Analysis (Definitionen und Sätze)^{∗}

M. Ziegler^{†} Freiburg WS 2002/2003 und SS 2003

Inhaltsverzeichnis

3 Folgen und Reihen 3 3.1 Folgen und Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3.2 Die Vollständigkeit der reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . 4 3.3 Vergleich von ℚ und ℝ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3.4 Die Zahl π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3.5 Unendliche Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3.6 Die Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4 Stetigkeit 8 4.1 Stetige Funktionen und der Zwischenwertsatz . . . . . . . . . . . 8 4.2 Umkehrfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 4.3 Wurzeln, Potenz und Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4.4 Folgenstetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4.5 Stetige Funktionen auf kompakten Mengen . . . . . . . . . . . . 11

5 Integration und Differentiation 11 5.1 Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 5.2 Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 5.3 Monotone und konvexe Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 5.4 Die Regeln von l’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 5.5 Hauptsatz der Differential– und Integralrechnung . . . . . . . . . 17 5.6 Integrationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

6 Potenzreihen 18 6.1 Funktionenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 6.2 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 6.3 Taylorreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 6.4 Der Grenzwertsatz von Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 6.5 Analytische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

∗Version 1b, 18.3.2004 †Die Vorlesung orientiert sich an einem Skript von Wolfgang Soergel.

7 Trigonometrische Funktionen 21 7.1 Sinus und Cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 7.2 Weitere trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Beginn des Sommersemesters 7.3 Hyperbolische trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . 23 7.4 Fourierreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

8 Metrische Räume und Topologie 25 8.1 Metrische Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 8.2 Folgen in metrischen Räumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 8.3 Kompakte metrische Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 8.4 Topologische Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 8.5 Normierte Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 8.6 Der Satz von Stone–Weierstraß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

9 Differenzierbare Kurven im ℝ^{n} 30 9.1 Bogenlänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 9.2 Kurvenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 9.3 Partielle Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 9.4 Geschlossene und exakte 1–Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

10 Differenzierbare Abbildungen in mehreren Variablen 34 10.1 Das Differential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 10.2 Taylorentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 10.3 Maxima und Minima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 10.4 Implizit definierte Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3 Folgen und Reihen

3.1 Folgen und Grenzwerte

Definition Sei X eine Menge. Eine Folge in X ist eine Funktion f : ℕ → X. Wenn x_{i} = f(i), schreibt man die Folge auch in einer der folgenden Weisen:

• x_{0}, x_{1}, …

• (x_{i})_{i=0,1,...}

• (x_{i})

Definition Eine Folge x_{0}, x_{1}, … von reellen Zahlen konvergiert gegen x, wenn es für alle ϵ > 0 eine natürliche Zahl N gibt, sodaß |x_{n} − x| ≤ ϵ für alle n ≥ N. In logischer Schreibweise:

∀ϵ > 0 ∃N ∀n ≥ N |x_{n} − x| ≤ ϵ

Wenn (x_{i}) gegen x konvergiert, heißt x Grenzwert oder Limes von (x_{i}). Wir notieren das auch als

• lim_{n→∞} x_{n} = x

• (x_{i}) → x

Folgen, die einen Grenzwert haben, heißen konvergent, sonst divergent. Intervalle sind folgendermaßen definiert:

[a, b] = {x|a ≤ x ≤ b} abgeschlossenes Intervall
(a, b) = {x|a < x < b} offenes Intervall
[a, b) = {x|a ≤ x < b}
(a, b] = {x|a < x ≤ b}

Lemma 3.1.1 Eine Folge kann nur einen Grenzwert haben. Lemma 3.1.2

lim_{n→∞} \frac{1}{n} = 0

Definition Eine Folge, die gegen Null konvergiert heißt Nullfolge. Lemma 3.1.3 (x_{i}) konvergiert genau dann gegen x, wenn (x_{i} − x) eine Nullfolge ist.

Lemma 3.1.4 Wenn (b_{i}) eine Nullfolge ist und |a_{i}| ≤ b_{i} für alle i, so ist auch (a_{i}) eine Nullfolge.

Definition Eine Folge (x_{i}) divergiert gegen ∞ (oder −∞), wenn es für alle ganzen Zahlen K ein N gibt, sodaß K ≤ x_{n} (beziehungsweise x_{n} ≤ K) für alle n ≥ N.

Wir schreiben dafür lim_{n→∞} x_{n} = ∞ und lim_{n→∞} x_{n} = −∞.

Folgen, die gegen ∞ oder −∞ divergieren, heißen bestimmt divergent, sonst unbestimmt divergent.

Proposition 3.1.5 Sei x eine reelle Zahl. Wenn x < −1, ist die Folge (x^{i}) unbestimmt konvergent. Sonst ist

lim_{n→∞} x^{n} = \{ \begin{matrix}0, wenn & −1 < x < 1 \\ 1, wenn & x = 1 \\ ∞, wenn & 1 < x. \end{matrix}

Satz 3.1.6 Sei lim_{n→∞} a_{n} = a und lim_{n→∞} b_{n} = b. Dann ist

1. lim_{n→∞}(a_{n} + b_{n}) = a + b und lim_{n→∞}(a_{n}b_{n}) = ab.

2. Wenn a_{n} ≤ b_{n} für unendlich viele n, ist a ≤ b.

3. Wenn alle a_{n} und a ungleich Null sind, ist lim_{n→∞} \frac{1}{a_{n}} = \frac{1}{a}.

Bemerkung 3.1.7 1. Jede konvergente Folge (a_{n}) ist beschränkt. Das heißt, daß |a_{n}| ≤ K für ein K und alle n.

2. Wenn die a_{n} ungleich Null sind und gegen einen von Null verschiedenen Grenzwert konvergieren, gibt es ein k > 0 sodaß k ≤ |a_{n}| für alle n.

Lemma 3.1.8 Wenn (a_{n}) beschränkt ist und (b_{n}) eine Nullfolge, so ist auch (a_{n}b_{n}) eine Nullfolge.

3.2 Die Vollständigkeit der reellen Zahlen

Definition Eine Teilfolge von a_{0}, a_{1}, … ist gegeben durch eine aufsteigende Folge von Indizes i_{0} < i_{1} < … als

a_{i_{0}}, a_{i_{1}}, ….

Satz 3.2.1 (Bolzano–Weierstraß)^{1} Jede beschränkte Folge hat eine konvergente Teilfolge.

Definition a ist Häufungspunkt der Folge (a_{n}), wenn für alle ϵ > 0 unendlich viele Folgenglieder in [a − ϵ, a + ϵ] liegen.

1Bernhard Bolzano (1771-1848), Carl Weierstraß (1815-1897)

Bemerkung 3.2.2 a ist genau dann Häufungspunkt der Folge (a_{n}), wenn a Limes einer Teilfolge von (a_{n}) ist.

Jede Folge (a_{n}) hat einen kleinsten und einen größten Häufungspunkt^{2}, den Limes superior lim sup_{n→∞} a_{n} und den Limes inferior lim inf_{n→∞} a_{n}.

Folgerung 3.2.3 Jede monoton wachsende beschränkte Folge konvergiert.

Definition Eine Folge (a_{n}) heißt Cauchyfolge^{3}, wenn es für alle ϵ > 0 ein N gibt, sodaß |a_{n} − a_{m}| ≤ ϵ für alle n, m ≥ N.

Satz 3.2.4 (Cauchyvollständigkeit von ℝ) Eine Folge ist genau dann konvergent, wenn sie ein Cauchyfolge ist.

3.3 Vergleich von ℚ und ℝ

Lemma 3.3.1 In ℝ läßt sich (im Gegensatz zu ℚ) aus jeder positiven Zahl die Quadratwurzel ziehen.

Definition Eine Menge X heißt abzählbar, wenn es eine Bijektion ℕ → X gibt. Eine unendliche Menge, die nicht abzählbar ist, heißt überabzählbar.

Satz 3.3.2 (Cantor)^{4}

1. ℚ ist abzählbar

2. ℝ ist überabzählbar.

Definition Eine reelle Zahl α heißt algebraisch, wenn sie Nullstelle eines Polynoms (≠ 0) mit rationalen Koeffizienten ist.

Bemerkung 3.3.3 Die Menge der algebraischen Zahlen ist abzählbar.

3.4 Die Zahl π

Die Zahl π, die später eingeführt wird (7.1, Seite 22), ist nicht algebraisch (Lindemann^{5} 1882).

2±∞ ist zugelassen.

3Augustin Louis Baron Cauchy (1789-1857)

4Georg Cantor (1845-1872)

5Carl Louis Ferdinand Lindemann (1852-1939)

3.5 Unendliche Reihen

Definition Sei (a_{k}) eine Zahlenfolge. Unter der Reihe

∑_{n=0}^{∞} a_{n} = a_{0} + a_{1} + ⋯

verstehen wir die Folge der Partialsummen

s_{n} = ∑_{k=0}^{n} a_{k}.

∑_{n=0}^{∞} a_{n} konvergiert gegen a, wenn (s_{n}) gegen a konvergiert. Man schreibt

∑_{n=0}^{∞} a_{n} = a_{0} + a_{1} + ⋯ = a.

Lemma 3.5.1 Sei ∑_{n=0}^{∞} a_{n} = a und ∑_{n=0}^{∞} b_{n} = b. Dann ist 1. ∑_{n=0}^{∞}(a_{n} + b_{n}) = a + b

2. ∑_{n=0}^{∞} λa_{n} = λa für alle λ.

3. Wenn a_{n} ≤ b_{n} für alle n, ist a ≤ b. Lemma 3.5.2 Wenn a_{n} ≥ 0 für alle n, und die Folge der Partialsummen beschränkt ist, ist ∑_{n=0}^{∞} a_{n} konvergent. Satz 3.5.3 (Geometrische Reihe) Wenn |x| < 1, ist

∑_{n=0}^{∞} x^{n} = \frac{1}{1 − x}.

Lemma 3.5.4 Wenn ∑_{n=0}^{∞} a_{n} konvergent ist, ist (a_{n}) eine Nullfolge. Lemma 3.5.5 (Harmonische Reihe)

∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n} = ∞.

Lemma 3.5.6 (Leibnizkriterium)^{6} (a_{n}) sei eine monoton abnehmende Nullfolge. Dann ist ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n}a_{n} konvergent.

Definition Eine Reihe (a_{n}) heißt absolut konvergent, wenn ∑_{n=0}^{∞} |a_{n}| konvergiert. Lemma 3.5.7 Absolut konvergente Reihen sind konvergent.

6Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)

Satz 3.5.8 (Umordnungssatz) Eine Reihe ∑_{n=0}^{∞} a_{n} ist genau dann absolut konvergent, wenn für jede Bijektion u : ℕ → ℕ die Reihe ∑_{n=0}^{∞} a_{u(n)} konvergiert und

∑_{n=0}^{∞} a_{n} = ∑_{n=0}^{∞} a_{u(n)}.

Definition X sei eine abzählbare Menge. Eine „Reihe“ ∑_{x∈X} a_{x} konvergiert absolut gegen a, wenn für eine Bijektion u : ℕ → X die Reihe ∑_{n=0}^{∞} a_{u(n)} absolut gegen a konvergiert.

