Hrushovskis Fusion^{∗}

A. Baudisch, A. Martin-Pizarro, M. Ziegler

4. März 2007

Wir betrachten zwei abzählbare streng–minimale Theorien T_{1} und T_{2} mit definierbarem Morleygrad, formuliert in zwei disjunkten Sprachen L_{1} und L_{2}. Wir beweisen in diesem Artikel den folgenden Satz von E. Hrushovski.

Satz 0.1 ([2]). T_{1} ∪ T_{2} hat eine streng minimale Vervollständigung T^{μ}. Die Modelle M von T^{μ} haben die folgenden Eigenschaft: tr_{i} bezeichne den Transzendenzgrad im Sinn von T_{i}. Dann ist für jede endliche Teilmenge A von M

|A| ≤ tr_{1}(A) + tr_{2}(A).

1 Codes

Sei T eine abzählbare streng-minimale Theorie mit definierbarem Morleygrad.

Wir verwenden die folgenden Bezeichnungen: tr(a/B) ist der Transzendenzgrad von a über B^{1}. MR(p) ist der Morleyrang des Typs p. Wir haben also

tr(a/B) = MR(tp(a/B)).

Wir schreiben

ϕ(x) ∼^{k} ψ(x)

oder ϕ(x) ∼_{x}^{k} ψ(x), wenn der Morleyrang der symmetrischen Differenz von ϕ und ψ kleiner als k ist.

Wir nennen eine Formel χ(x, b) einfach, wenn sie Morleygrad 1 hat und wenn die Komponenten einer generischen Realisierung nicht zu acl(b) gehören und paarweise verschieden sind. Wenn a ein n–Tupel ist und s eine Teilmenge von {1, …, n}, dann ist a_{s} = {a_{i} | i ∈ s}.

Ein Code c ist eine parameterfreie Formel

ϕ_{c}(x, y),

wobei |x| = n_{c}, y über eine Sorte von T^{eq} läuft, mit den folgenden Eigenschaften.

(i) ϕ_{c}(x, b) ist leer^{2} oder eine einfache Formel. ϕ_{c}(x, b) impliziert, daß die Komponenten von x paarweise verschieden sind.

∗fusion2.tex,v 2.20, 4. März 2007. Die englische Version blackfusion.tex,v 1.19 hat eine ausführliche Einleitung und Literaturhinweise.

1Die maximale Länge eines über B algebraisch unabhängigen Teiltupels von a.

2Wir nehmen immer an, daß wenigstens ein ϕ_{c}(x, b) nicht leer ist.

(ii) Alle nicht–leeren ϕ_{c}(x, b) haben den selben Morleyrang k_{c} und Morleygrad 1.

(iii) Für jede Teilmenge s von {1, …, n_{c}} gibt es eine Zahl k_{c,s}, sodaß für jede Realisierung a von ϕ_{c}(x, b)

tr(a/ba_{s}) ≤ k_{c,s}.

Wenn a generisch ist, tritt Gleichheit ein.

(iv) Wenn ϕ_{c}(x, b) und ϕ_{c}(x, b′) nicht–leer sind und ϕ_{c}(x, b) ∼^{k_{c}} ϕ_{c}(x, b′), ist b = b′.

Die Einfachheit von ϕ_{c}(x, b) drückt sich in (iii) durch k_{c,{i}} = k_{c} − 1 aus. Die Forderung in (ii), daß alle ϕ_{c}(x, b) den gleichen Morleyrang k_{c} haben, bedeutet k_{c,∅} = k_{c}. Daß der Morleygrad 1 ist, folgt natürlich schon aus der Einfachheit in (i).

Folgerung 1.1. Sei p ∈ S(b) der Typ vom Morleyrang k_{c}, der ϕ_{c}(x, b) enthält. Dann ist b kanonische Basis von p.

Beweis. Das folgt sofort aus (iv).

Lemma 1.2. Sei χ(x, d) eine einfache Formel. Dann gibt es einen Code c und ein b_{0} ∈ dcl^{eq}(d), sodaß χ(x, d) ∼^{k_{c}} ϕ_{c}(x, b_{0}).

Wir sagen, daß c die Formel χ(x, d) codiert.

Beweis. Setze k_{c} = MR(χ(x, d)) und n_{c} = |x|. Sei p der globale Typ vom Rang k_{c}, der χ(x, d) enthält, mit kanonischer Basis b_{0}. p enthält eine Formel ϕ(x, b_{0}) von Rang k und Grad 1. Sei a_{0} eine generische Realisierung von ϕ(x, b_{0}). Für s ⊂ {1, …, n_{c}} setzen wir k_{c,s} = MR(a_{0}/b_{0}a_{0}_{s}). Wenn wir ϕ(x, b_{0}) etwas verstärken, können wir annehmen, daß ϕ_{c}(a, b_{0}) impliziert, daß die Komponenten von a paarweise verschieden sind und daß tr(a/b_{0}a_{s}) ≤ k_{c,s} und tr(a_{s}/b_{0}) ≤ (k_{c} − k_{c,s}) für alle Realisierungen a von ϕ(x, b_{0}).

Betrachte folgende Eigenschaft E(b, b′):

• ϕ(x, b) impliziert, daß die Komponenten von x paarweise verschieden sind.

• ϕ(x, b) hat Morleyrang k_{c} und Morleygrad 1.

• tr(a/ba_{s}) ≤ k_{c,s} und tr(a_{s}/b) ≤ (k_{s} − k_{c,s}) für alle Realisierungen a von ϕ(x, b).

• ϕ(x, b) ∼^{k_{c}} ϕ(x, b′) impliziert b = b′.

