Einführung in die Algebra^{1}

Martin Ziegler

Freiburg, Wintersemester 1999/2000

1Version 3j (26.7.2014)

Inhaltsverzeichnis

1 Gruppen 4 1.1 Der Satz von Cayley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Untergruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Homomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Der Satz von Jordan–Hölder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5 Innere Automorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6 Direkte Produkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.7 Abelsche Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.8 Sylowgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.9 Nilpotente Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.10 Auflösbare Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2 Kommutative Ringe 32 2.1 Der Homomorphiesatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2 Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.3 Polynomringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.4 Körper und Integritätsbereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.5 Primideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.6 Teilbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3 Körper 51 3.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.2 Der algebraische Abschluß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.3 Separable Erweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.4 Endliche Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.5 Galoistheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.6 Abelsche Körpererweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.7 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.7.1 Konstruktionen mit Zirkel und Lineal . . . . . . . . . . . 70 3.7.2 Auflösung von Gleichungen durch Radikale . . . . . . . . 73 3.7.3 Elementar–symmetrische Funktionen . . . . . . . . . . . . 75

4 Darstellungstheorie 77 4.1 Der Satz von Wedderburn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.2 Die Gruppenalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.3 Charaktere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.4 Ganzheitseigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Index 95

Entstehung 100

Literaturverzeichnis

[1] Serge Lang. Algebra. Addison–Wesley Publishing Company, second edition, 1984.

[2] Derek J. S. Robinson. A Course in the Theory of Groups. Graduate Texts in Mathematics. Springer Verlag; Berlin, Göttingen, Heidelberg, 1982.

Kapitel 1

Gruppen

1.1 Der Satz von Cayley

Definition Eine Halbgruppe ist eine Menge S, auf der eine zweistellige assoziative Operation · erklärt ist. Eine Halbgruppe ist also ein Paar

(S, ·),

wobei die Operation · : S × S → S dem Assoziativgesetz

(x · y) · z = x · (y · z)

genügt.

Beispiele:

• Die Menge ^{X}X aller Abbildungen einer Menge X in sich ist, mit der Komposition als Operation, eine Halbgruppe.

• Die Menge A^{∗} aller Wörter über einem Alphabet A ist mit der Verkettung als Operation eine Halbgruppe.

Definition Eine Halbgruppe S heißt abelsch^{1}, oder kommutativ, wenn

s · t = t · s

für alle s, t ∈ S.

Beispiel: Die natürlichen Zahlen ℕ mit der Addition sind eine abelsche Halbgruppe.

Die Operation einer Halbgruppe nennt man im allgemeinen Multiplikation. Im abelschen Fall häufig auch Addition, wo man dann s + t statt s · t schreibt.

1Niels Hendrik Abel (1802-1829)

Definition Ein Element e einer Halbgruppe S heißt linksneutral, wenn

e · s = s

für alle s ∈ S. Wenn

s · f = s

für alle s, heißt f rechtsneutral.

Lemma 1.1.1 Wenn eine Halbgruppe S ein linksneutrales Element e und ein rechtsneutrales f hat, stimmen e und f überein. Man nennt e = f (das) neutrale Element von S.

Beweis :

e = e · f = f
□

In multiplikativ geschrieben Halbgruppen nennt man das neutrale Element 1 (falls vorhanden) Einselement. In additiv geschriebenen (abelschen) Halbgruppen heißt das neutrale Element 0 die Null.

In ^{X}X ist die Identität id_{X} das neutrale Element, in A^{∗} das leere Wort und in (ℕ, +) die Null.

Sei nun S eine Halbgruppe mit Einselement 1. (Man nennt solche Halbgruppen auch Monoide.) Wenn

s · t = 1,

nennen wir s Linksinverses von t und t Rechtsinverses von s.

Lemma 1.1.2 Sei S eine Halbgruppe mit Einselement 1. Wenn s ein Linksinverses s′ und ein Rechtsinverses s′′hat, stimmen s′ und s′′ überein. Man nennt s′ = s′′ das Inverse von s.

Beweis :

s′ = s′ · 1 = s′ · s · s′′ = 1 · s′′ = s′′
□

In multiplikativen Halbgruppen schreibt man s^{−1} für das Inverse von s, in additiv geschriebenen (abelschen) Halbgruppen schreibt man −s.

Definition Eine Gruppe G ist eine Halbgruppe mit neutralem Element, in der jedes Element ein Inverses hat.

Beispiel: Die Menge Sym(X) aller Permutationen von X ist eine Gruppe, die symmetrische Gruppe von X. Allgemein gilt: Die Menge der invertierbaren Elemente eines Monoids ist eine Gruppe.

Beispiel: Die ganzen Zahlen ℤ mit der Addition bilden ein Gruppe.

Satz 1.1.3 Eine Halbgruppe G ist genau dann eine Gruppe, wenn es ein linksneutrales Element e gibt, für das jedes Element g ∈ G ein Linksinverses hat, das heißt, eine Lösung der Gleichung x · g = e.

Beweis : Sei g ein beliebiges Element, g′ ein Linksinverses von g und g′′ ein Linksinverses von g′. Aus

g · g′ = e · g · g′ = (g′′ · g′) · g · g′ = g′′ · (g′ · g) · g′ = g′′ · e · g′ = g′′ · g′ = e

liest man ab, daß g′ auch Rechtsinverses von g ist. Die Gleichung

g · e = g · (g′ · g) = (g · g′) · g = e · g = g

zeigt, daß e auch rechtsneutral ist. □

Definition Sei G eine Gruppe. Eine Untergruppe U von G ist eine unter der Gruppenoperation abgeschlossene Teilmenge von G, die (mit der eingeschränkten Operation) eine Gruppe ist.

Notation U ≤ G

Weil ff = f ⇒ f = 1, muß das Einselement einer Untergruppe das Einselement von G sein. Eine Teilmenge U von G ist also genau dann Untergruppe, wenn U das Einselement enthält und abgeschlossen ist unter Multiplikation und Inversenbildung.

Definition Zwei Gruppen G und H sind isomorph

G ≅ H,

wenn es einen Isomorphismus f : G → H zwischen G und H gibt. Dabei heißt eine Bijektion f Isomorphismus, wenn

f(x · y) = f(x) · f(y) (1.1)

für alle x, y ∈ G.

Eine Bijektion f ist Isomorphismus, wenn sie die Gruppenoperation von G in die Gruppenoperation von H überführt, wenn also

x · y = z ⟺ f(x) · f(y) = f(z)

für alle x, y, z ∈ G. Man rechnet leicht nach, daß ≅ eine Äquivalenzrelation ist.

Satz 1.1.4 (Cayley^{2}) Jede Gruppe ist isomorph zu einer Untergruppe einer symmetrischen Gruppe.

2Arthur Cayley (1821-1895)

Beweis : Sei g ein Element von G und

λ_{g} : G → G

definiert durch λ_{g}(x) = g ·x, die Linksmultiplikation mit g. Die durch Λ(g) = λ_{g} definierte Abbildung

Λ : G → ^{G}G

ist injektiv, weil λ_{g}(1) = g. Außerdem gilt

Λ(gh) = Λ(g) ∘ Λ(h).

Denn

λ_{g·h}(x) = (g · h) · x = g · λ_{h}(x) = λ_{g}(λ_{h}(x)) = (λ_{g} ∘ λ_{h})(x).

Die Menge U = Λ(G) der Linksmultiplikationen enthält das Einselement λ_{1} von GG und ist abgeschlossen unter ∘. Weil λ_{g^{−1}} invers zu λ_{g} ist, sind die Linksmultiplikationen Permutationen von G; U ist also Untergruppe von Sym(G). Jetzt ist klar, daß Λ ein Isomorphismus zwischen G und U ist. □

1.2 Untergruppen

Sei U eine Untergruppe von G. Die Rechtsnebenklasse eines Gruppenelements g ist

Ug = {ug | u ∈ U}.

Lemma 1.2.1 Die Rechtsnebenklassen von U bilden eine Partition von G. Die zugehörige Äquivalenzrelation ist

Ug = Uh ⟺ gh^{−1} ∈ U

Beweis : Wenn Ug und Uh nicht leeren Schnitt haben, ist ug = vh für zwei Elemente u, v von U. Es folgt dann gh^{−1} = u^{−1}v ∈ U. Aus gh^{−1} ∈ U folgt umgekehrt Ug = (Ugh^{−1})h = Uh. □

Wir bezeichnen mit G/U die Menge der Rechtsnebenklassen von U und definieren den Index (G : U) von U in G als die Zahl der Rechtsnebenklassen von U in G:

(G : U) = |G/U| .

Die Linksnebenklassen gU liefern eine Partition von G, die im allgemeinen von der Rechtszerlegung nach U verschieden ist. Es gibt aber ebensoviele Linksnebenklassen wie Rechtsnebenklassen. Die Inversenbildung g ↦ g^{−1} ist nämlich eine Permutation von G, die die Linksnebenklassen von U gerade auf die Rechtsnebenklassen von U abbildet. Wir haben nämlich (gU)^{−1} = U^{−1}g^{−1} = Ug^{−1}.

u ↦ ug ist eine Bijektion zwischen U und Ug. Die Rechtsnebenklassen von U haben also ebensoviele Elemente wie U. Es folgt

Lemma 1.2.2 |G| = (G : U) · |U|

Als ein Beispiel bestimmen wir die Untergruppen von ℤ.

Lemma 1.2.3 Die Untergruppen von ℤ sind von der Form mℤ für ein (eindeutig bestimmtes) m ≥ 0.

Beweis : Sei U eine Untergruppe von ℤ. Wenn U = 0, ist U = 0ℤ. Sonst wählen wir für m die kleinste positive Zahl in U. Natürlich ist mℤ ≤ U. Für die umgekehrte Inklusion fixieren wir ein beliebiges Element u von U. Wir dividieren u durch m mit Rest r:

u = sm + r, 0 ≤ r < m.

Weil r ∈ U und m minimal gewählt war, ist r = 0. Also haben wir u = sm. □

Weil jede ganze Zahl zu genau einer Zahl zwischen 0 und m − 1 modulo m kongruent ist, folgt

(ℤ : mℤ) = m.

Sei a ein Element einer Halbgruppe G. Wir definieren a^{1} = a, a^{2} = aa, a^{3} = aaa und allgemein für alle positiven natürlichen Zahlen n:

a^{n} = \underbrace{a … a}_{n−mal} .

Wenn G ein Monoid ist, setzt man

a^{0} = 1.

Schließlich nehmen wir an, daß G eine Gruppe ist und setzen für negative Exponenten:

a^{−n} = (a^{−1})^{n} .

Man verifiziert leicht die folgenden Rechenregeln.

a) a^{m}a^{n} = a^{m+n}

b) (a^{m})^{n} = a^{mn}

c) a^{1} = a

d) (ab)^{n} = a^{n}b^{n}, wenn a und b kommutieren.

a und b kommutieren, wenn ab = ba. In additiven (abelschen) Gruppen schreibt man na statt a^{n}.

Weil der Durchschnitt einer Familie von Untergruppen von G wieder eine Untergruppe ist, gibt es zu jeder Teilmenge A von G eine kleinste Untergruppe ⟨A⟩, die A enthält, die von A erzeugte Untergruppe. Die von a erzeugte Untergruppe ist < a >= {a^{n} | n ∈ ℤ}.

Die Menge {e ∈ ℤ | a^{e} = 1} der Exponenten von a ist eine Untergruppe von ℤ, also von der Form mℤ für ein m ≥ 0. Wir nennen m die Ordnung von a. Man kann die Ordnung auch einfach so definieren:

Definition Die Ordnung ord(a) von a ist die kleinste positive Zahl m mit a^{m} = 1, falls ein solches m existiert. Sonst ist ord(a) = 0.

Wenn a die Ordnung 0 hat, ist die Abbildung n ↦ a^{n} ein Isomorphismus zwischen ℤ und ⟨a⟩. Man sagt deshalb üblicherweise, daß a unendliche Ordnung hat. Wenn ord(a) = m > 0, ist ⟨a⟩ = {1, a^{1}, a^{2}, …, a^{m−1}}. Weil aus a^{i} = a^{i+k} folgt, daß a^{k} = 1, sind die Elemente 1, a^{1}, a^{2}, …, a^{m−1} paarweise verschieden. Das bedeutet, daß

|⟨a⟩| = ord(a).

Man spricht daher häufig statt von der Mächtigkeit einer Gruppe auch von ihrer Ordnung.

Folgerung 1.2.4 Die Ordnungen der Elemente a einer endlichen Gruppe G teilen die Ordnung von G. Anders ausgedrückt:

a^{|G|} = 1

1.3 Homomorphismen

Definition Eine Abbildung f : S → T zwischen zwei Halbgruppen heißt Homomorphismus, wenn

f(x · y) = f(x) · f(y)

für alle x, y ∈ S.

Beispiele:

• Wenn G eine Gruppe ist, und a ∈ G, ist die Abbildung n ↦ a^{n} ein Homomorphismus von ℤ nach G.

• Die Signaturabbildung sign : S_{n} → {1, −1} auf den endlichen Permuta-

tionsgruppen

S_{n} = Sym{1, …, n}

Die Elemente t des Bildes f(S) entsprechen den Äquivalenzklassen f^{−1}(t) der von f bestimmten Faserung

x ∼ y ⟺ f(x) = f(y).

Die Halbgruppenstruktur von f(S) überträgt sich auf die Menge S/∼ der Äquivalenzklassen durch

(x/∼) · (y/∼) = (x · y)/∼. (1.2)

Eine Äquivalenzrelation ∼ auf S, für die (1.2) eine Operation auf S/∼ erklärt, heißt Kongruenzrelation. Die Bedingung bedeutet, daß die Äquivalenzklasse eines Produktes nur von den Äquivalenzklassen der Faktoren abhängt:

x ∼ x′, y ∼ y′ ⇒ x · y ∼ x′ · y′. (1.3)

Wenn ∼ eine Kongruenzrelation ist, ist S/∼ mit der induzierten Operation wieder eine Halbgruppe. Die Projektion π: S → S/∼ erfüllt nämlich die Homomorphismusbedingung und wir haben:

\begin{matrix}(π(a)π(b))π(c) = & π(ab)π(c) = & π((ab)c) = \\ = & π(a(bc)) = & π(a)π(bc) = & π(a)(π(b)π(c)). \end{matrix}

Der folgende Satz sollte jetzt klar sein. Er gilt natürlich nicht nur für Halbgruppen, sondern für beliebige Strukturen mit einer zweistelligen Operation.

Satz 1.3.1 (Abstrakter Homomorphiesatz) Sei f : S → T ein Homomorphismus zwischen Halbgruppen. Dann ist die Faserung ∼ von f eine Kongruenzrelation auf S und f induziert durch

x/∼ ↦ f(x)

einen Isomorphismus zwischen den Halbgruppen S/∼ und f(S).

Bevor wir die Kongruenzrelationen in Gruppen bestimmen, zeigen wir daß homomorphe Bilder von Gruppen wieder Gruppen sind.^{3}

Lemma 1.3.2 Sei f : G → T ein Homomorphismus einer Gruppe G in eine Halbgruppe T. Dann ist das Bild f(G) eine Gruppe.

Beweis : f(1) ist Einselement von f(G), weil f(1)f(g) = f(1g) = f(g). f(g^{−1}) ist invers zu f(g), weil f(g^{−1})f(g) = f(g^{−1}g) = f(1). □

Sei nun ∼ eine Kongruenzrelation der Gruppe G. Weil

x ∼ y ⟺ xy^{−1} ∼ 1,

ist ∼ durch die Äquivalenzklasse N = 1/∼ schon bestimmt. Weil

x ∼ 1, y ∼ 1 ⟹ xy^{−1} ∼ 1,

ist N eine Untergruppe und die ∼–Äquivalenzklassen sind gerade die Rechtsnebenklassen von N. Wenn man umgekehrt eine Untergruppe N vorgibt, dann ist die durch

x ∼ y ⟺ xy^{−1} ∈ N

definierte Äquivalenzrelation im allgemeinen keine Kongruenzrelation. Es gilt zwar x ∼ y ⟹ Nx = Ny ⟹ Nxz = Nyz ⟹ xz ∼ yz, (1.4)

aber im allgemeinen nicht

x ∼ y ⟹ zx ∼ zy. (1.5)

Wenn ∼ eine Kongruenzrelation ist, sind aber die Äquivalenzklassen auch ebensogut Linksnebenklassen von N. Diese Bedingung an N, nämlich, daß

Ng = gN

für alle g, impliziert die Gleichung (1.5). Untergruppen, deren Rechtsnebenklassen auch Linksnebenklassen sind, heißen Normalteiler:

Definition Eine Untergruppe N von G heißt Normalteiler, wenn

g^{−1}Ng = N

für alle g ∈ G.

Notation N ⊲ G

In abelschen Gruppen sind alle Untergruppen Normalteiler. Unsere bisherigen Überlegungen zeigen:

Satz 1.3.3 (Homomorphiesatz) Sei G eine Gruppe.

3Das Lemma erscheint implizit schon am Endes des Beweises von 1.1.4.

1. Wenn N ein Normalteiler von G ist, wird durch

(Ng) · (Nh) = N(gh)

eine Gruppenoperation auf G/N definiert. Die Projektion

π : G → G/N

ist ein Homomorphismus.

2. Sei f : G → H ein Homomorphismus und

N = ker(f) = {g ∈ G | f(g) = 1}

der Kern von f. Dann ist N ein Normalteiler und

Ng ↦ f(g)

definiert einen Isomorphismus zwischen G/N und f(G).

□

Eine diagrammatische Variante:

Satz 1.3.4 Sei f : G → H ein Homomorphismus. N sei ein Normalteiler von G, der von f auf das Einselement von H abgebildet wird. Dann gibt es einen (eindeutig bestimmten) Homomorphismus β : G/N → H, der das Diagramm

[figure: G; H; G/N; π; f; β]

kommutativ macht.

Beweis : Weil

π(g) = π(h) ⇒ gh^{−1} ∈ N ⇒ gh^{−1} ∈ ker(f) ⇒ f(g) = f(h),

gibt es ein eindeutig bestimmtes β, das das Diagramm kommutativ macht. Daß β ein Homomorphismus ist, ist trivial:

β(π(g)π(h)) = β(π(gh)) = f(gh) = f(g)f(h) = β(π(g))β(π(h)).
□

Wenn m die Ordnung von a ist, ist mℤ der Kern des Homomorphismus ℤ → G, der 1 auf a abbildet. Es folgt, daß ⟨a⟩ ≅ ℤ/mℤ. Wir nennen

Z_{m} = ℤ/mℤ

die zyklische Gruppe der Ordnung m. In den Fällen m = 0, 1 pflegt man sich anders auszudrücken: ℤ = Z_{0} heißt die unendliche zyklische Gruppe. Die Gruppe Z_{1} besteht nur aus dem neutralen Element und heißt die triviale Gruppe. Für die triviale Gruppe schreibt man multiplikativ 1 und additiv 0.

Ein surjektiver Homomorphismus f : G → H vermittelt vermöge U = f^{−1}(V) eine Bijektion zwischen den Untergruppen V von H und den Untergruppen U von G, die den Kern von f enthalten. V ist genau dann ein Normalteiler von H, wenn U Normalteiler von G ist. In diesem Fall ist U der Kern des zusammengesetzten Homomorphismus G →^{f} H → H/V und wir erhalten einen Isomorphismus zwischen G/U und H/V. Im Fall H = G/N erhalten wir für Normalteiler U, die N enthalten:

G/U ≅ (G/N)/(U/N).

Die Untergruppen von Z_{m} entsprechen demgemäß, vermöge der Projektion ℤ → Z_{m}, gerade denjenigen Untergruppen dℤ von ℤ, die mℤ enthalten, das heißt, für die d ein Teiler von m ist. Es folgt, daß eine zyklische Gruppe der Ordnung m für jeden Teiler d von m genau eine Untergruppe vom Index d hat. Wenn m = p^{e} Potenz einer Primzahl ist, bilden die Untergruppen von Z_{m} eine Kette mit den Ordnungen 1, p, …, p^{e}.

1.4 Der Satz von Jordan–Hölder

Das Komplexprodukt zweier Teilmengen A und B einer Gruppe ist die Menge

AB = {ab | a ∈ A , b ∈ B}.

Wenn A ein Normalteiler ist und B eine Untergruppe, ist AB eine Untergruppe. Das folgt aus dem Beweis des nächsten Satzes.

Satz 1.4.1 (Noetherscher^{4}Isomorphiesatz) Sei N ein Normalteiler und U eine Untergruppe von G. Dann ist N ∩ U ein Normalteiler von U, NU eine Untergruppe von G und es gibt einen natürlichen Isomorphismus

U/(N ∩ U) ≅ NU/N.

Beweis : Sei π : G → G/N die natürliche Projektion. Dann ist NU = π^{−1}(π(U)) Untergruppe von G.

[figure: G; NU; U; N; N ∩ U]

Die beiden Einschränkungen f : U → G/N und g : NU → G/N haben das gleiche Bild H. Der Kern von f ist N ∩ U, der Kern von g ist N. Also ist

U/(N ∩ U) ≅ H ≅ NU/N.

□

Man überlegt sich leicht, daß N kein Normalteiler in G sein muß, es genügt vielmehr, zu fordern, daß N von U normalisiert wird. Das heißt, daß u^{−1}Nu = N für alle u ∈ U. Dann ist nämlich NU eine Untergruppe von G und N Normalteiler von NU.

Eine Normalreihe N von G ist eine Kette

1 = N_{0} ⊲ N_{1} ⊲ … ⊲ N_{n−1} ⊲ N_{n} = G.

Eine Normalreihe N′ verfeinert N, wenn N ⊂ N′. Eine Kompositionsreihe von G ist eine echt aufsteigende Normalreihe, die keine echten Verfeinerungen hat.

Eine nicht–triviale Gruppe G, die nur die trivialen Normalteiler 1 und G hat, heißt einfach.

4Amalie Emmy Noether (1882-1935)

Beispiel: Die einfachen abelschen Gruppen sind die zyklischen Gruppen Z_{p} von Primzahlordnung.

Lemma 1.4.2 Eine Normalreihe 1 = N_{0} ⊲N_{1} ⊲…⊲N_{n−1} ⊲N_{n} = G ist genau dann ein Kompositionsreihe, wenn die Kompositionsfaktoren N_{i+1}/N_{i} einfach sind.

Beweis : Die Normalteiler von N_{i+1}/N_{i} entsprechen den Normalteilern von N_{i+1}, die N_{i} enthalten. □

Endliche Gruppen haben immer Kompositionsreihen. Im allgemeinen brauchen sie aber nicht zu existieren. Unendliche abelsche Gruppen zum Beispiel haben keine Kompositionsreihen.

Zwei Normalreihen M_{0} ⊲M_{1} ⊲…⊲M_{n−1} ⊲M_{n} und N_{0} ⊲N_{1} ⊲…⊲N_{n−1} ⊲ N_{n} heißen isomorph, wenn sie die gleiche Länge haben und wenn bis auf eine Permutation π der Indizes {0, …, n − 1} die Quotienten isomorph sind, wenn also M_{i+1}/M_{i} ≅ N_{π(i)+1}/N_{π(i)}.

Satz 1.4.3 (Jordan–Hölder^{5}) Alle Kompositionsreihen einer Gruppe G sind isomorph.

Beweis : Wir zeigen etwas mehr: Wenn M eine Kompositionsreihe von G ist und N eine echt aufsteigende Normalreihe, dann hat N eine zu M isomorphe Verfeinerung.

Wir verwenden Induktion über die Länge von M. Wir können annehmen, daß weder M noch N die Länge 0 haben. N′ und M′ seien die beiden Reihen ohne G, M und N die letzten Glieder von N′ und M′.

Wir unterscheiden drei Fälle. Wenn N = M, hat nach Induktionsvoraussetzung N′ eine zu M′ isomorphe Verfeinerung N′′. N′′ ∪ {G} ist isomorph zu M.

Wenn N eine echte Untergruppe von M ist, hat nach Induktionsvoraussetzung N′ ∪ {M} eine zu M′ isomorphe Verfeinerung N′′. N′′ ∪ {G} ist isomorph zu M und eine Verfeinerung von N.

Wenn N nicht in M enthalten ist, ist G = MN. Aus Satz 1.4.1 folgt, daß G/M ≅ N/(M ∩ N) und G/N ≅ M/(M ∩ N). Nach Induktionsvoraussetzung hat die Reihe^{6} {1, M ∩ N, M} eine zu M′ isomorphe Verfeinerung K ∪ K′. Wir notieren hier die Reihe zwischen 1 und M ∩ N als K und die Reihe zwischen M ∩ N und M als K′. Weil G/N ≅ M/(M ∩ N), finden wir zwischen N und G eine Normalreihe K′′, die zu K′ isomorph ist.

Weil N/(M ∩ N) einfach ist, ist K′ ∪ {N} eine Kompositionsreihe von N, die kürzer als M ist. N′ hat also eine zu K′ ∪ {N} isomorphe Verfeinerung N′′.

5Marie Ennemond Camille Jordan (1838-1922), Ludwig Otto Hölder (1859-1937)

6Hier ist 1 = M ∩ N möglich.

N′′ ∪ K′′ ist eine zu M isomorphe Verfeinerung von N. □

Der folgende Satz ist eine Verallgemeinerung von 1.4.3, der auch etwas für den Fall aussagt, daß G keine Kompositionsreihe hat.

Satz 1.4.4 (Verfeinerungssatz von Schreier) ^{7}^{,}^{8} Zwei Normalreihen einer Gruppe besitzen isomorphe Verfeinerungen.

Beweis : Seien

M = (1 = M_{0} ⊲ … ⊲ M_{m} = G)

und

N = (1 = N_{0} ⊲ … ⊲ N_{n} = G)

zwei Normalreihen. Wir verfeinern M zu M′, indem wir zwischen M_{i} und M_{i+1} jeweils die Reihe

M_{i} = M_{i}(M_{i+1} ∩ N_{0}) ⊂ M_{i}(M_{i+1} ∩ N_{1}) ⊂ … ⊂ M_{i}(M_{i+1} ∩ N_{n}) = M_{i+1}

einfügen. Zwischen N_{j} und N_{j+1} fügen wir

N_{j} = (M_{0} ∩ N_{j+1})N_{j} ⊂ (M_{1} ∩ N_{j+1})N_{j} ⊂ … ⊂ (M_{m} ∩ N_{j+1})N_{j} = N_{j+1}

ein und erhalten die Verfeinerung N′. Daß M′ und N′ isomorphe Normalreihen sind, folgt aus dem nächsten Lemma, das wir auf A_{1} = M_{i}, A_{2} = M_{i+1}, B_{1} = N_{j} und B_{2} = N_{j+1} anwenden.