Satz 3.5.9 (Majorantenkriterium) Wenn ∑_{n=0}^{∞} b_{n} konvergiert und ∑_{n=0}^{∞} a_{n} majorisiert, daß heißt |a_{n}| ≤ b_{n}, dann ist ∑_{n=0}^{∞} a_{n} absolut konvergent.

Folgerung 3.5.10 (Quotientenkriterium) Wenn für ein θ < 1 und für fast alle n

|\frac{a_{n+1}}{a_{n}} | < θ,

dann ist ∑_{n=0}^{∞} a_{n} absolut konvergent.

Bemerkung 3.5.11 Wenn für fast alle n

|\frac{a_{n+1}}{a_{n}} | ≥ 1,

so ist ∑_{n=0}^{∞} a_{n} divergent.

3.6 Die Exponentialfunktion

Definition Die Exponentialfunktion ist gegeben durch

exp(x) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{x^{n}}{n!} .

Die Eulersche^{7} Zahl durch

e = exp(1) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{n!}.

Lemma 3.6.1

exp(x) = lim_{n→∞} (1 + \frac{x}{n})^{n}

Satz 3.6.2 (Multiplikation absolut konvergenter Reihen) Wenn ∑_{n=0}^{∞} a_{n} und ∑_{n=0}^{∞} b_{n} absolut gegen a und b konvergieren, konvergiert ∑_{i,j=0}^{∞} a_{i}b_{j} absolut gegen ab.

7Leonhard Euler (1707-1783)

Bemerkung Sei X abzählbar und ∑_{x∈X} a_{x} = a absolut konvergent. Sei X disjunkte Vereinigung von X_{0}, X_{1}, . . .. Dann ist

∑_{n=0}^{∞}( ∑_{x∈X_{n}} a_{x}) = a

absolut konvergent. Satz 3.6.3

exp(x + y) = exp(x)exp(y)

Folgerung 3.6.4 Für alle m ∈ ℤ ist

exp(m · y) = exp(x)^{m}

und daher

exp(z) = e^{z}.

Bemerkung 3.6.5 exp wächst monoton und ist überall positiv. Außerdem gilt

lim_{n→∞} exp(n) = ∞
lim_{n→∞} exp(−n) = 0.

4 Stetigkeit

4.1 Stetige Funktionen und der Zwischenwertsatz

Definition Sei D ⊂ ℝ und f : D → ℝ eine Funktion.

1. f heißt stetig bei p ∈ D, wenn es für alle ϵ > 0 ein δ > 0 gibt, sodaß |f(x) − f(p)| < ϵ für alle x ∈ D mit |x − p| < δ.

2. f heißt stetig, wenn f bei allen p ∈ D stetig ist. Bemerkung Konstante Funktionen, die Funktionen x ↦ x, abs(x) = |x| und exp(x) sind stetig. Lemma 4.1.1 Die Funktion

x ↦ \frac{1}{x}

ist eine stetige Funktion auf ℝ \ {0}. Satz 4.1.2 (Zwischenwertsatz) f : [a, b] → ℝ sei stetig. Dann nimmt f jeden Wert zwischen f(a) und f(b) an. Folgerung 4.1.3 exp(x) nimmt jeden positiven Wert genau einmal an.

Definition Der (natürliche) Logarithmus

log : ℝ_{>0} → ℝ

ist die Umkehrfunktion von exp.

Es gilt log(e) = 1 und log(xy) = log(x) + log(y).

Satz 4.1.4 (Summe und Produkt stetiger Funktionen) Wenn f und g stetige Funktionen D → ℝ sind, sind auch f + g und fg stetige Funktion von D nach ℝ.

Folgerung 4.1.5 Polynomfunktionen f : ℝ → ℝ, definiert durch

f(x) = a_{0} + a_{1}x + ⋯ + a_{n}x^{n},

sind stetig.

Satz 4.1.6 (Verknüpfung stetiger Funktionen) Die Funktionen f : D → ℝ und g : E → ℝ seien stetig und g(E) Teilmenge von D. Dann ist auch f ∘ g : D → ℝ stetig.

Folgerung 4.1.7 f und g seien stetig auf D und g ohne Nullstelle auf D. Dann ist auch

\frac{f}{g} : D → ℝ

stetig.

4.2 Umkehrfunktionen

Definition Eine Teilmenge X von ℝ heißt convex, wenn für alle x, y ∈ X auch alle Elemente von [x, y] zu X gehören.

Lemma 4.2.1 Die convexen Teilmengen von ℝ sind genau die Intervalle.

Als Intervalle gelten dabei jetzt auch die Mengen

[a, ∞), (−∞, b]  abgeschlossen
(a, ∞), (−∞, b)  offen
(−∞, ∞) = ℝ  offen und abgeschlossen

Satz 4.2.2 (Abstrakter Zwischenwertsatz) f sei stetig auf dem Intervall D, dann ist auch f(D) ein Intervall.

Definition Eine Funktion f : D → ℝ heißt monoton wachsend, wenn für alle x, y ∈ D

x < y ⇒ f(x) ≤ f(y),

und streng monoton wachsend, wenn

x < y ⇒ f(x) < f(y).

Entsprechend definiert man (streng) monoton fallend. f heißt (streng) monoton, wenn f (streng) monoton wächst oder (streng) monoton fällt.

Lemma 4.2.3 f sei streng monoton auf dem Intervall D. Dann ist die Umkehrfunktion

f^{−1} : f(D) → ℝ

stetig.

Satz 4.2.4 (Satz von der Umkehrfunktion) f sei streng monoton auf dem Intervall D und stetig. Dann ist das Bild I = f(D) wieder ein Intervall und die Umkehrfunktion f^{−1} : I → ℝ streng monoton und stetig.

4.3 Wurzeln, Potenz und Logarithmus

Definition n sei eine ganze Zahl, ungleich Null. Die n-te Wurzel

n \sqrt{x} : ℝ_{>0} → ℝ

ist die Umkehrfunktion der n–ten Potenz

x^{n} : ℝ_{>0} → ℝ.

Für positive x gilt log( ^{n} \sqrt{x}) = \frac{1}{n} log(x).

Folgerung 4.3.1 log(x) und ^{n} \sqrt{x} sind stetig.

Wir erweitern die Potenzfunktion a^{z}, (z ∈ ℤ) auf beliebige Exponenten.

Definition Für positive a und beliebige x definieren wir die Potenzfunktion durch

a^{x} = exp( x log(a)).

Es gilt e^{x} = exp(x) und a^{\frac{1}{n}} = ^{n} \sqrt{a}.

Bemerkung 4.3.2 Es bestehen die folgenden Rechenregeln.

a^{1} = a
a^{x+y} = a^{x}a^{y}
(ab)^{x} = a^{x}b^{x}
(a^{x})^{y} = a^{xy}

Wenn a ≠ 1, ist a^{x} streng monoton und nimmt alle positiven Zahlen als Werte an.

Definition Sei a eine positive Zahl ungleich 1. Der Logarithmus log_{a}(x) zur Basis a ist die Umkehrfunktion der Potenzfunktion a^{x}.

Es ist log_{e}(x) = log(x).

Bemerkung 4.3.3

log_{a}(x) = \frac{log(x)}{log(a)}

4.4 Folgenstetigkeit

Satz 4.4.1 f : D → ℝ ist genau dann stetig, wenn für jede Folge (a_{n}) aus D, die gegen ein a ∈ D konvergiert, die Folge (f(a_{n})) gegen f(a) konvergiert.

Man beweist damit leicht, daß lim_{n→∞} ^{n} \sqrt{a} = 1 für positive a.

4.5 Stetige Funktionen auf kompakten Mengen

Definition Eine Teilmenge K von ℝ heißt kompakt, wenn jede Folge aus K einen Häufungspunkt in K hat.

Intervalle sind nur dann kompakt, wenn sie die Form [a, b] haben.

Satz 4.5.1 Eine stetige Funktion mit kompaktem, nicht leerem Definitionsbereich nimmt Maximum und Minimum an.

Definition Eine Funktion f : D → ℝ heißt gleichmäßig stetig, wenn es für alle ϵ > 0 ein δ > 0 gibt, sodaß für alle x, y ∈ D

|x − y| < δ ⇒ |f(x) − f(y)| < ϵ.

Satz 4.5.2 Eine stetige Funktion mit kompakten Definitionsbereich ist gleichmäßig stetig.

5 Integration und Differentiation

5.1 Integration

Sei f : [a, b] → ℝ eine stetige Funktion und

a = a_{0} ≤ a_{1} ≤ ⋯ ≤ a_{n} = b

eine Unterteilung U des Definitionsbereich.

Definition Die zu U gehörende Untersumme ist

\underline{I}_{U}(f) = ∑_{i=1}^{n} inf f[a_{i−1}, a_{i}] · (a_{i} − a_{i−1})

Lemma 5.1.1 Wenn V eine Verfeinerung von U ist, ist \underline{I}_{U}(f) ≤ \underline{I}_{V}(f). Definition Das Integral von f über [a, b] ist

∫_{a}^{b} f = sup\{ \underline{I}_{U}(f) | U Unterteilung von [a, b] \}

Andere Schreibweisen für das Integral sind:

∫_{a}^{b} f(x) dx und ∫_{[a,b]} f.

Definition Für Funktionen f, g : D → ℝ bedeutet f ≤ g, daß f(x) ≤ g(x) für alle x ∈ D. Lemma 5.1.2 (Grundlegende Eigenschaften des Integrals) 1. Für konstante Funktionen c gilt

∫_{a}^{b} c = c(b − a).

2. Wenn c ∈ [a, b], ist

∫_{a}^{b} f = ∫_{a}^{c} f + ∫_{c}^{b} f.

3. Wenn f ≤ g, ist

∫_{a}^{b} f ≤ ∫_{a}^{b} g.

Definition Sein U eine Unterteilung von [a, b]. Die zu U gehörende Obersumme ist

\overline{I}_{U}(f) = ∑_{i=1}^{n} sup f[a_{i−1}, a_{i}] · (a_{i} − a_{i−1})

Es ist klar, daß ∫_{a}^{b} f ≤ \overline{I}_{U}(f). Lemma 5.1.3 ∫_{a}^{b} f ist das Infimum aller \overline{I}_{U}(f). Satz 5.1.4 (Integrationsregeln)

1.

∫_{a}^{b}(f + g) = ∫_{a}^{b} f + ∫_{a}^{b} g

2. Für alle λ ∈ ℝ ist

∫_{a}^{b} λf = λ ∫_{a}^{b} f.

3.

|∫_{a}^{b} f| ≤ ∫_{a}^{b} |f|

Definition Für b < a definieren wir ∫_{a}^{b} f(x) dx = − ∫_{b}^{a} f(x) dx.

Mit dieser Definition gilt Lemma 5.1.2(2) für beliebige a, b, c.

5.2 Differentiation

Definition Sei D eine Teilmenge von ℝ. p heißt Häufungspunkt von D, wenn es für alle δ > 0 ein x ∈ D \ {p} gibt mit |x − p| < δ.

