per definitionem induziert f"ur jede offene Teilmenge $V\co X$ mit $x\in V$ die Restriktion von Funktionen einen Isomorphismus $\op{Ens}(X,k)_x\sira \op{Ens}(V,k)_x$ zwischen den jeweiligen R"aumen von Funktionskeinem. \end{Bemerkungl} %\newpage \begin{Bemerkungl} Ich erinnere daran, da"s wir f"ur eine affine Variet"at $X$ und eine regul"are Funktion $h\in \mathcal O(X)$ in \ref{BAVV} die Notation $X_h\pdef \{x\in X\mid h(x)\neq 0\}$ f"ur die Nichtnullstellenmenge von $h$ in $X$ eingef"uhrt hatten. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Lokalisierung und Funktionskeime}] Sei $ (X,x)$ eine bepunktete affine Variet"at. Im Ring der Funktionskeime betrachten wir den\label{ELF} Teilring\index{O@$\mathcal O_{X,x}$ regul"are Funktionskeime!bei affinen Variet"aten} $$\mathcal O_{X,x}\subset \op{Ens}(X,k)_x$$ aller {\bf regul"aren Funktionskeime}\index{Funktionskeim!regul"arer} \index{regul"ar!Funktionskeim} alias aller Funktionskeime mit einem Repr"asentanten der Gestalt $(X_h,f)$ f"ur $h\in\mathcal O(X)$ mit $x\in X_h$ und $f\in \mathcal O(X_h)$. Der von der universellen Eigenschaft der Lokalisierung von $\cal O(X)$ am maximalen Ideal $\cal I(x)$ herr"uhrende Homomorphismus ist dann sogar ein Isomorphismus $$\cal{O}(X)_{\cal I(x)} \sira \mathcal O_{X,x}$$ In der Tat ist er per definitionem surjektiv. Liefert weiter ein Bruch $f/s$ die Nullfunktion, so mu"s $f$ bereits auf einer offenen Umgebung $U$ von $x$ verschwinden, die wir von der Gestalt $X_h$ f"ur $h\in \cal O(X)$ mit $h(x)\neq 0$ annehmen d"urfen. Daraus folgt jedoch $f/s=hf/th=0$ in der Lokalisierung nach den bei $x$ von Null verschiedenen regul"aren Funktionen. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Lokal regul"are Funktionen auf offenen Teilmengen}] Gegeben eine affine Variet"at $X$ und eine offene Teilmenge $U\co X$ nennen wir eine Funktion $f:U\ra k$ {\bf lokal regul"ar} und demn"achst {\bf regul"ar}, wenn sie an jeder Stelle $x\in U$ einen regul"aren Funktionskeim alias ein Element von $\mathcal O_{X,x}$ repr"asentiert. Die Menge aller lokal regul"aren Funktionen $U\ra k$ notieren wir\index{O@$\mathcal O(U)$!$U$ offen in affiner Variet"at $X$}\label{lokrN} $$\mathcal O_X(U)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Lokal regul"are Funktionen auf offenen Teilmengen des $\DC^n$}] Sei $U\co \DC^n$ Zariski-offen. Eine lokal regul"are Funktion auf $U$ ist eine Abbildung $f: U\ra \DC$ derart, da"s es f"ur jeden Punkt $x\in U$ eine Umgebung $V\co U$ von $x$ gibt und $g_V,h_V\in \DC[T_1,\ldots, T_n]$ mit $h_V(z)\neq 0\;\forall z\in V$ und $$f(z)=g_V(z)/h_V(z)\;\forall z\in V$$ Salopp gesprochen ist das also eine komplexwertige Abbildung, die lokal als Bruch von zwei Polynomen mit nicht verschwindendem Nenner geschrieben werden kann. \end{Beispiel} \begin{Lemma} \begin{enumerate} \item Gegeben eine affine Variet"at $X$ sind lokal regul"are Funktionen auf $X$ bereits global regul"ar, in Formeln $\mathcal O_X(X)=\mathcal O(X)$; \item Gegeben eine affine Variet"at $X$ und eine regul"are Funktion $h\in \mathcal O(X)$ sind lokal regul"are Funktionen auf der offenen Teilmenge $X_h\co X$ bereits global regul"ar auf $X_h$, in Formeln $\mathcal O_X(X_h)=\mathcal O(X_h)$. \end{enumerate}\label{vKLa} \end{Lemma} \begin{Beispiel} Jede Abbildung $\DC^n\ra \DC$, die lokal als ein Bruch von Polynomen mit nichtverschwindendem Nenner geschrieben werden kann, ist bereits global eine Polynomfunktion. \end{Beispiel} \begin{proof} Sei $X$ eine affine Variet"at. Unsere Erkenntnisse \ref{vksf} zum offenen Verkleben regul"arer Funktionen zeigen unmittelbar $\mathcal O_X(X)=\mathcal O(X)$ und damit den ersten Teil. Ist nun $h\in \mathcal O(X)$ eine regul"are Funktion und $x\in X_h$ ein Punkt ihrer Nichtnullstellenmenge, so induziert quasi per definitionem die Restriktion einen Isomorphismus $\mathcal O_{X,x}\sira \mathcal O_{X_h,x}$ auf den regul"aren Funktionskeimen und wir folgern die erste Gleichung der Gleichungskette\label{lrfrf} $$\mathcal O_X(X_h)=\mathcal O_{X_h}(X_h)=\mathcal O(X_h)$$ Die zweite Gleichung folgt durch Anwenden der Erkenntnis $\mathcal O_X(X)=\mathcal O(X)$ auf die affine Variet"at $X_h$. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Da wir mithin keine Mehrdeutigkeiten zu f"urchten haben, nennen wir im weiteren Verlauf unsere lokal regul"aren Funktionen auf offenen Teilmengen affiner Variet"aten schlicht {\bf regul"are Funktionen}.