E gilt für alle b, b′, die den gleichen Typ wie b_{0} haben. Andererseits ist E definierbar durch eine unendliche Disjunktion von Formeln ϵ(y, y′). Es gibt also ein θ(y) ∈ tp(b_{0}), sodaß ⊧ θ(y) ∧ θ(y′) → E(y, y′). Setze

ϕ_{c}(x, y) = ϕ(x, y) ∧ θ(y).

Sei a eine generische Realisierung von ϕ_{c}(x, b). Dann folgt aus tr(a/ba_{s}) ≤ k_{c,s}, tr(a_{s}/b) ≤ (k_{c} − k_{c,s}) und tr(a/b) = k_{c}, daß tr(a/ba_{s}) = k_{c,s}. Aus der Einfachheit von χ(x, d) folgt k_{c,{i}} < k_{c} für alle i. Das wiederum impliziert, daß alle nicht–leeren ϕ_{c}(x, b) einfach sind.

Sei c ein Code, ϕ_{c}(x, b) nicht–leer und p ∈ S(b) der durch ϕ_{c}(x, b) bestimmte Typ vom Rang k_{c}. Dann ist b im definierbaren Abschluß einer genügend langen Morleyfolge von p. Sei m_{c} eine obere Schranke für die Längen dieser Morleyfolgen.

Lemma 1.3. Für jeden Code c und jedes μ ≥ m_{c} −1 gibt es eine parameterfreie Formel Ψ_{c}(x_{0}, …, x_{μ}, y) mit folgenden Eigenschaften.

(v) Sei e_{0}, …, e_{μ} eine Morleyfolge von ϕ_{c}(x, b). Dann ist ⊧ Ψ_{c}(e_{0}, …, e_{μ}, b).

(vi) Sei e_{0}, …, e_{μ}, b eine Realisierung von Ψ_{c}. Dann sind die e_{i} paarweise disjunkte Realisierungen von ϕ_{c}(x, b).

(vii) Sei e_{0}, …, e_{μ}, b eine Realisierung von Ψ_{c}. Dann ist b im definierbaren Abschluß von je m_{c}–vielen der e_{i}.

Wir sagen dafür “x_{0}, …, x_{μ} ist Pseudomorleyfolge von c über y”.

Beweis. Die Eigenschaft “(e_{i}) ist eine Morleyfolge von ϕ_{c}(x, b)” läßt sich durch einen partiellen Typ M(e_{0}, …, b) beschreiben, die Eigenschaften (vi) und (vii) durch eine unendliche Disjunktion D(e_{0}, …, b). Weil die nicht–leeren ϕ_{c}(x, b) einfach sind, gilt ⊧ M → D. Ein genügend großer Teil Ψ_{c} von M hat also die gewünschten Eigenschaften.

Wir wählen für jeden Code (und jedes μ) vorläufig^{3} eine Formel Ψ_{c}.

Sei c ein Code und σ eine Permutation von {1, …, n_{c}}. Dann ist auch c^{σ}, definiert durch

ϕ_{c^{σ}}(x^{σ}, y) = ϕ_{c}(x, y),

ein Code und

Ψ_{c^{σ}}(x̄^{σ}, y) = Ψ_{c}(x̄, y)

definiert Pseudomorleyfolgen von c^{σ}.

Wir nennen zwei Codes c und c′ äquivalent, wenn n_{c} = n_{c′}, m_{c} = m_{c′} und

• Es gibt für alle b ein b′, sodaß (in T) ϕ_{c}(x, b) ≡ ϕ_{c′}(x, b′) und Ψ_{c}(x̄, b) ≡ Ψ_{c′}(x̄, b′).

• Das gleiche für c und c′ vertauscht.

Satz 1.4. Es gibt eine Menge C von Codes, sodaß:

(viii) Jede einfache Formel wird durch genau ein c ∈ C codiert.

(ix) Für alle c ∈ C und alle Permutationen σ ist c^{σ} äquivalent zu einem Code in C.^{4}

In [2] wird statt (ix) gefordert, daß C unter Permutationen abgeschlossen ist. Eine solche Menge von Codes kann es nicht geben.

3Im Beweis von 1.4 wird diese Wahl abgeändert.

4Wir finden sogar ein C, für das jedes c^{σ} zu einer Permutation von c äquivalent ist, die zu C gehört.

Beweis. Wir fixieren ein abzählbares ω–saturiertes Modell M von T und eine Liste χ_{i}, i = 1, 2, …, aller einfachen Formeln mit Parametern in M. Es genügt zu zeigen, daß sich alle χ_{i} durch ein c ∈ C kodieren lassen. Wir konstruieren C als die Vereinigung einer Folge ∅ = C_{0} ⊂ C_{1} ⊂ ⋯ von endlichen Menge. Nehmen wir an, daß C_{i−1} schon definiert ist und daß C_{i−1} im Sinn von (ix) unter Permutationen abgeschlossen ist. Wenn χ_{i} durch ein Element von C_{i−1} kodiert werden kann, setzen wir C_{i} = C_{i−1}. Sonst wählen wir einen Code c und b_{0} mit ϕ_{c}(x, b_{0}) ∼^{k_{c}} χ_{i}. Wir ersetzen ϕ_{c} durch

ϕ_{c}(x, y) ∧ “ϕ_{c}(x, y) hat keinen Code in C_{i−1}”

und erhalten einen neuen Code, der immer noch χ_{i} kodiert. Wir können also annehmen, daß keine Permutation von c eine Formel kodiert, die auch von einem Element von C_{i−1} kodiert werden kann. Sei nun G die Gruppe aller Permutationen σ ∈ Sym(n_{c}) mit

ϕ_{c}(x, b_{0}) ∼^{k_{c}} ϕ_{c^{σ}}(x, b′_{0}))

für ein b′_{0}, das denselben Typ wie b_{0} hat. b′_{0} ist eindeutig bestimmt und darum eine ∅-definierbare Funktion von b_{0}. Wir schreiben b′_{0} = b_{0}^{σ}.

