Lineare Algebra

Martin Ziegler

Freiburg WS 11/12, SS 12^{1} ^{2}

1version15-1-g93e8913, Mon Oct 15 22:27:44 2018 +0200 2Ich danke Heike Mildenberger, Enrique Casanovas und Christina Pflanz für eine

kritische Durchsicht.

Inhaltsverzeichnis

1 Der n-dimensionale euklidische Raum 1 1.1 Lineare Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Der ℝ^{n} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Geraden und Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Das Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5 Lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Vektorräume 17 2.1 Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 ℝ–Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3 Endlichdimensionale Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4 Unendlichdimensionale Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.5 Der Verband der Unterräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.6 Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3 Lineare Abbildungen 41 3.1 Der Noethersche Isomorphiesatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.2 Die lineare Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.3 Basiswechsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4 Determinanten 52

4.1 Die Signatur einer Permutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.2 k–Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.3 Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.4 Der Laplacesche Entwicklungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.5 Geometrische Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5 Endomorphismen 67 5.1 Diagonalisierbare Endomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 5.2 Das charakteristische Polynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 5.3 Zerlegung in Haupträume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 5.4 Die Jordansche Normalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6 Dualität 84 6.1 Der Dualraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 6.2 Duale Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 6.3 Duale Paare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

7 Symmetrische Bilinearformen 94 7.1 Bilinearformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 7.2 Symmetrische Bilinearformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 7.3 Euklidische Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 7.4 Die Hauptachsentransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 7.5 Unitäre Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

8 Multilineare Algebra 118 8.1 Tensorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 8.2 Tensorprodukt und Dualität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 8.3 Die äußere Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 8.4 Äußere Algebra und Dualität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 8.5 Die äußere Algebra eines euklidischen Raumes . . . . . . . . . . . 135

Index 138

Kapitel 1

Der n-dimensionale euklidische Raum

1.1 Lineare Gleichungen

Eine lineare Gleichung (über ℝ) ist ein Ausdruck der Form

α_{1}x_{1} + … + α_{n}x_{n} = β,

für reelle Zahlen α_{i} und β. Eine Lösung ist ein n-Tupel

(ξ_{1}, …, ξ_{n})

von reellen Zahlen, das die Gleichung erfüllt. Ein lineares Gleichungssystem G (in n Variablen) ist ein System

α_{11}x_{1} + ⋯ + α_{1n}x_{n} = β_{1}
⋮
⋮
α_{m1}x_{1} + ⋯ + α_{mn}x_{n} = β_{m}

von linearen Gleichungen. In Kurzform

∑_{j=1}^{n} α_{ij}x_{j} = β_{i} (i = 1, …, m).

Die Lösungsmenge von G ist

L(G) = {(ξ_{1}, …, ξ_{n}) | ξ_{1}, … ξ_{n} ∈ ℝ, ∑_{j=1}^{n} α_{ij}ξ_{j} = β_{i} (i = 1, …, m)}

,

Das System A der α_{i,j} heißt die Matrix von G Die Spalte der β_{i} ist die rechte Seite von G. m ist die Zahl der Zeilen von A, n die Zahl der Spalten. ^{1}

Ein Gleichungssystem heißt homogen, wenn seine rechte Seite Null ist und quadratisch, wenn seine Matrix quadratisch ist, also wenn m = n.

Ein Gleichungssystem G ist in Normalform, wenn es die Gestalt

x_{1}  + α_{1,k+1}x_{k+1} + ⋯ α_{1,n}x_{n} = β_{1}
x_{2}  + α_{2,k+1}x_{k+1} + ⋯ α_{2,n}x_{n} = β_{2}
...  ⋮  ⋮  ⋮
x_{k} + α_{k,k+1}x_{k+1} + ⋯ α_{k,n}x_{n} = β_{k}
0  = β_{k+1}
⋮  ⋮
0  = β_{m}

hat. k heißt der Rang von G. Beachte, daß 0 ≤ k ≤ min(m, n). In Normalform zu sein und der Rang sind Eigenschaften der Matrix von G.

G ist genau dann lösbar, wenn β_{k+1} = … = β_{m} = 0. Um die Lösungsgesamtheit zu bestimmen, gibt man sich ξ_{k+1} , …, ξ_{n} beliebig vor und wählt die ξ_{1}, …, ξ_{k} so, daß

ξ_{i} + ∑_{j=k+1}^{n} α_{i,j}ξ_{j} = β_{i}

für i = 1, …, k.

Die Lösungsmenge

{(β_{1} − ∑_{j=k+1}^{n} α_{1,j}ξ_{j}, …, β_{k} − ∑_{j=k+1}^{n} α_{k,j}ξ_{j}, ξ_{k+1} , …, ξ_{n}) | ξ_{k+1} , …, ξ_{n} ∈ ℝ}

ist also (n − k)-parametrig.

Lemma 1.1.1. Sei A eine Matrix in Normalform mit m Zeilen, n Spalten und Rang k. Dann ist k = n genau dann, wenn alle Gleichungssysteme mit Matrix A höchsten eine Lösung haben. Und es ist k = m genau dann, wenn alle Gleichungssystem mit Matrix A lösbar sind.

Beweis. Klar.

Eine Zeilenoperation macht aus G ein neues Gleichungssystem durch Multiplikation der i–ten Zeile mit einer Zahl λ ≠ 0 oder durch Addieren des λ–fachen der i–ten Zeile zur i′–ten Zeile (i ≠ i′). Wir bezeichnen diese Operation mit Z_{i}^{λ} bzw. Z_{i,i′}^{λ}. Zeilenoperationen sind umkehrbar: Z_{i}^{λ^{−1}} ist die Umkehrung von Z_{i}^{λ} und Z_{i,i′}^{−λ} die Umkehrung von Z_{i,i′}^{λ}.

1i ist der Zeilenindex, j der Spaltenindex^{2}. Wenn keine Mißverständnisse entstehen können, lassen wir das Komma weg: α_{ij}.

2In einer früheren Version wurde das verwechselt. Ich danke S. Stroppel für den Hinweis.

Lemma 1.1.2. Ein Gleichungssystem G′, das aus G durch Zeilenoperationen hervorgeht, hat die gleichen Lösungen wie G.

Beweis. Für die Operation Z_{i}^{λ} sieht man das zum Beispiel so: Sei

α_{1}x_{1} + … + α_{n}x_{n} = b

die i–te Zeile des Gleichungssystems. (ξ_{1}, …, ξ_{n}) ist genau dann eine Lösung dieser Gleichung, wenn α_{1}ξ_{1} +…+α_{n}ξ_{n} = b. Das ist genau dann der Fall, wenn

λ(α_{1}ξ_{1} + … + α_{n}ξ_{n}) = (λα_{1})ξ_{1} + … + (λα_{n})ξ_{n} = λb,

das heißt, wenn (ξ_{1}, …, ξ_{n}) eine Lösung der Gleichung

(λα_{1})x_{1} + … + (λα_{n})x_{n} = λb

ist.

Satz 1.1.3. Jedes lineare Gleichungssystem läßt sich durch Zeilenoperationen und Vertauschung von Variablen (d.h. von Spalten der Matrix) in Normalform bringen.

Die Matrix A′ der Normalform hängt nur von der Matrix A des Gleichungssystems ab. Wir nennen A′ eine Normalform von A.

Beweis: Wir überlegen uns zuerst, daß man durch vier Zeilenoperationen zwei Zeilen vertauschen kann. Denn sei zum Beispiel a die erste Zeile und b die zweite Zeile des Gleichungssystems. Nach Anwendung der Operationen Z_{1,2}^{1}, Z_{2,1}^{−1}, Z_{1,2}^{1}, Z_{1}^{−1} sind a und b vertauscht:

{a \atop b} ⟶ {a \atop a + b} ⟶ {−b \atop a + b} ⟶ {−b \atop a} ⟶ {b \atop a}.

Schritt 1: Wenn alle Koeffizienten der Matrix des Gleichungssystems gleich Null sind, hat das Gleichungssystems bereits Normalform mit Rang k = 0. Wenn es einen nichtverschwindenden Koeffizienten gibt, können wir durch Zei-

len– und Spaltenvertauschung erreichen, daß α_{1,1} ≠ 0. Nach Z_{1}^{α_{1,1}^{−1}} ist

α_{1,1} = 1.

(Man beachte, daß sich die Bedeutung der α_{i,j} geändert hat.) Dann wenden wir Z_{1,2}^{−α_{2,1}},…, Z_{1,m}^{−α_{m,1}} an und haben

α_{2,1} = … = α_{m,1} = 0.

Wir notieren die so erreichte Gleichung durch

( \begin{matrix}1 & α_{1,2} & ⋯ & α_{1,n} & β_{1} \\ 0 & α_{2,2} & ⋯ & α_{2,n} & β_{2} \\ ⋮ & ⋮ & & ⋮ & ⋮ \\ 0 & α_{m,2} & ⋯ & α_{m,n} & β_{m} \end{matrix} )

Schritt 2: Wenn α_{i,j} = 0 für alle i, j ≥ 2 sind wir fertig. Das Gleichungssystems hat Normalform mit Rang k = 1. Wenn α_{i,j} ≠ 0, für zwei Indizes ≥ 2, vertauschen wir die 2–te Zeile mit der i–ten Zeile und die 2–te Spalte mit der j–ten Spalte und erreichen α_{2,2} ≠ 0. Nach Z_{2}^{α_{2,2}−1} ist

α_{2,2} = 1.

Schließlich wenden wir Z_{2,1}^{−α_{1,2}}, Z_{2,3}^{−α_{3,2}}, …, Z_{2,m}^{−α_{m,2}} an und haben

α_{1,2} = α_{3,2} = … = α_{m,2} = 0,

In unserer symbolischen Notation

( \begin{matrix}1 & 0 & α_{1,3} & ⋯ & α_{1,n} & β_{1} \\ 0 & 1 & α_{2,3} & ⋯ & α_{2,n} & β_{2} \\ 0 & 0 & α_{3,3} & ⋯ & α_{3,n} & β_{3} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & α_{m,3} & ⋯ & α_{m,n} & β_{m} \end{matrix} )

Auf diese Weise verwandeln wir der Reihe nach die Spalten der Matrix des Gleichungssystems in Nullspalten, in denen nur an der Diagonalstelle eine Eins steht. Dieses Verfahren bricht spätestens ab, wenn keine neuen Spalten oder Zeilen mehr zur Verfügung stehen, also nach höchstens min(m, n) Schritten:

( \begin{matrix}1 & 0 & ⋯ & 0 & α_{1,k+1} & ⋯ & α_{1,n} & β_{1} \\ 0 & 1 & ⋯ & 0 & α_{2,k+1} & ⋯ & α_{2,n} & β_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ & ⋮ & & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & ⋯ & 1 & α_{k,k+1} & ⋯ & α_{k,n} & β_{k} \\ 0 & 0 & ⋯ & 0 & 0 & ⋯ & 0 & β_{k+1} \\ ⋮ & ⋮ & & ⋮ & ⋮ & & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & ⋯ & 0 & 0 & ⋯ & 0 & β_{m} \end{matrix} )

□

Folgerung 1.1.4. Sei A eine Matrix in Normalform mit m Zeilen, n Spalten. k sei der Rang einer Normalform von A. Ein Gleichungssystem mit Matrix A hat entweder keine Lösung oder ein n − k–parametriges Lösungssystem. Es ist k = m genau dann, wenn alle Gleichungssysteme mit Matrix A lösbar sind, und k = n genau dann, wenn alle Gleichungssystem mit Matrix A höchstens eine Lösung haben.

Beweis: Das folgt aus Lemma 1.1.1 und der Umkehrbarkeit der Zeilenoperationen. □

Folgerung 1.1.5. Ein homogenes Gleichungssystem mit weniger Gleichungen als Variablen hat eine nichttriviale Lösung.

Beweis: Ein homogenes Gleichungssystem hat immer die triviale Lösung (0, …, 0). Weil k ≤ m, ist die Lösungsmenge mindestens n−m > 0–parametrig. (Man kann also mindestens den Wert von ξ_{n} frei wählen.)

Wir geben noch einen alternativen Beweis, der unabhängig von Satz 1.1.3 ist. Wir zeigen die Behauptung durch Induktion über n, die Zahl der Variablen. Induktionsanfang: Wir beginnen bei n = 1. Das Gleichungssystem enthält dann keine Gleichung. Jeder Wert für ξ_{1} ist eine Lösung. Zum Beispiel ξ_{1} = 1.

Induktionsschritt: Nehmen wir an, daß n ≥ 2 und die Behauptung für Gleichungssysteme mit n − 1 Variablen gilt. G sei ein Gleichungssystems mit n Variablen und m < n Gleichungen. Wir unterscheiden zwei Fälle: Wenn alle Gleichungen trivial sind (d.h. alle Koeffizienten sind Null), sind wir fertig. Jedes n–Tupel (ξ_{1}, …, ξ_{n}) ist eine Lösung. Sonst ordnen wir die Gleichungen und Variablen um, bis die erste Gleichung g_{1} die Form

α_{1}x_{1} + … + α_{n}x_{n} = 0

für ein α_{1} ≠ 0 hat. Wir subtrahieren geeignete Vielfache von g_{1} von den übrigen Gleichungen g_{2}, …, g_{m} bis die Variable x_{1} in diesen Gleichungen nicht mehr vorkommt. Jetzt wenden wir die Induktionsvoraussetzung auf g_{2}, …, g_{n} an (ein Gleichungssystem mit n − 1 Variablen und m − 1 Gleichungen). Wir erhalten eine nicht–triviale Lösung (ξ_{2}, …, ξ_{n}), die wir durch

ξ_{1} = −\frac{∑_{j=2}^{n} α_{j}ξ_{j}}{α_{1}}

zu einer Lösung von G erweitern. □

Daß (ξ_{1}, …, ξ_{n}) ein Lösung von G ist, läßt sich als eine lineare Abhängigkeit

ξ_{1}a_{1} + … + ξ_{n}a_{n} = b

zwischen den Spalten

a_{1} = ( α_{1,1} ; ⋮ ; α_{m,1}) , …, a_{n} = ( α_{1,n} ; ⋮ ; α_{m,n}) , b = ( β_{1} ; ⋮ ; β_{m})

ausdrücken. Wenn G in Normalform (von Rang k) ist, bestehen zwischen den a_{1}, …, a_{k} keine lineare Abhängigkeiten. Die übrigen Spalten a_{i} und – wenn das Gleichungssystem lösbar ist – auch b lassen sich eindeutig als Linearkombination der ersten k Spalten ausdrücken:

α_{1,i}a_{1} + ⋯ + α_{k,i}a_{k} = a_{i}
β_{1}a_{1} + ⋯ + β_{k}a_{k} = b

Derartige lineare Abhängigkeiten zwischen Spalten eines Gleichungssystems werden offensichtlich von Zeilenoperationen nicht geändert. Daraus folgt

Folgerung 1.1.6. Wenn man ein Gleichungssystem durch Zeilenoperationen^{3} in Normalform bringt, erhält man immer die gleiche Matrix. Wenn das Gleichungssystem lösbar ist, ist auch die rechte Seite eindeutig bestimmt.

Wenn man Spaltenvertauschung zuläßt, bleibt nur der Rang erhalten.

Satz 1.1.7. Wenn man ein Gleichungssystem durch Zeilenoperationen und Spaltenvertauschungen in Normalform bringt, erhält man immer denselben Rang.

Definition. Eine Folge von Spalten gleicher Länge heißt linear unabhängig, wenn sich keine der Spalten als Linearkombination der anderen schreiben läßt.

Bemerkung. a_{1}, ⋯, a_{n} sind genau dann linear unabhängig, wenn wenn für alle ξ_{1}, … ξ_{n} ∈ ℝ

0 = ξ_{1}a_{1} + … + ξ_{n}a_{n} ⟹ ξ_{1} = ⋯ = ξ_{n} = 0.

Beweis. Wenn 0 = ξ_{1}a_{1} + … + ξ_{n}a_{n} und ξ_{1} ≠ 0, ist a_{1} = ∑_{i=2}^{n} −\frac{ξ_{i}}{ξ_{1}} a_{i}. Wenn umgekehrt a_{1} = ∑_{i=2}^{n} α_{i}a_{i}, ist 0 = −a_{1} + α_{2}a_{2} + … + α_{n}a_{n}.

Eine einzelne Spalte a_{1} ist linear unabhängig, wenn a_{1} ≠ 0. Die leere Folge (n = 0) is linear unabhängig per Definition.

Beweis von 1.1.7. Wir überlegen uns, daß der Rang eines Gleichungssystems G in Normalform die maximale Zahl linear unabhängiger Spalten der Matrix von G ist. Die ersten k Spalten sind linear unabhängig. Seien a_{i_{1}}, …, a_{i_{k+1}} beliebige Spalten. Weil die Einträge dieser Spalten ab dem Zeilenindex k + 1 gleich Null sind, hat das Gleichungssystem

x_{1}a_{i_{1}} + … + x_{k+1}, a_{i_{k+1}} = 0^{4}

nur k wirkliche Gleichungen. Nach 1.1.5 gibt es eine nicht–triviale Lösung, was zeigt, daß die a_{i_{1}}, …, a_{i_{k+1}} linear abhängig sind.

3Also ohne Spalten zu vertauschen. Man kann die Folgerung auch so ausdrücken: Die Normalform hängt nur von den Spaltenvertauschungen ab.

40 bezeichnet hier die Nullspalte (siehe S.12)

1.2 Der ℝ^{n}

Daß Produkt X_{1} × … × X_{n} einer Folge von Mengen ist die Menge

{(x_{1}, …, x_{n}) | x_{i} ∈ X_{i}(i = 1, …, n)}

aller n–Tupel, deren i–te Komponente aus X_{i} ist. X^{n} ist das n–fache direkte Produkt von X.

ℝ^{n} = {(ξ_{1}, …, ξ_{n}) | ξ_{1}, …, ξ_{n} ∈ ℝ}

ist der n-dimensionale euklidische Raum. Spezialfälle: ℝ^{0} wird als der Nullraum 0 = {0} vereinbart. ℝ^{1} sind die reellen Zahlen selbst. ℝ^{2} ist die euklidische Ebene.

Je nach Zusammenhang heißen die Elemente des ℝ^{n} Punkte oder Vektoren. Vektoren können addiert und mit reellen Zahlen (Skalaren) multipliziert werden. Seien a = (ξ_{i}) und b = (ζ_{i}) Vektoren und λ ∈ ℝ. Dann definiert man

a + b = (ξ_{i} + ζ_{i})
λa = (λξ_{i}).

Mit 0 bezeichnen wir den Nullvektor (0, …, 0).

Lemma 1.2.1. Für die Addition gelten die folgenden Rechenregeln. a) (x + y) + z = x + (y + z)

b) x + 0 = 0 + x = x

c) Zu jedem x gibt es ein y mit x + y = 0.

d) x + y = y + x und für die Multiplikation

a) λ(x + y) = λx + λy

b) (λ + μ)x = λx + μx

c) λ(μx) = (λμ)x

d) 1x = x Beweis. Diese Rechenregeln gelten für reelle Zahlen (den ℝ^{1}), also auch für ℝ^{n}. Zum Beispiel ist

(λ + μ)(ξ_{1}, …, ξ_{n}) = ((λ + μ)ξ_{1}, …, (λ + μ)ξ_{n})
= (λξ_{1} + μξ_{1}, …, λξ_{n} + μξ_{n})
= (λξ_{1}, …, λξ_{n}) + (μξ_{1}, …, μξ_{n})
= λ(ξ_{1}, …, ξ_{n}) + μ(ξ_{1}, …, ξ_{n})

Das beweist b).

1.3 Geraden und Ebenen

Definition. Eine (affine) Gerade g in ℝ^{n} ist eine Menge der Form

g = {a + λv | λ ∈ ℝ} = a + ℝv,

wobei v ≠ 0.

Der Richtungsraum ℝv ist durch g eindeutig bestimmt als die Menge der Differenzen x − y der Elemente von g. Wenn w zum Richtungsraum ℝv gehört, ist w + ℝv = ℝv und g = (a + w) + ℝv ist eine andere Darstellung von g. Für alle b ∈ g ist also g = b + ℝv.

Aus diesen Bemerkungen folgt

Lemma 1.3.1. Zwei Geraden a+ℝv und b+ℝw sind genau dann gleich, wenn ℝv = ℝw und a − b ∈ ℝv.

Wenn v und w nicht null sind, ist ℝv = ℝw genau dann, wenn v und w linear abhängig sind.

Lemma 1.3.2. Durch zwei verschiedene Punkte des ℝ^{n} geht genau eine Gerade.

Beweis: Sei g eine Gerade durch a. Dann hat g die Gestalt a + ℝv und wenn g auch b enthält, ist a − b ∈ ℝv. Daraus folgt ℝv = ℝ(a − b). Das beweist die Eindeutigkeit. □

Definition. Zwei Geraden heißen parallel, wenn sie die gleichen Richtungsräume haben.

Verschiedene parallele Geraden können sich nicht schneiden.

Definition. Eine affine Ebene E ist eine Menge der Form a + ℝv + ℝw, für linear unabhängige v und w.

Der Richtungsraum ℝv + ℝw ist durch E eindeutig bestimmt als Menge aller Differenzen a − b von Elementen von E.

Lemma 1.3.3. Zwei nicht parallele Geraden, die in einer Ebene liegen, schneiden sich.

Beweis: Sei E = c + ℝv_{1} + ℝv_{2} und g_{1} = a_{1} + ℝw_{1} und g_{2} = a_{2} + ℝw_{2} zwei Geraden in E. Wir suchen zwei Zahlen ξ_{1} und ξ_{2} mit

a_{1} + ξ_{1}w_{1} = a_{2} + ξ_{2}w_{2}.

Wenn wir die Geraden in den Koordinaten von E beschreiben (i = 1, 2):

a_{i} = c + β_{1i}v_{1} + β_{2i}v_{2}
w_{i} = α_{1i}v_{1} + α_{2i}v_{2}

werden wir auf das Gleichungssystem

α_{11}ξ_{1} − α_{12}ξ_{2} = −β_{11} + β_{12}
α_{21}ξ_{1} − α_{22}ξ_{2} = −β_{21} + β_{22}

geführt. Weil g_{1} und g_{2} nicht parallel sind, sind w_{1} und w_{2} linear unabhängig

und daher auch die Spalten der Matrix (\begin{matrix}α_{11} & −α_{12} \\ α_{21} & −α_{22} \end{matrix}). Nach 1.1.7 und 1.1.4 hat

Gleichungssystem eine Lösung. □

1.4 Das Skalarprodukt

Das Skalarprodukt zweier Vektoren a = (ξ_{i}) und b = (ζ_{i}) ist

ab = ξ_{1}ζ_{1} + … + ξ_{n}ζ_{n}.

Lemma 1.4.1. Das Skalarprodukt ist eine symmetrische, positiv definite Bilinearform. Das heißt

• (a + b)c = ac + bc und a(b + c) = ab + ac

• (λa)b = a(λb) = λ(ab)

• ab = ba

• a^{2} ≥ 0

• a^{2} = 0 gdw. a = 0.

Die letzte Eigenschaft, die Positivdefinitheit, gilt, weil eine Quadratsumme ξ_{1}^{2} + … + ξ_{n}^{2} niemals negativ ist, und nur gleich Null, wenn alle ξ_{i} Null sind.

Nach dem Satz von Pythagoras in der euklidischen Geometrie ist die Länge der Diagonale eines Quaders die Wurzel aus der Quadratsumme der Seiten. Wir definieren demgemäß:

Definition. Die Norm oder Länge von a ist

∥a∥ = \sqrt{a^{2}}.

Zwei Vektoren a und b heißen orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt ab gleich Null ist. Allgemeiner definiert man:

Definition. Der Winkel α zwischen zwei nicht–trivialen Vektoren ist definiert durch 0 ≤ α ≤ π und

(1.1)  cos(α) = \frac{ab}{∥a∥∥b∥}.

Die Definition ist sinnvoll^{5}, weil aus dem nächsten Lemma folgt, daß

−1 ≤ \frac{ab}{∥a∥∥b∥} ≤ 1.

Lemma 1.4.2 (Cauchy-Schwarzsche Ungleichung).

|ab| ≤ ∥a∥∥b∥

Die Gleichheit gilt genau dann, wenn a und b linear abhängig sind.

Beweis: Für beliebige λ ist

(1.2)  (a + λb)^{2} = a^{2} + 2λab + λ^{2}b^{2} ≥ 0.

Für λ = −\frac{ab}{b^{2}} ergibt sich

a^{2} − 2\frac{(ab)^{2}}{b^{2}} + \frac{(ab)^{2}}{b^{2}} ≥ 0.

(Wir können uns auf den Fall b ≠ 0 beschränken.) Daraus folgt (ab)^{2} ≤ a^{2}b^{2}, wie behauptet.

Wenn a und b linear unabhängig sind, ist die linke Seite von 1.2 immer ungleich Null und es folgt (ab)^{2} < a^{2}b^{2}. □

5Daß die Definition mit der Anschauung der euklidischen Geometrie übereinstimmt, diskutieren wir auf Seite 16.

Lemma 1.4.3 (Dreiecksungleichung).

∥a + b∥ ≤ ∥a∥ + ∥b∥

Beweis. Aus der Cauchy–Schwarzschen Ungleichung folgt

∥a + b∥^{2} = (a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2} ≤ ∥a∥^{2} + 2∥a∥∥b∥ + ∥b∥^{2} = (∥a∥ + ∥b∥)^{2}.

Folgerung 1.4.4. Der ℝ^{n} mit dem Abstand

d(x, y) = ∥x − y∥

ist ein metrischer Raum.

Ein metrischer Raum ist eine Menge X mit einer Funktion d : X × X → ℝ, für die

• d(x, y) ≥ 0 für alle x, y ∈ X.

• d(x, y) = 0 genau dann, wenn x = y.

• d(x, y) = d(y, x)

• d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)

1.5 Lineare Abbildungen

Eine Abbildung f : ℝ^{n} ⟶ ℝ heißt linear, wenn für reelle Zahlen α_{1}, …, α_{n}

f(ξ_{1}, …, ξ_{n}) = α_{1}ξ_{1} + … + α_{n}ξ_{n}.

f heißt auch Linearform^{6}. Für die kanonischen Basisvektoren^{7} e_{i} = (ξ_{1}, …, ξ_{n}), definiert durch

ξ_{j} = \begin{cases}0 & , wenn j ≠ i \\ 1 & , wenn j = i, \end{cases}

gilt f(e_{i}) = α_{i}. Eine Abbildung f = (f_{1}, …, f_{m}) von ℝ^{n} nach ℝ^{m} heißt linear, wenn alle Komponenten f_{i} : ℝ^{n} ⟶ ℝ linear sind. L(ℝ^{n}, ℝ^{m}), die Menge der linearen Abbildungen ist ein ℝ–Vektorraum unter wertweiser Addition und Multiplikation mit Skalaren.

Eine m–n–Matrix

A = (\begin{matrix}α_{11} & α_{12} & ⋯ & α_{1n} \\ α_{21} & α_{22} & ⋯ & α_{2n} \\ ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ α_{m1} & α_{m2} & ⋯ & α_{mn} \end{matrix})

6Oder lineares Funktional

7Die kanonischen Basisvektoren nennt man auch Einheitsvektoren.

ist eine mit Zahlenpaaren aus {1 … m} × {1 … n} indizierte Familie

(α_{ij})_{{i=1...m \atop j=1...n}} .^{8}

Mit elementweiser Addition und Multiplikation mit Skalaren bildet die Menge M_{mn}(ℝ) der m-n–Matrizen einen ℝ–Vektorraum. 1-n–Matrizen heißen Zeilenvektoren, m-1–Matrizen Spaltenvektoren.

Spezielle Matrizen: 0 ist die m–n–Matrix, deren Elemente Nullen sind. Die Ein-

heitsmatrix I ist die m–m–Matrix (δ_{ij}), wobei δ_{ij} = \begin{cases}0 & wenn i ≠ j \\ 1 & sonst \end{cases} . (Man

nennt δ_{ij} "Kroneckers Delta".)

I = (\begin{matrix}1 \\ & 1 \\ & & . & . & . \\ & & & & & 1 \end{matrix})

Eine n–n–Matrix heißt quadratisch. Wir schreiben M_{n}(ℝ) für M_{nn}(ℝ).

Eine m–n–Matrix A definiert eine lineare Abbildung f_{A} : ℝ^{n} → ℝ^{m} durch

f_{A}(ξ_{1}, …, ξ_{n}) = (∑_{j=1}^{n} α_{1j}ξ_{j}, …, ∑_{j=1}^{n} α_{mj}ξ_{j}).

f_{0} ist die Nullabbildung, f_{I} die identische Abbildung.

Lemma 1.5.1. Die durch A ↦ f_{A} definierte Bijektion M_{mn}(ℝ) → L(ℝ^{n}, ℝ^{m}) ist ein Isomorphismus. Das heißt, daß

f_{A+B} = f_{A} + f_{B}
f_{βA} = βf_{A}.

Beweis: Sei A = (α_{ij}), B = (β_{ij}) und x = (ξ_{j}). Dann ist

f_{A+B}(x) = (∑_{j=1}^{n}(α_{ij} + β_{ij})ξ_{j})

= (∑_{j=1}^{n} α_{ij}ξ_{j} + ∑_{j=1}^{n} β_{ij}ξ_{j})

= (∑_{j=1}^{n} α_{ij}ξ_{j}) + (∑_{j=1}^{n} β_{ij}ξ_{j})

= f_{A}(x) + f_{B}(x)

8Kürzere, weniger präzise, Schreibweisen sind (α_{ij})_{i,j} und (α_{ij}).

Damit ist die erste Bedingung gezeigt. Mit einer ähnlichen Rechnung beweist man die zweite Bedingung:

f_{βA}(x) = (∑_{j=1}^{n}(βα_{ij})ξ_{j})

= (β ∑_{j=1}^{n} α_{ij}ξ_{j})

= β(∑_{j=1}^{n} α_{ij}ξ_{j})

= βf_{A}(x)

□

Definition. Das Produkt C = (γ_{hj}) einer l–m–Matrix A = (α_{hi}) und einer m–n–Matrix B = (β_{ij}) ist eine l–n–Matrix definiert durch γ_{hj} = ∑_{i=1}^{m} α_{hi}β_{ij}.

Satz 1.5.2.

f_{A} ∘ f_{B} = f_{AB}

Beweis: Sei A = (α_{hi}) und B = (β_{ij}) und x = (ξ_{j}). Dann ist

(f_{A} ∘ f_{B})(x) = f_{A}(f_{B}(x))

= f_{A}((∑_{j} β_{ij}ξ_{j})_{i})

= (∑_{i} α_{hi} ∑_{j} β_{ij}ξ_{j})_{h}

= (∑_{j}(∑_{i} α_{hi}β_{ij})ξ_{j})_{h}

= f_{AB}(x)

□

Folgerung 1.5.3. Das Matrizenprodukt ist assoziativ und bilinear. Es gilt 0A = A0 = 0 und IA = AI = A.

Beweis: Die Bilinearität, das heißt

A(B + B′) = AB + AB′
(A + A′)B = AB + A′B
A(γB) = (γA)B = γ(AB)

(siehe Seite 38) folgt sofort aus der Definition. Zum Beispiel ist

(α_{hi})((β_{ij}) + (β′_{ij})) = (α_{hi})(β_{ij} + β′_{ij})

= (∑_{i} α_{hi}(β_{ij} + β′_{ij}))

= (∑_{i} α_{hi}β_{ij} + ∑_{i} α_{ij}β′_{ij})

= (∑_{i} α_{hi}β_{ij}) + (∑_{i} α_{ij}β′_{ij})

= (α_{hi})(β_{ij}) + (α_{hi})(β′_{ij})

Man kann die Assoziativität

A(BC) = (AB)C

entweder durch eine kurze Rechnung nachweisen, oder die Assoziativität der Komposition von Abbildungen verwenden:

f_{A(BC)} = f_{A} ∘ (f_{B} ∘ f_{C})
= (f_{A} ∘ f_{B}) ∘ f_{C}
= f_{(AB)C}
□

\underline{Interpretation der Zeilen und Spalten von A} Wenn man die Elemente von ℝ^{n} bzw. von ℝ^{m} als Spaltenvektoren auffaßt, ist f_{A} die Rechtsmultiplikation mit der Matrix A. Die Gleichung f_{A}(ξ_{1}, …, ξ_{n}) = (η_{1}, …, η_{m}) ist nämlich gleichbedeutend mit

A (ξ_{1} ; ⋮ ; ξ_{n}) = ( η_{1} ; ⋮ ; η_{m}) .

Wenn man den Einheitsvektor e_{j} als Spalte auffaßt, ist

Ae_{j} = ( α_{1j} ; ⋮ ; α_{mj}) ,

die j-te Spalte von A. Die Spalten von A sind also die Bilder der Einheitsvektoren unter f_{A}.

Aus

(α_{i1} … α_{in}) (ξ_{1} ; ⋮ ; ξ_{n}) = η_{i}

ergibt sich, daß die i–te Zeile von A die i–te Komponente von f_{A} definiert. Sei e_{i}^{∗} der i-te Einheitsvektor als Zeile geschrieben. Dann ist e_{i}^{∗}A die i–te Zeile von A. Daraus ergibt sich leicht, daß e_{i}^{∗}Ae_{j} = α_{ij}.

Lemma 1.5.4. a_{1}, …, a_{l} seien die Zeilen von A und b_{1}, …, b_{n} die Spalten von B. Dann sind a_{1}B, …, a_{l}B die Zeilen und Ab_{1}, …, Ab_{n} die Spalten von AB. Außerdem ist

AB = (a_{h}b_{j})_{{h=1...l \atop j=1...n}}

Beweis: Die j–te Spalte von AB ist ABe_{j} = Ab_{j}. Die h–te Zeile von AB ist e_{h}^{∗}AB = a_{h}B. Wenn AB = (γ_{hj}), ist γ_{hj} = e_{h}^{∗}ABe_{j} = a_{h}b_{j}. □

Drehungen des ℝ^{2}

Wenn wir in der Schulgeometrie den ℝ^{2} um den Winkel ϕ drehen, gehen die

Basisvektoren (\begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix}) und (\begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix}) über in die Vektoren (\begin{matrix}cos(ϕ) \\ sin(ϕ) \end{matrix}) und (\begin{matrix}− sin(ϕ) \\ cos(ϕ) \end{matrix}).

[figure: e_{1}; e_{2}; De_{1}; De_{2}; ϕ]

Eine Linearkombination

(\begin{matrix}ξ_{1} \\ ξ_{2} \end{matrix}) = ξ_{1} (\begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix}) + ξ_{2} (\begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix})

wird dann abgebildet auf

ξ_{1} (\begin{matrix}cos(ϕ) \\ sin(ϕ) \end{matrix}) + ξ_{2} (\begin{matrix}− sin(ϕ) \\ cos(ϕ) \end{matrix}) .

Es folgt, daß unsere Drehung eine lineare Abbildung f_{D} ist, mit der Matrix

D = (\begin{matrix}cos(ϕ) & − sin(ϕ) \\ sin(ϕ) & cos(ϕ) \end{matrix}) .

Wir wollen uns überlegen, daß die Formel (1.1) auf Seite 10

cos(α) = \frac{ab}{∥a∥∥b∥}

im schulgeometrischen Sinn den Winkel zwischen a und b richtig angibt. Das ist leicht zu sehen, wenn a auf der x–Achse liegt. Weil man jeden Vektor durch eine geeignete Drehung auf die x–Achse legen kann, genügt es zu zeigen, daß (1.1) invariant unter Drehungen ist. Das folgt aus der Tatsache, daß das Skalarprodukt invariant unter Drehungen ist. In der folgenden Rechnung verwenden wir (a, b) für das Skalarprodukt von a und b.

Sei a = α_{1}e_{1} + α_{2}e_{2} und b = β_{1}e_{1} + β_{2}e_{2}. Dann ist

(Da, Db) = α_{1}β_{1}(De_{1}, De_{1}) + α_{2}β_{2}(De_{2}, De_{2}) + (α_{1}β_{2} + α_{2}β_{1})(De_{1}, De_{2})

Die rechte Seite ist gleich

α_{1}β_{1} + α_{2}β_{2} = (a, b),

weil die Spalten De_{1} = (\begin{matrix}cos(ϕ) \\ sin(ϕ) \end{matrix}) und De_{2} = (\begin{matrix}− sin(ϕ) \\ cos(ϕ) \end{matrix}) die Länge 1 haben

und aufeinander senkrecht stehen.

Diese Überlegung überträgt sich auch auf den ℝ^{3}: Man kann jede Drehung als ein Produkt von Drehungen um die Koordinatenachsen darstellen. Diese Drehungen verhalten sich wie Drehungen des ℝ^{2} und lassen das Skalarprodukt invariant.

Kapitel 2

Vektorräume

2.1 Gruppen

Definition. Eine Halbgruppe ist eine Menge S, auf der eine zweistellige assoziative Operation ∘ erklärt ist. Eine Halbgruppe ist also ein Paar

(S, ∘),

wobei die Operation ∘ : S × S → S dem Assoziativgesetz

(x ∘ y) ∘ z = x ∘ (y ∘ z)

genügt.

Die Assoziativität hat zur Folge, daß es bei längeren Produkten nicht auf die Klammerung ankommt. Zum Beispiel ist

(a ∘ b) ∘ (b ∘ c) = ((a ∘ b) ∘ b) ∘ c.

Man läßt daher im allgemeinen die Klammern weg und schreibt einfach

a ∘ b ∘ b ∘ c.

Definition. Eine Halbgruppe S heißt abelsch, oder kommutativ, wenn

s ∘ t = t ∘ s

für alle s, t ∈ S.

Die Operation einer Halbgruppe nennt man im allgemeinen Multiplikation und schreibt s · t. Im abelschen Fall häufig auch Addition, wo man dann s + t statt s · t schreibt.

Definition. Ein Element e einer Halbgruppe S heißt linksneutral, wenn

e ∘ s = s

für alle s ∈ S. Wenn

s ∘ f = s

für alle s, heißt f rechtsneutral.

Lemma 2.1.1. Wenn eine Halbgruppe S ein linksneutrales Element e und ein rechtsneutrales f hat, stimmen e und f überein. Man nennt e = f (das) neutrale Element von S.

Beweis:

e = e ∘ f = f
□

In multiplikativ geschrieben Halbgruppen nennt man das neutrale Element 1 (falls vorhanden) Einselement. In additiv geschriebenen (abelschen) Halbgruppen heißt das neutrale Element 0 die Null.

Sei nun S eine Halbgruppe mit Einselement 1. (Man nennt solche Halbgruppen auch Monoide.) Wenn

s ∘ t = 1,

nennen wir s Linksinverses von t und t Rechtsinverses von s.

Lemma 2.1.2. Sei S eine Halbgruppe mit Einselement 1. Wenn s ein Linksinverses s′ und ein Rechtsinverses s′′hat, stimmen s′ und s′′ überein. Man nennt s′ = s′′ das Inverse von s.

Beweis:

s′ = s′ ∘ 1 = s′ ∘ s ∘ s′′ = 1 ∘ s′′ = s′′
□

In multiplikativen Halbgruppen schreibt man s^{−1} für das Inverse von s, in additiv geschriebenen (abelschen) Halbgruppen schreibt man −s.

Bemerkung.

(a ∘ b)^{−1} = b^{−1} ∘ a^{−1}

Definition. Eine Gruppe G ist eine Halbgruppe mit neutralem Element, in der jedes Element ein Inverses hat.

Satz 2.1.3. Eine Halbgruppe G ist genau dann eine Gruppe, wenn es ein linksneutrales Element e gibt, für das jedes Element g ∈ G ein Linksinverses hat, das heißt, eine Lösung der Gleichung x ∘ g = e.

Beweis: Sei g ein beliebiges Element, g′ ein Linksinverses von g und g′′ ein Linksinverses von g′. Aus

g ∘ g′ = e ∘ g ∘ g′ = g′′ ∘ g′ ∘ g ∘ g′ = g′′ ∘ e ∘ g′ = g′′ ∘ g′ = e

liest man ab, daß g′ auch Rechtsinverses von g ist. Die Gleichung

g ∘ e = g ∘ g′ ∘ g = e ∘ g = g

zeigt, daß e auch rechtsneutral ist. □

Lemma 2.1.4. Eine Halbgruppe (G, ∘) ist genau dann eine Gruppe, wenn für alle a, b ∈ G die Gleichungen x ∘ a = b und a ∘ y = b lösbar sind.

Beweis. Wenn (G, ∘) eine Gruppe ist, ist x = b ∘ a^{−1} eine Lösung von x ∘ a = b und y = a^{−1} ∘ b eine Lösung von a ∘ y = b.

