Einführung in die Funktionentheorie^{1}

Martin Ziegler

Freiburg, WS 1994/95, WS 2000/01, SS 2006

Literatur

[1] Klaus Jänich. Funktionentheorie. Springer Verlag, 1993.

[2] H.Behnke und F.Sommer. Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen. Heidelberger Taschenbücher. Springer Verlag; Berlin, Göttingen, Heidelberg, 1962.

Inhaltsverzeichnis

1 Holomorphe Funktionen 2 1.1 Der Körper der komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Komplex differenzierbare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 Die Cauchy–Riemannschen Differentialgleichungen . . . . . . . . 5

2 Der Cauchysche Integralsatz 6 2.1 Der Satz von Goursat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2 Der Cauchysche Integralsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.3 Der Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 Erste Folgerungen aus dem Cauchyschen Integralsatz 12 3.1 Die Cauchyformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.2 Der Potenzreihenentwicklungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.3 Der Riemannsche Hebbarkeitssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.4 Topologische Eigenschaften holomorpher Funktionen . . . . . . . 16 4 Isolierte Singularitäten 18

1 funktion.total.tex,v 1.11, 26. Juli 2006, (Ausdruck 26. Juli 2006)

4.1 Pole und wesentliche Singularitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4.2 Meromorphe Funktionen und die Riemannsche Zahlkugel …. 19

5 Der Residuensatz 21 5.1 Laurentreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 5.2 Der Residuensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 5.3 Der Residuenkalkül . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 5.4 Die Umlaufszahlversion des Residuensatzes . . . . . . . . . . . . 27 5.5 Das Null– und Polstellen zählende Integral . . . . . . . . . . . . . 31

6 Folgen holomorpher Funktionen 32 6.1 Stetige Funktionen auf topologischen Räumen . . . . . . . . . . . 32 6.2 Holomorphe Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

7 Der Satz von Mittag-Leffler und der Weierstraßsche Produktsatz 34 7.1 Der Satz von Mittag-Leffler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 7.2 Der Weierstraßsche Produktsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

8 Der Riemannsche Abbildungssatz 39 8.1 Exkurs 1: Möbiustransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 8.2 Exkurs 2: Riemannsche Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

9 Doppelt–periodische Funktionen 50 9.1 Divisoren doppelt–periodischer Funktionen . . . . . . . . . . . . 51 9.2 Funktionen mit vorgeschriebenen Null– und Polstellen . . . . . . 53 9.3 Der Körper der doppelt–periodischen meromorphen Funktionen . 56 9.4 Die zugeordnete algebraische Kurve . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

1 Holomorphe Funktionen

1.1 Der Körper der komplexen Zahlen

Satz 1.1 Die euklidische Ebene ℝ^{2} wird mit der (Vektor-) Addition (a, b) + (x, y) = (a + x, b + y) und der Multiplikation

(a, b)(x, y) = (ax − by, ay + bx)

zu einem Körper, dem Körper ℂ der komplexen Zahlen. □

Wenn man reelle Zahlen a ∈ ℝ mit (a, 0) ∈ ℝ^{2} identifiziert, erhält man ℝ als Unterkörper von ℂ. Mit i = (0, 1) läßt sich dann jede komplexe Zahl eindeutig in der Form

z = a + b i (a, b ∈ ℝ)

schreiben. Man nennt a den Realteil Re(z) und b den Imaginärteil Im(z) von z.

Um sich das Multiplikationsgesetz zu merken, genügt es zu wissen, daß i^{2} = −1. Weil − i die gleiche Eigenschaft hat, ist die Konjugation : ℂ → ℂ, definiert durch

\overline{a + b i} = a − b i,

ein Automorphismus von ℂ. Man erhält das Quadrat der Länge |z| von z als

|z|^{2} = a^{2} + b^{2} = z \overline{z}.

Es folgt, daß der Betrag |z| multiplikativ ist:

|wz| = |w||z|.

Eine komplexe Zahl z ist bestimmt durch ihren Betrag r = |z| und den Winkel 0 ≤ ϕ < 2π, den sie mit reellen Achse bildet:

z = r cos(ϕ) + r sin(ϕ) i.

Man nennt ϕ das Argument^{2} arg(z) von z. Aus dem Additionstheorem für Sinus und Cosinus folgt

arg(wz) ≡ arg(w) + arg(z) (mod 2π).

Multiplikation mit z

μ_{z}(w) = wz

ist also eine Drehstreckung ℂ → ℂ. Als ℝ–lineare Abbildung ℝ^{2} → ℝ^{2} hat μ_{z} die Matrix

r ( \begin{matrix}cos(ϕ) & − sin(ϕ) \\ sin(ϕ) & cos(ϕ) \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}a & −b \\ b & a \end{matrix} ) .

1.2 Komplex differenzierbare Funktionen

Sei U eine offene Teilmenge von ℂ und f : U → ℂ eine Funktion.

Definition f heißt komplex differenzierbar bei z_{0} ∈ U, wenn der Grenzwert

lim_{z→z_{0}} \frac{f(z) − f(z_{0})}{z − z_{0}} =: f′(z_{0})

existiert. Wenn f überall in U komplex differenzierbar ist, heißt f holomorph.

2arg(0) ist undefiniert

Beispiel: f(z) = z^{n} ist auf ganz ℂ holomorph mit f′(z) = n z^{n−1}.

Lemma 1.2 Wenn f und g holomorph sind, sind auch f + g, fg, f/g und f ∘ g auf ihren jeweiligen Definitionsbereichen holomorph. Es gilt

(f + g)′ = f′ + g′
(fg)′ = f′g + fg′
(\frac{f}{g} )′ = \frac{f′g − fg′}{g^{2}}
(f ∘ g)′(z) = f′(g(z))g′(z)
□

Es folgt, daß alle rationalen Funktionen holomorph sind.

1.3 Potenzreihen

Für den Konvergenzradius

ρ = \frac{1}{lim sup ^{n} \sqrt{|a_{n}|}}

der Potenzreihe ∑_{n=0}^{∞} a_{n}z^{n} und ihren Konvergenzkreis {z | |z| < ρ} gilt wie im Reellen

Lemma 1.3 Die Reihe divergiert für alle z mit größerem Betrag als ρ und konvergiert für alle z im Konvergenzkreis. Auf jedem kleineren Kreis {z | |z| ≤ ρ′} (ρ′ < ρ) konvergiert die Reihe gleichmäßig. □

Innerhalb des Konvergenzkreises konvergiert ∑_{n=0}^{∞} a_{n}z^{n} also gegen eine stetige Funktion f(z).

Satz 1.4 f(z) ist (im Konvergenzkreis) holomorph. Es ist

f′(z) = ∑_{n=1}^{∞} na_{n}z^{n−1}

Die Potenzreihe für f′(z) hat den gleichen Konvergenzradius wie die Potenzreihe für f(z). □

Es folgt

a_{n} = \frac{f^{(n)}(0)}{n!}.

Die Potenzreihe ist also durch f eindeutig bestimmt.

Wir haben hier Potenzreihen bei 0 betrachtet. Der gleiche Satz gilt natürlich für Potenzreihen bei z_{0},

∑_{n=0}^{∞} a_{n}(z − z_{0})^{n},

mit Konvergenzkreis

{z | |z − z_{0}| < ρ}.

Der Konvergenzradius der Potenzreihe ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{n!}z^{n} ist unendlich. Also ist die Exponentialfunktion

exp(z) := ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{n!}z^{n}

auf ganz ℂ definiert und holomorph. Holomorphe Funktionen, die auf ℂ definiert sind, heißen ganze Funktionen. Die ganzen Funktionen sin und cos sind definiert durch

sin(z) := ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n} \frac{z^{2n+1}}{(2n + 1)!}

cos(z) := ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n} \frac{z^{2n}}{(2n)!}.

Statt exp(z) schreibt man auch e^{z}. Man sieht leicht, daß e^{w+z} = e^{w}e^{z} und e^{z i} = cos(z) + sin(z) i. Es folgt, daß für reelle Zahlen x, y

e^{x+y i} = e^{x}(cos(y) + sin(y) i).

1.4 Die Cauchy–Riemannschen Differentialgleichungen

Eine Funktion

f : ℝ^{2} → ℝ^{2}

ist differenzierbar bei z_{0}, wenn es eine lineare Abbildung Df(z_{0}) : ℝ^{2} → ℝ^{2} gibt, so daß sich f(z) der affinen Abbildung

f(z_{0}) + Df(z_{0})(z − z_{0})

in der Nähe von z_{0} anschmiegt. Das heißt, daß

lim_{z→z_{0}} \frac{f(z) − f(z_{0}) − Df(z_{0})(z − z_{0})}{|z − z_{0}|} = 0.

Als Funktion f : ℂ → ℂ aufgefaßt ist f also genau dann komplex differenzierbar, wenn Df(z_{0}) komplex linear, also die Multiplikation mit einer komplexen Zahl, nämlich mit f′(z_{0}), ist.

Sei u : ℝ^{2} → ℝ der Realteil und v : ℝ^{2} → ℝ der Imaginärteil von f, so daß also

f(x + y i) = u(x, y) + v(x, y) i.

Dann gilt Satz 1.5 (Cauchy–Riemann Differentialgleichungen) f ist genau dann bei z_{0} = x_{0} + y_{0} i komplex differenzierbar, wenn f differenzierbar ist und bei (x_{0}, y_{0}) die Gleichungen

\begin{aligned}u_{x} & = & v_{y} \\ v_{x} & = & −u_{y} \end{aligned}

gelten. Es ist dann f′(z_{0}) = u_{x}(x_{0}, y_{0}) + v_{x}(x_{0}, y_{0}) i. □

Faßt man f als komplexwertige, auf U ⊂ ℝ^{2} definierte Funktion auf, ist f_{x} = u_{x} + v_{x} i, f_{y} = u_{y} + v_{y} i und die Cauchy–Riemannschen Differentialgleichungen haben die Form

f_{y} = if_{x}.

Es ist dann (natürlich) f′ = f_{x}.

Wir werden später sehen, daß holomorphe Funktionen beliebig oft differenzierbar sind. Realteil und Imaginärteil einer holomorphe Funktion sind also harmonische Funktionen. Das heißt, es gelten die Gleichungen

u_{xx} + u_{yy} = 0
v_{xx} + v_{yy} = 0.

Gibt man sich eine harmonische Funktion u : ℝ^{2} → ℝ vor, ist das Vektorfeld (−u_{y}, u_{x}) rotationsfrei. Es gibt also eine bis auf eine Konstante eindeutig bestimmte Funktion v mit (v_{x}, v_{y}) = (−u_{y}, u_{x}), das heißt eine holomorphe Funktion mit Realteil u.

2 Der Cauchysche Integralsatz

2.1 Der Satz von Goursat

Eine holomorphe Funktion F heißt Stammfunktion von f, wenn F′ = f. Wenn F existiert, und der Definitionsbereich von f zusammenhängend ist, ist F bis auf eine additive Konstante eindeutig bestimmt.

Satz 2.1 Eine holomorphe Funktion hat lokale Stammfunktionen.

Beweis: Sei z_{0} = x_{0} + y_{0} i ein beliebiges Element des Definitionsbereichs U von f und U_{0} eine kreisförmige Umgebung von z_{0}, die ganz zu U gehört. Wir machen für x + y i ∈ U_{0} den Ansatz

F (x + y i) = ∫_{x_{0}}^{x} f(s, y_{0}) ds + ∫_{y_{0}}^{y} if(x, t) dt,

wobei wir f als Funktion von ℝ^{2} → ℂ auffassen^{3}. Man rechnet sofort nach, daß F_{y} = if. Wenn nun f stetig differenzierbar ist, kann man die partielle Ableitung mit dem Integral vertauschen und man erhält tatsächlich (mit Hilfe der Cauchy–Riemann Gleichung)

3Also f(x, y) = f(x + y i)

F_{x} = f(x, y_{0}) + \frac{∂ (∫_{y_{0}}^{y} if(x, t) dt)}{∂x}
= f(x, y_{0}) + ∫_{y_{0}}^{y} if_{x}(x, t) dt
= f(x, y_{0}) + ∫_{y_{0}}^{y} f_{y}(x, t) dt
= f(x, y).

F ist differenzierbar, weil die beiden partiellen Ableitungen von F stetig sind. F ist holomorph, weil F_{y} = iF_{x}. Es ist F′ = f, weil F_{x} = f. Wir sind also fertig, wenn f stetig differenzierbar ist. (Später werden wir sehen, daß holomorphe Funktion unendlich oft differenzierbar sind.)

Ohne die Voraussetzung der stetigen Differenzierbarkeit von f wenden wir das unten stehende Lemma 2.2 von Goursat an, um zu sehen, daß

F (x + y i) = ∫_{x_{0}}^{x} f(s, y) ds + ∫_{y_{0}}^{y} if(x_{0}, t) dt,

wie es ja auch sein müßte. Daraus folgt dann sofort F_{x} = f. □

Die betrachten Integrale sind Spezialfälle des komplexen Kurvenintegrals.

Definition Sei f : U → ℂ stetig und γ : [a, b] → U eine stetig differenzierbare Kurve. Dann ist das Kurvenintegral

∫_{γ} f(z) dz := ∫_{a}^{b} f(γ(t)) γ′(t) dt.

Beispiel: Sei z = x_{0} + y_{0} i. Dann ist für die Kurven γ_{1} : [x_{0}, x] → U, und γ_{2} : [y_{0}, y] → U, definiert durch γ_{1}(s) = s + y_{0} i und γ_{2}(t) = x + t i

∫_{γ_{1}} f(z) dz = ∫_{x_{0}}^{x} f(s, y_{0}) ds

∫_{γ_{2}} f(z) dz = ∫_{y_{0}}^{y} if(x, t) dt .

Diese Definition erweitert sich auf natürliche Weise auf stetige Kurven, die nur stückweise stetig differenzierbar sind: Wenn sich γ aus den stetig differenzierbaren Kurven γ_{1}, …, γ_{n} zusammensetzt, ist

∫_{γ} f(z) dz := ∫_{γ_{1}} f(z) dz + … + ∫_{γ_{n}} f(z) dz.

Man verifiziert leicht die folgenden Eigenschaften des Integrals:

• ∫_{γ} f(z) dz hängt nicht von der Wahl der Parametrisierung von γ ab. Wenn

man die Kurve rückwärts durchläuft, kehrt sich das Vorzeichen des Integrals um.

• Wenn f eine Stammfunktion F hat und γ die Punkte z_{1} und z_{2} verbindet,

ist ∫_{γ} f(z) dz = F (z_{2}) − F (z_{1}).

• Wenn l := ∫_{a}^{b} |γ′(t)| dt die Länge von γ ist, und |f(z)| entlang γ durch M beschränkt ist, ist

|∫_{γ} f(z) dz| ≤ l · M.

Lemma 2.2 (Goursat) Sei f : U → ℂ holomorph und γ die Randkurve eines in U liegenden Rechtecks.

[figure: γ]

Dann ist ∫_{γ} f(z) dz = 0.

Beweis: Wir nennen das von γ umschriebene Rechteck R_{0}. Wenn wir R_{0} durch Seitenhalbierung in vier gleich große Rechtecke mit Randkurven γ_{1}, …, γ_{4} unterteilen, ist I_{0} := ∫_{γ_{0}} f(z) dz = ∫_{γ_{1}} f(z) dz + … + ∫_{γ_{n}} f(z) dz. Also gilt für das

Integral I_{1} über eine dieser Kurven

|I_{1}| ≥ 4^{−1}|I_{0}|.

R_{1} sei das von dieser Kurve umschriebene Rechteck.

Wir setzen dieses Verfahren mit R_{1} fort und erhalten so eine absteigende Folge R_{0}, R_{1}, … von Rechtecken mit

|I_{n}| ≥ 4^{−n}|I_{0}|,

wobei I_{n} das Integral von f über die Randkurve von R_{n} ist. Für die Umfänge und Durchmesser gilt U_{n} = 2^{−n}U_{0} und D_{n} = 2^{−n}D_{0}.

z_{0} sei der Punkt, der in allen R_{n} enthalten ist. Wir schreiben

f(z) = f(z_{0}) + f′(z_{0})(z − z_{0}) + ϕ(z)(z − z_{0})

für eine stetige Funktion mit ϕ(z_{0}) = 0. Weil die ersten beiden Summanden eine Stammfunktion haben, ist I_{n} das Integral von ϕ(z)(z − z_{0}) über den Rand von R_{n}. Wenn |ϕ(z)| auf R_{n} durch M beschränkt ist, hat man die Abschätzung

|I_{n}| ≤ M · D_{n} · U_{n} = 4^{−n}M · D_{0} · U_{0}.

Es folgt also

|I_{0}| ≤ M · D_{0} · U_{0}.

Weil wir M für große n beliebig klein wählen können, ist I_{0} = 0. □

2.2 Der Cauchysche Integralsatz

Satz 2.1 erlaubt es uns das Kurvenintegral ∫_{γ} f dz einer holomorphen Funktion

f : U → ℂ entlang einer beliebigen stetigen Kurve γ : [a, b] → U zu definieren. Wir zerteilen [a, b] in kleine Teilintervalle a = a_{0} < a_{1} < … < a_{n} = b, so daß γ([a_{i}, a_{i+1}]) in einer offenen Teilmenge U_{i} liegt, in der f eine Stammfunktion F_{i} hat. Wir setzen dann

∫_{γ} f dz = ∑_{i<n} (F_{i}(γ(a_{i+1})) − F_{i}(γ(a_{i}))) .

Diese Definition hängt nicht von der Wahl der U_{i} und der F_{i} ab, weil Stammfunktionen auf zusammenhängenden offenen Mengen bis auf eine additive Konstante eindeutig bestimmt sind^{4} Die Definition hängt auch nicht von der Wahl der Unterteilung ab. Denn wenn man die Unterteilung zum Beispiel dadurch verfeinert, daß man das Intervall [a_{i}, a_{i+1}] durch a_{i} < c < a_{i+1} zerteilt, wählt man U_{i} als offene zusammenhängende Umgebung von γ([a_{i}, c]) und γ([c, a_{i+1}]) und hat dann

F_{i}(γ(a_{i+1})) − F_{i}(γ(a_{i})) = (F_{i}(γ(a_{i+1})) − F_{i}(γ(c))) + (F_{i}(γ(c)) − F_{i}(γ(a_{i}))) .

Für stückweise stetig differenzierbare Kurven stimmt die neue Definition mit der alten überein.

Zwei Kurven γ : [a, b] → U und γ′ : [a, b] → U mit gleichem Anfangs- und gleichem Endpunkt heißen homotop, wenn es eine stetige Familie u_{s} : [a, b] → U (s ∈ [0, 1]) von Kurven mit gleichem Anfangs- und Endpunkt gibt, so daß u_{0} = γ und u_{1} = γ′. ((u_{s}) ist eine stetige Familie, wenn u_{s}(t) stetige Funktion der zwei Variablen s und t ist.)

Satz 2.3 Wenn f : U → ℂ holomorph ist und γ und γ′ zwei (in U) homotope Kurven sind, ist ∫_{γ} f dz = ∫_{γ′} f dz

Definition Eine geschlossene Kurve, die in U zu einer konstanten Kurve homotop ist, heißt in U zusammenziehbar.

Folgerung 2.4 (Cauchyscher Integralsatz) Wenn γ eine geschlossene, (in U) zusammenziehbare Kurve ist, ist ∫_{γ} f dz = 0.

4Seien F_{i} und F′_{i} Stammfunktionen von f auf offenen Umgebung U_{i} und U′_{i} von γ([a_{i}, a_{i+1}]). In U_{i} ∩ U′_{i} gibt es eine zusammenhängende Umgebung U′′_{i} von γ([a_{i}, a_{i+1}]).

Auf U′′_{i} unterscheiden sich F_{i} und F′_{i} nur durch eine additive Konstante.

Beweis von Satz 2.3: Sei u : [a, b] × [0, 1] → U definiert durch u(t, s) = u_{s}(t). Das Integral von f(u(t, s)) über die Randkurve des Rechtecks R = [a, b] × [0, 1] ist die Differenz der beiden Integrale ∫_{γ} f dz und ∫_{γ′} f dz. Wenn man R in kleine Rechtecke

R_{1}, …, R_{n} einteilt, ist die Summe der Integrale über die Randkurven der R_{i} gleich dem Integral über den Rand von R. Wenn die R_{i} klein genug sind, sind die f(u(∂R_{i})) in offenen Mengen enthalten, auf denen f eine Stammfunktion hat. Die Integrale über die ∂R_{i} sind dann 0. □

Wenn γ nicht zusammenziehbar ist, kann das Integral ungleich 0 sein. Zum Beispiel ist für eine positiv durchlaufene Kreislinie γ um 0,^{5}

∫_{γ} \frac{1}{z} dz = 2π i.

