Einfache Theorien^{∗}

Martin Ziegler

Freiburg, SS 08

Literatur

[1] Enrique Casanovas. Simplicity simplified. Rev. Colombiana Mat., 39:–6, 2005.

[2] K. Tent and M. Ziegler. Model Theory. 2008. In preparation.

[3] Frank O. Wagner. Simple Theories, volume 503 of Mathematics and Its Applications. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, NL, 2000.

Diese Notizen sind zum Abschnitt 6 eine Ausarbeitung bis von [1]. Abschnitt 7 ist übernommen aus [3].

∗Version 2 (Juli 2008)

T bezeichnet immer ein vollständige Theorie mit Monstermodell ℭ.

1 Indiscernibels

Definition 1.1. Sei I eine unendliche lineare Ordnung und I = (a_{i} | i ∈ I) eine Folge von endlichen Tupeln gleicher Länge. Der Ehrenfeucht-Mostowski-Typ EM(I/A) von I über A ist die Menge aller L(A)–Formeln ϕ(x_{1}, …, x_{n}), sodaß ⊧ ϕ(a_{i_{1}}, …, a_{i_{n}}) für alle i_{1} < … < i_{n} ∈ I.

L:standard Lemma 1.2 (Standardlemma). Sei A eine Parametermenge, I eine unendliche Folge von Tupeln und J eine lineare Ordnung. Dann gibt es eine Folge von Indiscernibels über A vom Ordnungstyp J, die EM(I/A) realisiert.

Beweis. Das ist Exercise 15.1 in [2].

L:shelah-e.r. Lemma 1.3 (Shelah). Für alle A gibt ein λ so daß es für jede lineare Ordnung I der Mächtigkeit λ und jede Familie (a_{i} | i ∈ I) eine über A indiscernible Folge (b_{j} | j < ω) gibt, sodaß es für alle j_{1} < … < j_{n} < ω eine Folge i_{1} < … < i_{n} aus I gibt mit tp(a_{i_{1}} … a_{i_{n}}/A) = tp(b_{j_{1}} … b_{j_{n}}/A).

Beweis. Wir brauchen von λ nur das folgende. Sei τ = sup_{n<ω} | S_{n}(A)|.

1. cf(λ) > τ

2. Für alle κ < λ und alle n < ω gibt es ein κ′ < λ mit κ′ → (κ)_{τ}^{n}

Wegen Erdös-Rado^{1}

ℶ_{i}(κ)^{+} → (κ^{+})_{κ}^{i+1}

können wir λ = ℶ_{τ^{+}} nehmen.

Wir konstruieren leicht eine Folge von Typen p_{1}(x_{1}) ⊂ p_{2}(x_{1}, x_{2}) ⊂ … mit p_{n} ∈ S_{n}(A), so daß es für alle κ < λ ein I′ ⊂ I mit |I′| = κ gibt mit tp(a_{i_{1}} … a_{i_{n}}) = p_{n} für alle i_{1} < … < i_{n} aus I′.

(b_{i} | i < ω) ist dann einfach eine Realisierung von ⋃_{i<ω} p_{i}.

Wenn p_{n−1} konstruiert ist und ein κ < λ vorgegeben, wählen wir ein κ′ < λ mit κ′ → (κ)_{τ}^{n} und dazu ein I′ ⊂ I mit |I′| = κ mit tp(a_{i_{1}} … a_{i_{n}}/A) = p_{n} für alle i_{1} < … < i_{n} aus I′. Dann gibt es ein I′′ ⊂ I′ und ein p_{n}^{κ} mit tp(a_{i_{1}} … a_{i_{n}}) = p_{n}^{κ} für alle i_{1} < … < i_{n} aus I′′. Weil cf(λ) > τ, gibt es ein p_{n}, sodaß p_{n}^{κ} = p_{n} für kofinal viele κ.

2 Lascar-starke Typen

Definition 2.1. Eine Relation R ⊂ ℭ^{n} × ℭ^{n} heißt beschränkt, wenn es nicht beliebig lange Folgen (c_{α} | α < κ) gibt mit ¬R(c_{α}, c_{β}) für alle α < β < κ. Eine definierbare beschränkte Relation heißt dick.

1Für Kardinalzahlen κ, λ, μ bedeutet κ → (λ)_{μ}^{n}: Für jede Funktion f : [κ]^{n} → μ gibt es ein A ⊂ κ mit |A| = λ, sodaß f auf [A]^{n} konstant ist.

Wir nennen (c_{α} | α < κ) eine Antikette von R der Länge κ.

Eine Äquivalenzrelation ist beschränkt, wenn die Zahl der Äquivalenzklassen beschränkt ist. Für Äquivalenzrelationen R_{i} ist deshalb das folgende Lemma leicht zu beweisen: Wenn die R_{i} höchsten κ_{i} Klassen haben, hat ⋀ R_{i} höchstens ∏ κ_{i} viele Klassen.

L:beschraenkt_durchschnitt Lemma 2.2. Beschränkte Relationen sind reflexiv. Der Durchschnitt von beschränkten Relationen ist beschränkt. Wenn R dick ist, dann auch R^{−1}.

Beweis. Wenn ¬R(a, a), ist a, a, … eine unendliche Antikette von R.

Sei R_{i}, (i < μ), beschränkt und κ so gewählt, daß kein R_{i} eine Antikette der Länge κ hat. Sei λ so groß, daß λ → (κ)_{μ}^{2}. Dann hat ⋀_{i<μ} R_{i} keine Antikette der Länge λ.

Wenn R dick ist, gibt es wegen Kompaktheit ein endliche Schranke k für die Länge der Antiketten. Dann hat aber auch R^{−1} keine Antikette a_{0}, …, a_{k}, denn sonst wäre a_{k}, …, a_{0} eine Antikette von R.

Definition 2.3. Sei A eine Menge von Parametern.

1. Eine Relation R heißt A–invariant, wenn R invariant unter allen Automorphismen aus Aut(ℭ/A) ist

2. nc_{A} ist kleinste A–invariante Relation.

3. E_{A}^{L} ist die kleinste A–invariante beschränkte Äquivalenzrelation. ^{2}

Für E_{A}^{L}(a, b) schreiben wir auch Lstp(a/A) = Lstp(b/A): a und b haben den gleichen Lascar-starken Typ über A.

Definition 2.4. Gestrichen.

L:nc Lemma 2.5. Für eine Parametermenge A und n–Tupel a, b sind äquivalent:

L:nc:nc a) nc_{A}(a, b)

L:nc:dick b) ⊧ θ(a, b) für alle über A definierten dicken θ(x, y).

L:nc:ind c) a und b beginnen eine unendliche Folge von Indiscernibels über A.

Beweis.

a) → b): Klar.

b) ↔ c): Sei p(x, y) = tp(ab/A). Nach dem Standardlemma beginnen a und b genau dann ein unendliche Folge von Indiscernibels, wenn es eine Folge (c_{i} | i < ω) gibt mit ⊧ p(c_{i}, c_{j}) für i < j. Das bedeutet, daß für alle ϕ ∈ p das Komplement von ϕ(ℭ) beliebig große Antiketten hat. Oder anders ausgedrückt:

|̸= ψ(a, b) ⇒ ψ ist nicht dick.

2Für Relationen zwischen n-Tupeln müßte man eigentlich nc_{A}^{n} und E_{L}^{n} schreiben.

c) → a): Sei (c_{i} | i < ω) indiscernibel über A. Weil nc_{A} beschränkt ist, gibt es i < j mit nc_{A}(c_{i}, c_{j}). Weil nc_{A} A-invariant ist und die c_{i} indiscernibel, folgt nc_{A}(c_{i}, c_{j}) für alle i < j, insbesondere nc_{A}(c_{0}, c_{1}).

P:nc_transitiv Proposition 2.6. E_{A}^{L} ist die transitive Hülle von nc_{A}.

Beweis. nc_{A} ist nach 2.5.b und 2.2 reflexiv und symmetrisch. Also ist die transitive Hülle die kleinste Äquivalenzrelation, die nc_{A} enthält.

L:nc-modell:nm L:nc-modell Lemma 2.7. 1. Wenn nc_{A}(a, b), gibt es ein M ⊃ A mit tp(a/M) = tp(b/M).

L:nc-modell:mn2 2. Wenn tp(a/M) = tp(b/M) für ein M ⊃ A, ist nc_{A}^{2}(a, b).

Beweis. 1): Sei I = (c_{i} | i < ω) indiscernibel über A mit c_{0} = a und c_{1} = b. Wir fixieren irgendein Modell M′ ⊃ A. Nach dem Standardlemma gibt es eine ω–Folge I′ von Indiscernibels über M′ mit EM(I/A) = EM(I′/A). Sei α ∈ Aut(ℭ/A) mit α(I′) = I. Setze M = α(M′). Es gilt sogar nc_{M}(a, b).

