Streng minimale Mengen mit einem Prädikat

M. Ziegler^{∗}

15.07.06

Wir fixieren eine vollständige streng minimale L–Theorie T. Sei M ein Modell von T und F eine unendliche Teilmenge von M. Aus F lassen sich zwei neu Strukturen definieren:

• Die induzierte Struktur auf F hat einen Namen R_{ϕ} für ∅–definierbare Relation ϕ(M) ∩ F^{n} auf F. Die Sprache ist

L_{ind} = {R_{ϕ} | ϕ = ϕ(x_{1}, …, x_{n}) eine L–Formel}.

F mit seiner L_{ind}–Struktur bezeichnen wir mit F_{ind}.

• Das Paar (M, F) ist eine L(P)–Struktur, wobei P ein unäres Prädikat für F ist und L(P) = L ∪ {P }.

Wir betrachten die Kodimension dim(M/F) von F in M. Wenn (N, G) eine elementare Erweiterung von (M, F) ist, bleiben Elemente von M, die algebraisch unabhängig über F unabhängig über G. Daraus folgt, daß dim(M/F) ≤ dim(N/G).

Definition 1 Die elementare Kodimension von F in M

dim(M/F) = max {dim(N/G) | (N, G) ≡ (M, F)}

Wir unterscheiden dabei unendliche Kodimensionen nicht und setzen sie ∞.

Es ist klar, daß dim(M/F) = dim(M/F), wenn (M, F) ω–saturiert ist.

In [1] wird F klein in M genannt, wenn es (N, G) ≡ (M, F) gibt, für das (N, g)_{g∈G} ω–saturiert ist. Es ist klar, daß F genau dann klein in M ist, wenn dim(M/F) = ∞.

Satz 2 M und N seien Modelle von T mit Teilmengen F und G. Dann ist (M, F) ≡ (N, G) genau dann, wenn F_{ind} ≡ G_{ind} und dim(M/F) = dim(N/G).

Beweis: Die Behauptung ist ein Spezialfall von Satz 2.2 in [1], weil streng minimale Theorien stabil sind und nicht die fcp haben. Es gibt aber einen leichten direkten Beweis^{1}:

∗Revision : 1.10, Erweiterte Version der Fassung von 2001

1Man konsultiere [1] für allerlei Auskünfte, auch über streng minimale Mengen. Insbesondere für den Satz von Pillay (5.4).

Sei F_{ind} ≡ G_{ind}. Wir wollen zeigen, daß (M, F) ≡ (N, G). Mit den üblichen Methoden sieht man, daß man annehmen kann, daß F_{ind} ≅ G_{ind} und daß F und G gleiche Kodimension in M und N haben. Wir fixieren eine Isomorphismus f : F_{ind} → G_{ind}, also eine Bijektion, die im Sinn von M und N elementar ist. Es ist klar, daß das System aller elementaren partiellen Abbildungen von M nach N, die endlichen Erweiterungen von f sind, die Hinundhereigenschaft hat. Weil diese elementaren Abbildungen partielle Isomorphismen im Sinn von (M, F) und (N, G) sind, folgt, daß (M, F) und (N, G) partiell isomorph und daher elementar äquivalent sind. □

Folgerung 3 M ≺ N seien Modelle von T und F eine Teilmenge von M, für die dim(M/F) = dim(N/F). Dann ist (M, F) ≺ (N, F).

Beweis: Die elementaren Kodimensionen ändern sich nicht, wenn wir Elemente benennen. Also ist dim(M_{M}/F) = dim(N_{M}/F). Aus dem Satz folgt (M_{M}, F) ≡ (N_{M}, F), was zu zeigen war. □

Lemma 4 Es ist dim(M/F) ≤ n genau dann, wenn es eine L–Formel ϕ(x, ȳ, z_{1}, …, z_{n}) gibt, sodaß

• ϕ ist algebraisch in x. Das heißt, für ein d ist

T ⊢ ∀ȳz_{1} … z_{n} ∃^{≤d}x ϕ(x, ȳ, z_{1}, …, z_{n})

• Es gibt n Elemente m_{1}, …, m_{n} in M, für die

M = ⋃_{f̄∈F} ϕ(M, f̄, m_{1}, …, m_{n})  (1)

Beweis: Wenn es ein algebraisches ϕ(x, ȳ, z_{1}, …, z_{n}) mit (1) gibt, gilt (1) auch in allen elementar äquivalenten (N, G). Also ist dim(N/G) ≤ n in allen elementar äquivalenten dim(N/G).