Definition Ein wegweise–zusammenhängender topologischer Raum^{6} X ist einfach zusammenhängend, wenn sich jede geschlossene Kurve γ : [0, 1] → X zu einem Punkt zusammenziehen läßt.

Satz 2.5 Eine holomorphe Funktion mit einfach zusammenhängendem Definitionsbereich hat eine Stammfunktion.

Beweis: Sei f : U → ℂ holomorph. Fixiere ein z_{0} ∈ U und setze F (z) = ∫_{γ} f(z) dz für eine beliebige Kurve von z_{0} nach z. □

2.3 Der Logarithmus

Die Exponentialfunktion bildet ℂ auf die punktierte Ebene ℂ^{•} := ℂ \ {0} ab. Zwei komplexe Zahlen werden auf das gleiche Element abgebildet, wenn sie sich um ein ganzzahliges Vielfaches von 2π i unterscheiden. Die Exponentialfunktion ist also lokal injektiv.

Definition Sei γ : [a, b] → ℂ^{•} eine Kurve in ℂ^{•}. Eine Kurve λ : [a, b] → ℂ heißt Logarithmus von γ, wenn exp(λ(t)) = γ(t) für alle t ∈ [a, b].

Weil exp eine unverzweigte Überlagerung der punktierten Ebene ist, hat jede Kurve in ℂ^{•} einen Logarithmus:

Satz 2.6 Jede Kurve γ in ℂ^{•} hat einen Logarithmus λ. λ ist eindeutig bestimmt, wenn man den Anfangspunkt λ(a), der irgendeine Zahl z mit exp(z) = γ(a) sein kann, vorgibt.

5Zum Beispiel γ(t) = e^{t i}, (t ∈ [ 0, 2π])

6Ein topologischer Raum ist wegweise–zusammenhängend, wenn sich je zwei Punkte durch eine Kurve verbinden lassen. Wegweise–zusammenhängende Räume sind zusammenhängend, das heißt, daß nur die leere Menge und der ganze Raum offen und abgeschlossen sind

Beweis: Auf der linksgeschlitzten komplexen Ebene U = ℂ \ ℝ_{≤0} hat exp eine stetige Umkehrfunktion, den Hauptzweig log des Logarithmus. Es ist log(z) = w, wenn e^{z} = w und −π < Im(z) < π. Wenn γ ganz in U verläuft, ist λ = log ∘γ ein Logarithmus von γ. Alle anderen Logarithmen von γ bekommt man durch Addieren eines ganzzahligen Vielfaches von 2π i. Wenn γ in der rechtsgeschlitzten Ebene U′ = ℂ \ ℝ_{≥0} liegt, verwendet man entsprechend log^{∗}, wobei log^{∗}(w) = z, wenn e^{z} = w und 0 < Im(z) < 2π. Für beliebiges γ teilt man [a, b] in Intervalle a = a_{0} < a_{1} < … < a_{n} = b, so daß alle Kurven γ ↾ [a_{i}, a_{i+1}] ganz in U oder U′ liegen. Dann setzen wir λ aus den Logarithmen dieser Kurven zusammen. □

Definition Die Umlaufszahl einer geschlossenen Kurve γ : [a, b] → ℂ^{•} in der punktierten Ebene ist ν_{γ}, wenn

λ(b) − λ(a) = ν_{γ} · 2π i

für einen Logarithmus λ von γ.

Der einmal positiv durchlaufene Einheitskreis hat zum Beispiel die Umlaufszahl 1.

Für bei z_{0} punktierte Ebenen definiert man die Umlaufszahl ν_{γ}(z_{0}) analog.

Lemma 2.7 Sei λ ein Logarithmus von γ : [a, b] → ℂ^{•}. Dann ist ∫_{γ} \frac{1}{z} dz =

λ(b) − λ(a).

Beweis: Man beachte im Beweis von Satz 2.6, daß die Funktionen log(z)+m·2π i und log^{∗}(z) + m · 2π i Stammfunktionen von \frac{1}{z} sind. Daraus ergibt sich die Behauptung.

Wenn γ stetig differenzierbar ist, kann man folgende Rechnung verwenden: Aus exp(λ(t)) = γ(t) folgt durch Differenzieren \frac{γ′(t)}{γ(t)} = λ′(t), und daraus

∫_{γ} \frac{1}{z} dz = ∫_{a}^{b} \frac{γ′(t)}{γ(t)} dt = ∫_{a}^{b} λ′(t) dt = λ(b) − λ(a).

□

Folgerung 2.8 Für geschlossene Kurven in der punktierten Ebene ist

∫_{γ} \frac{1}{z} dz = ν_{γ} · 2π i.

Folgerung 2.9 Eine geschlossene Kurve γ in der punktierten Ebene ist genau dann zusammenziehbar, wenn ν_{γ} = 0.

Beweis: Eine Richtung folgt aus dem Cauchyschen Integralsatz 2.4. Wenn umgekehrt ν_{γ} = 0, hat γ eine geschlossene Logarithmuskurve λ. Wenn man exp auf eine Zusammenziehung von λ anwendet, erhält man eine Zusammenziehung von γ. □

Man zeigt leicht, daß zwei Kurven γ und γ′ genau dann homotop in ℂ^{•} sind, wenn γ′γ^{−1} zusammenziehbar ist. Aus 2.9 folgt dann, daß zwei geschlossene Kurven genau dann homotop sind, wenn sie die gleiche Umlaufszahl haben.

3 Erste Folgerungen aus dem Cauchyschen Integralsatz

3.1 Die Cauchyformel

Satz 3.1 (Cauchysche Integralformel) Sei f eine holomorphe Funktion und γ der positiv durchlaufene Rand eines Kreises um z_{0}, der ganz im Definitionsbereich von f liegt. Dann ist

f(z_{0}) = \frac{1}{2π i} ∫_{γ} \frac{f(z)}{z − z_{0}} dz .

Beweis: Wir werden zeigen, daß

∫_{γ} \frac{f(z) − f(z_{0})}{z − z_{0}} dz = 0.

Daraus folgt dann die Behauptung, weil

f(z_{0}) = \frac{1}{2π i} ∫_{γ} \frac{f(z_{0})}{z − z_{0}} dz = \frac{1}{2π i} ∫_{γ} \frac{f(z)}{z − z_{0}} dz − \frac{1}{2π i} ∫_{γ} \frac{f(z) − f(z_{0})}{z − z_{0}} dz.

Wir können die Funktion g(z) = \frac{f(z)−f(z_{0})}{z−z_{0}} im Punkt z_{0} durch g(z_{0}) = f′(z_{0}) stetig fortsetzen. Wenn wir den Riemannschen Hebbarkeitssatz 3.9 anwenden dürften (dessen Beweis aber 3.1 verwendet) würde folgen, daß g auch bei z_{0} holomorph ist und daß daher ∫_{γ} g(z) dz = 0.

Um ohne 3.9 auszukommen, argumentieren wir so: Weil g jedenfalls außerhalb von z_{0} holomorph ist, ist nach dem Cauchyschen Integralsatz ∫_{γ} g(z) dz =

∫_{|z−z_{0}|=r} g(z) dz für jedes noch so kleine r. |g(z)| ist in der Nähe von z_{0} beschränkt

ist, sagen wir durch M. Also ist

|∫_{γ} g(z) dz| ≤ 2πrM

und ∫_{γ} g(z) dz verschwindet. □

Wenn man 2.8 verwendet, zeigt der gleiche Beweis, daß für beliebige geschlossene Kurven γ

ν_{γ}(z_{0})f(z_{0}) = \frac{1}{2π i} ∫_{γ} \frac{f(z)}{z − z_{0}} ,

vorausgesetzt, daß γ in einem Kreis um z_{0} verläuft, der ganz in Definitionsbereich liegt. Aus 5.11 wird folgen, daß es tatsächlich genügt, vorauszusetzen, daß γ im Definitionsbereich zusammenziehbar ist.

Eine andere Formulierung der Cauchyschen Integralformel ist:

Satz 3.2 (Mittelwertsatz) f(z_{0}) ist der Mittelwert der Werte von f auf der Kreislinie γ. Also

f(z_{0}) = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} f(z_{0} + re^{it})dt.

□

3.2 Der Potenzreihenentwicklungssatz

Lemma 3.3 Sei γ eine stückweise stetig differenzierbare Kurve und ϕ eine auf dem Bild G der Kurve definierte stetige Funktion. Dann ist die auf U = ℂ \ G definierte Funktion

f(z) = \frac{1}{2π i} ∫_{γ} \frac{ϕ(ζ)}{ζ − z} dζ

in jedem Kreis, der ganz in U liegt, durch eine Potenzreihe darstellbar.

Beweis: Sei K = {z | |z −z_{0}| < r} in U enthalten. Um Schreibarbeit zu sparen, nehmen wir an, daß z_{0} = 0. Dann ist |\frac{z}{ζ} | < 1 für alle z ∈ K, ζ ∈ G und daher

\frac{1}{ζ − z} = \frac{1}{ζ} \frac{1}{1 − \frac{z}{ζ}} = ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{ζ^{n+1}} z^{n}.

Wir zeigen, daß

f(z) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}z^{n},

wobei

a_{n} = \frac{1}{2π i} ∫_{γ} \frac{ϕ(ζ)}{ζ^{n+1}} dζ.

Für jedes N ist

f(z) − ∑_{n<N} a_{n}z^{n} = \frac{1}{2π i} ∫_{γ} ( ∑_{n=N}^{∞} \frac{ϕ(ζ)}{ζ^{n+1}} z^{n}) dζ.

Sei M eine Schranke für die |ϕ(ζ)|. Für große N ist

| ∑_{n=N}^{∞} \frac{ϕ(ζ)}{ζ^{n+1}} z^{n}| ≤ | ∑_{n=N}^{∞} \frac{M}{|ζ^{n+1}|}|z^{n}|| ≤ \frac{M}{r} ∑_{n=N}^{∞} (\frac{z}{r} )^{n} = ϵ

beliebig klein. Man kann nun oben den Betrag der rechten Seite abschätzen durch \frac{1}{2π} · Länge(γ) · ϵ. □

Satz 3.4 (Potenzreihenentwicklungssatz) Jede holomorphe Funktion ist in jedem Kreis, der in ihrem Definitionsbereich liegt durch eine Potenzreihe darstellbar. Genauer gilt: Wenn die Kreisscheibe K = {z | |z −z_{0}| < r_{0}} im Definitionsbereich von f liegt, gibt es eine Potenzreihe ∑_{n=0}^{∞} a_{n}(z − z_{0})^{n}, die f in K darstellt. Für alle r < r_{0} berechnen sich die Taylorkoeffizienten durch die Cauchysche Koeffizientenformel

a_{n} = \frac{1}{2π i} ∫_{|z−z_{0}|=r} \frac{f(z)}{(z − z_{0})^{n+1}} dz.

□

Wenn |f(z)| auf der Kreislinie {z | |z − z_{0}| = r} durch M beschränkt ist, gilt also die Cauchysche Abschätzung für die Taylorkoeffizienten

|a_{n}| ≤ \frac{M}{r^{n}} .

Beispiel: Der Hauptzweig log des Logarithmus muß um z_{0} = 1 in eine Potenzreihe mit Konvergenzradius 1 entwickelbar sein. log ist aber auf der linksgeschlitzten Ebene Stammfunktion von \frac{1}{z}. Wenn man die Reihe

\frac{1}{z} = ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n}(z − 1)^{n}

gliedweise integriert und beachtet, daß log(1) = 0, erhält man

log(z) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n+1}}{n} (z − 1)^{n}

für alle z mit |z − 1| < 1.

Folgerung 3.5 Die Ableitung einer holomorphen f Funktion ist wieder holomorph. Es ist für jede im Definitionsbereich liegende abgeschlossene Kreisscheibe {z | |z − z_{0}| ≤ r}

f^{(n)}(z_{0}) = \frac{n!}{2π i} ∫_{|z−z_{0}|=r} \frac{f(z)}{(z − z_{0})^{n+1}} dz.

Aus der Cauchyschen Abschätzung für die Taylorkoeffizienten folgt:

Satz 3.6 (Satz von Liouville) Eine beschränkte ganze Funktion ist konstant.

Beweis: Eine ganze Funktion f wird durch eine Potenzreihe ∑_{n=0}^{∞} a_{n}z^{n} mit unendlichem Konvergenzradius dargestellt. Sei nun M eine Schranke für f. Nach der Cauchyabschätzung ist |a_{n}| ≤ \frac{M}{r^{n}}, für alle r > 0. Das ist nur möglich, wenn a_{n} = 0 für alle für n > 0. □

Folgerung 3.7 (Hauptsatz der Algebra) Jedes nichtkonstante Polynom hat eine komplexe Nullstelle.

Beweis: Sei f(z) = a_{0} + ⋯ + a_{n}z^{n} ein Polynom vom Grad n > 0. Für große z läßt sich |f(z)| nach unten durch \frac{1}{2}|a_{n}z^{n}| abschätzen. Außerhalb eines großen Kreises ist daher die Funktion g(z) = \frac{1}{f(z)} beschränkt. Wenn f keine Nullstellen hätte, wäre g(z) holomorph und global beschränkt. Das ist nach dem Satz von Liouville nicht möglich. □

3.3 Der Riemannsche Hebbarkeitssatz

Für den Beweis des Riemannschen Hebbarkeitssatzes brauchen wir

Satz 3.8 (Morera) Sei f : U → ℂ stetig und ∫_{γ} f(z) dz = 0 für alle geschlos-

senen stückweise stetig differenzierbaren Kurven γ. Dann ist f holomorph.

Beweis: Wir können annehmen, daß U ein Kreis ist. Wir halten ein z_{0} ∈ U fest und definieren F durch

F (z) = ∫_{γ} f(ζ) dζ,

wobei γ irgendeine stückweise stetig differenzierbare Kurve ist, die z_{0} und z verbindet. Aus dem Beweis des Satzes 2.1 folgt, daß F eine Stammfunktion von f ist. Jetzt wenden wir 3.5 an und erhalten, daß auch f = F′ holomorph ist. □

Wie im Beweis von 2.1 braucht man die Voraussetzung nur für den Rand von Rechtecken.

Satz 3.9 (Riemannscher Hebbarkeitssatz) Eine stetige Funktion f : U → ℂ, die auf U \ {z_{0}} holomorph ist, ist auf ganz U holomorph.

Beweis: Wir können annehmen, daß U ein Kreis ist. Dann zeigt man wie im Beweis von 3.1, daß das Integral über jede geschlossene Kurve, die in U \ {z_{0}} verläuft, verschwindet. Weil man jede stetige (stückweise stetig differenzierbare) Kurve γ : [a, b] → ℂ zu einer stetigen (stückweise stetig differenzierbaren) Kurve \overline{γ} verschieben kann, die z_{0} ausläßt und für die

max_{t∈[a,b]} |γ(t) − \overline{γ}(t)|

beliebig klein wird, folgt (wegen der Stetigkeit von f), daß ∫_{γ} f(z) dz = 0 auch

für geschlossene Kurven, die durch z_{0} gehen. Jetzt folgt die Behauptung aus dem Satz von Morera. □

Im letzten Satz genügt es, daß f in einer Umgebung von z_{0} beschränkt ist:

Zusatz Sei f : U \ {z_{0}} → ℂ holomorph und in einer Umgebung von z_{0} beschränkt. Dann läßt sich f zu einer holomorphen Funktion auf U fortsetzen.

Beweis: Wir können annehmen, daß U ein Kreis ist. Sei γ eine geschlossene Kurve in U \ {z_{0}} mit Umlaufzahl n um z_{0}. Das Integral ∫_{γ} f ist gleich dem nfachen Integral über eine beliebig kleine Kreislinie um z_{0}. Weil f beschränkt ist, ist ∫_{γ} f = 0. Also existiert eine Stammfunktion F in U \ {z_{0}}. Wiederum, weil das Integral von f über kleine Kreislinien um z_{0} beliebig klein wird, läßt sich F stetig nach z_{0} fortsetzen. F ist also holomorph auf ganz U und wir können f durch f(z_{0}) = F′(z_{0}) zu einer holomorphen Funktion fortsetzen. □

3.4 Topologische Eigenschaften holomorpher Funktionen

Definition Eine holomorphe Funktion hat bei z_{0} eine Nullstelle k–ter Ordnung, wenn

f(z_{0}) = f′(z_{0}) = … = f^{(k−1)}(z_{0}) = 0

und f^{(k)}(z_{0}) ≠ 0.

Nach dem Potenzreihenentwicklungssatz 3.4 kann der Fall, daß alle Ableitungen von f bei z_{0} verschwinden, nur eintreten, wenn f in einer Umgebung von z_{0} die konstante Nullfunktion ist.

Lemma 3.10 f hat genau dann bei z_{0} eine Nullstelle k–ter Ordnung, wenn

f(z) = (z − z_{0})^{k}h(z)

für eine holomorphe Funktion h, die keine Nullstelle bei z_{0} hat.

Beweis: Wenn f = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}(z − z_{0})^{n} in einer Umgebung von z_{0}, so hat f genau dann bei z_{0} eine Nullstelle k–ter Ordnung, wenn a_{0} = … = a_{k−1} = 0 und a_{k} ≠ 0. □

Eine zusammenhängende offene Teilmenge von ℂ nennen wir ein Gebiet.

Satz 3.11 (Identitätssatz) Sei G ein Gebiet und f, g zwei auf G definierte holomorphe Funktionen, die auf einer Teilmenge von G übereinstimmen, die einen Häufungspunkt in G besitzt. Dann sind f und g gleich.

Beweis: Sei h = f − g. Nach Voraussetzung häufen sich die Nullstellen von h gegen ein z_{0} ∈ G. z_{0} ist wieder eine Nullstelle von h. Nach dem letzten Lemma ist eine Nullstelle k–ter Ordnung eine isolierte Nullstelle. z_{0} gehört also zu N = {z ∈ G | h^{(k)}(z) = 0 für alle k}. N ist offensichtlich abgeschlossen in G, aber auch offen, weil N = {z ∈ G | h ≡ 0 in einer Umgebung von z}. Weil G zusammenhängend ist, muß N = G sein. □

Wenn f′(z_{0}) ≠ 0, ist hat f bei z_{0} eine lokale Umkehrfunktion. Die Funktion (z − z_{0})^{k} für ein k > 1 zum Beispiel hat bei z_{0} keine lokale Umkehrfunktion. Der nächste Satz zeigt, daß das im wesentlichen der einzige Fall ist.

Satz 3.12 Wenn f bei z_{0} eine k–fache Nullstelle hat (k ≥ 1), hat f in einer Umgebung von z_{0} die Gestalt

f(z) = (h(z))^{k}

für eine holomorphe Funktion h, die bei z_{0} nur eine einfache Nullstelle hat.

Beweis: Sei f(z) = (z − z_{0})^{k}g(z) für ein holomorphes g mit g(z_{0}) ≠ 0. Sei ^{k} \sqrt{z} eine lokale Umkehrfunktion von z^{k} bei g(z_{0}). Setze (in einer genügend kleinen Umgebung von z_{0})

h(z) = (z − z_{0}) ^{k} \sqrt{g(z)}.
□

Folgerung 3.13 (Satz von der Gebietstreue) Nicht (lokal) konstante holomorphe Funktionen f : U → ℂ sind offene Abbildungen.

Beweis: Wir müssen zeigen, daß f offen an jeder Stelle z_{0} ist, das heißt, jede Umgebung von z_{0} auf eine Umgebung von f(z_{0}) abbildet. Das ist klar, wenn f′(z_{0}) ≠ 0. Sonst schreiben wir

f(z) = f(z_{0}) + (h(z))^{k}

in einer Umgebung von z_{0} für eine holomorphe Funktion h, die bei z_{0} eine einfache Nullstelle hat. Jetzt ist aber h offen bei z_{0} und z^{k} offen bei 0. □

Satz 3.14 (Maximumprinzip) Der Betrag einer nicht (lokal) konstanten holomorphen Funktion kann in einer offenen Menge kein Maximum annehmen.