2): Wir müssen zeigen, daß für jede dicke Formel θ(x, y) mit Parametern aus A ⊧ ∃z(ϕ(a, z) ∧ ϕ(z, b). Wir können annehmen, daß ϕ symmetrisch ist. Weil M eine Modell ist, das A enthält, gibt es in M eine maximale Antikette a_{0}, …, a_{k−1} von ϕ. Es gibt dann ein i mit ⊧ ϕ(a, a_{i}). Es folgt ⊧ ϕ(b, a_{i}) und wir sind fertig.

Definition 2.8. Gestrichen.

Folgerung 2.9. Gestrichen.

F:lst_erweiterung Folgerung 2.10. Sei Lstp(a/A) = Lstp(b/A). Dann gibt es für alle a′ ein b′ mit Lstp(aa′/A) = Lstp(bb′/A).

Beweis. Nach 2.7 ist E_{A}^{L} der transitive Abschluß von „ haben denselben Typ über einem Modell, das A enthält“. Diese Relation hat offenbar die behauptete Fortsetzungseigenschaft.

nc_{A} hat die Fortsetzungseigenschaft nicht: Wenn nc_{A}(a, b), a ≠ b und a′ = b, findet man kein b′ mit nc A(aa′, bb′).

L:lst_relativ Lemma 2.11. Aus Lstp(a/Ab) = Lstp(a′/Ab) folgt Lstp(ab/A) = Lstp(a′b/A).

Beweis. Weil nc_{Ab}(a, a′) ⇒ nc_{A}(ab, a′b).

L:nc_erweiterung Lemma 2.12. Sei (a_{i} | i < ω) indiscernibel über A und (a_{i} | 1 ≤ i < ω) indiscernibel über Aa′_{0}a_{0}. Dann gibt es ein a′_{1} mit sodaß nc_{A}(a′_{0}a_{0}, a′_{1}a_{1}).

Beweis. Wähle zu jedem i ein a′_{i}, sodaß tp(a′_{i}a_{i}a_{i+1} … /A) = tp(a′a_{0}a_{1} … /A). Sei b′_{0}b_{0}, b′_{1}b_{1}, … eine Folge von Indiscernibels, die den EM-Typ von a′_{0}a_{0}, a′_{1}a_{1}, … über A realisiert. Weil (a_{i} | 1 ≤ i < ω) indiscernibel über Aa′_{0}a_{0} ist, folgt tp(b′_{0}b_{0}, b_{1}/A) = tp(a′_{0}a_{0}, a_{1}/A). Wir können also annehmen, daß a′_{0}a_{0}, a′_{1}a_{1}, … indiscernibel über A ist.

3 Teilen und Forken

Definition 3.1. ϕ(x, b) teilt über A, wenn es eine Folge (b_{i} | i < ω) von Realisierungen von tp(b/A) gibt und ein k, sodaß (ϕ(x, b_{i}) | i < ω) k-inkonsistent ist^{3}^{,}^{4}. Eine Formelmenge π(x) teilt über A, wenn π(x) ein ϕ(x, b) impliziert, das über A teilt.

Wenn ϕ(x, a) die Formel ψ(x, a′) impliziert, und ψ(x, a′) über A teilt, teilt auch ϕ(x, a) über A. Daraus folgt, daß ϕ über A genau dann teilt, wenn {ϕ} über A teilt.

Ebenso kann man blinde freie Variable einführen, ohne am Teilen etwas zu ändern. Es hat also Sinn, zu sagen, daß π(x̄) über A teilt, wenn x̄ eine unendliche Folge von Variablen ist.

Bemerkung. 1. Wenn a ∉ acl(A), dann teilt tp(a/Aa) über A.

2. Wenn π(x) konsistent ist und über acl(A) definiert, teilt π(x) nicht über A.

L:teilt_indisc Lemma 3.2. π(x, b) teilt über A gdw. es eine Folge (b_{i} | i < ω) von Indiscernibels über A gibt, mit tp(b_{0}/A) = tp(b/A), für die ⋃_{i<ω} π(x, b_{i}) inkonsistent ist.

Man kann ω durch jede unendliche lineare Ordnung ersetzen.

Beweis. Wenn (b_{i} | i < ω) von Indiscernibels über A ist, mit tp(b_{0}/A) = tp(b/A) und ⋃_{i<ω} π(x, b_{i}) inkonsistent, gibt es eine Konjunktion ϕ(x, b) von Formeln aus π(x, b), für die Σ(x) = {ϕ(x, b_{i}) | i < ω} inkonsistent ist. Σ hat eine k–elementige inkonsistente Teilmenge. Es folgt dann, daß (ϕ(x, b_{i}) | i < ω) k–inkonsistent ist.

Nehmen wir umgekehrt an, daß π(x, b) über A teilt. Dann teilt eine endliche Konjunktion ϕ(x, b) von Formeln aus π(x, b). Sei (b_{i} | i < ω) eine Folge von Realisierungen von tp(b/A), sodaß (ϕ(x, b_{i}) | i < ω) k-inkonsistent ist. Das Standardlemma erlaubt es uns anzunehmen, daß (b_{i} | i < ω) indiscernibel über A ist. Natürlich ist ⋃_{i<ω} π(x, b_{i}) inkonsistent.

F:teilt_wenn_indisc Folgerung 3.3. Es sind äquivalent

F:teilt_wenn_indisc:teilt_n  1. tp(a/Ab) teilt nicht über A

F:teilt_wenn_indisc:ex_a 2. für jede unendliche Folge von A-Indiscernibels I, die b enthält, existiert ein a′ mit tp(a′/Ab) = tp(a/Ab) und so, daß I indiscernibel über Aa′ ist.

F:teilt_wenn_indisc:ex_i 3. für jede unendliche Folge von A-Indiscernibels I, die b enthält, existiert I′ mit tp(I′/Ab) = tp(I/Ab), und so, daß I′ indiscernibel über Aa ist.

3Eine Familie (ϕ_{i}(x) | x ∈ I) ist k–inkonsistent, wenn für jede k–elementige Teilmenge K von I die Menge {ϕ_{i} | i ∈ K} inkonsistent ist

4Wir sagen, daß ϕ über A bezüglich k teilt

Beweis. 2)↔ 3): Das ist klar durch Betrachtung geeigneter Automorphismen. Man sieht auch sofort, daß die Konklusionen von 2) und 3) äquivalent sind zu:

(∗) Es existiert ein a′ mit tp(a′/Ab) = tp(a/Ab) und I′ mit tp(I′/Ab) = tp(I/Ab) so, daß I′ indiscernibel über Aa′ ist.

1)→ (∗): Sei I = (b_{i} | i ∈ I) eine unendliche Folge von Indiscernibels, mit b_{i_{0}} = b. Sei p(x, b) = tp(a/Ab). Dann ist ⋃_{i∈I} p(x, b_{i}) konsistent; sei a′ eine Realisierung. Nach dem Standardlemma gibt es I′′ = (b′′_{i} | i ∈ I), indiscernibel über Aa′, das EM(I/Aa′) realisiert. Weil ⊧ p(a′, b′′_{i_{0}}), gibt es einen Auotmorphismus α ∈ Aut(ℭ/Aa′), der b′′_{i_{0}} in b überführt. Setze I′ = α(I′′).

2)→1) Sei p(x, b) = tp(a/Ab) und (b_{i} | i < ω) ein Folge von Indiscernibels über A mit tp(b_{0}/A) = tp(b/A). Nach Annahme gibt es ein a′ mit tp(a′/Ab) = tp(a/Ab), sodaß I indiscernibel über Aa′ ist. Weil ⊧ p(a′, b), ist a′ eine Realisierung von ⋃_{i<ω} p(x, b_{i}).

P:teilen-rechnung:typ P:teilen-rechnung Proposition 3.4. 1. Wenn tp(a/B) nicht über A ⊂ B teilt und tp(c/Ba) nicht über Aa teilt, dann teilt tp(ac/B) nicht über A.

P:teilen-rechnung:formel 2. Wenn tp(a/B) nicht über A ⊂ B teilt und π(x) ein partieller Typ über B ist, der nicht über Aa teilt, dann teilt π(x) nicht über A.

Beweis. 1: Sei b ∈ B ein endliches Tupel und I eine unendliche Folge von A– Indiscernibels, die b enthält. Wenn tp(a/B) nicht über A teilt, können gibt es ein I′ mit tp(I′/Ab) = tp(I, Ab), das über Aa indiscernibel ist. Wenn tp(c/Ba) nicht über Aa teilt, gibt es ein I′′ mit tp(I′′/Aab) = tp(I′, Aab), das über Aac indiscernibel ist. Das zeigt die Behauptung.

