ANFÄNGE DER DIFFERENTIALALGEBRA

MARTIN ZIEGLER BOGOTA, MÄRZ 2002

Sei R ein kommutativer Ring und M ein R–Modul. Eine additive Abbildung d : R → M heißt Derivation, wenn

d(rs) = (dr)s + r(ds)

Wir betrachten hauptsächlich den Fall, daß M = S ein Oberring von R ist. Alle Ringe haben im Folgenden die Charakteristik 0.

Für einen Ring S betrachten wir den Ring der Dualzahlen

S[ϵ] = {a + bϵ | a, b ∈ S},

wobei ϵ^{2} = 0. Wir bezeichnen mit π die Restklassenabbildung S[ϵ] → S, die a + bϵ auf a abbildet.

Das folgende Lemma ist leicht zu zeigen:

Lemma 1. Sei S ein Oberring von R. Eine Derivation d : R → S liefert vermöge

t_{d}(r) = r + (dr)ϵ

einen Homomorphismus t_{d} : R → S[ϵ], der π umkehrt. Jeder solche Homomorphismus kommt von einer Derivation.

Lemma 2. Sei S ein Oberring des Polynomrings R′ = R[x_{1}, …, x_{n}] und d : R → S eine Derivation. Dann gibt es für jede Folge s_{1}, …, s_{n} von Elementen von S eine eindeutige Fortsetzung von d zu einer Derivation d′ : R′ → S die jedes x_{i} auf s_{i} abbildet.

Beweis. Setze t_{d} : R → S[ϵ] vermöge t_{d′}(x_{i}) = x_{i} + s_{i}ϵ zu einem Homomorphismus t_{d′} : R′ → S[ϵ] fort. □

Lemma 3. Sei R ein Unterring des Körpers S und R′ ein Zwischenkörper, der algebraisch über R ist. Dann läßt sich jede Derivation d : R → S eindeutig auf R′ fortsetzen.

Beweis. Es genügt zwei Fälle zu betrachten.

1. R′ ist der Quotientenkörper von R: a + bϵ ist eine Einheit in S[e], wenn a eine Einheit ist (das Inverse ist a^{−1} − ba^{−2})ϵ.) Also bildet t_{d} die Elemente ≠ 0 von R auf Einheiten von S[ϵ] ab und läßt sich daher eindeutig auf R′ fortsetzen.

2. R ist ein Körper und R′ = R[a] eine einfache algebraische Erweiterung: Sei f(x) das Minimalpolynom von a über R. Dann läßt sich t_{d} genau dann auf R′ fortsetzen, wenn (t_{d}f)(x) ein Nullstelle der Form a + bϵ in S[ϵ] hat. Nun ist aber (t_{d}f)(x) = f(x) + (f^{d}ϵ)(x) und daher

(1)  (t_{d}f)(a + bϵ) = f(a + bϵ) + f^{d}(a)ϵ = (\frac{∂f}{∂x} (a)b + f^{d}(a))ϵ.

Weil S die Charakteristik 0 hat, ist f separabel und daher \frac{∂f}{∂x}(a) ≠ 0 und d setzt sich vermöge

d′(a) = a − f^{d}(a)(\frac{∂f}{∂x} (a))^{−1}

auf R′ fort. □

Sei C = {c ∈ K | dc = 0} die Menge der Konstanten von K. Es ist klar, daß C ein Unterring ist, der 1 enthält. Aus dem Lemma folgt, daß C ein Unterkörper ist, der relativ algebraisch abgeschlossen in K ist.

Folgerung 4. Sei R ein Unterring des Körpers K. Dann läßt sich jede Derivation d : R → K zu einer Derivation von K fortsetzen. □

Bemerkung 5. Sei (K, d) ein Differentialkörper und F eine Körpererweiterung von K. a und b seien zwei Tupel gleicher Länge aus F. Das Ideal aller f ∈ K[x] mit f(a) = 0 sei von I_{0} erzeugt. Dann sind äquivalent:

a) Es gibt eine Fortsetzung von d auf F, sodaß da = b.

b) Für alle f ∈ I_{0} ist

\frac{∂f}{∂x} (a)b + f^{d}(a) = 0.