□

Beweis: Wenn f nicht lokal konstant ist, ist das Bild V von f offen. Die Betragsfunktion hat auf V kein Maximum. □

Folgerung 3.15 (Schwarzsches Lemma) Sei f : 𝔼 → 𝔼 eine holomorphe Abbildung des offenen Einheitskreises 𝔼 = {z | |z| < 1} in sich, und f(0) = 0. Dann ist |f′(0)| ≤ 1 und |f(z)| ≤ |z| für alle z ∈ 𝔼. Wenn |f′(0)| = 1 oder |f(z_{0})| = |z_{0}| für ein z_{0} ≠ 0, ist f eine Drehung, also von der Form f(z) = ωz für ein ω vom Betrag 1.

Beweis: Schreibe f(z) = zg(z) für eine holomorphes g : 𝔼 → ℂ. Wenn g konstant ist, hat f die Form ωz und die Behauptung ist leicht nachzurechnen. Sonst folgt aus 3.14, daß die Funktion

ϕ(r) = max_{|z|=r} |g(z)|

streng monoton wächst. Weil lim_{r→1} ϕ(r) ≤ 1, ist daher |g(z)| < 1 für alle z ∈ E. Das bedeutet |f′(0)| < 1 und |f(z_{0})| < |z_{0}| für alle z_{0} ∈ 𝔼 \ 0. □

4 Isolierte Singularitäten

Sei z_{0} ein Punkt der offenen Menge U ⊂ ℂ und f : U \ {z_{0}} → ℂ holomorph. Dann nennen wir z_{0} eine isolierte Singularität von f.

4.1 Pole und wesentliche Singularitäten

Eine isolierte Singularität z_{0} von f heißt hebbar, wenn f in einer Umgebung von z_{0} beschränkt ist. Wenn g eine auf U definierte holomorphe Funktion ist, ist z_{0} zum Beispiel eine hebbare Singularität der Funktion \frac{g(z)−g(z_{0})}{z−z_{o}}. Nach dem Riemannschen Hebbarkeitssatz 3.9 läßt sich f zu einer holomorphen Funktion auf U fortsetzen (die wir der Einfachheit halber auch f nennen). Man kann also eigentlich nicht von einer Singularität sprechen.

Eine nicht–hebbare Singularität z_{0} ist ein Pol, wenn z_{0} für ein k eine hebbare Singularität der Funktion (z − z_{0})^{k}f(z) ist. Wenn k minimal ist, ist z_{0} ein Pol k–ter Ordnung. Eine hebbare Singularität kann man auch als Pol 0–ter Ordnung bezeichnen.

Andere isolierte Singularitäten heißen wesentlich.

Lemma 4.1 f hat genau dann bei z_{0} eine Polstelle k–ter Ordnung, wenn

f(z) = (z − z_{0})^{−k}h(z)

für eine auch bei z_{0} definierte holomorphe Funktion h, die keine Nullstelle bei z_{0} hat.

Beweis: z_{0} ist ein genau dann ein Pol k–ter Ordnung von f, wenn (z − z_{0})^{k}f(z) = h(z) bei z_{0} definiert ist und (z − z_{0})^{−1}h(z) bei z_{0} einen Pol hat. (z − z_{0})^{−1}h(z) hat aber nach 3.10 genau dann einen Pol bei z_{0}, wenn z_{0} keine Nullstelle von h ist. □

Wenn man das letzte Lemma mit Lemma 3.10 vergleicht, sieht man, daß z_{0} genau dann ein k–facher Pol von f ist, wenn z_{0} eine k–fache Nullstelle der auf z_{0} fortgesetzten Funktion \frac{1}{f} ist. Man sieht auch, daß es Sinn hat, einen Pol der Ordnung k eine Nullstelle der Ordnung −k zu nennen.

Satz 4.2 (Casorati-Weierstraß) Sei z_{0} eine wesentliche Singularität von f. Dann ist für jede Umgebung V von z_{0} das Bild f(V \ {z_{0}}) dicht in ℂ.

Beweis: Sei W eine offene Menge, die disjunkt zu f(V \ {z_{0}}) ist und w_{0} ∈ W. Dann ist g(z) = \frac{1}{w_{0}−f(z)} beschränkt auf V \ \{z_{0}\} und also holomorph auf V fortsetzbar. Dann ist aber z_{0} höchstens ein Pol von f(z) = w_{0} − \frac{1}{g(z)}. □

Beispiel: Die Funktion exp(\frac{1}{z}) hat eine wesentliche Singularität bei 0. In jeder Umgebung von 0 werden alle Werte außer 0 angenommen.

Folgerung 4.3 Eine isolierte Singularität z_{0} von f ist genau dann ein Pol von f, wenn lim_{z→z_{0}} |f(z)| = ∞.

4.2 Meromorphe Funktionen und die Riemannsche Zahlkugel

Sei U eine offene Teilmenge von ℂ und P eine Teilmenge von U, die die folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:

1. P ist abgeschlossen in U und diskret, das heißt, jedes p ∈ P hat eine Umgebung, in der keine anderen Elemente von P liegen.

2. P hat keine Häufungspunkte in U.

Wenn f : U \ P → ℂ holomorph ist, können wir die Elemente von P als isolierte Singularitäten von f auffassen.

Definition Sei U eine offene Teilmenge von ℂ und P eine Teilmenge von U, die sich nicht in U häuft. Eine holomorphe Funktion

f : U \ P → ℂ

heißt meromorph auf U, wenn die Elemente von P höchstens Pole von f sind.

Man macht f zu einer auf ganz U definierten Funktion, indem man sie auf die hebbaren Singularitäten aus P stetig fortsetzt und ihr auf den Polen den Wert ∞ gibt. Zwei meromorphe Funktionen auf U nennt man gleich, wenn diese Fortsetzungen übereinstimmen.

Man sieht sofort, daß Summe, Differenz und Produkt von meromorphen Funktionen auf U wieder meromorph sind. Auch das folgende Lemma ist leicht zu beweisen:

Lemma 4.4 Sei f eine auf U definierte meromorphe Funktion, die nicht lokal konstant = 0 ist. Dann ist \frac{1}{f(z)} meromorph. □

Folgerung 4.5 Die auf einem Gebiet U definierten meromorphen Funktionen bilden einen Körper, den Körper ℂ(U) der meromorphen Funktionen auf U.

Man verwendet die Rechenregeln \frac{1}{∞} = 0, \frac{1}{0} = ∞.

Die Riemannsche Zahlkugel ℙ^{1} ist die Einpunktkompaktifizierung des lokalkompakten Raumes ℂ: Man setzt

ℙ^{1} = ℂ ∪ {∞}

und setzt die Topologie von ℂ auf ℙ^{1} fort, indem man als offene Umgebungen von ∞ die Mengen ℙ^{1} \ K für kompakte K ⊂ ℂ nimmt.^{7}

7Man kann ℙ^{1} auch auffassen als die projektive Gerade P^{1}(ℂ) über den komplexen Zahlen. P^{1}(ℂ) besteht aus allen eindimensionalen Unterräumen p von ℂ^{2}. Wenn p von (x_{0}, x_{1})

aufspannt wird, nennt man x_{0}, x_{1} homogene Koordinaten von p und schreibt p = (x_{0} : x_{1}).

p ↦ \frac{x_{1}}{x_{0}} definiert eine Bijektion P^{1}(ℂ) → ℙ^{1}.

Eine stetige Funktion f : U → ℙ^{1} heißt holomorph an einer ∞–Stelle p, wenn in einer offenen Umgebung V von p die Funktion \frac{1}{f(z)} : V → ℂ holomorph ist.

Satz 4.6 Die auf einem Gebiet U definierten meromorphen Funktionen sind gerade die holomorphen Funktionen

f : U → ℙ^{1},

die nicht konstant ∞ sind.

Beweis: Sei f meromorph auf U und P die Menge der Pole von f. Nach 4.3 ist f : U → ℙ^{1} stetig. Wir müssen zeigen, daß f überall holomorph ist. Das ist klar für Punkte in U \ P. Wenn p ein k–facher Pol ist, hat nach 4.1 \frac{1}{f} in einer Umgebung V die Form (z − p)^{k}g(z) für eine holomorphes g : V → ℂ. Also ist f auch bei p holomorph.

Sei nun umgekehrt f : U → ℙ^{1} holomorph. Das Urbild P = f^{−1}(∞) ist eine abgeschlossene Teilmenge von U. Wie wie im Beweis von 3.11 sieht man, daß die (abgeschlossene) Menge der Häufungspunkte von P gleich der (offenen Menge) der Punkte ist, bei denen f lokal konstant gleich ∞ ist. Weil U zusammenhängend ist und f nicht konstant ∞ ist, hat P daher keine Häufungspunkte. Sei p ein Punkt aus P. Weil in einer Umgebung von p die Funktion \frac{1}{f} holomorph ist, hat f bei p einen Pol. □

Definition Sei U eine offene Teilmenge von ℙ^{1}, die den Punkt ∞ enthält. Wir nennen eine Funktion f : U → ℂ holomorph bei ∞, wenn f(\frac{1}{z}) bei 0 holomorph ist. ∞ ist k-fache Nullstelle (Pol) von f, wenn 0 k–fache Nullstelle (Pol) von f(\frac{1}{z}) ist.

Viele Sätze übertragen sich auf holomorphe Funktionen, die auf offenen Teilmengen von ℙ^{1} definiert sind. Zum Beispiel der Hebbarkeitssatz, der Satz von der Gebietstreue oder der Identitätssatz. Man kann jetzt den Satz von Liouville so beweisen: Wenn f : ℂ → ℂ beschränkt ist, läßt sich f nach dem Hebbarkeitssatz auf ℙ^{1} fortsetzen. f(ℙ^{1}) ist als Bild eines kompakten Raumes kompakt in ℂ, kann also nicht offen sein. Also ist f konstant.

Eine rationale Funktion \frac{g(z)}{h(z)} für zwei teilerfremde Polynome g und h ist meromorph auf ℙ^{1} und hat bei ∞ einen Pol (bzw. Nullstelle) vom Grad grad(g)− grad(h) (bzw. grad(h) − grad(g)).

Satz 4.7 Der Körper ℂ(ℙ^{1}) der meromorphen Funktion auf ℙ^{1} ist der rationale Funktionenkörper ℂ(z).

Beweis: Sei f eine auf ℙ^{1} definierte meromorphe Funktion. a_{1}, … a_{n} seien die Nullstellen von f in ℂ und b_{1}, … b_{p} die Polstellen von f in ℂ, mit ihrer Vielfachheit aufgezählt. Dann ist

g(z) = \frac{(z − b_{1}) … (z − b_{p})}{(z − a_{1}) … (z − a_{n})}f(z)

eine auf ℙ^{1} definierte meromorphe Funktion, die in ℂ keine Nullstellen und keine Polstellen hat. Die Menge g(ℙ^{1}) kann also nicht sowohl 0 als auch ∞ enthalten. Weil g(ℙ^{1}) kompakt ist und ℙ^{1} zusammenhängend, kann g(ℙ^{1}) nicht offen sein. Wegen 3.13 muß g konstant sein. □

Folgerung 4.8 Mit ihrer Vielfachheit gezählt, hat eine meromorphe Funktion auf ℙ^{1} gleichviel Nullstellen und Polstellen.

Wir geben einen zweiten Beweis in 5.16.

5 Der Residuensatz

5.1 Laurentreihen

Eine Laurentreihe

∑_{−∞<n<∞} a_{n}z^{n}

konvergiert, wenn die beiden Reihen

∑_{n=0}^{∞} a_{n}z^{n}

und

∑_{n=1}^{∞} a_{−n} (\frac{1}{z})^{n}

konvergieren, gegen die Summe beider Grenzwerte. Definiert man den äußeren Konvergenzradius durch

R = \frac{1}{lim sup_{n≥0} ^{n} \sqrt{|a_{n}|}}

und den inneren Konvergenzradius durch

r = lim sup_{n>0} ^{n} \sqrt{|a_{−n}|}

gilt also

Lemma 5.1 Die Laurentreihe

∑_{−∞<n<∞} a_{n}z^{n}

divergiert für alle z mit größerem Betrag als R und kleinerem Betrag als r. Die Reihe konvergiert für alle z im Konvergenzkreisring

{z | r < |z| < R}.

Auf jedem (auf beiden Seiten) kleineren Kreisring konvergiert die Reihe gleichmäßig. □

Satz 5.2 (Satz über die Entwicklung in Laurentreihen) Jede holomorphe Funktion ist in jedem Kreisring, der in ihrem Definitionsbereich liegt durch eine Laurentreihe darstellbar. Genauer gilt: Wenn der Kreisring K = {z | r_{0} < |z − z_{0}| < R_{0}} im Definitionsbereich von f liegt, gibt es eine Laurentreihe ∑_{−∞<n<∞} a_{n}(z − z_{0})^{n}, die f in K darstellt. Für alle r_{0} < r < R_{0} und −∞ < n < ∞ berechnen sich die Koeffizienten durch Formel

a_{n} = \frac{1}{2π i} ∫_{|z−z_{0}|=r} \frac{f(z)}{(z − z_{0})^{n+1}} dz.

Beweis: Sei f auf U definiert und K ⊂ U. Wir dürfen r_{0} etwas vergrößern und R_{0} etwas verkleinern und annehmen, daß auch die beiden Randkurven in U liegen. Weiter nehmen wir an, daß z_{0} = 0. Nach der Cauchyschen Integralformel 3.1 ist für alle z ∈ K

f(z) = \frac{1}{2π i} ∫_{|ζ|=R_{0}} \frac{f(ζ)}{ζ − z} dζ − \frac{1}{2π i} ∫_{|ζ|=r_{0}} \frac{f(ζ)}{ζ − z} dζ

Für die ζ vom Betrag R_{0} konvergiert die Reihe

\frac{1}{ζ − z} = ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{ζ^{n+1}} z^{n},

für die ζ vom Betrag r_{0} konvergiert die Laurentreihe

−\frac{1}{ζ − z} = ∑_{n=−1}^{−∞} \frac{1}{ζ^{n+1}} z^{n}.

Wie im Beweis von 3.3 sieht man, daß man die Reihen gliedweise integrieren kann. Es ist also für alle z ∈ K

f(z) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}z^{n} + ∑_{n=−1}^{−∞} a_{n}z^{n},

wobei für positive n

a_{n} = \frac{1}{2π i} ∫_{|ζ|=R_{0}} \frac{f(ζ)}{ζ^{n+1}} dζ

und für negative n

a_{n} = \frac{1}{2π i} ∫_{|ζ|=r_{0}} \frac{f(ζ)}{ζ^{n+1}} dζ.

Nach dem Cauchyschen Integralsatz 2.4 lassen sich aber beide Integrale auch über die Kurve {z | |z| = r} ausrechnen. □

Folgerung 5.3 Sei z_{0} eine isolierte Singularität von f. Dann läßt sich f in einer bei z_{0} punktierten Umgebung von z_{0} durch eine Laurentreihe

∑_{−∞<n<∞} a_{n}(z − z_{0})^{n}

darstellen. z_{0} ist eine hebbare Singularität genau dann, wenn die Reihe die Form

∑_{0≤n<∞} a_{n}(z − z_{0})^{n},

und (höchstens) ein Pol, wenn sie die Form

∑_{−N≤n<∞} a_{n}(z − z_{0})^{n}

hat.

5.2 Der Residuensatz

Definition Sei ∑_{−∞<n<∞} a_{n}(z − z_{0})^{n} die Laurententwicklung von f bei der isolierten Singularität z_{0}. Man nennt

Res_{z_{0}}f(z) = a_{−1}

das Residuum von f bei z_{0}.

Das Residuum bei einer hebbaren Singularität ist 0. Wenn f holomorph ist, ist zum Beispiel Res_{z_{0}} \frac{f(z)}{z−z_{0}} = f(z_{0}).

Satz 5.4 (Residuensatz) Sei S ⊂ U eine Teilmenge, die sich nicht in U häuft, und f holomorph auf U \ S. Sei K ein Kreis, dessen Abschluß ganz in U liegt. ∂K, die Randkurve von K enthalte keinen Punkt von S. Dann ist

\frac{1}{2π i} ∫_{∂K} f(z) dz = ∑_{s∈S∩K} Res_{s}f(z).

Beweis: Sei s ∈ S und ∑_{−∞n<∞} a_{n}(z − s)^{n} die Laurentreihenentwicklung von f bei s. Sei k ein kleiner Kreis um s, der keine andere Singularität von f enthält. Dann ist nach 5.2

a_{−1} = \frac{1}{2π i} ∫_{∂k} f(z) dz.

Also gilt das Lemma für den Kreis k. Daraus folgt die Behauptung folgendermaßen. Nehmen wir an, daß K die Singularitäten s_{1}, s_{2}, s_{3} enthält.

Wir verbinden die kleinen Kreise k_{1}, k_{2} und k_{3} durch Kurven α_{1}, α_{2} und α_{3} mit δK. Die Endpunkte dieser Kurven zerlegen ∂K in drei Stücke β_{1}, β_{2} und β_{3}. Nach dem Cauchyschen Integralsatz ist

∫_{γ} f(z) dz = 0

für die Kurve

γ = (α_{1}^{−1}∂k_{1}^{−1}α_{1}β_{1})(α_{2}^{−1}∂k_{2}^{−1}α_{2}β_{2})(α_{3}^{−1}∂k_{3}^{−1}α_{3}β_{3})

Also ist

\frac{1}{2π i} ∫_{∂K} f(z) dz = \frac{1}{2π i} ∫_{∂K_{1}} f(z) dz + \frac{1}{2π i} ∫_{∂K_{2}} f(z) dz + \frac{1}{2π i} ∫_{∂K_{3}} f(z) dz
= Res_{s_{1}}f(z) + Res_{s_{2}}f(z) + Res_{s_{3}}f(z).
□

5.3 Der Residuenkalkül

Man kann den Residuenkalkül verwenden um reelle Integrale zu berechnen. Wir beginnen mit einem Lemma zur Berechnung von Residuen:

Lemma 5.5 Wenn f(z) bei z_{0} holomorph ist und g(z) bei z_{0} eine einfache Nullstelle hat, ist

Res_{z_{0}} \frac{f(z)}{g(z)} = \frac{f(z_{0})}{g′(z_{0})}.

Beweis: \frac{f(z)}{g(z)} hat einen einfachen Pol bei z_{0}. Darum ist das Residuum bei z_{0}

der Funktionswert von (z − z_{0})\frac{f(z)}{g(z)} bei z_{0} – oder genauer gesagt der Grenzwert bei z_{0}. Es ist aber

lim_{z→z_{0}}(z − z_{0})\frac{f(z)}{g(z)} = \frac{f(z_{0})}{g′(z_{0})}.

□

Satz 5.6 Sei f eine – bis auf endlich viele Singularitäten – auf ganz ℂ definierte holomorphe Funktion. Wenn 1. f keine Singularitäten auf ℝ hat,

2. und bei ∞ eine mindestens doppelte Nullstelle hat,

dann ist

\frac{1}{2π i} ∫_{−∞}^{∞} f(t) dt = ∑_{Im(s)>0} Res_{s}f(z).

Beweis: Sei N so groß, daß alle Singularitäten oberhalb der reellen Achse im Halbkreis {z | |z| < N, Im(z) > 0} liegen. Wir zerlegen die Randkurve des Halbkreises in I = [−N, N] und den oberen Rand γ des Halbkreises. Dann ist nach dem Residuensatz, der für den Halbkreis ebenso wie für Kreise gilt

\frac{1}{2π i} ∫_{−N}^{N} f(t) dt + \frac{1}{2π i} ∫_{γ} f(z) dz = ∑_{Im(s)>0} Res_{s}f(z).

Es ist also zu zeigen, daß \frac{1}{2π i} ∫_{γ} f(z) dz → 0, wenn N → ∞. Sei M das Maximum

von |f(z)| auf γ. Daß ∞ eines mindestens doppelte Nullstelle von f(z) ist, bedeutet, daß MN^{2} beschränkt bleibt, wenn N → ∞. Also strebt

|\frac{1}{2π i} ∫_{γ} f(z) dz| ≤ \frac{MN}{2}

gegen Null. □

Übung: Sei f eine – bis auf endlich viele Singularitäten – auf ganz ℂ definierte holomorphe Funktion, die bei ∞ eine mindestens doppelte Nullstelle hat. Dann ist die Summe der Residuen von f gleich Null.

