Lambdafunktionen

Martin Ziegler

2.4.2003^{∗}

Sei K ein separabel abgeschlossener Körper der Charakteristik p mit (endlicher) p–Basis b_{1}, … b_{e}. Die Lambdafunktionen λ_{ν} : K → K sind definiert durch

x = ∑ λ_{ν}(x)^{p}b^{ν},

dabei sind die ν Multiindices (ν_{1}, …, ν_{e}) mit 0 ≤ ν_{i} < p und b^{ν} bezeichnet b_{1}^{ν_{1}} ⋯ b_{e}^{ν_{e}}.

Wenn man die Sprache L = {0, 1, +, −, ·} um Konstanten für die b_{i} und Funktionzeichen für die λ_{ν} erweitert, hat K bekanntlich Quantorenelimination. Françoise Delon zufolge kann man auf die Konstanten für die b_{i} verzichten. Ich geben einen neuen Beweis dafür, der gleichzeitig etwas mehr beweist.

Sei also L_{λ} die Erweiterung von L durch die λ_{ν} und L_{λ,b} die Erweiterung von L_{λ} durch Konstanten für die b_{i}, die wir der Einfachheit auch b_{i} nennen. Wir werden zeigen:

Satz 1. Zu jeder quantorenfreien L_{λ,b}–Formel ϕ gibt es eine quantorenfreie L_{λ}-Formel, die in allen Körpern mit ausgezeichneter p–Basis b_{1}, …, b_{e} zu ϕ äquivalent ist.

Wir geben den Beweis nur im Fall e = 1. Der allgemeine Fall wird analog behandelt. Wir schreiben jetzt b für b_{1} und λ_{i} für λ_{(i)}. Der Satz ergibt sich aus einer Folge von Lemmas.

Lemma 2. Jeder L_{λ,b}-Term ist äquivalent zu einem Term

t_{0} + t_{1}b + ⋯ + t_{N}b^{N}  (1)

für L_{λ}-Terme t_{i}.

Beweis. 0, 1 und b haben die Form (1). Die Menge der Terme der Form (1) ist (bis auf Äquivalenz) abgeschlossen unter +, − und · . Es bleibt also nur die Abgeschlossenheit unter den λ_{i}, (i < p), zu zeigen. Nun ist aber (in allen Körpern mit p–Basis (b))

λ_{i}(t_{0} + t_{1}b + ⋯ + t_{N}b^{N}) = λ_{i}(t_{0}) + λ_{i}(t_{1}b) + ⋯ + λ_{i}(t_{N}b^{N}),

und Behauptung folgt aus der Identität

λ_{i}(xb^{n}) = λ_{r}(x)b^{k},

∗5.6.2009: Einige Schreibfehler korrigiert.

wobei sich r < p und k durch r + n = pk + i bestimmen. Wir bemerken noch, daß k < n, wenn n > 1.

Aus dem Beweis ergibt sich sofort Lemma 3. Sei N > 1. Dann ist jeder Term λ_{i}(t_{0} +t_{1}b+⋯+t_{N}b^{N}) äquivalent zu einem Term der Form s_{0} + s_{1}b + ⋯ + s_{N−1}b^{N−1}, für L_{λ}-Terme s_{i}. Lemma 4. Jede Gleichung S =^{.} T zwischen L_{λ,b}-Termen ist äquivalent zu einer Konjunktion von Gleichungen der Form s + tb =^{.} 0, für L_{λ}-Terme s und t. Beweis. Wegen Lemma 2 genügt es Gleichungen der Form

t_{0} + t_{1}b + ⋯ + t_{N}b^{N} =^{.} 0

zu betrachten. Diese Gleichung ist aber äquivalent zur Konjunktion der Gleichungen λ_{i}(t_{0} +t_{1}b+⋯+t_{N}b^{N}) =^{.} 0 für alle i < p. Mit Lemma 3 und Induktion folgt die Behauptung.

Satz 1 folgt jetzt sofort aus Lemma 4 und dem nächsten Lemma. Lemma 5. Die Gleichung

xb =^{.} y  (2)

ist äquivalent zu einer quantorenfreien L_{λ}-Formel. Beweis. Wenn x ≠ 0, ist \frac{y}{x} = b äquivalent mit der Konjunktion von (\frac{y}{x})^{p−1} = b^{p−1} und (\frac{y}{x})^{p−2} = b^{p−2}. Daraus folgt, daß (2) und

(x =^{.} 0 ∧ y =^{.} 0) ∨ (¬x =^{.} 0 ∧ xy^{p−1} =^{.} x^{p}b^{p−1} ∧ x^{2}y^{p−2} =^{.} x^{p}b^{p−2})

äquivalent sind. xy^{p−1} =^{.} x^{p}b^{p−1} ist aber äquivalent zu

λ_{p−1}(xy^{p−1}) =^{.} x ∧ ⋀_{i≠p−1} λ_{i}(xy^{p−1}) =^{.} 0,

und x^{2}y^{p−2} =^{.} x^{p}b^{p−2} ist äquivalent zu

λ_{p−2}(x^{2}y^{p−2}) =^{.} x ∧ ⋀_{i≠p−2} λ_{i}(x^{2}y^{p−2}) =^{.} 0.