Für die Umkehrung genügt es, ein linksneutrales Elemente e zu finden. Die Existenz von Linksinversen folgt dann aus der Lösbarkeit der Gleichung x∘a = e. Dazu fixieren wir eine beliebiges Element a_{0} und wählen e so, daß e ∘ a_{0} = a_{0}. Für gegebenes b sei y eine Lösung von a_{0} ∘ y = b. Dann ist e ∘ b = e ∘ a_{0} ∘ y = a_{0} ∘ y = b.

Definition. Sei n eine positive natürliche Zahl.

• a^{0} = e

• a^{n} = \underbrace{a ∘ ∘a ∘ a}_{n Faktoren}

• a^{−n} = (a^{−1})^{n}

Lemma 2.1.5. Sei G eine Gruppe. Dann gilt für alle a ∈ G und x, y ∈ ℤ

a) Wenn a ∘ b = b ∘ a, ist (a ∘ b)^{x} = a^{x} ∘ b^{x}.

b) a^{x+y} = a^{x} ∘ a^{y}

c) a^{xy} = (a^{x})^{y}

d) a^{1} = a

Beweis. Man kann sich das Lemma leicht durch Betrachtung einiger Beispiele klar machen.

Beispiele abelscher Gruppen:

• (ℤ, +)

• ℤ_{n}, die additive Gruppe der Reste

z̄ = z + nℤ

ganzer Zahlen modulo n. Man addiert zwei Reste, indem man ihre Repräsentanten addiert.

ȳ + z̄ = \overline{y + z}.

Die Restklassen modulo n sind die Klassen der Äquivalenzrelation^{1}

y ≡ z (mod n).

Man beachte, daß ℤ_{n} = \{\overline{0}, \overline{1}, …, \overline{n − 1}\}.

• (ℝ, +)

• (ℝ^{•}, ∘), die multiplikative Gruppe der von Null verschiedenen reellen Zahlen.

In additiv geschrieben abelschen Gruppen schreibt man za statt a^{z}. Während man in multiplikativ geschriebenen Gruppen die Gruppenoperation häufig nicht notiert:

a · b · b · c = ab^{2}c,

kann man in der additiven Schreibweise + nicht weglassen:

a + 2b + c.

Das nächste Lemma folgt sofort aus 2.1.5.

Lemma 2.1.6. Sei (G, +) eine abelsche Gruppe. Dann ist G ein ℤ–Modul. Das heißt, daß für alle a, b ∈ G und x, y ∈ ℤ

a) x(a + b) = xa + xb

b) (x + y)a = xa + ya

c) (xy)a = x(ya)

d) 1a = a.

Eine Abbildung f : X → Y heißt injektiv, wenn f(x_{1}) = f(x_{2}) ⇒ x_{1} = x_{2} für alle x_{1}, x_{2} ∈ X. f heißt surjektiv , wenn Y das Bild

f[X] = {f(x) | x ∈ X}

von f ist. Eine injektive und surjektive Abbildung heißt bijektiv oder Bijektion. Die Umkehrabbildung f^{−1} einer Bijektion f ist definiert durch

f^{−1}(y) = x ⇔ f(x) = y.

1 Zum Begriff einer Äquivalenzrelation vergleiche Seite 36.

Eine Bijektion f : X → X heißt Permutation von X.

Zur Notation: f ∘ g ist die durch (f ∘ g)(x) = f(g(x)) definierte Verknüpfung oder Komposition von f und g. id_{X} bezeichnet die identische Abbildung von X nach X: Es ist id_{X}(x) = x für alle x ∈ X.

Bemerkung. Sei f : X → Y eine Abbildung zwischen zwei nicht-leeren Mengen.y

1. f ist genau dann injektiv, wenn es ein f′ : Y → X gibt mit f′ ∘ f = id_{X}.

2. f ist genau dann surjektiv, wenn es ein f′′ : Y → X gibt mit f ∘f′′ = id_{Y}.

3. f ist genau dann bijektiv, wenn es ein f^{−1} : Y → X gibt mit f^{−1}∘f = id_{X} und f ∘ f^{−1} = id_{Y}.

Die Inverse Abbildung f^{−1} ist eindeutig bestimmt.

Definition. Mit Sym(X) bezeichnet man die Gruppe der Permutationen von X, die Symmetrische Gruppe. S_{n} = Sym(1, …, n) ist die Gruppe der Permutationen von {1, …, n}.

S_{1} und S_{2} sind kommutativ. S_{3} und alle weiteren S_{n} sind nicht kommutativ.

Man schreibt ( \begin{matrix}1 & 2 & ⋯ & n \\ a_{1} & a_{2} & ⋯ & a_{n} \end{matrix} ) für das Element von S_{n}, das i die Zahl a_{i}

zuordnet.

Definition. Sei (G, ∘) eine Gruppe. Eine Untergruppe U von G ist eine Teilmenge von G, die e enthält und unter ∘ und ^{−1} abgeschlossen ist.

U ist offensichtlich wieder eine Gruppe mit der eingeschränkten Operation^{2}

∘_{U} = ∘ ↾ (U × U).

Bemerkung. Eine unter ∘ abgeschlossene Teilmenge U von G ist mit der eingeschränkten Operation genau dann eine Gruppe, wenn U Untergruppe von G ist.

Beweis. Wenn (U, ∘_{U}) eine Gruppe ist, betrachten wir ihr Einselement e_{U}. Weil e_{U} ∘e_{U} = e_{U}, muß e_{U} gleich e sein. Inverse im Sinn von U sind also auch Inverse im Sinn von G, woraus folgt, daß U unter ^{−1} abgeschlossen ist.

G selbst und E = {e} sind immer Untergruppen. Für jedes Element a ist

a^{ℤ} = {a^{z} | z ∈ ℤ}

eine Untergruppe von G. a^{ℤ} ist die kleinste Untergruppe, die a enthält.

Definition. G und H seien Gruppen^{3}. Eine Abbildung f : G → H ist ein Homomorphismus, wenn

2 Die Einschränkung f ↾ A einer Funktion f : X → Y auf eine Teilmenge A von X ist die auf A definierte Funktion, die auf A mit f übereinstimmt. Wenn man eine Funktion als eine Menge von Paaren auffaßt, ist also f ↾ A = f ∩ A × Y.

3 Der Begriff ist sinnvoll für beliebige Mengen mit einer zweistelligen Operation.

f(ab) = f(a)f(b)

für alle a, b ∈ G.

Beispiele:

• Die identische Abbildung id_{G} : G → G.

• Die triviale Abbildung g ↦ e von G nach H.

• Für ein festes a ∈ H die Abbildung z ↦ a^{z} von ℤ nach H.

• Die Restklassenabbildung z ↦ z̄ von ℤ nach ℤ_{n}.

• Die Signaturabbildung

sign(x) = \begin{cases}1 & wenn x > 0 \\ −1 & wenn x < 0 \end{cases}

von ℝ^{•} in die Untergruppe {1, −1}.

Lemma 2.1.7. Das Bild eines Homomorphismus f : G → H ist eine Untergruppe von H.

Beweis. Das Produkt z = f(x)f(y) von zwei Elementen von f[G] ist wieder in G, weil z = f(xy). f(e) ist linksneutral in f[G], weil f(e)f(x) = f(ex) = f(x). f(x^{−1}) ist Linksinverses von f(x), weil f(x^{−1})f(x) = f(x^{−1}x) = f(e). f[G] ist also eine Gruppe. Daraus folgt wie in der Bemerkung auf Seite 21, daß f[G] Untergruppe ist. Insbesondere ist f(e) = e und f(a^{−1}) = f(a)^{−1}

Ein bijektiver Homomorphismus f zwischen Gruppen heißt Isomorphismus . Zwei Gruppen G und H, zwischen denen es einen Isomorphismus gibt, heißen isomorph. Man notiert das als

f : G ⟶^{≃} H

und

G ≅ H.

Beispiele:

• Die Untergruppe {1, −1} von ℝ^{•} ist isomorph zu ℤ_{2}.

• Die Exponentialabbildung exp : (ℝ, +) → (ℝ_{>0}, ·) ist ein Isomorphismus^{4}.

4ℝ_{>0} = {r ∈ ℝ | r > 0}

Lemma 2.1.8. Isomorphie ist eine Äquivalenzrelation ^{5} .

Beweis. Reflexivität: id_{G} : G ⟶^{≃} G

Transitivität: Wenn f : F ⟶^{≃} G und g : G ⟶^{≃} H, dann ist g ∘ f : F ⟶^{≃} H.

Symmetrie: Wenn f : G ⟶^{≃} H, dann ist f^{−1} : H ⟶^{≃} G.

Satz 2.1.9 (Cayley). Jede Gruppe G ist isomorph zu einer Untergruppe von Sym(G).

Beweis. Sei (G, ·) eine Gruppe. Wir ordnen jedem Element g von G die Linksmultiplikation λ_{g} : G → G zu, die definiert ist durch

λ_{g}(x) = g · x.

Es gilt λ_{e} = id_{G} und

λ_{g·h} = λ_{g} ∘ λ_{h},

weil λ_{g·h}(x) = (g · h) · x = g · (h · x) = λ_{g}(λ_{h}(x)) = (λ_{g} ∘ λ_{h})(x). Insbesondere gilt λ_{g} ∘ λ_{g^{−1}} = λ_{g^{−1}} ∘ λ_{g} = id_{G}, woraus folgt, daß die λ_{g} Permutationen von G sind.

Also definiert λ(g) = λ_{g} einen Homomorphismus

λ : G → Sym(G).

Das Bild S = λ[G] von λ ist daher eine Untergruppe von Sym(G). Es bleibt noch zu zeigen, daß λ injektiv ist. Dann ist

λ : G ⟶^{≃} S

der gesuchte Isomorphismus. λ ist injektiv, weil

λ(g) = λ(h) ⇒ g = g · e = λ(g)(e) = λ(h)(e) = h · e = h.

2.2 ℝ–Vektorräume

Definition. Ein ℝ–Vektorraum V ist ein ℝ–Modul. Das heißt: eine abelsche Gruppe V mit einer Multiplikation ℝ × V → V, sodaß für alle α, β ∈ ℝ und u, v ∈ V die folgenden Rechenregeln gelten:

a) α(u + v) = αu + αv b) (α + β)u = αu + βu

5 Vgl. S. 36.

c) (αβ)u = α(βu)

d) 1u = u

In einem Vektorraum gilt immer

• 0u = 0

• (−1)u = −u,

weil 0u + 0u = (0 + 0)u = 0u und

(−1)u + u = (−1)u + 1u = (−1 + 1)u = 0u = 0.

Definition.

1. Ein Unterraum U von V ist eine Untergruppe, die unter Multiplikation mit Skalaren abgeschlossen ist.

2. Eine lineare Abbildung f : V → U ist ein Homomorphismus, der mit der Multiplikation mit Skalaren kommutiert: f(αv) = αf(v) für alle v ∈ V und alle α ∈ ℝ. Eine bijektive lineare Abbildung heißt Isomorphismus.

Eine Teilmenge U von V ist genau dann ein Unterraum, wenn

• 0 ∈ U

• u, v ∈ U ⇒ u + v ∈ U

• α ∈ ℝ, u ∈ U ⇒ αu ∈ U

Jeder Vektorraum V enthält den Nullraum {0}. Wir bezeichnen diese Nullräume immer mit dem gleichen Symbol 0.

Lemma 2.2.1. Die linearen Abbildungen f : ℝ^{n} → ℝ^{m} sind genau die linearen Abbildungen im Sinn von Abschnitt 1.5.

Beweis. Sei A eine m–n–Matrix. Die durch A definiert Abbildung f_{A} : ℝ^{n} → ℝ^{m} ist linear, weil (nach 1.5.3) für n–reihige Spaltenvektoren s und t

A(s + t) = As + At

und

A(αs) = α(As).

Wenn umgekehrt f linear ist, definieren wir die Matrix A als die Matrix mit den Spalten

f(e_{1}), …, f(e_{n}).

Dann ist f = f_{A}, weil

f(ξ_{1}e_{1} + … + ξ_{n}e_{n}) = ξ_{1}f(e_{1}) + … + ξ_{n}f(e_{n})
= ξ_{1}f_{A}(e_{1}) + … + ξ_{n}f_{A}(e_{n})
= f_{A}(ξ_{1}e_{1} + … + ξ_{n}e_{n}).

Die Menge L(V, U) der linearen Abbildungen ist ein ℝ–Vektorraum unter wertweiser Addition und Multiplikation mit Skalaren. Aus dem letzten Lemma ergibt sich

L(ℝ^{n}, ℝ^{m}) ≅ M_{mn}(ℝ).

Das folgende rechnet man leicht nach (siehe auch Folgerung 1.5.3):

Lemma 2.2.2. Die Kompositionsabbildung

∘ : L(U, V) × L(V, W) → L(U, W),

definiert durch

(f, g) ↦ g ∘ f,

ist bilinear. (Bilinearität wird definiert auf Seite 38.)

2.3 Endlichdimensionale Vektorräume

Definition. Eine Folge b_{1}, …, b_{n} heißt Basis von V, wenn sich jedes Element von V eindeutig in der Form

v = ∑_{j=1}^{n} ξ_{j}b_{j}

schreiben läßt.

Eine Basis heißt auch Koordinatensystem, ξ_{1}, …, ξ_{n} sind die Koordinaten von v.

Die kanonischen Basisvektoren e_{1}, …, e_{n} bilden eine Basis des ℝ^{n}, weil

(ξ_{1} ; ⋮ ; ξ_{n}) = ξ_{1}e_{1} + … + ξ_{n}e_{n}.

Die leere Folge (die Folge der Länge 0) ist Basis des Nullraums.

Satz 2.3.1. Sei v_{1}, …, v_{n} eine Basis von V, und e_{1}, …, e_{n} die kanonische Basis von ℝ^{n}. Dann ist die lineare Abbildung f : ℝ^{n} → V, die eindeutig durch f(e_{j}) = v_{j} bestimmt ist, ein Isomorphismus.

Beweis. Wenn f : ℝ^{n} → V linear ist, ist

f(ξ_{1}e_{1} + … + ξ_{n}e_{n}) = ξ_{1}f(e_{1}) + … + ξ_{n}f(e_{n}).

f ist also durch die Bilder der Basisvektoren eindeutig bestimmt.

Wenn wir uns umgekehrt Vektoren v_{i} vorgeben, definiert

f(ξ_{1}e_{1} + … + ξ_{n}e_{n}) = ξ_{1}v_{1} + … + ξ_{n}v_{n}

eine lineare Abbildung, die e_{i} auf v_{i} abbildet. Das ist leicht nachzurechnen: Sei x = ξ_{1}e_{1} + … + ξ_{n}e_{n} und x′ = ξ′_{1}e_{1} + … + ξ′_{n}e_{n}. Dann ist

f(x + x′) = f((ξ_{1} + ξ′_{1})e_{1} + … + (ξ_{n} + ξ′_{n})e_{n})
= (ξ_{1} + ξ′_{1})v_{1} + … + (ξ_{n} + ξ′_{n})v_{n}
= (ξ_{1}v_{1} + … + ξ_{n}v_{n}) + (ξ′_{1}v_{1} + … + ξ′_{n}v_{n})
= f(x) + f(x′)

und

f(αx) = f((αξ_{1})e_{1} + … + (αξ_{n})e_{n})
= (αξ_{1})v_{1} + … + (αξ_{n})v_{n}
= α(ξ_{1}v_{1} + … + ξ_{n}v_{n})
= αf(x).

Wenn man jeden Vektor v aus V in der Form v = ξ_{1}v_{1} + … + ξ_{n}v_{n} schreiben kann, ist f surjektiv. Wenn v die ξ_{i} eindeutig bestimmt, ist f injektiv.

Die Wahl einer Basis von V ist gleichbedeutend mit der Wahl eines Isomorphismus zwischen ℝ^{n} und V.

Sei f : V → U eine lineare Abbildung. v_{1}, …, v_{n} und u_{1}, …, u_{m} seien Basen von V und U. Wenn die Isomorphismen ϵ : ℝ^{n} → V und δ : ℝ^{m} → U die kanonischen Basen von ℝ^{n} und ℝ^{m} auf diese Basen abbilden, ist die lineare Abbildung δ^{−1} ∘ f ∘ ϵ : ℝ^{n} → ℝ^{m} durch eine m–n–Matrix A = (α_{ij}) gegeben. Es gilt dann

f(∑_{j=1}^{n} ξ_{j}v_{j}) = ∑_{i=1}^{m}(∑_{j=1}^{n} α_{ij}ξ_{j})u_{i}.

Insbesondere ist

f(v_{j}) = ∑_{i=1}^{m} α_{ij}u_{i}.

Die j–te Spalte der m–n–Matrix A = (α_{ij}) besteht also aus den Koeffizienten des Bildes von v_{j} bezogen auf die Basis u_{1}, …, u_{m}.

Wenn man umgekehrt A dadurch definiert, hat man in symbolischer Schreibweise

f(v_{j}) = (u_{1} … u_{m}) ( α_{1j} ; ⋮ ; α_{mj}) ,

zusammengefaßt:

(2.1)  f(v_{1} … v_{n}) = (u_{1} … u_{m})A.

Ein beliebiger Vektor

v = (v_{1} … v_{n}) (ξ_{1} ; ⋮ ; ξ_{n})

wird dann abgebildet auf

f(v) = f(v_{1} … v_{n}) (ξ_{1} ; ⋮ ; ξ_{n}) = (u_{1} … u_{m})A (ξ_{1} ; ⋮ ; ξ_{n}) .

f ∘ ϵ = δ ∘ f_{A} bedeutet, daß das folgende Diagramm kommutativ ist:

[figure: V; f; f_{A}; ℝ^{n}; ℝ^{m}; U; ϵ; δ]

Wir sagen, daß f bezüglich der Basen (v_{j}) und (u_{i}) zur Matrix A gehört.

Definition. Eine Folge a_{1}, …, a_{n} heißt Erzeugendensystem von V, wenn V = ℝa_{1} + ⋯ + ℝa_{n}. Das heißt, daß sich jedes Element von V in der Form

(2.2)  ξ_{1}a_{1} + … + ξ_{n}a_{n}

darstellen läßt.

Man sieht leicht, daß für jede Folge a_{1}, …, a_{n} die Menge

⟨a_{1}, …, a_{n}⟩ = {ξ_{1}a_{1} + ⋯ + ξ_{n}a_{n} | a_{1}, …, a_{n} ∈ A, ξ_{1}, …, ξ_{n} ∈ ℝ}

ein Unterraum von V ist. Man nennt diesen Unterraum das Erzeugnis von a_{1}, …, a_{n} oder den von a_{1}, …, a_{n} erzeugten (oder aufgespannten) Unterraum.

Definition. Eine Folge u_{1}, …, u_{n} heißt linear unabhängig, wenn für alle ξ_{1}, … ξ_{n} ∈ ℝ

0 = ξ_{1}u_{1} + … + ξ_{n}u_{n} ⟹ ξ_{1} = ⋯ = ξ_{n} = 0.

Wenn die u_{j} paarweise verschieden sind, heißt die Menge {u_{1}, …, u_{n}} linear unabhängig, wenn u_{1}, …, u_{n} linear unabhängig ist.

Eine Folge, in der 0 oder zwei gleiche Vektoren vorkommen, ist linear abhängig.

Lemma 2.3.2. u_{1}, …, u_{n} ist genau linear unabhängig, wenn die Darstellung der Elemente von ⟨u_{1}, …, u_{n}⟩ als ξ_{1}u_{1} + … + ξ_{n}u_{n} eindeutig ist.

Beweis. Wenn u_{1}, …, u_{n} linear abhängig sind, hat man zwei verschieden Darstellungen der Null, nämlich 0 = ξ_{1}u_{1} + … + ξ_{n}u_{n} und 0 = 0u_{1} + … + 0u_{n}.

Nehmen wir umgekehrt an, daß u_{1}, …, u_{n} linear unabhängig sind und daß

ξ_{1}u_{1} + … + ξ_{n}u_{n} = ξ′_{1}u_{1} + … + ξ′_{n}u_{n}.

Dann folgt

(ξ_{1} − ξ′_{1})u_{1} + … + (ξ_{n} − ξ′_{n})u_{n} = 0.

Und daraus

ξ_{1} − ξ′_{1} = ⋯ = ξ_{n} − ξ′_{n} = 0.

Also ist ξ_{1} = ξ′_{1}, …, ξ_{n} = ξ′_{n}.

Folgerung. Eine Basis ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem.

Wir nennen eine endliche Menge E ein Erzeugendensystem, wenn jedes Element von V eine Linearkombination von Elementen von E ist. Eine Menge U heißt linear unabhängig, wenn 0 = ∑_{u∈U} ξ_{u}u, impliziert, daß alle ξ_{u} = 0. Eine Basis ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem. Wenn B = {b_{1}, …, b_{n}} für paarweise verschiedene b_{i}, dann ist B genau dann eine Basis, wenn die Folge b_{1}, …, b_{n} eine Basis ist.

Lemma 2.3.3. Sei V ein ℝ–Vektorraum mit Erzeugendensystem E und U eine linear unabhängige Teilmenge von E. Dann hat V eine Basis B, die zwischen U und E liegt:

U ⊂ B ⊂ E.

Beweis. Wir erweitern U zu einer maximalen linear unabhängigen Teilmenge B ⊂ E. B ist ein Erzeugendensystem. Dazu genügt es zu zeigen, daß alle e ∈ E im Erzeugnis von B liegen. Sei e ∈ E \ B. Weil B ∪ {e} linear abhängig sein muß, gibt es b_{1}, …, b_{n} ∈ B und ξ_{1}, …, ξ_{n}, ζ ∈ ℝ, nicht alle Null, mit

ξ_{1}b_{1} + ⋯ + ξ_{n}b_{n} + ζe = 0.

Weil die b_{1}, …, b_{n} linear unabhängig sind^{6}, kann ζ nicht Null sein. Dann liegt

e = \frac{−ξ_{1}}{ζ} b_{1} + … + \frac{−ξ_{n}}{ζ} b_{n}

im Erzeugnis von B.

Definition. V heißt endlich erzeugt, wenn V ein (endliches) Erzeugendensystem hat.

Folgerung.

1. Jedes Erzeugendensystem enthält eine Basis.

2. Wenn V endlich erzeugt ist, läßt sich jede unabhängige Menge zu einer Basis erweitern.

Es folgt, daß jeder endlich erzeugte Vektorraum zu einem ℝ^{n} isomorph ist.

Satz 2.3.4. Sei V ein ℝ–Vektorraum. Eine linear unabhängige Teilmenge hat höchstens so viele Elemente wie ein Erzeugendensystem von V.

Beweis. Sei e_{1}, …, e_{m} ein Erzeugendensystem, u_{1}, …, u_{n} linear unabhängigbeliebige Vektoren. Für eine geeignete Matrix (α_{ij}) = A von Koeffizienten ist

u_{j} = ∑_{i=1}^{m} α_{ij}e_{i} (j = 1, …, n).

In symbolischer Schreibweise

(u_{1} … u_{n}) = (e_{1} … e_{m})A.

Wenn m < n, hat nach 1.1.5 das Gleichungssystem

∑_{j=1}^{n} α_{ij}ξ_{j} = 0 (i = 1, …, m)

eine nicht–triviale Lösung. Symbolisch

A (ξ_{1} ; ⋮ ; ξ_{n}) = 0.

6wenn wir die b_{i} paarweise verschieden gewählt haben

Wenn wir diese Gleichungen mit den e_{i} multiplizieren erhalten wir eine lineare Abhängigkeit zwischen den u_{j}:

∑_{j=1}^{n} u_{j}ξ_{j} = ∑_{j=1}^{n} ∑_{i=1}^{m} α_{ij}ξ_{j}e_{i} = ∑_{i=1}^{m}(∑_{j=1} α_{ij}ξ_{j})e_{i} = 0,

symbolisch:

(u_{1} … u_{n}) (ξ_{1} ; ⋮ ; ξ_{n}) = (e_{1} … e_{m})A (ξ_{1} ; ⋮ ; ξ_{n}) = (e_{1} … e_{m}) (0 ⋮ 0) = 0.

Wenn m < n, sind die u_{j} also nicht linear unabhängig.

Folgerung 2.3.5. Alle Basen eines endlich erzeugten Vektorraums V haben die gleiche Mächtigkeit: die Dimension

dim(V)

von V. Zwei endlich erzeugte Vektorräume sind genau dann isomorph, wenn sie die gleiche Dimension haben.

Folgerung 2.3.6.

1. Ein Unterraum U eines endlich erzeugten Vektorraums V ist endlich erzeugt. Es gilt dim(U) ≤ dim(V).

2. Sei V endlich erzeugt und f : V → U linear. Dann ist auch das Bild f[V] endlich erzeugt und hat höchstens die Dimension von V.

Beweis.

1): Sei V von m Elementen erzeugt. Weil linear unabhängige Mengen höchstens m Elemente haben, enthält U eine maximale linear unabhängige Menge B. B ist eine Basis von U.

2): Wenn E ein Erzeugendensystem von V ist, ist f[E] ein Erzeugendensystem von f[V].

2.4 Unendlichdimensionale Vektorräume

Definition. Für eine Menge I sei ℝ^{(I)} die Menge alle Funktionen f : I → ℝ, die an fast allen Stellen (d.h. an allen bis auf endlich vielen) den Wert 0 hat. ℝ^{(I)} ist ein Vektorraum mit wertweiser Addition und Multiplikation mit Skalaren.

ℝ^{(I)} ist ein Unterraum von ℝ^{I}, dem Raum aller Funktionen von I nach ℝ.

Wir wollen zeigen, daß jeder Vektorraum zu einem ℝ^{(I)} isomorph ist. Wir verallgemeinern dazu die Begriffe aus Abschnitt 2.2 auf unendliche Mengen.

Definition. Sei V ein Vektorraum und (v_{i})_{i∈I} eine Familie von Vektoren.

• (v_{i})_{i∈I} ist eine Basis von V, wenn sich jeder Vektor v ∈ V eindeutig in

der Form

v = ∑_{i∈I} ξ_{i}v_{i}

schreiben läßt. Dabei dürfen nur endlich viele der ξ_{i} ungleich Null sein, damit die eventuell unendliche Summe sinnvoll ist.

• (v_{i})_{i∈I} ist linear unabhängig, wenn

0 = ∑_{i∈I} ξ_{i}v_{i} ⟹ ξ_{i} = 0 für alle i ∈ I.

• (v_{i})_{i∈I} ist ein Erzeugendensystem, wenn sich jedes Element von V in der Form ∑_{i∈I} ξ_{i}v_{i} schreiben läßt.

Eine Menge B heißt Basis (linear unabhängig, Erzeugendensystem), wenn (b)_{b∈B} eine Basis (linear unabhängig, Erzeugendensystem) ist.

Wie in der Bemerkung S.28 sieht man, daß Basen nichts anderes als linear unabhängige Erzeugendensysteme sind.

Satz 2.4.1. Jeder Vektorraum ist zu einem ℝ^{(I)} isomorph.

Beweis. Sei V ein Vektorraum. Wir betrachten die Menge P aller linear unabhängigen Teilmengen von V und ordnen sie durch Inklusion. Weil die Vereinigung einer Kette von linear unabhängigen Mengen wieder linear unabhängig ist, können wir Zorns Lemma (2.4.2) auf P anwenden und erhalten eine maximale linear unabhängige Menge B. Wie im Beweis von 2.3.3 sieht man, daß B eine Basis von V ist. Die Zuordnung

(ξ_{b})_{b∈B} ⟼ ∑_{b∈B} ξ_{b}b

definiert offensichtlich ein Isomorphismus zwischen ℝ^{(B)} und V.

Definition. Eine partielle Ordnung ≤ auf P ist eine zweistellige Relation, die reflexiv, transitiv und antisymmetrisch ist. Dabei bedeutet

reflexiv  x ≤ x
transitiv  x ≤ y & y ≤ z ⇒ x ≤ z
antisymmetrisch x ≤ y & y ≤ x ⇒ x = y

für alle x, y, z ∈ P.

In einer totalen (oder linearen) Ordnung sind alle Elemente x, y vergleichbar, das heißt x ≤ y oder y ≤ x.

Eine Teilmenge A von P ist eine Kette, wenn A durch ≤ linear geordnet ist.

p ∈ P ist eine obere Schranke von A, wenn a ≤ p für alle a ∈ A.

p ∈ P ist ein maximales Element von P, wenn p ≤ p′ ⇒ p = p′ für alle p′ ∈ P.

Satz 2.4.2 (Zornsches Lemma). Sei (P, ≤) eine partielle Ordnung. Wenn jede Kette in P eine obere Schranke hat, hat P ein maximales Element.

Beweis. Das Zornsche Lemma wird in der Mengenlehre bewiesen. Es ist zum Auswahlaxiom äquivalent.

2.5 Der Verband der Unterräume

Sei (P, ≤) eine partielle Ordnung. p heißt größtes Element von P, wenn p′ ≤ p für alle p′ ∈ P. P hat höchstens ein größtes Element. Kleinstes Element von P wird analog definiert.

Sei A eine Teilmenge von P. Eine (die) kleinste obere Schranke von A heißt Supremum sup(A) von A. Das Infimum inf(A) ist größte untere Schranke.

Definition. Eine partielle Ordnung heißt Verband, wenn je zwei Elemente ein Supremum und ein Infimum haben.

Satz 2.5.1. Sei V ein Vektorraum. Dann bilden die durch Inklusion geordneten Unterräume von V einen Verband. Dabei ist sup(U_{1}, U_{2}) = U_{1} + U_{2} und inf(U_{1}, U_{2}) = U_{1} ∩ U_{2}.

Beweis. Offensichtlich ist U_{1} ∩ U_{2} der größte gemeinsame Unterraum von U_{1} und U_{2} und

U_{1} + U_{2} = {u_{1} + u_{2} | u_{1} ∈ U_{1}, u_{2} ∈ U_{2}}

ist ⟨U_{1} ∪ U_{2}⟩, der kleinste Unterraum, der U_{1} und U_{2} enthält.

Der Nullraum 0 ist kleinstes Element, V größtes Element dieses Verbandes. Der Verband der Unterräume ist zwar im Allgemeinen nicht distributiv^{7}, es gilt aber eine Abschwächung des Distributivgesetzes, das Modularitätsgesetz:

U_{2} ⊂ W ⇒ (U_{1} + U_{2}) ∩ W = (U_{1} ∩ W) + U_{2}.

7Das Distributivgesetz (U_{1} + U_{2}) ∩ W = (U_{1} ∩ W) + (U_{2} ∩ W) gilt nicht, wenn dim(V) ≥ 2.

Die rechte Seite ist klarerweise in der linken enthalten. Sei umgekehrt w ∈ (U_{1} + U_{2}) ∩ W. Wenn wir w = u_{1} + u_{2} für u_{i} ∈ U_{i} schreiben, folgt daß u_{1} in W liegt, weil w und u_{2} zu W gehören. Also ist u_{1} + u_{2} ∈ (U_{1} ∩ W) + U_{2}.

Lemma 2.5.2. Jeder Unterraum U von V hat ein Komplement. Ein Komplement von U ist ein Unterraum U′ mit

U ∩ U′ = 0 und U + U′ = V.

Beweis. Wir nennen U und U′ unabhängig, wenn ihr Durchschnitt Null ist, das heißt, wenn für alle u ∈ U und u′ ∈ U′

u + u′ = 0 ⇒ u = u′ = 0.

Mit Zorns Lemma verschaffen wir einen maximalen Unterraum U′, der unabhängig von U ist. Wir zeigen U + U′ = V. Sei v ∈ V ein beliebiger Vektor. Wir können annehmen, daß v ∉ U′. Dann muß U′ + ℝv abhängig von U sein. Es gibt also u ∈ U, u′ ∈ U′, α ∈ ℝ mit u = u′ + αv ≠ 0. Weil U und U′ unabhängig sind, muß α ≠ 0 sein. Es folgt

v = \frac{1}{α}(u − u′) ∈ U + U′.

U′ läßt sich auch folgendermaßen konstruieren: Man wählt eine Basis B von U und setzt sie (mit Zorns Lemma) zu einer Basis B ∪ · B′ von V fort. Für U′ nehmen wir den von B′ aufgespannten Unterraum. Weil B ∪ · B′ linear unabhängig ist, sind U und U′ unabhängig. Weil B ∪ · B′ ein Erzeugendensystem von V ist, ist V = U + U′. Der Beweis des nächsten Lemmas zeigt, daß man alle Komplemente von U auf diese Weise erhält.

Lemma 2.5.3. Sei V endlichdimensional, U ein Unterraum und U′ eine Komplement von U in V. Dann ist

dim(V) = dim(U) + dim(U′).

Beweis. Wähle eine Basis B von U und eine Basis B′ von U′. Dann ist B ∪ · B′ eine Basis von V.

Das direkte Produkt U_{1} × U_{2} zweier Vektorräume wird mit elementweisen Operationen ein Vektorraum, die direkte Summe U_{1} ⨁ U_{2}.

Lemma 2.5.4. Wenn U_{1} und U_{2} unabhängig sind, ist die lineare Abbildung von U_{1} ⨁ U_{2} ⟶ U_{1} + U_{2}, definiert durch (u_{1}, u_{2}) ↦ u_{1} + u_{2}, ein Isomorphismus.

Beweis. Die Abbildung ist offensichtlich linear und surjektiv. Sie ist injektiv, weil, U_{1} und U_{2} unabhängig sind: Aus u_{1} + u_{2} = u′_{1} + u′_{2} folgt u_{1} − u′_{1} = u′_{2} − u_{2} und daraus u_{1} − u′_{1} = u′_{2} − u_{2} = 0 und u_{1} = u′_{1}, u_{2} = u′_{2}.

Folgerung. Wenn U′ Komplement von U ist, ist V ≅ U ⨁ U′.

Zwei Komplemente U′ und U′′ von U sind kanonisch isomorph. Man definiert durch

f(u′) = u′′ ⇔ u′ − u′′ ∈ U

einen Isomorphismus f : U′ → U′′. f ist auf ganz U′ wohldefiniert, weil es zu jedem u′ ∈ U eine eindeutige Darstellung u′ = u + u′′ gibt. Vertauscht man die Rollen von U′ und U′′, erkennt man, daß f injektiv und surjektiv ist. Die Linearität von f ist klar.

Sei U ein Unterraum von V. Mengen der Form v + U heißen Nebenklassen von U.

Lemma 2.5.5. Nebenklassen von U sind gleich oder disjunkt. Es gilt v_{1} + U = v_{2} + U ⇔ v_{1} − v_{2} ∈ U.

Beweis. Wenn v_{1} + U und v_{2} + U nicht disjunkt sind, gibt es u_{i} ∈ U mit v_{1} + u_{1} = v_{2} + u_{2}. Es folgt v_{1} − v_{2} = u_{2} − u_{1} ∈ U. Wenn umgekehrt v_{1} − v_{2} ∈ U, folgt v_{1} + U = v_{2} + (v_{1} − v_{2}) + U = v_{2} + U.

Definition. V/U = {v + U | v ∈ V } heißt der Quotient von V nach U. Die Abbildung

π : v ↦ v + U

heißt kanonische Projektion.

Satz 2.5.6. V/U trägt eine Vektorraumstruktur, die eindeutig dadurch bestimmt ist, daß die kanonische Projektion

π : V → V/U

linear ist.

Beweis. Sei V/U mit einer Vektorraumstruktur versehen und π linear. Dann lassen sich in V/U die Summe zweier Elemente a und b und das Produkt mit einem α ∈ ℝ so ausrechnen: Wir wählen Repräsentanten x, y der Nebenklassen, sodaß π(x) = a und π(y) = b. Dann ist

(2.3)  a + b = π(x + y)

und

(2.4)  α · a = π(α · x)

Es folgt daß Addition und Multiplikation eindeutig bestimmt sind.

Um die Existenz einer Vektorraumstruktur einzusehen, definieren wir Addition und Multiplikation durch (2.3) und (2.4). Wir müssen aber nachrechnen, daß a + b und αa unabhängig von der Wahl von x und y definiert sind. Sei also π(x′) = a und π(y′) = b. Dann gehören x − x′ und y − y′ zu U und damit auch ihre Summe (x + y) − (x′ + y′). Es folgt π(x + y) = π(x′ + y′) und a + b ist wohldefiniert. Um die Wohldefiniertheit der Multiplikation einzusehen, nehmen wir an, daß π(x′) = a. Dann folgt x − x′ ∈ U und damit auch αx − αx′ = α(x − x′) ∈ U und π(αx) = π(αx′).

Die Vektorraumaxiome übertragen sich dann sofort auf dem Quotienten. Betrachten wir als ein Beispiel die Assoziativität der Addition:

(π(x) + π(y)) + π(z) = π(x + y) + π(z) = π((x + y) + z)
= π(x + (y + z)) = π(x) + π(y + z)
= π(y) + (π(y) + π(z)).

Lemma 2.5.7. Sei U′ ein Komplement von U in V. Dann induziert π einen Isomorphismus U′ → V/U.

Beweis. Sei π′ die Einschränkung von π auf U′. Wenn v = u+u′ für u ∈ U, u′ ∈ U′, ist π′(u′) = v + U. Aus U + U′ = V folgt also die Surjektivität von π′. Und aus U ∩ U′ = 0 die Injektivität:

π′(u′_{1}) = π′(u′_{2}) ⇒ u′_{1} − u′_{2} ∈ U ⇒ u′_{1} = u′_{2}.

Folgerung 2.5.8. Wenn V endlichdimensional ist, ist

dim(U) + dim(V/U) = dim(V).

Beweis. Die Behauptung folgt aus 2.5.3 und 2.5.7

Definition. Die Kodimension von U in V ist die Dimension von V/U.

codim_{V} (U) = dim(V/U)

Satz 2.5.9. Für endlichdimensionale Vektorräume gilt

dim(U_{1} + U_{2}) + dim(U_{1} ∩ U_{2}) = dim(U_{1}) + dim(U_{2})

Beweis. Sei H ein Komplement von U_{1} ∩ U_{2} in U_{2}. Dann ist H ein Komplement von U_{1} in U_{1} + U_{2}: Klar ist, daß U_{1} + H = U_{1} + (U_{1} ∩ U_{2}) + H = U_{1} + U_{2}. Andererseits ist U_{1} ∩ H = U_{1} ∩ U_{2} ∩ H = 0.

Es folgt codim_{U_{1}+U_{2}}(U_{1}) = codim_{U_{2}}(U_{1} ∩ U_{2}). Nach 2.5.8 ist

codim_{U_{1}+U_{2}}(U_{1}) = dim(U_{1} + U_{2}) − dim(U_{1})

und

codim_{U_{2}}(U_{1} ∩ U_{2}) = dim(U_{2}) − dim(U_{1} ∩ U_{2}).

Daraus folgt die Behauptung durch Gleichsetzen der rechten Seiten.

Wenn U_{1} + U_{2} = V, läßt sich die Behauptung des letzten Satzes ausdrücken durch

codim(U_{1} ∩ U_{2}) = codim(U_{1}) + codim(U_{2}).

Äquivalenzrelationen und Partitionen: Sei X eine Menge. Eine Äquivalenzrelation E ist eine zweistellige reflexive, transitive und symmetrische (d.h. xEy ⇒ yEx) Relation auf X. Eine Partition von X ist eine Teilmenge 𝔅 der Potenzmenge 𝔓(X) = {B | B ⊂ X} von X, deren Elemente nichtleer, paarweise disjunkt sind und deren Vereinigung X ist.

Äquivalenzrelationen und Partitionen entsprechen einander: Setzt man x/E = {y ∈ X | yEx} für x ∈ X und eine Äquivalenzrelation E, so ist

𝔅 = {x/E | x ∈ X}

die zugehörige Partition von X. Wenn umgekehrt 𝔅 eine Partition ist, so erhält man mit

xEy ⇔ ∃B ∈ 𝔅 x ∈ B & y ∈ B

die zugehörige Äquivalenzrelation.

Eine Unterraum U von V bestimmt auf V die Äquivalenzrelation x − y ∈ U mit der Partition {v + U | v ∈ V }.

2.6 Körper

Ein Ring R ist ein Tripel (R, +, ·), wobei

• (R, +) eine abelsche Gruppe,

• (R, ·) eine Halbgruppe ist und

• die Distributivgesetze

x(y + z) = xy + xz

und

(x + y)z = xz + yz

gelten.

Ein Einselement 1, falls vorhanden, erfüllt x1 = 1x = x. R ist kommutativ, wenn die Multiplikation kommutativ ist.

Wie auf Seite 24 sieht man, daß in einem Ring immer 0x = x0 = 0.

Definition. Ein Körper ist ein kommutativer Ring mit Einselement 1, in dem jedes von Null verschiedene Element ein Inverses bezüglich der Multiplikation besitzt. Außerdem fordert man^{8}, daß 0 ≠ 1.

8Dadurch schließt man den Nullring 0 = {0} aus

Beispiele:

• ℤ ist ein kommutativer Ring mit 1.

• ℚ und ℝ sind Körper.