Übung: Wenn ∞ eine isolierte Singularität von f ist, definieren wir das Residuum von f(z) bei ∞ durch^{8}

Res_{∞}f(z) = Res_{0}( − \frac{1}{z^{2}} f(\frac{1}{z})).

Wenn f eine – bis auf endlich viele Singularitäten – auf ganz ℙ^{1} definierte holomorphe Funktion ist, ist die Summe der Residuen von f gleich Null.

Sei λ eine reelle Zahl. Für den folgenden Satz definieren wir die Funktion z^{λ} auf der rechtsgeschlitzten Ebene ℂ \ ℝ_{≥0} durch

z^{λ} = e^{λ log^{∗}(z)}.

Satz 5.7 Sei 0 < λ < 1 und f eine – bis auf endlich viele Singularitäten – auf ganz ℂ definierte holomorphe Funktion. Wenn 1. f keine Singularität auf ℝ_{>0} hat,

8Eigentlich ist das Residuum nämlich das Residuum der Differentialform f(z) dz. Für w = \frac{1}{z} ist f(z) dz = f( \frac{1}{w}) d( \frac{1}{w}) = − \frac{1}{w^{2}} f( \frac{1}{w}) dw.

2. bei 0 höchstens einen Pol erster Ordnung hat,

3. und bei ∞ eine mindestens doppelte Nullstelle,

dann ist

\frac{1}{2π i} ∫_{0}^{∞} t^{λ}f(t) dt = \frac{1}{1 − e^{λ2π i}} ( ∑_{s≠0} Res_{s} (z^{λ}f(z)) ).

Beweis: Sei R eine große und r eine kleine positive Zahl. Betrachte die folgenden Kurven: β ist ein negativ durchlaufener Halbkreis um 0 mit Radius r, der −r i mit r i verbindet. I ist eine zu ℝ parallele Gerade, die r i mit der rechten Hälfte der Kreislinie K = {z | |z| = R} verbindet, J verbindet −r i mit K. α ist der Teil von K, der den Endpunkt von I mit dem Endpunkt von J verbindet. γ sei die Kurve IαJ^{−1}β.

Wenn wir R groß genug und r klein genug wählen, umläuft γ alle Singularitäten von f bis auf den möglichen Pol 0. Nach dem Residuensatz (der auch für γ gilt) ist also (für g(z) = z^{λ}f(z))

∫_{γ} g(z) dz = ∫_{I} g(z) dz + ∫_{α} g(z) dz − ∫_{J} g(z) dz + ∫_{β} g(z) dz = 2π i ∑_{s≠0} Res_{s}g(z).

Wenn R gegen ∞ geht und r gegen 0, konvergiert ∫_{I} g(z) dz gegen ∫_{0}^{∞} t^{λ}f(t) dt

und ∫_{J} g(z) dz gegen e^{λ2π i} ∫_{0}^{∞} t^{λ}f(t) dt, weil z^{λ} beim Durchgang durch ℝ_{>0} um

den Faktor e^{λ2π i} springt. Weil ∞ eine mindestens doppelte Nullstelle von f ist, konvergiert ∫_{α} g(z) dz gegen Null, und weil f höchstens einen einfachen Pol bei 0 hat, konvergiert auch ∫_{β} g(z) dz gegen Null. Im Limes haben wir also

2π i ∑_{s≠0} Res_{s}g(z) = (1 − e^{λ2π i}) ∫_{0}^{∞} t^{λ}f(t) dt.

□

5.4 Die Umlaufszahlversion des Residuensatzes

Sei X ein topologischer Raum. Eine Kette c ist eine (formale) ℤ–Linearkombination

c = n_{1}γ_{1} + … + n_{k}γ_{k}

von Kurven in X. Wenn die Kette c im Definitionsbereich der holomorphen Funktion f liegt, definieren wir das Integral von f entlang c durch

∫_{c} f(z) dz = n_{1} ∫_{γ_{1}} f(z) dz + … + n_{k} ∫_{γ_{k}} f(z) dz.

Eine Kette γ_{1} + … + γ_{k}, die aus Abschnitten von Stücken einer geschlossenen Kurve γ_{1} … γ_{k} besteht, nennen wir einen einfachen Zyklus. Ein Zyklus ist eine Linearkombination

c = m_{1}c_{1} + … + m_{l}c_{l}

von einfachen Zyklen. Offenbar ist ein Kette genau dann ein Zyklus, wenn jeder Punkt genauso oft als Endpunkt wie als Anfangspunkt einer Kurve aus c vorkommt.

Die Umlaufszahl

ν_{c}(z_{0})

von c um den Punkt z_{0} ist die Summe der Umlaufszahlen der zu den c_{i} gehörenden geschlossenen Kurven. Weil man einen Zyklus auf verschiedene Weisen als Summe von einfachen Zyklen schreiben kann, beweisen wir:

Lemma 5.8 Für einfache Zyklen d_{1} … d_{l}, c_{1} … c_{k} folgt aus

d_{1} + … + d_{l} = c_{1} + … + c_{k},

daß

ν_{d_{1}}(z_{0}) + … + ν_{d_{l}}(z_{0}) = ν_{c_{1}}(z_{0}) + … + ν_{c_{k}}(z_{0}).

Beweis: Sei γ : [a, b] → ℂ^{•} eine Kurve. Wir definieren den Winkel, den γ um 0 beschreibt, durch

∡(γ) = \frac{1}{i}(λ(b) − λ(a)).

für einen Logarithmus λ von γ. Es ist dann für c = n_{1}γ_{1} + … + n_{k}γ_{k}

ν_{c} = \frac{1}{2π} (n_{1}∡(γ_{1}) + … + n_{k}∡(γ_{k})).

Abbildung 1:

□

Ein Zyklus c heißt 0–homolog in U, wenn c Linearkombination von einfachen Zyklen ist, die in U zusammenziehbar sind. Im nächsten Bild (Abbildung 1) ist zum Beispiel c = α + β in U 0–homolog. Denn es ist

c = (α + γ + β + γ^{−1}) − (γ + γ^{−1}),

und die Kurven αγβγ^{−1} und γγ^{−1} sind in U zusammenziehbar.

Der Cauchysche Integralsatz hat jetzt die Form:

Lemma 5.9 Wenn f : U → ℂ holomorph und c in U 0–homolog ist, ist

∫_{c} f(z) dz = 0.

□

Aus 2.9 folgt

Lemma 5.10 Wenn c in ℂ \ {z_{0}} 0–homolog ist, ist ν_{c}(z_{0}) = 0. □

Satz 5.11 (Residuensatz) Sei S ohne Häufungspunkte in U, f : U \ S → ℂ holomorph und c ein Zyklus in U \ S, der in U 0–homolog ist. Dann ist

\frac{1}{2π i} ∫_{c} f(z) dz = ∑_{s∈S} ν_{c}(s) Res_{s}f(z).

Weil S in U keine Häufungspunkte hat, kann c nur um endlich viele Punkte aus S umlaufen. Die rechts stehende Summe ist also endlich.

Beweis: Wir nennen zwei Ketten d und d′ homolog in V, wenn ihre Differenz in V 0–homolog ist. In Zeichen:

d ∼ d′

Zum Beispiel ist γ^{−1} ∼ −γ und γ_{1} … γ_{k} ∼ (γ_{1} + … + γ_{k}). Aus 5.9 folgt, daß für homologe Ketten d und d′ und für jede auf V definierte holomorphe Funktion g

∫_{d} g(z) dz = ∫_{d′} g(z) dz.

Und aus 5.10 folgt, daß homologe Zyklen die gleiche Umlaufszahl um alle Punkte außerhalb von V haben.

Wir wählen jetzt um alle s ∈ S kreisförmige Umgebungen O_{s}, die paarweise disjunkt sind. Sei O die Vereinigung der O_{s}. Wenn wir das nächste Lemma auf c und das Tripel S ⊂ O ⊂ U anwenden, erhalten wir einen Zyklus c′, der in O \ S liegt und in U \ S zu c homolog ist. Es genügt nach den Bemerkungen am Anfang, den Satz für c′ zu beweisen. c′ ist Summe von einfachen Zyklen, die jeweils in einer der Mengen O_{s} \ {s} liegen. Weil eine solcher einfacher Zyklus keine der anderen Singularitäten umläuft, genügt es den Satz zu beweisen für den Fall, daß U ein Kreis um die einzige Singularität s ist. Außerdem können wir annehmen, daß c eine geschlossene Kurve γ ist. Sei ν die Umlaufszahl von γ um s und γ′ eine ν–fach durchlaufene Kreislinie um s. Nach Lemma 2.9 (das ebenso für punktierte Kreise gilt) sind γ und γ′ in U \{s} homotop. Für γ′ folgt aber der Satz aus der Formel

νa_{−1} = \frac{1}{2π i} ∫_{γ′} f(z) dz.

□

Lemma 5.12 (Excisionslemma) Sei O eine offene Teilmenge des topologischen Raumes X und A eine abgeschlossene Teilmenge von O. Dann ist jeder Zyklus c aus X \ A, der in X 0–homolog ist, in X \ A homolog zu einem Zyklus aus O \ A.

\underline{Zusatz:} Statt zu fordern, daß c 0–homolog ist, genügt es zu fordern, daß c in X homolog zu einem Zyklus o aus O ist.

Beweis: Sei c − o eine Summe von einfachen Zyklen z aus X, die in X zusammenziehbar sind. Die z können Kurven enthalten, die nicht ganz in X \ A oder in O liegen. Weil sich diese Kurven aber in der Summe wegheben, können wir sie so unterteilen, daß die Stücke alle in X \ A oder O liegen.

Sei also

z = γ_{1} + … + γ_{k}

ein einfacher, in X zusammenziehbarer Zyklus, dessen Komponenten γ_{l} alle in X \A oder in O liegen. Wir werden zeigen, daß z gut ist, das heißt Summe eines in X \ A 0–homologen Zyklus und eines Zyklus aus O ist. Daraus folgt dann, daß auch c = d + o′, wobei d in X \ A 0–homolog ist und o′ ein Zyklus aus O ist. Wenn wir aus o′ die Kurven streichen, die nicht ganz in X \ A liegen, erhalten wir einen Zyklus o′′ aus O \ A und es gilt immer noch c = d + o′′. Damit ist dann das Excisionslemma bewiesen.

Weil

λ = γ_{1} … γ_{k}

zusammenziehbar ist, gibt es eine stetige Abbildung

u : [a, b] × [0, 1] → X,

die die untere Kante des Rechtecks [a, b]×[0, 1] auf λ und die anderen Kanten auf den Anfangspunkt (= Endpunkt) von λ abbildet. Wenn wir [a, b] in M Intervalle a = x_{0} < … < x_{M} = b und [0, 1] in N Intervalle 0 = y_{0} < … < y_{N} = 1 zerlegen, erhalten wir eine Zerlegung von [a, b] × [0, 1] in die MN Rechtecke

R_{ij} = [x_{i−1}, x_{i}] × [y_{j−1}, y_{j}].

Wir nennen α_{ij}, β_{ij}, γ_{ij} und δ_{ij} die Bilder der vier Kanten von R_{ij} unter u, wobei

Sei r die Summe der Zyklen r_{ij} = α_{ij} + β_{ij} + γ_{ij} + δ_{ij}. Wenn wir die Summanden umordnen, erhalten wir r als Summe der folgenden einfachen Zyklen

1. ∑ α_{i1}

2. γ_{ij} + α_{i,j+1}

3. γ_{iN}

4. β_{Mj}

5. δ_{ij} + β_{i−1,j}

6. δ_{1j}.

Wir wählen nun die Zerlegung so fein, daß u alle R_{ij} nach O oder nach X \ A abbildet. Alle r_{ij} und alle einfachen Zyklen vom Typ 2 bis 6 liegen dann in O oder X \ A und sind dort zusammenziehbar. Es folgt also, daß ∑ α_{i1} gut im obigen Sinn ist.

Schließlich können die Zerlegung von [a, b] so wählen, daß sich jedes γ_{l} aus α_{i1} zusammensetzt:

γ_{l} = α_{i_{l−1},1}α_{i_{l−1}+1,1} ⋯ α_{i_{l}−1,1}

Die Zyklen (!)

γ_{l} − (α_{i_{l−1},1} + α_{i_{l−1}+1,1} + ⋯ + α_{i_{l}−1,1})

sind in X \ A oder in O 0-homolog. Also ist ∑ γ_{l} − ∑ α_{i1} und damit auch z gut. □

Definition Seien O ⊂ U ⊂ ℂ offen. Ein in U 0–homologer Zyklus c in U \ O berandet O, wenn c keinen Punkt in U \O umläuft und die Punkte von O genau einmal.

Folgerung 5.13 Sei f holomorph auf U bis auf isolierte Singularitäten. Wenn der Zyklus c die offene Teilmenge O berandet und keine Singularitäten enthält, ist

∫_{c} f(z) dz = ∑_{s∈O} Res_{s}f(z).

5.5 Das Null– und Polstellen zählende Integral

Sei f eine auf U definierte meromorphe Funktion und s ein Punkt in U. Wir schreiben

f(z) = (z − s)^{k}g(z)

für eine meromorphe Funktion g, die bei s keine Null– oder Polstelle hat. Wenn k > 0, hat f dann eine Nullstelle k–ter Ordnung. Wenn k < 0, hat f bei s eine Nullstelle −k–ter Ordnung.

Ableiten ergibt f′(z) = k(z − s)^{k−1}g(z) + (z − s)^{k}g′(z) und also

\frac{f′(z)}{f(z)} = \frac{k}{z − s} + \frac{g′(z)}{g(z)}.

Wir haben daher

Res_{s} \frac{f′(z)}{f(z)} = k.

Es folgt

Satz 5.14 Sei f auf U meromorph und c ein Zykel in U, der die offenen Menge O berandet und keine Nullstellen und Pole von f enthält. Dann ist

\frac{1}{2π i} ∫_{c} \frac{f′(z)}{f(z)} dz = N_{O} − P_{O},

wobei N_{O} die Zahl der Nullstellen und P_{O} die Zahl der Polstellen von f in O ist, jeweils mit ihrer Vielfachheit gezählt. □

Wenn f : U →^{f} V →^{g} ℂ holomorph sind und γ eine Kurve in U, so gilt

∫_{γ} g(f(z))f′(z) dz = ∫_{f∘γ} g(w) dw.

Für g(z) = \frac{1}{z} ist also

∫_{γ} \frac{f′(z)}{f(z)} = ∫_{f∘γ} \frac{1}{w} dw.

Aus 2.8 folgt also

Folgerung 5.15 (Satz vom Argument) Die Zahl der Null-Polstellen von f in O ist die Umlaufszahl des Bildzykels f(c) um 0:

N_{O} − P_{O} = ν_{f∘c}.

Sei γ ein Kreislinie um 0, U das Äußere von γ in ℙ^{1} und f eine auf U definierte meromorphe Funktion. Die Zahl der Null–Polstellen von f in U ist gleich der Zahl der Null–Polstellen von f ∘ \frac{1}{z} in \frac{1}{z}(U) = \{\frac{1}{w} | w ∈ U\}. Das Negative (!) der Kurve \frac{1}{z} ∘ γ berandet \frac{1}{z}(U), also ist die Anzahl der Null-Polstellen die negative Umlaufszahl der Bildkurve (f ∘ \frac{1}{z}) ∘ (\frac{1}{z} ∘ γ) = f ∘ γ. Wenn man also sagt, daß −γ das Äußere von γ berandet, gilt der Satz von Argument auch hier. Überhaupt gilt mit der richtigen Definition von “beranden” der Satz vom Argument auch für offene Teilmengen von ℙ^{1}.

Diese Überlegungen liefern einen zweiten Beweis für Folgerung 4.8:

Folgerung 5.16 Eine auf ganz ℙ^{1} definierte meromorphe Funktion f ≠ 0 hat (auf ℙ^{1} und mit ihrer Vielfachheit gezählt) ebenso viel Nullstellen wie Polstellen.

Weil f(z)−a die gleichen Pole wie f hat, und die Nullstellen von f(z)−a die a–Stellen von f sind, folgt, daß eine rationale Funktion jeden Wert aus ℙ^{1} auf ℙ^{1} gleich oft annimmt. Diese Zahl nennt man den Grad von f. Man sieht leicht, daß der Grad eines Polynoms der “Polynomgrad” ist, und daß, wenn f = \frac{g}{h} für zwei teilerfremde Polynome g, h der Grad von f das Maximum der Grade von g und h ist.

Satz 5.17 (Satz von Rouché) Seien f und g auf U meromorph und c ein Zykel in U, der die offenen Menge O berandet und keine Nullstellen und Pole von f enthält. Wenn für alle Punkte z von c

|g(z)| < |f(z)|,

haben f und f + g die gleiche Zahl von Null-Polstellen in O.

Beweis:

(f + tg) ∘ γ (t ∈ [0, 1])

ist eine “stetige” Familie von Zyklen in ℂ^{•}, die bei f ∘ γ beginnt und bei (f + g) ∘ γ aufhört. Daraus folgt, daß die beiden Zyklen die gleiche Umlaufszahl haben. Denn immer, wenn (α_{t}) eine stetige Familie von geschlossenen Kurven in ℂ^{•} ist, haben α_{0} und α_{1} die gleiche Umlaufszahl: Sei β die Kurve, die die Anfangspunkte der α_{t} beschreiben. Dann ist der einfache Zyklus α_{0} +β +α_{1}^{−1} + β^{−1} zusammenziehbar in ℂ^{•}. α_{0} und α_{1} sind also homolog. □

6 Folgen holomorpher Funktionen

6.1 Stetige Funktionen auf topologischen Räumen

Sei f_{n} : X → ℂ eine Folge von Funktionen.

Definition 1. (f_{n}) konvergiert punktweise gegen f, wenn

lim_{n→∞} f_{n}(x) = f(x)

für alle x ∈ X.

2. (f_{n}) konvergiert gleichmäßig gegen f, wenn es für alle ϵ > 0 ein N gibt,

so daß

|f_{n}(x) − f(x)| < ϵ

für alle x ∈ X und n ≥ N.

3. (f_{n}) konvergiert lokal gleichmäßig gegen f, wenn es für jedes x ∈ X und ϵ > 0 ein N und eine Umgebung U von x gibt, so daß für alle n ≥ N und y ∈ U

|f_{n}(y) − f(y)| < ϵ.

Wenn X kompakt ist, stimmen die letzten beiden Begriffe überein. Für lokalkompakte X ist (f_{n}) genau dann lokal gleichmäßig konvergent, wenn (f_{n}) auf jeder kompakten Teilmenge gleichmäßig konvergiert.

Lemma 6.1 Wenn die f_{n} stetig sind und lokal gleichmäßig gegen f konvergieren, dann ist auch f stetig.

Beweis: Sei x ∈ X und ϵ > 0. Wir wählen eine Umgebung U von x und ein N, so daß |f_{N}(y) − f(y)| < \frac{ϵ}{3} für alle y ∈ U. Dann verkleinern wir U zu einer Umgebung U′ von x, so daß |f_{N}(x) − f_{N}(y)| < \frac{ϵ}{3} für alle y ∈ U′. Es folgt |f(y) − f(x)| < ϵ für alle y ∈ U′. □

Definition (f_{n}) heißt gleichgradig stetig, wenn es für alle x ∈ X und alle ϵ eine Umgebung U von x gibt, so daß für alle n und y ∈ U

|f_{n}(y) − f_{n}(x)| < ϵ.

Lemma 6.2 Wenn (f_{n}) gleichgradig stetig ist und auf einer dichten Menge punktweise konvergiert, dann konvergiert die Folge (f_{n}) lokal gleichmäßig.

Beweis: Sei x ∈ X und ϵ > 0 vorgegeben. Wähle eine Umgebung U von x, so daß |f_{n}(y) − f_{n}(y′)| < \frac{ϵ}{3} für alle n und y, y′ ∈ U. Für ein y_{0} ∈ U ist (f_{n}(y_{0})) eine Cauchyfolge, und daher |f_{n}(y_{0}) − f_{m}(y_{0})| < \frac{ϵ}{3} für alle n und m größer als ein N. Es folgt |f_{n}(x) − f_{m}(x)| < ϵ. Damit ist gezeigt, daß auch (f_{n}(x)) eine Cauchyfolge ist. Es folgt, daß (f_{n}) punktweise gegen eine Funktion f konvergiert. Weil |f_{n}(y) − f_{m}(y)| < ϵ für alle y ∈ U und n, m ≥ N, ist |f_{n}(y) − f(y)| ≤ ϵ für alle y ∈ U und n ≥ N. Die Konvergenz ist also lokal gleichmäßig. □

6.2 Holomorphe Funktionen

Satz 6.3 Die holomorphen Funktionen (f_{n}) seien auf U definiert und lokal gleichmäßig gegen f konvergent. Dann ist f holomorph.