Lemma 1.4.5 (Lemma von Zassenhaus)^{8} Wenn A_{1} ⊲ A_{2} und B_{1} ⊲ B_{2} Untergruppen von G sind, ist A_{1}(A_{2}∩B_{1}) Normalteiler in A_{1}(A_{2}∩B_{2}), (A_{1}∩B_{2})B_{1} Normalteiler in (A_{2} ∩ B_{2})B_{1} und es ist

A_{1}(A_{2} ∩ B_{2})/A_{1}(A_{2} ∩ B_{1}) ≅ (A_{2} ∩ B_{2})B_{1}/(A_{1} ∩ B_{2})B_{1}.

Beweis : Weil A_{1}⊲A_{2} ist A_{1}(A_{2}∩B_{2}) eine Untergruppe. A_{2}∩B_{2} normalisiert A_{1}, A_{2} und B_{1} und also auch A_{1}(A_{2} ∩ B_{1}). Daraus folgt, daß A_{1}(A_{2} ∩ B_{1}) ein Normalteiler von A_{1}(A_{2} ∩ B_{2}) ist. Mit Hilfe des Modulargesetzes, das wir gleich erläutern, sehen wir, daß

A_{1}(A_{2} ∩ B_{1}) ∩ (A_{2} ∩ B_{2}) = (A_{1} ∩ B_{2})(A_{2} ∩ B_{1}).

7Otto Schreier (1901-1929)

8Nur SS 1995

[figure: A_{2}; B_{2}; A_{1}(A_{2} ∩ B_{2}); (A_{2} ∩ B_{2})B_{1}; A_{2} ∩ B_{2}; A_{1}(A_{2} ∩ B_{1}); (A_{1} ∩ B_{2})B_{1}; (A_{1} ∩ B_{2})(A_{2} ∩ B_{1}); A_{1}; B_{1}]

Aus 1.4.1 folgt

A_{1}(A_{2} ∩ B_{2})/A_{1}(A_{2} ∩ B_{1}) ≅ (A_{2} ∩ B_{2})/(A_{1} ∩ B_{2})(A_{2} ∩ B_{1}).

Rechts steht aber ein in A, B symmetrischer Ausdruck, und wir erhalten

(A_{2} ∩ B_{2})/(A_{1} ∩ B_{2})(A_{2} ∩ B_{1}) ≅ (A_{2} ∩ B_{2})B_{1}/(A_{1} ∩ B_{2})B_{1}.
□

Wenn A und B ≤ C Untergruppen von G sind, ist, wie man leicht nachrechnet

(AB) ∩ C = (A ∩ C)B.

Das ist das Modulargesetz. Die Normalteiler einer Gruppe bilden (ebenso wie die Untergruppen) einen Verband. Für Normalteiler ist AB das Supremum von A und B, A ∩ B das Infimum. Das Modulargesetz drückt gerade aus, daß der Verband der Normalteiler modular ist.

1.5 Innere Automorphismen

Definition Sei G eine Gruppe und a ∈ G. Man konjugiert x mit a, indem man von x zu

x^{a} = a^{−1}xa

übergeht. Die Abbildung

τ_{a}(x) = x^{a}

heißt der durch a bestimmte innere Automorphismus von G.

Eine Untergruppe ist also genau dann Normalteiler, wenn sie unter allen inneren Automorphismen invariant bleibt.

Man verifiziert leicht, daß τ_{a} tatsächlich ein Automorphismus von G ist, das heißt ein Isomorphismus von G mit sich selbst. Außerdem gelten die Rechenregeln

x^{1} = x
x^{ab} = (x^{a})^{b}

Die Gültigkeit dieser beiden Regeln bedeutet, daß G per Konjugation auf sich selbst operiert. Dabei operiert G (von rechts) auf einer Menge X, wenn eine Abbildung

· : X × G → X

gegeben ist, die den Regeln

x · 1 = x
x · (ab) = (x · a) · b

genügt. X wird durch die Operation in Bahnen (orbits)

x · G = {x · a | a ∈ G}

partitioniert. Die Abbildung g ↦ xg bildet G auf die Bahn von x ab. g und h werden auf dasselbe Element abgebildet, wenn x · (gh^{−1}) = x, wenn also g und h in derselben Rechtsnebenklasse der Stabilisatorgruppe

Stab(x) = {a ∈ G | x · a = x}

liegen. Es folgt

|x · G| = (G : Stab(x)). (1.6)

Die Bahnen der Konjugationsoperation von G heißen Konjugationsklassen. Der Stabilisator

C_{G}(x) = {a ∈ G | x^{a} = x}

heißt Zentralisator von x. Die Konjugationsklasse von g besteht genau dann aus einem Element, wenn g von allen inneren Automorphismen fixiert wird, oder anders gesagt, wenn g zum Zentrum von G gehört.

Definition Das Zentrum Z(G) einer Gruppe G ist die Untergruppe aller g, die mit allen a ∈ G vertauschen.

Z(G) ist eine abelsche Untergruppe von G, die unter allen Automorphismen von G invariant bleibt. Insbesondere ist Z(G) ein Normalteiler in G.

Satz 1.5.1 (Klassengleichung) Sei G eine Gruppe und (a_{i})_{i∈I} ein Repräsentantensystem der Konjugationsklassen von nicht–zentralen Elementen. Dann ist

|G| = |Z(G)| + ∑_{i∈I}(G : C_{G}(a_{i})).

Beweis : Folgt sofort aus (1.6). □

1.6 Direkte Produkte

Definition Das direkte Produkt der beiden Gruppen G und H ist das kartesische Produkt

G × H

mit komponentenweiser Multiplikation

(g, h) · (g′, h′) = (g · g′, h · h′).

Man rechnet sofort nach, daß G × H eine Gruppe ist. (1, 1) ist das Einselement und (g^{−1}, h^{−1}) das Inverse von (g, h). Die beiden Faktoren G und H sind in der Form G × 1 und 1 × H Untergruppen von G × H, und G × H ist inneres direktes Produkt dieser Untergruppen im folgenden Sinn:

Definition K ist inneres direktes Produkt der Untergruppen G und H, wenn

a) sich jedes Element von K eindeutig als ein Produkt gh mit g ∈ G, h ∈ H schreiben läßt,

b) und wenn die Elemente von G und H kommutieren:

gh = hg, (g ∈ G, h ∈ H).

Wenn K inneres direktes Produkt von G und H ist, liefert (g, h) ↦ gh einen Isomorphismus zwischen G × H und K.

Lemma 1.6.1 K ist genau dann inneres direktes Produkt der Untergruppen G und H, wenn

a) GH = K,

b) G ∩ H = 1,

c) gh = hg, (g ∈ G, h ∈ H).

Die letzte Bedingung kann man ersetzen durch die Forderung, daß G und H Normalteiler in K sind.

Beweis : Wenn K inneres direktes Produkt von G und H ist, ist K isomorph zum direkten Produkt von G und H und man verifiziert leicht die drei Bedingungen. G und H sind als Kerne der Projektionshomomorphismen von G × H auf H und G Normalteiler. Wenn umgekehrt die drei Bedingungen erfüllt sind, ist nur noch zu zeigen, daß die Darstellung k = gh eindeutig ist. Das folgt aber aus (b).

Wenn G und H Normalteiler von K sind, betrachtet man den Kommutator

[g, h] = g^{−1}h^{−1}gh

zweier Elemente g ∈ G und h ∈ H. Weil G Normalteiler ist, gehört [g, h] zu G, und weil H Normalteiler ist, zu H. Also folgt aus (b), daß [g, h] = 1, was äquivalent ist zu gh = hg. □

Im Fall additiv geschriebener abelscher Gruppen schreibt man häufig

G ⊕ H

statt G × H.

Als ein Beispiel zeigen wir:

Lemma 1.6.2 Wenn m und n teilerfremd sind, ist

Z_{mn} ≅ Z_{m} ⊕ Z_{n}.

Beweis : Die zwei Projektionen von ℤ nach Z_{m} und Z_{n} setzen sich zu einem Homomorphismus

f : ℤ → Z_{m} ⊕ Z_{n}

zusammen. Der Kern dieser Abbildung ist

mℤ ∩ nℤ = mnℤ.

Das Bild ist also isomorph zu Z_{mn} und muß (aus Anzahlgründen) gleich Z_{m}⊕Z_{n} sein. □

Folgerung 1.6.3 Wenn m = p_{1}^{e_{1}} ⋯ p_{n}^{e_{n}} die Primfaktorzerlegung von m ist, ist

Z_{m} ≅ Z_{p_{1}^{e_{1}}} ⊕ ⋯ ⊕ Z_{p_{n}^{en}} .

Das kartesische Produkt ∏_{i∈I} G_{i} einer Familie von Gruppen ist mit komponentenweiser Multiplikation

(f · g)_{i} = f_{i} · g_{i}

wieder eine Gruppe. Für additiv geschriebene abelsche Gruppen betrachtet man noch die direkte Summe

⨁_{i∈I} G_{i} = {f ∈ ∏_{i∈I} G_{i} | f_{i} = 0 für fast alle i}.

⨁_{i∈I} G_{i} ist innere direkte Summe der isomorphen Kopien G′_{j} = {f ∈ ⨁_{i∈I} G_{i} | f_{i} = 0 für alle i ≠ j}. Das heißt (für abelsche Gruppen), daß sich jedes Element von ⨁_{i∈I} G_{i} eindeutig als eine Summe von Elementen der G′_{i} schreiben läßt.

1.7 Abelsche Gruppen

Definition Ein Gruppe heißt Torsionsgruppe, wenn jedes Element endliche Ordnung hat. Eine Gruppe heißt p–Gruppe (für eine Primzahl p), wenn die Ordnung jedes Elements eine Potenz von p ist.

In einer abelschen Gruppe G teilt die Ordnung von a−b das kleinste gemeinschaftliche Vielfache der Ordnungen von a und b. Es folgt, daß T(M), die Menge aller Elemente endlicher Ordnung, und T_{p}(M), die Menge aller Elemente, deren Ordnung eine p–Potenz ist, Untergruppen sind: die Torsionsuntergruppe und die p–Torsionsuntergruppe von G.

Lemma 1.7.1 Jede abelsche Torsionsgruppe ist direkte Summe von p–Gruppen.

Beweis : Sei G eine abelsche Torsionsgruppe. Wir zeigen, daß G die innere direkte Summe der p –Torsionsuntergruppen T_{p}(G) ist. Sei m die Ordnung von a ∈ G. Weil ⟨a⟩ ≅ Z_{m}, ist nach (1.6.3) a Summe von Elementen, deren Ordnung eine Primzahlpotenz ist. Wir haben nur noch zu zeigen, daß eine solche Zerlegung eindeutig ist. Sei dazu b_{1} + ⋯ + b_{n} = 0, b_{i} ∈ T_{p_{i}} und die Primzahlen p_{1}, …, p_{n} paarweise verschieden. Dann ist aber b_{1} = −(b_{2} + ⋯ + b_{n}) und die Ordnung von b_{1} daher ein Teiler des Produktes der Ordnungen der b_{2}, …, b_{n}. Das ist nur möglich, wenn b_{1} = 0. Es folgt, daß alle b_{i} gleich Null sein müssen. □

Lemma 1.7.2 Jede abelsche p–Gruppe von endlichem Exponenten^{9} ist direkte Summe von zyklischen Gruppen.

Beweis : Sei G vom Exponenten p^{e}, also p^{e}G = 0. Wir zeigen das Lemma zuerst für den Fall e = 1: Dann hängt na nur von n (mod p) ab. Durch die skalare Multiplikation (n + pℤ)a = na wird G daher zu einem 𝔽_{p} = ℤ/pℤ–Vektorraum. Wenn (a_{i})_{i∈I} eine 𝔽_{p}–Basis von G ist, ist

G = ⨁_{i∈I} 𝔽_{p}a_{i}.

Nun zum allgemeinen Fall. Wir nennen den 𝔽_{p}–Vektorraum

S = {a ∈ G | pa = 0}

der Elemente vom Exponenten p den Sockel von G. Die Unterräume S^{i} = S ∩ (p^{i}G) der Elemente des Sockels, die (in G) durch p^{i} teilbar sind, bilden eine Kette von Unterräumen:

0 = S^{e} ⊂ S^{e−1} ⊂ … ⊂ S^{1} ⊂ S^{0} = S.

Wir wählen für jedes i < e ein Basis (s_{j}^{i})_{j∈J_{i}} von S^{i} modulo S^{i+1}. Insgesamt bilden die s_{j}^{i} eine Basis des Sockels. Jetzt wählen wir für jedes s_{j}^{i} ein g_{j}^{i} mit p^{i}g_{j}^{i} = s_{j}^{i}. Sei G_{j}^{i} = ⟨g_{j}^{i}⟩ die von g_{j}^{i} erzeugte zyklische Untergruppe (der Ordnung p^{i+1}). Wir werden zeigen, daß G die direkte Summe der G_{j}^{i} ist.

9n ist Exponent von G, wenn g^{n} = 1 für alle g ∈ G.

Sei H die Summe der G_{j}^{i}. Weil die s_{j}^{i} zu H gehören, enthält H den Sockel. Wir zeigen, daß alle a in H liegen, durch Induktion über die Ordnung von a. Nehmen wir an, daß ord(a) = p^{m+1} und daß die Behauptung schon für alle Elemente kleinerer Ordnung gezeigt ist. p^{m}a liegt in S^{m} und ist daher eine Linearkombination von s_{j}^{i} mit i ≥ m. Weil diese s_{j}^{i} in H durch p^{m} teilbar sind, ist auch p^{m}a in H durch p^{m} teilbar. Es gibt also ein h ∈ H mit p^{m}h = p^{m}a. h − a hat höchstens die Ordnung p^{m} und liegt in H, also liegt auch a in H.

Schließlich müssen wir noch die Direktheit der Summe zeigen. Sei dazu (c_{j}^{i}) eine Familie von Elementen der G_{j}^{i}, die nicht alle Null sind. Sei p^{m+1} die größte Ordnung der c_{j}^{i}. Die p^{m}c_{j}^{i} liegen dann in S und sind nicht alle Null. Nun ist aber die Summe der S ∩ G_{j}^{i} = 𝔽_{p}s_{j}^{i} direkt und daher ∑ p^{m}c_{j}^{i} ≠ 0, woraus ∑ c_{j}^{i} ≠ 0 folgt. □

Aus den beiden Lemmas folgt:

Satz 1.7.3 (Hauptsatz über endliche abelsche Gruppen) Jede endliche abelsche Gruppe (oder allgemeiner: jede abelsche Gruppe von endlichem Exponenten) ist direkte Summe von zyklischen Gruppen von Primpotenzordnung. Die Summanden sind bis auf Isomorphie und Reihenfolge eindeutig bestimmt.

Beweis : Nur die Eindeutigkeit ist noch zu zeigen: Sei

G = ⨁_{p,e} (Z_{p^{e}})^{n_{p,e}} .

Für eine Primzahl p sei G[p] = {a ∈ G | pa = 0} der p-Sockel von G. Man überlegt, daß

G[p] = ⨁_{e} (p^{e−1}Z_{p^{e}})^{n_{p,e}}

und für alle e

(p^{e}G)[p] = ⨁_{i>e} (p^{i−1}Z_{p^{i}})^{n_{p,i}} .

Es ist also

n_{p,e} = dim_{𝔽_{p}}(p^{e−1}G)[p]/(p^{e}G)[p].
□

Definition Eine Gruppe ohne Elemente endlicher Ordnung heißt torsionsfrei.

Wir werden zeigen:

Satz 1.7.4 Endlich erzeugte torsionsfreie abelsche Gruppen sind direkte Summen von Kopien von ℤ. Die Zahl der Summanden ist eindeutig bestimmt.

Sei F = ⨁_{i∈I} ℤ direkte Summe von Kopien von ℤ. Sei e_{i} das Einselement der i-ten Kopie von ℤ. Dann wird F (als abelsche Gruppe) von den e_{i} in folgendem Sinn frei erzeugt:

Für alle abelschen Gruppen A und für jede Familie (a_{i})_{i∈I} von Elementen von A gibt es genau einen Homomorphismus f : F → A, der für alle i ∈ I e_{i} auf a_{i} abbildet.

Man zeigt leicht, daß diese Eigenschaft F bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt. Freie Gruppen sind projektiv:

Wenn A/B frei ist, ist B direkter Summand von A.

Beweis : Wenn A/B von den a_{i} + B (i ∈ I) frei erzeugt wird, gibt es einen Homomorphismus f : A/B → A mit f(a_{i} + B) = a_{i}, also π(f(a_{i} + B)) = a_{i} + B für die Projektion π : A → A/B. Es gilt dann π(f(x)) = x für alle x ∈ A/B. Sei C das Bild von f. Dann ist A = B ⊕ C. (Existenz: a = (a − f(π(a))) + f(π(a)), Eindeutigkeit: π(f(x) + b) = x) □

Nicht alle torsionsfreien abelschen Gruppen sind frei, ℚ, die additive Gruppe der rationalen Zahlen, ist das einfachste Gegenbeispiel. Wir beginnen den Beweis von (1.7.4) mit dem Nachweis, daß endlich erzeugte Untergruppen G von ℚ zyklisch sind: Wenn g_{1}, …, g_{n} die Erzeugenden von G sind, wählen wir eine ganze Zahl N ≠ 0, sodaß alle Ng_{i} zu ℤ gehören. Die Gruppe NG ist zu G isomorph und als Untergruppe von ℤ zyklisch.

Sei G torsionsfrei und von g_{0}, …, g_{n} erzeugt. Sei r = \frac{a}{b} ∈ ℚ. Für Elemente x, y von G schreiben wir

rx = y,

wenn ax = by. Weil G torsionsfrei ist, ist y durch x und r eindeutig bestimmt. Betrachte die Untergruppe

H = {g | g = rg_{0} für ein r ∈ ℚ} .

Weil ax ∈ H ⇒ x ∈ H für alle a ≠ 0, ist G/H torsionsfrei. G/H wird von den Nebenklassen von g_{1}, …, g_{n} erzeugt, also können wir (Induktion!) annehmen, daß G/H frei ist, und G = C ⊕ H für eine isomorphe Kopie C von G/H. Wir sind fertig, wenn wir zeigen können, daß H zyklisch ist. Weil H als direkter Summand homomorphes Bild von G ist, ist H endlich erzeugt. H ist aber per rg_{0} ↦ r isomorph zu einer Untergruppe von ℚ, ist also zyklisch.

Wir zeigen noch, daß die Zahl der zyklischen Summanden eindeutig bestimmt ist: Wenn G = ⨁_{i=1}^{n} ℤ, ist n die Dimension des 𝔽_{p}–Vektorraums G/(pG).

□

Folgerung 1.7.5 Endlich erzeugte abelsche Gruppen sind direkte Summen von zyklischen Gruppen.

Beweis : Sei G endlich erzeugt. Weil G/T(G) torsionsfrei, endlich erzeugt und daher projektiv ist, ist G = C ⊕ T(G). Jetzt wendet man (1.7.4) und (1.7.3) auf C und T(G) an. □

1.8 Sylowgruppen

Wir halten in diesem Abschnitt eine Primzahl p fest.

Lemma 1.8.1 (Cauchy^{10}) Sei G eine endliche Gruppe und p ein Teiler der Ordnung von G. Dann hat G ein Element der Ordnung p.

Beweis : Aus der Klassengleichung (1.5.1) folgt, daß die Ordnung des Zentrums Z durch p teilbar ist, oder daß es ein nicht–zentrales Element a geben muß, für das (G : C_{G}(a)) nicht durch p teilbar ist. Im ersten Fall folgt aus (1.7.3)^{11}, daß Z ein Element der Ordnung p hat. Im zweiten Fall ist C_{G}(a) eine echte Untergruppe von G, deren Ordnung immer noch durch p teilbar ist und die daher (per Induktion!) ein Element der Ordnung p hat. □

Als Folgerung erhält man, daß die Ordnung endlicher p–Gruppen eine p– Potenz ist.

Definition Sei G endlich und p^{e} die größte Potenz von p, die die Ordnung von G teilt. Eine p–Sylowgruppe von G ist eine Untergruppe der Ordnung p^{e}.

Endliche abelsche Gruppen besitzen (jeweils eindeutig bestimmte) p–Sylowgruppen nach (1.7.1).

Satz 1.8.2 In endlichen Gruppen gibt es immer p–Sylowgruppen.

Beweis : Sei G eine endliche Gruppe. Wir beweisen den Satz durch Induktion nach der Ordnung von G. Wenn p die Ordnung von G nicht teilt, ist 1 p–Sylowgruppe. Nehmen wir also an, daß p die Ordnung von G teilt. Wenn p auch die Ordnung des Zentrums teilt, gibt es eine zentrale Untergruppe A der Ordnung p. Nach Induktionsvoraussetzung hat G/A eine p–Sylowgruppe S/A. S ist dann p–Sylowgruppe von G. Wenn p die Ordnung des Zentrums nicht teilt, gibt es nach der Klassengleichung eine echte Untergruppe C, deren Index nicht durch p teilbar ist. C hat nach Induktionsvoraussetzung eine p–Sylowgruppe S. S ist auch p–Sylowgruppe von G. □

Satz 1.8.3 Sei G endlich. Dann ist jede p–Untergruppe in einer p–Sylowgruppe enthalten und alle p–Sylowgruppen von G sind konjugiert.

Beweis : Sei U eine p–Untergruppe und S eine zunächst beliebige Untergruppe. Wir lassen U auf der Menge (G/S) der Rechtsnebenklassen von S vermöge

(Sg) · u = Sgu

10Augustin Louis Cauchy (1789-1857)

11Man braucht eigentlich nur (1.7.1)

operieren. Eine Bahn SgU besteht genau dann aus genau einem Element Sg, wenn

S(gUg^{−1}) = S ⟺ gUg^{−1} ≤ S ⟺ U ≤ g^{−1}Sg.

Weil jede Bahn p–Potenz–viele Elemente hat, ist die Zahl dieser Nebenklassen Sg zum Index (G : S) modulo p kongruent. Wenn S eine p–Sylowgruppe ist, ist (G : S) nicht durch p teilbar. Es muß also ein g mit U ≤ g^{−1}Sg geben. □

Wenn wir die letzte Überlegung auf S = U anwenden, erhalten wir

(N_{G}(U) : U) ≡ (G : U) (mod p). (1.7)

Dabei ist N_{G}(U) = {g ∈ G | U = g^{−1}Ug} der Normalisator von U in G.

Wenn U keine Sylowgruppe ist, schließt man daraus, daß (N_{G}(U) : U) durch p teilbar ist. Nach (1.8.1) muß es ein Element a ∈ N_{G}(U) geben, das modulo U die Ordnung p hat. ⟨U, a⟩ ist dann eine p–Gruppe, die U echt erweitert. Wir haben also einen alternativen Beweis für die Existenz von Sylowgruppen.

Wenn U eine Sylowgruppe ist, schließt man aus (1.7)

Zahl der p–Sylowgruppen = (G : N_{G}(U)) ≡ 1 (mod p).

Folgerung 1.8.4 Der Normalisator einer p–Sylowgruppe S einer endlichen Gruppe G ist selbstnormalisierend. Das heißt

N_{G}(N_{G}(S)) = N_{G}(S)

Beweis : S ist die einzige p–Sylowgruppe in N_{G}(S). Daher muß S unter allen Automorphismen von N_{G}(S) invariant bleiben. Wenn a ∈ N_{G}(N_{G}(S)), läßt der innere Automorphismus τ_{a} also S invariant und es folgt a ∈ N_{G}(S). □

Beispiel: Wir wollen die 2–Sylowgruppen der S_{4} bestimmen. S_{4} hat triviales Zentrum. Also muß es eine Konjugationsklasse geben, die mehr als eins, aber ungerade viele Elemente enthält. Das ist die Konjugationsklasse der Produkte von disjunkten Transpositionen {(12)(34), (13)(24), (14)(23)}. Der Index des Zentralisators C((13)(24)) ist die Zahl der Elemente, also drei. Es folgt, daß S = C((13)(24)) die Ordnung acht hat. S ist die Diedergruppe^{12} D_{8}, die Gruppe der Automorphismen des Quadrats

1  2 3 4

Die anderen 2–Sylowgruppen sind die Konjugierten C((12)(34)) und C((14)(23)).

12Die Diedergruppe D_{2n} ist die Automorphismengruppe des n–Ecks

1.9 Nilpotente Gruppen

Definition Eine Gruppe G heißt nilpotent, wenn es eine Zentralreihe gibt. Das ist eine Folge von Normalteilern

1 = N_{0} ≤ … ≤ N_{n} = G,

für die jeweils N_{i+1}/N_{i} im Zentrum von G/N_{i} liegt.

Abelsche Gruppen sind trivialerweise nilpotent.

Lemma 1.9.1 Sei Z eine zentrale Untergruppe von G. Dann ist G genau dann nilpotent, wenn G/Z nilpotent ist.

Beweis : Homomorphe Bilder von nilpotenten Gruppen sind wieder nilpotent, weil homomorphe Bilder von Zentralreihen wieder Zentralreihen sind. Also ist G/Z nilpotent, wenn G nilpotent ist. Wenn umgekehrt N_{i}/Z eine Zentralreihe von G/Z ist, ist 1 ⊲ N_{0} ⊲ … N_{n} = G eine Zentralreihe von G. □

Beispiel: Das Zentrum der Quaternionengruppe

Q_{8} = {1, −1, i, −i, j, −j, k, −k}

ist Z = {1, −1}, der Quotient Q_{8}/Z ≅ Z_{2} × Z_{2} ist abelsch. 1 ≤ Z ≤ Q_{8} ist also eine Zentralreihe.

Satz 1.9.2 Endliche p–Gruppen sind nilpotent.

Beweis : Sei G eine endliche p–Gruppe. Nach (1.6) ist die Mächtigkeit aller Konjugationsklassen eine Potenz von p. Also ist die Zahl der ein–elementigen Konjugationsklassen, d.h. die Mächtigkeit von Z(G), durch p teilbar, wenn G nicht–trivial ist. Z(G) ist dann nicht–trivial und G/Z(G) eine p–Gruppe kleinerer Mächtigkeit als G, von der wir (per Induktion) annehmen können, daß sie nilpotent ist. Dann ist G nilpotent nach dem letzten Lemma. □

Satz 1.9.3 Der Normalisator jeder echten Untergruppe U einer nilpotenten Gruppe G ist echt größer als U.

