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\vspace{2mm}

\bf Exercice #1 \vspace{1mm}\\}}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{document}
\thispagestyle{empty}
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\parindent=0pt

\begin{center}
{\bf \large Composition de math\'ematiques}


 \vspace{3mm}
 $ 1^{\text{\`ere}}L2$ --- 07.03.2013
\end{center}

Dans un repère orthonormé d'origine $O$ on donne les points $A(4,-3)$, $C(3,4)$ et $E(2,-4)$. Les questions 
1 à 6 sont toutes indépendantes entre elles.\\
On représentera tous les objets rencontrés dans un repère orthonormé d'unité de longueur 1cm.

\begin{enumerate}
 \item 
 \begin{enumerate}
 \item Calculer les longueurs $OA$, $OC$ et $AC$. 
 \item  Quelle est la nature du triangle $OAC$?
 \item  Déterminer les cordonnées du point $B$ pour que $OABC$ soit un carré.
 \end{enumerate} 
 \item 
 \begin{enumerate}
 \item Montrer que $7x+y=25$ est une équation cartésienne de la droite $(AC)$. 
 \item Montrer que $\qquad\left\{\begin{array}{lll}
                                     x&=&7t\\ y&=& t
                                    \end{array} \right. t\in {\DR}$, est une représentation paramétrique de la droite $(OB)$ 
 \item Calculer les coordonnées du point d'intersection $I$ de la droite $(OB)$ avec la droite $(AC)$.
 \item Déterminer le rapport dans lequel $I$ partage le segment $[OB]$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées de $H$ le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(AE)$.
\item En déduire la distance de $C$ à la droite $(AE)$.
\item Vérifier ce résultat en utilisant la formule vue en cours.
\item En déduire l'aire du triangle $ACE$.
\item Calculer les coordonnées de $C'$ le symétrique de $C$ par rapport à la droite $(AE)$.
\end{enumerate}
\item Calculer une mesure arrondie à l'unité de l'angle $\widehat{AEC}$.
\item Déterminer une équation du cercle de diamètre $[CE]$
\item Déterminer l'intersection du cercle d'équation $(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=10$ avec la droite $ \Delta: \qquad\left\{\begin{array}{lll}
                                     x&=&1+2s\\ y&=& -2+3s
                                    \end{array} \right. s\in {\DR}$.
\end{enumerate}



\end{document}