Beweis: Sei x ∈ U und γ eine kleine Kreislinie um x. Dann ist nach 3.1

f_{n}(z) = \frac{1}{2π i} ∫_{γ} \frac{f_{n}(ζ)}{ζ − z} dζ

für alle z im Inneren des Kreises. Weil (f_{n}) auf γ gleichmäßig konvergiert, folgt

f(z) = \frac{1}{2π i} ∫_{γ} \frac{f(ζ)}{ζ − z} dζ.

Aus 3.3 folgt, daß f holomorph ist. □

Mit 3.5 erkennt man, daß (f′_{n}) lokal gleichmäßig gegen f′ konvergiert.

Eine Folge (f_{n}) von Funktionen heißt lokal beschränkt, wenn jedes x eine Umgebung V hat, auf der der Betrag aller f_{n} kleiner ist als eine nur von V abhängige Schranke.

Satz 6.4 (Montel) Sei (f_{n}) eine lokal beschränkte Folge von auf U definierten holomorphen Funktionen. Dann gibt es eine Teilfolge, die lokal gleichmäßig gegen eine holomorphe Funktion konvergiert.

Beweis: Sei A eine abzählbare dichte Teilmenge von U. Wir werden zeigen:

1. Es gibt eine Teilfolge, die auf A punktweise konvergiert

2. (f_{n}) ist gleichgradig stetig. Der Satz folgt dann aus 6.2 und 6.3.

Beweis der ersten Behauptung: Sei A = {a_{n}} eine Aufzählung von A. Für eine unendliche Menge I_{0} konvergiert die Folge (f_{n}(a_{0}))_{n∈I_{0}}. Für eine unendliche Teilmenge I_{1} von I_{0} konvergiert (f_{n}(a_{1}))_{n∈I_{1}}. Man erhält so eine absteigende Kette I_{0} ⊃ I_{1} ⊃ …, so daß jede Folge (f_{n}(a_{i}))_{n∈I_{i}} konvergiert. Wähle eine aufsteigende Folge n_{i} ∈ I_{i}. Dann konvergiert die Teilfolge (f_{n_{i}}) punktweise auf A.

Beweis der zweiten Behauptung: Aus 3.5 erkennt man, daß auch die Folge (f′_{n}) lokal beschränkt ist. Sei x ∈ U und ϵ > 0. Wähle in U eine kreisförmige Umgebung V = {z | |z − x| < r} von x, auf der die |f′_{n}(z)| durch M beschränkt sind. Wir können annehmen, daß rM < ϵ. Es ist dann für alle y ∈ V

|f_{n}(y) − f_{n}(x)| ≤ |y − x|M < ϵ.
□

7 Der Satz von Mittag-Leffler und der Weierstraßsche Produktsatz

7.1 Der Satz von Mittag-Leffler

Definition Sei s eine isolierte Singularität von f und ∑_{−∞<n<∞} a_{n}(z − s)^{n} die Laurententwicklung von f bei s. Wir nennen ∑_{−∞<n<0} a_{n}(z − s)^{n} den Hauptteil von f bei s. Ein Hauptteil bei s schlechthin ist eine Laurentreihe

h(z) = ∑_{−∞<n<0} a_{n}(z − s)^{n},

deren innerer Konvergenzradius 0 ist.

Satz 7.1 (Mittag–Leffler) Sei S eine Menge von komplexen Zahlen, die sich nirgends häuft, und sei für jedes s ∈ S ein Hauptteil h_{s}(z) bei s gegeben. Dann gibt es eine auf ℂ \ S definierte holomorphe Funktion f(z), deren Hauptteil bei s ∈ S gerade h_{s}(z) ist.

Beweis: h_{s}(z) ist holomorph auf ℂ \ {s}. Wenn S = {s_{0}, …, s_{k−1}} endlich ist, leistet daher

f = h_{s_{0}} + … + h_{s_{k−1}}

das Gewünschte.^{9}

Wenn S = {s_{i}} unendlich ist, muß aber ∑_{i=0}^{∞} h_{s_{i}} nicht mehr konvergieren. Wir wählen daher für jedes i eine ganze Funktion k_{i}, so daß

f = ∑_{i=0}^{∞}(h_{s_{i}} − k_{i})

lokal gleichmäßig auf ℂ\S konvergiert. Dazu wählen wir die k_{i} so, daß |h_{s_{i}}−k_{i}| < (\frac{1}{2})^{i} auf \{z | |z| < \frac{|s_{i}|}{2}\}. (Man wählt für k_{i} ein genügend großes Anfangsstück der Potenzreihenentwicklung von h_{s_{i}} bei 0.). □

f ist natürlich durch die vorgegebenen Hauptteile nicht eindeutig bestimmt: Für jede ganze Funktion g hat f + g dieselben Hauptteile wie f.

Beispiel: Die Funktion

cot(z) = \frac{cos(z)}{sin(z)} = i\frac{e^{z i} + e^{−z i}}{e^{z i} − e^{−z i}}

hat Pole an den Stellen s_{n} = πn für alle n ∈ ℤ und dort die Hauptteile \frac{1}{z−πn}.

Die Reihe ∑_{n∈ℤ} \frac{1}{z−πn} konvergiert nicht. Wenn man aber zur Konvergenzerzeugung die Funktionen \frac{1}{πn} addiert, erhält man die konvergente Reihe

\frac{1}{z} + ∑_{n∈ℤ^{•}}(\frac{1}{z − πn} + \frac{1}{πn}),

die tatsächlich cot(z) darstellt. Um das einzusehen, überlegt man sich zuerst, daß die Reihe für z ∉ ℤπ absolut konvergiert. Das liegt daran, daß für |n| > \frac{2|z|}{π}

|\frac{1}{z − πn} + \frac{1}{πn}| ≤ \frac{2|z|}{π^{2}} \frac{1}{n^{2}} ,

und daran, daß ∑_{n∈ℤ^{•}} \frac{1}{n^{2}} < ∞.

9Die s_{i} müssen natürlich paarweise verschieden sein.

Dann verifiziert man, daß für jedes z_{0}, das kein Pol von cot(z) ist,

lim_{N→∞} ∫_{γ_{N}} \frac{z_{0}}{ζ} \frac{cot(ζ)}{ζ − z_{0}} dζ = 0,

wobei für jedes N ∈ ℕ γ_{N} die Randkurve des Quadrats mit dem Eckpunkten ±π (N + \frac{1}{2}) ± π (N + \frac{1}{2}) i ist. (Das liegt daran, daß cot auf diesen Randkurven beschränkt bleibt.) Dann wendet man das folgende Lemma an:

Lemma 7.2 Sei f eine – bis auf eine Menge

S = {s_{0}, s_{1}, …}

von isolierten Singularitäten – auf ganz ℂ definierte holomorphe Funktion. Wir nehmen an, daß s_{0} = 0 (auch, wenn 0 keine wirkliche Singularität ist) und s_{k} ≠ 0 für alle k > 0. ℂ sei Vereinigung einer aufsteigenden Folge K_{0} ⊂ K_{1} ⊂ … von offenen Mengen mit Randkurven ∂K_{k} und m eine positive Zahl, so daß für alle z_{0} ∉ S die Integrale

∫_{∂K_{k}} \frac{z_{0}^{m}}{ζ^{m}} \frac{f(ζ)}{ζ − z_{0}} dζ

für k → ∞ gegen 0 konvergieren. Sei h_{k}(z) der Hauptteil von f(z) bei s_{k} und für k > 0 sei k_{k}(z) die Summe der ersten m Glieder der Potenzreihenentwicklung von h_{k}(z) bei 0. Schließlich sei k_{0}(z) der Teil a_{0}z^{0} + … + a_{m−1}z^{m−1} der Laurententwicklung von f bei 0. Wenn die Reihe

h_{0}(z) + k_{0}(z) + ∑_{k∈ℕ^{∘}}(h_{k}(z) − k_{k}(z))

für jedes z ∉ S absolut konvergiert, stellt sie auf ℂ \ S die Funktion f(z) dar.

Beweis: Die Integralbedingung bedeutet, daß die Summe der Residuen der Funktion

F (z) = \frac{z_{0}^{m}}{z^{m}} \frac{f(z)}{z − z_{0}}

Null ist. Genauer:

Res_{z_{0}}F (z) + Res_{0}F (z) + ∑_{k∈ℕ^{∘}} Res_{s_{k}}F (z) = 0.

Dabei muß die Summation in geeigneter Reihenfolge und Klammerung ausgeführt werden.

Wir berechnen die Residuen:

1. Res_{z_{0}}F (z) = f(z_{0})

2. Es ist

Res_{0}F (z) = Res_{0} \frac{z_{0}^{m}}{z^{m}} \frac{h_{0}(z) + k_{0}(z)}{z − z_{0}},

weil \frac{z_{0}^{m}}{z^{m}} \frac{f(z)−h_{0}(z)−k_{0}(z)}{z−z_{0}} bei 0 holomorph ist. Weil die meromorphe Funk-

tion \frac{z_{0}^{m}}{z^{m}} \frac{h_{0}(z)+k_{0}(z)}{z−z_{0}} bei ∞ eine doppelte Nullstelle hat, ist die Summe der Residuen Null. Wir haben also

Res_{0}F (z) = −Res_{z_{0}} \frac{z_{0}^{m}}{z^{m}} \frac{h_{0}(z) + k_{0}(z)}{z − z_{0}} = −h_{0}(z_{0}) − k_{0}(z_{0}).

3. Sei k > 0. Dann ist wie oben

Res_{s_{k}}F (z) = Res_{s_{k}} \frac{z_{0}^{m}}{z^{m}} \frac{h_{s_{k}}(z)}{z − z_{0}} = −Res_{z_{0}} \frac{z_{0}^{m}}{z^{m}} \frac{h_{s_{k}}(z)}{z − z_{0}} − Res_{0} \frac{z_{0}^{m}}{z^{m}} \frac{h_{s_{k}}(z)}{z − z_{0}}.

Man berechnet aber

Res_{z_{0}} \frac{z_{0}^{m}}{z^{m}} \frac{h_{s_{k}}(z)}{z − z_{0}} = h_{s_{k}}(z_{0})

und

Res_{0} \frac{z_{0}^{m}}{z^{m}} \frac{h_{s_{k}}(z)}{z − z_{0}} = Res_{0} \frac{z_{0}^{m}}{z^{m}} \frac{k_{s_{k}}(z)}{z − z_{0}} = −Res_{z_{0}} \frac{z_{0}^{m}}{z^{m}} \frac{k_{s_{k}}(z)}{z − z_{0}} = −k_{s_{k}}(z_{0}).

Also ist

Res_{s_{k}}F (z) = −h_{s_{k}}(z_{0}) + k_{s_{k}}(z_{0}).
□

7.2 Der Weierstraßsche Produktsatz

Satz 7.3 (Weierstraßscher Produktsatz) Sei S eine Menge von komplexen Zahlen ohne Häufungspunkte und sei für jedes s ∈ S eine ganze Zahl n_{s} gegeben. Dann gibt es eine auf ℂ definierte meromorphe Funktion, die an jeder Stelle s ∈ S eine Nullstelle der Ordnung n_{s} hat, und die außerhalb von S keine Null– und Polstellen hat.

Wir fassen hier Polstellen als Nullstellen mit negativer Vielfachheit auf.

Beweis: Am Ende des Abschnitts.

f(z) ist durch seine Null– und Polstellen nur bis auf einen Faktor ϕ(z) bestimmt, wobei ϕ(z) eine ganze Funktion ohne Nullstellen ist. Aus dem nächsten Lemma folgt, daß die Funktionen ϕ(z) gerade die Funktionen der Form

ϕ(z) = e^{ψ(z)}

für eine ganze Funktion ψ(z) sind.

Lemma 7.4 Sei U ein einfach zusammenhängendes Gebiet und f : U → ℂ^{•} holomorph. Dann hat f(z) die Form e^{ϕ(z)} für eine holomorphe Funktion ϕ : U → ℂ Beweis: Weil U einfach zusammenhängend ist, hat \frac{f′(z)}{f(z)} eine Stammfunktion F : U → ℂ. Weil

(\frac{e^{F (z)}}{f(z)} )′ = \frac{f(z)F′(z)e^{F (z)} − f′(z)e^{F (z)}}{f^{2}(z)} = 0,

unterscheiden sich e^{F (z)} und f(z) nur durch eine multiplikative Konstante. Wir können also ϕ(z) = F (z) + c für eine geeignete Konstante c setzen. □

Wenn S endlich ist, leistet

f(z) = ∏(z − s)_{n∈S}^{n_{s}}

das Gewünschte. Wenn S unendlich ist, soll f ein unendliches Produkt sein.

Wir brauchen also zuerst ein Konvergenzkriterium für unendliche Produkte: ∏_{i=0}^{∞} a_{i} kann nur gegen einen Wert ungleich Null konvergieren, wenn die a_{i} gegen 1 konvergieren. Wir können also im folgenden Lemma annehmen, daß die a_{i} = 1 + b_{i} in der linksgeschlitzten Ebene, dem Definitionsbereich des Hauptzweigs log des Logarithmus liegen. Dann gilt:

Lemma 7.5

1. ∏_{i=0}^{∞} a_{i} ist genau dann konvergent gegen eine von 0 verschiedene Zahl, wenn ∑_{i=0}^{∞} log(a_{i}) konvergiert.

2. ∑_{i=0}^{∞} | log(1 + b_{i})| ist genau dann konvergent, wenn ∑_{i=0}^{∞} |b_{i}| konvergiert.

Beweis:

1. In beiden Fällen, wenn ∏_{i=0}^{∞} a_{i} gegen ein c ≠ 0 oder wenn ∑_{i=0}^{∞} log(a_{i}) konvergiert, können wir ein N finden, so daß für alle k ≤ l oberhalb von N alle Produkte a_{k} … a_{l} positiven Realteil haben. Es folgt dann log(a_{k} ⋯ a_{l}) = log(a_{k}) + ⋯ log(a_{l}) für alle k ≤ l oberhalb von N, und daraus die Behauptung.

2. Wenn die b_{i} klein genug sind, hat man die Abschätzung

\frac{|b_{i}|}{2} ≤ | log(1 + b_{i})| ≤ \frac{|3b_{i}|}{2} .

□

Zum Beweis des Weierstraßschen Produktsatzes verfahren wir jetzt wie beim Beweis des Satzes von Mittag–Leffler. Wir zählen S auf als {s_{0}, s_{1} …}, mit s_{0} = 0 beginnend, schreiben n_{i} statt n_{s_{i}} und suchen ganze Funktionen k_{i}(z), so daß das Produkt

f(z) = z^{n_{0}} ∏_{i=1}^{∞}(1 − \frac{z}{s_{i}})^{n_{i}}e^{−k_{i}(z)}

gleichmäßig auf ℂ \ S konvergiert. Dafür wählen wir die k_{i}(z) so, daß auf {z | |z| < \frac{|s_{i}|}{2}\}

|log ((1 − \frac{z}{s_{i}} )^{n_{i}}) − k_{i}(z)| < 2^{−i}.

Für k_{i}(z) kann man das n_{i}–fache eines genügend großen Anfangsstücks der Potenzreihenentwicklung

log (1 − \frac{z}{s_{i}} ) = − (\frac{z}{s_{i}} + \frac{1}{2} (\frac{z}{s_{i}} )^{2} + \frac{1}{3} (\frac{z}{s_{i}} )^{3} + …)

nehmen. □

Beispiel: Es ist

sin(z) = z ∏_{n∈ℤ^{•}} (1 − \frac{z}{πn}) e^{\frac{z}{πn}} = z ∏_{n∈ℕ^{∘}} (1 − (\frac{z}{πn})^{2}) .

Um das einzusehen, vergleichen wir die logarithmischen Ableitungen^{10} beider Seiten. Die logarithmische Ableitung der linken Seite ist cot(z), die der rechten Seite die Summendarstellung von cot(z). Daraus folgt, daß sich rechte und linke Seite nur um einen Faktor unterscheiden. Dieser Faktor ist 1, weil beide Seiten bei 0 die Ableitung 1 haben, was leicht nachzuprüfen ist.

8 Der Riemannsche Abbildungssatz

Definition Eine Bijektion f zwischen zwei Gebieten U und V heißt biholomorph, wenn f und f^{−1} holomorph sind. U und V heißen biholomorph, wenn es eine biholomorphe Abbildung zwischen U und V gibt.

Die Bedingung, daß f^{−1} holomorph ist, ist in Wirklichkeit unnötig, weil die Umkehrfunktion einer injektiven holomorphen Funktion immer holomorph ist. Aus 3.12 folgt nämlich, daß eine holomorphe Funktion f in keiner Umgebung einer Nullstelle von f′ injektiv sein kann. Funktionen mit nirgends verschiedener Ableitung sind aber lokal (holomorph) invertierbar.

Biholomorphe Gebiete sind homöomorph^{11}. ℂ und ℂ^{•} sind also nicht biholomorph, weil ℂ^{•} nicht einfach zusammenhängend ist.

Beispiel: ℂ und 𝔼 sind homöomorph, aber nicht biholomorph.

Beweis: \frac{z}{1+|z|} : ℂ → 𝔼 ist ein Homöomorphismus. Andererseits ist jede holomorphe Abbildung von ℂ nach 𝔼 konstant nach dem Satz von Liouville (3.6).

Beispiel: Die obere Halbebene

ℍ = {z ∈ ℂ | Im(z) > 0}

10 Die logarithmische Ableitung von f ist definiert als \frac{f′}{f}. Die logarithmische Ableitung eines nicht verschwindenden gleichmäßig konvergierenden Produkts ist die Summe der logarithmischen Ableitungen der Faktoren.

11Zwei topologische Räume sind homöomorph, wenn es zwischen ihnen eine stetige Bijektion gibt, deren Umkehrabbildung ebenfalls stetig ist.

und die Einheitskreisscheibe 𝔼 sind biholomorph vermöge der Abbildung

\frac{z − i}{z + i} : ℍ → 𝔼.

Rationale Funktionen der Form

μ = \frac{az + b}{cz + d}

mit ad − bc ≠ 0 heißen Möbiustransformationen. Als rationale Funktionen sind Möbiustransformationen holomorphe Abbildungen von ℙ^{1} nach ℙ^{1}. μ bestimmt die Matrix

A = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} )

nur bis auf einen Faktor. Die Verknüpfung von Möbiustransformationen geschieht aber durch Multiplikationen der zugehörigen Matrizen. Das liegt daran, daß man μ auffassen kann als Multiplikation von Zweiervektoren mit A: Wenn nämlich

z = \frac{u}{v}

(u, v ∈ ℂ, nicht beide=0), ist

μ(z) = \frac{u′}{v′} ,

wobei

( \begin{matrix}u′ \\ v′ \end{matrix} ) = A ( \begin{matrix}u \\ v \end{matrix} ) .

Es folgt, daß die Verknüpfung zweier Möbiustransformationen wieder eine Möbiustransformation ist, und daß die Möbiustransformation μ ein Inverses hat, das durch A^{−1}, oder äquivalent durch

( \begin{matrix}d & −b \\ −c & a \end{matrix} ) ,

gegeben ist. Man beachte, daß die Bedingung ad − bc ≠ 0 einerseits ausdrückt, daß A invertierbar ist, andererseits, daß μ nicht konstant ist, weil Nenner und Zähler von μ nicht Vielfache von einander sind.^{12}

Satz 8.1 (Riemannscher Abbildungssatz) Jedes einfach zusammenhängende Gebiet in ℂ, das von ∅ und ℂ verschieden ist, ist biholomorph zum Einheitskreis.

12Aus der Linearen Algebra erinnert man sich, daß die Gruppe der Möbiustransformationen die lineare Automorphismengruppe der projektiven Gerade P^{1}(ℂ) ist.