Wenn wir einen geeigneten Teil des Typs p von b_{0} zu ϕ_{c}(x, y) hinzufügen^{5}, können wir annehmen, daß für alle b, für die ϕ_{c}(x, b) nicht–leer ist und alle σ es genau dann ein b^{σ} mit ϕ_{c}(x, b) ∼^{k_{c}} ϕ_{c^{σ}}(x, b^{σ}) gibt, wenn σ ∈ G.

Man sieht leicht, daß

ϕ_{d}(x, y) = ⋀_{σ∈G} ϕ_{c^{σ}}(x, y^{σ})

einen Code ist, der immer noch χ_{i} kodiert, und daß

Ψ_{d}(x̄, y) = ⋀_{σ∈G} Ψ_{c^{σ}}(x̄, y^{σ})

Pseudomorleyfolgen von d definiert.

Außerdem gilt für alle σ ∈ G ϕ_{d}(x, y) ≡ ϕ_{d^{σ}}(x, y^{σ}) und Ψ_{d}(x̄, y) ≡ Ψ_{d^{σ}}(x̄, y^{σ}), was zeigt, daß d und d^{σ} äquivalent ist. Schließlich wählen wir ein Vertretersystem ρ_{1}, …, ρ_{r} für die Rechtsnebenklassen von G in Sym(n_{c}) und setzen C_{i} = C_{i−1} ∪ {d^{ρ_{1}}, …, d^{ρ_{r}}}.

2 Die δ–Funktion

Wir betrachten zwei streng–minimale Theorien^{6} T_{1} und T_{2}, formuliert in zwei disjunkten Sprachen T_{1} und T_{2}.

Wenn wir die T_{i} durch ihre Morleyisierung ersetzen, sehen wir, daß wir das folgende annehmen können.

ρ(y) = ⋀_{σ∈G} ρ′(b^{σ}) ∧ ⋀_{σ∉G} ¬ρ′(b^{σ})

5 Wähle ein ρ′(y) ∈ tp(b_{0}), sodaß ⊧ ¬ρ′(b_{0}^{σ}) alle σ ∉ G. Der gesuchte Teil von p ist

6In diesem Abschnitt werden Abzählbarkeit und DMP nicht verwendet.

QE-Hypothese. T_{1} und T_{2} haben Quantorenelimination. Die Sprachen L_{i} sind relational.

Wir nehmen außerdem an, daß für T_{1}–Codes und T_{2}–Codes c die ϕ_{c} und Ψ_{c} quantorenfrei sind. T_{i} Typen tp_{i}(a/B) werden quantorenfrei aufgefaßt. Wir werden diese Annahme erst in Abschnitt 6 aufgeben.

Sei K die Klasse aller Modelle von T_{1}^{∀} ∪ T_{2}^{∀}. Wir lassen auch ∅ als ein Element von K zu. Wenn die ℂ_{i} die Monstermodelle von T_{i} sind, kann man die Strukturen aus K gleichzeitig als Teilmengen von ℂ_{1} und als Teilmengen von ℂ_{2} auffassen.

Für endliche A ∈ K sei

δ(A) = tr_{1}(A) + tr_{2}(A) − |A|.

Es gilt

δ(∅) = 0 (1) δ({a}) ≤ 1 (2) δ(A ∪ B) + δ(A ∩ B) ≤ δ(A) + δ(B) (3)

Wenn A \ B endlich ist, setzen wir

δ(A/B) = tr_{1}(A/B) + tr_{2}(A/B) − |A \ B|.

Wenn auch B endlich ist, gilt δ(A/B) = δ(A ∪ B) − δ(B).

B ist stark in A, wenn B ⊂ A und δ(A′/B) ≥ 0 für alle endlichen A′ ⊂ A. Wir schreiben dafür

B ≤ A.

Sei a ∈ A. a ist algebraisch über B ⊂ A, wenn a im Sinn von T_{1} oder im Sinn von T_{2} algebraisch über B ist. A heißt transzendent über B, wenn kein a ∈ A \ B algebraisch über B ist.

Eine echte starke Erweiterung B ≤ A heißt minimal, wenn B ≤ A′ ≤ A für kein A′, das echt zwischen B und A liegt.

Lemma 2.1. B ≨ A ist genau dann minimal, wenn δ(A/A′) < 0 für alle A′, die echt zwischen B und A liegen.

Beweis. Die eine Richtung ist klar, weil aus A′ ≤ A folgt, daß δ(A/A′) ≥ 0. Umgekehrt, wenn δ(A/A′) ≥ 0 für ein A′, wählen wir ein A′, für das δ(A/A′) maximal ist. Dann ist A′ ≤ A und A ist nicht minimal über B.

Man beachte, daß für minimale Erweiterungen A \ B endlich ist.

Lemma 2.2. B ≤ A sei eine minimale Erweiterung von Elementen aus K. Dann gibt es drei Fälle:

(I) δ(A/B) = 0, A = B ∪ {a} für ein Element a ∈ A \ B. a ist algebraisch über B. ( algebraische minimale Erweiterung )

(II) δ(A/B) = 0, A transzendent über B. ( präalgebraische minimale Erweiterung )

(III) δ(A/B) = 1, A = B ∪ {a} für ein a, das transzendent über B ist. ( transzendente minimale Erweiterung )

Man beachte, daß im präalgebraischen Fall |A \ B| ≥ 2.

Beweis. Wenn A \ B ein algebraisches Element a enthält, ist δ(a/B) = 0. Daraus folgt B ∪ {a} = A.