Beweis. Daß b) aus a) folgt, ist klar, weil

d(f(a)) = \frac{∂f}{∂x} (a)b + f^{d}(a).

Wenn wir die Umkehrung zeigen wollen, müssen wir den Homomorphismus t_{d} : K → F [ϵ] so auf K[a] fortsetzen, daß a auf a + bϵ abgebildet wird. Das geht genau dann, wenn (t_{d}f)(a + bϵ) = 0 für alle f ∈ I_{0}. Wegen (1) bedeutet das \frac{∂f}{∂x}(a)b + f^{d}(a) = 0. □

Definition. DCF_{0}, die Theorie der differentiell abgeschlossenen Körper, ist die Theorie der Differentialkörper (K, d) mit folgender Eigenschaft:

Sei f ∈ K[x_{0}, …, x_{n}] \ K[x_{0}, …, x_{n−1}] und g ∈ K[x_{0}, …, x_{n−1}] \ 0. Dann gibt es ein a ∈ K mit f(a, da, …, d^{n}a) = 0 und g(a, da, …, d^{n−1}a) ≠ 0.

Es ist klar, daß Modelle von DCF_{0} algebraisch abgeschlossen sind.

Satz 6.

(1) Jeder Differentialkörper läßt sich zu einem Modell von DCF_{0} erweitern.

(2) DCF_{0} ist vollständig und hat Quantorenelimination.

Beweis. Sei (K, d) ein Differentialkörper und f und g wie in der Definition. Wir können annehmen, daß f irreduzibel ist. f bestimmt eine Körpererweiterung F = K(t_{0}, …, t_{n−1}, a), in der die t_{i} über K algebraisch unabhängig sind und

f(t_{0}, …, t_{n−1}, b) = 0.

Nach Lemma 2 und 3 gibt es eine Fortsetzung der Derivation auf F mit dt_{i} = t_{i+1} und dt_{n−1} = b. Für a = t_{0} gilt also f(a, da, …, d^{n}a) = 0 und g(a, da, …, d^{n−1}a) ≠ 0. Auf diese Weise läßt sich leicht ein Modell von DCF_{0} als Vereinigung einer aufsteigenden Kette konstruieren.

Zum Beweis der Quantorenelimination nehmen wir einen Differentialkörper K mit zwei Erweiterungen F_{1} und F_{2}, die Modelle von DCF_{0} sind. Sei a ein Element von F_{1} und K{a} = K(a, da, d^{2}a, …) der von K und a erzeugte Differentialkörper. Wir müssen zeigen, daß sich K{a} über K in eine elementare Erweiterung von F_{2} einbetten läßt. Wir unterscheiden zwei Fälle.

1. Die Ableitungen a, da, d^{2}a, … sind algebraisch unabhängig über K: Weil F_{2} ein Modell von DCF_{0} ist, finden wir in einer elementare Erweiterung ein b, sodaß g(a, da, …, d^{n−1}a) ≠ 0 für alle n und alle g ∈ K[x_{0}, …, x_{n−1}] \ 0. Der durch d^{i}a ↦ d^{i}b definierte Isomorphismus zwischen K{a} und K{b} ist die gesuchte Einbettung.

2. Sei d^{n}a algebraisch über K(a, da, …, d^{n−1}a) und n minimal: Wähle ein irreduzibles f ∈ K[x_{0}, …, x_{n}] mit f(a, da, …, d^{n}a) = 0. In einer elementaren Erweiterung von F_{2} finden wir ein b mit f(b, db, …, d^{n}b) = 0 und g(b, ba, …, d^{n−1}b) ≠ 0 für alle g ∈ K[x_{0}, …, x_{n−1}]\0. Der Körperisomorphismus zwischen K_{1} = K(a, …, d^{n}a) und K_{2} = K(b, …, d^{n}b), der K festhält und d^{i}a auf d^{i}b abbildet, überführt offenbar die auf K(a, …, d^{n−1}a) eingeschränkte Derivation von F_{1} in die auf K(b, …, d^{n−1}b) eingeschränkte Derivation von F_{2}. Die Eindeutigkeitsaussage von Lemma 3 zeigt, daß (a) K_{1} und K_{2} unter der jeweiligen Derivation abgeschlossen sind und (b) daß K_{1} und K_{2} als Differentialkörper über K isomorph sind. □

