Galoiscohomologie

M.Z.^{∗}

14. Oktober 2004

Inhaltsverzeichnis

1 Spektralsequenzen 1 1.1 Die Spektralsequenz eines exakten Paares . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Die Spektralsequenz eines gefilterten Differentialobjekts . . . . . 2 1.3 Spektralsequenz eines gefilterten Komplexes . . . . . . . . . . . . 5 1.4 Spektralsequenz eines Doppelkomplexes . . . . . . . . . . . . . . 5 1.5 Spektralsequenzen im engeren Sinn . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Die Lyndon-Hochschild-Serre Spektralsequenz 7 2.1 C_{N}(G, A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2 Die Spektralsequenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1 Spektralsequenzen

1.1 Die Spektralsequenz eines exakten Paares

Wir arbeiten in einer beliebigen abelschen Kategorie. R-Moduln, graduierte Moduln, Komplexe, filtrierte Moduln etc.

Definition. Ein Differentialobjekt ist ein Objekt E mit einen Endomorphismus d : E → E mit d^{2} = 0.

Eine Spektralsequenz ist eine Folge (E_{0}, d_{0}), (E_{1}, d_{1}), … von Differentialobjekten mit

E_{r+1} = H(E_{r}, d_{r}).

Jedes E_{r} ist kanonisch isomorph zu einem Quotienten Z_{r}/B_{r} für Unterobjekte Z_{r}, B_{r} von E_{0} mit

0 = B_{0} ⊂ B_{1} ⊂ ⋯ ⊂ Z_{1} ⊂ Z_{0} = E_{0}.

Wir setzen Z_{∞} = ⋂_{r≥0} Z_{r} und B_{∞} = ⋃_{r≥0} B_{r} und sagen, daß die Spektralsequenz {E_{r}} gegen

E_{∞} = Z_{∞}/B_{∞}

konvergiert. Die Konvergenz ist endlich, wenn die Z_{r} und B_{r} sich für genügend großes r nicht mehr ändern. Das bedeutet, daß d_{r} = 0 für genügend großes r.

∗Skript für den zweiten Teil eines Schnellkurses in Freiburg

Definition. Ein exaktes Paar ist ein exaktes kommutatives Diagramm

[figure: D; D; E; α; β; γ]

Jedem exakten Paar läßt sich auf folgende Weise eine Spektralsequenz zuordnen.

(E_{0}, d_{0}) = (E, βγ)

ist offenbar ein Differentialobjekt. Wir setzen E_{1} = H(E_{0}, d_{0}), D_{1} = αD_{1} und definieren

α_{1} : D_{1} → D_{1} induziert durch α
β_{1} : D_{1} → E_{1} induziert durch βα^{−1}
γ_{1} : E_{1} → D_{1} induziert durch γ

Lemma 1.1.1 ([1, VIII 1.1]). α_{1}, β_{1} und γ_{1} sind wohldefiniert. Das Diagramm

[figure: D_{1}; D_{1}; E_{1}; α_{1}; β_{1}; γ_{1}]

ist ein exaktes Paar.

Beweis. Nachrechnen.

Folgerung 1.1.2. Zu jedem exakten Paar (E, D, α, β, γ) gehört eine kanonische Spektralsequenz {E_{r}} mit (E_{0}, d_{0}) = (E, βγ).

Lemma 1.1.3 ([1, VIII 1.2]). Wir haben

E_{r} = γ^{−1}α^{r}D/β(α^{−r}(0)).

d_{r} wird induziert von βα^{−r}γ.

Beweis. Es ist D_{r} = α^{r}D. α_{r} wird von α induziert, β_{r} von βα^{−r} und γ_{r} von γ.

1.2 Die Spektralsequenz eines gefilterten Differentialobjekts

Ein gefiltertes Differentialobjekt (F, d) hat eine Filtration

F = F^{0} ⊃ F^{1} ⊃ ⋯

von Unterobjekten mit dF^{p} ⊂ F^{p}. Die Filtration heißt endlich, wenn F_{N+1} = 0 für ein N.

Das zugehörige graduierte Objekt ist

Gr F = ⨁_{p∈ℕ} F^{p}/F^{p+1}.

Die Filtration von F überträgt sich auf H(F). Man definiert H(F)^{p} als das Bild von H(F^{p}) in H(F).