Beweis : Sei 1 = N_{0} ⊲ … ⊲ N_{n} = G eine Zentralreihe von G. Es gibt einen Index i, sodaß N_{i} ≤ U und N_{i+1} ≰ U. Weil N_{i+1} zentral ist, modulo N_{i}, ist [n, u] ∈ N_{i} ≤ U für alle n ∈ N_{i+1} und u ∈ U. Daraus folgt, daß N_{i+1} ≤ N_{G}(U). □

Folgerung 1.9.4 Endliche nilpotente Gruppen sind direkte Produkte von p– Gruppen.

Beweis : Nach (1.8.4) sind die p–Sylowgruppen S_{p} der nilpotenten Gruppe G normal. Daraus folgt leicht, daß das Produkt der S_{p} direkt ist. Das Produkt der S_{p} hat aber ebensoviel Elemente wie G. □

Beispiel: Für jeden Körper K ist die Gruppe δ_{n}(K) ≤ GL_{n}(K) der oberen Dreiecksmatrizen, in deren Diagonale nur Einsen stehen, nilpotent. Die Untergruppen N_{i} derjenigen Matrizen aus δ_{n}(K), deren erste n−i Nebendiagonalen verschwinden, bilden eine Zentralreihe der Länge n − 1.

1.10 Auflösbare Gruppen

Definition Ein Gruppe, die eine Normalreihe mit abelschen Faktoren (eine abelsche Normalreihe) besitzt, heißt auflösbar.

Zentralreihen sind abelsch, nilpotente Gruppen also auflösbar.

Sei (N_{i}) eine abelsche Normalreihe von G. Wenn U eine Untergruppe ist, ist (U ∩ N_{i}) eine abelsche Normalreihe von U. Und wenn f : G → H ein Homomorphismus ist, ist f(N_{i}) eine abelsche Normalreihe von f(G). Das ist leicht zu zeigen und beweist die eine Hälfte von

Satz 1.10.1 Sei N ein Normalteiler von G. Dann ist G genau dann auflösbar, wenn N und G/N auflösbar sind.

Beweis : Wenn N_{0}⊲…⊲N_{n} eine abelsche Normalreihe von N ist und G_{0}/N ⊲…⊲G_{m}/N eine abelsche Normalreihe von G/N, ist

N_{0} ⊲ … ⊲ N_{n} = G_{0} ⊲ … ⊲ G_{m}

eine abelsche Normalreihe von G. □

Definition Die Kommutatorgruppe G′ ist die von allen Kommutatoren [a, b], a, b ∈ G erzeugte Untergruppe.

Wenn N ein Normalteiler von G ist, ist offenbar G/N genau dann abelsch, wenn G′ ≤ N. Weil die Menge aller Kommutatoren unter allen (inneren) Automorphismen abgeschlossen ist, ist G′ ein Normalteiler von G. G′ ist also der kleinste Normalteiler, für den G/N abelsch ist.

Wir definieren induktiv die Folge der Derivierten G^{(i)} von G durch G^{(0)} = G und G^{(i+1)} = (G^{(i)})′. Die G^{(i)} sind unter allen Automorphismen von G invariant und daher Normalteiler.

Satz 1.10.2 G ist genau dann auflösbar, wenn G^{(n)} = 1 für genügend großes n.

Beweis : Wenn G^{(n)} = 1, ist G^{(n)} ⊲ G^{(n−1)} ⊲ … G^{(0)} = G eine abelsche Normalreihe. Wenn umgekehrt N_{0} ⊲ … ⊲ N_{n} eine abelsche Normalreihe von G ist, zeigt man induktiv, daß G^{(i)} ≤ N_{n−i}:

G^{(i+1)} = (G^{(i)})′ ≤ (N_{n−i})′ ≤ (N_{n−i−1}).
□

Weil nach dem Satz von Cayley jede endlich Gruppe isomorph zu einer Untergruppe einer endlichen symmetrischen Gruppe ist, ist nicht zu erwarten, daß alle endlichen symmetrischen Gruppen auflösbar sind:

Beispiel: Die endlichen symmetrischen Gruppen

S_{n} = Sym{1, …, n}

sind genau dann auflösbar, wenn n ≤ 4:

S_{1} = 1, S_{2} = Z_{2} sind abelsch. S_{3} hat die abelsche Normalreihe 1 ⊲ A_{3} ⊲ S_{3}, wobei A_{n} der Normalteiler der geraden Permutationen (die alternierende Gruppe) ist. S_{4} hat die abelsche Normalreihe 1 ⊲ V_{4} ⊲ A_{4} ⊲ S_{4}, mit der Kleinschen Vierergruppe

V_{4} = { 1, (12)(34), (13)(24), (14)(23) } ≅ Z_{2} × Z_{2}.

Es ist tatsächlich S_{4}^{(1)} = A_{4} , S_{4}^{(2)} = V_{4} und S_{4}^{(3)} = 1. Für n ≥ 5 sind die S_{n} nicht auflösbar, weil die Reihe der derivierten Gruppen bei S_{n}^{(1)} = S_{n}^{(2)} = A_{n} stationär wird. Weil S_{n}^{(1)} ⊲ A_{n}, ist zu zeigen, daß A′_{n} = A_{n}. Wegen

[(123), (12345)] = (253)

gehören (253) und damit auch alle Konjugierten, also alle Dreierzyklen, zu A′_{n}. Jede gerade Permutation laßt sich aber als Produkt von Dreierzyklen schreiben. Es genügt, das für Produkte von zwei Transpositionen einzusehen. Es ist (ab)(bc) = (abc) und (ab)(cd) = (abc)(bcd).

Mit ähnlichen Methoden zeigt man

Lemma 1.10.3 Die alternierenden Gruppen A_{n} sind für n ≥ 5 einfach.

□

Beispiel: Die Kommutatorgruppe der Gruppe Δ_{n}(K) ≤ GL_{n}(K) der invertierbaren oberen Dreiecksmatrizen ist δ_{n}(K) (S.29). Δ_{n}(K) ist also auflösbar.

Kommutative Ringe

2.1 Der Homomorphiesatz

Definition Ein Ring R = (R, +, ·) ist eine abelsche Gruppe (R, +) mit einer bilinearen Halbgruppenoperation ·.

Die Multiplikation erfüllt also die Rechenregeln

a(b + c) = (ab) + (ac)
(a + b)c = (ab) + (ac)
(ab)c = a(bc).

Weil a0 = a(0 + 0) = a0 + a0 und 0a = (0 + 0)a = 0a + 0a, ist in allen Ringen

a0 = 0a = 0.

Wir werden im Folgenden nur unitäre Ringe mit einem Einselement 1 betrachten, für das also

1a = a1 = a.

Wenn in einem Ring R 1 = 0, ist für alle a ∈ R

a = 1 · a = 0 · a = 0.

R ist also der triviale Ring 0, der nur aus dem Nullelement besteht.

Beispiel: Ein Endomorphismus einer abelschen Gruppe A ist ein Homomorphismus f : A → A. Elementweise Addition macht die Menge End(A) aller Endomorphismen von A zu einer abelschen Gruppe, Komposition zu einem Ring, dem Endomorphismenring von A.

Die (bzgl. ·) invertierbaren Elemente bilden die Gruppe R^{∗} der Einheiten von R. Wenn R nichttrivial ist und alle von Null verschiedenen Elemente Einheiten sind, heißt R Schiefkörper oder Divisionsring.

Beispiel: Die Quaternionenalgebra ℍ ist ein Schiefkörper.

Ein Ring, dessen Multiplikationshalbgruppe kommutativ ist, heißt kommutativer Ring.

Beispiel: Die ganzen Zahlen ℤ sind ein kommutativer Ring.

Ein Homomorphismus

f : R → S

zwischen Ringen ist ein Homomorphismus zwischen den additiven Gruppen und den multiplikativen Halbgruppen von R und S. Es gilt also

f(x + y) = f(x) + f(y)
f(xy) = f(x)f(y)

Wir betrachten im folgenden nur unitäre Homomorphismen, für die

f(1) = 1.

Entsprechend sei ein Unterring S von R immer unitär. Das heißt, daß das Einselement von S auch Einselement von R ist.

Beispiel: Für jeden Ring R gibt es einen (und nur einen) Homomorphismus ℤ → R, definiert durch z ↦ z · 1.

Beispiel: Das direkte Produkt R_{1} ×R_{2} von zwei Ringen ist, mit komponentenweisen Operationen wieder ein Ring, mit Einselement (1, 1). Die Projektionen R_{1}×R_{2} → R_{i} sind unitäre Homomorphismen. Die durch x ↦ (x, 0) definierte isomorphe Einbettung R_{1} → R_{1} × R_{2} ist nicht unitär.^{1}

Der Kern eines Ringhomomorphismus f : R → S ist der Kern

ker(f) = {g ∈ R | f(g) = 0}

von f als Homomorphismus der additiven Gruppen. Weil r0 = 0r = 0 für alle r ∈ R, ist der Kern eines Homomorphismus ein Ideal.

Definition Ein Ideal eines Ringes ist eine additive Untergruppe I mit

rI ⊂ I, Ir ⊂ I

für alle r ∈ R. Wir verwenden die gleiche Notation wie bei Normalteilern:

I ⊲ R

Satz 2.1.1 (Homomorphiesatz) Sei R ein Ring.

1Einfachstes Beispiel eines Unterrings, der nicht (notwendig) unitärer Unterring ist, ist natürlich der triviale Ring 0.

1. Wenn I ein Ideal von R ist, wird durch

(I + g) · (I + h) = I + (g · h)

eine Ringoperation auf R/I definiert. Die Projektion

π : R → R/I

ist ein Homomorphismus.

2. Sei f : R → S ein Homomorphismus und I = ker(f) der Kern von f.

Dann ist I ein Ideal und

I + g ↦ f(g)

definiert einen Isomorphismus zwischen R/I und f(R).

□

Beweis : Im wesentlichen ist nur zu zeigen, daß die Nebenklassenzerlegung nach einem Ideal eine Kongruenzrelation ist, daß also für jedes Ideal I

I + a = I + b ⟹ I + ac = I + bc, I + ca = I + cb.

Es ist aber

a − b ∈ I ⟹ ac − bc = (a − b)c ∈ I, ca − cb = c(a − b) ∈ I.
□

Jeder Ring R hat die beiden Ideale 0 und R. Ein von R verschiedenes Ideal heißt echt.

Beispiel: Alle additiven Untergruppen von ℤ sind Ideale. Die abelschen Gruppen

Z_{m} = ℤ/mℤ

haben also eine natürliche Ringstruktur.

Eine additive Untergruppe I von R heißt Linksideal, wenn RI = I, und Rechtsideal, wenn IR = I.^{2}

Beispiel: Sei V ein endlich–dimensionaler Vektorraum und R der Endomorphismenring von V. Für jeden Unterraum W ist

{f ∈ R | W ⊂ ker(f)}

ein Linksideal und

{f ∈ R | Im(f) ⊂ W }

ein Rechtsideal. Alle Links– und Rechtsideale haben diese Form. Man sieht so, daß R außer 0 und R keine Ideale enthält. Ein Ring R ≠ 0 mit dieser Eigenschaft heißt einfach.

Im Endomorphismenring eines unendlich–dimensionalen Vektorraums ist die Menge der Endomorphismen von endlichem Rang ein echtes Ideal.

2Es ist immer I ⊂ RI und I ⊂ IR.

2.2 Moduln

In diesen Abschnitt sei R ein Ring.

Definition Ein R–Linksmodul ist eine abelsche Gruppe M mit einer Multiplikation R × M → M, die den folgenden Regeln genügt:

a) r(x+y)=rx+ry

b) (r+s)x=rx+sx

c) (rs)x=r(sx)

d) 1x=x

R–Rechtsmoduln sind entsprechend definiert, R operiert von rechts. Die Unterscheidung ist nicht nur notationell. Wenn man R durch

a ·^{opp} b = b · a

eine neue Multiplikation gibt, erhält man den entgegengesetzen Ring R^{opp}. Aus einem R–Linksmodul M wird durch die Setzung xr = rx ein R^{opp}–Rechtsmodul.

Beispiel: Jeder Ring R ist auf natürliche Weise ein R–Linksmodul, den man mit _{R}R bezeichnet, und ein R–Rechtsmodul R_{R}.

Ab jetzt sind alle Moduln Linksmoduln.

Ein Ringhomomorphismus ρ : S → R macht aus einem R–Modul M einen S–Modul _{S}M vermöge

sx = ρ(s)x.

Jede abelsche Gruppe A ist auf natürliche Weise ein ℤ–Modul (vgl. Seite 9) und ein End(A)–Modul.

Eine R–Modulstruktur auf A liefert einen Homomorphismus R → End(A), man ordnet jedem r den Endomorphismus x ↦ rx zu. Umgekehrt definiert jeder Homomorphismus R → End(A) eine R–Modulstruktur auf der abelschen Gruppe A.

Definition Sei M ein R–Modul.

1. Ein Untermodul N von M ist eine Untergruppe von (M, +), die unter Multiplikation mit Elementen von R abgeschlossen ist.

2. Ein Homomorphismus f von M in den R–Modul L, ist ein Homomorphismus f : (M, +) → (L, +), der R–linear ist. Für den also

f(rx) = rf(x)

für alle x ∈ M und r ∈ R.

Den Ring der Endomorphismen^{3} eines R–Moduls M bezeichnet man wieder mit End(M). Wenn (M, +) mehrere Modulstrukturen hat, ist die Schreibweise End_{R}(M) genauer.

Beispiel: End_{R}(M) ist ein Unterring von End_{ℤ}(M).

Ebenso schreiben wir Hom_{R}(M, N) für die abelsche Gruppe der Homomorphismen von M nach N.

Die Untermoduln von _{R}R sind die Linksideale von R. Linksmultiplikation mit einem Ringelement definiert einen Endomorphismus von R_{R}. Man erhält so einen Ringhomomorphismus R → End(R_{R}).

Bemerkung Die natürliche Abbildung R → End(R_{R}) ist ein Ringisomorphismus.

Beweis : Weil r1 = r, ist die Abbildung injektiv (vgl. den Beweis von 1.1.4). Sei ϕ ein Endomorphismus von R_{R}. Dann ist ϕ Linksmultiplikation mit r = ϕ(1), weil rs = ϕ(1)s = ϕ(1s) = ϕ(s).

Satz 2.2.1 (Homomorphiesatz) Sei M ein R–Modul.

1. Wenn N ein Untermodul von M ist, wird durch

r(N + x) = N + rx

eine R–Modulstruktur auf M/N definiert. Die Projektion

π : M → M/N

ist ein Homomorphismus.

2. Sei f : M → L ein Homomorphismus und N = ker(f) der Kern von f. Dann ist N ein Untermodul und

N + x ↦ f(x)

definiert einen Isomorphismus zwischen M/N und f(M).

□

Beweis : Wir zeigen, daß N + rx nur von N + x abhängt: Wenn N + x = N + x′, ist

x − x′ ∈ N ⇒ rx − rx′ = r(x − x′) ∈ N

und daher N + rx = N + rx′. Daraus folgt 1).

3Endomorphismen sind Homomorphismen in sich.

Für 2) überlegen wir, daß N ein Untermodul ist: Wenn x ∈ N, ist^{4}

f(rx) = rf(x) = r · 0 = 0.
□

Die direkte Summe ⨁_{i∈I} M_{i} einer Familie von R–Moduln ist auf natürliche Weise wieder ein R–Modul. Man definiert (für x_{i} ∈ M_{i})

r(∑_{i∈I} x_{i}) = (∑_{i∈I} rx_{i}).

Definition Ein freier R–Modul F ist eine direkte Summe von Kopien von R. Die Einselemente der Summanden bilden die Basis von F.

Lemma 2.2.2 Ein freier Modul F wird von seiner Basis (f_{i}) frei erzeugt: Zu jedem R–Modul M und Elementen m_{i} ∈ M gibt es genau einen Homomorphismus F → M, der f_{i} auf m_{i} abbildet.

Beweis : Die Elemente f von F schreiben sich eindeutig als

f = ∑_{i∈I} r_{i}f_{i}.

Man bildet f ab auf ∑_{i∈I} r_{i}m_{i}. □

4Man sieht leicht, daß r0 = 0y = 0 für alle r ∈ R und alle y ∈ M.

2.3 Polynomringe

In diesem Abschnitt und im Rest des Kapitels sind alle Ringe, insbesondere der Ring R, kommutativ.

Definition Eine R–Algebra ist ein R–Modul A mit einer bilinearen Operation A × A → A. Wenn wir die Operation als Multiplikation schreiben, gelten also die Regeln

a) x(y + z) = xy + xz

b) (x + y)z = xz + yz

c) (rx)y = x(ry) = r(xy)

Wenn die R–Algebra A ein (nicht notwendig kommutativer) Ring ist, ist die Abbildung μ : r ↦ r1 ein Ringhomomorphismus von R in das Zentrum

Z(A) = {a ∈ A | ab = ba für alle b ∈ A}

von A. Ein solcher Homomorphismus macht umgekehrt, vermöge ra = μ(r)a, einen Ring A zu einer R–Algebra. Insbesondere ist jeder (kommutative) Ring, der R als Unterring enthält eine R–Algebra.

Wir betrachten im folgenden nur Algebren, die (nicht notwendig kommutative) Ringe sind. Unsere Algebren sind also assoziativ und haben ein Einselement.

Definition Der Polynomring

R[X]

ist eine kommutative R–Algebra mit einem ausgezeichneten Element X, in der sich jedes Element eindeutig als eine Summe

∑_{i∈ℕ} r_{i}X^{i}

mit Koeffizienten r_{i} ∈ R schreiben läßt. Die Elemente von R[X] heißen Polynome mit Koeffizienten aus R.

Es ist klar, daß R[X] bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt ist. Wir müssen zeigen, daß R[X] wirklich existiert. Dazu wählen wir einen freien R–Modul A mit Basis m_{0}, m_{1}, . . .. Eine bilineare Abbildung μ : A × A → A wird durch die Werte μ(m_{i}, m_{j}) bestimmt, die man beliebig vorgeben kann. Wir definieren die Multiplikation von A durch m_{i} ·m_{j} = m_{i+j}. Es ist klar, daß m_{0} = 1 Einselement von A ist. Für X = m_{1} gilt dann X^{i} = m_{i} (i = 0, 1, …). Zu zeigen ist noch, daß A assoziativ und kommutativ ist. Weil die Multiplikation auf der Basis assoziativ ist, stimmen die beiden multilinearen Abbildungen (xy)z und x(yz) auf der Basis überein und müssen daher gleich sein. Ebenso zeigt man die Kommutativität von A = R[X].

Der Homomorphismus R → R[X] ist injektiv. Wir können deshalb R als Unterring von R[X] auffassen.

Lemma 2.3.1 Sei S eine R–Algebra und s ein Element von S. Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Homomorphismus^{5} R[X] → S, der X auf s abbildet, den Einsetzungshomomorphismus. Man bezeichnet mit f(s) das Bild von f.

Beweis : Wenn f = ∑_{i∈ℕ} r_{i}X^{i}, setze f(s) = ∑_{i∈ℕ} r_{i}s^{i}. (Per definitionem ist s^{0} = 1.) □

Man beachte, daß im Fall S = R[X] und s = X

f = f(X).

R[X] wird (als Ring) von den Elementen von R und X erzeugt. Wenn S ein Oberring von R und s ein Element von S ist, bezeichnen wir mit R[s] den von den Elementen von R und s erzeugten Teilring von S. Man sieht leicht, daß

R[s] = {f(s) | f ∈ R[X]} .

Definition Der Grad eines Polynoms f = ∑_{i∈ℕ} a_{i}X^{i} ist

deg(f) = max{ i| a_{i} ≠ 0},

der größte Index eines nicht–verschwindenden Koeffizienten. Der Grad des Nullpolynoms ist −∞. Wenn deg(f) = n, nennt man a_{n} den Leitkoeffizienten von f.

Der Leitkoeffizient des Nullpolynoms ist definiert als 0. Polynome mit Leitkoeffizient 1 heißen normiert. Polynome vom Grad 0 und das Nullpolynom heißen konstante Polynome.

Satz 2.3.2 (Division mit Rest) f und g seien Polynome aus R[X]. Wenn g ≠ 0 und der Leitkoeffizient von g eine Einheit ist, gibt es Polynome h und r mit

f = gh + r

und

deg(r) < deg(g).

Beweis : Wenn deg(f) = m < n = deg(g), setzen wir h = 0 und r = f und sind fertig. Sonst wählen wir c ∈ R, sodaß f und cg den gleichen Leitkoeffizienten haben. Dann ist der Grad von f − g · cX^{m−n} kleiner als m und, mit Induktion, finden wir h und r mit

f − g · cX^{m−n} = gh + r

und deg(r) < deg(g). Es ist dann

f = g(cX^{m−n} + h) + r.
□

a heißt Nullstelle des Polynoms f, wenn f(a) = 0. In einem Ring S heißt b Teiler von a, wenn a ein Vielfaches vonb ist, wenn also a = bc für ein c ∈ S.

5Ein Homomorphismus zwischen R–Algebren ist ein R–linearer unitärer Ringhomomorphismus.

Folgerung 2.3.3 Sei f ∈ R[X] und a ∈ R. Dann ist a genau dann eine Nullstelle von f, wenn X − a ein Teiler von f ist.

Beweis : Sei f = (X − a)h + r für ein r ∈ R. Dann ist a genau dann Nullstelle von f, und X − a genau dann ein Teiler von f, wenn r = 0. □

Wenn man die Bildung des Polynomrings iteriert, erhält man Polynomringe in mehreren Variablen:

R[X_{1}, … X_{n}] = R[X_{1}] … [X_{n}].

Man sieht leicht, daß sich jedes Polynom aus R[X_{1}, … X_{n}] eindeutig in der Form

∑_{ν∈ℕ^{n}} a_{ν}X^{ν}

schreiben läßt, wobei für einen Multiindex ν = (e_{1}, …, e_{n})

X^{ν} = X_{1}^{e_{1}} … X_{n}^{e_{n}}.

Ein solches Produkt der Variablen heißt Monom.

Ganz allgemein läßt sich aus jeder Familie (X_{i})_{i∈I} von Unbestimmten ein Polynomring

R[X_{i}]_{i∈I}

bilden. Die Elemente von R[X_{i}]_{i∈I} sind R–Linearkombinationen von Monomen X_{i_{1}}^{e_{1}} … X_{i_{n}}^{e_{n}}.

2.4 Körper und Integritätsbereiche

Wir betrachten in diesem Kapitel nur kommutative Ringe.

Definition Ein Körper ist ein kommutativer Schiefkörper.

Beispiele: ℚ, ℝ und ℂ und die endlichen Körper 𝔽_{p}.

Lemma 2.4.1 Ein Ring ist genau dann ein Körper, wenn 0 das einzige echte Ideal ist.

Beweis : Sei a ein Element von R. Dann ist a genau dann eine Einheit, wenn das von a erzeugte Ideal Ra die Eins enthält, das heißt wenn Ra = R. Daß 0 das einzige echte Ideal ist, bedeutet also, daß K \ 0 die Einheitengruppe von K ist, was bedeutet, daß K ein Körper ist. □

Es folgt, daß jeder Homomorphismus f : K ↦ R eines Körpers in einen Ring R entweder eine Einbettung ist, oder der Nullhomomorphismus.

Ein Körper kann keine Nullteiler haben. Ein Nullteiler ist ein Element a ≠ 0, für das es ein b ≠ 0 mit

ab = 0

gibt. (Es würde nämlich 1 = a^{−1}ab^{−1}b = a^{−1}b^{−1}ab = 0 folgen.)

Definition Ein nichttrivialer Ring ohne Nullteiler heißt Integritätsbereich.

Ein Ring ist also genau dann ein Integritätsbereich, wenn

ab = 0 ⇒ a = 0 oder b = 0.

Wir werden jeden Integritätsbereich in einen Körper, seinen Quotientenkörper, einbetten. Um die wohlbekannte Konstruktion nicht zu wiederholen, diskutieren wir das allgemeinere Konzept der Quotientenringe^{6}.

Satz 2.4.2 Sei R ein Ring und S eine multiplikativ abgeschlossene Teilmenge von R. Dann gibt es einen Homomorphismus

ι_{S} : R → R_{S}

in einen Ring R_{S}, der durch folgende universelle Eigenschaft eindeutig bestimmt ist:

a) ι_{S} bildet alle Elemente von S in Einheiten von R_{S} ab. b) Jeder Homomorphismus f : R → T, der die Elemente von S in Einheiten

6Man verwechsle diese Quotientenringe nicht mit den Ringen R/I für ein Ideal I.

abbildet, faktorisiert in eindeutiger Weise durch ι_{S}. Das heißt, es gibt einen eindeutig bestimmten Homomorphismus μ : R_{S} → T, der das Diagramm

[figure: R; T; R_{S}; f; ι_{s}; μ]

kommutativ macht.

Beweis : Die Eindeutigkeit von ι_{s} : R → R_{S} sieht man leicht mit folgenden Standardargument: Nehmen wir an, daß ι′ : R → R′ ebenfalls die universelle Eigenschaft hat. Dann gibt es Homomorphismen μ : R_{S} → R′ und μ′ : R′ → R_{S} mit ι′ = μ ∘ ι und ι = μ′ ∘ ι′. Weil ι = (μ′μ) ∘ ι, folgt aus der Eindeutigkeit des Homomorphismus, daß μ′μ = 1. Ebenso folgt μμ′ = 1.

Die Existenz folgt zwar mit general nonsense:

Drei-Sterne-General Wir ordnen jedem s ∈ S eine Variable X_{s} (für das Inverse von s) zu und betrachten den Polynomring R[X_{s}]_{s∈S}. Das Ideal I sei erzeugt von den Polynomen sX_{s} − 1. Dann ist R_{S} = R[X_{s}]_{s∈S}/I und ι_{S} ist die Komposition R → R[X_{s}] → R[X_{s}]_{s∈S}/I.

Vier-Sterne-General Wir betrachten alle^{7}möglichen Homomorphismen f_{i} : R → T_{i}, die die Elemente von S auf Einheiten abbilden. Sei R′ das direkte Produkt aller dieser T_{i} und ι_{S} : R → R′ das Produkt der f_{i}. ι_{S} bildet wieder alle s auf Einheiten ab. R_{S} ist der Unterring von R′, der vom Bild von R und den Inversen aller ι_{S}(s) erzeugt wird.