Wenn A/B transzendent ist, gibt es zwei Fälle. Wenn δ(A/B) = 0 ist die Erweiterung präalgebraisch minimal. Sonst ist δ(A′/B) ≥ 1 für jedes A ⊊ A′ ⊂ A. Für ein beliebiges a ∈ A \ B ist also B ∪ {a} ≤ A und darum B ∪ {a} = A.

Wir definieren K^{0} ⊂ K durch

K^{0} = {M ∈ K | ∅ ≤ M}.

Man sieht leicht, daß sich K^{0} durch eine Menge von universellen L_{1} ∪ L_{2}–Sätzen axiomatisieren läßt. Die folgenden beiden Lemmas folgen leicht aus (1), (2) und (3).

Lemma 2.3. Sei M in K^{0} festgehalten und A eine endliche Teilmenge von M. Setze

d(A) = min_{A⊂A′⊂M} δ(A′).

Dann ist d die Dimensionsfunktion einer Prägeometrie. Das heißt, d erfüllt (1), (2), (3) und

d(A) ≥ 0 (4) A ⊂ B ⇒ d(A) ≤ d(B) (5)

Lemma 2.4. Sei M ∈ K^{0} und A eine endliche Teilmenge M. Sei A′ eine minimale Obermenge von A mit δ(A′) = d(A). Dann ist A′ die kleinste starke Teilmenge cl(A) von M, die A enthält, der Abschluß von A.

3 Präalgebraische Codes

Ab jetzt sind T_{1} und T wie Satz 0.1, also streng minimal, abzählbar, mit der DMP. Wir nehmen, wie auch in den nächsten beiden Abschnitten (4,5), die QE-Hypothese von Abschnitt 2 an.

Wir fixieren für T_{i} eine Menge C_{i} von Codes wie in Satz 1.4. Ein präalgebraischer Code c = (c_{1}, c_{2}) besteht aus einem Code c_{1} ∈ C_{1} und einem Code c_{2} ∈ C_{2} mit den folgenden Eigenschaften:

• n_{c} := n_{c_{1}} = n_{c_{2}} = k_{c_{1}} + k_{c_{2}}

• Für jede echte, nicht–leere Teilmenge s von {1, …, n_{c}} ist

k_{c_{1},s} + k_{c_{2},s} − (n_{c} − |s|) < 0

Wir setzen m_{c} = max(m_{c_{1}}, m_{c_{2}}). Man beachte, daß die Einfachheit der ϕ_{c_{i}}(x, b) impliziert, daß

n_{c} ≥ 2.

Für jede Permutation σ ist auch

c^{σ} = (c_{1}^{σ}, c_{2}^{σ})

ein präalgebraischer Code.

T_{1}^{eq} und T_{2}^{eq} haben nur nur die Home-Sorte gemeinsam. Wir meinen darum mit b ∈ dcl^{eq}(B) ein Paar b = (b_{1}, b_{2}) mit b_{i} ∈ dcl^{eq}_{i}(B) für i = 1, 2. Analog verwenden wir acl^{eq}(B). Eine (generische) Realisierung von ϕ_{c}(x, b) (über B) ist für i = 1, 2 eine (generische) Realisierung von ϕ_{c_{i}}(x, b_{i}) (über B) in Sinn von T_{i}. Eine Morleyfolge von ϕ_{c}(x, b) ist ein Morleyfolge gleichzeitig von ϕ_{c_{1}}(x, b_{1}) und ϕ_{c_{2}}(x, b_{2}). Eine Pseudomorleyfolge von c über b realisiert gleichzeitig Ψ_{c_{1}}(x̄, b_{1}) und Ψ_{c_{2}}(x̄, b_{2}). M ist unabhängig von A über B, wenn M ist unabhängig von A über B im Sinn von T_{1} und von T_{2} ist.

Lemma 3.1. Sei B ≤ B ∪ {a_{1}, …, a_{n}} eine präalgebraische minimale Erweiterung und a = (a_{1}, …, a_{n}). Dann gibt es einen präalgebraischen Code c und b ∈ acl^{eq}(B), sodaß a generische Realisierung von ⊧ ϕ_{c}(a, b) ist.

Beweis. Sei i ∈ {1, 2} festgehalten. Wähle d_{i} ∈ acl^{eq}_{i}(B), sodaß tp_{i}(a/Bd_{i}) stationär wird und χ_{i}(x, d_{i}) ∈ tp_{i}(a/Bd_{i}) mit Morleyrang MR_{i}(a/Bd_{i}) und Morleygrad 1. Weil A/B transzendent ist, ist χ_{i}(x, d_{i}) einfach. Wähle einen T_{i}– Code c_{i} ∈ C_{i} und ein b_{i} ∈ dcl^{eq}_{i}(d_{i}) mit χ_{i}(x, d_{i}) ∼^{k_{c_{i}}} ϕ_{c_{i}}(x, b_{i}). Aus δ(A/B) = 0 folgt, k_{c_{1}} + k_{c_{2}} = n; aus 2.1 folgt k_{c_{1},s} + k_{c_{2},s} − (n − |s|) < 0.

Das nächste Lemmas beweist man ähnlich.

Lemma 3.2. Sei B ∈ K, c ein präalgebraischer Code und b ∈ acl^{eq}(B). a = (a_{1}, …, a_{n_{c}}) sei eine generische Realisierung von ϕ_{c}(x, b) über B. Dann ist B ∪ {a_{1}, …, a_{n_{c}}} eine präalgebraische minimale Erweiterung von B.

Man beachte, daß der Isomorphietyp von a über B eindeutig bestimmt ist.

Lemma 3.3. Seien B ⊂ A aus K, c ein präalgebraischer Code, b aus acl^{eq}(B) und a ∈ A eine Realisierung von ϕ_{c}(x, b) in A, die nicht ganz in B liegt. Dann ist

1. δ(a/B) ≤ 0.