Proposition 1.2.1 ([2, IV 9.1]). Sei F ein endlich gefiltertes Differentialobjekt. Dann gibt eine Spektralsequenz aus graduierten Differentialobjekten E_{r} mit

E_{0} = Gr F;  E_{1} = H(Gr F)

{E_{r}} konvergiert in jeder Dimension endlich gegen Gr H(F). Die Differentiale d_{r} : E_{r} → E_{r} haben den Grad r.

Wenn E_{r} = ⨁_{p≥0} E_{r}^{p}, ist also d_{r} : E_{r}^{p} → E_{r}^{p+r}. Man drückt die behauptete Konvergenz symbolisch aus durch

E_{r} ⇒ H(F).

Beweis. Im Beweis müssen wir ℤ–Graduierung verwenden. Der Satz ergibt sich durch Einschränkung auf nicht-negative Dimensionen. Wir setzen F_{i} = F für negative i.

Wir starten mit E_{0} = Gr′ F = ⨁_{p∈ℤ} F^{p}/F^{p+1}, d_{0} induziert von d, und

E_{1} = H(Gr′ F) = ⨁_{p∈ℤ} H(F^{p}/F^{p+1}).

Betrachte die exakte Folge

0 → F^{p+1} → F^{p} → F^{p}/F^{p+1} → 0.

Die zugehörige „lange Homologiesequenz“ ist das exakte Dreieck

[figure: H(F^{p+1}); H(F^{p}); H(F^{p}/F^{p+1}); α_{1}; β_{1}; γ_{1}]

Wenn man D_{1} = ⨁_{p∈ℤ} H(F^{p}) setzt^{1}, erhält man das exakte Paar

[figure: D_{1}; D_{1}; E_{1}; α_{1}; β_{1}; γ_{1}]

Dabei hat α den Grad −1, β den Grad 0 und γ den Grad 1. Also hat d_{1} = βγ den Grad 1. Die gewünschte Spektralsequenz erhalten wir durch iteriertes Anwenden von Lemma 1.1.2. Aus Lemma 1.1.3 folgt, daß d_{n} den Grad n hat^{2}.

Es bleibt zu zeigen, daß E_{r}^{p} gegen H(F)^{p}/ H(F)^{p+1} konvergiert. Sei F_{N+1} = 0 und r > 0. Dann ist D_{r}^{i} das Bild von H(F^{i+r−1}) in H(F^{i}). Wenn also r > N − i + 1, ist D_{r}^{i} = 0; und wenn i ≤ 0, ist D_{r}^{i} = H(F)^{i+r−1}.

In der exakten Sequenz

D_{r} ⟶^{α_{r}} D_{r} ⟶^{β_{r}} E_{r} ⟶^{γ_{r}} D_{r}

1Hier braucht man die ℤ–Graduierung!

2Der Index verschiebt sich um 1.

hat α_{r} den Grad −1, β_{r} den Grad r − 1 und γ_{r} den Grad 1. Wir haben also in jeder Dimension p die exakte Sequenz

D_{r}^{p−r+2} ⟶^{α_{r}} D_{r}^{p−r+1} ⟶^{β_{r}} E_{r}^{p} ⟶^{γ_{r}} D_{r}^{p+1}.

Wenn r > N − p − 1 und r ≥ p + 2, ergibt das die exakte Sequenz

H(F)^{p+1} → H(F)^{p} → E_{r}^{p} → 0

und daher E_{r}^{p} = H(F)^{p}/ H(F)^{p+1}.

Proposition 1.2.2 ([2, IV 9.1]). Die in Proposition 1.2.1 konstruierte Spektralsequenz läßt sich auch auf folgende Weise angegeben: Setze Z_{r}^{p} = {x ∈ F^{p} | dx ∈ F^{p+r}} und

E_{r}^{p} = Z_{r}^{p}/(dZ_{r−1}^{p−r+1} + Z_{r−1}^{p+1}).

d bildet Z_{r}^{p} nach Z_{r}^{p+r} ab und induziert eine Abbildung

d_{r} : E_{r}^{p} → E_{r}^{p+r}.

Beweis. Es ist Z_{−1}^{i} = Z_{0}^{i} = F^{i}. Also ist

Z_{0}^{p}/(dZ_{−1}^{p+1} + Z_{−1}^{p+1}) = F^{p}/F^{p+1} = E_{0}^{p}.