• ℤ_{n} ist, mit repräsentantenweiser Multiplikation

ȳ · z̄ = \overline{yz},

ein kommutativer Ring mit 1.

• ℤ_{p} ist genau dann ein Körper, wenn p eine Primzahl ist^{9}. Man bezeichnet diesen Körper auch mit 𝔽_{p}.

Um den Körper der komplexen Zahlen einzuführen, brauchen wir den Begriff einer ℝ–Algebra.

Definition. Eine ℝ–Algebra A ist ein ℝ–Vektorraum mit einer bilinearen Operation (der Multiplikation).

Dabei heißt eine Abbildung ∘ : A × A → A bilinear, wenn sie in beiden Argumenten linear ist, das heißt, wenn

• (x + x′) ∘ y = x ∘ y + x′ ∘ y

• x ∘ (y + y′) = x ∘ y + x ∘ y′

• (αx) ∘ y = x ∘ (αy) = α(x ∘ y)

Beispiel: M_{n}(ℝ) ist eine ℝ–Algebra der Dimension n^{2}.

Lemma 2.6.1. Sei b_{1}, …, b_{n} eine Basis von A. Für beliebige Vektoren a_{ij} (i, j = 1, …, n) gibt es genau eine Algebren–Multiplikation ∘ auf V mit b_{i} ∘b_{j} = a_{ij}.

Beweis. Seien x = ∑_{i} ξ_{i}b_{i} und y = ∑_{j} ζ_{j}b_{j} zwei beliebige Elemente von A. Dann ist

x ∘ y = ∑_{i,j} ξ_{i}ζ_{j}(b_{i} ∘ b_{j}).

Das zeigt, daß ∘ durch die b_{i} ∘ b_{j} eindeutig bestimmt ist. Umgekehrt definiert

x ∘ y = ∑_{i,j} ξ_{i}ζ_{j}a_{ij}

eine bilineare Abbildung.

9Ein Körper ist immer nullteilerfrei, das heißt, daß die Null nicht Produkt von Elementen ungleich Null sein kann. Man sieht sofort, daß ℤ_{m} genau dann nullteilerfrei ist, wenn m prim ist. In einem nullteilerfreien Ring R ist die Multiplikation λ_{a} mit einem a ≠ 0 injektiv, weil ax = ax′ ⇒ a(x − x′) = 0 ⇒ x − x′ = 0. Wenn R endlich ist, ist also λ_{a} surjektiv und a hat ein Rechtsinverses. Das beweist, daß die ℤ_{p}, für Primzahlen p, Körper sind.

Beispiel: ℝ^{3} wird mit dem Kreuzprodukt eine Algebra, wenn man die Produkte e_{i} × e_{j} der kanonischen Basisvektoren definiert durch

e_{1} × e_{2} = e_{3} , e_{2} × e_{3} = e_{1} , e_{3} × e_{1} = e_{2}
e_{2} × e_{1} = −e_{3} , e_{3} × e_{2} = −e_{1} , e_{1} × e_{3} = −e_{2}
e_{1} × e_{1} = 0 , e_{2} × e_{2} = 0 , e_{3} × e_{3} = 0.

Das Kreuzprodukt ist nicht assoziativ. Es handelt sich vielmehr um eine Liealgebra (vgl. Seite 137).

Definition. Die ℝ–Algebra ℂ der komplexen Zahlen entsteht aus ℝ^{2} durch folgende Multiplikation: (Die kanonische Basis des ℝ^{2} sei hier mit 1, i bezeichnet.)

11 = 1, 1i = i1 = i, ii = −1

Lemma 2.6.2. ℂ ist ein Körper.

Beweis. Drei Dinge sind zu zeigen:

• 1 ist Einselement: 1 ist linksneutral, weil 1(α1 + β i) = α(11) + β (1i) = α1 + β i. Eine ähnliche Rechnung zeigt, daß 1 auch rechtsneutral ist.

• Die Kommutativität der Multiplikation: Ergibt sich leicht aus der Vertauschbarkeit der Basiselemente 1i = i1.

• Die Assoziativität der Multiplikation: Man überprüft leicht, daß die Multiplikation auf den beiden Basiselementen assoziativ ist: Weil 1 Einselement ist, braucht man nur

(i ∘ i) ∘ i = (−1) ∘ i = −i = i ∘ (−1) = i ∘ (i ∘ i)

zu betrachten. Wenn aber die Multiplikation einer Algebra A auf einer Basis assoziativ ist, ist sie auf ganz A assoziativ. Die dreistellige multilineare^{10} Funktion

(x ∘ y) ∘ z − x ∘ (y ∘ z)

verschwindet nämlich auf ganz A, wenn sie auf einer Basis verschwindet. (Das ist eine Verallgemeinerung von 2.6.1.)

• Existenz von Inversen: Sei z = α1 + β i. Man nennt

\overline{z} = α1 − β i

die konjugiert komplexe Zahl. Wenn z ungleich Null ist, ist das Produkt

z \overline{z} = α^{2} + β^{2}

ebenfalls ungleich Null und \frac{\overline{z}}{α^{2} + β^{2}} ist Inverses von z.

10μ : V_{1} × V_{2} × … × V_{m} ⟶ W heißt multilinear, wenn für alle v_{1} …, v_{m} ∈ V und für alle i = 1, …, m die Abbildung ν : V_{i} → W definiert durch ν(x) = μ(v_{1}, …, v_{i−1}, x, v_{i+1}, …, v_{m})

linear ist.

Wir fassen ℝ vermöge der Einbettung α ↦ α 1 als Unterraum von ℂ auf. Die kanonische Basis ist dann 1, i. Definition. Sei R ein Ring mit Einselement. Ein R–Modul ist eine abelsche Gruppe M mit einer Multiplikation R × M → M, die den folgenden Regeln genügt:

a) r(x+y)=rx+ry

b) (r+s)x=rx+sx

c) (rs)x=r(sx)

d) 1x=x Ein K–Modul über einem Körper K heißt K–Vektorraum.

Alle Sätze des Kapitels gelten für beliebige K–Vektorräume.

Lineare Abbildungen

Wir fixieren einen Körper K. Alle in diesem Kapitel vorkommenden Vektorräume sind K–Vektorräume.

3.1 Der Noethersche Isomorphiesatz

Sei f : V → W eine lineare Abbildung.

Lemma 3.1.1. Das Bild

Im(f) = f[V]

von f ist ein Unterraum von W. Der Kern

Ker(f) = {v ∈ V | f(v) = 0}

ein Unterraum von V.

Beweis. Bild und Kern enthalten den Nullvektor, weil aus f(0) = f(0 + 0) = f(0) + f(0) folgt, daß

f(0) = 0.

Die Summe f(v_{1}) + f(v_{2}) zweier Elemente von Im(f) ist gleich f(v_{1} + v_{2}), also wieder im Bild von f. Wenn f(v_{1}) = f(v_{2}) = 0, ist auch f(v_{1} + v_{2}) = f(v_{1}) + f(v_{2}) = 0 + 0 = 0. Mit f(v_{1}) ist auch αf(v_{1}) = f(αv_{1}) im Bild. Wenn v_{1} im Kern ist, ist f(αv_{1}) = αf(v_{1}) = 0. Also ist auch αv_{1} im Kern. f ist genau dann injektiv, wenn Ker(f) = 0. Denn

(3.1)  f(v_{1}) = f(v_{2}) ⇔ v_{1} − v_{2} ∈ Ker(f)

Beispiele: Sei U ein Unterraum von V.

• Für die Inklusionsabbildung ι : U → V ist Im(ι) = U.

• Für die kanonische Projektion π : V → V/U ist Ker(π) = U.

• Sei U′ ein Komplement von U und π : V → U′ die Projektion auf U′

entlang U,

π(u + u′) = u′.

Dann ist Im(π) = U′ und Ker(π) = U.

\underline{Notation} Sei f : X → Y eine Abbildung, a ein Element von Y und A eine Teilmenge von Y. Dann bezeichnen wir mit f^{−1}(a) und f^{−1}(A) jeweils die Menge {x | f(x) = a} bzw. {x | f(x) ∈ A} der Urbilder von a bzw. A. (Wenn f eine Bijektion ist, hat f^{−1}(a) zwei Bedeutungen!)

Offenbar ist Ker(f) = f^{−1}(0). Wenn f(a) = b, ist a + Ker(f) = f^{−1}(b).

Satz 3.1.2 (Noetherscher Isomorphiesatz). f induziert einen Isomorphismus

\overline{f} : V/ Ker(f) → Im(f)

. Beweis. Sei π die kanonische Projektion von V auf V/ Ker(f). Dann ist

f(v_{1}) = f(v_{2}) ⇔ v_{1} − v_{2} ∈ Ker(f) ⇔ π(v_{1}) = π(v_{2}).

Aus "⇐" folgt sofort, daß man f durch π faktorisieren kann. Das heißt, daß f = \overline{f} ∘ π für eine Abbildung \overline{f} : V/ Ker(f) → W.

[figure: V; f; V/ Ker(f); W; π; \overline{f}]

Weil π surjektiv ist, ist \overline{f} eindeutig bestimmt und hat Im(f) als Bild. Aus "⇒" folgt, daß \overline{f} injektiv ist. Es bleibt die Linearität von \overline{f} zu zeigen. Seien dazu c_{1} und c_{2} beliebige Elemente von V/ Ker(f) und α ∈ K. Für geeignete v_{1}, v_{2} ∈ V ist π(v_{1}) = c_{1} und π(v_{2}) = c_{2}. Wir haben dann

\overline{f}(c_{1} + c_{2}) = \overline{f}(π(v_{1}) + π(v_{2})) = \overline{f}(π(v_{1} + v_{2}))
= f(v_{1} + v_{2}) = f(v_{1}) + f(v_{2})
= \overline{f}(c_{1}) + \overline{f}(c_{2})

und

\overline{f}(αc_{1}) = \overline{f}(απ(v_{1})) = \overline{f}(π(αv_{1}))
= f(αv_{1}) = αf(v_{1})
= α\overline{f}(c_{1}).

Die Abbildung \overline{f} ist gegeben durch \overline{f}(v + Ker(f)) = f(v) die Umkehrabbildung durch \overline{f}^{−1}(w) = f^{−1}(w) für w ∈ Im(f).

Folgerung 3.1.3.

dim(V) = dim(Ker(f)) + dim(Im(f))

Beweis. Nach 2.5.8 ist

dim(V) = dim(Ker(f)) + dim(V/ Ker(f)).

Aus dem Satz folgt andererseits

dim(V/ Ker(f)) = dim(Im(f)).

Folgerung 3.1.4. Sei f : V → W eine lineare Abbildung zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen.

1. Für alle b ∈ W ist f^{−1}(b) leer oder eine Nebenklasse von Ker(f).

2. Wenn dim(V) > dim(W), ist Ker(f) ≠ 0. Wenn dim(V) < dim(W), ist Im(f) ≠ W.

3. Wenn dim(V) = dim(W), so sind äquivalent:

(a) Ker(f) = 0

(b) f ist injektiv.

(c) f ist surjektiv.

Beweis.

1: folgt sofort aus der Äquivalenz (3.1) auf Seite 42.

2: Wenn dim(V) > dim(W), kann f : V → Im(f) kein Isomorphismus sein, weil dann auch dim V > dim(Im(f)). f ist also nicht injektiv, d.h. Ker(f) ≠ 0.

Wenn dim(V) < dim(W) ist auch dim(Im(f)) < dim(W), also Im(f) ≠ W

3: f ist genau dann injektiv, wenn der Kern von f Null ist, wegen der Äquivalenz (3.1). Aus 3.1.3 folgt, daß der Kern genau dann Null ist, wenn V und Im(f) die gleiche Dimension haben. Wenn V die gleiche Dimension wie W hat, bedeutet das Im(f) = W.

Wendet man diese Folgerung auf f_{A} : K^{n} → K^{m} an, übersetzt sie sich in:

Folgerung 3.1.5. Sei A eine m–n–Matrix und H die Menge der Lösungen des homogenen Gleichungssystems Ax = 0. Dann gilt

1. Für alle Spaltenvektoren b der Länge m ist die Lösungsmenge des Gleichungssystems Ax = b leer oder eine Nebenklasse von H.

2. Wenn m < n, ist H ≠ 0. Wenn n < m haben nicht alle Gleichungen Ax = b eine Lösung.

3. Wenn m = n, so sind äquivalent:

(a) H = 0

(b) Für alle b hat Ax = b höchstens eine Lösung.

(c) Ax = b ist lösbar für alle b.

Der erste Teil von 2. wurde schon in 1.1.5 bewiesen. Wir geben noch einen Beweis von 3. , der von 3.1.2 unabhängig ist: Daß die Eindeutigkeit der Lösungen von Ax = b zu H = 0 äquivalent ist, ist klar, weil sich je zwei Lösungen durch ein Element von H unterscheiden. Ax = b ist für alle b genau dann lösbar, wenn die Spalten ein Erzeugendensystem des K^{n} bilden. H ist genau dann Null, wenn die Spalten linear unabhängig sind. Eine n–elementige Menge ist aber genau ein Erzeugendensystem von K^{n}, wenn sie linear unabhängig ist. (Das folgt aus 2.3.3 und 2.3.6.)

Definition. Der Rang von f ist die Dimension des Bildes von f. Der Rang einer Matrix ist die Maximalzahl linear unabhängiger Spalten.

Der hier definierte Rang stimmt mit dem in Abschnitt 1.1 definierten Rang überein. Man vergleiche den Beweis von 1.1.7.

Lemma 3.1.6. Sei A eine m–n–Matrix und f_{A} : K^{n} → K^{m} die dadurch definierte lineare Abbildung. Dann ist der Rang von A gleich dem Rang von f_{A}.

Beweis. Wenn a_{1}, …, a_{n} die Spalten von A sind, ist

f_{A}(ξ_{1}, …, ξ_{n}) = ξ_{1}a_{1} + ⋯ + ξ_{n}a_{n}.

Daran sieht man, daß die Spalten von A ein Erzeugendensystem von Im(f) bilden. Jede maximale linear unabhängige Teilmenge von {a_{1}, …, a_{n}} ist eine Basis von Im(f).

Bemerkung. Wenn v_{1}, …, v_{n} ein Erzeugendensystem von V ist, ist f(v_{1}), …, f(v_{n}) ein Erzeugendensystem von Im(f). Wenn f(v_{1}), …, f(v_{n}) linear unabhängig sind, sind auch v_{1}, …, v_{n} linear unabhängig.

Beweis. Die Elemente v ∈ V sind Linearkombinationen ∑_{i=1}^{n} α_{i}v_{i}. Also sind die Bilder f(v) Linearkombinationen ∑_{i=1}^{n} α_{i}f(v_{i}). Schließlich führt eine lineare Abhängigkeit ∑_{i=1}^{n} α_{i}v_{i} = 0 zu einer linearen Abhängigkeit ∑_{i=1}^{n} α_{i}f(v_{i}).

3.2 Die lineare Gruppe

Ein Endomorphismus von V ist eine lineare Abbildung von V nach V. Die Endomorphismen von V bilden eine K–Algebra^{1}, End(V).

Ein bijektiver Endomorphismus heißt Automorphismus. Ein Automorphismus ist also ein Isomorphismus von V mit sich selbst. Die Automorphismen von V bilden mit der Komposition als Verknüpfung eine Gruppe, die lineare Gruppe Gl(V) mit der identischen Abbildung id_{V} als neutralem Element^{2}.

Das folgende Lemma ist eine Umformulierung von 3.1.4.3.

Lemma 3.2.1. Sei V endlichdimensional und f ein Endomorphismus von V. Dann sind äquivalent:

1. f ist ein Automorphismus

2. f ist injektiv

3. f ist surjektiv

Sei b_{1}, …, b_{n} eine Basis von V. Dann ist f genau dann injektiv, wenn die Bilder der b_{i} unter f linear unabhängig sind, und genau dann surjektiv, wenn die Bilder V erzeugen.

1Das ist ein K–Vektorraum mit einer bilinearen Operation. ℝ-Algebren wurden schon auf Seite 38 definiert.

2Gl(V) ist die Einheitengruppe von End(V). Dabei heißt ein Element eines Ringes Einheit, wenn es ein Links- und ein Rechtsinverses hat.

Wenn V = K^{n}, ist End(V) auf natürliche Weise isomorph zur K–Algebra M_{n}(K). Eine n–n–Matrix A heißt regulär , wenn f_{A} : K^{n} → K^{n} ein Automorphismus ist, sonst singulär. Die Menge Gl_{n}(K) der regulären n-n–Matrizen mit der Matrizenmultiplikation als Operation ist eine Gruppe mit der Einheitsmatrix als Einselement. Der Isomorphismus zwischen M_{n}(K) und End(K^{n}) überführt Gl(K^{n}) in Gl_{n}(K).

Lemma 3.2.2. Für eine n–n–Matrix A sind äquivalent:

1. A ist regulär

2. A hat Rang n.

3. A hat ein Linksinverses: BA = I

4. A hat ein Rechtsinverses: AC = I

Beweis. Wenn A regulär ist, ist f_{A} ein Automorphismus. Weil f_{A} surjektiv ist, hat f_{A} und damit auch A den Rang n. Wenn f_{B} die Umkehrabbildung von f_{A} ist, ist BA = AB = I. (Natürlich ist B das einzige Links- bzw. Rechtsinverse.)

Wenn A ein Links- oder Rechtsinverses hat, hat f_{A} ein Links- oder Rechtsinverses und ist damit injektiv oder surjektiv. Aus 3.2.1 folgt, daß f_{A} ein Automorphismus und A regulär ist.

Wenn A regulär ist, bezeichnen wir mit A^{−1} das Inverse von A.

Beispiele:

• Es ist Gl_{1}(K) = K^{•}, die multiplikative Gruppe der von Null verschiedenen Elemente von K.

• Gl_{n}(𝔽_{p}) hat

(p^{n} − 1)(p^{n} − p) … (p^{n} − p^{n−1})

viele Elemente. Eine n–n–Matrix mit Spalten a_{1}, …, a_{n} ist nämlich genau dann regulär, wenn die a_{1}, …, a_{n} linear unabhängig sind. Das heißt, daß

a_{1} ∉ 0, a_{2} ∉ ⟨a_{1}⟩, …, a_{n} ∉ ⟨a_{1}, …, a_{n−1}⟩.

Für a_{1} bleiben also p^{n} − 1 viele Möglichkeiten, für a_{2} p^{n} − p viele Möglichkeiten,…, und schließlich p^{n} − p^{n−1} viele Möglichkeiten für a_{n}.

Die Elementarmatrizen

E_{ij}^{λ} (1 ≤ i ≠ j ≤ n, λ ∈ K)

sind n-n–Matrizen, in deren Diagonalen Einsen stehen und deren andere Einträge Null sind. Nur an der Stelle (i, j) steht λ.

Die Elementarmatrizen

E_{j}^{λ} (1 ≤ i ≤ n, λ ∈ K^{·})

haben Einsen in der Diagonalen und Nullen sonst. Nur an der Stelle (j, j) steht λ.

Für die Einheitsvektoren e_{1}, …, e_{n} gilt

E_{ij}^{λ} e_{k} = \begin{cases}e_{j} + λe_{i} & wenn k = j \\ e_{k} & sonst \end{cases}

und

E_{j}^{λ} e_{k} = \begin{cases}λe_{j} & wenn k = j \\ e_{k} & sonst \end{cases}

Damit sieht man sofort:

Folgerung. E_{ij}^{λ}A entsteht aus A durch Anwenden der Zeilenoperation Z_{ji}^{λ}, E_{i}^{λ}A durch Anwenden der Zeilenoperation Z_{i}^{λ}.

Elementarmatrizen sind regulär. Es ist (E_{ij}^{λ})^{−1} = E_{ij}^{−λ} und (E_{i}^{λ})^{−1} = E_{i}^{λ^{−1}}.

Satz 3.2.3. Gl_{n}(K) wird von Elementarmatrizen erzeugt. Das heißt, daß sich jede reguläre Matrix als Produkt von Elementarmatrizen (und ihren Inversen) schreiben läßt.

Beweis. Wir haben in 1.1.3 gesehen, daß sich jede Matrix A durch Zeilenoperationen in Normalform N bringen läßt. Es gibt also ein Produkt S von Elementarmatrizen, sodaß SA = N. Weil N wie A den Rang n hat, muß N = I sein. Daraus folgt, daß A = S^{−1} Produkt von Elementarmatrizen ist.

In 1.1.3 mußte man allerdings Spalten vertauschen. Wenn A quadratisch ist und Rang k = n hat, sind Spaltenvertauschungen unnötig. Man sieht das leicht am Beweis von 1.1.3. ^{3}. Hier ist aber nochmal das Argument:

Nehmen wir an, wir hätten A durch Zeilenoperation umgeformt in eine Matrix A′, deren i erste Spalten die Einheitsvektoren e_{1}, …, e_{i} sind^{4}. Sei a die i + 1–te Spalte von A′. Weil A′ regulär ist, ist a nicht linear abhängig von den vorangehenden Spalten. Also muß a unterhalb der i–ten Zeile ein von Null verschiedenes Element enthalten. Weil wir Zeilen vertauschen dürfen, können wir annehmen, daß der i + 1–te Koeffizient von Null verschieden ist. Durch Anwenden von geeigneten Operationen Z_{i}^{λ} und Z_{ij}^{λ} können wir a in e_{i+1} verwandeln. Es resultiert eine Matrix A′′, deren i + 1 erste Spalten die i + 1 ersten Einheitsvektoren sind.

3Man muß nämlich die Spalten nur vertauschen, um zu erreichen, daß die ersten k Spalten linear unabhängig sind.

4Man beginnt mit i = 0

Ein Gleichungssystem Ax = b läßt sich durch Multiplikation mit einer regulären Matrix B passender Größe äquivalent umformen in

x = (BA)x = Bb.

3.2.3 zeigt, daß man diese Umformungen immer durch Zeilenoperation erzielen kann.

3.3 Basiswechsel

Definition. Seien 𝔅 = (b_{1}, …, b_{n}) und 𝔅′ = (b′_{1}, …, b′_{n}) zwei Basen von V. Der Wechsel von 𝔅 nach 𝔅′ wird durch die Matrix B = (β_{ij})_{{i=1...n \atop j=1...n}} beschrieben, wenn

(3.2)  b′_{j} = ∑_{i=1}^{n} β_{ij}b_{i}.

In symbolischer Notation bedeutet das

(b′_{1} … b′_{n}) = (b_{1} … b_{n})B.

Wie wir auf Seite 27 gesehen haben, heißt das, daß bezüglich der Basis 𝔅 die Matrix B die lineare Abbildung g beschreibt, die b_{i} auf b′_{i} abbildet. Anders ausgedrückt, wenn ϵ : K^{n} → V die kanonische Basis auf 𝔅 abbildet, ist das Diagramm

(3.3)  [figure: V; g; f_{B}; K^{n}; K^{n}; V; ϵ; ϵ]

kommutativ. Weil g ein Automorphismus ist, ist B regulär.

Lemma 3.3.1. Die Koordinaten eines Vektors

ξ_{1}b_{1} + ⋯ + ξ_{n}b_{n} = ξ′_{1}b′_{1} + ⋯ + ξ′_{n}b′_{n}

bezüglich 𝔅 und 𝔅′ gehen vermöge

ξ_{i} = ∑_{j=1}^{n} β_{ij}ξ′_{j}

auseinander hervor.

Beweis. Die Behauptung folgt aus

∑_{i} ξ_{i}b_{i} = ∑_{j} ξ′_{j}b′_{j} = ∑_{j} ξ′_{j}(∑_{i} β_{ij}b_{i}) = ∑_{i}(∑_{j} β_{ij}ξ′_{j})b_{i}

durch Koeffizientenvergleich.

In symbolischer Schreibweise sieht der Beweis so aus:

(b_{1} … b_{n}) (ξ_{1} ; ⋮ ; ξ_{n}) = (b′_{1} … b′_{n}) (ξ′_{1} ; ⋮ ; ξ′_{n}) = (b_{1} … b_{n})B (ξ′_{1} ; ⋮ ; ξ′_{n})

impliziert

(ξ_{1} ; ⋮ ; ξ_{n}) = B (ξ′_{1} ; ⋮ ; ξ′_{n}) .

Die Abbildung ϵ′ = g ∘ ϵ bildet die kanonische Basis auf 𝔅′ ab. Aus (3.3) folgt die Kommutativität von

[figure: V; id_{V}; f_{B}; K^{n}; K^{n}; V; ϵ′; ϵ]

B beschreibt also bezüglich der Basis 𝔅′ im Definitionsbereich und der Basis 𝔅 im Bildbereich die identische Abbildung von V nach V. Das ist ein Umformulierung von 3.3.1.

Satz 3.3.2. U,V und W seien endlichdimensionale Vektorräume mit ausgewählten Basen 𝔄, 𝔅 und ℭ.

f : V → U und h : W → V seien lineare Abbildungen, die Matrizen A und C entsprechen. Durch B sei ein Basiswechsel von 𝔅 nach 𝔅′ gegeben. Dann gilt:

1. Bezüglich der Basen 𝔅′ und 𝔄 gehört zu f die Matrix

AB.

2. Bezüglich der Basen ℭ und 𝔅′ gehört zu h die Matrix

B^{−1}C.

Beweis. Sei v ∈ V und x bzw. x′ die Koordinaten von v bezüglich 𝔅 bzw. 𝔅′. Die Koordinaten von f(v) bezüglich 𝔄 sind dann Ax = A(Bx′) = (AB)x′. Das beweist die erste Behauptung.

Die zweite Behauptung läßt sich ebenso beweisen. Ich gebe aber zur Abwechslung einen anderen Beweis: Wenn wir die Basen als Zeilen von Vektoren auffassen, haben wir h(ℭ) = 𝔅C und 𝔅′ = 𝔅B. Daraus folgt 𝔅 = 𝔅′B^{−1} und, wie behauptet, h(ℭ) = 𝔅C = 𝔅′(B^{−1}C).

Folgerung 3.3.3. Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum mit ausgezeichneter Basis 𝔅. f : V → V sei ein durch die Matrix A beschriebener Endomorphismus. Wenn wir mit Hilfe der Matrix B zur Basis 𝔅′ übergehen, wird f durch die Matrix B^{−1}AB beschrieben.

Zwei quadratische Matrizen A und A′ heißen ähnlich oder konjugiert , wenn A′ = B^{−1}AB für eine reguläre Matrix B.

Satz 3.3.4 (Normalform für lineare Abbildungen). U und V seien Vektorräume der Dimension m und n, f : V → U eine lineare Abbildung vom Rang k. Dann kann man Basen in U und V so wählen, daß f durch die m–n–Matrix

(3.4)  ( \begin{matrix}I & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} )

dargestellt wird, wobei I die k–dimensionale Einheitsmatrix ist.

Beweis. Sei V′ ein Komplementärraum von Ker(f) in V. Nach 2.5.7 und 3.1.2 induziert f eine Isomorphismus von V′ mit Im(f). V′ hat also Rang k. Wir wählen als Basis von V eine Basis b_{1}, …, b_{k} von V′ gefolgt von einer Basis b_{k+1}, …, b_{n} von Ker(f). Auf der Bildseite setzen wir f(b_{1}), …, f(b_{k}) zu einer Basis von U fort.

Folgerung 3.3.5. Eine m–n–Matrix A hat genau dann den Rang k, wenn es eine reguläre n–n–Matrix B und eine reguläre m–m–Matrix B′ gibt, sodaß B′AB die Gestalt (3.4) hat.

Beweis. Satz 3.3.4 auf f_{A} : K^{n} → K^{m} angewendet liefert Basen in K^{n} und K^{m}, bezüglich der f_{A} die gewünschte Matrixdarstellung A′ hat. Wenn die Matrizen B und C die beiden Basiswechsel (von den kanonischen Basen zu den neuen Basen) beschreiben, ist A′ = C^{−1}AB. Setze B′ = C^{−1}.

Umgekehrt hat eine Matrix der Form (3.4) Rang k. Damit haben auch f_{A} und A den Rang k.

Folgerung 3.3.6. Jede m–n–Matrix vom Rang k läßt sich durch Zeilen– und Spaltenoperationen in die Gestalt (3.4) bringen.

Beweis. Sei A′ = B′AB für reguläre B′ und B. Weil B′ ein Produkt von Elementarmatrizen ist, läßt sich A′ aus AB durch Zeilenoperationen gewinnen.

Es ist leicht zu sehen, daß Rechtsmultiplikation mit Elementarmatrizen die Ausführung einer Spaltenoperation bedeutet: AE_{ij}^{λ} addiert das λ–fache der j–ten Spalte von A zur i–ten Spalte, AE_{i}^{λ} multipliziert die i–te Spalte mit λ.

Daraus folgt, daß AB aus A durch Spaltenoperationen hervorgeht.

Satz 3.3.7. U und V seien Vektorräume der Dimension m und n, f : V → U eine lineare Abbildung vom Rang k. In V sei eine Basis 𝔅 fixiert. Dann kann man 𝔅 so zu einer Basis 𝔅′ umordnen und eine Basis 𝔄 von U so wählen, daß f bezüglich der neuen Basen durch eine Matrix in Normalform

(3.5)  ( \begin{matrix}I & ∗ \\ 0 & 0 \end{matrix} )

dargestellt wird, wobei I die k–dimensionale Einheitsmatrix und ∗ eine beliebige k–(n − k)–Matrix ist.

Beweis. Der Beweis ist eine Variante des Beweises von 3.3.4. Wir wählen die Umordnung 𝔅′ so, daß f(b′_{1}), …, f(b′_{k}) eine Basis von Im(f) ist. 𝔄 ist irgendeine Fortsetzung von f(b′_{1}), …, f(b′_{k}) zu einer Basis von U.

Als Folgerung erhält man noch einmal Satz 1.1.3: Jede Matrix vom Rang k läßt sich durch Zeilenoperationen und Umordnen der Spalten in eine Matrix in Normalform vom Rang k bringen.

Jede Normalform läßt sich durch Addieren von geeigneten Vielfachen der ersten k Spalten zu den letzten n − k Spalten in die Form (3.4) bringen. Damit hat man einen alternativen Beweis von 3.3.4.

Determinanten

4.1 Die Signatur einer Permutation

X sei eine endliche Menge. Wir wollen jeder Permutation π ∈ Sym(X) ein Vorzeichen zuordnen, ihre Signatur sign(π). Dazu wählen wir eine Orientierung der zweielementigen Teilmengen von X. Das heißt eine Abbildung s : X^{2} \ Δ → {1, −1}, mit^{1}

s(x, y) = −s(y, x)

für alle x ≠ y ∈ X, und definieren

Definition.

sign(π) = ∏ \frac{s(πx, πy)}{s(x, y)}.

Dabei wird das Produkt gebildet über alle ungeordneten Paare^{2} x, y. Auf die

Wahl einer Reihenfolge von x und y kommt es nicht an, weil \frac{s(πx, πy)}{s(x, y)} =

\frac{s(πy, πx)}{s(y, x)}.

Wenn t eine andere Orientierung ist, die sich von s bei n ungeordneten Paaren unterscheidet, ist

∏ \frac{t(x, y)}{s(x, y)} = ∏ \frac{t(πx, πy)}{s(πx, πy)} = (−1)^{n}.

Daraus folgt, daß es bei der Definition der Signatur auf die Wahl der Orientierung nicht ankommt. Zu Beispiel liefert jede lineare Ordnung < von X eine Orientierung, definiert durch

1Δ = {(x, x) | x ∈ X} ist die Diagonale von X

2Das heißt über alle Zweiermengen {x, y} mit x ≠ y.

sign(x, y) = \begin{cases}1 & wenn x < y \\ −1 & sonst \end{cases}

Man nennt eine zweielementige Menge {x, y} einen Fehlstand von π, wenn ihre Ordnung von π umgedreht wird, wenn also z.B. x < y und π(x) > π(y). Man erhält sofort die äquivalente Definition

Definition (Variante).

sign(π) = (−1)^{Zahl der Fehlstände}

Man nennt eine Permutation gerade, wenn ihre Signatur 1 ist, und ungerade, wenn ihre Signatur −1 ist. Eine Permutation ist also genau dann gerade, wenn sie eine gerade Zahl von Fehlständen hat.

Satz 4.1.1. Die Signaturabbildung

sign : Sym(X) → {1, −1}

ist ein Gruppenhomomorphismus.

Beweis.

sign(πσ) = ∏ \frac{s(πσx, πσy)}{s(x, y)}

= ∏ \frac{s(πσx, πσy)}{s(σx, σy)} ∏ \frac{s(σx, σy)}{s(x, y)}

= sign(π) sign(σ)

Eine Folge x_{1}, …, x_{k} von paarweise verschiedenen Elementen von X definiert einen Zyklus

(x_{1} … x_{k}).

Das ist die Permutation, die die Elemente x_{i} (für i < k) auf x_{i+1} abbildet, x_{k} auf x_{1} und alle anderen Elemente von X auf sich selbst.

Bemerkung. Ein Zyklus der Länge k hat die Signatur (−1)^{k−1}

Beweis. Wir ordnen X so, daß x_{1}, …, x_{k} die ersten k Elemente sind. Die Fehlstände von (x_{1} … x_{k}) sind dann die Paare {x_{1}, x_{k}}, {x_{2}, x_{k}}, …, {x_{k−1}, x_{k}}.

Lemma 4.1.2. Jede Permutation läßt sich (bis auf die Reihenfolge) eindeutig als Produkt von disjunkten Zyklen schreiben.

Beweis. Sei π ∈ Sym(X), Wir zerlegen X mit der Äquivalenzrelation

x ∼ y ⇔ ∃z ∈ ℤ π^{z}x = y

in die Bahnen von π.

Sei x ein beliebiges Element von X. Die x, πx, π^{2}x, … können nicht alle verschieden sein. Sei n die kleinste positive natürliche Zahl mit π^{n}x ∈ {x, …, π^{n−1}x}. Dann ist π^{n}x = x und

B = {x, πx, …, π^{n−1}x}

ist eine Bahn von π. Auf B operiert π wie der Zyklus σ_{B} = (x πx … π^{n−1}x) und es ist

π = ∏_{B Bahn} σ_{B}

.

Ein Zyklus der Länge zwei heißt Transposition.

Folgerung 4.1.3. Jede Permutation ist Produkt von Transpositionen.

Beweis.

(x_{1} … x_{k}) = (x_{k}x_{1})(x_{k−1}x_{1}) … (x_{2}x_{1})

Satz 4.1.4. sign ist der einzige nicht–triviale Homomorphismus

Sym(X) → {1, −1}.

Beweis. Wir beginnen mit einer Vorüberlegung. Betrachte zwei Transpositionen (ab) und (a′b′). Wähle eine Permutation π mit π(a′) = a und π(b′) = b. Dann ist (a′b′) = π^{−1}(ab)π.^{3} Wenn nun S : Sym(X) → {1, −1} ein Homomorphismus ist, ist

S(a′b′) = S(π)^{−1}S(ab)S(π) = S(ab).

Es gibt also zwei Fälle:

Fall 1: S(τ) = 1 für alle Transpositionen τ. Dann hat S auch auf allen Produkten von Transpositionen den Wert 1. Also ist S(σ) = 1 für alle σ.

Fall 2: S(τ) = −1 für alle Transpositionen τ. Wenn σ Produkt von n Transpositionen ist, gilt daher

S(σ) = (−1)^{n} = sign(σ).

3Wir sagen dazu: (ab) und (a′b′) sind konjugiert.

4.2 k–Formen

Sei V ein K–Vektorraum. Definition. Eine k–stellige multilineare Abbildung μ : V^{k} → K (eine Multilinearform) heißt alternierend oder k–Form, wenn sie die zwei folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:

a) μ(a_{1}, …, a_{k}) = 0 für alle k–Tupel a_{1}, …, a_{k}, in denen ein Vektor zweimal vorkommt.

b) Für alle a_{1}, …, a_{k} ∈ V, alle 1 ≤ i ≠ j ≤ n und alle λ ∈ K ist μ(a_{1}, …, a_{i} + λa_{j}, …, a_{k}) = μ(a_{1}, …, a_{i}, …, a_{k})

Die Äquivalenz der beiden Bedingungen folgt aus μ(…, a_{i} + λa_{j}, …, a_{j}, …) = μ(…, a_{i}, …, a_{j}, …) + λμ(…, a_{j}, …, a_{j}, …).

Lemma 4.2.1. Eine Multilinearform μ ist genau dann alternierend, wenn μ(a_{1}, …, a_{k}) = 0 für alle linear abhängigen Tupel a_{1}, …, a_{k}.

Beweis. Sei μ alternierend. Aus Bedingung b) der Definition folgt

0 = μ(a_{1}, …, a_{k−1}, 0) = μ(a_{1}, …, a_{k−1}, λ_{1}a_{1} + ⋯ + λ_{k−1}a_{k−1}). Wenn a_{1}, …, a_{k} linear abhängig sind, weil zum Beispiel λ_{1}a_{1} +⋯+λ_{k−1}a_{k−1} = a_{k}, ist daher 0 = μ(a_{1}, …, a_{k}). Die Umkehrung ist klar.

Das folgende Lemma ist leicht zu beweisen: Lemma 4.2.2.

1. Jede Linearkombination von k–Formen ist wieder eine k–Form.

2. Sei ϕ : V → U eine lineare Abbildung und μ eine k–Form auf U. Dann ist

μ^{ϕ}, definiert durch

μ^{ϕ}(a_{1}, …, a_{k}) = μ(ϕ(a_{1}), …, ϕ(a_{k}))

eine k–Form auf V.

Man bezeichnet mit A^{k}V den Raum aller k–Formen auf V.

Lemma 4.2.3. Sei μ eine k–Form auf V. Dann ist für alle a_{1}, …, a_{k} ∈ V, und alle 1 ≤ i < j ≤ k

μ(a_{1}, …, a_{i}, …, a_{j} …, a_{k}) = −μ(a_{1}, …, a_{j}, …, a_{i} …, a_{k})

Beweis. Wir wenden den Trick an, mit der wir im Beweis von Satz 1.1.3 gezeigt haben, daß man mit Zeilenoperationen Zeilen vertauschen kann:

μ(…, a_{i}, …, a_{j}, …) = μ(…, a_{i}, …, a_{i} + a_{j}, …)
= μ(…, −a_{j}, …, a_{i} + a_{j}, …)
= μ(…, −a_{j}, …, a_{i}, …)
= −μ(…, a_{j}, …, a_{i}, …)

Wenn K nicht die Charakteristik 2 hat^{4}, ist jede Multilinearform mit der im Lemma gegebenen Eigenschaft alternierend. Man schließt nämlich so:

μ(…, a_{i}, …, a_{i}, …) = −μ(…, a_{i}, …, a_{i}, …) ⇒ μ(…, a_{i}, …, a_{i}, …) = 0

Für die nächste Folgerung erweitern wir den Begriff der Signatur auf beliebige Abbildungen τ : {1, …, k} → {1, …, k}: Die Signatur sign(τ) von τ ist 0, wenn τ keine Permutation ist. Satz 4.1.1 gilt immer noch in der Form

sign(π ∘ σ) = sign(π) sign(σ)

für beliebige π und σ.

Folgerung 4.2.4. Sei μ eine k–Form auf V Dann ist für jede Abbildung τ : {1, …, k} → {1, …, k} und alle a_{1}, …, a_{k} ∈ V

μ(a_{τ(1)}, …, a_{τ(k)}) = sign(τ) μ(a_{1}, …, a_{k}).

Beweis. Wenn τ keine Permutation ist, gibt es i < j mit a_{τ(i)} = a_{τ(j)}. Also ist μ(a_{τ(1)}, …, a_{τ(k)}) = 0. Wenn τ eine Permutation ist und Produkt von n Transpositionen, ist

μ(a_{τ(1)}, …, a_{τ(k)}) = (−1)^{n}μ(a_{1}, …, a_{k}) = sign(τ) μ(a_{1}, …, a_{k}).

Folgerung 4.2.5. Sei a_{1}, …, a_{n} eine Basis von V. Dann ist μ bestimmt durch die Werte μ(a_{i_{1}}, …, a_{i_{k}}) für alle 1 ≤ i_{1} < … < i_{k} ≤ n.

\underbrace{1 + 1 + ⋯ + 1}_{p} = 0.

4Sei K ein Körper und p die kleinste positive Zahl, sodaß in K p muß eine Primzahl sein. (Siehe Fußnote 9, Seite 38). p heißt die Charakteristik von K. Wenn p nicht existiert hat K die Charakteristik Null.

Beweis. Wie in 2.6.1 sieht man, daß eine Multilinearform bestimmt ist durch ihre Werte auf der Basis a_{1}, …, a_{n}, daß heißt durch die

α_{j} = μ(a_{j_{1}}, …, a_{j_{k}}).