\index{regul"ar!Funktion} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Schnitte dichter offener Teilmengen}] Gegeben ein topologischer Raum $X$ und $U\co X$ offen sowie $D\subset X$ dicht gilt $\op{Cl}_X(U\cap D)=\op{Cl}_X(U)$. Um die nichttriviale Inklusion $\supset$ zu zeigen, m"ussen wir nur bemerken, da"s jede offene Umgebung eines Punktes aus $\op{Cl}_X(U)$ zun"achst $U$ in einer offenen nichtleeren Menge trifft und damit dann auch $U\cap D$ treffen mu"s. Der Schnitt zweier offener dichter Teilmengen von $X$ ist mithin auch selbst wieder offen und dicht.\label{SdoT} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Funktionskeime l"angs Teilmengen}] Gegeben ein topologischer Raum $X$ mit einer Teilmenge $Y\subset X$ und ein Ring $k$ erkl"aren wir die Menge\label{Fuke} $$\op{Ens}(X,k)_Y$$ der {\bf Funktionskeime $k$-wertiger Funktionen l"angs $Y$} als die Menge aller "Aquivalenzklassen von Paaren $(U,f)$ bestehend aus $U\co X$ offen mit $U\cap Y$ dicht in $Y$ und $f:U\ra k$ einer Abbildung, die "Aquivalenzklassen gebildet unter der "Aquivalenzrelation $\sim$ gegeben durch $$ (U,f)\sim (U^{\prime},f^{\prime}) \;\;\Leftrightarrow \;\;\exists W \co U \cap U^{\prime} \text{ mit } W\cap Y \text{ dicht in $Y$ und } f|_W = f^{\prime}|_W.$$ Da nach \ref{SdoT} Schnitte dichter offener Teilmengen von $Y$ wieder dicht sind, ist das in der Tat eine "Aquivalenzrelation und die Addition und Multiplikation von $k$-wertigen Funktionen induziert eine Addition und Multiplikation von Funktionskeimen und diese werden so ein Ring. Nach \ref{SdoT} ist die Restriktion stets ein Isomorphismus $\op{Ens}(X,k)_{\bar Y}\sira \op{Ens}(X,k)_Y$. Wir werden uns im folgenden meist auf Funktionskeime l"angs abgeschlossener Teilmengen beschr"anken, weil das nichts Wesentliches "andert und bei der Anschauung helfen mag. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Lokalisierung und Funktionskeime, Variante}] Seien $X$ eine affine Variet"at und $Y\As X$ abgeschlossen. Im Ring der Funktionskeime l"angs $Y$ nach \ref{Fuke} betrachten wir den %\label{ELF} Teilring\index{O@$\mathcal O_{X,Y}$ regul"are Funktionskeime!l"angs einer Untervariet"at} $$\mathcal O_{X,Y}\subset \op{Ens}(X,k)_Y$$ aller {\bf regul"aren Funktionskeime l"angs $Y$} \index{regul"ar!Funktionskeim!l"angs $Y$} alias\index{Funktionskeim!l"angs $Y$!regul"arer} aller \hyperref[Fuke]{Funktionskeime l\"angs $Y$} mit mindestens einem Repr"asentanten aus $\mathcal O(X_h)$ f"ur $h\in\mathcal O(X)$ mit $\overline{X_h\cap Y}=Y$ oder nach \ref{lrfrf} gleichbedeutend mindestens einem Repr"asentanten aus $\mathcal O(U)$ f"ur $U\co X$ und $\overline{U\cap Y}=Y$. Seien $Y_1,\ldots, Y_r$ die irreduziblen Komponenten von $Y$ und $$S\pdef \mathcal O(X)\backslash (\mathcal I(Y_1)\cup\ldots\cup \mathcal I(Y_r))$$ Der von der universellen Eigenschaft \label{ELFn} der Lokalisierung von $\cal O(X)$ herkommende Homomorphismus ist dann sogar ein Isomorphismus $$S^{-1}\cal{O}(X) \sira \mathcal O_{X,Y}$$ In der Tat ist er per definitionem surjektiv. Liefert andererseits ein Bruch $f/s$ die Nullfunktion, so mu"s $f$ bereits auf einer offenen Teilmenge $U\co X$ verschwinden, die $Y$ dicht trifft und die wir nach nochmaliger Verkleinerung von der Gestalt $X_h$ f"ur $h\in S$ annehmen d"urfen. Daraus folgt aber $f/s=hf/hs=0$ in unserer Lokalisierung. Ist $Y$ irreduzibel, so erhalten wir speziell einen Isomorphismus $$\cal{O}(X)_{\mathcal I(Y)} \sira \mathcal O_{X,Y}$$ \end{Beispiel} %\newpage \begin{Bemerkungl} Gegeben eine affine Variet"at $ X$ vereinbaren wir die Notation $$\mathcal M(X)\pdef\mathcal O_{X,X} $$ f"ur\label{MeFuu} den Ring der regul"aren Funktionskeime l"angs $X$ und nennen solche "Aquivalenzklassen {\bf rationale Funktionen auf $X$}. \index{rationale Funktionen!im affinen Fall} \index{M@$\cal M(X)$ rationale Funktionen auf $X$!affiner Fall} Unsere Erkenntnisse \ref{ELFn} liefern im Fall einer irreduziblen affinen Variet"at $X$ einen Isomorphismus $$\op{Frac}\cal O(X)\sira \mathcal M(X)$$ und damit eine Interpretation der Elemente des Bruchk"orpers als rationale Funktionen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Notation}] Der Buchstabe $\mathcal M$ soll dabei an den Begriff der \glqq meromorphen\grqq\ Funktionen erinnern, einem analogen Konzept aus der Funktionentheorie. "Ublich ist stattdessen die Notation $k(X)$\index{)5)@$k(X)$ {\it rationale Funktionen auf} $X$} mit $k$ dem Grundk"orper, die aber leicht als Notation f"ur den Bruchk"orper eines Polynomrings mi"sverstanden werden kann. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Definitionsbereich einer rationalen Funktion}] Gegeben eine affine Variet"at $X$ hat jede rationale Funktion $f\in \mathcal M(X)$ offensichtlich einen gr"o"sten regul"aren Repr"asentanten $(U,f_{\op{max}})$ mit $U\co X$ offen dicht und $f_{\op{max}}\in\mathcal O(U)$ in dem Sinne, da"s f"ur jeden weiteren regul"aren Repr"asentanten $(U_1,f_1)$ gilt $U_1\subset U$ und $f_1=f_{\op{max}}|_U$. Diese Menge $U\co X$ notieren wir auch $\op{D}(f)$ und nennen sie den {\bf Definitionsbereich von $f$}.\index{D@$\op{D}(f)$ Definitionsbereich von $f$} Statt $f_{\op{max}}$ schreiben wir dann auch kurz\label{Debk} $f$.\index{Definitionsbereich!einer rationalen Funktion} \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Nennernullstellen als Definitionsl"ucken}] Sei $X$ eine affine Variet"at $X$ mit $\mathcal O(X)$ faktoriell. Schreiben wir $f\in \mathcal M(X)^\times$ als maximal gek"urzten Bruch $f=p/q$ mit $p,q\in \mathcal O(X)$ und $p,q\neq 0$, so ist der Definitionsbereich von $f$ gegeben durch\label{nnN} $$\op{D}(f)=X\backslash \mathcal Z(q)$$ \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Gegeben $Z\As Y\As X$ ein noetherscher topologischer Raum mit abgeschlossenen Teilmengen derart, da"s $Z$ jede irreduzible Komponente von $Y$ trifft, liefert das Einschr"anken von Repr"asentanten einen Ringhomomorphismus, das {\bf Generisieren}\index{Generisieren}\label{Gen} $$\op{Ens}(X,k)_Z\ra \op{Ens}(X,k)_Y$$ F"ur eine affine Variet"at induziert er einen Ringhomomorphismus auf den regul"aren Funktionskeimen, von dem Sie zur "Ubung zeigen m"ogen, da"s er stets eine Injektion $ \mathcal O_{X,Z} \hra \mathcal O_{X,Y}$ ist. Zum Beispiel liefert das Generisieren f"ur jede bepunktete irreduzible affine Variet"at $(X,x)$ eine nat"urliche Einbettung $$\mathcal O_{X,x}\hra \mathcal M(X)$$ und in diesem Fall kann der Definitionsbereich von $f\in \mathcal M(X)$ auch beschrieben werden als $\op{D}(f)=\{x\in X\mid f\in \mathcal O_{X,x}\}$. \end{Bemerkungl} %\newpage %\newpage \begin{Satz}[\textbf{Lokalisierung nach einem Element im geometrischen Fall}] Seien $X$ eine affine Variet"at, $f\in \cal{O}(X)$ eine regul"are Funktion auf $X$ und $X_f$ die Nichtnullstellenmenge von $f$. So ist der von der universellen Eigenschaft der Lokalisierung herkommende Homomorphismus ein Isomorphismus\label{LoGOO} $$\cal{O}(X)_f\sira \mathcal O(X_f)$$ zwischen der Lokalisierung des Rings der regul"aren Funktionen auf $X$ an $f$ und dem Ring der regul"aren Funktionen auf $X_f$. \end{Satz} \begin{proof} Die Injektivit"at ist schnell gezeigt: Geht $g/f^n$ nach Null, so verschwindet $g$ auf $X_f$, folglich ist $gf$ die Nullfunktion auf ganz $X$ und wir folgern $g/f^n=gf/f^{n+1}=0$ in $\cal{O}(X)_f$. Die Surjektivit"at ist eh klar. \end{proof} %\emph{Hier oder sp"ater?} %\newpage \begin{Proposition*}[\textbf{Lokale Surjektivit"at von Komorphismen}] Sei ein Morphismus von affinen Variet"aten $\varphi :X\ra Y$ gegeben und sei $x\in X$ ein Punkt mit Bild $\varphi(x)= y$. Induziert unser Morphismus eine Surjektion $\mathcal O_{Y,y}\sra\mathcal O_{X,x}$ auf den jeweiligen lokalen Ringen,\label{LAII} so gibt es regul"are Funktionen $u\in \mathcal O(X)$ und $v\in \mathcal O(Y)$ mit $u(x)\neq 0$ und $v(y)\neq 0$ und $\varphi(X_u)\subset Y_v$ und der Eigenschaft, da"s $\varphi$ eine Surjektion $\mathcal O(Y_v)\sra \mathcal O (X_u)$ induziert. \end{Proposition*} \begin{proof} Seien $f_1, \ldots, f_n \in \mathcal O (X)$ gegeben mit $\mathcal O (X) = k [f_1, \ldots, f_n]$. Bezeiche $\bar f_i \in \mathcal O_{X,x}$ die Bilder der $f_i$. Es gibt nach Annahme $\bar h_i \in \mathcal O_{Y,y}$ mit $\bar h_i \mapsto \bar f_i$. Dann finden wir $s \in \mathcal O (Y)$ mit $s (y) \neq 0$ derart, da"s alle $\bar h_i$ von geeigneten $h_i \in \mathcal O (Y_s)$ herkommen. Dann gibt es $t \in \mathcal O (X)$ mit $t (x) \neq 0$ und $\varphi (X_t) \subset Y_s$ derart, da"s die $h_i \circ \varphi$ auf $X_t$ mit den Restriktionen der $f_i$ "ubereinstimmen. Nun gibt es $P \in k [T_1, \ldots, T_n]$ mit $t = P (f_1, \ldots, f_n)$ in $\mathcal O (X)$. In $\mathcal O (X_t)$ folgt $t = r \circ \varphi$ f"ur $r = P (h_1, \ldots, h_n) \in \mathcal O (Y_s)$. Mithin induziert die Restriktion eine Surjektion $\mathcal O (Y_{rs}) \twoheadrightarrow \mathcal O (X_t)$. \end{proof} %\newpage %\newpage \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Gegeben ein Morphismus $X\ra Y$ von affinen Variet"aten und ein Punkt $x\in X$ mit $x\mapsto y$ gibt es genau einen Ringhomomorphismus $\mathcal O_{Y,y}\ra\mathcal O_{X,x}$, der mit dem Komorphismus $\mathcal O(Y)\ra\mathcal O(X)$ und den "ublichen Abbildungen in die jeweilige Lokalisierung ein kommutatives Diagramm bildet. \end{Ubung} %\newpage \subsection{Lokalisierung und Primideale} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Kring $R$ und eine Teilmenge $S\subset R$ und ein Ideal $\mathfrak b\subset S^{-1}R$ nennen wir sein Urbild $\op{lok}^{-1}(\mathfrak b)\subset R$ das {\bf Z"ahlerideal}\index{Z"ahlerideal} von $\mathfrak b$. Dies Z"ahlerideal ist dann ein Ideal von $R$. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Primideale in Lokalisierungen}] Gegeben ein Kring $R$ und eine Teilmenge $S \subset R$ liefert der "Ubergang zum Z"ahlerideal eine Bijektion\label{PiL} $$ \begin{array}{ccc} \op{Spec} (S^{-1} R) &\sira &\{ \frak{p} \in \op{Spec} R \mid \frak{p} \cap S = \emptyset\}\\[2mm] \frak{p}&\mapsto &\op{lok}^{-1}(\frak{p}) \end{array} $$ zwischen der Menge der Primideale der Lokalisierung und der Menge derjenigen Primideale des urspr"unglichen Rings, die die Teilmenge $S$ der zu invertierenden Elemente nicht treffen. Die Umkehrabbildung ist die Abbildung $\frak{q}\mapsto S^{-1}\frak{q}$. \end{Proposition} \begin{Beispiel} Ist $R=\mathcal O(X)$ der Ring der regul"aren Funktionen auf einer affinen Variet"at $X$ und besteht $S$ aus einer einzigen Funktion $f$, so besagt diese Proposition nach \ref{PuI} anschaulich, da"s das Herunterschneiden eine Bijektion liefert zwischen abgeschlossenen irreduziblen Teilmengen von $X_f$ und abgeschlossenen irreduziblen Teilmengen von $X$, die nicht in $\mathcal Z(f)$ enthalten sind. \end{Beispiel} %\newpage \begin{proof}[Beweis] Da alle Elemente aus $S$ bei der Lokalisierung Einheiten werden, landet das Zur"uckholen $\op{Spec} (S^{-1}R) \ra \op{Spec} R$ in der Menge der Primideale von $R$, die $S$ nicht treffen. Unsere Abbildung ist also sinnvoll definiert. F"ur jedes Ideal $\frak{b} \subset S^{-1}R$ gilt wie bereits erw"ahnt $\frak{b} = S^{-1} (\op{lok}^{-1}(\frak{b}))$. Wir m"ussen nur noch zeigen, da"s f"ur jedes Primideal $\frak{q} \subset R$, das $S$ nicht trifft, seine Lokalisierung $S^{-1}\frak{q}\subset S^{-1}R $ ein Primideal ist mit Z"ahlerideal $\op{lok}^{-1}(S^{-1}\frak{q})=\frak q$. Um zu sehen, da"s $S^{-1}\frak{q}\subset S^{-1}R $ ein Primideal ist, gehen wir aus von $(a/s)(b/t)=(c/r)$ mit $c\in \frak{q}$. Das impliziert die Existenz von $u\in |S\rangle$ mit $urab=ustc$. Nun gilt sicher $\frak q\cap S=\emptyset\RA \frak q\cap |S\rangle=\emptyset$, folglich impliziert $urab\in \mathfrak q$ bereits $a\in \frak{q}$ oder $b\in \frak{q}$ und $S^{-1}\mathfrak q$ ist in der Tat ein Primideal. Um schlie"slich einzusehen, da"s $\frak q$ das Z"ahlerideal von $S^{-1}\frak{q}$ ist, beachten wir, da"s aus $c/s=a/1$ mit $c\in \frak{q}$ folgt $tc=tsa$ f"ur ein $t\in |S\rangle$ und wegen $ts\not\in\mathfrak q$ folgt $a\in \frak{q}$. \end{proof} %\newpage \begin{Bemerkungl}[\textbf{Primspektrum eines Quotientenrings}] Sei $R$ ein Kring und $I\subset R$ eine Teilmenge und $\op{quot}:R\sra R/\langle I\rangle$ die Abbildung auf den Quotienten. So liefert $\op{quot}^{-1}$ eine Bijektion\label{PiL} $$ \begin{array}{ccc} \op{Spec} (R/\langle I\rangle) &\sira &\{ \frak{p} \in \op{Spec} R \mid \frak{p} \supset I\}\\[2mm] \frak{p}&\mapsto &\op{quot}^{-1}(\frak{p}) \end{array} $$ zwischen der Menge der Primideale des Restklassenrings und der Menge derjenigen Primideale des urspr"unglichen Rings, die die Teilmenge der herausgeteilten Elemente umfassen. Die Inverse dieser Bijektion ist die Abbildung $\frak{q}\mapsto \op{quot}(\frak{q})$. In der Tat induzieren diese Abbildungen sogar Bijektionen zwischen den entsprechenden Mengen beliebiger Ideale und wegen $(R/\langle I\rangle)/\mathfrak p \cong R/\op{quot}^{-1}(\mathfrak p)$ entsprechen sich darunter Ideale mit einem Integrit"atsbereich als Quotientenring alias Primideale. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Die Menge aller nilpotenten Elemente eines Krings alias das Radikal des Nullideals hei"st das \defind{Nilradikal} $\sqrt{0}$ unseres Krings. \end{Definition} \begin{Korollar}[\textbf{Schnitt aller Primideale}] Der Schnitt aller Primideale eines Krings ist sein Nilradikal. Der Schnitt aller Primideale eines Krings, die ein gegebenes Ideal umfassen, ist das Radikal des besagten Ideals. \label{SPI} \end{Korollar} \begin{proof} Sicher liegt jedes nilpotente Element in jedem Primideal. Ist umgekehrt $R$ unser Ring und $f\in R$ nicht nilpotent, so ist nach \ref{NRL} die Lokalisierung $R[f^{-1}]$ nicht der Nullring und besitzt folglich mindestens ein Primideal, ja sogar mindestens ein maximales Ideal. Das Urbild dieses Ideals in $R$ ist dann das gesuchte Primideal, das $f$ nicht enth"alt. Ist $I\subset R$ ein beliebiges Ideal, so wende man die bereits bewiesene Aussage auf den Quotientenring $R/I$ an und beachte die Beschreibung \ref{PiL} von Primidealen in Quotientenringen. \end{proof} %\newpage \begin{Bemerkungl} Anders als bei \glqq maximalen Idealen\grqq, worunter man ja stets \glqq maximale Elemente in der Menge aller vom ganzen Ring verschiedenen Ideal\grqq\ versteht, versteht man unter einem {\bf minimalen Primideal}\index{minimal!Primideal}\index{Primideal!minimales} schlicht ein Primideal, das eben minimal ist in der durch Inklusion teilgeordneten Menge aller Primideale. Ein kommutativer Integrit"atsbereich hat insbesondere stets genau ein minimales Primideal, n"amlich das Nullideal. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Minimale Primideale und irreduzible Komponenten}] Gegeben eine affine Variet"at $X$ sind die minimalen Primideale von $\mathcal O(X)$ gerade die Verschwindungsideale der irreduziblen Komponenten von $X$. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Existenz minimaler Primideale}] Jedes Primideal eines Krings umfa"st ein minimales Primideal. In der Tat ist ein Schnitt einer Kette von Primidealen offensichtlich auch selbst prim, denn l"age ein Produkt $ab$ in allen geschnittenen Primidealen und l"age $a$ nicht in jedem von ihnen, so m"u"ste $b$ in jedem von ihnen liegen. Unsere Behauptung folgt so aus dem Zorn'schen Lemma.\label{MiPri} Da das Nilradikal eines Krings nach \ref{SPI} der Schnitt aller Primideale ist, mu"s es damit auch der Schnitt aller minimalen Primideale sein. \end{Bemerkungl} %\newpage \begin{Korollar}[\textbf{Minimale Primideale und nichtk"urzbare Elemente}] \begin{enumerate} \item In einem beliebigen Kring besteht jedes minimale Primideal aus nichtk"urzbaren Elementen; \item In einem nilpotentfreien Kring ist die Vereinigung der minimalen Primideale die Menge der nichtk"urzbaren Elemente. \end{enumerate} \label{MPVM} %\label{MPNT} \end{Korollar} \begin{Bemerkungl} Wir diskutieren kurz den geometrischen Fall. Ist $X$ eine affine Variet"at, so geh"ort offensichtlich eine regul"are Funktion zu einem minimalen Primideal von $\mathcal O(X)$ genau dann, wenn sie auf einer irreduziblen Komponente von $X$ identisch verschwindet, und genau dann ist sie andererseits auch nicht k"urzbar. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Lokalisieren wir unseren Kring $R$ an unserem minimalen Primideal $\frak p$ zu $R_{\frak p}$, so erhalten wir nach der Beschreibung des Primspektrums von Lokalisierungen \ref{PiL} einen Kring mit genau einem Primideal $\frak p_{\frak p}$. Gegeben $f\in R$ k"urzbar mit $f\in\mathfrak p$ w"are sein Bild $(f/1)\in R_{\mathfrak p}$ nach der Exaktheit der Lokalisierung \ref{EdLo} auch k"urzbar mit $(f/1)\in \frak p_{\frak p}$. Aus $R_{\mathfrak p}\neq 0$ folgte $R_{\frak p}[(f/1)^{-1}]\neq 0$. Dann aber g"abe es aber in $R_{\frak p}[(f/1)^{-1}]$ ein Primideal und in $R_{\frak p}$ ein von $\mathfrak p$ verschiedenes Primideal im Widerspruch zu unseren Annahmen. Das zeigt Teil 1. Umgekehrt ist nach \ref{MiPri} der Schnitt aller minimalen Primideale das Nilradikal. Ist unser Kring $R$ nilpotentfrei, so liefert die Diagonale mithin eine Einbettung von $R$ in ein Produkt von Integrit"atsbereichen $$R\hra \prod_{\mathfrak p\text{ minimal}} R/\mathfrak p$$ Jedes nichtk"urzbare Element von $R$ mu"s dabei auf ein nichtk"urzbares Element des Produkts abgebildet werden und folglich bereits in einem der minimalen Primideale liegen. \end{proof} %\newpage %\newpage \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Kring $R$ betrachten wir die Teilmenge von $R\times \op{Spec}R$ aller Paare $(r,\mathfrak p)$ mit $r\in \mathfrak p$. Das ist eine Inzidenzstruktur im Sinne von \ref{IZDS} und liefert so Konstruktionen mit analogen Eigenschaften zu unseren Konstruktionen $\mathcal Z$ und $\mathcal I$ aus \ref{ZaTo}, die wir hier $\mathcal A$ und $\mathcal S$ notieren und im folgenden ausf"uhrlicher diskutieren. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Gegeben ein Kring $R$ und eine Teilmenge $I \subset R$ bezeichnen wir mit ${\mathcal A}(I)$ die Menge aller Primideale von $R$, die $I$ umfassen, in Formeln\index{A@${\mathcal A}(I)$ Primideale "uber $I$}\label{Af} $${\mathcal A}(I) \pdef\{ \frak{p} \in \op{Spec} R \mid \frak{p} \supset I \} =\{ \frak{p} \in \op{Spec} R \mid r\in \frak{p} \;\forall r\in I \}$$ \end{Definition} \begin{Definition} Gegeben ein Kring $R$ und eine Teilmenge $X \subset \op{Spec}R$ bezeichnen wir mit ${\mathcal S}(X)$ den Schnitt aller Primideale aus $X$, in Formeln\index{S@${\mathcal S}(X)$ Schnitt der Primideale aus $X$} $${\mathcal S}(X)\qquad \pdef\qquad \bigcap_{\frak p\in X} \frak{p} \qquad =\qquad \{ r \in R \mid r\in \frak{p} \;\forall \mathfrak p\in X \}$$ \end{Definition} %\newpage \begin{Bemerkungl} Diese Konstruktionen $\mathcal A$ und $\mathcal S$ erf"ullen "ahnliche Formeln wie die analogen Konstruktionen $\mathcal Z$ und $\mathcal I$ aus \ref{ZaTo} und \ref{OIU}, was nun genauer ausgef"uhrt werden soll. Sei $R$ ein Kring. Offensichtlich gilt f"ur ein beliebiges System $\cal{J}$ von Teilmengen von $R$ die Identit"at $ \bigcap_{J\in \cal{J}} {\mathcal A}(J)={\mathcal A}\left(\bigcup_{J\in \cal{J}} J\right)$ und insbesondere auch $$I \subset J \;\Rightarrow \; {\mathcal A}(I) \supset {\mathcal A}(J)$$ Ebenso offensichtlich gilt f"ur ein beliebiges System $\cal{X}$ von Teilmengen des Primspektrums $\op{Spec}R$ die Identit"at ${\mathcal S}\left(\bigcup_{X\in \cal{X}}X\right)= \bigcap_{X\in \cal{X}} {\mathcal S} (X)$ und insbesondere auch $$Y \subset X \; \Rightarrow \; {\mathcal S}(Y) \supset {\mathcal S}(X)$$ Des weiteren gilt sicher $J\subset {\mathcal S}({\mathcal A}(J))$ f"ur jede Teilmenge $J\subset R$ und umgekehrt $X\subset {\mathcal A}({\mathcal S}(X))$ f"ur jede Teilmenge $X\subset \op{Spec}R$. Es folgt ${\mathcal S}(X) ={\mathcal S}({\mathcal A}({\mathcal S}(X)))$ f"ur jede Teilmenge $X\subset \op{Spec}R$, indem wir einerseits ${\mathcal S}$ auf $X\subset {\mathcal A}({\mathcal S}(X))$ anwenden und andererseits $J\subset {\mathcal S} ({\mathcal A}(J))$ auf $J={\mathcal S}(X)$. Ebenso folgt f"ur jede Teilmenge $J\subset R$ die Identit"at ${\mathcal A}(J)={\mathcal A}({\mathcal S}({\mathcal A}(J)))$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Man zeigt ohne Schwierigkeiten, da"s die Mengen $\mathcal A (I)$ f"ur $I\subset R$ die abgeschlossenen Mengen einer Topologie auf dem Spektrum von $R$ bilden. % deshalb auch der Buchstabe $\mathcal A$. Sie hei"st die {\bf Zariskitopologie\index{Zariskitopologie!auf dem Spektrum eines Rings} auf} $\op{Spec} R$.\label{ZTSp} Insbesondere gilt f"ur jede abgeschlossene Teilmenge $X\subset \op{Spec}R$ die Identit"at $X={\mathcal A}({\mathcal S}(X))$, die offensichtlich auch umgekehrt abgeschlossene Teilmengen charakterisiert. \end{Bemerkungl} %\newpage \begin{Bemerkungl}[\textbf{Abgeschlossene Mengen und Radikalideale, Variante}] F"ur jede Teilmenge $I$ eines Krings $R$ ist nach \ref{SPI} unser $\mathcal S(\mathcal A (I))$ das Radikal des von $I$ erzeugten Ideals, in Formeln $\mathcal S(\mathcal A (I))=\sqrt{\langle I\rangle}$. Umgekehrt ist nach den Definitionen f"ur jede Teilmenge $X\subset \op{Spec}R$ unser $\mathcal A(\mathcal S (X))$ der Abschlu"s von $X$ in der Zariskitopologie, in Formeln $\mathcal A(\mathcal S (X))=\bar X$. Insbesondere liefern $\mathcal A$ und $\mathcal S$ "ahnlich wie in \ref{BRI} zueinander inverse Bijektionen $$\begin{array}{ccc} \mathcal A:\;\;\left\{ \!\!\begin{array}{c} \text{Radikalideale}\\ I\subset R\end{array}\!\!\right\} & \sira & \left\{ \!\!\begin{array}{c} \text{Abgeschlossene Teilmengen}\\ Y\As \op{Spec}R \end{array} \!\! \right\} \end{array} $$ \end{Bemerkungl} %\newpage \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Kring $R$ und eine Teilmenge $I \subset R$ liefert das Bilden des Urbilds unter der kanonischen Projektion auf den Restklassenring nach \ref{PiL} eine Bijektion $$\op{Spec} (R/\langle I\rangle)\sira {\mathcal A}(I)$$ zwischen der Menge aller Primideale des Quotientenrings $R/\langle I\rangle$ von $R$ nach dem von $I$ erzeugten Ideal und der Menge aller Primideale von $R$, die $I$ umfassen. \end{Bemerkungl} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{Bemerkungl} Ist $R = \cal{O}(X)$ der Ring der regul"aren Funktionen auf einer affinen Variet"at $X$, so hatten wir f"ur $I \subset \cal{O}(X)$ in \ref{ZaTo2} die Nullstellenmenge ${\mathcal Z}(I) \subset X$ erkl"art. Unter