2: Das ist nur eine Variante der Behauptung 1. Sei ϕ(x, b) eine Formel aus π(x) und I = (b_{i} | i < ω) eine Folge von A-Indiscernibels, die b enthält. Wir wollen zeigen, daß Φ = {ϕ(x, b_{i}) | i < ω} konsistent ist. Weil tp(a/B) nicht über A teilt, können wir annehmen, daß I indiscernibel über Aa ist. Die Konsistenz von Σ folgt jetzt direkt daraus, daß ϕ(x, b) nicht über Aa teilt.

Definition 3.5. π(x) forkt über A, wenn π(x) eine Disjunktion ⋁_{l<d} ϕ_{l}(x) von Formeln ϕ_{l}(x) impliziert, die alle über A teilen.

L:ee Lemma 3.6. Wenn π endlich erfüllbar in A ist, dann forkt π nicht

Beweis. Wenn π(x) die Disjunktion ⋁_{l<d} ϕ_{l}(x, b) impliziert, hat eins der ϕ_{l} eine Realisierung a in A. Wenn die b_{i}, i < ω, den Typ tp(b/A) realisieren, hat {ϕ_{l}(x, b_{i}) | i < ω} die Realisierung a. ϕ_{l} teilt also nicht über A.

L:fortsetzen Lemma 3.7. Sei A ⊂ B und π ein partieller Typ über B. Wenn π nicht über A forkt, dann läßt sich π zu einem p ∈ S(B) fortsetzen, das nicht über A forkt.

Beweis. Sei p(x) eine maximale Menge von L(B)–Formeln, die π(x) enthält und nicht über A forkt. Es ist klar, daß p konsistent ist. Sei ϕ(x) eine beliebige L(B)– Formel. Wenn weder ϕ noch ¬ϕ zu p gehörten, folgte, daß sowohl p∪{ϕ} als auch p∪{¬ϕ} über A forkten. Das implizierte, daß p forkt. Also ist p vollständig.

4 Baumeigenschaft und Einfachheit

Definition 4.1. 1. ϕ(x, y) hat die Baumeigenschaft bezüglich k, wenn es einen Baum (a_{s} | 0 ≠ s ∈ ^{<ω}ω) von Parametern gibt mit:

a) Für alle s ist (ϕ(x, a_{si}) | i ∈ ω) k–inkonsistent.

b) Für alle σ ∈ ^{ω}ω ist {ϕ(x, a_{s}) | 0 ≠ s ⊂ σ} konsistent.

2. T ist einfach, wenn keine Formel ϕ(x, y), für kein k, die Baumeigenschaft hat.^{5}

Definition 4.2. Sei Δ eine endliche Menge von Formeln ϕ(x, y) ohne Parameter. Eine Δ–k–Teilungsfolge über A ist eine Folge (ϕ_{i}(x, a_{i}) | i < δ), sodaß

1. ϕ_{i}(x, y) ∈ Δ

2. ϕ_{i}(x, a_{i}) teilt über A ∪ {a_{j} | j < i} bezüglich k.

3. {ϕ_{i}(x, a_{i}) | i < δ} ist konsistent.

L:einfach-teilungsfolge:b_tf L:einfach-teilungsfolge Lemma 4.3. 1. Wenn ϕ die Baumeigenschaft bezüglich k hat, gibt es für jedes A und μ eine ϕ–k–Teilungsfolge über A der Länge μ.

L:einfach-teilungsfolge:tf_b 2. Wenn kein ϕ ∈ Δ die Baumeigenschaft hat, gibt es keine unendliche Δ– k–Teilungsfolge über ∅.

Beweis. 1): Wähle einen Baum für ϕ, der Länge μ und mit sehr großem Verzweigungsgrad. Wähle einen Pfad im Baum, sodaß jeder Punkt unendlich viele Nachbarn hat, die über A und den Vorgängern denselben Typ haben.

2): Angenommen, es gibt eine unendliche Δ–k–Teilungsfolge über ∅. Wenn ϕ in der Folge unendlich oft vorkommt, gibt es eine unendliche ϕ–k–Teilungsfolge (ϕ(x, a_{i}) | i < ω). Wir wählen für jedes i eine Folge (a_{i}^{n} | n < ω) mit tp(a_{i}^{n}/{a_{j} | j < i}) = tp(a_{i}/{a_{j} | j < i}), für die (ϕ(x, a_{i}^{n}) | n < ω) k–inkonsistent ist. Dann definieren wir Parameter b_{s}, die zeigen, daß ϕ die Baumeigenschaft bezüglich k hat, wie folgt: Sei s ∈ ^{i+1}ω und b⃗ = (b_{s↾1}, …, b_{s↾i}) schon so konstruiert, daß tp(a_{1}, …, a_{i−1}/A) = tp(b⃗/A). Wähle ein α ∈ Aut(ℭ/A) mit α(a_{1}, …, a_{i−1}) = b⃗ und setze b_{s} = α(a_{i}^{s(i)}).

Man sieht leicht, daß es in einfachen Theorien für jedes endliche Δ und alle k eine Schranke für mögliche Längen von Δ–k–Teilungsfolgen gibt.

5Wir können annehmen, daß ϕ keine Parameter hat.

P:einfach Proposition 4.4. Sei T ein vollständige Theorie. Dann sind äquivalent.

P:einfach:einfach a) T ist einfach

P:einfach:T b) Für alle p ∈ S(B) gibt es ein A ⊂ B mit |A| ≤ |T |, sodaß p nicht über A teilt.

P:einfach:k c) Es gibt ein κ, sodaß es für alle p ∈ S(B) ein A ⊂ B mit |A| ≤ κ gibt, sodaß p nicht über A teilt.

Beweis. a)→b): Wenn b) falsch ist, gibt es eine Folge (ϕ_{i}(x, b_{i}) | i < |T |^{+}) von Formeln aus p(x), sodaß jedes ϕ_{i}(x, b_{i}) über {b_{j} | j < i} bezüglich k_{i} teilt. Es gibt eine unendliche Teilfolge, in der alle ϕ_{i}(x, y) gleich ϕ(x, y) und alle k_{i} gleich k sind, also eine ϕ–k–Teilungsfolge.

b)→c): Klar.

c)→a): Wenn ϕ die Baumeigenschaft hat, gibt es beliebig lange ϕ–k–Teilungsfolgen (ϕ(x, b_{i}) | i < κ). Erweitere die Menge der ϕ(x, b_{i}) zu einem p(x) ∈ S(B), wobei B = {b_{i} | i < κ}. p teilt über jedem Anfangsstück der b_{i}.

Definition 4.5. Gestrichen.

Bemerkung. Gestrichen.

Lemma 4.6. Gestrichen.

Folgerung 4.7. Gestrichen.

F:forkt_nicht_ueber_domain Folgerung 4.8. Sei T einfach und p ∈ S(A). Dann forkt p nicht über A.

Beweis. Nehmen wir an, daß p über A forkt. Dann impliziert p eine Disjunktion ⋁_{l<d} ϕ_{l}(x, b_{l}) von Formeln, die alle über A vermöge k teilen. Setze Δ = {ϕ_{l}(x, y) | l < d}.

Wir konstruieren, im Widerspruch zu 4.3, eine unendliche lange Δ–k–Teilungsfolge über A. Sei (ψ_{i}(x, a_{i}) | i < n) über A schon konstruiert und sei p(x) mit {ψ_{i}(x, a_{i}) | i < n} konsistent. Es folgt, daß eine der Formeln ϕ_{l}(x, b_{l}), zum Beispiel ϕ_{0}(x, b_{0}) mit p(x) ∪ {ψ_{i}(x, a_{i}) | i < n} konsistent ist.

Wir können nun annehmen, daß (ψ_{i}(x, a_{i}) | i < n) eine Teilungsfolge über Ab_{0} ist. Das folgt leicht mit Induktion aus der folgenden Beobachtung: Wenn ϕ(x, a) über A teilt und wenn A ⊂ A′, dann gibt es ein zu a über A konjugiertes a′, sodaß ϕ(x, a′) über A′ teilt. Jetzt ist aber ϕ_{0}(x, b_{0}), ψ_{0}(x, a_{0}), … eine Δ–k– Teilungsfolge über A, die wieder mit p(x) konsistent ist.

F:existenz Folgerung 4.9 (Existenz). Jeder Typ über A läßt sich nicht-forkend auf jede Erweiterung von A fortsetzen.