Wenn die j_{1}, …, j_{k} alle verschieden sind, ordnen wir sie aufsteigend als i_{1}, …, i_{k}. Dann ist α_{j} = sign(π)μ(a_{i_{1}}, …, a_{i_{k}}), wenn π die Permutation bezeichnet, die i_{1}, …, i_{k} auf j_{1}, …, j_{k} abbildet.

Wenn die j_{1}, …, j_{k} nicht paarweise verschieden sind, ist α_{j} = 0.

Folgerung 4.2.6. Wenn n < k, ist 0 die einzige k–Form auf V.

4.3 Determinanten

Satz 4.3.1. Sei b_{1}, …, b_{n} eine Basis von V und β ∈ K. Dann gibt es genau eine n–Form μ mit μ(b_{1}, …, b_{n}) = β.

Beweis. Die Eindeutigkeit ergibt sich aus 4.2.5. Für die Existenz definieren wir μ als die Multilinearform, die auf den Basiselementen die richtigen Werte hat, für die also

μ(b_{τ(1)}, …, b_{τ(n)}) = sign(τ)β

für alle τ : {1, …, n} → {1, …, n} (siehe 2.6.1).

Betrachte für ein festgehaltenes π ∈ S_{n} die Multilinearform

ν(x_{1}, …, x_{n}) = μ(x_{π(1)}, …, x_{π}(n)).

Auf den Basiselementen nimmt ν die gleichen Werte an wie sign(π)μ, weil

ν(b_{τ(1)}, …, b_{τ(n)}) = μ(b_{τ(π(1))}, …, b_{τ(π(n))})

= sign(τπ)β

= sign(π) sign(τ)β

= sign(π)μ(b_{τ(1)}, …, b_{τ(n)})

Es folgt, daß

μ(x_{π(1)}, …, x_{π(n)}) = sign(π)μ(x_{1}, …, x_{n}).

Wenn K nicht die Charakteristik 2 hat, wissen wir jetzt, daß μ alternierend ist und sind fertig. Im allgemeinen Fall schließt man so: Wir müssen zeigen, daß μ Null wird, wenn zwei Argumente gleich sind. Um die Notation zu vereinfachen, nehmen wir an, daß es sich um die ersten beiden Argumente handelt. Es ist also zu zeigen, daß für alle a die (n − 2)–Form μ(a, a, x_{3}, …) auf den Basiselementen verschwindet. Das heißt, daß für alle i_{3}, …, i_{n} ∈ {1, …, n}

μ(a, a, b_{i_{3}}, …, b_{i_{n}}) = μ(a, a, …) = 0.

Für a = ξ_{1}b_{1} + ⋯ + ξ_{n}b_{n} rechnet man:

μ(a, a, …) = ∑_{i} ξ_{i}^{2}μ(b_{i}, b_{i}, …)

+ ∑_{i<j} ξ_{i}ξ_{j}(μ(b_{i}, b_{j}, …) + μ(b_{j}, b_{i}, …))

= 0.

Denn μ(b_{i}, b_{i}, …) = 0 und μ(b_{i}, b_{j}, …) = −μ(b_{j}, b_{i}, …).

Folgerung 4.3.2. Sei V n–dimensional und μ eine nicht–triviale n–Form auf V. Dann ist jede andere n–Form ein Vielfaches von μ.

Beweis. Sei b_{1}, …, b_{n} eine Basis. Weil μ nicht Null ist, ist β = μ(b_{1}, …, b_{n}) von Null verschieden. Sei μ′ eine andere n–Form und β′ = μ′(b_{1}, …, b_{n}). Dann ist

μ′ = \frac{β′}{β} μ.

Sei e_{1}, …, e_{n} die kanonische Basis des K^{n} und μ_{0} die n–Form, für die μ_{0}(e_{1}, …, e_{n}) = 1. Wir nennen μ_{0} die Standard n–Form des K^{n}.

Die Determinante einer n–n–Matrix A ist

det(A) = μ_{0}(a_{1}, …, a_{n}),

wobei a_{1}, …, a_{n} die Spalten von A sind. Anders ausgedrückt:

Definition. Die Determinante det(A) ist eine alternierende Form in den Spalten von A, festgelegt durch det(I) = 1.

Man schreibt auch |A| für die Determinante von A.

Lemma 4.3.3. Wenn A = (α_{ij})_{i,j=1...n}, ist

(4.1)  det(A) = ∑_{π∈S_{n}} sign(π) ∏_{j=1}^{n} α_{π(j),j}.

Beweis. Die Formel, nur eine explizite Version von 4.2.5 für k = n, wird einfach nachgerechnet: (Dabei läuft τ über alle Abbildungen {1, …, n} → {1, …, n} und π über alle Permutationen.)

det(A) = μ_{0}(∑_{i} α_{i1}e_{i}, …, ∑_{i} α_{in}e_{i})

= ∑_{τ} μ_{0}(α_{τ(1)1}e_{τ(1)}, …, α_{τ(n)n}e_{τ(n)})

= ∑_{τ}(∏_{j=1}^{n} α_{τ(j),j})μ_{0}(e_{τ(1)}, …, e_{τ(n)})

= ∑_{τ} sign(τ) ∏_{j=1}^{n} α_{τ(j),j}

= ∑_{π∈S_{n}} sign(π) ∏_{j=1}^{n} α_{π(j),j}

Wir rechnen einige Beispiele aus. Für n = 1, 2, 3 haben wir:

det(a) = a
|\begin{matrix}a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{matrix}| = a_{1}b_{2} − a_{2}b_{1}

|\begin{matrix}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{matrix}| = a_{1}b_{2}c_{3} + a_{2}b_{3}c_{1} + a_{3}b_{1}c_{2} − a_{2}b_{1}c_{3} − a_{1}b_{3}c_{2} − a_{3}b_{2}c_{1}

Die Determinante einer oberen Dreiecksmatrix ist das Produkt ihrer Diagonalelemente,

|\begin{matrix}λ_{1} \\ 0 & λ_{2} & ∗ \\ ⋮ & ⋮ & ... \\ 0 & 0 & … & λ_{n} \end{matrix}| = λ_{1}λ_{2} … λ_{n}

wie man mit Hilfe von (4.1) leicht sieht. Insbesondere gilt für die Elementarmatrizen:

det(E_{i}^{λ}) = λ
det(E_{ij}^{λ}) = 1

Eine Variante davon ist die folgenden Formel. Sei A eine m–m–Matrix, B eine m–n–Matrix und C eine n–n–Matrix. Dann ist

(4.2)  |\begin{matrix}A & B \\ 0 & C \end{matrix}| = |A| · |C|.

Das ist mit Gleichung (4.1) auf Seite 58 leicht nachzurechnen. Man sieht, daß man sich auf π ∈ S_{m+n} beschränken kann, die {1, …, m} (und daher auch {m + 1, …, m + n}) invariant lassen. Weiterhin ist klar, daß die Signatur einer solchen Permutation das Produkt der Signaturen ihrer Einschränkungen auf {1, …, m} und {m + 1, …, m + n} ist.

Satz 4.3.4.

1. det(AB) = det(A) det(B)

2. Die Determinante von A ist genau dann 0, wenn A singulär ist.

Beweis. 1: Wenn b_{1}, …, b_{n} die Spalten von B sind, ist (für festes A)

μ(b_{1}, …, b_{n}) = det(Ab_{1} ⋯ Ab_{n}) = det(AB)

eine n–Form auf K^{n} (siehe 4.2.2). Weil μ(e_{1}, …, e_{n}) = det(A), ist μ das det(A)– fache der Standardform:

μ(b_{1}, …, b_{n}) = det(A) · μ_{0}(b_{1}, …, b_{n}) = det(A) det(B).

2: Wenn A regulär ist, ist det(A) · det(A^{−1}) = 1. det(A) kann also nicht Null sein. Wenn A singulär ist, sind die Spalten von A linear abhängig und det(A) ist Null nach 4.2.1.

Die Determinante ist ein Homomorphismus

det : Gl_{n}(K) → K^{•}.

Der Kern dieser Abbildung ist die spezielle lineare Gruppe

Sl_{n}(K) = {A ∈ M_{n}(K) | det(A) = 1}.

Bemerkung. Sl_{n}(K) wird erzeugt von den Elementarmatrizen E_{ij}^{λ}.

Beweis. Der Beweis von 3.2.3 zeigt, daß man jede reguläre Matrix mit Hilfe von Zeilenoperationen Z_{ii′}^{λ} in eine Diagonalmatrix (mit gleicher Determinante) umformen kann. Es genügt also zu zeigen, daß sich jede Diagonalmatrix D aus Sl_{n}(K) mit Hilfe der Z_{ii′}^{λ} in die Einheitsmatrix umformen läßt. Wir können die Diagonalelemente von D sukzessive durch 1 ersetzen, wenn uns die Umformung

(\begin{matrix}a & 0 \\ 0 & b \end{matrix}) ⟶ (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & ab \end{matrix})

gelingt. Aber das geht so:

(\begin{matrix}a & 0 \\ 0 & b \end{matrix}) ⟶^{Z_{12}^{1/a}} (\begin{matrix}a & 0 \\ 1 & b \end{matrix}) ⟶^{Z_{21}^{1−a}} (\begin{matrix}1 & b − ab \\ 1 & b \end{matrix}) ⟶^{Z_{12}^{−1}} (\begin{matrix}1 & b − ab \\ 0 & ab \end{matrix}) ⟶^{Z_{21}^{1−1/a}} (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & ab \end{matrix})

Definition. Die Transponierte einer m–n–Matrix A = (α_{ij})_{{i=1...m \atop j=1...n}} ist die n–m– Matrix

A^{⊤} = (α_{ij})_{{j=1...n \atop i=1...m}}

Die Spalten von A^{⊤} sind also die Zeilen von A. Man rechnet leicht nach, daß

(AB)^{⊤} = B^{⊤}A^{⊤}.

Die beiden Produkte AB und B^{⊤}A^{⊤} werden gleich ausgerechnet. Die Resultate werden nur anders indiziert. Wenn a_{1}, …, a_{l} die Zeilen von A sind und b_{1}, …, b_{n} die Spalten von B (allen von der Länge m), ist in symbolischer Schreibweise

AB = (a_{1} ; ⋮ ; a_{l}) (b_{1} ⋯ b_{n})

und daher

(AB)^{⊤} = (b_{1}^{⊤} ; ⋮ ; b_{n}^{⊤}) (a_{1}^{⊤} ⋯ a_{l}^{⊤}) = B^{⊤}A^{⊤}.

Satz 4.3.5.

1. det(A^{⊤}) = det(A)

2. det ist eine alternierende Multilinearform der Zeilen von A.

Beweis. Weil ∏_{i=1}^{n} α_{i,π(i)} = ∏_{j=1}^{n} α_{π^{−1}(j),j}, ist

det(A^{⊤}) = ∑_{π∈S_{n}} sign(π) ∏_{i=1}^{n} α_{i,π(i)}

= ∑_{π∈S_{n}} sign(π) ∏_{j=1}^{n} α_{π^{−1}(j),j}

= ∑_{π∈S_{n}} sign(π) ∏_{j=1}^{n} α_{π(j),j}

= det(A)

Es folgt, daß det(A) eine alternierende Multilinearform der Spalten von A^{⊤}, und damit der Zeilen von A, ist.

4.4 Der Laplacesche Entwicklungssatz

Satz 4.4.1 (Die Cramersche Regel). Sei Ax = b ein quadratisches Gleichungssystem, a_{1}, …, a_{n} die Spalten von A. Wenn A regulär ist, errechnet sich der Lösungsvektor x_{1}, …, x_{n} als

x_{j} = \frac{det(a_{1} ⋯ a_{j−1}ba_{j+1} ⋯ a_{n})}{det(A)}.

Beweis. Die Gleichung Ax = b bedeutet x_{1}a_{1} + ⋯ + x_{n}a_{n} = b. Dann ist

det(a_{1} ⋯ a_{j−1}ba_{j+1} ⋯ a_{n}) =

= det(a_{1} ⋯ ∑_{i} x_{i}a_{i} ⋯ a_{n})

= ∑_{i} x_{i} det(a_{1} ⋯ a_{i} ⋯ a_{n})

= x_{j} det(a_{1} ⋯ a_{j} ⋯ a_{n}) = x_{j} det(A).

\underline{Notation} Für eine n–n–Matrix A und zwei Indizes i und j bezeichnen wir mit A_{ij} die Matrix, die aus A entsteht, wenn man die i–te Zeile und die j–te Spalte streicht.

Satz 4.4.2 (Entwicklungssatz von Laplace).

Sei A = (α_{ij})_{{i=1...n \atop j=1...n}} eine n–n–Matrix und j_{0} ein Spaltenindex. Dann ist

det(A) = ∑_{i=1}^{n}(−1)^{i+j_{0}}α_{ij_{0}} det(A_{ij_{0}}).

Die Determinante wird hier nach der j_{0}–ten Spalte entwickelt.

Beweis. Wir schreiben

det(A) = |a_{1} ⋯ a_{n}| ,

wobei die a_{j} die Spalten von A sind. Weil a_{j_{0}} = ∑_{i} α_{ij_{0}}e_{i}, ist

|a_{1} ⋯ a_{j_{0}} ⋯ a_{n}| = ∑_{i} α_{ij_{0}} |a_{1} ⋯ e_{i} ⋯ a_{n}| .

Wenn wir in der Matrix (a_{1} ⋯ e_{i} ⋯ a_{n}) die j_{0}–te Spalte nach vorn schieben und die i–te Zeile nach oben, erhalten wir eine Matrix der Form

(\begin{matrix}1 & ∗ \\ 0 & A_{ij_{0}} \end{matrix}) .

Die verwendeten Permutationen (1 ⋯ j_{0}) und (1 ⋯ i) haben die Signaturen (−1)^{j_{0}−1} und (−1)^{i−1}. Also ist (wegen 4.3.5)

|a_{1} ⋯ e_{i} ⋯ a_{n}| = (−1)^{(i−1)+(j_{0}−1)} |\begin{matrix}1 & ∗ \\ 0 & A_{ij_{0}} \end{matrix} | = (−1)^{i+j_{0}}|A_{ij_{0}}|.

Daraus ergibt sich die Behauptung.

Definiere die Adjunkte adj(A) = (γ_{ij}) einer n–n–Matrix A durch

γ_{ij} = (−1)^{i+j} det(A_{ji}).

Sei c_{j} die j–te Zeile von adj(A). Aus dem Laplaceschen Entwicklungssatz folgt dann für alle Spaltenvektoren b

c_{j}b = |a_{1} ⋯ a_{j−1}ba_{j+1} ⋯ a_{n}| .

Also ist

c_{j}a_{i} = \begin{cases}det(A), & (j = i) \\ 0, & (j ≠ i) \end{cases}

Das ergibt

Satz 4.4.3. adj(A) A = det(A) I

Wenn A regulär ist, ist also

A^{−1} = \frac{adj(A)}{det(A)}.

Die Cramersche Regel folgt hieraus. Denn, wenn Ax = b, ist x = A^{−1}b. Das heißt

x_{j} = \frac{c_{j}b}{det(A)} = \frac{det(a_{1} ⋯ b ⋯ a_{n})}{det(A)}.

Weil das Linksinverse von A auch Rechtsinverses ist, ist für reguläre A auch A adj(A) = det(A) I. Diese Gleichung gilt beliebige A:

Bemerkung. A adj(A) = det(A) I

Beweis. Man überlegt zuerst, daß adj(A)^{⊤} = adj(A^{⊤}). Dann folgt

A adj(A) = (adj(A)^{⊤}A^{⊤})^{⊤} = (adj(A^{⊤}) A^{⊤})^{⊤} = (det(A^{⊤}) I )^{⊤} = det(A) I

4.5 Geometrische Interpretation

Orientierung

Wie in Abschnitt 4.3 bezeichnen wir mit μ_{0} die Standard n–Form des ℝ^{n}.

Definition. Eine Basis 𝔅 des ℝ^{n} heißt positiv orientiert, wenn μ_{0}(𝔅) > 0.

Wenn wir eine Basis 𝔅_{0} stetig in eine Basis 𝔅_{1} überführen, ändert sich die Orientierung nicht. Wenn nämlich für eine stetige Funktion

B : [0, 1] → {Basen}

B(0) = 𝔅_{0} und B(1) = 𝔅_{1}, ist μ_{0}(B(t)) ist eine stetige Funktion von t, die nirgends Null wird. Also haben μ_{0}(𝔅_{0}) und μ_{0}(𝔅_{1}) dasselbe Vorzeichen.

Wenn V ein beliebiger n–dimensionaler ℝ–Vektorraum ist, definiert jede nicht– triviale n–Form μ eine Orientierung von V durch die Maßgabe

𝔅 positiv orientiert ⟺ μ(𝔅) > 0.

Eine andere nicht–triviale n–Form, μ′ = λμ, definiert dieselbe Orientierung, wenn λ > 0 und die entgegengesetzte Orientierung, wenn λ < 0. V hat also genau zwei Orientierungen.

\underline{Volumen}

Für Vektoren a_{1}, …, a_{n} des ℝ^{n} sei vol(a_{1}, …, a_{n}) das in der Analysis (oder für n = 1, 2, 3 in der Schulgeometrie) definierte Volumen des Parallelepipeds

PE(a_{1}, …, a_{n}) = {λ_{1}a_{1} + ⋯ + λ_{n}a_{n} | 0 ≤ λ_{1} ≤ 1, …, 0 ≤ λ_{n} ≤ 1}.

Satz 4.5.1. vol(a_{1}, …, a_{n}) = | μ_{0}(a_{1}, …, a_{n})|

Beweis. Sei

Vol(a_{1}, …, a_{n}) = \begin{cases}vol(a_{1}, …, a_{n}) & wenn μ_{0}(a_{1}, …, a_{n}) ≥ 0 \\ − vol(a_{1}, …, a_{n}) & wenn μ_{0}(a_{1}, …, a_{n}) < 0 \end{cases}

das orientierte Volumen von PE(a_{1}, …, a_{n}). Wenn man der geometrischen Anschauung vertraut, sieht man leicht, daß Vol eine alternierend Multilinearform ist: Wenn a_{1}, …, a_{n} linear abhängig sind, ist PE(a_{1}, …, a_{n}) zu einer “Fläche” entartet und hat Volumen 0. Um zu sehen, daß Vol(a_{1}, …, a_{n}) linear in (zum Beispiel) a_{1} ist, schreiben wir

Vol(a_{1}, …, a_{n}) = d(a_{1}) Vol(a_{2}, …, a_{n}),

wobei d(a_{1}) der mit dem richtigen Vorzeichen versehene Abstand von a_{1} zur Fläche ⟨a_{2}, …, a_{n}⟩ ist. d(x) ist klarerweise linear. Weil Vol(e_{1}…. , e_{n}) = 1, ist Vol = μ_{0}.

Endomorphismen

Die Determinante det(ϕ) eines Endomorphismus ϕ von V definiert man als die Determinante einer Matrixdarstellung A von ϕ. Wenn man die Basis wechselt, hat die neue Matrix die Form B^{−1}AB und man hat

det(B^{−1}AB) = det(B)^{−1} det(A) det(B) = det(A).

Die Definition von det(ϕ) hängt also nicht von der Wahl der Basis ab. Die Invarianz der Definition wird klarer, wenn wir eine andere Definition verwenden. Sei μ eine Volumenform auf V. Dann ist die n–Form μ^{ϕ} ein Vielfaches von μ. Der Faktor ist von der Wahl von μ unabhängig und heißt die Determinante von ϕ:

Definition. Sei V ein n–dimensionaler K–Vektorraum. Eine Volumenform ist eine nicht–triviale n–Form auf V.

Definition. det(ϕ) ist definiert durch^{5}

μ^{ϕ} = det(ϕ)μ.

Dabei ist μ eine beliebige Volumenform auf V.

Es gilt also

μ(ϕ(a_{1}), …, ϕ(a_{n})) = det(ϕ)μ(a_{1}, …, a_{n})

für alle n–Formen μ und alle a_{1}, …, a_{n} ∈ V. Wenn V = ℝ^{n}, ist das Volumen des Bildes ϕ(P) eines Parallelepipeds das det(ϕ)–fache des Volumens von P.

Das nächste Lemma sagt, daß beide Definition von det(ϕ) übereinstimmen.

Lemma 4.5.2. Im K^{n} ist det(f_{A}) = det(A)

Beweis. Die Bilder der kanonischen Basisvektoren unter f_{A} sind die Spalten von A. Also ist für die Standardvolumenform μ_{0}

det(A) = μ_{0}(f_{A}(e_{1}), …, f_{A}(e_{n})) = det(f_{A})μ_{0}(e_{1}, …, e_{n}) = det(f_{A}).

Wir erhalten einen neuen Beweis von Satz 4.3.4:

5Wenn V 0–dimensional ist, ist zwar ϕ = 0, man setzt aber det(ϕ) = 1.

Satz 4.5.3. det(ϕ ∘ ψ) = det(ϕ) det(ψ) Beweis. Weil

μ^{ϕ∘ψ}(a_{1}, …, a_{n}) = μ(ϕ(ψ(a_{1})), …, ϕ(ψ(a_{n})))
= μ^{ϕ}(ψ(a_{1}), …, ψ(a_{n}))
= (μ^{ϕ})^{ψ}(a_{1}, …, a_{n}),

ist

μ^{ϕ∘ψ} = (μ^{ϕ})^{ψ} = det(ψ)μ^{ϕ} = det(ψ) det(ϕ)μ.

Endomorphismen

V sei in diesem Kapitel ein n–dimensionaler K-Vektorraum und ϕ ein Endomorphismus von V.

Wenn man eine Basis festlegt, wird ϕ durch eine n–n–Matrix A beschrieben. Eine Invariante eines Endomorphismus ϕ berechnet sich aus A, hängt aber nur von ϕ ab und nicht von der Wahl der Basis.

5.1 Diagonalisierbare Endomorphismen

Matrizen der Form

(5.1)  (\begin{matrix}λ_{1} & 0 & … & 0 \\ 0 & λ_{2} & … & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & … & λ_{n} \end{matrix})

heißen Diagonalmatrizen.

Definition. ϕ heißt diagonalisierbar, wenn ϕ bei geeigneter Basiswahl durch eine Diagonalmatrix dargestellt wird.

Wenn ϕ bezüglich der Basis b_{1}, …, b_{n} durch (5.1) dargestellt wird, ist

ϕ(b_{i}) = λ_{i}b_{i}

für i = 1, …, n. Die b_{i} sind also Eigenvektoren von ϕ im Sinn der folgenden Definition.

Definition. Ein von Null verschiedener Vektor v heißt Eigenvektor, wenn ϕ(v) Vielfaches von v ist, wenn also

ϕ(v) = λv

für ein λ ∈ K. Der Faktor λ heißt Eigenwert von ϕ.

0 ist genau dann Eigenwert, wenn ϕ singulär ist. Wenn λ Eigenwert von ϕ ist, ist λ + μ Eigenwert von ϕ + μid und λμ Eigenwert von μϕ.

Das nächste Lemma ist klar.

Lemma 5.1.1. ϕ ist genau dann diagonalisierbar, wenn V eine Basis aus Eigenvektoren hat.

Eigenvektoren und Eigenwerte einer quadratischen Matrix A sind die Eigenvektoren und Eigenwerte von f_{A}.

\underline{Beispiel}

Die Eigenwerte einer oberen Dreiecksmatrix

A = (\begin{matrix}λ_{1} & ∗ & … & ∗ \\ 0 & λ_{2} & … & ∗ \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & … & λ_{n} \end{matrix})

sind λ_{1}, …, λ_{n}.

λ ist nämlich genau dann Eigenwert von A, wenn

λI − A

singulär ist. Eine obere Dreiecksmatrix ist genau dann singulär, wenn eine Null in der Diagonalen steht. Die Diagonalelemente von λI − A sind aber λ − λ_{1}, …, λ − λ_{n}.

Definition.

V_{λ} = {v ∈ V | ϕ(v) = λv}

heißt der Eigenraum von λ.

V_{λ} ist ein Unterraum, der von ϕ in sich abgebildet wird, ein sogenannter ϕ– invarianter Unterraum. V_{0} ist der Kern von ϕ. Wenn λ kein Eigenwert ist, ist V_{λ} = 0.

Lemma 5.1.2. Wenn λ_{1}, …, λ_{k} paarweise verschieden sind, sind die V_{i} linear unabhängig. Das heißt, daß eine Summe v_{1} + ⋯ + v_{k} mit v_{i} ∈ V_{λ_{i}} nur Null sein kann, wenn alle v_{i} Null sind.

Beweis. Durch Induktion über k. Der Fall k = 1 ist klar. Aus dem Bestehen der Gleichung v_{1} + ⋯ + v_{k} = 0, erhalten wir durch Anwendung von ϕ einerseits und durch Multiplikation mit λ_{k} andererseits die beiden Gleichungen

\begin{aligned}λ_{1}v_{1} & + & ⋯ & + & λ_{k−1}v_{k−1} & + & λ_{k}v_{k} & = & 0 \\ λ_{k}v_{1} & + & ⋯ & + & λ_{k}v_{k−1} & + & λ_{k}v_{k} & = & 0 \end{aligned}

Wir subtrahieren und erhalten

(λ_{1} − λ_{k})v_{1} + ⋯ + (λ_{k−1} − λ_{k})v_{k−1} = 0

Induktion ergibt (λ_{i} − λ_{k})v_{i} = 0 und daher v_{i} = 0 für i = 1, …, k − 1. Es folgt auch v_{k} = 0.

Seien λ_{1}, …, λ_{e} die verschiedenen Eigenwerte von ϕ. Das letzte Lemma besagt, daß die Summe E der Eigenräume V_{λ_{1}}, …, V_{λ_{e}} ist direkt ist: Das heißt, daß sich jedes Element von E eindeutig als Summe v_{1} + ⋯ + v_{e} (v_{i} ∈ V_{λ_{i}}) schreiben läßt. Es folgt

(5.2)  dim E = ∑_{i=1}^{e} dim V_{λ_{i}}

Satz 5.1.3. ϕ ist genau dann diagonalisierbar, wenn V Summe von Eigenräumen ist.

Beweis. Wähle in jedem V_{λ_{i}} eine Basis b_{1}^{i}, …, b_{n_{i}}^{i}. Das letzte Lemma bedeutet, daß die Familie

𝔅 = (b_{1}^{1}, …, b_{n_{e}}^{e})

linear unabhängig ist. Die Voraussetzung hat also zur Folge, daß 𝔅 eine Basis von V ist, eine Basis aus Eigenvektoren.

Folgerung 5.1.4. ϕ hat höchstens n Eigenwerte. Wenn ϕ n Eigenwerte hat, ist ϕ diagonalisierbar.

Beweis. Nach (5.2) ist

e ≤ dim E ≤ n.

Es folgt e ≤ n. Und dim E = n, wenn e = n.

Der Eigenraum V_{λ} einer Diagonalmatrix (5.1) (Seite 67) wird aufgespannt von den kanonischen Basisvektoren e_{i}, für die λ_{i} = λ. Die Dimension von V_{λ} ist also die Vielfachheit des Vorkommens von λ in der Diagonalen der Matrix. Die Dimensionen der Eigenräume bilden ein System von Invarianten, das die Diagonalmatrix bis auf eine Permutation der Diagonalen (d.h. eine Permutation der Basis) eindeutig festlegt.

5.2 Das charakteristische Polynom

Sei K ein Körper.

Definition. Der Polynomring K[x] ist eine assoziative, kommutative K–Algebra mit Einselement 1 und einem ausgezeichneten Element x, in dem sich jedes Element ( “Polynom”) eindeutig in der Form

p = a_{n}x^{n} + a_{n−1}x^{n−1} + … + a_{0}1

schreiben läßt.

Die angegebene Bedingung bedeutet, daß die Folge 1, x, x^{2}, … eine Basis von K[x] bildet. Wenn man α ∈ K mit α1 identifiziert, wird K zu einer Unteralgebra von K[x].

Man kann K[x] folgendermaßen konstruieren. Sei A ein unendlichdimensionaler K–Vektorraum mit Basis m_{0}.m_{1}, … (zum Beispiel K^{(ℕ)}, vgl. S.30). Mit Lemma 2.6.1 macht man A zu einer K–Algebra, indem man das Produkt von Basiselementen definiert durch

m_{i}m_{j} = m_{i+j}.

Wie im Beweis von 2.6.2, sieht man, daß A assoziativ und kommutativ ist mit m_{0} als Einselement, weil die Multiplikation auf den Basiselementen (offensichtlich) diese Eigenschaften hat. Man identifiziert nun α ∈ K mit αm_{0} und setzt x = m_{1}. Dann ist x^{i} = m_{i} und A hat die Eigenschaften des Polynomrings. Man sieht leicht, daß K[x] durch die angegebenen Eigenschaften bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt ist.

Der Grad des Polynoms p = a_{n}x^{n} + a_{n−1}x^{n−1} + … + a_{0} ist n, wenn a_{n} ≠ 0. Das Polynom 0 hat den Grad −∞. Man überlegt sich leicht, daß

deg(pq) = deg(p) + deg(q)  und
deg(p + q) ≤ max(deg(p), deg(q)).

p heißt normiert, wenn a_{n} = 1, und konstant, wenn deg(p) ≤ 0.

Sei A eine assoziative K–Algebra mit Einselement 1 und a ein Element von A. Dann ist die lineare Abbildung

p ⟼ p(a) = a_{n}a^{n} + a_{n−1}a^{n−1} + … + a_{0}1

ein Homomorphismus von K[x] nach A, der sogenannte Einsetzungshomomorphismus. Das heißt, daß

(pq)(a) = p(a)q(a)

für alle p, q ∈ K[x]. Das folgt daraus, daß die bilineare Abbildung (p, q) ↦ (pq)(a) − p(a)q(a) auf der Basis 1, x, x^{2}, … und daher auf ganz K[x] verschwindet.

Wenn A der Körper K selbst ist, ist der Einsetzungshomomorphismus das wohlbekannte Einsetzen eines Körperelements a in Polynome. Man nennt a Nullstelle von p, wenn p(a) = 0. Wir haben aber jetzt auch die Möglichkeit Matrizen aus A = M_{n}(K) und Endomorphismen aus A = End(V) in Polynome einzusetzen.

K[x] ist ein Integritätsbereich. Das ist ein kommutativer Ring mit 1 ≠ 0, der nullteilerfrei ist: rs = 0 ⇒ r = 0 oder s = 0. Ein Integritätsbereich R läßt sich immer in einen Körper Q, seinen Quotientenkörper einbetten. Man definiert auf der Menge aller Paare (r, s), (r, s ∈ R, s ≠ 0) eine Äquivalenzrelation durch (r, s) ∼ (r′, s′) ⇔ rs′ = sr′ und setzt

Q = \{\frac{r}{s} | r, s ∈ R, s ≠ 0\},

wobei \frac{r}{s} die Äquivalenzklasse von (r, s) bezeichnet. Mit den Operationen

\frac{r}{s} + \frac{r′}{s′} = \frac{rs′ + sr′}{ss′}  und
\frac{r}{s} \frac{r′}{s′} = \frac{rr′}{ss′}

wird Q zu einem Körper. Wenn man r mit \frac{r}{1} identifiziert, erhält man R als Unterring. Der Quotientenkörper von K[x] ist der rationale Funktionenkörper K(x).

Aus der Gleichung (4.1) auf Seite 58 folgt sofort:

Lemma 5.2.1. Sei A(x) eine Matrix aus Polynomen, dann ist det(A(x)) ein Polynom.

Definition. Das charakteristische Polynom P_{A} einer quadratischen Matrix A ist

P_{A} = det(xI − A).

Das charakteristische Polynom einer 2–2–Matrix A = (a_{ij}) ist zum Beispiel

P_{A} = (x − a_{11})(x − a_{22}) − a_{21}a_{12} = x^{2} − (a_{11} + a_{22})x + (a_{11}a_{22} − a_{21}a_{12}).

Auf Seite 59 haben wir die Determinante einer oberen Dreiecksmatrix ausgerechnet. Daraus folgt, daß das charakteristische Polynom von

( \begin{matrix}λ_{1} & ∗ & … & ∗ \\ 0 & λ_{2} & … & ∗ \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & … & λ_{n} \end{matrix} )

das Produkt

P_{A} = (x − λ_{1}) ⋯ (x − λ_{n})

ist. Wir sagen, daß P_{A} in Linearfaktoren zerfällt.

Wenn A und B ähnlich sind, sind auch xI − A und xI − B ähnlich. Ähnliche Matrizen haben also das gleiche charakteristische Polynom (vgl. S.65). Man kann daher das charakteristische Polynom P_{ϕ}(x) eines Endomorphismus durch das charakteristische Polynom einer zugehörigen Matrix definieren. P_{ϕ}(x) ist eine Invariante von ϕ.

Lemma 5.2.2. Sei ϕ Endomorphismus eines n–dimensionalen Vektorraums.

1. P_{ϕ}(x) ist ein normiertes Polynom vom Grad n.

2. Die Eigenwerte von ϕ sind die Nullstellen von P_{ϕ}(x).

Beweis. Für A = (α_{ij}) folgt aus (4.1) (Seite 58)

(5.3)  P_{A}(x) = ∏_{j=1}^{n}(x − a_{jj}) + Polynome vom Grad ≤ n − 2

Daraus ergibt sich die erste Behauptung. λ ist genau dann Eigenwert von A, wenn λI−A singulär ist, das heißt, wenn det(λI−A) = 0. Die zweite Behauptung folgt jetzt sofort aus

(5.4)  P_{A}(λ) = det(λI − A).

Wenn man in die letzte Gleichung 0 einsetzt ergibt sich p_{A}(0) = det(−A) = (−1)^{n} det(A). Wir finden also im charakteristischen Polynom

P_{ϕ} = x^{n} + a_{n−1}x^{n−1} + … + a_{0}

die Determinante von ϕ wieder als

det(ϕ) = (−1)^{n}a_{0}.

Aus (5.3) entnimmt man, daß a_{n−1} = − ∑_{j=1}^{n} α_{jj}. Man nennt die Summe der Diagonalelemente die Spur Tr(A) von A. Die Spur ist wie das ganze charakteristische Polynom eine Invariante von ϕ. Wir notieren

Tr(ϕ) = −a_{n−1}.

Daß ähnliche Matrizen dieselbe Spur haben, sieht man auch so: Die Gleichung

Tr(AB) = Tr(BA)

ist leicht nachzurechnen. Für reguläre B folgt dann

Tr(B^{−1}AB) = Tr(BB^{−1}A) = Tr(A).

Satz 5.2.3. ϕ läßt sich genau dann bei geeigneter Basiswahl durch eine obere Dreiecksmatrix darstellen, wenn P_{ϕ} in Linearfaktoren zerfällt.

Daß das charakteristische Polynom einer oberen Dreiecksmatrix in Linearfaktoren zerfällt, wissen wir schon. Für die Umkehrung brauchen wir einen Hilfssatz:

Lemma 5.2.4. Sei U ein ϕ–invarianter Unterraum von V. Durch

\overline{ϕ}(v + U) = ϕ(v) + U

wird ein Endomorphismus von V/U definiert. Für die charakteristischen Polynome gilt

P_{ϕ} = P_{ϕ↾U} P\overline{ϕ}.

Beweis. Zuerst müssen wir zeigen, daß \overline{ϕ} wohldefiniert ist: Sei v + U = v′ + U. Dann ist v−v′ ∈ U und folglich ϕ(v)−ϕ(v′) = ϕ(v−v′) ∈ U. Also ist ϕ(v)+U = ϕ(v′) + U. Die Linearität von \overline{ϕ} folgt einfach aus der Linearität von ϕ.

Wir wählen eine Basis b_{1}, …, b_{m} von U und setzen sie zu einer Basis b_{1}, …, b_{n} von V fort. ϕ wird jetzt von einer Matrix der Form

(\begin{matrix}A & B \\ 0 & C \end{matrix})

dargestellt. Die m–m–Matrix A ist dabei die Matrix von ϕ ↾ U und C die Matrix von \overline{ϕ} bezogen auf die Basis b_{m+1} + U, …, b_{n} + U von V/U. Die Behauptung folgt jetzt aus Gleichung (4.2) auf Seite 59.

Wir zeigen Satz 5.2.3 durch Induktion über n = dim V. Sei

P_{ϕ} = (x − λ_{1}) ⋯ (x − λ_{n}).

Für n = 0 (und n = 1) ist nichts zu zeigen. Nehmen wir also an, daß n > 0. Dann ist λ_{1} Eigenwert von ϕ mit Eigenvektor b_{1}. Wir wenden das Lemma auf U = Kb_{1} an und erhalten

∏_{i=1}^{n}(x − λ_{i}) = (x − λ_{1}) P\overline{ϕ}.

Weil K[x] ein Integritätsbereich ist^{1}, können wir schließen, daß

P\overline{ϕ} = ∏_{i=2}^{n}(x − λ_{i}).

Nach Induktionsannahme finden wir eine Basis b_{2} + U, …, b_{n} + U von V/U, für die \overline{ϕ} die obere Dreiecksmatrix C hat. Bezogen auf die Basis b_{1}, …, b_{n} hat dann ϕ die Matrix

(\begin{matrix}λ_{1} & B \\ 0 & C \end{matrix}) .

1Aus ab = ac folgt a(b − c) = 0 und b − c = 0, wenn a ≠ 0.

Der Beweis konstruiert eine obere Dreiecksmatrix, in deren Diagonale λ_{1}, …, λ_{n} stehen.

Satz 5.2.5 (Hamilton). Jeder Endomorphismus ist Nullstelle seines charakteristischen Polynoms:

P_{ϕ}(ϕ) = 0.

Gemeint ist das Folgende: Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum und ϕ ein Endomorphismus. Dann bildet der Einsetzungshomomorphismus K[x] → End(V), der x auf ϕ abbildet, das Polynom P_{ϕ} auf 0 ab. Man rechnet zum Beispiel leicht nach, daß für jede 2–2–Matrix A = (α_{ij})

(A − α_{11}I)(A − α_{22}I) − α_{21}α_{12}I = 0.

Beweis. ^{2} Wir zeigen zuerst einen Hilfssatz:

Sei V ein Modul über einem kommutativen Ring R, b_{1}, …, b_{n} eine Folge von Elementen von V und A eine n–n–Matrix mit Koeffizienten in R. Wenn

A (b_{1} ; ⋮ ; b_{n}) = (0 ⋮ 0) ,

werden alle b_{i} von der Determinante von A annulliert.

Beweis: Satz 4.4.3 drückt eine Identität aus, die auch in allen kommutativen Ringen gültig sein muß. Es ist also

det(A) I (b_{1} ; ⋮ ; b_{n}) = adj(A) A (b_{1} ; ⋮ ; b_{n}) = adj(A) (0 ⋮ 0) = (0 ⋮ 0) .

Damit ist der Hilfssatz bewiesen.

Sei nun

R = {p(ϕ) | p ∈ K[x]}

die von ϕ erzeugte Unteralgebra von End(V). V ist natürlich ein R–Modul. Sei b_{1}, …, b_{n} eine Basis von V und A die dazugehörige Matrix für ϕ. Das bedeutet

ϕ I (b_{1} ; ⋮ ; b_{n}) = A^{⊤} (b_{1} ; ⋮ ; b_{n})

2Ich danke C. Schötz für den Hinweis auf einen Fehler in einer früheren Fassung des Beweises.

oder

(ϕ I − A^{⊤}) (b_{1} ; ⋮ ; b_{n}) = (0 ⋮ 0) .

Der Hilfssatz impliziert

det(ϕ I − A) b_{i} = det((ϕ I − A)^{⊤}) b_{i} = 0

für i = 1, …, n. Also ist p_{A}(ϕ) = det(ϕ I − A) der Nullendomorphismus.

Wenn P_{ϕ} in Linearfaktoren zerfällt^{3}, folgt der Satz von Hamilton wie im Beweis von 5.2.3 durch Induktion: Sei U von einem Eigenvektor von λ_{1} aufgespannt und \overline{ϕ} der auf V/U induzierte Endomorphismus. Nach Induktionsvoraussetzung ist \overline{ϕ} Nullstelle seines charakteristischen Polynoms. Das heißt, daß das Bild von

∏_{i=2}^{n}(ϕ − λ_{i})

in U liegt. Weil U im Kern von ϕ − λ_{1} liegt, ist (ϕ − λ_{1}) ∏_{i=2}^{n}(ϕ − λ_{i}) der Nullendomorphismus.

3Weil sich jeder Körper in einen algebraisch abgeschlossenen Körper einbetten läßt, ist diese Voraussetzung harmlos. Vergleiche 5.3.7.

5.3 Zerlegung in Haupträume

Sei V ein Vektorraum und λ ∈ K. In diesem Abschnitt werden wir für den Endomorphismus λ · id_{V} einfach λ schreiben.

Definition. Der Hauptraum V′_{λ} von λ ist die Menge aller Vektoren, die von einer Potenz von ϕ − λ auf Null abgebildet werden.