Wir nehmen jetzt an, daß r > 0 und beziehen uns auf den Beweis von 1.2.1. Nach Lemma 1.1.3 ist

E_{r}^{p} = γ_{1}^{−1}α_{1}^{r−1} H(F^{p+r})/β_{1}(α_{1}^{−r+1}(0)).

Sei Z die Menge aller x ∈ F^{p}, die in H(F^{p}/F^{p+1}) ein Element von γ_{1}^{−1}α_{1}^{r−1} H(F^{p+r}) repräsentieren. x gehört genau dann zu Z, wenn dx ∈ F^{p+1} und γ_{1} die Klasse von x in das Bild von H(F^{p+r}) in H(F^{p+1}) abbildet. Die Klasse von x wird aber von γ_{1} in die Klasse von dx abgebildet. Die letzte Bedingung bedeutet also, daß dx ∈ F^{p+r} + dF^{p+1}. Also ist

Z = Z_{r}^{p} + F^{p+1}.

B sei die Menge aller x ∈ F^{p}, die in H(F^{p}/F^{p+1}) ein Element von β_{1}(α_{1}^{−r+1}(0)) repräsentieren. α_{1}^{−r+1}(0) (in der richtigen Dimension) ist der Kern von H(F^{p}) → H(F^{p−r+1}), wird also von den Elementen von F^{p} ∩ dF^{p−r+1} repräsentiert. Also ist

B = F^{p} ∩ dF^{p−r+1} + F^{p+1}

und es folgt

E_{r}^{p} = Z/B = Z_{r}^{p}/(B ∩ Z_{r}^{p}).

Die Behauptung folgt jetzt aus

(B ∩ Z_{r}^{p}) = (dF^{p−r+1} + F^{p+1}) ∩ Z_{r}^{p} = dZ_{r−1}^{p−r+1} + Z_{r−1}^{p+1}.

1.3 Spektralsequenz eines gefilterten Komplexes

Sei

X = X_{0} ⟶^{∂} X_{1} ⟶^{∂} ⋯

ein positiver Komplex mit eine Filtrierung

X = F^{0} ⊃ F^{1} ⊃ · · · .

Die zu X gehörende Spektralsequenz {E_{r}^{p}} erbt von X eine zusätzliche Graduierung, die allerdings so notiert wird, daß die „Dimension“ von E_{r}^{p,q} gleich p + q ist, q ist also ≥ −p. Insbesondere haben wir für n = p + q

E_{0}^{p,q} = F_{n}^{p}/F_{n}^{p+1};  E_{1}^{p,q} = H_{n}(F^{p}/F^{p+1}).

Der Bi-grad von d_{r} : E_{r} → E_{r} wäre in der „richtigen“ Notation (r, 1), in der neuen Notation aber (r, −r + 1), das heißt, daß

(1) d_{r} : E_{r}^{p,q} → E_{r}^{p+r,q−r+1}.

Aus dem Beweis von Proposition 1.2.1 ergibt sich sofort

Lemma 1.3.1 ([1, VIII 3.5]). Wenn die Filtrierung von X endlich ist, daß heißt, wenn es für alle n ein N gibt mit F_{n}^{N+1} = 0, konvergiert, für n = p + q, E_{r}^{p,q} endlich gegen H_{n}(F)^{p}/ H_{n}(F)^{p+1}.

1.4 Spektralsequenz eines Doppelkomplexes

Ein Doppelkomplex K besteht aus Objekten K_{p,q}, p, q ∈ N und Morphismen d′ : K_{p,q} → K_{p+1,q} und d′′ : K_{p,q} → K_{p,q+1} mit

d′^{2} = d′′^{2} = 0  und  d′d′′ + d′′d′ = 0.

Der totale Komplex Tot K besteht aus den Objekten

K_{n} = ⨁_{s+r=n} K_{s,r}

mit dem Differential d = d′ + d′′. Tot K hat zwei Filtrierungen

′K_{n}^{p} = ⨁_{\begin{matrix}s+r=n \\ s≥p \end{matrix}} K_{s,r}

und

′′K_{n}^{p} = ⨁_{\begin{matrix}s+r=n \\ r≥p \end{matrix}} K_{s,r}

{′E_{r}} und {′′E_{r}} seien die zugehörigen Spektralsequenzen. Nach Lemma 1.3.1 konvergieren beide in jeder Dimension endlich gegen Gr H Tot(K), wobei man jeweils H Tot(K) mit der richtigen Filtrierung versehen muß.