Beweis. Aus 4.8 und 3.7.

5 Unabhängigkeit und Morleyfolgen

Definition 5.1. A ist unabhängig von B über C, A | ⌣_{C} B, wenn für jedes endliche Tupel a ∈ A, tp(a/BC) nicht über B forkt.

Das ist eine sinvolle Definition, weil das Forken von tp(a/BC) nicht von der Aufzählung von a abhängt und weil tp(a/BC) über C forkt, wenn der Typ einer Teilfolge von a über BC über C forkt.

Definition 5.2. I sei eine lineare Ordnung. Einen Folge (a_{i} | i ∈ I) heißt

1. unabhängig über A, wenn a_{i} | ⌣_{A}{a_{j} | j < i} für alle i,

2. Morleyfolge über A, wenn (a_{i} | i ∈ I) unabhängig und indiscernible über A ist,

3. Morleyfolge in p(x) über A, wenn (a_{i} | i ∈ I) eine Morleyfolge über A ist und alle a_{i} Realisierungen von p sind.

L:morley-stark Lemma 5.3. Wenn (a_{i} | i ∈ I) unabhängig über A ist, und J < K Teilmengen von I. Dann teilt tp((a_{k})_{k∈K}/A{a_{j} | j ∈ J}) nicht über A.

Beweis. Man kann annehmen, daß K endlich ist. Die Behauptung folgt dann per Induktion über |K| aus 3.4.1.

L:morley_existenz Lemma 5.4. Wenn p ∈ S(B) nicht über A forkt, dann gibt es eine unendliche Morleyfolge in p über A, die sogar über B indiscernibel ist.

Beweis. Sei a_{0} eine Realisierung von p. Wegen 3.7 gibt es eine Fortsetzung p′ von p auf Ba_{0}, die nicht über A forkt. Sei a_{1} eine Realisierung von p′. Wenn man so fortfährt, erhält man für jedes vorgebene λ eine Folge (a_{i} | i < λ) mit a_{i} | ⌣_{A} B(a_{j})_{j<i}. Mit 1.3 erhält man daraus eine Folge der Länge ω mit der gleichen Eigenschaft, die zusätzlich indiscernibel über B ist.

Folgerung 5.5. Wenn T einfach ist und p ∈ S(A), gibt es eine unendliche Morleyfolge in p über A.

Beweis. Das folgt aus 4.9.

P:morley_teilt Proposition 5.6. Sei T einfach. π(x, y) ein partieller Typ über A. Sei (b_{i} | i < ω) eine unendliche Morleyfolge über A und ⋃_{i<ω} π(x, b_{i}) konsistent. Dann teilt π(x, b_{0}) nicht über A.

Beweis. Nach dem Standardlemma gibt es für jede lineare Ordnung I eine Morleyfolge (b_{i} | i ∈ I) in tp(b_{0}/A) über A, für die Σ(x) = ⋃_{i∈I} π(x, b_{i}) konsistent ist. Wir wählen für I die inverse Ordnung von |T |^{+}. Sei c eine Realisierung von Σ. Nach 4.4.b gibt es ein i_{0}, sodaß tp(c/A{b_{i} | i ∈ I}) nicht über A{b_{i} | i > i_{0}} teilt. Daraus folgt, daß π(x, b_{i_{0}}) nicht über A{b_{i} | i > i_{0}} teilt. Nach 5.3 teilt tp((b_{i} | i > i_{0})/Ab_{i_{0}}) nicht über A. Also teilt nach 3.4.2 π(x, b_{i_{0}}) nicht über A.

P:forken=teilen Proposition 5.7. T sei einfach. Dann teilt π(x, b) genau dann über A, wenn es über A forkt.

Beweis. Nehmen wir an, daß ψ(x, b) = ⋁_{l<d} ϕ_{l}(x, b) über A nicht teilt. Sei (b_{i} | i < ω) eine Morleyfolge in tp(b/A) über A, die existiert, weil T einfach ist. Dann ist {ψ(x, b_{i}) | i ∈ ω} konsistent. Wenn man eine Realisierung betrachtet, sieht man, daß es nach den Schubfachprinzip ein unendliches I ⊂ ω und ein l geben muß, sodaß {ϕ_{l}(x, b_{i}) | i ∈ I} konsistent ist. Aus 5.6 folgt jetzt, daß ϕ_{i}(x, b) nicht über A teilt.

P:symmetrie Proposition 5.8 (Symmetrie). In einfachen Theorien ist die Unabhängigkeitsrelation symmetrisch.

Beweis. Sei a | ⌣_{C} b. Dann gibt es nach 5.4 eine unendliche Morleyfolge (a_{i} | i < ω) in tp(a/Cb) über C, die über Cb indiscernibel ist. Sei p(x, a) = tp(b/Ca). Dann ist ⋃_{i<ω} p(x, a_{i}) konsistent, weil es von b realisiert wird. Also teilt p(x, a) nicht über C.

Folgerung 5.9 (Monotonie und Transitivität). T sei einfach, B ⊂ C ⊂ D. Dann ist A | ⌣_{B} D genau dann, wenn A | ⌣_{B} C und A | ⌣_{C} D.

Beweis. Die eine Richtung der Äquivalenz gilt in beliebigen Theorien und folgt leicht aus der Definition. Für die andere Richtung beachten wir, daß wir 3.41 wegen 5.7 nach Ersetzen der endlichen Tupel durch unendliche als

A′ | ⌣_{A} B und C | ⌣_{AA′} B ⇒ CA′ | ⌣_{A} B

lesen können. Das ist gerade die Transitivität, wenn man rechts und links vertauscht. Die Behauptung folgt also aus 5.8.

Aus Existenz, Symmetrie, Monotonie und Transitivität von nicht-forkenden Erweiterungen folgen alle Rechenregeln, die in stabilen Theorien gelten. Zum Beispiel:

Bemerkung. Wenn (a_{i} | i ∈ I) eine A-unabhängige Folge ist, dann gilt^{6}

a_{X} | ⌣_{Aa_{X∩Y}} a_{Y}

für alle X, Y ⊂ I.

L:morley_teilt2 Lemma 5.10. Sei I eine unendliche Morleyfolge über A. Wenn I indiscernibel über Ac ist, ist c | ⌣_{A} I.

Beweis. Sei zum Beipiel I = (a_{i} | i < ω) und ϕ(x, a_{0}, …, a_{n−1}) ∈ tp(c/AI). Setze b_{i} = (a_{ni}, …, a_{ni+n−1}). Dann ist (b_{i} | i < ω) wieder eine Morleyfolge über A und {ϕ(x, b_{i}) | i ∈ ω} ist konsistent, weil von c realisiert. Aus 5.6 folgt, daß ϕ(x, a_{0}, …, a_{n−1}) nicht über A forkt.

6a_{X} = {a_{i} | i ∈ X}.

6 Der Unabhängigkeitssatz

In diesem Abschnitt sei T immer einfach.

L:indisc_morley Lemma 6.1. Sei I indiscernibel über A und J ein unendliches Anfangsstück ohne letztes Element. Dann ist I \ J eine Morleyfolge über AJ.

Beweis. Sei I = (a_{i} | i ∈ I) und J = (a_{i} | i ∈ J). Es genügt zu zeigen, daß a_{i} | ⌣_{AJ} a_{X} für alle i ∈ I \ J und alle endlichen X ⊂ I mit i < X. Das folgt aber aus 3.6, weil tp(a_{i}/AJa_{X}) endlich erfüllbar in AJ ist.

P:nc_teiltnicht Proposition 6.2. Wenn ϕ(x, a) nicht über A teilt und nc_{A}(a, b), dann teilt ϕ(x, a) ∧ ϕ(x, b) nicht über A.

Beweis. Sei I eine unendliche Folge von Indiscernibels, in denen a und b vorkommen. Wir verlängern I um ein unendliches Anfangstück J ohne größtes Element. Sei c eine Realisierung von ϕ(x, a) mit c | ⌣_{A} J a. Wegen 3.3 können wir annehmen, daß I indiscernible über AJc ist.

Aus 6.1 folgt, daß I eine Morleyfolge über AJ ist. Also folgt aus 5.10, daß c | ⌣_{AJ} I. Transitivität ergibt c | ⌣_{A} J I, woraus die Behauptung folgt.

L:nc_erweiterung2 Lemma 6.3. Sei nc_{A}(a, b) und a′ | ⌣_{Aa} b. Dann gibt es b′, sodaß nc_{A}(a′a, b′b).

Beweis. Sei (a_{i} | i < ω) indiscernibel über A, a = a_{0} und b = a_{1}. Wegen 3.3 können wir annehmen, daß (a_{i} | 1 ≤ i < ω) indiscernibel über Aa′a ist. Aus 2.12 folgt die Behauptung.