2. Wenn δ(a/B) = 0, ist a eine generische Realisierung von ϕ_{c}(x, b) über B.

Beweis. Sei s = {i|a_{i} ∈ B}. Weil a nicht ganz in B liegt, ist s eine echte Teilmenge von {1, …, n_{c}}. Es folgt

δ(a/B) = tr_{1}(a/B) + tr_{2}(a/B) − (n − |s|) ≤ k_{c_{1},s} + k_{c_{2},s} − (n − |s|)

Wenn s ≠ ∅, ist die rechte Seite negativ. Wenn s = ∅, haben wir

δ(a/B) = tr_{1}(a/B) + tr_{2}(a/B) − n ≤ k_{c_{1}} + k_{c_{2}} − n = 0

δ(a/B) = 0 impliziert also tr_{i}(a/B) = k_{c_{i}}.

Lemma 3.4. M ≤ N eine Erweiterung von Strukturen in K und e_{0}, …, e_{μ} ∈ N eine Pseudomorleyfolge von c über b. Dann trifft eine der beiden folgenden Aussagen zu.

• b ∈ dcl^{eq}(M)

• Wenigstens μ − n_{c}m_{c} + 1 viele der e_{i} liegen in N \ M.

Beweis. Wir ordnen die e_{i} so um, daß e_{0}, …, e_{r_{0}−1} in M liegen und e_{r_{1}}, …, e_{μ(c)} in N \M. Es ist 0 ≤ r_{0} ≤ r_{1} ≤ μ(c)+1. Vielleicht bilden die e_{i} keine Pseudomorleyfolge mehr, sie sind aber immer noch disjunkte Realisierungen von ϕ_{c}(x, b). Wenn wir annehmen, daß b ∉ dcl^{eq}(M), folgt aus (vii), daß r_{0} < m_{c}. Wir müssen zeigen, daß r_{1} ≤ m_{c}n_{c}. Dazu können wir annehmen, daß m_{c} ≤ r_{1}.

Betrachte δ(i) = δ(e_{i}/Me_{0} ⋯ e_{i−1}). Für alle i < r_{1}, haben wir die grobe Abschätzung^{7} δ(i) ≤ (n_{c} − 1). Wenn m_{c} ≤ i < r_{1}, folgt aus b ∈ dcl^{eq}(Me_{0} ⋯ e_{i−1}) und 3.3, daß δ(i) < 0. Das ergibt

0 ≤ δ(e_{0} ⋯ e_{r_{1}−1}/M) = ∑_{i<r_{1}} δ(i) = ∑_{i<m_{c}} δ(i) + ∑_{m_{c}≤i<r_{1}} δ(i)
≤ m_{c}(n_{c} − 1) − (r_{1} − m_{c}).

Daraus folgt die Behauptung.

4 Die Klasse K^{μ}

Sei μ^{∗} eine Funktion, die jedem präalgebraischen Code c eine natürliche Zahl zuordnet. Wir nehmen an, daß

• μ^{∗}(c) ≥ m_{c} − 1

• für jedes Tripel l, m, n mit m > 0 gibt es nur endlich viele c mit μ^{∗}(c) = l, m_{c} = m und n_{c} = n. (Man findet μ^{∗}, weil es nur abzählbar viele Codes gibt.)

• μ^{∗}(c) = μ^{∗}(d), wenn c äquivalent zu einer Permutation von d ist^{8}.

Wir definieren dann

μ(c) = m_{c}n_{c} + μ^{∗}(c)

Wir vermerken, daß μ(c) ≥ m_{c}.

Im folgenden ist eine Pseudomorleyfolge immer ein Pseudomorleyfolge der Länge μ(c)+1 für einen präalgebraischen Code c. Wenn (e_{i}) eine Pseudomorleyfolge, folgt aus (ix), daß für jede Permutation σ auch (e_{i}^{σ}) ein Pseudomorleyfolge ist.

Die Klasse K^{μ} ist die Klasse aller M ∈ K^{0}, die keine Pseudomorleyfolge enthalten.

7Es gilt immer δ(A/B) ≤ |A/B|.

8Man beachte, daß jeder Code zu höchstens einem präalgebraischen Code äquivalent sein kann.

Lemma 4.1. Sei B eine endliche starke Teilmenge von M ∈ K^{μ}, A/B eine präalgebraisch minimale Erweiterung. Dann enthält M nur endliche viele B– isomorphe Kopien von A.

Beweis. Sei A = B ∪{a} für ein Tupel a. Sei d ∈ acl^{eq}(B), sodaß die tp_{i}(a/Bd_{i}) stationär sind. Es genügt zu zeigen, daß für alle solchen d tp_{1}(a/Bd_{1})∪tp_{2}(a/Bd_{2}) nur endlich viele Realisierungen in M hat. Dazu wählen wir (mit 3.1) einen präalgebraischen Code c und ein b ∈ acl^{eq}(B) mit ⊧ ϕ_{c}(a, b). Wir zeigen, daß ϕ_{c}(x, b) in M nur endlich viele Realisierungen hat. Sonst gäbe es mehr als μ(c)– viele solche Realisierungen e_{i}, sodaß e_{i} ∉ B ∪ {e_{0}, …, e_{i−1}}. Aus 3.3 folgt nun, daß die e_{i} eine Morleyfolge von ϕ_{c}(x, b) über B sind, und aus (v) folgt, daß sie eine Pseudomorleyfolge von c über b bilden. Widerspruch.

Folgerung 4.2. Sei B ≤ M ∈ K^{μ}, B ⊂ A endlich mit δ(A/B) = 0 . Dann gibt es nur endlich viele A′ mit B ≤ A′ ⊂ M, die über B zu A isomorph sind.

