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\newcommand{\Ag}[1]{{

\vspace{2mm}

\bf Exercice #1 \vspace{1mm}\\}}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\pagestyle{empty}
\parindent=0pt

\begin{center}
{\bf \large Composition de math\'ematiques}


 \vspace{3mm}
  TL2 --- 16.10.2025
\end{center}

%Dans un repère orthonormé d'origine $O$ on donne les points $A(4,-3)$, $C(3,4)$ et $E(2,-4)$. Les questions 
%1 à 6 sont toutes indépendantes entre elles.\\
%On représentera tous les objets rencontrés dans un repère orthonormé d'unité de longueur 1cm.

\Ag{1}
On donne les points $A(4;2;3);B(1;-1;3)$ et $P(1;2;0)$ ainsi que deux droites
$g$ et $h$ dont une représentation paramétrique est donnée:
$$g:\left\{\begin{array}{ll}
x&=4\\
y&=-4+s\\
z&=-3+s
\end{array}
\right. \text{ avec $s\in \DR$ et }\;\;
h:\left\{\begin{array}{ll}
x&=-1+t\\
y&=-1\\
z&=5-t
\end{array}
\right. \text{ avec $t\in \DR$.}$$
\begin{enumerate}
\item Montrer que le point $A$ appartient à la droite $g$ et le point $B$  à la droite $h$.
\item Déterminer la position relative de $g$ et $h$.
\item Soit $S(4;-1;0)$. Déterminer la nature du triangle $ABS$ et calculer l'aire du triangle.
\item On appelle $E$ le plan qui contient le triangle $ABS$. Montrer que le vecteur
  $\vec n(1;-1;1)$ est orthogonal au plan $E$.
  En déduire une équation cartésienne de $E$.
\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $l$ orthogonale
  au plan $E$ passant par le point $P$.
  En déduire les coordonnées du point $L$, point d'intersection de la droite $l$ et du plan $E$.
\end{enumerate}

 \Ag{2}
 On considère les points $P(3;2;-3);Q(4;4;-1)$ et $R(5;2;-1)$ ainsi que la droite $d$
 de représentation paramétrique 
$$g:\left\{\begin{array}{ll}
x&=-1+2t\\
y&=0,5+t\\
z&=-2,5+t
\end{array}
 \right. \text{ avec $t\in \DR$.}$$
 \begin{enumerate}
 \item Montrer que les points $P,Q$ et $R$ ne sont pas alignés.
   Soit $E$ le plan contentant les points $P,Q,R$; déterminer une
   représentation paramétrique de $E$.
 \item
   Montrer que $2x+y-2z-14=0$ est une équation cartésienne du plan $E$.
 \item
   Déterminer les coordonnées du poit $D$ d'intersection du plan $E$ et
   de la droite $d$.
 \item
   Montrer que le quadrilatère $PQDR$ est un parallélogramme.
 \end{enumerate}
   
\end{document}