P:nc_nf Proposition 6.4. Wenn ϕ(x, a) ∧ ψ(x, b) nicht über A forkt, nc_{A}(b, b′) und a | ⌣_{Ab} b′, dann forkt auch ϕ(x, a) ∧ ψ(x, b′) nicht über A.

Beweis. Nach 6.3 gibt es ein a′ mit nc_{A}(ab, a′b′). Aus 6.2 folgt, daß ϕ(x, a) ∧ ψ(x, b) ∧ ϕ(x, a′) ∧ ψ(x, b′) nicht über A teilt.

F:lst_nf Folgerung 6.5. Wenn ϕ(x, a) ∧ ψ(x, b) nicht über A forkt, Lstp(b/A) = Lstp(b′/A) und a | ⌣_{A} b′b, dann forkt auch ϕ(x, a) ∧ ψ(x, b′) nicht über A.

Beweis. Sei b = b_{0}, b_{1}, …, b_{n} = b′ eine Folge mit nc(b_{i}, b_{i+1}), (vergl. 2.6). Wegen der Existenz von nicht-forkenden Erweiterungen können wir annehmen, daß a | ⌣_{Abb′} b_{1} … b_{n−1}, woraus a | ⌣_{A} b_{0} … b_{n} folgt. Es ist also immer a | ⌣_{Ab_{i}} b_{i+1} und die Behauptung folgt durch Induktion aus 6.4.

Lemma 6.6. Gestrichen.

F:lst_erweiterung2 Lemma 6.7. Für alle a, A und B ⊃ A gibt es ein a′ mit Lstp(a′/A) = Lstp(a/A) und a′ | ⌣_{A} B.

Beweis. Wähle ein Modell M ⊃ A mit a | ⌣_{A} M und dann a′ mit tp(a′/M) = tp(a/M) und a′ | ⌣_{M} B.

Bemerkung. Für beliebige Theorien gilt: es gibt ein a′ mit nc_{A}^{2}(a′, a) und tp(a′/B) teilt nicht über A. (Übung)

L:lst_erweiterung3 Lemma 6.8. Sei Lstp(a/A) = Lstp(b/A). Dann gibt es für alle a′, B ein b′ mit Lstp(aa′/A) = Lstp(bb′/A) und b′ | ⌣_{Ab} B.

Beweis. Wähle mit 2.10 ein b′′ mit Lstp(aa′/A) = Lstp(bb′′/A) und mit 6.7 ein b′ mit Lstp(b′′/Ab) = Lstp(b′/Ab) und b′ | ⌣_{Ab} B. Aus 2.11 folgt Lstp(bb′′/A) = Lstp(bb′/A).

F:unabhaengigkeit Folgerung 6.9. Sei a | ⌣_{A} b, a′ | ⌣_{A} a, b′ | ⌣_{A} b, Lstp(a′/A) = Lstp(b′/A) und ⊧ ϕ(a′, a) ∧ ψ(b′, b). Dann forkt ϕ(x, a) ∧ ψ(x, b) nicht über A.

Beweis. Wähle mit 6.8 ein a′′ mit Lstp(a′′a′/A) = Lstp(bb′/A) und a′′ | ⌣_{Aa′} abb′. Dann folgt a′′ | ⌣_{A} aa′bb′ und daraus:

• a′ | ⌣_{A} aa′′, was, zusammen mit ⊧ ψ(a′, a′′), impliziert, daß ϕ(x, a) ∧ ψ(x, a′′) nicht über A forkt.

• a | ⌣_{A} a′′b, was, wegen 6.5, impliziert, daß ϕ(x, a) ∧ ψ(x, b) nicht über A forkt.

S:unabhaengigkeit Satz 6.10 (Unabhängigkeitssatz). Sei  B | ⌣_{A} C,  b | ⌣_{A} B,  c | ⌣_{A} C,

und Lstp(b/A) = Lstp(c/A). Dann gibt es ein d mit d | ⌣_{A} BC, Lstp(d/B) = Lstp(b/B) und Lstp(d/C) = Lstp(c/C).

Beweis. Das ist klar, wenn man nur tp(d/B) = tp(b/B) und tp(d/C) = tp(c/C)

behauptet. Der Rest ist eine Übung. (Hinweis: Ersetze B und C durch Modelle.)

F:unabhaengigkeit_unendlich Folgerung 6.11. Die B_{i}, i ∈ I, seien unabhängig über A. Es seien b_{i} mit b_{i} | ⌣_{A} B_{i} gegeben, die alle den gleichen Lascartyp über A haben. Dann gibt es ein d mit d | ⌣_{A}{B_{i} | i ∈ I} und Lstp(d/B_{i}) = Lstp(b_{i}/B_{i}) für alle i.

Beweis. Übung: Nehmen Sie an, daß die B_{i} Modelle sind, die A enthalten. Wähle ein Wohlordnung von I und zeige die Existenz von d durch rekursive Konstruktion von p = tp(d/{B_{i} | i ∈ B_{i}}).

L:nc2 Lemma 6.12. Wenn a | ⌣_{A} b und Lstp(a/A) = Lstp(b/A), gibt es eine unendliche Morleyfolge über A, die a und b enthält.

Beweis. Betrachte p(x, a) = tp(b/Aa). Wir konstruieren, anfangend mit a_{0} = a und a_{1} = b, rekursiv eine lange unabhängige Folge (a_{i}) von Elementen, die alle denselben Lascartyp über A haben. Sei (a_{i} | i < α) schon konstruiert. Die Typen p(x, a_{i}) werden von Elementen b_{i} realisiert, mit b_{i} | ⌣_{A} a_{i} und Lstp(b_{i}/A) = Lstp(a/A). Es gibt nach 6.11 ein a_{α} mit a_{α} | ⌣_{A}{a_{i} | i < α}, ⊧ p(a_{α}, a_{i}) für alle i < α und Lstp(a_{α}/A) = Lstp(a/A). Wenn die Folge lang genug ist, gibt es nach 1.3 eine A–indiscernible Folge (a′_{i} | i < ω) mit ⊧ p(a′_{j}, a′_{i}) für alle i < j, die außerdem, weil alle Typen (a′_{j}/A{a′_{i} | i < j}) schon in (a_{i}) vorkommen, unabhängig über A ist. Weil tp(a′_{1}a′_{0}/A) = tp(ba/A), können wir annehmen, daß a′_{0} = a und a′_{1} = b.

Folgerung 6.13. Lstp(a/A) = Lstp(b/A) genau dann, wenn nc_{A}^{2}(a, b).

Beweis. Wähle ein c mit c | ⌣_{A} ab und Lstp(c/A) = Lstp(a/A) = Lstp(b/A). Nach 6.12 ist nc(c, a) und nc(c, b).

Folgerung 6.14. nc ist typdefinierbar.

Beweis.

nc(x, y) ⇔ ∃z (nc(x, z) ∧ nc(z, y))

Es ist ein ungelöstes Problem, ob in einfachen Theorien, Lascartypen und starke Typen zusammenfallen.

7 Charakterisierung

independence_notion Satz 7.1. Sei T be a vollständige Theorie und a | ⌣^{0}_{A} B eine unter Automorphismen invariante Relation zwischen endlichen Tupeln a und Parametermengen A und B mit den folgenden Eigenschaften:

a) (Symmetrie) a | ⌣^{0}_{A} b genau dann, wenn b | ⌣^{0}_{A} a.

b) (Monotonie und Transitivität) a | ⌣^{0}_{A} BC genau dann, wenn a | ⌣^{0}_{A} B und a | ⌣^{0}_{AB} C.

c) (Existenz) Für alle a, A und C gibt es ein a′ mit tp(a′/A) = tp(a/A) und a′ | ⌣^{0}_{A} C.

d) (Lokaler Charakter) Es gibt eine Kardinalzahl κ, sodaß es für alle a und B eine Teilmenge B_{0} ⊂ B von kleinerer Mächtigkeit als κ gibt mit a | ⌣^{0}_{B_{0}} B

e) (Endlicher Charakter) a | ⌣^{0}_{A} B genau dann, wenn a | ⌣^{0}_{A} b für alle Tupel b ∈ B.

f) (Unabhängigkeitssatz über Modellen) Sei M ein Modell, a | ⌣^{0}_{M} b, a′ | ⌣^{0}_{M} a, b′ | ⌣^{0}_{M} b und tp(a′/M) = tp(b′/M). Dann gibt es ein c mit c | ⌣^{0}_{M} ab, tp(c/Ma) = tp(a′/Ma) und tp(c/Mb) = tp(b′/Mb).