Nehmen wir an, daß es ein algebraisches ϕ(x, ȳ, z_{1}, …, z_{n}) mit (1) nicht gibt. Wenn dann, für ein k ≤ n, m_{1}, …, m_{n} ∈ M algebraisch unabhängig über F sind, ist die Formelmenge

Φ(x) = {∀ȳ (P (ȳ) → ¬ ϕ(x, ȳ, m_{1}, …, m_{k})) | ϕ(x, ȳ, z̄) algebraisch in x}

endlich erfüllbar. Sei m_{n+1} eine Realisierung von Φ(x) in einer elementaren Erweiterung (N, G). Man sieht dann leicht, daß m_{1}, …, m_{k} auch über G algebraisch unabhängig sind und daß m_{k+1} nicht algebraisch über Gm_{1} ⋯ m_{n} ist. Wenn man mit k = 0 beginnt und fortfährt bis k = n, erhält man eine elementare Erweiterung (N, G) von (M, F) mit dim(N, G) > n. □

Folgerung 5 Wenn dim(M/F) < ∞, ist dim(M/F) = dim(M/F).

Beweis: Sei m = dim(M/F). Es ist klar, daß m ≤ dim(M/F). Wir zeigen, daß dim(M/F) ≤ m: Sei dim(M/F) ≤ n. Dann gibt es ϕ und m_{1}, …, m_{n} wie in Lemma 4. Sei m′_{1}, …, m′_{m} eine Basis von M/F. Es gibt ein ψ(w̄, z̄), algebraisch in w̄, mit

M ⊧ ψ(m_{1}, …, m_{n}, m′_{1}, …, m′_{m}).

Setze

ϕ′(x, ȳ, z_{1}, …, z_{m}) = ∃ w̄ (ψ(w̄, z_{1}, …, z_{m}) ∧ ϕ(x, ȳ, w̄)).

ϕ′(x, ȳ, z̄) ist algebraisch in x und es ist

M = ⋃_{f̄∈F} ϕ′(M, f̄, m′_{1}, …, m′_{m}).

Daraus folgt die Behauptung. □

Das folgende Lemma ist klar: Gehe über zu ω–saturierten Situation und wende die Additivität von dim an.

Lemma 6 Sei M ein Modell von T und F ⊂ M′ ≺ M. Dann ist

dim(M/F) = dim(M/M′) + dim(M′/F).
□

Satz 7 Sei F Teilmenge eines Modells von T. Dann

1. dim(acl(F)/F) ∈ {0, ∞}.

2. dim(acl(F)/F) hängt nur von Th(F_{ind}) ab.

Beweis: Die erste Behauptung folgt sofort aus Folgerung 5. Zum Beweis der zweiten Behauptung nehmen wir an, daß F_{ind} ≡ G_{ind}. Wenn wir F und G in genügend große Modelle M und N einbetten, ist nach Satz 2 (N, G) ≡ (M, F). Sei dim(acl(F), F) = 0. Dann gibt es nach Lemma 4 eine algebraische Formel ϕ(x, ȳ) mit

acl(F) = ⋃_{f̄∈F} ϕ(M, f̄).

Das kann man auch so ausdrücken, daß für alle algebraischen ψ(x, z̄)

(M, F) ⊧ ∀x, z̄(P (z̄) ∧ ψ(x, z̄) → ∃ȳ(P (ȳ) ∧ ϕ(x, ȳ)))

Das gilt dann auch in (N, G) und es folgt dim(acl(G), G) = 0. □

Folgerung 8 Sei M = acl(F) ein Modell von T. Wenn (N, G) ≡ (M, F), ist (N, G) eine elementare Erweiterung von (acl(G), G).

Beweis: Aus dem Satz folgt dim(acl(F)/F) = dim(acl(G), G). Andererseits ist dim(acl(F)/F) = dim(N/G). Daraus folgt die Behauptung mit Folgerung 3. □ Satz 9 Für die Menge

K = {dim(N/M) | M ≺ N ⊧ T }

gibt es zwei Möglichkeiten:

1. K = {0, ∞}

2. K = ℕ ∪ {∞}

Wenn^{2} der zweite Fall eintritt, ist für alle M ≺ N

dim(N/M) = dim(N/M)

Beweis: Nehmen wir an, es gäbe Modelle M ≺ N, deren elementare Kodimension positiv aber endlich ist. Wir können annehmen, daß M saturiert ist. Wähle ein elementare Unterstruktur M′ zwischen M und N mit dim(M′/M) = 1. Aus Lemma 5 folgt dim(M′/M) = 1. Wähle eine elementare Kette M_{0} ≺ M_{1} ≺ … ≺ M_{n} mit (M_{i+1}, M_{i}) ≅ (M′/M). Dann ist dim(M_{i+1}, M_{i}) = 1 für alle i und es folgt dim(M_{n}/M_{0}) = n. Also kommen alle Zahlen als elementare Kodimension vor.