V′_{λ} ist als Vereinigung der aufsteigenden Folge

0 = Ker(1) ⊂ Ker(ϕ − λ) ⊂ Ker(ϕ − λ)^{2} ⊂ …

ein Unterraum von V. V′_{λ} ist invariant unter ϕ, weil aus (ϕ − λ)^{m}x = 0 folgt, daß (ϕ − λ)^{m}ϕ x = ϕ(ϕ − λ)^{m}x = ϕ 0 = 0.

Wenn x ∈ V′_{λ} \0 und m minimal mit (ϕ−λ)^{m}x = 0, ist (ϕ−λ)^{m−1}x ein Element von V_{λ} \ 0. Also ist V′_{λ} = 0, wenn V_{λ} = 0.

\underline{Beispiel}

Sei λ_{1}, …, λ_{n} eine Folge von Körperelementen. Wir nehmen an, daß die ersten k Zahlen gleich λ_{0} sind und λ_{k+1}, …, λ_{n} verschieden von λ_{0}. Dann wird der zu λ_{0} gehörende Hauptraum der Matrix

A = (\begin{matrix}λ_{1} & ∗ & … & ∗ \\ 0 & λ_{2} & … & ∗ \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & … & λ_{n} \end{matrix})

von e_{1} …, e_{k} aufgespannt. Das läßt sich folgendermaßen einsehen:

A−λ_{0} bildet alle Vektoren aus ⟨e_{1}, …, e_{i}⟩ modulo ⟨e_{1}, …, e_{i−1}⟩ auf ihr (λ_{i}−λ_{0})– faches ab. Daraus folgt, daß genau die Elemente von ⟨e_{1}, …, e_{k}⟩ von einer Potenz von A − λ_{0} auf 0 abgebildet werden.

In diesem Beispiel ist die Dimension von V′_{λ_{0}} gleich k. k ist die Vielfachheit^{4} der Nullstelle λ_{0} von P_{A} = (x − λ_{0})^{k}(x − λ_{k+1}) … (x − λ_{n}).

Lemma 5.3.1. Die Dimension von V′_{λ} ist die Vielfachheit^{4} von λ in P_{ϕ}. Auf V′_{λ} läßt sich ϕ durch eine obere Dreiecksmatrix

(\begin{matrix}λ & ∗ & ⋯ & ∗ \\ 0 & λ & ⋯ & ∗ \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & ⋯ & λ \end{matrix})

darstellen, in deren Diagonale λ steht.

Beweis. Wenn k die Vielfachheit von λ in P_{ϕ} ist, ist P_{ϕ} = (x − λ)^{k}q(x), mit q(λ) ≠ 0. Man zeigt wie im Beweis von Satz 5.2.3, die Existenz eines ϕinvarianten Unterraums U der Dimension k, auf dem ϕ durch eine Dreiecksmatrix der behaupteten Form dargestellt werden kann. U ist ein Unterraum von V′_{λ}. Wenn U ein echter Unterraum von V′_{λ} wäre, gäbe es ein v ∈ V′_{λ} \ U mit (ϕ−λ)v ∈ U. Dann wäre also λ ein Eigenwert des induzierten Endomorphismus \overline{ϕ} : V/U → V/U. Das ist nicht möglich, weil q das charakteristische Polynom von \overline{ϕ} ist.

Das folgende Lemma ist eine Verschärfung von 5.1.2.

Lemma 5.3.2. Die Haupträume von ϕ sind unabhängig.

Beweis. Sei ein Körperelement λ festgehalten. Während jedes x ∈ V′_{λ} von einer Potenz von ϕ − λ auf Null abgebildet wird, operieren für μ ≠ λ die ϕ − μ und damit auch alle Potenzen als Automorphismus von V′_{λ}. Sonst hätte nämlich ϕ − μ einen nicht–trivialen Kern in V′_{λ}; mit anderen Worten: V_{μ} enthielte ein nicht–triviales Element von V′_{λ}. Das geht aber nicht, weil ϕ − λ auf V_{μ} als Automorphismus (nämlich als μ − λ) operiert.

Seien nun λ_{1}, …, λ_{e} paarweise verschieden und

v_{1} + ⋯ + v_{e} = 0

mit v_{i} ∈ V_{λ_{i}}, wählen wir für jedes i ≠ 1 eine Potenz q_{i} von ϕ−λ_{i}, die v_{i} auf Null abbildet. Das Produkt q = q_{2}q_{3} … q_{n} annulliert alle v_{2}, …, v_{n} und operiert als Automorphismus auf V′_{λ_{1}}. Es folgt also qv_{1} = 0 und daraus v_{1} = 0.

Aus den letzten beiden Lemmas folgt:

Folgerung 5.3.3. Wenn P_{ϕ} in Linearfaktoren zerfällt, ist V die direkte Summe der Haupträume von ϕ.

Wenn V direkte Summe von ϕ–invarianten Unterräumen V_{1}, …, V_{e} ist, kann man Basen 𝔅_{𝔦} der V_{i} zu einer Basis 𝔅 von V zusammenfassen. Wenn die ϕ ↾ V_{i} bezüglich der 𝔅_{𝔦} durch die Matrizen A_{i} dargestellt werden, wird ϕ bezüglich 𝔅 durch die Blockmatrix

A = ( \begin{matrix}A_{1} & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & A_{2} & ⋯ & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & ⋯ & A_{e} \end{matrix} )

dargestellt.

Die nächste Folgerung wird im nächsten Abschnitt wesentlich verbessert zum Satz von der Jordanschen Normalform (5.4.5).

4Siehe Seite 79

Folgerung 5.3.4. Wenn

p_{ϕ}(x) = ∏_{i=1}^{e}(x − λ_{i})^{n_{i}},

(die λ_{i} paarweise verschieden), kann ϕ bezüglich einer geeigneten Basis durch eine Blockmatrix dargestellt werden, deren Blöcke n_{i}-n_{i}–Matrizen der Form

(5.5)  A_{i} = (\begin{matrix}λ_{i} & ∗ & ⋯ & ∗ \\ 0 & λ_{i} & ⋯ & ∗ \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & ⋯ & λ_{i} \end{matrix})

sind.

Beweis. Das charakteristische Polynom der Einschränkung ϕ_{i} von ϕ auf V′_{λ} ist (x − λ)^{n_{i}}. Bei geeigneter Wahl einer Basis wird (nach 5.2.3) ϕ_{i} von einer oberen Dreiecksmatrix dargestellt, in deren Diagonale λ_{i} steht.

Exkurs: Nullstellen von Polynomen

Lemma 5.3.5. λ ist genau dann Nullstelle von p(x), wenn x−λ ein Teiler von p(x) ist.

Beweis. Sei λ ein Nullstelle von p. Wir zeigen durch Induktion über den Grad von p, daß x−λ ein Teiler von p ist. Wenn p = 0, ist die Behauptung klar. Wenn p nicht Null ist, ist der Grad n von p = a_{n}x^{n} + a_{n−1}x^{n−1} + … + a_{0}1 mindestens 1. Dann ist λ auch Nullstelle von

q = p − a_{n}(x − λ)^{n}.

Weil der Grad von q kleiner als n ist, wird q, und damit auch p, von x − λ geteilt.

Ein alternativer Beweis geht so:

x^{n} − λ^{n} = (x − λ)(x^{n−1} + x^{n−2}λ + ⋯ + λ^{n−1})

wird von x − λ geteilt, also auch p(x) − p(λ) = p(x).

Es folgt sofort, daß ein Polynom vom Grad n höchstens n verschiedene Nullstellen haben kann. Daraus ergibt ein neuer Beweis der Tatsache, daß ϕ höchstens n Eigenwerte hat (5.1.4).

Folgerung 5.3.6. Jedes p(x) ≠ 0 läßt sich (bis auf die Reihenfolge) eindeutig zerlegen als

(x − λ_{1}) ⋯ (x − λ_{n})p_{0}(x),

wobei p_{0} keine Nullstellen hat.

Beweis. Nur die Eindeutigkeit ist noch zu zeigen: Sei

(x − λ′_{1}) ⋯ (x − λ′_{n′})p′_{0}(x)

eine andere Zerlegung von p. Wir können annehmen, daß n > 0. Weil λ_{1} eine Nullstelle von p ist, muß eins der λ′_{i} gleich λ_{1} sein, sagen wir λ′_{1} = λ_{1}. Dann ist

(x − λ_{2}) ⋯ (x − λ_{n})p_{0}(x) = (x − λ′_{2}) ⋯ (x − λ′_{n′})p′_{0}(x),

und die Eindeutigkeit folgt per Induktion.

Definition. Die Vielfachheit der Nullstelle λ von p ist die Anzahl der Faktoren der Form (x − λ) in der obigen Zerlegung von p.

Man überlegt sich leicht, daß die Vielfachheit von λ das größte k ist, sodaß (x − λ)^{k} das Polynom p teilt.

Ein Körper heißt algebraisch abgeschlossen, wenn jedes nicht-konstante Polynom eine Nullstelle besitzt. Der Körper ℂ der komplexen Zahlen ist algebraisch abgeschlossen. Jeder Körper läßt sich in einen algebraisch abgeschlossenen Körper einbetten.

Folgerung 5.3.7. In einem algebraisch abgeschlossenen Körper zerfällt jedes normierte Polynom in Linearfaktoren.

5.4 Die Jordansche Normalform

Wir wollen die Matrixdarstellung (5.5) (Seite 78) eines Endomorphismus auf seinen Haupträumen weiter vereinfachen. Dazu nehmen wir an, daß V selbst ein Hauptraum von ϕ ist. Weiter können wir annehmen, daß V Hauptraum zum Eigenwert 0 ist. Sonst ersetzen wir ϕ durch ϕ − λ, wenn λ der Eigenwert von ϕ ist.

ϕ ist dann nilpotent im Sinne der folgenden Definition:

Definition. Eine Endomorphismus ϕ heißt nilpotent, wenn

ϕ^{m} = 0

für ein genügend großes m. Eine quadratische Matrix A heißt nilpotent, wenn f_{A} nilpotent ist.

Das nächste Lemma ist uns im wesentlichen schon bekannt.

Lemma 5.4.1. Sei ϕ Endomorphismus eines n–dimensionalen Vektorraums V. Dann sind äquivalent:

a) Jedes x ∈ V wird durch eine genügend große Potenz von ϕ annulliert. b) ϕ ist nilpotent

c) ϕ^{n} = 0

d) P_{ϕ}(x) = x^{n}

e) Bei geeigneter Basiswahl läßt sich ϕ durch eine obere Dreiecksmatrix darstellen, in deren Diagonale nur Nullen stehen.

Beweis. Für die Äquivalenz von a), b) und c) genügt es zu zeigen, daß

a)→c): Es ist leicht zu sehen, daß für beliebige Endomorphismen ϕ und ψ

Ker(ϕ) ⊂ Ker(ψ ∘ ϕ) = ϕ^{−1}(Ker(ψ).

Daraus folgt, daß die Kerne der Potenzen ϕ^{i} eine aufsteigende Folge bilden. Also gibt es ein m ≤ n mit Ker ϕ^{m} = Ker ϕ^{m+1} oder, anders ausgedrückt, Ker ϕ^{m} = ϕ^{−1}(Ker ϕ^{m}). ϕ ↾ Ker ϕ^{m} ist also regulär. Aus a) folgt jetzt, daß Ker ϕ^{m} = V. Also ist ϕ^{m} = 0 und daher auch ϕ^{n} = 0.

Die Äquivalenz von d) und e) folgt sofort aus Folgerung 5.3.4 und der Formel für das charakteristische Polynom einer oberen Dreiecksmatrix (Seite 71).

e)→c): Sei b_{1}, …, b_{n} eine Basis bezüglich der ϕ durch eine obere Dreiecksmatrix dargestellt wird, in deren Diagonale nur Nullen stehen. Dann ist

(5.6)  ϕ⟨b_{1}, …, b_{i}⟩ ⊂ ⟨b_{1}, …, b_{i−1}⟩

(siehe das Beispiel auf Seite 76). Daraus folgt ϕ^{n}⟨b_{1}, …, b_{n}⟩ = 0. Es sei bemerkt, daß d)→c) auch direkt aus dem Satz von Hamilton (5.2.5) folgt.

a)→e): Wenn wir schon wissen, daß das charakteristische Polynom von ϕ in Linearfaktoren zerfällt (zum Beispiel, weil K algebraisch abgeschlossen ist), folgt die Behauptung sofort aus Folgerung 5.3.4, weil a) bedeutet, daß V ein Hauptraum von 0 ist. Wenn wir das nicht voraussetzen, müssen wir den Beweis von Satz 5.2.3 wiederholen:

Sei ϕ nilpotent. Wir wollen eine Basis konstruieren die (5.6) erfüllt. Wenn n = 0, ist nichts zu zeigen. Nehmen wir an, daß n > 0 und die Behauptung für Dimension n − 1 gilt. Dann gibt es ein b_{1} ≠ 0 mit ϕ(b_{1}) = 0. Sei \overline{ϕ} der von ϕ induzierte Endomorphismus von V/⟨b_{1}⟩. Dann ist \overline{ϕ} wieder nilpotent und wir finden nach Annahme eine Basis b_{2} + ⟨b_{1}⟩, …, b_{n} + ⟨b_{1}⟩ von V/⟨b_{1}⟩, die (5.6) für \overline{ϕ} erfüllt. b_{1}, …, b_{n} ist dann wie gewünscht.

Die Eigenschaft c) und Lemma 5.3.1 implizieren, daß (ϕ − λ)^{m}x = 0 für alle x ∈ V′_{λ}, wenn m die Vielfachheit von λ in P_{ϕ} ist. Also ist

V′_{λ} = Ker(ϕ − λ)^{m}.

Lemma 5.4.2. Sei ϕ nilpotent und v ∈ V. Sei k die kleinste natürliche Zahl, für die ϕ^{k}(v) = 0. Dann ist die Folge

v, ϕ^{1}(v), ϕ^{2}(v), …, ϕ^{k−1}(v)

Basis eines ϕ–invarianten Unterraums U von V.

Man nennt U den von v erzeugten zyklischen Unterraum (der Ordnung k).

Beweis. Daß U ϕ–invariant ist, ist klar. Wir zeigen die lineare Unabhängigkeit durch Induktion über k. Für k = 0 ist nichts zu zeigen (U = 0). Für k > 0 nehmen wir an, daß

α_{0}v + α_{1}ϕ(v) + ⋯ α_{k−2}ϕ^{k−2}(v) + α_{k−1}ϕ^{k−1}(v) = 0.

Wir multiplizieren mit ϕ und erhalten

α_{0}ϕ(v) + α_{1}ϕ^{2}(v) + ⋯ α_{k−2}ϕ^{k−1}(v) = 0.

Wir wenden die Induktionsvoraussetzung auf ϕ(v) an und erhalten

α_{0} = α_{1} = ⋯ = α_{k−2} = 0.

Daraus folgt auch α_{k−1} = 0, weil ϕ^{k−1}(v) ≠ 0.

Auf U wird ϕ bezüglich der im Lemma angegeben Basis (in umgekehrter Reihenfolge) durch die k–k–Matrix

(5.7)  J_{0}^{k} = (\begin{matrix}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & ⋯ & 0 \\ ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ 0 & 0 & ⋯ & 1 \\ 0 & 0 & ⋯ & 0 \end{matrix})

dargestellt, in der in der Nebendiagonalen Einsen stehen, und sonst Nullen. Man beachte, daß J_{0}^{1} = 0.

Satz 5.4.3. Sei ϕ ein nilpotenter Endomorphismus von V. Dann ist V direkte Summe von zyklischen Unterräumen.

Beweis. Die Räume U^{i} = Ker(ϕ) ∩ Im(ϕ^{i}) bilden eine absteigende Folge

Ker(ϕ) = U^{0} ⊃ U^{1} ⊃ … ⊃ U^{n} = 0

von ϕ–invarianten Unterräumen. Wir wählen eine Basis b_{1}^{n}, …, b_{m_{n}}^{n} von U^{n−1}. Dann erweitern wir diese Basis um b_{1}^{n−1}, …, b_{m_{n−1}}^{n−1} zu einer Basis von U^{n−2} und fahren so fort. Schließlich erhalten wir eine Basis (b_{j}^{i}), (i = 1, …, n; j =

1, …, m_{i}) von Ker(ϕ), sodaß jeweils (b_{j}^{i′} | i < i′; j < m_{i′}) eine Basis von U^{i} ist.

Dann wählen wir zu jedem b_{j}^{i} einen Vektor v_{j}^{i} mit ϕ^{i−1}(v_{j}^{i}) = b_{j}^{i}. Jedes dieser v_{j}^{i} erzeugt einen zyklischen Unterraum V_{j}^{i} der Ordnung i. Wir werden zeigen, daß V die direkte Summe der V_{j}^{i} ist.

\underline{Die V_{j}^{i} erzeugen V}: Sei v ∈ V und m minimal mit ϕ^{m}v = 0. Wir zeigen durch Induktion über m, daß v im Erzeugnis W der V_{j}^{i} liegt. Für m = 0 ist nichts zu zeigen. Wenn m > 0, liegt ϕ^{m−1}v in U^{m−1}. W ist so konstruiert, daß U^{m−1} in ϕ^{m−1}(W) liegt. Also gibt es ein w ∈ W mit

ϕ^{m−1}w = ϕ^{m−1}v.

Dann ist aber ϕ^{m−1}(v−w) = 0 und nach Induktionsvoraussetzung ist v−w ∈ W. Es folgt v ∈ W.

\underline{Die V_{j}^{i} sind unabhängig}: Nehmen wir an, es gäbe Elemente w_{j}^{i} ∈ V_{j}^{i}, nicht alle Null, deren Summe verschwindet. Wir multiplizieren die w_{j}^{i} mit einer geeigneten Potenz ϕ^{m}, so daß alle ϕ^{m}w_{j}^{i} im Kern von ϕ liegen, aber nicht alle gleich Null sind. Dann ist auch die Summe der ϕ^{m}w_{j}^{i} Null. Das ist unmöglich, weil jetzt

ϕ^{m}w_{j}^{i} ∈ V_{j}^{i} ∩ Ker(ϕ) = Kb_{j}^{i}

und die Kb_{j}^{i} unabhängig sind.

Folgerung 5.4.4. Ein nilpotenter Endomorphismus ϕ läßt sich bezüglich einer geeigneten Basis durch eine aus Matrizen J_{0}^{k} zusammengesetzte Blockmatrix beschreiben.

\underline{Beispiel} Betrachte den durch die Blockmatrix

(\begin{matrix}J_{0}^{3} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & J_{0}^{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & J_{0}^{1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & J_{0}^{1} \end{matrix})

gegeben Endomorphismus ϕ des K^{7}. Die im Beweis von 5.4.3 angegebene Konstruktion wird im folgenden Bild veranschaulicht.

Ker ϕ Ker ϕ^{2} Ker ϕ^{3} = V  Im ϕ^{2}  Im ϕ  Im ϕ^{0} = V b_{1}^{3} = e_{1} ϕ(v_{1}^{3}) = e_{2} v_{1}^{3} = e_{3}  b_{1}^{2} = e_{4} v_{1}^{2} = e_{5}  v_{1}^{1} = b_{1}^{1} = e_{6}, v_{2}^{1} = b_{2}^{1} = e_{7}

In einem zyklischen Raum der Ordnung k hat Ker(ϕ) ∩ Im(ϕ^{i}) die Dimension 1, wenn i < k, und sonst die Dimension 0. Wenn daher J_{0}^{k} in der Blockmatrix von ϕ genau μ^{k}–mal vorkommt, ist

μ^{k} = dim(Ker(ϕ) ∩ Im(ϕ^{k−1})) − dim(Ker(ϕ) ∩ Im(ϕ^{k})).

Die zu ϕ gehörende Blockmatrix ist also bis auf eine Permutation der Blöcke eindeutig bestimmt^{5}.

Daraus ergibt sich die Eindeutigkeitsaussage des nächsten Satzes.

Satz 5.4.5 (Jordansche Normalform). Ein Endomorphismus eines endlichdimensionalen Vektorraums, dessen charakteristisches Polynom in Linearfaktoren zerfällt, läßt sich bezüglich einer geeigneten Basis durch eine Blockmatrix beschreiben, die sich aus Jordanmatrizen J_{λ}^{k} zusammengesetzt. Dabei ist

J_{λ}^{k} = (\begin{matrix}λ & 1 & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & λ & 1 & ⋯ & 0 \\ 0 & 0 & λ & ⋯ & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & ⋯ & 1 \\ 0 & 0 & 0 & ⋯ & λ \end{matrix}) .

Diese sogenannte Jordanform ist bis auf die Reihenfolge der Jordanblöcke eindeutig bestimmt.

Beweis. Aus 5.3.3 und 5.4.4.

Eine andere Formulierung des Satzes ist: Jede quadratische Matrix A, deren charakteristisches Polynom in Linearfaktoren zerfällt, ist einer Matrix J in Jordanform ähnlich. J ist bis auf die Reihenfolge der Jordanblöcke eindeutig durch A bestimmt.

5Im Beweis von 5.4.3 ist m_{i} = μ^{i}.

Kapitel 6

Dualität

6.1 Der Dualraum

Definition. Der Dualraum V^{∗} eines K–Vektorraums V ist der Vektorraum aller Linearformen λ : V → K. In früherer Notation ist also V^{∗} = L(V, K). Lineare Abbildungen λ : K^{n} → K werden beschrieben durch Zeilenvektoren

λ = (α_{1} … α_{n}) ∈ M_{1,n} .

Identifiziert man K^{n} mit dem Raum M_{n,1} der n–dimensionalen Spaltenvektoren

x = (ξ_{1} ; ⋮ ; ξ_{n})

operiert λ als Matrizenmultiplikation:

λ(x) = α_{1}ξ_{1} + ⋯ + α_{n}ξ_{n} = (α_{1} … α_{n}) (ξ_{1} ; ⋮ ; ξ_{n}) .

Sei 𝔅 = (b_{1}, …, b_{n}) eine Basis von V. Die Koordinatenfunktionale

λ_{i}(ξ_{1}b_{1} + ⋯ + ξ_{n}b_{n}) = ξ_{i}

bilden dann eine Basis von V^{∗}. Denn, daß λ bezüglich 𝔅 = (b_{1}, …, b_{n}) durch die Zeile (α_{1} ⋯ α_{n}) beschrieben wird:

λ(ξ_{1}b_{1} + ⋯ + ξ_{n}b_{n}) = α_{1}ξ_{1} + ⋯ + α_{n}ξ_{n},

drückt sich aus als

λ = α_{1}λ_{1} + ⋯ + α_{n}λ_{n}.

Anders gesagt:

Definition. Sei b_{1}, …, b_{n} eine Basis von V. Die Linearformen λ_{1}, …, λ_{n}, definiert durch

λ_{i}(b_{j}) = δ_{ij},

bilden die duale Basis von V^{∗}.

Nehmen wir an, daß die Spalten b_{1}, …, b_{n} der Matrix B eine Basis des K^{n} bilden (das heißt, daß B regulär ist.) Die Zeilen λ_{1}, …, λ_{n} der Matrix Λ bilden genau dann die duale Basis, wenn ΛB = I.

Die duale Basis zur kanonischen Basis e_{1}, …, e_{n} des K^{n} sind die Einheitszeilen e_{1}^{⊤}, …, e_{n}^{⊤}

Folgerung 6.1.1. Wenn V endlichdimensional ist, hat V^{∗} die gleiche Dimension wie V.

V und V^{∗} sind also isomorph. Ein Isomorphismus f läßt sich zum Beispiel dadurch angeben, daß man die Elemente einer Basis b_{1}, …, b_{n} auf die Elemente λ_{1}, …, λ_{n} der dualen Basis abbildet. f hängt allerdings von der Wahl der Basis b_{1}, …, b_{n} ab. Man sagt, daß V und V^{∗} nicht kanonisch isomorph sind.

Sei nun V beliebig (nicht notwendig endlichdimensional). Jedes Element x von V definiert vermöge λ ↦ λ(x) eine lineare Abbildung Φ(x) von V^{∗} nach K.

Φ : V → V^{∗∗}

ist die kanonische Abbildung von V nach V^{∗∗}.

Lemma 6.1.2. Die kanonische Abbildung Φ : V → V^{∗∗} ist injektiv und linear.

Wenn V endlichdimensional ist, sind also V und V^{∗∗} kanonisch isomorph.

Beweis. Φ ist linear, weil

Φ(x + y)λ = λ(x + y) = λ(x) + λ(y) = Φ(x)λ + Φ(y)λ = (Φ(x) + Φ(y))λ

und

Φ(αx)λ = λ(αx) = αλ(x) = α(Φ(x)λ) = (αΦ(x))λ

Wenn x ungleich Null ist, gibt es eine Linearform λ mit Φ(x)λ = λ(x) ≠ 0. Also ist Φ(x) ≠ 0 und Φ ist injektiv.

Lemma 6.1.3. Wechselt man eine Basis von V mittels der Matrix B, so wechseln die dualen Basen von V^{∗} mit (B^{⊤})^{−1}.

Beweis. b_{1}, …, b_{n} und b′_{1}, …, b′_{n} seien zwei Basen von V, deren Übergang von der Matrix B vermittelt wird. Der Übergang der dualen Basen (λ_{1}, …, λ_{n}) und (λ′_{1}, …, λ′_{n}) sei vermittelt durch X.

Daß λ_{1}, …, λ_{n} dual zu b_{1}, …, b_{n} ist, schreiben wir als

(λ_{1} ; ⋮ ; λ_{n}) (b_{1} ⋯ b_{n}) = I.

Wir haben dann

I = (λ′_{1} ; ⋮ ; λ′_{n}) (b′_{1} ⋯ b′_{n}) = X^{⊤} (λ_{1} ; ⋮ ; λ_{n}) (b_{1} ⋯ b_{n})B = X^{⊤}B.

Also ist X = (B^{⊤})^{−1}.

6.2 Duale Abbildungen

Eine lineare Abbildung f : V → W induziert vermöge f^{∗}(λ) = λ ∘ f eine lineare Abbildung

f^{∗} : W^{∗} → V^{∗},

die zu f duale Abbildung.

Lemma 6.2.1. Dualisieren ist ein kontravarianter, linearer Funktor: Es gilt

a) (id_{V})^{∗} = id_{V^{∗}}

b) Wenn f : U → V und g : V → W linear sind, ist (g ∘ f)^{∗} = f^{∗} ∘ g^{∗}.

c) Wenn f und g lineare Abbildungen von V nach W sind, ist (f +g)^{∗} = f^{∗} +g^{∗} d) Für alle α ∈ K ist (αf)^{∗} = αf^{∗}.

Außerdem ist der Funktor treu:

f^{∗} = 0 ⇒ f = 0.

Für endlichdimensionale Vektorräume ist der Funktor voll: Für jedes g : W^{∗} → V^{∗} gibt es ein f : V → W mit f^{∗} = g.

Beweis. Die ersten vier Behauptungen ergeben sich aus einfachen Rechnungen. Für c) und d) verwenden wir Lemma 2.2.2:

a)

(id_{V})^{∗}(λ) = λ ∘ id_{V} = λ = id_{V^{∗}}(λ)

b)

(g ∘ f)^{∗}(λ) = λ ∘ g ∘ f = g^{∗}(λ) ∘ f = f^{∗}(g^{∗}(λ)) = (f^{∗} ∘ g^{∗})(λ)

c)

(f + g)^{∗}(λ) = λ ∘ (f + g) = λ ∘ f + λ ∘ g = f^{∗}(λ) + f^{∗}(λ) = (f^{∗} + g^{∗})(λ)

d)

(αf)^{∗}(λ) = λ ∘ (αf) = α(λ ∘ f) = αf^{∗}(λ) = (αf^{∗})(λ)

Wenn f^{∗} = 0 und x ∈ V, ist für alle λ ∈ W^{∗}

λ(f(x)) = f^{∗}(λ)(x) = 0.

Es folgt f(x) = 0. Also ist f = 0, wenn f^{∗} = 0.

Die lineare Abbildung

∗ : L(V, W) → L(W^{∗}, V^{∗})

ist injektiv. Wenn V und W endlichdimensional sind, haben beide Räume die Dimension dim(V) · dim(W) und ∗ muß auch surjektiv sein.^{1}

Identifiziert man wie oben die Elemente von K^{m} und K^{n} mit Spaltenvektoren und die Elemente der Dualräume mit Zeilenvektoren, so wird für eine m–n– Matrix A die Abbildung f = f_{A} : K^{n} → K^{m} gegeben durch

f : x ↦ Ax

1Man sieht leicht, daß es genügt, anzunehmen, daß W endlichdimensional ist.

und f^{∗} durch

f^{∗} : λ ↦ λA,

weil

(λA)x = λ(Ax).

Daraus ergibt sich:

Satz 6.2.2. V und W seien endlichdimensional und f : V → W linear. Wenn f bezüglich der Basen 𝔅 und ℭ durch die Matrix A gegeben ist, ist f^{∗} bezüglich der dualen Basen durch die Transponierte A^{⊤} gegeben.

Man kann den letzten Satz auch so beweisen: Die dualen Basen seien 𝔅^{∗} und ℭ^{∗}, als Spalten geschrieben:

𝔅^{∗}𝔅 = I und ℭ^{∗}ℭ = I.

Und f^{∗} sei durch X gegeben (vgl. (2.1), Seite 27):

f^{∗}(ℭ^{∗}) = X^{⊤}𝔅^{∗}

Dann folgt

X^{⊤} = X^{⊤}𝔅^{∗}𝔅 = f^{∗}(ℭ^{∗})𝔅 = ℭ^{∗}f(𝔅) = ℭ^{∗}ℭA = A.

Folgerung 6.2.3. Für Endomorphismen von endlichdimensionalen Vektorräumen gilt det(ϕ^{∗}) = det(ϕ).

Beweis. Satz 4.3.5.

Lemma 6.2.4. Der Dualraum einer direkten Summe läßt sich auf natürliche Weise mit der direkten Summe der Dualräume identifizieren:

(V_{1} ⊕ V_{2})^{∗} = V_{1}^{∗} ⊕ V_{2}^{∗}.

Das Duale der Einbettung V_{1} → V_{1} ⨁ V_{2} ist die Projektion V_{1}^{∗} ⨁ V_{2}^{∗} → V_{1}^{∗}. Das Duale der Projektion V_{1} ⨁ V_{2} → V_{1} ist die Einbettung V_{1}^{∗} → V_{1}^{∗} ⨁ V_{2}^{∗}.

Beweis. Die erste Behauptung ist klar, weil eine lineare Abbildung λ : V_{1}⊕V_{2} → K bestimmt ist durch die beiden Einschränkungen λ_{i} = λ ↾ V_{i}. Die Abbildung

λ → λ_{1} ⊕ λ_{2}

ist der gewünschte Isomorphismus.

Ein anderer Beweis ergibt sich aus den funktoriellen Eigenschaften von ∗. Ein Isomorphismus von W mit V_{1} ⊕ V_{2} ist gegeben durch zwei Projektionen π_{i} : W → V_{i} und Einbettungen ϵ_{i} : V_{i} → W, die den Bedingungen

π_{i}ϵ_{i} = id_{V_{i}} (i = 1, 2)
ϵ_{1}π_{1} + ϵ_{2}π_{2} = id_{W}

Wenn man dualisiert, ergibt sich

ϵ_{i}^{∗}π_{i}^{∗} = id_{V_{i}^{∗}} (i = 1, 2)
π_{1}^{∗}ϵ_{1}^{∗} + π_{2}^{∗}ϵ_{2}^{∗} = id_{W^{∗}}

und W^{∗} ist isomorph zu V_{1}^{∗} ⊕ V_{2}^{∗} vermöge der Projektionen ϵ_{i}^{∗} : W^{∗} → V_{i}^{∗} und der Einbettungen π_{i}^{∗} : V_{i}^{∗} → W^{∗}.

Folgerung 6.2.5. Sei f : V → W linear. Dann gilt:

1. f ist genau dann injektiv, wenn f^{∗} surjektiv ist.

2. f ist genau dann surjektiv, wenn f^{∗} injektiv ist.

3. Wenn W endlichdimensional ist, haben f und f^{∗} den gleichen Rang.

Beweis. Zuerst bemerken wir, daß f^{∗} ein Isomorphismus ist, wenn f eine Isomorphismus ist. Wenn nämlich g ein Inverses von f ist, ist g^{∗} ein Inverses von f^{∗}.

Sei X ein Komplement von ker(f) in V und Y ein Komplement von Im(f) in W. Weil f einen Isomorphismus zwischen X und Im(f) induziert, erhalten wir f als die Komposition:

ker(f) ⊕ X → X → Im(f) → Im(f) ⊕ Y

und f^{∗} als

Im(f)^{∗} ⊕ Y^{∗} → Im(f)^{∗} → X^{∗} → ker(f)^{∗} ⊕ X^{∗},

wobei der mittlere Pfeil wieder ein Isomorphismus ist. Also ist

f injektiv ⇔ ker(f) = 0 ⇔ ker(f)^{∗} = 0 ⇔ f^{∗} surjektiv

und

f surjektiv ⇔ Y = 0 ⇔ Y^{∗} = 0 ⇔ f^{∗} injektiv.

Die letzte Behauptung folgt aus 6.1.1, weil der Rang von f die Dimension von X ist und der Rang von f^{∗} die Dimension von X^{∗} ist.

Eine Matrix A hat also immer den gleichen Rang wie ihre Transponierte A^{⊤}. Weil der Rang von A^{⊤} die Maximalzahl linear unabhängiger Zeilen von A ist, läßt sich unser Ergebnis formulieren als

Spaltenrang = Zeilenrang.

Einen Alternativbeweis liefert Folgerung 3.3.5. Wenn für reguläre B und B′ das Produkt B′AB die Gestalt (3.4) auf Seite 50 hat, ist

Rang(A) = Rang(B′AB) = Rang(B′AB)^{⊤} = Rang(B^{⊤}A^{⊤}B′^{⊤}) = Rang(A^{⊤}).

6.3 Duale Paare

V und W seien endlichdimensionale K–Vektorräume und

( , ) : V × W → K

bilinear.

Sei 𝔅 = (b_{1}, …, b_{m}) eine Basis von V und ℭ = (c_{1}, …, c_{n}) eine Basis von W. Wie in Lemma 2.6.1 sieht man, daß ( , ) durch die m–n–Matrix

B = (b_{i}, c_{j})

eindeutig bestimmt ist: Wenn wir die Koordinaten von v und w als Spaltenvektoren x und y schreiben, ergibt sich (in äußerst gewagter Notation):

(v, w) = (x^{⊤}𝔅^{⊤}, ℭy) = x^{⊤}(𝔅^{⊤}, ℭ)y = x^{⊤}By.

Die auf K^{m} × K^{n} bezüglich der kanonischen Basen durch B gegebene Bilinearform bezeichnen wir mit ( , )_{B}. Faßt man die Elemente von K^{m} und K^{n} als Spaltenvektoren auf, ist

(x, y)_{B} = x^{⊤}By

Lemma 6.3.1. Wenn man mit der Matrix D von 𝔅 zur Basis 𝔅′ wechselt (siehe Abschnitt 3.3) und mit E von ℭ zur Basis ℭ′, wird ( , ) bezüglich der neuen Basen durch

B′ = D^{⊤}BE

beschrieben.

Beweis.

(𝔅′^{⊤}, ℭ′) = ((𝔅D)^{⊤}, ℭE) = (D^{⊤}𝔅^{⊤}, ℭE) = D^{⊤}(𝔅^{⊤}, ℭ)E = D^{⊤}BE

Der Rang der darstellenden Matrix von ( , ) hängt also von der Basiswahl nicht ab. Man nennt ihn den Rang von ( , ).

Definition. Das Tripel V, W, ( , ) heißt duales Paar, wenn

dim(V) = dim(W) = Rang von ( , ).

Wenn V, W ein duales Paar bilden, dann auch W, V. Dabei muß man natürlich von ( , ) zur Bilinearform (y, x)′ = (x, y) übergehen.

Setzt man für endlichdimensionales W V = W^{∗} und (λ, x) = λ(x), bilden V und W ein duales Paar. Das nächste Lemma zeigt, daß jedes duale Paar so aussieht.

Lemma 6.3.2. Bilineare Abbildungen ( , ) : V × W → K und lineare Abbildungen Φ : V → W^{∗} entsprechen einander vermöge

(6.1)  Φ(v)(w) = (v, w)

Wenn W endlichdimensional ist, bilden V und W genau dann ein duales Paar, wenn Φ ein Isomorphismus ist.

Beweis. Es ist klar, daß (6.1) eine Bijektion zwischen allen Abbildungen ( , ) : V × W → K und allen Abbildungen Φ : V → {λ | λ : W → K} definiert. Daß ( , ) im zweiten Argument linear ist, bedeutet, daß alle Φ(v) in W^{∗} liegen. ( , ) ist genau dann linear im ersten Argument, wenn Φ linear ist.

Zum Beweis des zweiten Teils der Behauptung, können wir annehmen, daß V = K^{m}, W = K^{n} und ( , ) = ( , )_{B}. Dann ist

(v, w) = v^{⊤}Bw = (B^{⊤}v)^{⊤}w.

Die Linearform Φ(v) wird also durch die Zeile (B^{⊤}v)^{⊤} dargestellt. Daraus folgt, daß Φ : K^{m} → K^{n} ≅ (K^{n})^{∗} die Matrix B^{⊤} hat.

Φ ist genau dann ein Isomorphismus, wenn n = m und B^{⊤} (das heißt B) regulär ist. Das war zu zeigen.

Folgerung 6.3.3. V und W seien endlichdimensional und ( , ) : V × W → K bilinear. Dann bilden V und W genau dann ein duales Paar, wenn ( , ) nicht– ausgeartet ist. Das heißt, daß für alle v und w

∀w′ (v, w′) = 0 ⇒ v = 0
∀v′ (v′, w) = 0 ⇒ w = 0

Beweis. Die erste Bedingung bedeutet, daß Φ injektiv ist, die zweite, daß die duale Abbildung Ψ : W → V^{∗}, definiert durch Ψ(w)(v) = (v, w), injektiv ist. Wenn (V, W) ein duales Paar ist, sind Φ und Ψ Isomorphismen. Wenn umgekehrt Φ und Ψ injektiv sind, folgt dim(V) ≤ dim(W^{∗}) = dim(W) und dim(W) ≤ dim(V^{∗}) = dim(V). Also ist dim(V) = dim(W) und Φ ist als injektive lineare Abbildung zwischen zwei Räumen gleicher endlicher Dimension ein Isomorphismus.

Mit Spalten und Matrizen kann man auch so argumentieren: Die Bilinearform sei durch B gegeben. Sei v eine Spalte. Dann gilt ∀w′ v^{⊤}Bw′ = 0 genau dann, wenn v^{⊤}B = 0. Die erste Bedingung bedeutet also

v^{⊤}B = 0 ⇒ v = 0

und die zweite Bedingung

Bw = 0 ⇒ w = 0.

Anders ausgedrückt: Zeilen und Spalten von B sind jeweils linear unabhängig. Das ist genau dann der Fall, wenn B quadratisch und regulär ist.

Sei nun V und W ein duales Paar. Mit Hilfe des Isomorphismus Φ lassen sich die Begriffsbildungen der Abschnitte 6.1 und 6.2 übertragen:

Wir nennen zwei Basen 𝔅 = (b_{1}, …, b_{m}) und ℭ = (c_{1}, …, c_{n}) von V und W dual, wenn

(b_{i}, c_{j}) = δ_{ij}.

Wenn ℭ vorgegeben ist und (λ_{1}, …, λ_{n}) die zu ℭ duale Basis von W^{∗}, gewinnt man 𝔅 durch b_{i} = Φ^{−1}(λ_{i}). Man sieht leicht, daß ein duales Basenpaar nur existieren kann, wenn V und W ein duales Paar bilden.

Sei nun f ein Endomorphismus von W. Dann überträgt sich f^{∗} zu einem Endomorphismus f^{t} von V durch

f^{t} = Φ^{−1} ∘ f^{∗} ∘ Φ.

Man nennt f^{t} den zu f adjungierte Endomorphismus. Wie in 6.2.2 wird f^{t} bzgl. der dualen Basis durch die transponierte Matrix dargestellt.

Lemma 6.3.4. f^{t} ist bestimmt durch die Gültigkeit der Gleichung

(f^{t}(v), w) = (v, f(w)).

Beweis. Die angegebene Bedingung ist nichts anderes als die Übertragung der Formel f^{∗}(λ)(w) = λ(f(w)). Die genaue Rechnung ist

(f^{t}(v), w) = (Φ^{−1}f^{∗}Φ(v), w) = (f^{∗}Φ(v))(w) = Φ(v)(f(w)) = (v, f(w)).

Für Endomorphismen f von V definiert man f^{t} analog durch Vertauschen von Rechts und Links. Man hat dann

f^{tt} = f.