Proposition 1.4.1 ([1, VIII 9.1]). Es gilt

′E_{0}^{p,q} = K_{p,q}; ′E_{1}^{p,q} = H_{q}(K_{p,∗}, d′′); ′E_{2}^{p,q} = H_{p}(H_{q}(K, d′′), d′)

und entsprechend

′′E_{0}^{p,q} = K_{q,p}; ′′E_{1}^{p,q} = H_{q}(K_{∗,p}, d′); ′′E_{2}^{p,q} = H_{p}(H_{q}(K, d′), d′′)

Beweis. ′E_{0}^{p,q} = ′′E_{0}^{p,q} = K_{p,q} ist klar. Man rechnet leicht nach, daß ′d_{0} von d′′ und ′′d_{0} von ′d induziert werden. Daraus folgen die Formeln für ′E_{1} und ′′E_{1}. Ebenso rechnet man nach, daß ′d_{1} von ′d und ′′d_{1} von ′′d induziert wird, woraus der Rest folgt.

Wir vermerken noch die offensichtliche Tatsache:

Lemma 1.4.2. Die Graduierung von E_{r} ist positiv in dem Sinn, daß E_{r}^{p,q} = 0 für negative q.

Die Filtrierung von H Tot K hat in der Dimension die Länge n + 1:

H_{n} Tot K = (H_{n} Tot K)^{0} ⊃ (H_{n} Tot K)^{1} ⊃ ⋯ (H_{n} Tot K)^{n+1} = 0.

′E_{r}^{p,q} (bzw. ′′E_{r}^{p,q}) konvergiert endlich gegen (H_{p+q} Tot K)^{p}/(H_{p+q} Tot K)^{p+1}.

1.5 Spektralsequenzen im engeren Sinn

Ich nenne ein Spektralsequenz (E_{r}, d_{r}) eine Spektralsequenz im engerem Sinn, wenn die E_{r} eine positive Graduierung E_{r}^{p,q} haben, für die d_{r} den Grad (r, 1−r) hat.

E_{r} ⇒ X

soll bedeuten, daß X ein gefiltertes graduiertes Objekt mit X_{n}^{n+1} = 0 ist, und, wenn n = p + q,

E_{r}^{p,q} = E_{∞}^{p,q} = X_{n}^{p}/X_{n}^{p+1}

für genügend große r.

Wir halten eine solche Sequenz fest.

Lemma 1.5.1. Es gibt kanonische Epimorphismen (p > 0)

E_{2}^{p,0} ↠ E_{3}^{p,0} ↠ ⋯ ↠ E_{p+1}^{p,0} ≅ E_{∞}^{p,0}

und kanonische Monomorphismen

E_{1}^{0,q} ↢ E_{1}^{0,q} ↢ ⋯ ↢ E_{q+2}^{0,q} ≅ E_{∞}^{0,q}.

Beweis. Die Pfeile E_{r}^{p,0} ⟶^{d_{r}} sind Null, wenn r ≥ 2. Die ⟶^{d_{r}} E_{r}^{p,0} sind Null, wenn r ≥ p + 1. Daraus folgt die erste Behauptung.

Die ⟶^{d_{r}} E_{r}^{0,q} sind Null ab r = 1 und die E_{r}^{0,q} ⟶^{d_{r}} sind Null ab r = q + 2. Daraus folgt die zweite Behauptung.

Folgerung 1.5.2. Es gibt eine kanonische exakte Sequenz

0 → E_{2}^{1,0} ⟶^{α} X_{1} ⟶^{β} E_{2}^{0,1} ⟶^{d_{2}} E_{2}^{2,0} ⟶^{γ} X_{2}.

Beweis. • α ist E_{2}^{1,0} ≅ (X_{1})^{1} ↣ X_{1}.

• β ist X_{1} → X_{1}/X_{1}^{1} ≅ E_{3}^{0,1} ↣ E_{2}^{0,1}.

• γ ist E_{2}^{2,0} ↠ E_{3}^{2,0} ≅ (X_{2})^{2} ↣ X_{2}.

Man beweist analog für alle n ≥ 1 Lemma 1.5.3. Wenn E_{2}^{n−q,q} = E_{2}^{n+1−q,q} = 0 für alle q ∈ [1, n − 1], hat man eine exakte Sequenz

0 → E_{2}^{n,0} ⟶^{α} X_{n} ⟶^{β} E_{2}^{0,n} ⟶^{d_{n+1}} E_{2}^{n+1,0} ⟶^{γ} X_{n+1}.