Beweis: Sei U ein nicht–leeres einfach zusammenhängendes Gebiet, das von ℂ verschieden ist. Wir suchen eine schlichte Abbildung (das ist eine holomorphe und injektive Abbildung) von U auf 𝔼. Da Translationen schlichte Abbildungen sind, können wir annehmen, daß U die Null nicht enthält. Sei \sqrt{z} eine Umkehrabbildung der Quadratfunktion auf U (Lemma 8.2). \sqrt{z} ist als Umkehrabbildung schlicht und U′ = \sqrt{U} ist wieder ein einfach zusammenhängendes Gebiet. Weil U′ und −U′ disjunkt sind, gibt es einen Kreis {z | |z − z_{0}| < r} außerhalb von U′. Die Möbiustransformation

\frac{r}{z − z_{0}}

bildet dann U′ schlicht auf ein Teilgebiet U′′ von 𝔼 ab. Mit einer Möbiustransformation, die 𝔼 auf sich abbildet, können wir U′′ so verschieben, daß 0 ∈ U′′ (Lemma 8.3). Wir können also annehmen, daß U ⊂ 𝔼 und 0 ∈ U.

Sei

α = sup{|f′(0)| | f : U → 𝔼 schlicht, f(0) = 0}

und (f_{n}) eine Folge von schlichten Abbildungen f_{n} : U → 𝔼 mit f_{n}(0) = 0 und

α = lim_{n→∞} |f′(0)|.

Weil die Identität eine schlichte Abbildung von U nach 𝔼 ist, ist 1 ≤ α. Wenn U eine Kreiskurve um 0 mit Radius r enthält, ist wegen der Cauchyschen Abschätzung der Taylorkoeffizienten α ≤ \frac{1}{r}.

Aus dem Satz von Montel 6.4 folgt, daß wir annehmen können, daß (f_{n}) lokal gleichmäßig gegen eine holomorphe Funktion f konvergiert. Dann ist α = |f′(0)| (vergleiche Bemerkung nach 6.3). Nach Lemma 8.4 ist f eine schlichte Abbildung, zunächst in den abgeschlossenen Einheitskreis \overline{𝔼}. Weil V = f(U) aber offen ist, liegt V tatsächlich in 𝔼. Aus dem nächsten Hilfssatz folgt, daß V = 𝔼, denn sonst gäbe es eine schlichte Abbildung g : V → 𝔼 mit |g′(0)| > 1 und g(0)=0. g ∘ f wäre dann eine schlichte Abbildung von U nach 𝔼, die 0 nach 0 abbildet und deren Ableitung bei 0 größeren Betrag als α hätte. □

Hilfssatz Sei U ⊊ 𝔼 ein einfach zusammenhängendes Gebiet, das die Null enthält. Dann gibt es eine schlichte Abbildung f : U → 𝔼 mit f(0) = 0 und |f′(0)| > 1.

Beweis: Sei q : 𝔼 → 𝔼 die Quadratfunktion q(z) = z^{2}. Mit Lemma 8.3 wählen wir zwei Möbiustransformationen μ und ν, die 𝔼 auf sich abbilden, mit ν(0) ∉ U und g(0) = 0, wobei

g = ν ∘ q ∘ μ.

Sei \sqrt{z} eine Umkehrfunktion von q auf ν^{−1}(U) mit \sqrt{ν^{−1}(0)} = μ(0) (8.2). f = μ^{−1} ∘ \sqrt{z} ∘ ν^{−1} ist Umkehrfunktion von g mit f(0) = 0. Weil nach dem Schwarzschen Lemma 3.15 |g′(0)| < 1, ist |f′(0)| > 1. □

Lemma 8.2 Sei V ein einfach zusammenhängendes Gebiet, das 0 nicht enthält. Dann hat z^{2} eine Umkehrfunktion auf V, das heißt eine holomorphe Funktion \sqrt{z} : U → ℂ mit q(\sqrt{z}) = z.

Beweis: Daß sich lokal invertierbare holomorphe Funktionen auf einfach zusammenhängenden Gebieten umkehren lassen, ist ein allgemeiner Sachverhalt. In unserem Fall läßt sich das aber leicht folgendermaßen einsehen: Sei log^{∘} eine auf V definiert Umkehrfunktion der Exponentialfunktion. exp(\frac{1}{2} log^{∘}(z)) kehrt z^{2} um. □

Lemma 8.3 Die Möbiustransformationen operieren transitiv auf 𝔼. Das heißt: Zu je zwei Punkten z und w aus 𝔼 gibt es eine Möbiustransformation, die z auf w und 𝔼 auf sich abbildet.

Beweis: Weil 𝔼 das Bild von ℍ unter einer Möbiustransformation ist, genügt es die Behauptung für ℍ zu zeigen. Man sieht aber leicht, daß sich zwei Punkte z und w der oberen Halbebene durch eine Möbiustransformation der Form

az + b,

mit positivem a und reellem b, aufeinander abbilden lassen, und daß solche Möbiustransformationen ℍ in sich überführen. □

Lemma 8.4 Der Grenzwert einer lokal gleichmäßig konvergenten Folge von schlichten Funktionen ist schlicht oder lokal konstant.

Beweis: Sei f : U → ℂ der lokal gleichmäßige Limes der schlichten Funktionen f_{n}. Sei f(z_{0}) = a. Weil f nicht konstant ist, ist z_{0} in einem kleinen Kreis K enthalten, auf dessen Rand der Wert a nicht angenommen wird. Wir wählen ein ein n so groß, daß |f(z) − f_{n}(z)| < |f(z) − a| für alle z auf ∂K. Nach dem Satz von Rouché (5.17) haben f_{n} − a und f − a die gleiche Zahl von Nullstellen in K. Also nimmt auch f_{n} in K den Wert a an. Daraus leicht die Behauptung. □

8.1 Exkurs 1: Möbiustransformationen

Für ein Gebiet U bezeichnen wir die Automorphismengruppe von U, das heißt die Gruppe aller biholomorphen Abbildungen von U auf sich, mit Aut(U). Entsprechend ist Aut(ℙ^{1}) (und allgemein Aut(X) für eine Riemannsche Fläche X) definiert.

Lemma 8.5

1. Aut(ℙ^{1}) ist die Gruppe der Möbiustransformationen.

2. Aut(ℂ) ist die Gruppe der linearen Möbiustransformationen az + b.

3. Aut(𝔼) ist die Gruppe der Möbiustransformationen, die 𝔼 auf sich abbilden.

Beweis: Holomorphe Abbildungen von ℙ^{1} sind nach Satz 4.7 rationale Funktionen oder die konstante Abbildung mit Wert ∞. Weil biholomorphe Abbildungen von ℙ^{1} auf sich genau eine Nullstelle und genau einen Pol haben, müssen Zähler und Nenner der rationalen Abbildung linear sein. Sei f : ℂ → ℂ eine biholomorphe Abbildung von ℂ auf sich selbst. Weil f^{−1} kompakte Mengen auf kompakte Mengen abbildet, kann man f durch f(∞) = ∞ zu einer biholomorphen Abbildung von ℙ^{1} auf sich selbst fortsetzen, also zu einer Möbiustransformation. Eine Möbiustransformation, die ℂ auf sich abbildet, muß aber linear sein. Sei f : 𝔼 → 𝔼 holomorph. Wir verknüpfen f mit einer Möbiustransformation μ : 𝔼 → 𝔼, so daß g = μ ∘ f Null auf Null abbildet. Nach 3.15 ist |g′(0)| ≤ 1. Wenn f biholomorph ist, folgt ebenso |g′(0)|^{−1} = |(g^{−1})′(0)| ≤ 1. g ist also eine Drehung ϵz (|ϵ| = 1) und f = μ^{−1} ∘ g eine Möbiustransformation. □

Die Automorphismen von ℍ und 𝔼 lassen sich leicht angegeben:

Aut(ℍ) = \{ \frac{qz + r}{sz + t} | q, r, s, t ∈ ℝ, qt − sr = 1\}
Aut(𝔼) = \{ \frac{az + b}{\overline{b}z + \overline{a}} | |a|^{2} − |b|^{2} = 1\}

Lemma 8.6

1. Aut(ℙ^{1}) operiert dreifach transitiv: Zu je drei (paarweise) verschiedenen Punkten a, b, c und a′, b′, c′ gibt es eine Möbiustransformation μ mit μ(a) = a′, μ(b) = b′ und μ(c) = c′. Aut(ℙ^{1}) operiert sogar scharf transitiv: das heißt, daß μ durch seine Werte auf drei Punkten schon eindeutig bestimmt ist.

2. Aut(ℂ) operiert scharf zweifach transitiv.

3. Aut(𝔼) operiert einfach transitiv, aber nicht zweifach transitiv.

Beweis: \frac{1}{z−a} bildet a auf ∞ ab. z − b bildet b auf 0 ab und fixiert ∞. \frac{z}{c} bildet c auf 1 ab und fixiert ∞ und 0. Man kann also jedes Tripel (a, b, c) mit einer Möbiustransformationauf (∞, 0, 1) abbilden. Daraus folgt, daß Aut(ℙ^{1}) 3–fach transitiv ist. Für die Scharfheit genügt es zu zeigen, daß nur die triviale Möbiustransformation drei Fixpunkte haben kann; wobei wir annehmen können, daß die Fixpunkte ∞, 0, 1 sind: Wenn μ(∞) = ∞, hat μ die Form az + b. Wenn 0 fixiert wird, ist b = 0, wenn 1 fixiert wird, a = 1.

Die zweite Behauptung folgt sofort aus der ersten. Die dritte folgt aus 8.3 und der Bemerkung, daß Automorphismen von 𝔼, die 0 fixieren, Drehungen sind. □

Wir erhalten damit einen neuen Beweis einer früheren Beobachtung (vergleiche S. 39):

Folgerung 8.7 ℂ und 𝔼 sind nicht biholomorph.

Definition Das Doppelverhältnis von vier verschieden komplexen Zahlen a, b, x, y ist

DV(a, b, x, y) = \frac{a − x}{a − y} : \frac{b − x}{b − y}.

Man kann diese Definition zwanglos auf Punkte in ℙ^{1} ausdehnen, indem man beachtet, daß

DV(\frac{a}{a′} , \frac{b}{b′} , \frac{x}{x′} , \frac{y}{y′}) = \begin{matrix}| & \begin{matrix}a & x \\ a′ & x′ \end{matrix} & | \\ | & \begin{matrix}a & y \\ a′ & y′ \end{matrix} & | \end{matrix} : \begin{matrix}| & \begin{matrix}b & x \\ b′ & x′ \end{matrix} & | \\ | & \begin{matrix}b & y \\ b′ & y′ \end{matrix} & | \end{matrix}. (1)

Man rechnet zum Beispiel

DV(0, ∞, x, 1) = DV(\frac{0}{1}, \frac{1}{0}, \frac{x}{1}, \frac{1}{1}) = x. (2)

Folgerung 8.8

1. Zwei Viertupel aus ℙ^{1} sind genau dann durch eine Möbiustransformation aufeinander abbildbar, wenn sie das gleiche Doppelverhältnis haben.

2. Zwei Tripel aus ℂ sind genau dann durch eine lineare Möbiustransformation aufeinander abbildbar, wenn sie das gleich Doppelverhältnis

DV(a, ∞, x, y) = \frac{a − x}{a − y}

mit ∞ haben.

Beweis: Aus (1) folgt, daß Möbiustransformationen das Doppelverhältnis erhalten. Aus (2) folgt, daß x durch a, b, y und DV(a, b, x, y) eindeutig bestimmt ist. □

Lemma 8.9 Vier Punkte liegen genau dann auf einer Kreislinie, wenn ihr Doppelverhältnis reell ist.

Geraden fassen wir als Kreislinien auf, die durch ∞ gehen.

Beweis: Weil

DV(b, a, x, y) = DV(a, b, x, y)^{−1}
DV(a, x, b, y) = 1 − DV(a, b, x, y)
DV(a, b, y, x) = DV(a, b, x, y)^{−1},

ist, ändert sich die Realität des Doppelverhältnisses nicht, wenn man die Argumente permutiert. Wir können also annehmen, daß axby die positiv durchlaufenen Eckpunkte eines Vierecks sind, wie in der folgenden Abbildung 2. Die

Abbildung 2:

Eckpunkte liegen genau dann auf einem Kreis, wenn sich α und β zu π ergänzen. Weil

α = arg(\frac{a − y}{a − x}) und β = arg(\frac{b − x}{b − y}),

bedeutet das arg DV(a, b, x, y) = π, das heißt, daß DV(a, b, x, y) reell ist^{13}. □

Folgerung 8.10 Möbiustransformationen bilden Kreise auf Kreise ab.

Wenn a, b, c, d auf einem Kreis liegen, ist das Doppelverhältnis DV(a, b, c, d)

• negativ, wenn {a, b} das Paar {c, d} trennt,

• größer als 1, wenn {a, c} das Paar {b, d} trennt,

• zwischen 0 und 1, wenn {a, d} das Paar {b, c} trennt.

Man erkennt das leicht aus (2), weil man annehmen kann, daß a = 0, b = ∞ und d = 1.

Definition Eine nicht–euklidische Gerade in 𝔼 ist ein Kreissegment, das auf dem Rand ∂𝔼 von 𝔼 senkrecht steht. Seien x und y zwei Punkte in 𝔼. Seien a und b Anfangs– und Endpunkt der nicht–euklidischen Geraden, die durch x und y geht. Dann definieren wird den nicht–euklidischen Abstand von x und y durch

d(x, y) = − log(DV(a, b, x, y)).

Man beachte, daß aus der letzten Bemerkung folgt, daß DV(a, b, x, y) zwischen 0 und 1 liegt. d(x, y) ist also wohldefiniert und positiv.

Satz 8.11 Zwei Punktepaare in 𝔼 sind genau dann mit einer Möbiustransformation von 𝔼 aufeinander abbildbar, wenn sie den gleichen nicht–euklidischen Abstand haben.

Beweis: Sei K die nicht–euklidische Gerade durch x und y mit Endpunkten a und b auf ∂𝔼. Wenn eine Möbiustransformation μ x auf x′ und y auf y′ abbildet, bildet μ K′ auf eine Kreislinie ab, die durch x′ und y′ geht und (weil holomorphe Abbildungen winkeltreu sind) auf ∂𝔼 = μ(∂𝔼) senkrecht steht. K′ ist also eine nicht–euklidische Gerade. a und b werden auf die Endpunkte von K′ abgebildet. Also d(x, y) = d(x′, y′). Sei umgekehrt x′ und y′ mit d(x, y) = d(x′, y′) gegeben und a′ und b′ die Endpunkte der nicht–euklidischen Geraden K′ durch x′ und y′. Weil DV(a, b, x, y) = DV(a′, b′, x′, y′), gibt es ein μ, das (a, b, x, y) auf (a′, b′, x′, y′) abbildet. Dann bildet μ K auf K′ ab. Und weil ∂𝔼 die einzige Kreislinie ist, die in a′ und b′ senkrecht auf K′ steht, muß μ(∂𝔼) = ∂𝔼 sein. □

Wenn x, y, z hintereinander auf einer nicht–euklidischen Geraden liegen, ist

d(x, z) = d(x, y) + d(y, z).

Das folgt der leicht zu verifizierenden Gleichung

DV(a, b, x, z) = DV(a, b, x, y)DV(a, b, y, z).

Man kann leicht zeigen, daß die Möbiustransformationen von 𝔼 genau die nicht–euklidischen Bewegungen von 𝔼 sind, das heißt, Permutationen, die Abstände und die Orientierung erhalten.

13Wir haben a, b, x, y so angeordnet, daß der Fall α + β = 2π, oder arg DV(a, b, x, y) = 0, nicht eintreten kann.

8.2 Exkurs 2: Riemannsche Flächen

Literatur

[1] Otto Forster. Riemannsche Flächen. Springer Verlag; Berlin, Heidelberg, New York, 1977.

Eine n–dimensionale Mannigfaltigkeit X ist ein zusammenhängender, hausdorffscher topologischer Raum mit abzählbarer Basis, der lokal isomorph zu offenen Teilmengen des ℝ^{n} ist. Das heißt, daß es eine Überdeckung von X mit offenen Mengen U gibt, die jeweils homöomorph zu einer offenen Teilmenge V des ℝ^{n} sind. Flächen sind 2–dimensionale Mannigfaltigkeiten.

Eine ℂ–Karte einer Fläche X ist ein Homöomorphismus

p : U → V

einer offenen Teilmenge von X mit einer offenen Teilmenge von ℂ. Zwei ℂ– Karten p : U → V und p′ : U′ → V′ heißen kompatibel, wenn der Kartenwechsel

p′ ∘ p^{−1} : p(U ∩ U′) → p′(U ∩ U′)

biholomorph ist. Ein (holomorpher) Atlas 𝒜 ist eine Familie von kompatiblen ℂ–Karten, deren Definitionsbereiche X überdecken. Zwei Atlanten heißen äquivalent, wenn ihre Karten kompatibel sind. Wir sagen, daß äquivalente Atlanten die dieselbe holomorphe Struktur auf X bestimmen.

Definition Eine Riemannsche Fläche ist eine Fläche mit einer holomorphen Struktur.

Beispiel 1: ℂ mit der offensichtlichen komplexen Struktur ist eine Riemannsche Fläche.

Jede zusammenhängende offene Teilmenge einer Riemannschen Fläche ist, mit der induzierten komplexen Struktur, wieder eine Riemannsche Fläche. Insbesondere ist 𝔼 eine Riemannsche Fläche.

Beispiel 2: ℙ^{1} = ℂ ∪ {∞} ist eine Riemannsche Fläche, deren komplexe Struktur durch den Atlas mit den beiden Karten z : ℙ^{1} \ {∞} → ℂ und \frac{1}{z} : ℙ^{1} \ \{0\} → ℂ gegeben ist.

Definition Eine stetige Abbildung f : X → X′ zwischen Riemannschen Flächen heißt holomorph , wenn für jede Karte p : U → V (des Atlases) von X und jede holomorphe Karte p′ : U′ → V′ von X′ die Funktion

p′ ∘ f ∘ p^{−1} : p(f^{−^{1}}(U′) ∩ U) → V′

holomorph ist.

Wenn X und X′ die Riemannsche Zahlkugel oder ein Teilgebiet von ℂ sind, stimmt diese Definition mit der in Abschnitt 4.2 gegebenen überein. Man beachte auch, daß der Begriff der holomorphen Abbildung nur von den komplexen Strukturen von X und X′ und nicht von den gewählten Atlanten abhängt.

Beispiel 3: Sei ω ≠ 0 und sei Γ = ℤω die Gruppe aller ganzzahligen Vielfachen von ω. Wir nennen zwei komplexe Zahlen z und z′ äquivalent (z ≡ z′), wenn z−z′ ∈ Γ. Sei π : ℂ → ℂ/Γ die Projektion auf die Menge der Äquivalenzklassen. ℂ/Γ versehen mit der Quotiententopologie (d.h. U ist offen genau dann, wenn π^{−1}(U) offen ist) ist eine Fläche, die wie ein unendlich langer Zylinder aussieht. Die Karten π^{−1} : π(V) → V , für alle offenen V ⊂ ℂ, auf denen π injektiv ist, machen ℂ/Γ zu einer Riemannschen Fläche. Die uns aber schon bekannt war: Die Funktion e(z/ ≡) = exp(z \frac{2π i}{ω}) ist wohldefiniert und liefert einen Isomorphismus e : ℂ/Γ → ℂ^{•}.

Beispiel 4: Für zwei ℝ–linear unabhängige komplexe Zahlen ω_{1} und ω_{2} sei Γ = ℤω_{1} + ℤω_{2} das von ihnen aufgespannte Gitter. Die Riemannsche Fläche ℂ/Γ ist ein Torus, also homöomorph zu S^{1} ×S^{1}, für den Einheitskreis S^{1} = {z | |z| = 1}. Die komplexe Struktur hängt aber von ω_{1} und ω_{2} ab:

Satz 8.12 Seien Γ und Γ′ zwei, jeweils von zwei ℝ–linear unabhängigen Zahlen aufgespannte, Gitter. Dann ist ℂ/Γ ≅ ℂ/Γ′ genau dann, wenn αΓ = Γ′ für eine komplexe Zahl α.

Die Riemannschen Flächen ℂ/(ℤ1 + ℤ i) und ℂ/(ℤ2 + ℤ i) sind zum Beispiel nicht isomorph.

Beweis: Wenn αΓ = Γ′, definiert αz einen Isomorphismus zwischen ℂ/Γ und ℂ/Γ′.