Wenn man in Matrizen denkt, bedeutet das nichts anderes als (A^{⊤})^{⊤} = A. Man kann das aber auch matrizenfrei ausrechnen:

(f^{tt}(v), w) = (v, f^{t}(w)) = (f(v), w).

Definition. Für ein duales Paar V, W und einen Unterraum U von V definieren wir den zu U orthogonalen Unterraum

U^{⊥} = {w ∈ W | ∀u ∈ U (u, w) = 0}

Lemma 6.3.5.

1. (U^{⊥})^{⊥} = U

2. Mit der Bilinearform

[v + U, w] = (v, w)

wird V/U, U^{⊥} zu einem dualen Paar. Es folgt dim U + dim(U^{⊥}) = dim V.

Beweis.

1): Es ist klar, daß U in (U^{⊥})^{⊥} enthalten ist. Wenn v nicht zu U gehört, gibt es eine Linearform, die auf U verschwindet und auf v den Wert 1 annimmt. (Wähle eine Linearform auf V/U, die auf v + U den Wert 1 annimmt und komponiere sie mit der Projektion V → V/U.) Dann gibt es auch ein w ∈ W mit (U, w) = 0 und (v, w) = 1. w gehört also U^{⊥} und daher v nicht zu (U^{⊥})^{⊥}.

2): Wenn v und v′ zur gleichen Nebenklasse von U gehören, ist für alle w ∈ U^{⊥}

(v′, w) = (v, w) + (v′ − v, w) = (v, w).

[ , ] : V/U ×U^{⊥} → K ist also wohldefiniert. Wir zeigen, daß [ , ] nicht ausgeartet ist. Wenn [v′ + U, w] = 0 für alle v′ ∈ V, ist sofort klar, daß w = 0. Wenn [v +U, w′] = 0 für alle w′ ∈ U^{⊥}, gehört v zu (U^{⊥})^{⊥} = U. Also ist v +U = 0.

Symmetrische Bilinearformen

7.1 Bilinearformen

Wir betrachten Bilinearformen auf einem endlichdimensionalen Vektorraum:

( , ) : V × V → K

Die Bilinearform ( , ) heißt regulär oder nicht ausgeartet, wenn sie (V, V) zu einem dualen Paar macht.

Wenn ( , ) regulär ist, hat (wie in 6.3.4) jeder Endomorphismus f einen adjungierten Endomorphismus f^{t}, der gegeben ist durch

(7.1)  (f^{t}(u), v) = (u, f(v)).

Definition. Ein Automorphismus von (V, ( , )) ist ein Automorphismus f von V, der mit ( , ) verträglich ist, für den also

(f(u), f(v)) = (u, v)

für alle u, v ∈ V.

Lemma 7.1.1. Sei ( , ) eine reguläre Bilinearform auf V. Dann ist f genau dann ein Automorphismus von (V, ( , )), wenn

f^{t} ∘ f = id_{V} .

Beweis. (f(u), f(v)) = (f^{t}(f(u)), v) = (u, v) für alle u, v ∈ V bedeutet f^{t} ∘ f = id_{V}.

Bilinearformen auf K^{n} werden (wie auf Seite 90) gegeben durch quadratische Matrizen B als

(x, y)_{B} = x^{⊤}By.

(x, y)_{B} ist genau dann regulär, wenn B regulär ist.

Wenn f = f_{A}, hat f^{t} die Matrix B^{⊤}^{−1}A^{⊤}B^{⊤}, weil

(B^{⊤}^{−1}A^{⊤}B^{⊤}x)^{⊤}By = x^{⊤}BAB^{−1}By = x^{⊤}BAy.

Wir nennen

(x, y)_{I} = x^{⊤}y

die Standardbilinearform auf K^{n}. Die Standardbilinearform ist regulär. Sie stimmt auf ℝ^{n} mit dem Skalarprodukt (Abschnitt 1.4) überein. Für die Standardbilinearform auf K^{n} ist

(f_{A})^{t} = f_{A^{⊤}}.

Lemma 7.1.2. Sei ( , ) eine reguläre Bilinearform auf V. Dann hat jede Bilinearform [ , ] auf V die Gestalt

[u, v] = (u, f(v))

für einen eindeutig bestimmten Endomorphismus f.

Beweis. Die Behauptung gilt für beliebige duale Paare ( , ) : V × W → K. Sei [ , ] : V × W → K bilinear und Φ : W → V^{∗} definiert durch Φ(w)v = (v, w) und Ψ : W → V^{∗} durch Ψ(w)v = [v, w]. Weil ( , ) regulär ist, ist Φ ein Isomorphismus (6.3.2). Dann ist

[v, w] = Ψ(w)v = ΦΦ^{−1}Ψ(w)(v) = (v, Φ^{−1}Ψ(w)).

Man setzt also f = Φ^{−1} ∘ Ψ.

7.2 Symmetrische Bilinearformen

Im Folgenden sei K ein Körper, der nicht die Charakteristik 2 hat und V ein K–Vektorraum.

Definition. Eine Bilinearform ( , ) : V × V → K heißt symmetrisch, wenn (v, w) = (w, v) für alle v, w ∈ V.

Die Standardbilinearform des K^{n} ist symmetrisch.

( , )_{B} ist genau dann symmetrisch, wenn β_{i,j} = β_{j,i} für alle i, j. Oder, anders ausgedrückt, wenn

B^{⊤} = B.

Quadratische Matrizen mit dieser Eigenschaft heißen symmetrisch.

Lemma 7.2.1. Sei ( , ) eine symmetrische reguläre Bilinearform auf V und f ein Endomorphismus. Dann ist die Bilinearform (u, f(v)) genau dann symmetrisch, wenn f = f^{t}.

Beweis. Die gespiegelte Bilinearform [u, v] = (v, f(u)) gehört zu f^{t}, weil

(v, f(u)) = (f^{t}(v), u) = (u, f^{t}(v)).

Endomorphismen f mit f^{t} = f heißen selbstadjungiert^{1} .

Sei ( , ) eine symmetrische Bilinearform auf V. Die Funktion q : V → K, definiert durch

q(u) = (u, u),

nennt man die zu ( , ) gehörende quadratische Form. ( , ) läßt sich durch q ausdrücken:

(7.2)  (u, v) = \frac{q(u + v) − q(u − v)}{4}.

Das folgt leicht aus der "binomischen" Formel

q(u ± v) = q(u) ± 2(u, v) + q(v).

Folgerung 7.2.2. Eine symmetrische Bilinearform ist durch ihre quadratische Form eindeutig bestimmt.

Satz 7.2.3. Symmetrische Bilinearformen auf endlichdimensionalen Vektorräumen lassen sich bei geeigneter Basiswahl durch Diagonalmatrizen darstellen.

Eine andere Formulierung ist: Jeder endlichdimensionale Vektorraum mit einer symmetrischen Bilinearform hat eine Orthogonalbasis. Das ist eine Basis a_{1}, …, a_{n}, deren Elemente paarweise orthogonal sind:

(a_{i}, a_{j}) = 0, wenn i ≠ j.

1Ob f selbstadjungiert ist, hängt natürlich von ( , ) ab.

Beweis. Sei n die Dimension von V. Wenn q(v) = 0 für alle v ∈ V, verschwindet die Bilinearform und jede Basis ist orthogonal. Wenn nicht, finden wir einen Vektor b_{1} mit q(b_{1}) ≠ 0. Sei

V_{1} = {v ∈ V | (v, b_{1}) = 0}

der Kern der Linearform v → (v, b_{1}). V_{1} hat die Dimension n − 1 (wegen 3.1.3). Weil b_{1} nicht zu V_{1} gehört, ist V = Kb_{1}⊕V_{1}. Wenn wir so fortfahren, erhalten wir eine orthogonale Basis b_{2}, …, b_{n} von V_{1}. b_{1}, b_{2}, …, b_{n} ist dann eine orthogonale Basis von V.

Folgerung 7.2.4. Wenn in K jedes Element Quadrat ist (wie zum Beispiel in ℂ), dann wird bei geeigneter Basiswahl jede symmetrische Bilinearform durch eine Matrix der Form

(\begin{matrix}1 \\ & . & . & . \\ & & & & 1 \\ & & & & & 0 \\ & & & & & & . & . & . \\ & & & & & & & & & 0 \end{matrix})

dargestellt.

Die Zahl der vorkommenden Einsen ist der Rang der Bilinearform und also von der Wahl der Basis unabhängig.

Beweis. Sei b_{1}, …, b_{n} eine Basis, für die die Bilinearform Diagonalgestalt hat. Wir setzen dann

c_{i} = \begin{cases}\frac{b_{i}}{\sqrt{q(b_{i})}} & wenn q(b_{i}) ≠ 0 \\ b_{i} & sonst \end{cases}

Wenn wir die c_{i} noch so umsortieren, daß zuerst die Vektoren kommen, für die der erste Fall eintritt, haben wir die gewünschte Basis.

Folgerung 7.2.5. Über ℝ läßt sich jede symmetrische Bilinearform bei geeigneter Basiswahl immer durch eine Diagonalmatrix

(7.3)  (\begin{matrix}1 \\ & . & . & . \\ & & & & 1 \\ & & & & & −1 \\ & & & & & & . & . & . \\ & & & & & & & & & −1 \\ & & & & & & & & & & 0 \\ & & & & & & & & & & & . & . & . \\ & & & & & & & & & & & & & & 0 \end{matrix})

darstellen, in deren Diagonalen nur 1, −1 und 0 vorkommen.

Beweis. Wir setzen jetzt

c_{i} = \begin{cases}\frac{b_{i}}{\sqrt{q(b_{i})}} & wenn q(b_{i}) > 0 \\ \frac{b_{i}}{\sqrt{−q(b_{i})}} & wenn q(b_{i}) < 0 \\ b_{i} & sonst \end{cases}

Sei p die Zahl der vorkommenden Einsen, q die Zahl der Minuseinsen, und r die Zahl der Nullen, die in der Diagonalen dieser Matrix vorkommen.

Satz 7.2.6 (Sylvester). p, q und r sind von der Wahl der diagonalisierenden Basis unabhängig.

Man nennt p − q die Signatur der Bilinearform. Weil p + q der Rang der Bilinearform ist, ist der Satz von Sylvester äquivalent zur Invarianz der Signatur.

Beweis. Wir brauchen ein Definition:

Definition. Eine symmetrische Bilinearform ( , ) heißt positiv semidefinit, wenn q(x) = (x, x) niemals negativ wird. Wenn sogar q(x) für alle von 0 verschiedenen x positiv ist, heißt ( , ) positiv definit. Analog definiert man negativ (semi)definit. Symmetrische Bilinearformen, die nicht semidefinit sind, nennt man indefinit.

Für eine Diagonalmatrix B ist ( , )_{B} genau dann positiv (semi)definit, wenn alle Diagonalelemente von B positiv (nicht-negativ) sind.

Sei nun ( , ) bezüglich der Basis b_{1}, …, b_{n} durch die Matrix (7.3) dargestellt. Dann ist p die größte Dimension eines Unterraums von V, auf dem ( , ) positiv definit ist. Denn einerseits ist ( , ) positiv definit auf dem p–dimensionalen Raum ⟨b_{1}, …, b_{p}⟩. Wenn andererseits ( , ) positiv definit auf U ist, kann die Dimension von U nicht größer als p sein. Denn sonst hätte U nicht–trivialen Durchschnitt mit ⟨b_{p+1}, …, b_{n}⟩, was nicht sein kann, weil dieser Raum negativ semidefinit ist.

7.3 Euklidische Räume

Definition. Eine euklidische Bilinearform ist eine positiv definite symmetrische Bilinearform auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum. Ein euklidischer Raum ist ein reeller Vektorraum mit einer euklidischen Bilinearform.

Das in 1.4 definierte Standardskalarprodukt auf dem ℝ^{n} ist euklidisch. Eine euklidische Bilinearform ist immer regulär. Das folgt aus 6.3.3 wegen

∀w′ (v, w′) = 0 ⇒ (v, v) = 0 ⇒ v = 0.

Aus 7.2.5 folgt:

Satz 7.3.1. Jeder euklidische Vektorraum hat eine Orthonormalbasis. Das ist eine Basis b_{1}, …, b_{m}, die zu sich selbst dual ist, für die also

(b_{i}, b_{j}) = δ_{ij}.

Es folgt, daß jeder euklidische Vektorraum V zu einem ℝ^{n} mit dem Standardskalarprodukt isomorph ist.

Ausgehend von einer Basis a_{1}, …, a_{n} von V läßt sich mit dem Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahren eine Orthonormalbasis b_{1}, …, b_{n} konstruieren: Wir setzen b_{1} = \frac{a_{1}}{∥a_{1}∥} und für i = 2, …, n

(7.4)  b′_{i} = a_{i} − (a_{i}, b_{1})b_{1} − … − (a_{i}, b_{i−1})b_{i−1}

und

(7.5)  b_{i} = \frac{b′_{i}}{∥b′_{i}∥}.

Wie in 1.4 ist dabei ∥a∥ die Norm oder Länge \sqrt{(a, a)} von a .

Man sieht durch Induktion sofort, daß für alle i

⟨b_{1}, …, b_{i}⟩ = ⟨a_{1}, …, a_{i}⟩.

Die b_{i} bilden also eine Basis. Daß die b_{i} die Länge 1 haben, folgt aus (7.5). Die Orthogonalität induktiv aus (7.4): Wenn j < i ist

(b′_{i}, b_{j}) = (a_{i}, b_{j}) − (a_{i}, b_{1})(b_{1}, b_{j}) ⋯ − (a_{i}, b_{j})(b_{j}, b_{j}) ⋯ − (a_{i}, b_{i−1})(b_{i−1}, b_{j})
= (a_{i}, b_{j}) − (a_{i}, b_{j})∥b_{j}∥ = 0.

Lemma 7.3.2. Sei b_{1}, …, b_{n} eine Orthonormalbasis. Dann ist für alle a ∈ V

a = (a, b_{1})b_{1} + … + (a, b_{n})b_{n}.

Beweis. Die Diskussion des Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahrens zeigt, daß alle b_{i} senkrecht auf b′ = a − (a, b_{1})b_{1} − … − (a, b_{n})b_{n} stehen. b′ muß also Null sein. Einen alternativen Beweis erhält man durch den Ansatz

a = α_{1}b_{1} + ⋯ + α_{n}b_{n}.

Man multipliziert mit b_{j} und erhält

(a, b_{j}) = α_{1}(b_{1}, b_{j}) + ⋯ + α_{n}(b_{n}, b_{j}) = α_{j}(b_{j}, b_{j}) = α_{j}

Lemma 7.3.3. Sei U ein Unterraum des euklidischen Raums V. Dann ist V direkte Summe von U und dem orthogonalen Komplement

U^{⊥} = {w ∈ V | ∀u ∈ U (u, w) = 0}.

Beweis. Sei v_{0} ein beliebiger Vektor aus V. Weil ( , ) auf U regulär ist, gibt es ein eindeutig bestimmtes u_{0} ∈ U mit

(v_{0}, u) = (u_{0}, u)

für alle u ∈ U. Es folgt (v_{0}−u_{0}, u) = 0 für alle u ∈ U. Das heißt v_{0}−u_{0} ∈ U^{⊥}.

Das Lemma folgt auch leicht aus dem Schmidtschen Verfahren. Wir wählen eine Basis a_{1}, …, a_{n}, deren erste m Elemente U aufspannen. Wenn wir zu b_{1}, …, b_{n} orthonormalisieren, wird U von b_{1}, …, b_{m} und U^{⊥} von b_{m+1}, …, b_{n} aufgespannt.

Eine weitere Beweisalternative ist die Verwendung der Gleichung^{2}

dim U + dim(U^{⊥}) = dim V

aus Lemma 6.3.5. Weil U^{⊥} ∩ U = 0, folgt daraus die Behauptung.

Sei f ein Endomorphismus von V. Wir erinnern an die Definition (7.1) (Seite 94) des adjungierten Endomorphismus f^{t}.

Lemma 7.3.4. Sei f ein Endomorphismus von V, der bezogen auf die Orthonormalbasis 𝔅 durch die Matrix A dargestellt wird. Dann wird der adjungierte Endomorphismus f^{t} durch die transponierte Matrix A^{⊤} dargestellt.

Beweis. Das folgt aus der Bemerkung vor Lemma 6.3.4 oder direkt aus 6.2.2. Wir können auch Satz 7.3.1 verwenden und die hinter Lemma 7.1.1 gemachte Bemerkung, nach der die Behauptung für den ℝ^{n} mit dem Standardskalarprodukt gilt.

Wir geben noch einmal einen direkten Beweis. Sei 𝔅 eine Orthonormalbasis, f und f^{t} bezüglich dieser Basis dargestellt durch A und A′. Nehmen wir an, daß die beiden Vektoren u und v in dieser Basis die Koeffizientenvektoren x und y haben^{3}. Dann ist

(u, f(v)) = x^{⊤}Ay.

2Eigentlich brauchen wir nur die Ungleichung U + dim(U^{⊥}) ≥ dim V, die für beliebige bilineare Abbildungen ( , ) : V × U → K richtig ist.

3Das heißt u = 𝔅x und v = 𝔅y

und

(f^{t}(u), v) = (A′x)^{⊤}y = x^{⊤}A′^{⊤}y

Aus x^{⊤}A′^{⊤}y = x^{⊤}Ay für alle Spalten x, y folgt A′ = A^{⊤}.

Automorphismen eines euklidischen Vektorraums heißen orthogonale Abbildungen.

Lemma 7.3.5. Sei f ein Endomorphismus des euklidischen Vektorraums V, der bezüglich einer Orthonormalbasis b_{1}, …, b_{m} durch die Matrix A dargestellt wird. Dann sind äquivalent:

a) f ist orthogonal.

b) f^{t} ∘ f = id_{V}.

c) A^{⊤}A = I.

d) f(b_{1}), …, f(b_{m}) ist eine Orthonormalbasis.

Beweis. Die Äquivalenz von a), b) und c) folgt aus 7.1.1 und 7.3.4. c) besagt, daß die Spalten von A orthonormal sind. c) und d) sind also auch äquivalent.

Für die Äquivalenz von a) und d) gebe ich noch einen eigenen Beweis: f ist genau dann ein Automorphismus, wenn die Bilinearform

(u, v)^{f} = (f(u), f(v))

mit (x, y) übereinstimmt^{4}. Bezüglich b_{1}, …, b_{n} hat aber ( , )^{f} die Matrix

(f(b_{i}), f(b_{j})).

Also ist f genau dann orthogonal, wenn (f(b_{i}), f(b_{j})) = δ_{ij}. Wir überlegen uns noch, daß eine orthonormale Familie (c_{i}) immer linear unabhängig ist:

0 = ∑_{i} ξ_{i}c_{i} ⇒ 0 = (∑_{i} ξ_{i}c_{i}, c_{j}) = ξ_{j}.

Folgerung 7.3.6. Orthogonale Abbildungen haben die Determinante 1 oder -1.

4Wenn ( , )^{f} = ( , ), ist f injektiv, weil

u ≠ 0 ⇒ (u, u) ≠ 0 ⇒ (f(u), f(u)) ≠ 0 ⇒ f(u) ≠ 0.

Beweis. Aus 7.3.4 und 4.3.5 folgt det(f^{t}) = det(f). Also ist mit 7.3.5

det(f)^{2} = det(f^{t}) det(f) = det(f^{t} ∘ f) = det(id_{V}) = 1.

Die reelle orthogonale Gruppe

O_{n}(ℝ) = {A ∈ M_{n}(ℝ) | A^{⊤}A = I}

ist die Gruppe aller orthogonalen n-n–Matrizen. Die orthogonalen Abbildungen mit Determinante 1 bilden die spezielle orthogonale Gruppe SO_{n}(ℝ). SO_{n}(ℝ) und das Komplement O_{n}(ℝ) \ SO_{n}(ℝ) sind Zusammenhangskomponenten von O_{n}(ℝ). Weil sich jedes Element von SO_{n}(ℝ) mit der Einheitsmatrix durch eine stetige Familie von orthogonalen Matrizen verbinden läßt, nennt man die Elemente von SO_{n}(ℝ) Drehungen. Im Abschnitt 1.5 (ab Seite 15) haben wir die Drehungen der euklidischen Ebene ℝ^{2} bestimmt.

Sei V ein n–dimensionaler euklidischer Vektorraum. Eine n–Form μ heißt normiert, wenn

μ(b_{1}, …, b_{n}) ∈ {−1, 1}

für alle Orthonormalbasen b_{1}, …, b_{n}.

Lemma 7.3.7. Ein euklidischer Vektorraum der Dimension n hat genau zwei normierte n–Formen. Die beiden Formen gehen durch Multiplikation mit −1 auseinander hervor.

Beweis. Jede Volumenform μ, die auf (nur) einer Orthonormalbasis b_{1}, …, b_{n} den Wert ±1 hat, ist schon normiert. Denn, wenn c_{1}, …, c_{n} eine andere Orthonormalbasis ist, ist die lineare Abbildung f(b_{i}) = c_{i} orthogonal. Also ist (vgl. 4.5.2)

μ(c_{1}, …, c_{n}) = det(f) μ(b_{1}, …, b_{n}) = ±μ(b_{1}, …, b_{n}) = ±1.

Die Behauptung folgt jetzt aus 4.3.1.

Man nennt (für eine normierte Volumenform μ_{0})

| μ_{0}(a_{1}, …, a_{n})|

das Volumen des Parallelepipeds PE(a_{1}, …, a_{n}). Für den ℝ^{n} mit Skalarprodukt ist die Standardvolumenform normiert. Also stimmt unsere Definition mit 4.5.1 überein.

Man beachte, daß die Bilinearform eines euklidischen Raumes keine Orientierung festlegt, aber auf jedem Unterraum U wieder eine euklidische Struktur ^{5} induziert. Eine Volumenform auf V liefert uns eine Orientierung, kann aber auf Unterräumen keine Struktur induzieren.

5mit der auf U × U eingeschränkten Bilinearform

Satz 7.3.8 (Gramsche Determinante). Das Volumen des von a_{1}, …, a_{n} aufgespannten Parallelepipeds ist die Quadratwurzel der Gramschen Determinante

det (\begin{matrix}(a_{1}, a_{1}) & (a_{1}, a_{2}) & ⋯ & (a_{1}, a_{n}) \\ (a_{2}, a_{1}) & (a_{2}, a_{2}) & ⋯ & (a_{2}, a_{n}) \\ ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ (a_{n}, a_{1}) & (a_{n}, a_{2}) & ⋯ & (a_{n}, a_{n}) \end{matrix})

Beweis. Wir können annehmen, daß wir uns im ℝ^{n} mit dem Standardskalarprodukt befinden. Die Spalten a_{i} fassen wir zu einer Matrix A zusammen. Die Gramsche Determinante ist die Determinante von

(a_{i}^{⊤}a_{j}) = A^{⊤}A,

also gleich dem Quadrat von det(A). Der Betrag von det(A) ist aber das Volumen von PE(a_{1}, …, a_{n}).

Zum Beispiel ist die Fläche des von a_{1} = (\begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) und a_{2} = (\begin{matrix}4 \\ 5 \\ 6 \end{matrix}) aufspannten

Parallelogramms^{6} die Quadratwurzel von

|\begin{matrix}(a_{1}, a_{1}) & (a_{1}, a_{2}) \\ (a_{2}, a_{1}) & (a_{2}, a_{2}) \end{matrix}| = |\begin{matrix}14 & 32 \\ 32 & 77 \end{matrix}| = 54

7.4 Die Hauptachsentransformation

Sei V ein euklidischer Vektorraum. Der Satz von der Hauptachsentransformation erscheint in drei äquivalenten Formen.

Satz 7.4.1 (Hauptachsen einer symmetrischen Bilinearform). Sei [ , ] eine symmetrische Bilinearform auf V. Dann gibt es eine Orthonormalbasis von V, bezüglich der [ , ] durch eine Diagonalmatrix dargestellt wird.

Man nennt die Elemente der diagonalisierenden Orthonormalbasis die Hauptachsen von [ , ].

Weil sich vermöge

[x, y] = (x, f(y))

symmetrische Bilinearformen und selbstadjungierte Endomorphismen entsprechen (7.1.2 und 7.2.1), ist der Satz gleichbedeutend mit Satz 7.4.2 (Hauptachsen eines selbstadjungierten Endomorphismus). Sei f ein selbstadjungierter Endomorphismus. Dann gibt es eine Orthonormalbasis von V aus Eigenvektoren von f.

6Also sein Volumen in dem Unterraum, den a_{1} und a_{2} aufspannen.

Für Matrizen formuliert:

Satz 7.4.3 (Hauptachsen einer symmetrischen Matrix). Zu jeder symmetrischen reellen Matrix A gibt es eine orthogonale Matrix D, sodaß D^{⊤}AD Diagonalgestalt hat.

Im ℝ^{n} werden symmetrische Bilinearformen durch symmetrische Matrizen A beschrieben. Wenn man mit D einen Basiswechsel vornimmt, ändert sich A (nach 6.3.1) zu D^{⊤}AD. Die neue Basis ist genau dann orthonormal, wenn D orthogonal ist. Damit ist die Äquivalenz von 7.4.1 und 7.4.3 gezeigt.

7.4.2 bedeutet im ℝ^{n}, daß für symmetrische A der Endomorphismus f_{A} durch einen orthonormalen Basiswechsel in Diagonalgestalt gebracht werden kann. Wenn D den Basiswechsel beschreibt, bedeutet das, daß D^{−1}AD Diagonalgestalt hat. Weil D^{−1} = D^{⊤}, ist das wieder äquivalent zu 7.4.3.

Beweis. Ich gebe zwei unabhängige Beweise für 7.4.1 und 7.4.2. Wir können dabei ohne weiteres annehmen, daß V mindestens die Dimension 2 hat.

Sei [ , ] eine eine symmetrische Bilinearform auf ℝ^{n}.

\underline{Behauptung 1}: Es gibt einen Vektor x_{1} der Länge 1, für den

(x_{1}, x) = 0 ⇒ [x_{1}, x] = 0.

Beweis: Die stetige Funktion [x, x] nimmt auf der Einheitskugel

S = {x ∈ ℝ^{n} | (x, x) = 1}

ein Maximum an. Sagen wir bei x_{1}. Dann ist das Differential

d[x, x] = [dx, x] + [x, dx] = 2[x, dx]

Null an jedem Tangentenvektor X von S an der Stelle x_{1}. Das heißt, daß für alle X

(7.6)  (x_{1}, X) = 0 ⇒ [x_{1}, X] = 0.

Wenn man Differentialrechnung vermeiden will, kann man so argumentieren: Betrachte die symmetrische Bilinearform [x, y]′ = λ · (x, y) − [x, y], wobei λ = [x_{1}, x_{1}]. [ , ]′ ist positiv semidefinit; nach Folgerung 7.2.5 gibt es eine Basis b_{1}, …, b_{n} mit [b_{i}, b_{j}]′ = 0 für i ≠ j, [b_{1}, b_{1}]′ = ⋯ = [b_{p}, b_{p}]′ = 1 und [b_{p+1}, b_{p+1}]′ = ⋯ = [b_{n}, b_{n}]′ = 0. Weil [x_{1}, x_{1}]′ = 0, liegt x_{1} in ⟨b_{p+1}, … b_{n}⟩. Damit ist [x_{1}, y]′ = 0 für alle y, woraus (7.6) folgt.

Wir können induktiv annehmen, daß das orthogonale Komplement

x_{1}^{⊥} = {x | (x_{1}, x) = 0}

eine Orthonormalbasis x_{2}, …, x_{n} hat, für die [ , ] Diagonalgestalt hat. Weil [x_{1}, x_{2}] = … = [x_{1}, x_{n}] = 0, ist x_{1}, x_{2}, …, x_{n} die gesuchte Orthonormalbasis von ℝ^{n}. Damit ist 7.4.1 bewiesen.

Sei nun f ein selbstadjungierter Endomorphismus von V.

\underline{Behauptung 2}: f hat einen (reellen) Eigenwert.

Beweis: Sei V = ℝ^{n} und f = f_{A}. Weil ℂ algebraisch abgeschlossen ist, hat das charakteristische Polynom von A eine komplexe Nullstelle λ. λ ist ein Eigenwert der komplexen Matrix A. Also gibt es ein x_{1} ∈ ℂ^{n} \ 0, mit Ax_{1} = λx_{1}. Durch Konjugation (Seite 112) erhalten wir A\overline{x_{1}} = \overline{λ}\overline{x_{1}}. Weil

(x_{1}, \overline{x_{1}}) = ∑_{i=1}^{n} ξ_{i}\overline{ξ_{i}}

als Summe der Betragsquadrate^{7} der Koeffizienten ξ_{i} von x_{1} ungleich Null ist, und weil A symmetrisch ist, liefert das nächste Lemma λ = \overline{λ}.

Lemma (A). α sei Eigenwert von f und β Eigenwert von f^{t}. Wenn α ≠ β, stehen die jeweiligen Eigenvektoren aufeinander senkrecht.

Beweis. Das Lemma gilt für beliebige duale Paare ( , ) : V × W → K und Endomorphismen f : V → V: Sei f(v) = αv und f^{t}(w) = βw. Dann ist

α(v, w) = (αv, w) = (f(v), w) = (v, f^{t}(w)) = (v, βw) = β(v, w).

Wenn α ≠ β, folgt (v, w) = 0.

Damit ist die Behauptung 2 bewiesen. Sei x_{1} ein Eigenvektor von f der Länge 1. ℝx_{1} ist invariant unter f, also ist nach dem nächsten Lemma x_{1}^{⊥} invariant unter f^{t} = f. Wir können wieder annehmen, daß x_{1}^{⊥} eine Orthonormalbasis x_{2}, …, x_{n} aus Eigenvektoren von f hat. x_{0}, x_{1}, …, x_{n} ist dann die gesuchte Orthonormalbasis von ℝ^{n}. Damit ist 7.4.2 bewiesen.

Lemma (B). Wenn U invariant ist unter f, ist U^{⊥} invariant unter f^{t}.

Beweis. Das Lemma gilt allgemein für duale Paare. Sei w ∈ U^{⊥}. Dann ist für alle u ∈ U

(u, f^{t}(w)) = (f(u), w) = 0.

Also f^{t}(w) ∈ U^{⊥}.

7Der Betrag einer komplexe Zahl z = α + βi ist die Wurzel aus z\overline{z} = α^{2} + β^{2}.

Eine Folgerung ist zum Beispiel:

Satz 7.4.4. Für jeden Endomorphismus f gibt es eine Orthonormalbasis b_{1}, …, b_{n} von V, sodaß f(b_{1}), …, f(b_{n}) paarweise orthogonal sind.

Beweis. Wir wählen einfach einen Orthonormalbasis, die die symmetrische Bilinearform

[u, v] = (f(u), f(v))

diagonalisiert.

Folgerung 7.4.5 (Polarisationssatz). Jeder Endomorphismus von V ist ein Produkt einer orthogonalen Abbildung und einer selbstadjungierten Abbildung.

Beweis. Sei f ein Endomorphismus und b_{1}, …, b_{n} eine Orthonormalbasis, die von f auf ein orthogonales System abgebildet wird. Wir finden dann eine Orthonormalbasis c_{1}, …, c_{n} und reelle Zahlen λ_{i}, für die

f(b_{i}) = λ_{i}c_{i}.

Sei nun g die (orthogonale) lineare Abbildung, die b_{i} auf c_{i} abbildet und h die (selbstadjungierte) Abbildung, die c_{i} auf λ_{i}c_{i} abbildet. Dann ist f = hg.

Nehmen wir an, daß bezüglich einer Orthonormalbasis die symmetrische Bilinearform [u, v] = (u, f(v)) durch die Diagonalmatrix

(\begin{matrix}λ_{1} & 0 & … & 0 \\ 0 & λ_{2} & … & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & … & λ_{n} \end{matrix})

gegeben ist. Durch Permutation der Basisvektoren können wir immer erreichen, daß λ_{1} ≤ λ_{2} ≤ … ≤ λ_{n}. Die λ_{i} sind dann als die Eigenwerte von f eindeutig bestimmt. Der nächste Satz zeigt die Bedeutung der λ_{i} für die Bilinearform [ , ].

Satz 7.4.6.

λ_{m} = min{max{[x, x] | x ∈ U, ∥x∥ = 1} | U ≤ V, dim U = m}

Beweis. Der Satz wird ähnlich bewiesen wie der Satz von Sylvester (7.2.6). Wir können annehmen, daß V = ℝ^{n} und daß [ , ] in der kanonischen Basis die angegebene Diagonalgestalt hat. Sei U_{0} aufgespannt von der ersten m Basisvektoren und x = (ξ_{1}, …, ξ_{m}, 0, …, 0) ein Element von U_{0} der Länge 1. Dann ist

[x, x] = λ_{1}ξ_{1}^{2} + … + λ_{m}ξ_{m}^{2} ≤ λ_{m}(ξ_{1}^{2} + … + ξ_{m}^{2}) = λ_{m}.

Weil andererseits [e_{m}, e_{m}] = λ_{m}, folgt

λ_{m} = max{[x, x] | x ∈ U_{0}, ∥x∥ = 1}.

Wir müssen noch zeigen, daß dieses Maximum für keinen m–dimensionalen Unterraum U kleiner werden kann: Ein solches U schneidet den (n−m+1)-dimen-sionalen Raum U_{1} = ⟨e_{m}, …, e_{n}⟩ immer nicht–trivial. Es gibt also in U ∩ U_{1} ein x der Länge 1. Weil

λ_{m} = min{[x, x] | x ∈ U_{1}, ∥x∥ = 1},

folgt [x, x] ≥ λ_{m} und daraus die Behauptung.

Quadriken

Eine Quadrik im ℝ^{n} ist die Lösungsmenge

Q = {(ξ_{1}, …, ξ_{n}) | q(ξ_{1}, …, ξ_{n}) = 0}

einer quadratischen Gleichung. Dabei ist q ein Polynom zweiten Grades

q(x_{1}, …, x_{n}) = ∑_{i,j} α_{ij}x_{i}x_{j} + ∑_{i} α_{i}x_{i} + α.

Wir können ohne weiteres annehmen, daß A = (α_{ij}) symmetrisch ist. Wir setzen a = (α_{1} … α_{n})^{⊤}. Dann schreibt sich unsere quadratische Gleichung in x = (ξ_{1} … ξ_{n})^{⊤} als

x^{⊤}Ax + a^{⊤}x + α = 0

oder, in einem abstrakten euklidischen Raum für ein selbstadjungiertes f, als

(7.7)  (x, f(x)) + (a, x) + α = 0.

Wir wollen alle Quadriken klassifizieren, wobei wir Quadriken, die durch eine euklidische affine Abbildung^{8}

x ↦ Bx + b

(B orthogonal) ineinander übergehen, nicht unterscheiden.

Die Hauptunterscheidung ist, ob a im Bild von f liegt oder nicht.

\underline{Fall 1} a ∈ Im f.

Die Verschiebung des Nullpunkts x = b + y transformiert (7.7) nach

(y, f(y)) + (2f(b) + a, y) + (b, f(b)) + (a, b) + α = 0.

Wir wählen b so, daß 2f(b) + a = 0. Der lineare Term fällt jetzt weg und wir erhalten eine Gleichung der Form (x, f(x)) + α = 0. Wir können die Gleichung noch mit einem geeigneten Faktor multiplizieren und bekommen α = 0 oder α = −1. Wenn wir eine geeignete Orthonormalbasis wählen, hat f Diagonalgestalt.

8Affine Abbildungen sind Abbildungen der Form x ↦ Bx + b für beliebige Matrizen B.

Wir schreiben die positiven Eigenwerte als \frac{1}{a_{i}^{2}} und die negativen als −\frac{1}{b_{j}^{2}} . Die

Gleichungen in den neuen Koordinaten sind dann die Normalformen

(7.8)  (\frac{ξ_{1}}{a_{1}} )^{2} + ⋯ + (\frac{ξ_{p}}{a_{p}} )^{2} − (\frac{ζ_{1}}{b_{1}} )^{2} − ⋯ − (\frac{ζ_{q}}{b_{q}} )^{2} = 1

(7.9)  (\frac{ξ_{1}}{a_{1}} )^{2} + ⋯ + (\frac{ξ_{p}}{a_{p}} )^{2} − (\frac{ζ_{1}}{b_{1}} )^{2} − ⋯ − (\frac{ζ_{q}}{b_{q}} )^{2} = 0

\underline{Fall 2} a ∉ Im f. Wir wählen b so, daß 2f(b) + a senkrecht auf dem Bild von f steht. Wir können dadurch annehmen, daß in (7.7) a senkrecht auf dem Bild von f steht^{9}. Durch Multiplikation erreichen wir, daß a die Länge 1 hat. Wir verschieben (noch einmal) um −αa:

(y, f(y)) + (−α2f(a) + a, y) + α^{2}(a, f(a)) − α(a, a) + α = 0.

Weil f(a) = 0, ergibt sich die Gleichung

(y, f(y)) + (a, y) = 0.

Wir diagonalisieren f mit einer Orthonormalbasis, die wir so wählen können, daß sie −a enthält. Die resultierende Gleichung ist die dritte Normalform

(7.10)  (\frac{ξ_{1}}{a_{1}} )^{2} + ⋯ + (\frac{ξ_{p}}{a_{p}} )^{2} − (\frac{ζ_{1}}{b_{1}} )^{2} − ⋯ − (\frac{ζ_{q}}{b_{q}} )^{2} = η.

Der projektive Raum

Sei K Körper und V ein Vektorraum über K. Der zugeordnete projektive Raum P(V) ist die Menge aller eindimensionalen Unterräume von V:

P(V) = {⟨v⟩ | v ∈ V \ 0}

Wir definieren

dim(P(V)) = dim(V) − 1.

Unterräume von P(V) sind Teilmengen der Form P(U) für Unterräume U ≤ V.

9Das ist gleichbedeutend mit a ∈ Ker f. Man rechnet leicht nach, daß in dualen Paaren

(Im f)^{⊥} = Ker(f^{t}).

n = 1 :  x^{2} = 0 Ein Punkt (x = 0)
(\frac{x}{a})^{2} = 1 Zwei Punkte (x = ±a)
n = 2 :  (\frac{x}{a})^{2} − (\frac{y}{b} )^{2} = 0 Zwei Geraden (\frac{x}{a} = \frac{y}{b} und \frac{x}{a} = −\frac{y}{b} )
(\frac{x}{a})^{2} + (\frac{y}{b} )^{2} = 1 Ellipse
(\frac{x}{a})^{2} − (\frac{y}{b} )^{2} = 1 Hyperbel
(\frac{x}{a})^{2} = y Parabel
n = 3 :  (\frac{x}{a})^{2} + (\frac{y}{b} )^{2} = 1 elliptischer Zylinder
(\frac{x}{a})^{2} + (\frac{y}{b} )^{2} − (\frac{z}{c} )^{2} = 0 elliptischer Kegel
(\frac{x}{a})^{2} + (\frac{y}{b} )^{2} + (\frac{z}{c} )^{2} = 1 Ellipsoid
(\frac{x}{a})^{2} − (\frac{y}{b} )^{2} + (\frac{z}{c} )^{2} = 1 einschaliges Hyperboloid
(\frac{x}{a})^{2} − (\frac{y}{b} )^{2} − (\frac{z}{c} )^{2} = 1 zweischaliges Hyperboloid
(\frac{x}{a})^{2} + (\frac{y}{b} )^{2} = z Paraboloid
(\frac{x}{a})^{2} − (\frac{y}{b} )^{2} = z Sattelfläche

Abbildung 7.1: Quadriken im ℝ^{n} für n = 1, 2, 3 Der leere Unterraum P(0) hat Dimension −1. Die Elemente (oder Punkte) von P(V) sind Unterräume der Dimension 0. Geraden sind Unterräume der Dimension 1, Ebenen haben die Dimension 2.

Aus 2.5.9 folgt

Bemerkung. Für Unterräume Q, R eines endlichdimensionalen projektiven Raumes P gilt:

dim(Q ∩ R) ≥ dim(Q) + dim(R) − dim(P).

Insbesondere schneiden sich alle Geraden in einer projektiven Ebene. Und im dreidimensionalen projektiven Raum schneiden sich Ebenen und Geraden.

Lineare Abbildungen zwischen projektiven Räumen P(f) : P(U) → P(V) werden induziert von injektiven linearen Abbildungen f : U → V als

P(f)(⟨u⟩) = ⟨f(u)⟩.

Seien E_{1} und E_{2} zwei Ebenen in einem dreidimensionalen projektiven Raum P und p_{0} ein Punkt, der zu keiner der beiden Ebenen gehört. Wir können von p_{0} aus E_{1} auf E_{2} in folgender Weise projizieren: Wir verbinden einen beliebigen Punkt p_{1} von E_{1} durch eine Gerade g mit p_{0}. Dann schneidet g die Ebene E_{2} in einem Punkt p_{2}. Man rechnet leicht nach, daß diese Projektion p_{1} ⟼ p_{2} linear ist.