2 Die Lyndon-Hochschild-Serre Spektralsequenz

2.1 C_{N}(G, A)

Sei G eine profinite Gruppe und A ein G–Modul. C_{1}(G, A) sei der Komplex, der gegeben ist durch C_{1}^{q}(G, A) = {x : G^{q+1} | x stetig} und

(∂x)(σ_{0}, …, σ_{q+1}) = ∑_{i=0}^{q+1}(−1)^{i}x(σ_{0}, …, σ̂_{i}, …, σ_{q+1}).

G operiert auf C_{1}(G, A) durch

(σx)(σ_{0}, …, σ_{q}) = σx(σ^{−1}σ_{0}, …, σ^{−1}σ_{q}).

∂ ist offenbar verträglich mit dieser Operation.

Sei N in abgeschlossener Normalteiler von G. Wir definieren den Subkomplex C_{N}(G, A) als C_{1}(G, A)^{N}. Offenbar ist C_{G}(G, A) = C(G, A). Lemma 2.1.1. C_{N}(G, A) ≅ C(G, M_{G}^{N}(A))

Dabei ist

M_{G}^{N}(A) = {f : G → A | f stetig und ∀ν ∈ N, σ ∈ G f(νσ) = νf(σ)} mit der Operation (τy)(σ) = y(στ). Beweis. Der Isomorphismus C_{N}^{q}(G, A) ≅ C(G^{q}, M_{G}^{N}(A)) ist gegeben durch x ⟷ y, wobei

y(σ_{0}, …, σ_{q})(σ) = x(σσ_{0}, …, σσ_{q})

und

x(σ_{0}, …, σ_{q}) = y(σ_{0}, …, σ_{q})(1).

Folgerung 2.1.2. H^{q}(N, A) = H^{q}(C_{N}(G, A)). Beweis. Es ist H^{q}(C_{N}(G, A)) = H^{q}(G, M_{G}^{N}(A)) und nach [3, II, 7.4] ist H^{q}(G, M_{G}^{N}(A)) = H^{q}(N, A).

Die C_{N}^{p}(G, A) sind auf natürliche Weise ein G/N–Modul. Lemma 2.1.3. Es ist

H^{0}(G/N, C_{N}^{p}(G, A))) = C^{p}(G, A)

und

H^{q}(G/N, C_{N}^{p}(G, A)) = 0

für alle q > 0.

Beweis. Die erste Behauptung ist klar. Sei also q > 0 und x ein Cozyklus aus C^{q}(G/N, C_{N}^{p}(G, A)). Um ein y in C^{q−1}(G/N, C_{N}^{p}(G, A)) zu definieren setzen wir

y(\overline{σ_{0}}, …, \overline{σ_{q−1}})(τ_{0}, …, τ_{p}) = x(\overline{σ_{0}}, …, \overline{σ_{q−1}}, \overline{τ_{0}})(τ_{0}, …, τ_{p}).

Daß y ∈ C_{N}^{p}(G, A)) ist, ist klar. Daß

y(σ̄\overline{σ_{0}}, …, σ̄\overline{σ_{q−1}}) = σ̄(y(\overline{σ_{0}}, …, \overline{σ_{q−1}})),

folgt aus

y(σ̄\overline{σ_{0}}, …)(τ_{0}, …) = x(σ̄\overline{σ_{0}}, …, \overline{τ_{0}})(τ_{0}, …)

= (σ̄(x(\overline{σ_{0}}, …, σ̄^{−1}\overline{τ_{0}}))(τ_{0}, …) = σ̄x(\overline{σ_{0}}, …, σ̄^{−1}\overline{τ_{0}})(σ^{−1}τ_{0}, …)

= σy(\overline{σ_{0}}, …, \overline{σ_{q−1}})(σ^{−1}τ_{0}, …) = (σ̄(y(\overline{σ_{0}}, …)))(τ_{0}, …).