Dann ist T einfach und es ist | ⌣^{0} = | ⌣.

Es ist klar, daß in einfachen Theorien die Relation | ⌣ die Eigenschaften des Satzes hat (für κ = |T |^{+}).

Beweis. Zunächst bemerken wir, daß aus Existenz folgt, daß a | ⌣^{0}_{A} A und aus Transititivät, daß a | ⌣^{0}_{A} C ⇔ a | ⌣^{0}_{A} AC.

Wir können annehmen, daß κ regulär ist; sonst ersetzen wir κ durch κ^{+}.

Nehmen wir nun an, daß a | ⌣^{0}_{A} b. Wir zeigen zuerst mit 3.2, daß tp(a/Ab) nicht über A teilt. Sei dazu (b_{i} | i < ω) eine Folge von Indiscernibels über A, die mit b = b_{0} beginnt.

Behauptung: Wir finden ein Modell A ⊂ M, sodaß (b_{i} | i < ω) indiscernibel über M ist und b_{i} | ⌣^{0}_{M}{b_{j} | j < i} für alle i.

Beweis: Mit dem Standardlemma können die Folge zu einer Folge (b_{i} | i ≤ κ) fortsetzen. Außerdem ist es leicht, eine aufsteigende Folge von Modellen A ⊂ M_{0} ⊂ M_{1} … zu konstruieren, sodaß für alle i < κ alle b_{j}, (j < i), in M_{i} enthalten sind und (b_{j} | i ≤ j ≤ κ) indiscernibel über M_{i} ist. Wegen Lokaler Charakter gibt es ein i_{0}, sodaß b_{κ} | ⌣^{0}_{M_{i_{0}}} {b_{j} | i_{0} ≤ j < κ}. Wegen Indiscerni-

bilität folgt, daraus, daß b_{i} | ⌣^{0}_{M_{i_{0}}} {b_{j} | i_{0} ≤ j < i} für alle i. Wir nehmen M_{i_{0}} für M und die Folge b_{i_{0}}, b_{i_{0}+1}, . . ..

Behauptung: Wir können annehmen, daß a | ⌣^{0}_{M} b.

Beweis: Wir ersetzen mit Existenz a durch ein a′ mit tp(a′/Ab) = tp(a/AB) und a′ | ⌣^{0}_{Ab} M und wenden dann Monotonie und Transitivität an.

Wir können jetzt durch sukzessive Anwendung von Unabhängigkeitssatz über Modellen Elemente a = a_{0}, a_{1}, … finden mit a_{i} | ⌣^{0}_{M}{b_{j} | j ≤ i}, q_{i}(x) = tp(a_{i+1}/M{b_{j} | j ≤ i}) = tp(a_{i}/M{b_{j} | j ≤ i}) und tp(a_{i}b_{i}/M) = tp(ab/M).^{7} Es folgt, daß ⋃_{i<ω} q_{i}(x) konsistent ist und alle p(x, b_{i}) enthält, wobei p(x, b) = tp(a/Mb). Es folgt mit 3.2, daß tp(a/Ab) nicht über A teilt.

Es folgt jetzt aus Lokaler Charakter und 4.4, daß T einfach ist. Es bleibt zu zeigen, daß a | ⌣^{0}_{A} b, wenn tp(a/Ab) nicht über A teilt. Wir konstruieren mit Existenz eine sehr lange Folge (b_{i} | i < λ), die | ⌣^{0}_{A}-unabhängig ist und für die tp(b_{i}/A) = tp(b/A). Wegen 1.3 (und Monotonie und 1.2) ergibt sich daraus eine A–indiscernible Folge (b′_{i} | i < κ), die ebenfalls | ⌣^{0}_{A}-unabhängig ist und tp(b′_{i}/A) = tp(b/A) und b = b′_{0} erfüllt. Jetzt wenden wir 3.3 an und bekommen ein a′ mit tp(a′/Ab) = tp(a/Ab), sodaß (b′_{i} | i < κ) indiscernible über Aa′ ist. Lokaler Charakter und Monotonie ergeben die Existenz eines i_{0}, sodaß a′ | ⌣^{0}_{A{b′_{i}|i<i_{0}}} b′_{i_{0}}. Weil b′_{i_{0}} | ⌣^{0}_{A}{b′_{i} | i < i_{0}}, ergeben Symmetrie

und Transitivität, daß a′ | ⌣^{0}_{A} b′_{i_{0}}. Daraus folgt a | ⌣^{0}_{A} b, weil tp(a′b′_{i_{0}}/A) = tp(a′b′_{0}/A) = tp(ab/A).

Folgerung 7.2. Die Theorie des Randomgraphs ist einfach

Beweis. Definiere A | ⌣^{0}_{B} C durch A ∩ C ⊂ B.

7Sei a_{0} …, a_{i} schon konstruiert. Wähle ein a′ mit tp(a′b_{i+1}/M) = tp(ab/M). Wende den Unabhängigkeitssatz über Modellen an auf {b_{j} | j ≤ i} | ⌣^{0}_{M} b_{i+1}, a_{i} | ⌣^{0}_{M} {b_{j} | j ≤ i} und a′ | ⌣^{0}_{M} b_{i+1}, um a_{i+1} zu bekommen.

8 Pseudoendliche Körper

Definition 8.1. Ein Körper K ist pseudo-algebraisch abgeschlossen (PAC), wenn jede über K definierte absolut irreduzible affine Varietät einen K–rationalen Punkt hat.

Definition 8.2. Eine Körpererweiterung L/K heißt regulär, wenn L und K^{alg} über K linear disjunkt sind.

Beachte: Elementare Erweiterungen sind regulär.

L:pac Lemma 8.3. Sei K ein Körper. Dann sind äquivalent

L:pac:pac a) K ist PAC,

L:pac:pol b) Sei f(X_{1}, …, X_{n}) ∈ K[X_{1}, …, X_{n}, T] absolut irreduzibel und vom Grad > 1 in T. Weiter sei g ∈ K[X_{1}, …, X_{n}]. Dann gibt es (a, n) ∈ K^{n} × K mit f(a, b) = 0 und g(a) ≠ 0.

L:pac:ec c) K ist existentiell abgeschlossen in jeder regulären Körpererweiterung.

Beweis. a)→b): Sei ℭ ein großer algebraisch abgeschlossener Körper, der K enthält. Die Nullstellen von f definier eine absolut irreduzible Varietät X ⊂ ℭ^{n} × ℭ über K. Die Menge V = {(a, b, c) | f(a, b) = 0, g(a)c = 1} ist dann ebenso absolut irreduzibel und über K definiert.

b)→c): Sei L/K eine endlich erzeugte reguläre Erweiterung. Reguläre Erweiterungen sind separabel. Nach (10.4) finden wir eine Transzendenzbasis a⃗ von L/K, über der L separabel algebraisch ist. Es gibt also ein b, das separabel algebraisch über K(a⃗) ist, sodaß L = K(a_{1}, …, a_{n}, b). Seien nun c_{1}, …, c_{m} Elemente aus L, die irgenwelche Gleichungen aus über K erfüllen.^{8} Wir suchen c′_{i} ∈ K, die dieselben Gleichungen erfüllen. Schreibe c_{i} = \frac{h_{i}(a⃗,b)}{g(a)} für Polynome h_{i}(x⃗, y) und g(x⃗) über K. Das Verschwindungsideal von (a⃗, b) über K wird von einem f(x⃗, y) erzeugt. f is absolut irreduzibel, weil L/K regulär ist. Es gibt a′, b′ ∈ K mit f(a′, b′) = 0 und g(a′, b′) ≠ 0. Die c′_{i} = \frac{h_{i}(a′,b′)}{g(a′)} erfüllen dann alle Gleichungen, die die c_{i} erfüllen.

c)→a: Sei V abolut irrduzible Varietät über K. Sei (c⃗) ∈ V generischer Punkt in ℭ. Dann ist K(c⃗)/K regulär.

Folgerung 8.4. „PAC“ ist eine elementare Eigenschaft.

Beweis. Absolut irreduzibel zu sein ist eine elementare Eigenschaft der Koeffizienten von K, weil die Theorie der algebraisch abgeschlossen Körper Quantorenelimination hat.

Definition 8.5. Ein perfekter Körper K heißt prozyklisch, wenn K in K^{alg} für jedes n höchstens eine Erweiterung vom Grad n hat. Wenn K für jedes n ≥ 1 genau eine Erweiterung in K^{sep} hat, heißt K 1–frei.

8Weil wir in Körpern arbeiten, brauchen wir keine Ungleichungen.

Man sieht leicht, daß „prozyklisch “ eine elementare Eigenschaft von K ist.