Sei umgekehrt ϕ : ℂ/Γ → ℂ/Γ′ ein Isomorphismus. Weil wir durch Addition mit einer komplexen Zahl jeden Punkt von ℂ/Γ′ nach 0/ ≡′ verschieben können, können wir annehmen, daß ϕ(0/ ≡) = 0/ ≡′. Mit Hilfe des nächsten Hilfssatzes aus der Topologie liften wir ϕ zu einer Abbildung α : ℂ → ℂ und ϕ^{−1} zu einer Abbildung β : ℂ → ℂ, für die π′ ∘ α = ϕ ∘ π, π ∘ β = ϕ^{−1} ∘ π′ und α(0) = 0, β(0) = 0.

[figure: ℂ; ℂ; ℂ/Γ; ℂ/Γ′; π; π′; ϕ; α; β]

Weil β ∘ α eine Liftung der identischen Abbildung von ℂ/Γ ist, folgt aus der Eindeutigkeitsaussage des Hilfssatzes, daß β ∘ α die Identität ist. Ebenso ist α ∘ β die Identität. Aus 8.5 folgt, daß α Multiplikation mit einer Zahl ≠ 0 ist, die wir auch α nennen. Es ist dann β(z) = α^{−1}z. Aus αΓ ⊂ Γ′ und α^{−1}Γ′ ⊂ Γ folgt αΓ = Γ′. □

Hilfssatz X, Y und Z seien Mannigfaltigkeiten, π : X → Y eine Überlagerung und Z einfach zusammenhängend. Dann läßt sich jede stetige Abbildung ψ : Z → Y liften zu einer stetigen Abbildung α : Z → X mit ψ = π ∘ α. Wenn man ein z_{0} ∈ Z festhält, gibt es für jedes x ∈ π^{−1}(ψ(z_{0})) genau eine Liftung α mit α(z_{0}) = x.

[figure: Z; X; Y; π; α; ψ]
□

π : X → Y ist eine Überlagerung, wenn π eine stetige Surjektion ist, und wenn jeder Punkt y ∈ Y eine Umgebung U hat, für die π^{−1}(U) in disjunkte offene Menge zerfällt, die vermöge π homöomorph zu U sind. Die Räume X, Y und Z müssen nicht Mannigfaltigkeiten sein. Es genügt, wenn sie global und lokal wegweise zusammenhängend sind.

Beispiel 5: Wenn Γ eine diskrete Gruppe von fixpunktfreien Automorphismen von 𝔼 ist, ist 𝔼/Γ eine Riemannsche Fläche. Sei zum Beispiel S ein nicht– euklidisches reguläres Achteck in 𝔼, dessen Winkelsumme 2π ist.

(In der nichteuklidischen Geometrie kann die Winkelsumme eines n–Ecks jeden Wert zwischen 0 und (n−2)π annehmen. Die Differenz zwischen der Winkelsumme und (n − 2)π ist zur nichteuklidischen Fläche des n–Ecks proportional.) Die nicht–euklidischen Bewegungen, die eine Seite von S auf ihre Gegenseite so verschieben, daß sich der Umlaufsinn der Seite umgekehrt, erzeugen eine Gruppe Γ der gewünschten Art. Die Bilder von S unter den Elementen von Γ bilden eine Pflasterung von 𝔼. Die Fläche 𝔼/Γ entsteht aus S durch Verkleben gegenüberliegender Seiten von S. Man sieht so, daß die 𝔼/Γ das Geschlecht 2 hat, das heißt, homöomorph ist zu einer Kugel mit zwei angeklebten Henkeln.

Jede Mannigfaltigkeit X hat eine (eindeutig bestimmte) einfach zusammenhängende Überlagerung U, die universelle Überlagerung π : U → X. Aus der Gruppe Γ der Homöomorphismen von U, die alle Fasern π^{−1}(x) präservieren, (den Decktransformationen) erhält man X zurück als X ≅ U/Γ. Wenn X eine Riemannsche Fläche ist, ist auch U eine Riemannsche Fläche und Γ ist eine diskrete Gruppe von fixpunktfreien Automorphismen. Der Riemannsche Uniformisierungssatz

Satz 8.13 (Uniformisierungssatz) Die einfachen zusammenhängenden Riemannschen Flächen sind ℂ, 𝔼 und ℙ^{1}. □

ist eine Verallgemeinerung des Riemannschen Abbildungssatzes. Er bedeutet, daß man zur Bestimmung aller Riemannschen Flächen nur die diskreten, fixpunktfreien Untergruppen von Aut(ℂ), Aut(𝔼) und Aut(ℙ^{1}) bestimmen muß.

Das ist trivial für ℙ^{1} (es gibt keine fixpunktfreien Automorphismen) und unproblematisch für ℂ (die nicht–trivialen Gruppen haben die Form ℤω oder ℤω_{1} + ℤω_{2}). Für 𝔼 ist das etwas komplizierter; aber im Prinzip sehen alle Γ so aus wie im letzten Beispiel.

Beispiel 6: Eine ebene algebraische Kurve C = {(x, y) ∈ ℂ^{2} | f(x, y) = 0} für ein irreduzibles Polynom f ∈ ℂ[x, y] definiert eine Fläche, wenn C glatt ist. Das heißt, daß auf C die partiellen Ableitungen f_{x} und f_{y} keine gemeinsame Nullstelle haben. C ist auf natürliche Weise eine Riemannsche Fläche. Wenn man zu projektiven Koordinaten übergeht (siehe Seite 58), erhält C noch endlich viele Punkte im Unendlichen. Und wenn C auch dort glatt ist, wird C zu einer kompakten Riemannschen Fläche.

Satz 8.14 (Riemannscher Existenzsatz) Kompakte Riemannsche Flächen sind glatte projektive algebraische Kurven. □

Der Riemannsche Existenzsatz in dieser Form ist nur richtig, wenn man neben ebenen Kurven auch algebraische Kurven zuläßt, die durch Gleichungen in mehr als zwei Variablen definiert sind. (Es genügen allerdings drei Variable.)

Beispiel 7: Die Riemannsche Fläche einer algebraischen Funktion: Wir stellen uns vor, daß eine irreduzible Polynomgleichung f(z, w) = 0 eine algebraische Funktion z ↦ w bestimmen sollte. In Wirklichkeit ist die Funktion aber nur auf der Riemannschen Fläche der algebraischen Funktion definiert: Wir betrachten die Familie aller Paare (U, g), wobei U ein Gebiet in ℂ ist und g : U → ℂ eine holomorphe Funktion mit f(z, g(z)) = 0 für alle z ∈ U ist. Wir verkleben zwei solche Paare (U, g) und (V, h) am Durchschnitt U ∩ V, wenn U ∩ V nicht leer ist und g und h auf dem Durchschnitt übereinstimmen. Es resultiert eine Riemannsche Fläche, die ℂ fast ganz , bis auf endliche viele Verzweigungspunkte, überlagert. Wenn wir unserer Fläche an den Verzweigungspunkten und bei ∞ in geeigneter Weise endliche viele Punkte hinzufügen, erhalten wir eine kompakte Riemannsche Fläche. Wenn f(z, w) = 0 eine glatte (projektive) Kurve definiert, erhalten wir die gleiche Riemannsche Fläche wie im letzten Beispiel.

Eine Variante des Riemannschen Existenzsatzes ist:

Satz 8.15 Jede kompakte Riemannsche Fläche ist Riemannsche Fläche einer algebraischen Funktion. □

Wir werden im nächsten Abschnitt einen Spezialfall des Riemannschen Existenzsatzes zeigen: Jede Riemannsche Fläche der Form ℂ/(ℤω_{1} + ℤω_{2}) ist isomorph zu einer glatten, ebenen, projektiven algebraischen Kurve.

9 Doppelt–periodische Funktionen

Literatur

[1] C.L. Siegel. Topic in Complex Function Theory, volume I. Wiley– Interscience; New York, London, Sydney, Toronto, 1969.

9.1 Divisoren doppelt–periodischer Funktionen

Definition ω_{1} und ω_{2} seien zwei ℝ–linear unabhängige komplexe Zahlen. Wir nennen eine auf ℂ definierte meromorphe Funktion f doppelt–periodisch mit Perioden ω_{1}, ω_{2}, wenn

f(z) = f(z + ω_{1}) = f(z + ω_{2})

für alle z ∈ ℂ.

Mit ω_{1} und ω_{2} sind auch alle ℤ–Linearkombinationen aus dem Periodengitter

Γ = ℤω_{1} + ℤω_{2}

Perioden von f. f ist eindeutig bestimmt durch seine Werte auf dem Fundamentalbereich

P = {xω_{1} + yω_{2} | 0 ≤ x < 1, 0 ≤ y < 1}.

Doppelt–periodische Funktionen mit Periodengitter Γ lassen sich auffassen als Funktionen auf der Riemannschen Fläche ℂ/Γ.

Wir halten in Folgenden ein Periodengitter Γ fest und benützen die Bezeichnung

x ≡ y

für x − y ∈ Γ.

Lemma 9.1 Holomorphe doppelt–periodische Funktionen sind konstant.

Beweis: Eine doppelt–periodische Funktion nimmt alle ihre Werte schon auf P an. f ist also beschränkt durch max\{|f(z)| | z ∈ \overline{P} \} und daher nach dem Liouvilleschen Satz 3.6 konstant. □

Satz 9.2 Die Summe der Residuen einer doppelt–periodischen meromorphen Funktion im Fundamentalbereich ist Null.

Beweis: Die meromorphe Funktion f hat im Fundamentalbereich nur endlich viele Polstellen. Wir können f so verschieben (das heißt durch f(z+a) ersetzen), daß die Pole nicht auf dem Rand von P liegen. Die Summe der Residuen ist dann \frac{1}{2π i} ∫_{∂P} f(z) dz. Das Integral ist aber = 0, weil sich die Integrale über

gegenüberliegende Seiten von P gegenseitig aufheben. □

Folgerung 9.3 Eine doppelt–periodische Funktion f ≠ 0 hat (mit Vielfachheiten gezählt) im Fundamentalbereich ebenso viele Nullstellen wie Polstellen.

Beweis: (Zahl der Nullstellen) – (Zahl der Pole) ist die Summe der Residuen von \frac{f′(z)}{f(z)}. □

Folgerung 9.4 Eine nicht–konstante doppelt–periodische Funktion f nimmt (mit Vielfachheiten gezählt) jeden Wert in ℙ^{1} gleich oft an.

Null– und Polstellen einer doppelt–periodischen Funktion müssen einer weiteren Bedingung genügen. Dazu brauchen wir eine Definition

Definition Ein Divisor ist eine mit Elementen von P indizierte Familie

(n(z))_{z∈P} ,

von ganzen Zahlen, von denen nur endlich viele ≠ 0 sind. Der Divisor (f) = (n_{f}(z))_{z∈P} einer doppelt–periodischen Funktion f ≠ 0 ordnet jedem z ∈ P die Vielfachheit der “Nullstelle” z von f zu:

n_{f}(z) = \{ \begin{matrix}n & , wenn z n–fache Nullstelle von f \\ −n & , wenn z n–facher Pol von f \\ 0 & , sonst \end{matrix}

Divisoren der Form (f) heißen Hauptdivisoren.

Die Folgerung 9.3 bedeutet, daß für jeden Hauptdivisor

∑_{z∈P} n_{f}(z) = 0.

Satz 9.5 Für jeden Hauptdivisor ist

∑_{z∈P} n_{f}(z)z ≡ 0.

Wir werden im nächsten Abschnitt sehen, daß umgekehrt jeder Divisor, der 9.3 und 9.5 erfüllt, ein Hauptdivisor ist.

Beweis: Bei Polen oder Nullstellen hat \frac{f′(z)}{f(z)} hat einen einfachen Pol mit Resi-

duum n_{f}(z). Das Residuum von \frac{f′(z)}{f(z)}z ist also immer n_{f}(z)z. Es folgt, daß

∑_{z∈P} n_{f}(z)z = \frac{1}{2π i} ∫_{∂P} \frac{f′(z)}{f(z)}z dz.

(Sollten Null– oder Polstellen auf dem Rand von f liegen, verschieben wir f geeignet. Wegen 9.3 ändert das nichts an der zu beweisenden Behauptung.) Die Integrale über gegenüberliegende Seiten von P heben sich nicht mehr auf. Das Gesamtintegral berechnet sich aber als

− (ω_{1} ∫_{0}^{ω_{2}} \frac{f′(z)}{f(z)} dz + ω_{2} ∫_{0}^{ω_{1}} \frac{f′(z)}{f(z)} dz) . (1)

Weil die Bildkurve α(t) = f(tω_{1}) des unteren Randes von P geschlossen ist, ist (wie in Beweis von 5.15)

\frac{1}{2π i} ∫_{0}^{ω_{1}} \frac{f′(z)}{f(z)}

die Umlaufszahl von α um 0, also eine ganze Zahl. Das gleiche gilt für \frac{1}{2π i} ∫_{0}^{ω_{2}} \frac{f′(z)}{f(z)}. Der Ausdruck (1) ist also eine ℤ–Linearkombination von ω_{1} und ω_{2}. □

Die Sätze 9.3 und 9.5 lassen sich so zusammenfassen:

Satz Eine doppelt–periodische Funktion hat ebensoviele Nullstellen a_{1}, …, a_{m} wie Pole p_{1}, …, p_{m}. Weiterhin gilt

a_{1} + … + a_{m} ≡ p_{1} + … + p_{m}.

9.2 Funktionen mit vorgeschriebenen Null– und Polstellen

Wir wollen zuerst eine möglichst einfache nicht–konstante doppelt–periodische Funktion angeben. Doppelt–periodische Funktionen mit einem einfachen Pol und einer einfachen Nullstelle kann es nach dem letzten Satz nicht geben. Die Weierstraßsche ℘–Funktion hat einen doppelten Pol bei 0 und zwei einfache Nullstellen a und −a in P.

Satz 9.6 Die Reihe

℘(z) = \frac{1}{z^{2}} + ∑_{γ∈Γ^{∘}} (\frac{1}{(z − γ)^{2}} − \frac{1}{γ^{2}} )

ist außerhalb von Γ lokal gleichmäßig (absolut) konvergent und stellt eine meromorphe doppelt–periodische Funktion mit Periodengitter Γ dar, die Weierstraßsche ℘–Funktion. ℘ ist eine gerade Funktion, das heißt, daß ℘(−z) = ℘(z). In P ist 0 der einzige Pol (der Ordnung 2) von ℘.

Beweis: Wir verwenden folgende Tatsache, die leicht zu beweisen ist, indem man Summen durch Integrale abschätzt, die leicht zu berechnen sind:

Hilfssatz

(2)  ∑_{(m,n)∈ℤ^{2}\0} \frac{1}{|m + n i|^{3}} < ∞

□

Wenn |γ| > |2z|, ist

|\frac{1}{(z − γ)^{2}} − \frac{1}{γ^{2}} | = |\frac{z^{2} − 2zγ}{(z − γ)^{2}γ^{2}} | ≤ | \frac{3zγ}{\frac{1}{4}γ^{4}} | ≤ |\frac{12z}{γ^{3}} | .

Es genügt also zu zeigen, daß ∑_{γ∈Γ} \frac{1}{γ^{3}} absolut konvergiert. Lineare Algebra zeigt, daß es ein ϵ > 0 gibt, so daß

\frac{1}{|mω_{1} + nω_{2}|} ≤ ϵ\frac{1}{|m + n i|}

für alle m, n ∈ ℤ. Also sind wir auf das Problem reduziert, zu zeigen, daß

∑_{(m,n)∈ℤ^{2}\0} \frac{1}{|m + n i|^{3}}

konvergiert. Die Funktion ℘(z + ω_{1}) wird durch die Reihe

∑_{γ∈Γ} (\frac{1}{(z − γ)^{2}} − \frac{1}{(γ − ω_{1})^{2}} )

(wobei hier \frac{1}{0} = 0) dargestellt. Es ist also

℘(z + ω_{1}) − ℘(z) = ∑_{γ∈Γ} (\frac{1}{γ^{2}} − \frac{1}{(γ − ω_{1})^{2}} ) .

Wegen der absoluten Konvergenz berechnet sich das als

∑_{n∈ℤ} ∑_{m∈ℤ} (\frac{1}{(mω_{1} + nω_{2})^{2}} − \frac{1}{((m − 1)ω_{1} + nω_{2})^{2}} ) = ∑_{n∈ℤ} 0 = 0

□

Die Ableitung ℘′ hat einen dreifachen Pol bei 0 und drei Nullstellen (mit ihrer Vielfachheit gezählt) in P. Weil ℘′ ungerade ist (d.h. ℘′(−z) = −℘(z)), sind diese drei Nullstellen \frac{ω_{1}}{2} , \frac{ω_{2}}{2} und \frac{ω_{1}+ω_{2}}{2} . Das sind (neben 0) gerade die Elemente a von P mit a ≡ −a und die einzigen Elemente von P, wo ℘ seinen Wert zweifach annimmt.

Wir bezeichnen den Divisor, der bei a ∈ P den Wert 1 und sonst überall den Wert 0 hat, mit 𝒟(a). Wenn a ∉ P, meinen wir mit 𝒟(a) den Divisor 𝒟(a′), wobei a′ ∈ P und a′ ≡ a.

Lemma 9.7 Wenn a + b + c ≡ 0 ist 𝒟(a) + 𝒟(b) + 𝒟(c) − 3𝒟(0) Divisor einer Funktion der Form α℘(z) + β℘′(z) − γ.

Beweis: Sei D = 𝒟(a) + 𝒟(b) + 𝒟(−a − b) − 3𝒟(0) unser Divisor. Wir unterscheiden drei Fälle:

1. a, b ≢ 0 und a ≢ b Sei αx+βy = γ die Gleichung einer Geraden, die durch die beiden Punkte (℘(a), ℘′(a)) und (℘(b), ℘′(b)) geht. Dann sind a und b Nullstellen von f(z) = α℘(z) + β℘′(z) − γ und 0 ist ein zwei– oder dreifacher Pol von f. Aus 9.3 und 9.5 folgt (f) = D.

2. a ≡ b ≢ 0 Wir wählen α und β, nicht beide gleich Null, so daß α℘′(a) + β℘′′(a) = 0, und setzen α℘(a)+β℘′(a) = γ. Dann ist a (mindestens) doppelte Nullstelle von f(z) = α℘(z) + β℘′(z) − γ. 0 ist der einzige Pol von f in P, mit der Vielfachheit 2 oder 3. Es bleibt nichts anderes übrig, als daß (f) = D.

3. a ≡ 0 oder b ≡ 0 Wenn a ≡ b ≡ 0, ist D der Nulldivisor. Also ist (1) = D. Wenn b ≢ 0, sei γ = ℘(b). Dann ist (℘(z) − γ) = 𝒟(b) + 𝒟(−b) − 2𝒟(0) = D.

□

Folgerung 9.8 𝒟(a) + 𝒟(b) − 𝒟(a + b) − 𝒟(0) ist ein Hauptdivisor.

Beweis: 𝒟(a) + 𝒟(b) − 𝒟(a + b) − 𝒟(0) ist Differenz der beiden Hauptdivisoren 𝒟(a) + 𝒟(b) + 𝒟(−a − b) − 3𝒟(0) und 𝒟(a + b) + 𝒟(−a − b) − 2𝒟(0). □

Satz 9.9 Ein Divisor (n(z))_{z∈P} ist genau dann Hauptdivisor, wenn ∑_{z∈P} n_{f}(z) = 0 und ∑_{z∈P} n_{f}(z)z ≡ 0.

Beweis: Aus 9.8 folgt, daß

𝒟(a) + 𝒟(b) + 𝒟(c) − 𝒟(a + b + c) − 2𝒟(0)
= (𝒟(a) + 𝒟(b) − 𝒟(a + b) − 𝒟(0))
+ (𝒟(a + b) + 𝒟(c) − 𝒟(a + b + c) − 𝒟(0))

Hauptdivisor ist. Oder allgemeiner, daß alle

𝒟(a_{1}) + … + 𝒟(a_{m}) − 𝒟(a_{1} + … + a_{m}) − (m − 1)𝒟(0)

Hauptdivisoren sind. Wenn a_{1} + … + a_{m} ≡ b_{1} + … + b_{m}, ist also

𝒟(a_{1}) + … + 𝒟(a_{m}) − (𝒟(b_{1}) + … + 𝒟(b_{m}))
= (𝒟(a_{1}) + … + 𝒟(a_{m}) − 𝒟(a_{1} + … + a_{m}) − (m − 1)𝒟(0))
−(𝒟(b_{1}) + … + 𝒟(b_{m}) − 𝒟(b_{1} + … + b_{m}) − (m − 1)𝒟(0))

Hauptdivisor. Das war zu zeigen. □

9.3 Der Körper der doppelt–periodischen meromorphen Funktionen

Aus dem Beweis von 9.9 folgt, daß jede doppelt–periodische Funktion Quotient von Produkten von Funktionen der Form α℘(z) + β℘′(z) − γ ist. Der Körper

ℂ(ℂ/Γ)

der doppelt–periodischen Funktionen wird also erzeugt von ℘(z) und ℘′(z). Genauer gilt:

Satz 9.10 Jede doppelt–periodische Funktion hat die Gestalt:

Q(℘(z)) + ℘′(z)R(℘(z))

für zwei rationale Funktionen Q(x) und R(x).