[figure: •; p_{0}; •; p_{1}; •; p_{2}; g; E_{1}; E_{2}]

Betrachten wir zum Beispiel P^{n}(ℝ) = P(ℝ^{n+1}). Wir beschreiben die Punkte ⟨(ξ_{0}, …, ξ_{n})⟩ durch ihre homogenen Koordinaten

(ξ_{0} : …: ξ_{n}).

Die ξ_{i} dürfen nicht simultan verschwinden. Es ist (ξ_{0} : …: ξ_{n}) = (ζ_{0} : …: ζ_{n}) genau dann wenn ξ_{i} = λζ_{i} (i = 0, …, n) für ein λ ≠ 0. Wenn man den n − 1– dimensionalen Unterraum

H_{0} = {(0 : ξ_{1} : …: ξ_{n}) | (ξ_{1} : …: ξ_{n}) ∈ P^{n−1}(ℝ)}

der unendlich fernen Punkte entfernt, erhält man die Menge

U_{0} = P^{n}(ℝ) \ H_{0} = {(1 : ξ_{1} : …: ξ_{n}) | (ξ_{1}, …, ξ_{n}) ∈ ℝ^{n}},

die wir mit ℝ^{n} identifizieren wollen. Man kann sich vorstellen, daß auf diese Weise P^{n}(ℝ) aus ℝ^{n} entsteht, indem man den Raum der unendlich fernen Punkte P^{n−1}(ℝ) hinzufügt.

Die Unterräume von P^{n}(ℝ), die U_{0} schneiden, schneiden U_{0} in affinen Unterräumen von ℝ^{n}. Das sind Teilmengen der Form a + U (U ≤ ℝ^{n}). Jeder affine Unterraum vom U_{0} entsteht auf diese Weise.

Die affine Gerade

g = (α_{1}, …, α_{n}) + ℝ · (ξ_{1}, …, ξ_{n})

zum Beispiel ist der Schnitt von U_{0} mit der projektiven Geraden

\overline{g} = P(ℝ · (1, α_{1}, …, α_{n}) + ℝ · (0, ξ_{1}, …, ξ_{n})),

die aus g durch Hinzufügen des unendlich fernen Punktes (0 : ξ_{1} : …: ξ_{n}) entsteht.

In ähnlicher Weise lassen sich affine Quadriken

Q = {(ξ_{1}, …, ξ_{n}) | ∑_{i,j=1}^{n} α_{ij}ξ_{i}ξ_{j} + ∑_{i=1}^{n} α_{i}ξ_{i} + α = 0}

durch Hinzufügen unendlich ferner Punkte fortsetzen zu projektiven Quadriken

\overline{Q} = \{(ξ_{0} : ξ_{1} : …: ξ_{n}) | ∑_{i,j=1}^{n} α_{ij}ξ_{i}ξ_{j} + ∑_{i=1}^{n} α_{i}ξ_{0}ξ_{i} + αξ_{0}^{2} = 0\}.

Allgemein werden Projektive Quadriken definiert durch eine homogene quadratische Gleichung:

{(ξ_{0} : ξ_{1} : …: ξ_{n}) | ∑_{i,j=0}^{n} α_{ij}ξ_{i}ξ_{j} = 0}.

Identifiziert man Quadriken, die sich durch Automorphismen von P^{n}(ℝ) ineinander überführen lassen, ergibt sich nach 7.2.5 die folgende Normalform:

(7.11)  ξ_{1}^{2} + ⋯ + ξ_{p}^{2} − ζ_{1}^{2} − ⋯ − ζ_{q}^{2} = 0.

7.5 Unitäre Räume

Wir betrachten in diesem Abschnitt Vektorräume U, V, … über dem Körper ℂ der komplexen Zahlen.

n = 1 :  x_{0}^{2} = 0 Ein Punkt ((0 : 1))
x_{0}^{2} − x_{1}^{2} = 0 Zwei Punkte ((1 : 1) und (1 : −1))
n = 2 :  x_{0}^{2} − x_{1}^{2} = 0 Zwei Geraden
x_{0}^{2} − x_{1}^{2} − x_{2}^{2} = 0 Kreis
n = 3 :  x_{0}^{2} − x_{1}^{2} − x_{2}^{2} = 0 Zylinder
x_{0}^{2} − x_{1}^{2} − x_{2}^{2} − x_{3}^{2} = 0 Kugel
x_{0}^{2} + x_{1}^{2} − x_{2}^{2} − x_{3}^{2} = 0 Hyperboloid

Abbildung 7.2: Quadriken im P^{n}(ℝ) für n = 1, 2, 3

Wir erinnern uns an die Definition der Konjugationsabbildung

\overline{a + bi} = a − bi

Die Konjugation ist ein Automorphismus der ℝ–Algebra ℂ.

Definition. Eine Abbildung f : U → V heißt antilinear, wenn

1. f(u + v) = f(u) + f(v)

2. f(λu) = \overline{λ}f(u)

Eine sesquilineare^{10} Form ist eine Abbildung ( , ) : U × U → ℂ, die antilinear im ersten und linear im zweiten Argument ist.

Sei b_{1} … b_{n} eine Basis von U. Eine Sesquilinearform ( , ) ist bestimmt durch ihre Matrix B = ((b_{i}, b_{j})). Denn wenn x und y die Koeffizientenspalten von u = ∑_{i} ξ_{i}b_{i} und v = ∑_{j} ζ_{j}b_{j} sind, ist

(u, v) = ∑_{i,j} \overline{ξ_{i}}ζ_{j}(b_{i}, b_{j}) = x^{∗}By.

Hier steht x^{∗} für den Zeilenvektor \overline{x}^{⊤}. Diese Schreibweise verwenden wir für beliebige Matrizen:

A^{∗} = \overline{A}.^{⊤}

A^{∗} heißt die zu A adjungierte Matrix.

Mit Hilfe des konjugierten Vektorraums lassen sich die beiden neuen Begriffe auf Bekanntes zurückführen. Sei V ein Vektorraum über ℂ. Der konjugierte Vektorraum V^{(c)} hat die gleichen Elemente wie V und die gleiche Addition. Die Multiplikation ·^{(c)} mit Elementen von ℂ ist aber definiert durch

α ·^{(c)} v = \overline{α} v

10Die Hörer der Vorlesung haben mir erklärt, daß sesquilinear eineinhalblinear bedeutet.

Man überlegt sofort, daß V^{(c)} die gleichen Basen, Unterräume und Endomorphismen wie V hat.

Lemma 7.5.1.

1. f : U → V ist genau dann antilinear, wenn f : U^{(c)} → V linear ist.

2. ( , ) : U × U → ℂ ist genau dann sesquilinear, wenn ( , ) : U^{(c)} × U → ℂ bilinear ist.

Beweis. f : U^{(c)} → V ist genau dann linear, wenn für alle u ∈ U und α ∈ ℂ

f(\overline{α} u) = f(α ·^{(c)} u) = αf(u).

Für α = \overline{λ} bedeutet das f(λu) = \overline{λ}f(u).

Wenn ( , ) eine Sesquilinearform ist, ist auch

[u, v] = \overline{(v, u)}

sesquilinear. Zum Beispiel ist

[λu, v] = \overline{(v, λu)} = \overline{λ(v, u)} = \overline{λ}[u, v].

Definition. Eine Sesquilinearform heißt hermitesch, wenn

(u, v) = \overline{(v, u)}

für alle u, v.

Eine bezüglich einer Basis b_{1}, …, b_{n} durch die Matrix B gegebene Sesquilinearform ist genau dann hermitesch, wenn B hermitesch oder selbstadjungiert ist. Das heißt, wenn

B^{∗} = B.

Beweis: Die Matrizen (b_{i}, b_{j}) und [b_{i}, b_{j}] = \overline{(b_{j}, b_{i})} sind adjungiert.

Wenn ( , ) hermitesch ist, ist \overline{(v, v)} = (v, v) für alle v. Das bedeutet (v, v) ∈ ℝ. Darum ist die nächste Definition sinnvoll:

Definition. Eine hermitesche Sesquilinearform^{11} heißt positiv definit, wenn (v, v) > 0 für alle von Null verschiedenen v. Ein unitärer Vektorraum ist ein endlichdimensionaler ℂ–Vektorraum zusammen mit einer positiv definiten hermiteschen Sesquilinearform.

11Ich danke F.Windisch für den Hinweis auf einen früheren Fehler in der Definition.

ℂ^{n} mit der Standardsesquilinearform x^{∗}y ist unitär.

Wir setzen wieder ∥a∥ = \sqrt{(a, a)} .

Es ist ∥λa∥ = |λ|∥a∥. Die Dreiecksungleichung ∥a + b∥ ≤ ∥a∥ + ∥b∥ folgt wie in 1.4.3 aus dem nächsten Lemma.

Lemma 7.5.2 (Cauchy-Schwarzsche Ungleichung). In unitären Räumen ist

|(a, b)| ≤ ∥a∥∥b∥

Gleichheit gilt genau dann, wenn a und b linear abhängig sind.

Beweis. Wenn a = 0, sind beide Seiten der Ungleichung Null. Wenn nicht, können wir annehmen, daß ∥a∥ = 1. (Sonst dividieren wir durch ∥a∥.) Jetzt ist für α = (a, b)

0 ≤ (b − αa, b − αa) = (b, b) − α(b, a) − \overline{α}(a, b) + |α|^{2}(a, a) = ∥b∥^{2} − |α|^{2}.

Daraus folgt |α| ≤ ∥b∥. Wenn Gleichheit eintritt, ist b − αa = 0.

Lemma 7.5.3. V sei ein unitärer Raum mit Sesquilinearform ( , ).

1. ( , ) macht (V^{(c)}, V) zu einem dualen Paar.

2. Sei U ein Unterraum von V. Dann ist V direkte Summe von U und U^{⊥}.

3. V hat eine Orthonormalbasis. (Also ist V zum unitären Raum ℂ^{n} isomorph.)

4. Sei b_{1}, …, b_{n} eine Orthonormalbasis. Dann ist für alle a ∈ V

a = (b_{1}, a)b_{1} + … + (b_{n}, a)b_{n}.

Beweis. 1): folgt sofort aus 6.3.3, weil (v, v) = 0 ⇒ v = 0

2): Wir wiederholen den Beweis von 7.3.3. Sei Sei v_{0} ein beliebiger Vektor aus V. Weil (U^{(c)}, U) ein duales Paar bilden ist, gibt es nach 6.3.2 ein eindeutig bestimmtes u_{0} ∈ U mit

(v_{0}, u) = (u_{0}, u)

für alle u ∈ U. Es folgt (v_{0} − u_{0}, u) = 0 für alle u ∈ U. Das heißt v_{0} − u_{0} ∈ U^{⊥}.

3): Durch Induktion über die Dimension von V. Wenn V = 0, ist nichts zu zeigen. Sonst gibt es einen Vektor b_{1} der Länge 1. V ist direkte Summe von U = ℂb_{1} und U^{⊥}. Die Induktionsvoraussetzung liefert uns eine Orthonormalbasis b_{2}, …, b_{n} von U^{⊥}. b_{1}, b_{2}, …, b_{n} ist die gesuchte Orthonormalbasis von V.

4): Sei a = α_{1}b_{1} + ⋯ + α_{n}b_{n}. Linksmultiplikation mit b_{j} ergibt

(b_{j}, a) = α_{1}(b_{j}, b_{1}) + ⋯ + α_{n}(b_{j}, b_{n}) = α_{j}(b_{j}, b_{j}) = α_{j}.

Satz 7.5.4. Sei V ein unitärer Vektorraum. Zu jedem Endomorphismus f von V gibt es einen durch (f^{t}(u), v) = (u, f(v)) eindeutig bestimmten adjungierten Endomorphismus f^{t}. Wenn f bezüglich einer Orthonormalbasis durch die Matrix A dargestellt wird, wird f^{t} durch die adjungierte Matrix A^{∗} dargestellt.

Beweis. Die eindeutige Existenz von f^{t} folgt sofort aus 6.3.4. Die zweite Behauptung kann man wie 7.3.4 beweisen. Eine Alternative ist folgende Überlegung: Sei b_{1}, …, b_{n} eine Orthonormalbasis und f durch A = (α_{ij}) dargestellt. Dann folgt aus 7.5.3.(4), daß

α_{ij} = (b_{i}, f(b_{j})).

Die Matrix von f^{t} berechnet sich dann als

(b_{i}, f^{t}(b_{j})) = (f(b_{i}), b_{j}) = \overline{(b_{j}, f(b_{i}))} = \overline{α_{ji}}.

Sei V unitär. Der Beweis von 7.1.2 zeigt, daß sich Sesquilinearformen und Endomorphismen von V vermöge

[u, v] = (u, f(v))

entsprechen. [ , ] ist genau dann hermitesch, wenn f selbstadjungiert ist, weil

\overline{[v, u]} = \overline{(v, f(u))} = (f(u), v) = (u, f^{t}(v)).

Automorphismen eines unitären Vektorraums heißen unitär.

Lemma 7.5.5. Sei f ein Endomorphismus des unitären Vektorraums V, der bezüglich einer Orthonormalbasis b_{1}, …, b_{m} durch die Matrix A dargestellt wird. Dann sind äquivalent:

1. f ist unitär.

2. f^{t} ∘ f = id_{V}.

3. A^{∗}A = I.

4. f(b_{1}), …, f(b_{m}) ist eine Orthonormalbasis.

Beweis. f ist ein Automorphismus, wenn

(u, v) = (f(u), f(v)) = (f^{t}f(u), v).

Damit ist die Äquivalenz von 1) und 2) klar. Die Äquivalenz von 2) und 3) folgt aus 7.5.4. 3) besagt, daß die Spalten von A orthonormal sind. 3) und 4) sind also auch äquivalent.

Folgerung 7.5.6. Der Absolutbetrag einer Determinante einer unitären Abbildung ist 1.

Beweis. Aus 7.5.4 und 4.3.5 folgt det(f^{t}) = \overline{det(f)}. Also ist

|det(f)|^{2} = det(f^{t}) det(f) = det(f^{t} ∘ f) = det(id_{V}) = 1.

Die unitäre Gruppe

U_{n} = {A ∈ M_{n}(ℂ) | A^{∗}A = I}

ist die Gruppe aller unitären n-n–Matrizen. Die unitären Abbildungen mit Determinante 1 bilden die spezielle Gruppe SU_{n}.

\underline{Beispiel}

Man rechnet leicht nach, daß

SU_{2} = \{(\begin{matrix}α & −\overline{β} \\ β & \overline{α} \end{matrix}) | |α|^{2} + |β|^{2} = 1\}.

Setzt man α = x_{1} +x_{2}i und β = x_{3} +x_{4}i, ergibt sich eine (in beiden Richtungen stetige) Bijektion von SU_{2} mit der 3–Sphäre

S^{3} = {(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) ∈ ℝ^{4} | x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + x_{4}^{2} = 1}.

Definition. Ein Endomorphismus eines unitären Vektorraums heißt normal, wenn f ∘ f^{t} = f^{t} ∘ f.

Selbstadjungierte und unitäre Endomorphismen sind normal.

Satz 7.5.7. Ein Endomorphismus f eines unitären Vektorraums V ist genau dann normal, wenn V eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von f hat.

Beweis. Wenn f in einer Orthonormalbasis durch die Diagonalmatrix A dargestellt wird, wird f^{t} durch die Matrix A^{∗} = \overline{A} dargestellt (7.5.4), die natürlich mit A kommutiert.

Sei umgekehrt f normal. Wir zeigen die Behauptung durch Induktion über die Dimension von V. Wenn dim(V) = 0, ist nichts zu zeigen. Sonst hat f, weil ℂ algebraisch abgeschlossen ist, einen Eigenwert λ. Wenn ψ mit ϕ kommutiert, ist der Eigenraum U = {v | ϕ(v) = λx} invariant unter ψ, weil

ϕ(v) = λv ⇒ ϕψ(v) = ψϕ(v) = ψ(λv) = λψ(v).

Insbesondere ist U = {v | f(v) = λx} invariant unter f^{t}. Lemma B (Seite 105), das für duale Paare bewiesen wurde, impliziert, daß U^{⊥} invariant unter f^{tt} = f ist. Wir können jetzt die Induktionsvoraussetzung auf die Einschränkung von f auf U^{⊥} anwenden und erhalten eine Orthonormalbasis von U^{⊥}, die aus Eigenvektoren von f besteht. Wenn wir diese Basis mit irgendeiner Orthonormalbasis von U zusammensetzen, erhalten wir das Gewünschte.

Ein normaler Endomorphismus ist selbstadjungiert, wenn seine Eigenwerte reell sind. Und unitär, wenn die Eigenwerte den Betrag 1 haben.

\underline{Beispiel}

Die Drehmatrix

D = (\begin{matrix}cos(ϕ) & − sin(ϕ) \\ sin(ϕ) & cos(ϕ) \end{matrix})

ist normal. Ihr charakteristisches Polynom

P_{D} = (x − cos(ϕ))^{2} + sin^{2}(ϕ) = x^{2} − 2 cos(ϕ)x + 1

hat die Nullstellen

λ_{1} = cos(ϕ) + i sin(ϕ) und λ_{2} = cos(ϕ) − i sin(ϕ)

Die zugehörigen Eigenvektoren

v_{1} = (\begin{matrix}1 \\ −i \end{matrix}) und v_{2} = (\begin{matrix}1 \\ i \end{matrix})

sind orthogonal. Normiert bilden sie die Spalten einer unitären Matrix

B = (\begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{−i}{\sqrt{2}} & \frac{i}{\sqrt{2}} \end{matrix}) .

und wir haben

B^{−1}DB = B^{∗}DB = (\begin{matrix}λ_{1} & 0 \\ 0 & λ_{2} \end{matrix}) .

Multilineare Algebra

In diesem Kapitel betrachten wir Vektorräume über einem beliebigen Körper K.

8.1 Tensorprodukt

U und V seien zwei Vektorräume. Ein Vektorraum T zusammen mit einer bilinearen Abbildung ⊗ : U × V → T heißt Tensorprodukt von U und V wenn man die folgende universelle Eigenschaft hat: Jede bilineare Abbildung ( , ) : U × V → W läßt sich als Komposition von ⊗ mit einer eindeutig bestimmten linearen Abbildung f : T → W schreiben.

[figure: U × V; ⊗; W; T; f; ( , )]

Satz 8.1.1. Je zwei Vektorräume U und V haben ein Tensorprodukt

⊗ : U × V → T.

T ist eindeutig bestimmt in folgendem Sinn: Wenn ⊗′ : U × V → T′ ein zweites Tensorprodukt ist, gibt es genau einen Isomorphismus t : T → T′, der das Diagramm

[figure: U × V; ⊗; T′; T; t; ⊗′]

kommutativ macht.

Beweis. Wir wählen Basen (a_{i})_{i∈I} und (b_{j})_{j∈J} von U und V. Für T nehmen wir einen Vektorraum mit einer nach I × J indizierten Basis (c_{i,j}). Schließlich definieren wir die bilineare Abbildung ⊗ : U × V → T durch a_{i} ⊗ b_{j} = c_{i,j} (wie in 2.6.1). Sei die Abbildung ⊗′ : U × V → T′ bilinear. Wenn t : T → T′ linear ist, ist t ∘ ⊗ bilinear und stimmt mit ⊗′ genau dann überein, wenn für alle i und j

t(a_{i} ⊗ b_{j}) = t(c_{i,j}) = a_{i} ⊗′ b_{j}.

Man kann aber Werte von t auf der Basis (c_{i,j}) beliebig vorschreiben und t ist dadurch eindeutig bestimmt.

Wir wählen für alle Paare U und V ein Tensorprodukt aus und bezeichnen es mit U ⨂ V.

Aus dem Beweis des Satzes ergibt sich sofort Teil 1) der Folgerung:

Folgerung 8.1.2. Sei (a_{i})_{i∈I} eine Basis von U.

1. Wenn (b_{j})_{j∈J} eine Basis von V ist, ist (a_{i} ⊗ b_{j})_{i∈I, j∈J} eine Basis von U ⨂ V.

2. Jedes Element von U ⨂ V läßt sich schreiben als

∑_{i} a_{i} ⊗ v_{i}

für eindeutig bestimmte v_{j} ∈ V.

Beweis. Man hat ∑_{i,j} α_{i,j}(a_{i} ⊗ b_{j}) = ∑_{i} a_{i} ⊗ v_{i} für

v_{i} = ∑_{j} α_{i,j}b_{j}.

Das beweist Teil 2).

Aus 1) folgt, daß für endlichdimensionale Vektorräume

dim(U ⊗ V) = dim U · dim V.

Aus 2) folgt, daß jedes Element von U ⨂ V eine Summe von reinen Tensoren u⊗ v ist. Nicht jeder Tensor ist rein. Man kann sich nämlich leicht überlegen, daß c = ∑_{i,j} α_{i,j}(a_{i} ⊗ b_{j}) genau dann ein reiner Tensor ist, wenn die Matrix A = (α_{i,j}) höchstens den Rang 1 hat. Der Rang von A, der auch im unendlichdimensionalen existiert, hängt nur von c ab und nicht von der Wahl der Basis. Er heißt der Rang von c.

Lemma 8.1.3. Die kanonische Abbildung K ⨂ V → V, definiert durch

α ⊗ v = αv

ist ein Isomorphismus.

Beweis. Die Umkehrabbildung ist v ↦ 1 ⊗ v, weil

α ⊗ v = α(1 ⊗ v) = 1 ⊗ (αv).

f : U → U′ und g : V → V′ seien lineare Abbildungen. Weil

(u, v) ↦ f(u) ⊗ g(v)

bilinear ist, gibt es wegen der universellen Eigenschaft des Tensorprodukts genau eine lineare Abbildung

f ⊗ g : U ⨂ V → U′ ⨂ V′

mit (f ⊗ g)(u ⊗ v) = f(u) ⊗ g(v).

⨂ wird auf diese Weise zu einem linearen Bifunktor:

Lemma 8.1.4.

1. id_{U} ⊗ id_{V} = id_{U ⨂ V}

2. (f ∘ f′) ⊗ (g ∘ g′) = (f ⊗ g) ∘ (f′ ⊗ g′)

3. (f + f′) ⊗ g = (f ⊗ g) + (f′ ⊗ g)

4. (αf) ⊗ g = α(f ⊗ g)

3) und 4) gelten auch für das zweite Argument.

Beweis. Um zu zeigen, daß die linearen Abbildungen, die jeweils auf den beiden Seiten der Gleichungen stehen, gleich sind, genügt es zu zeigen, daß diese Abbildungen auf den Erzeugenden u⊗v übereinstimmen. Das sind leichte Rechnungen:

1): Klar

2):

(ff′ ⊗ gg′)(u ⊗ v) = ff′u ⊗ gg′v
= (f ⊗ g)(f′u ⊗ g′v)
= (f ⊗ g)(f′ ⊗ g′)(u ⊗ v)

3):

((f + f′) ⊗ g)(u ⊗ v) = (f + f′)u ⊗ gv
= (fu + f′u) ⊗ gv
= fu ⊗ gv + f′u ⊗ gv
= (f ⊗ g)(u ⊗ v) + (f′ ⊗ g)(u ⊗ v)
= (f ⊗ g + f′ ⊗ g)(u ⊗ v)

4):

(αf ⊗ g)(u ⊗ v) = (αfu) ⊗ gv
= α(fu ⊗ gv)
= α(f ⊗ g)(u ⊗ v)

\underline{Beispiel}

Sei V ein ℝ–Vektorraum. Dann ist ℂ ⨂ V ein ℂ–Vektorraum mit der Skalarmultiplikation

(8.1)  λ(α ⊗ v) = (λα) ⊗ v.

Man nennt ℂ ⨂ V die Komplexifizierung von V. Daß (8.1) eine ℂ–Vektorraumstruktur definiert, kann man schnell so einsehen: Sei μ_{λ} : ℂ → ℂ die Multiplikation mit λ. Dann ist λ(α ⊗ v) = (μ_{λ} ⊗ id_{V})(α ⊗ v). Jetzt kann man das letzte Lemma anwenden.

Definition. Das Tensorprodukt einer endlichen Familie V_{1}, …, V_{n} von Vektorräumen ist ein Vektorraum

V_{1} ⨂ ⋯ ⨂ V_{n}

zusammen mit einer multilinearen Abbildung

⊗ : V_{1} × ⋯ × V_{n} → V_{1} ⨂ ⋯ ⨂ V_{n},

so daß sich jede multilineare Abbildung μ : V_{1} × ⋯ × V_{n} → W eindeutig in der Form μ = f ∘ ⊗ für ein lineares f : V_{1} ⨂ ⋯ ⨂ V_{n} → W schreiben läßt.

Wir schreiben immer v_{1} ⊗ ⋯ ⊗ v_{n} statt ⊗(v_{1}, …, v_{n}). f ist dann gegeben durch

f(v_{1} ⊗ ⋯ ⊗ v_{n}) = μ(v_{1}, …, v_{n}).

Man sagt, daß μ durch ⊗ faktorisiert.

Existenz und Eindeutigkeit zeigt man wie in 8.1.1. Wenn (b_{i}^{1})_{i∈I_{1}}, …, (b_{i}^{n})_{i∈I_{n}} Basen der V_{1}, …, V_{n} sind, ist

(b_{i_{1}}^{1} ⊗ ⋯ ⊗ b_{i_{n}}^{n})_{i_{1}∈I_{1},...,i_{n}∈I_{n}}

eine Basis von V_{1} ⨂ ⋯ ⨂ V_{n}.

Für das Tensorprodukt eines einzigen Vektorraums V (der Fall n = 1) kann man offensichtlich V selbst nehmen (mit der identischen Abbildung V → V).

Satz 8.1.5.

1. Durch (u_{1} ⊗ ⋯ u_{m}) ⊗ (v_{1} ⊗ ⋯ v_{n}) ↦ u_{1} ⊗ ⋯ ⊗ u_{m} ⊗ v_{1} ⊗ ⋯ v_{n} wird ein Isomorphismus

(U_{1} ⨂ ⋯ U_{m}) ⨂(V_{1} ⨂ ⋯ V_{n}) ⟶^{≃} U_{1} ⨂ ⋯ U_{m} ⨂ V_{1} ⨂ ⋯ V_{n}

definiert.

2. U ⨂ V und V ⨂ U sind kanonisch isomorph. Der Isomorphismus wird durch u ⊗ v ↦ v ⊗ u gegeben.

Beweis.

1): Wir verwenden die Abkürzungen U = U_{1} ⨂ ⋯ U_{m}, V = V_{1} ⨂ ⋯ V_{n} und W = U_{1} ⨂ ⋯ U_{m} ⨂ V_{1} ⨂ ⋯ V_{n}.

Für jedes festgehaltene m–Tupel \overline{u} = (u_{1}, …, u_{m}) ist die Abbildung

(v_{1}, …, v_{n}) ↦ u_{1} ⊗ ⋯ ⊗ u_{m} ⊗ v_{1} ⊗ ⋯ v_{n}

multilinear und läßt sich daher schreiben als

u_{1} ⊗ ⋯ ⊗ u_{m} ⊗ v_{1} ⊗ ⋯ v_{n} = f\overline{u}(v_{1} ⊗ ⋯ v_{n})

für ein lineares f\overline{u} : V → W.

Die Abbildung (u_{1}, …, u_{m}) ↦ f\overline{u} ist multilinear und daher von der Form

f\overline{u} = f(u_{1} ⊗ ⋯ u_{m})

für eine lineare Abbildung f : U → L(V, W).

Weil (u, v) ↦ f(u)(v) bilinear ist, gibt es ein lineares g : U ⨂ V → W mit g(u ⊗ v) = f(u)(v). Es gilt offenbar

g((u_{1} ⊗ ⋯ u_{m}) ⊗ (v_{1} ⊗ ⋯ v_{n})) = u_{1} ⊗ ⋯ ⊗ u_{m} ⊗ v_{1} ⊗ ⋯ v_{n}.

Die in der Behauptung angegebene Abbildung ist also tatsächlich wohldefiniert.

Um zu zeigen, daß g ein Isomorphismus ist, geben wir eine Umkehrabbildung an.

(u_{1}, …, u_{m}, v_{1}, …, v_{n}) ↦ (u_{1} ⊗ ⋯ u_{m}) ⊗ (v_{1} ⊗ ⋯ v_{n})

ist multilinear. Also gibt es lineares h : W → U ⨂ V mit

h(u_{1} ⊗ ⋯ u_{m} ⊗ v_{1} ⊗ ⋯ v_{n}) = (u_{1} ⊗ ⋯ u_{m}) ⊗ (v_{1} ⊗ ⋯ v_{n}).

h ist offensichtlich die Umkehrabbildung von g.

2): Weil (u, v) ↦ v ⊗ u multilinear ist, gibt es ein lineares g : U ⨂ V → V ⨂ U mit g(u ⊗ v) = v ⊗ u. g ist ein Isomorphismus: Man kann sofort die Umkehrabbildung h(v ⊗ u) = u ⊗ v angeben,

Sei ⨂^{0} = K und (für positive p) ⨂^{p} V das Tensorprodukt von p Kopien von V. Dann ist nach dem vorhergehenden Satz für alle p und q eine bilineare Abbildung ⊗ : ⨂^{p} V × ⨂^{q} V → ⨂^{p+q} V definiert. Wenn p oder q Null sind, soll diese Abbildung Multiplikation mit Elementen von K sein.

Satz 8.1.6. Die Abbildungen ⊗ : ⨂^{p} V × ⨂^{q} V → ⨂^{p+q} V machen

T(V) = ⨁_{p∈ℕ} (⨂^{p} V )

zu einer assoziativen Algebra mit Einselement, der Tensoralgebra von V.

Beweis. Das Einselement von ⨂^{0} V = K ist natürlich Einselement. Es bleibt zu zeigen, daß die auf T(V) definierte bilineare Operation ⊗ assoziativ ist. Es genügt, das für Elemente der direkten Summanden ⨂^{p} V zu zeigen. Sei also v = v_{1} ⊗ ⋯ aus ⨂^{p} V, u = u_{1} ⊗ ⋯ aus ⨂^{q} V und w = w_{1} ⊗ ⋯ aus ⨂^{r} V. Dann ist

(u ⊗ v) ⊗ w = (u_{1} ⊗ ⋯ v_{1} ⊗ ⋯) ⊗ w
= u_{1} ⊗ ⋯ v_{1} ⊗ ⋯ w_{1} ⊗ ⋯
= u ⊗ (v_{1} ⊗ ⋯ w_{1} ⊗ ⋯) = u ⊗ (v ⊗ w).

\underline{Beispiel}

Wir wollen T(K) berechnen. Alle Tensorpotenzen von K sind kanonisch isomorph zu K. Wir bezeichnen das Einselement von ⨂^{1} K mit x. Dann ist für jedes p

x^{p} = \underbrace{x ⊗ ⋯ ⊗ x}_{p−mal}

Basis von ⨂^{p} V. Die Elemente 1, x, x^{2}, … bilden also eine Basis von T(K) und T(V) ist kanonisch isomorph zum Polynomring K[X].

8.2 Tensorprodukt und Dualität

Definition. Die durch die bilineare Abbildung (λ, x) ↦ λ(x) gegebene lineare Abbildung

v : V^{∗} ⨂ V → K

heißt Verjüngung.

Allgemeiner definiert man die Verjüngung über V_{i} und V_{j}

v : ⨂_{k=1}^{p} V_{k} → ⨂_{k≠i,j}^{p} V_{k},

wenn für ein Indexpaar V_{i} = V_{j}^{∗}, durch^{1}

v(v_{1} ⊗ ⋯ v_{i} ⋯ v_{j} ⋯ ⊗ v_{p}) = v_{i}(v_{j}) · v_{1} ⊗ ⋯ v̂_{i} ⋯ v̂_{j} ⋯ ⊗ v_{p}.

Die Elemente von

V_{p}^{q} = (⨂^{p} V) ⨂ (⨂^{q} V^{∗})

nennt man p–fach kontravariante und q–fach kovariante Tensoren (oder auch Tensoren der Stufe (p, q)). Tensorieren liefert eine bilineare Abbildung

V_{p}^{q} × V_{p′}^{q′} → V_{p+p′}^{q+q′}.

Verjüngen über der i–ten Kopie von V und der j–ten Kopie von V^{∗} liefert eine Abbildung

Γ_{i}^{j} : V_{p}^{q} → V_{p−1}^{q−1}.

Die Verjüngung

v : U ⨂ V^{∗} ⨂ V → U

liefert für jedes a ∈ U ⨂ V^{∗} eine lineare Abbildung f_{a} : V → U, definiert durch

f_{a}(v) = v(a ⊗ v).

Die Abbildung a ↦ f_{a} ist offensichtlich linear und es gilt

f_{u⊗λ}(v) = λ(v)u.

1Die Schreibweise bedeutet, daß im rechten Produkt die Faktoren v_{i} und v_{j} weggelassen werden.

Satz 8.2.1. Die Abbildung a ↦ f_{a} ist ein Isomorphismus zwischen U ⨂ V^{∗} und dem Raum L_{e}(V, U) der lineare Abbildungen V → U, die endlichen Rang haben.

Beweis. Wenn a = u_{1} ⊗ λ_{1} + ⋯ + u_{m} ⊗ λ_{m}, liegt das Bild von f_{a} in dem von den u_{i} aufgespannten Raum. f_{a} hat also höchstens den Rang m.

Sei u_{1}, …, u_{m} eine Basis von Im(f). Jedes f(v) läßt sich schreiben als

f(v) = μ_{1}(v)u_{1} + · + μ_{m}(v)u_{m}

mit eindeutig bestimmten Linearformen μ_{i}. Für

a = u_{1} ⊗ μ_{1} + ⋯ + u_{m} ⊗ μ_{m}

ist dann f = f_{a}. Daraus folgt die Behauptung.

Man kann daher (im endlichdimensionalen) U ⨂ V^{∗} und L(V, U) identifizieren. Dabei ergeben sich folgende Entsprechungen:

1. Matrizen:

Sei (v_{j}) eine Basis von V, (u_{i}) eine Basis von U und die lineare Abbildung f : V → U gegeben durch die Matrix (α_{i,j}). Sei (λ_{j}) die zu (v_{j}) duale Basis von V^{∗}. Dann ist (bei der obigen Identifizierung)

f = ∑_{i,j} α_{i,j}(u_{i} ⊗ λ_{j}).

\underline{Beweis}:

(∑_{i,j} α_{i,j}u_{i} ⊗ λ_{j})(v_{k}) = ∑_{i,j} α_{i,j}λ_{j}(v_{k})u_{i} = ∑_{i} α_{ik}u_{i} = f(v_{k})

2. Komposition:

Die Komposition von linearen Abbildungen ist eine bilineare Abbildung

∘ : L(V, U) × L(W, V) → L(W, U).

Sie entspricht der Verjüngung

(U ⨂ V^{∗}) ⨂(V ⨂ W^{∗}) → U ⨂ W^{∗}.

\underline{Beweis}: Einerseits verjüngt sich (u⊗λ)⊗(v ⊗μ) zu λ(v)(u⊗μ). Andererseits berechnet sich die Komposition der Abbildungen u ⊗ λ und v ⊗ μ als

(u ⊗ λ)(v ⊗ μ)(w) = (u ⊗ λ)(μ(w)v) = λ(v)μ(w)u = λ(v)(u ⊗ μ)(w).

3. Duale Abbildung: Die Dualisierung L(V, U) → L(U^{∗}, V^{∗}), definiert durch f ↦ f^{∗} entspricht der Abbildung

U ⨂ V^{∗} → V^{∗} ⨂ U = V^{∗} ⨂ U^{∗∗}

aus Satz 8.1.5(2).

\underline{Beweis}: Die zu (u ⊗ λ) duale Abbildung f^{∗} ist charakterisiert durch

f^{∗}(χ)(v) = χ((u ⊗ λ)(v)). Das rechnen wir für λ ⊗ u^{∗∗} nach. Dabei ist u^{∗∗} das Bild von u unter dem kanonischen Isomorphismus U ⟶^{≃} U^{∗∗}.

(λ ⊗ u^{∗∗})(χ)(v) = (u^{∗∗}(χ)λ)(v) = χ(u)λ(v) = χ(λ(v)u) = χ((u ⊗ λ)(v))

4. Die Spurabbildung: Tr : End(V) → K ist nichts anderes als die Verjüngung

V ⨂ V^{∗} → K.

\underline{Beweis}: Wenn man

f = ∑_{i,j} α_{i,j}(u_{i} ⊗ λ_{j})

verjüngt, ergibt sich

v(f) = ∑_{i,j} α_{i,j}λ_{j}(u_{i}) = ∑_{i} α_{i,i}λ_{i}(u_{i}) = ∑_{i} α_{i,i} = Tr(f).

Zweimalige Verjüngung

(λ ⊗ μ) ⊗ (u ⊗ v) ↦ λ(u)μ(v)

liefert eine bilineare Abbildung (U^{∗} ⨂ V^{∗}) × (U ⨂ V) → K.

Satz 8.2.2. Wenn U und V endlichdimensional sind, bilden U^{∗} ⨂ V^{∗} und U ⨂ V mit der eben definierten bilinearen Abbildung ein duales Paar.

Beweis. Sei (u_{i}) ein Basis von U mit dualer Basis (λ_{i}). (v_{j}) sei eine Basis von V und (μ_{j}) die duale Basis. Dann ist die Basis (λ_{i} ⊗ μ_{j}) dual zu (u_{i} ⊗ v_{j}), denn

(λ_{k} ⊗ μ_{l}, u_{i} ⊗ v_{j}) = λ_{k}(u_{i})μ_{l}(v_{j}) = \begin{cases}1 & wenn (i, j) = (k, l) \\ 0 & sonst \end{cases}

Daraus folgt die Behauptung.

(U ⨂ V)^{∗} kann also mit U^{∗} ⨂ V^{∗} identifiziert werden.^{2}

8.3 Die äußere Algebra

Definition. Eine k–stellige multilineare Abbildung μ : V^{k} → W heißt alternierend, wenn

μ(a_{1}, …, a_{k}) = 0

für alle k–Tupel a_{1}, …, a_{k}, in denen ein Vektor zweimal vorkommt.

2Dafür genügt es, wenn einer der beiden Vektorräume endlichdimensional ist.

Alle Sätze, die im Abschnitt 4.2 über k–Formen, also für alternierende Abbildungen nach K, bewiesen worden sind, gelten für beliebige alternierende Abbildungen.

Sei V ein K–Vektorraum und p eine natürliche Zahl. Ein Vektorraum A zusammen mit einer (p–stelligen) multilinearen alternierenden Abbildung ∧^{p} : V^{p} → A heißt p-fache äußere Potenz von V, wenn sich jede alternierende multilineare Abbildung a : V^{p} → W als Komposition von ∧^{p} mit einer eindeutig bestimmten linearen Abbildung f : A → W schreiben läßt.

[figure: V^{p}; ∧^{p}; W; A; f; a]

Wir schreiben

v_{1} ∧ v_{2} ∧ ⋯ ∧ v_{p}

für ∧^{p}(v_{1}, v_{2}, ⋯, v_{p}).

Satz 8.3.1. V hat für alle p eine p–fache äußere Potenz ∧^{p} : V^{p} → A. A ist eindeutig bestimmt in folgendem Sinn: Wenn ∧′ : V^{p} → A′ eine zweite p–fache äußere Potenz von V ist, gibt es genau einen Isomorphismus a : A → A′, der das Diagramm

[figure: V^{p}; ∧^{p}; A′; A; a; ∧′]

kommutativ macht.

Beweis. Sei (e_{i})_{i∈I} eine Basis von V. Für A wählen wir einen Vektorraum mit einer Basis (e_{I}), die mit den p–elementigen Teilmengen I von I indiziert ist.

Um ∧^{p} zu definieren, fixieren wir eine lineare Ordnung^{3} von I und definieren

e_{i_{1}} ∧ e_{i_{2}} ∧ ⋯ ∧ e_{i_{p}}

als 0, wenn I = {i_{1}, …, i_{p}} weniger als p Elemente hat. Und sonst als

ϵ_{i_{1}···i_{p}}e_{I},

wobei ϵ_{i_{1}···i_{p}} die Signatur der Permutation σ ∈ Sym(I) ist, für die σ(i_{1}) < σ(i_{2}) < ⋯ < σ(i_{p}). Wir verifizieren, wie im Beweis von 4.3.1, daß die multilineare Abbildung ∧^{p} alterniert. Der Einfachheit halber zeigen wir nur, daß ∧^{p} Null ist, wenn die ersten beiden Argumente gleich sind. Dazu genügt es zu zeigen, daß a ∧ a ∧ e_{i_{3}} ∧ ⋯ ∧ e_{i_{p}} = 0 für alle i_{3}, …, i_{p}. Wenn a = ∑_{j} ξ_{j}e_{j}, ist

a ∧ a ∧ e_{i_{3}} ∧ ⋯ ∧ e_{i_{p}} = ∑_{j<k} ξ_{j}ξ_{k}((e_{j} ∧ e_{k} ∧ ⋯) + (e_{k} ∧ e_{j} ∧ ⋯))

Dabei summieren wir über alle i, k, die in {i_{3}, …, i_{p}} nicht vorkommen. Weil

ϵ_{jki_{3}···i_{p}} = −ϵ_{kji_{3}···i_{p}}

verschwinden alle Summanden, wie gewünscht.