Definition Sei ϕ : D → ℝ, p ein Häufungspunkt von D und b ∈ ℝ. ϕ konvergiert für x → p gegen b, wenn es für alle ϵ > 0 ein δ > 0 gibt, sodaß für alle x ∈ D \ {p}

|x − p| < δ ⇒ |ϕ(x) − b| < ϵ.

Lemma 5.2.1 ϕ konvergiert für x → p gegen höchstens einen Wert.

Daß ϕ für x → p gegen b konvergiert, notieren wir als

lim_{x→p} ϕ(x) = b.

Bemerkung 5.2.2 ϕ : D → ℝ ist genau dann stetig bei p ∈ D, wenn

lim_{x→p} ϕ(x) = ϕ(p).

Definition Sei f : D → ℝ eine Funktion und p ∈ D ein Häufungspunkt von D. f heißt differenzierbar bei p mit Ableitung b, wenn

lim_{x→p} \frac{f(x) − f(p)}{x − p} = b.

Wir notieren das als

f′(p) = b

oder

\frac{df}{dx} (p) = b.

Lemma 5.2.3 Wenn f differenzierbar bei p ist, ist f stetig bei p.

Definition Sei D eine Teilmenge von R, in der jeder Punkt Häufungspunkt ist^{8}. Eine Funktion f : D → ℝ heißt differenzierbar, wenn f an allen Stellen p ∈ D differenzierbar ist.

Die Ableitung von f, p ↦ f′(p), bezeichnen wir mit f′ oder mit \frac{df}{dx}.

Die konstante Funktion c : ℝ → ℝ und die Funktion x : ℝ → ℝ sind differenzierbar. Es gilt \frac{dc}{dx} = 0 und \frac{dx}{dx} = 1.

Satz 5.2.4 (Summenregel und Produktregel) f, g : D → ℝ seien differenzierbar bei p. Dann sind auch f + g und fg differenzierbar bei p und es gilt

(f + g)′(p) = f′(p) + g′(p)
(fg)′(p) = f′(p)g(p) + f(p)g′(p).

Folgerung 5.2.5 Polynomfunktionen sind differenzierbar. Es gilt

(a_{0} + a_{1}x + ⋯ + a_{n}x^{n})′ = a_{1} + ⋯ + na_{n}x^{n−1}.

Satz 5.2.6 (Kettenregel) Seien f : U → ℝ und g : V → ℝ Funktionen mit f(U) ⊂ V. Wenn f differenzierbar ist bei p und g bei f(p), dann ist g ∘ f differenzierbar bei p und es gilt

(g ∘ f)′(p) = g′(f(p))f′(p).

Satz 5.2.7 (Ableitung von Brüchen) Die Funktionen f, g : D → ℝ seien differenzierbar bei p und g habe keine Nullstelle in D. Dann ist auch \frac{f}{g} differenzierbar bei p und es gilt

(\frac{f}{g} )′(p) = \frac{f′(p)g(p) − f(p)g′(p)}{g^{2}(p)}.

Insbesondere ist

(\frac{1}{g})′(p) = −\frac{g′(p)}{g^{2}(p)}.

Lemma 5.2.8 exp : ℝ → ℝ ist differenzierbar. Es gilt

\frac{d exp(x)}{dx} = exp(x).

Satz 5.2.9 (Ableitung der Umkehrfunktion) Sei D ein Intervall, f : D → ℝ streng monoton und stetig mit Umkehrfunktion g und f(p) = q. Wenn f bei p differenzierbar ist und f′(p) ≠ 0, ist g differenzierbar bei q und es gilt

g′(q) = \frac{1}{f′(p)}.

8Das ist zum Beispiel der Fall, wenn D endliche Vereinigung von (unendlichen) Intervallen ist.

Folgerung 5.2.10 1. log : ℝ_{>0} → ℝ ist differenzierbar. Es gilt

\frac{d log(x)}{dx} = \frac{1}{x}.

2. Für alle b ist x^{b} : ℝ_{>0} → ℝ differenzierbar und es gilt

\frac{d x^{b}}{dx} = bx^{b−1}.

5.3 Monotone und konvexe Funktionen

Satz 5.3.1 (Maxima: Notwendige Bedingung) f : (a, b) → ℝ sei differenzierbar bei p. Wenn f bei p ein Maximum oder Minimum hat, ist f′(p) = 0.

Satz 5.3.2 (Satz von Rolle)^{9} f : [a, b] → ℝ sei stetig und differenzierbar auf (a, b). Wenn f(a) = f(b), gibt es ein p ∈ (a, b) mit f′(p) = 0.

Folgerung 5.3.3 (Mittelwertsatz) f : [a, b] → ℝ sei stetig und differenzierbar auf (a, b). Dann gibt es ein ein p ∈ (a, b) mit

f′(p) = \frac{f(b) − f(a)}{b − a}.

Satz 5.3.4 (Erste Ableitung und Monotonie) Sei I ein Intervall und f : I → ℝ differenzierbar. Dann gilt

1.

f′ > 0 ⇒ f wächst streng monoton
f′ > 0 ⇒ f fällt streng monoton

2.

f′ ≥ 0 ⇔ f wächst monoton
f′ ≤ 0 ⇔ f fällt monoton
3. f′ = 0 ⇔ f ist konstant

Im obigen Satz braucht man in den Randpunkten von I nur die Stetigkeit von f zu fordern.

Definition Sei p ∈ D ein Häufungspunkt von D. f : D → ℝ ist n–mal differenzierbar in p, wenn es ein ϵ > 0 gibt, sodaß auf U = D∩(p−ϵ, p+ϵ) alle f, f′, …, f^{(n−2)} differenzierbar sind und f^{(n−1)} in p differenzierbar ist. Daß f 0–mal differenzierbar in p ist, soll heißen, daß f in p stetig ist.

Definition f : D → ℝ hat in p ∈ D ein lokales Maximum, wenn für ein ϵ > 0 und für alle x in U = D ∩ (p − ϵ, p + ϵ)

f(x) ≤ f(p).

Das lokale Maximum heißt isoliert, wenn f(x) < f(p) für alle x ∈ U \ {p}. (Isolierte) lokale Minima definiert man analog.

9Michel Rolle (1652-1719)

Satz 5.3.5 (Maxima: hinreichende Bedingung) I sei ein Intervall, f : I → ℝ differenzierbar und f′(p) = 0. Wenn f in p zweimal differenzierbar ist und f′′(p) < 0, hat f in p ein isoliertes lokales Maximum. Wenn f′′(p) > 0, hat f in p ein isoliertes lokales Minimum.

Definition Sei I ein Intervall. f : I → ℝ heißt convex, wenn für alle a, b ∈ I und alle t ∈ [0, 1]

tf(a) + (1 − t)f(b) ≥ f(ta + (1 − t)b).

Wenn immer

tf(a) + (1 − t)f(b) ≤ f(ta + (1 − t)b),

ist f concav.

Satz 5.3.6 (Konvexe Funktionen) I sei ein Intervall und f : I → ℝ zweimal differenzierbar. Dann ist f genau dann convex, wenn f′′ ≥ 0, und concav, wenn f′′ ≤ 0.

5.4 Die Regeln von l’Hospital

Satz 5.4.1 (Regel von l’Hospital (1))^{10} Sei I ein Intervall und p eine Häufungspunkt von I. f, g : I → ℝ seien differenzierbar und

lim_{x→p} f(x) = lim_{x→p} g(x) = 0.

Wenn g und g′ keine Nullstellen auf I \{p} haben und wenn lim_{x→p}(f′(x)/g′(x)) existiert, so ist

lim_{x→p} \frac{f(x)}{g(x)} = lim_{x→p} \frac{f′(x)}{g′(x)}.

Lemma 5.4.2 (Allgemeiner Mittelwertsatz) f, g : [a, b] → ℝ seien stetig und differenzierbar auf (a, b). Dann gibt es ein ein p ∈ (a, b) mit

f′(p)(g(b) − g(a)) = g′(p)(f(b) − f(a)).

Definition Sei D eine Teilmenge von ℝ und f : D → ℝ eine Funktion.

1. Sei p ein Häufungspunkt von D. Dann bedeutet

lim_{x→p} f(x) = ∞,

daß es für alle M ein δ > 0 gibt, sodaß |x − p| < δ ⇒ M < f(x) für alle x ∈ D \ {p}.

2. Für nach oben unbeschränkte D bedeutet

lim_{x→∞} f(x) = b,

daß es für alle ϵ > 0 ein N gibt, sodaß N < x ⇒ |f(x) − b| < ϵ für alle x ∈ D 3. Für nach oben unbeschränkte D bedeutet

10Guillaume de l’Hospital (1661-1704)

lim_{x→∞} f(x) = ∞,

daß es für alle M ein N gibt, sodaß N < x ⇒ M < f(x) für alle x ∈ D.

Man definiert analoges für −∞.

Wir erweitern ℝ durch die beiden Symbole ∞ und −∞ zu \overline{ℝ}..

Satz 5.4.3 (Regel von l’Hospital (2)) Sei I ein Intervall und p ∈ \overline{ℝ}. f, g : I → ℝ seien differenzierbar und

lim_{x→p} f(x) = lim_{x→p} g(x) ∈ {0, ∞, −∞}.

Wenn g und g′ keine Nullstellen auf I \{p} haben und wenn lim_{x→p}(f′(x)/g′(x)) in \overline{ℝ} existiert, so ist

lim_{x→p} \frac{f(x)}{g(x)} = lim_{x→p} \frac{f′(x)}{g′(x)}.

5.5 Hauptsatz der Differential– und Integralrechnung

Definition Sei I ein Intervall und f : I → ℝ eine Funktion. Ein differenzierbares F : I → ℝ heißt Stammfunktion von f, wenn F′ = f.

Bemerkung Verschiedene Stammfunktionen von f unterscheiden sich nur um eine additive Konstante.

Satz 5.5.1 (Leibniz, Newton 1670-1675)^{11} Sei I ein Intervall, f : I → ℝ eine stetige Funktion und y_{0} ∈ I. Dann definiert

F (y) = ∫_{y_{0}}^{y} f(x) dx

eine Stammfunktion von f mit F (y_{0}) = 0.

Wir verwenden die Schreibweise

∫ f oder ∫ f(x) dx

für (irgend)eine Stammfunktion von f, das unbestimmte Integral.

Eine Funktion F : I → ℝ ist stetig differenzierbar, wenn F differenzierbar ist und die Ableitung F′ stetig ist. Wir bezeichnen mit C^{1}(I) den ℝ–Vektorraum aller stetig differenzierbaren Funktionen und mit C^{0}(I) den Vektorraum aller stetigen Funktionen. Differentiation ist eine surjektive Abbildung C^{1}(I) → C^{0}(I) mit der Menge der konstanten Funktionen als Kern.

11Isaac Newton (1643-1727)

Folgerung 5.5.2 Sei F eine Stammfunktion der stetigen Funktion f. Dann ist

∫_{a}^{b} f(x) dx = F (b) − F (a).

Man verwendet häufig die Notation F (x)|_{a}^{b} für F (b) − F (a).