Wir ziehen aber eine spezifische Konstruktion vor, die mehr Information liefert. Wir können dabei ohne weiteres annehmen, daß S die 1 enthält. Wenn R_{S} konstruiert ist, wird R_{S} die Menge aller Quotienten

\frac{ι_{S}(r)}{ι_{S}(s)} (r ∈ R, s ∈ S)

sein. Wir definieren nun R_{S} als die Menge aller Äquivalenzklassen von Paaren (r, s) (r ∈ R, s ∈ S) unter der Äquivalenzrelation

(r_{1}, s_{1}) ∼ (r_{2}, s_{2}) ⟺ ∃t ∈ S r_{1}s_{2}t = r_{2}s_{1}t.

Addition und Multiplikation definiert man durch

(r_{1}, s_{1}) + (r_{2}, s_{2}) = (s_{2}r_{1} + s_{1}r_{2}, s_{1}s_{2})

7Das ist mengentheoretisch unsauber. Diese Homomorphismen bilden keine Menge.

und

(r_{1}, s_{1}) · (r_{2}, s_{2}) = (r_{1}r_{2}, s_{1}s_{2}).

Daß ∼ tatsächlich eine Äquivalenzrelation ist, daß Addition und Multiplikation repräsentantenunabhängig definiert sind und daß R_{S} ein Ring ist, ist leicht nachzurechnen. Wir zeigen als ein Beispiel die Transitivität von ∼: Sei

(r_{1}, s_{1}) ∼ (r_{2}, s_{2}) ∼ (r_{3}, s_{3}),

weil r_{1}s_{2}t_{1} = r_{2}s_{1}t_{1} und r_{2}s_{3}t_{2} = r_{3}s_{2}t_{2} für t_{1}, t_{2} ∈ S. Wir multiplizieren die erste Gleichung mit s_{3}t_{2}, die zweite mit s_{1}t_{1} und erhalten

r_{1}s_{3}s_{2}t_{1}t_{2} = r_{2}s_{1}s_{3}t_{1}t_{2} = r_{3}s_{1}s_{2}t_{1}t_{2},

woraus (r_{1}, s_{1}) ∼ (r_{3}, s_{3}) folgt.

ι_{S}(r) = (r, 1)/ ∼ ist der gesuchte Homomorphismus von R nach R_{S}. Ein Homomorphismus f : R → T, der die Elemente von R in Einheiten abbildet, faktorisiert als f = μ ∘ ι_{S}, wobei μ((r, s)/ ∼) = f(r)f(s)^{−1}. □

Folgerung Jeder Integritätsbereich R ist Unterring eines Körpers K. Man kann annehmen, daß

K = \{\frac{r}{s} ∈ K | r ∈ R, s ∈ R \ 0\}.

Dadurch wird K bis auf Isomorphie über R eindeutig bestimmt und heißt der Quotientenkörper Quot(R) von R.

Beweis : Setze K = R_{R\0}. Die Abbildung ι_{S} : R → K ist injektiv, weil (r, s)/ ∼= 0 ⇔ ∃t ≠ 0 rt = 0 ⇔ r = 0. K ist ein Körper, weil jedes \frac{r}{s}, das nicht Null ist, \frac{s}{r} als Inverses hat. □

Wenn R ein Integritätsbereich ist, ist R[X] ebenfalls ein Integritätsbereich. Die Gradfunktion deg( ) erfüllt hier die Rechenregeln

deg(fg) = deg(f) + deg(g)
deg(f + g) ≤ max{deg(f), deg(g)}.

Für einen Körper K nennt man den Quotientenkörper

K(X) = Quot(K[X])

den rationalen Funktionenkörper über K. Die Gradfunktion setzt sich per

deg (\frac{f}{g} ) = deg(f) − deg(g)

auf K(X) fort.

Lemma 2.4.3 Ein Polynom n–ten Grades (n ≥ 0) über einem Integritätsbereich R hat höchstens n Nullstellen in R.

Beweis : Sei f ein Polynom von Grad n. Wir dividieren f solange wie möglich durch lineare normierte Polynome,

f = (X − a_{1}) ⋯ (X − a_{m})g.

Nach 2.3.2 hat g keine Nullstelle mehr. Weil R ein Integritätsbereich ist, sind die a_{i} genau die Nullstellen von f und natürlich ist m ≤ n. □

Folgerung 2.4.4 Ein Polynom von Grad n über einem Integritätsbereich R ist durch seine Werte f(a_{0}), …, f(a_{n}) an n + 1 verschiedenen Stellen a_{i} ∈ R eindeutig bestimmt. □

2.5 Primideale

Definition Sei R ein (kommutativer) Ring. Ein maximales Ideal M von R ist ein echtes Ideal, das in keinem anderen echten Ideal enthalten ist.

Aus 2.4.1 folgt sofort

Lemma 2.5.1 Ein Ideal M von R ist genau dann maximal, wenn R/M ein Körper ist.

Beweis : Die Projektion R → R/M vermittelt eine Bijektion zwischen den Idealen von R/M und den Idealen von R, die M enthalten. □

Weil ein Ideal genau dann echt ist, wenn es die 1 nicht enthält, folgt aus dem Zornschen Lemma leicht:

Lemma 2.5.2 Jedes echte Ideal von R ist in einem maximalen Ideal enthalten.

□

Definition Ein echtes Ideal P heißt prim (oder Primideal), wenn

ab ∈ P ⟹ a ∈ P oder b ∈ P.

Lemma 2.5.3 Ein Ideal P von R ist genau dann prim, wenn R/P ein Integritätsbereich ist.

Beweis : Klar. □

Lemma 2.5.4 Sei S eine nicht–leere multiplikativ abgeschlossene Teilmenge von R. Sei P ein Ideal von R, das disjunkt ist zu S und maximal ist mit dieser Eigenschaft. Dann ist P ein Primideal.

Beweis : Wenn a und b nicht zu P gehören, sind Ra + P und Rb + P zwei echte Erweiterungsideale, die daher nicht disjunkt zu S sein können. Es gibt also s, t ∈ R und p, q ∈ P, sodaß sa+p und tb+q zu S gehören. Das Produkt (st)ab+saq+tbp+pq gehört wieder zu S. ab kann dann aber nicht zu P gehören. □

Maximale Ideale sind teilerfremd im Sinne der folgenden Definition.

Definition Zwei Ideale I und J von R heißen relativ prim (oder teilerfremd), wenn

I + J = R.

Satz 2.5.5 (Chinesischer Restsatz) I_{1}…. , I_{n} seien paarweise teilerfremde Ideale von R. Dann induziert die natürliche Abbildung

R → R/I_{1} × ⋯ × R/I_{n}

einen Isomorphismus zwischen R/(I_{1} ∩ ⋯ ∩ I_{n}) und R/I_{1} × ⋯ × R/I_{n} Beispiel:

ℤ_{12} ≅ ℤ_{3} × ℤ_{4}

Beweis : Der Kern der Abbildung ist offensichtlich I_{1} ∩ ⋯ ∩ I_{n}. Es ist also nur die Surjektivität zu zeigen. Wir wählen für jedes Paar i ≠ j ein Element e_{i}^{j} ∈ I_{i}, für das es ein r ∈ I_{j} mit e_{i}^{j} + r = 1 gibt. Es ist also e_{i}^{j} ≡ 1 (mod I_{j}) und e_{i}^{j} ≡ 0 (mod I_{i}). Für e^{j} = ∏_{i≠j} e_{i}^{j} gilt dann e^{j} ≡ 1 (mod I_{j}) und e^{j} ≡ 0 (mod I_{i}) für alle i ≠ j. Wenn r_{1}, …, r_{n} gegeben sind, setzen wir x = ∑_{j} r_{j}e^{j} und haben dann x ≡ r_{j} (mod I_{j}) für alle j. □

2.6 Teilbarkeit

Definition Ein Integritätsbereich R mit einer Betragsfunktion

| | : R → ℕ ∪ {−∞}

heißt euklidischer Ring, wenn r = 0 ⇔ |r| = −∞ und wenn der Satz von der Division mit Rest gilt: Für alle f und g aus R, g ≠ 0 gibt es h, r ∈ R mit

f = gh + r

und |r| < |g|.

Beispiel: ℤ ist ein euklidischer Ring.

Beispiel: Polynomringe K[X] über einem Körper K sind nach 2.3.2 euklidisch.

Beispiel: ℤ[i] ist euklidisch mit der Betragsfunktion

|a + bi| = a^{2} + b^{2}.

Definition Ein Integritätsbereich R heißt Hauptidealring, wenn jedes Ideal I Hauptideal ist, das heißt von der Form

I = Ra.

Wir schreiben gelegentlich (a) für Ra.

Satz 2.6.1 Euklidische Ringe sind Hauptidealringe.

Beweis : Wenn I = 0, ist I = (0). Wenn I ≠ 0, wählen wir ein g ∈ I \ 0 mit minimalem Betrag. Dann ist I = (g). Denn wenn wir ein f ∈ I mit Rest r durch g dividieren, muß auch r zu I gehören. Der Betrag von r kann aber nur dann kleiner sein als |g|, wenn r = 0. □

a und b seien Elemente eines kommutativen Ringes R. Wir sagen b teilt a

b|a

wenn a = bc für ein c ∈ R. b heißt auch Teiler von a.

Wenn a und b sich gegenseitig teilen, heißen a und b äquivalent, in Zeichen

a ∼ b.

Die Menge der Äquivalenzklassen wird durch die Teilbarkeitsrelation zu einer partiellen Ordnung mit kleinstem Element 1/∼ = R^{∗} und größtem Element 0/∼ = {0}. Ein Element p ≠ 0 heißt irreduzibel, wenn p keine Einheit ist und jeder Teiler von p entweder eine Einheit oder zu p äquivalent ist. Ein Körper hat keine irreduziblen Elemente. Die irreduziblen Elemente von ℤ sind gerade die Primzahlen und ihre Negativen.

Für die von a und b erzeugten Hauptideale (a) und (b) bedeutet b|a, daß (a) ⊂ (b), und a ∼ b, daß (a) = (b). p ist genau dann irreduzibel, wenn (p) ein maximales Hauptideal ist. In Hauptidealringen also, wenn (p) maximal ist.

Wenn R ein Integritätsbereich ist (und a ≠ 0), folgt aus a = bc und b = ad, daß dc = 1. Zwei Elemente sind also genau dann äquivalent, wenn sie durch Multiplikation mit einer Einheit auseinander hervorgehen.

Definition Ein faktorieller Ring ist ein Integritätsbereich, in dem sich jede von Null verschiedene Nichteinheit (bis auf Reihenfolge und Äquivalenz) eindeutig als Produkt von irreduziblen Elementen schreiben läßt.

Wenn (p_{i}) ein Vertretersystem der Äquivalenzklassen der irreduziblen Elemente ist, bedeutet das, daß sich jedes von Null verschiedene Element eindeutig in der Form

ϵ ∏_{i∈I} p_{i}^{e_{i}} ,

mit einer Einheit ϵ und natürlichen Zahlen e_{i}, schreiben läßt.

Satz 2.6.2 Hauptidealringe sind faktoriell.

Beweis : Sei a ∈ R ungleich Null und eine Nichteinheit.

Existenz der Zerlegung:

Wenn a_{0} keine Zerlegung in Irreduzible hat, hat a_{0} einen Teiler a_{1}, der keine Einheit, nicht äquivalent zu a_{0} ist und ebenfalls keine Zerlegung in Irreduzible hat. Man erhält also eine unendliche echte Teilerkette … a_{2}|a_{1}|a_{0}, die es in Hauptidealringen nicht geben kann. Die Vereinigung der Hauptideale

(a)_{0} ⊂ (a_{1}) ⊂ (a_{2}) ⊂ …

kann nämlich kein endlich erzeugtes Ideal sein, also erst recht kein Hauptideal.

Eindeutigkeit

Für irreduzible p_{i}, q_{j} sei

a = p_{1} … p_{m} = q_{1} … q_{n}.

(p_{1}) ist als maximales Ideal auch prim. Also muß eins der Elemente q_{1}, … q_{n} zu (p_{1}) gehören. Wenn zum Beispiel q_{1} zu (p_{1}) gehört, ist p_{1} ein Teiler von q_{1}. p_{1} und q_{1} sind dann äquivalent und es folgt, daß auch p_{2} … p_{m} und q_{2} … q_{n} äquivalent sind. Wenn wir so fort fahren, erhalten wir das gewünschte Ergebnis: m = n und (nach einer Permutation der Indizes) p_{i} ∼ q_{i}. □

Ringe, in denen jedes Ideal endlich erzeugt ist, heißen noethersch. Man sieht leicht, daß ein Ring genau dann noethersch ist, wenn es keine unendliche, echt aufsteigende Kette von Idealen gibt.

In faktoriellen Ringen ist Rp genau dann prim, wenn p = 0 oder wenn p irreduzibel ist. Die Umkehrung gilt in allen Integritätsbereichen. Sei nämlich (p) prim und ungleich Null. Um zu zeigen, daß p irreduzibel ist, betrachten wir einen Teiler a von p. Es gibt ein b mit p = ab. Weil (p) prim ist muß p a oder b teilen. Wenn p a teilt, sind a und p äquivalent. Sonst sind b und p äquivalent, woraus in Integritätsbereichen folgt, daß a eine Einheit ist.

Für von Null verschiedene p gelten die folgenden Implikationen.

[figure: (p) maximal; (p) prim; p irreduzibel; Integritätsbereiche; Hauptidealringe; faktorielle Ringe]

In faktoriellen Ringen bildet R/∼ mit der Teilbarkeitsrelation einen Verband. Das Infimum von

a = ϵ ∏_{i∈I} p_{i}^{m_{i}} und b = δ ∏_{i∈I} p_{i}^{n_{i}}

ist der (bis auf Äquivalenz eindeutig bestimmte) größte gemeinsame Teiler

ggT(a, b) = (a, b) = ∏_{i∈I} p_{i}^{min(m_{i},n_{i})}.

Das Supremum ist das kleinste gemeinschaftliche Vielfache

kgV(a, b) = ∏_{i∈I} p_{i}^{max(m_{i},n_{i})}.

Es ist ggT(a, 0) = a, ggT(a, 1) = 1, kgV(a, 0) = 0 und kgV(a, 1) = a. Man definiert den ggT und kgV von mehr als zwei Ringelementen sinngemäß.

Weil Ra + Rb das kleinste Ideal ist, das (a) und (b) enthält, und Ra ∩ Rb das größte Ideal, das in (a) und (b) enthalten ist, ist in Hauptidealringen

R ggT(a, b) = Ra + Rb und R kgV(a, b) = Ra ∩ Rb.

In Hauptidealringen sind also von teilerfremden Elementen erzeugte Ideale teilerfremd. Das ist für faktorielle Ringe nicht mehr richtig. Wir werden gleich sehen, daß für jeden Körper K der Polynomring K[X_{1}, X_{2}] faktoriell ist. X_{1} und X_{2} sind teilerfremd, die beiden Ideale (X_{1}) und (X_{2}) aber nicht. Denn ihre Summe kann keine Polynome enthalten, die einen nicht–verschwindenden konstanten Koeffizienten haben.

Wenn R faktoriell ist und die p_{i} ein Vertretersystem der irreduziblen Elemente von R, läßt sich jedes von Null verschiedene Element des Quotientenkörper K eindeutig in der Form

ϵ ∏_{i∈I} p_{i}^{e_{i}} ,

mit einer Einheit ϵ und ganzen Zahlen e_{i} schreiben. Der Begriff der Teilbarkeit läßt sich sinnvoll auf K fortsetzen. Man definiert für b, a ∈ K

a|b

wenn b ∈ Ra. Es ist also

R = {x ∈ K | 1|x}.

Die Begriffe ggT und kgV übertragen sich unmittelbar auf Elemente^{8} von K. Wir merken uns die Regel

ggT(xa, xb) = x ggT(a, b) (2.1)

Satz 2.6.3 Wenn R faktoriell ist, ist auch R[X] faktoriell.

Folgerung 2.6.4 Für jeden Körper K ist K[X_{1}, …, X_{n}] faktoriell.

Beweis (von 2.6.3): K sei der Quotientenkörper von R. Wir definieren den Inhalt eines Polynoms f aus K[X] als den größten gemeinsamen Teiler der Koeffizienten:

Inhalt(a_{n}X^{n} + … + a_{0}) = ggT(a_{n}, …, a_{0}).

f gehört genau dann zu R[X], wenn sein Inhalt zu R gehört. Ein Polynom heißt primitiv, wenn Inhalt(f) = 1. Aus 2.1 folgt, daß (in K[X]) jedes Polynom zu einem primitiven Polynom äquivalent ist.

Sei (f_{i})_{i∈I} ein Repräsentantensystem für die Äquivalenzklassen irreduzibler Polynome aus K[X]. Wir haben gerade gesehen, daß wir annehmen können, daß die f_{i} primitiv sind. Die f_{i} sind dann irreduzibel in R[X], weil jeder Teiler r ∈ R von f_{i} den Inhalt von f_{i} teilen muß und also eine Einheit sein muß.

Sei g ∈ R[X] \ {0}. Weil K[X] faktoriell ist, läßt sich g eindeutig als

g = r ∏_{i∈I} f_{i}^{e_{i}} (2.2)

für ein r ∈ K schreiben. Aus dem nächsten Lemma folgt, daß r gleich dem Inhalt von g ist und also zu R gehören muß. Daraus folgt, daß sich g eindeutig in Potenzen der f_{i} und in irreduzible Elemente von R zerlegt.

Lemma 2.6.5 (Gauß^{9}) Das Produkt von primitiven Polynomen ist primitiv.

Beweis : f und g seien primitiv und p ein irreduzibles Element von R. Wir bezeichnen mit \overline{f}, \overline{g} und \overline{fg} die homomorphen Bilder von f, g und fg in R/(Rp)[X]. Weil f und g primitiv sind, sind \overline{f} und \overline{g} ungleich Null. R/(Rp) ist aber ein Integritätsbereich, woraus folgt, daß \overline{f}\overline{g} = \overline{fg} ungleich Null ist. Das bedeutet, daß p den Inhalt von fg nicht teilt.

Damit haben wir gesehen, daß der Inhalt von fg keinen irreduziblen Faktor hat. fg ist also primitiv. □

8Man sollte aber nicht vergessen, daß ggT und kgV nicht nur von K, sondern von R abhängen!

9Karl Friedrich Gauß (1777-1855)

Körper

3.1 Grundlagen

Sei K ein Körper. Der Durchschnitt aller Unterkörper von K ist der kleinste Unterkörper von K, der Primkörper von K.

Satz 3.1.1 Der Primkörper von K ist entweder isomorph zu ℚ oder isomorph zu 𝔽_{p} für eine Primzahl p.

Beweis : Betrachte den kanonischen Ringhomomorphismus

π : ℤ → K,

der z auf z · 1 abbildet. Das Bild ist der kleinste Unterring ℤ · 1 von K, ein Integritätsbereich. Der Kern von π ist also ein Primideal von ℤ. Es gibt zwei Fälle

1. ker(π) = 0. Dann ist ℤ · 1 isomorph zu ℤ. Der Primkörper ist dann der Quotientenkörper von ℤ · 1 und isomorph zu ℚ.

2. ker(π) = ℤp für eine Primzahl p. Dann ist ℤ · 1 ≅ 𝔽_{p} der Primkörper.

□

Wenn der Primkörper ℚ ist, sagen wir, daß K die Charakteristik 0 oder unendliche Charakteristik hat. Wenn der Primkörper 𝔽_{p} ist, ist p die Charakteristik. Die Charakteristik von K ist also die Ordnung von 1 in der additiven Gruppe von K.

Eine Körpererweiterung K/k besteht aus einem Körper K und einem Unterkörper k. Zwei Körpererweiterungen K/k und K′/k heißen isomorph (über k), wenn es einen Isomorphismus ϕ : K → K′ gibt, der auf k identisch operiert.

Sei a_{1}, …, a_{n} eine Folge von Elementen von K. Wir bezeichnen mit

k[a_{1}, …, a_{n}] = {f(a_{1}, …, a_{n}) | f ∈ k[X_{1}, …, X_{n}]}

den von k und a_{1}, …, a_{n} erzeugten Teilring von K und mit

k(a_{1}, …, a_{n}) = Quot(k[a_{1}, …, a_{n}])
= \{ \frac{f(a_{1}, …, a_{n})}{g(a_{1}, …, a_{n})}| f, g ∈ k[X_{1}, …, X_{n}], g(a) ≠ 0\}

den von k und a_{1}, …, a_{n} erzeugten Unterkörper.

K heißt einfach, wenn K = k(a) für ein a ∈ K. a heißt dann primitives Element von (K/k).

Definition Ein Element a ∈ K heißt algebraisch über k, wenn a Nullstelle eines von Null verschiedenen Polynoms f ∈ k[X]. Wenn a nicht algebraisch ist, heißt a transzendent über k.

Sei f ein irreduzibles Polynom aus k[X]. Weil (f) maximal ist und k nur in 0 schneidet, ist K = k[X]/(f) ein Oberkörper von k. Sei a die Nebenklasse X +(f) von X. Dann ist K = k[a] = k(a) und a ist eine Nullstelle von f, denn

f(a) = f(X + (f)) = f(X) + (f) = (f).

Satz 3.1.2 Sei K/k eine einfache Körpererweiterung mit primitivem Element a.

1. Wenn a algebraisch ist, ist K ≅ k[X]/(f) für ein eindeutig bestimmtes normiertes Polynom f in k[X]. f ist irreduzibel und heißt das Minimalpolynom von a über k.

2. Wenn a transzendent über k ist, ist K über k isomorph zum rationalen Funktionenkörper k(X).

Beweis : Betrachte den Einsetzungshomomorphismus π : f(X) ↦ f(a). k[a] ist das Bild von π und der Kern I besteht aus allen Polynomen f ∈ k[X], die a als Nullstelle haben. Nach dem Homomorphiesatz ist k[a] ≅ k[X]/I.

Wenn I = 0, ist a transzendent über k und k[a] ≅ k[X]/0 = k[X]. k(a) ist als Quotientenkörper von k[a] isomorph zu k(X).

Wenn I ≠ 0, wird I von einem (eindeutig bestimmten) normierten Polynom f erzeugt. Weil k[a] ein Integritätsbereich ist, ist (f) prim und daher f irreduzibel. Es folgt, daß (f) maximal ist. Das heißt, daß k[a] schon ein Körper ist: K = k[a]. □

Sei f ∈ k[X]\0 und I ein Primideal von k[X]. Dann ist I = (f) genau dann, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt sind:

• f ist Polynom von minimalen Grad in I \ 0.

• f ist irreduzibel und gehört zu I.

Wenn a Element eines Oberkörpers ist, und f normiert, ist f genau dann Minimalpolynom von a über k, wenn

• a Nullstelle von f ist und f unter diesen Polynomen minimalen Grad hat.

Oder äquivalent:

• wenn a Nullstelle von f und f irreduzibel ist.

Sei

K ⊂ L

eine Körpererweiterung. Dann ist L auf natürliche Weise ein K–Vektorraum L_{K}. Die Dimension dieses Vektorraums ist der Grad der Körpererweiterung:

[L : K] = dim_{K} L

Beispiel: Die Monome 1, X, X^{2}, … bilden eine Basis von k[X] über k. k(X) hat also unendlichen Grad über k.

Beispiel: Sei f ∈ k[X] ein normiertes irreduzibles Polynom von Grad n. Wegen 2.3.2 läßt sich jedes Element von k[X]/(f) durch ein eindeutig bestimmtes Polynom von kleinerem Grad repräsentieren. Die Nebenklassen von 1, X, …, X^{n−1} bilden also eine Basis von k[X]/(f) über k. Es folgt, daß

[k(a) : k] = n,

wenn a algebraisch über k ist und n der Grad des Minimalpolynoms.

Satz 3.1.3 Sei

F ⊂ K ⊂ L

ein Turm von Körpererweiterungen. Dann ist

[L : K][K : F] = [L : F].

Beweis : Aus einer Basis (a_{i})_{i∈I} von K_{F} und einer Basis (b_{j})_{j∈J} von L_{K} gewinnt man eine Basis (a_{i}b_{j})_{(i,j)∈I×J} von L_{F}. Denn jedes Element l von L läßt sich eindeutig schreiben als

l = ∑_{j∈J} k_{j}b_{j}

und die k_{j} lassen sich eindeutig schreiben als

k_{j} = ∑_{i∈I} f_{i,j}a_{i}.

Wir erhalten eine eindeutige Darstellung

l = ∑_{(i,j)∈I×J} f_{i,j}a_{i}b_{j}.

□

Definition Eine Körpererweiterung K/k heißt algebraisch, wenn jedes Element von K algebraisch über k ist und endlich, wenn [K : k] endlich ist.

Satz 3.1.4 Sei K/k eine Körpererweiterung. Dann sind äquivalent:

a) K/k ist endlich.

b) K/k ist endlich erzeugt und algebraisch.

c) K/k wird von endlich vielen über k algebraischen Elementen erzeugt.

Beweis :

a→b Wenn K/k endlich ist, ist K als k–Vektorraum, erst recht also als Körpererweiterung von k endlich erzeugt. Für jedes a ∈ K ist [k(a) : k] endlich, a also algebraisch über k.

b→c klar

c→a Sei K = k(a_{1}, …, a_{n}) für a_{i}, die algebraisch über k sind. Dann sind alle

Erweiterungen

k(a_{1}, …, a_{i+1})/k(a_{1}, …, a_{i})

endlich. Mit 3.1.3 folgt, daß K/k endlich ist.

Folgerung 3.1.5 Sei F ⊂ K ⊂ L ein Körperturm. Wenn die Erweiterungen L/K und K/F algebraisch sind, ist auch L/F algebraisch.

Beweis : Sei a ein Element von L und f das Minimalpolynom von a über K. Sei K′ die von den Koeffizienten von f erzeugte Erweiterung von F. Dann ist mit K′(a)/K′ und K′/F auch K′(a)/F endlich. Es folgt, daß a algebraisch über F ist. □

3.2 Der algebraische Abschluß

Ein Körper K heißt algebraisch abgeschlossen , wenn jedes nicht–konstante Polynom aus K[X] eine Nullstelle hat. Aus 2.3.3 folgt, daß K genau dann algebraisch abgeschlossen ist, wenn jedes normierte Polynom f ∈ K[X] in Linearfaktoren zerfällt:

f(X) = (X − α_{1}) … (X − α_{n}).