Sei (F, d) ein saturiertes Modell von DCF_{0} und V ⊂ F^{n} eine irreduzible affine Varietät. Der Torsor T (V) ⊂ F^{2n} ist definiert durch die Gleichungen

f(x) = 0 und \frac{∂f}{∂x} (x)y + f^{d}(x) = 0

für alle f ∈ I(V)^{1}. Es ist klar, daß (a, da) ∈ T (V), für alle a ∈ V. Die Bemerkung 5 sagt, daß für jeden kleinen Teilkörper K, über dem V definiert ist, und jedes (a_{0}, b_{0}) ∈ T (V), für das a_{0} ∈ V generisch über K ist, es ein Paar (a, da) ∈ T (V) gibt, das über K denselben Körper–Typ hat wie (a, b). Das zeigt die eine Richtung der folgenden Äquivalenz.

Bemerkung 7 (Pillay). Ein algebraisch abgeschlossener Differentialkörper (K, d) ist genau dann ein Modell von DCF_{0}, wenn es für jede über K definierte irreduzible affine Varietät V und jeden regulären Schnitt^{2} s : V → T (V) ein a ∈ V (K) mit da = s(a) gibt.

Beweis. Wir zeigen, daß ein algebraisch abgeschlossener Differentialkörper (K, d) mit der angegeben Eigenschaft Modell der Axiome von DCF_{0} ist. Seien also f und g gegeben, f irreduzibel. Wie im Beweis von Satz 6 finden wir eine Körpererweiterung F = K(α, …, d^{n}α), in der α, …, d^{n−1}α über K algebraisch unabhängig sind und f(α, …, d^{n}α) = 0. Sei β das Inverse des Produkts g(α, …, d^{n−1}α)\frac{∂f}{∂x_{n}} (α, …, d^{n}α). Man überlegt sich, daß K[α, …, d^{n}α, β] unter d abgeschlossen ist. Mit der Abkürzung c = (α, …, d^{n}α, β), sei (c, dc) = s(c) für ein Tupel s von Polynomen aus K[x_{0}, …, x_{n+1}]. Wenn V ⊂ K^{n+1} die durch f = 0 definierte Varietät ist, definiert s einen Schnitt V → T (V). Nach Voraussetzung gibt es ein (a, b) ∈ V (K) mit (a, b, da, db) = s(a, b) Es folgt f(a, …, d^{n}a) = 0 und g(a, …, d^{n−1}a) ≠ 0. □

Bemerkung 8 (Lineare Differentialgleichungen). Sei K ein Modell von DCF_{0} und A eine n × n–Matrix mit Koeffizienten aus K. Die Lösungsmenge des Differentialgleichungssystems

(2)  dy = Ay

ist ein n–dimensionaler C–Vektorraum.

Beweis. Wähle in einer Erweiterung von K eine n×n–Matrix Y von Elementen, die über K algebraisch unabhängig sind. Lemma 2 zeigt, daß man d auf K(Y) vermöge dY = AY fortsetzen kann. Weil K existientiell abgeschlossen ist, gibt es also auch in K eine reguläre Matrix, die wir ebenfalls mit Y bezeichnen, mit dY = AY. Die Spalten von Y sind n linear unabhängige Lösungen von (2). Man nennt eine solche Matrix ein Fundamentalsystem der Differentialgleichung. Wir zeigen, daß sich jede Lösung y aus den Spalten von Y mit Koeffizienten aus C linear kombinieren läßt: Sei z eine Spalte aus K mit y = Y z. Dann folgt

1I(V) ist das Verschwindungsideal von V.