5.6 Integrationsregeln

Satz 5.6.1 (Integration durch Substitution) Sei g ∈ C^{1}[a, b] und f stetig auf dem Bild von g. Dann ist

∫_{a}^{b} f(g(x))g′(x) dx = ∫_{g(a)}^{g(b)} f(y) dy.

Satz 5.6.2 (Partielle Integration) Für stetig differenzierbare f, g gilt

∫ fg′ = fg − ∫ f′g

6 Potenzreihen

6.1 Funktionenfolgen

Definition Sei D eine Menge und (f_{n}) eine Folge von Funktionen D → ℝ. (f_{n}) konvergiert (punktweise) gegen f : D → ℝ, wenn lim_{n→∞} f_{n}(d) = f(d) für alle d ∈ D. Wir schreiben dafür

lim_{n→∞} f_{n} = f.

(f_{n}) konvergiert gleichmäßig gegen f, wenn es für alle ϵ > 0 eine natürliche Zahl N gibt, sodaß |f_{n}(d) − f(d)| ≤ ϵ für alle n ≥ N und alle d ∈ D.

Lemma 6.1.1 Sei D eine Teilmenge von ℝ und (f_{n}) eine Folge von stetigen Funktion, die gleichmäßig gegen f : D → ℝ konvergiert. Dann gilt:

1. f ist stetig

2. Wenn D das Intervall [a, b] enthält, ist

lim_{n→∞} ∫_{a}^{b} f_{n} = ∫_{a}^{b} f.

6.2 Potenzreihen

Eine Potenzreihe ist eine Reihe der Form ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} für reelle Zahlen a_{n} und unbestimmtes x.

Eine Potenzreihe bei p ist eine Reihe der Form ∑_{n=0}^{∞} a_{n}(x − p)^{n}.

Lemma 6.2.1 Zu jeder Potenzreihe ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} gibt es ein r ∈ ℝ_{≥0} ∪ {∞} mit

a) ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} konvergiert absolut für alle x ∈ (−r, r).

b) ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} divergiert für alle x ∉ [−r, r].

r heißt der Konvergenzradius von ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n}, (−r, r) das Konvergenzintervall.

Bemerkung 6.2.2 Der Konvergenzradius von ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} berechnet sich als

r = lim inf_{n→∞} \frac{1}{\sqrt[n]{|a_{n}|}}.

Satz 6.2.3 Die Folge der Partialsummen einer Potenzreihe konvergieren gleichmäßig auf jedem kompakten Teilintervall ihres Konvergenzintervalls.

Folgerung 6.2.4 Sei f(x) die von ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} auf dem Konvergenzintervall dargestellte Funktion. f(x) ist stetig und sogar differenzierbar. Integral und Ableitung werden lassen sich durch gliedweise Integration und Ableitung berechnen:

∫_{0}^{x} f(ξ) dξ = ∑_{n=1}^{∞} \frac{a_{n−1}}{n} x^{n}

und

f′(x) = ∑_{n=0}^{∞}(n + 1)a_{n+1}x^{n}

dargestellt. Beide Reihen haben den gleichen Konvergenzradius wie ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n}.

Beispiel: Im Konvergenzintervall (−1, 1) gilt

log(1 + x) = x − \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} − \frac{x^{4}}{4} + · · · .

6.3 Taylorreihen

Definition f sei unendlich oft bei p differenzierbar. Die Taylorreihe^{12} von p bei f ist

T_{f}(x) = f(p) + \frac{f′(p)}{1!}(x − p) + \frac{f′′(p)}{2!}(x − p)^{2} + · · · .

Bemerkung 6.3.1 Die Taylorreihe einer Funktion, die von einer Potenzreihe dargestellt wird, ist diese Potenzreihe selbst.

Definition Sei f n–mal differenzierbar an der Stelle p. Das n–te Taylorpolynom von f bei p ist

T_{f}^{n}(x) = f(p) + \frac{f′(p)}{1!}(x − p) + \frac{f′′(p)}{2!}(x − p)^{2} + ⋯ + \frac{f^{(n)}}{n!} (p)(x − p)^{n}

12Brook Taylor (1685-1731)

Bemerkung 6.3.2 Es gilt

lim_{x→p} \frac{f(x) − T_{f}^{n}(x)}{(x − p)^{n}} = 0.

T_{f}^{n} ist das einzige Polynom höchsten n-ten Grades mit dieser Eigenschaft.

Man sagt: T_{f}^{n} stimmt bei p mit f überein bis zur Ordnung n.

Satz 6.3.3 f sei auf dem Intervall I (n + 1)–mal differenzierbar. Dann gibt es für alle p ≠ x in I ein ξ zwischen p und x mit

f(x) = T_{f}^{n}(x) + \frac{f^{(n+1)}(ξ)}{(n + 1)!}(x − p)^{n+1}.

Man nennt den zweiten Summanden das Lagrangesche Restglied^{13}.

Folgerung 6.3.4 f sei unendlich oft differenzierbar, r eine positive Zahl. Wenn für ein M, fast alle n und alle ξ ∈ (−r, r)

|\frac{f^{n}(ξ)}{n!}| ≤ \frac{M}{r^{n}} ,  (1)

wird f auf (−r, r) durch seine Taylorreihe bei 0 dargestellt.

Bemerkung 6.3.5 Wenn f (n + 1)–mal stetig differenzierbar ist, gilt

f(x) = T_{f}^{n}(x) + \frac{1}{n!} ∫_{p}^{x}(x − t)^{n}f^{(n+1)}(t) dt.

Mit Hilfe dieser Integraldarstellung des Restglieds läßt sich die rechte Seite von (1) zu \frac{M}{(r−|ξ|)^{n}} verbessern.

6.4 Der Grenzwertsatz von Abel

Satz 6.4.1 (Abel)^{14} Sei f(x) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} eine Potenzreihe mit Konvergenzradius r. Wenn ∑_{n=0}^{∞} a_{n}r^{n} gegen b konvergiert, ist lim_{x→r} f(x) = b.

Als Folgerung ergibt sich zum Beispiel

1 − \frac{1}{2} + \frac{1}{3} − \frac{1}{4} + ⋯ = log(2)

6.5 Analytische Funktionen

Definition Eine Teilmenge D von ℝ heißt offen, wenn es für jedes p ∈ D eine Umgebung (p − r, p + r) gibt, die ganz in D liegt.

13Joseph Louis Lagrange (1736-1813)

14Nils Hendrik Abel (1802-1829)

Definition Sei D offen. Eine Funktion f : D → ℝ ist analytisch, wenn jedes p ∈ D eine Umgebung besitzt, in der f von einer Potenzreihe bei p dargestellt wird. Lemma 6.5.1 Funktionen, die durch Potenzreihen dargestellt werden, sind analytisch. Satz 6.5.2 f und g seien analytisch. Dann sind auch

1. f + g und f · g,

2. f ∘ g,

3. g^{−1}, wenn g eine differenzierbare Umkehrfunktion hat, analytisch.^{15}

Definition Für natürliche Zahlen n und reelle Zahlen α definiert man den Binomialkoeffizient

\binom{α}{n} = \frac{α(α − 1) ⋯ (α − n + 1)}{n!}.

Lemma 6.5.3 (Die Binomialreihe) Für alle α und x ∈ (−1, 1) ist

(1 + x)^{α} = 1 + \binom{α}{1}x + \binom{α}{2}x^{2} + \binom{α}{3}x^{3} · · · .

7 Trigonometrische Funktionen

7.1 Sinus und Cosinus

Definition Sinus und Cosinus sind definiert durch die Potenzreihen

sin(x) = x − \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} − ⋯
cos(x) = 1 − \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} − ⋯

{Lemma 7.1.1 \atop 1.} Sinus und Cosinus sind auf ganz ℝ definiert.

2. sin(−x) = − sin(x), cos(−x) = cos(x).

3. sin(0) = 0, cos(0) = 1.

4. sin′(x) = cos(x), cos′(x) = − sin(x).

15Siehe Konrad Knopp Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen, 5. Auflage, Springer 1964 , §21

Satz 7.1.2 (Additionstheorem für Sinus und Cosinus)

sin(x + y) = cos(x) sin(y) + sin(x) cos(y)
cos(x + y) = cos(x) cos(y) − sin(x) sin(y)

Folgerung 7.1.3

sin^{2}(x) + cos^{2}(x) = 1

Lemma 7.1.4 cos hat eine positive Nullstelle.

Wir definieren \frac{π}{2} als die kleinste positive Nullstelle der Cosinusfunktion. Es ist

π = 3.14159265358979323844 …

Archimedes^{16} hatte die Abschätzung

3\frac{10}{71} < π < 3\frac{1}{7}.

Folgerung 7.1.5 sin(x + \frac{π}{2} ) = cos(x)

Lemma 7.1.6 Die Sinusfunktion wächst zwischen 0 und \frac{π}{2} streng monoton von 0 auf 1. Außerdem gilt

sin(\frac{π}{2} + x) = sin(\frac{π}{2} − x)
sin(π + x) = − sin(x)
sin(\frac{3π}{2} + x) = − sin(\frac{π}{2} − x)
sin(2π + x) = sin(x)

7.2 Weitere trigonometrische Funktionen

Definition Der Tangens

tan(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)}

ist definiert, wenn cos(x) ungleich Null sind. Das heißt für alle x ∉ ℤπ + \frac{π}{2} .

Lemma 7.2.1

tan′(x) = \frac{1}{cos^{2}(x)} = 1 + tan^{2}(x)

Definition sin bildet [−\frac{π}{2} , \frac{π}{2} ] streng monoton wachsend auf [−1, 1] ab. tan bildet (−\frac{π}{2} , \frac{π}{2} ) streng monoton wachsend auf ℝ ab. Arcussinus^{17} und Arcustangens sind die Umkehrfunktionen

arcsin : [−1, 1] → [−\frac{π}{2} , \frac{π}{2} ]
arctan : ℝ → (−\frac{π}{2} , \frac{π}{2} )

16Archimedes von Syrakus (287-212 v.Chr.)

17Die Arcussinusfunktion wurde erst im Sommersemester behandelt.

Lemma 7.2.2

arcsin′(x) = \frac{1}{\sqrt{1 − x^{2}}} (auf (−1, 1))
arctan′(x) = \frac{1}{1 + x^{2}}

Folgerung 7.2.3 arcsin und arctan haben auf (−1, 1) die folgenden Reihendarstellungen.

arcsin(x) = x + \frac{1}{2} · \frac{x^{3}}{3} + \frac{1 · 3}{2 · 4} · \frac{x^{5}}{5} + \frac{1 · 3 · 5}{2 · 4 · 6} · \frac{x^{7}}{7} + ⋯
arctan(x) = x − \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{5}}{5} − ⋯

Es ergibt sich zum Beipiel

\frac{π}{4} = 1 − \frac{1}{3} + \frac{1}{5} − · · · .

Definition Der Wert des uneigentlichen Integrals

∫_{a}^{∞} f

ist der Grenzwert lim_{b→∞} ∫_{a}^{b} f.

Folgerung 7.2.4

∫_{0}^{∞} \frac{1}{1 + x^{2}} dx = \frac{π}{2}

Lemma 7.2.5 Die Fläche des Einheitskreises ist π.