α_{1}, …, α_{n} sind (mit ihrer Vielfachheit gezählt) die Nullstellen von f.

Definition Eine algebraisch abgeschlossener, algebraischer Erweiterungskörper K von k heißt algebraischer Abschluß von k.

Satz 3.2.1 Jeder Körper k hat einen algebraischen Abschluß K. K ist bis auf Isomorphie über k eindeutig bestimmt.

Beweis :

\underline{Existenz}

Wir bemerken zunächst, daß es zu je endlich vielen nicht–konstanten Polynomen f_{1}, …, f_{n} ∈ k[X] einen Oberkörper F von k gibt, in dem f_{1}, …, f_{n} Nullstellen haben: Wir wählen einen irreduziblen Faktor g_{1} ∈ k[x] von f_{1} und setzen k_{1} = k[X]/(g_{1}). Dann hat g_{1} und damit f_{1} eine Nullstelle in k_{1}. Dann erweitern wir k_{1} zu einem Körper k_{2}, der eine Nullstelle von f_{2} enthält und so weiter.

Sei {f_{i} | i ∈ I} die Menge aller nicht–konstanten Polynome aus k[X]. Sei I das im Polynomring

R = k[X_{i}]_{i∈I}

von den Polynomen f_{i}(X_{i}) erzeugte Ideal. Wir zeigen, daß I ein echtes Ideal ist: Sonst gibt es Polynome f_{i_{1}}(X_{i_{1}}), …, f_{i_{n}}(X_{i_{n}}) aus denen sich 1 kombinieren läßt: 1 = g_{1}f_{i_{1}}(X_{i_{1}}) + … + g_{n}f_{i_{n}}(X_{i_{n}}) (3.1)

(g_{1}, …, g_{n} ∈ R). Sei F ein Oberkörper von k, in dem f_{i_{1}}(X), …, f_{i_{n}}(X) Nullstellen α_{1}, …, α_{n} haben. Wenn wir die X_{i_{1}}, …, X_{i_{n}} durch α_{1}, …, α_{n} und die übrigen Variablen (zum Beispiel) durch 0 ersetzen, wird die rechte Seite von in 3.1 Null, was nicht möglich ist.

Wir können also I zu einem maximalen Ideal M erweitern. K_{1} = R/M ist ein Oberkörper von k und wird über k von den Nebenklassen X_{i} + M erzeugt, die jeweils Nullstelle von f_{i} sind. Man konstruiert ebenso einen algebraischen Oberkörper K_{2} von K_{1}, in dem alle nicht–konstanten Polynome aus K_{1}[X] eine Nullstelle haben, und so weiter. Die Vereinigung der Kette

K_{1} ⊂ K_{2} ⊂ K_{3} …

ist algebraisch über k und algebraisch abgeschlossen.

Eindeutigkeit

Sei K′ ein zweiter algebraischer Abschluß von k. Sei ϕ : L → L′ ein maximaler Isomorphismus zwischen zwei Zwischenkörpern L und L′. (Man findet ϕ mit Zorns Lemma.)

[figure: K; K′; L; L′; k; k; ϕ; id_{k}]

Um zu zeigen, daß L = K betrachten wir ein Element a ∈ K. Sei

f = a_{0} + a_{1}X + … + X^{n}

das Minimalpolynom von a über L und

ϕ(f) = ϕ(a_{0}) + ϕ(a_{1})X + X^{n}

das Bild von f in L′[X]. Sei a′ eine Nullstelle von ϕ(f) in K′. Weil ϕ(f) das Minimalpolynom von a′ über L′ ist, kann man ϕ zu einem Isomorphismus L(a) → L′(a′) fortsetzen. Wegen der Maximalität von ϕ ist L(a) = L. Ebenso (durch Vertauschen der Seiten) zeigt man, daß L′ = K′. □

Wir bezeichnen den algebraischen Abschluß von k mit k̃.

Folgerung 3.2.2 Jede algebraische Erweiterung K von k läßt sich über k isomorph in den algebraischen Abschluß k̃ einbetten.

Beweis : K̃ ist auch algebraischer Abschluß von k. □

Sei ϕ : K → L ein Isomorphismus über k von zwei Zwischenkörpern k ⊂ K, L ⊂ k̃. Weil k̃ algebraischer Abschluß von K und L ist, läßt sich ϕ zu einem Automorphismus ϕ̃ von k̃ über k fortsetzen. Wir bezeichnen die Gruppe dieser Automorphismen mit Aut(k̃/k). Allgemein bezeichnen wir die Gruppe aller Automorphismen von F, die alle Elemente des Unterkörpers k fixieren, mit

Aut(F/k).

Sei f ein normiertes Polynom in k[X]. In k̃[X] zerfällt f in Linearfaktoren

f(X) = (X − α_{1}) … (X − α_{n}).

Wir nennen k(α_{1}, …, α_{n}) den Zerfällungskörper von f über k.

Satz 3.2.3 Eine endliche Körpererweiterung K/k (in k̃) ist genau dann ein Zerfällungskörper, wenn sie normal ist: Jedes ϕ ∈ Aut(k̃/k) bildet K auf sich ab.

Beweis : Zerfällungskörper sind normal, weil jedes ϕ ∈ Aut(k̃/k) die Menge der Nullstellen von f auf sich abbildet. Sei K/k normal. Wir wählen ein Erzeugendensystem

K = k(b_{1}, …, b_{k}).

Für jedes b_{i} sei f_{i} das Minimalpolynom von b_{i} über k. Für jede Nullstelle α von f_{i} ist

k(b_{i}) ≅ k(α).

Es gibt also ein ϕ ∈ Aut(k̃/k), das b_{i} auf α abbildet und es folgt α ∈ K. K enthält also alle Nullstellen der f_{i} und ist daher der Zerfällungskörper von

f = f_{1} … f_{k}.

□

3.3 Separable Erweiterungen

Satz 3.3.1 Sei K/k eine endliche Körpererweiterung. Dann gibt es höchstens [K : k] viele isomorphe Einbettungen von K in k̃ über k.

Wenn wir den Separabilitätsgrad [K : k]_{s} als die Zahl aller isomorphen Einbettungen von K in k̃ über k definieren, schreibt sich der Satz als

[K : k]_{s} ≤ [K : k].

Zum Beweis zeigen wir zuerst

Lemma 3.3.2 Für jeden Körperturm

F ⊂ K ⊂ L

ist

[L : K]_{s}[K : F]_{s} = [L : F]_{s}.

Beweis : Wir können annehmen, daß K ein Unterkörper von F̃ ist. ϕ_{1}, …, ϕ_{m} seien die Einbettungen von K in F̃ über F. Wir setzen jedes ϕ_{i} zu einem ϕ̃_{i} ∈ Aut(F̃/F) fort. Weiterhin seien ψ_{1}, …, ψ_{n} alle Einbettungen von L in F̃ über K. Dann ist

ϕ̃_{i}ψ_{j} (i = 1, …, m; j = 1, …, n)

eine wiederholungsfreie Aufzählung aller Einbettungen von L in F̃ über F. □

Beweis von 3.3.1: Wenn K = k(a) eine einfache algebraische Erweiterung ist, liefert jede Nullstelle b ∈ k̃ des Minimalpolynoms f von a über k eine isomorphe Einbettung K → k(b) ⊂ k̃, die a auf b abbildet. Es ist also

[k(a) : k]_{s} = Zahl der Nullstellen von f ≤ deg(f) = [k(a) : k].

Für eine beliebige endliche Erweiterung

K = k(a_{1}, …, a_{n})

folgt die Behauptung aus

[K(a_{1}, …, a_{i+1}) : K(a_{1}, …, a_{i})]_{s} ≤ [K(a_{1}, …, a_{i+1}) : K(a_{1}, …, a_{i})]

mit 3.1.3 und 3.3.2. □

Definition Eine endliche Körpererweiterung K/k heißt separabel, wenn

[K : k]_{s} = [K : k].

Aus 3.1.3 und 3.3.2 folgt sofort Folgerung 3.3.3 Für jeden Körperturm

F ⊂ K ⊂ L

gilt: L/F ist genau separabel, wenn L/K und K/F separabel sind. □

Definition a heißt separabel über k, wenn k(a)/k separabel ist.

Eine einfache algebraische Körpererweiterung k(a)/k ist separabel, wenn das Minimalpolynom f von a über k keine doppelten Nullstellen hat (in k̃), das heißt, daß in der Zerlegung (in k̃[X])

f(X) = (X − α_{1}) … (X − α_{n})

alle α_{i} verschieden sind. Wir nennen nicht–konstante Polynome ohne doppelte Nullstellen separabel.

Folgerung 3.3.4 Sei K/k eine endliche Körpererweiterung. Dann sind äquivalent

a) K/k ist separabel

b) Alle Elemente von K sind separabel über k

c) K = k(a_{1}, …, a_{n}) für Elemente a_{i}, die separabel über k sind.

Beweis : a→b und b→c folgen aus 3.3.3 und 3.1.4.

Wenn a_{1}, …, a_{n} separabel über k sind, ist jedes a_{i} auch separabel über k(a_{1}, …, a_{i−1}). Das Minimalpolynom von a_{i} über k(a_{1}, …, a_{i−1}) kann nämlich als Teiler des Minimalpolynoms von a_{i} über k keine doppelten Nullstellen haben. Jetzt folgt aus 3.3.3, daß K/k separabel ist. Damit ist c→a bewiesen. □

Definition Für Polynome

f(X) = a_{0} + a_{1}X + … + a_{n}X^{n}

definieren wir die Ableitung durch

f′(X) = a_{1} + … + na_{n}X^{n−1}.

Man verifiziert leicht die Rechenregeln

1. f′ = 0, wenn f konstant ist.

2. (f + g)′ = f′ + g′

3. (fg)′ = f′g + fg′ Lemma 3.3.5 Ein nicht–konstantes Polynom f ist genau dann separabel, wenn f und f′ teilerfremd sind.

In Körpern der Charakteristik p kann auch für nicht konstante f die Ableitung f′ Null sein. Zum Beispiel ist

(X^{p} − b)′ = 0.

f und f′ haben dann den gemeinsamen Teiler f.

Beweis : Wenn

f(X) = (X − α_{1}) … (X − α_{n}),

ist

f′(X) = ∑_{i=1}^{n} ∏_{j≠i}(X − α_{j}).

f und f′ sind genau dann nicht teilerfremd in k̃[X], wenn einer der Faktoren (X −α_{i}) die Ableitung f′ teilt. (X −α_{1}) zum Beispiel teilt f′ genau dann, wenn es (X − α_{2}) … (X − α_{n}) teilt, das heißt, wenn α_{1} = α_{j} für ein j ≠ 1. Die Behauptung folgt nun aus der folgenden allgemeinen Bemerkung:

Bemerkung Sei f, g ∈ k[X] und K ein Oberkörper von k. Dann ist der größte gemeinsame Teiler h = ggT(f, g) von f und g in k[X] auch größter gemeinsamer Teiler in K[X].

Das folgt leicht daraus, daß in Hauptidealringen a genau dann der ggT von b und c ist, wenn a ein gemeinsamer Teiler von b und c ist und a sich als a = xb + yc darstellen läßt. □

Folgerung 3.3.6 Ein irreduzibles Polynom hat genau dann mehrfache Nullstellen, wenn seine Ableitung das Nullpolynom ist. □

Wenn f′ = 0 für ein nicht–konstantes Polynom, muß die Charakteristik p von K endlich sein und f hat die Form g(X^{p}).

Folgerung 3.3.7 In der Charakteristik Null sind alle endlichen Körpererweiterungen separabel.

Satz 3.3.8 (Satz vom primitiven Element) Endliche separable Erweiterungen sind einfach erzeugt.

Beweis : Sei K eine (in k̃ enthaltene) separable Erweiterung von k. Wir betrachten für jeden Zwischenkörper L die Menge

Φ_{L} = {ϕ : K → k̃ | ϕ fixiert die Elemente von L}

aller Einbettungen von K in k̃ über L. Weil K separable Erweiterung von L ist, gilt

|Φ_{L}| = [K : L].

Wir können L durch

L = {x ∈ K | ϕ(x) = x für alle ϕ ∈ Φ_{L}}

aus Φ_{L} zurückgewinnen, denn L′ = {x ∈ K | ϕ(x) = x für alle ϕ ∈ Φ_{L}} ist ein Oberkörper von L mit Φ_{L′} = Φ_{L}. Es folgt [K : L′] = [K : L] und daraus L′ = L.

Wir haben damit gezeigt, daß es nur endlich viele (≤ 2^{[K:k]}) Zwischenkörper gibt. Den Fall, daß k endlich ist, behandeln wir im nächsten Abschnitt (3.4.5). Wenn k unendlich ist, folgt aus dem nächsten Lemma, daß K ein Element a hat, das in keinem echten Zwischenkörper liegt. Das heißt aber, daß K = k(a).

□

Lemma 3.3.9 Sei V ein Vektorraum über einem unendlichen Körper k. Dann ist V nicht Vereinigung von endlich vielen echten Unterräumen.

Beweis : Lineare Algebra. □

3.4 Endliche Körper

Endliche Körper haben endliche Charakteristik. Wir betrachten in diesem Abschnitt ab jetzt nur Körper der Charakteristik p ≠ 0.

Lemma 3.4.1 Sei K ein Körper der Charakteristik p. Dann ist die Frobeniusabbildung

x ↦ x^{p}

eine isomorphe Abbildung von K auf einen Unterkörper von K.

Beweis : Es gilt natürlich (xy)^{p} = x^{p}y^{p} und

(x + y)^{p} = x^{p} + \binom{p}{1}x^{p−1}y + … + \binom{p}{p − 1}xy^{p−1} + y^{p} = x^{p} + y^{p},

weil die Binomialkoeffizienten \binom{p}{1}, …, \binom{p}{p−1} durch p teilbar sind. Die Frobeniusabbildung ist injektiv. Denn wenn a^{p} = b, hat das Polynom

X^{p} − b = (X − a)^{p}

nur die (p–fache) Nullstelle a. □

Für jedes q = p^{n} ist x ↦ x^{q} ebenfalls ein Isomorphismus, die n–te Potenz des Frobeniusisomorphismus.

Ein Körper K heißt perfekt, wenn jedes Element eine p–te Potenz ist^{1}. Algebraisch abgeschlossene Körper und endliche Körper sind perfekt. In perfekten Körpern ist die Frobeniusabbildung ein Automorphismus. Endliche Erweiterungen perfekter Körper sind immer separabel. Denn inseparable irreduzible Polynome haben die Form g(X^{p}). In perfekten Körpern sind solche Polynome p–te Potenzen und können nicht irreduzibel sein.

Sei K ein endlicher Körper der Charakteristik p und n der Grad von K über dem Primkörper 𝔽_{p}. K hat dann p^{n} Elemente.

Satz 3.4.2 Für jedes q = p^{n} (n ≥ 1) gibt es genau einen endlichen Körper 𝔽_{q} mit q Elementen. 𝔽_{q} ist der Zerfällungskörper von X^{q} − X über 𝔽_{p}

Beweis : Die multiplikative Gruppe eines Körpers mit q Elementen hat die Ordnung q−1. Also ist a^{q−1} = 1 für alle a ∈ K^{∗} und a^{q} − a = 0 für alle a ∈ K. K besteht also gerade aus allen Nullstellen von X^{q} −X und ist also auch der Zerfällungskörper. Sei umgekehrt q gegeben und

N = {x ∈ 𝔽̃_{p} | x^{q} = x}.

1Körper der Charakteristik 0 werden ebenfalls perfekt genannt

Weil (X^{q} − X)′ = −1 hat X^{q} − X keine doppelten Nullstellen. Also hat N genau q Elemente. Auf der anderen Seite besteht N aus den Fixpunkten des Automorphismus x ↦ x^{q} und ist daher ein Körper. □

Sei Φ der Frobeniusautomorphismus von 𝔽_{p^{n}} und m ein Teiler von n. Dann besteht 𝔽_{p^{m}} aus den Elementen von 𝔽_{p^{n}}, die von Φ^{m} fixiert werden. Weil n der kleinste Index i ist, für den Φ^{i} alle Elemente von 𝔽_{p^{n}} fixiert, sind alle Automorphismen Φ^{0}, Φ^{m}, …, Φ^{( \frac{n}{m} −1)m} verschieden. Weil andererseits Aut(𝔽_{p^{n}}/𝔽_{p^{m}}) höchstens \frac{n}{m} Elemente hat, folgt

Folgerung 3.4.3 𝔽_{p^{n}} ist eine separable Erweiterung von 𝔽_{p^{m}}. Aut(𝔽_{p^{n}}/𝔽_{p^{m}}) ist isomorph zu Z\frac{n}{m} und wird erzeugt von Φ^{m}.

Lemma 3.4.4 Sei K ein Körper und G eine endliche Untergruppe von K^{∗}. Dann ist G zyklisch.

Beweis : Wenn G nicht zyklisch ist, enthält G eine nicht–zyklische q–Gruppe S für eine Primzahl q.^{2} Der Sockel {s ∈ S | s^{q} = 1} hat mindestens q^{2} viele Elemente. In einem Körper kann aber die Gleichung X^{q} −1 = 0 höchstens q Lösungen haben.

□

Folgerung 3.4.5 Die multiplikative Gruppe endlicher Körper ist zyklisch.

Insbesondere sind endliche Körper einfach erzeugt über ihrem Primkörper.

2Sonst ist zum Beispiel G = Z_{2}^{3} ⊕ Z_{3}^{2} ⊕ Z_{5} ≅ Z_{360}.

3.5 Galoistheorie

Definition Eine endliche Körpererweiterung K/k heißt galoissch^{3} , wenn sie normal und separabel ist. Die Gruppe Aut(K/k) aller Automorphismen von K über k heißt Galoisgruppe von K über k.

Über Körpern der Charakteristik 0 (oder allgemeiner über perfekten Körpern) sind also alle Zerfällungskörper galoissch. Wenn F ein Zwischenkörper ist, ist auch die Erweiterung K/F galoissch.

Satz 3.5.1 (Hauptsatz der Galoistheorie) Sei K eine galoissche Erweiterung von k. Die Abbildung

F ⟼ Aut(K/F)

liefert eine Bijektion zwischen der Menge der Zwischenkörper von K/k und der Menge der Untergruppen der Galoisgruppe Aut(K/k). Die Umkehrabbildung wird gegeben durch

G ⟼ Fix(G),

wobei

Fix(G) = {x ∈ K | ϕ(x) = x für alle ϕ ∈ G}

der Fixkörper von G ist.

Beweis : Daß F = Fix(Aut(K/F)), wurde schon im Beweis von 3.3.8 gezeigt. (Der Grund war, daß |Aut(K/F′)| = [K : F′] (3.2)

für alle Zwischenkörper F′.) Es bleibt noch zu zeigen, daß jede Untergruppe G von Aut(K/k) von der Form Aut(K/F) für einen Zwischenkörper F ist. Wir machen dafür natürlich den Ansatz F = Fix(G). Klar ist zunächst, daß G ≤ Aut(K/F). Wenn wir zeigen können, daß |G| ≥ [K : F], folgt aus 3.2 die Gleichheit.

Sei a ein primitives Element der Körpererweiterung K/k :

K = k(a)

Die Menge

{ϕ(a) | ϕ ∈ G}

der G–Konjugierten von a ist invariant unter den Automorphismen von G. Also werden auch die Koeffizienten von

f(X) = ∏_{ϕ∈G}(X − ϕ(a))

von allen ϕ ∈ G festgehalten. Das heißt f ∈ F [X]. Weil a Nullstelle von f ist, hat das Minimalpolynom von a über F höchstens den Grad

deg(f) = |G| .

3Evariste Galois (1811-1832)

Also ist [K : F] ≤ |G|. Damit ist alles bewiesen. □

Der Beweis zeigt auch, daß F über k von den Koeffizienten von f erzeugt wird, und daß f das Minimalpolynom von a über F ist.

Mit dem eben beschriebenen Galoiszusammenhang zwischen Zwischenkörpern F und Untergruppen Aut(K/F) lassen sich viele Körpereigenschaften in Gruppeneigenschaften übersetzen: Seien F und F′ zwei Zwischenkörper und G = Aut(K/F) und G′ = Aut(K/F′) die zugeordneten Gruppen.

1. Es ist klar, daß F ⊂ F′ genau dann, wenn G′ ≤ G. Der Galoiszusammenhang ist also ein Antiisomorphismus zwischen dem Verband der Zwischenkörper und dem Untergruppenverband. Daraus folgt, daß

Aut(K/(F ∩ F′)) = ⟨G, G′⟩

und

Aut(K/(F F′)) = G ∩ G′.

Dabei bezeichnet F F′ den von F und F′ erzeugten Unterkörper von K und ⟨G, G′⟩ die von G ∪ G′ erzeugte Untergruppe von Aut(K/k).

2. Wenn F ⊂ F′, ist

[F′ : F] = (G : G′)

Folgerung 3.5.2 F sei ein Zwischenkörper der Galoiserweiterung K/k. Dann ist F/k genau dann normal, wenn Aut(K/F) Normalteiler in Aut(K/k) ist. Die Einschränkung

ϕ ↦ ϕ ↾ F

induziert dann einen Isomorphismus zwischen Aut(K/k)/Aut(K/F) und Aut(F/k).

Beweis : Sei G = Aut(K/F) und ϕ_{0} ∈ Aut(K/k). Dann gilt

Aut(K/ϕ_{0}(F)) = G^{ϕ_{0}^{−1}}.

Denn ein ϕ ∈ Aut(K/k) fixiert alle y ∈ ϕ_{0}(F) genau dann, wenn ϕ(ϕ_{0}(x)) = ϕ_{0}(x), oder äquivalent: (ϕ_{0}^{−1} ∘ϕ∘ϕ_{0})(x) = x, für alle x ∈ F. Was aber bedeutet, daß ϕ_{0}^{−1} ∘ ϕ ∘ ϕ_{0} ∈ G, oder äquivalent: ϕ ∈ ϕ_{0}Gϕ_{0}^{−1} = G^{ϕ_{0}^{−1}}.

Wenn F/k normal ist und ϕ ∈ Aut(K/k), bildet ϕ ↾ F den Körper F auf sich ab. Die Einschränkung liefert also einen Homomorphismus

ρ : Aut(K/k) → Aut(F/k).

ρ ist surjektiv, weil sich jeder Automorphismus von F/k zu einem Automorphismus von K fortsetzen läßt. Der Kern von ρ ist gerade G. □

3.6 Abelsche Körpererweiterungen

Definition Eine galoissche Körpererweiterung mit abelscher (zyklischer) Galoisgruppe heißt abelsch (zyklisch).

Die Nullstellen von X^{n} − 1 in K sind die n–ten Einheitswurzeln von K. Wenn n nicht durch die Charakteristik p teilbar ist, ist X^{n} − 1 separabel und hat (im algebraischen Abschluß K̃) n verschieden Nullstellen^{4}.

Die n–ten Einheitswurzeln bilden eine (nach 3.4.4) zyklische Untergruppe der multiplikativen Gruppe von K. Ein erzeugendes Element ζ der Gruppe der n–ten Einheitswurzeln in K̃ heißt primitive Einheitswurzel. Es ist also

X^{n} − 1 = (X − 1)(X − ζ)(X − ζ^{2}) … (X − ζ^{n−1})

K(ζ) ist der Zerfällungskörper von X^{n} − 1 über K.

Lemma 3.6.1 Sei ζ primitive n–te Einheitswurzel. Dann ist K(ζ)/K abelsch. Die Galoisgruppe ist kanonisch isomorph zu einer Untergruppe der Einheitengruppe Z_{n}^{∗} des Rings Z_{n}.

Beweis : Wir nehmen zunächst an, daß n nicht durch die Charakteristik von K teilbar ist. K(ζ)/K ist dann separabel. Sei

E = {1, ζ …, ζ^{n−1}}

die Gruppe der n–ten Einheitswurzeln. Die Einschränkungsabbildung

Aut(K(ζ)/K) → Aut(E) (3.3)

ist ein Homomorphismus, der injektiv ist, weil K(ζ) über K von E erzeugt wird. Die Behauptung folgt aus der folgenden Bemerkung:

Bemerkung Sei A eine (additive) zyklische Gruppe der Ordnung n. Dann liefert die Abbildung

\overline{m} ↦ Multiplikation mit m

einen Isomorphismus des Rings Z_{n} mit End(A). Die Einheitengruppe von Z_{n} entspricht dabei der Automorphismengruppe von A.

Beweis : Sei A = ℤa und ϕ ∈ End(A). Wenn ϕ(a) = ma, ist

ϕ(xa) = x(ma) = m(xa)

für alle x ∈ ℤ. m und m′ liefern genau dann den gleichen Endomorphismus, wenn

ma = m′a ⟺ m ≡ m′ (mod n).

4X^{p^{k}n} − 1 hat n verschiedene Nullstellen.

Wenn n nicht teilerfremd zur Charakteristik p ist, zerlegen wir n in ein Produkt aus einer p–Potenz p^{k} und einer Zahl n′, die nicht durch p teilbar ist. Weil ζ auch n′–te Einheitswurzel ist, ist die Galoisgruppe isomorph zu einer Untergruppe von Z_{n′}^{∗}. Z_{n′}^{∗} wiederum ist isomorph zu einer Untergruppe von Z_{n}^{∗} ≅ Z_{p^{k}}^{∗} × Z_{n′}^{∗}.

□

Wenn n sich in die Primfaktoren p_{1}^{e_{1}} … p_{k}^{e_{k}} zerlegt, ist nach dem Chinesischen Restsatz der Ring Z_{n} das direkte Produkt der Ringe Z_{p^{e_{i}}}. Z_{p} ist ein Körper. Z_{p}^{∗} ist daher zyklisch von der Ordnung p − 1. Z_{p^{e}}^{∗} hat die Ordnung (p − 1)p^{e−1}. Weil Z_{p}^{∗} homomorphes Bild von Z_{p^{e}}^{∗} ist, ist Z_{p^{e}}^{∗} isomorph zu einem direkten Produkt von Z_{p}^{∗} und einer Gruppe der Ordnung^{5} p^{e−1}. In der elementaren Zahlentheorie wird diese Gruppe genauer bestimmt: Für alle Primzahlen p ≠ 2 ist

Z_{p^{e}}^{∗} ≅ Z_{p−1} ⊕ Z_{p^{e−1}}

und für p = 2

Z_{2^{e}}^{∗} ≅ Z_{2} ⊕ Z_{2^{e−2}}.