2der Projektion T (V) → V

AY z = d(Y z) = (dY)z + Y dz = AY z + Y dz.

Also ist Y dz = 0 und dz = 0. Die Elemente von z sind also Konstanten. □

Bemerkung 9. Sei K ein Differentialkörper und K′ eine Erweiterung von K. C und C′ seien die dazugehörigen Konstantenkörper. K und C′ sind linear disjunkt über C.

Beweis. a_{0}, …, a_{n} seien aus K und linear abhängig über C′. Dann sind die Spalten der Matrix

B = (\begin{matrix}a_{0} & … & a_{n} \\ da_{0} & … & da_{n} \\ ⋮ & & ⋮ \\ d^{n}a_{0} & … & d^{n}a_{n} \end{matrix})

linear abhängig. Sei m < n maximal, sodaß die Matrix

Y = (\begin{matrix}a_{0} & … & a_{m} \\ da_{0} & … & da_{m} \\ ⋮ & & ⋮ \\ d^{m}a_{0} & … & d^{m}a_{m} \end{matrix})

regulär ist. Wir wollen daraus schließen, daß a_{0}, …, a_{m+1} linear abhängig über C sind. Wir können also annehmen, daß n = m + 1. Wir haben dann, daß die letzte Zeile von B eine K–Linearkombination der ersten m + 1 Zeilen ist. Es folgt für eine m × m Matrix A, daß alle Spalten von Y und

z = ( a_{n} ; ⋮ ; d^{m}a_{n})

Lösungen der Differentialgleichung dy = Ay sind. Aus dem Beweis von Bemerkung 8 ergibt sich, daß z eine C–Linearkombination der Spalten von Y ist. □

Sei K ⊂ F eine Erweiterung von Differentialkörpern und a ein Element von F. Wir nennen den Transzendenzgrad von K{a} über K die Dimension von a über K. Es gibt nur einen quantorenfreien Typ über K mit unendlicher Dimension. Wenn die Dimension n ist, ist der Typ von a über K bestimmt durch das d–Minimalpolynom f von a über K: f ist irreduzibel in K[x_{0}, …, x_{n}] und f(a, …, d^{n}a) = 0.

Folgerung 10. DCF_{0} ist ω–stabil. Für Differentialkörper K und Elemente a ist

MR(a/K) ≤ dim(a/K).

Elemente unendlicher Dimension haben Morleyrang ω.

Beweis. Es gibt höchstens |K| viele d–Minimalpolynome über K, also auch höchstens |K| viele 1–Typen. Es folgt, daß DCF_{0} ω–stabil ist.

Wir können annehmen, daß K ω_{1}–saturiert ist. (Wenn nicht, setzen wir tp(a/K) nicht–forkend auf einen saturierten Körper fort. Der Rang bleibt dabei gleich und die Dimension wird nicht größer.) Wir zeigen MR(a/K) ≤ dim(a/K) durch Induktion über dim(a/K). Wenn dim(a/K) = 0, ist, a algebraisch über K und der Morleyrang 0. Sei dim(a/K) = n und f das Minimalpolynom von a über K. Die Typen über K, die f(x, …, d^{n}x) ≐ 0 enthalten, sind neben tp(a/K) nur noch Typen von kleinerer Dimension, also auch kleinerem Morleyrang als n. Daraus folgt (weil K genügend saturiert ist), daß tp(a/K) höchstens den Morleyrang n hat.

Wenn a unendliche Dimension über K hat, ist klar, daß sich die Typen d^{n}x = 0 gegen den Typ von a häufen. Diese Typen haben nach den nächsten Bemerkung jeweils Rang n. □

Bemerkung 11. a, …, d^{n−1}a seien algebraisch unabhängig über K und d^{n}a = 0. Dann ist MR(a/K) = n.