7.3 Hyperbolische trigonometrische Funktionen

(Beginn des Sommersemesters)

Definition Der Sinus hyperbolicus ist die Funktion

sinh(x) = \frac{e^{x} − e^{−x}}{2} .

Der Cosinus hyperbolicus

cosh(x) = \frac{e^{x} + e^{−x}}{2} .

Lemma 7.3.1 sinh und cosh sind differenzierbar mit den Ableitungen

sinh′(x) = cosh(x)
cos′(x) = sinh(x)

Außerdem gilt

cosh^{2}(x) − sinh^{2}(x) = 1.

sinh : ℝ → ℝ ist streng monoton wachsend und surjektiv. Die Umkehrfunktion heißt Area Sinus hyperbolicus und wird mit arsinh bezeichnet.

Lemma 7.3.2 arsinh ist differenzierbar. Es ist

arsinh′(x) = \frac{1}{\sqrt{1 + y^{2}}} .

7.4 Fourierreihen

Definition Sei p eine positive reelle Zahl und f : ℝ → ⋯ eine Funktion mit beliebigem Wertebereich. f heißt periodisch mit Periode p (oder p–periodisch), wenn für alle x

f(x + p) = f(x).

Definition Eine Fourierreihe^{18} ist eine Reihe der Form

c + ∑_{ν=1}^{∞}(a_{ν} sin(νx) + b_{ν} cos(νx)).  (2)

Eine Fourierreihe, die für alle x konvergiert, stellt offenbar eine 2π–periodische Funktion dar.

Wir werden im nächsten Kapitel (Abschnitt 8.6) den folgenden Satz beweisen

Satz 7.4.1 Jede stetig differenzierbare, 2π–periodische Funktion ist gleichmäßiger Limes einer eindeutig bestimmten Fourierreihe.

Die Eindeutigkeit folgt aus dem nächsten Lemma

Lemma 7.4.2 Wenn f gleichmäßiger Limes der Fourierreihe (2) ist, berechnen sich c, die a_{ν} und b_{ν} mit

c = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} f(x) dx
a_{ν} = \frac{1}{π} ∫_{0}^{2π} f(x) sin(νx) dx
b_{ν} = \frac{1}{π} ∫_{0}^{2π} f(x) cos(νx) dx

18Joseph Fourier (1768-1833)

Für beliebige (stückweise) stetige 2π-periodischen Funktionen f nennt man die im Lemma definierten Zahlen die Fourierkoeffizienten der Fourierreihe von f

Die komplexe Formulierung von Satz 7.4.1 ist

Satz 7.4.3 Jede stetig differenzierbare, 2π–periodische Funktion f : ℝ → ℂ ist gleichmäßiger Limes einer eindeutig bestimmten komplexen Fourierreihe

∑_{z∈ℤ} c_{z}e^{zx i}.

Die komplexen Fourierkoeffizienten berechnen sich mit

c_{z} = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} f(x) e^{−zx i} dx.

8 Metrische Räume und Topologie

8.1 Metrische Räume

Definition Ein metrischer Raum ist eine Menge X mit einer Metrik d : X × X → ℝ_{≥0}, einer Funktion, die den folgenden Axiomen genügt:

d(x, y) = 0 ⇔ x = y
(Symmetrie)  d(x, y) = d(y, x)
(Dreiecksungleichung)  d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)

Beispiele:

• ℝ mit der Metrik |x − y|

• Wenn X_{1},…,X_{n} metrische Räume sind, macht die Maximumsmetrik

d((x_{1}, …, x_{n}), (y_{1}, …, y_{n})) = max_{i=1···n} d(x_{i}, y_{i})

X_{1} × ⋯ × X_{n} zu einem metrischen Raum.

• Der ℝ^{n} mit der euklidischen Metrik :

|(x_{i}) − (y_{i})| = \sqrt{(x_{1} − y_{1})^{2} + ⋯ + (x_{n} − y_{n})^{2}}.

Als Standardmetrik des ℝ^{n} verwenden wir die Maximumsmetrik von ℝ×⋯×ℝ.

Definition Der (offene) Ball um x mit Radius r ist

B(x, r) = {y | d(x, y) < r}.

Definition Eine Abbildung f : X → Y zwischen metrischen Räumen ist stetig bei x ∈ X, wenn es für alle ϵ > 0 ein δ > 0 gibt mit

f(B(x, δ)) ⊂ B(f(x), ϵ).

Zum Beispiel ist d : X × X → ℝ stetig.

Lemma 8.1.1 Addition und Multiplikation sind stetige Funktionen ℝ^{2} → ℝ.

Bemerkung 8.1.2 X und die Y_{i} seien metrische Räume. f : X → Y_{1} × ⋯ Y_{n} ist genau dann stetig, wenn alle Komponenten f_{i} : X → Y_{i} von f stetig sind.

Proposition 8.1.3 (vgl. 4.1.6) Die Verknüpfung von stetigen Funktion ist wieder stetig.

Folgerung 8.1.4 (vgl. 4.1.7) Wenn f, g : X → ℝ stetig sind, sind auch f + g und f · g stetig.

8.2 Folgen in metrischen Räumen

Definition (vgl. Abschnitt 3.1) Eine Folge x_{0}, x_{1}, … in einem metrischen Raum X konvergiert gegen x, wenn für alle ϵ > 0 der offene Ball B(x, ϵ) fast alle Glieder der Folge enthält.

Satz 8.2.1 (vgl. 4.4.1) Sei f : X → Y eine Abbildung zwischen metrischen Räumen. f ist genau dann stetig, wenn für jede Folge (a_{n}) aus X, die gegen ein a ∈ X konvergiert, die Folge (f(a_{n})) gegen f(a) konvergiert.

Definition Ein metrischer Raum ist vollständig, wenn jede Cauchy–Folge konvergiert.

Bemerkung 8.2.2 Die direkte Summe vollständiger Räume ist wieder vollständig.

Insbesondere ist der ℝ^{n} vollständig.

8.3 Kompakte metrische Räume

Definition (vgl. Abschnitt 4.5) Ein metrischer Raum ist kompakt, wenn jede Folge eine konvergente Teilfolge besitzt.

Proposition 8.3.1 Das Produkt von endlich vielen kompakten metrischen Räumen ist wieder kompakt.

Definition ; • Eine Teilmenge A eines metrischen Raumes X ist abgeschlossen, wenn der Grenzwert jeder konvergenten Folge in A wieder zu A gehört.

• Ein metrischer Raum X ist beschränkt, wenn es eine Schranke M gibt, sodaß d(x, y) ≤ M für alle x, y ∈ X.

Bemerkung 8.3.2 1. Kompakte metrische Räume sind beschränkt und vollständig.

2. Vollständige Unterräume eines metrischen Raumes sind abgeschlossen.

Satz 8.3.3 (Heine–Borel)^{19} Eine Teilmenge des ℝ^{n} ist genau dann kompakt, wenn sie beschränkt und abgeschlossen ist.

Proposition 8.3.4 Das stetige Bild eines kompakten metrischen Raumes ist kompakt.

Folgerung 8.3.5 (vgl. 4.5.1) Eine stetige Funktion auf einem nicht–leeren kompakten metrischen Raum nimmt Maximum und Minimum an.

Definition Eine Funktion f : X → Y zwischen zwei metrischen Räumen heißt gleichmäßig stetig, wenn es für alle ϵ > 0 ein δ > 0 gibt, sodaß für alle x, y ∈ X

d(x, y) < δ ⇒ d(f(x), f(y)) < ϵ.

Satz 8.3.6 (vgl. 4.5.2) Eine stetige Funktion auf einem kompakten metrischen Raum ist gleichmäßig stetig.

8.4 Topologische Räume

Definition (vgl. Abschnitt 6.5) Eine Teilmenge O eines metrischen Raumes X heißt offen, wenn es zu jedem x ∈ O einen Ball B(x, ϵ) gibt, der ganz in O liegt.

Bemerkung 8.4.1 Sei X ein metrischer Raum und τ das System aller offener Teilmengen. τ hat die folgenden Eigenschaften:

1. ∅ und X gehören zu τ.

2. τ ist abgeschlossen unter endlichen Durchschnitten

3. τ ist abgeschlossen unter (beliebigen) Vereinigungen.

Definition Ein topologischer Raum ist eine Menge X zusammen mit einem System τ von Teilmengen, das die drei Eigenschaften in der Bemerkung 8.4.1 hat. Die Elemente von τ nennt man die offenen Mengen von X.

Definition (X, σ) sei ein topologischer Raum.

19Eduard Heine (1821-1881), Emile Borel (1871-1956)

• A ⊂ X heißt abgeschlossen, wenn X \ A offen ist. Der Abschluß \overline{S} einer Teilmenge S ist die kleinste abgeschlossene Teilmenge von X, die S enthält.

• Eine Umgebung von x ∈ X ist eine Menge, die eine offene Menge enthält, die wiederum x enthält.

• Eine Folge (x_{i}) konvergiert gegen x, wenn jede Umgebung von x fast alle Glieder der Folge enthält.

• Eine Funktion f : X → Y in einen topologischen Raum (Y, τ) heißt stetig, wenn das Urbild jeder offenen Teilmenge von Y unter f offen in X ist.

• X heißt hausdorffsch^{20}, wenn je zwei verschiedene Punkte disjunkte Umgebungen haben.

• X heißt kompakt, wenn X hausdorffsch ist und wenn jede Überdeckung von X mit offenen Mengen eine endliche Teilüberdeckung hat.

Bemerkung 8.4.2 Im Fall metrischer Räume stimmen diese Definitionen mit den früheren Definitionen überein.

Definition Sei (X, σ) ein topologischer Raum und S eine Teilmenge von X.

• S heißt dicht, wenn X der Abschluß von S ist.

• Das Innere S^{∘} von S ist X \ \overline{X \ S}.

• Der Rand ∂S von S ist \overline{S} \ S^{∘}.

8.5 Normierte Vektorräume

Definition Sei V ein reeller Vektorraum. Einen Norm auf V ist eine Abbildung ∥ ∥ : V → ℝ_{≥0} mit den folgenden Eigenschaften

∥v∥ = 0 ⇔ v = 0
∥αv∥ = |α| ∥v∥
∥u + v∥ ≤ ∥u∥ + ∥v∥

Eine Norm definiert vermöge

d(x, y) = ∥x − y∥

immer eine Metrik und damit eine Topologie auf V.

Sei p ∈ [1, ∞). Dann ist die p–Norm auf ℝ^{n}

∥(x_{1}, …, x_{n})∥_{p} = (|x_{1}|^{p} + ⋯ + |x_{n}|^{p})^{\frac{1}{p}} .

20Felix Hausdorff (1868-1942)

Für p = 2 ist das die euklidische Norm. Beim Grenzübergang p → ∞ ergibt sich die Maximumsnorm

∥(x_{1}, …, x_{n})∥_{∞} = max(|x_{1}| , …, |x_{n}|)

Auf dem Funktionenraum C^{0}([a, b]) definiert man analog

∥f∥_{p} = (∫_{a}^{b} |f(x)|^{p})^{\frac{1}{p}}

und

∥f∥_{∞} = max_{x∈[a,b]} |f(x)| .