Für den zweiten Teil des Satzes betrachten wir eine Erweiterung M ≺ N mit dim(N/M) = n ≠ ∞ aus K. Wir müssen zeigen, daß dim(N/M) = n. Wähle M′ ≺ N′ mit dim(N′/M′) = dim(N′/M′) = n. Wir können annehmen, daß M ≺ M′. Sei n_{1}, …, n_{n} eine Basis von N′ über M′. Es gibt nach Lemma 4 ein ϕ(x, ȳ, z_{1}, …, z_{n}), algebraisch in x, sodaß N′ = ⋃_{m̄′∈M′} ϕ(N, m̄′, n_{1}, …, n_{n}). Wir können annehmen, daß N = acl(M, n_{1}, …, n_{n}). Die Behauptung folgt nun aus

N = ⋃_{m̄∈M} ϕ(N, m̄, n_{1}, …, n_{n}).

Daß die rechte Seite in N enthalten ist, ist klar. Sei umgekehrt a ∈ N. Dann gibt es ein m̄′ ∈ M′ mit N′ ⊧ ϕ(a, m̄′, n_{1}, …, n_{n}). Der Typ tp(N/M′) ist Erbe von tp(N/M) und daher tp(an_{1} ⋯ n_{n}/M′) Erbe von tp(an_{1} ⋯ n_{n}/M). Daraus folgt, daß es m̄ ∈ M gibt mit N′ ⊧ ϕ(a, m̄, n_{1}, …, n_{n}). □

Folgerung 10 ([2]) Sei M ein Modell von T und F eine Teilmenge. Wenn F_{ind} ≡ A, dann gibt es ein Paar G ⊂ N, sodaß A ≅ G_{ind} und (M, F) ≡ (N, G).

Beweis: Es gibt natürlich ein Modell G ⊂ N′ mit A ≅ G_{ind}. Nach Lemma 7 ist dim(acl(F)/F) = dim(acl(G)/G). Wähle eine elementare Erweiterung^{3} N von acl(G) mit dim(N/acl(G) = dim(M/acl(F)). Aus dem letzten Satz folgt dim(N/acl(G) = dim(M/acl(F)) und aus Lemma 6, daß dim(N/G) = dim(M/F). Aus Satz 2 folgt (M, F) ≡ (N, G). □

Zusatzstruktur auf dem Prädikat

Nehmen wir an, daß die Teilmenge F ⊂ M Universum einer K–Struktur F ist. In M wird F zur K ∪ L_{ind}–Struktur F_{ind}. Wenn man die Interpretation der Zeichen von K trivial auf M fortsetzt, erhält man die (K ∪ L)(P)–Struktur (M, F).

2Juli 2006

3Wir nehmen immer an, daß F unendlich ist. acl(G) is also ein Modell von T.

Man sieht leicht:

Lemma 11

dim(M/F) = max {dim(N/G) | (N, G) ≡ (M, F)}
□

Die folgende Verallgemeinerungen von Satz 2, Folgerung 3 und Folgerung 8 haben den gleichen Beweis.

Satz 2’ M und N seien Modelle von T mit Teilmengen F und G, die Universen von K–Strukturen F und G sind. Dann ist (M, F) ≡ (N, G) genau dann, wenn F_{ind} ≡ G_{ind} und dim(M/F) = dim(N/G). □

Folgerung 3’ M ≺ N seien Modelle von T und F eine Teilmenge von M, die Universum einer Struktur F ist. Wenn dim(M/F) = dim(N/F), ist (M, F) ≺ (N, F). □

Folgerung 8’ Sei M = acl(F) ein Modell von T. Wenn (N, G) ≡ (M, F), ist (N, G) eine elementare Erweiterung von (acl(G), G). □

Literatur

[1] Enrique Casanovas and Martin Ziegler. Stable theories with a new predicate. J. Symbolic Logic, 66(3):1127–1140, September 2001.

[2] Olivier Roche. Strongly simple sets with a predicate are simple. Preprint, July 2006.