Beachte, daß automatisch A′ ≤ M.

Beweis. Zerlege die Erweiterung A/B in eine Folge von minimalen Erweiterungen.

Folgerung 4.3. Sei B endliche Teilmenge von M ∈ K^{μ}. Dann ist der d– Abschluß von B:

cl_{d}(B) = {x ∈ M| d(Bx) = d(B)}

höchstens abzählbar.

Beweis. cl_{d}(B) ist die Vereinigung aller endlichen A′ ⊂ M mit cl(B) ⊂ A′ und δ(A′/ cl(B)) = 0.

Lemma 4.4. Wenn M ∈ K^{μ}, M ≤ N und |N \ M| = 1, dann gehört auch N zu K^{μ}.

Beweis. Sei (e_{i}) eine Pseudomorleyfolge von c über b in N. Höchsten eins der e_{i} liegt nicht in M. Weil μ(c) ≥ m_{c}, ist b ∈ dcl^{eq}(M). Aus 3.3 folgt jetzt, daß die e_{i} ganz in M oder ganz in N \ M liegen. Das letztere ist aber nicht möglich, weil n_{c} ≥ 2. Also liegt (e_{i}) ganz in M. Widerspruch.

Satz 4.5. K^{μ} (und darum auch die Klasse der endlichen Elemente von K^{μ}) hat die Amalgamationseigenschaft bezüglich starker Einbettungen.

Beweis. Die Strukturen B ≤ M und B ≤ A seien in K^{μ}. Wir suchen eine starke Erweiterung M′ ∈ K^{μ} von M und ein B ≤ A′ ≤ M′, das über B zu A isomorph ist. Wir können annehmen, daß A/B minimal und M/B minimal sind. Wir zeigen, daß ein „freies Amalgam“ M′ von M und A zu K^{μ} gehört, oder daß M und A über B isomorph sind.

Fall 1: A/B ist algebraisch minimal. Also A = B ∪ {a} für ein Element a ist z.B. im Sinn von T_{1} algebraisch über B ist und im Sinne von T_{2} transzendent. Es gibt zwei (nicht disjunkte) Unterfälle.

Unterfall 1.1: tp_{1}(a/B) wird in M realisiert, sagen wir durch a′. Dann ist a′/B im Sinn von T_{2} transzendent. B ∪ {a′} ist über B isomorph zu A und stark in M. Aus der Minimalität von M/B folgt M = B ∪ {a′}.

Unterfall 1.2: Es gibt (im Sinn von T_{1}) ein a′ ∉ M, das tp_{1}(a/B) realisiert. Wir machen a′ im Sinn von T_{2} transzendent über M und identifizieren es mit a. M′ = M ∪ {a} ist ein freies Amalgam von M und B über A, in dem Sinn, daß M′ ∪ A = B und M unabhängig von A über B ist. Man sieht leicht, daß für freie Amalgame M ≤ M′ und A ≤ M′. Aus 4.4 folgt M′ ∈ K^{μ}.

Fall 2: A/B ist transzendent. Dann existiert ein freies Amalgam M′ von M und A. Nehmen wir an, daß M′ nicht zu K^{μ} gehört. Dann enthält M′ eine Pseudomorleyfolge (e_{i}) von c über b. Wir wenden Lemma 3.4 auf die Erweiterung M′/M an und erhalten zwei Unterfälle.

Unterfall 2.1: b ∈ dcl^{eq}(M). Weil M zu K^{μ} gehört, liegen nicht alle Glieder der Pseudomorleyfolge in M. Sei e_{i} ∉ M. Dann ist nach 3.3 e_{i} eine generische Realisierung von ϕ_{c}(x, b) über M. Weil M und e_{i} über B unabhängig sind, folgt aus 1.1 daß die kanonischen Basis b in acl^{eq}(B) liegt. Weil A ∈ K^{μ} gibt es ein e_{j}, das nicht ganz in A liegt. e_{j} ist wieder eine generische Realisierung von ϕ_{c}(x, b) über B. Es folgt, daß M = B ∪ {e_{j}} und A = B ∪ {e_{i}} über B isomorph sind.

Unterfall 2.2: Mehr als μ^{∗}(c) der e_{i} liegen in M′ \ M. Weil μ^{∗}(c) + 1 ≥ m_{c}, folgt daraus, daß b ∈ dcl^{eq}(A). Die Behauptung folgt jetzt wie in Unterfall 2.1.

Wir nennen M ∈ K^{μ} reich, wenn es zu jedem endlichen B ≤ M und jedem endlichen B ≤ A ∈ K^{μ} ein A ≤ A′ ≤ M gibt, das über B zu A isomorph ist. Wir überlegen uns im nächsten Abschnitt, daß reiche Strukturen Modelle von T_{1} ∪ T_{2} sind.

Folgerung 4.6. Es gibt es eine eindeutig bestimmte, abzählbare, reiche Struktur K^{μ}. Alle reichen Strukturen sind (L_{1} ∪ L_{2})_{∞,ω}–äquivalent.

5 Die Theorie T^{μ}

Lemma 5.1. Sei M ∈ K^{μ}, b ∈ acl^{eq}(M), a eine M–generische Realisierung von ϕ_{c}(x, b) und M′ die präalgebraische minimale Erweiterung M ∪{a_{1}, ⋯ a_{n_{c}}}. Wenn M′ nicht zu K^{μ} gehört, gilt eine der beiden folgenden Aussagen.

(a) M′ enthält eine Pseudomorleyfolge von c über b, deren Elemente bis auf eins in M liegen.

(b) M′ enthält eine Pseudomorleyfolge für ein c′, von der mehr μ^{∗}(c′) viele Elemente in M′ \ M liegen. Außerdem ist m_{c′} > 0.