Wir haben

0 = (∂x)(\overline{σ_{0}}, …, \overline{σ_{q}}, \overline{τ_{0}})(τ_{0}, …)

= ∑_{i=0}^{q}(−1)^{i}x(…, ˆ \overline{σ_{i}}, …, \overline{τ_{0}})(τ_{0}, …) + (−1)^{q+1}x(…, \overline{σ_{q}})(τ_{0}, …)

= (∂y)(\overline{σ_{0}}, …, \overline{σ_{q}})(τ_{0}, …) + (−1)^{q+1}x(…, \overline{σ_{q}})(τ_{0}, …).

Es folgt (−1)^{q}∂y = x.

2.2 Die Spektralsequenz

Satz 2.2.1. Sei N ein abgeschlossener Normalteiler der profiniten Gruppe G und A ein G-Modul. Dann gibt es eine Spektralsequenz (i.e.S.) {E_{r}^{p,q}}, mit

E_{2}^{p,q} = H^{p}(G/N, H^{q}(N, A)),

und (bei geeigneter Filtrierung)

E_{r} ⇒ H(G, A).

Beweis. Wir betrachten den Doppelkomplex

K_{r,s} = C^{r}(G/N, C_{N}^{s}(G, A)),

wobei d′ das Differential von C(G/N, −) ist und d′′ vom Differential von C_{N}(G, −) induziert wird.

{′E_{r}} ⇒ H Tot K  und  {′′E_{r}} ⇒ H Tot K.

seien die zugehörigen Spektralsequenzen. Wir setzen E_{r} =′ E_{r}.

Nach 1.4.1 ist

E_{2}^{p,q} = H_{p}(H_{q}(C(G/N, C_{N}(G, A)), d′′), d′).

Weil der Funktor C_{N}(G/N, −) exakt ist, ist

H_{q}(C(G/N, C_{N}(G, A)), d′′)  = C(G/N, H_{q}(C_{N}(G, A)))
(nach 2.1.2)  = C(G/N, H^{q}(N, A))

Es folgt

E_{2}^{p,q} = H_{p}(C(G/N, H^{q}(G, A)), d′) = H^{p}(G/N, H^{q}(N, A)).

Damit ist die erste Behauptung gezeigt.

Für die zweite Behauptung genügt es zu zeigen, daß H Tot K = H(G, A). Dazu berechnen wir zuerst {E_{r}}.

Aus 2.1.3 folgt

H_{q}(C(G/N, C_{N}(G, A)), d′) = \begin{cases}0 & , wenn q > 0 \\ C(G, A) & , wenn q = 0 \end{cases} .

Also ist

′′E_{2}^{p,q} = \begin{cases}0 & , wenn q > 0 \\ H^{p}(G, A) & , wenn q = 0. \end{cases}

Weil d_{2} den Bigrad (2, −1) hat, ist d_{2} = 0 und es folgt ′′E_{3} =′′ E_{2} und ebenso, daß ′′E_{r} = E_{2} für alle r ≥ 2. Halten wir ein n fest. Dann ist für genügend große r

Gr H^{n} Tot K = ⊕_{p=0}^{n}′′E_{r}^{p,n−q} = 0 ⊕ 0 ⊕ ⋯ ⊕ H^{n}(G, A)

und daher H^{n} Tot K = H^{n}(G, A).

Folgerung 2.2.2. Es gibt eine exakte Sequenz

0 → H^{1}(G/N, A) ⟶^{inf} H^{1}(G, A) ⟶^{res}

⟶^{res} H^{1}(N, A)^{G/N} ⟶^{d} H^{2}(G/N, A^{N}) ⟶^{inf} H^{2}(G, A).

Beweis. Aus 1.5.2.

Folgerung 2.2.3. Wenn H^{q}(N, A) = 0 für alle q ∈ [1, n−1], gibt es eine exakte Sequenz

0 → H^{n}(G/N, A) ⟶^{inf} H^{n}(G, A) ⟶^{res}

⟶^{res} H^{n}(N, A)^{G/N} ⟶^{d} H^{n+1}(G/N, A^{N}) ⟶^{inf} H^{n+1}(G, A).

Beweis. Aus 1.5.3.

Literatur

[1] P.J. Hilton and U. Stammbach. A Course in Homological Algebra, volume 4 of Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, Heidelberg, Berlin, 1970.

[2] Serge Lang. Algebra. Addison–Wesley Publishing Company, second edition, 1984.

[3] Luis Ribes. Introduction of Profinite Groups and Galois Cohomology. Number 24 in Queens’ papers in pure and applied mathematics. Queen’s University, Kingston, Ontario, 1970.