Der folgende Satz zeigt, daß für K = ℚ und n = p^{k} die Abbildung (3.3) ein Isomorphismus ist.

Satz 3.6.2 Wenn ζ eine primitive p^{k}–te Einheitswurzel ist, ist

[ℚ(ζ) : ℚ] = (p − 1)p^{k−1}.

Die Körper der Form ℚ(ζ) für Einheitswurzeln ζ heißen Kreisteilungskörper.

Beweis : Weil ζ Nullstelle von

f(X) = \frac{X^{p^{k}} − 1}{X^{p^{k−1}} − 1} = X^{(p−1)(p^{k−1})} + X^{(p−2)(p^{k−1})} + … + 1

ist, müssen wir zeigen, daß f irreduzibel ist. Wir zeigen stattdessen, daß g(X) = f(X+1) irreduzibel ist. Nehmen wir an, daß g(X) = r(X)s(X) für zwei normierte Polynome r, s ∈ ℚ[X]. Weil ℤ faktoriell ist, gehören r und s schon zu ℤ[X] (Übung). Wenn wir zu dem homomorphen Bildern \overline{g}, \overline{r}, \overline{s} in Z_{p}[X] übergehen, haben wir:

\overline{g}(X) = \frac{(X + 1)^{p^{k}} − 1}{(X + 1)^{p^{k−1}} − 1} = \frac{X^{p^{k}}}{X^{p^{k−1}}} = X^{(p−1)(p^{k−1})}.

\overline{r} und \overline{s} müssen also beide eine Potenz von X sein. Es folgt insbesondere, daß der konstante Koeffizient von r und s jeweils durch p teilbar ist. Also muß der konstante Koeffizient von g durch p^{2} teilbar sein. Der konstante Koeffizient von g ist aber p. ^{6} □ Satz 3.6.3 Sei K ein Körper, der alle n–ten Einheitswurzeln enthält, a ∈ K und α eine Nullstelle von X^{n} − a. Dann ist K(α) der Zerfällungskörper von X^{n} − a über K. Wenn n teilerfremd zur Charakteristik ist, ist K(α)/K eine zyklische Erweiterung, deren Ordnung n teilt.

5Nach 1.7.1 ist Z_{p^{e}}^{∗} direktes Produkt einer Gruppe der Ordnung p − 1 und einer Gruppe der Ordnung p^{e−1}.

6Das Kriterium von Eisenstein faßt diese Schlußweise zusammen: Sei a_{0}+a_{1}X +…+a_{n}X^{n} ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten und p sei eine Primzahl. Wenn a_{n} nicht durch p teilbar ist, alle a_{0}, …, a_{n−1} durch p teilbar sind, a_{0} aber nicht durch p^{2}, dann ist f irreduzibel in ℚ[X].

Beweis : Sei E die Gruppe der n–ten Einheitswurzeln. Dann ist

{ζα | ζ ∈ E}

die Menge aller Nullstellen von X^{n} − a. K(α) ist also der Zerfällungskörper von X^{n} − a über K. Wenn n teilerfremd zur Charakteristik ist, gibt es n n–te Einheitswurzeln und X^{n} − a ist separabel. Ein Automorphismus ϕ ∈ Aut(K(α)/K) ist bestimmt durch sein Bild

ϕ(α) = eα,

wobei e ∈ E. Wenn ϕ′(α) = e′α, ist

ϕ′(ϕ(α)) = ϕ′(eα) = eϕ′(α) = ee′α.

Die Zuordnung

ϕ ↦ e

definiert also einen Isomorphismus von Aut(K(α)/K) mit einer Untergruppe U von E. □

Wir sagen, daß K(α) durch Adjunktion einer n–ten Wurzel entsteht.

Satz 3.6.4 Sei p eine Primzahl, verschieden von der Charakteristik, und K ein Körper, der alle p–ten Einheitswurzeln enthält. Dann entsteht jede zyklische Erweiterung von K vom Grad p durch Adjunktion einer p–ten Wurzel.

Die Bedingung, daß die Erweiterung zyklisch sei, ist natürlich redundant, weil Gruppen von Primzahlordnung immer zyklisch sind.

Beweis : Sei L zyklische Erweiterung vom Grad p. ϕ_{0} sei erzeugendes Element der Galoisgruppe Aut(L/K). Wähle ein β ∈ L \ K und betrachte die Konjugierten

β_{0} = β, β_{1} = ϕ_{0}(β), …, β_{p−1} = ϕ_{0}^{p−1}(β).

und das Polynom f(X) = β_{0} + β_{1}X + … + β_{p−1}X^{p−1}. Wenn für alle p–ten Einheitswurzeln ζ die Werte f(ζ) in K liegen würden, müßte auch f in K[X] liegen^{7}. Es gibt also ein α = f(ζ), das nicht in K liegt. Man hat also L = K(α). Man berechnet nun

ϕ_{0}(α) = β_{1} + β_{2}ζ + … + β_{0}ζ^{p−1} = ζ^{−1}α.

7Ein Polynom n–ten Grades läßt sich aus seinen Werten f(a_{i}) = b_{i} an n + 1 verschiedenen Stellen a_{0}, …, a_{n} berechnen durch die Interpolationsformel f = ∑_{i<n} b_{i} ∏_{j≠i} \frac{X−a_{j}}{a_{i}−a_{j}}.

Vergleiche dazu die Folgerung 2.4.4.

Daraus folgt ϕ_{0}(α^{p}) = α^{p}, woraus wir schließen, daß α^{p} ∈ K. □

Anhang Wir beweisen noch eine allgemeinere Form von 3.6.4.

Satz 3.6.5 K sei ein Körper, der alle n–ten Einheitswurzeln enthält, und n teilerfremd zur Charakteristik. Dann entsteht jede zyklische Erweiterung von K vom Grad n durch Adjunktion einer n–ten Wurzel.

Beweis : Sei L zyklische Erweiterung vom Grad n, ϕ ein erzeugendes Element von Aut(L/K) und ζ eine primitive Einheitswurzel ζ ∈ K. Die Charaktere

id, ϕ, …, ϕ^{n−1} : L^{∗} → L^{∗}

sind nach dem nächsten Lemma linear unabhängig. Insbesondere ist

id + ζϕ + ⋯ + ζ^{n−1}ϕ^{n−1} ≠ 0.

Es gibt also ein β ∈ L^{∗} für das

α = β + ζϕ(β) + ⋯ + ζ^{n−1}ϕ^{n−1}(β) ≠ 0.

Man berechnet leicht, daß ϕ(α) = ζ^{−1}α und daher

ϕ^{i}(α) = ζ^{−i}α.

Daraus folgt einerseits, daß α von keinem der Automorphismen ϕ, …, ϕ^{n−1} fixiert wird. Also ist L = K(α). Andererseits folgt wieder α^{n} ∈ L. □

Sei G eine Gruppe und K ein Körper. Wir nennen Homomorphismen G → K^{∗} Charaktere.

Lemma 3.6.6 (Artins^{8}Lemma) Jede Menge von Charakteren G → K ist K–linear unabhängig.

Beweis : Nehmen wir an die Charaktere σ_{1}, …, σ_{n} wären linear abhängig und sei n minimal gewählt. Sei

α_{1}σ_{1}(g) + ⋯ + α_{n}σ_{n}(g) = 0

eine nicht–triviale Relation. Fixiere ein h ∈ G. Wenn man β_{i} = σ_{i}(h) setzt, erhalten wir durch Einsetzen von hg die neue Relation

α_{1}β_{1}σ_{1}(g) + ⋯ + α_{n}β_{n}σ_{n}(g) = 0.

Wir subtrahieren das β_{n}–fache der ersten Gleichung und erhalten

α_{1}(β_{1} − β_{n})σ_{1}(g) + ⋯ + α_{n−1}(β_{n−1} − β_{n})σ_{n−1}(g) = 0.

Wenn man h so gewählt hat, daß nicht alle β_{i} gleich sind, ist die Gleichung nicht–trivial und wir haben einen Widerspruch zu Minimalität von n. □

8Emil Artin (1898-1962)

3.7 Anwendungen

3.7.1 Konstruktionen mit Zirkel und Lineal

Wir fassen ℂ als Zeichenebene auf. Ein Punkt z ist aus einer Menge E ⊂ ℂ konstruierbar, wenn man von den Punkten aus E ausgehend z mit Zirkel und Lineal konstruieren kann. Wir bezeichnen mit E^{qua} die Menge aller aus E konstruierbaren Punkte.

Lemma 3.7.1 Sei E ⊂ ℂ eine Menge, die 0 und 1 enthält. Dann ist E^{qua} der kleinste Unterkörper K von ℂ, der E enthält und quadratisch abgeschlossen ist. Dabei heißt K quadratisch abgeschlossen, wenn jedes Element eine Quadratwurzel in K hat.

Beweis : Man kann komplexe Zahlen (mit den Hilfspunkten 0 und 1) leicht geometrisch addieren, multiplizieren und aus ihnen Quadratwurzeln ziehen. Umgekehrt, wenn man den Schnittpunkt von Geraden und Kreisen algebraisch berechnet, genügt es, quadratische Gleichungen zu lösen. □

Folgerung 3.7.2 Wenn K ⊂ ℂ ein Körper ist, dann ist für alle α ∈ K^{qua}, der Grad [K(α) : K] eine Potenz von 2.

Beweis : α liegt in einem Körper, der aus K durch eine Folge von Adjunktionen von Quadratwurzeln entsteht. □

Folgerung 3.7.3

1. Delisches Problem Aus 2 läßt sich nicht mit Zirkel und Lineal die dritte Wurzel ziehen.

2. Winkeldreiteilung Es lassen sich nicht alle Winkel mit Zirkel und Lineal dreiteilen.

Beweis : X^{3} − 2 ist irreduzibel im ℚ[X], weil 2 keine dritte Potenz in ℚ ist. Also ist [ℚ( ^{3} \sqrt{2}) : ℚ] = 3. Eine komplexe Zahl a ∈ ℂ der Länge 1, die transzendent ist, liefert einen Winkel, der nicht dreiteilbar ist, weil a keine dritte Potenz in ℚ(a) ist. □

Satz 3.7.4 (Gauss) Das reguläre n–Eck ist genau dann mit Zirkel und Lineal konstruierbar, wenn

n = 2^{k}p_{1} … p_{l},

wobei die p_{i} paarweise verschiedene Primzahlen der Form 2^{i} + 1 (Fermatsche^{9} Primzahlen) sind.

9Pierre de Fermat (1601-1665)

Beweis : Das reguläre n–Eck ist genau dann mit Zirkel und Lineal konstruierbar, wenn die primitive n–te Einheitswurzel ζ in ℚ^{qua} liegt. Sei

n = p_{1}^{e_{1}} … p_{k}^{e_{k}}

die Primfaktorzerlegung von n. Weil die Gruppe der n–ten Einheitswurzeln das direkte Produkt der Gruppen der p_{i}^{e_{i}}–ten Einheitswurzeln (für i = 1, …, k) ist, gehört ζ genau dann zu ℚ^{qua}, wenn alle p_{i}^{e_{i}}–ten Einheitswurzeln zu ℚ^{qua} gehören. Wir können also annehmen, daß n = p^{e} eine Primzahlpotenz ist.

Nach 3.6.2 ist [ℚ(ζ) : ℚ] = (p − 1)p^{e−1}, also genau dann eine Zweierpotenz, wenn p = 2 ist oder wenn n = p eine Fermatsche Primzahl ist. Es bleibt zu zeigen, daß ζ ∈ ℚ^{qua}, wenn [ℚ(ζ) : ℚ] eine Zweierpotenz ist. Das folgt aus der folgenden Überlegung:

Sei L/K eine galoissche Erweiterung, deren Grad eine Zweierpotenz ist. Dann ist Aut(L/K)) eine 2–Gruppe. 2–Gruppen sind auflösbar (sogar nilpotent (1.9.2)). Also hat Aut(L/K) eine Normalreihe, deren Faktoren isomorph zu ℤ_{2} sind. Die zugehörigen Fixkörper bilden eine Folge

K = K_{0} ⊂ K_{1} ⊂ … ⊂ K_{n} = L

von normalen Erweiterungen vom Grad 2. K_{i+1} entsteht also durch Adjunktion einer Quadratwurzel. Also ist L ⊂ K^{qua}.

In unseren Fall [ℚ(ζ) : ℚ] müssen wir von 1.9.2 keinen Gebrauch machen, weil die Galoisgruppe abelsch ist. □

Weil für ungerade m das Polynom X^{n} + 1 ein Teiler von X^{mn} + 1 ist, kann 2^{i} + 1 nur dann eine Primzahl sein, wenn i eine Zweierpotenz ist. Für i = 1, 2, 4, 8, 16 erhält man tatsächlich die Fermatschen Primzahlen

3, 5, 17, 257, 65537.

Die Konstruktion des regulären 5–Ecks findet sich bei Euklid^{10}. Das reguläre 17–Eck wurde von Gauss konstruiert. Ob es andere Fermatsche Primzahlen gibt, ist unbekannt. Die Faktorisierung

2^{32} + 1 = 641 · 6700417

stammt von Euler.

Beispiel: Als ein Beispiel berechnen wir, wie man die primitive 5–te Einheitswurzel

ζ = e^{\frac{2πi}{5}}

durch Quadratwurzelziehen aus rationalen Zahlen errechnet.

ℤ_{5}^{∗} = {1, 2, 3, 4} operiert als Galoisgruppe von ℚ(ζ)/ℚ vermöge

m ⟼ ϕ_{m},

10Euklid (365 v.Chr. – 300 v.Chr.)

wobei ϕ_{m}(ζ) = ζ^{m}. ℤ_{5}^{∗} ist als Einheitengruppe eines Körpers zyklisch und wird – weil 2^{2} = 4 ≢ 1 (mod 5), von 2 erzeugt. ℤ_{5}^{∗} hat eine Untergruppe G der Ordnung 2, die von 2^{2} = 4 erzeugt wird. Weil ζ^{4} das komplex konjugierte von ζ ist, ist der zugehörige Automorphismus ϕ_{4} die komplexe Konjugation.

Sei K = ℚ(ζ) ∩ ℝ der Fixkörper von G. Der Beweis von 3.5.1 zeigt, daß die Koeffizienten des Minimalpolynoms

(X − ζ)(X − ζ^{4}) = X^{2} − (ζ + ζ^{4})X + 1 (3.4)

von ζ über K den Körper K über ℚ erzeugen. Es ist also

K = ℚ(δ)

für δ = ζ + ζ^{4}.

Die Galoisgruppe ℤ_{5}^{∗}/G von K/ℚ wird von ϕ_{2} erzeugt. Betrachte

α_{0} = δ + ϕ_{2}(δ)

und

α_{1} = δ − ϕ_{2}(δ).

Man sieht wie Beweis von 3.6.4, daß α_{0} und α_{1}^{2} rational sind. Mit Hilfe von

1 + ζ + ζ^{2} + ζ^{3} + ζ^{4} = 0

berechnet man, daß

α_{0} = (ζ + ζ^{4}) + (ζ^{2} + ζ^{3}) = −1

und

α_{1}^{2} = α_{0}^{2} − 4(ζ + ζ^{4})(ζ^{2} + ζ^{3}) = 1 − 4(ζ^{3} + ζ^{4} + ζ + ζ^{2}) = 5.

Also ist

δ = \frac{α_{1} + α_{0}}{2} = \frac{\sqrt{5} − 1}{2} .

(Weil δ eine positive reelle Zahl ist, wählen wir die positive Wurzel aus.)

ζ erhalten wir als Nullstelle von (3.4) mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen oder mit der Methode von 3.6.4. Wir wählen die zweite Methode: G ist die Galoisgruppe von ℚ(ζ)/K. Wir betrachten

α′_{0} = ζ + ϕ_{4}(ζ) = δ

und

α′_{1} = ζ − ϕ_{4}(ζ) = ζ − ζ^{4}.

α_{1}^{′2} muß in K liegen, und in der Tat ist

α_{1}^{′2} = ζ^{2} − 2 + ζ^{3} = −3 − δ.

Es ergibt sich

ζ = \frac{α′_{0} + α′_{1}}{2} = \frac{δ + i\sqrt{δ + 3}}{2} = \frac{\sqrt{5} − 1 + i\sqrt{2\sqrt{5} + 10}}{4}

3.7.2 Auflösung von Gleichungen durch Radikale

Definition Eine endliche Körpererweiterung L/K heißt Radikalerweiterung, wenn L aus K durch sukzessives Wurzelziehen entsteht.

L ist also genau dann Radikalerweiterung von K, wenn es eine Folge

a_{1}, … a_{l}

von Elementen von L und natürlichen Zahlen n_{i} > 0 gibt, sodaß

L = K(a_{1}, … a_{l}) (3.5)

und

a_{i}^{n_{i}} ∈ K(a_{1}, … a_{i−1})

für i = 1, …, l. Insbesondere erhält man durch Adjunktion einer Einheitswurzel eine Radikalerweiterung.

Eine Gleichung

f(X) = 0

für ein Polynom f ∈ K[X], heißt auflösbar, wenn alle Nullstellen von f in einer Radikalerweiterung von K liegen.

Man sieht leicht, daß der von einer endlichen Familie von Radikalerweiterungen von K in K̃ erzeugte Körper wieder eine Radikalerweiterung von K ist. Wenn jede Nullstelle von f in einer Radikalerweiterung liegt, gibt es also eine Radikalerweiterung, die alle Nullstellen von f enthält.

Gleichungen zweiten Grades

X^{2} + aX + b = 0

über einem Körper der Charakteristik 0 sind immer auflösbar, wie die Lösungsformel

α_{1,2} = −\frac{a}{2} ± \sqrt{(\frac{a}{2})^{2} − b}

zeigt.

Satz 3.7.5 Sei K ein Körper der Charakteristik 0 und f ∈ K[X]. Dann ist die Gleichung

f(x) = 0

genau dann auflösbar, wenn die Galoisgruppe des Zerfällungskörpers von f über K auflösbar ist.

Beweis : Sei H der Zerfällungskörper von f über K.

Wir nehmen zunächst an, daß H in einer Radikalerweiterung (3.5) enthalten ist. Das Erzeugnis aller isomorphen Bilder von L in K̃ (über K) ist wieder eine Radikalerweiterung von K. Wir können also gleich annehmen, daß L normal über K ist. Sei n ein gemeinsames Vielfaches der Exponenten n_{1}, …, n_{l} und ζ eine primitive n–te Einheitswurzel. Dann sind nach 3.6.1 und 3.6.3 alle Stufen des Körperturms

K ⊂ K(ζ) ⊂ K(ζ, a_{1}) ⊂ K(ζ, a_{1}, a_{2}) ⊂ … ⊂ K(ζ, a_{1}, …, a_{n}) = L(ζ)

galoissch mit auflösbarer Galoisgruppe. Also ist Aut(L(ζ)/K) auflösbar und die Faktorgruppe Aut(L/K) ebenfalls.

Wenn umgekehrt Aut(H/K) auflösbar ist, gibt es eine Normalreihe mit zyklischen Faktoren von Primzahlordnung. Die zugehörigen Fixkörper

K = H_{1} ⊂ H_{2} ⊂ … ⊂ H_{h} = H

bilden einen Körperturm von zyklischen Erweiterungen mit Ordnungen p_{1},…, p_{h−1}. Sei n ein gemeinsames Vielfaches der p_{i} und ζ eine primitive n–te Einheitswurzel. H(ζ) ist dann eine Radikalerweiterung von K. Denn einerseits entsteht K(ζ) aus K durch Adjunktion einer n-ten Wurzel von 1. Andererseits ist für jedes i

H_{i+1}(ζ)/H_{i}(ζ)

eine Galoiserweiterung. Eine Element ϕ der Galoisgruppe wird bestimmt durch seine Wirkung auf H_{i+1}. Aut(H_{i+1}(ζ)/H_{i}(ζ)) ist also isomorph zu einer Untergruppe von Aut(H_{i+1}/H_{i}). Der Grad unserer Erweiterung ist daher p_{i} oder 1. Mit 3.6.4 ergibt sich, daß H_{i+1}(ζ)/H_{i}(ζ) durch Adjunktion einer Wurzel entsteht. □

Folgerung 3.7.6 Gleichungen der Grade 1 bis 4 sind auflösbar.

Beweis : Die Automorphismen des Zerfällungskörper von f werden dadurch bestimmt, wie sie die Nullstellen von f permutieren. Die Galoisgruppe einer Gleichung n– ten Grades ist also isomorph zu einer Untergruppe von S_{n}. Weil S_{1}, S_{2}, S_{3} und S_{4} auflösbar sind, sind auch ihre Untergruppen auflösbar. □

Wir werden im nächsten Abschnitt Gleichungen vom Grad 5 angeben, die nicht auflösbar sind.

Beispiel: Die Lösung der Gleichung

X^{3} + aX^{2} + bX + c = 0 (3.6)

durch Radikale kann man durch zwei Substitutionen finden: Setzt man X = Y − \frac{a}{3}, ergibt sich die Gleichung

Y^{3} + pY + q = 0 (3.7)

für p = −\frac{a^{2}}{3} + b und q = \frac{2}{27}a^{3} − \frac{ba}{3}.

Durch die Substitution Y = Z − \frac{p}{3Z} erhält man

Z^{3} − \frac{p^{3}}{27Z^{3}} + q = 0

oder, für Z^{3} = W, die quadratische Gleichung

W^{2} + qW − \frac{p^{3}}{27} = 0. (3.8)

Aus jeder Nullstelle

w = −\frac{q}{2} ± \sqrt{\frac{q^{2}}{4} + \frac{p^{3}}{27}}

von 3.8 und jeder dritten Wurzel ^{3} \sqrt{w} von w erhalten wir eine Nullstelle

y = ^{3} \sqrt{w} − \frac{p}{3 ^{3} \sqrt{w}}

von 3.7. (Natürlich sind nur 3 dieser 6 Nullstellen verschieden.)

3.7.3 Elementar–symmetrische Funktionen

Sei k ein Körper und K = k(t_{1}, …, t_{n}) der rationale Funktionenkörper über k in den Unbestimmten t_{1}, …, t_{n}. Wir betrachten das Polynom

p(X) = (X − t_{1}) ⋯ (X − t_{n})

Die mit geeigneten Vorzeichen versehenen Koeffizienten von

p(X) = (−1)^{n}s_{n} + (−1)^{n−1}s_{n−1}X + … − s_{1}X^{n−1} + X^{n},

die elementar–symmetrischen Funktionen in n Variablen, sind Polynome in t_{1}, …, t_{n} mit ganzzahligen Koeffizienten. Es ist^{11}

s_{1} = t_{1} + ⋯ + t_{n}
s_{i} = ∑_{\begin{matrix}x ⊂ \{1, …, n\} \\ |x| = i \end{matrix}} ∏_{j∈x} t_{j}

s_{n} = t_{1} ⋯ t_{n}.

Setze

F = k(s_{1}, …, s_{n}).

p(X) gehört zu F [X] und K ist der Zerfällungskörper von p über F. Weil p separabel ist, ist die Erweiterung K/F galoissch.

Lemma 3.7.7

Aut(K/F) = Sym(t_{1}, …, t_{n}) ≅ S_{n}

Beweis : Ein Automorphismus eines Zerfällungskörpers ist durch seine Wirkung auf den Nullstellen eindeutig bestimmt. Also können wir die Galoisgruppe von K/F als Untergruppe von Sym(t_{1}, …, t_{n}) auffassen. Sei umgekehrt π eine Permutation der t_{i}. π setzt sich fort zu einem Automorphismus von K über k. Weil π die Faktoren von p nur permutiert, wird p und damit auch F von π fixiert. π gehört also zur Galoisgruppe von K über F.

11Man könnte sinnvoll auch s_{0} = 1 setzen.

Folgerung 3.7.8 Wenn k die Charakteristik Null hat und wenn n ≥ 5, ist die Gleichung p(X) = 0 nicht auflösbar über F.

Beweis : S_{n} ist nicht auflösbar, wenn n ≥ 5 (vergleiche Seite 31). □

Eine rationale Funktion f ∈ k(t_{1}, …, t_{n}) ist symmetrisch, wenn für alle σ ∈ S_{n}

f(t_{σ(1)}, …, t_{σ(n)}) = f(t_{1}, …, t_{n}).

Folgerung 3.7.9 Jede symmetrische rationale Funktion läßt sich rational in den elementar–symmetrische Funktion ausdrücken.

Beweis : F ist der Fixkörper von Aut(K/F). □

Weil die über k algebraisch unabhängigen^{12} t_{1}, …, t_{n} algebraisch über k(s_{1}, …, s_{n}) sind, kann man schließen, daß auch die s_{i} algebraisch unabhängig über k sind. Daraus folgt, daß eine Darstellung durch elementar–symmetrische Funktionen eindeutig ist.

Beispiel:

\frac{t_{1}^{3} − t_{2}^{3}}{t_{1}^{2} − t_{2}^{2}} = \frac{s_{1}^{2} − s_{2}}{s_{1}}

Der Hauptsatz über symmetrische Funktionen besagt, daß jedes symmetrische Polynom ein Polynom in den elementar–symmetrischen Funktionen ist. mode: latex

12Das heißt, daß die Folge der t_{i} keinen nichttrivialen algebraischen Gleichungen über k genügt.

Darstellungstheorie

4.1 Der Satz von Wedderburn

Wir fixieren einen, nicht notwendig kommutativen, unitären Ring R.

Lemma 4.1.1 Sei M = M_{1}⊕⋯⊕M_{n} eine direkte Zerlegung des R-Rechtsmoduls M. Dann läßt sich jeder Endomorphismus α von M beschreiben durch eine Matrix (α_{ij}) aus Homomorphismen α_{ij} : M_{j} → M_{i}. Wenn alle M_{i} isomorph sind, ist End(M) isomorph zum Matrixring M_{n}(End(M_{1})).

Beweis : Sei die direkte Zerlegung gegeben durch die Einbettungen ϵ_{j} : M_{j} → M und die Projektionen π_{i} : M → M_{i}. Dann ist für jeden Endomorphismus α

α = ∑_{ij} ϵ_{i}α_{ij}π_{j},

wobei α_{ij} = π_{i}αϵ_{j}. Man sieht leicht, daß die Verknüpfung von Endomorphismen der Multiplikation von Matrizen entspricht:

(αβ)_{ik} = ∑_{j} α_{ij}β_{jk}

Wir fixieren Isomorphismen ϕ_{i} : M_{1} → M_{i}. Wenn wir jedem Homomorphismus α_{ij} : M_{j} → M_{i} den Endomorphismus

\overline{α_{ij}} = ϕ_{i}^{−1}α_{ij}ϕ_{j} ∈ End(M_{1})

zuordnen, gilt

\overline{α_{ij}β_{jk}} = \overline{α_{ij}}\overline{β_{ik}}.

Daraus folgt die Behauptung. □

Definition Sei M ein R-Rechtsmodul.

1. M heißt einfach, wenn M nicht Null ist und außer sich selbst und 0 keine Untermoduln hat.

2. M heißt halbeinfach, wenn M von einfachen Untermoduln erzeugt wird.

Satz 4.1.2 Ein R–Rechtsmodul M ist genau dann halbeinfach, wenn jeder Untermodul ein direkter Summand ist.

Beweis : Nehmen wir an, daß jeder Untermodul von M direkter Summand von M ist. Es ist klar, daß auch jeder Untermodul diese Eigenschaft hat^{1}. Zyklische Untermoduln ≠ 0 haben maximale Untermoduln, deren Komplement einfach sein muß. Also enthält jeder nicht–triviale Untermodul einen einfachen Untermodul. Sei U das Komplement des Erzeugnisses aller einfachen Untermoduln. Weil U keinen einfachen Untermodul enthält, muß U = 0 sein.

Für die Umkehrung betrachten wir ein halbeinfaches M und einen Untermodul U. Wir wählen einen maximalen Untermodul V, für den U ∩ V = 0. Wenn wir zeigen können, daß U +V alle einfachen Untermoduln L enthält, wissen wir, daß M = U + V und V ein Komplement von U ist.

Wir können annehmen, daß L ⊄ V. Dann ist V + L größer als V und wegen der Maximalität von V ist U ∩ (V + L) ≠ 0. Es folgt (U + V) ∩ L ≠ 0. Weil L einfach ist, muß (U + V) ∩ L = L sein. □

Folgerung 4.1.3 Ein halbeinfacher Modul M ist direkte Summe von einfachen Untermoduln.

M ≅ ⨁_{i∈I} L_{i}

Die Zerlegung ist bis auf Permutation und Isomorphie eindeutig bestimmt^{2}. Das Erzeugnis aller L_{i}, die zu einem festen L isomorph sind, hängt nicht von der Zerlegung ab.

Beweis : Sei (L_{i})_{i∈I} eine maximale unabhängige Familie von einfachen Untermoduln von M. Sei U die (direkte) Summe der L_{i} und V ein Komplement von U in M. Nehmen wir an, daß U ≠ M. Dann ist V ≠ 0. Weil mit M auch V halbeinfach ist, enthält V einen einfachen Untermodul L. Wir könnten jetzt die unabhängige Familie der L_{i} durch L vergrößern, was der Wahl der L_{i} widerspricht. Also ist U = M.

Die Eindeutigkeit folgt für endliche Zerlegungen aus dem Satz von Jordan– Hölder. Für unendliche Zerlegungen geht man vor wie beim Beweis des Spezialfalls der Vektorräume. □

Halbeinfache Moduln mit endlicher Zerlegung in einfache Moduln nennen wir halbeinfach von endlicher Länge.

1Sei W ein Untermodul von U ≤ M. Wenn M = W ⊕ V, ist U = W ⊕ (V ∩ U).

2Für jedes L ist die Zahl der i mit L_{i} ≅ L unabhängig von der Zerlegung.

Satz 4.1.4 Der Endomorphismenring eines halbeinfachen Moduls endlicher Länge ist direktes Produkt von endlich vielen Matrixringen über Divisionsringen.

Beweis : Wenn wir M direkt in Untermoduln zerlegen, deren einfache Untermoduln jeweils untereinander isomorph sind, zerlegt sich der Endomorphismenring von M entsprechend in ein direktes Produkt, weil es zwischen den verschiedenen Summanden keine Homomorphismen geben kann. Das führt dazu, daß wir annehmen können, daß

M = L^{1} ⊕ ⋯ ⊕ L^{n}

für Moduln L^{i}, die alle isomorph sind. Aus 4.1.1 folgt End(M) ≅ M_{n}(End(L^{1})). Nach dem folgenden Lemma ist End(L^{1}) ein Divisionsring. □

Lemma 4.1.5 (Schurs^{3}Lemma) Der Endomorphismenring eines einfachen Moduls ist ein Divisionsring. □

Beweis : Sei M einfach und α ∈ End(M) nicht Null. Dann ist

• α(M) nicht Null. Also ist α(M) = M und α ist surjektiv.

• ker(α) ≠ M. Also ist ker(α) = 0 und α ist injektiv.

□

Definition Ein Ring R ist halbeinfach, wenn R_{R} halbeinfach ist.

Satz 4.1.6 R ist genau dann halbeinfach, wenn alle R–Rechtsmoduln halbeinfach sind. Wenn R halbeinfach ist, ist R direkte Summe von endlich vielen minimalen Rechtsidealen. Jeder einfache R–Modul ist isomorph zu einem minimalen Rechtsideal von R.

Beweis : Sei R halbeinfach und M ein Modul. M wird von seinen zyklischen Untermoduln erzeugt. Zyklische Moduln sind aber Quotienten von R und daher halbeinfach.

R ist nach 4.1.3 direkte Summe von minimalen Rechtsidealen L_{i}. 1 ist schon in einer endlichen Teilsumme enthalten, die dann schon ganz R sein muß.

Einfache Moduln sind zyklisch, also von der Form R/U. Wenn R halbeinfach ist, hat U ein Komplement L und es ist R/U ≅ L. □

Ein Modul M heißt irreduzibel, wenn M nicht Null ist und außer sich selbst und 0 keine direkten Summanden hat. Wenn R halbeinfach ist, sind alle irreduziblen Moduln einfach.

Satz 4.1.7 (Satz von Wedderburn^{4}) Jeder halbeinfache Ring ist direktes Produkt von endlich vielen Matrixringen über Divisionsringen.

3Issai Schur (1875-1941)

4Joseph Henry Maclagan Wedderburn (1882-1948)

Beweis : Jeder Ring R ist isomorph zum Endomorphismenring von R_{R} (Bemerkung S.36).

□

Wir wollen uns überlegen, daß jedes endliche direkte Produkt von Matrixringen über Schiefkörpern halbeinfach ist. Es genügt dafür natürlich, ein einzelnes M_{n}(D) zu betrachten. Sei N_{i} die Menge aller Matrizen, die höchstens in der i–ten Zeile von Null verschiedene Einträge haben. Die N_{i} sind minimale Rechtsideale, es ist M_{n}(D) = N_{1} ⊕ ⋯ ⊕ N_{n} und R ist tatsächlich halbeinfach.

Man sieht leicht, daß alle minimalen Rechtsideale die Gestalt

L_{s_{0}} = {s_{0}z | z Zeilenvektor}

für einen Spaltenvektor s_{0} ≠ 0 haben^{5}. Für je zwei nicht–triviale Spalten s_{0} und s_{1} ist die Abbildung s_{0}z ↦ s_{1}z ein Isomorphismus zwischen L_{s_{0}} und L_{s_{1}}. Daraus folgt

Folgerung 4.1.8

R = M_{n_{1}}(D_{1}) × ⋯ × M_{n_{k}}(D_{k})

hat bis auf Isomorphie genau k viele einfache Rechtsmoduln. □

Sei R = M_{n}(D) ein Matrixring über einem Schiefkörper und N_{1} das oben definierte minimale Rechtsideal. Weil sich alle Endomorphismen von N_{1} zu Endomorphismen von R_{R} fortsetzen lassen, werden alle Endomorphismen von N_{1} durch Linksmultiplikation mit geeigneten Elementen r = (δ_{ij}) von R dargestellt. Damit rN_{1} ⊂ N_{1}, muß re_{1} = δ_{11}e_{1} sein und r operiert dann auf N_{1} einfach als Linksmultiplikation mit δ_{11}. Es folgt, wie wegen des Beweises von 4.1.7 nicht anders zu erwarten, daß End(N_{1}) = D. Der D–Linksmodul N_{1} ist nicht anderes als der Vektorraum aller n–dimensionalen Zeilenvektoren und die Endomorphismen von _{D}N_{1} sind Rechtsmultiplikationen mit Matrizen aus R. Also ist R = End_{D}^{opp}(N_{1}). Das überträgt sich sofort auf Produkte von Matrixringen über Schiefkörpern:

Folgerung 4.1.9 Sei L ein einfacher Rechtsmodul über einem halbeinfachen Ring R und D der Endomorphismenring von L. Dann ist der natürliche Ringhomomorphismus R → End_{D}^{opp}(L) ein Epimorphismus. □

Natürlich sind Matrixringe über Schiefkörpern auch als Linksmoduln über sich selbst halbeinfach^{6}. Also:

Folgerung 4.1.10 Wenn R halbeinfach ist, ist _{R}R ein halbeinfacher R–Linksmodul. □

Folgerung 4.1.11 Eine halbeinfache endlich–dimensionale Algebra über einem algebraisch abgeschlossenen Körper K ist direktes Produkt von Matrixringen über K.

5Für die i–te Einheitsspalte e_{i} ist N_{i} = L_{e_{i}}.

6Transponieren liefert M_{n}^{opp}(D) ≅ M_{n}(D^{opp}).

Beweis : Sei R eine halbeinfache endlich–dimensionale K–Algebra. Dann ist R direktes Produkt von Matrixringen M_{n}(D), für Divisionsringe D, die Endomorphismenringe von minimalen Rechtsidealen sind. Die D sind also selbst endlich– dimensionale K–Algebren. Wir können annehmen, daß K Unterkörper des Zentrums von D ist (vgl. Seite 38). Wir werden zeigen, daß K = D. Sei a ein beliebiges Element von D. Weil K im Zentrum von D liegt, ist der Unterring K[a] kommutativ und, als Unterring eines Divisionsrings, ein Integritätsbereich. Weil K[a] endliche Dimension über K hat, ist a algebraisch über K. Wenn K algebraisch abgeschlossen ist, muß a in K liegen. □

4.2 Die Gruppenalgebra

Sei G eine Gruppe und V ein K–Vektorraum. Eine Darstellung von G in V ist ein Homomorphismus ρ : G → Aut(V). Eine Darstellung macht V zu einem G–Modul mit der Operation

G × V → V,

definiert durch gv = ρ(g)(v). Ein G–Modul ist das gleiche wie ein Linksmodul über der Gruppenalgebra K[G]. Alle Begriffe, die für Moduln geprägt worden sind, übertragen sich auf Darstellungen. Einfache Darstellungen zum Beispiel sind Darstellungen, die als K[G]–Modul einfach sind.

Definition Die Gruppenalgebra K[G] ist eine K-Algebra, die G als Basis und multiplikative Untergruppe enthält. K[G] ist also der Ring aller formalen Summen

∑_{g∈G} a_{g}g (a_{g} ∈ K, fast alle = 0).

Sei X eine Menge, auf der G von links operiert. Wir machen aus X einen Vektorraum K[X], mit X als Basis. Die Elemente von G, die X permutieren, definieren jetzt Automorphismen von K[X]. Man nennt diese Darstellung von G die zu X gehörende Permutationsdarstellung. K[G], als G–Modul aufgefaßt, gehört zur Operation von G auf sich selbst durch Linksmultiplikation. Man nennt dieses Darstellung die reguläre Darstellung V_{reg}.

G operiert trivial auf U, wenn gu = u für alle g ∈ G und u ∈ U.

V^{G} = {v ∈ V | ∀g gv = v}

ist der größte Untermodul von V, auf dem G trivial operiert.

Aus G–Moduln V und W lassen sich auf vielfältige Weise neue G–Moduln bilden. Natürlich ist V ⊕W wieder ein G–Modul. Die folgenden Konstruktionen aber lassen sich nur für Gruppenalgebren durchführen. Der Dualraum

V^{∗}

wird durch die Definition (gλ)v = λ(g^{−1}v) zu einem G–Modul^{7}. Dazu muß man nachrechnen, daß (gh)λ = λ(gh)^{−1} = λh^{−1}g^{−1} = (hλ)g^{−1} = g(hλ).

Auf dem Vektorraum

Hom_{K}(V, W)

kann man G operieren lassen durch

gϕ(v) = gϕ(g^{−1}v).

Wir schreiben Hom_{G}(V, W) für Hom_{K[G]}(V, W). Man rechnet leicht nach, daß

Lemma 4.2.1

Hom_{G}(V, W) = Hom_{K}(V, W)^{G}

7g operiert also auf V^{∗} als das Duale des Inversen der Operation von g auf V.

G operiert auf dem Tensorprodukt

V ⊗_{K} W

durch g(v ⊗ w) = (gv) ⊗ (gw). Man sieht leicht, daß für endlich–dimensionale V und W der natürliche Isomorphismus zwischen Hom_{K}(V, W) und V^{∗} ⊗_{K} W ein Isomorphismus von G–Moduln ist.

Satz 4.2.2 (Satz von Maschke) Sei G endlich und K ein Körper. Dann ist K[G] genau dann halbeinfach, wenn die Ordnung von G prim zur Charakteristik von K ist.

Beweis : Nehmen wir zuerst an, daß die Charakteristik p die Ordnung n von G teilt. Sei V_{reg} = K[G] die reguläre Darstellung. Der Untermodul V_{reg}^{G} wird als K– Vektorraum von ν = ∑_{g∈G} g erzeugt. Sei π : V_{reg} → V_{reg}^{G} ein Homomorphismus^{8}. Wenn π(1) = αν, ist aber

π(ν) = ∑_{g∈G} gπ(1) = nπ(1) = 0.

π ist also die Nullabbildung auf V_{reg}^{G}. Es folgt, daß V_{reg}^{G} kein direkter Summand von V_{reg} sein kann. Also ist K[G] nicht halbeinfach.

Wenn p kein Teiler von n ist, betrachten wir das Element

μ_{G} = \frac{1}{n} ∑_{g∈G} g.

Man rechnet leicht nach, daß für alle g gμ_{G} = μ_{G}g = μ_{G}. Wenn G trivial auf V operiert, ist μ_{G}v = v für alle v ∈ V. Daraus folgt sofort

Lemma 4.2.3 Die Multiplikation mit μ_{G} projiziert V auf V^{G}.

Wir wollen zeigen, daß jeder Untermodul W eines G–Moduls V direkter Summand ist. Sei ϵ : W → V die Inklusionsabbildung. Wir wählen ein Linksinverses π_{0} ∈ Hom_{K}(V, W) mit π_{0}ϵ = 1. Setze π = ^{μ_{G}}π_{0}. Dann ist π ∈ Hom_{G}(V, W) und π ist ebenfalls ein Linksinverses von ϵ, weil

πϵ = ^{μ_{G}}π_{0}^{μ_{G}}ϵ = ^{μ_{G}}(π_{0}ϵ) = ^{μ_{G}}1 = 1

Daraus folgt die Behauptung.^{9} □

Angewendet auf den Körper der komplexen Zahlen ergibt sich

Satz 4.2.4 Die Gruppenalgebra einer endlichen Gruppe G über ℂ ist direktes Produkt von Matrixringen über ℂ.

ℂ[G] = M_{n_{1}}(ℂ) × ⋯ M_{n_{k}}(ℂ)

8Gemeint ist natürlich ein G–Modul–Homomorphismus.

9Für K = ℂ ergibt sich ein anderer Beweis aus 4.3.8.

Die Faktoren entsprechen den Isomorphietypen V_{1},…,V_{k} der irreduziblen^{10} Darstellungen. Ihre Anzahl k ist gleich der Zahl der Konjugationsklassen von G.

Beweis : Der erste Teil des Satzes folgt aus dem Satz von Wedderburn, weil ℂ algebraisch abgeschlossen ist. Für den zweiten Teil beachtet man, daß das Zentrum eines Matrixrings der Grundkörper selbst ist. Also ist die ℂ–Dimension des Zentrums von ℂ[G] gleich der Zahl der Faktoren. Andererseits gehört ∑ a_{g}g genau dann zum Zentrum, wenn für alle h

∑_{g∈G} a_{g}g^{h} = ∑_{g∈G} a_{g}g,

wenn also die Koeffizienten a_{g} nur von der Konjugationsklasse von g abhängen. Es folgt, daß die Elemente ∑_{g∈C} g für Konjugationsklassen C eine Basis des Zentrums bilden. Daraus folgt die Behauptung. □

Folgerung 4.2.5 Die Dimension der i–ten irreduziblen Darstellung V_{i} ist n_{i}. Es gilt

n = n_{1}^{2} + ⋯ + n_{k}^{2}.
□

Folgerung 4.2.6

V_{reg} = V_{1}^{n_{1}} ⊕ ⋯ ⊕ V_{k}^{n_{k}}
□

10Man spricht von einfachen Darstellungen (im halbeinfachen Fall) gern als von irreduziblen Darstellungen

4.3 Charaktere

Wir betrachten in diesem Abschnitt endlich–dimensionale Darstellungen V einer endlichen Gruppe G über ℂ.

Definition Die Funktion χ_{V} : G → ℂ, die jedem g ∈ G die Spur Tr_{V} (g) der Operation von g auf V zuordnet, heißt der Charakter von V.

Es ist klar, daß χ_{V} (g) nur von der Konjugationsklasse von g abhängt. Funktionen G → ℂ, die auf Konjugationsklassen konstant sind, heißen formale Charaktere. Der Vektorraum Γ_{G} aller formalen Charaktere hat die Dimension k.

Beispiel: In V_{reg} operieren (bezüglich der kanonischen Basis) die g ∈ G durch Permutationsmatrizen, welche (außer für g = 1) nur Nullen in der Diagonale haben. Also ist

χ_{reg}(g) = \{ \begin{matrix}n & wenn g = 1 \\ 0 & sonst. \end{matrix}

Lemma 4.3.1 χ_{V} (1) ist die Dimension von V. Eine Abbildung χ : G → ℂ ist genau dann ein eindimensionaler Charakter, wenn χ ein Homomorphismus von G nach ℂ^{•} ist. □

Abelsche Gruppen der Ordnung n haben k = n Konjugationsklassen und also n irreduzible Darstellungen. Aus der Formel 4.2.5 folgt:

Folgerung 4.3.2 Alle irreduziblen Darstellungen einer endlichen abelschen Gruppe sind eindimensional.

1  a a^{2}
χ_{1} 1 1 1
χ_{2} 1 e^{\frac{2πi}{3}} e^{\frac{4πi}{3}}
χ_{3} 1 e^{\frac{4πi}{3}} e^{\frac{2πi}{3}}
Charaktertafel Z_{3} = {1, a, a^{2}}

Die Gruppe G^{∗} der eindimensionalen Charaktere einer endlichen abelschen Gruppe G (die Charaktergruppe^{11} von G) ist (unkanonisch) isomorph zu G. Das sieht man leicht für zyklischen Gruppen ein, woraus dann mit 1.7.3 die Behauptung folgt.

Lemma 4.3.3 Für alle Charaktere ρ gilt

ρ(g^{−1}) = \overline{ρ(g)}.

11 Wir werden in 4.3.4 sehen, daß G^{∗} die Gruppe aller 1–dimensionalen Darstellungen mit dem Tensorprodukt als Multiplikation (und der dualen Darstellung als Inversen) ist.

Beweis : Sei V eine Darstellung. g ∈ G operiere auf V als ϕ. Wir müssen zeigen, daß

Tr(ϕ^{−1}) = \overline{Tr(ϕ)}.

Aus ϕ^{n} = 1 folgt, daß die Jordanform von ϕ Diagonalgestalt haben muß, und die Eigenwerte n–te Einheitswurzeln sind. Das Inverse einer Einheitswurzel ist aber ihr konjugiert–komplexes. Für einen zweiten Beweis fixieren wir eine unitäre Struktur auf V, für die ϕ unitär ist (4.3.8). Für eine Orthonormalbasis ist dann die Matrix von ϕ^{−1} die Adjungierte der Matrix von ϕ, hat also wieder die konjugiert–komplexe Spur. □

Lemma 4.3.4 V und W seien Darstellungen von G. Dann ist

χ_{V ⊕W} = χ_{V} + χ_{W}
χ_{V^{∗}} = \overline{χ_{V}}
χ_{V ⊗_{ℂ}W} = χ_{V} · χ_{W}
χ_{Hom_{ℂ}(V,W)} = \overline{χ}_{V} · χ_{W}

Beweis : Sei g ein Gruppenelement und ϕ und ψ die Endomorphismen die g in V und W darstellen. Die erste Behauptung des Lemmas folgt aus

Tr(ϕ ⊕ ψ) = Tr(ϕ) + Tr(ψ).

Die zweite Behauptung folgt aus dem letzten Lemma:

Tr((ϕ^{−1})^{∗}) = Tr(ϕ^{−1}) = \overline{Tr(ϕ)}.

Die dritte Behauptung folgt aus

Tr(ϕ ⊗ ψ) = Tr(ϕ) · Tr(ψ).

Das kann man entweder direkt den zuständigen Matrizen ansehen, oder man stellt (vermöge End_{ℂ}(U) = U^{∗} ⊗_{ℂ} U) ϕ und ψ dar als Summen von Tensoren λ ⊗ v und μ ⊗ w; und rechnet

Tr((λ⊗v)⊗(μ⊗w)) = Tr((λ⊗μ)⊗(v⊗w)) = λ(v)·μ(w) = Tr(λ⊗v)·Tr(μ⊗w).

Die letzte Behauptung folgt aus der zweiten und dritten. □

Definition ( , ) sei die folgende unitäre Form auf Γ_{G}, dem Raum der formalen Charaktere,

(ρ, σ) = \frac{1}{n} ∑_{g∈G} \overline{ρ(g)}σ(g)

Satz 4.3.5 (Orthogonalitätsrelationen I) Die Charaktere der irreduziblen Darstellungen bilden eine Orthonormalbasis von Γ_{G}.

Beweis : Weil # irreduziblen Darstellungen = # Konjugationsklassen = Dimension von Γ_{G},

genügt es zu zeigen, daß irreduzible Charaktere die Länge 1 haben und aufeinander senkrecht stehen. Seien also V und W zwei irreduzible Darstellungen. Dann ist

(χ_{V} , χ_{W}) = \frac{1}{n} ∑_{g∈G} Tr_{Hom_{ℂ}(V,W)}(g) = Tr_{Hom_{ℂ}(V,W)}(μ_{G}).

Die Spur einer Projektion ist die Dimension ihres Bildraums. Weil μ_{G} auf Hom_{G}(V, W) projiziert, ist

(χ_{V} , χ_{W}) = dim Hom_{G}(V, W).
□

Folgerung 4.3.6 Darstellungen sind durch ihren Charakter bis auf Isomorphie bestimmt.

Beweis : Sei V eine beliebige Darstellung und W irreduzibel. Dann ist (χ_{V} , χ_{W}) die Vielfachheit mit der W in der direkten Zerlegung von V in Irreduzible vorkommt.□

Beispiel: Wir wollen alle irreduziblen Charaktere von S_{3} bestimmen. S_{3} hat die drei Konjugationsklassen {1}, {(12), (23), (31)} und {(123), (132)} und damit drei irreduzible Charaktere. Es gibt zwei Homomorphismen S_{3} → ℂ:

χ_{1}(g) = 1
χ_{2}(g) = sign(g)

Die Summe der Quadrate der Dimensionen der irreduziblen Darstellungen ist 6. Also muß die Dimension der dritten Darstellung 2 sein. Wir haben also für den dritten irreduziblen Charakter χ_{3}(1) = 2. Daß χ_{3} auf χ_{1} und χ_{2} senkrecht steht, bedeutet:

\begin{aligned}(χ_{1}, χ_{3}) & = & \frac{1}{6}(2 + 3χ_{3}(12) + 2χ_{3}(123)) & = & 0 \\ (χ_{2}, χ_{3}) & = & \frac{1}{6}(2 − 3χ_{3}(12) + 2χ_{3}(123)) & = & 0 \end{aligned}

Es folgt χ_{3}(12) = 0 und χ_{3}(123) = −1. Also haben wir die Charaktertafel

1 (12) (123)
χ_{1} 1 1 1
χ_{2} 1 −1  1
χ_{3} 2  0  −1

Charaktertafel S_{3}

Der dritte irreduzible Charakter von S_{3} läßt sich auch auf folgende Weise bestimmen: Eine verdächtige (reelle) 2–dimensionale Darstellung V besteht aus den orthogonalen Abbildungen des ℝ^{2}, die die Ecken des Dreiecks

(1, 0), (cos(2π/3), sin(2π/3)), (cos(4π/3), sin(4π/3))

permutieren. In dieser Darstellung wird (12) durch die Spiegelung ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} )

und (123) durch die Drehung ( \begin{matrix}cos(2π/3) & − sin(2π/3) \\ sin(2π/3) & cos(2π/3) \end{matrix} ) interpretiert. Die

Spuren der beiden Matrizen sind χ_{V} (12) = 0 und χ_{V} (123) = −1. Man muß jetzt nur noch zeigen, daß V irreduzibel ist. Dafür gibt es wieder zwei Argumente. Erstens ist χ_{V} nicht Summe von zweien der Charaktere χ_{1}, χ_{2}. Oder, zweitens, berechnet man (χ_{V} , χ_{V}) = 1 und verwendet

Bemerkung Eine Darstellung V ist genau dann irreduzibel, wenn

(χ_{V} , χ_{V}) = 1.

Beweis : Wenn man V in Irreduzible zerlegt,

V = m_{1}V_{1} ⊕ ⋯ ⊕ m_{k}V_{k},

ist (χ_{V} , χ_{V}) = m_{1}^{2} + ⋯ + m_{k}^{2}. □

Folgerung 4.3.7 Sei χ_{1}, …, χ_{k} eine Liste der irreduziblen Charaktere. Dann gilt für zwei Gruppenelemente g, h

∑_{i=1}^{k} \overline{χ_{i}}(g)χ_{i}(h) = \{ \begin{matrix}\frac{n}{#g^{G}} & wenn g^{G} = h^{G} \\ 0 & sonst \end{matrix}

Dabei bezeichnet g^{G} die Konjugationsklasse von g.