Beweis. Sei (e′_{i}) ein Pseudomorleyfolge von c′ über b′ in M′. Wenn (b) auf (e′_{i}) nicht zutrifft, folgt aus 3.4, daß b′ ∈ dcl^{eq}(M). Eins der e′_{i} kann nicht ganz in M liegen und aus 3.3 folgt, daß e′_{i} eine M–generische Realisierung von ϕ_{c′}(x, b′) ist. Und aus der Minimalität von M′/M folgt, daß e′_{i} eine Permutation von a ist. Weil wir Pseudomorleyfolgen permutieren können, können wir annehmen, daß e′_{i} = a. Daraus folgt ϕ_{c′}(x, b′) ∼^{k_{c}} ϕ_{c}(x, b) und daher c = c′ und b = b′.

Folgerung 5.2.

1. Sei c ein präalgebraischer Code. Daß ein M ∈ K keine Pseudomorleyfolge für c enthält, läßt sich durch eine universelle L_{1} ∪L_{2}–Aussage ausdrücken.

2. Sei c ein präalgebraischer Code, M ∈ K^{μ} ein Modell von T_{1} ∪ T_{2}. Daß für kein b ∈ dcl^{eq}(M), und keine generische Realisierung a von ϕ_{c}(x, b) die Struktur M ∪{a_{1}, …, a_{n_{c}}} zu K^{μ} gehört läßt sich durch eine induktive L_{1} ∪ L_{2}–Aussage ausdrücken.

Beweis. 1. Sei Ψ^{i}(x̄) quantorenfrei und in T_{i} äquivalent zu ∃y Ψ_{c_{i}}(x̄, y). Die Aussage

¬∃x̄ (Ψ^{1}(x̄) ∧ Ψ^{2}(x̄))

leistet das gewünschte

2. Sei i ∈ {1, 2} und M eine elementare Unterstruktur von ℂ_{i}. Sei m ∈ M und ϕ(x, m) eine L_{i}–Formel vom Rang k und Grad 1, und a ∈ ℂ_{i} eine M–generische Realisierung von ϕ(x, m). Dann läßt sich jede quantorenfreie Eigenschaft ψ(a, m) von a, m in eine quantorenfreie Eigenschaft ψ^{∗}(m) von m übersetzen. Man setzt

ψ^{∗}(y) = MR_{x}(ϕ(x, y) ∧ ψ(x, y)) =^{.} k.

Das zeigt, daß man für alle M ∈ K, und M–generische Realisierungen a von ϕ_{c}(x, b), jede L_{1} ∪ L_{2}–Aussage über M ∪ {a_{1} …, a_{n_{c}}} in eine L_{1} ∪ L_{2}–Aussage über M, b übersetzen kann.

Die Behauptung folgt nun aus 5.1, weil im Fall in (b) nur endliche viele c′ in Frage kommen:

(μ^{∗}(c′) + 1)n_{c′} ≤ |M′ \ M| = n_{c}.

Modelle M der L_{1} ∪ L_{2}–Theorie T^{μ} werden beschrieben durch die folgenden Eigenschaften. Daß sich die Axiome elementar ausdrücken lassen, folgt wegen der Lemmas 3.1 und 3.2 aus der letzten Folgerung.

Axiome von T^{μ}.

(a) M ∈ K^{μ}

(b) T_{1} ∪ T_{2}

(c) Keine präalgebraische minimale Erweiterung von M liegt in K^{μ}.

Man überlegt sich leicht, daß M genau dann ein Modell von (b) ist, wenn M unendlich ist und keine algebraischen minimalen Erweiterungen hat. Also ist M genau dann ein Modell von (b) und (c), wenn M unendlich ist und keine minimalen (oder echten) Erweiterungen M′ ∈ K^{μ} mit δ(M′/M) = 0 hat.

Satz 5.3. Die reichen Strukturen sind genau die ω–saturierten Modelle von T^{μ}.

Beweis. Sei M ein ω–saturiertes Modell von T^{μ}. Um zu zeigen, daß M reich ist, betrachten wir ein endliche starke Teilmenge B von M und eine minimale starke Erweiterung A von B, die zu K^{μ} gehört. Wir wollen eine Kopie B ≤ A′ ≤ M von A/B finden.

Fall (I/II): A/B ist algebraisch oder präalgebraisch. M hat keine algebraischen und keine präalgebraischen Erweiterungen in K^{μ}. Andererseits können wir M und A in K^{μ} amalgamieren. Das ist nur möglich, wenn wir in M eine Kopie von A finden.

Fall (III): A = B ∪ {a} ist transzendent. Wir suchen ein a′ ∈ M, das über B transzendent ist mit B ∪ {a′} ≤ M, Weil das bedeutet, daß a′ einen bestimmten partiellen Typ über B erfüllt, und weil M ω–saturiert ist, genügt es a′ in einer elementaren Erweiterung M′ von M zu finden. Wenn M′ überabzählbar ist, finden wir nach 4.3 ein a′ ∈ M′\cl_{d}(B). Das ist gleichbedeutend mit B∪{a′} ≤ M′.

Sei nun umgekehrt M eine reiche Struktur.

Axiom (b): Sei a ein Element in acl_{1}(M) und transzendent über M im Sinn von T_{2}. a ist schon 1–algebraisch über einer endlichen Teilmenge B von M. Wir können annehmen, daß B ≤ M. Weil (wegen Lemma 4.4) B ≤ B ∪ {a} ∈ K^{μ}, findet sich eine Kopie von a über B in M. Daraus folgt, daß M acl_{1}–abgeschlossen ist. Weil M unendlich ist^{9} , ist M ein Modell von T_{1}. Aus dem gleichen Grund ist M ein Modell von T_{2}.