Wir wählen für alle V und p eine p–fache äußere Potenz aus und bezeichnen sie mit ⋀^{p} V. Für p = 0 ist der Sinn der Definition nicht ganz klar; man vereinbart ⋀^{0} V = K. ⋀^{1} V kann mit V identifiziert werden. Die Elemente von ⋀^{p} V heißen die p–Vektoren von V.

Betrachtet man die Definition der äußeren Potenz im Fall W = K, sieht man, daß sich der Raum A^{p}V aller p–Formen auf V mit dem Dualraum (⋀^{p} V)^{∗} identifizieren läßt: Jedes μ ∈ A^{p}V läßt sich schreiben als

μ(v_{1}, …, v_{p}) = λ(v_{1} ∧ ⋯ ∧ v_{p})

für ein λ ∈ (⋀^{p} V)^{∗}.

Sei e_{1}, e_{2}, … e_{n} eine Basis von V. Für alle p– Teilmengen I von {1, …, n} sei

e_{I} = e_{i_{1}} ∧ e_{i_{2}} ∧ ⋯ ∧ e_{i_{p}},

wobei i_{1} < i_{2} < … < i_{p} eine monotone Aufzählung von I ist. Aus dem Beweis des Satzes ergibt sich:

Folgerung 8.3.2. Die e_{I} bilden eine Basis von ⋀^{p} V.

Wenn dim V = n, ist also

dim(⋀^{p} V) = \binom{n}{p}.

3Zorns Lemma liefert die Existenz einer maximalen partiellen Ordnung auf I. Maximale partielle Ordnungen sind linear.

Insbesondere ist dim(⋀^{n} V) = 1 und dim(⋀^{p} V) = 0 für alle p > n.

Nehmen wir, an die Vektoren v_{1}, …, v_{p} seien vermöge

(v_{1} … v_{p}) = (e_{1} … e_{n})A

durch die n–p–Matrix A gegeben. Dann können wir das äußere Produkt der v_{i} folgendermaßen berechnen. (I läuft über alle p–elementigen Teilmengen von {1, …, n}.)

v_{1} ∧ ⋯ ∧ v_{p} = ∑_{I} ∑_{{i_{1},...,i_{p}}=I} α_{i_{1},1}e_{i_{1}} ∧ ⋯ ∧ α_{i_{p},p}e_{i_{p}}

= ∑_{I}( ∑_{{i_{1},...,i_{p}}=I} ϵ_{i_{1}···i_{p}} ∏_{k} α_{i_{k},k})e_{I}

= ∑_{I} det(A_{I})e_{I}

Dabei besteht die p–p–Matrix A_{I} aus den Zeilen von A, deren Zeilennummern zu I gehören.

Lemma 8.3.3. Zu jeder linearen Abbildung ϕ : V → U gibt es eine lineare Abbildung ∧^{p}ϕ : ⋀^{p} V → ⋀^{p} U, die eindeutig bestimmt ist durch

∧^{p}ϕ(v_{1} ∧ ⋯ ∧ v_{p}) = ϕ(v_{1}) ∧ ⋯ ∧ ϕ(v_{p}).

⋀^{p} wird dadurch zu einem Funktor.

Beweis. Existenz und Eindeutigkeit folgen aus der universellen Eigenschaft der äußeren Potenz, weil ϕ(v_{1}) ∧ ⋯ ∧ ϕ(v_{p}) ein alternierender Ausdruck in den v_{i} ist. Daß ∧^{p}id = id ist klar. Schließlich folgt ∧^{p}(ϕψ) = ∧^{p}(ϕ) ∧^{p} (ψ) aus

∧^{p}(ϕψ)(v_{1} ∧ ⋯) = (ϕψv_{1}) ∧ ⋯
= ∧^{p}ϕ(ψv_{1} ∧ ⋯)
= ∧^{p}ϕ ∧^{p} ψ(v_{1} ∧ ⋯)

Sei e_{1}, …, e_{m} eine Basis von U, f_{1}, …, f_{n} eine Basis von V und ϕ : V → U durch die m–n–Matrix A gegeben. Wir wollen die Matrixdarstellung von ∧^{p}ϕ berechnen.

Sei J = {j_{1} < … < j_{p}} eine p–elementige Teilmenge von {1, …, n} und A^{J} die Matrix, die aus den Spalten von A besteht, deren Index in J liegt. Dann ist (ϕ(f_{j_{1}}) ⋯ ϕ(f_{j_{p}})) = (e_{1} ⋯ e_{m})A^{J}. Also

∧^{p}ϕ(f_{J}) = ϕ(f_{j_{1}}) ∧ ⋯ ∧ ϕ(f_{j_{p}}) = ∑_{I} det(A_{I}^{J})e_{I}

Daraus folgt sofort Lemma 8.3.4. Wenn dim V = n und ϕ ein Endomorphismus von V ist, ist ∧^{n}ϕ = det(ϕ).

Man beachte, daß ein Endomorphismus eines eindimensionalen Raumes Multiplikation mit einem Körperelement ist.

Satz 8.3.5. Für alle p und q gibt es eine bilineare Abbildung

∧ : ⋀^{p} V × ⋀^{q} V → ⋀^{p+q} V,

gegeben durch (v_{1} ∧ ⋯ ∧ v_{p}) ∧ (v_{p+1} ∧ ⋯ ∧ v_{p+q}) = v_{1} ∧ ⋯ ∧ v_{p+q}.

Wenn p oder q gleich Null sind, nehmen wir für ∧ die Multiplikation mit Elementen von K.

Beweis. Der Beweis folgt dem ersten Teil des Beweis von 8.1.5(1): Für jedes festgehaltene p–Tupel \overline{v} = (v_{1}, …, v_{p}) ist die Abbildung

(v_{p+1}, …, v_{p+q}) ↦ v_{1} ∧ ⋯ ∧ v_{p+q}

alternierend und läßt sich daher schreiben als

v_{1} ∧ ⋯ ∧ v_{p+q} = f\overline{v}(v_{p+1} ∧ ⋯ ∧ v_{p+q})

für ein lineares f\overline{v} : ⋀^{q} V → ⋀^{p+q} V.

Die Abbildung (v_{1}, …, v_{p}) ↦ f\overline{v} ist alternierend und daher von der Form

f\overline{v} = f(v_{1} ∧ ⋯ v_{p})

für eine lineare Abbildung f : ⋀^{p} V → L(⋀^{q} V, ⋀^{p+q} V). u∧v = f(u)(v) ist also wohldefiniert und bilinear.

Sei e_{1}, e_{2}, … e_{n} eine Basis von V. Wenn I eine p–elementige Teilmenge und J eine q–elementige Teilmenge von {1, … n} ist, ist

e_{I} ∧ e_{J} = \{ \begin{matrix}0 & , & wenn & I ∩ J ≠ 0 \\ ϵ_{I,J}e_{I∪J} & , & sonst. \end{matrix}

Dabei ist, wenn i_{1} < … < i_{p}, j_{1} < … < j_{q} und k_{1} < … < k_{p+q} die aufsteigenden Aufzählungen von I, J und I ∪J sind, ϵ_{I,J} die Signatur der Permutation

\binom{i_{1} … i_{p}j_{1} … j_{q}}{k_{1} … k_{p+q}},

die i_{1} … i_{p}j_{1} … j_{q} der Reihe nach auf k_{1} … k_{p+q} abbildet.

Folgerung 8.3.6. Die direkte Summe

⋀ V = ⨁_{p∈ℕ} (⋀^{p} V )

wird durch die Abbildungen ∧ zu einer assoziativen Algebra mit Einselement. Wenn v ∈ ⋀^{p} V und w ∈ ⋀^{q} V, ist

(8.2)  v ∧ w = (−1)^{pq} w ∧ v.

⋀ V heißt die äußere Algebra von V.

Beweis. Wie in 8.1.6 beweist man die Assoziativität. v ∧ w = (−1)^{pq}w ∧ v folgt aus ϵ_{J,I} = (−1)^{pq}ϵ_{I,J}, was wiederum aus

sign (\begin{matrix}1 & ⋯ & p & p + 1 & ⋯ & p + q \\ p + 1 & ⋯ & p + q & 1 & ⋯ & p \end{matrix}) = (−1)^{pq}

folgt.

Satz 8.3.7. Sei n = dim(V) und p + q = n. Wenn wir einen Isomorphismus μ : ⋀^{n} V ⟶^{≃} K fixieren, werden ⋀^{p} V und ⋀^{q} V vermöge

∧ : ⋀^{p} V × ⋀^{q} V → ⋀^{n} V ⟶^{μ} K

zu einem dualen Paar.

Beweis. Sei e_{i} eine Basis von V und μ(e_{{1,...,n}}) = α. Dann sind die e_{I} eine Basis von ⋀^{p} V und die

f_{I} = α^{−1}ϵ_{I,\overline{I}} e\overline{I}

die dazu duale Basis von ⋀^{q} V. Die I laufen dabei über alle p–elementigen Teilmengen von \{1, …, n\} und \overline{I} = \{1, …, n\} \ I bezeichnet die Komplementmenge.

Folgerung 8.3.8 (Cramersche Regel). Sei n = dim(V) und μ eine n–Form, dann ist für alle v_{1}, …, v_{n} und alle x ∈ V

μ(v_{1}, …, v_{n})x = ∑_{i=1}^{n} μ(v_{1}, …, v_{i−1}, x, v_{i+1}, …, v_{n})v_{i}

Beweis. Zuerst überlegt man sich, daß für festes x die beide Seiten der behaupteten Gleichung alternierend in v_{1}, …, v_{n} sind. Wenn zum Beispiel v_{1} = v_{2}, verschwinden alle Summanden der rechten Seite bis auf μ(x, v_{2}, …)v_{1} und μ(v_{1}, x, …)v_{2}, die sich aber gegenseitig aufheben.

Das bedeutet, daß wir annehmen können, daß v_{1}, …, v_{n} eine Basis ist. Wir können jetzt dem Beweis von 4.4.1 folgen, oder dem folgenden Gedankengang. Wenn μ = 0, ist alles klar. Sonst definiert μ eine Isomorphismus zwischen ⋀^{n} V und K, den wir ebenfalls mit μ bezeichnen. Sei wieder α = μ(v_{1}, …, v_{n}). Für die duale Basis

w_{i} = α^{−1}ϵ_{i,\overline{i}} v\overline{i}

müssen wir zeigen, daß

μ(v_{1}, …, v_{i−1}, x, v_{i+1}, …, v_{n}) = α μ(x ∧ w_{i}).

In der Tat

μ(v_{1}, …, v_{i−1}, x, v_{i+1}, …, v_{n}) = ϵ_{i,\overline{i}} μ(x, v_{1}, …, v_{i−1}, v_{i+1}, …, v_{n})
= ϵ_{i,\overline{i}} μ(x ∧ v\overline{i})
= α μ(x ∧ w_{i})

Sei ϕ ein Endomorphismus von V und adj(ϕ) : V → V der zu ∧^{n−1}ϕ : ⋀^{n−1} V → ⋀^{n−1} V adjungierte Endomorphismus. adj(ϕ) wird also bestimmt durch die Gültigkeit von

adj(ϕ)(v_{1}) ∧ v_{2} ∧ ⋯ ∧ v_{n} = v_{1} ∧ ϕ(v_{2}) ∧ ⋯ ∧ ϕ(v_{n})

für alle v_{1}, …, v_{n} aus V.

Lemma 8.3.9. Wenn ϕ (bezüglich einer Basis von V) durch die Matrix A dargestellt wird, wird adj(ϕ) durch die Adjunkte adj(A) dargestellt.

Man nennt daher adj(ϕ) die Adjunkte von ϕ.

Beweis. Sei e_{1}, …, e_{n} eine Basis von V. ϕ sei in dieser Basis durch die Matrix A dargestellt und adj(ϕ) durch B. Wir fixieren zwei Indizes i und j. Dann ist einerseits^{4}

adj(ϕ)(e_{j}) ∧ e_{1} ∧ ⋯ ê_{i} ⋯ ∧ e_{n} = (β_{ij}e_{i}) ∧ e_{1} ∧ ⋯ ê_{i} ⋯ ∧ e_{n}
= (−1)^{i−1}β_{ij}(e_{1} ∧ ⋯ ∧ e_{n})

und andererseits, wenn a_{1}, …, a_{n} die Spalten von A sind,

e_{j} ∧ ϕ(e_{1}) ∧ ⋯ { \atop ϕ(e_{i})} ⋯ ∧ ϕ(e_{n}) = det(e_{j} a_{1} ⋯ â_{i} ⋯ a_{n})(e_{1} ∧ ⋯ ∧ e_{n})
= (−1)^{j−1} det(A_{ji})(e_{1} ∧ ⋯ ∧ e_{n}).

Daraus folgt β_{ij} = (−1)^{i+j} det(A_{ji}). Das ist die Behauptung.

4"ê_{i}" bedeutet, daß dieser Term fehlt

8.4 Äußere Algebra und Dualität

V sei diesem Abschnitt ein n–dimensionaler K–Vektorraum.

Lemma 8.4.1. Durch

⟨λ_{1} ∧ ⋯ ∧ λ_{p}, v_{1} ∧ ⋯ ∧ v_{p}⟩ = det ( \begin{matrix}λ_{1}(v_{1}) & ⋯ & λ_{1}(v_{p}) \\ ⋮ & ⋯ & ⋮ \\ λ_{p}(v_{1}) & ⋯ & λ_{p}(v_{p}) \end{matrix} )

wird eine bilineare Abbildung

⟨ , ⟩ : ⋀^{p} V^{∗} × ⋀^{p} V → K

definiert.

Wenn p = 0, nehmen wir für ⟨ , ⟩ die Multiplikation K × K → K.

Beweis. Wir müssen zeigen, daß det(λ_{i}(v_{j})) alternierend in λ_{1}, …, λ_{p} und alternierend in v_{1}, …, v_{p} ist. Das folgt aber sofort aus der Tatsache, daß die Determinante eine alternierende Funktion sowohl ihrer Zeilen (4.3.5) als auch ihrer Spalten ist.

Der nächste Satz zeigt, daß man für endlichdimensionale V den Raum A^{p}V der p–Formen auf V mit ⋀^{p}(V^{∗}) identifizieren kann.

Satz 8.4.2. Wenn V endlichdimensional ist, bilden ⋀^{p} V^{∗} und ⋀^{p} V vermöge der eben definierten bilinearen Abbildung ein duales Paar.

Beweis. Sei e_{1}, …, e_{n} eine Basis von V und e_{1}^{∗}, …, e_{n}^{∗} die duale Basis von V^{∗}. Dann sind die Basen (e_{I}) und (e_{I}^{∗}) von ⋀^{p} V und ⋀^{p} V^{∗} dual zueinander. Wenn nämlich I = {k_{1}, …, k_{p}}, ist

⟨e_{I}^{∗}, e_{I}⟩ = det(e_{k_{i}}^{∗}(e_{k_{j}})) = det(I) = 1.

Wenn J ≠ I, ist ⟨e_{I}^{∗}, e_{J}⟩ Determinante einer Matrix, die eine Nullspalte (und eine Nullzeile) hat, also gleich Null.

Mit Hilfe der kanonischen Isomorphismen

A^{p}V ≅ (⋀^{p} V)^{∗} ≅ ⋀^{p}(V^{∗})

übertragen wir die Algebrastruktur von ⋀(V^{∗}) auf

AV = ⨁_{p≥0} A^{p}V ,

die Algebra der alternierenden Formen.

Satz 8.4.3. Sei V endlichdimensional, μ eine p–Form und ν eine q–Form auf V. Dann berechnet sich die p + q–Form μ ∧ ν durch

(8.3)  (μ ∧ ν)(v_{1}, …, v_{p+q}) = ∑ ϵ_{I,J} μ(v_{i_{1}}, …, v_{i_{p}}) ν(v_{j_{1}}, …, v_{j_{q}}).

Dabei wird über alle Zerlegungen von {1, …, p + q} in eine Menge I = {i_{1} < … < i_{p}} und eine Menge J = {j_{1} < … < j_{q}} summiert.

Beweis. Wenn wir die Summanden der rechten Seite schreiben als

RS_{I,J} = sign (\begin{matrix}i_{1} & ⋯ & i_{p} & j_{1} & ⋯ & j_{q} \\ 1 & ⋯ & p & p + 1 & ⋯ & p + q \end{matrix}) μ(v_{i_{1}}, …, v_{i_{p}}) ν(v_{j_{1}}, …, v_{j_{q}})

sehen wir, daß der Wert nur von I = {i_{1}, …, i_{p}} und J = {j_{1}, …, j_{q}} abhängt, nicht aber von der richtigen Anordnung der i_{1}, …, i_{p} und j_{1}, …, j_{q}. Denn, wenn wir zum Beispiel die Reihenfolge der i_{1}, … ändern, ändert sich die Signatur der Permutation in der gleichen Weise wie das Vorzeichen von μ. Daraus folgt nun leicht, daß die rechte Seite von (8.3) alternierend in v_{1}, …, v_{p+q} ist. Um das einzusehen, nehmen wir an, daß v_{i} = v_{j} für zwei verschieden i und j. Dann ist RS_{I,J} = 0, wenn i und j beide in I oder beide in J liegen. Wenn i ∈ I und j ∈ J, heben sich RS_{I,J} und RS_{I∪{j}\{i},J∪{i}\{j}} gegenseitig weg, weil

(\begin{matrix}i_{1} & ⋯ i ⋯ & i_{p} & j_{1} & ⋯ j ⋯ & j_{q} \\ 1 & ⋯ & p & p + 1 & ⋯ & p + q \end{matrix})

und

(\begin{matrix}i_{1} & ⋯ j ⋯ & i_{p} & j_{1} & ⋯ i ⋯ & j_{q} \\ 1 & ⋯ & p & p + 1 & ⋯ & p + q \end{matrix})

verschiedene Vorzeichen haben.

Wir können also annehmen, daß die v_{i} die ersten p + q Elemente einer Basis e_{1}, …, e_{n} sind. Weil beide Seiten von (8.3) bilinear in μ und ν sind, können wir annehmen, daß μ und ν zwei Basiselemente e_{I_{0}} und e_{J_{0}} von ⋀^{p} V und ⋀^{q} V sind. Dann ist, für aufsteigend geordnete Indizes, μ(e_{i_{1}}, …, e_{i_{p}}) (bzw. ν(e_{j_{1}}, …, e_{j_{q}})) gleich 1, wenn I = I_{0} (bzw. J = J_{0}), und gleich 0 sonst.

Beide Seiten von (8.3) sind Null, außer wenn I_{0} und J_{0} eine Partition von {1, …, p + q} bilden. Dann ist aber μ ∧ ν = ϵ_{I_{0},J_{0}}e_{{1,...,p+q}} und

(μ ∧ ν)(e_{1}, …, e_{p+q}) = ϵ_{I_{0},J_{0}}.

Auf der rechten Seite ist der einzige nicht verschwindende Summand

R_{I_{0},J_{0}} = ϵ_{I_{0},J_{0}}.

Wenn p = 1, d.h. μ ∈ V^{∗}, hat die Formel die einfache Gestalt:

(μ ∧ ν)(v_{1}, …, v_{q+1}) = ∑_{i=1}^{q+1}(−1)^{i−1}μ(v_{i})ν(v_{1}, …, v̂_{i}, …, v_{q+1}).

Dabei bedeutet v̂, daß die Variable v ausgelassen wird.

Folgerung 8.4.4. Wenn K die Charakteristik 0 hat, ist

(μ ∧ ν)(v_{1}, …, v_{p+q}) = ∑_{π∈S_{n}} \frac{sign(π)}{p! q!} μ(v_{π(1)}, …, v_{π(p)}) ν(v_{π(p+1)}, …, v_{π(p+q)}).

8.5 Die äußere Algebra eines euklidischen Raumes

Sei V ein n–dimensionaler euklidischer Vektorraum. Jede Linearform hat die Form x ↦ (a, x) für ein eindeutig bestimmtes a ∈ V. Wir können auf diese Weise V^{∗} mit V identifizieren. Daraus ergibt sich auf natürliche Weise eine Identifizierung von ⋀^{p} V^{∗} und ⋀^{p} V. Es ist dann für x_{1}, …, x_{p}, y_{1}, …, y_{p} ∈ V

⟨x_{1} ∧ ⋯ ∧ x_{p}, y_{1} ∧ ⋯ ∧ y_{p}⟩ = det ( \begin{matrix}(x_{1}, y_{1}) & ⋯ & (x_{1}, y_{p}) \\ ⋮ & ⋯ & ⋮ \\ (x_{p}, y_{1}) & ⋯ & (x_{p}, y_{p}) \end{matrix} ) .

Lemma 8.5.1. Die ⋀^{p} V mit der Bilinearform ⟨ , ⟩ sind euklidische Vektorräume.

Beweis. Wenn e_{1}, …, e_{n} eine Orthonormalbasis von V ist, ist (e_{I}) eine Orthonormalbasis von ⋀^{p} V.

Lemma 8.5.2. Eine n–Form μ ∈ ⋀^{n} V^{∗} = ⋀^{n} V ist genau dann normiert (siehe Seite 102), wenn ∥μ∥ = 1.

Beweis. Sei e_{1}, …, e_{n} eine Orthonormalbasis und μ = e_{1} ∧ ⋯ ∧ e_{n} als n-Form aufgefaßt. Die Gleichung ⟨e_{1} ∧ ⋯ ∧ e_{n}, e_{1} ∧ ⋯ ∧ e_{n}⟩ = det(e_{i}, e_{j}) = 1 hat dann eine doppelte Bedeutung:

1. μ(e_{1}, …, e_{n}) = 1, dh. μ ist normiert.

2. ⟨μ, μ⟩ = 1, d.h. ∥μ∥ = 1.

Weil alle n–Formen Vielfache von μ sind, folgt die Behauptung.

Wir fixieren eine Orientierung von V, indem wir eine der zwei normierten n– Formen festhalten. Nennen wir sie μ_{0}. Nach 8.3.7 werden, wenn p+q = n, ⋀^{p} V und ⋀^{q} V vermöge x, y ↦ μ_{0}(x ∧ y) zu einem dualen Paar. Es gibt also einen Vektorraumisomorphismus (die Hodge–Abbildung) : ⋀^{p} V → ⋀^{q} V, definiert^{5}

μ_{0}(x ∧ y) = ⟨\overline{x}, y⟩

(für alle y ∈ ⋀^{q} V).

5Die Hodgeabbildung setzt sich also zusammen aus zwei Isomorphismen ⋀^{p} V → ⋀^{q} V^{∗} → ⋀^{q} V. Der erste Isomorphismus kommt von der Paarung μ_{0}(x, y) zwischen ⋀^{p} V und ⋀^{q} V, der zweite durch die euklidische Bilinearform ⟨x, y⟩ auf ⋀^{q} V.

Satz 8.5.3.

1. \overline{μ_{0}} = 1

2. Wenn e_{1}, …, e_{n} eine positiv orientierte Orthonormalbasis von V ist^{6}, ist

für alle I ⊂ {1, …, n}

\overline{e_{I}} = ϵ_{I,\overline{I}} e\overline{I}.

Dabei ist \overline{I} = \{1, …, n\} \ I.

3. \overline{\overline{x}} = (−1)^{pq} x.

4. respektiert die euklidische Bilinearform: ⟨\overline{x}, \overline{z}⟩ = ⟨x, z⟩

Beweis.

1) Eigentlich meinen wir statt μ_{0} den entsprechenden n–Vektor f_{0}. Es gilt μ_{0}(f_{0}) = ⟨f_{0}, f_{0}⟩ = 1. Also

μ_{0}(f_{0} ∧ y) = y = ⟨1, y⟩.

2) Bezüglich der Paarung μ_{0}(x ∧ y) ist die Basis (ϵ_{I,\overline{I}} e\overline{I}) dual zur Basis (e_{I}) (Beweis von 8.3.7). Bezüglich der Paarung ⟨ , ⟩ ist (e_{I}) zu sich selbst dual. Daraus folgt die Behauptung.

3) Das folgt aus 2) und ϵ_{J,I} = (−1)^{pq} ϵ_{I,J}.

4) Folgt aus 3).

⟨\overline{x}, \overline{z}⟩ = μ_{0}(x ∧ \overline{z}) = (−1)^{pq}μ_{0}(\overline{z} ∧ x)
= (−1)^{pq}⟨\overline{\overline{z}}, x⟩ = ⟨z, x⟩ = ⟨x, z⟩

Sei schließlich V ein dreidimensionaler euklidischer Vektorraum mit einer einer ausgezeichneten normierten 3–Form μ. (Bis auf Isomorphie ist das der ℝ^{3} mit der Standardbilinearform und der Standarddeterminantenform mit μ(e_{1}, e_{2}, e_{3}) = 1 für die kanonische Basis.)

Definition. Das Kreuzprodukt × : V ×V → V ist definiert durch x×y = \overline{x ∧ y}.

Für den ℝ^{3} mit der Standardbilinearform und der Standarddeterminantenform stimmt das jetzt definierte Kreuzprodukt mit dem auf Seite 39 definierten Kreuzprodukt überein. Aus der Definition folgt, daß × unter der Wirkung aller ϕ ∈ SO_{3}(ℝ) invariant bleibt, daß also ϕ(x × y) = ϕ(x) × ϕ(y) für alle x, y ∈ ℝ^{3}.

x × y ist eindeutig bestimmt durch die Gültigkeit von

μ(x, y, z) = (x × y, z)

für alle z ∈ V.

6Das heißt, wenn μ_{0}(e_{1}, …, e_{n}) = 1

Satz 8.5.4. Für das Kreuzprodukt gelten folgende Rechenregeln:

(1)  a × b = −b × a
(2)  (a × b, c) = μ(a, b, c)
(3)  ((a × b), (c × d)) = (a, c)(b, d) − (a, d)(b, c)
(4)  (a × b) × c = (a, c)b − (b, c)a
(5) (a × b) × c + (b × c) × a + (c × a) × b = 0

Bemerkung. Eine Algebra, in der (1) und die Jacobiidentität (5) gelten, heißt Liealgebra.^{7}

Beweis.

(1) Das folgt aus a ∧ b = −b ∧ a (Gleichung (8.2), Seite 131).

(2) Das ist die Definition des Kreuzprodukts.

(3) Weil das Skalarprodukt erhält, ist ((a × b), (c × d)) = ⟨a ∧ b, c ∧ d⟩ = (a, c)(b, d) − (a, d)(b, c).

(4) Wir multiplizieren (a × b) × c mit einem beliebigen Vektor x.

((a × b) × c , x) = μ(a × b, c, x) = μ(c, x, a × b)
= (c × x, a × b) = (c, a)(x, b) − (c, b)(x, a)
= ((a, c)b − (b, c)a , x)

Daraus folgt die Behauptung.

(5) Folgt sofort aus (4).

7 Wenn der Grundkörper die Charakteristik 2 hat, fordert man a × a = 0. statt (1), vgl.

Lemma 4.2.3.

Index

≅, 22

⟶^{≃}, 22

AV, 133 A^{p}V, 55, 128 ⋀ V, 131 ⋀^{p} V, 128 ∧, 130 ∧^{p}ϕ, 129 A^{⊤}, 61 A^{∗}, 112 A^{−1}, 46 adj(A), 63 adj(ϕ), 132 ∥a∥, 10, 99, 114 a^{z}, 19 |A|, 58 A_{ij}, 62 ( , )_{B}, 90, 95 ℂ, 39 codim_{V} (U), 35 deg(p), 70 Δ, 52 δ_{ij}, 12 det(A), 58 det(ϕ), 65 dim(V), 30 1, 18 E_{j}^{λ}, 47 E_{ij}^{λ}, 46 End(V), 45 ϵ_{I,J}, 130 e_{I}, 128 e_{i}, 11 𝔽_{p}, 38 f ∘ g, 21 f ↾ A, 21 f ⊗ g, 120 f^{∗}, 86 f^{t}, 92, 94 f^{−1}, 20 f_{A}, 12 f[X], 20 Gl(V), 45 Gl_{n}(K), 46 I, 12 i, 39 id_{X}, 21 Im(f), 41 inf(A), 32 J_{λ}^{k}, 81, 83 K[x], 70 K^{•}, 46 Ker(f), 41 L(G), 1 L(ℝ^{n}, ℝ^{m}), 11 L(V, U), 25 M_{n}(ℝ), 12 M_{mn}(ℝ), 12 μ^{ϕ}, 55 μ_{0}, 58 0, 18 0, 7, 12, 24 O_{n}(ℝ), 102 𝔓(X), 36 P_{A}(x), 71 PE(a_{1}, …, a_{n}), 64 P(V), 108 ℝ^{n}, 7–8

Addition, 7

Einheitsvektor, 11 kanonische Basis, 11 Multiplikation mit Skalaren, 7

ℝ^{(I)}, 30 −s, 18 SO_{n}(ℝ), 102 SU_{n}, 116 S_{n}, 21 sign, 22, 56 s^{−1}, 18 Sl_{n}(K), 60 sup(A), 32 Sym(X), 21 T(V), 123 Tr(A), 72 U ⨂ V, 119 U^{⊥}, 93, 100 U_{1} + U_{2}, 32 U_{1} ⨁ U_{2}, 33 U_{n}, 116 V′_{λ}, 76 V^{(c)}, 112 V^{∗}, 84 V_{1} ⨂ ⋯ ⨂ V_{n}, 121 V_{λ}, 68 V/U, 34 X^{n}, 7 X_{1} × … × X_{n}, 7 x^{⊥}, 105 x × y, 39, 136 ℤ_{n}, 20, 38 \overline{z}, 112, 135 za, 20

Abbildung

affine, 107

euklidische, 107 alternierende, 126 antilineare, 112 bijektive, 20 bilineare, 14, 25, 38 duale, 86 identische, 21 injektive, 20 Komponente, 11 lineare, siehe lineare Abbildung multilineare, 39 sesquilineare, 112 surjektive, 20

abelsche

Halbgruppe, 17 adjungierte

Endomorphismen, 92, 94, 115 Matrix, 112

Adjunkte einer Matrix, 63 eines Endomorphismus, 132

Äquivalenzrelation, 36 ähnliche Matrizen, 50 äußere

Algebra, 131 Potenz, 127 affine

Abbildung, 107 euklidische, 107

Ebene, 8

Gerade, 8, 111 Quadrik, 107 Unterräume, 111

Algebra, 38

K–Algebra, 45 alternierende

Abbildung, 126

Form, 55

normierte, 102, 135 antilineare Abbildung, 112 Antisymmetrie, 31 Assoziativgesetz, 17 aufgespannter Unterraum, 28 Automorphismus, 45, 94

Basis, 25, 28, 31

duale, 85, 92 Basiswechsel, 48–51 Betrag einer komplexen Zahl, 105 Bijektion, 20 bijektive Abbildung, 20 Bild einer Abbildung, 20, 41 bilineare Abbildung, 14, 25, 38 Bilinearform, 9

euklidische, 98 indefinite, 98 negativ (semi)definite, 98 nicht ausgeartete, 94 positiv definite, 9, 98 positiv semidefinite, 98 reguläre, 94 symmetrische, 9, 95

Blockmatrix, 77

Cauchy-Schwarzsche Ungleichung, 10,

114 Cayley, Satz von, 23 Charakteristik, 56 charakteristisches Polynom, 71 Cramersche Regel, 62, 131

Determinante einer Matrix, 58 eines Endomorphismus, 65

Diagonalisierbarkeit einer symmetrischen Bilinearform,

96 eines Endomorphismus, 67

Diagonalmatrix, 67 Dimension, 30

eines projektiven Raumes, 108 direkte Summe, 33

einer Familie von Unterräumen, 69 Distributivgesetze, 36 Distributivität, 32 Drehung, 15, 102 Dreiecksmatrix

obere, 59 Dreiecksungleichung, 11, 114 duale

Abbildung, 86 Basis, 85, 92

duales Paar, 91 Dualraum, 84

Ebene, 8–9 affine, 8 projektive, 110

Eigenraum, 68 Eigenvektor, 68 Eigenwert, 68 Einheit, 45 Einheitsmatrix, 12 Einheitsvektor, 11 Einschränkung einer Funktion, 21 Einselement, 18, 37 Einsetzungshomomorphismus, 70 Elementarmatrizen, 46, 47 Endomorphismus, 45

adjungierter, 92, 94 Adjunkte eines, 132 diagonalisierbarer, 67 nilpotenter, 79 normaler, 116 orthogonaler, 101 selbstadjungiert, 96 unitärer, 115

Erzeugendensystem, 27, 28, 31 erzeugter Unterraum, 28 euklidische

Bilinearform, 98

Ebene, 7

Räume, 1–16, 98

Fehlstand einer Permutation, 53 Form

k–Form, siehe alternierende Form alternierende, siehe alternierende

Form bilineare, siehe Bilinearform lineare, siehe Linearform multilineare, siehe Multilinearform quadratische, siehe quadratische Form sesquilineare, siehe Sesquilinearform

Funktional, 11 Funktor, 86

Gerade, 8–9 affine, 8, 111 projektive, 110

Gleichungssystem homogenes, 2 Normalform, 2 quadratisches, 2 Rang, 2

Grad eines Polynoms, 70 Gramsche Determinante, 103 größtes Element, 32 Gruppe, 17–23

abelsche, 19 kommutative, 19

Halbgruppe, 17 abelsche, 17 kommutative, 17 Hamilton, Satz von, 74 Hauptachsen einer symmetrischen Bilinearform, 103 Hauptachsentransformation, 103 Hauptraum, 76 hermitesche

Form, 113

positiv definite, 113 Matrix, 113 Hodge–Abbildung, 135 Homomorphismus, 22, 70

identische Abbildung, 21

Infimum, 32

injektive Abbildung, 20 Inklusionsabbildung, 42 Integritätsbereich, 71 Invariante eines Endomorphismus, 67 Inverses, 18 Isomorphismus, 12, 22

von Vektorräumen, 12, 24

Jordanmatrix, 83 Jordansche Normalform, 83

k–Form, siehe alternierende Form kanonische

Basis, 11 Projektion, 34

Kern einer Abbildung, 41 Kette, 32 kleinstes Element, 32 Kodimension, 35 Körper, 36–40

algebraisch abgeschlossener, 79 kommutative

Halbgruppe, 17 kommutatives Diagramm, 27 Komplement, 33

orthogonales, 100 komplexe Zahlen, 39, 105 Komplexifizierung, 121 Komponente einer Abbildung, 11 Komposition von Funktionen, 21, 25 Konjugation, 39, 112 konjugiert komplexe Zahl, 39, 112 konjugierte Matrizen, 50 konjugierter Vektorraum, 112 kontravarianter Tensor, 124 Koordinaten, 25

homogene, 110 Koordinatensystem, 25 kovarianter Tensor, 124 Kreuzprodukt, 39, 136 Kroneckers Delta, 12

Länge, 10, 99, 114 Laplacescher Entwicklungssatz, 62 Liealgebra, 39, 137 lineare

Abbildung, 11, 24, 41–51

zwischen projektiven Räumen, 110 Gleichung, 1–6 Gruppe, 45, 47 spezielle, 60 Ordnung, 32, 128 Unabhängigkeit, 6, 28, 31

lineares Funktional, 11 Gleichungssystem, 1 Linearfaktoren, 72 Linearform, 11 Linksinverses, 18 linksneutrales Element, 18 Lösung

einer Gleichung, 1

eines Gleichungssystems, 1 Lösungsmenge, siehe Lösung eines Glei-

chungssystems Lösungsmenge

k–parametrig, 2

Matrix, 11 adjungierte, 112 eines Gleichungssystems, 2 hermitesche, 113 orthogonale, 102, 116 Produkt, 13 quadratische, 2, 12 reguläre, 46 selbstadjungierte, 113 singuläre, 46 symmetrische, 96 transponierte, 61 maximales Element, 32 metrischer Raum, 11 Modul, 40 ℝ–, 23

ℤ–, 20

Modularität, 32 Monoid, 18 multilineare Abbildung, 39 Multilinearform, 55

n–Form, siehe alternierende Form Nebendiagonale, 81 Nebenklasse, 34 neutrales Element, 18 nilpotenter Endomorphismus, 79 Noetherscher Isomorphiesatz, 41 Norm, 10, 99, 114 normaler Endomorphismus, 116 Normalform, 51

für lineare Abbildungen, 50 normierte alternierende Form, 102, 135 Nullelement, 18 Nullmatrix, 12 Nullraum, 7, 24, 25 Nullstelle

eines Polynoms, 71

Vielfachheit, 79 Nullteiler, 38 Nullvektor, 7

obere Dreiecksmatrix, 59 Operation, 17 Ordnung

lineare, 32, 128 partielle, 31 totale, 32

Orientierung, 64 Orthogonalbasis, 96 orthogonale

Endomorphismen, 101 Gruppe, 102

spezielle, 102 Matrix, 102, 116 Vektoren, 10, 96

orthogonales Komplement, 100 Orthonormalbasis, 99

p–Vektoren, 128 Parallelepiped, 64 Parallelität, 8 partielle Ordnung, 31 Partition, 36 Permutation, 21

Fehlstand, 53 gerade, 53 Signatur, 52, 53 ungerade, 53

Polynom, 70 konstantes, 70 normiertes, 70

Polynomring, 70 positiv definite

Bilinearform, 9, 98 hermitesche Form, 113

Potenzmenge, 36 Produkt

direktes, 7 Projektion, 42

kanonische, 34 projektive

Ebene, 110 Gerade, 110 Quadrik, 111

projektiver Raum, 108 Punkt, 7

quadratische Form, 96 Quadrik

affine, 107 projektive, 111

Quotientenkörper, 71 Quotientenraum, 34

Rang einer Bilinearform, 91 einer linearen Abbildung, 44 einer Matrix, 2, 44 eines Tensors, 120

rationaler Funktionenkörper, 71 Rechtsinverses, 18 rechtsneutrales Element, 18 Reflexivität, 31 reguläre

Bilinearform, 94

Matrix, 46 reiner Tensor, 120 Richtungsraum, 8, 9 Ring, 36

kommutativer, 37 nullteilerfreier, 71

Satz von Cayley, 23 von Hamilton, 74 von Pythagoras, 10

Schmidtsches Orthonormalisierungsver-

fahren, 99 Schranke, 32 selbstadjungierte

Endomorphismen, 96

Matrix, 113 senkrechte Vektoren, siehe orthogonale

Vektoren Sesquilinearform, 112

hermitesche, 113 Signatur

einer Abbildung, 56 einer Bilinearform, 98 einer Permutation, 52, 53

singuläre Matrix, 46 Skalar, 7 Skalarprodukt, 9 Spalte, 2, 14–15 Spaltenoperation, 51 Spaltenrang, 90 Spaltenvektor, 5, 12 Spur einer Matrix, 72 Standard n–Form, 58 Standardbilinearform, 95 Standardsesquilinearform, 114 Standardskalarprodukt, 99 Supremum, 32 surjektive Abbildung, 20 Symmetrie, 36 Symmetrische Gruppe, 21 symmetrische Matrix, 96

Tensor, 124 Rang, 120 reiner, 120

Tensoralgebra, 123 Tensorprodukt, 118

einer endlichen Familie, 121 Transitivität, 31 transponierte Matrix, 61 Transposition, 54

Umkehrabbildung, 20 Unabhängigkeit von Unterräumen, 33,

69 unitäre Gruppe, 116

spezielle, 116 unitärer

Endomorphismus, 115 Vektorraum, 113

Untergruppe, 21 Unterraum, 24

ϕ–invarianter, 68

affiner, 111

eines projektiven Raumes, 108 zyklischer, 81

Vektor, 7 Länge, 10, 99, 114 Norm, 10, 99, 114

Vektorraum, 17–40 K–, 40 Axiome, 7 endlich erzeugter, 29 konjugierter, 112 unendlichdimensionaler, 30–32 unitärer, 113

Verband, 32 distributiver, 32 modularer, 32

Vergleichbarkeit, 32 Verjüngung, 124 Verknüpfung von Funktionen, 21, 25 Volumen, 64 Volumen eines Parallelepipeds, 102 Volumenform, 65 Vorzeichen, siehe Signatur einer Per-

mutation

Winkel, 10

Zeile, 2, 14–15

Zeilenoperation, 2, 47

Zeilenrang, 90 Zeilenvektor, 12 Zornsches Lemma, 32 Zyklus, 53