der Komposition $$X \sira \op{Max} \cal{O}(X) \subset \op{Spec} \cal{O}(X)$$ ist nun unser $\mathcal Z (I)$ genau das Urbild in $X$ von $\mathcal A (I)$. Besagte Komposition ist folglich eine topologische Einbettung \eref{Einb}{TM} f"ur die jeweiligen Zariskitopologien. \end{Bemerkungl} %\newpage \begin{Proposition}[\textbf{Primideale und irreduzible Mengen, Variante}] F"ur jeden Kring $R$ liefert die Abbildung\label{PiIr} $\frak p\mapsto \mathcal A(\frak p)$ eine Bijektion $$\begin{array}{ccl} \op{Spec} R& \sira &\{ Y\As \op{Spec} R\mid Y \text{ irreduzibel }\} \end{array}$$ \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Man kann $\mathcal A(\frak p)$ auch als den Abschlu"s des Punktes $\frak p$ in Bezug auf die Zariskitopologie interpretieren, so da"s unsere Abbildung jedem Punkt seinen Abschlu"s zuordnet. Das Spektrum eines Krings ist also ein topologischer Raum $X$ mit der Eigenschaft, da"s $x\mapsto \bar x$ eine Bijektion $$\begin{array}{ccl} X& \sira &\{ Y\As X\mid Y \text{ irreduzibel }\} \end{array}$$ induziert. Gegeben eine irreduzible abgeschlossene Teilmenge $Y\As \op{Spec} R$ hei"st\label{PIIr} der\index{generischer Punkt} Punkt $x\in Y$ mit $\bar x=Y$ der {\bf generische Punkt von $Y$}. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Da"s der Abschlu"s eines Punktes irreduzibel sein mu"s, gilt sogar in einem beliebigen topologischen Raum. Unsere Abbildungsvorschrift ist mithin sinnvoll. Gegeben $Y\As \op{Spec} R$ gibt es per definitionem eine Teilmenge $I\subset R$ mit $Y=\mathcal A(I)$. Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir annehmen, $I$ sei ein Radikalideal, denn alle Primideale, die $I$ umfassen, umfassen auch das Radikal des von $I$ erzeugten Ideals. Ich zeige nun, da"s f"ur $Y$ irreduzibel unser $I$ ein Primideal sein mu"s. Ist in der Tat $I$ kein Primideal, so gibt es $a,b\not\in I$ mit $ab\in I$. Nach \ref{SPI} gibt es ein Primideal "uber $I$, das $a$ nicht enth"alt, und ebenso ein Primideal "uber $I$, das $b$ nicht enth"alt. Folglich haben wir $\mathcal A(a)\not\supset \mathcal A(I)$ und $\mathcal A(b)\not\supset \mathcal A(I)$. Jedes Primideal, das $ab$ enth"alt, mu"s jedoch $a$ oder $b$ enthalten, folglich gilt $\mathcal A(a)\cup \mathcal A(b)\supset \mathcal A(I)$ und $\mathcal A(I)$ war nicht irreduzibel. Ist also $Y$ irreduzibel und $I$ das Radikalideal mit $Y=\mathcal A(I)$, so ist $I$ prim und wir schreiben hinfort $I=\mathfrak p$. Bezeichnen wir mit $x$ den durch $\mathfrak p$ gegebenen Punkt von $\op{Spec} R$, so gilt $\bar x=\mathcal A(\mathfrak p)=Y$. Das zeigt die Surjektivit"at unserer Abbildung. Zur Injektivit"at bemerken wir, da"s $y\in\bar{x}$ gleichbedeutend ist zur Inklusion $\frak p_y\supset \frak p_x$ der zugeh"origen Primideale, wir k"onnen also $\mathfrak p$ aus $Y$ zur"uckgewinnen als den Schnitt aller Primideale $\frak p_y$ mit $y\in Y$. \end{proof} \begin{Korollar} Genau dann ist das Primspektrum eines Krings irreduzibel, wenn sein Nilradikal ein Primideal ist. \end{Korollar} \begin{proof} Genau dann ist nach dem vorhergehenden das Primspektrum irreduzibel, wenn es genau ein minimales Primideal gibt. Da nach \ref{SPI} der Schnitt aller Primideale stets das Nilradikal ist, ist das gleichbedeutend dazu, da"s das Nilradikal ein Primideal ist. \end{proof} %\newpage \begin{Bemerkungl} Ich will kurz auf die Beziehung der Proposition \ref{PiIr} zu ihrem geometrischen Analogon \ref{PuI} eingehen. Ist ein Kring $R$ ringendlich "uber einem K"orper, so k"onnen wir obige Bijektion erg"anzen zu einer Sequenz von Bijektionen $$ \op{Spec} R \sira \{ Y\As \op{Spec} R\mid Y \text{ irreduzibel}\} \sira\{ Z\As \op{Max} R\mid Z \text{ irreduzibel}\}$$ Hier erh"alt $\op{Max} R$ die von $\op{Spec} R$ induzierte Topologie und die rechte Abbildung ist das Schneiden mit $\op{Max} R$. Ist $k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper und $X$ eine affine $k$-Variet"at, so k"onnen wir diese Bijektion verl"angern wir durch die von unserem Hom"oomorpismus $\op{Max}\cal{O}(X)\sira X$ auf irreduziblen abgeschlossenen Teilmengen induzierte Bijektion zu einer Bijektion $$ \op{Spec} \cal{O}(X) \sira\{ Z\As \op{Max} \cal{O}(X)\mid Z \text{ irreduzibel}\} \sira\{ Y\As X\mid Y \text{ irreduzibel}\}$$ Sie ist die Inverse der in \ref{PuI} diskutierten Bijektion $$ \{ Y\As X\mid Y \text{ irreduzibel}\}\sira \op{Spec} \cal{O}(X)$$ \end{Bemerkungl} %\newpage \begin{Korollar}[\textbf{Minimale Primideale in noetherschen Kringen}] In einem noe\-therschen Kring gibt es nur endlich viele minimale Primideale.