Beweis : Seien g_{1}, …, g_{k} Vertreter der Konjugationsklassen und k_{j} die Größe der Konjugationsklasse von g_{j}. Orthogonalität der χ_{i} bedeutet, daß die Matrix

\sqrt{\frac{k_{j}}{n}} χ_{i}(g_{j})

unitär ist. Also ist auch die Transponierte unitär, und das ist die Behauptung.□

Beispiel: Für g = 1 folgt, daß ∑_{i=1}^{k} n_{i}χ_{i}(h) gleich n ist, wenn h = 1, und gleich Null sonst. Also ergibt sich noch einmal die Behauptung von 4.2.6:

χ_{reg} = n_{1}χ_{1} + ⋯ + n_{k}χ_{k}

Beispiel: Wir berechnen die Charaktertafel von S_{4}. Es gibt 5 Konjugationsklassen: die Klasse des Einselements, die 6 Transpositionen (ab), die 8 Dreierzyklen (abc), die 6 Viererzyklen (abcd) und die 3 Produkte von disjunkten Transpositionen (ab)(cd). Es gibt also 5 irreduzible Charaktere. Weil S_{3} ≅ S_{4}/V_{4} ein Quotient von S_{4} ist, ist jede Darstellung von S_{3} auch ein Darstellung von S_{4}. Das liefert uns die ersten drei irreduziblen Charaktere mit den Dimensionen 1, 1, 2. Die Quadratsumme der Dimensionen ist 24, also kommt für χ_{4} und χ_{5} nur die Dimension 3 in Frage. Aus 4.3.7 folgt ∑_{i} \overline{χ_{i}(1)}χ_{i}(ab) = 0 und daraus χ_{4}(ab) + χ_{5}(ab) = 0. Andererseits folgt aus ∑_{i} |χ_{i}(ab)|^{2} = \frac{24}{6} = 4, daß χ_{4}(ab) und χ_{5}(ab) nur 1 und −1 sein können^{12}. Wir nehmen χ_{4}(ab) = 1 und χ_{5}(ab) = −1. Die übrigen Werte von χ_{4} und χ_{5} ergeben sich sofort daraus, daß die ersten beiden Spalten der Charaktertafel auf den übrigen Spalten senkrecht stehen.

1 (ab) (abc) (abcd) (ab)(cd)
χ_{1} 1  1  1  1  1
χ_{2} 1 −1  1  −1  1
χ_{3} 2  0 −1  0  2
χ_{4} 3  1  0  −1  −1
χ_{5} 3 −1  0  1  −1

Charaktertafel S_{4}

Lemma 4.3.8 Sei V eine Darstellung. Dann hat V eine unitäre Struktur, die von allen g ∈ G invariant gelassen wird.

Beweis : Wir wählen uns irgend eine unitäre Form ( , )_{0} und machen sie G–invariant:

(v_{1}, v_{2}) = ∑_{g∈G}(gv_{1}, gv_{2})_{0}.

( , ) ist positiv definit, weil für v ≠ 0

(v, v) = ∑_{g∈G}(gv, gv)_{0} > 0.

□

Man nennt eine Darstellung mit einer unitären G–invarianten Form eine unitäre Darstellung.

Das letzte Lemma ermöglicht einen alternativen Beweis für die Halbeinfachheit komplexer Darstellungen: Sei V eine unitäre Darstellung und W eine Unterdarstellung. Das orthogonale Komplement W^{⊥} ist ein G–Untermodul und es ist V = W ⊕ W^{⊥}.

Sei Γ′_{G} der Raum aller Funktionen G → ℂ mit der unitären Form

(α, β) = \frac{1}{n} ∑_{g∈G} \overline{α(g)}β(g)

Wir fixieren eine Aufzählung V_{1},…,V_{k} der irreduziblen Darstellungen und für jedes V_{l} eine unitäre G–invariante Struktur und eine Orthonormalbasis v_{1}^{l}, …, v_{n_{l}}^{l}. Die Wirkung von g sei für diese Basis von der unitären Matrix

A^{l}(g) = (α_{ij}^{l}(g))

12Weil in S_{n} alle Permutationen konjugiert zu ihrem Inversen sind, sind die Werte aller Charaktere reell (vgl. 4.3.3).

dargestellt.

Satz 4.3.9 (Orthogonalitätsrelationen II) Die Funktionen \sqrt{n_{l}}α_{ij}^{l} bilden eine Orthonormalbasis von Γ′_{G}.

Beweis : Weil wir es mit genau n = n_{1}^{2} + ⋯ + n_{k}^{2} Funktionen zu tun haben, müssen wir nur zeigen, daß sie zueinander orthogonal sind und daß (α_{ij}^{l}, α_{ij}^{l}) = \frac{1}{n_{l}}. Der Beweis ist eine „unitäre“ Version des Beweises von 4.3.5.

Eine unitäre Form auf V vermittelt einen Isomorphismus zwischen dem konjugierten^{13} Raum V^{(c)} und V^{∗}, der v auf die Linearform x ↦ (v, x) abbildet. Die konjugierte Form \overline{(x, y)} ist unitär auf V^{(c)}. Wenn G unitär auf V und damit auch auf V^{(c)} operiert, sind V^{(c)} und V^{∗} auch als G–Moduln isomorph, weil (gv, x) = (v, g^{−1}x).

Wir fixieren eine zweite unitäre Darstellung W und definieren auf

Hom_{ℂ}(V, W) ≅ V^{(c)} ⊗_{ℂ} W

eine unitäre Form durch

(v_{1} ⊗ w_{1}, v_{2} ⊗ w_{2}) = \overline{(v_{1}, v_{2})}(w_{1}, w_{2}).

G operiert wieder unitär auf Hom_{ℂ}(V, W).

Bezogen auf diese unitäre Struktur wirkt μ_{G} als die orthogonale Projektion Hom_{ℂ}(V, W) → Hom_{G}(V, W). Alle g ∈ G lassen nämlich den Unterraum Hom_{G}(V, W) und damit auch sein orthogonales Komplement X invariant. X wird also auch von μ_{G} invariant gelassen, woraus die Behauptung folgt.

Sei nun (v_{i}) eine Orthonormalbasis von V und (w_{i′}) eine Orthonormalbasis von W. Dann bilden die v_{i}⊗w_{i′} eine Orthonormalbasis von V^{(c)}⊗_{ℂ}W. Bezüglich dieser Basen wird g auf V und W durch die Matrizen

α_{ij}(g) = (u_{i}, gu_{j}) und β_{i′j′}(g) = (w_{i′}, gw_{j′})

dargestellt. Also ist

(α_{ij}, β_{i′j′}) = \frac{1}{n} ∑_{g∈G} \overline{(v_{i}, gv_{j})}(w_{i′}, gw_{j′})

= \frac{1}{n} ∑_{g∈G}(v_{i} ⊗ w_{i′}, g(v_{j} ⊗ w_{j′}))
= (v_{i} ⊗ w_{i′}, μ_{G}(v_{j} ⊗ w_{j′}))

Wir nehmen jetzt an, daß V und W irreduzibel sind. Wenn V ≅ W̸ ist Hom_{G}(V, W) = 0. Also ist μ_{G} gleich Null auf Hom_{ℂ}(V, W) und es folgt (α_{ij}, β_{i′j′}) = 0.

13V^{(c)} ist V mit der Skalarmultiplikation λ·^{(c)}v = \overline{λ}v. Für V^{(c)} gibt es auch die Schreibweise \overline{V}

Wenn V = W, besteht Hom_{G}(V, V) aus den Vielfachen der Identität

1_{V} = v_{1} ⊗ v_{1} + ⋯ + v_{m} ⊗ v_{m},

wobei m = dim V. Wenn j ≠ j′, bildet μ_{G}, die orthogonale Projektion auf ℂ · 1_{V}, (v_{j} ⊗ v_{j′}) auf Null ab, also ist (α_{ij}, α_{i′j′}) = 0. Wenn i ≠ i′, ist (v_{i} ⊗ v_{i′}) orthogonal zum Bild von μ_{G}, woraus ebenfalls (α_{ij}, α_{i′j′}) = 0 folgt. Schließlich bemerken wir,^{14} daß

μ_{G}(v_{j} ⊗ v_{j}) = \frac{1}{m}1_{V} .

Daraus folgt

(α_{ij}, α_{ij}) = (v_{i} ⊗ v_{i}, \frac{1}{m}1_{V}) = \frac{1}{m}.

□

14Das folgt daraus, daß die Spur eines durch v ⊗ v′ gegebenen Endomorphismus das Skalarprodukt (v, v′) ist. Also hat μ_{G}(v_{j} ⊗v_{j}) die Spur 1. Andererseits ist \frac{1}{m} 1_{V} das einzige Vielfache von 1_{V} , das die Spur 1 hat.

4.4 Ganzheitseigenschaften

Definition Eine komplexe Zahl heißt ganz–algebraisch, wenn sie Nullstelle eines normierten Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten ist.

Die ganzen Zahlen, alle Einheitswurzeln, alle n–ten Wurzeln aus ganzen Zahlen sind ganz–algebraisch.

Lemma 4.4.1 Rationale ganz–algebraische Zahlen sind ganzzahlig.

Beweis : Sei f(X) ∈ ℤ[X] ein normiertes Polynom und f = gh für zwei normierte Polynome aus ℚ[X]. Aus 2.6.5 folgt, daß Inhalt(f) = 1 das Produkt der Inhalte von g und h ist. Weil die Inhalte von g und h Teiler von 1 sind, ist das nur möglich, wenn beide Inhalte 1 sind, das heißt, wenn g und h ganzzahlig sind. Insbesondere ist jeder Teiler X − r (r ∈ ℚ) ganzzahlig. □

Lemma 4.4.2 z ist genau dann ganz–algebraisch, wenn es eine nicht–triviale, endlich–erzeugte additive Untergruppe von ℂ gibt, die unter Multiplikation mit z abgeschlossen ist.

Beweis : Wenn z Nullstelle eines normierten ganzzahligen Polynoms von Grad n ist, gehört z^{n} zu der von 1, z, …, z^{n−1} erzeugten additiven Gruppe A. A ist unter Multiplikation mit z abgeschlossen.

Sei ℤa_{1} + ⋯ + ℤa_{k} ≠ 0 abgeschlossen unter Multiplikation mit z. Dann gibt es eine ganzzahlige Matrix M = (m_{ij}) mit za_{i} = ∑_{j} m_{ij}a_{j} für i = 1, …, k oder

z ( a_{1} ; ⋮ ; a_{n} ) = M ( a_{1} ; ⋮ ; a_{n} ) .

Also ist z Eigenwert von M und Nullstelle des charakteristischen Polynoms von M, das normiert und ganzzahlig ist. □

Satz 4.4.3 Die ganz–algebraischen Zahlen bilden einen Ring.

Beweis : α und β seien ganz–algebraisch. A und B seien endlich erzeugte Untergruppen von ℂ, A sei unter Multiplikation mit α und B unter Multiplikation mit β abgeschlossen. Die von den Produkten AB erzeugte additive Untergruppe C ist wieder endlich erzeugt und abgeschlossen unter Multiplikation mit α und β. C ist also auch abgeschlossen unter Multiplikation mit α − β und αβ. □

Folgerung 4.4.4 Charaktere nehmen nur ganz–algebraische Werte an.

Beweis : Die Werte von Charakteren sind Summen von Eigenwerten. Die Eigenwerte von Endomorphismen endlicher Ordnung sind Einheitswurzeln. □

Satz 4.4.5 Sei χ_{i} ein irreduzibler Charakter der Dimension n_{i}, g_{j} ein Gruppenelement mit k_{j} Konjugierten. Dann ist \frac{k_{j}}{n_{i}} χ_{i}(g_{j}) ganz–algebraisch.

Beweis : χ_{i} sei der Charakter von V_{i}. Das Zentrum von ℤ[G] ist multiplikativ abgeschlossen und wird als additive Gruppe erzeugt von allen Summen ∑_{g∈C} g von Konjugationsklassen C. Weil die ∑_{g∈C} g mit allen Elementen von ℂ[G] kommutieren, operieren sie auf V_{i} als komplexe Zahlen γ_{C}, die nach 4.4.2 ganz–algebraisch sind. Wenn C die Konjugationsklasse von g_{j} ist, ist

n_{i}γ_{C} = Tr_{V_{i}}(∑_{g∈C} g) = k_{j}χ_{i}(g_{j})

□

Folgerung 4.4.6 Die Dimensionen n_{i} der irreduziblen Darstellungen teilen die Ordnung n von G.

Beweis : Sei g_{1}, …, g_{k} ein Vertretersystem der Konjugationsklassen und k_{j} die Größe der Konjugationsklasse von g_{j}. Dann ist nach 4.3.5

\frac{n}{n_{i}} = \frac{1}{n_{i}} ∑_{g∈G} χ_{i}(g)\overline{χ_{i}(g)} = ∑_{j=1}^{k} \frac{k_{j}}{n_{i}} χ_{i}(g_{j})\overline{χ_{i}(g_{j})}.

Aus 4.4.4 und 4.4.5 folgt, daß \frac{n}{n_{i}} ganz–algebraisch ist. Und daher, wegen 4.4.1, ganzzahlig. □

Satz 4.4.7 (Solomon) Sei g_{1}, …, g_{k} ein Vertretersystem der Konjugationsklassen, χ_{1}, …, χ_{k} die irreduziblen Charaktere von G. Dann gilt:

1) Für jedes i ist ∑_{j=1}^{k} χ_{i}(g_{j}) eine natürliche Zahl.

2) Für jedes j ist ∑_{i=1}^{k} χ_{i}(g_{j}) eine ganze Zahl.

Beweis :

1) G operiert durch Konjugation auf sich selbst. In der zugehörigen Permutationsdarstellung V operiert G durch Permutationsmatrizen, deren Spur die Zahl der Fixpunkte der dargestellten Permutation ist. Der Charakter dieser Darstellung ist daher

χ_{V} (g_{j}) = #C_{G}(g_{j}) = \frac{n}{k_{j}} .

Also ist ∑_{j} χ_{i}(g_{j}) = (χ_{V} , χ_{i}) die Vielfachheit von V_{i} in V, und damit eine natürliche Zahl.

2) Sei ϕ ein Automorphismus von ℂ und V eine Darstellung von G mit Charakter χ. Wenn wir die Skalarmultiplikation umdefinieren durch λ ·^{ϕ} v = ϕ(λ)v, erhält man ein Darstellung V^{ϕ} mit dem Charakter ϕ(χ). Wenn V irreduzibel ist, ist auch V^{ϕ} irreduzibel. ϕ permutiert also die irreduziblen Charaktere. Daher ist

ϕ(∑_{i} χ_{i}) = ∑_{i} ϕ(χ_{i}) = ∑_{i} χ_{i}.

Weil nur rationale Zahlen von allen Automorphismen von ℂ festgehalten werden^{15}, müssen die Werte von ∑_{i} χ_{i} rationale Zahlen und, wegen 4.4.1 und 4.4.4, ganze Zahlen sein. □

15Das ist nicht so einfach einzusehen. Man kann aber ℂ durch den algebraischen Abschluß ℚ̃ von ℚ ersetzen. Es ist klar, daß nur die Elemente von ℚ von allen Automorphismen von ℚ̃ fixiert werden.

Index

(a), 47 (a, b), 49 A^{∗}, 4 A_{n}, 31 Aut(F/k), 56 ⟨A⟩, 9 a ∼ b, 47 a^{n}, 9 na, 9 b|a, 47, 50 C_{G}(x), 18 χ_{V}, 85 χ_{reg}, 85 Δ_{n}(K), 31 deg(f), 39 δ_{n}(K), 29 D_{2n}, 27 1, 5, 13 End(A), 32 End_{R}(M), 36 𝔽_{q}, 62 Fix(G), 64 f′, 59 f(s), 39 (G : U), 8 G′, 30 G/H, 8 G ⊕ H, 21 G ≅ H, 6 G × H, 20 G^{(i)}, 30 [g, h], 20 ggT(a, b), 49 gϕ, 82 Γ′_{G}, 89 Γ_{G}, 85 ℍ, 33 Hom_{R}(M, N), 36 Hom_{G}(V, W), 82 id_{X}, 5 K(X), 43 K/k, 51 K^{qua}, 70 ker(f), 12 k̃, 56 k(a_{1}, …, a_{n}), 52 k[a_{1}, …, a_{n}], 52 kgV(a, b), 49 M_{n}(R), 77 0, 5, 13, 32 N ⊲ G, 11 ℕ, 4 N_{G}(U), 27 ord(a), 9 ∏_{i∈I} G_{i}, 21 ℚ, 24 Q_{8}, 28 Quot(R), 43 R[X], 38 R[X_{1}, … X_{n}], 40 R[X_{i}]_{i∈I}, 40 R^{opp}, 35 R^{∗}, 32 R_{1} × R_{2}, 33 R_{R}, 35 RR, 35 R–Algebra, 38 R[s], 39 R_{S}, 41 −s, 5 ⨁_{i∈I} G_{i}, 21 S_{n}, 10, 31 Sym(X), 5 s^{−1}, 5 S_{3}, 31, 87 S_{4}, 27, 31, 89 sign(π), 10 T(M), 22 T_{p}(M), 22 τ_{a}, 18 U ≤ G, 6 V^{G}, 82 V_{4}, 31 V^{∗}, 82 V^{(c)}, 90 V_{reg}, 82 x^{a}, 18 XX, 4 ℤ, 5 Z(G), 19 Z_{m}, 12, 34 Z(A), 38

Abel, 4 abelsche

Halbgruppe, 4

Körpererweiterung, 66 Normalreihe, 30

Ableitung eines Polynoms, 59 Äquivalenz, 47 Algebra, 38 algebraisch abgeschlossener Körper, 55 algebraische Unabhängigkeit, 76 algebraischer Abschluß, 55 algebraisches Element, 52 alternierende Gruppe, 31 Artin, 69

Lemma von, 69 Assoziativgesetz, 4 auflösbare

Gleichung, 73 Gruppe, 30

Automorphismus, 18, 56 innerer, 18

Bahn, 18 Betragsfunktion, 47

Cauchy, 26

Lemma von, 26 Cayley, 6

Satz von, 6 Charakter, 85

formaler, 85 Charakteristik, 51 Chinesischer Restsatz, 45

Darstellung duale, 82 einfache, 82 irreduzible, 84 konjugierte, 90 reguläre, 82 triviale, 82 unitäre, 89 derivierte Gruppe, 30 Diedergruppe, 27 direkte Summe, 21, 37 innere, 21 direktes Produkt, 20, 33 inneres, 20 Divisionsring, 32 Dreiecksmatrizen, 29, 31 duale Darstellung, 82

echtes Ideal, 34

einfache Darstellung, 82 Gruppe, 14 Körpererweiterung, 52 Moduln, 78 Ringe, 34

Einheit, 32

Einheitswurzel, 66 primitive, 66

Einselement, 5

Einsetzungshomomorphismus, 39

Eisensteinkriterium, 67

elementar–symmetrische Funktionen, 75 Endomorphismenring, 32, 36 Endomorphismus, 32, 36 Euklid, 71 Euklidischer Ring, 47 Exponent

einer Gruppe, 22 eines Elements, 9

faktorieller Ring, 48

Faserung, 10 Fermat, 70 Fermatsche Primzahlen, 70 Fixkörper, 64 freie abelsche Gruppe, 24 freier R–Modul, 37 Frobeniusabbildung, 62

Galois, 64

Galoisgruppe, 64

galoissche Körpererweiterung, 64

ganz–algebraische Zahl, 92

Gauß, 50

Lemma von, 50 Grad

einer Körpererweiterung, 53 eines Polynoms, 39

größter gemeinsamer Teiler, 49 Gruppe, 5

abelsche, 4

freie, 24 alternierende, 31 aufhyperindexformatłösbare, 30 derivierte, 30 einfache, 14 nilpotente, 28 symmetrische, 5 torsionsfreie, 23 triviale, 13 zyklische, 13

Gruppenalgebra, 82 Gruppendarstellung, 82 Gruppenring, 82

Hölder, 15 halbeinfacher

Modul, 78 Ring, 79

Halbgruppe, 4 abelsche, 4 kommutative, 4

Hauptideal, 47 Hauptidealring, 47 Homomorphiesatz, 11, 33, 36

abstrakter, 10 Homomorphismus

zwischen Algebren, 39 zwischen Halbgruppen, 10 zwischen Moduln, 35 zwischen Ringen, 33

Ideal, 33 echtes, 34 maximales, 45 primes, 45

Ideale relativ prime, 45 teilerfremde, 45

Index einer Untergruppe, 8 Inhalt eines Polynoms, 50 Integritätsbereich, 41 Interpolationsformel, 68 Inverses, 5 irreduzible

Darstellung, 84 Elemente, 48 Moduln, 79

Isomorphie, 6 Isomorphismus, 6

Jordan, 15 Jordan–Hölder

Satz von, 15

kartesisches Produkt, 21 Kern eines Homomorphismus, 12, 33,

36 Kleinsche Vierergruppe, 31 kleinstes gemeinschaftliches Vielfaches,

49 Körper, 41

algebraisch abgeschlossener, 55 perfekter, 62 quadratisch abgeschlossener, 70

Körpererweiterung, 51 abelsche, 66 einfache, 52 galoissche, 64 Grad einer, 53 isomorphe, 52 normale, 56 radikale, 73 separable, 58 zyklische, 66

Körperturm, 53 kommutativer Ring, 33 Kommutator, 20 Kommutatorgruppe, 30 kommutierende Elemente, 9 Komplexprodukt, 14 Kompositionsfaktor, 15 Kompositionsreihe, 14 Kongruenzrelation, 10 Konjugation, 18 Konjugationsklassen, 18 konjugierte Darstellung, 90 konstantes Polynom, 39 konstruierbarer Punkt, 70 Kreisteilungskörper, 67

Leitkoeffizient, 39 Linearfaktor, 55 Linksideal, 34 Linksinverses, 5, 6 Linksmodul, 35 Linksnebenklassen, 8 linksneutrales Element, 5

Maschke

Satz von, 83 Matrixring, 77 maximales Ideal, 45 Minimalpolynom, 52 Modul, 35

einfacher, 78 halbeinfacher, 78

endlicher Länge, 78 irreduzibler, 79

modularer Verband, 17 Modulargesetz, 17 Monoid, 5 Monom, 40 Multiindex, 40

neutrales Element, 5 nilpotente Gruppe, 28 Noether, 14 noethersche Ringe, 49 Noetherscher Isomorphiesatz, 14 normale Körpererweiterung, 56 Normalisator, 27 Normalisieren, 14 Normalreihe, 14

abelsche, 30 Normalteiler, 11

trivialer, 14 normiertes Polynom, 39 Nullelement, 5 Nullstelle, 39 Nullteiler, 41

Ordnung einer Gruppe, 9 eines Elements, 9 unendliche, 9

p–Gruppe, 22, 26 perfekter Körper, 62 Permutationsdarstellung, 82 Polynom, 38

Grad, 39 konstantes, 39 normiertes, 39 Nullstelle, 39 primitives, 50 separables, 59

Polynomring, 38

in mehreren Variablen, 40 Primideal, 45 primitive Einheitswurzel, 66 primitives Element, 52 Primkörper, 51 projektive abelsche Gruppen, 24

quadratisch abgeschlossener Körper, 70 Quaternionenalgebra, 33 Quaternionengruppe, 28 Quotientenkörper, 43 Quotientenring, 41

Radikalerweiterung, 73

rationaler Funktionenkörper, 43

Rechtsideal, 34 Rechtsinverses, 5 Rechtsmodul, 35 Rechtsnebenklasse, 8 rechtsneutrales Element, 5 reguläre Darstellung, 82 Ring, 32

einfacher, 34 euklidischer, 47 faktorieller, 48 kommutativer, 33 noetherscher, 49 trivialer, 32 unitärer, 32 R–lineare Abbildung, 35

Satz von Cayley, 6 von Jordan–Hölder, 15 von Maschke, 83 von Wedderburn, 79 Satz vom primitiven Element, 60 Schiefkörper, 32 Schreier, 16

Verfeinerungssatz von, 16 Schur, 79

Lemma von, 79 Separabilitätsgrad, 58 separable

Elemente, 59

Körpererweiterung, 58

Polynome, 59 Signatur, 10 Sockel, 22 Spur, 85 Stabilisatorgruppe, 18 Sylowgruppe, 26 symmetrische Gruppe, 5 symmetrische rationale Funktion, 76

Teilbarkeit, 39, 47, 50 Teiler, 39, 47 torsionsfreie Gruppe, 23 Torsionsgruppe, 22 Torsionsuntergruppe, 22 p–Torsionsuntergruppe, 22 transzendentes Element, 52 triviale Darstellung, 82 triviale Gruppe, 13

unitäre Darstellung, 89 unitärer Ring, 32 Untergruppe, 6

erzeugte, 9 Untermodul, 35 Unterring, 33

Wedderburn, 79 Satz von, 79

Zassenhaus

Lemma von, 16 Zentralisator, 18 Zentralreihe, 28 Zentrum, 19, 38 Zerfällungskörper, 56 zyklische

Gruppe, 13

unendliche, 13 Körpererweiterung, 66

Entstehung

Die ersten drei Kapitel sind aus dem Skript einer Algebravorlesung im Sommersemester 1995 entstanden. Die im April 1996 publizierte Version war von Gunter Geisler durchgesehen worden.

Im Wintersemester 1999/2000 kam das vierte Kapitel hinzu. Zwei Hörer der Vorlesung habe ich für Fehlerlisten zu danken: S. Holzmann (Version 2d) und O. Schnürer (Version 3c). In Version 3c wurde auch Folgerung 4.1.9 richtiggestellt^{1}.

In Version 3d wurde nur das Inhaltsverzeichnis geändert und kleine Druckfehler, die zum Teil von L. Stieber gefunden wurden, beseitigt.

Viele Fehler in Version 3e wurden von Nina Frohn gefunden. Rechts- und Linksnebenklassen richtig definiert.

Version 3f enthält einen Beweis des Jordan-Höldersatzes, der den Verfeinerungssatz von Schreier nicht benutzt. Der Beweis von 1.10.1 wurde gekürzt. Die Formel für deg(fg) auf Seite 43 wurde korrigiert. Der Beweis von 2.5.5 wurde geändert.

In Version 3g gibt es jetzt das Eisensteinkriterium. In Version 3h wurde ein Druckfehler in Beweis von Folgerung 4.3.6 verbessert, den M. Biehl gefunden hat. In Version 3i wurde die Notation im Beweis von Lemma 4.1.1 verbessert. In Version wurde dem Beweis von 4.3.9 eine erklärende Fußnote angefügt.

1Orthographien, die hier „richtig gestellt“ vorschlagen, sollte man lieber nicht verwenden.