Lemma 8.6. Ein perfekter Körper K ist genau dann prozyklisch, wenn G(K) prozyklisch ist, und 1–frei, wenn G(K) = ℤ̂

Beweis. Das folgt sofort aus Lemma 9.6.

Definition 8.7. Ein prozyklischer PAC–Körper K heißt pseudoendlich.

Bemerkung. “Pseudoendlich” ist eine elementare Eigenschaft. Aus dem Satz von Weil über rationale Punkte in endlichen Körper folgt, daß jedes unendliche Ultraprodukt von endlichen Körpern pseudoendlich ist.

Proposition 8.8. Sei K perfekt und L/K eine Körpererweiterung. Dann sind äquivalent:

a) L/K regulär,

b) K ist relativ algebraisch abgeschlossen in L,

c) Die natürliche Abbildung G(L) → G(K) ist surjektiv.

Beachte: wenn L/K regulär und L perfekt, dann ist auch K perfekt.

F:efrei Folgerung 8.9. Sei L/K regulär, L sei prozyklisch und K 1–frei. Dann ist auch L 1–frei. Sei weiter N/L eine Erweiterung von L, für die N/K regulär ist, dann ist auch N/L regulär.

Beweis. Wenn G(L) prozyklisch ist und π : G(L) → ℤ̂ = G(K) surjektiv, dann ist π ein Isomorphismus. Sei ρ : G(N) → G(L) die natürliche Abbildung. Wenn ρπ surjektiv ist, ist auch ρ surjektiv.

Lemma 8.10. Jeder prozyklische Körper hat eine pseudoendliche reguläre Körpererweiterung.

Beweis. Sei K prozyklisch. Finde eine reguläre Erweiterung L, die eine (unendliche) Galoiserweiterung L′ mit Galoisgruppe ℤ̂ hat. Sei σ ∈ Aut(K^{alg}L′/L) so gewählt, daß es auf K^{alg}/K und L′/L jeweils die Galoisgruppe erzeugt. Setze σ zu σ′ ∈ Aut(L^{alg}/L) fort und betrachte den Fixkörper L′′ von σ′′. L′′/K ist eine 1–freie reguläre Erweiterung von K. Man konstruiert nun leicht, mit einer langen Kette, ein reguläre Erweiterung prozyklische Erweiterung N von L′′, die existentiell abgeschlossen ist in allen regulären prozyklischen Erweiterungen. N ist wieder 1–frei. Um zu zeigen, daß N PAC ist, betrachten wir eine reguläre Erweiterung N′ von N. σ ∈ G(N′) sei ein Urbild eines Erzeugers von G(N) und N′′ Fixkörper von σ in N′^{alg}. Dann ist N′′ reguläre prozyklische Erweiterung von N. Weil nach Konstruktion N existentiell abgeschlossen in N′′ ist, ist N auch existentiell abgeschlossen in N′.

L:amalg Lemma 8.11. Pseudoendliche Körper haben die Amalgamierungseigenschaft in bezug auf reguläre Einbettungen: Wenn L_{1}/K und L_{2}/K reguläre prozyklische Erweiterungen von K sind, gibt es einen gemeinsamen prozyklischen Oberkörper H, der L_{1} und L_{2} regulär erweitert. Wir finden H sogar so, daß L_{1} und L_{2} über K linear disjunkt sind.

Beweis. Sei K prozyklisch und L_{1} und L_{2} zwei reguläre prozyklische Erweiterungen. Wir können annehmen, daß die L_{i} in einem gemeinsamen Oberkörper über K algebraisch unabhängig sind. Sei σ ein Erzeugendes von G(K). Lifte σ zu Erzeugenden σ_{i} von G(L_{i}), das geht in prozyklischen Gruppen immer. Wegen der algebraischen Unabhängigkeit sind L_{1} und L_{2} linear disjunkt (10.5). Also^{9} erzeugen die σ_{i} einen Automorphismus von L_{1}^{alg}L_{2}^{alg}, den wir zu einem Automorphismus τ von (L_{1}L_{2})^{alg} fortsetzen. Der Fixköper von τ ist prozyklisch und reguläre Erweiterung von L_{1} und L_{2}.

P:pe-einbettung Proposition 8.12. L_{1} und L_{2} seien prozyklische Erweiterungen von K und L_{2} pseudoendlich. Dann ist L_{1} über K regulär einbettbar in eine elementare Erweiterung von L_{2}.

Beweis. Sei N eine (o.E.) gemeinsame reguläre prozyklische Erweiterung der L_{i}. Als reguläre prozyklische Erweiterung von L_{2} ist N 1–frei (nach 8.9). Weil L_{2} exististentiell abgschlossen in N ist, ist N über L_{2} in eine elementare Erweiterung L′_{2} von L_{2} einbettbar. Sei N′ das Bild dieser Einbettung. Aus 8.9 folgt, daß L′_{2}/N′ regulär ist.

S:el_aeq Satz 8.13. L_{1} und L_{2} seien reguläre pseudoendliche Erweiterungen von K. Dann sind L_{1} und L_{2} über K elementar äquivalent.

Beweis. 8.12 liefert eine abwechselnd elementare Kette, deren Vereinigung eine elementare Erweiterung von L_{1} und von L_{2} ist.

Folgerung 8.14. Sei L pseudoendlich und Abs(L) der relative algebraische Abschluß der Primkörpers in L, der Absolutteil von L. Dann ist die elementare Theorie von L bestimmt durch den Isomorphietyp von Abs(L). Ein über seinem Primkörper algebraischer Körper K ist genau dann Absolutteil eines pseudoendlich Körpers, wenn K prozyklisch ist (das ist in endlicher Charakteristik immer der Fall).

Wir fixieren für das folgende eine vollständige Theorie eines pseudoendlichen Körpers und arbeiten im Monstermodell.

Folgerung 8.15. Sei K ein Unterköper von ℭ, a und b zwei Tupel von Elementen von ℭ. Dann haben (in ℭ) a und b genau dann den gleichen Typ über K, wenn die relativen algebraischen Abschlüsse von K(a) und K(b) über K isomorph sind, vermöge eines Isomorphismus, der a in b überführt.

9Denn L_{1}^{alg}L_{2}^{alg} ist der Quotientenköper des Tensorprodukts von L_{1}^{alg} und L_{2}^{alg} über K^{alg}.

Beweis. Sei A und B die relativen algebraischen Abschlüsse. Wenn a und b den gleichen Typ über K haben, sind A und B wie angegeben isomorph, wegen 10.6. Wenn umgekehrt A und B über K isomorph sind, folgt die Behauptung unmittelbar aus 8.13.

Satz 8.16. Die algebraische Unabhängigkeit in einem pseudoendlichen Körper hat alle in 7.1 aufgeführten Eigenschaften.

Beweis. Wir arbeiten im Monstermodell ℭ einer vollständigen Theorie von pseudoendlichen Körpern. Alle Eigenschaften sind klar, bis auf (Existenz) und (Unabhängigkeitssatz über Modellen). Zur Existenz: Sei K ein Unterkörper von ℭ und L und H zwei Erweiterungen von K. Wir können annehmen, daß alle drei Körper in ℭ relativ algebraisch abgeschlossen sind. Es gibt nun nach 8.11, zunächst außerhalb von ℭ eine prozyklische Erweiterung C von H, die eine von H über K unabhängige Kopie L′ von L/K enthält, sodaß C/L′ regulär ist. Nach 8.12 ist C über H regulär in ℭ einbettbar. Sei L′′ das Bild von L′ in ℭ. Dann sind L′′ und H über K unabhängig und L′′ und L haben über K denselben Typ.

Nun zum Unabhängigkeitssatz. Sei M ein Modell, K und L seien zwei über M unabhangige Körperweiterungen. Weiter seien zwei Erweiterungen K′ und L′ gegeben, sodaß sowohl K und K′ als auch L und L′ über M unabhängig sind. Außerdem sollen K′ und L′ denselben Typ über M haben.

Wir können annehmen, daß alle fünf betrachteten Körper in ℭ relativ algebraisch abgeschlossen sind. Wir fügen nun, außerhalb von ℭ, den drei Körpern M, K und L eine Körpererweiterung H/M hinzu, die von KL über M unabhängig ist und isomorph zu K′/M und L′/M ist. Dann sind jeweils KK′ und KH, und LL′ und LH über M isomorph (alle Isomorphismen sind kompatibel).