\label{MPRI} \end{Korollar} \begin{proof} Gegeben ein noetherscher Kring ist sein Spektrum ein noetherscher topologischer Raum und ist nach \ref{ZIK} folglich die Vereinigung von endlich vielen irreduziblen Komponenten. Die nach \ref{PIIr} zu diesen Komponenten geh"orenden Primideale sind dann die fraglichen minimalen Primideale. \end{proof} %\newpage \begin{Korollar}[\textbf{Endliche Produkte von Integrit"atsbereichen}] Genau dann ist ein Kring ein endliches Produkt von Integrit"atsbereichen, wenn seine Lokalisierung nach jedem maximalen Ideal ein Integrit"atsbereich ist und er nur endlich viele minimale Primideale hat.\label{EPI} \end{Korollar} \begin{proof} Da"s ein endliches Produkt von Integrit"atsbereichen diese Eigenschaften hat, ist klar. F"ur die andere Implikation bemerken wir zun"achst, da"s nach dem lokal-global-Prinzip \ref{lgP} unser Kring keine von Null verschiedenen nilpotenten Elemente haben kann. Der Schnitt der minimalen Primideale ist also Null nach \ref{MiPri}. Damit reicht es nach dem chinesischen Restsatz \eref{ACR}{AL} zu zeigen, da"s f"ur je zwei minimale Primideale $\mathfrak p\neq \mathfrak q$ gilt $1\in \mathfrak p+ \mathfrak q$. Andernfalls g"abe es aber ein maximales Ideal $\mathfrak m\supset \mathfrak p+ \mathfrak q$ und die Lokalisierung unseres Krings an $\mathfrak m$ h"atte zwei verschiedene minimale Primideale und k"onnte kein Integrit"atsbereich sein. \end{proof} %\newpage \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Seien $ X$ eine affine Variet"at und $x\in X$ ein Punkt. Man zeige, da"s die lokale Krulldimension von $X$ bei $x$ "ubereinstimmt mit der Krulldimension des lokalen Ringes, in Formeln $\op{kdim}_xX=\op{kdim}\mathcal O_{X,x}$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben ein Kring $R$ bilden die offenen Teilmengen ${\op{U}}(f)\pdef \{\mathfrak p\in\op{Spec}R\mid f\not\in\mathfrak p\}$ f"ur $f\in R$\label{UBT} eine Basis der Zariskitopologie auf $\op{Spec}R$.\index{U@${\op{U}}(f)$ Standardasis der Topologie eines Spektrums} Wir nennen sie die {\bf Standardbasis}.\index{Standardbasis!der Zariskitopologie eines Spektrums} \end{Ubung} \begin{Ubunge} F"ur jeden Kringhomomorphismus $R \ra S$ ist die induzierte Abbildung $\op{Spec} S \ra \op{Spec} R$ stetig\label{DiBi} f"ur die Zariskitopologie. Ist unser Kringhomomorphismus injektiv, so hat die induzierte Abbildung dichtes Bild. \end{Ubunge} \begin{Ubung}Hinweis: \ref{MPRI} und \ref{SPI}. Gegeben ein noe\-therscher Kring mit einem Ideal $I$ besitzt die Menge aller Primideale von $R$ "uber $I$ endlich viele minimale Elemente $P_1,\ldots, P_n$ und deren Schnitt ist das Radikal von besagtem Ideal,\label{PMP} in Formeln $$\sqrt{I}=P_1\cap\ldots\cap P_n$$ \end{Ubung} \begin{Ubung} Sind in einem Kring endlich viele Primideale gegeben, deren Schnitt aus nilpotenten Elementen besteht, so umfa"st jedes Primideale unseres Krings\label{MiNi} eines dieser endlich vielen Primideale. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben ein Modul $M$ "uber einem Kring $R$ und ein Element $m\in M$ setzen wir $\op{supp}(m)\pdef \mathcal A(\op{Ann}_R(m))$ und nennen diese abgeschlossene Teilmenge von $\op{Spec}(R)$ den {\bf Tr"ager von $m$}.\index{Tr"ager!eines Elements eines Moduls} \index{supp@$\op{supp}(m)$ Tr"ager eines Elements eines Moduls} Die Vereinigung $$\op{supp}(M)\pdef\bigcup_{m\in M}\op{supp}(m)$$ hei"st der {\bf Tr"ager von $M$}\index{Tr"ager!eines Moduls}\index{supp@$\op{supp}(M)$ Tr"ager eines Moduls} und braucht nicht abgeschlossen zu sein. Man zeige, da"s der $\DC[X]$-Modul $M\pdef \DC[X,X^{-1}]/\DC[X]$ einpunktigen Tr"ager hat, bestehend aus dem einzigen Primideal $\langle X\rangle$, wohingegen sein Annullator das Nullideal ist.\label{suppMM} Ist aber $M$ endlich erzeugt, sagen wir von $m_1,\ldots, m_r$, so gilt $$\op{supp}(M)=\bigcup_{i=1}^n\op{supp}(m_i)=\mathcal A(\op{Ann}M)$$ \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Tr"ager und Lokalisierung}] Gegeben ein Modul $M$ "uber einem Kring $R$ und ein Element $m\in M$ und $\mathfrak p\in\op{Spec}R$ zeige man, da"s das Bild von $m$ in der Lokalisierung $M_{\mathfrak p}$ genau dann verschwindet, wenn gilt $\mathfrak p\not\supset \op{Ann}_R(m)$ alias $\mathfrak p\not\in \op{supp}(m)$ in der Notation aus \ref{suppMM}.\label{TrLo} \end{Ubung} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXKAG" %%% End: