Lemma für Daniels beschränkte Automorphismen^{∗}

Martin Ziegler

23. März 2004

Satz 1. Sei G eine stabile abelsche Gruppe. a, b und c seien paarweise unabhängig über 0 und a + b + c = 0. Dann:

1. Die starken Typen von a, b und c haben alle den gleichen zusammenhängenden Stabilisator U.

2. a, b, und c sind generischen Elemente von acl^{eq}(0)–definierbaren Nebenklassen von U.

Wenn G total–transzendent ist, folgt, daß a, b und c den gleichen Morleyrang über 0 haben, nämlich den Rang von U. Außerdem ist U dann definierbar.

p und q seien zwei starke Typen über 0. Dann ist

Hom(p, q) = {g ∈ G | ∀a a ⊧ p_{|g} ⇒ a + g ⊧ q_{|g}}

eine acl^{eq}(0)–typdefinierbare (im totaltranszendenten: definierbare) Teilmenge von G. Natürlich ist Hom(p, p) = Stab(p).

Lemma 2. p, q und r seien starke Typen. Dann gilt

• Für alle A ⊂ G und g ∈ Hom(p, q) ist

a ⊧ p_{|g,A} ⇒ a + g ⊧ q_{|g,A}.

• Hom(p, q) + Hom(q, r) ⊂ Hom(p, r)

• Hom(p, q) = −Hom(q, p) = Hom(−q, −p)

• 0 ∈ Hom(p, p)

• Wenn Hom(p, q) nicht leer ist, ist (falls G total–transzendent)

MR(Hom(p, q)) ≤ MR(p) = MR(q).

Beweis. Sei a eine Realisierung von p, die von g, A unabhängig ist. Dann folgt aus a | ⌣_{g} A, daß a + g | ⌣_{g} A. Weil a + g | ⌣ g, ist a + g | ⌣ g, A.

Sei g ∈ Hom(p, q) und h ∈ Hom(q, r) und a eine Realisierung, die von g + h unabhängig ist. Wir können annehmen, daß a von g, h unabhängig ist. Dann ist a+g eine Realisierung von q, die ebenfalls von g, h unabhängig ist. Daher ist ist a + g + h eine Realisierung von r, die von g, h und damit von g + h unabhängig ist.

∗Rekonstruktion eines Beweises von Oktober 1990. Version 9/05

Sei g ∈ Hom(p, q) und a eine Realisierung von p, die von g unabhängig ist. Dann ist

MR(a) = MR(a/g) = MR(a + g/g) = MR(a + g).

Daraus folgt MR(p) = MR(q). Aus

MR(g) = MR(g/a) = MR(a + g/a) ≤ MR(a + g)

folgt MR(Hom(p, q)) ≤ MR(q).

Seien nun a, b und c wie im Satz, p, q und r die starken Typen von a, b und c. Dann ist trivialerweise

• p(G) ⊂ Hom(q, −r) = Hom(r, −q)

• q(G) ⊂ Hom(r, −p)) = Hom(p, −r)

• r(G) ⊂ Hom(p, −q) = Hom(q, −p). Es folgt

• p(G) − p(G) ⊂ Stab(q), Stab(r)

• q(G) − q(G) ⊂ Stab(r), Stab(p)

• r(G) − r(G) ⊂ Stab(p), Stab(q). Weil andererseits

• Stab(p) ⊂ p(G) − p(G)

• Stab(q) ⊂ q(G) − q(G)

• Stab(r) ⊂ r(G) − r(G), sind alle Stabilisatoren gleich

U = p(G) − p(G) = q(G) − q(G) = r(G) − r(G).

Die p(G), q(G), r(G) liegen also jeweils in einer acl^{eq}(0)–definierbaren Nebenklasse von U. Weil die Stabilisatoren gleich U sind, sind p, q, r generische Typen und U ist zusammenhängend. Damit ist der Satz bewiesen.