Beweis: Jede meromorphe Funktion f ist Summe einer geraden Funktion \frac{f(z)+f(−z)}{2} und einer ungeraden \frac{f(z)−f(−z)}{2}, die beide doppelt–periodisch sind, wenn f doppelt–periodisch ist. Ungerade Funktionen lassen sich in der Form ℘′(z)g(z) für eine gerade Funktion g schreiben. Es genügt also zu zeigen, daß jede gerade doppelt–periodische Funktion f eine rationale Funktionen von ℘(z) ist.

Wir brauchen einen Hilfssatz

Hilfssatz Wenn f gerade ist, haben seine Nullstellen und Pole aus

P [2] = \{0, \frac{ω_{1}}{2} , \frac{ω_{2}}{2} , \frac{ω_{1} + ω_{2}}{2} \}

gerade Vielfachheit.

Beweis: Wenn k ungerade ist, ist f^{(k)} ungerade, und daher f^{(k)}(a) = 0 für alle a mit a ≡ −a. Daraus folgt die Behauptung für Nullstellen. Für Pole betrachtet man f^{−1}. □

Die Menge P′ enthalte für alle a ∈ P \ P [2] genau eins der Element a oder −a. Wenn wir Q(X) definieren durch

∏_{a∈P′}(X − ℘(a))^{n_{f} (a)} ∏_{b∈P [0]\0}(X − ℘(b))^{\frac{n_{f} (b)}{2}}

haben Q(℘(z)) und f(z) den gleichen Divisor auf P \ 0 und daher, wegen 9.3, auch auf ganz P. Es folgt, daß sich Q(℘(z)) und f(z) nur durch einen Faktor unterscheiden. □

Um den Körper ℂ(ℂ/Γ) = ℂ(℘(z), ℘′(z)) zu bestimmen, muß man noch herausbekommen, ob ℘′(z) von ℘(z) algebraisch unabhängig ist, oder einer algebraischen Gleichung genügt. Wenn man den letzten Satz (und seinen Beweis) auf ℘′(z)^{2} anwendet, sieht man aber, daß ℘′(z)^{2} eine rationale Funktion von ℘(z) sein muß. Der nächste Satz gibt diese Funktion an:

Satz 9.11 Sei p_{1} = ℘(\frac{ω_{1}}{2} ), p_{2} = ℘(\frac{ω_{2}}{2} ) und p_{3} = ℘(\frac{ω_{1}+ω_{2}}{2} ). Dann ist für alle z

℘′(z)^{2} = 4(℘(z) − p_{1})(℘(z) − p_{2})(℘(z) − p_{3}).

Beweis: Beide Seiten haben im Fundamentalbereich die gleichen Pol– und Nullstellen. Nämlich einen sechsfachen Pol bei 0 und bei \frac{ω_{1}}{2} , \frac{ω_{2}}{2} und \frac{ω_{1}+ω_{2}}{2} jeweils eine doppelte Nullstelle. Die beiden Seiten können sich also nur durch einen konstanten Faktor unterscheiden. Die Laurententwicklung von ℘(z) bei 0 beginnt mit z^{−2}, die Laurententwicklung von ℘′(z) mit −2z^{−3}. Also beginnen die Laurententwicklungen der rechten und linken Seite der behaupteten Gleichung beide mit 4z^{−6}. □

Mit den Bezeichnungen

g_{1} = 4(p_{1} + p_{2} + p_{3})
g_{2} = −4(p_{1}p_{2} + p_{2}p_{3} + p_{3}p_{1})
g_{3} = 4p_{1}p_{2}p_{3}

ist also

℘′(z)^{2} = 4℘(z)^{3} − g_{1}℘(z)^{2} − g_{2}℘(z) − g_{3}.

Aus dem nächsten Satz folgt insbesondere, daß g_{1} = 0.

Satz 9.12 Sei z^{−2} + a + bz^{2} + cz^{4} + … der Anfang der Laurententwicklung von ℘(z) bei 0. Dann ist a = 0 und

℘′(z)^{2} = 4℘(z)^{3} − g_{2}℘(z) − g_{3}, (3)

wobei g_{2} = 20b und g_{3} = 28c.

Beweis: a ist die Summe der konstanten Terme der Laurententwicklungen der (\frac{1}{(z−γ)^{2}} − \frac{1}{γ^{2}} ) (γ ∈ Γ^{∘}). Diese Terme, die man ja durch Einsetzen von z = 0 erhält, sind aber alle gleich Null. Wir betrachten die Koeffizienten von z^{−6}, z^{−5}, z^{−4}, z^{−3}, z^{−2}, z^{−1}, z^{0}, der Laurententwicklung von ℘′(z)^{2}, ℘(z)^{3}, ℘(z) und 1 :

z^{−6} z^{−5} z^{−4} z^{−3} z^{−2} z^{−1} z^{0}
℘′(z)^{2} 4  0  0  0 −8b 0 −16c
℘(z)^{3} 1  0  0  0 3b 0  3c
℘(z)  0  0  0  0  1  0  0
1  0  0  0  0  0  0  1

Wenn man die erste Zeile mit 1, zweite mit −4, die dritte mit 20b und die vierte mit 28c multipliziert, ist die Summe aller Spalten gleich Null. Die Funktion ℘′(z)^{2} − 4℘(z)^{3} + 20b℘(z) + 28c hat also keine Pole und eine Nullstelle bei 0, muß also nach 9.1 die Nullfunktion sein. □

Man kann auf g_{2} und g_{3} auf folgende Weise einfach aus ω_{1} und ω_{2} ausrechnen: 2b ist der konstante Term der Laurententwicklung von ℘′′(z) bei Null, 24c der konstante Term von ℘′′′′(z). Daraus ergibt sich

b = 3 ∑_{γ∈Γ^{∘}} \frac{1}{γ^{4}}

c = 5 ∑_{γ∈Γ^{∘}} \frac{1}{γ^{6}} .

9.4 Die zugeordnete algebraische Kurve

Satz 9.13 Die Abbildung

z ↦ (℘(z), ℘′(z))

definiert eine Bijektion zwischen P \ {0} und der ebenen algebraischen Kurve

C = {(x, y) ∈ ℂ^{2} | y^{2} = 4x^{3} − g_{2}x − g_{3}}.

Beweis: Surjektivität: ℘(z) nimmt jeden Wert zweimal an, ist also surjektiv. Wenn (a, b) ∈ C, gibt es also ein x ∈ P mit ℘(x) = a. Weil (a, ℘′(x)) ∈ C, ist (a, b) = (℘(x), ℘′(x)) oder (a, b) = (℘(−x), ℘′(−x)). Injektivität: Wenn x ≠ y und ℘(x) = ℘(y) ist x ≡ −y und daher ℘′(x) = −℘′(y). Weil x ≢ −x, ist x keine Nullstelle von ℘′(z) und daher ℘′(x) ≠ ℘′(y). □

0 ∈ P sollte einem “unendlichen” Punkt von C entsprechen. Um von solchen Punkten sprechen zu können, erweitert man ℂ^{2} zur projektiven Ebene

P^{2}(ℂ) = {(α : β : γ) | (α, β, γ) ∈ ℂ^{3} \ 0} .

Dabei bestimmen die homogenen Koordinaten α, β, γ und α′, β′, γ′ denselben Punkt

(α : β : γ) = (α′ : β′ : γ′),

wenn der Vektor (α′, β′, γ′) ein Vielfaches von (α, β, γ) ist. Ein Punkt (x, y) von ℂ^{2} hat die homogenen Koordinaten (x : y : 1), die neuen unendlichen Punkte Koordinaten (x : y : 0). In homogenen Koordinaten hat C die homogene Gleichung y^{2}z = 4x^{3} − g_{2}xz^{2} − g_{3}z^{3}. (4)

In P^{2}(ℂ) hat die “projektive” Kurve C den neuen Punkt (0 : 1 : 0), der nun tatsächlich 0 ∈ P entspricht, wie man der Gleichung

(℘(z) : ℘′(z) : 1) = (\frac{℘(z)}{℘′(z)} : 1 : \frac{1}{℘′(z)})

entnimmt.

Weil die drei Nullstellen ℘(\frac{ω_{1}}{2} ), ℘(\frac{ω_{2}}{2} ) und ℘(\frac{ω_{1}+ω_{2}}{2} ) von 4x^{3} − g_{2}x − g_{3} paarweise verschieden sind, ist C glatt (auch im unendlichen Punkt). Die im Satz beschriebene Bijektion ist ein Biholomorphismus zwischen ℂ/Γ und der Riemannschen Fläche C. (Siehe Beispiel 6 auf Seite 50.)

Die Bijektion mit ℂ/Γ gibt C die Struktur einer abelschen Gruppe: Man definiert ⊕ durch

(℘(z_{1}), ℘′(z_{1})) ⊕ (℘(z_{2}), ℘′(z_{2})) = (℘(z_{1} + z_{2}), ℘′(z_{1} + z_{2})).

Der nächste Satz zeigt, daß die Koordinaten von (x_{1}, y_{1}) ⊕ (x_{2}, y_{2}) rationale Funktionen von x_{1}, y_{1}, x_{2}, y_{2} sind. Wir beschränken uns auf die x–Koordinate.

Satz 9.14 (Additionstheorem für die ℘–Funktion) Für alle z_{1}, z_{2} ∈ ℂ\Γ mit z_{1} ≢ z_{2} gilt

℘(z_{1} + z_{2}) = \frac{1}{4} (\frac{℘′(z_{2}) − ℘′(z_{1})}{℘(z_{2}) − ℘(z_{1})})^{2} − ℘(z_{1}) − ℘(z_{2})

Beweis: Im Beweis von 9.7 (Fall 1) sieht man, daß eine Gerade y = ax + b, die C in (x_{1}, y_{1}) = (℘(z_{1}), ℘′(z_{1})) und (x_{2}, y_{2}) = (℘(z_{2}), ℘′(z_{2})) schneidet, C auch in

(x_{3}, y_{3}) = (℘(−z_{1} − z_{2}), ℘′(−z_{1} − z_{2}))

schneidet. Wenn man x_{3} = ℘(z_{1} +z_{2}) aus x_{0}, y_{0}, x_{1}, y_{1} berechnen will, muß man die Gleichung dritten Grades

4x^{3} − (ax + b)^{2} − g_{2}x − g_{3} = 0

lösen, von der man zwei Lösungen, nämlich x_{0} und x_{1}, schon kennt. Der Zerlegung

4x^{3} − (ax + b)^{2} − g_{2}x − g_{3} = 4(x − x_{1})(x − x_{2})(x − x_{3})

entnimmt man \frac{1}{4}a^{2} = x_{1} + x_{2} + x_{3}. Weil a = \frac{y_{2}−y_{1}}{x_{2}−x_{1}} , ist also

x_{3} = \frac{1}{4} (\frac{y_{2} − y_{1}}{x_{2} − x_{1}} )^{2} − x_{1} − x_{2}.

□

Mit dem gleichen Beweis^{14} (man verwendet aber vom Beweis von 9.7 den Fall 2) sieht man:

Zusatz Für alle z ∈ ℂ \ Γ

℘(2z) = \frac{1}{4} (\frac{℘′′(z)}{℘′(z)})^{2} − 2℘(z)

□

Die rechte Seite läßt leicht durch ℘(z) und ℘′(z) ausdrücken, weil (wie sich aus (3) durch Ableiten ergibt)

℘′′(z) = 6℘(z)^{2} − \frac{g_{2}}{2} .

14Man erhält die Formel auch durch Grenzübergang z_{1} → z_{2} aus dem Additionstheorem.

Beispiel: Wenn man glücklich zwei rationale Lösungen von

y^{2} = 4x^{3} − x + 1

gefunden hat, zum Beispiel (0, 1) und (1, 2), liefert unsere Formel eine dritte:

x_{3} = \frac{1}{4} (\frac{2 − 1}{1 − 0})^{2} − 0 − 1 = −\frac{3}{4}

mit y_{3} = −\frac{1}{4}.

Die Differentialform dz entspricht beim Isomorphismus zwischen ℂ/Γ und C der Differentialform

dx \frac{1}{\frac{dx}{dz}} = \frac{dx}{℘′(z)} = \frac{dx}{y}

Sei I(w) = z eine lokale Umkehrfunktion von ℘(z) = w. Die Ableitung von I berechnet sich als

I′(w) = \frac{dz}{dw} = \frac{1}{℘′(z)} = \frac{1}{\sqrt{4w^{3} − g_{2}w − g_{3}}} .

Die Berechnung sogenannter elliptischen Integrale wie zum Beispiel

∫ \frac{1}{\sqrt{4w^{3} − g_{2}w − g_{3}}} dw

war der Ausgangspunkt der Theorie der doppelt–periodischen Funktionen.

Wenn man in C den Punkt ∞ mit (℘(z_{0}), ℘′(z_{0})) durch eine Kurve α verbindet, erhält man z_{0} ∈ ℂ/Γ zurück als

z_{0} = ∫_{α} \frac{dx}{y}.

Wenn man ∞ und (℘(z_{0}), ℘′(z_{0})) in C mit einer anderen Kurve verbindet, ändert sich der Wert des Integrals nur um ein Element von Γ. Man kann auf diese Weise zeigen, daß man jede glatte, durch eine Gleichung y^{2} = x^{3} + bx + c gegebene Kurve für geeignete Perioden ω_{1} und ω_{2} aus Satz 9.13 erhält. Derartige Kurven heißen elliptisch.

Wenn b und c rationale Zahlen sind, bilden die rationalen Punkte (inklusive ∞) einer elliptischen Kurve auf die oben beschrieben Weise eine abelsche Gruppe. Der Satz von Mordell besagt, daß diese Gruppe endlich erzeugt ist.

Index

arg, 3 log, 11 log^{∗}, 11 Aut(X), 42 ℂ(U), 19 cos(z), 5 cot(z), 35 𝒟(a), 54 DV(a, b, x, y), 44 e^{z}, 5 exp(z), 5 ℍ, 39 c ∼ d, 29 i, 3 Im(z), 3 ν_{γ}(z_{0}), 11 P, 51 ℙ^{1}, 19 ℘, 53 P^{1}(ℂ), 19 P^{2}(ℂ), 58 Res_{z_{0}}f(z), 23 Re(z), 3 sin(z), 5, 39 ∞, 19 ∡(γ), 27 x ≡ y, 51 |z|, 3

Abbildungssatz

von Riemann, 40 Abstand

nicht–euklidischer, 45 Additionstheorem für ℘(z), 59 äquivalenter Atlas, 47 äußerer Konvergenzradius, 21 algebraische

Funktion, 50 Kurve, 50

Argument, 3 Atlas, 47

äquivalenter, 47 Automorphismus, 42

berandender Zyklus, 30 Betrag, 3 Bewegung

nicht–euklidische, 46 biholomorphe

Abbildung, 39 Gebiete, 39

Casorati-Weierstraß, Satz von, 18 Cauchysche

Abschätzung für die Taylorkoeffi-

zienten, 14 Integralformel, 12 Koeffizientenformel, 14

diskrete Menge, 19

Divisor, 52

doppelt–periodische Funktion, 51 Doppelverhältnis, 44

einfach zusammenhängender Raum, 10 einfacher Zyklus, 27 elliptische Kurve, 61 Excisionslemma, 29 Existenzsatz von Riemann, 50 Exponentialfunktion, 5

Fläche, 47

Riemannsche, 47 Fundamentalbereich, 51 Funktion

algebraische, 50 biholomorphe, 39 doppelt–periodische, 51 ganze, 5 gerade, 53 holomorphe, 3, 20, 47 meromorphe, 19, 20 offene, 17 rationale, 4, 20, 32 schlichte, 41 ungerade, 54

Funktionenfolge gleichgradig stetige, 33 gleichmäßig konvergente, 33 lokal beschränkte, 34 lokal gleichmäßig konvergente, 33 punktweise konvergente, 32

ganze Funktionen, 5

Gebiet, 16

biholomorphes, 39 Gebietstreue, 17 Gerade

nicht–euklidische, 45 gerade Funktion, 53 Gitter, 48 glatte Kurve, 50 gleichgradig stetige Funktionenfolge, 33 gleichmäßig konvergente Funktionenfol-

ge, 33 Goursat

Satz von, 8 Gruppenoperation

scharf n-fach transitive, 43 transitive, 42

Hauptdivisor, 52 Hauptsatz der Algebra, 15 Hauptteil, 34 Hauptzweig des Logarithmus, 11 hebbare Singularität, 18 holomorphe Funktion, 3, 20, 47 holomorphe Struktur, 47 homöomorphe topologische Räume, 39 homogene Koordinaten, 19, 58 homologe Kette, 29 homologer Zyklus, 28 homotope Kurven, 9

Identitätssatz, 16 Imaginärteil, 3 innerer Konvergenzradius, 21 Integral, 7, 9, 27 isolierte Singularität, 18

Körper der meromorphen Funktionen,

19 Karte, 47

kompatible, 47 Kette, 27

homologe, 29 kompatible Karte, 47 komplexe Differenzierbarkeit, 3 komplexe Zahl, 3 Konjugation, 3 Konvergenzkreis, 4 Konvergenzkreisring, 21 Konvergenzradius, 4

äußerer, 21 innerer, 21 Kurve

algebraische, 50 elliptische, 61 glatte, 50 homotope, 9 projektive, 50, 58 zusammenziehbare, 9

Laurentreihe, 21

Liouville

Satz von, 14 logarithmische Ableitung, 39 Logarithmus

einer Kurve, 10 Hauptzweig, 11

lokal beschränkte Funktionenfolge, 34 lokal gleichmäßig konvergente Funktio-

nenfolge, 33

Mannigfaltigkeit, 47 Maximumprinzip, 17 meromorphe Funktion, 19, 20 Mittag–Leffler

Satz von, 35 Mittelwertsatz, 13 Möbiustransformation, 40 Montel

Satz von, 34 Morera

Satz von, 15

nicht–euklidische Abstände, 45 Bewegung, 46 Gerade, 45

Nullstelle k–ter Ordnung, 16

offene Abbildung, 17

Periodengitter, 51

Pol, 18

k–ter Ordnung, 18 Potenzreihenentwicklungssatz, 14 Produktsatz von Weierstraß, 37 projektive

Ebene, 58 Gerade, 19, 40 Kurve, 50, 58 punktierte Ebene, 10 punktweise konvergente Funktionenfol-

ge, 32 rationale Funktion, 4, 20, 32 Realteil, 3 Residuensatz, 23, 28 Residuum, 23, 25 Riemannsche

Fläche, 47 Zahlkugel, 19

Riemannscher Abbildungssatz, 40 Existenzsatz, 50 Hebbarkeitssatz, 15

Rouché Satz von, 32

Satz von Casorati-Weierstraß, 18 von Goursat, 8 von Liouville, 14 von Mittag–Leffler, 35 von Montel, 34 von Morera, 15 von Rouché, 32

Satz vom Argument, 31 scharf n-fach transitive Gruppenopera-

tion, 43 schlichte Funktion, 41 Schwarzsches Lemma, 17 Singularität

hebbare, 18 isolierte, 18 wesentliche, 18

Stammfunktion, 6

topologischer Raum diskreter, 19 einfach zusammenhängender, 10 homöomorpher, 39 wegweise–zusammenhängender, 10 zusammenhängender, 10

Torus, 48 transitive Gruppenoperation, 42

Überlagerung, 49

universelle, 49 Umlaufszahl, 11, 27 ungerade Funktion, 54 Uniformisierungssatz, 49 universelle Überlagerung, 49

wegweise–zusammenhängender Raum, 10 Weierstraßsche ℘–Funktion, 53 Weierstraßscher Produktsatz, 37 Winkel, 27

Zahlkugel, 19, 47

zusammenhängender Raum, 10 zusammenziehbare Kurve, 9 Zyklus, 27

0–homologer, 28 berandender, 30 einfacher, 27