Proposition 8.5.1 Eine lineare Abbildung f zwischen zwei normierten Vektorräumen (V^{1}, ∥ ∥^{1}) und (V^{2}, ∥ ∥^{2}) ist genau dann stetig, wenn f auf der Einheitskugel von V^{1} beschränkt ist, das heißt, wenn es ein M gibt, sodaß für alle v ∈ V^{1}

∥v∥^{1} ≤ 1 ⇒ ∥f(v)∥^{2} ≤ M.

Folgerung 8.5.2 Zwei Normen ∥ ∥^{1} und ∥ ∥^{2} auf V definieren genau dann die gleiche Topologie auf V, wenn sie äquivalent sind, das heißt, daß für zwei reelle Zahlen r_{1} und r_{2} und alle v ∈ V

∥v∥^{1} ≤ r_{1} ∥v∥^{2}
∥v∥^{2} ≤ r_{2} ∥v∥^{1}

Satz 8.5.3 Alle Normen auf ℝ^{n} sind äquivalent.

8.6 Der Satz von Stone–Weierstraß

Satz 8.6.1 (Stone–Weierstraß)^{21} Sei X ein kompakter Raum und A eine ℝ–Algebra von stetigen reellwertigen Funktionen auf X. Die zwei folgenden Bedingungen seien erfüllt:

• Zu je zwei verschieden Punkten x, y ∈ X gibt es ein f ∈ A mit f(x) ≠ f(y).

• Zu jedem Punkt x ∈ X gibt es ein f ∈ A mit f(x) ≠ 0.

Dann ist jede stetige Funktion auf X gleichmäßiger Limes von Funktionen aus A.

Folgerung 8.6.2 Jede stetige Funktion f : [a, b] → ℝ ist gleichmäßiger Limes von Polynomfunktionen.

Folgerung 8.6.3 Zu jeder 2π–periodischen stetigen Funktion f : ℝ → ℝ und jedem ϵ > 0 gibt es ein trigonometrisches Polynom s(x) = c+∑_{ν=1}^{n}(a_{ν} sin(νx)+ b_{ν} cos(νx)) mit ∥f − s∥_{∞} < ϵ Folgerung 8.6.4 Jede stetige 2π–periodische Funktion ist ∥ ∥_{2}–Limes ihrer Fourierreihe.

21Marshall Stone (1903-1989)

Mit Hilfe dieser Folgerung beweist man Satz 7.4.1.

9 Differenzierbare Kurven im ℝ^{n}

9.1 Bogenlänge

Definition Eine Kurve ist eine stetige Abbildung von einem kompakten Intervall in einen topologischen Raum.

Definition Sei f : [a, b] → X eine Kurve in einem metrischen Raum X. Die Bogenlänge von f ist

L(f) = sup{ ∑_{i=1}^{n} d(f(a_{i−1}), f(a_{i})) | a = a_{0} ≤ … ≤ a_{n} = b}.

Kurven mit endlicher Bogenlänge heißen rektifizierbar.

Die Bogenlänge hängt von der Parametrisierung nicht ab:

Lemma 9.1.1 Sei π : [c, d] → [a, b] eine monotone Bijektion. Dann haben f und f ∘ π die gleiche Bogenlänge.

Für Kurven im ℝ^{n} verwendet man in der Definition der Bogenlänge die euklidische Metrik.

Definition Sei I ein Intervall in ℝ. Eine Funktion f : I → ℝ^{n} heißt differenzierbar , wenn alle Komponentenfunktionen f_{i} : I → ℝ differenzierbar sind.

f′ = ( f′_{1} ; ⋮ ; f′_{n} )

heißt die Ableitung von f. Wir schreiben statt f′ auch \frac{df}{dx}.

Satz 9.1.2 Sei f : [a, b] → ℝ^{n} eine stetig differenzierbare Kurve. Dann ist

L(f) = ∫_{a}^{b} ∥f′(t)∥ dt.

Stetig differenzierbare Kurven sind also rektifizierbar.

Folgerung 9.1.3 Die Länge der Kreiskurve

[0, 2π] → ℝ^{2}
ϕ ↦ (cos ϕ, sin ϕ)

ist 2π.

Bemerkung 9.1.4 In Satz 9.1.2 genügt es, zu fordern, daß f auf (a, b) stetig differenzierbar ist.^{22}

Folgerung 9.1.5 Der Graph einer stetigen Funktion g : [a, b] → ℝ wird parametrisiert durch durch x ↦ (x, g(x)). Wenn g stetig differenzierbar ist, ist die Länge dieser Kurve

∫_{a}^{b} \sqrt{1 + g′(x)^{2}} dx.

9.2 Kurvenintegrale

Definition Sei O eine offene Teilmenge des ℝ^{n}. Eine 1–Form^{23} auf O ist eine stetige Abbildung ω : O → ℝ^{n}.

Sei O offen in ℝ^{n}, ω : O → ℝ eine 1–Form und c : [a, b] → O eine rektifizierbare Kurve in O. U = {a_{0}, …, a_{N}} sei eine Unterteilung von [a, b]. Wir definieren

I_{U}(ω) = ∑_{i=1}^{n}⟨ω(c(a_{i−1})), c(a_{i}) − c(a_{i−1})⟩.^{24}

Lemma 9.2.1 Es gibt eine eindeutig bestimmte reelle Zahl A mit folgender Eigenschaft: Für alle ϵ > 0 gibt es ein Unterteilung U, sodaß für jede Verfeinerung V von U

|A − I_{V}(ω)| ≤ ϵ.

Definition Das Integral von ω entlang der rektifizierbaren Kurve c ist

∫_{c} ω = A.

Lemma 9.2.2 Sei π : [c, d] → [a, b] eine monotone Bijektion.

22∫_{a}^{b} ∥f′∥, ein uneigentliches Integral, ist dann, für ein beliebiges c ∈ (a, b), definiert als lim_{a′→a} ∫_{a′}^{c} ∥f′∥ + lim_{b′→b} ∫_{c}^{b′} ∥f′∥.

23In koordinatenfreier Schreibweise: Sei V ein endlich–dimensionaler ℝ–Vektorraum und O eine offene Teilmenge von V. Dann versteht man unter einer 1–Form auf O eine stetige Abbildung ω von O in den Dualraum V^{∗}. Eine Abbildung in V ist ein Vektorfeld. Weil man im ℝ^{n} nicht zwischen Vektoren und Linearformen unterscheiden muß, nennt man 1–Formen auf dem ℝ^{n} auch Vektorfelder.

24⟨x, y⟩ ist das Standardskalarprodukt von x und y. Wenn x ∈ V^{∗} und y ∈ V, ist ⟨x, y⟩ eine andere Schreibweise für x(y).

1. Wenn π monoton wächst, ist ∫_{c∘π} ω = ∫_{c} ω.

2. Wenn π monoton fällt, ist ∫_{c∘π} ω = − ∫_{c} ω.

Satz 9.2.3 Wenn c stetig differenzierbar ist, ist

∫_{c} ω = ∫_{a}^{b}⟨ω(c(t)), c′(t)⟩ dt.

9.3 Partielle Ableitungen

Definition Sei U ⊂ ℝ^{n} offen. f : U → ℝ heißt partiell differenzierbar, wenn für alle i und alle a_{1}, …, a_{n} die auf {x ∈ ℝ | (a_{1}, …, a_{i−1}, x, a_{i+1}, …, a_{n}) ∈ U} definierte Funktion

x ↦ f(a_{1}, …, a_{i−1}, x, a_{i+1}, …, a_{n})

differenzierbar ist. Ihre Ableitung bei a_{i} schreibt man als

\frac{∂f}{∂x_{i}} (a_{1}, …, a_{i}, …, a_{n}),

die partielle Ableitung von f nach x_{i}. Das Differential (oder der Gradient) von f ist der Zeilenvektor

df = (\frac{∂f}{∂x_{1}} , …, \frac{∂f}{∂x_{n}} ).

f heißt stetig partiell differenzierbar, wenn f partiell differenzierbar und df stetig ist^{25}.

Satz 9.3.1 f : U → ℝ sei stetig partiell differenzierbar und c eine rektifizierbare Kurve in U, die die Punkte ā und b̄ verbindet. Dann ist

∫_{c} df = f(b̄) − f(ā).

Folgerung 9.3.2 (Kettenregel) Sei f : U → ℝ stetig partiell differenzierbar und c eine stetig^{26} differenzierbare Kurve in U. Dann ist

\frac{df(c(x))}{dx} =< ( df)(c(x)), c′(x) > .

Lemma 9.3.3 (Über Integrale mit einem Parameter) X sei ein topologischer Raum, f : X × [a, b] → ℝ stetig. Dann ist ∫_{a}^{b} f(x, t) dt eine stetige Funktion von x.

Mit Hilfe der Formel

g(x + h) = g(x) + h ∫_{0}^{1} g′(x + hs) ds  (3)

folgt daraus:

25 df ist also eine 1–Form.

26Es genügt, wenn c differenzierbar ist (Satz 10.1.4).

Folgerung 9.3.4 (Differenzieren unter dem Integral) Sei I ein Intervall und f : I × [a, b] → ℝ stetig und stetig partiell differenzierbar in der ersten Variable. Dann ist F (x) = ∫_{a}^{b} f(x, t) dt differenzierbar und es ist

\frac{dF (x)}{dx} = ∫_{a}^{b} \frac{∂f(x, t)}{∂x} dt.

Folgerung 9.3.5 (Vertauschbarkeit von partiellen Ableitungen) U sei eine offene Teilmenge von ℝ^{2} und f(x, y) eine Funktion U → ℝ. Wenn \frac{∂}{∂x} \frac{∂f}{∂y} existiert und stetig ist, dann existiert auch \frac{∂}{∂y} \frac{∂f}{∂x} und es ist

\frac{∂}{∂x} \frac{∂f}{∂y} = \frac{∂}{∂y} \frac{∂f}{∂x} .

Für die Vertauschbarkeit genügt es anzunehmen, daß f Sinn von Abschnitt 10.1 zweimal differenzierbar ist. Es gilt, mit den Bezeichnungen von 10.1:

Bemerkung 9.3.6 (H.A. Schwarz)^{27} V und W seien normierte Vektorräume, A offen in V, f : A → W zweimal differenzierbar bei p ∈ A. Dann gilt für alle v, w ∈ V

(D_{v}D_{w}f)(p) = (D_{w}D_{v}f)(p).

9.4 Geschlossene und exakte 1–Formen

Definition Eine 1–Form ω = (ω_{1}, …, ω_{n}) heißt (stetig) partiell differenzierbar, wenn alle Komponenten ω_{i} (stetig) partiell differenzierbar sind.

Definition Eine 1–Form ω : U → ℝ^{n} heißt

• geschlossen (oder wirbelfrei), wenn sie stetig partiell differenzierbar ist und für alle i, j

\frac{∂ω_{i}}{∂x_{j}} = \frac{∂ω_{j}}{∂x_{i}} .

• exakt (oder ein Gradientenfeld), wenn für eine partiell^{28} differenzierbare

Funktion f : U → ℝ

ω = df.