Sei σ Erzeugendes von G(M). Wegen 8.9 setzt sich eindeutig auf G(K), G(L) und G(H) fort. Sei σ̄ die Fortsetzung von σ auf G(ℭ). Die Einschränkungen von σ̄ liefern Automorphismen κ ∈ G(KL), λ ∈ G(KH) und μ ∈ G(LH). Diese Automorphismen stimmen auf K^{alg}, L^{alg} und H^{alg} überein. Weil (KH)^{alg} und (LH)^{alg} über H^{alg} unabhängig sind, fügen sich λ und μ zu einem Automorphismus κ′ von (KH)^{alg}(LH)^{alg} zusammen. κ′ stimmt auf K^{alg}L^{alg} mit κ überein. Aus 10.7 folgt, daß sich κ′ und κ zu einem Automorphismus von (KH)^{alg}(LH)^{alg}(KL)^{alg} zusammenfügen. Wir setzen diesen Automorphismus zu einem Automorphismus τ von (KLH)^{alg} fort. Sei C der Fixkörper von K. C ist prozyklisch. Die relativen algebraischen Abschlüsse von KL, KH und LH in C sind isomorph zu den relativ algebraischen Abschlüssen von KL, KK′ und LL′ in ℭ. Wir betten C über KL in ℭ ein. Dann hat das Bild von H die im Unabhängigkeitssatz geforderten Eigenschaften.

Folgerung 8.17. Pseudoendlichen Körper sind einfach. Die Forkingunabhängigkeit stimmt mit der algebraischen Unabhängigkeit überein.

9 Anhang: Profinite Gruppen

Definition 9.1. Eine profinite Gruppe ist eine topologische Gruppe mit einer Umgebungsbasis der 1 aus Untergruppen.

Lemma 9.2. Profinite Gruppen lassen sich darstellen als

• Permutationsgruppen, für die alle Orbits endlich sind, mit der Topologie der endlichen Konvergenz.

• inverse Limites von endlichen Gruppen.

Definition 9.3. Eine profinite Gruppe heißt prozyklisch, wenn alle endlichen (stetigen) Quotienten zyklisch sind.

Lemma 9.4. Sei G eine profinite Gruppe. Dann sind äquivalent:

a) G ist inverser Limes von zyklischen Gruppen.

b) G wird (topologisch) von einem Element erzeugt.

Definition 9.5. ℤ̂ ist der inverse Limes aller \frac{ℤ}{nℤ}, (n ≠ 0).

L:G_prozyklisch Lemma 9.6. Eine proendliche Gruppe G ist genau dann prozyklisch, wenn sie für jedes n > 0 höchstens einen Quotiente der Ordung n hat. G ist genau isomorph zu ℤ̂, wenn G für jedes n > 0 genau eine Quotienten der Ordnung n hat.

Beweis. Wir zeigen, daß eine endliche G Gruppe genau dann zyklisch ist, wenn sie für jedes m höchsten eine Untergruppe der Ordnung m hat: Weil konjugierte Untergruppen die gleiche Mächtigkeit haben, sind alle Untergruppen normal. Als sind die Sylowgruppen normal und G ist das direkte Produkt seiner Sylowgruppen. Wir können also annehmen, daß G eine p–Gruppe ist. Sei H eine maximale zyklische Untergruppe von G. Wenn H ungleich G ist, gibt es ein a ∈ G mit pa ∈ H. Wenn pa = ph für ein h ∈ H, hätten die Gruppen ⟨h⟩ und ⟨a⟩ dieselbe Ordnung, was nicht geht. Also ist pa ein Erzeugendes von H und es folgt, daß H ⊂ ⟨a⟩. Widerspruch.

Lemma 9.7. Sei G → H ein Homorphismus prozyklischer Gruppen. Dann läßt sich jedes Erzeugende von H zu einem Erzeugenden von G liften.

Beweis. Wir beweisen das für endliche G und H: G und H schreiben sich eindeutig als direkte Summen von p–Gruppen. Wir können also annehmen, daß G und H p–Gruppen sind. Wenn H = 0, wählen wir als Urbild irgendeinen Erzeuger. Wenn H ≠ 0, ist jedes Urbild eines Erzeugers von H auch ein Erzeuger von G.

10 Anhang: Körpertheorie

Lemma 10.1. Sei K ein Körper. Es gibt eine Bijektion zwischen Isomorphietypen von n-erzeugten Körpererweiterungen^{10} L = K(a_{1}, …, a_{n}) und Primidealen P in K[X_{1}, …, X_{n}].

Ein Ideal P heißt absolut prim, wenn P in K^{alg}[X_{1}, …, X_{n}] ein Primideal erzeugt.

Lemma 10.2. Im letzte Lemma entsprechen reguläre Körperwereiterungen absoluten Primidealen.

Definition 10.3. Separable Körpererweiterungen

L:sep_basis Lemma 10.4. L = K(a_{1}, …, a_{n}) ist genau dann separabel über K, wenn man aus den a_{i} eine Tranzendenzbasis a⃗ von L/K auswählen kann, sodaß L separabel algebraisch über K(a⃗) ist.

L:unab_disjunkt Lemma 10.5. Wenn L/K separabel und H/K algebraisch unabhängig von L/K über K, sind L und H über K linear disjunkt.

Beweis. Sei l_{i} aus L, h_{i} ∈ H und ∑_{i<n} l_{i}h_{i} = 0. Weil L und H über K^{alg} unabhängig sind, ist tp(L/K^{alg}H) Erbe von tp(L/K^{alg}). Es folgt, daß es h′_{i} ∈ K^{alg} gibt mit ∑_{i<n} l_{i}h′_{i} = 0. Weil L/K regulär, gibt es h′′_{i} ∈ K gibt mit ∑_{i<n} l_{i}h′′_{i} = 0.

L:isomorphe_koerper Lemma 10.6. Zwei algebraische Körpererweiterung von K sind genau dann über K isomorph, wenn in beiden Erweiterungen die gleichen f ∈ K[X] eine Nullstelle haben.

Beweis. Seien L_{1} und L_{2} zwei algebraische Erweiterungen von K, die die Bedingung erfüllen. Zunächst ist klar, daß die relativen perfekten Abschlüsse H_{i} von K in den L_{i} isomorph sind. Wir können annehmen, daß H_{1} = H_{2} = H. Dann haben wieder die gleichen Polynome über H Nullstellen in L_{1} und L_{2}. Jetzt ist aber jede : Beweis stimmt nicht.

L:H-C Lemma 10.7 (Hrushovski-Chatzidakis). K, L, H seien algebraisch abgeschlossene Körperweiterungen des algebraisch abgeschlossenen Körpers M. H sei über M unabhängig von KL. Dann ist

((KH)^{alg}(LH)^{alg}) ∩ (KL)^{alg} = KL.

Beweis. Wir arbeiten in einem großen algebraisch abgeschlossenen Körper. Sei c ein Element der rechten Seite. Dann gibt gibt es Tupel a ∈ (KH)^{alg} und b ∈^{alg} (LH) mit c ∈ dcl(a, b). Das sei bezeugt durch ⊧ ϕ(a, b, c). Dann gibt es Tupel a′ ∈ K und h_{1} ∈ H, sodaß a algebraisch ist über a′h_{1}. Das sei bezeugt durch ⊧ ϕ_{1}(a, a′, h_{1}). Für b finden wir analog ⊧ ϕ_{2}(b, b′, h_{2}). Wegen der Unabhängigkeit und der Erbeneigenschaft gibt es h′_{i} ∈ M mit

10Das ist nichts anderes als S_{n}(K) in der Theorie des algebraischen Abschlusses von K.

⊧ ∃x, yϕ(a, x, y) ∧ ϕ_{1}(x, a′, h′_{1}) ∧ ϕ_{2}(y, b′, h′_{2}).

Daraus folgt c ∈ KL.

Index

Abs(L), 17 A | ⌣_{C} B, 9 A-invariante Relation, 3 E_{A}^{L}, 3 EM(I/A), 2 k–inkonsistent Familie, 5 Lstp(a/A), 3 nc_{A}, 3

Absolutteil eines pseudoendlich Körpers,

17 Antikette, 3

beschränkte Relation, 2

Charakterisierungssatz, 13

dicke Relation, 2

Ehrenfeucht-Mostowski-Typ, 2 einfache Theorie, 7

forkende Formelmenge, 6 Formel

dicke, 2 teilende, 5

Formelmenge teilende, 5

invariante Relation, 3

Lascar-starker Typ, 3

Morleyfolge, 9 in p, 9

Relation A–invariante, 3 beschränkte, 2 dicke, 2

Shelahs Lemma über Indiscernibels, 2 Standardlemma über Indiscernibels, 2

teilende Formel, 5 Formelmenge, 5

Teilungsfolge, 7

unabhängige Folge, 9 Unabhängigkeit, 9 Unabhängigkeitssatz, 12