Beweis. Weil U(a/K) ≤ MR(a/K) ≤ n, genügt es zu zeigen, daß U(a/K) ≥ n. Wir zeigen das durch Induktion nach n. Die Behauptung ist klar für n = 0. Sonst ist nach Induktionsvoraussetzung U(da/K) ≥ n−1. Es gibt unendlich viele Konstanten c, für die a + c nicht algebraisch^{3} über K(da, …, d^{n−1}a) ist. Für alle diese c hat a + c denselben Typ über K wie a. Also ist a nicht algebraisch über K, da und es folgt

U(a/K) = U(a, da/K) ≥ U(a/K, da) + U(da/K) ≥ n.
□

Lemma 12. In Modellen von DCF_{0} ist der modelltheoretische algebraische Abschluß einer Menge A der algebraische Abschluß des von A erzeugten Differentialkörpers.

Beweis. Sei K_{0} ein algebraisch abgeschlossener Differentialkörper und a_{0} ein Element außerhalb von K_{0}. Wenn dim(a_{0}/K_{0}) unendlich ist, ist MR(a_{0}/K_{0}) unendlich, also ist a_{0} nicht modelltheoretisch–algebraisch über K_{0}. Wenn dim(a_{0}/K_{0}) = n, betrachten wir das Minimalpolynom f von a_{0} über K_{0}. Sei K_{1} eine d-abgeschlossene Erweiterung von K_{0}, die a_{0} enthält. f bleibt über K_{1} irreduzibel und es gibt ein a_{1}, das über K_{1} das Minimalpolynom f hat. Jetzt erweitert man K_{1} zu K_{2}, das a_{1} enthält, usw. Auf diese Weise findet man eine unendliche Folge von verschiedenen Elementen, die alle denselben Typ über K_{0} wie a_{0} haben. Also ist a_{0} nicht modelltheoretisch–algebraisch über K_{0}. □

Das Lemma ist ein Spezialfall des folgenden Satzes.

Satz 13. K ⊂ F_{1}, F_{2} seien Differentialkörper in einem großen Modell von DCF_{0}. Dann ist F_{1} | ⌣_{K} F_{2} genau dann, wenn F_{1} und F_{2} algebraisch unabhängig über K sind.

Beweis. Daß F_{1} | ⌣_{K} F_{2} algebraische Unabhängigkeit impliziert, folgt leicht aus Lemma 12. Für die Umkehrung können wir annehmen, daß K algebraisch abgeschlossen ist. Seien also F_{1} und F_{2} algebraisch unabhängig über K. Wir wählen eine Kopie F′ von F_{1}, die über K den gleichen Typ hat und die forkingunabhängig von F_{2} über K ist. Dann ist F′ auch algebraisch unabhängig von F_{2} über K. Weil K algebraisch abgeschlossen ist, haben F′ und F_{1} den gleichen körpertheoretischen Typ über F_{2}. Weil F′, F_{1} und F_{2} d-abgeschlossen sind und F′ und F_{1} als d-Körper isomorph sind, haben F′ und F_{1} denselben Typ über F_{2}. Daraus folgt F_{1} | ⌣_{K} F_{2}. □

Satz 14. DCF_{0} eliminiert Imaginäre.

3im modelltheoretischen Sinn

Beweis. In Körpern genügt es, schwache Imaginärenelimination zu beweisen. Wir zeigen dazu, daß jeder stationäre Typ eine kanonische Basis hat.^{4} Sei ℂ das Monstermodell und p = tp(a/ℂ) ein Typ. Die kanonische Basis Cb_{field}(a, da, d^{2}, … /ℂ) im Körpersinn funktioniert auch als kanonische Basis von p.

□

4Das genügt: Sei a/E ein Imaginäres. Sei α der Morleyrang der Formel aEx. p_{1}, …, p_{n} seien die globalen Typen, die aEx enthalten und Morleyrang α haben. Ein Automorphismus fixiert a/E genau dann, wenn er die p_{i} permutiert. Sei C die Vereinigung der kanonischen Basen der p_{i}. Dann ist C ∈ acl(a/E) und a/E ∈ dcl(C).