Lemma 9.4.1 Exakte, stetig partiell differenzierbare 1–Formen sind geschlossen.

Lemma 9.4.2 Eine 1–Form ω : U → ℝ^{n} ist genau dann exakt, wenn ∫_{c} ω = 0 für alle geschlossenen^{29} c in U.

27Hermann Amadeus Schwarz (1843-1921)

28f muß natürlich stetig partiell differenzierbar sein.

29Wir nehmen immer an, daß Kurven rektifizierbar sind.

Definition Eine Teilmenge X von ℝ^{n} heißt sternförmig, wenn es einen Punkt x ∈ X gibt, sodaß für jedes y ∈ X die ganze Verbindungsgerade zwischen x und y in X liegt.

Satz 9.4.3 (Poincaré)^{30} Geschlossene 1–Formen mit sternförmigem Definitionsbereich sind exakt.

10 Differenzierbare Abbildungen in mehreren Variablen

10.1 Das Differential

Definition V und W seien normierte Vektorräume, A eine offene Teilmenge von V. Eine Funktion f : A → W heißt differenzierbar bei p ∈ A, wenn es eine stetige lineare Abbildung L : V → W gibt, sodaß

lim_{h→0} \frac{f(p + h) − f(p) − L(h)}{∥h∥} = 0.

L ist eindeutig bestimmt. Wir nennen

d_{p}(f) = L

das Differential^{31} von f an der Stelle p.

f heißt differenzierbar, wenn f bei allen p ∈ A differenzierbar ist, und stetig differenzierbar, wenn df eine stetige^{32} Funktion (von p) ist.

Beispiel: Wenn f : V → W linear und stetig ist, ist d_{p}f = f für alle p.

Bemerkung 10.1.1 Differenzierbare Abbildungen sind stetig.

Bemerkung 10.1.2 Sei I ein Intervall und f : I → ℝ^{n}. Dann ist f genau dann differenzierbar, wenn f differenzierbar ist im Sinn der Definition auf Seite 30. d_{p}f : ℝ → ℝ^{n} wird durch den Vektor f′(p) gegeben^{33}.

Lemma 10.1.3 Sei U offen in ℝ^{n} und f : U → ℝ.

1. Wenn f differenzierbar bei p, ist f partiell differenzierbar bei p. Die Linearform d_{p}f : ℝ^{n} → ℝ wird gegeben durch den Zeilenvektor (\frac{∂f}{∂x_{1}} , …, \frac{∂f}{∂x_{n}} ).

(Man beachte die Übereinstimmung mit der Definition von df auf Seite 32.)

∥L∥ = sup_{∥v∥=1} ∥L(v)∥ .

30Henri Poincaré (1854-1912)

31Man kann die Normen von V und W durch äquivalente Normen ersetzen, ohne daß sich d_{p} zu ändert.

32Der Vektorraum L(V, W) der stetigen linearen Abbildungen V → W hat die Norm

33Beachte, daß man L(ℝ, W) mit W identifizieren kann

2. Wenn f stetig partiell differenzierbar ist, ist f stetig differenzierbar.

Satz 10.1.4 (Kettenregel) U,V und W seien normierte Vektorräume, A ⊂ U, B ⊂ V offen, f : A → B und g : B → W differenzierbar. Dann ist auch g ∘ f differenzierbar und es gilt für alle p ∈ A

d_{p}(g ∘ f) = ( d_{f(p)}g) ∘ d_{p}f.

Folgerung 10.1.5 Sei A ⊂ U offen und f : A → W differenzierbar bei p und v ∈ V. Dann ist

\frac{df(p + xv)}{dx}(0) = d_{p}f(v).

Die Richtungsableitung d_{p}f(v) notiert man auch als D_{v}f(p), die Ableitung von f in Richtung v.

Satz 10.1.6 (Komponentenregel) U,W_{1} und W_{2} seien normierte Vektorräume, A ⊂ U offen. Eine Funktion f = (f_{1}, f_{2}) : U → W_{1} × W_{2} ist genau dann differenzierbar, wenn f_{1} und f_{2} differenzierbar sind. Es gilt dann

df = ( df_{1}, df_{2}).

Wir nennen eine Funktion f nach ℝ^{m} partiell differenzierbar, wenn die Komponenten f_{1}, …, f_{n} partiell differenzierbar sind.

Folgerung 10.1.7 Sei U offen in ℝ^{n} und f : U → ℝ^{m}.

1. Wenn f differenzierbar bei p, ist f partiell differenzierbar bei p. d_{p}f : ℝ^{n} → ℝ^{m} wird gegeben durch die Jacobi–Matrix^{34}

\frac{∂(f_{1}, …, f_{m})}{∂(x_{1}, …, x_{n})} = ( \begin{matrix}\frac{∂f_{1}}{∂x_{1}} & … & \frac{∂f_{1}}{∂x_{n}} \\ ⋮ & & ⋮ \\ \frac{∂f_{m}}{∂x_{1}} & … & \frac{∂f_{m}}{∂x_{n}} \end{matrix} ) .

(Man beachte die Übereinstimmung mit der Definition von df auf Seite 32.)

2. Wenn f stetig partiell differenzierbar ist, ist f stetig differenzierbar.

Folgerung 10.1.8 (Summenregel) V und W seien normierte Vektorräume, A ⊂ V offen und f, g : A → W differenzierbar. Dann ist auch f + g differenzierbar und es gilt

d(f + g) = df + dg.

Lemma 10.1.9 (Produktregel) U, V und W seien normierte Vektorräume und F : U × V → W bilinear und stetig. Dann ist F differenzierbar und es gilt

d_{(p_{1},p_{2})}F (h_{1}, h_{2}) = F (p_{1}, h_{2}) + F (h_{1}, p_{2}).

Für differenzierbare matrizenwertige Funktionen A(x) und B(x) zum Beispiel ist

(AB)′ = AB′ + A′B.

34Carl Jacobi (1804-1851)

10.2 Taylorentwicklung

Notation: Wenn f k–mal differenzierbar ist schreiben wir

\frac{∂^{k}f}{∂x_{1}∂x_{2} ⋯ ∂x_{k}} = \frac{∂}{∂x_{k}} \frac{∂}{∂x_{k−1}} ⋯ \frac{∂f}{∂x_{1}}

Wenn f k–mal stetig^{35} differenzierbar ist, kommt es auf die Reihenfolge der ∂x_{i} nicht an (Folgerung 9.3.5).

Satz 10.2.1 (Taylorentwicklung) Sei U offen in ℝ^{n}, f : U → ℝ k + 1–mal differenzierbar, p ∈ U und h = (h_{1}, …, h_{n}) so klein, daß die Strecke zwischen p und p + h ganz in U liegt. Dann ist für ein τ ∈ [0, 1]

f(p + h) = f(p) + ∑_{i=1}^{n} \frac{∂f}{∂x_{i}} (p) h_{i} + ⋯ + \frac{1}{k!} ∑_{i_{1},...,i_{k}=1}^{n} \frac{∂^{k}f}{∂x_{i_{1}} ⋯ ∂x_{i_{k}}} (p) h_{i_{1}} ⋯ h_{i_{k}}+

+\frac{1}{(k + 1)!} ∑_{i_{1},...,i_{k+1}=1}^{n} \frac{∂^{k+1}f}{∂x_{i_{1}} ⋯ ∂x_{i_{k+1}}} (p + τh) h_{i_{1}} ⋯ h_{i_{k+1}}.

Für einen Multiindex α = (α_{1}, …, α_{n}) verwenden wir die folgenden Abkürzungen

|α| = α_{1} + ⋯ + α_{n}
α! = α_{1}! ⋯ α_{n}!
h^{α} = h_{1}^{α_{1}} ⋯ h_{n}^{α_{n}}
∂^{α}f = \frac{∂^{|α|}f}{∂x_{1}^{α_{1}} ⋯ ∂x_{n}^{α_{n}}}

Die Taylorentwicklung schreibt sich dann einfacher als

f(p + h) = ∑_{|α|≤k} \frac{∂^{α}f}{α!} (p) h^{α} + ∑_{|α|=k+1} \frac{∂^{α}f}{α!} (p + τh) h^{α}

10.3 Maxima und Minima

Sei U offen in ℝ^{n}, f : U → ℝ differenzierbar und p ∈ U.

Proposition 10.3.1 Wenn f bei p ein lokales Maximum oder Minimum hat, ist d_{p}f = 0.

Wenn d_{p}f = 0, heißt p kritischer Punkt von f.

Definition Wenn f zweimal partiell differenzierbar ist, nennt man die Matrix

H_{p}(f) = (\frac{∂^{2}f}{∂x_{i}∂x_{j}} )

35Wegen 9.3.6 ist diese Voraussetzung in Wahrheit unnötig.

die Hesse–Matrix^{36} von f bei p.

Satz 10.3.2 (Maxima und Minima in mehreren Veränderlichen) Sei f zweimal stetig differenzierbar und p ein kritischer Punkt von f. Dann gilt

1. Wenn H_{p}(f) positiv definit^{37} ist, hat f ein isoliertes Minimum. bei p.

2. Wenn H_{p}(f) negativ definit ist, hat f ein isoliertes Maximum. bei p.

3. Wenn H_{p}(f) indefinit ist, hat f bei p weder ein lokales Minimum noch ein lokales Maximum.

10.4 Implizit definierte Funktionen

Satz 10.4.1 (Implizite Funktionen) Sei U offen in ℝ^{n} × ℝ^{m} und f(x̄, ȳ) : U → ℝ^{m} stetig und stetig differenzierbar in den letzten m Variablen. Sei (ā, b̄) ∈ U und f(ā, b̄) = 0 und die Matrix D(ā, b̄) = (\frac{∂f_{i}}{∂y_{k}} (ā, b̄)) regulär. Dann gibt es zwei offene Umgebungen A und B von ā und b̄ sodaß

1. A × B ⊂ U

2. Für alle a′ ∈ A gibt es genau ein b′ = g(a′) ∈ B mit f(a′, b′) = 0.

3. Die Funktion g : A → B ist stetig.

Wenn f stetig differenzierbar ist, ist auch g stetig differenzierbar. Wenn df(x̄, ȳ) = (C(x̄, ȳ), D(x̄, ȳ)), ist

( dg)(x̄) = D(x̄, g(x̄))^{−1}C(x̄, g(x̄))  (4)

Folgerung 10.4.2 (Umkehrfunktion) Sei U offen in ℝ^{n}, f : U → ℝ^{n} stetig differenzierbar und p ∈ U. Wenn d_{p}f regulär ist, gibt es eine offene Umgebung A von p, die von f injektiv auf eine offene Menge B abgebildet wird. Die Umkehrabbildung g : B → A ist stetig differenzierbar und es gilt

d_{f(p)}g = ( d_{p}f)^{−1}.

36Otto Ludwig Hesse (1811-1874)

37Eine symmetrische reelle Matrix A = (a_{ij})_{i,j≤n} ist positiv definit, wenn die quadratische Form q(x̄) = ∑_{i,j≤n} a_{ij}x_{i}x_{j}, außer bei x̄ = 0, nur positive Werte annimmt. A ist negativ definit, wenn q nur negative Werte hat. A ist indefinit, wenn q positive und negative Werte annimmt. Kriterien:

• (Hurwitzkriterium) A ist genau dann positiv definit, wenn für alle m ≤ n die Deter-

minante der Matrix (a_{ij})_{i,j≤m} positiv ist.