Axiom (c): Sei a eine generische Realisierung von ϕ_{c}(x, b) über M, für die M ∪ {a} zu K^{μ} gehört. Sei C eine beliebige starke endliche Teilmenge von M, mit b ∈ dcl^{eq}(C). Dann ist C ≤ C ∪ {a} und, weil M reich ist, gibt es in M eine Kopie a′ von a über C mit C′ = C ∪{a′} ≤ M. Wenn wir so fortfahren, erhalten wir eine beliebig lange Morleyfolge a′, a′′, … von ϕ_{c}(x, b). Ein Widerspruch zu M ∈ K^{μ}.

Wähle M′ ≡ M ω–saturiert. Der erste Teil des Beweis impliziert, daß M′ reich ist. Also ist M′ ≡_{∞,ω} M. Daraus folgt, daß auch M ω–saturiert ist.

6 Beweis des Satzes

Wir lassen jetzt die Annahme, daß die T_{i} Quantorenelimination haben wieder fallen. In der Kategorie K müssen jetzt isomorphe Einbettungen ersetzt werden durch bi-elementare Abbildungen, die elementar sind im Sinn von T_{1} und im Sinn von T_{2}.

Folgerung 6.1. T^{μ} ist vollständig. Zwei Tupel a und a′ in Modellen M und M′ haben genau dann den selben Typ, wenn es eine bi-elementare Bijektion

f : cl(a) → cl(a′)

mit f(a) = a′ gibt.

Beweis. K^{μ} ist ein Modell von T^{μ}. Also ist T^{μ} konsistent. Sei M ein beliebiges Modell von T^{μ}. Nach Satz 5.3 gibt es ein M′ ≡ M, das reich ist. Aus M′ ≡_{∞,ω} K^{μ} folgt die Vollständigkeit.

9Das folgt ebenfalls aus 4.4.

M ≺ N und M′ ≺ N′ seien zwei ω–saturierte elementare Erweiterungen. Man sieht leicht^{10} daß M ≤ N und M′ ≤ N′, also ändert sich „cl“ nicht. Ein Isomorphismus f : cl(a) → cl(a′) ist dann Teil eines back-and-forth-Systems von partiellen Isomorphismen zwischen endlichen starken Teilmengen von M′ und N′. Also ist f eine elementare Abbildung.

Für die Umkehrung nehmen wir an, daß a und a′ denselben Typ haben. Es gibt dann eine isomorphe Einbettung f : cl(a) → M′, die a auf a′ abbildet. Wir schreiben A′ für f(cl(a)). Dann ist d(a) = δ(cl(a)) = δ(A′). Daraus folgt d(a′) ≤ d(a) und aus Symmetriegründen d(a′) = d(a). Nun hat A′, wie cl(a), keine echte Teilmenge A′′, die a′ enthält und δ(A′′) = d(a′) erfüllt. Daraus folgt A′ = cl(a′).

Satz 6.2. T^{μ} ist streng–minimal. d ist die Dimensionfunktion der natürlichen Prägeometrie auf Modellen von T^{μ}. Insbesondere ist in Modellen von T^{μ}

MR(ā/B) = d(ā/B)

.

Beweis. Alle Typen tp(a/B) mit d(a/B) = 0 sind algebraisch nach Folgerung 4.2. Aus 6.1 folgt, daß es nur einen Typen mit d(a/B) = 1 gibt^{11}. Daraus folgt, daß T streng minimal ist. Der Rest des Satzes ist klar, weil d gerade den algebraischen Abschluß beschreibt.

Damit ist Satz 0.1 bewiesen.

7 Bemerkungen

Man zeigt leicht, daß T^{μ} die folgenden Eigenschaften hat:

• T^{μ} hat die DMP

• Für jedes i = 1, 2 gilt: Jede L_{i}–Formel ϕ(x, b) hat in T^{μ} den gleichen Morleyrang und den gleichen Morleygrad wie in T_{i}.

• ([1]) M sei ein Modell von T^{μ}, das elementare Unterstruktur von N ist, im Sinn von T_{1} und im Sinn von T_{2}. Dann ist M elementare Unterstruktur von N.

Wir beweisen die letzte Behauptung: Seien M und N Modelle von T^{μ} und M ↾ L_{i} ≺ N ↾ L_{i} für i = 1, 2. Wir zeigen, daß M ≤ N. Mit 6.1 folgt dann N ≺ M.

M hat in N keine echte Erweiterung M′ mit δ(M′/M) = 0. Wenn M nicht stark wäre, müßte es darum ein Element a ∈ N mit δ(a/M) = −1 geben, das also algebraisch über M ist, im Sinn von T_{1} und T_{2}. Das gibt es nicht.

10 Wenn M ≰ N, gibt es ein Tupel a ∈ N mit δ(a/M) < 0. Es gibt ein endliches B ≤ M mit δ(a/B) < 0. Das liegt an der Gültigkeit einer L_{1} ∪ L_{2}–Formel, ϕ(a, b). ϕ(x, b) ist nicht erfüllbar in M, also M ⊀ N.

11Dieser Typ hat nur eine Fortsetzung auf cl(B) und cl(B) ∪ {a} ist stark im betrachteten Modell.

Literatur

[1] Kitty L. Holland. Model completeness of the new strongly minimal sets. J. Symbolic Logic, 64(3):946–962, 1999.

[2] Ehud Hrushovski. Strongly minimal expansions of algebraically closed fields. Israel J. Math., 79:129–151, 1992.

Änderungen

Revision 1.6 (9. Januar 2005): Erste Version im Netz. Revision 2.3 (22. Oktober 2005): Größere Revision. Revision 2.9 (21. Dezember 2005): Größere Korrekturen.