• A ist genau dann negativ definit, wenn −A positiv definit ist.

• Eine reguläre Matrix ist genau dann indefinit, wenn sie weder positiv noch negativ

definit ist.

Index

(a,b), 3 (a,b], 3 [a,b), 3 [a,b], 3 arcsin, 22 arctan, 22 arsinh, 24 a^{b}, 10 \binom{α}{n}, 21 B(x, r), 25 C^{0}(I), 17, 29 C^{1}(I), 17 cos, 21 cosh, 23 df, 32, 34 \frac{df}{dx}, 14, 30 \frac{∂(f_{1},...,f_{m})}{∂(x_{1},...,x_{n})}, 35 \frac{∂f}{∂x_{i}}, 32 \frac{df}{dx}(p), 13 \frac{∂^{k}f}{∂x_{1}∂x_{2}···∂x_{k}}, 36 d_{p}f, 34 D_{v}f(p), 35 e, 7 exp, 7 f′, 14, 30 f ≤ g, 12 ∥f∥_{p}, 29 f′(p), 13 ∥f∥_{∞}, 29 F (x)|_{a}^{b}, 18 ∫_{a}^{b} f, 12 ∫_{a}^{b} f(x) dx, 12, 13 ∫_{[a,b]} f, 12 ∫_{c} ω, 31 ∫ f, 17 ∫ f(x) dx, 17 \overline{I}_{U}(f), 12 \underline{I}_{U}(f), 12 L(f), 30 lim_{n→∞} x_{n}, 3, 4 lim inf_{n→∞} a_{n}, 5 lim_{x→p} ϕ(x), 13, 16 lim sup_{n→∞} a_{n}, 5 log, 9, 10, 19 log_{a}(x), 11 n \sqrt{x}, 10 π, 5, 22 p-Norm, 28, 29 \overline{ℝ}, 17

S^{∘}, 28

\overline{S}, 28 ∂S, 28 sin, 21 sinh, 23 ∑_{n=0}^{∞} a_{n}, 6 tan, 22 ∥v∥_{p}, 28 ∥v∥_{∞}, 29 (x_{i}) → x, 3 ⟨x, y⟩, 31

Abel, N.H., 20

Abelscher Grenzwertsatz, 20 abgeschlossene Menge, 26, 28 abgeschlossenes Intervall, 3, 9 Ableitung, 14, 30 bei p, 13 der Umkehrfunktion, 14, 37 partielle, 32 von Brüchen, 14

Abschluß, 28

absolut konvergente Reihe, 6, 7 abstrakter Zwischenwertsatz, 9 abzählbare Menge, 5 Additionstheorem für Sinus und Cosi-

nus, 22 äquivalente Normen, 29 algebraische Zahl, 5 allgemeiner Mittelwertsatz, 16 analytische Funktion, 21 Archimedes, 22 Arcussinus, 22 Arcustangens, 22 Area Sinus hyperbolicus, 24

Ball, 25

beschränkte Folge, 4

beschränkter metrischer Raum, 27 bestimmt divergente Folge, 4 bilineare Abbildung, 35 Binomialkoeffizient, 21 Binomialreihe, 21 Bogenlänge, 30 Bolzano, B., 4 Borel, E., 27

Cantor, G., 5 Cauchy, A.L., 5 Cauchyfolge, 5 concave Funktion, 16 convexe

Funktion, 16 Menge, 9

Cosinus, 21 hyperbolicus, 23

Differential, 32, 34 differenzierbare Funktion, 14, 30, 34 Differenzierbarkeit, 14, 34

n-fache, 15 bei p, 13, 34 partielle, 32, 33, 35 stetig partielle, 32, 33 stetige, 17, 34

divergente Folge, 3 Dreiecksungleichung, 25

Einheitskreis, 23 euklidische Metrik, 25 Euler, L., 7 Eulersche Zahl, 7 exakte 1–Form, 33 Exponentialfunktion, 7

Folge, 3 beschränkte, 4 bestimmt divergente, 4 divergente, 3 konvergente, 3, 28 unbestimmt divergente, 4

1–Form, 31 exakte, 33 geschlossene, 33 (stetig) partiell differenzierbare, 33

Fourier, J., 24 Fourierkoeffizient, 25

komplexer, 25 Fourierreihe, 24

komplexe, 25 Funktion

analytische, 21 concave, 16 convexe, 16 differenzierbare, 14, 30, 34

n–fach, 15 gleichmäßig stetige, 11, 27 implizit definierte, 37 konstante, 8, 12, 14 monotone, 15 partiell differenzierbare, 32, 35 periodische, 24 stetig differenzierbare, 17, 34 stetig partiell differenzierbare, 32,

33 stetige, 8, 26, 28 (streng) monoton fallende, 10 (streng) monoton wachsende, 9 (streng) monotone, 10

Funktionenfolge gleichmäßig konvergente, 18 konvergente, 18

geometrische Reihe, 6 geschlossene 1–Form, 33 gleichmäßig

konvergente Funktionenfolge, 18 stetige Funktion, 11, 27

Gradient, 32

Gradientenfeld, 33

Grenzwert, 3

Grenzwertsatz von Abel, 20

Häufungspunkt einer Folge, 4 einer Menge, 13 harmonische Reihe, 6 Hauptsatz der Differential– und Integralrechnung, 17

Hausdorff, F., 28

hausdorffscher Raum, 28

Heine, E., 27 Hesse, O.L., 37 Hesse–Matrix, 37 Hurwitzkriterium, 37 hyperbolische trigonometrische Funk-

tionen, 23

implizit definierte Funktion, 37

indefinite Matrix, 37

Inneres, 28 Integral, 12

eigentliches, 23 einer 1–Form, 31 unbestimmtes, 17 uneigentliches, 31

Integration durch Substitution, 18 partielle, 18

Integrationsregeln, 12 Intervall, 3, 9

abgeschlossenes, 3, 9 offenes, 3, 9

isoliertes lokales Maximum, 15, 37 Minimum, 15, 37

Jacobi, C., 35 Jacobi–Matrix, 35

Kettenregel, 14, 32, 35 kompakte Menge, 11 kompakter Raum, 26, 28 komplexe

Fourierkoeffizienten, 25 Fourierreihe, 25

Komponentenregel, 35 konkav, siehe concav konstante Funktion, 8, 12, 14 konvergente

Folge, 3, 28 Funktionenfolge, 18

Konvergenz einer Folge, 3, 26, 28 einer Funktion, 13 einer Funktionenfolge, 18 einer Reihe, 6

Konvergenzintervall, 19 Konvergenzradius, 19 konvex, siehe convex Kreiskurve, 31 kritischer Punkt, 36 Kurve, 30

rektifizierbare, 30

Lagrange, J.L., 20 Lagrangesches Restglied, 20 Leibniz, G.W., 6 Leibnizkriterium, 6 l’Hospital, G., 16 Limes, 3, 28

inferior, 5 superior, 5 Lindemann, C.L.F., 5 Logarithmus, 9, 10, 19

zur Basis a, 11 lokales

Maximum, 15, 36 Minimum, 15, 36

Majorantenkriterium, 7 Matrix

Hesse–, 37 indefinite, 37 Jacobi–, 35 negativ definite, 37 positiv definite, 37

Maximum, 11, 27 hinreichende Bedingung, 16, 37 isoliertes lokales, 15, 37 lokales, 15, 36 notwendige Bedingung, 15, 36, 37

Maximumsmetrik, 25 Maximumsnorm, 29 Menge

abgeschlossene, 26, 28 abzählbare, 5 convexe, 9 kompakte, 11 offene, 20, 27 sternförmige, 34 überabzählbare, 5

Metrik, 25

euklidische, 25 metrischer Raum, 25 Minimum, 11, 27, 36

hinreichende Bedingung, 16, 37 isoliertes lokales, 15, 37 lokales, 15, 36 notwendige Bedingung, 15, 36, 37

Mittelwertsatz, 15

allgemeiner, 16 monoton

fallende Funktion, 10 wachsende Funktion, 9

monotone Funktion, 10, 15 Multiindex, 36

negativ definite Matrix, 37 Newton, I., 17 Norm, 28

äquivalente, 29 normierter Vektorraum, 28 Nullfolge, 3

Obersumme, 12 offene

Intervalle, 3, 9 Menge, 20, 27

offene Menge, 27

Partialsumme, 6 partielle

Ableitung, 32 Differenzierbarkeit, 32, 33, 35

partielle Integration, 18 Periode einer Funktion, 24 periodische Funktion, 24 Poincaré, H., 34 Polynomfunktion, 9, 14 positiv definite Matrix, 37 Potenzfunktion, 10 Potenzreihe, 18

bei p, 18 Produktregel, 14, 35

Quotientenkriterium, 7

Rand, 28 Raum

beschränkter, 27 hausdorffscher, 28 kompakter, 26, 28 metrischer, 25 topologischer, 27 vollständiger, 26

Regel von l’Hospital, 16, 17 Reihe, 6

absolut konvergente, 6, 7 geometrische, 6 harmonische, 6 konvergente, 6

rektifizierbare Kurve, 30 Restglied, siehe Lagrangesches Restglied

Integraldarstellung, 20 Richtungsableitung, 35 Rolle, M., 15

Satz von Abel, 20 von Bolzano–Weierstraß, 4 von Cantor, 5 von der Umkehrfunktion, 10, 37 von Heine–Borel, 27 von Lindemann, 5 von Poincaré, 34 von Rolle, 15 von Schwarz, 33 von Stone–Weierstraß, 29

Schwarz, H.A., 33 Sinus, 21

hyperbolicus, 23 Stammfunktion, 17 sternförmige Menge, 34 stetig differenzierbare Funktion, 17, 34 stetig partiell differenzierbare Funkti-

on, 32, 33 stetige

Differenzierbarkeit, 17, 34

Funktion, 8, 26, 28

partielle Differenzierbarkeit, 32, 33 Stetigkeit, 8

bei p, 8 Stone,M., 29 streng monoton

fallende Funktion, 10 wachsende Funktion, 10

streng monotone Funktion, 10 Substitution, 18 Summenregel, 14, 35

Tangens, 22 Taylor, B., 19 Taylorpolynom, 19 Taylorreihe, 19, 36 Teilfolge, 4 topologischer Raum, 27

überabzählbare Menge, 5 Übereinstimmung bis zur Ordnung n,

20 Umgebung, 28 Umkehrfunktion, 10, 14, 37 Umordnungssatz, 7 unbestimmt divergente Folge, 4 unbestimmtes Integral, 17 uneigentliches Integral, 23, 31 Untersumme, 12 Unterteilung, 11

Vektorfeld, 31 Verfeinerung, 12 vollständiger metrischer Raum, 26

Weierstraß, C., 4 wirbelfreie 1–Form, 33 Wurzelfunktion, 10

Zwischenwertsatz, 8 abstrakter, 9